Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü

Transkript

1 Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1

2 Akışkan Statiğine Giriş Akışkan statiği (hidrostatik, aerostatik), durgun haldeki akışkanlarla ilgili problemleri ele alır.

3 Akışkan Statiğine Giriş Bir yüzey akışkana daldırıldığı zaman akışkandan dolayı yüzeye bir kuvvet etkir. Depoların, gemilerin, barajların ve diğer hidrolik yapıların dizaynında bu kuvvetlerin bilinmesine gereksinim vardır.

4 Düzlem Yüzeye Etkiyen Hidrostatik Kuvvetler Hareketsiz akışkanlarda, kayma gerilmesi olmadığı için bu yüzeye dik olduğu bellidir. Ayrıca, eğer akışkan sıkıştırılamaz ise basıncın derinlikle lineer (doğrusal) olarak değiştiği bilinir.

5 Çoğunlukla düzlemsel yüzeyin bir yüzü atmosfere açık olduğundan atmosfer basıncı düzlemsel yüzeyin heriki yüzüne de etkiyerek sıfır bileşke kuvvet oluşturur. Bu tür durumlarda atmosferik basıncı çıkarmak ve sadece etkin basınçla çalışmak daha uygundur.

6 Şekil 2.2 Dalmış düz yüzeylere etkiyen kuvvetler.

7 Sıvı ile dolu tankın (Şekil 2.3a) taban yüzeyi gibi yatay yüzeyler için, bileşke kuvvetin büyüklüğü F P* A dır. Burada P tankın tabanına etkiyen üniform basınçtır ve a tankın taban alanıdır. Şekilde gösterilen açık tank için P * h dır. R

8 Şekil 2.3 a. Üstü açık bir tankın tabanına etkiyen hidrostatik kuvvet ve basınç dağılımı b. Üstü açık tankın yan yüzeylerindeki basınç dağılımı

9 Eğer tankın tabanının her iki yüzeyine de atmosferik basınç etkiyorsa tankın tabanına etkiyen bileşke kuvvet sadece tankın içindeki sıvıdan dolayı olur. Tabana etkiyen basınç sabit ve üniform olarak dağılmış olduğundan dolayı bileşke kuvvet Şekil 2.3.a da gösterilen alanın merkezine etkir. Şekil 2.3.b de gösterildiği gibi, tankın yan yüzeylerine etkiyen basınç üniform değildir. Bu durumda, bileşke kuvvetin belirlenmesi aşağıda izah edildiği gibi yapılır.

10 Şekil 2.4 Eğik olarak daldırılmış düzlem yüzeye etkiyen hidrostatik kuvvet

11 Şekil 2.4 de gösterilen, eğik olarak daldırılmış düzlem yüzeye etkiyen bileşke kuvveti belirleyelim. Akışkanın yüzeyinin atmosfere açık olduğunu kabul edelim. Şekil 2.4 de gösterildiği gibi, daldırılmış yüzeyin bulunduğu yüzey serbest yüzey ile 0 noktasında θ açısı ile kesişsin. 0 orijin olmak üzere x-y eksen sistemi tanımlansın. Yüzey şekilde gösterildiği gibi keyfi bir şekle sahip olsun. Sıvı ile temastan dolayı bu yüzeyin bir yüzüne etki eden bileşke kuvvetin yönünü, konumunu ve büyüklüğünü belirlemeye çalışalım.

12 Herhangi bir h derinliğinde, da ya (Şekil 2.4 diferansiyel alan) etkiyen kuvvet, olup yüzeye diktir. Böylece, tüm yüzey boyunca diferansiyel kuvvetler toplanarak bileşke kuvvetin büyüklüğü bulunabilir. Eşitlik şeklinde aşağıdaki şekilde ifade edilebilir. Burada df * h* da F * h* da * y*sin * da R A A h dır. Sabit ve icin, y * sin F R *sin y* da (2.7) A elde edilir. Denklem 2.7 de verilen integral, x eksenine göre alanın birinci momenti olduğu için A y* da y * A C

13 şeklinde yazılabilir. Burada y c, A alanının merkezinin y koordinatıdır. Böylece denklem 2.7, F R * A* y *sin şeklinde yazılabilir veya daha basit olarak F * h * A (2.8) R C C şeklinde ifade edilebilir. Yandaki şekilde gösterildiği gibi, h c akışkanın serbest yüzeyinden alanın merkezine olan dikey mesafedir. Kuvvetin büyüklüğünün, θ açısının bir fonksiyonu olmadığı, sadece akışkanın özgül ağırlığının, daldırılmış yüzey alanının ve bu alanın merkezinin derinliğinin bir fonksiyonu olduğu hususunu belirtmek gerekir. Bileşke kuvvet F R ı elde etmek için yüzeye etkiyen diferansiyel kuvvetler toplandığı için, bileşke kuvvet F R da daldırılmış yüzeye dik olacaktır.

14 Sezgilerimiz bileşke kuvvetin, alanın merkezinden geçeceği yönünde olmasına rağmen bu sezgi doğru değildir. Bileşke kuvvetin y koordinatı y R, x ekseni etrafında momentlerin toplanmasıyla belirlenebilir. Yani, bileşke kuvvetin momenti, yayılı basınç kuvvetinin momentine eşit olmalıdır. F R * A* y *sin C olduğundan, y 2 * da y R A y c * A

15 İntegralin pay kısmı, I x, daldırılmış yüzeyin bulunduğu yüzey ile serbest yüzeyin arakesiti tarafında oluşan eksene (x eksene) göre alanın ikinci momentidir (atalet momenti). Böylece y R y c I x * A yazılabilir. Paralel eksen teoremi kullanılarak I x 2 x xc * c I I A y şeklinde ifade edilebilir. Burada I xc, x eksenine paralel ve alanın merkezinden geçen eksene göre alanın ikinci momentidir. Böylece

16 olur. Denklem 2.9 ve aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi, bileşke kuvvet merkezden geçmez. Ixc 0 olduğundan o daima merkezin altındaki bir yc * A noktadan geçer. Bileşke kuvvetin x koordinatı x R, y eksenine göre momentler benzer şekilde toplanarak belirlenebilir: Burada I xyc, alanın merkezinden geçen ve x- y koordinat sisteminin aktarımı ile oluşturulan dik koordinat sistemine göre çarpım atalet momentidir.

17 Eğer daldırılmış alan merkezde geçen bir eksene göre simetrik ise ve x veya y eksenine paralel ise I xyc = 0 olduğundan bileşke kuvvet x = x c doğrusu üzerinde olur. Bileşke kuvvetin etki ettiği nokta basınç merkezi olarak adlandırılır. Denklem 2.9 ve 2.10 dan görüldüğü gibi, y c arttıkça basınç merkezi, alanın merkezine doğru yaklaşır. yc hc sin olduğundan eğer batma derinliği h c artarsa veya verilen bir derinlik için daldırılmış yüzey döndürülerek θ açısı azalırsa y c mesafesi artar. Bu nedenle, yandaki şekilde gösterilen kapının sağ yüzeyine etkiyen hidrostatik kuvvet, sol yüzeyine etkiyen hidrostatik kuvvete göre alanın merkezine daha yakındır.

18 Şekil 2.5 Bazı yaygın kullanılan şekillerin geometrik özellikleri 18

19 Örnek : Şekilde verilen 4 m çapındaki dairesel kapı su ile dolu büyük bir rezervuarın eğik duvarı üzerine yerleştirilmiştir. Kapı onun yatay çapı boyunca yataklanmış olup yatağın üzerindeki su derinliği 10 m dir. Su tarafında kapıya uygulanan bileşke kuvveti ve eksentrisiteyi bulunuz. 19

20 Suyun kuvvetinin büyüklüğünü bulmak için denklem 2.8 i uygulayabiliriz. F * h * A R C Serbest yüzeyden alanın merkezine olan dikey mesafe 10 m olduğu için FR (9810N/m )*(10m)*( *2 m ) 20

21 y R y R y I c xc * A y 4* 2 10 sin 60 *( *2 ) y m R Eksentrisite = Basınç Merkezi Ağırlık Merkezi e = y R - y c c F R nin etki ettiği basınç merkezinin konumunu bulmak için denklem 2.9 kullanılırsa I xc 10 sin * R *2 4* 4 4 e y y m R c 21

22 Örnek : A noktasından mafsallı AB dikdörtgen kapağın genişliği 4 m dir. Kapağın açılmaması için B noktasına uygulanması gereken kuvvetin şiddet ve yönü ne olmalıdır? 22

23 Çözüm 1: y R F. h. A C C I xc y * A y C y R1 3 3 b* h 4*2,4 4, F 9810 * (2,1 1,2) * 4 * 2, ,8 N 1 F 9810 * (1,2) * 4 * 2, ,2 N 2 4,608 3,3 3, 445 m yr2 3,3*9, 6 I xc 4,608 1,2 1,6 m 1,2*9,6 m 4 M M FA 2 1 FA ,8*(3, 445 2,1) 418 knm , 2*(1, 6) 180,817 knm M 0 419,55 180,82 F B *2, 4 F 98.8 B kn 23

24 Çözüm 2: F1 (9810*2,1)*2,4* ,6 N M ,6*(2,4 / 2) F B *2,4 0 FB 98,8 kn 24

25 Örnek: Şekildeki A-B kapağı A noktasında mafsallı olup B noktasına N luk P kuvveti etkimektedir. Kapağın hareketsiz k alması için gerekli h yüksekliğini hesaplayınız. 25

26 F * h * A 9810*( h 1,5)*(3*8) F x x C *( h1,5) N 3 3 b* h 8*3 Ixc 18m y R y I C xc * A y C 18 0, 75 yr ( h 1,5) ( h 1,5) ( h1,5)*(3*8) ( h1,5) 26

27 0, *( h 1,5)* ( h 1,5) h *3 ( h 1,5) 0, *( h 1,5)* 1, ( h 1,5) 0, 75 ( h 1,5)*1,5 ( h 1,5)* 3, 625 ( h 1,5) 0,75+(h+1,5)*1,5=3,625 h= 0,42 m 27

28 2.5.4 Silindirik Yüzeylere Etki Eden Basınç Kuvvetleri Bir eğri yüzey düşünelim ve bu eğri yüzey, bir yönde eğriliğe sahip olsun. Bu yüzeyin şekil düzlemine dik uzunluğu l olsun. Bu yüzeye etkiyen yatay ve düşey itki bileşenlerini hesaplayalım. Bu yüzeyin alanı (ds.l ) olan elemanter parçasına gelen basınç p = p 0 + γ.h dır. Aynı parçaya yüzeyin dış tarafında p 0 atmosfer basıncı etkiyecektir. O halde bileşke basınç γ.h olacaktır. Bu parçaya etkiyen basınç kuvveti ise df = γ.h. (ds.l) dir. Bu kuvvetin bileşenleri, 28

29 df. h. ds..cos. h.. dh x df. h. ds..sin. h.. dx h olarak yazılabilir. Bütün alana gelen kuvvetin yatay ve düşey bileşenleri ise, F x H. h. dh 0. H 2 2 H F. h. dx.. Alan( OBAO) h 0 O halde bir eğri yüzeyi üzerine tesir eden herhangi bir yöndeki yatay basınç kuvvetinin değeri, bu yüzeyin bahis konusu yöne dik düzlem üzerindeki izdüşümü üzerine tesir eden kuvvete eşittir. 29

30 Örnek : Şekilde gösterilen ABC yüzeyine etki eden hidrostatik basınç kuvvetini hesaplayınız. Şekle dik derinliği 1 m olarak alınız. A B 2 m 6 m C 30

31 Eğrisel yüzeylere etkili hidrostatik basınç kuvveti iki aşamada hesaplanacağından a. Yatay kuvvetin hesabı (F x ) A F x1 F x2 F x C 6 Fx1. hc. Ax 9,81..(6.1) 176,58 kn 2 8 Fx 2. hc. Ax 9,81..(8.1) 313,92 kn 2 F F F 313,92 176,58 137,34 kn x x2 x1 31

32 b. Düşey kuvvetin hesabı (F h ) Kapağa sol taraftan gelen düşey kuvvetler A B C Kapağa sağ taraftan gelen düşey kuvvetler D A O B C 32

33 Düşey bileşke kuvvet O D A B F h C F h.. b A y A ( ABCOD) ( OBC) ( ODAB) F y h 9,81.1.(2.6) 117, 72 kn c. Bileşke kuvvet x h F F F 137,34 117,72 180,89 kn 33

34 Örnek : Şekildeki AG kapağının 1 m genişliğine gelen yatay ve düşey hidrostatik kuvvetleri bulunuz. A C 1,5 m D B 1 m 2 m E 0,5 m F G 34

35 Kapağa gelen yatay kuvvet, şekilde görüldüğü gibi soldan ve sağdan gelen yatay kuvvetlerin bileşkesi olarak aşağıdaki gibi bulunur: A B C D F x1 E F F x2 35

36 Düşey kuvvet : Kapağa gelen düşey kuvvet, aşağıda gösterilen düşey kuvvetlerin bileşkesi olarak bulunur. Şekilde görüldüğü gibi, eşit ve zıt yönlü düşey kuvvetlerin birbirini götürmesi sonucunda, geriye düşey kuvvet olarak, çeyrek dairesel hacmi dolduran suyun ağırlığı kalmaktadır, yani: Kapağa sol taraftan gelen düşey kuvvetler : A A B B C D C D + C C = C E E E E E F F F F F 36

37 Kapağa sağ taraftan gelen düşey kuvvetler A B C C C + D = E E E F F F 37

38 C + C = C E E E F F F 38

39 Örnek : Şekilde kesiti verilen düşey düzleme dik derinliği 1 m olan tankın içerisinde su bulunduğuna göre C-D kapağına etki eden hidrostatik basınç kuvvetinin düşey bileşenini hesaplayınız. 39

40 F h 2 * *5.1 4 F h = N =389kN 40

41 Rijit Cisim Hareketi Yapan Akışkanlar Süt ve benzin gibi çoğu akışkan tankerlerle taşınır. İvmelenen bir tankerde akışkan geriye hücum eder ve başlangıçta bazı çalkalanmalar oluşur. Ancak bunun ardından yeni bir serbest yüzey meydana gelir.

42 Rijit Cisim Hareketi Yapan Akışkanlar Bu esnada her bir akışkan parçacığı aynı ivmeye sahiptir ve tüm akışkan gövdesi sanki katı bir cisim gibi hareket eder. Herhangi bir şekil değiştirme olmadığından akışkan içerisinde bir kayma gerilmesi oluşmaz.

43 Rijit Cisim Hareketi Yapan Akışkanlar z ekseni düşey ve yukarı doğru olmak üzere x, y ve z yönlerindeki kenar uzunlukları sırasıyla dx, dy ve dz olan dikdörtgen şeklindeki diferansiyel bir akışkan elemanını dikkate alalım.

44

45 Rijit Cisim Hareketi Yapan Akışkanlar Akışkan elemanın rijit cisim hareketi yaptığı düşünülerek bu eleman için Newton un ikinci hareket yasası F m* a m * d * dx* dy * dz Elemanın merkezindeki basıncı P alarak, üst ve alt yüzeylerindeki basınçlar P dz P dz P, P z 2 z 2 olur. F = P*A dan hareketle z yönünde eleman üzerine etkiyen net kuvvet, alt ve üst yüzeylere etki eden basınç kuvvetlerinin farkıdır. P dz P dz P FSz, P dx* dy P dx* dy dx * dy * dz z 2 z 2 z

46 Rijit Cisim Hareketi Yapan Akışkanlar ve Benzer şekilde x ve y yönlerindeki net kuvvetler, P FSx, dx* dy * dz x P FSy, dx* dy * dz y Elemanın tamamına etkiyen yüzey kuvveti vektörel formda F F * i F * j F * k S S, x S, y S, z P P P FS i j k dx* dy * dz P * dx* dy * dz x y z P P P P i j k Basınç gradyeni x y z

47 Rijit Cisim Hareketi Yapan Akışkanlar Akışkan elemanı üzerine etkiyen tek kütle kuvveti, negatif z yönünde etkiyen kendi ağırlığı olup F, g * m * g * dx* dy * dz Bz veya vektörel formda F, g * m* k * g * dx* dy * dz * k Bz Akışkan elemanı üzerine etkiyen toplam kuvvet F F F ( P * g * k)* dx* dy * dz S B F m* a * dx* dy * dz * a yerine yazılıp dx* dy * dz sadeleştirilirse Genel hareket denklemi P * g * k * a

48 Rijit Cisim Hareketi Yapan Akışkanlar Vektörler bileşenlerine ayrılırsa P P P i j k * g * k ( axi ay j azk ) x y z Kartezyen koordinatlarda skaler formda P * P ax * a P y *( g az ) x y z Durgun halde veya doğrusal bir yörünge üzerinde sabit hızla hareket eden akışkanlar için P P P 0 0 * g x y z Durgun haldeki akışkanlarda basıncın herhangi bir yatay doğrultuda sabit kaldığını (P, x ve y den bağımsız) ve yerçekiminin bir sonucu olarak yalnızca düşey doğrultuda değiştiğini doğrulamaktadır.

49 Rijit Cisim Hareketi Yapan Akışkanlar Akışkan a z sabit ivmesi ile yukarı doğru hareket ederse Akışkan a z sabit ivmesi ile aşağı doğru hareket ederse a a x x a a y y 0 P P P 0 *( g az ) x y z 0 P P P 0 *( g az ) x y z

50 Rijit Cisim Hareketi Yapan Akışkanlar Doğrusal yörünge üzerinde ivmelenme

51 Rijit Cisim Hareketi Yapan Akışkanlar Doğrusal yörünge üzerinde ivmelenme tan g a x a z Tankın yüksekliği = h0 z tan z b 2

52 Örnek 2.11: Şekilde görülen 2x2 tabanlı bir tank 1,5 m derinliğinde su ile doludur. Aşağıdaki durumlar için tankın tabanına gelen kuvvetleri bulunuz. 52

53 3 tan ax 0,306 ga 9,810 z z b 2 tan z * tan z *0,306 0,306 b h = h z 1,5 0,306 1,81m A 0 h = h z 1,5 0,306 1,19 m B 0 53

54 P =.h *( g a )* h 1000*(9,81 0)*1, Pa A B z A P =.h *( g a )* h 1000*(9,81 0)*1, Pa z B 1,81 F 1 =.h G. A 9810* *(1,81*2)=32138 N veya 2 P * h 17756*1, A A şekilden F 1 =. b *2=32138 N P *h 11674*1, B B F 2 =. b *2=13892 N 54

55 (P P )* ( )*2 2 2 A B AB F 3 = * b *2=58860 N 55

56 P =P =.h *( g a )* h 1000*(9,81 3)*1, Pa A B z P A*h 19215*1,5 F 1= F 2= A. b *2=28823N

57 F = P *AB* b 19215*2*2=76860 N 3 A 57

58 P =P =.h *( g a )* h 1000*(9,81 3)*1, Pa A B z P A*h 10215*1,5 F 1= F 2= A. b *2=15323N

59 F = P *AB* b 10215*2*2=40860 N 3 A 59

60 P = *( g a )* h 1000*(9,81 1,5)*1, Pa A B z A P = *( g a )* h 1000*(9,81 1,5)*1, Pa z B P * h 19566*1, A A F 1 =. b *2=33849 N P *h 14364*1, B B F 2 =. b *2=18242 N 60

61 (P P )* ( )*2 2 2 A B AB F 3 = * b *2= N 61

62 Silindirik Bir Kapta Dönme Sıvıyla kısmen doldurulmuş düşey bir silindirik kabı göz önüne alalım. Şekilde gösterildiği gibi kapkendi ekseni etrafında ω açısal hızıyla döndürülmektedir. Başlangıçtaki geçici durumdan sonra sıvı, kapla beraber rijit cisim şeklinde hareket edecektir. Herhangi bir şekil değiştirme olmadığından bir kayma gerilmesi de oluşmaz ve her bir akışkan parçacığı aynı açısal hızla hareket eder.

63 Kabın şekli silindirik olduğundan ve akışkan parçacıkları dairesel hareket yaptığından dolayı bu problem en iyi silindirik koordinatlarda (r,θ, z) çözülür. z ekseni, kap tabanından serbest yüzeye doğru kabın orta çizgisi boyunca alınır. Dönme ekseninden r mesafede bulunan ve ω sabit açısal hızıyla dönen bir akışkan parçacığının merkezcil ivmesi rω 2 olup radyal olarak dönme eksenine doğru (negatif r yönü) yönlenmiştir. Diğer bir ifadeyle a r = - rω 2 dir. Dönme ekseni olan z ekseni etrafında simetri vardır ve bu yüzden θ ya bağımlılık yoktur. Bu durumda P = P (r,z) ve a θ = 0 olur. Ayrıca z ekseni doğrultusunda hareket olmadığından a z = 0 dır.

64 Bu eğrisel yüzey bir parabol şeklindedir ve serbest yüzey denklemi 2 2 zs = r h 2 g c h c h R 4g h c,serbest yüzeyin kap tabanından dönme ekseni boyunca mesafesi h 0,dönme olmadan önce kaptaki akışkan yüksekliği

65 Örnek 2.12: İçinde 3.5 m yüksekliğinde su bulunan şekildeki 1 m yarıçaplı silindirik kap 5 rad/s açısal hızla kendi ekseni etrafında döndürülüyor. Kaptaki suyun taşmaması için kap yüksekliği en az kaç metre olmalıdır? 65

66 z( x) = 2 2 x 2g h c h c h R 4g z( x) = x R h0 2g 4g r R z( r) H h0 2g 4g

67 zr ( )= 3,5 2g 4g z( r) H 4,14m

68 Kaynaklar Akışkanlar Mekaniği Ders Notları, Yrd. Doç. Dr. Serkan ŞENOCAK, Yrd. Doç. Dr. Selim ŞENGÜL, Atatürk Üniversitesi, Mühendislik Fak. İnşaat Müh. Bölümü Akışkanlar Mekaniği, Frank M. White Akışkanlar Mekaniği, Temelleri ve Uygulamaları, Yunus A. Çengel, John M. Cimbala Akışkanlar Mekaniği ve Hidrolik, Prof. Dr. Mehmet Berkun Akışkanlar Mekaniği ve Hidrolik, Prof. Dr. Yalçın Yüksel Akışkanlar Mekaniğine Giriş, Young, D.F., Munson, B.R., Okiishi, T.H., Huebsch, W.W. 68