Dr. Mehmet AKSARAYLI

Transkript

1 Dr. Mehmet AKSARAYLI Şans Değişeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yaısına uygun freansta oluşum gösteren değişendir. Şans Değişenleri KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Kesili Şans Süreli Şans Bl. 4 Değişenleri Değişenleri Bl. Dr. Mehmet AKSARAYLI Kesili Şans Değişenleri 1. Sayısal bir değerle ifade edilen bir olay ara atımındai tura sayısı, 1 yada tura gözlenmesi. Kesili şans değişeni ; Tam sayılar: (, 1,, 3 vb.) Sayara elde edilmiş sayılar Kesili Şans Değişeni Örneleri Deney Şans Değişeni Mümün Değerler 1 Satış araması yama Satış sayısı, 1,,..., 1 7 radyoyu muayene etme Kusurlu sayısı, 1,,..., 7 33 soruya ceva verme Doğru sayısı, 1,,..., 33 11: ile 13: arasında gişedei araba sayısı Gelen araba sayısı, 1,,..., 3 4 Kesili Olasılı Dağılımı Tüm mümün [ i, ( i ) ] çiftlerini içerir. i = Şans değişeninin değeri (çıtı) ( i ) = Değerlerle ilgili olasılılar, D tanım aralığına sahi esili bir şans değişeni olsun. () in e ait bir olasılı fonsiyonu olabilmesi için; Her için () ve () = 1 olmalıdır. Kesili olasılı dağılımı örneği: Olay: arayı atı turaları sayıyoruz. Olasılı Dağılımı Değerler, i Olasılılar, ( i ) 1/4 =. 1 /4 =. 1/4 =. 6 1

2 Kesili Olasılı Dağılımlarının Görselleştirilmesi Kesili Rassal Değişenin Ortalaması ve Standart Saması Listeleme { (,.), (1,.), (,.) } Tablo # Tura Fr. (i) in belenen değeri = = E() = in varyansı = D. ( ) E( ) E( ) V() = E[ ( i ( i f( i ) = ()... Grafi 1 Denlem n! ) ( 1 )!( n )! n 7 8 Örne: Bir otomobil bayisinin günlü araba satışlarının dağılımının aşağıdai gibi olduğunu ifade etmetedir ),,8,1,19,4,17,1,4,1 Bu dağılışa göre bayinin; a) ten fazla araba satması olasılığını bulunuz = 6) + P ( = 7 ) + P ( = 8 ) =,1 b) Satışların belenen değerini hesalayı yorumlayınız. E() = i ) = ()(,)+(1)(,8)+()(,1)+.+(8)(,1) =3,7 Bayinin 1 günde 37 araba satışı yaması belenir. c) Satışların varyansını bulunuz. E( ) = =( )(,)+(1 )(,8)+.+ (8 i ) )(,1) = 16,68 Var()= E( ) - [E()] = 16,68 - (3,7) =,84 9 Kesili Olasılı Dağılımları Kesili Üniform Dağılımı Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Negatif Binom (Pascal) Dağılımı Geometri Dağılım Hiergeometri Dağılım Poisson Dağılımı 1 Kesili Üniform Dağılımı Kesili bir şans değişeni tanımlı olduğu tüm notalarda eşit olasılı değerine sahi ise bir başa ifadeyle tanımlı olduğu değerlerin hesinde olasılı fonsiyonun aldığı değer sabit ise bu esili şans değişeni Kesili Uniform dağılımına uygundur. Kesili Uniform dağılımı gösteren bir şans değişeni farlı notada tanımlı ise olasılı dağılımı; 1 ) şelinde ifade edilir. 1,,3..., d. d Kesili Üniform Dağılımının Belenen Değer ve Varyansı 1 E( ) ) i i i 1 1 ( 1)( 1) Var( ) 1 1 ( 1)

3 Bernoulli Deneyleri Örne: Hilesiz bir zar atıldığında şans değişeni ortaya çıabilece farlı durum sayısını ifade ettiğinegöre inolasılı dağılımı oluşturara belenen değerini ve varyansını bulunuz. S = { / 1,,3,4,,6 } Ortaya çıan olaylar eşit olasılılı olaylar şans değişeninin dağılımı = 6 olan esili üniform dağılımına uygundur. 1 ) E( ) 3, 1,,3,4,,6 d. d (6 1)(6 1) 3 Var( ) = ) : = olması olasılığı n : örne hacmi : başarı olasılığı : örnetei başarı sayısı ( =, 1) E() = V() =. q Sonuçlar ii ategoride tolanabilir. Aynı oşullarda terarlanabilirli özelliği vardır. Başarı olayı deneyden deneye değişmez. Bernoulli Dağılımı Te bir Bernoulli deneyinin sonucunu ele alır. Olasılı Yoğunlu Fonsiyonu: P ( ) ( 1) 14 1 Binom Dağılımı Binom Dağılımının Özellileri n deneme (gözlem) li bir örnetei başarı sayısı (n adet Bernoulli denemesi) birimden oluşan bir grutai usurlu sayısı 33 sorulu bir sınavdai doğru ceva sayısı Düana giren 1 müşteriden alışveriş yaanların sayısı İi farlı örneleme metodu Sonsuz oulasyonda yerine oymadan örneleme Sonlu oulasyonda yerine oyara örneleme n adet benzer deneme Her denemenin çıtısı var Başarı (İstenen çıtı) or Başarısızlı Sabit deneme olasılığı Denemeler birbirinden bağımsız 1 16 Binom Olasılı Dağılımı Örneği Binom Dağılımının Olasılı Fonsiyonu n! P n n (, ) ( 1!( )! ) = n,) : = olması olasılığı n : örne hacmi : başarı olasılığı : örnetei başarı sayısı ( =, 1,,..., n) 17 n Olay: Bir arayı ardarda 4 ez atalım. Yazıların sayısıyla ilgilenelim. 3 yazı gelme olasılığı nedir? n! P n n (, ) ( 1!( )! ) 4! P ( 3 4,. )!( )!. ( ). 18 n

4 Binom Dağılımının Karateristileri Başarı Olasılığı ve Binom Dağılımının Biçimi Aritmeti Ortalama E ( ) n Standart Sama n ( 1) ) ) n = = n = = N adetli bir denemede; 1. Eğer =. ise binom dağılımı simetri. Eğer <. ise binom dağılımı sağa çarı 3. Eğer >. ise binom dağılımı sola çarı 19 Negatif Binom (PASCAL) Dağılımı Örne: Bir işletmede üretilen ürünlerin % 6 sının hatalı olduğu bilinmetedir. Rasgele ve iadeli olara seçilen üründen, a)1 tanesinin hatalı olmasının olasılığını, b) En az 4 tanesinin hatalı olmasının olasılığını hesalayınız. =,6 1- =,94 n = a)p (=1)=? b)p ( 4)=? 4)= =4)+=) 1 4 1). (,6).(,94), (,6).(,94). (,6).(,94) Bernoulli deneyinin tüm varsayımları negatif binom dağılımı içinde geçerlidir. Binom dağılımında n denemede adet başarı olasılığı ile ilgileniliren, negatif binom dağılımında ise şans değişeni()ncıbaşarıyı elde edinceye adar yaılan deney sayısına arşılı gelir. Örneler: Bir arayı ez tura gelinceye adar attığımızda nci turayı elde ettiğimiz deneme sayısı, Bir basetbolcunun 3 sayılı atışlarda 1 ncu isabeti sağlaması için gereli olan atış sayısı. 1 :deneysayısı :başarı sayısı :başarı olasılığı S = { /, +1, +, +3 } Negatif Binom Dağılımının Belenen Değer ve Varyansı Binom dağılımını ullanara -1 denemede -1 adet başarı olasılığını hesalanır ve nci denemedei ncı başarıyı elde etme olasılığı ile bağımsız olaylar olduğundan çarılara aşağıdai olasılı fonsiyonu elde edilir. 1 1, 1,,... ) 1 d. d 3 E ) (1 ) Var( ) ( Yandai histogram =, ve = 8 arametreli negatif binom dağılım gösteren bir oulasyondan alınmış 1 hacimli bir örne için oluşturulmuştur , 1, 1, 14, 16, 18,,, 4 4, 4

5 Örne: Bir işinin hilesiz bir zarı 1 ez atması sonucunda, 1 ncu atışında nci ez 6 gelmesi olasılığını hesalayınız. =1/6 1-=/6 =1 = P ( 1 ; ).( ).( 6 Zarın açıncı ez atılması sonucu nci ez 6 gelmesini belersiniz? E( ) ) Geometri Dağılım Bernoulli deneyinin tüm varsayımları geometri dağılım içinde geçerlidir. Negatif Binom dağılımının özel bir durumudur. = 1 olduğunda negatif binom dağılımı geometri dağılımı olara ifade edilir. Geometri dağılım gösteren şans değişeni, il başarıyı elde edinceye adar yaılan deney sayısını ifade eder. Örneler: Bir arayı tura gelinceye adar attığımızda tura gelmesi için yaılan atış sayısı, Bir işletmenin deosundan il hatalı ürünü bulana adar alınan örne sayısı. 6 : deney sayısı : başarı olasılığı S={/1,,3,4..} Negatif Binom dağılımında = 1 alındığında; 1 E( ) Geometri Dağılımının Belenen Değer ve Varyansı 1 Var( ) 1 P ( ) 1 1 ) ) 1 1, 1,,... d. d 1,,3,... d. d Yandai histogram =, arametreli geometri dağılım gösteren oulasyondan alınmış hacimli bir örne için oluşturulmuştur Hiergeometri Dağılım Örne: Bir avcı hedefe isabet sağlayana adar ateş etmetedir. Avcının hedefi vurma olasılığı,7 olduğuna göre avcının hedefi il ez 8 nci ez atış yatığında isabet ettirmesinin olasılığını hesalayınız. =8 =8)=? ),71,7 1 1,,3... d. d Varsayımları, n deneme benzer oşullarda terarlanabilir. Her denemenin mümün sonucu vardır. Sonlu oulasyondan iadesiz örneleme yaılır. Örneleme iadesiz olduğundan başarı olasılığı ( ) deneyden deneye değişir. 8,7 1,7 1,7, 7 8) ÖDEV: Avcının hedefi il ez vurma olasılığı, den az olması için hedefe en az aç ez ateş etmelidir? 9 3

6 Hyergeometric Distribution Formula Hiergeometri Dağılımın Karateristileri (Two ossible outcomes er trial: success or failure) ) C N. n N Cn C Where N = oulation size = number of successes in the oulation n = samle size = number of successes in the samle n = number of failures in the samle = B/N için Yandai histogram N = 1 ve B = arametreli hiergeometri dağılım gösteren oulasyondan alınmış hacimli bir örne için oluşturulmuştur. E( ) n N n Var( ) n(1 ) N Örne: Yeni açılan bir bananın il 1 müşterisi içinde 6 tanesi mevduat hesabına sahitir. İadesiz olara rasgele seçilen 8 müşteriden tanesinin mevduat hesabına sahi olmasının olasılığı nedir? N= 1 B = 6 n = 8 = ,1,,3..., 8 P ( ) 1 8 d. d ) 1 8 ÖDEV: En ço 1 işinin mevduat hesabına sahi olmasının olasılığını hesalayınız. 33 Hyergeometric Distribution Eamle Eamle: 3 Light bulbs were selected from 1. Of the 1 there were 4 defective. What is the robability that of the 3 selected are defective? N = 1 n = 3 = 4 = N 6 Cn C C1 C ) N 1 C C n 3 4 (6)(6).3 1 Poisson Dağılımı Poisson Süreci 1. Bir zaman aralığında oluşan olayların sayısıyla ilgilenir. Birim başına olay Zaman, uzunlu, alan,vb.. Örneğin; daiada gelen müşteri sayısı Bir yıl içindei uça azalarının sayısı Bir metreare umaştai hata sayısı Sabit Olay Olasılığı Her aralıta 1 olay Bağımsız olaylar

7 Poisson Olasılı Dağılım Fonsiyonu Poisson Dağılımının Karateristileri P ( ) e -! = ) : = olma olasılığı = Belenen başarı sayısı e =.7188 = Birim başına başarı sayısı Aritmeti Ortalama E ( ) N i 1 ) Standart Sama i i ) ) = = Poisson Dağılımı Örneği Bir düana saatte 7 müşteri gelmetedir. 3 daia içinde 4 müşteri gelme olasılığı nedir? Saatte 7 müşteri = daiada 1. müşteri = 3 daiada 3.6 müş. - e P ( )! e P ( 436. ) ! 4 BİNOM Dağılımın POİSSON Dağılıma Yalaşımı, Binom dağılıma sahi bir şans değşieni olsun. Deney sayısı nço büyü ve ilgilenilen sonuçların anaütledei oranının ço üçü olduğu durumlarda, (yani n ve ien), n.= sabit bir sayı olma üzere Binom dağılımı Poisson dağılımına yalaşır. n ne adar büyü, ve ne adar üçü olursa bu yalaşım o adar iyi olur. = ÖRNEK:Türiye de maden ocalarında oluşan azalar sonucunda her yıl ortalama olara 1 maden işçisinden bir tanesi hayatını aybetmetedir. maden işçisinin çalıştığı bir maden ocağında bir yıl içinde a) Hiçbir işçinin hayatını aybetmemesi, b) 3 işçinin hayatın aybetmesi, c) den fazla işçinin hayatın aybetmesi olasılılarını bulunuz. ÇÖZÜM: n=, =.1 olduğundan, =n.=.1= alara Poisson dağılımıyla çözüm yaabiliriz. e e a) ).13!! 3 e b) 3).18 3! c) ) 1 ) 1 ) 1) ) e 1.3 1! 1 e ! 41 Örne: Bir mağazaya Cumartesi günleri daiada ortalama olara 4 müşteri gelmetedir. Bir Cumartesi günü bu mağazaya, a) daiaiçinde1müşteri gelmesi olasılığını, b)yarım saate den fazla müşteri gelmesi olasılığını, 4 1 e 4 4 a) 4 =1)=? e 1 4 4! e 4 1! 4 1 1) e 4 ÖDEV: 1 saatte en ço 1 müşteri gelmesinin olasılığını hesalayınız. 4 4! 1! 4e b) d da 4 müşteri gelirse, 3 d da 4 müşteri gelir. 4 P ( > ) =? > ) = 1 [=)+=1)+=)] 1 313e 4 7

8 SORU) Bir hastanenin çocu servisine saatte ortalama 3 hasta gelmetedir. a) Herhangi 1 daialı sürede; hiç hasta gelmeme, b) Herhangi 1 daialı sürede; den fazla hasta gelme, c) Herhangi yarım saatli sürede ten az hasta gelme olasılılarını bulunuz. SORU) Bir fabriada deolanan ürünlerin yüzde birinin bozu olduğu bilinmetedir. Bu fabriadan rassal olara seçilen birimden en az bir tanesinin bozu olması olasılığını Binom ve Poisson dağılımları ile bulunuz SORU: Hilesiz bir tavla zarı atılıyor. Anlaşmaya göre A, babasından her atışta aç gelirse o adar bin lira alacatır. Atış başına A nın belediği ara nedir? SORU: B üç ayrı iyangodan birer adet bilet almıştır. Bu iyangoların birincisinde 1 biletten 1 sine, iincisinde biletten 14 ına, üçüncüsünde ise biletten ine iramiye vardır. Birinci iyangoda azananlardan her biri 1 milyon, iincisinde 1 milyon ve üçüncüsünde milyon $ elde edecetir. B nin belenen iramiye tutarı nedir? 4 46 SORU: Bir işadamının yenibirişletmeden milyar lira aybetmesi olasılığı ( 1 )=,1 ve milyar lira azanması olasılığı ( )=, dir. Bu iş adamının azancı nedir? SORU: Ali hilesiz bir madeni arayı ii defa atıyor. Her ii atışta da yazı gelirse aradaşından bin lira alacatır. Diğer durumlarda ise 1 bin lira verecetir. Ali nin azancı ne olur?

9 SORU: Bir ara 4 ez atılıyor, a) İi tura, b) En az bir tura, c) Üçten az tura gelmesi olasılığı nedir? SORU: Bir futbol taımının yatığı maçlarda azanma olasılığının /3 olduğu biliniyor. Bu taımın yatığı 8 maçtan, a) Beşini, b) Birden fazla faat dört veya daha azını azanması olasılığı nedir? 49 SORU: İi tavla zarının 6defaatılmasında 9tolamının, a) Dört defa, b) En az üç defa elde edilmesi olasılığı nedir? SORU: Bir işletmede üretilen amullerin %6 sının usurluolduğu bilinmetedir. Buna göre, rassal olara seçilen amulden, a) İi tanesinin usurlu, b) Tamamının usursuz, c) En az ii tanesinin usurlu olması olasılıları nedir? 1 Aşağıdai soruları tabloya göre cevalayınız. Esi verilerden yararlanılara bir ce telefonunun yatığı arıza sayıları verilmiştir. () Haftalı Arıza 1 3 Olasılı ),,3,1,3 Soru: Dağılıma göre haftada esinlile ii arıza olma olasılığı açtır? A),1 B), C),3 D),4 E),6 Soru: Dağılıma göre haftada sıfır ile ii arasında arıza olma olasılığı - arıza) açtır? A), B),1 C),3 D),6 E),3 Soru: Dağılıma göre haftada birden ço arıza olma olasılığı açtır? A),3 B),7 C),4 D),1 E),3 Soru: Dağılıma göre haftada en ço ii arıza yama olasılığı açtır? A), B), C),6 D),4 E),1 Soru:Dayanılı tüetim malı satan bir mağazanın son 1 iş günündei günlü satışları aşağıdai tabloda verilmiştir. Satış sayıları Gün sayıları Yuarıdai tabloya göre günlü satışı gösterme üzere, <4) olasılığı açtır? A),4 B),17 C),1 D),33 E), 3 4 9

10 Soru: Bir itaevinin son 1 iş günüdei günlü ita satışları aşağıdai tabloda gösterilmiştir. Satış sayıları Gün sayıları Yuarıdai tabloya göre günlü satışları gösterme üzere, >4) olasılığı açtır? A),1 B),8 C),38 D),68 E),77 1