GÜZ DÖNEMİ AKIŞKANLAR MEKANİĞİ ÇÖZÜMLÜ SORULARI Bölüm 7 (Boyut Analizi ve Benzerlik) Prof. Dr. Tahsin Engin

Transkript

1 05-06 GÜZ DÖNEMİ AKIŞKANLAR MEKANİĞİ ÇÖZÜMLÜ SORULARI Bölüm 7 (Boyut Analizi ve Benzerlik) Prof. Dr. Tahsin Engin 7-9 Termodinamik alanında kullanılan ve aşağıda verilen değişkenlerin her birinin ana boyutlarını tüm işlemlerinizi göstererek yazınız. ÇÖZÜM Her bir değişkenin ana boyutlarını tespit edeceğiz. Analiz (a) Enerji kuvvet çarpı uzunluktur (iş ile aynı boyutlarda), Enerjinin ana boyutları: kütle uzunluk {E} = {kuvvet uzunluk} = { zaman uzunluk} = { ml t } () Daha sade bir şekilde; {E} = {m L t - }. (b) Özgül enerji, birim kütleye düşen enerjidir Özgül enerjinin ana boyutları: {e} = { enerji uzunluk } = {kütle kütle zaman kütle } = {L t } () Daha sade bir şekilde, {e} = { L t - }. (c) Güç, birim zamanda tüketilen enerjidir, Gücün ana boyutları: (3) {W } = { enerji uzunluk } = {kütle } = zaman zaman zaman {ml} t 3 Daha açık bir şekilde, {W } = {m L t -3 }. İrdeleme Boyut analizi yaparken enerji, özgül enerji ve gücü ayırt etmek önemlidir. 7-4E Yeni bir spor arabanın aerodinamik direnci 96.0 km/h hız ve 5 C hava sıcaklığı şartları için hesaplanacaktır. Otomotiv mühendisleri arabanın ¼ ölçekli modelini yapıyorlar. rüzgar tünelinin sıcaklığı da 5 C dir. Direnç kuvveti, direnç terazisi ile ölçülecektir ve arabanın referans koordinat sistemine göre hareketli zemini temsil etmek üzere yürüyen bir bant kullanılmaktadır. Model ve prototip arasındaki benzerliği elde etmek için mühendislerin rüzgar tünelini hangi hızda çalıştırmaları gerektiğini hesaplayınız.

2 ÇÖZÜM Rüzgar tünelindeki rüzgar hızını bulmak için benzerlik yasalarından yararlanılacaktır. Kabuller Havanın sıkıştırılabilirliği ihmal edilmiştir. Rüzgar tünelinin duvarları otomobile gelen aerodinamik direnç kuvvetlerini etkilemeyecek kadar uzaktadır.. 3 Model geometric olarak prototip ile benzerdir. 4 Rüzgar tünelinde ve prototip otomobil üzerinden akan hava standart atmosferik basınçtadır. Özellikler T = 5 o C de ve atmosferik basınçta bulunan hava için =.84 kg/m 3 ve = kg/ms dir. Analiz Bu problemde sadece bir adet bağımsız değişken olduğu için,,m =,p şartında benzerlik sağlanır. Reynolds sayısıdır. Böylece; V L VL Re Re m m m,m m,p p m p p p yazabiliriz. Bilinmeyen rüzgar hızı diğer değerlerin yerine konması ile bulunur. p V m = V p ( μ m μ p ) ( ρ p ρ m ) ( L p L m ) = (96.0 kmh)()()(4) = 396 kmh Böylece, benzerliğin sağlanması için rüzgar tünelinin 396 kmh hızla çalıştırılması gerektiği görülmektedir. İrdeleme Bu değer oldukça büyüktür ve rüzgar tüneinin bu hızda çalıştırılamayabilir. Problemde L p ve L m verilmemiş olsa da aralarındaki oranın 4 kat olduğu bilinmektedir. Bu oran benzerlik için gereken hızı bulmamız için yeterlidir. 7-5 Büyük bir tanktaki kimyasal maddeyi karıştırmak için bir karıştırıcı kullanılmaktadır. Karıştırıcının kanatlarına verilen mil gücü W ; karıştırıcı çapı D; sıvı yoğunluğu ρ; sıvı viskozitesi μ ve dönen kanatların açısal hızı ω nin bir fonksiyonudur. Bu parametreler arasında boyutsuz bir ilişki oluşturmak için tekrarlayan değişkenler yöntemini kullanınız. Tüm işlemlerinizi gösteriniz ve gerektiğinde değişiklik yaparak Π gruplarını elde ettiğinizden emin olunuz. ÇÖZÜM Verilen parametreler arasındaki fonksiyonel ilişkiyi bulmak için boyut analizi kullanılacaktır. Kabuller Verilen parametreler dışında ilgili bir parametre olmadığı var sayılacaktır. Analiz Boyutsuz parametrelerin elde edilmesi için adım adım tekrarlayan değişkenler yöntemi kullanılacaktır. ( ler). Adım Problemde 5 adet parametre vardır; n = 5, İlgili parametreler: W = f(ω, ρ, μ, D) n = 5 ()

3 Adım Her parametrenin temel boyutları listelenmiştir, W 3 m L t D t ml 3 m L t L Adım 3 İlk tahmin olarak j=3 olarak kabul edilmiştir, problemdeki ana boyutlar yukarda verilmişti (m, L, and t). İndirgeme: j = 3 Eğer bu j doğru ise beklenen sayısı, Beklenen sayısı: k = n j = 5 3 = Adım 4 j = 3 olduğu için üç adet tekrarlayan parametre seçmemiz gerekmektedir. Bu bölümdeki tavsiyeler dikkate alındığında viskoziteyi seçmemein doğru bir tahmin olduğunu söyleyebiliriz. Tekarlayan değişkenler:,, ve D Adım 5 Bağımlı aşağıdaki şekilde elde edilir: a b c 3 3 W D m L t t a m L b L c kütle: 0 m m m b zaman: 0 3 t t t a uzunluk: 0 L L L 3b L c Böylece bağımlı ; : Π = W ρd 5 ω 3 = N p 0b b 0 3 a a 3 0 3b c c 5 bahsedilen değer daha önce boyutsuz sayılarda ismi geçen güç sayısıdır (Tablo 7-5). İkinci Π (bu problemdeki tek bağımsız ) şöyle oluşturulur: a b c 3 D m L t t a m L b L c kütle: 0 m m m b zaman: 0 t t t a 0b b 0 a a

4 uzunluk: 0 3b c L L L L 0 3b 0 3 c c c verilen değerler yerine konulursa; Π = μ ρd ω D dönen kanatın ucundaki çizgisel hız olduğundan dolayı bu yi Reynolds sayısının tersi olarak tanımlayabiliriz. Dönüştürülürse; Dönüştürülmüş : Π = ρd ω μ = ρ(dω)d μ = Reynolds sayısı = Re Adım 6 ler arasındaki ilişki: Nihai fonskiyonel ilişkiti aşağıdaki şekilde yazabiliriz; NP f Re İrdeleme Belirli miktarda alıştırma yaptıktan sonra, boyutların kuvvetleri ile ilgili bazı işlemleri kafanızdan yapmaya başlayabilirsiniz. Örneğin, genellikle viskoziteyi; yoğunluk, uzunluk ve hız veya hızın türevi olan açısal hız gibi parametrelerle birleştiğimizde Reynolds sayısını bulmaktayız Yoğunluğu ρ; viskozitesi μ olan sıkıştırılamaz bir akışkan, ortalama hız V ile, uzunluğu L ve pürüzlülük yüksekliği ε olan bir borunun yatay kısmında akmaktadır. Akışın tam gelişmiş olmasını sağlayacak şekilde boru yeterince uzundur. Yani borunun çıkışına doğru hız profili değişmemektedir. Sürtünmeyi yenmek için akışkanı boru boyunca itmek üzere uygulanan basınç boru çıkışına doğru doğrusal olarak azalmaktadır. Problemdeki basınç düşüşü olan P = P P ve diğer parametreler arasında tekrarlayan değişkenler yöntemini kullanarak boyutsuz ilişki oluşturunuz. Tanınmış boyutsuz parametreleri elde etmek için Π gruplarınız üzerinde gerekli değişiklikleri yaptığınıza emin olunuz ve boyutsuz parametrelerinizi isimlendiriniz (İpucu: Tutarlılık açısından, tekrarlayan parametrlerinizden birisi olarak L veya ε den ziyade D yi seçiniz) ÇÖZÜM Verilen parametreler arasında boyutsuz bir ilişki oluşturacağız. Kabuller Akış tam gelişmiştir. Akışkan sıkıştırılamazdır. 3 Verilen parametreler dışında bağımlı değişkeni etkileyen bir parametre yoktur (veya ihmal edilmiştir). Analiz Boyutsuz sayıları elde etmek için adım adım tekrarlayan değişkenleri bulma yöntemi kullanılacaktır. Adım İlgili tüm değişkenler fonksiyonel şekilde verilmiştir. İlgili parametreler: P = f(v, ε, ρ, μ, D, L) n = 7

5 Adım Her bir parametrenin temel boyutları aşağıdaki gibidir: P V D L m L t Lt 3 L ml m L t L L Adım 3 İlk tahmin olarak j=3 olarak kabul edilmiştir, problemdeki ana boyutlar yukarda verilmişti (m, L, and t). İndirgeme: j = 3 Eğer j değeri doğruysa beklenen Π sayısı; Beklenen sayısı: k = n j = 7 3 = 4 Adım 4 j = 3 olduğu için üç adet tekrarlayan değişken seçmemiz gerekmektedir. Kitabımızdaki tavsiyeler ışığında bağımlı değişken P yi tekrarlayan parametre olarak alamamaktaydık. Boyutsal olarak özdeş olduğu için, L, ve D parametrelerinden herhangi iki tanesini de seçemeyiz. veya nin ise tüm Π lerde gözükmesini istemeyiz. Bu durumda en iyi tercih V, D, and parametrelerini seçmek olacaktır. Repeating parameters: V, D, and Adım 5 Bağımlı değişken oluşturulur: a b c 3 PV D m L t L t a L b m L c kütle: 0 m m m c zaman: 0 t t t a 0c c 0 a a uzunluk: L 0 a b L L L L 3 c 0 a b 3c 0 b 3 b 0 Böylece bağımlı ; : P V Kitaptaki tablodan elde edilen boyutsuz değişken in Euler sayısına (Eu) benzer olduğu görülebilir. Herhangi bir değişiklik yapmaya ihtiyaç yoktur. İkinci sayısını ile oluşturacağız. Bu değişkenlerle bir Reynolds sayısı oluşturacağız.

6 Π = μv a D b ρ c Π = ρvd μ = Reynolds sayısı = Re Kalan iki sayısı ise ve L ile oluşturulacaktır. Buradaki işlemler verilen değişkenlerin boyutları tekrarlayan değişkenlerden D ile özdeş olduğu için (uzunluk) matematiksel olarak oldukça basittir. Π 3 = εv a 3 D b 3ρ c 3 Π 3 = ε = Pürüzlülük oranı D Π 4 = LV a 4 D b 4ρ c 4 Π 4 = L = Uzunluk çap oranı D Adım 6 Nihai ilişki aşağıdaki şekilde ifade edilebilir; ler arasındaki ilişki: P L Eu f Re,, V D D () İrdeleme Buradaki sonuçlar hem laminer hem de türbülanslı tam gelişmiş boru akışlarına uygulanabilir. Fakat ikinci boyutsuz değişken (pürüzlülük oranı) laminer akışta, türbülanslı akıştaki kadar önemli değildir. P nin boru boyunca lineer olarak azalmasından dolayı, L/D ile lineer olarak orantılı olduğunu biliyoruz. Diğer ler için ise sadece boyutlar üzerinden akıl yürüterek fonksiyonel bir ilişki ortaya koymak mümkün değildir Sıcaklığı 0 C olan su uzun düzgün bir boru içerisinde akmaktadır. Borunun L=.3 m lik kısmı boyunca olan basınç düşüşü, borudaki ortalama hız V nin bir fonksiyonu olarak ölçülmüştür. (a) verileri boyutsuzlaştırınız ve Euler sayısını Reynold sayısının fonksiyonu olarak çiziniz. Deney, Reynold sayısı bağımsızlığını elde etmek için yeteri kadar yüksek bir hızda yapılmış mıdır? (b) 80 m/s lik bir ortlama hızda oluşan basınç düşüşünü kestirmek için deneysel verilere ekstrapolasyon uygulayınız.

7 Eu Reynolds sayısı bağımsızlığı Re 0-6 ÇÖZÜM Deneysel boru verileri boyutsuz hale getirilecek, grafik haline getirilecek ve Reynokds sayısından bağımsız hale gelip gelmediği hesaplanacaktır. Daha yüksek bir hız değerine göre tahmin (ekstrapolasyon) yapılacaktır. Kabuller Akış tam gelişmiştir. Akış daimi ve sıkıştırılamazdır. Özellikler Atmosferik basınçta ve T = 0 o C deki su için, = kg/m 3 ve = kg/ms dir. Analiz (a) Tablodaki V ve değerleri Reynolds ve Euler sayılarına dönüştürürüz. Tablodaki en yüksek veri noktası (en yüksek hız) için Re ve Eu sayıları; Reynolds sayısı: kg/m 3 50 m/s0.04 m VD Re kg/ms 6 () ve Euler sayısı: P 758, 700 N/m kg m Eu V sn kg/m 50 m/s () Yukarıdaki şekilde Eu ya karşılık Re sayıları grafik haline getirilmiştir. Deneysel veriler grafiğe yerleştirildiğinde son değerlerin bir veri bulutu oluştursa bile Eu sayısnın 0 6 değerinden sonra Re sayısından bağımsız hale geldiği görülmektedir. Son 6 verinin Eu sayısının ortalama değeri alındığında değerini vermektedir. (b) Değeri daha yüksek hızlar için tahmin edebiliriz (ekstrapole edebiliriz). V = 80 m/s için P hesaplanırsa (yüksek Re değerlerinde Eu sayısının sabit kadığı varsayılıyor); Ekstrapole edilmiş değer: 3 sn P Eu V kg/m 80 m/s,940,000 N/m kg m (3)

8 İrdeleme 8.Bölümde değişkenlerin Reynolds sayısının çok yüksek değerleri için Re sayısından bağımsız hale gelebileceğini gösterilmişti. Re bağımsızlığının gerçekleştiği limit değer ise bağıl yüzey pürüzlülüğü /D nin bir fonksiyonu olarak ortaya çıkmaktadır.