Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674"

Transkript

1 kapak sayfası

2 İÇİNDEKİLER. ÜNİTE DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Gerçek Sayılar... 4 Doğal Sayılarda İşlemler... 4 Tam Sayılar... 4 Rasyonel Sayılar... 5 İrrasyonel Sayılar... 5 Gerçek (Reel) Sayılar Konu Testi Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler... Gerçek Sayılarda Eşitsizlikler ve Özellikleri... 5 Aralık Kavramı Konu Testi Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem... 8 Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerin Çözüm Kümeleri Mutlak Değer Özellikleri ve Eşitsizlikleri... 0 Konu Testleri Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Sistemleri... 7 Konu Testleri Üstlü İfade ve Denklemler Üstlü İfadeler Üstlü İfadelerin Özellikleri Üstlü İfadelerde Dört İşlem Konu Testi Tabanları Eşit Olan Denklemler Üstleri Eşit Olan Denklemler Konu Testleri Köklü İfadeler Konu Testleri Denklem ve Eşitsizliklerle İlgili Uygulamalar... 7 Oran - Orantı Konu Testleri Problemler Konu Testleri Yayımlayan: Sebit Eğitim ve Bilgi Teknolojileri AŞ Üniversiteler Mah. İhsan Doğramacı Bulv. No: ODTÜ Teknokent Ankara / TÜRKİYE Tel: Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / 06 ISBN Numarası: Sertifika No: 674 Bu kitabın her hakkı saklıdır. Kısmen ve kaynak gösterilerek de olsa kesinlikle hiçbir alıntı yapılamaz. Metin, biçim, sorular, yayımlayan şirketin izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir sistemle çoğaltılamaz, dağıtılamaz ve yayımlanamaz.

3 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Ünite- Kazanımlar 9... Gerçek Sayılar 9... İrrasyonel sayılar ve gerçek sayılar kümesini açıklar Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler 9... Gerçek sayılar kümesinde birinci dereceden eşitsizliğin özelliklerini açıklar Gerçek sayılar kümesinde aralık kavramını açıklar Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem ve eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulur Bir gerçek sayının mutlak değeri ile ilgili özellikleri gösterir ve mutlak değerli ifade içeren birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem ve eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulur Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem ve eşitsizlik sistemlerinin çözüm kümelerini bulur Üstlü İfade ve Denklemler 9... Üstlü ifadeleri içeren denklemleri çözer Köklü ifadeler ve özelliklerini bir gerçek sayının rasyonel sayı kuvveti ile ilişkilendirerek açıklar Denklem ve Eşitsizliklerle ilgili Uygulamalar Oran ve orantı kavramlarını gerçek/gerçekçi hayat durumlarını modellemede ve problem çözmede kullanır Denklem ve eşitsizlikleri gerçek/gerçekçi hayat durumlarını modellemede ve problem çözmede kullanır. Raunt

4 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Gerçek Sayılar Doğal Sayılarda İşlemler Taným: Sonlu bir kümenin eleman sayýsýna doðal sayý denir. Örneðin; { } kümesinin eleman sayýsý: 0 {a}, {} kümelerinin eleman sayýsý: {, }, {a, b} kümelerinin eleman sayýsý: Tüm sonlu kümelerin eleman sayýlarýnýn kümesine doðal sayýlar kümesi denir ve N ile gösterilir. N = {0,,,..., n, n+,...} dir. Sýfýr hariç doðal sayýlar kümesine sayma sayýlar kümesi ya da pozitif doðal sayýlar kümesi denir ve N + ile gösterilir. N + = {,,,..., n, n +,...} dir. Tek doðal sayýlar kümesi: T T = {,, 5,..., n +,...} Çift doðal sayýlar kümesi: Ç Ç = {0,, 4,..., n,... } dır. Tam Sayılar Doðal sayýlar kümesinde x + = 0 denklemini saðlayan sayý yoktur bu nedenle N kümesinde çözüm kümesi boþ kümedir. Çünkü denklemi saðlayan x = sayýsý bir doðal sayý deðildir. Doðal sayýlar kümesine sýfýr hariç her a N sayýsýnýn toplama iþlemine göre tersi olan a sayýsýný katarak doðal sayýlarý da kapsayan bir küme oluþturulabilir. Bu kümeye tam sayýlar kümesi denir ve Z ile gösterilir. Z = {...,,,, 0,,,,...} Negatif tam sayılar Pozitif tam sayılar Pozitif tam sayýlar : Z + = {,,,...} Negatif tam sayýlar: Z = {,,,...} Z = Z {0} Z + dýr. 4 Raunt

5 Matematik - 9 Ünite- Rasyonel Sayılar a, b Z, b 0 olmak üzere, b a şeklindeki sayılara rasyonel sayılar denir ve Q harfi ile gösterilir. a Q = * ab,! Zveb! 04 b * * * 0 = 0 (b 0) b a 0 tanımsızdır. (a 0) 0 belirsizdir. 0 İrrasyonel Sayılar Ondalık sayılarda; virgülden sonrası belirli bir kurala göre devam eden sayıları rasyonel sayı a f p biçiminde yazabildiğimizi gördük. b Örneğin; 0,... = 0, =! Q 9 4, = 5, =! Q gibi 99 Ancak bazı sayılar vardır ki bu sayıların virgülden sonraki kısmında belirli bir kural gözlenemez. Örneğin, π sayısı bunlardan biridir. π =, sayısını incelediğimizde virgülden sonraki kısmının belli bir kurala bağlanmadığını görmekteyiz. Bu durumda π sayısı rasyonel sayı olarak ifade edilemediğinden dolayı irrasyonel sayıdır. 4 Bazen π yerine 4, = ya da alırız. Fakat bu sayılar π nin yaklaşık değerleridir Tanım: Virgülden sonrası kesin olarak bilenemeyen başka bir deyişle rasyonel olmayan sayılara irrasyonel sayılar denir. İrrasyonel sayılar Q' ile gösterilir.,, π, e, 7... gibi sayılar irrasyonel sayılardır. Raunt 5

6 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Örnek sayısının rasyonel sayı olmadığını gösterelim. Çözüm a, b birer pozitif tam sayı ve aralarında asal sayılar olsun. Eğer rasyonel a sayı ise, = biçiminde yazabilmemiz gerekir. b = a & b b = a ( b ) = a b = a (eşitliğinde a çift sayı olduğundan a = k (k Z yazılır.) b = 4k b = k eşitliğinde b nin de çift sayı olması gerekir. a çift ve b çift sayı ise a ile b aralarında a asal değildir. Bu sonuç baştaki kabulümüz ile çeliştiğinden = biçiminde b yazılamaz. O halde, rasyonel sayı değil, bir irrasyonel sayıdır. Gerçek (Reel) Sayılar Rasyonel sayılar ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimiyle oluşan kümeye, gerçek (reel) sayılar kümesi denir. Reel sayılar kümesi, R ile gösterilir. R = Q Q' ile ifade edilir. Reel sayılar, sayı doğrusunu tamamen doldurur. Yani her reel sayıya sayı doğrusu üzerinde bir nokta, sayı doğrusu üzerindeki her noktaya da bir reel sayı karşılık gelir. Örnek sayısını inceleğimizde; bir sayma sayısıdır, bir doğal sayıdır, bir tam sayıdır, bir reel sayıyıdır. Buna göre; Her sayma sayısı bir doğal sayıdır. Her doğal sayı bir tam sayıdır. Her tam sayı bir rasyonel sayıdır. Her rasyonel sayı da bir reel sayıdır. 6 Raunt

7 Matematik - 9 Ünite- Bu durumda sayı kümelerini aşağıdaki venn şeması ile gösterebiliriz. N + N Z Q Q' R Örnek Görüldüğü gibi; N + N Z Q R ve Q' R dir. Çözüm a = sayısının yaklaşık değerini matematiksel işlemle bulalım. Örnek sayısına sayı doğrusu üzerinde karşılık gelen noktayı pergel ve gönye yardımıyla gösterelim. a = a = ( ) = karesi olan Çözüm sayısının hangi sayılar arasında olduğunu araştıralım. = (,5) =,5 < <,5 Buna göre, < < 5, & < <, 5 olur. sayısı ile,5 arasındadır.. adım: Defterimize bir sayı doğrusu çizelim.. adım: IABI = IACI = birim olan ve [AB] kenarı sayı doğrusu üzerinde olan bir dik üçgen oluşturalım.. adım: ABC dik üçgeninde pisagor teoreminden: IBCI = + = IBCI = olur. 4. adım: Pergelimizin sivri ucunu B noktasına koyup, BC uzunluğunda bir yay çizelim. Bu yayın sayı doğrusunu kestiği noktayı D olarak işaretleyelim. 5. adım: IBCI = IBDI = olacağından D noktası sayı doğrusunda ye karşılık gelen noktadır. C B D 0 A, Örnek C a şeklindeki irrasyonel sayıların geometrik uzunluğunu bulmak için; A D a B. Adım: Yukarıdaki şekildeki gibi IABI = + a çaplı bir çember çizilir.. Adım: IADI = ve IDBI = a ise [CD] [AB] olduğundan ABC üçgeninde ICDI = a olur. Raunt 7

8 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Toplama İşleminin Özellikleri. Kapalılık özelliği: a, b IR olmak üzere, a + b IR olur. Buna göre gerçek sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.. Değişme özelliği: a, b IR olmak üzere, a + b = b + a olur. Buna göre, gerçek sayılar kümesinde toplam işleminin değişme özelliği vardır.. Birleşme özelliği: a, b, c IR olmak üzere, (a + b) + c = a + (b + c) olur. Buna göre gerçek sayılar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır. 4. Etkisiz eleman: a IR olmak üzere, a + 0 = 0 + a = a olur. Buna göre, gerçek sayılar kümesinde toplama işleminin etkisiz elemanı 0 dır. 5. Ters eleman: a IR olmak üzere, a + ( a) = ( a) + a = 0 olur. Buna göre, gerçek sayılar kümesinde toplama işlemine göre her elemanın tersi vardır. Çarpma İşleminin Özellikleri Örnek 4. Kapalılık özelliği: a, b IR olmak üzere, a. b IR olur. Buna göre, gerçek sayılar kümesinde çarpma işlemi kapalıdır.. Değişme özelliği: a, b IR olmak üzere a. b = b. a olur. Buna göre, gerçek sayılar kümesinde çarpma işlemi değişmelidir.. Birleşme özelliği: a, b, c IR olmak üzere, (a. b). c = a. (b. c) olur. Buna göre, gerçek sayılar kümesinde çarpma işlemi birleşmelidir. 4. Etkisiz eleman: a IR olmak üzere, a. =. a = a olur. Buna göre, gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin etkisiz elemanı dir. 5. Yutan eleman: a IR olmak üzere, a. 0 = 0. a = 0 olur. Buna göre, gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin yutan elemanı 0 dır. 6. Dağılma özelliği: a, b, c IR olmak üzere, a. (b + c) = a. b + a. c ve (b + c). a = b. a + c. a olur. Buna göre, gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine sağdan ve soldan dağılma özelliği vardır. Çözüm 4 Aşağıdaki işlemlerde gerçek sayılarda işlemlerin hangi özelliklerinin kullanıldığını belirleyiniz. (a + b) + 4(a b) = 6a + 9b + a 8b... () = 6a + a + 9b 8b... () = (6 + )a + (9 8)b... () = 8a + b () Dağılma özelliği () Değişme özelliği () Birleşme özelliği HATIRLATMA Sayı doğrusunda gerçek sayılar kümesinin her elemanına bir nokta karşılık gelir. Gerçek sayılarla gösterilen herhangi bir sıralı ikili de koordinat sisteminde yine bir noktaya karşılık gelir. 8 Raunt

9 Matematik - 9 Ünite- Örnek 5 Çözüm 5 5 A( ), B( ), C( ), D(, ), E(, ), F( 0, ) noktalarını sayı doğrusu veya koordinat ekseninde gösteriniz. E D O B C 0 0 F Örnek 6 Çözüm 6 Cetvel ve pergel yardımıyla 5 sayısının sayı doğrusu üzerindeki yerini gösteriniz Örnek 7 Aşağıdaki ifadelerde değişme özelliği olup olmadığını inceleyiniz. I. Yağmur yağması ve şemsiye açmak. II. Sağ ayakkabıyı giymek ve sol ayakkabıyı giymek. III. Buzdolabını açmak ve içinden su almak. IV. Nehir ve Irmak kardeştir. Çözüm 7 I. Değişme özelliği yoktur. II. Değişme özelliği vardır. III. Değişme özelliği yoktur. IV. Değişme özelliği vardır. Örnek 8 Aşağıda verilen gerçek sayılar için uygun kutucuğu işaretleyiniz. Sayılar Rasyonel sayılar (Q) İrrasyonel sayılar Q' 7,,,4 p 7, Raunt 9

10 Sınav Kodu: M090 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Konu Testi. Aşağıda verilen sayılardan hangisi rasyonel sayıdır? A) π B) C) 9 8 D) 09, E) Aşağıda verilenlerden hangisi irrasyonel sayıdır? A) 0 B) 0, 008 C) 009, D) E) π 6. Aşağıda verilen sayılardan kaç tanesi rasyoneldir? I II. III.5 IV. A) 0 B) C) D) E) 4. Küpü kendisine eşit olan kaç tane gerçek sayı vardır? sayısının yaklaşık değerini bulmak için aşağıdakilerden hangisinin yaklaşık değeri bilinmelidir? A) B) C) 5 D) 7 E) A) 0 B) C) D) E) 4 4. sayısının bulunduğu aralık aşağıdakilerden hangisidir? 7 7 A)(, ) B) d, n C) d, 4 n 9 9 D) f4, p E) f, 5p 8. a =, b =, c = 7 sayıları aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak sıralanmıştır? A) a > b > c B) a > c > b C) b > a > c D) b > c > a E) c > b > a 5. x 60 sayısı 4 ile sayıları arasında bir rasyo- 6 5 nel sayı olduğuna göre, x sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) 6 B) 4 C) 0 D) 4 E) a ve b birer tam sayıdır. b a = 0 a olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? A) b 0 B) b a C) a + b 0 D) a b E) b 0 Raunt

11 Matematik - 9 Ünite a =, b =, c =, d = sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir? A) a < b < c < d B) b < a < c < d C) c < d < a < b D) c < d < b < a E) a < b < d < c 4. Altı arkadaş sayı doğrusu üzerinde oyun oynamaktadır. Çınar, sayı doğrusu üzerinde bulunduğu noktayı "en küçük pozitif tam sayıdır." diye belirtmiştir. Buna göre, aşağıda verilen sayılarda bulunan hangi arkadaşı Çınar'a en yakındır? 8 7 A) B) C) D) E) Değeri olan kesrin payına 5 eklenir, paydasından 5 çıkarılırsa, ilk kesrin çarpmaya göre tersi elde ediliyor. Buna göre, ilk kesrin pay ve paydasının toplamı kaçtır? A) 7 B) 9 C) 0 D) 4 E) 5 5. Aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi doğrudur? I.! Q II. e! Q' III.5! Q IV.0,555...! Q V. 0! N A) B) C) D) 4 E) işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) E) 6. Sayı kümelerinin venn şeması ile doğru gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? A) Z Q' Q B) N Q Z. f : p+ f : p işleminin soncu kaçtır? C) E) N Z Q Q D) N Q' Q' Z Q 7 7 A) B) C) D) E) Raunt

12 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler Gerçek Sayılarda Eşitsizlikler ve Özellikleri <,, >, sembolleri ile kurulan açık önermelere eşitsizlik denir. Eşitsizliği sağlayan reel sayıların kümesine eşitsizliğin çözüm kümesi denir. Eşitsizlikler birinci dereceden, ikinci dereceden;...; bir bilinmeyenli, iki bilinmeyenli,... olabilir. Üç Hal Kuralı: a, b R olmak üzere; a = b, a < b, a > b önermelerinden yalnız biri doğrudur. Eşitsizliğin Geçişme Özelliği (x < y ve y < z) x < z Eşitsizlikte Toplamanın Sadeleştirme Özelliği x < y x + z < y + z x > y x + z > y + z Yani, bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenebilir; her iki tarafından aynı sayı çıkarılabilir. Örnek 9 x + < 8 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm 9 x < 7 [, 7) Eşitsizlikte Çarpmanın Sadeleştirme Özelliği a. z > 0 olmak üzere; x < y x.z < y.z x > y x.z > y.z dir. Yani, bir eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir sayı ile çarpılabilir, bölünebilir. Eşitsizlik yönü değişmez, eşitsizlik bozulmaz. b. z < 0 olmak üzere; x < y x.z > y.z x > y x.z < y.z dir. Yani, bir eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpılırsa veya negatif bir sayı ile bölünürse eşitsizlik yön değiştirir. Raunt

13 Matematik - 9 Ünite- Örnek 0 x < x + eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? Çözüm 0 4 < x < x (, ) Örnek 5x x+ $ 4 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? Çözüm 0x + 4x x 6 # x 4 # x >, p 7 7 Eşitsizlikte Üs Alma Özelliği Bir eşitsizliğin her iki tarafının tek dereceden kuvveti alanırsa; eşitsizlik bozulmaz ve yön değiştirmez: x < y x n < y n, n N + x > y x n > y n, n N + Negatif bir eşitsizliğin her iki tarafının çift kuvveti alındığında sıralama değişir: x < y < 0 y n < x n, n N + Örnek x reel sayı; < x olduğuna göre, x ün alabileceği tamsayı değerlerinin kümesi nedir? Çözüm ( ) < x 8 < x 7 { 7, 6,..., 7} Örnek x reel sayı; 4 < x olduğuna göre, x nin alabileceği tamsayı değerlerinin kümesi nedir? Çözüm 0 < x < 6 {0,,,..., 5} Raunt

14 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER a. x.y < 0 ise x ile y ters işaretlidir. b. x.y > 0 ise x ile y aynı işaretlidir. Eşitsizliklerin Taraf Tarafa Toplama Özelliği a < b + c < d a + c < b + d Farklı değişkenlere bağlı aynı yöndeki iki eşitsizlik taraf tarafa toplanabilir. Taraf tarafa çıkarılamaz, çarpılamaz, bölünemez. Örnek 4 x ve y tam sayıdır. 4 x < < y olduğuna göre, a) x + 5y nin en küçük ve en büyük tam sayı değerleri kaçtır? b) x 5y nin en küçük ve en büyük tam sayı değerleri kaçtır? Çözüm 4 x < 6 5 < 5y 5 a) En küçük değeri; 4 = 6 En büyük değeri; = 0 b) En küçük değeri; 5 = 7 En büyük değeri; 5 ( 4) = 9 x < y < z x < y ve y < z Z ] ] <, x < 0 < y ise x < y & x y [ >, xy. > 0 ise ] x y \ 0 < x < x > x > x >... Örnek 4 < x < 5 < y < 7 x+ y olduğuna göre, ifadesinin alabileceği tam xy. sayı değerlerinin oluşturduğu küme nedir? Çözüm 4 x+ y x y = + = + xy xy xy y x < 5 x 7 < < + y 5 < + < 5 y 4,,,, 0, 4 Raunt

15 Matematik - 9 Ünite- a < x < b c < y < d olmak üzere, x. y nin alabileceği değer aralığı bulunabilir. Bunun için a.c, a.d, b.c, b.d sayıları hesaplanır. Bu sayıların en küçüğüne m, en büyüğüne n dersek, m < x.y < n olur. Örnek 5 < x < 6 5 < y < olduğuna göre; a) x, y Z olmak üzere, x.y çarpımının alabileceği en büyük ve en küçük tamsayı değerleri kaçtır? Çözüm 5 a) En büyük değer; 5. = 0 En küçük değer; 5.( 4) = b) < x < 6 5 < y < 0 8 b) x, y R olmak üzere, x.y çarpımının alabileceği değerler kümesi nedir? Aralık Kavramı Kapalı Aralık a ve b reel sayı olmak üzere, {x I a x b, x R} kümesine kapalı aralık denir ve [a, b] biçiminde gösterilir. [a, b] aralığı sayı doğrusunda; a şeklinde gösterilir. [a, b] b Örnek 6 Çözüm 6 5 x 7 [5, 7] eşitsizliğini inceleyelim Raunt 5

16 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Yarı Açık Aralık a ve b reel sayı olmak üzere, {x I a x < b, x R} kümesini yarı açık aralık denir ve [a, b) biçiminde gösterilir [a, b) aralığı sayı doğrusunda; a [a, b) b şeklinde gösterilir. Örnek 7 ( 7, 8] aralığındaki tamsayıların toplamı kaçtır? Çözüm 7 6, 5, 4,,., 0,,,, 4, 5, 6, 7, 8 Toplam = 5 Açık Aralık a ve b reel sayı olmak üzere, {x I a < x < b, x R} kümesine açık aralık denir ve (a, b) biçiminde gösterilir. (a, b) aralığı sayı doğrusunda; a şeklinde gösterilir. (a, b) b Örnek 8 Çözüm 8 A = [, ) B = (, 0) olduğuna göre, A B kümesini bulalım A B = [, 0) A = [, ) A = (, 0) 6 Raunt

17 Sınav Kodu: M090 Matematik - 9 Ünite- Konu Testi. 0 x y olduğuna göre, x y ifadesinin en büyük değeri kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 4. Hareket halinde geçen t saat sonunda, bir otobüsün deposunda bulunan y yakıt miktarı litre olarak, y = 05 5t bağıntısıyla belirlidir. Depodaki yakıt miktarı 0 litrenin altına düştüğünde otobüsün yakıt alması gerekmektedir. Sürekli hareket halinde bulunan otobüs bu durumda en erken kaçıncı saat içinde yakıt almak zorundadır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0. 4x 9 < x eşitsizliklerini sağlayan kaç tane tam sayı vardır? A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 0 5. A = {x: x >, x R} B = {x: x < 9, x R} kümeleri veriliyor. A B kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) [, 9) B) (, 9] C) (, 9) D) [, 9] E) (, + ) (, 9) 6. A = (, ) ve B = ( 9, ) aralıkları veriliyor. Buna göre, A' B kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 0 B) C) D) E) 4. a ve b birer tamsayı olmak üzere; 6 < a + b < 8 a+ b = 4 b olduğuna göre, a b farkı en çok kaçtır? 7. A = [, 4], B = [0, 0], C = { 4, ] aralıkları veriliyor. Buna göre, A (B C) kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) C) D) E) 4 A) (, ] B) [, 4] C) [, ] D) [0, ] E) Raunt 7

18 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerin Çözüm Kümeleri Taným: a, b R ve a 0 olmak üzere, ax + b = 0 biçiminde ifade edilen denkleme birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Denklemi sağlayan x reel sayısına denklemin kökü denir. ax + b = 0 denkleminde:. a 0 ve b 0 ise b ax + b = 0 eşitliğinden x = olduğundan çözüm kümesi; a b Ç = * 4 dır. a. a = 0 ve b = 0 ise 0. x + 0 = 0 eşitliği her x reel sayısı için doğru olduğundan çözüm kümesi; Ç = R dir.. a = 0 ve b 0 ise 0. x + b = 0 eşitliğini sağlayan x reel sayısı olmadığından çözüm kümesi, Ç = { } dir. Örnek 9 x 6 = 9 denkleminin çözüm kümesi nedir? Çözüm 9 x = 5 x = 5 ÇK = {5} Örnek 0 (x + ) 4(x 4) = 8 denkleminin çözüm kümesi nedir? Çözüm 0 x + 4x + 6 = 8 x + 9 = 8 x = x = ÇK = {} 8 Raunt

19 Matematik - 9 Ünite- Örnek x x 4 = denklemini sağlayan x kaçtır? Çözüm x x 4 = ( ) ( ) x 9x+ = 6 7x + = 7x = 0 x = 0 Örnek ax + a = x + b + 4 denklemi her x reel sayısı için sağlanıyorsa a. b kaçtır? Çözüm x = 0 için a = b + 4 a b = 7 x = için a + a = + b + 4 a b = 0 a b = 0 a = ise } + a ± b = 7 b = 4 a = a.b =. 4 = Örnek a(x ) + = x a denkleminde hangi a değeri için x bulunamaz? Çözüm ax a + = x a a = olursa x'ler yok olacağından bu değer (a = ) için x bulunamaz. Raunt 9

20 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Mutlak Değer Özellikleri ve Eşitsizlikleri Mutlak Değer Reel sayı doğrusu üzerinde herhangi bir noktanın başlangıç noktasına olan uzaklığına mutlak değer denir. IxI sembolüyle gösterilir ve x in mutlak değeri olarak okunur. x > 0 ise x in başlangıç noktasına uzaklığı x birimdir. x < 0 ise x in başlangıç noktasına uzaklığı x birimdir. x = 0 ise x in başlangıç noktasına uzaklığı 0 birimdir. Bu durumda; Z x, ] x > 0 IxI = [ 0, x = 0 ] x, x < 0 \ x negatif ise x pozitiftir. x in sıfırdan farklı olduğu her durumda IxI her zaman pozitiftir. If(x)I ifadesinin en küçük değeri için If(x)I = 0 ve f(x) = 0 olmalıdır. IxI + IyI + IzI = 0 ise x = 0, y = 0, z = 0 dır. Aşağıdaki eşitliklerden hangileri doğrudur? I. I 7I = ( 7) = 7 II. Örnek = f p= III. I 5I = ( 5) = 5 Çözüm 4 I. Doğrudur. II. Doğrudur. III. Yanlıştır. I 5I = ( 5) = 5 IV. Yanlıştır. ( ) = + V. Yanlıştır. Ip I = p pozitif IV. I I = V. Iπ I = (π ) = π Örnek 5 x < y < z olmak üzere, x z + Ix yi + Iz yi ifadesinin eşiti nedir? Çözüm 5 x z x + y + z y = 0 0 Raunt

21 Sınav Kodu: M090 Matematik - 9 Ünite- Konu Testi. Ix I + ifadesinin en küçük değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) C) D) E) 4 4. a, b, c pozitif reel sayılar, < < a b c olduğuna göre, Ia bi Ic ai + Ib ci ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) a b B) a C) b + c D) b c E) 0. Ix yi + Iy + 5I = 0 olduğuna göre, x + y toplamı aşağıdakilerden hangisidir? A) 5 B) C) 0 D) 8 E) 7 5. a, b, c sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere, IaI a IbI IcI IabcI = A b c abc ise A nın alabileceği farklı değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 4, 0, 4} B) { 4, 0} C) {0, 4} D) {0} E) {, 0, }. x < 0 olmak üzere, I xi + IxI I I + I4xI ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 8x B) 8x + C) 8x D) 8x + E) 8x 6. Ia I + Ib + I + Ic + I = 0 olduğuna göre, a, b ve c gerçel sayılarının çarpımı kaçtır? A) 0 B) C) D) E) 4 Raunt

22 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER 7. f(x) = Ix I + I xi + Ix + 7I olduğuna göre, f( ) in değeri kaçtır? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4 0. x < 0 < y olmak üzere, IxI y + x IyI işleminin eşiti nedir? A) B) C) D) E) 5 8. < x < 4 f(x) = Ix+ I + Ix + 4I olduğuna göre, f(x) in eşiti nedir? A) x B) x + C) x + 4 D) x + 6 E) x + 8. a, b ve c sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere, a IaI b + + IbI c IcI ifadesinin eşiti olabilecek tüm değerlerin çarpımı kaçtır? A) 4 B) 6 C) 8 D) 9 E) 0 9. x. y < 0 ve y > 0 olmak üzere, Iy xi + IxI IyI ifadesinin eşiti nedir? A) B) x C) x D) x + y E) x Raunt

23 Matematik - 9 Ünite- Mutlak Değer Özellikleri Ix.yI = IxI. IyI x IxI =, ( y! 0) y IyI IIxI IyII Ix + yi IxI + IyI Ix n I = IxI n, (n Z + ) Örnek 6 I x. yi I xii. yi Çözüm 6 I x. yi I x. yi xy. = = = I x. yi Ix. yi xy. ifadesinin eşiti kaçtır? Örnek 7 Ix 4I Ix I Çözüm 7 I( x ) I. Ix I = = Ix I Ix I ifadesinin eşiti kaçtır? a, sabit bir gerçel sayı olmak üzere, K = Ix + ai ifadesinin en küçük değeri x + a = 0 sağlayan x = a için bulunur. Yani K nin en küçük değeri sıfırdır. Örnek 8 Ix 8I ifadesinin en küçük değeri kaçtır? Çözüm 8 x 8 = 0 x = 4 Yani K nin en küçük değeri I.4 8I = 0 olur. Raunt

24 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER a ve b birer gerçel sayı olmak üzere, Ix + ai + Iy + bi ifadesinin en küçük değeri x + a = 0 eşitliğini sağlayan x = a ile ya da x + b = 0 eşitliğini sağlayan x = b değeri yerine yazılarak bulunur. Örnek 9 I xi + I5 + xi ifadesinin en küçük değeri kaçtır? Çözüm 9 x = 0 x = 5 + x = 0 x = 5 için = 8 5 için = 8 } Herhangi birini yerine koyduğumuzda sonuç bulunur. a ve b sabit birer gerçek sayı olmak üzere, Ix + ai Ix + bi ifadesinin en büyük değeri x + b = 0 denklemini sağlayan x = b değeri için, en küçük değeri x + a = 0 denklemini sağlayan x = a değeri için bulunur. Örnek 9 Çözüm 9 A = Ix I I5 xi olduğuna göre, A nın alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin çarpımı kaçtır? x = 0 x = A = I I I5 I = } 5 x = 0 x = 5 A = I5 I I5 5I =. = 4 a, b ve c sabit birer gerçel sayı a < b < c olmak üzere, k A = Ix ai + Ix bi + Ix ci ( k > 0) olduğunda, A nın en büyük değeri x = b için bulunur. Örnek 9 6 A = Ix I + Ix 5I + Ix 0I olmak üzere, A nın en büyük değeri kaçtır? Çözüm 9 x 5 = 0 x = 5 (en büyük edğer bu sayıyı verir.) 6 A = I 5 I + I 5 5 I + I 5 0 I 6 6 A = = = Raunt

25 Sınav Kodu: M0904 Matematik - 9 Ünite- Konu Testi 4 ifadesinin eşiti aşağı-. x < 0 < y IIxI yi olduğuna göre, Ix + yi dakilerden hangisidir? 4. A = Ix + 8I + Ix I olduğuna göre, A nın en küçük değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 0 A) x y B) y.x C) x D) 0 E) 8 5. A = Ix + I + Ix 5I + Ix I olduğuna göre, A nın en büyük değeri aşağıdakilerden hangisidir?. x < 0 olduğuna göre, A) B) C) 4 D) 6 E) 7 x IxI I xi x işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) B) 0 C) x D) x E) x 6. x, y birer gerçel sayı olmak üzere, IxI+ Iyl K = + Ix + yi olduğuna göre, K nin alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 0 B) C) D) E) 4. a b olduğuna göre, IaI+. IbI 5 Ib ai ifadesinin en büyük tamsayı değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) C) D) E) 4 7. x R ve x < 0 olmak üzere, 4 4 I xi+ Ix I I x I IxI+ I xi işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 Raunt 5

26 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Mutlak Değerli Denklemler a, b, c R olmak üzere, Iax + bi = c denkleminin çözüm kümesi ax + b = c veya ax + b = c denklemleri çözülerek bulunur. c b c b ÇK = * xix= V x = 4 a a Örnek 0 Ix I = denkleminin çözüm kümesi nedir? Çözüm 0 x = x = x = 6 x = 0 x = 8 x = 5 Ç.K. = { 5, 8} Örnek IIx I I = 4 denkleminin çözüm kümesi nedir? Çözüm Ix I = 4 Ix I = 7 x = 7 x = 9 Ix I = 4 Ix I = x = 7 x = 5 Ç.K. = { 5, 9} Örnek Ix I + I6 xi = 5 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? Çözüm Ix I + I I.Ix I = 5.Ix I = 5 Ix I = 5 x = 5 x = 8 x = 5 x = 8 = 6 Örnek Ix I I4 xi = I xi 8 denkleminin çözüm kümesi nedir? Çözüm I II xi III xi = I xi =.I xi = 4 I xi 8 4.I xi = 4 I xi = 6 x = 6 x = 4 x = 6 x = 8 Ç.K. = { 4, 8} 6 Raunt

27 Sınav Kodu: M0905 Matematik - 9 Ünite- Konu Testi 5. IIx I 7I = denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 8, 4, 6} B) { 4, 6, 0} C) { 8, 6} D) { 8, 0} E) { 8, 4, 6, 0} 5. k R + olmak üzere, Ix 5I = k denkleminin kökler toplamı aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) 8 C) 6 D) 8 E) 0. IIx I 5I = 5 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 9, } B) { 9, } C) {9,, } D) { 9,, } E) { 9,, ] 6. x < olmak üzere, IIx + Ix I I x I ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) x B) + x C) + x D) x E) x. Ix + 4x I Ix I = 0 denkleminin köklerinin toplamı aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) 9 C) 8 D) 6 E) 4 7. < x < 5 olduğuna göre, I xi Ix 5I + 8 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) B) x C) x D) x E) 4x 4. Ix 4I = Ix 6I + denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) (, 6] B) (, 6) C) (6, + ) D) [6, + ) E) [6, 4] 8. a < IaI < b olduğuna göre, Ia bi + IaI IbI I ai ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) a + b B) a b C) a + b D) a b E) a b Raunt 7

28 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER 9. II5 7xI 9 I7x 5II ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 4x B) 4x C) 4 D) 4 E) 9. Ix 4I + x = 4 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) (, 4) B) (, 4] C) (, 4] D) (, 4) E) [ 4, 4] 4. Ix I + Iy + I = 0 denklemini sağlayan x ve y reel sayılarının toplamı kaçtır? 0. Ix 9I + I7 yi toplamı en küçük değerini aldığında x + y toplamı kaçtır? 5 A) B) C) D) E) 6 6 A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 5. Ix 5I + Ix 4I IxI Ix + 4I + Ix + 5I = c denkleminin tek çözümü olduğuna göre, c kaçtır? A) 0 B) 0 C) 0 D) 0 E) Ix I+ Ix+ 4I ifadesinin en büyük değeri kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0 6. Ix I + I6 xi = y ifadesini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? A) 5 B) 4 C) D) E). Ix I + Ix 4I + I6 xi = 4 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 7. Ix I + I xi = denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 8 Raunt

29 Matematik - 9 Ünite- Mutlak Değerli Eşitsizlikler a R + olmak üzere, IxI < a ise a < x < a IxI a ise a x a IxI > a ise x > a veya x < a IxI a ise x a veya x a a R olmak üzere, IxI < a ise ÇK = IxI > a ise ÇK = R a, b R + olmak üzere, a < IxI < b ise a < x < b veya a < x < b a IxI b ise a x b veya a x b Örnek 4 x Z Ix I < 5 olduğuna göre, x ifadesinin en büyük değeri kaçtır? Çözüm 4 5 < x < 5 4 < x < 6 < x < > x > 4 > x > 9,, 0 Örnek 5 IxI Ix I 4 eşitsizlik sistemini sağlayan x tamsayıları kaç tanedir? Çözüm 5 x x 4 x + 4 x x 6 x 6 x Örnek 6 Ix I > eşitsizliğini sağlayan en küçük pozitif tam sayı ile en büyük negatif tam sayısının toplamı kaçtır? Çözüm 6 x > x + > x > 4 > x x > > x = Raunt 9

30 Sınav Kodu: M0906 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Konu Testi 6. x bir tam sayı olmak üzere, Ix + I < 7 olduğuna göre, 8 x ifadesinin en büyük değeri kaçtır? A) B) C) D) 4 E) x # 0 Ix 4I 5 eşitsizliğini sağlayan, kaç tam sayı değeri vardır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9. IxI 4 Ix 4I 6 eşitsizlik sistemini sağlayan kaç tam sayı değeri vardır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0 6. I5x 0I = Iy I olduğuna göre,. Ix + I > 9 eşitsizliğini sağlayan en küçük pozitif tam sayı ile en büyük negatif tam sayının toplamı kaçtır? I xi I yi Ix + yi ifadesinin değeri kaçtır? A) B) C) 0 D) 5 E) 5 A) B) 0 C) D) E) 4. 6 > Ix I eşitsizliğini sağlayan, kaç tane tam sayı değeri vardır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 7. I xi < 4 < Ix + I koşulunu sağlayan x tamsayılarının toplamı kaçtır? A) 0 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 0 Raunt

31 Matematik - 9 Ünite- 8. a, b, c R ve a < b < 0 < c olmak üzere, IaI+ IcI Ia bi + Ic bi işleminin sonucu kaçtır? A) B) 0 C) D) E). Ia bi + Ia ci toplamının en küçük değeri için, a + b c = olduğuna göre, a kaçtır? A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 9. Ix 8I = x + 8 I x + 4I = x 4 eşitsizliklerini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?. Ix + 4I = 0! denklemini sağlayan x değerleri toplamı kaçtır? A) 0 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 0. x ve y reel sayılar Ix y 6I + I x + y + 4I = 0 olduğuna göre, x. y kaçtır? 4. < Ix 4I 6 eşitsizliğini sağlayan x tamsayılarının toplamı kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 A) B) 0 C) D) E). I ai + I 4aI Ia 9I = 4 olduğuna göre, a nın alabileceği farklı değerlerin çarpımı kaçtır? A) 40 B) 0 C) 0 D) 0 E) Ix 6I < 9 y = x olduğuna göre, y nin en büyük tamsayı değeri kaçtır? A) B) C) 0 D) E) Raunt

32 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER 6. < Ix I < 4 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının aritmetik ortası kaçtır? 9. x Ix I < eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) 4 E) 5 A) (, ) B) (, ] C) (, ) D) (, ] E) (, + ) 7. < Ix I eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 0. Ix I > x + eşitsizliğini sağlayan en küçük x tam sayısı kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) x # 0 Ix 7I eşitsizliğini gerçekleyen kaç tane x tam sayısı vardır? A) B) 4 C) 6 D) 7 E) 8 Raunt

33 Sınav Kodu: M0907 Matematik - 9 Ünite- Konu Testi 7. I I+ I5 I I I 5. x + = 6 işleminin sonucu kaçtır? 5 5 A) B) C) D) E) denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 6, 6} B) { 6, 0} C) { 6, 0} D) { 0, 6} E) { 8, 8}. II ( )I I6 ( )II işleminin sonucu kaçtır? A) 0 B) C) D) E) 4 6. I4x + IxI 5I = 0 eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 7 E) 8. a = olduğuna göre, I6 ai Ia 4I + I I ifadesinin değeri kaçtır? A) B) C) 6 D) 7 E) 9 7. IxI = 4 IyI = 6 olduğuna göre, x.y nin alabileceği değerlerin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) ( 4, 4) B) [ 4, 4] C) { 4, 4} D) { 4, 0} E) {0, 4} 4. IxI = olduğuna göre, x in alabileceği değerler çarpımı kaçtır? A) 0 B) 6 C) 9 D) 4 E) 8. Ix + 4I = x + 4 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? 8 A) {0, 4} B) {, 0} C) *, D) * 0, 4 E) *, 44 Raunt

34 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER 9. 5 Ix I+ Ix+ I ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır? 5 5 A) B) C) D) E) 5. Ix I > eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) R B) (, ) C) (, ) (, + ) D) (, + ) E) (, ) 0. Ix I + Ix + 4I + Ix I ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır? A) B) 6 C) 7 D) 9 E) 4. 6 < Ix 7I < eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tamsayısı vardır? A) B) C) D) 6 E) 7. x + 4 < eşitsizliğini sağlayan x tam sayı değerleri toplamı kaçtır? A) B) C) 0 D) E) 5. Ix I > 0 eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) B) (, ) C ) ( 0, ) D) R {} E) R. Ix ai < b eşitsizliğinin çözüm aralığı < x < olduğuna göre, ab çarpımı kaçtır? A) 5 B) C) D) E) 6. a < b < 0 Ia bi IaI Ia + bi ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) b B) b + a C) b + a D) a E) a + b 4 Raunt

35 Sınav Kodu: M0908 Matematik - 9 Ünite- Konu Testi. I 7 I = x I 5 I = y I 5 I = z olduğuna göre, x + y + z toplamı kaçtır? A)0 B)4 7 C) 5 D) 7 + E) 7 5. Ia + bi = 6 Ia + I = denklem sistemini sağlayan b reel sayıların toplamı kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 8. x 0 y z Şekilde verilen sayı doğrusuna göre, Ix yi + Iz yi I xi ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) x + z B) z y C) z D) x E) y 6. Ix + y 9I + Ix y + I = 0 denklemini sağlayan (x, y) sıralı ikilisi için x+y kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7. < x < x 6x+ 9 + x + 4x+ 4 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) x 5 B) x + C) x + 5 D) 5 E) 7..Ix 7I + 9 = denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {} B) {5} C) {, 5} D) E) IR 4. x Z olmak üzere, 0 Ix + I+ Ix I+ Ix 5I ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır? A) 0 B) C) 5 D) 8 E) 0 8. Ix 8I = (4 x) ifadesinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) (, 4) B) (, 4] C) {4} D) (4, ) E) [4, ) Raunt 5

36 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER 9. Ix + 4I Ix I = 7 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?. < Ix 4I 5 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tam sayısı vardır? A) (, 4] B) (, ] C) {, 4} D) [4, ) E) [, ) A) 8 B) 9 C) 0 D) E) 0. IaI IbI olmak üzere, Ia + bi 4 + IaI+ IbI ifadesinin en geniş değer kümesi aşağıdakilerden hangisidir? 4. I6 4xI + Ix I eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır? A) 5 B) 6 C) 0 D) E) 5 A) [4, ) B) (, 4] C) [4, 5] D) (4, 5] E) (5, ) 5. 5 Ix I > 0 x + 4. IxI < x y + = 0 olduğuna göre, kaç farklı y tam sayısı vardır? A) B) C) D) 4 E) 5 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır? A) 6 B) 9 C) D) 5 E) 8. Ix I 5 ifadesinin sözel anlatımı aşağıdaki seçeneklerden hangisinde doğru olarak verilmiştir? A) x sayısının ye olan uzaklığı, 5 birimden büyütür. B) x sayısının ye olan uzaklığı, 5 birimdir. C) x sayısının ye olan uzaklığı, 5 birimden küçüktür. D) x sayısının ye olan uzaklığı, 5 birimden küçük değildir. E) x sayısının ye olan uzaklığı, 5 birimden büyük değildir. 6. Tuba'nın bir cetveli ve bir de pergeli vardır. Tuba önce bir kağıda cetveli ile bir sayı doğrusu çizip üzerine tamsayıları yerleştiriyor. Daha sonra pergelini 5 cm açarak sayı doğrusunun + noktası merkez olacak şekilde bir çember çiziyor. Buna göre, çemberin iç bölgesinde kalan sayı doğrusunu parçasının ifadesi aşağıdakilerden hangisidir? A) Ix + I < 5 B) Ix I 5 C) Ix I < 5 D) Ix 5I < E) Ix 5I 6 Raunt

37 Matematik - 9 Ünite- Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Sistemleri Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemi Taným: İki veya daha çok sayıda birinci dereceden iki bilinmeyenli denkleme, birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir. Denklem sisteminin çözüm kümesi için, sistemi oluşturan denklemlerin belirttiği doğruların birbirine göre durumları incelenir. ax + by + c = 0 dx + ey + f = 0 denklem sisteminde;... a b! ise sistem kesişen iki doğru belirtir. Sistemin çözüm kümesi bir noktadan oluşur. İki d e denklem ortak çözülerek bu nokta bulunur. a d b c = = ise sistem çakışık iki doğru belirtir. Sistemin çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır. e f Denklemlerden herhangi birinin grafiği çizilerek çözüm bulunur. a d b c =! ise sistem paralel iki doğru belirtir. Sistemin çözüm kümesi boş kümedir. e f HATIRLATMA ax + by + c = 0 dx + ey + f = 0 denklem sisteminin çözüm kümesi bir tek nokta ise bu nokta bu sistemin ortak çözümü ile bulunur. Sistemin ortak çözümünü bulmak için yok etme metodu, yerine koyma metodu, çözüm kümesini karşılaştırma metodu gibi metodlar kullanılır. Örnek 7 x 4y = x + y = 8 sisteminin çözüm kümesi nedir? (Yok etme metodu kullanılarak) Örnek 8 x 4y = 5 x + y = 7 denklem sisteminin çözüm kümesi nedir? (Yerine koyma metodu kullanılarak) Çözüm 7 x 4y = x 4y = / x + y = 8 x + 9y = 4 y = 6 y = y = ise x 4.( ) = x + 8 = x = 6 x = Ç.K. = {, } Çözüm 8 x + y = 7 x = 7 y.( 7 y) 4y = 5 y = 6 y = x +.( ) = 7 x 6 = 7 x = Ç.K. = {, } Raunt 7

38 Sınav Kodu: M0909 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Konu Testi. x y = 4 x + y = denklem sisteminin çözüm kümesi nedir? A) {(0, )} B) {(, )} C) {(, )} D) {(, )} E) {(, )} 5. (a )x + y = x + (b )y = denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz elemanlı ise a b kaçtır? A) B) C) 0 D) E) 9. x + y = 4 x y = 6 denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? 6. x 4y = 5 ax + y = denklem sisteminin çözüm kümesi a nın hangi değeri için boş kümedir? A) B) C) 0 D) E) A) {(5, )} B) {( 5, )} C) {( 5, )} D) {(5, )} E) {(4, )} 7. + = a b = 4 a b. x + y = 4 x + y = denklem sisteminin çözüm kümesi nedir? denklem sisteminde a kaçtır? A) B) C) 0 D) E) A) R B) C) {(, } D) {(, )] E) N 4. x y = x y = 6 denklem sisteminin çözüm kümesi nedir? 8. x y = 5 x + (a )y = x + y = denklem sisteminin çözüm kümesi bir elemanlı ise, a kaçtır? A) R B) C) {(4, )} D) {(, 0)} E) {(5, )} A) 4 9 B) 5 C) 4 D) E) 4 8 Raunt

39 Sınav Kodu: M0900 Matematik - 9 Ünite- Konu Testi 0. 4 f p: 5 : f : p işleminin sonucu kaçtır? 5 A) B) C) D) E) 4 5. a bir rakam olmak üzere, aa, a+ a, aa aa, işleminin sonucu kaçtır? A), B), C), D), E),. x ve y sıfırdan farklı rakamlar olmak üzere, 0,xy sayısı x kesrinin iki katına eşit olduğuna göre, y kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) x = denklemini sağlayan x değeri kaçtır? A) B) 0 C) D) E) 4. x kesrinin payına paydası, paydasına ise payı y ekleniyor. Buna göre, oluşan yeni kesir, ilk kesrin kaç katıdır? x y Ay ) B) C) D) Ex ) y x 7. Bir sayıyı 0,5 ile çarpmak, aynı sayıyı hangi sayı ile bölmektir? A) 6 B) C) 4 D) 8 E) 4. a b = ab 5 ab 5 = a+ b olduğuna göre, b a oranı kaçtır? 5 6 A) B) C) D) E) x 8. x 5 x + + = x + denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { } B) R C) {} D) { } E) Raunt 9

40 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER terim işleminin sonucu kaçtır? 5 A) B) C) D) E)4. x =,... y = 0, olduğuna göre, 0x y ifadesinin eşiti kaçtır? 7 A) B) C) D) E) 7 0. ax + by = 4 ax by = 6 denklem sisteminin çözüm kümesi {(, )} olduğuna göre, a b ifadesinin eşiti kaçtır? 4. a ve b tamsayılar olmak üzere, + = a b+ a+ b olduğuna göre, a.b çarpımı kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 6 A) 0 B) 4 C) 0 D) 8 E) 4 a +. kesri tanımsız ve b + a + b a.b + 4 = 0 olduğuna göre, a kaçtır? A) B) C) D) E) 6 5. a = + 4 b = c = olduğuna göre, a, b, c nin sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir? A) a > b > c B) a > c > b C) b > a > c D) c > b > a E) c > a > b. + = 4 olduğuna göre, x y x+ y ifadesinin değeri kaçtır? xy A) 5 B) 4 C) D) E) 6. a + b = c b + c = d a + d = b olduğuna göre, b + c + d toplamının a türünden değeri nedir? A) a B) 4a C) 6a D) 6a E) 4a 40 Raunt

41 Sınav Kodu: M090 Matematik - 9 Ünite- Konu Testi , 00, x = 7 0, 005 olduğuna göre, x kaçtır? 5 7 A) B) C) D)4 E) 4 5. ax b x = 7x + ax + b + 7 denkleminin çözüm kümesi sonsuz elemanlı olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 5 B) 7 C) 9 D) 0 E). x = n + y = n + x = y olduğuna göre, n kaçtır? 6. x negatif tamsayı, a =, b =, c = 0x 00x 000x olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) a < b < c B) b < c < a C) c < a < b D) b < a < c E) c < b < a A) 8 B) 9 C) 0 D) E). a, b, c Z 7 = a + 5 b + c olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? 7. 4x 8 x kesrini pozitif tamsayı yapan kaç tane x tamsayısı vardır? A) 6 B) 8 C) 9 D) 0 E) A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) , ,. + 0 işleminin sonucu kaçtır? 8. a+ a a a+ + = 4 4 olduğuna göre, a kaçtır? A) 50 B) 00 C) 60 D) 400 E) A) B) C) D) E) 5 Raunt 4

42 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER 9. f + p. f + p. f + p... f + p= 7 a a+ a+ 4 a+ 40 olduğuna göre, a kaçtır? A) 4 B) 6 C) 7 D) 9 E). f... p f p f p f p 4 5 işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) E) işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) E) 4. x kesrini tanımsız yapan x sayılarının çarpımı kaçtır? A) B) 0 C) D) E) 6. x y = 6 x y = olduğuna göre, x y oranı kaçtır? A) B) C) D) E) 5. 8, 007, x = + olduğuna göre,, 707, 04, 74, ifadesinin x türünden eşiti aşağı-, 707, dakilerden hangisidir? A) x B) x C) + x D) x E) + x. kx + 4y 4 = 0 4x + ky + 4 = 0 denklem sisteminin çözüm kümesi boş küme ise k kaçtır? A) 4 B) C) D) 4 E) 6 6. x + x + 8 ifadesini basit kesir yapan x doğal sayılarının toplamı kaçtır? A) B) 5 C) D) 8 E) 6 4 Raunt

43 Matematik - 9 Ünite- Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemi Bir doğru, içinde bulunduğu düzlemi iki yarı düzleme ayırır. Analitik düzlemde; ax + by + c = 0 denklemi bir doğruyu, ax + by + c < 0 ve ax + by + c > 0 eşitsizlikleri de bu doğrunun düzlemden ayırdığı yarı düzlemleri gösterir. Eşitsizliklerin çözüm kümesini analitik düzlemde göstermek için, ax + by + c = 0 doğrusunun grafiği çizilir. Yarı düzlemlerin biri üzerinde alınan P(x, y ) noktası; verilen eşitsizliği sağlıyor ise bu yarı düzlem, sağlamıyor ise diğer yarı düzlem çözüm kümesi olarak alınır. Örnek 9 B = {(x, y) I 5x y (x, y) R } kümesini analitik düzlemde gösteriniz. Çözüm 9 5x y + 0 = 0 x = 0 dersek y = 0 y = 0 dersek x = 0 O Örnek 40 x y + 6 < 0 eşitsizliğini sağlayan P(x, y) noktalar kümesini analitik düzlemde gösteriniz. Çözüm 40 x = 0 için b < y < y y = 0 için x < 6 x < O Raunt 4

44 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Örnek 4 x > y } x y + 0 eşitsizlik sistemini sağlayan P(x, y) noktalar kümesini analitik düzlemde gösteriniz. Çözüm 4 x > y x = 0 için 0 > y y = 0 için x > 0 x y + 0 x = 0 için y y = 0 için x O Örnek 4 Çözüm 4 Aşağıdaki ifadelerden daima doğru olanların karşısına D; daima doğru olmayanların karşısına Y yazınız. a. a < b ise a + c < b + c dir. b. a < b ve c < d ise a + c < b + d dir. c. a < b ve c < d ise a.c < b.d dir. a. D b. D c. Y d. D e. Y f. D g. D h. D ı. D j. Y d. a.b > 0 ve a < b ise > dir. a b e. a.b < 0 ve a < b ise > dir. a b f. a, b, c, d R + ve a < b; c < d iken d a b < dir. c g. a < b ve c < d iken a d < b c dir. h. n N + ve a > b > 0 iken a n > b n dir. ı. n N + ve a < b < 0 iken a n > b n dir. j. a b = ise b = 0 dır. 44 Raunt

45 Sınav Kodu: M090 Matematik - 9 Ünite- Konu Testi. (, ] (, 5] işleminin belirttiği aralık aşağıdakilerden hangisidir? A) (, 5] B) [, 5] C) [, 5) D) (, 5) E) (, 5] 5. x 004, x 5 < < = y 6 5 Yukarıdaki verilere göre, y nin bulunduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?. x 7 x + 4 < x + eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) ( 5, 0) B) ( 5, 0) C) (5, 0) D) (5, 0] E) (6, 0) A) (, ) B) (, ] C) [, ) D) [, ] E) (, ]. 0 < a < b < c, x = a+ b b y = b+ c c c+ a z = a olduğuna göre, x, y, z nin sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir? A) x < z < y B) y < x < z C) y < x < z D) x < y < z E) z < y < x 6. < a < 5 < b < 4 Buna göre, ab + 6a ifadesi hangi aralıktadır? A) ( 4, 6] B) [ 4, 6] C) [ 4, 6) D) (4, 6) E) ( 4, 6) 7. (0,007) 6x < (0,007) x+8 eşitsizliğini sağlayan x in en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 0 B) C) D) E) 4 4. < a < < b # 5 Buna göre, a+ b ab. ifadesi hangi aralıktadır? A) ( 6, ) B) (, ] C) [ 6, ) D) [ 6, ) E) ( 6, ] 8. a a b # c olduğuna göre, a + b = c koşulunu sağlayan kaç tane c tam sayısı vardır? A) B) C) D) 4 E) 5 Raunt 45

46 Sınav Kodu: M090 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Konu Testi. < y < x + y = 0 verilenlere göre, x in en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir? A) (, ] B) (0, ] C) [ 5, ) D) (, 5) E) [, ) 6. a < b a 4.c > a 4.b olduğuna göre; a, b, c sayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisi olabilir? A), +, B) +,, + C), +, + D) +, +, E) +,,. a b > 0 a + b < 0 ise, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? A) b < a < 0 B) a.b > 0 C) a. b < 0 D) b. a 0 E) a.b < a. a < 0 < b < c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi pozitif değildir? ab. ac. abc.. A) B) C) a b b c a c bc. b+ c D) E) a b c b 7. x.y > x x + y < y olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? A) x < 0, y > 0 B) x < 0, y < C) x < 0 < y < D) x < y < E) y < x < 0 8. a < b < 0 < c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? 4. x < y < 0 < z olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima negatiftir? A) x + y + z B) x y + z C) y + z x D) x y z E) x + z a b b b c A) < B) < C) > c c a + c b Dac ). > a. b E) a < b < c c a 5. 0 < a < b < c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) a + c < b + c B) a < b + c C) b + a < b D) c a c a E) < c b b < c 9. x. y 5 > 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima pozitiftir? A) 4x y B) x.y C) x 5y D) x + y E) y 6x 46 Raunt

47 Matematik - 9 Ünite- 0. x + y < y x. y < x olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle yanlıştır? A) y + x = 0 B) y x > 0 C) y > D) yx < E) y.x > 0 4. a ve b sıfırdan farklı reel sayılar ve a < b olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? A) a < a.b B) < b a a D) a b < b a E) a < b C) a.b < b. a. b < 0 b. c > 0 a 5. b. c < 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? A) a + b = c B) a + b + c < 0 C) a + b + c = 0 D) a > b = c E) a < b < c < 0 5. a 4. b < 0 a. b. c > 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? A) c a < 0 B) b. c > 0 C) 0 < c < D) b < c < 0 E) 0 < c < b x. < 0 y x y < 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? A) x + y < B) x + y > 0 C) x. y > 0 D) x < 0 < y E) x < y < 0 6. x + y x y > eşitsizlik siteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?. a < b < 0 a. c > b. c olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi daima doğrudur? A) a.c + b.c > 0 B) a+ b < 0 c c b C) (a b).c < 0 D) > 0 a b E) a b < c A) y B) y C) y x x O O O D) y E) y x O O x x Raunt 47

48 Sınav Kodu: M0904 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Konu Testi d d 5. a.b < 0 > 0 a b a sayısı d doğrusunda gösterilen aralıkta, b + sayısı d doğrusunda gösterilen aralıktadır. Buna göre, a.b sayısı aşağıdaki aralıkların hangisindedir? A) (0, 8] B) [0, 8) C) ( 4, 8) D) ( 4, 0) E) ( 4, 8]. a negatif bir tam sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden kaç tanesi pozitiftir? I. a 4 II. a 6 III. ( a) IV. a V. ( a) A) B) C) D) 4 E) 5. < a 5 a b = olduğuna göre, b için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) 5 < b 8 B) 5 < b 7 C) 8 < b 5 D) 7 < b 5 E) 5 < b 7 4. x y = 5 4 4x + y < 7 olduğuna göre, y nin alabileceği tam sayı değerleri kaç tanedir? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? A) a < 0 < b B) b < 0 < a C) a < b a D) b < a < 0 E) < b 6. a < a a.c < 0 a.b a.c < 0 olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) a < 0 < b < c B) b < c < 0 < a C) a < 0 < c < b D) b < a < 0 < c E) c < b < 0 < a 7. x < y < 0 x y olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? A) 0 < x < y B) x < 0 < y C) x < y < 0 D) xy 0 E) xy > 0 8. z < 0 ( x y). z < 0 x olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? A) x < y B) x + y > z C) y < x < z y x D) < E) < x y 48 Raunt

49 Matematik - 9 Ünite- 9. Aşağıdaki (a, b) ikililerinden hangisi < a < b < 8 eşitsizliğini sağlayamaz? A) ( 4, 5) B) ( 5, 6) C) f, 4 p D)( 8, 65) E)(, 5) 4. 4 < m n olduğuna göre, m n ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 5 B) 4 C) D) E) 0. a tamsayıdır. 9 < a 6 4 b < 5 olduğuna göre, a + b nin en büyük tam sayı değeri kaçtır? A) 7 B) 77 C) 88 D) 9 E) < x < 6 y = x ifadelerini sağlayan en büyük y tam sayısı kaçtır? A) 6 B) 5 C) D) E) 0. a, b tam sayılardır. < a < 7 b < 5 olduğuna göre, a b nin alabileceği en büyük değer kaçtır? 6. y 4 A) 5 B) 6 C) 40 D) 46 E) 47 4 x. x 6 y 8 olduğuna göre, x y nin en büyük değeri kaçtır? A) 0 B) 09 C) 08 D) 05 E) 0. 5 < x < y < 6 olduğuna göre, x y nin alabileceği en küçük tam sayı değeri ile en büyük tam sayı değerinin toplamı kaçtır? A) 7 B) 5 C) 7 D) 6 E) 5 Şekildeki taralı bölge, aşağıdaki eşitsizlik sistemlerinin hangisinin çözüm kümesidir? A) x + y < 4 B) x + y < 4 y x y x x 0, y > 0 x 0, y 0 C) x + y > 4 D) x + y 4 y x y x x 0, y 0 x 0, y 0 E) x + y > 4 y x x 0, y 0 Raunt 49

50 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Üstlü İfade ve Denklemler Üstlü İfadeler Tanım: a bir reel (gerçek) sayı ve n bir pozsitif tam sayı olsun. n aaa..... a= a 4444 n tane olacak biçimde, n tane a nın çarpımı olan a n ye üslü sayı denir. a n ifadesinde a ya taban, n ye üs denir. Örnek 4 a. =... Çözüm 4 a. = 9 b. f p... = b. f = p 8 c. ( ) =... d. ( 5) =... c. ( ) = 9 d. ( 5) = 5 Üstlü İfadelerin Özellikleri. a sıfırdan farklı bir reel sayı olmak üzere; a 0 =. 0 0 ifadesi belirsizdir.. a bir reel sayı olmak üzere; a = a dır. 4. n = dir. Örnek 44 a. 5 0 =... Çözüm 44 a. 5 0 = b. 0 f p... 5 = b. f 5 0 p = c. ( ) 0 =... d. 7 0 =... e. 4 =... c. ( ) 0 = d. 7 0 = e. 4 = 4 50 Raunt

51 Matematik - 9 Ünite- 5. a ve b sıfırdan farklı bir reel sayı olmak üzere; n a = n a n a b f p = f p b a n Örnek 45 a. =... b. 5 = c. f p =... d. f p =... Çözüm 45 a. = c. f p = 8 d. b. 5 = 5 f 4 4 = p a sıfırdan farklı bir reel sayı olsun, n Z olmak üzere; ( a) n = a n ( a) n = a n Örnek 46 a. ( ) 4 =... b. ( ) =... Çözüm 46 a. ( ) 4 = 6 b. ( ) = 8 7. m, n birer pozitif sayı olmak üzere; (a m ) n = (a n ) m = a m.n Örnek 47 a. ( 4 ) =... b. ( 4 ) =... c. ( ) =... Çözüm 47 a. ( 4 ) = b. ( 4 ) = 8 c. ( ) = 6 Raunt 5

52 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Örnek 48 a. ff p p =... b. e a k o =... a. Çözüm 48 ff 4 p p = f p = 9 b. ea k o = ( 9) = c. (( )) =... d. ff p p =... c. (( )) = ( 8) = 64 d. ff p p = f p = 64 8 Üstlü İfadelerde Dört İşlem Toplama İşlemi Tabanları ve üstleri aynı olan sayılar toplanırken katsayılar toplanır. Bulunan sonuç üslü kısmın önüne katsayı olarak yazılır. a. x n + b. x n = (a + b)x n Örnek 49 a =... b =... c =... Çözüm 49 a = 0 (7 + 4) = 0. b = 9 (6 + ) = 9. 8 c = 7 6 ( + + 6) = Çıkarma İşlemi Tabanları ve üstleri aynı olan ifadeler çıkarılırken; katsayılar çıkarılır. Bulunan sonuç üstlü kısmın önüne kat sayı olarak yazılır. a. x n b. x n = (a b)x n Örnek 50 a =... b =... Çözüm 50 a = 5 (7 ) = 5. 5 b = 0 (4 ) =. 0 5 Raunt

53 Matematik - 9 Ünite- Çarpma İşlemi a. Tabanları eşit olan üstlü sayılar çarpılırken, üstleri toplanır, ortak tabanın üssü olarak yazılır. x n. x m = x n+m b. Üstleri eşit olan üstlü sayılar çarpılırken, tabanlar çarpılır, ortak üst çarpıma üst olarak yazılır. x n. y n = (x. y) n Örnek 5 a =... b =... c. ( 4). f p. ( ) =... d =... Çözüm 5 a = (7+5 0) = = 4 b =.( ) 0.( ) 6 = 0. 8 = 0.8 = c. ( 4). f p. ( ) = =. 6. = 8 d = 5 4 Bölme İşlemi a. Tabanları eşit olan üstlü sayılar bölünürken, üstler çıkarılır, ortak taban aynen yazılır. n x n m = x m x b. Üstleri eşit olan üstlü sayılar bölünürken, tabanlar bölünür, ortak üst aynen yazılır. n n x x = f p n y y Örnek a. = b. = c. =... 5 ( 0) d. =... ( 0) Çözüm a. = 7 = ( ) 60 8 b. = = = ( ) c. = = = = = ( 0. ) ( 0). d. = = 7 ( 0) ( 0) Raunt 5

54 Sınav Kodu: M0905 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Konu Testi 5. a = x, b = x olduğuna göre; (4) x+ ifadesinin a ve b cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? b 4b 6b A) B) C) a a a 4 4 8b 9b D) E) a a 4. x pozitif bir sayı olduğuna göre; aşağıdakilerden kaç tanesi negatiftir? a. x b. x c. ( x) d. x e. (x x + ) 0 A) B) C) D) 4 E) 5 5. f p + f p işleminin sonucu kaçtır?. x = a, 5 x = b olduğuna göre, 5 x ifadesinin a ve b cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? 5b 75b 50b A) B) C) a a a 75b 45b D) E) a a 6. A) B) C) 5 D) 7 E) 9 m + = x y y x a + a + ise m kaçtır? A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 0. 5 a = 5 b = 4 olduğuna göre; (5 a ) b ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 B) 8 C) 6 D) E) x = a, 4 x = b, 5 x = c olduğuna göre, 40 x ifadesinin a, b ve c türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) a.b.c B) a.b.c C) a.b.c D) a.b.c E) a.b.c 54 Raunt

55 Matematik - 9 Ünite- 8. x+ x x x+ + x x.. işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) 8 D) 9 E) 5. 9 x + x. x ifadesinin eşiti nedir? A).9 x B).9 x C) 9 x D) 9 x E) 4 9 x. x = m ve x = n olduğuna göre, 7 x in m ve n türünden değeri nedir? ( ) 5 f p 6 A) m.n B) m.n C) m.n D) m.n E) m.n işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? 7 9 A) B)4 C) D)5 E) sayısının çeyreği kaçtır? A) 59 B) 4 49 C) 4 59 D) 4 69 E) x, y sıfırdan farklı reel sayılar ve x = y ise y x 7 x + 4 y toplamı kaçtır? A) B) 5 C) 7 D) 9 E) 5. x bir pozitif reel sayı olmak üzere, m n m n m n x = vex = 4 olduğuna göre, x kaçtır? A) B) C) D) E) x y y x ifadesinin eşiti nedir? A) B) C) D) 4 E) 5 Raunt 55

56 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Tabanları Eşit Olan Denklemler Tabanları eşit olan üstlü ifadeli denklemlerin üstleri de eşittir. Buna göre; a 0, a, a olmak üzere, a x = a y ise x = y dir. Örnek 5 x = 4 ise x kaçtır? Çözüm 5 x = 5 x = 5 Örnek 54 (6) x = 8 5 ise x kaçtır? Çözüm 54 ( 4 ) x = ( ) 5 x = 5 x = 5 5 x = 5 x = 4 Örnek 55 (0,) x = 5 x+ olduğuna göre, x kaçtır? f f Çözüm x x + p. f p = (5) 0 p. f 5 x x + p = x = 5 x+ 5 x = 5 x+ x = x + 5 = x 56 Raunt

57 Matematik - 9 Ünite- Üstleri Eşit Olan Denklemler Üstleri eşit olan denklemlerde üst tek sayı ise tabanları eşit, üst çift sayı ise tabanlar eşit ya da tabanların biri diğerinin ters işaretlisine eşittir. a. n tek sayı ve a n = b n ise a = b dir. b. n çift sayı ve a n = b n ise a = b veya a = b dir. Örnek 56 a. x 7 = 9 7 ise x =... b. 5 = x ise x =... c. x = 6 ise x =... Çözüm 56 a. x 7 = 9 7 x = 9 b. 5 = x x = 5 c. x = 6 x ± 6 x n = Biçimindeki Denklemler x n = denkleminin çözümünde üç durum vardır. i) x = dir. ii) n = 0 ve x 0 dır. iii) x = ve n çift sayıdır. Örnek 57 Çözüm 57 (x + ) x + 4 = eşitliğini sağlayan kaç farklı x sayısı vardır? x + 4 = 0 x = 4x x = } x + = x = (, ) tane Raunt 57

58 Sınav Kodu: M0906 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Konu Testi 6. x. 7 y = 56 7 x. y = 49 ise x + y kaçtır? A) B) C) 0 D) E) 6. (x + 5) 0 = (x + 9) 0 ise x in alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) B) C) 8 D) 5 E) 6. (x ) (x x 6) = ise x yerine yazılabilecek tam sayıların toplamı kaçtır? A) 5 B) 4 C) D) E) 7. n bir doğal sayı olmak üzere; x n+8 = 9 n+4 ise x in alabileceği değerler çarpımı kaçtır? A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5. x, y, z R için, x = y = 4 4 z = 8 ise x.y.z çarpımı kaçtır? 8. x ve y birer tamsayı olmak üzere; x+y+5 7 y+ = 0 olduğuna göre, x kaçtır? A) 5 B) 4 C) D) E) A) B) C) D) 4 E) 6 9. (x 4) (x 6) = 4. x x + x+ = 9 eşitliğini sağlayan kaç farklı x sayısı vardır? ise x kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 A) 0 B) C) D) E) 4 0. x f p = x 5. (x ) = (x + ) ise x kaçtır? A) 5 B) 4 C) D) E) eşitliğini sağlayan x reel sayılarının toplamı kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 58 Raunt

59 Sınav Kodu: M0907 Matematik - 9 Ünite- Konu Testi. x, y ve z birer pozitif tam sayıdır. x. y. 5 z = 800 olduğuna göre, x + y + z toplamı kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) n bir doğal sayıdır. a x = n a 4x = b olduğuna göre, a.b aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 64 B) C) 4 D) E) 6. A = xxx.... x x tane B = x+ x x x tane olduğuna göre, B A ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) x B) x x+ C) x x D) x x+ E) x x 6. m 5 olmak üzere, m 5 5 m 5 5 ifadesinin değeri kaçtır? A) B) 5 C) 5 D) 5 E) 45. A = x + x B = x x olduğuna göre, A nin B cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? 7. n n n = 84 n n n n olduğuna göre, n kaçtır? A) B B) B + C) B + 4 D) B + 4 E) B 4 A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) x + 5 x x = 40 x 4 denkleminde x = tür. Buna göre, verilen denklemde kaç tane 5 x toplanmıştır? A) 6 B) 8 C) D) 4 E) 6 8. (x ) 8 = (x + ) 8 eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? 7 5 A) B) C) D) E) 4 4 Raunt 59

60 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER 9. () sayısı, ( ) sayısının kaç katıdır? A) 6 B) 8 C) 9 D) 0 E). a b = 6, = olduğuna göre, 4 a+ b a b oranı kaçtır? 4 A) B) C) D) E) a a + + = a olduğuna göre, a kaçtır? A) B) 0 C) D) E) 4. a a b a = f p olduğuna göre, oranı kaçtır? a a b A) B) C) D) E). ( x) 4. ( x). ( x ) ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) x B) Cx ) D) E) x x m n n m x x işleminin sonucu kaçtır? A) 6 B) x m+n C) 6 D) E) x +. 5 = x 5 olduğuna göre, x kaçtır? A) B) C) D) E) m 6. x = olduğuna göre, m+ ifadesinin x cinsinden eşiti nedir? 6 6 A)8 x B)4 x C) x D)8 x E) x Raunt

61 Sınav Kodu: M0908 Matematik - 9 Ünite- Konu Testi sayısının 0,5 i kaçtır? A) 50 B) 49 C) 48 D) 47 E) a = b = olduğuna göre b, a nın kaç katıdır? A) 4 B) 6 C) D) 6 E). a = olmak üzere, aşağıdakilerden hangisi negatiftir? A) a a B) ( a) C) ( ) a+ D) a 0 E) a : a 6. a = x 4 a = y olduğuna göre, (4) a ifadesinin x ve y türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) x 4 y B) x y C) x y D) x y 4 E) x 4 y. 4, 5, ( ).( 8) ( 5) işleminin sonucu kaçtır? A) B) 6. 0 C) D) E) x+ = 54 x+ olduğuna göre, x+ kaçtır? 5 4 A) B) C) D) E) 4. a ve b birer pozitif tamsaydır. b tane a nın çarpımının kaç tane b nin çarpımına oranı aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) a b. b a B) (ab) a+b C) (ab) b. b a b D) (ab) a. a b a E) (ab) a+b. a a. b b 8. x = y, y = z olduğuna göre, x in z cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir? Az ) Bz ) 9 Cz ) 7 7 Dz ) 8 Ez ) Raunt 6

62 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER 9. ( x) 0 = (x 7) 0 olduğuna göre, x in alabileceği değerler çarpımı kaçtır? o işleminin sonucu kaçtır? A) B) 5 C) 9 D) E) 5 A) B) 5 6 C) 5 7 D) E) 4 0. (0,6) 5 x = (,5) x+4 olduğuna göre, x kaçtır? A) 5 B) 4 C) D) E) sayısı kaç basamaklı sayıdır? A) 4 B) C) D) E) 0. a = b olduğuna göre, kaçtır? a b b + a ifadesinin değeri A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) x = 5 y. 5 a x = b b y = a olduğuna göre, x + y ifadesinin değeri kaçtır? A) 9 B) 0 C) D) E) 4. a = 6 ve b = 9 olduğuna göre, a nın b türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A ) b B 8 ) b C 8 ) D ) b E 9 ) 9 b 8 b 6. a+. b = 6 a. 9 b+ = 8 olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 6 B) 4 C) D) E) 4 6 Raunt

63 Matematik - 9 Ünite- Köklü İfadeler a R ve n Z + olsun. n çift tam say ve a > 0 olmak üzere, x n = a denklemini sağlayan pozitif x reel say s na; n tek tam say olmak üzere, x n = a denklemini sağlayan a ile ayn işaretteki x reel n say s na a n n n ninci kuvvetten kökü denir ve x = a veya x = a n biçiminde gösterilir. Özel olarak a ifadesi karekök a, a HATIRLATMA ifadesi küp kök a diye okunur. n a ve a n ifadelerinde; a negatif bir reel say iken ifadenin reel sayı belirtmesi için n pozitif tek tam say n olmak zorundad r. a negatif bir reel say iken n pozitif çift tam say olursa a ve a n ifadeleri reel sayı n olmaz. x = a ve x = a n işlemlerinde x ile a ayn işarettedir. Rasyonel Üstlü İfade x R; m Z, n Z +, ifade denir. n x m tan ml ve (m, x) (0, 0) olmak üzere, x n m yaz l m na rasyonel üstlü m m n x x n n m = c m = a x k dir. Örnek 58 Çözüm 58 4 a. 5 b. c. x =... x =... 7 x =... a. / x = x b. / x = x c. 7 7/ x = x Örnek 59 Köklü Biçim Üstlü Biçim Değeri 6 (6) /? Çözüm 59 ( 6 ) / = ( 4 ) / = 4/ = = 4 (7) / = ( ) / = = /? (64) /? 4 ( 8) 8 /4? 5 /5? Raunt 6

64 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Özellikler a, b R + m, n, p N + ve m, n ve p olmak üzere, aşağıda verilen özellikler sağlanır:. mn / m / n n (i) a = ( a ) = m a mn / / nm n a = ( a ) = ( m a) n (ii) a $ 0ise n a = a n (iii) a R ve n tek ise n a = a n (iv) a R ve n çift ise n a = IaI (v) a R + m ise ( m a) = a m n pm. pn. (i) a = a. m m p n np / (ii) a = a f m $ p p n n n. (i) b > 0 için b. a = b. a n n n (ii) b R ve n tek ise b. a = b. a n n n 4. (i) a. b = ab. n a n a (ii) = ( b! 0) n b b n m nm. 5. a = a n n n n 6. a b + b b c b = ( a+ b c). b n n n 7. 0 < a < b < c a < b < c 64 Raunt

65 Matematik - 9 Ünite- Örnek 60 Köklü sayı özelliklerini kullanarak aşağıdaki ifadelerin eşitlerini bulunuz =. 5 = Çözüm /. 6 = 5 = = 5 = =. 5 5 = = = ( ) = I I = ( ) = ( ) = ( ) = 7. b l = 7. b l = 8. b 5 l = 8. b 5l = 5 9. b 4 4 ( ) l = I I = 4 9. b ( ) l = = 0. 5 = 5. = =. 4 =.. 4 =. ( ).. ( ). 5 = 5 = =. ( ).. ( ). 5 = 5 = 45 ( ). 5 = = 5. 8 = 5. 8 = = 4 = = 7.. = = = = = =. 5 = = Raunt 65

66 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Örnek 6 Köklü sayı özelliklerini kullanarak aşağıdaki ifadelerin eşitlerini bulunuz. 8. =. 6 = Çözüm 6 8. = 7 = = = 7 6. = 4. = =. = = = = = = = Çarpımları Rasyonel Olan İrrasyonel İfadeler Çarpımları rasyonel olan iki irrasyonel ifadeden her birine diğerinin eşleniği denir. Aşağıdaki çarpanların her biri diğerinin eşleniğidir. x. x = x = IxI = x ( x $ 0 olmalý) x. x = x = x ( x y).( x + y) = x + x. y x. y y = IxI IyI = x y ( x $ 0, y $ 0 olmalý) ( x y).( x + xy + y ) = x y ( x + y).( x xy + y ) = x+ y HATIRLATMA Kesirli ifadelerde paydayı kökten kurtarma işlemine paydayı rasyonel yapma denir. 66 Raunt

67 Sınav Kodu: M0909 Matematik - 9 Ünite- Konu Testi işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A)0 5 B)0+ 5 C)5 0 D) 5 E) 0 işleminin sonucu kaçtır? + A) + B) C) D) E) işleminin eşiti kaçtır? 5. A = olduğuna göre, cinsinden eşiti nedir? nin A A) 5 B) 5 C) D) E)4 A) A B) A C) A D) A E) A. + işleminin eşiti kaçtır? A) + B) C) D) + E)+ işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) E) Raunt 67

68 Sınav Kodu: M0900 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Konu Testi 0. n pozitif bir tam sayı olmak üzere; n + 8 n + 8 ifadesini rasyonel sayı yapan farklı kaç tane n değeri vardır? işleminin sonucu kaçtır? 5 5 A) B) C) D) E) A) B) C) D) 4 E) ifadesinin değeri kaçtır? A) 005 B) 006 C) 007 D) 008 E) a a = 4 ise a+ a kaçtır? 4... A) 0 B) 0 C) 5 D) 0 E) 5 çarpımının eşiti kaçtır? A) B) C) D) 7 E) 4. a = 5 + olduğuna göre, a.(a ).(a ).(a 4) çarpımının sonucu kaçtır? A) 5 B) 4 C) D) E) 4 x 7. = ise x kaçtır? A) B) C) D) E) Raunt

69 Matematik - 9 Ünite- y x x y 8. = 6 ise x y kaçtır? y A) B) C) D) 4 E) işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) E) 9. ( ) ( ) işleminin sonucu kaçtır? 4 5 A) B) C) D) E) 5 5. a = b = 5 + olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 0 B) C) D) E) 4 0. x, y R olmak üzere, x 6 + x+ y = 0 eşitliğini sağlayan y değeri kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5. a = 5 a ise a + 5 ifadesinin sayısal değeri a kaçtır? A) B) 6 C) 8 D) 9 E) Raunt 69

70 Sınav Kodu: M090 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Konu Testi. + + işleminin sonucu kaçtır? A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 6 5. f + p: f p işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) 0 E) işleminin sonucu kaçtır? A) 0 B) C) D) E) f 4 : 4 p işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) 0 D) E) işleminin sonucu kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A) 7 + B) 7 C) 4 + D) 4 E) 7 A) B) C) 0 D) E) işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) E) 5 8. x+ y x = 5 olduğuna göre, x+ y + x ifadesinin y türünden eşiti nedir? Ay ) B) y C) y D) y E) y Raunt

71 Sınav Kodu: M090 Matematik - 9 Ünite- Konu Testi işleminin sonucu kaçtır? A)6 6 B)5 6 C)4 6 D) 6 E) x = ( x ) denkleminde x kaçtır? A) B) C) D) E). a = 5 olduğuna göre, a kaçtır? 4 A) 5 B) 5 C) 5 D) 5 E) işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D)4 5 E)5. x x y y + xy x y y x y x y işleminin sonucu kaçtır? A) x B) y C) x y D) E) x + y 7. x x 6 = olduğuna göre, x + ifadesinin değeri kaçtır? x A) B) C) D) E) işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) E) işleminin sonucu kaçtır? A) B) 5 C) 5 5 D) 5 E) Raunt 7

72 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER 9. 9! + = a olmak üzere; 7! + 8! + 8 ifadesinin a türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) a B) a C) a Da ) Ea ) işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B) C) D) E) 0. 5 < x < y < 0 x xy+ y x 0x+ 5 y = 4 olduğuna göre, y kaçtır? 4. a =, b =, c = sayılarının sıralanışı aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir? A) a < c < b B) c < b < a C) c < a < b D) b < c < a E) a < b < c A) B) C) D) 4 E) 5 5. = a olduğuna göre, ifadesinin a cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? x x = olduğuna göre, x kaçtır? A) 8 B) 0 C) D) 4 E) 6 A) a B) a C) a Da ) E)a işleminin sonucu kaçtır? 6. 49, 04, + 64, 4, 4, işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B) 5 C) 5 D) 0 E) 5 A) 5 B) 0 C) D) E) 6 7 Raunt

73 Matematik - 9 Ünite- Denklem ve Eşitsizliklerle İlgili Uygulamalar Oran - Orantı Oran a ve b reel sayılarından en az biri sıfırdan farklı ve a ile b aynı birimden iki çokluk olmak üzere a a ifadesine "a nın b ye oranı" denir. oranı a : b biçiminde de yazılabilir. b b Orantı a c a c ve iki oran olmak üzere, a. d = b. c ise bu iki oran eşittir denir ve = biçiminde yazılır. b d b d a c = yazılımına bir orantı (ikili oran) denir. b d HATIRLATMA a c = orantısında a, b, c, d sayılarına sırasıyla, orantının birinci, ikinci, üçüncü ve dördüncü orantılısı veya terimi denir. b d a ile d ye orantının dışları, b ile c ye orantının içleri denir. dışlar a c = + a: b = c: d b d içler Üçlü Orantı a b c e = = ifadesine üçlü orantı denir. d f a c e = = üçlü orantısı a : c : e = b : d : f biçiminde de gösterilir. b d f Raunt 7

74 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Orantının Özellikleri. Bir orantıda dışlar çarpımı ile içler çarpımı eşittir. a c = + ad. = bc. b d. Bir orantıda içler, dışlar kendi arasında yer değiştirebilir. a b a b c a b = & = (İçler yer değiştirebilir.) d c d c d c = & = (Dışlar yer değiştirebilir.) d b a. a b c = = kise d a = bk * yazılabilir. Bu yazılımda k ye orantı sabiti denir. c = dk 4. a b c = = k olmak üzere, d na a. nb mc a = = k b. " c na + mc = k c. = k md b " d nb + md na mc d. = k e. nb md ac. k bd. = f. ( na).( mc) ( nb ).( md ) = k dir. Örnek 6 Çözüm 6 a b a+ b = değeri kaçtır? olduğuna göre, a b a+ b ifadesinin (a b) = (a + b) a 4b = a + b 7b = a a b b b = a+ b ( 7b) + b 8b = b 8 = a b Örnek 6 c = = 4 olduğuna göre, d a+ b c d f p. f p b d Çözüm 6 a c e + o. e o = (4 + )(4 ) b d = 5. = 5 ifadesinin değeri kaçtır? 74 Raunt

75 Sınav Kodu: M090 Matematik - 9 Ünite- Konu Testi. x = 4 y y = x y olduğuna göre, değeri kaçtır? x A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 4. a x b c = = = y z a + b c = 6 x z = 4 olduğuna göre, y nin değeri kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) E). a, b, c pozitif tamsayılardır. 6 b = = c a 7 olduğuna göre, c nin hangi değeri için a + b + c toplamı en büyük olur? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 5. abc : : = : : = a b c olduğuna göre, c nin değeri kaçtır? 9 A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 8. x y y z = = 4 x + y + z = 8 olduğuna göre, y nin değeri kaçtır? 6. Bir otobüsteki kadın, erkek ve çocuk yolcuların sayıları sırasıyla, ;,6 ve 0,9 sayılarıyla orantılıdır. Buna göre, bu otobüsteki yolcu sayısı en az kaç olabilir? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0 A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) Raunt 75

76 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER 7. :5: x = 4: y: f p 4 olduğuna göre, x. y çarpımının değeri kaçtır? A) B) 4 C) D) E) x y+ z = = 4 5 x + y z = 0 olduğuna göre, (x, y, z) üçlüsü nedir? A) (6, 8, 8) B) ( 6, 8, 8) C) (6, 8, 8) D) (6, 8, 8) E) (6, 8, 8) 8. a b c = = k d 5a+ 4c 5b+ x = k olduğuna göre, x in d türünden eşiti nedir? A) d B) d C) d D) 4d E) 5d 9. x y z = = 5 x y+ z = olduğuna göre, x y kaçtır? A) 5 B) 4 C) D) E) 76 Raunt

77 Matematik - 9 Ünite- Doğru Orantı x, y R + olmak üzere, x ile y arasında x y doğru orantılıdır."(ya da orantılıdır) denir. k pozitif reel sayısına "doğru orantı sabiti" denir. = k (k, pozitif bir sabit sayı) bağıntısı varsa "x ile y Doğru Orantının Grafiği k k y Yanda, x y = k & y = kx doğru orantısının grafiği verilmiştir. 0 x HATIRLATMA a. y x = k doğru orantısında k sabit ve pozitif bir reel sayı olduğundan, x artıyorsa y de artar, x azalıyorsa y de azalır. b. x, y, z çoklukları sırasıyla a, b, c sayıları ile doğru orantılı ise a x c. x çokluğu a birim y çokluğu b birim Doğru orantı x. b = y. a dır. y z = = = k dir. b c Örnek 6 x ile y doğru orantılıdır. x = 8 iken y = olduğuna göre, x = 4 iken y nin değeri kaçtır? x y Çözüm = k = k = y = 9 y Örnek 64 7 tane ceviz, ve 5 yaşlarındaki iki kardeşe yaşları ile orantılı olarak paylaştırılacaktır. Bu paylaşımda küçük kardeş kaç ceviz alır? Çözüm 64 k + 5k = 7 8k = 7 k = 4 k = Raunt 77

78 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Ters Orantı x, y R + olmak üzere, x ile y arasında x. y = k (k, pozitif bir reel sayı) bağıntısı varsa "x ile y ters orantılıdır." denir. k pozitif reel sayısına "ters orantı sabiti" denir. Ters Orantının Grafiği k k y 0 x k Yanda x.y = k y = (k, pozitif sabit bir sayı) ters orantısının grafiği x çizilmiştir. HATIRLATMA a. x. y = k ters orantısında x artarken y azalır, x azalırken y artar. b. a, b ve c çoklukları sırasıyla x, y ve z sayıları ile ters orantılı ise, ax = by = cz dir. c. x çokluğu a birim y çokluğu b birim Ters oranı x. a = y. b dir. Örnek 65 a, b, c sayıları sırasıyla ve 5 ile ters, ile doğru orantılıdır. a b + c = 90 olduğuna göre, a kaçtır? Örnek 66 işçi bir işi 5 günde bitiriyorsa, aynı işi 5 işçi kaç günde bitirir? Örnek sayısı ve 5 ile doğru, ile ters orantılı üç parçaya ayrıldığında en büyük sayı ile en küçük sayı arasındaki fark kaçtır? Çözüm 65 a = 5b = c a = c ve b = c 5 c c + c = 90 5 c 00 = 90 a = 0 c = 00 a = 50 Çözüm 66 işçi 5 gün 5 işçi x Ters orantı.5 = 5.x x = 9 Çözüm 67 a b = = c a + b + c = c + 5c + c = 440 c = 0 a = 0 b = 00 bulunur = Raunt

79 Matematik - 9 Ünite- Bileşik Orantı İçerisinde ikiden fazla oran bulunan orantılara bileşik orantı denir. x sayısı y ile doğru ve z ile ters orantılı ise, k R + ve k, sabit bir sayıdır. xz. = k dır. y Örnek 68 x sayısı y + ile doğru z ile ters orantılıdır. y = 7 ve z = 4 iken x = 5 tir. x = ve z = iken y değeri kaçtır? Çözüm 68 x.( z ) ( ) = k = y + y + 5.( 4 ) = k y + = 7+ k = y = 0 HATIRLATMA İşçi problemlerinde yapılan iş; zaman, işçi sayısı ve kapasite ile doğru orantılı olduğundan yapılan işin diğer değişkenlerin çarpımlarına oranı eşittir. İlk yapılan iş İşe ait diğer değişkenlerin çarpımı = Son yapılan iş İşe ait diğer değişkenlerin çarpımı Örnek 69 4 işçi, günde 6 saat çalışarak 40 m lik alanı 8 günde boyuyorlar. Aynı nitelikteki 6 işçi, günde 8 saat çalışarak 60 m lik alanı kaç günde boyarlar? Çözüm = x x = Örnek 70 Bir iş, belli sayıdaki işçilerle T günde bitiriliyor. İş miktarı katına çıkartılıp işçi miktarı oranında azaltıldığında işin aynı günde bitmesi için günlük mesai süresi kaç katına çıkartılmalıdır? Çözüm 70 İş : A İşçi sayısı : x günlük mesai = t olsun A A = xtt.. xtkt.. t = k.t k = katına çıkarılmalı Raunt 79

80 Sınav Kodu: M0904 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Konu Testi. a, b, c sayıları sırasıyla ve ile doğru, 5 ile ters orantılıdır. a c = 9 olduğuna göre, b nin değeri kaçtır? A) 5 B) 4 C) D) E) ve sayıları ile doğru orantılı olan iki doğal sayının farkı, küçük sayının 4 eksiğinin 4 katına eşittir. Buna göre, büyük sayı kaçtır? A) 8 B) 8 C) 84 D) 85 E) 86. = = x 4y z olduğuna göre; x, y, z sayıları en küçük hangi pozitif tam sayılarla orantılıdır? lira, 5 ve 8 yaşlarındaki üç çocuğa, ve 5 yaşlarındaki çocuklara yaşları ile doğru, 8 yaşındaki çocuğa yaşı ile ters orantılı olacak şekilde paylaştırılıyor. En az para alan çocuk kaç lira almıştır? A) 8:9:6 B) 6:7:8 C) 7:8:9 D) 8:9:0 E) 7:8:0 A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E). Birbirini çeviren üç dişli çarktan birincisi defa döndüğünde ikincisi 5, üçüncüsü 8 defa dönmektedir. Üç dişlinin toplam diş sayısı 99 olduğuna göre, en küçük çarkın diş sayısı kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 6. A kişilik bir izci grubuna 4 gün yetecek kadar erzak veriliyor. 4 gün sonra bu gruptan 5 izci ayrıldığındığında geri kalan erzak, gruptaki izcilere 0 gün yettiğine göre, A kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 80 Raunt

81 Sınav Kodu: M0905 Matematik - 9 Ünite- Konu Testi 5 5x+ z kesrinin değeri kaç- x y. x + = z y z + = 4 x olduğuna göre, tır? A) B) C) D) E) a b c e = = = d f 5 a c + e = 9 d b = Yukarıdaki verilere göre, f kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8. a+ b 5 = b b c = c a+ c olduğuna göre, oranı kaçtır? b + a 4 7 A) B) C) D) E) 7 6. a, b, c sayılarının birbirine oranı bilinmektedir. Aşağıdakilerden hangisi verildiğinde a, b, c nin değerleri bulunamaz? A) a + b B) b c C) a + b c D) a + b + c E) a b. a c = = k b d a m = k b+ 7d 7. a+ b a+ b+ c b c = = 8 0 olduğuna göre; a, b, c sayıları sırasıyla hangi sayılarla orantılıdır? olduğuna göre, c nin m türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A), 5, B) 5,, C), 5, D),, 5 E),, 5 m m A) B) Cm ) D) m E) m a sayısı b + ile doğru, c ile ters orantılıdır. a =, b = iken c = 4 tür. Buna göre, b = 5, c = 0 iken a sayısı kaçtır? A) B) C) D)5 E) = 0 x y z xz + xy + yz = 0 olduğuna göre, x. y. z çarpımının değeri kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 Raunt 8

82 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER 9. a = b b = c c = d olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? A) a ile b doğru orantılıdır. B) a ile c ters orantılıdır. C) b ile d ters orantılıdır. D) c ile d ters orantılıdır. E) b ile c doğru orantılıdır. 0. 5, 8, 0 sayılarının dördüncü orantılısı kaçtır? A) 6 B) 0 C) 4 D) 8 E). x + 5 ile y sayıları doğru orantılıdır. x = 5 iken y = olduğuna göre, y = 4 iken x kaçtır? A) 6 B) 8 C) 9 D) E) 4 4. Bir karışımda bulunan A, B ve C maddeleri A B B C = = 5 4 oranında karıştırılarak 860 gramlık bir karışım elde ediliyor. Bu karışımda A maddesinden kaç gram vardır? A) 00 B) 0 C) 40 D) 60 E) 00. Can, Cem ve Candaş'ın paraları, 5 ve 7 ile orantılıdır. Candaş'ın parası ile Cem'in paralarının fark 60 olduğuna göre, üçünün paraları toplamı kaç dir? A) 40 B) 50 C) 560 D) 650 E) Yaşları 4, 7 ve 9 olan üç kardeşe yaşlarıyla ters orantılı olacak şekilde harçlık veriliyor. Ortanca kardeş 08 lira harçlık aldığına göre, küçük kardeşe kaç lira haçlık verilmiştir? A) 8 B) 6 C) 54 D) 89 E) 6. 6 çocuk, 6 günde, 40 sayfa kitap okuyorsa, aynı nitelikte çocuk, 8 günde kaç sayfa kitap okur? A) 60 B) 00 C) 0 D) 40 E) Bir miktar bilye, ve 6 yaşlarındaki üç kardeşe, yaşları ile hem doğru hem de ters orantılı olarak dağıtılabiliyor. Bilye sayısı 00 den çok olduğuna göre, en az kaçtır? A) 0 B) 0 C) D) 8 E) 50 8 Raunt

83 Sınav Kodu: M0906 Matematik - 9 Ünite- Konu Testi 6. x y x y = = a 8 5. a b c = = d e f olduğuna göre, a kaçtır? A) 4 B) 4 C) 4 D) E) 8 4 ace.. = 64 bdf.. b d+ f olduğuna göre, oranı kaçtır? a c + e A) B) C) D) E)4 4. a, b, c doğal sayılar olmak üzere, a b = = c a + b + c = 56 olduğuna göre, a b + c kaçtır? A) 0 B) C) 4 D) 6 E) 8 6. Bir çiftçinin çiftliğindeki 50 koyununa 60 gün yetecek kadar yemi vardır. ay sonra çiftçi aynı cins koyunlardan 0 koyun daha satın alıyor. Buna göre, kalan yem çiftlikteki 80 koyunun tamamına kaç gün yeter? A) 5 B) 8 C) 0 D) 5 E) 6. Kütlesi 74 gr olan bir karışım, kütleleri x, y, z olan üç ayrı maddeden oluşmaktadır. Bu karışımda, x 6 = y 5 y 7 = z olduğuna göre, y kaç gr dır? 7. Kumsal ile Bengisu'nun paraları sırasıyla 5 ve 7 ile orantılıdır. Bengisu'nun parası, Kumsal ile Poyraz'ın paralarının aritmetik ortamasından lira azdır. Eğer Bengisu, Kumsal'a 8 lira verirse ikisinin paraları eşit olmaktadır. Buna göre, Poyraz'ın kaç lirası vardır? A) 7 B) 76 C) 80 D) 84 E) 96 A) 40 B) 0 C) 00 D) 90 E) a b+ c = = (x + 50) gramı 4, (x 00) gramı olan bir yiyeceğin kilogramı kaç dir? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0 a b + c = 7 olduğuna göre, b kaçtır? A) 0 B) C) 4 D) 6 E) 8 Raunt 8

84 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER 6 9. Bir üçgenin iç açıları, ve sayıları ile ters 5 orantılı olduğuna göre, bu üçgenin en büyük dış açısı kaç derecedir? A) 95 B) 05 C) 0 D) 5 E) 45. Bir işi x tane işçi y günde yapabiliyor. İşçi sayısı bir kişi azalırsa işin yapılması kaç gün uzar? y y y A) B) C) x x x x x D) E) x xy 0. A sayısı (B ) ile doğru (C 5) ile ters orantılıdır. A = 8, B = 6 iken C = 0 dur. A = ve C = 4 ise B aşağıdakilerden hangisidir? 4. Bir iş yerinde çalışan işçilere gün yetecek kadar yiyecek varken 4 işçi işyerinden ayrılıyor. Bu durumda yiyecekler 8 gün yeteceğine göre, bu işyerinde başlangıçta kaç işçi vardır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 A) B) C) 4 D) 5 E) 6. Bir işyerinde 5 işçi bir işi günde saat çalışarak 0 günde bitiriyor. İşçi sayısı ü kadar artılıp, günlük çalışma süresi 4 5 katına çıkarılırsa aynı iş kaç günde biter? A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 0 5. x, y, z R + x = 4y y.z = u = z eşitlikleri veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) x ile z doğru orantılıdır. B) y ile z doğru orantılıdır. C) x ile y ters orantılıdır. D) y ile u doğru orantılıdır. E) x ile u ters orantılıdır.. a+ b a b+ c a+ c = = 5 8 olduğuna göre a, b ve c sayıları sırasıyla aşağıdakilerden hangisiyle doğru orantılı olabilir? A), 4, 5 B), 4, 9 C) 4, 5, 9 D), 4, 7 E),, 9 x+ y z x y+ z x y z 6. = = + + z y x ( x+ y).( y+ z).( z+ x) olduğuna göre, oranı kaçtır? xyz.. A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 0 84 Raunt

85 Matematik - 9 Ünite- Problemler Sayı Problemleri ve Kesir Problemleri Yazý dili ile ifade edilen bir soruyu matematik diline aktarma iþlemine denklem kurma diyoruz. Günlük hayatta karþýmýza çýkan problemlerde sayýsal verileri kullanarak denklem kurmak mümkündür. Bu konudaki örneklerden de anlaþýlacaðý gibi sayý problemleri günlük hayattan alýntýlardýr, önemli olan problemi iyi tanýmlayarak matematik diline aktarmaktýr. Þimdi en basit durumdan baþlayarak denklem kurmayý, bilinmeyen kullanmayý ve problemlerde neye x verilmesi gerektiðini öðrenelim. Örneðin, Bir sayýnýn katýnýn eksiði, yarýsýnýn fazlasýdýr. x x x x + ifadesinin denkleme dönüşmüş biçimi x = x + dir. Aşağıdaki ifadeleri inceleyiniz. * Bir sayının 7 fazlası: x + 7 * Bir sayının 7 eksiği: x 7 * Bir sayının 7 katı: 7.x * Bir sayının 7 de biri: x * Bir sayının si: 7 7 * Bir sayının 7 de ü: x 7 x 7 * Bir sayının 7 katının 5 fazlası: 7x + 5 * Bir sayının 7 katının 5 eksiği: 7x 5 * Bir sayının 5 fazlasının 7 katı: 7.(x + 5) * Bir sayının 5 eksiğinin 7 katı: 7.(x 5) * Bir sayının karesi: x * Bir sayının küpü: x * Bir sayının karesinin 5 katı: 5x * Bir sayının 5 katının karesi: (5x) Raunt 85

86 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER * Bir sayının karesinin 7 fazlası: x + 7 * Bir sayının 7 fazlasının karesi: (x + 7) * İki sayının toplamı: x + y * İki sayının farkı: x y * İki sayının çarpımı: x.y x * İki sayının oranı: y * İki sayının karelerinin toplamı: x + y * İki sayının toplamının karesi: (x + y) * İki sayının karelerinin farkı: x y * İki sayının farkının karesi: (x y) * İki sayının çarpımının 5 fazlası: x.y +5 * Bir sayının 5 fazlasının başka bir sayının katına oranı: x + 5 y x+ y * İki sayının toplamının farkına oranı: x y * Bir sayının 5 fazlası ile başka bir sayının eksiğinin çarpımı: (x + 5).(y ) x + 5 * Bir sayının 5 fazlasının, sayının 7 eksiğine oranı: x 7 * Bir sayının karesi ile sayının katının toplamı: x + x * Ardışık iki sayının toplamı: x + (x + ) * Ardışık üç sayının toplamı: x + (x + ) + (x + ) * Ardışık üç sayının toplamı: (x ) + x + (x + ) * Ardışık iki çift sayının toplamı: x + (x + ) * Ardışık iki tek sayının toplamı: x + (x + ) * Ardışık üç çift ya da tek sayının toplamı: x + (x + ) + (x + 4) * Ardışık iki sayının kareleri toplamı: x + (x + ) Örnek 70 Bir sayý kendisinin katý kadar artýrýlarak ayný sayýnýn fazlasýnýn katý elde ediliyor. Buna göre, bu sayı kaçtır? Çözüm 70 x x + = ( x + ) 4x = x + 6 x = 6 x = 9 86 Raunt

87 Sınav Kodu: M0907 Matematik - 9 Ünite- Konu Testi 7. Bir salonda 6 erkek ve 0 kadın vardır. Bu salona kaç evli çift (karı - koca) gelirse erkek sayısı kadın sayısının katı olur? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 5. Bir adam borcunun önce 5 ini ve sonra da kalan borcunun 5 ini ödüyor. Geriye 400 lira borcu kaldığına göre ilk ödediği miktar kaç liradır? A) 5 B) 0 C) 5 D) 0 E) 40. Bir parça telin ucundan telin si kesilirse, telin 7 orta noktası eski durumdan cm kayıyor. Bu telin tamamı kaç cm dir? A) 9 B) 40 C) 4 D) 4 E) İki arkadaştan Kaya'nın 75 bilyesi vardır. Eğer Kaya, 5 bilyesini arkadaşı Çetin'e verirse ikisinin bilyeleri eşit olacaktır. Buna göre, Çetin'in başlangıçta kaç bilyesi vardı? A) 40 B) 4 C) 45 D) 48 E) paket eşya, araba veya hamalla taşınacaktır. En çok 60 paket götürebilen araba her gidiş için 80 lira, en çok 0 paket götürebilen hamal ise her gidiş için 0 lira almaktadır. Eşyanın tümü en az kaç liraya taşıtılabilir? 7. Bir atlet belli bir yolun ünü koşuyor, sonra 5 metre daha koşunca yolun yarısına geliyor. Buna göre, yolun uzunluğu kaç metredir? A) 940 b) 960 C) 980 D) 990 E) 000 A) 650 B) 700 C) 740 D) 750 E) Ali'nin parası Mehmet'in parasının 9 katıdır. Eğer Ali, Mehmet'e 5 lira verirse, Ali'nin parası Mehmet'in parasının 4 katı olacaktır. Buna göre, Mehmet'in başlangıçtaki parası kaç liradır? 8. Bir kutuda siyah ve mavi renkli toplam 5 kalem vardır. Siyah kalemlerin sayısı mavi kalemlerin sayısından fazladır. Bu kutudan rasgele bir miktar kalem alınıyor. Kutuda kalan mavi kalemlerin sayısı, siyahların sayısından 9 fazla olduğuna göre, son durumda kutuda en çok kaç siyah kalem kalabilir? A) 6 B) 5 C) 4 D) E) A) B) 5 C) 7 D) 9 E) Raunt 87

88 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER 9. Bir manavda iki boy elma vardır. Küçük boy elmaların tanesi 0 gr, büyük boy elmaların tanesi 00 gr dır. Bu manavdan tam kg elma alan bir kişi en çok kaç tane elma almış olabilir? A) B) C) 5 D) 7 E) 9. Bir top kumaşın önce 5 i, sonra da kalanın ü satılıyor. Geriye 6 m kumaş kaldığına göre, kumaşın tümü kaç metredir? A) 6 B) 64 C) 65 D) 66 E) 67. Karışabilen sıvılar kullanılarak bir kabın hacmini 0 0. ü boþ olan bir su deposundaki suyun ü 4 kullanýlýnca, deponun tamamýný doldurmak için 54 litre su gerekmektedir. Buna göre, almaktadýr? su deposu kaç litre su u özkütlesi,5 gr/cm, 0 u özkütlesi gr/cm, 0 u özkütlesi gr/cm olan sıvılarla dolduruluyor. Buna göre, elde edilen karışımın özkütlesi kaç gr/cm tür? A) B) C) D) E) A) 7 B) 74 C) 76 D) 78 E) 80. Bir çubuk 8 eşit parçaya bölünüyor. Bu çubuk eşit parçaya bölünseydi parçalardan her birinin uzunluğu 0 cm daha kısa olacaktı. Buna göre, çubuğun boyu kaç cm dir? A) 0 B) 40 C) 50 D) 60 E) çocuğun bulunduğu bir çocuk balosunda, erkek çocukların birincisi 5 kız arkadaşıyla, ikincisi 6, üçüncüsü 7 ve her seferinde kız çocukların sayısı bir artmak üzere sonuncu erkek çocuk tüm kız arkadaşlarıyla dans ettiğine göre, balodaki erkek çocuk sayısı kaçtır? A) 8 B) 0 C) D) 4 E) 6 88 Raunt

89 Sınav Kodu: M0908 Matematik - 9 Ünite- Konu Testi 8. Bir sayının fazlasının yarısı, aynı sayının 6 eksiğine eşittir. Bu sayı kaçtır? A) 9 B) C) 5 D) 8 E) 5. Bir öğrenci elindeki parasıyla, 0 tam bilet ile 0 öğrenci bileti ya da sadece 5 tam bilet alabiliyor. Öğrenci, bu parayla kaç tane öğrenci bileti alabilir? A) 60 B) 50 C) 40 D) 0 E) 0. Parasının 7 sini harcadıktan sonra, kalan parasının ünü kardeşine veren Ali'nin geriye 6 lirası kalmıştır. Buna göre, Ali'nin başlangıçtaki parası kaç liradır? A) B) 6 C) 8 D) 40 E) 4 6. Bir öğrenci testteki soruların önce 4 ünü, sonra da kalan soruların 5 ini cevaplamıştır. Bu öğrenci 6 soru daha cevaplasaydı testteki soruların yarısını cevaplamış olacaktı. Buna göre, testte toplam kaç soru vardır? A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80. Bir miktar fındık önce 8 çocuk arasında eşit olarak paylaştırılıyor. Daha sonra çocuklardan 6 sı kendi fındıklarını öbür çocuklara eşit olarak paylaştırınca, öbürleri ilk paylarından 0 tane daha fazla fındık almış oluyor. Buna göre, toplam fındık sayısı kaçtır? A) 60 B) 96 C) 44 D) 4 E) Hasan, Ayşe'ye verirse paraları eşit oluyor. Ayşe, Hasan'a verirse Hasan'ın parası Ayşe'nin parasının 5 katı oluyor. Buna göre, Ayşe'nin başlangıçtaki parası kaç dir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 4. Kilosu, olan yaş üzüm kurutulunca, kuru üzümün kilosu 4 ye gelmiştir. Buna göre, 70 kg yaş üzümden kaç kg kuru üzüm elde edilir? cm uzunluğundaki bir telin orta noktası işaretleniyor. Sonra telin bir ucundan 5 cm kesilip atılıyor. Geriye kalan telin orta noktası, ilk orta noktaya göre kaç cm kayar? A) 50 B) 5,5 C) 56 D) 57,5 E) 60 A),5 B) 5 C) 7,5 D) 5 E) 0 Raunt 89

90 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER litrelik bir havuz 5 ve 6 litrelik kovalarla su taşınarak doldurulacaktır. Kovaların her ikisinin de en az birer kez kullanılması şartıyla, bu havuzun tamamı en az sayıda kaç kova su ile dolar? A) 65 B) 66 C) 67 D) 74 E) 80. Ali bir bilet kuyruğunda baştan n. sırada, sondan (n ). sıradadır. Kuyrukta 8 kişi olduğuna göre, Ali baştan kaçıncı kişidir? A) 8 B) 0 C) D) E) 4 0. Toplamları 77 olan iki sayıdan birinin katı, öbürünün 4 katına eşittir. Bu sayılardan küçük olanı kaçtır? A) B) 0 C) 7 D) 4 E) 4. Bir bilgi yarışmasında, kurallara göre, yarışmacılar her doğru cevaptan 40 puan kazanıyor, her yanlış cevaptan 50 puan kaybediyor. 0 soruya cevap veren bir yarışmacı 00 puan kazandığına göre, doğru cevaplarının sayısı kaçtır? A) 8 B) 0 C) D) 4 E) 6. Bir çocuk merdivendeki basamakları er er çıkıp 5 er 5 er inmiştir. Çıkarken attığı adım sayısı, inerken attığı adım sayısından fazla olduğuna göre, bu merdivende kaç tane basamak vardır? 5. Su dolu bir sürahinin ağırlığı a gramdır. Suyun ü boşaltılınca, sürahinin ağırlığı b gram olmaktadır. Buna göre, boş sürahinin ağırlığı kaç gramdır? A) 0 B) 45 C) 60 D) 75 E) 90 A) a b B) a b C) b a D) b a E) b a 6. Bir benzin tankının içinde bir miktar benzin vardır. Tanka 00 litre benzin ilave edilirse tankın 9 5 u. Uzunlukları aynı olan iki mum aynı anda yanmaya başladığında, biri saatte, diğeri saatte tamamıyla yanarak bitmektedir. Bu iki mum aynı anda yakıldıktan kaç saat sonra, birinin boyu diğerinin boyunun ü olur? 6 0 A) B) C) D) E) doluyor. Oysa tanka benzin konmayıp tanktan 00 litre benzin boşaltılırsa tankın 9 u dolu olarak kalıyor. Buna göre, tankın tamamı kaç litre benzin alır? A) 500 B) 600 C) 700 D) 800 E) Raunt

91 Matematik - 9 Ünite- Yaş Problemleri Yaş problemleri çözülürken aşağıdaki bilgiler kullanılabilir. a. Bir kişinin bugünkü yaşı a ise x yıl sonraki yaşı = a + x, x yıl önceki yaşı = a x tir. b. n kişinin bugünkü yaşları toplamı a ise x yıl sonraki yaşları toplamı = a + n.x, x yıl önceki yaşları toplamı = a n.x tir. c. İki kişinin yaşları farkı hiç değişmez. d. Belli bir sayıdaki kişinin yaş ortalamasındaki değişim, kişi sayısında değişiklik olmadığı sürece, her yıl artar. e. Kişilerin yaşları daima birer pozitif doğal sayıdır. Örnek 70 Bir anne 0, oğlu 8 yaşındadır. Kaç yıl önce annenin yaşı, oğlunun yaşının 6 katından fazladır? Çözüm 70 0 t = (8 t)6 + 0 t = 48 6t + 5t = 0 t = 4 yıl önce Örnek 7 Ali ve Ahmet'in 5 yıl önceki yaşları toplamı 4 olduğuna göre, 5 yıl sonraki yaşları toplamı kaçtır? Çözüm 7 x 5 + y 5 = 4 x + y = 4 x y + 5 = 44 Örnek 7 Üç kişinin ikişer ikişer yaşlarının toplamı, 5 ve 6 sayıları ile orantılıdır. Bu üç kişinin yaşları toplamı 00 den fazla olduğuna göre, en küçüğü en az kaç yaşında olabilir? Çözüm 7 x+ y y+ z x+ z = = = k x + y + z > x + y = k 6k + 5k + 0k > 00 y + z = 5k k > 00 x + z = 6k 500 5k > x y = k En küçük en az 5 yaşındadır. + x + y = k x = 6 k y = 5k z = 0k Raunt 9

92 Sınav Kodu: M0909 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Konu Testi. 0 yaþýndaki bir babanýn yaþý, çocuðunun yaþlarý toplamýnýn katýna eþittir. Kaç yýl sonra babanýn yaþý, çocuklarýnýn yaþlarý toplamýna eþit olur? A) 4 B) 6 C) 8 D) 0 E) kardeşinin yaşlarının aritmetik ortalması dir. Yaşları birbirinden farklı olan bu kardeşlerden hiçbiri 6 yaşından büyük değildir. Buna göre, en küçüğü en az kaç yaşındadır? A) B) C) D) 4 E) 5. Bir annenin yaþý, kýzýnýn yaþýnýn 4 katýdýr. Kýzý annesinin yaþýna geldiðinde anne 56 yaþýnda olacaktýr. Anne ile kýzýnýn þimdiki yaþlarý toplamý kaçtýr? A) 6 B) 8 C) 40 D) 4 E) Sibel'in yaşı; Meryem'in yaşının, katı, Sezen'in yaşının,6 katıdır. Bu kişilerin yaşları toplamı en az kaçtır? A) 59 B) 60 C) 6 D) 6 E) yaþýndaki bir baba, oðlunun yaþýnda iken, oðlu bugünkü yaþýnýn yarýsý yaþta idi. Buna göre, oðlu þimdi kaç yaþýndadýr? A) B) 6 C) 8 D) 40 E) 4 7. Çınar (x + 4), Ada (5 x) yaşındadır. Çınar'ın yaşı bugünkü yaşının 4 katı olduğunda Ada kaç yaşında olur? A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 4. 5 yaşında iken bir kızı doğan annenin yaşı kızı doğduktan kaç yıl sonra kızının yaşının 6 katı olur? 8. Doğu ve Batı'nın yaşları toplamı 4 dir. Doğu 4 yıl sonra, Batı yıl önce doğmuş olsaydı yaşları eşit olacaktı. Buna göre, Doğu kaç yaşındadır? A) 5 B) 4 C) D) E) A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 9 Raunt

93 Matematik - 9 Ünite- 9. Bir annenin yaşı üçer yıl ara ile doğmuş üç çocuğun yaşları toplamının iki katıdır. En küçük çocuk doğduğunda anne 48 yaşında olduğuna göre, en küçük çocuğun bugünkü yaşı kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6. İki kardeşin bugünkü yaşları oranı 5 tir. Küçük kardeş, büyük kardeşin yaşına geldiğinde yaşları oranı kaç olur? A) B) C) D) E) Can ve babasının bugünkü yaşları oranı tir. 5 5 yıl sonra bu oran olacağına göre, babanın 5 yıl sonraki yaşı kaçtır? A) 8 B) 6 C) D) 0 E) 9. Bir babanın yaşı, iki çocuğunun yaşları farkının katından 4 fazladır. 0 yıl sonra babanın yaşı, iki çocuğunun yaşları farkının 4 katı olacağına göre, babanın bugünkü yaşı kaçtır? A) 44 B) 45 C) 46 D) 47 E) 48. Bir babanın yaşı, kızının yaşının katından fazladır. Kızı doğduğunda babası yaşında olduğuna göre, kızının bugünkü yaşı kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 Raunt 9

94 Sınav Kodu: M09040 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Konu Testi 0. Ali doğduğunda Ahmet 4 yaşında, Mehmet'in doğmasına ise yıl vardı. Ali, Ahmet ve Mehmet'in yıl sonraki yaşları toplamı 7 olacağına göre, Ahmet bugün kaç yaşındadır? A) 9 B) C) 4 D) 6 E) 8 5. Üç yıl önce Serpil'in yaşı, kardeşinin yaşının katı idi. Kardeşinin 6 yıl sonraki yaşı, Serpil'in bugünkü yaşına eşit olacağına göre, Serpil bugün kaç yaşındadır? A) 4 B) 6 C) 8 D) 9 E). Selin'in yaşının 6 katı, Ece'nin yaşının fazlasının katına eşittir. İkisinin yıl önceki yaşları toplamı 8 olduğuna göre, Ece'nin bugünkü yaşı kaçtır? A) 0 B) C) D) 4 E) 5 6. Bir babanın yaşı a iken, üç çocuğunun yaşları toplamı x dir. t yıl sonra babanın yaşının üç çocuğunun yaşları toplamına oranı aşağıdakilerden hangisidir? a+ t a+ x a+ t A) B) C) x + t t x + t x+ t a D) E) a + t x. 9xy ve 9yx dört basamaklı iki sayıdır. 9xy yılında doğan bir kişinin 9yx yılındaki yaşı aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) B) 8 C) 6 D) 4 E) 0 7. Melih, Eren'in yaşındayken Eren'in yaşı 0; Eren Melih'in yaşındayken Melih'in yaşı 7 dir. Buna göre, Melih bugün kaç yaşındadır? A) 8 B) 9 C) 6 D) 4 E) 8 8. Yaşları oranı 5 olan iki kardeşin 5 yıl sonraki 4. Can'ın 6 yıl önceki yaşı, bugünkü yaşının 6 5 katı olduğuna göre, Can'ın bugünkü yaşı kaçtır? A) 5 B) 0 C) D) 6 E) 8 yaşları oranı olduğuna göre, büyük kardeş bugün kaç yaşındadır? A) 0 B) 5 C) 0 D) 5 E) 0 94 Raunt

95 Matematik - 9 Ünite- 9. Burak ve Yılmaz'ın yaşları toplamı 9 dur. Burak'ın yıl sonraki yaşı, Yılmaz'ın yıl önceki yaşına eşit olduğuna göre, Burak bugün kaç yaşındadır? A) B) 4 C) 7 D) 5 E) 9. Ali ve Can'ın 4 yıl sonraki yaşları toplamı 48 dir. Ali, Can'ın bugünkü yaşına geldiğinde yaşları toplamı 60 olacağına göre, Ali bugün kaç yaşındadır? A) 5 B) 8 C) 0 D) 7 E) 6 0. Bugünkü yaşları toplamı 900 olan bir grup öğrencinin yıl önceki yaş ortalaması 5 dir. Buna göre, gruptaki öğrenci sayısı kaçtır? A) 56 B) 50 C) 48 D) 46 E) yılında Hamit'in yaşı, Semih'in yaşının katıdır. 994 yılında Hamit'in yaşı, Semih'in yaşının katı olduğuna göre, 04 yılında Semih kaç yaşında olacaktır? A) 4 B) 6 C) 8 D) 44 E) 4. 6 yaşındaki bir annenin, yaşları farklı dört çocuğu vardır. 6 yıl sonra, annenin yaşı çocukların yaşları toplamının 7 6 katı olacağına göre, en küçük çocuk en fazla kaç yaşındadır? 5. Bir baba ile iki çocuğunun yaşları toplamı 40 tir. Buna göre, kaç yıl sonra baba ile çocukların yaşları toplamı 64 olur? A) B) 6 C) 8 D) 8 E) 4 A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8. 6 yıl önceki yaşları toplamı x olan üç kardeşin 4 yıl sonraki yaşları toplamı aşağıdakilerden hangisidir? A) x + 40 B) x + 8 C) x + 0 D) x + 4 E) x Selçuk ve İnan'ın yaşları toplamı 48 dir. Selçuk, İnan'ın yaşındayken İnan'ın doğmasına yıl vardı. Buna göre, İnan bugün kaç yaşındadır? A) B) 0 C) 6 D) E) 8 Raunt 95

96 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Hareket Problemleri Hareket problemleri Yol = Hız x Zaman formülüyle çözülürler. Yol = l, hız = V, zaman = t ile gösterirsek l = V. t olur. l l Bu formül; V = ya da t = biçiminde de kullanılabilir. t V Bu formülleri kulanırken birimlerin birbirine uyumlu olmasına dikkat ediniz. Örneğin; hız km/sa olarak verilirse zamanın saat cinsinden olması gerekir. Yol, km cinsinden bulunur. Hız m/sn olarak verilirse zamanın sn cinsinden olması gerekir. Yol, m cinsinden bulunur. Örnek 7 A şehrinden B şehrine gitmek için aynı anda hareket eden iki araçtan birinin saatteki hızı 90 km diğerinin ise saatteki hızı 5 km dir. Hızlı giden araç B şehrine saat önce vardığına göre, A ile B şehri arası kaç km dir? A Çözüm 7 x = 90t x 90 km/sa 5 km/sa x = 5(t ) 90t = 5(t ) t = 6 x = 90.6 = 540 km B Örnek 74 Bir hareketli A şehrinden B şehrine doğru saatte 75 km hızla gidiyor ve hiç durmadan B şehrinden A şehrine saatte 00 km hızla geri dönüyor. Gidiş - dönüş toplam saat sürdüğüne göre, A şehri ile B şehri arası kaç km dir? A Çözüm km/sa x x = 75t 00 km/sa x = 00( t) 75t = 00( t) t = B x = 00( ) = 900 km 96 Raunt

97 Matematik - 9 Ünite- Ortalama Hız Toplam alýnan yol Ortalama hızı V ort ile gösterelim. V = ile hesaplanır. ort Toplam kullanýlan süre A ile B arası x km, B ile C arası y km dir. Bir araç A dan B ye V hızıyla, B den C ye V hızıyla giderse bu aracın A dan C ye ortalama hızı V = ort x x V + y y + V olur. Çünkü A ile C arasındaki x toplam yol x + y km dir. A dan B ye giderken harcanan zaman, B den C ye giderken harca- V nan zaman V y dir. Örnek 75 Bir hareketli saatte 60 km hızla 80 km yol aldıktan sonra hızını 0 km hıza çıkarıp 0 km daha yol alıyor. Buna göre, hareketlinin ortalama hızı saatte kaç km dir? Çözüm 75 V ort = V ort = 80 km/sa 0 0 = = 80 Nehir Problemleri Akıntı hızı V A olan bir nehir ve durgun sudaki hızı V k olan bir kayık düşünelim. a. Akıntı yönünde t süre içinde kayığın gideceği yol = (V A + V k ). t dir. b. Akıntıya ters yönde t süre içinde kayığın gideceği yol = (V K V A ). t dir. Örnek 76 Çözüm 76 Durgun sudaki hızı saatte 50 km olan bir kayık, akıntı hızı saatte 0 km olan bir nehirde, nehir boyunca A noktasından B noktasına 50 dakikada gidip geliyor. Buna göre, A ile B arasındaki mesafe kaç km dir? A 50 km/sa V a = 0 km/sa 50 km/sa x = (50 + 0)t B dak = sa x = (50 0) f t p t = 40 f t p 6 t = sa x = 60. = 0 km Raunt 97

98 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Tren Problemleri Bir tüneli geçen trenin tüneli geçene kadar gittiği yol trenin boyu + tünelin uzunluğu kadardır. Tünel Tünel Tünele Giriş Tünelden Çıkış Paralel iki ray üzerinde birbiriyle karşılaşan iki trenin birbirlerini geçene kadar gittikleri yolların toplamı iki trenin boylarının toplamı kadardır. Paralel iki ray üzerinde aynı yönde giden iki trenin birbirini geçene kadar gittikleri yolların farkı iki trenin boylarının toplamına eşittir. Örnek 77 Saatteki hızı 80 km ve uzunluğu 40 m olan bir tren 60 metre uzunluğundaki bir tünelden kaç saniyede geçer? Çözüm 77 Tünel 40 m 60 m x = 400 m = 0,4 km 0,4 = 80.t 04, 04, t = sa. 60, 60 = 8 sn Raunt

99 Sınav Kodu: M0904 Matematik - 9 Ünite- Konu Testi. Bir aracın saatte 60 km hızla 6 saatte aldığı bir yolu, saatteki hızı 40 km olan bir başka araç kaç saatte alır? A) 0 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 5. Bir araç yolun 5 ini saatte 80 km hızla gidiyor. Bu araç, yolun kalan kısmını saatte kaç km hızla alırsa tüm yoldaki ortalama hızı saatte 00 km olur? A) 00 B) 0 C) 0 D) 0 E) 5. Bir araç 40 km lik bir yolu sabit hızla 8 saatte gidiyor. Buna göre, bu araç saatteki hızını 0 km arttırırsa aynı yolu kaç saatte gider? A) B) C) 4 D) 5 E) 6. Bir araç bir yolun 5 ini V hızıyla t saatte alıyor. Buna göre, kalan yolu t saatte alabilmesi için hızını kaç V arttırmalıdır? 6. A V = 0 km/sa 40 km B V = 40 km/sa A ve B kentleri arasındaki uzaklık 40 km dir. A dan saateki hızı 0 km olan araç ile B den saatteki hızı 40 km olan araç aynı anda ve zıt yönde hareket ederlerse; Karşılaştıktan sonra A kentinden hareket eden araç kaç saat sonra B kentine varır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 5 A) B) C) D) E) km A 40 km/sa B 5 km/sa km lik yolun bir kısmı toprak, bir kısmı asfalttır. Bu yolu kat edecek olan bir aracın topraktaki ve astfalttaki ortalama hızı sırasıyla 40 km/sa ve 60 km/sa tir. Araç yolun tamamını 7 saatte aldığına göre, yolun asfalt kısmını kaç saatte alır? A ve B kentleri arasındaki uzaklık 90 km dir. A dan saatteki hızı 40 km olan araç ile B den saatteki hızı 5 km olan araç aynı anda ve aynı yönde hareket ederlerse, B den ne kadar uzakta A daki araç B deki araca yetişir? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 A) 45 B) 50 C) 55 D) 60 E) 65 Raunt 99

100 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER 8. Bir yüzücü dalgalara karşı dakikada 5 metre, dalga yönünde dakikada 45 metre yüzebilmektedir. Bu yüzücü en çok 0 dakika yüzebildiğine göre, yüzücü sahilden en fazla kaç metre açılabilir? A) 5 B) 0 C) 5 D) 0 E) 5. Çevresi 0 m olan dairesel bir pistte [AB] çaptır. A noktasından aynı anda ve zıt yönde harekete başlayan iki hareketlinin hızları dakikada 6 m ve 4 m dir. Bu iki hareketlinin karşılaşma noktaları, pist üzerinde B noktasından kaç m uzaklıktadır? A) 0 B) C) 4 D) 6 E) 8 9. B % maob ( ) = 0c A 0 O O merkezli dairesel pistin A ve B noktalarında bulunan araçların hızları sırasıyla saatte 45 km ve 5 km dir. Dairesel pistin çevresi 70 km olduğuna göre, bu araçlar şekildeki gibi zıt yönde ve aynı anda harekete başlarlarsa, A dan hareket eden araç karşılaştıktan kaç saat sonra tekrar başladığı noktaya gelir?. İki otomobil A ve B şehirlerinden aynı anda, aynı yönde hareket ediyor. A dan hareket edenin hızı saatte 80 km, B den hareket edenin saatteki hızı 60 km dir. A dan hareket eden 7 saat sonra diğerine yetiştiğine göre, A ile B şehirleri arası kaç km dir? A) 0 B) 0 C) 40 D) 50 E) 60 A) 0 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 0. Saatteki ortalama hızı 60 km olan 40 metre uzunluğundaki bir tren, 60 metre uzunluğundaki bir tüneli kaç saniyede geçer? 4. m/sn C O, merkez [AB], çap A) 80 B) 0 C) 90 D) 60 E) 55 A O B ICBI = IOAI. Aralarında 840 km uzaklık bulunan iki hareketliden birinin hızı saatte 40 km, diğerinin saatteki hızı V km dir. Bu iki hareketli 7 saat sonra karşılaştıklarına göre, V kaçtır? A) 80 B) 90 C) 00 D) 0 E) 0 0 m/sn O merkezli çemberin çevresi 40 m dir. A ve C noktalarından sırasıyla saniyede 0 m ve m hızlarla, şekildeki gibi aynı anda ok yönünde hareket eden iki araçtan hızlı olan yavaş olana kaç saniye sonra yetişir? A) 5 B) 0 C) 5 D) 0 E) 5 00 Raunt

101 Sınav Kodu: M0904 Matematik - 9 Ünite- Konu Testi. A şehrinden hızı 60 km/sa olan bir araç ile B şehrinden hızı 90 km/sa olan araç aynı anda birbirine doğru haraket etmeye başladıktan saat sonra karşılaşıyorlar. Sonra yola devam ediyorlar. Buna göre, yavaş olan araç A ile B arasındaki yolu kaç saatte almıştır? A) 5,5 B) 6 C) 6,5 D) 7 E) 7,5 5. Bir araç sabit hızla gideceği yolun ünü 4 saatte gittikten sonra, hızını saatte 0 km arttırarak tüm yolu 8 saatte almıştır. Buna göre, yolun tamamı kaç km dir? A) 0 B) 40 C) 70 D) 80 E) km/sa 45 km/sa 6. Bir araç A şehrinden B şehrine saatte 0 km hızla gidiyor. B şehrinden bir saat mola verdikten sonra A 45 km B hızını 4 oranında azaltarak A şehrine dönüyor. Aralarında 45 km bulunan iki araç aynı anda aynı yönde hareket ediyor. Arkadaki araç kaç saat sonra öndeki aracın 60 km önüne geçer? Yolculuk toplam 8 saat sürdüğüne göre, A ile B şehirleri arası uzaklık kaç km dir? A) 00 B) 0 C) 40 D) 60 E) 80 A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7. Bir araç V km/sa hızla bir yolu 8 saatte alıyor. Hızını 0 km/sa arttırırsa bu yolu saat daha erken alıyor. Buna göre, aracın ilk hızı V kaç km/sa tir? A) 60 B) 65 C) 70 D) 75 E) Saatteki hızları 80 km ve 00 km olan iki araç aynı anda aynı noktadan aynı yöne hareket ederlerse aralarındaki mesafa kaç saat kaç dakika sonra 75 km olur? A) saat B) saat 5 dk C) saat 0 dk D) saat 45 dk E) 4 saat 4. A km km/sa 00 km B 7 km/sa IABI = 00 Yukarıda verilen şekilde A ve B noktalarından aynı anda birbirine doğru hareket eden iki araç yolun orta noktasından kaç km uzakta karşılaşırlar? A) 5 B) 0 C) 5 D) 40 E) Bir araç iki şehir arasını sabit hızla 4 saatte alıyor. Bu araç hızını 5 i kadar artırırsa aynı yolu kaç saat daha erken tamamlar? A) 5 B) 7 C) 9 D) 0 E) 5 Raunt 0

102 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER 9. A 85 km/sa 65 km/sa 60 km A dan 85 km/sa ve B den 65 km/sa hızlarla aynı anda aynı yöne doğru hareket eden iki araç C noktasında yan yana gelmektedir. IABI = 60 km olduğuna göre, IBCI = x kaç km dir? A) 50 B) 560 C) 580 D) 640 E) 680 B C. 0 metre uzunluğundaki bir tren, 80 metre uzunluğundaki bir köprüyü 4 dakikada geçiyor. Buna göre, trenin hızı kaç km/sa dir? A) B 4 C) 5 D) 6 E) 8 4. Bir araç 600 km lik yolun bir kısmını saatte 60 km hızla, kalanını ise saatte 0 km hızla gitmiştir. Yolun tamamını saatte aldığına göre, 0 km lik hızla kaç saat gitmiştir? 0. Bir hareketli bir yolu 90 km/sa hızla gidip 60 km/sa hızla geriyor dönüyor. Buna göre, yol boyunca ortalama hızı kaç km/sa dır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 A) 70 B) 7 C) 75 D) 77 E) A Asfalt B Toprak C. Bir yüzücü dalga yönünde dakikada 7 m, dalgaya ters yönde dakikada m yüzebilmektedir. Denizde en fazla 6 dakika kalabilen bu yüzücü sahilden en fazla kaç metre uzaklaşabilir? A) 75 B) 8 C) 89 D) 96 E) 00 IACI = 640 km yolunun bir kısmı asfalt bir kısmı topraktır. Asfalttaki hızı 80 km/sa topraktaki hızı 60 km/sa olan bir araç IACI yolunu 9 saatte tamamladığına göre, yolun kaç km si topraktır? A) 40 B) 60 C) 0 D) 00 E) 0. A O B Şekildeki O merkezli dairesel pistin çevresi 00 km dir. A noktasından saatteki hızı 0 km olan araç ile B noktasından saatteki hızı 0 km olan araçlar şekildeki gibi ok yönünde hareket etmeye başladıktan kaç saat sonra. kez karşılaşırlar? A) 6 B) 9 C) D) 5 E) 8 6. Bir pistte aynı anda koşmaya başlayan üç koşucudan birinci yarışı bitirdiğinde, ikincinin 00 m, üçüncünün 00 m yolu kalmıştır. İkinci yarışı bitirdiğinde üçüncünün yarışı bitirmesine 0 metresi kaldığına göre, pistin uzunluğu kaç metredir? A) 000 B) 00 C) 400 D) 600 E) Raunt

103 Matematik - 9 Ünite- Ortak İş ve Havuz Problemleri Ortak iş problemlerinde birim zamanda yapılan iş miktarları hesaplanarak problemlere ait denklemler kurulabilir. Yapılan iş miktarı; işçi sayısı, iş yapma kapasitesi ve çalışma süresi ile doğru orantılıdır. İşin bitme süresi, işçi sayısı ve işçi kapasitesi ile ters orantılıdır. Bir işçi, bir işin tamamını x günde bitirebiliyorsa bir günde işin x ini bitirir. Bir işi, n tane işçi x günde bitirebiliyorsa, bir işçi n.x günde bitirebilir. Bir işçi bir işi a günde, ikinci işçi b günde, ikisi birlikte x günde bitirebiliyorsa + = dir. a b x Bir musluk boş bir havuzu x saatte dolduruyorsa saatte x ini doldurur. Bir musluk dolu bir havuzu y saatte boşaltıyorsa saatte y sini boşaltır. Havuz problemlerinde havuz doldurulmak isteniyorsa; dolduran muslukların birim zamanda doldurdukları kısımdan boşaltan muslukların birim zamanda boşalttıkları kısım çıkarılır. Bir havuzun tamamını tek başlarına birinci ve ikinci musluk sırasıyla a ve b saatte dolduruyor. Üçüncü bir musluk da bu havuzun tamamını tek başına c saatte boşaltıyor. Üçü birlikte havuzun tamamını t saatte dolduruyorsa: + = denklemi kurulur. a b c t Örnek 78 Kuzey bir işi 4 saatte, Ata da aynı işi saatte tek başlarına bitirebilmektedirler. Buna göre; Kuzey ve Ata bu işin yarısını birlikte kaç saatte bitirebilirler? Çözüm 78 f + pt = 4. t = t = 4 sa Örnek 79 Mavi bir işin ünü 6 günde, Arya aynı işin ünü 6 günde yapabilmektedir. Buna göre, ikisi birlikte bu işin tamamını kaç günde yapabilirler? Çözüm 79 Mavi işi 8 günde Arya işi 9 günde f + p= 8 9 t = 8 t t = 6 Raunt 0

104 Sınav Kodu: M0904 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Konu Testi. Kuzey bir işi tek başına 8 günde yapıyor. Ata ile Kuzey aynı işi birlikte 6 günde bitirdiklerine göre, Ata tek başına aynı işi kaç günde bitirir? A) 6 B) 4 C) D) 0 E) 8 5. Bir işi tek başlarına Serdar, Erkan ve Güray sırasıyla 6, 8, günde yapabilmektedir. Üçü birlikte işe başlıyor ve. günün sonunda Serdar, Serdar'dan gün sonra da Erkan işten ayrılıyor. Kalan işi Güray tamamladığına göre, işin tamamı toplam kaç günde bitmiştir? A) B) C) D) 4 E) 5. Deniz, Ege'nin dört katı hızla çalışarak ikisi birlikte bir işi 4 günde bitirebiliyorlar. Deniz tek başına gün çalıştıktan sonra işi bırakıyor. Kalan işi Ege tek başına kaç günde yapar? A) 4 B) 6 C) 8 D) 9 E) 0 6. Boş bir havuzu I. musluk saatte, II. musluk 6 saatte dolduruyor. I. musluk saat, II. musluk saat açık kalırsa havuzun kaçta kaçı boş kalır? A) B) C) D) E) Eşit kapasiteli 8 işçi beraber işe başlıyorlar. Her gün bir işçi ayrılarak işin tamamını 4 günde bitiriyorlar. Buna göre, işçi aynı işin tamamını kaç günde bitirir? A) 6 B) C) D) 5 E) 7 4. Mavi bir işi günde, Arya aynı işi 6 günde yapmaktadır. Mavi hızını yarıya düşürür, Arya hızını katına çıkarırsa, birlikte bu işi kaç günde bitirirler? 7. Bir havuzu A musluğu tek başına 8 saatte doldurabiliyor, havuzun dibinde bulunan B musluğu ise dolu havuzu tek başına saatte boşaltabiliyor. İki musluk aynı anda açılıyor ve bir süre sonra B musluğu kapatılıyor. A musluğu havuzu doldurmaya devam ediyor. Havuz toplam 0 saatte dolduğuna göre, B musluğu kaç saat açık kalmıştır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 A) B) 7 C) 4 D) 9 E) 5 04 Raunt

105 Matematik - 9 Ünite- 8. Boş bir havuzu A musluğu tek başına 0 saatte, B musluğu tek başına 0 saatte doldurabiliyor. saatte musluklardan biri diğerinden m daha az su akıttığına göre, havuzun tamamı kaç m su alır? A) 60 B) 70 C) 80 D) 90 E) 00. Ege ve Deniz bir işi birlikte günde yapabiliyor. Ege 4 gün, Deniz 6 gün çalıştığı zaman işin 9 4 ü bitiyor. Buna göre, Deniz bu işin yarısını tek başına kaç günde bitirebilir? A) 8 B) 9 C) 0 D) E) 9. A B C Şekildeki özdeş A, B, C muslukları eşit aralıklarla monte edilmiştir. Havuz tamamen dolu iken C musluğu tek başına 6 saatte havuzu boşaltabiliyor. Buna göre, havuz dolu iken musluklar aynı anda açılırsa, havuz kaç saatte boşalır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6. Bir usta bir işi tek başına 6 günde, bir çırak da aynı işi tek başına 8 günde bitirebilmektedir. Buna göre, usta ve 4 çırak birlikte çalışırlarsa aynı işi kaç günde bitirebilirler? A) B) C) D) E) Üç musluk tamamen dolu bir havuzu tek başlarına sırasıyla a, b, c saatte boşaltabilmektedir. Havuzun tamamı dolu iken üç musluk aynı anda açılınca havuz 5 saatte boşalmaktadır. a < b < c olduğuna göre, c nin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 04 B) 06 C) 08 D) 0 E). Bir usta saatte 4 çift terlik, çırağı da saatte çift terlik yapmaktadır. İkisi birlikte çift terliği kaç saatte yapabilirler? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0 Raunt 05

106 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER 4. Bir işi, tek başlarına İsmail 5 günde, Ozan da 6 günde yapabiliyor. İşe önce İsmail başlayıp 0 gün çalıştıktan sonra yerini Ozan'a bırakıyor. Bir süre sonra Ozan işi bitiriyor. İşin tamamı kaç günde bitmiştir? A) 9 B) 0 C) D) E) 5. Boş. havuzu A musluğu 8 saatte, B musluğu saatte doldurmaktadır. Havuzun dibindeki C musluğu da dolu havuzu 4 saatte boşaltabilmektedir. Buna göre, üç musluk birlikte havuzun ünü 4 kaç saatte doldurabilir? A) B) C) D) E) 6. A B C Şekilde görülen havuzu A ile B muslukları sırasıyla ve 4 saatte doldurabilmektedir. Havuzun tam ortasında bulunan C musluğu havuzun kendi seviyesine kadar olan kısmını 8 saatte boşaltabilmektedir. Buna göre, üç musluk aynı anda açılırsa boş havuz kaç saatte dolar? A) 4 B) 6 C) 8 D) 0 E) 06 Raunt

107 Sınav Kodu: M09044 Matematik - 9 Ünite- Konu Testi. Eren bir işi günde, Ceren ise aynı işi 8 günde yapıyor. İkisi birlikte 4 günde çalışırlarsa bu işin kaçta kaçı biter? 5 4 A) B) C) D) E) Hacmi 0 m olan havuzu A musluğu tek başına 5 saatte, B musluğu ise 0 saatte doldurabilmektedir. Havuz boş iken iki musluk aynı anda açılıyor. Havuz dolduğunda B musluğu kaç m su akıtmış olur? A) 8 B) 6 C) 4 D) E) 0. Bir işi Mutlu n saatte, Mesut n saatte bitirebilmektedir. İkisi birlikte bu işi 5 saatte bitirdiklerine göre, n kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 6. Özdeş musluk birer saat arayla açılıyor. Üçüncü musluk açıldıktan bir saat sonra havuzun tamamı dolduğuna göre, bu musluklardan bir tanesi havuzun tamamı kaç saatte doldurur? A) B) 5 C) 6 D) 8 E) 9. Bir havuzun ü doludur. Bu havuzun tamamını I. musluk 9 saatte II. musluk saatte doldurabilmektedir. Buna göre, iki musluk birlikte havuzun boş kısmını kaç saatte doldurur? A) B) C) D)4 E) Bir işi Kuzey ile Ata beraber günde bitirebiliyor. Ata, Kuzey 7 gün çalışırsa işin yarısını bitirebiliyorlar. Buna göre, Ata tek başına bu işi kaç günde bitirir? A) B) 6 C) 4 D) 6 E) Bir işi Deniz 6 saatte, Mavi 8 saatte bitirebilmektedir. İkisi birlikte saat çalıştıktan sonra Mavi işi bırakıyor. Buna göre, kalan işi Deniz kaç saatte bitirir? 5 A) B) C) D) E) Bir usta günde 5 koltuk, bir çırak ise 5 günde koltuk yapmaktadır. Buna göre, ikisi birlikte 87 koltuğu kaç günde yaparlar? A) 5 B) 8 C) 4 D) 0 E) 40 Raunt 07

108 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER 9. V V 4V III II I Şekildeki düzenekte fiskiyeden akan su sırasıyla III, II, I havuzlarını dolduruyor.. a < b olmak üzere, Mutlu bir işi a, Mesut ise aynı işi b günde yapabilmektedir. İkisi birlikte aynı işi günde yaptığına göre, Mesut'un bu işin tamamını tek başına bitirme süresi aşağıdakilerden hangisi olamaz? Üç havuz boşken üç musluk açıldığında havuzların tamamı 8 saatte dolduğuna göre, I. havuz yarısına kadar kaç saatte dolar? A) 4 gün B) 5 gün C) 6 gün D) 7 gün E) 8 gün A) 5 B) 0 C) D) 4 E) 5 0. Her gün bir önceki günün yarısı kadar su akıtabilen bir musluk havuzu 4 günde dolduruyor. Buna göre,. günün sonunda havuzun ne kadarı dolmuştur? 4 5 A) B) C) D) E) Özdeş 4 musluk boş bir havuzu saatte dolduruyor. Boş havuzun 8 saatte dolması için kaç musluk daha gereklidir? A) B) C) D) 4 E) 5. h h A B C Şekildeki havuzu, A musluğu tek başına saatte, B musluğu tek başına 6 saatte dolduruyor. C musluğu ise kendi seviyesine kadar olan kısmını saatte boşaltıyor. Buna göre, üç musluk aynı anda açıldığında havuz kaç saatte dolar? 5 0 A) B) C) D) E) Eşit kapasitede 6 musluk boş bir havuzu 8 saatte doldurmaktadır. Musluk sayısını yarıya indirip her bir musluğun kapasitesini kat daha artırırsak boş havuz kaç saatte dolar? A) B) C) 4 D) 5 E) 6. Boş bir havuzun ünü A musluğu 0 saatte, B musluğu aynı havuzun ini saatte doldurmaktadır. 5 Buna göre, ikisi birlikte boş havuzun unu 0 kaç saatte doldururlar? A) 5 B) 4 C) D) E) 6. Bir işi usta ve çırak birlikte 4 günde aynı işi usta ve çırak birlikte günde bitiriyorlar. Buna göre, usta ve çırak birlikte aynı işin tamamını kaç günde bitirirler? A) B) C) D) 4 E) 5 08 Raunt

109 Matematik - 9 Ünite- Yüzde Problemleri x sayısının yüzde a sı: x sayısının % a sı: x sayısının binde a sı: xa. 00 dür. xa. 00 dür. xa. 000 dır. x sayısının % a sının % b si: xa. b dür. Örnek 80 Aşağıdaki soruları çözünüz. a. 60 sayısının %0 si kaçtır? Çözüm 80 0 a. 60. = 00 b. %5 i 50 olan sayı kaçtır? b. x = 50 x = 600 k c. 5. = 5 k = c. 5 sayısı 5 sayısının % kaçıdır? 0 d. x = 40 x = 000 d. %0 unun %0 si 40 olan sayı kaçtır? e. A = A = = = 9900 e. Bir dikdörtgenin uzun kenarı %0 kısaltılıp kısa kenarı %0 arttırılırsa alanı nasıl değişir? azalır 00 azalır. % f. ünün %5 i, inin %60 ından 0 eksik olan 5 sayı kaçtır? 5 x 60 f. x. = x = 500 Raunt 09

110 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Kâr - Zarar Problemleri Bu konu ile ilgili problemlerde alış - veriş ile ilgili bazı kavramları bilmek gerekir. Alış Fiyatı: Satıcının bir malı aldığı fiyattır. Maliyet Fiyatı: Satıcının mal satılıncaya kadar yaptığı masrafların alış fiyatına eklenmesi ile oluşan fiyattır. Maliyet Fiyatı = Alış Fiyatı + Masraf Satış Fiyatı: Satıcının malı sattığı fiyattır. Satış fiyatına etiket fiyatı da denebilir. Kâr: Bir mal satılırken maliyet fiyatına eklenen paraya kâr denir. Bir malın satışında kâr elde ediliyorsa, Satış Fiyatı = Maliyet fiyatı + Kâr dır. Zarar: Bir mal maliyet fiyatından daha düşük fiyata satılırsa oluşan farka zarar denir. Bir malın satışından zarar ediliyorsa, Satış Fiyatı = Maliyet Zarar dır. İndirim (İskonto): Bir malın etiket fiyatının bir kısmının alınmamasına indirim (iskonto) denir. x ye alınan bir mal %k kâr edilerek satılmışsa, kâr = xk. Malın satış fiyatı = x + olur. 00 x ye alınan mal %k zarar edilerek satılmışsa, zarar = xk. Malın satış fiyatı = x olur. 00 xk. 00 dir. xk. 00 dir. xz. Satış fiyatı x olan bir mala %z zam yapılırsa yeni satış fiyatı = x + olur. 00 xi. Satış fiyatı x olan mala % i indirim yapılırsa yeni satış fiyatı = x olur. 00 Örnek 8 Maliyet fiyatı 400 olan bir mal 0 ye satılırsa maldan yüzde kaç zarar edilmiş olur? Örnek 8 Alış fiyatı üzerinden %0 indirimle 80 ye satılan bir mal, alış fiyatı üzerinden %0 kârla satılsaydı kaç ye satılırdı? Çözüm = 80 0 zarar x = x = 0 00 Çözüm 8 0x x = x = %0 zarar. x = = = Raunt

111 Sınav Kodu: M09045 Matematik - 9 Ünite- Konu Testi 5. Bir mala %0 indirim yapılmıştır. Bu malın eski fiyatından satılması için fiyatı % kaç arttırılmalıdır? A) %0 B) %5 C) %0 D) %5 E) %5 5. Maliyet fiyatına göre %0 kârla satılan bir malın satış fiyatı üzerinden %0 indirim yapılıyor. Buna göre, son durumda satıcının kâr - zarar durumu nedir? A) 0 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6. Bir bakkal aldığı yumurtaların %60 ını kırıyor. Buna göre, maliyeti % kaç artar? A) %50 B) %00 C) %50 D) %00 E) %50. Bir mal A den satılırsa %0 zarar, B den satılırsa %0 kâr ediliyor. Buna göre, B A oranı kaçtır? 6. Bir tüccar elindeki malların %0 sini %0 kârla, %40 ını %0 zararla satıyor. Tüccarın malın tamamından %6 kâr edebilmesi için malın kalan kısmını % kaç kârla satmalıdır? A) 0 B) 5 C) 40 D) 45 E) A) B) C) D) E) 4. Bir kilogramı 50 den alınan yaş üzüm kurutularak bir kilogramını 0 den satan bir manav %0 kâr ettiğine göre, yaş üzüm kuruyunca ağırlığının % kaçını kaybetmiştir? A) 50 B) 60 C) 70 D) 80 E) Ucuzluk yapan bir mağaza fiyatlarda % indirim yapıyor. İlk hafta satışın az olduğu görülünce ikinci hafta indirimli fiyatlar üzerinden %5 indirim daha yapılıyor. Buna göre, mağaza sahibinin yaptığı tüm indirim yüzde kaçtır? A) 4 B) C) 0 D) 8 E) 6 Raunt

112 Sınav Kodu: M09046 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Konu Testi. 0 sayısının % 0 unun % 0 si kaçtır? 4 A)5 B) C) D) E) Ahmet parasının %0 sini Mehmet'e verirse paraları eşit oluyor. Buna göre, Mehmet'in parası Ahmet'in parasının yüzde kaçıdır? A) 0 B) 40 C) 50 D) 55 E) 60. x in %5 i, y nin % 5 ine eşittir. (x + y) nin % 0 si 64 ise x kaçtır? A) 00 B) 00 C) 00 D) 50 E) tanesi a liraya alınan bir malın 4 tanesi a liraya satılıyor. Buna göre, kâr yüzdesi kaçtır? A) 5 B) 5 C) 5 D) 45 E) 50. İki sayıdan biri % 0 artırılır, diğeri % 0 azaltılırsa bu iki sayının çarpımının sonucu için aşağıdakilerden hangisi söylenebilir? A) % artar B) %0 azalır C) %0 artar D) % azalır E) %5 artar 7. Bir bakkal %0 indirimli sattığı malların satış fiyatına %5 zam yapmıştır. Buna göre, son durumda kâr-zarar durumu ne olur? A) %5 zarar B) %5 kâr C) %0 kâr D) Değişmez E) %0 zarar 4. Bir torbadaki topların %0 si atılıyor. Sonra kalanların %40 ı kadar yeni top ekleniyor. Buna göre, son durumdaki top sayısı ilk duruma göre nasıl değişir? A) %5 azalır B) %5 artar C) %0 artar D) % artar E) %0 azalır 8. Bir malın ü satıldığında maliyet fiyatı elde ediliyor. Buna göre, bu mal % kaç kârla satılmıştır? A) 40 B) 50 C) 60 D) 75 E) 80 Raunt

113 Matematik - 9 Ünite- 9. Etiket fiyatının %0 eksiğine alınan bir mal etiket fiyatının % fazlasına satılmıştır. Buna göre, bu satıştan % kaç kâr elde edilmiştir? A) 60 B) 70 C) 90 D) 00 E) 0. A ye alınan bir mal %0 kârla (A 8) satıldığına göre, bu satıştan kaç kâr elde edilmiştir? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0 0. %0 kârla 600 ye satılan mal %0 zararla kaç ye satılır? A) 00 B) 50 C) 00 D) 50 E) Bir satıcı 40 ye sattığı bir malı indirimli satışlarda 0 ye satıp %0 kâr etmiştir. Buna göre, indirim öncesi kâr % kaçtır? A) 40 B) 45 C) 50 D) 55 E) 60. Bir alış - veriş merkezinde fiyatlarda %0 indirim yapıldığında satışlar %40 artmıştır. Buna göre, kasaya giren para nasıl değişir? A) %5 artar B) % azalır C) değişmez D) %5 azalır E) % artar 5. Bir kişinin parasının %60 ını altına, geriye kalanıda dövize yatırıyor. Altından %0 zarar, dövizden %0 kâr elde ettiğine göre, kâr - zarar durumu ne olur? A) %5 kâr B) %6 zarar C) %6 kâr D) %5 zarar E) Değişmez. %50 kârla satılan bir mal satış fiyatı üzerinden %0 indirim yapılarak 05 ye satılıyor. Bu satıştan kaç kâr elde edilir? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 0 6. Yıllık enflasyonun %0 olduğu bir ülkede maaşına %50 zam alan bir memurun alım gücü % kaç artar? A) 0 B) 5 C) 0 D) 40 E) 50 Raunt

114 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Faiz Problemleri Basit Faiz Bir miktar paranýn belli bir faiz oraný ile belli bir zamanda getirdiði faiz miktarý ile ilgili problemlerdir. A = Anapara, n = Faiz yüzdesi, t = Zaman olmak üzere, A ana paranýn getirdiði, Ant.. Yýllýk faiz F = (t, yıl cinsindendir.) 00 Aylýk faiz A.n.t F = (t, ay cinsindendir.) 00 Günlük faiz Ant.. F = dir. (t, gün cinsindendir.) 6000 Örnek 8 Bu faize basit faiz denir. Çözüm 8 Bankaya yýllýk %8 faiz oraný ile yatýrýlan para kaç ay sonra kendisinin i kadar faiz getirir? 8 Örnek 84 Bir miktar paranýn ü yýllýk %0 dan yýllýðýna, kalaný yýllýk %5 ten yýllýðýna faize veriliyor. Elde edilen faizlerin oraný kaçtýr? A A. 8. t F = = 8 00 t = 5 Çözüm 84 A 0. F. = 00 = F A Bileþik Faiz Bileþik faiz hesabýnda dönem sonunda elde edilen faiz ana para ile toplanýr. Bir sonraki dönem bu toplam para anapara olarak kullanýlýr. Yani faizin de faizi hesaplanýr. Genel olarak; A TL para, %n yýllýk faiz oraný ile t yýlýn sonunda A t liraya yükselir. Örnek 85 t n At = A. + dir. 00 Çözüm 85 Bir miktar para yýllýk %0 dan yýl bileþik faizde kalýrsa, faizi ile birlikte 66 oluyor. Buna göre, bankaya yatýrýlan para kaç dir? 0 66 = A. f + p = A. 0 A = Raunt

115 Sınav Kodu: M09047 Matematik - 9 Ünite- Konu Testi 7. Yıllık % faizle bankaya yatırılan 5000 yıl sonra kaç olarak çekilir? A) 6000 B) 600 C) 6400 D) 6600 E) Bir miktar para yıllık %5 faizle bankaya yatırılıyor. Buna göre, kaç yıl sonra faiziyle birlikte, yatırılan para 4 katı olarak çekilebilir? A) 0 B) C) D) E) 4. Yıllık %5 faizle bankaya yatırılan bir miktar para 9 ay sonra 4450 olarak çekiliyor. Buna göre, bankaya yatırılan para kaç dir? A) 800 B) 900 C) 4000 D) 400 E) nin %0 dan yılda getirdiği bileşik faiz miktarı kaç dir? A) 8 B) 84 C) 86 D) 88 E) 90. Bir bankaya 0 aylığına yatırılan paranın kendisi kadar faiz getirmesi için uygulanacak yıllık faiz oranı yüzde kaç olmalıdır? A) 40 B) 4 C) 44 D) 46 E) Bir miktar para %60 tan kaç ay için bankaya yatırılırsa bu para faizi ile beraber yatırılan paranın katı olur? A) 40 B) 4 C) 4 D) 4 E) 44 Raunt 5

116 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER 7. Bir miktar para yıllık %75 ten 6 aylığına faize yatırılıyor. 6 ay sonunda bu para faizi ile birlikte olarak çekiliyor. Buna göre, faize yatırılan para kaç dir? A) 4 B) 6 C) 8 D) 0 E) 0. Bir banka dolar olarak yatırılan bir paraya %8, olarak yatırılan bir paraya %50 yıllık faiz veriyor. Bir doların,44 olduğu bir dönemde doları olan bir kişi parasını bir yıllığına dolar olarak faize veriyor. Bu kişi bir yıl sonunda parasını faizi ile birlikte dolar olarak çektiğinde zararlı çıkmaması için doların bir yıl sonundaki değeri en az kaç olmalıdır? 5 7 A) B) C) D) E) 8. Bir kişi A lirasını 6 aylığına bir bankaya yatırmış, vade bitiminde B lira olarak çekmiştir. Bu bankanın uyguladığı basit faiz oranının A ve B türünden değeri kaçtır? B B A A)00. f p B)00. f p C)50. f p A A B 00B B D) E) 00f p A A 9. Bir adam parasının yarısını yıllık %80 den, nü yıllık %0 dan ve geri kalanını %40 dan birer yıllığına faize veriyor. Bir yıl sonunda faizi ile birlikte 4400 si olduğuna göre, adamın başlangıçta yatırdığı para kaç dir? A) 9400 B) 9600 C) 9800 D) 990 E) Raunt

117 Sınav Kodu: M09048 Matematik - 9 Ünite- Konu Testi 8. Yıllık %0 basit faiz ile bankaya yatırılan 600, ay sonunda kaç faiz geliri elde edilir? A) 5 B) 0 C) 5 D) 0 E) 5 6. Bir miktar para yıllık % faizle bankaya 8 yıllığına yatırılıyor. Bu süre sonunda para yüzde kaçı kadar artmıştır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8. Yıllık %40 faiz oranıyla 5 aylığına bankaya yatırılan 00 kaç faiz getirir? A) 90 B) 00 C) 0 D) 0 E) 0. Yıllık %0 den bankaya faize yatırılan bir miktar para kaç yılda kendisi kadar basit faiz geliri getirir? 7. Bir miktar para %40 tan yıllığına faize verilmiştir. Aynı paranın aynı faizi getirmesi için %0 dan kaç aylığına faize verilmesi gerekir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 A) 6 B) 5 C) 4 D) E) 4. Bir bankaya 8 aylığına yatırılan paranın kendisinin ü kadar faiz geliri getirmesi için uygulanacak yıllık faiz oranı yüzde kaç olmalıdır? 8. Bir miktar paranın yıllık %0 faiz geliriyle x günde getirdiği faiz, yıllık %60 faiz geliriyle x 0 günde getirdiği faize eşit ise x kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) E) A) 90 B) 95 C) 00 D) 05 E) 0 5. Bir miktar para yıllık %0 faiz oranıyla kaç aylığına bankaya yatırılırsa kendisinin u kadar 0 faiz getirir? A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 9. Bir miktar para ay faizde bırakılırsa faizi ile birlikte 7 oluyor. Eğer aynı koşullarda yıl sonuna kadar bankada kalırsa faizi ile birlikte 96 oluyor. Buna göre başlangıçta faize verilen para kaç dir? A) 69 B) 68 C) 67 D) 66 E) 64 Raunt 7

118 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER 0. Basit faiz oranı yıllık %4 olan bir bankaya parasını 8 ay yatıran bir yatırımcı 8 ay sonra ana parayı çekerek sadece faizini aynı bankaya 5 ay aynı faiz oranıyla yatırırsa, ay sonundaki toplam kazancı yüzde kaç olur? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 4. Ana para : A Faiz oranı : n Zaman (yıl) : t Faiz : F ile gösteriliyor A > nt. olduğuna göre, F nin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?. Bir satıcı %40 kârla sattığı üründen elde ettiği kârı, yıllık %0 dan 4 aylığına bankaya yatırıyor. A) 8 B) 8 C) 8 D) 84 E) ayın sonunda 4800 faiz aldığına göre, ürünün maliyeti kaç dir? A) B) C) D) E) Bir bankaya yıllık %0 faizle para yatırılıp bir yıl sonunda 5450 olarak alınmıştır. Bankanın hizmet bedeli 50 kesintisi olduğuna göre, bankaya kaç yatırılmıştır? A) 4800 B) 4900 C) 5000 D) 500 E) Bir miktar para yıllık %40 faizle n yıl bankaya yatırılıyor. Bu sürenin sonunda faizi ile birlikte 98 oluyor. Aynı para yıllık % 0 faizle yıl eksik süreyle bankaya yatırılmış olsaydı, 54 faiz getirecekti. Buna göre, faize yatırılan para kaç dir? A) 90 B) 9 C) 94 D) 96 E) y (faiz oranı %) x (yıl) Yandaki grafikte bir bankanın vadeli hesaplara uygulayacağı yıllık faiz oranlarını belirleyen x + 8 y = x + verilmiştir. fonksiyonu Yukarıdaki verilere göre, kaçıncı yıldan sonra yıllık faiz oranı %8 in altına düşer? A) B) C) 4 D) 5 E) dolar yıllık %5 faizle yıllık bileşik faiziyle birlikte kaç dolar olur? A) 480 B) 490 C) 4400 D) 4405 E) Raunt

119 Matematik - 9 Ünite- Karışım Problemleri Bir kaç maddenin karışımından oluşan bir karışımda, belli bir maddenin ağırlığının tüm karışımın ağırlığına oranı ile ilgili problemlere karışım problemi denir. Karışım oranı = saf madde toplam karışım %x + %y = %z karışım oranı a litre b litre (a + b) litre karışımın miktarı a. x b. y z + = ( a+ b) Örnek 86 Tuz oranı %0 olan 80 litre tuzlu suyun içinde kaç litre su vardır? Çözüm = 4 lt tuz = 56 lt su Örnek 87 Tuz oranı %40 olan 0 litre tuzlu su ile tuz oranı %70 olan 0 litre tuzlu su karıştırılıyor. Elde edilen karışımın tuz oranı yüzde kaçtır? Çözüm x = ( 0 + 0) x = 5 %5 Örnek 88 Şeker oranı %0 olan 90 gram şekerli suya kaç gram şeker ilave edilirse şeker oranı %70 olur? Çözüm = 7 gr şeker x = 90 + x x = 0 gr Raunt 9

120 Sınav Kodu: M09049 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Konu Testi. Tuz oranı %40 olan bir tuzlu su karışımındaki tuz oranı kaçtır? su 4 5 A) B) C) D) E) 9 6. Alkol oranı %40 olan 400 gramlık karışıma kaç kg saf alkol eklenirse yeni karışımın alkol oranı %50 olur? A) 7 B) 76 C) 80 D) 8 E) 84. Şeker oranı %5 olan 00 gramlık bir karışımdaki su miktarı kaç gramdır? A) 0 B) 5 C) 0 D) 5 E) Ağırlıkça %40 ı tuz olan 00 gramlık karışıma kaç gram saf tuz katılmalıdır ki, karışımın tuz oranı %60 olsun? A) 85 B) 90 C) 95 D) 00 E) 05. Alkol oranı %5 olan 6 litre alkollü su ile alkol oranı %50 olan 4 litre alkollü su karıştırılıyor. Buna göre, oluşan yeni karışımın alkol oranı % kaçtır? A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 0 8. Ağırlıkça %60 ı şeker olan 400 gramlık bir karışıma kaç gram saf su katılmalıdır ki yeni karışımın şeker oranı %40 olsun? A) 80 B) 00 C) 0 D) 0 E) 5 4. Tuz oranı %60 olan 40 gramlık bir karışıma 0 gram su ilave edilirse tuz oranı % kaç olur? A) 40 B) 4 C) 44 D) 46 E) %0 u alkol olan 40 gram karışıma %70 i alkol olan kaç gramlık bir karışım karıştırılmalıdır ki alkol oranı %54 olsun? A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) Şeker oranı %0 olan 00 gramlık şekerli suya x gram şeker, x + 0 gram su ilave ediliyor. Yeni karışımın şeker oranı %5 olduğuna göre, x kaçtır? A) 40 B) 4 C) 4 D) 44 E) %0 u tuz olan 00 gram tuzlu su karışımı ile %0 si tuz olan 00 gram tuzlu su karıştırılıyor. Yeni karışımın su yüzdesi kaçtır? A) 7 B) 74 C) 76 D) 78 E) 80 0 Raunt

121 Matematik - 9 Ünite-. %0 si tuz olan 400 gramlık bir karışımdan kaç gram su buharlaştırılırsa karışımın tuz oranı %40 olur? A) 80 B) 90 C) 00 D) 0 E) 0 5. tuz miktar (kg) 0, 0, 0, Grafik bir tuzlu su karışımındaki tuz miktarını gösteriyor karışımın miktarı (kg). A kabında %0 si tuz olan tuzlu su karışımı ve B kabında %60 ı tuz olan tuzlu su karışımı vardır. İki kaptaki karışımlar birbirine karıştırıldığında %0 u tuz olan 60 kg karışım elde ediliyor. A kabında kaç kg karışım vardır? Buna göre, 50 kg lık karışım içinde kaç kg tuz bulunur? 5 7 A) B) C) D) E) A) 00 B) 0 C) 0 D) 0 E) 40. Tuz oranı %0 olan tuzlu suyun 5 i dökülerek yerine aynı miktarda tuz oranı %0 olan tuzlu su ilave ediliyor. Buna göre, oluşan karışımın tuz oranı % kaç olur? A) B) C) 4 D) 5 E) kg tuz 4 kg su A 8 kg tuz kg su B 7 kg tuz 8 kg su A, B, C kapları ve içindeki su, tuz miktarları verilmiştir. Sırasıyla A daki karışımın yarısı B kabına dökülüyor. B de oluşan karışımın yarısı da C kabına dökülüyor. C kabında oluşan karışımın % kaçı tuzdur? A) 5 B) 40 C) 45 D) 50 E) 55 C 4. tuz (gram) Şekildeki grafikte A B ve B kaplarında bulunan tuzlu su karışı- 40 A mın tuz ve su miktarları arasındaki ilişki 0 verilmiştir. A kabından 0 gram tuzlu su (gram) 0 60 su ile B kabından 00 gram tuzlu su alınarak karıştırılıyor. Buna göre, oluşan karışımın tuz oranı % kaç olur? A) B) C) D) E) 7. Tuz oranı %0 olan 0 litre tuzlu suya kaç litre su ilave edilirse tuz oranı %5 e düşer? A) 90 B) 00 C) 0 D) 0 E) 0 8, Tuz oranı %40 olan 50 litre çözeltiden kaç litre su buharlaştırılırsa kalan çözeltinin tuz oranı %50 olur? A) 0 B) 0 C) 40 D) 50 E) 60 Raunt

122 Sınav Kodu: M09050 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Konu Testi. Bir sayının 4 katının 6 eksiği, aynı sayının yarısının 7 katına eşittir. Buna göre, bu sayı kaçtır? A) B) C) 0 D) 9 E) Bir taksimetre ilk açılışta, her 500 m için de 5 kuruş yazmaktadır. Buna göre, 6 km uzaklıktaki evine gitmek isteyen Ceren, kaç taksi ücreti ödemelidir? A) B) 0 C) 9 D) 8 E) gramı a olan fındığın, 800 gramı (a + 5) dır. Buna göre, fındığın kilosu kaç dir? A) 4 B) 0 C) D) 6 E) Uzunlukları 0 cm olan iki mum yakıldıkları zaman birisinin saatte cm si, diğerinin ise saatte cm si erimektedir. Buna göre, bu iki mum aynı anda yakıldıktan kaç saat sonra, birinin boyu diğerinin boyunun katı olur? A),5 B) 4 C) 5 D) 7,5 E) 8. Bir tahta çubuk eşit uzunlukta 6 parçaya ayrılıyor. Bu çubuk eşit uzunlukta 4 parçaya ayrılsaydı, her bir parçanın boyu 5 cm daha uzun olacaktı. Buna göre, bu tahta çubuk 0 parçaya ayrılsaydı her bir parçanın boyu kaç cm olurdu? A) 0 B) C) 8 D) 6 E) 5 7. Bir bakkal 0 ye aldığı 5 kg peyniri, 500 er gramlık paketler halinde satacaktır. Her bir paket için 0, paketleme masrafı yapan bakkal, bir paket peyniri 4,5 den satıyor. Buna göre, bakkal peynirin tamamını sattığında toplam kaç kâr elde eder? A) 8 B) 5 C) D) 0 E) 8 4. Bir öğrenci, her gün bir önceki gün okuduğu sayfa sayısının 0 fazlasını okuyarak bir kitabı 5 günde bitiriyor. Kitap toplam 80 sayfa olduğuna göre, bu öğrenci. gün kaç sayfa kitap okumuştur? A) B) 6 C) 48 D) 56 E) Bir şişenin ağırlığı, tamamı su ile dolu iken a gr, a üçte biri su ile dolu iken gr gelmektedir. Buna göre, boş şişenin ağırlığı kaç gr dır? A) a 5 B) a C) a 5 Da ) E) a 4 4 Raunt

123 Matematik - 9 Ünite- 9. Bir sınıftaki öğrenciler sıralara ikişerli otururlarsa 4 öğrenci ayakta kalıyor. Bu öğrenciler, üçerli otururlarsa sıra boşta kalıyor. Buna göre, sınıftaki öğrenci sayısı kaçtır? A) 4 B) C) D) 0 E) 8. Bir bilgi yarışmasında, yarışmacılara doğru yanıtladıkları her soru için 0 puan veriliyor, yanlış yanıtladıkları her soru için ise puanlarından 40 puan siliniyor. 0 soruya yanıt veren bir yarışmacı 00 puan kazandığına göre, doğru yanıtladığı soru sayısı kaçtır? A) 6 B) 8 C) 4 D) E) 0 0. Ozan elindeki cevizleri arkadaşlarıyla eşit olarak paylaştırdığında her birine şer ceviz düşüyor. Arkadaşlarına 4 er ceviz eksik verince kendisine 8 ceviz kaldığına göre, Ozan'ın toplam kaç cevizi vardır? A) 0 B) 48 C) 50 D) 60 E) 7 4. Bir otobüsteki bayan yolcu sayısı, toplam yolcu sayısının ü kadardır. Bu otobüse bir durakta 8 4 bayan 6 erkek yolcu biniyor ve son durumda bayan yolcu sayısı erkek yolcu sayısının si oluyor. Buna göre, başlangıçta otobüste toplam kaç yolcu vardır? A) 40 B) 45 C) 50 D) 55 E) 60. Bir pazarcı, pazara getirdiği karpuzların yarısını saatte 5 er tane, kalanını da saatte 0 şer tane satarak bitiriyor. Pazarcı, tüm karpuzları toplam 7 saatte sattığına göre, toplam kaç karpuz satmıştır? A) 00 B) 0 C) 50 D) 0 E) Kamil 4 kazağı günde, Kemal ise 5 kazağı 4 günde örebilmektedir. Buna göre, ikisi birlikte 55 adet kazağı kaç günde örebilir? A) 75 B) 60 C) 55 D) 50 E) 40. Tuna'nın cevizlerinin sayısı Meriç'in cevizlerinin sayısının katından 0 fazladır. Tuna Meriç'e 0 ceviz verince ikisinin cevizlerinin sayısı eşit oluyor. Buna göre, Tuna'nın başlangıçta kaç cevizi vardır? A) 40 B) 60 C) 70 D) 0 E) Bir lokantada kişilik ve 4 kişilik toplam adet masa vardır. Bu lokantada toplam adet sandalye bulunduğuna göre, kişilik kaç adet masa vardır? A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 0 Raunt

124 Sınav Kodu: M0905 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Konu Testi 4 7. Bir baba ile kızının yaşları oranı dir. 8 5 yıl sonra bu oran olacağına göre, baba kızından kaç yaş büyüktür? A) 0 B) C) 5 D) 8 E) 0 5. Bir babanın yaşı ile doğru, çocuğun yaşı ile ters orantılıdır. Baba ile çocuğunun 4 yıl önce yaşları farkı 40 ise babanın bugünkü yaşı kaçtır? A) 48 B) 5 C) 56 D) 64 E) 7. Bir annenin yaşı iki çocuğunun yaşları farkının 0 katıdır. 6 yıl sonra annenin yaşı çocukların yaşları farkının katı olacağına göre, kaç yıl sonra annenin yaşı çocukların yaşları farkının 5 katı olur? 6. Rüya doğduğunda Ece 6 yaşındaydı. Baran doğduğunda ise Rüya 4 yaşında olduğuna göre, Baran 8 yaşında iken Rüya ile Ece'nin yaşları toplamı kaç olur? A) 0 B) 8 C) 6 D) 4 E) 8 A) 8 B) 9 C) 0 D) E) 5. Arya, doğduğunda annesi 5 yaşındaydı. Arya'nın annesinin şimdiki yaşı, Arya'nın şimdiki yaşının 4 katından fazladır. Buna göre, Arya şimdi kaç yaşındadır? 7. Ali ile Cem'in yaşları toplamı 5 dir. Cem, Ali'nin şimdiki yaşına geldiğinde, Ali 65 yaşında olacaktır. Buna göre, Cem'in şimdiki yaşı kaçtır? A) B) C) D) 6 E) 7 A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 4. Kuzey 5 yıl önce Güney yıl sonra doğmuş olsalardı yaşları eşit olacaktı. Kuzey ile Güney'in 5 yıl sonraki yaşları toplamı 77 ise Güney'in şimdiki yaşı kaçtır? A) 0 B) C) 5 D) 7 E) 9 8. Ferhat z yılında, Serdar y yılında doğmuştur. Ferhat x yaşında olduğuna göre, Serdar kaç yaşındadır? A) z + y + x B) x z + y C) x z y D) z + x y E) z x + y 4 Raunt

125 Matematik - 9 Ünite- 9. İki kardeşin küçük olanı 4x + 8, büyük olanı 6x 4 yaşında olduğuna göre, iki kardeşin yaşları toplamı en az kaçtır? (x N) A) 7 B) 7 C) 7 D) 74 E) 75. Kerem ile Ceyda'nın yaşları toplamı 40 tır. Kerem, Ceyda'nın yaşında iken, Ceyda'nın doğmasına daha 4 yıl vardı. Buna göre, Kerem bugün kaç yaşındadır? A) B) 6 C) D) 8 E) 0. Eren ile Evren'in bugünkü yaşları toplamı 8 dir. Eren, Evren'in yaşında iken Evren'in doğmasına 8 yıl vardı. Eren ile Evren'in 5 yıl sonraki yaşları oranı kaçtır? A) B) C) D) E) k pozitif tam sayı olmak üzere üç kardeşin yaşları küçükten büyüğe doğru, k + 7, 5k +, 46 k olduğuna göre, büyük kardeş en az kaç yaşındadır? A) 8 B) 9 C) 40 D) 4 E) 4. Can'ın yaşı babasının yaşının 7 si, annesinin yaşının 6 sıdır. yıl sonra annesi ile babasının yaşları toplamı, Can'ın şimdiki yaşının katından fazla olacağına göre, Can şimdi kaç yaşındadır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) yılında doğan bir kişinin hangi yıldaki yaşı, doğum yılının rakamları toplamına eşittir? A) 0 B) 0 C) 0 D) 04 E) 05. Bir annenin yaşı, üç çocuğunun yaşları toplamının 6 katına eşittir. Çocukların yaşları toplamı annenin bugünkü yaşına geldiğinde annenin yaşının çocukların yaşları toplamına oranı kaç olur? 7 8 A) B) C) D) E) Bir ailede baba, anne ve iki çocuğun yaşları sırası ile (ab) iki basamaklı, (ba) iki basamaklı, a ve b doğal sayılardır. Baba, anneden çocukların yaş farkı kadar büyük olduğuna göre, büyük çocuk doğduğunda babanın yaşı kaç olabilir? A) 5 B) 9 C) 6 D) 56 E) 65 Raunt 5

126 Sınav Kodu: M0905 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Konu Testi 4. Bir hareketli belli bir yolu saatte V km hızla t saatte almıştır. Hareketli ortalama hızını iki katı kadar artırırsa aynı yolun yarısını kaç saatte alır? A) t Bt ) C) t D) t E) t Bir hareketli bir yolun 4 ünü gittikten sonra hızını iki katına çıkartıp kalan yolu yarım saatte alıyor. Buna göre, tüm yolun yarısını kaç dakikada almıştır? A) 0 B) C) 8 D) 4 E) 0. A B C Bir araç [AB] yolunu V hızıyla t saatte alıyor. B noktasına geldiğinde hızını iki kat artırarak [BC] yolunu t saatte alıyor. IABI Buna göre, oranı kaçtır? IACI 4 A) B) C) D) E) Bir mesafeyi V hızı ile 5 saatte ve V hızı ile 8 saatte alabilen bir hareketli aynı mesafeyi V + V hızı ile kaç saatte alır? A) B) C) D) E)4. A kentinden B kentine giden bir araç hızını üçte biri kadar azaltırsa bu yolu 9 saatte, hızını 0 km/saat artırırsa 5 saatte alıyor. Buna göre, A ile B arası kaç km dir? A) 600 B) 550 C) 500 D) 450 E) Bir atlet bir yarışmada 0 km/saat hızla x saat, 0 km/saat hızla x saat koşuyor. x < x olduğuna göre, bu yarışma sırasında atletin ortalama hızı km/saat olarak aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 6 B) 5 C) 4 D) E) 4. Bir araç x kilometrelik yolu saatte a km hızla, x kilometrelik yolu ise saatte a km hızla gidiyor. Buna göre, toplam yol boyunca aracın ortalama hızı saatte kaç km dir? 5 A) a 6 B) a 7 C) a 4 D) a E) a Ali, dairesel bir pistin çevresini 40 saniyede koşuyor. Serdar ise Ali ile aynı noktadan ters yönde koşuyor ve her 5 saniyede bir Ali ile karşılaşıyorlar. Serdar pistin çevresini kaç saniyede koşar? A) 4 B) 8 C) 9 D) 0 E) 4 6 Raunt

127 Matematik - 9 Ünite- 9. V A 400 km V B Şekilde verilen hızlarla aralarında 400 km mesafe bulunan A ve B şehirlerindeki araçlar aynı anda oklar yönünde harekete başlıyorlar. B den kalkan araç A ya vardığında A dan kalkan araç C'ye gidip hiç durmadan B'ye dönmüş oluyor. Buna göre, AC yolu kaç km dir? A) 800 B) 000 C) 00 D) 400 E) 600 C. A D C B A, B ve C noktalarından sırasıyla 5V, V ve V m/s hızlarıyla aynı anda harekete başlayan üç araçtan A ile C noktalarındaki araçlar D de karşılaştıklarında B deki araç C ye varıyor. ICDI + IBDI Buna göre, oranı kaçtır? IADI 7 7 A) B) C) D) E) Bir yelkenli durgun suda 5 saatte gittiği yolu rüzgar ile birlikte saatte gidiyor. Buna göre, yelkenli aynı yolu rüzgâra karşı kaç saatte alır? A) 0 B) C) 5 D) 8 E) 0. Dairesel bir pistin etrafında aynı anda aynı yöne doğru hareket eden üç hareketli 6, 9 ve 0 dakikada bir tur tamamlıyorlar. Bu üç hareketli aynı anda ilk kez pistin başlangıç noktasına geldiğinde hızlı olan yavaş olandan kaç tur fazla atmıştır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7. V A ve B noktalarından A sırasıyla hızları saatte V D ve V km olan araçlar şekildeki gibi ACB yolu O B üzerinden hereket ettiklerinde ilk kez 6 saat V C sonra karşılaşıyorlar. Bu araçlar A ve B noktalarından ADB yolu üzerinden harekete başlasalardı. karşılaşmaları kaç saat sonra olurdu? A) 8 B) 9 C) 0 D) E) 5 4. A B III I II A ve B noktalarından üç araç aynı anda hareket ediyorlar. I ve II. birbirine doğru yol alırken III., II. nin aksi yönünde harekete başlıyor. I. 60 km yolu 0 km/saat hızla aldığında II. 40 km yol almış ve o anda karşılaşmışlardır. III. araç 80 km/saat hızla yol aldığına göre, diğer ikisi karşılaştığında III. araç I. den ne kadar uzaklaşmıştır? A) 60 B) 80 C) 00 D) 0 E) Aralarında k km mesafe bulunan iki araç aynı anda aynı yöne doğru hareket ediyor. Arkadakinin hızı öndekinin hızından a km/saat fazladır. 4 Arkadaki araç, öndeki araca kaç saat sonra yetişir? k k k 4k k A) B) C) D) E) a a a a 4 a 6. x km uzunluğundaki bir tren km uzunluğundaki bir tüneli dakikada geçebilmektedir. Trenin saatteki hızı 7 km ise x kaçtır? A) B) C) D) E) Raunt 7

128 Sınav Kodu: M0905 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Konu Testi 4. Bir işi Emel 5 günde bitirebilmektedir. Emel bu işin 5 4 ünü kaç günde bitirebilir? A) 4 B) C) 0 D) 9 E) 8 5. Bir resim atölyesinde Devrim 4 günde resim, eşi Elif ise 5 günde resim yapmaktadır. Açacakları sergide 95 resim sergileyeceklerine göre tüm resimleri birlikte kaç günde tamamlarlar? A) 70 B) 75 C) 85 D) 95 E) 00. Bir işi Türkan 6 günde Hüseyin günde bitirebiliyor. İkisi aynı anda bu işe başladıklarında işin tamamını kaç günde bitirebilirler? A) B) C) 4 D) 5 E) 9 6. Bir işe ilk gün saat çalışarak başlayan Hilmi çalışma süresini her gün saat artırarak 4 günde işi bitiriyor. Buna göre, Hilmi. günün sonunda işin yüzde kaçını bitirmiş olur? A) 5 B) 0 C) 5 D) 40 E) 45. Gamze ve Yiğit bir işe birlikte 6 günde bitirebiliyorlar. Gamze bu işi tek başına 8 günde bitirebildiğine göre, Yiğit bu işin 4 ini kaç günde yapar? A) 4 B) 6 C) 8 D) E) 4 7. Özgecan, Ebru ve Şafak aynı işi sırasıyla 8, ve 5 günde bitirebiliyorlar. Üçü birlikte bu işin ini kaç günde bitirirler? 0 A) B) C) D) 4 E) 5 4. Melike bir işin 5 ünü saatte, Eren aynı işin 4 ünü 9 saatte yapabilmektedir. İkisi birlikte bu işin sini kaç saatte yaparlar? 5 A) B) 4 C) 6 D) E) 5 8. Aynı güçteki 4 usta bir işi saatte, aynı güçteki 8 kalfa aynı işi saatte bitirebilmektedir. Bir usta ve bir kalfa bu işi kaç saatte bitirebilir? A) 6 B) 8 C) 9 D) 0 E) 8 Raunt

129 Matematik - 9 Ünite- 9. Üç işçi bir işi sırasıyla tek başlarına x, y, z günde bitirebilmektedirler. Üçü birlikte bu işi günde bitiriyorlar. z Z ve x < y < z olduğuna göre, işi tek başına z günde bitiren işçi en az kaç günde bitirebilir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8. Ümmani, Emel'in i hızda, Gamze'nin ise 4 i hızda çalışmaktadır. Emel ve Gamze bir işi birlikte günde bitirebildiklerine göre, Ümmani yalnız başına aynı işi kaç günde bitirebilir? A) 84 B) 7 C) 64 D) 5 E) Gözde, Göksel ve Ceylin bir işi beraber 5 günde yapabiliyorlar. Göksel ve Gözde bu işin sini birlikte günde bitirebiliyorlar. Buna göre, Ceylin bu işin katını tek başına kaç günde bitirebilir? A) 0 B) 90 C) 75 D) 7 E) Bir işi Mete tek başına 8, Efe ise 4 günde yapabiliyor. İkisi beraber gün çalıştıktan sonra Mete işten ayrılıyor. Kalan işi Efe tek başına kaç günde bitirebilir? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7. Bir işçi çalışma gücünü 7 oranında düşürürse işi günde bitirebiliyor. Eski çalışma hızı ile çalışmaya devam etseydi aynı işi kaç günde bitirebilirdi? A) 8 B) 0 C) D) 8 E) 5. 5 parça işi eşit kapasiteli 5 işçi günde saat çalışarak günde bitirebiliyor. Aynı işçilerin 4 parça işi günde 4 saat çalışarak günde bitirebilmeleri için kaç işçi işten ayrılmalıdır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7. Aynı kapasitede 5 işçi bir işi birlikte 4 günde bitirebiliyorlar. Birlikte gün çalıştıktan sonra işçilerden ü işten ayrılıyor. Kalan işi kalan işçiler kaç günde bitirebilirler? A) 6,5 B) 7 C) 7,5 D) 8 E) 8,5 6. Bir işi A ve B işçileri birlikte 4 saatte, B ve C işçileri birlikte saatte, A ve C işçileri birlikte 6 saatte bitirebiliyor. Üçü beraber çalışırsa işi ne kadar sürede bitirebilirler? A) saat 0 dk B) saat 0 dk C) saat 40 dk D) saat 40 dk E) saat 0 dk Raunt 9

130 Sınav Kodu: M09054 DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Konu Testi 44. %0 sinin %0 sinin %0 si 4 olan sayı kaçtır? A) 500 B) 450 C) 400 D) 50 E) Bir bisikletin fiyatına önce %0 zam, sonra zamlı fiyat üzerinden %0 daha zam yapılıyor. Toplam yapılan zam yüzde kaçtır? A) 0 B) C) D) E) 5. Buğdayın ağırlığının %80 i kadar un, unun ağırlığının %60 ı kadar hamur elde ediliyor. Buna göre, 44 kilo hamur elde etmek için kaç kilo buğday kullanılmalıdır? A) 50 B) 0 C) 00 D) 80 E) ye alınan bir malın yarısına %0 zam diğer yarısına da %0 indirim yapılırsa kâr - zarar durumu aşağıdakilerden hangisidir? A) %5 kâr B) %5 zarar C) % kâr D) % zarar E) Ne kâr ne zarar. Yanlışların doğruları götürmediği bir sınava giren öğrenci, sorulan 0 matematik sorusundan kaçına doğru cevap verirse sınavda matematikten %60 başarı sağlamış olur? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0 7. Bir malın 4 ü %0 zararla satılırken kalanı %0 kârla satılırsa tüm malın kâr zarar durumu aşağıdakilerden hangisidir? A) %40 kâr B) %40 zarar C) %0 kâr D) %0 zarar E) %0 zarar 4. Bir kabiledeki kişi sayısı her yıl %0 oranında azalmaktadır. yılın sonunda kabilede toplam 6 kişi olduğuna göre,. yılın sonunda kabilede kaç kişi vardır? A) 5 B) 8 C) 0 D) E) 4 8. %0 u kız olan bir sınıfa 5 kız öğrenci daha katılırsa erkekler tüm sınıfın %60 ı oluyor. Buna göre, bu sınıfta başlangıçta kaç kız öğrenci vardır? A) 8 B) 9 C) 0 D) E) 0 Raunt

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

1.DERECEDEN DENKLEMLER. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)

1.DERECEDEN DENKLEMLER.  (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) .DERECEDEN DENKLEMLER Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları 8 Ağustos 07 0. Bir Bilinmeyenli

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

12-A. Sayılar - 1 TEST

12-A. Sayılar - 1 TEST -A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç

Detaylı

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR 1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği

Detaylı

SAYILAR SAYI KÜMELERİ

SAYILAR SAYI KÜMELERİ SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1.Sayma Sayıları Kümesi: S=N =1,2,3,... 2. Doğal Sayılar Kümesi : N=0,1,2,... 3. Tamsayılar Kümesi : Z=..., 2, 1,0,1,2,... Sıfırın sağında bulunan 1,2,3,. tamsayılarına pozitif tamsayılar

Detaylı

SAYILAR SAYI KÜMELERİ

SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1 SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1.Sayma Sayıları Kümesi: S=N =1,2,3,... 2. Doğal Sayılar Kümesi : N=0,1,2,... 3. Tamsayılar Kümesi : Z=..., 2, 1,0,1,2,... Sıfırın sağında bulunan 1,2,3,. tamsayılarına pozitif

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3)": ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3): ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4 Üniversite Haz rl k Sözcükte Do al ve Say lar Söz Öbeklerinde ve Tam Say lar Anlam - I - I Kolay Temel Matematik. 8 ( + ) A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 6.! ( )": ( ) A) B) 0 C) D) E). 7. + 5 A) 6 B) 7 C) 8 D)

Detaylı

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir. ANALĐTĐK GEOMETRĐ 1. Analitik Düzlem Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur? 07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

ÜNİTE: TAM SAYILAR KONU: Tam Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi

ÜNİTE: TAM SAYILAR KONU: Tam Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi ÜNE: AM AYIAR N: am ayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE RAR VE ÇÖZÜMER 1. [(+17) (+25)] + [( 12) (+21)] işleminin sonucu A) 41 B) 25 C) 25 D) 41 Çıkarma işlemi yapılırken çıkanın işareti değişir ve eksilen

Detaylı

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Matematiğe Giriş... Temel Kavramlar... Bölme - Bölünebilme Kuralları... 85 EBOB - EKOK... Rasyonel Sayılar... Basit Eşitsizlikler... 65 Mutlak

Detaylı

ÜNİTE: RASYONEL SAYILAR KONU: Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi

ÜNİTE: RASYONEL SAYILAR KONU: Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi ÜNTE: RASYONEL SAYILAR ONU: Rasyonel Sayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE SORULAR VE ÇÖZÜMLER. işleminin sonucu B) D) ki rasyonel sayının farkını bulmak için çıkan terimin toplama işlemine göre tersi alınarak

Detaylı

2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR

2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR 2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR KONULAR 1. RASYONEL SAYILAR 2. Kesir Çeşitleri 3. Kesirlerin Sadeleştirilmesi 4. Rasyonel Sayılarda Sıralama 5. Rasyonel Sayılarda İşlemler 6. ÜSLÜ İFADE 7. Üssün

Detaylı

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84 N 0,1,,... Sayı kümesine doğal sayı kümesi denir...., 3,, 1,0,1,,3,... sayı kümesine tamsayılar kümesi denir. 1,,3,... saı kümesine sayma sayıları denir.pozitif tamsayılar kümesidir. 15 y z x 3 5 Eşitliğinde

Detaylı

{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde

{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde 1. Aşağıdaki kümelerden hangisi sonsuz küme belirtir? A) A = { x 4 < x < 36,x N} B) B = { x 19 < x,x asal sayı} C) C = { x x = 5k,0 < x < 100,k Z} D) D = { x x = 5, x Z} E) E = { x x < 19,x N}. A, B ve

Detaylı

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 8. SINIF. Üslü Sayılar - = T olduğuna göre T kaçtır? A) - B) - C) D) 7 TEST.. 0 - işleminin sonucu kaç basamaklı bir sayıdır? A) B) C) 6 D) 7. n =- 7 için n ifadesinin değeri kaçtır? A) - 8 B) - C) 8 D)

Detaylı

ÜSLÜ SAYILAR. AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama

ÜSLÜ SAYILAR. AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama KURAL: Bir sayının belli bir sayıda yan yana çarpımının kolay yoldan gösterimine üslü sayılar denir. Örneğin 5 sayısının

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. A. SAYILAR Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Sayı : Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.! Her rakam bir sayıdır. Fakat bazı

Detaylı

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU MATEMATİK Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU Mesleki Matematik 1 TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Sayıları yazmak için kullandığımız işaretlere rakam denir. Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Detaylı

Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik

Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik 1. Ünite: Geometriden Olasılığa 1. Bölüm: Yansıyan ve Dönen Şekiller, Fraktallar Yansıma, Öteleme, Dönme Fraktallar 2. Bölüm: Üslü Sayılar Tam

Detaylı

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Đşlem ĐŞLEM A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona ikili işlem denir. Örneğin toplama, çıkarma, çarpma birer işlemdir. Đşlemler

Detaylı

MUTLAK DEĞER. Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z. Örnek...7 : x=1 5, y= 5 2, ise x+y y x x =? Örnek...1 : =? Örnek...8 : Örnek...2 : =?

MUTLAK DEĞER. Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z. Örnek...7 : x=1 5, y= 5 2, ise x+y y x x =? Örnek...1 : =? Örnek...8 : Örnek...2 : =? TANIM MUTLAK DEĞER Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z ise x y x z z y =? Bir x reel sayısına karşılık gelen noktanın sayı doğrusunda 0 (sıf ır) a olan uzaklığına x sayısının mutlak değeri denir ve x şeklinde

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde ezberbozan serisi MATEMATİK GEOMETRİ KPSS 2017 SORU BANKASI eğitimde tamamı çözümlü 30. Kerem Köker Kenan Osmanoğlu Levent Şahin Uğur Özçelik Ahmet Tümer Yılmaz Ceylan KOMİSYON KPSS EZBERBOZAN MATEMATİK

Detaylı

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından

Detaylı

ales dört bin soru tarzına en yakın EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan

ales dört bin soru tarzına en yakın EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ales 2015 tarzına en yakın dört bin soru EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ALES Eşit Ağırlık ve

Detaylı

XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı

XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı A 1. Köşeleri, yarıçapı 1 olan çemberin üstünde yer alan düzgün bir n-genin çevre uzunluğunun alanına oranı 4 3 ise, n kaçtır? 3 a) 3 b) 4 c) 5 d)

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi...

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi... İÇİNDEKİLER HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları... 1 Benzer Terim... Harfli İfadenin Terimlerini Toplayıp Çıkarma... Harfli İfadelerin Terimlerini Çarpma... Harfli İfadelerde Parantez Açma...

Detaylı

ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr

ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr ASAL SAYILAR ve kendisinden aşka pozitif öleni olmayan den üyük doğal sayılara asal sayı denir.,, 5, 7,,, 7, 9, sayıları irer asal sayıdır. En küçük asal sayı dir. den aşka çift asal sayı yoktur. den aşka

Detaylı

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1 1. BÖLÜM Sayılarda Temel Kavramlar Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK Kontrol Noktası 1 Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. {0, 1, 2,..., 9} II. {1, 2, 3,...} III. {0, 1, 2,

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI 1. 1999 ÖSS a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere a+ b ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde c edilir? 3 a+ b A) B) c a+ 3b C)

Detaylı

TAM SAYILAR. Tam Sayılarda Dört İşlem

TAM SAYILAR. Tam Sayılarda Dört İşlem TAM SAYILAR Tam Sayılarda Dört İşlem Pozitif ve negatif tam sayılar konu anlatımı ve örnekler içermektedir. Tam sayılarda dört işlem ve bu konuyla ilgili örnek soru çözümleri bulunmaktadır. Grup_09 29.11.2011

Detaylı

3 7 üs(kuvvet) 5 2 ( 4 3 ( 7 5 (

3 7 üs(kuvvet) 5 2 ( 4 3 ( 7 5 ( Bu konuda üslü sayılarla ilgili kazanımları maddeler halide işleyeceğiz Normalde 8 sınıf matematik kazanımları üslü sayılar konusunda negatif üs kavramı ile başlamasına rağmen bu çalışma kağıdında 6sınıf

Detaylı

Bir bütünün eş parçalarının bütüne olan oranı kesir olarak adlandırılır. b Payda

Bir bütünün eş parçalarının bütüne olan oranı kesir olarak adlandırılır. b Payda Matematik6 Bir Bakışta Matematik Kazanım Defteri Özet bilgi alanları... Kesirlerle İşlemler KESİR ve KESİRLERDE SIRALAMA Bir bütünün eş parçalarının bütüne olan oranı kesir olarak adlandırılır. Bir kesirde

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -1

II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -1 II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -. 5 {, 5} {, 5} { 5, } {, 5} {, 5} 5. 5 {,, } {,, } {,, } {,, } {,, }.. 5 7 7 5 5,, 5 5, 5 5, 5 5, 6. 7. 5 95 { 5,, } {,, 5} { 5,, 9} {,, 5} { 9,, 5} 6 66 {, } {,, } {,,

Detaylı

Cebir Notları. Birinci Derecen Denklemler TEST I. Gökhan DEMĐR, x

Cebir Notları. Birinci Derecen Denklemler TEST I. Gökhan DEMĐR, x MC www.matematikclub.com, 006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Birinci Derecen Denklemler TEST I. 7 [ [ ( )] ] + 6 = ( ) + denkleminin kökü 6. + 7 = 0 denkleminin köklerinin toplamı A) B)

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar,

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar, 1. 9 2 x 2 ifadesinin açılımında sabit x terim kaç olur? A) 672 B) 84 C) 1 D) -84.E) -672 6. Ali her gün cebinde kalan parasının %20 sini harcamaktadır. Pazartesi sabahı haftalığını alan Ali ni Salı günü

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 15 Nisan Matematik Soruları ve Çözümleri

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 15 Nisan Matematik Soruları ve Çözümleri Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 5 Nisan 990 Matematik Soruları ve Çözümleri. 0,0703.(0,3 0,) işleminin sonucu kaçtır? A) 0,00703 B) 0,0703 C) 0,703 D) 0,0703 E) 0,00703 Çözüm 0,0703.(0,3 0,) 0,0703.0, 0,00703.

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI. MATEMATİK YARIŞMASI 0. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 5. sayısının virgülden sonra 9 99 999 5. basamağındaki rakam kaçtır? A) 0 B) C) 3 D) E) 8!.!.3!...4! 4. A= aşağıdaki hangi

Detaylı

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir.

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir. Biz, Sizin İçin Farklı Düşünüyor Farklı Üretiyor Farklı Uyguluyoruz Biz, Sizin İçin Farklıyız Sizi de Farklı Görmek İstiyoruz Soru Bankası matematik konularını yeni öğrenen öğrenciler için TMOZ öğretmenlerince

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 1

LYS MATEMATİK DENEME - 1 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

ALES EŞİT AĞIRLIK VE SAYISAL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI. Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan. Eğitimde

ALES EŞİT AĞIRLIK VE SAYISAL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI. Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan. Eğitimde ALES 2017 EŞİT AĞIRLIK VE SAYISAL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan Eğitimde 30. yıl Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ALES Eşit Ağırlık ve Sayısal Soru

Detaylı

matematik sayısal ve mantıksal akıl yürütme

matematik sayısal ve mantıksal akıl yürütme çöz kazan matematik sayısal ve mantıksal akıl yürütme kpss 2015 ÖSYM sorularına en yakın tek kitap tamamı çözümlü geometri 2014 kpss de 94 soru yakaladık soru bankası Kenan Osmanoğlu, Kerem Köker KPSS

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,

Detaylı

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 İçindekiler 1. ÜNİTE Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8 Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18 Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 Bölüm 4 :- Çarpanlar ve Katlar, Bölünebilme... 40 Bölüm 5 : Asal Sayılar, Ortak Bölenler,

Detaylı

140. 2< a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9 2,4 2,7 3,2 3,7. a a c b ve c a a b c

140. 2< a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9 2,4 2,7 3,2 3,7. a a c b ve c a a b c 138. a ve b gerçel sayılardır. a < a, 6a b 5= 0 b ne olabilir? (11) 4 5 8 11 1 139. < 0 olmak üzere, 4 3. =? ( 3 ) a 1 140. < a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9,4,7 3,

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13 TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y): x ile y nin farkı n ile tam bölünür} = {(x,y): n x-y, n N + } bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. (x,y) ise x y (mod

Detaylı

SAYILAR ( ) MATEMATİK KAF01 RAKAM VE DOĞAL SAYI KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. Sayıları ifade etmeye yarayan

SAYILAR ( ) MATEMATİK KAF01 RAKAM VE DOĞAL SAYI KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. Sayıları ifade etmeye yarayan SAYILAR RAKAM VE DOĞAL SAYI KAVRAMI MATEMATİK KAF01 TEMEL KAVRAM 01 Sayıları ifade etmeye yarayan { 0,1,, 3, i i i,9} kümesindeki semollere onluk sayma düzeninde rakam denir. N =... kümesinin elemanlarına

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

ÜSLÜ SAYILAR SİBEL BAŞ AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM FAK. İLKÖĞRT. MAT. ÖĞRT. 2. SINIF

ÜSLÜ SAYILAR SİBEL BAŞ AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM FAK. İLKÖĞRT. MAT. ÖĞRT. 2. SINIF ÜSLÜ SAYILAR SİBEL BAŞ 20120907010 AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM FAK. İLKÖĞRT. MAT. ÖĞRT. 2. SINIF 1 ANLATIMI ÜSLÜ SAYILAR KONU Üslü sayılar konu anlatımı içeriği; Üslü sayıların gösterimi, Negatif üslü

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Nisan 1994. Matematik Soruları ve Çözümleri = 43. olduğuna göre a kaçtır?

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Nisan 1994. Matematik Soruları ve Çözümleri = 43. olduğuna göre a kaçtır? Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Nisan 1994 Matematik Soruları ve Çözümleri 4.10 +.10 1. 4 10 4 işleminin sonucu kaçtır? A) 0,4 B) 4, C) 4 D) 40 E) 400 Çözüm 1 4.10 +.10 4 10 4 4.10 +.10 10 1+ 1 = 4 4 (40+

Detaylı

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol:

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol: EBOB - EKOK En Büyük Ortak Bölen (Ebob) İki veya daha fazla pozitif tamsayıyı aynı anda bölen pozitif tamsayıların en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve kısaca Ebob ile gösterilir. Örneğin,

Detaylı

SORU BANKASI GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme. Eğitimde. Lise ve Ön Lisans Adayları İçin MATEMATİK

SORU BANKASI GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme. Eğitimde. Lise ve Ön Lisans Adayları İçin MATEMATİK KPSS Genel Yetenek Genel Kültür Lise ve Ön Lisans Adayları İçin MATEMATİK Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme KPSS 2016 Pegem Akademi Sınav Komisyonu; 2014 KPSS ye Pegem Yayınları ile hazırlanan adayların,

Detaylı

MUTLAK DEĞER Test -1

MUTLAK DEĞER Test -1 MUTLAK DEĞER Test -. < x < olduğuna göre, x x ifadesinin eşiti aşağıdakilerden 7 B) 7 x C) x 7 D) x 7 E) 7 x 5. y < 0 < x olduğuna göre, y x x y x y ifadesinin eşiti aşağıdakilerden xy B) xy C) xy D) xy

Detaylı

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir.

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. 1 DENKLEMLER: Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. Bir denklemde eşitliği sağlayan(doğrulayan) değerlere; verilen denklemin kökleri veya

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

Yeşilköy Anadolu Lisesi

Yeşilköy Anadolu Lisesi Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi

Detaylı

KE00-SS.08YT05 DOĞAL SAYILAR ve TAM SAYILAR I

KE00-SS.08YT05 DOĞAL SAYILAR ve TAM SAYILAR I Üniversite Hazırlık / YGS Kolay Temel Matematik 0 KE00-SS.08YT05 DOĞAL SAYILAR ve TAM SAYILAR I. 8 ( 3 + ) A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 6. 3! 3 ( 3 3)": ( 3) A) B) 0 C) D) E) 3. 7 3. + 5 A) 6 B) 7 C) 8 D) 0

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI 0 KULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 0 SINIFLAR SRULARI (5xy) dört basamaklı sayıdır 5 x y 6 - a 3 Yukarıdaki bölme işlemine göre y nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? 4 m pozitif bir tamsayı olmak üzere;

Detaylı

T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları

T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu 016-017 Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları 1) 3. [15 3(8: )] 9 =? a) 16 b) 14 c) 0 d) 14 e) 16 6)

Detaylı

Köklü Sayılar ,1+ 0,1+ 1, 6= m 10 ise m kaçtır? ( 8 5 ) 2x 3. + a =? (4)

Köklü Sayılar ,1+ 0,1+ 1, 6= m 10 ise m kaçtır? ( 8 5 ) 2x 3. + a =? (4) Köklü Sayılar.,+ 0,+, 6= m 0 ise m kaçtır ( 8 5 ). a= ise a + a (). : :... = 8 0 0... eşitliğini sağlayan değeri nedir (). 99.0+.6+ (75) 5. + : + 8 7 8 () 6. > 0 ve = olduğuna göre ( ) + a+ b 7. a, b R

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

önce biz sorduk KPSS Soruda 92 soru GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR MATEMATİK GEOMETRİ SORU BANKASI TAMAMI ÇÖZÜMLÜ Eğitimde

önce biz sorduk KPSS Soruda 92 soru GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR MATEMATİK GEOMETRİ SORU BANKASI TAMAMI ÇÖZÜMLÜ Eğitimde KPSS 2017 önce biz sorduk 120 Soruda 92 soru GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR MATEMATİK GEOMETRİ SORU BANKASI TAMAMI ÇÖZÜMLÜ Eğitimde 30. yıl Editör Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker Yazar Komisyon KPSS Matematik-Geometri

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

4. Çok büyük ve çok küçük pozitif sayıları bilimsel gösterimle ifade eder.

4. Çok büyük ve çok küçük pozitif sayıları bilimsel gösterimle ifade eder. LENDİRME ŞEMASI ÜNİTE Üslü 1. Bir tam sayının negatif kuvvetini belirler ve rasyonel sayı olarak ifade eder.. Ondalık kesirlerin veya rasyonel sayıların kendileriyle tekrarlı çarpımını üslü sayı olarak

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 13 Mayıs Matematik Sorularının Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 13 Mayıs Matematik Sorularının Çözümleri Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 1 Mayıs 01 Matematik Sorularının Çözümleri 1. 9! 8! 7! 9! + 8! + 7! 7!.(9.8 8 1) 7!.(9.8+ 8+ 1) 6 81 9 7. 4, π, π π,14

Detaylı

NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4

NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4 NİSAN 21 DENEMESİ 1) ABCD dikdörtgeninin AB kenarı üzerindeki M noktasından geçen ve CM doğrusuna dik olan doğru AD kenarını E noktasında kesiyor. M noktasından CE doğrusuna indirilen dikmenin ayağı P

Detaylı

: Yetmiş yedi milyon altı yüz doksan beş bin dokuz yüz dört

: Yetmiş yedi milyon altı yüz doksan beş bin dokuz yüz dört Matematik Bir Bakışta Matematik Kazanım Defteri Özet bilgi alanları... Doğal Sayılar DOĞAL SAYILARI OKUMA ve YAZMA Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK), adrese dayalı nüfus kayıt sistemi sonuçlarına göre Türkiye

Detaylı

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI BİREYSEL YARIŞMA SORULARI CEVAPLARI CEVAP KAĞIDI ÜZERİNE YAZINIZ. SORU KİTAPÇIĞINI KARALAMA MAKSATLI KULLANABİLİRSİNİZ 1

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

5. a ve b birer pozitif tam sayıdır. A) 1 B) 2 C) 3 D) 14 E) a ve b birer doğal sayıdır. 7. a ve b birer pozitif tam sayıdır.

5. a ve b birer pozitif tam sayıdır. A) 1 B) 2 C) 3 D) 14 E) a ve b birer doğal sayıdır. 7. a ve b birer pozitif tam sayıdır. Üniversite Haz rl k Sözcükte Do al ve Say lar Söz Öbeklerinde ve Tam Say lar Anlam - I - I YGS Temel Matematik. 8 + 4. + 8 : 4 işleminin sonucu A) 8 B) 9 C) D) 5 E) 8 5. a ve b birer pozitif tam sayıdır.

Detaylı

Rasyonel Sayılarla İşlemler. takip edilir.

Rasyonel Sayılarla İşlemler. takip edilir. Matematik Bir Bakışta Matematik Kazanım Defteri Rasyonel Sayılarla İşlemler Özet bilgi alanları... RASYONEL SAYILARLA ÇOK ADIMLI İŞLEMLER Çok adımlı işlemlerde şu sıra takip edilir : Parantez içindeki

Detaylı

ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1

ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 1. ve y aralarında asal iki doğal sayıdır. 7 y 11 olduğuna göre, y farkı 5. 364 sayısının en büyük asal böleni A) 3 B) 7 C) 11 D) 13 E) 17 A) B) 3 C) 4

Detaylı

7.1 Karmaşık Sayılar. x 2 = 1. denkleminin çözümü olarak +i ve i sayıları tanımlanır. Tanım 7.1.

7.1 Karmaşık Sayılar. x 2 = 1. denkleminin çözümü olarak +i ve i sayıları tanımlanır. Tanım 7.1. Bölüm 7 Karmaşık Sayılar Karmaşık sayılar gerçel sayıların genişlemesiyle elde edilen daha büyük bir kümedier. Genişleme şu gereksemeden doğmuştur: x 2 = +1 denklemimin çözümü +1, 1 sayılarıdır ve R içindedir.

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme. Eğitimde

MATEMATİK SORU BANKASI GEOMETRİ KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme. Eğitimde KPSS Genel Yetenek Genel Kültür MATEMATİK Sayısal ve Mantıksal Akıl Yürütme KPSS 2016 Pegem Akademi Sınav Komisyonu; 2015 KPSS ye Pegem Yayınları ile hazırlanan adayların, 100'ün üzerinde soruyu kolaylıkla

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR A: SAYI Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Ör: 0,1,2,3,4,5,6 Rakamların çokluk belirtecek şekilde bir araya getirilmesiyle oluşturulan ifadeler ifadesine sayı denir.

Detaylı

EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE

EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE Ay 2016 2017 EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE Hafta ÖĞRENME ALANI ALT ÖĞRENME ALANI KAZANIMLAR EYLÜL 3 4 Sayılar ve İşlemler Çarpanlar

Detaylı

2003 ÖSS Soruları. işleminin sonucu kaçtır? ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) 7 C) 9 D) 11 E) 21

2003 ÖSS Soruları. işleminin sonucu kaçtır? ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) 7 C) 9 D) 11 E) 21 00 ÖSS Soruları,, 0,0. + + 0, 0, 0,00 işleminin sonucu kaçtır? ) ) 7 ) 9 ) ). ( y )( + y+ y ) ( y) c + m y ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? ) y ) + y ) y y + y ) ) + y y. (0,

Detaylı

DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ

DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ Koordinatlar DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ Bilindiği gibi, düzlemdeki her bir noktaya bir (a,b) sıralı ikilisi, her bir (a,b) sıralı ikilisine bir nokta karşılık gelir. Eğer bir A noktasına karşılık gelen

Detaylı

7 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3. Not : a buluruz. Doğru Cevap : E şıkkı

7 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3. Not : a buluruz. Doğru Cevap : E şıkkı ) 3 4 5 3 0 A) B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 0 Not : a 0 3 4 5 3 4 5 3 3 3.3.3... ÜSLÜ SAYILAR QUİZİ VE CEVAPLARI 6 4 4 3 buluruz. Doğru Cevap : E şıkkı 0 ) n bir doğal saı olmak üzere, ( ) ( ) n ( ) n n n A) 4

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Mantık Kurallarının Elektrik Devrelerine Uygulanması... 14

İÇİNDEKİLER. Mantık Kurallarının Elektrik Devrelerine Uygulanması... 14 İÇİNDEKİLER 1. BÖLÜM MANTIK Giriş... 1 Genel Olarak Mantık... 1 Mantığın Tarihçesi ve Modern Mantığın Doğuşu... 1 Mantık Öğretimin Önemi ve Amacı... 2 Önerme... 3 VE İşlemi (Birlikte Evetleme, Mantıksal

Detaylı

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces TANIM n bir doğal sayı ve a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n birer gerçel sayı olmak üzere, P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n 1 x n 1 +a n x n biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel)

Detaylı