ÜNİTE. İSTATİSTİĞE GİRİŞ Doç.Dr.Suphi Özçomak İÇİNDEKİLER HEDEFLER TEMEL KAVRAMLAR

Transkript

1 HEDEFLER İÇİNDEKİLER TEMEL KAVRAMLAR İstatstğn Tanımı Anakütle ve Örnek Kavramları Tam Sayım ve Örnekleme Anakütle ve Örnek Hacm Parametre ve İstatstk Kavramları İSTATİSTİĞE GİRİŞ Doç.Dr.Suph Özçomak Bu üntey çalıştıktan sonra; İstatstğn tanımı nı yapablecek Anakütle ve örnek kavramlarını anlayablecek Tam sayım le örnekleme arasındak farkı blecek Anakütle ve örnek hacmlernn ne fade ettğn öğrenecek Parametre ve statstk kavramlarını anlayableceksnz. ÜNİTE 1

2 Temel Kavramlar GİRİŞ İnsanlar topluluklar hâlnde yaşamaya başlayıp devletler kurulunca, onları yönetenlern şlern daha düzenl bçmde ele alıp yürüteblmes çn blglere htyaç duyulmuştur. Bu amaçla, en lkel toplumlarda ble toplum hayatına lşkn bazı blgler toplanmış ve toplanan bu blgler başlangıçta toplumdak brey sayısı, asker sayısı, hayvan sayısı, toplum çn tehlkel sayılablecek düşmanların sayısı vb. konuları kapsamaktaydı. Zamanla bu blglere yenler eklend, kayıt şekller gelştrld ve bu şler özel olarak görevlendrlmş kşler veya kurumlar yürütmeye başladı. Kısacası, toplum hayatına lşkn blg sahb olmadan devlet yönetmek son derece güç olduğundan, statstk uygulaması devlet kadar esk br geçmşe sahptr. İstatstk kelmesnn köken Almanca olup devlet anlamına gelmektedr. İstatstk kelmes günlük hayatta farklı anlamlarda kullanılmaktadır. Televzyonda br futbol müsabakasını zleyen br taraftar çn statstk, maç esnasında yapılan faul sayısı, atılan korner sayısı, topa sahp olma oranları gb değerler, br ale res çn açıklanan aylık enflasyon oranlarını, başka br brey çn ülke nüfusu, hracat değerler, thalat değerler, nşa edlen konut sayıları gb rakamları fade ederken, akademk çalışma yapan br blm adamı çn se sayısal analzler fade etmektedr. Aslında günlük hayatta kullandığımız statstk kelmes, Türkye İstatstk Kurumu (TÜİK) ve/veya başka kurumlar tarafından herhang br konuyla lgl toplanmış verler fade etmektedr. Blndğ üzere TÜİK, nüfus, enflasyon rakamları, thalat ve hracat değerler gb brçok alanla lgl ver toplayarak bültenler hâlnde yayınlamaktadır. Aslında statstk, zraattan ktsada, tıptan sosyolojye, dş hekmlğnden eğtm blmlerne kadar pek çok alanda yaygın kullanım alanı olan br blm dalıdır. İSTATİSTİĞİN TANIMI Uygulama alanı çok genş olan statstğn farklı tanımları yapılmaktadır. İstatstk kavramından genel anlamı le sayısal analzler anlaşılmaktadır. İstatstğn genel br tanımı yapılablr. İstatstk; herhang br konuyla lgl verlern toplanması, düzenlenmes, özetlenmes, sunulması, uygun yöntemlerle analz ve bu analzlerle elde edlen sonuçların yorumlanması ve br karara bağlanması le lglenr. Tanımdan da anlaşıldığı üzere statstkten söz edeblmek çn lk önce verye htyaç duyulmaktadır. Verler elde edldkten sonra analze uygun hâle getrlmes çn düzenlenmes gerekeblr. Verler düzenlendkten sonra analz çn uygun statstksel yöntem veya yöntemler seçlr. Daha dar anlamda se statstk term verlern kendsn ya da verlerden elde edlen ortalama standart sapma vb. gb değerler fade etmek çn kullanılır. Bu şeklde; sthdam statstkler, kaza statstkler, thalat ve hracat değerler gb statstklerden söz edlr. Yukarıdak genel tanıma göre statstk, deskrptf (tasvr) ve ndaktf (tahll) statstk olmak üzere kye ayrılmaktadır: Deskrptf (tasvr) İstatstk Tasvr statstk olarak da adlandırılan deskrptf statstk, herhang br konuyla lgl verlern toplanması, düzenlenmes, özetlenmes, söz konusu verlern tablo ve grafkler hâlnde gösterlmes le lglenr. Frekans dağılımları, merkezî eğlm ölçüler (artmetk ortalama, mod, medyan,. ), dağılma ölçüler (standart Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 2

3 Temel Kavramlar sapma, varyans, değşm aralığı...), asmetr ve basıklık ölçüler gb konular verlern özetlenmes ve tasvr le lgl olduğundan, deskrptf statstğn konusunu teşkl etmektedr. İndaktf (tahll) İstatstk İndaktf statstk, lglenlen konuyla lgl tüm verler arasından seçlen alt verler kullanılarak analzlern yapılması ve bu analzler le elde edlen sonuçlar kullanılarak tüm brmler hakkında yorum yapılması ve br karara bağlanması le lglenr. Bu tanımdan yola çıkarak ndaktf statstk tahll statstk olarak da adlandırılmaktadır. Örnekleme teors, hpotez testler, regresyon ve korelasyon analzler gb konular se ndaktf statstğn konusunu teşkl etmektedrler. ANAKÜTLE VE ÖRNEK KAVRAMLARI Br statstk araştırmada, araştırmaya konu olan bütün brmlere anakütle denr. Anakütlenn çerçeves yapılacak araştırmadan araştırmaya değşklk göstermektedr. İktsad ve dar blmler fakültesnn brnc sınıfında okuyan öğrenclernn sınav notları lgl br araştırma yapıldığında söz konusu fakültede okuyan brnc sınıf öğrenclernn tamamı anakütley oluştururken, fakültede okuyan tüm öğrenclernn sınav notları lgl br araştırma yapıldığında se fakültede okuyan tüm öğrencler anakütley fade etmektedr. Çerçeve daha da genşletlerek ünverstede okuyan tüm öğrencler br anakütle olableceğ gb Türkye dek ünverstelern tamamında okuyan öğrencler de br anakütley teşkl etmektedr. Ünverste öğrencler br anakütley fade ederken, lköğretm öğrencler, lselerde okuyan öğrencler, herhang br ktabı okuyan şahıslar, herhang br konuya at bell br düşünceye sahp şahıslar, devlet darelernde çalışan memurlar, br lde yaşayan hane halkları ve daha brçok brm anakütley fade edeblr. Bazı durumlarda üzernde araştırma yapılan anakütle sayılamayacak kadar brm htva edeblr. Örneğn Karadenz dek hamsler üzernde br araştırma yapılacaksa Karadenz dek tüm hamsler anakütley fade etmektedr k hamslern tamamını saymamız mkânsızdır. Bu durumda karşımıza sınırlı ve sınırsız anakütle kavramları çıkmaktadır. Sınırlı anakütle, İktsad ve İdar Blmler Fakültes nn brnc sınıfında okuyan öğrenclernn sınav notları lgl araştırma örneğnde olduğu gb bu öğrenclern sayısı tespt edlebldğ anakütleler fade etmektedr. Kısacası araştırma konusu le lgl brmlern çerçeves çzleblyorsa bu anakütle sınırlı anakütledr. İktsad ve İdar Blmler Fakültes nn brnc sınıfında okuyan öğrencler, br bölümde okuyan öğrencler, fakültede okuyan tüm öğrencler, Atatürk Ünverstesnde okuyan tüm öğrencler ve braz daha genşletlrse Türkye dek ünverstelern tamamında okuyan öğrenclern sayıları blndğnden sınırlı anakütleye örnek teşkl ederler. Bu örnekler genşletleblr. Br ldek bna sayısı, trafk kazalarının sayısı, doğum ve ölüm sayıları vb. brçok konu sınırlı ankütleye örnek teşkl etmektedr. Sınırsız anakütle kavramı se, Karadenz dek hamsler üzernde yapılan araştırma örneğndek gb hamslern tamamının sayısı tespt edlemedğ durumlarda karşımıza çıkmaktadır. Araştırma konusu le lgl brmlern çerçeves çzlemedğ durumlar sınırsız anakütley fade etmektedr. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 3

4 Temel Kavramlar Karadenz dek hamslern sayısı sınırsız anakütle çn örnek teşkl ettğ gb, br ülkede roman okuyan şahısların sayısı, br ldek herhang br yemeğ seven nsanların sayısı, br ülkede seyahat etmey sevenlern sayısı gb konularda anakültey oluşturan brmlern sayısı tespt edlemedğ çn sınırsız anakütle çn örnek teşkl etmektedr. TAM SAYIM VE ÖRNEKLEME Br öncek başlıkta br statstk araştırmada, araştırmaya konu olan bütün brmler anakütle le fade edlmşt. Brm se anakütley oluşturan en küçük parçadır. Örneğn br lde yaşayan alelern mutfak gderler le lgl br araştırmada; söz konusu lde yaşayan alelern tamamı anakütley oluştururken, lde yaşayan her br ale se anakütlenn brmlern oluşturmaktadır. Anakütle le lgl blg toplanmak stendğnde tüm brmlern teker teker ncelenmes gerekmektedr. Bu şleme tam sayım adı verlmektedr. Anakütle brm sayısı çok fazla olması durumunda tüm brmlern ncelenmes fazla zaman alableceğ gb aynı zamanda masraflı da olacaktır. İstatstk araştırmalar genellkle br fayda elde etmek çn yapılırlar ve yapılan her br araştırma belrl br sürede btrlemyor ve yapılan masraflar faydayı aşıyorsa araştırma yapmanın anlamı kalmamaktadır. Bu nedenlerden dolayı tam sayım şlem yapılmamaktadır. Araştırmaya konu olan bütün brmlern tamamına ulaşmak mümkün veya gerekl olmayablr. Yukarıda fade edldğ gb mümkün olsa ble zaman ve malyet gb bazı kısıtlayıcılar nedenyle tüm anakütleye ulaşmak mümkün olmayablr. Bu gb durumlarda anakütleden tesadüf yöntemlerle anakütle brm sayısından daha az sayıda brmlern seçlme şlemne örnekleme denr. Anakütleden örnekleme yardımıyla seçlen brmler se örnek olarak fade edlmektedr. Örneğn br ünverstede okuyan öğrencler üzernde br araştırma yapıldığında bu ünverstedek tüm öğrencler anakütley teşkl ederken bu öğrencler arasından tesadüf olarak seçlen 100 öğrenc se örneğ teşkl etmektedr. ANAKÜTLE VE ÖRNEK HACMİ Anakütle hacm, anakütley oluşturan brmler topluluğudur ve genellkle N le gösterlr. Örnek hacm se örneğe seçlen brm sayısıdır ve n le gösterlr. Örneğn Atatürk Ünverstesnde okuyan öğrenclern ktap okuma alışkanlıkları le lgl br araştırma yapılacaksa, ünverstede okuyan öğrenc anakütle hacmn (N) fade ederken, bu öğrencler arasından tesadüf yöntemlerle seçlen 500 öğrenc se örnek hacmn(n) fade etmektedr. Eğer araştırma İktsad Ve İdar Blmler Fakültes çn yapılıyorsa, fakültede okuyan 3500 öğrenc anakütle hacmn, bu öğrencler çersnden tesadüf olarak seçlen 100 kşlk öğrenc grubu se örnek hacmn fade etmektedr. Bu tp br örneğe şans örneğ denr. Örnekleme yapmanın temel amacı anakütleden seçlen örnekler yardımıyla anakütle hakkında blg elde etmektr. Örnekten elde edlen sonuçlar bütün anakütleye teşml edlr. Bu durumunun daha y anlaşılması çn anakütle ve örnek kavramları Şekl 1 üzernde açıklanmaya çalışlacaktır. Şekl ncelendğnde anakütleden tesadüf yöntemlerle anakütle brm sayısından daha az sayıda seçlen örnek yardımıyla tahmnler yapılarak anakütle hakkında karar verlr. Şeklde verlen parametre ve statstk kavramları aşağıda zah edlecektr. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 4

5 Tartışma Temel Kavramlar Şekl 1. Anakütle ve Örnek Kavramları PARAMETRE VE İSTATİSTİK KAVRAMLARI Anakütledek bütün brmler üzernden hesaplanan ölçülere parametre adı verlr. Örneğn br fakültede okuyan öğrenclern statstk dersnden aldıkları notlar le lgl br araştırma yapıldığında; statstk dersn alan tüm öğrencler anakütley temsl etmektedr. Anakütley temsl eden tüm öğrenclern not ortalaması hesaplandığında elde edlen değer parametre değern fade etmektedr. Anakütley temsl etme gücüne sahp br örnektek verlerden hesaplanan ölçülere statstk adı verlr. Yukarıda verlen örnekte statstk dersn alan tüm öğrencler arasından tesadüf olarak seçlen 30 öğrencnn not ortalaması statstk değern fade etmektedr. İstatstk blglernn hesaplanması daha çok tasvr statstğn konusudur. Eldek statstk değerlern kullanarak anakütle parametreler hakkında br kısım yargılara varmak tahll statstk veya statstk analzn konusunu teşkl etmektedr. Anakütle ve örnek kavramlarını tartışınız. Düşüncelernz sstemde lgl ünte başlığı altında yer alan tartışma forumu bölümünde paylaşablrsnz. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 5

6 Özet Temel Kavramlar İstatstk kelmes günlük hayatta farklı anlamlarda kullanılmaktadır. Televzyonda br futbol müsabakasını zleyen br taraftar çn statstk, maç esnasında yapılan faul sayısı, atılan korner sayısı, topa sahp olma oranları gb değerler, br ale res çn açıklanan aylık enflasyon oranlarını, başka br brey çn ülke nüfusu, hracat değerler, thalat değerler, nşa edlen konut sayıları gb rakamları fade ederken, akademk çalışma yapan br blm adamı çn se sayısal analzler fade etmektedr. Bu bölümde İstatstğn tanımı yapılarak, anakütle ve örnek kavramları açıklanacak,tam sayım ve örnekleme arasındak fark ortaya konulacak ve son olarak anakütle, örnek, parametre le statstk kavramları ayrıntılı br şeklde anlatılacaktır. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 6

7 Temel Kavramlar DEĞERLENDİRME SORULARI Değerlendrme sorularını sstemde lgl ünte başlığı altında yer alan bölüm sonu test bölümünde etkleşml olarak cevaplayablrsnz. 1. Aşağıdaklerden hangs statstğn yaptığı şlerden br değldr? a) Verlern toplanması b) Verlern düzenlenmes c) Verlern özetlenmes d) Verlern analz e) Verlern saklanması 2. Aşağıdaklerden hangs deskrptf (tasvr) statstğn konusu değldr? a) Medyan b) Mod c) Hpotez test d) Standart sapma e) Değşm aralığı 3. Aşağıdaklerden hangs ndaktf (tahll) statstğn konusudur? a) Örnekleme teors b) Artmetk ortalama c) Varyans d) Değşm aralığı e) Mod 4. İstatstk çalışmalarda, hakkında blg elde edlmek stenen ve araştırmaya konu olan bütün brmlere ne ad verlr? a) Varyans b) Anakütle c) Mod d) Örnekleme e) Örnek 5. Br ünverstedek öğrencler çersnde cnsyet ve ktap okuma alışkanlığı arasında br lşknn bulunup bulunmadığının sınandığı br çalışmada anakütle nedr? a) Ünverstedek okuyan erkek öğrencler b) Ünverstedek ktap okuyan kız öğrencler c) Br fakültedek ktap okuyan öğrencler d) Ünverstedek okuyan tüm öğrencler e) Ünverstedek ktap okumayan öğrencler 6. Aşağıdaklerden hangs sınırlı anakütleye örnek teşkl eder? a) Br lde A marka deterjan kullanan alelern sayısı b) Br ülkede roman okuyanların sayısı c) Br sınıftan seçlen 10 öğrenc d) Doğu Anadolu Bölges nde kayıtlı araç sayısı e) Doğu Anadolu Bölges nde yaşayan canlıların sayısı Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 7

8 Temel Kavramlar 7. Aşağıdaklerden hangs sınırsız anakütleye örnek teşkl eder? a) Doğu Anadolu Bölges nn nüfusu b) Br fakültede okuyan öğrenclern tamamı c) Br gölde yaşayan canlılar d) Br fakültede statstk dersn alan öğrencler arasından seçlen 100 öğrenc e) Br lçede bulunan kayıtlı konut sayısı 8. Anakütle le lgl blg toplamak stendğnde bütün brmlern teker teker ncelenmesne ne ad verlr? a) Örnekleme b) Tamsayım c) Örnek d) Anakütle e) Parametre 9. Anakütleden tesadüf yöntemlerle anakütle brm sayısından daha az sayıda brmlern seçlme şlemne ne ad verlr? a) Tamsayım b) Anakütle c) Örnek d) Örnekleme e) İstatstk 10. Anakütleden örnekleme yardımıyla seçlen alt brmlere ne ad verlr? a) Anakütle alt brm b) Tamsayım c) Örnek d) Parametre e) İstatstk Cevap Anahtarı 1.E, 2.C, 3.A, 4.B, 5.D, 6.D, 7.C, 8.B, 9.D, 10.C Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 8

9 Temel Kavramlar YARARLANILAN VE BAŞVURULABİLECEK DİĞER KAVRAMLAR Armutlulu, İ. H. (1999), İşletme İstatstğne Grş, Alfa Yayınları, İstanbul. Başar, A., E. Oktay (2012), Uygulamalı İstatstk I: Kısa Teork Blgler ve Çözülmüş Problemler, 6. Baskı, EKEV Yayınları, Erzurum. Berenson, M. L., D. M. Levne (1996), Basc Busness Statstcs: Concepts and Applcatons, 8. Baskı, Prentce Hall, Inc., New Jersey. Danel,W., J. C. Terrell (1995), Busness Statstcs: For Management and Economcs, 7. Baskı, Houghton Mffln Company, Boston. Güler, F. (2008), İstatstk Metotları ve Uygulamaları, 2. Baskı, Beta Yayınları, İstanbul. Köksal, B. A. (1995). İstatstk Analz Metodları, 4. Baskı, Çağlayan Ktabev, İstanbul. Serper, Ö. (1996), Uygulamalı İstatstk- I, 3. Baskı, Flz Ktabev, İstanbul. Spegel, M. R., L. J. Stephens (1999), Schaum s Outlnes: İstatstk, Üçüncü Baskıdan Çevr, Çevr Edtörler: Alptekn Esn, Salh Çeleboğlu, Nobel Yayınları, Ankara. Turanlı, M., S. Gürş (2000), Temel İstatstk, Der Yayınları, İstanbul. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 9

10 HEDEFLER İÇİNDEKİLER İSTATİSTİK VERİLERİ Ver Türler Değşken Sayısına Göre Ver Türler Ölçüm Türüne Göre Ver Türler Kayıt Türüne Göre Ver Türler Verlern Özellkler Ver Kaynakları Canlı Ver Kaynakları Belgesel Ver Kaynakları Doğal Ver Kaynakları İSTATİSTİĞE GİRİŞ Yrd.Doç.Dr.Emrah Talaş Bu üntey çalıştıktan sonra, İstatstk verlernn ne olduğunu anlayablecek İstatstk araştırmalara konu olan ver türlern öğreneblecek Verlern taşıması gereken özellkler anlayablecek Verlern hang kaynaklardan elde edlebleceğn kavrayacaksınız. ÜNİTE 2

11 İstatstk Verler GİRİŞ Herhang br araştırma konusu le lgl toplanan şlenmemş ham blglere ver denr. Ver, araştırma konusu le lgl statstksel çalışmanın temeln oluşturur. Örneğn pyasada en fazla tüketlen gıda le lgl br araştırma yapılacaksa gıda maddelernn tüketmyle lgl elde edlen blgler verdr. Veya Ünverste öğrenclernn başarılarını etkleyen unsurları araştırmak steyen br araştırmacı çn öğrencler hakkında konu le lgl elde edlen blgler verdr. Ya da bell br bölgede hastalığa yakalananlar le lgl araştırmada kullanılablecek elde edlen her türlü blg, very oluşturmaktadır. Bu örnekler daha fazla çoğaltmak mümkündür. Buna göre araştırma konusu le lgl toplanan sayısal ya da sayısal olmayan blgler very oluşturmaktadır. Ver br anlamda araştırma konusunun delllern teşkl eder. İstatstksel analzler konu le lgl toplanan ham blglere dayanılarak yapılır. Dolayısıyla İstatstksel analzlerden doğru sonuçların alınması elde edlen blglern doğruluğuna bağlıdır. Verlern yanlış ya da hatalı toplanması, sonucun da yanlış veya hatalı çıkmasına neden olacaktır. Ver toplanmadan önce araştırma le lgl amacın ne olduğu çok net br şeklde ortaya konulmalı ve bu amaç çerçevesnde blgler toplanmalıdır. VERİ TÜRLERİ Verler karakterlerne göre farklı şekllerde gruplandırılablr. Verler değşken sayısına göre, ölçüm türüne göre ve kayıt türüne göre üç ana başlık altında nceleneblr: Değşken Sayısına Göre Verler Değşken sayısına göre verler tek değşkenl verler, k değşkenl verler ve çok değşkenl verler olmak üzere üçe ayrılır. Tek değşkenl verler Tek değşkenl verlerde araştırmaya konu her brm çn tek br ver elde edlr. Tek değşkenl ver, kümelerdek verlern değerler açısından brbrlernden ne kadar farklı veya benzer olduklarını tespt etmede kullanılablr. Tablo 1. Tek Değşkenl Ver Örneğ Brmler Öğrenc Sayısı İktsat 120 İşletme 120 Ekonometr 50 Kamu Yönetm 50 Çalışma Ekonoms 50 Uluslararası İlşkler 50 Yönetm Blg Sstemler 50 Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 2

12 İstatstk Verler İk değşkenl verler Bu tarz ver kümeler çn brmler le lgl k ver tespt edlr. İk değşkenl ver türlernde değşkenler arasında br lşknn olup olmadığı, ne yönde olduğu veya değşkenler açısından brmler arasında benzerlkler olup olmadığı araştırılablr. Tablo 2. İk Değşkenl Ver Örneğ Brmler Öğrenc Sayısı Başarı Ortalaması İktsat İşletme Ekonometr Kamu Yönetm Çalışma Ekonoms Uluslararası İlşkler Yönetm Blg Sstemler Çok değşkenl verler Araştırma konusu çn üç ya da daha fazla ver elde edlmek stendğnde çok değşkenl verlerden söz edeblrz. Çok değşkenl ver türüne aşağıdak gb br örnek vereblrz. Tablo 3. Çok Değşkenl Ver Örneğ Kız Öğr. Erkek Öğr. Başarı Bölümler Sayısı Sayısı Ortalaması İktsat İşletme Ekonometr Kamu Yönetm Çalışma Ekonoms Uluslararası İlşkler Yönetm Blg Sstemler Tablo 3 te brmler br fakültedek bölümlerden oluşmuştur. Bölümlere at öğrenc sayısının cnsyete göre dağılımı ve ortalama başarı puanı değşkenlerne göre verler elde edlmştr. Ölçüm Türüne Göre Verler Verler ölçüm türlerne göre ntel verler (kaltatf) sayısal olmayan verler ve ncel verler (kanttatf) sayısal olan verler şeklnde genel olarak k şeklde sınıflandırılır. Araştırmanın konusu gereğ cnsyet, meden durum gb ölçülemeyen ancak sınıflandırılablen verlere htyaç duyulableceğ gb sayısal değer alablen yaş, boy, gelr gb değşkenlere at verlere htyaç duyulablr. Değşkenlern sayısal değer alıp almamasına göre verler ntel ve ncel olarak sınıflandırılır. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 2

13 İstatstk Verler Ntel verler Ntel ver, değşkenn vasfı le lgl sayısal olmayan blglerdr. Özellkle sosyal blmlerde araştırma konuları gereğ daha fazla ntel (kaltatf) ver kullanılmaktadır. Ntel veryle brmlere at sıfatlar ya da durumlar tespt edlr. Ntel verler sınıflayıcı (nomnal) ve sıralayıcı (ordnal) olmak üzere k şeklde nceleneblr: Sınıflayıcı (Nomnal) Verler Bu tür verler çn elde edlen değerler sayısal br büyüklük fade etmezler. Örneğn araştırma konusuna göre sorulan cnsyet, meden durum, saç reng, göz reng, mesleğ, okuduğu bölüm, doğduğu l, yaşadığı coğraf bölge gb değşkenlere verlen cevaplar nomnal verlerdr. Sıralayıcı (Ordnal) Verler Sıralayıcı verlerde lgl değşkenn aldığı değerler açısından brbrlerne üstünlükler ya da önem derecesne göre br sıralama söz konusudur. Örneğn yne araştırma konusuna göre sorulan öğrenm durumu, akademk unvan, belrl br önermeye katılma sevyes gb değşkenlere verlen cevaplar sıralayıcı verlerdr. Mesela AÖF Öğrencler ders çalışmayı severler. önermesne katılma sevyeler, hç katılmıyorum, katılmıyorum, kararsızım, katılıyorum, tamamen katılıyorum şeklnde belrlenmşse elde edlecek verler sıralayıcı verlerdr. Ncel Verler Ncel verler brmlern sayısal özellklern gösteren değerlerdr. Araştırma konusu le lgl elde edlen her türlü sayısal değer ncel ver olarak fade edlr. Ncel verler keskl ve sürekl olmak üzere k şeklde nceleneblr: Keskl Verler Keskl verler, brmlere at özellklern tam sayılarla fade edldğ ver setlerdr. Araştırma konusuna göre sorulacak sorulardan elde edlen değerler tam sayıdır (0, 1, 2, 3, vb). Mesela evl br kadına Kaç çocuğunuz var? sorusunu sorduğunuzda alacağınız cevap keskl verdr. Yne br öğrencye Haftada kaç kez snemaya gdersn? sorusunu sorduğunuzda alacağınız cevap keskl verdr. Sürekl Verler Sürekl verler: Tam sayılar arasında sonsuz değer alablen ölçü brm ve kesrl değerler çeren ver setlerdr , 76.56, gb değerler sürekl verlere örnek verleblr. Mesela br sınıftak öğrenclere at boy ve ağırlık kayıtları sürekl verlerdr. Ölçüm ve tartım aletnn hassasyetne göre vrgülden sonra basamaklar çoğaltılablr. İk tür sürekl ver vardır. Aralık ölçeğ le ölçülmüş verler: Bu ölçekte üzernde durulan değşken belrl k değer arasında sonsuz değer alablr. Bu ölçektek 0 değer, ölçülen karakterstğn olmadığını göstermez. Aynı şeklde ölçüm karakterstklernden br dğernn katlarıyla fade edlemez. Bu ölçeğe verleblecek en açık örnek, ısı ölçümlerdr. 0 o C, sıcaklığın olmadığını göstermez ve 4 o C, 2 o C nn k katı değldr. Oran ölçeğ le ölçülmüş verler: Zayıftan kuvvetlye doğru sıraladığımız yukarıdak ölçeklern en hassas olanıdır. Ölçülen karakterstğn sıfır olması o karakterstğn olmadığını gösterr. Aynı şeklde ölçülen br karakterstk dğernn katları le fade edleblr. Ağırlık ve boy ölçümler bu ölçeğe verleblecek en y örneklerdr. Br csmn ağırlığının 0 olması o csmn olmadığını gösterrken 2 kg gelen br csm 4 kg gelen aynı özellktek csmn yarısı kadardır denleblr. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 2

14 İstatstk Verler Kayıt Türüne Göre Verler Kayıt türüne göre verler kest verler, zaman sers verler ve panel verler olmak üzere üç şeklde nceleneblr: Kest Verler Kest verler, belrl br anda veya belrl br zaman aralığında toplanmış verlerdr. Bu tür verlerde ver değerlernn önem vardır. Farklı brmlere at değerlern aynı zamanda toplanması le elde edlen verler kest verlerdr. Örneğn farklı gelr gruplarının bell br zaman dönemnde yaptıkları tüketm harcamaları le lgl değerler kest verlerdr. Veya br üretm sürecnde bell br zamanda üretlen ürünler le lgl kusurlu- kusursuz şeklnde br tasnfle elde edlen değerler kest verlerdr. Ya da bell br günde aşağıdak tabloda gösterldğ gb dövz kurları le lgl elde edlen değerler kest verlerdr. Dövz Cns Tablo 4. Kest Ver Örneğ TL. Karşılığı 1 Euro ABD Doları Japon Yen İnglz Sterln Kanada Doları İsveç Kronu İsvçre Frangı Zaman Sers Verler Araştırma konusu le lgl değşkenn zaman çersndek değşmn gösteren blg zaman sers vers olarak fade edlr. Zaman serler araştırma konusuna göre günlük, haftalık, aylık veya yıllık şeklnde zaman peryodunda sunulablr. Örneğn 2000 yılından 2010 yılına kadar Türkye de şszlk oranlarıyla lgl elde edlen değerler zaman sersn gösterr. Yıllar Tablo 5. Zaman Sers Örneğ Türkye de İşszlk Oranı Panel Verler Ale, frma veya brey gb ele alınan mkro brmlere at kest verlern zaman sers hâl panel verdr. Hatırlanacağı gb kest verler, br veya daha fazla brmlerle lgl belrl br anda veya belrl br zaman aralığında toplanmış verler olarak fade edlmşt. Zaman serlern se lgl değşkenn zaman çersndek değşmn gösteren blg olarak fade edlmşt. Panel verler brmler arasındak farklılıkların ya da benzerlklern belrl zaman peryodu çersnde gözlemlenmes le elde edlr. Örneğn aşağıda aylar tbarıyla br bölgede yaşayanların gelr ve Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 2

15 İstatstk Verler harcamalarının yaş ve cnsyete göre dağılımını ele alalım. Bu dağılımda zaman ve farklı brmlere at değşken değerler, mevcut tabloda da görülebleceğ gb hem kest verler hem de zaman sersn çersnde barındırmaktadır. Tablo 6. Panel Ver Örneğ Brmler Aylar Cnsyet Yaş Gelr Harcama 1 Ocak E Şubat E Mart K Nsan E Mayıs K Hazran E Tablo 6 da görüldüğü gb brden fazla kş brden çok zaman dlmnde çeştl özellkler tbarıyla karşılaştırılmıştır. VERİNİN TAŞIMASI GEREKEN ÖZELLİKLER Br araştırmanın başarısını konu le lgl toplanan vernn taşıması gereken tüm özellkler belrler. Bu özellkler dört ana grupta toplanablr: Vernn Fonksyonel Olması Fonksyonel ver toplayablmek ver toplama ölçeklern doğru hazırlamakla mümkündür. Araştırma konusu çnde problem doğru belrlenp sınırı çok net tespt edlmeldr. Ver hang yöntemle toplanacaksa o yöntemn ver toplama aracı belrlenen sınırın dışına taşmayacak, problemn çözümü çn gerekl tüm blgler çerecek şeklde hazırlanmalıdır. Vernn Yeterl Olması Ver toplama aracının hazırlanması aşamasında, araştırma problem, problem oluşturan alt problemlere ayrılmalıdır. Hazırlanan her alt problemn altına o alt probleme lşkn toplanması gereken verler sağlayacak sorular hazırlanmalı ve hazırlanan her soru alt problem le lşklendrlerek soruların gerekllğ ya da gerekszlğ saptanmalıdır. Ayrıca hazırlanan soruların getreceğ varsayılan vernn alt problemnn tanımlanması çn yeterllğ kontrol edlmeldr. Vernn Güvenlr Olması Br konuda elde edlen vernn aynı koşullar oluşturularak tekrarlandığında aynı vernn elde edlmes, aynı breyden aynı yanıtın alınması vernn güvenlr olduğu anlamına gelmektedr. Blg doğru ya da yanlış olablr. Vernn güvenlrlğ ver toplanan yer ya da kş le de lgldr. Vernn Doğru Olması Gerçek durumu olduğu gb yansıtan ver doğru olarak kabul edlmektedr. Taraflı olmadan doğru örneklemden doğru blgler elde edlmeldr. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 2

16 İstatstk Verler VERİ KAYNAKLARI Canlı Ver Kaynakları Btk ve hayvanlar Bu canlılara lşkn verler genelde gözlem ya da deneysel yöntemle toplanmaktadır. Verlern toplanması uzun br zaman dlm gerektrmektedr. Bu canlılara lşkn araştırmalar daha çok o canlıların yaşam bçmler le canlılar ve doğa denges lşksn belrlemeye yönelk olmalıdır. İnsanlar En çok kullanılan ver kaynağı nsanlardır. İnsanlar günlük yaşantılarında çeştl konulara lşkn öneml görüşler gelştrmekte; sorunları görmekte ve hatta breysel çözümler üreteblmektedrler. Breysel yaşantılar; breyn nançlarının, gelenek ve göreneklern, alışkanlıklarının, toplumun değer kalıplarının etks altında kazanılmaktadır. Bu etklern nsanlardan elde edlen verlerde de görülmes söz konusu olmaktadır. Ale sosyal ve ekonomk açıdan toplumun en öneml brmdr ve öneml br ver kaynağıdır. Ürettğ ale kültürü, doğruları ve yanlışları, etk anlayışı le toplumun kültür yapısını etklemektedr. Belgesel Ver Kaynakları Yayınlanmış belgesel ver kaynakları Bunlar ktap, anskloped, gazete, derg, araştırma, statstkler vb. ver kaynaklarıdır. Her araştırma çalışmasında konuya lşkn yeterl mktarda belge taranması gerekmektedr. Özellkle öncek zamanlara lşkn olay ve olguların araştırılmasında ya da problemn geçmşle olan lşks yönünden ncelenmesnde yayınlanmış belgesel ver kaynakları çok kullanılmaktadır. Yayınlanmamış belgesel ver kaynakları Yayınlanmamış belge, bulgu, arşv evraklar ve dğer dokümanlar brer ver kaynağıdır. Bu verler lgl olay ve olgularla lşklendrlerek araştırmayı bell sonuçlara götüreblecek ntelkte olablmektedr. Doğal Ver Kaynakları Yaşayan doğal ver kaynakları Doğada bulunan çeştl varlıklar ve olaylar çeştl alet ve yöntemlerle ncelendğnde araştırma çn gereken verler elde edleblr. Toprak blm, denz blm, gök blm, çevre blm vb. doğaya lşkn blm dallarında çalışan araştırmacılar, lgl alanda doğadan bol mktarda ver toplayablmektedrler. Kalıntı doğal ver kaynakları Bunlar toprak altında ve üstünde olan, daha öncek zamanlara lşkn doğa kaynaklarından elde edlen verlerdr. Yapı kalıntıları, fosller, mezarlar, tapınaklar, yaşanan döneme lşkn araçlar vb. ver kaynaklarını oluşturmaktadır. Daha çok arkeoloj, sanat tarh, uygarlık tarh gb daha öncek zamanlara lşkn kültür yapısını ortaya koymaya çalışan blm dallarındak araştırmacılar tarafından başvurulan ver kaynaklarıdır. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 2

17 Özet İstatstk Verler Herhang br araştırma konusu le lgl toplanan şlenmemş ham blglere ver denr. Ver, araştırma konusu le lgl statstksel çalışmanın temeln oluşturur. Ver br anlamda araştırma konusunun delllern teşkl eder. İstatstksel analzler konu le lgl toplanan ham blglere dayanılarak yapılır. Dolayısıyla statstksel analzlerden doğru sonuçların alınması elde edlen blglern doğruluğuna bağlıdır. Verlern yanlış ya da hatalı toplanması, sonucun da yanlış veya hatalı çıkmasına neden olacaktır. Ver toplanmadan önce araştırma le lgl amacın ne olduğuçok net br şeklde ortaya konulmalı ve bu amaç çerçevesnde blgler toplanmalıdır. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 2

18 Ödev İstatstk Verler Ver ve ver türlern açıklayınız. Kaltatf ve kanttatf verler arasındak farkı açıklayınız. Hazırladığınız ödev sstemde lgl ünte başlığı altında yer alan ödev bölümüne yükleyeblrsnz. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 2

19 İstatstk Verler Değerlendrme sorularını sstemde lgl ünte başlığı altında yer alan bölüm sonu test bölümünde etkleşml olarak cevaplayablrsnz. DEĞERLENDİRME SORULARI 1. Aşağıdaklerden hangs Ölçüm Türlerne Göre Verler den br değldr? a) Ncel verler b) Keskl verler c) Sürekl verler d) Sınıflayıcı (nomnal) verler e) Panel verler 2. Aşağıdak fadelerden elde edlen blglern hangs ntel verye örnektr? a) Öğrenclern cnsyetler b) Öğrenclern sayısı c) Öğrenclern boyları d) Öğrenclern ağırlıkları e) Öğrenclern başarı puanları 3. Aşağıdak fadelerden elde edlen blglern hangs ncel verye örnektr? a) Cnsyet b) Meden Durum c) Saç Reng d) Boy e) Uyruk 4. Aşağıdak verlerden hangs sıralayıcı (ordnal) verlere örnektr? a) İstatstk dersn alan sarı saçlı öğrencler b) İstatstk notu en yüksek olan lk 5 öğrenc c) İstatstk dersnden 80 puan alan öğrencler d) İstatstk dersn alan erkek öğrencler e) İstatstk dersn alan yabancı öğrencler 5. Aşağıdaklerden hangs AÖF öğrencler güler yüzlüdür. fadesne katılımı fade eden sıralayıcı br ver değldr? a) Hç katılmıyorum b) Katılmıyorum c) Gerçekten m? d) Katılıyorum e) Kesnlkle katılıyorum 6. Türkye İstatstk Kurumunun sağladığı verler, hang ver kaynağına örnektr? a) Yayınlanmamış ver kaynağı b) Yayınlanmış ver kaynağı c) Yaşayan doğal ver kaynağı d) Kalıntı doğal ver kaynağı e) İşgüzara ş sağlayan ver kaynağı 7. Aşağıdak sorulara verlen cevapların hangs sürekl verye örnektr? a) Br ayda kaç defa tyatroya gdersnz? b) Klonuz nedr? c) Doğum yılınız nedr? d) En sevdğnz rakam nedr? e) Kaç gömleğnz var? Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 2

20 İstatstk Verler 8. Belrl br yılda coğraf bölgeler tbaryla satılan doğalgaz mktarı br ser halnde sunulmuştur. Bu ser aşağıdaklerden hangsne br örnek olur? a) Mekân serler b) Yatay kest verler c) Zaman sers d) Panel ver set e) Kest verler 9. Yıllar tbaryla Erzurum da satılan doğalgaz mktarı br ser hâlnde sunulmuştur. Bu ser aşağıdak serlerden hangsne br örnek olur? a) Mekân serler b) Yatay kest verler c) Zaman sers d) Panel ver set e) Kest verler 10. Aşağıdaklerden hangs verlern taşıması gereken özellklerden br değldr? a) Ver fonksyonel olmalıdır b) Ver yeterl olmalıdır c) Ver güvenlr olmalıdır d) Ver doğru olmalıdır e) Ver kesn olmalıdır Cevap Anahtarı 1.E, 2.A, 3.D, 4.B, 5.C, 6.B, 7.B, 8.A, 9.C, 10.E Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 2

21 İstatstk Verler YARARLANILAN VE BAŞVURULABİLECEK DİĞER KAYNAKLAR Başar, A., Oktay, E. (2010). Uygulamalı İstatstk, 6. Baskı, Erzurum: Mega Ofset Büyüköztürk, Ş. (2008). Sosyal Blmler çn Ver Analz El Ktabı, 9. Baskı, Ankara: Pegem Akadem Yayıncılık Çakır, F. (2000). Sosyal Blmlerde İstatstk, 1. Baskı, İstanbul: Alfa Yayıncılık Çepn, E. (2008). Ekonomk Göstergeler ve İstatstkler Rehber, 3. Baskı, Ankara: Seçkn Yayıncılık Gürsakal, N. (2008). Betmsel İstatstk, 4. Baskı, Bursa: Dora Yayıncılık Hayran, M.,Özdemr, O. (1996). Blgsyar İstatstk Ve Tıp, 2. Baskı, Ankara: Hekmler Yayın Brlğ. Johnson, R.,A., Wıchern, D., W. (1998Appled Multvarate Statstcal Analyss, 4. Baskı,NJ: Prentce-Hall nc. Özdamar, K. (1999). Paket Programlar le İstatstksel Ver Analz, 2. Baskı, Eskşehr: Kaan Ktabev Yazıcıoğlu, Y., Erdoğan, S. (2004). SPSS Uygulamalı Blmsel Araştırma Yöntemler, 1. Baskı, Ankara: Detay Yayıncılık Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 2

22 HEDEFLER İÇİNDEKİLER İSTATİSTİK SERİLERİ Zaman Serler Mekân Serler Bleşk Serler Frekans (Bölünme) Serler Ntel Serler Ncel Serler Mutlak Frekans Serler Bast Serler Sınıflandırılmış Serler Gruplandırılmış Serler Nsp Frekans Serler Kümülatf Frekans Serler İSTATİSTİĞE GİRİŞ Yrd. Doç. Dr. Emrah TALAŞ Bu üntey çalıştıktan sonra, İstatstksel serler gözlemlerden faydalanarak oluşturablecek İstatstk serler ayırt edebecek İstatstk serler oluşturableceksnz. ÜNİTE 3

23 İstatstk Serler GİRİŞ Elde edlen ham verlern anlaşılablrlğn ve hesaplanablrlğn kolaylaştırmak çn bell br kurala göre sınıflandırılarak tablolaştırılması sonucu oluşan dzye ser denr. Br ser üzernde durulan değşkene at mümkün sonuçları ve bu sonuçların tekrarlanma durumlarını gösterdğ çn üzernde durulan değşkenn anlaşılması bakımından öneml puçları çerr. Bu puçları uygun statstk teknklerle değerlendrlerek üzernde durulan olayın anlaşılması sağlanablr. İstatstk serler çeştl krterlere göre sınıflandırılablr. Bu üntede statstk serler zaman, mekân ve sıklık krterlerne göre sınıflanacaktır. Bu şeklde elde edlecek serler zaman serler, mekân serler ve dağılma serler olmak üzere üç başlık altında ncelenecektr. ZAMAN SERİLERİ Gözlemlern zaman brmlerne göre sınıflandırıldığı serlere zaman serler denr. Dakkada akan su mktarı, br web stenn saatlk tıklanma sayısı, br frmanın aylık satış mktarı, br ülkenn yıllara göre şszlk oranı vb. durumlar zaman serlerne örnek olarak verleblr. Aşağıdak tabloda zaman serlerne örnek olarak yıllar tbarıyla Erzurum a gelen turst sayısı verlmştr. Tablo 1. Yıllar İtbarıyla Erzurum a Gelen Turst Sayıları Yıllar Yerl Yabancı Toplam Kaynak: KUDAKA Turzm Raporları No:2 MEKÂN SERİLERİ Söz konusu gözlemler mekâna göre sınıflandırılarak elde edlyorsa bu serlere mekân serler denr. İllere göre nüfus sayıları, bölgelere göre doğalgaz tüketm mktarları mekân serlerne örnek olarak verleblr. Yne çeştl ünverstelerdek öğrenc sayıları, çeştl ünverstelerdek blmsel yayın sayıları da mekân serlerne örnek verleblr. Aşağıda mekân sersne örnek olarak bazı ülkelern 2007 yılına at hracat mktarları verlmştr. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 22

24 İstatstk Serler Tablo 2. Bazı ülkelern 2007 Yılına At İhracat Mktarları Ülkeler İhracat rakamları (Mlyon dolar) Almanya Çn ABD Japonya Fransa İtalya Kaynak: The World Factbook BİLEŞİK SERİLER İk ya da daha fazla değşkenn brlkte değşmn gösteren serlere bleşk serler denr. Tablo 3 te kız çocuklarına at yaş, klo ve boy değerler verlmştr. Tabloda görüleceğ üzere aynı ölçüm brmnden elde edlmş brden fazla değşken brlkte zlenmektedr. Tablo 3. Kız Çocuklarında Ağırlık, Yaş ve Boy Cetvel Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 23

25 İstatstk Serler Kaynak: SET: FREKANS (BÖLÜNME) SERİLERİ Gözlemlern madd br özellğe göre sıralanmasıyla bölünme sers elde edlr. Mekân ve zaman özellğnn dışında kalan özellkler madd özellkler olarak kabul edlr. Örneğn cnsyet, meden durum, öğrenm durumu, üretm mktarı gb özellkler brer madd özellktr. Bölünme serler sınıflama özellklerne göre ntel ve ncel bölünme serler olmak üzere k grupta ncelenmektedr. Ancak kullanım yaygınlığından dolayı ncel bölünme serler üzernde daha ayrıntılı durulacaktır. Ntel (Kaltatf) Bölünme Serler Gözlemlern ntel br özellğe göre bölünerek oluşturulduğu ser ntel bölünme sersdr. Ntel özellk, sayısal değer alamayan özellklerdr. Meden durum, eğtm durumu ve cnsyet ntel özellklere örnek olarak verleblr. Aşağıda herhang br şyernn personelnn meden durumu sayısı verlmştr. Tablo 3. Br İş Yernde Çalışanların Meden Durumlarına Göre Dağılımı Meden Durum Personel Sayısı Bekâr 9 Evl 32 Ncel (Kanttatf) Bölünme Serler Sayısal değer alan özellklern sınıflandırılması le ncel serler oluşmaktadır. İstatstksel analzler bakımından oldukça öneml olan bu serler üç başlıkta nceleneblr: Bast Serler, Sınıflandırılmış Serler ve Gruplandırılmış Serler. Mutlak frekans serler Bast Serler Verlern küçükten büyüğe veya büyükten küçüğe doğru sıralanmasıyla elde edlen serlerdr. Genelde X olarak tanımlanırlar. Bast serlerde gözlem sayısı n le gösterlrse, serdek gözlem değerlernn toplamı = X 1 +X 2 +X 3 + X şeklnde fade edleblr. Örnek: Ekonometr bölümü öğrenclernn İstatstk dersnden aldıkları notlar aşağıda verlmştr: Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 24

26 İstatstk Serler 87, 48, 74, 75, 64, 61, 74, 63, 61, 58, 49, 74, 75, 90, 74, 63, 90, 61, 48 Ana kütleden seçlmş örnek verler küçükten büyüğe doğru sıralandığında bast ser elde dlmş olur. Yukarıdak ham ver setndek değerlern küçükten büyüğe doğru sıralanması le aşağıdak gb br bast ser elde edlr: 48, 48, 49, 58, 61, 61, 61, 63, 63, 64, 74, 74, 74, 74, 75, 75, 87, 90, 90 Sınıflandırılmış Serler Bast sernn daha anlaşılır hâle gelmes çn verler sınıflandırılır. Sınıflandırılmış serlerde her br X değernn karşısına o değern frekansı yan tekrarlanma sayısı yazılır. Mesela 100 kşlk br sınıfta 20 farklı not varsa 100 kşnn notu 20 sınıf hâlnde özetlenmş olur. Örneğn yukarıdak bast sernn sınıflandırılmış ser şeklndek hâl aşağıda verlmştr: 48, 48, 49, 58, 61, 61, 61, 63, 63, 64, 74, 74, 74, 74, 75, 75, 87, 90, 90 Her gözlem değernn karşısına bu gözlem değernn kaç kez tekrarlandığı (frekans) yazılırsa elde edlen serye sınıflandırılmış ser denr. Yukarıdak bast serde yer alan gözlem değerler le aşağıdak gb br sınıflandırılmış ser hazırlanır. Sınıflandırılmış ser hazırlandığında herhang br blg kaybı söz konusu olmaz. Notlar Frekans Elmzdek serde yüzlerce hatta bnlerce gözlem değer olması durumunda; sınıflandırılmış serler hazırlanmak suretyle daha az rakam kullanılarak, blg kaybına neden olmadan verler takdm etmek mümkün olablr. Gruplandırılmış Serler Sınıflandırılmış serler br basamak daha genşleterek gruplandırılmış serler oluşturulur. Genelde gözlem sayısının çok fazla olduğu durumlarda kullanılır. Böylece durum daha net görüleblr. Gruplamada gruplar genellkle eşt büyüklükte alınır. Gruplandırılmış br ser altı adımda oluşturulablr: Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 25

27 İstatstk Serler Adım 1: Elde dlen verler bast ser hâlne getrlr. Adım 2: Verlern en büyüğünden en küçük çıkarılarak değşm aralığı bulunur. Değşm Aralığı (K) = X max - X mn Adım 3: Olayın kaç grupta nceleneceğ (m) belrlenr. Adım 4: Sınıf büyüklüğü (a) belrlenr. Sınıf büyüklüğü dağılımdak en büyük değerden en küçük değern çıkarılıp grup sayısına bölünmesyle elde edlr. Sınıf büyüklüğü aynı zamanda sınıf üst sınırı le alt sınırı arasında farktır. a= = Adım 5: Serdek en küçük değere sınıf büyüklüğü eklenerek m adımda serdek en büyük değere ulaşacak şeklde gruplar oluşturulur. Adım 6: Her guruba düşen değer sayısı belrlenr. Örnek: Br kreştek 10 çocuğun ağırlıklarına (kg) göre dağılımları aşağıdak gbdr: 13, 11, 11, 12, 15, 17, 16, 12, 14, 15, 14, 17, 10, 12, 14, 15, 14, 13, 15, 13 Verlen ağırlıklarla eşt aralıklı beş sınıflı br gruplandırılmış ser oluşturalım: 1. Adım: Ser aşağıdak gb bast serye dönüştürülür: 10, 11, 11, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 16, 17, Adım: Değşm Aralığı (K) = X max - X mn = = 7 3. Adım: Grup Sayısı = 5 4. Adım: Sınıf Büyüklüğü = 7/5 = Adım: Gruplar aşağıdak gb oluşur: Aralıkla r 10.0 le le le le le 17.0 Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 26

28 İstatstk Serler ser; 6. Adım: Her aralığa düşen brm sayısı karşısına yazıldığında gruplandırılmış Ağırlıklar (kg) 10.0 le le le le le 17.0 Çocuk Sayısı şeklnde hazırlanmış olur. Brnc sınıfımız 10 dan başlayıp 11.4 te sona ermektedr. İknc sınıfımız se 11.4 ten başlayıp 12.8 de sona ermektedr İk tp gruplandırılmış ser hazırlanablr: Sürekl gruplandırılmış serler ve keskl gruplandırılmış serler. Yukarıda gruplandırılmış serye sürekl gruplandırılmış ser denr. Çünkü br sınıfın bttğ noktada br başka sınıf başlamaktadır. Sınıflar arasında boşluk bulunmamaktadır. Ancak br sınıfın bttğ nokta le bu sınıfın peş sıra gelen sınıfın başlama noktası arasında boşluk varsa bu tür gruplandırılmış serye keskl gruplandırılmış ser denr. Aşağıda sürel ve keskl gruplandırılmış serlere örnek verlmştr: Sürekl Gruplandırılmış Ser Keskl Gruplandırılmış Ser Gruplar f Gruplar f Gruplandırılmış serlerde her sınıfın alt ve üst değerlerne sınıf uçları denr. Yukarıda yer alan sürekl gruplandırılmış serde sınıf uçları; 5-10, 10-15, 15-20, değerlerdr. Keskl gruplandırılmış serdek sınıf uçları se; 5-10, 11-16, 17-22, değerlerdr. Bu kl rakamlardan brncler alt uçlar, kncler se üst uçlardır. Keskl gruplandırılmış serlerde br grubun üst ucu le br sonrak sınıfın alt ucu toplanıp kye bölünerek o sınıfın üst sınırı bulunmuş olur. Sürekl gruplandırılmış serde sınıf uçları aynı zamanda sınıf sınırlarıdır. Örneğn yukarıdak keskl gruplandırılmış serde lk sınıfın üst sınırı = 10,5 olarak bulunur. Bu değer aynı zamanda knc sınıfın alt sınırıdır. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 27

29 İstatstk Serler Her sınıfın alt ve üst sınıf sınırları veya uçları toplanarak kye bölündüğünde sınıfa at sınıf değer elde edlmş olur. Sınıf değer lgl sınıfı temsl eden değerdr. Nsp frekans serler Az önce bahsedlen dağılımlara mutlak frekans dağılımları denr. Bahse konu olan sınıflandırılmış serler hazırlanırken her değern kaç kez tekrarlandığı karşısına yazılır. Aynı şeklde gruplandırılmış serler hazırlanırken her br sınıf aralığına düşen değer sayısı karşısına yazılır. Elde edlen frekans değerler sayımla elde edlr. Nsp frekans dağılımları hazırlanırken her değere veya sınıf aralığına karşı gelen frekans toplam frekansa oranlanmaktadır. Bu şeklde her değern tüm değerler çndek nspet belrlenmektedr. Bazen karşılaştırma kolaylığı olsun dye nsp frekanslar yüz le çarpılarak yüzde frekanslar da elde edlmektedr. Gruplar f Nsp Frekanslar Yüzde Frekanslar / / / /12 25 Mesela yukarıdak gruplandırılmış serde rakamların %25 5 le 10 aralığındadır. Rakamların %33 ü 10 le 15 aralığındadır Kümülatf frekans serler Kümülatf kelmes, yığılmış, brkmş veya toplanmış anlamına gelr. İk tp kümülatf frekans sers hazırlamak mümkündür: den az kümülatf frekans serler ve den çok kümülatf frekans serler. den az kümülatf frekans serler oluşturulurken belrl br değerden az olan değerler sayılır. Gruplandırılmış serlerde se sınıf üst sınırından küçük olan değerler sayılır. den az kümülatf frekans değerler toplam frekansa oranlanarak den az nsp kümülatf frekans değerler elde edleblr. Aşağıda serye göre lk sınıfın den az kümülatf frekansı 10 dan az olan değer sayısıdır. Bu değer lk sınıfın mutlak frekansı olan 3 tür. İknc sınıfın den az kümülatf frekansı 15 ten küçük değerlern sayısıdır. Bu da brnc ve knc sınıfın mutlak frekansları toplamıdır. Yan = 7 dr. Üçüncü sınıfın den az kümülatf frekansı 20 den küçük değerlern sayısıdır. Bu da brnc, knc ve üçüncü sınıfın mutlak frekansları toplamıdır. Yan = 9 dur. Dördüncü sınıfın den az kümülatf frekansı 25 ten küçük değerlern sayısıdır. Bu da brnc, knc, üçüncü ve dördüncü sınıfın mutlak frekansları toplamıdır. Yan = 12 dr. Son sınıfın den az kümülatf frekansı toplam frekansa eşttr. Yne aşağıdak serde den az kümülatf frekanslar toplam frekansa bölünerek den az kümülatf nsp frekanslar elde edlmştr. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 28

30 İstatstk Serler Gruplar f den az küm.f. den az küm. nsp f / / / /12 den çok kümülatf frekans serler oluşturulurken belrl br değerden büyük olan değerler sayılır. Gruplandırılmış serlerde se sınıf alt sınırından büyük olan değerler sayılır. den çok kümülatf frekans değerler toplam frekansa oranlanarak den çok kümülatf nsp frekans değerler de elde edleblr. Aşağıda serye göre lk sınıfın den çok kümülatf frekansı 5 ten büyük olan değer sayısıdır. Bu da brnc, knc, üçüncü ve dördüncü sınıfın mutlak frekansları toplamıdır. Yan = 12 dr. İknc sınıfın den çok kümülatf frekansı 10 dan büyük olan değer sayısıdır. Bu da knc, üçüncü ve dördüncü sınıfın mutlak frekansları toplamıdır. Yan = 9 dur. Üçüncü sınıfın den çok kümülatf frekansı 15 ten büyük olan değer sayısıdır. Bu da üçüncü ve dördüncü sınıfın mutlak frekansları toplamıdır. Yan = 5 tr. Dördüncü sınıfın den çok kümülatf frekansı 20 den büyük olan değer sayısıdır. Bu da dördüncü sınıfın mutlak frekansı 3 e eşttr. Yne aşağıdak serde den çok kümülatf frekanslar toplam frekansa bölünerek den çok kümülatf nsp frekanslar elde edlmştr. Gruplar f den çok küm.f. den çok küm. nsp f / / / /12 Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 29

31 Özet İstatstk Serler Bu üntede ser türlernn zaman, mekân, frekans ve kümülatf serler olduğuna değnlmştr. Zaman serler zamana, mekân serler mekâna göre sınıflandırılarak oluşturulur. Frekans serler ntel ve ncel serler olmak üzere kye ayrılırlar. Ncel serler kend aralarında bast, sınıflandırılmış, gruplandırılmış serler olmak üzere dörde ayrılırlar. Bast ser, verlern küçükten büyüğe veya büyükten küçüğe doğru sıralanmasıyla elde edlen serlerdr. Sınıflandırılmış ser, her br x değernn karşısına frekans değer (tekrarlama sayısı) yazılarak elde edlen serlerdr. Gruplandırılmış ser, serdek en büyük değerden en küçük değer çıkarılıp grup sayısına bölünerek elde edlen sınıf büyüklüğüne göre oluşturulan grup alt sınır ve üst sınır aralığına göre frekansları yazmak suretyle elde edlen serlerdr. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 30

32 İstatstk Serler Değerlendrme sorularını sstemde lgl ünte başlığı altında yer alan bölüm sonu test bölümünde etkleşml olarak cevaplayablrsnz. DEĞERLENDİRME SORULARI 1. İller Üretlen Tahıl mktarı (ton) Eskşehr Erzncan Elazığ Edrne Yukarıdak tabloda verlen ser hang serye br örnek teşkl eder? a) Zaman Sers b) Mekân Sers c) Kümülatf Ser d) Frekans Sers e) Bleşk Ser 2. Gruplar Frekanslar Yukarıda verlen ser hangsne br örnek teşkl eder? a) Gruplandırılmış Ser b) Sınıflandırılmış Ser c) Zaman sers d) Kümülatf ser Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 31

33 İstatstk Serler e) Bleşk Ser 3. Gruplar Frekanslar Yukarıda verlmş olan gruplandırılmış serdek üçüncü sınıfın alt sınırı nedr? a) 8 b) 8.5 c) 9 d) 9.5 e) Gruplar Frekanslar den az küm. nsp f / / ?/ /18 Yukarıda verlen kümülatf nsp frekans sersnde soru şaret olan yere aşağıdaklerden hangs gelmeldr? a) 11 b) 13 c) 16 d) 17 e) Gruplar Frekanslar Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 32

34 İstatstk Serler Yukarıda verlen gruplandırılmış sernn sınıf büyüklüğü nedr? a) 1 b) 1.5 c) 2 d) 2.5 e) 3 6. Elmzdek bast serde 2, 2, 2, 3, 3, 5, 7, 7, 7, 7, 10, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12 değerler yer almaktadır. Bu serdek değerlerle eşt aralıklı beş sınıflı gruplandırılmış br ser hazırlanırsa her br sınıfın sınıf büyüklüğü ne olur? a) 1 b) 1.5 c) 2 d) 2.5 e) 3 7. Elmzdek bast serde 2, 2, 2, 3, 3, 5, 7, 7, 7, 7, 10, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12 değerler yer almaktadır. Bu serdek değerlerle eşt aralıklı beş sınıflı gruplandırılmış br ser hazırlanırsa brnc sınıfın üst sınıf sınırı ne olur? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 8. Elmzdek bast serde 2, 2, 2, 3, 3, 5, 7, 7, 7, 7, 10, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12 değerler yer almaktadır. Bu serdek değerlerle eşt aralıklı beş sınıflı gruplandırılmış br ser hazırlanırsa brnc sınıfın mutlak frekansı ne olur? a) 2 b) 3 c) 4 Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 33

35 İstatstk Serler d) 5 e) 6 9. Elmzdek bast serde 2, 2, 2, 3, 3, 5, 7, 7, 7, 7, 10, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12 değerler yer almaktadır. Bu serdek değerlerle eşt aralıklı beş sınıflı gruplandırılmış br ser hazırlanırsa knc sınıfın nsp frekansı ne olur? a) 1/18 b) 2/18 c) 3/18 d) 4/18 e) 5/ Puanlar Frekans Yukarıda verlmş olan sınıflandırılmış sernn değşm aralığı nedr? a) 30 b) 36 c) 40 Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 34

36 İstatstk Serler d) 49 e) 55 Cevap Anahtarı 1.B, 2.A, 3.B, 4.C, 5.C, 6.C, 7.C, 8.D, 9.A, 10.D YARARLANILAN VE BAŞVURULABİLECEK DİĞER KAYNAKLAR Alpar, R. (2010). Spor, Sağlık ve Eğtm Blmlernden Örneklerle Uygulamalı İstatstk ve Geçerlk-Güvenrlk, Detay Yayıncılık: Ankara. Başar, A., Oktay, E. (2012). Uygulamalı İstatstk I: Kısa Teork Blgler ve Çözülmüş Problemler, EKEV Yayınları, 6. Baskı: Erzurum. Bülbül, E. S. (2007), Çözümsel İstatstk, Alfa yayıncılık: İstanbul. Gürsakal, N.(2008), Betmsel İstatstk, 4. Baskı, Dora Yayıncılık: Bursa. Köseoğlu M., Yamak, R. (2009). Uygulamalı İstatstk, 4. Baskı, Celepler Matbaacılık: Trabzon. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 35

37 İstatstk Serler Newbold, P. (2009). Statstcs for Busness and Economcs, 7. Basım, Lteratür Yayıncılık: İstanbul. Özsoy, O. (2010). İktsatçılar ve İşletmecler çn İstatstk, 3. Basım, Syasal Ktabev: Ankara. Serper, Ö. (2004). Uygulamalı İstatstk-I, 5.Baskı, Ezg Ktabev, Bursa. Johnson, A. R., Wchern, W. D. (1998). Appled Multvarate Statstcal Analyss, 4th Edton, Prentce-Hall Inc., London. Yıldız, N. T. (2008). Uygulamalı İstatstk, 3. Baskı, Nobel Yayıncılık: Ankara. Yılmaz, B. (2010). İstatstk, 3. Baskı, Nobel Yayıncılık: Ankara. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 36

38 HEDEFLER İÇİNDEKİLER GRAFİKLER Hstogram Frekans Polgonu Kümülatf Frekans Grafkler Sütun Grafğ Dare Grafğ Pareto Grafğ İSTATİSTİĞE GİRİŞ Doç.Dr.Suph Özçomak Bu üntey çalıştıktan sonra, Grafk kavramını anlayablecek Gözlem değerlernn nasıl görselleştrleceğn öğrenecek Grafklernn nasıl çzleceğn öğreneblecek Gözlem değerler çn uygun grafk türünün nasıl belrleneceğn kavrayacak Grafklern nasıl yorumlanacağını öğrenebleceksnz. ÜNİTE 4

39 Grafkler GİRİŞ Blndğ üzere statstğn uğraş alanlarından br de özetleme ve görselleştrmedr. Daha öncek bölümde anlatılan frekans dağılımlarının br tablo şeklnde sunulması br özetleme şekldr. Oysa tablolar her zaman kolay anlaşılır olmayablr. Grafkler gözlem değerlernn görselleştrlmesnde kullanılır. Daha çok göze htap eden grafkler, gözlem değerlernn matematksel ve blmsel temellere sahp şekller hâlnde fade edlmes şeklnde tanımlanablr. Grafkler gözlem değerlernn daha kolay anlaşılmasını sağlamaktadır. Çünkü grafkler temsl ettkler olayların bleşmn ve değşmelerndek ana eğlm tüm canlılığı le lk bakışta ortaya koymaktadırlar. Bu nedenle rakamlarla uğraşmak stemeyen veya rakamlardan anlam çıkarmakta zorluk çekenler çn grafkler daha çok yardımcı olmaktadır. Grafk verlmekszn yalnız rakamlar hâlndek sonuçları nceleyen br şahıs, olayın genel eğlmnden çok ayrıntısına takılacak ve bu yüzden olayın genel özellklern kavrayamayacaktır. Oysa y çzlmş br grafk üzernde gösterlen sonuçlar görsel olduğundan şahıslar tarafından daha anlaşılır olacaktır. Örneğn yıllar tbarıyla br ülkenn nüfusunun ncelendğ br araştırmada rakamlardan çok grafkler daha anlaşılır olacaktır. Grafk üzernde yıllar tbarıyla nüfusun artıp artmadığı veya nasıl değştğ lk bakışta kolaylıkla anlaşılablr. Oysa rakamlarla bu durum fade edlmeye çalışıldığında durumun anlaşılması grafklerde olduğu gb kolay olmayacaktır. Bu bölümde grafk çeştlernden sırasıyla; hstogram, frekans polgonu, kümülatf frekans dağılımları, dare grafğ, sütun grafğ ve pareto grafğ anlatılacaktır. HİSTOGRAM Hstogram, gruplandırılmış serler çn oluşturulan br dkdörtgenler dzsdr. Hstogram, yatay eksende değşkenn aldığı değerlern, düşey eksende se frekansların bulunduğu ve her aralığın frekansı le orantılı yükseklklere sahp dkdörtgenlern gösterldğ br yoğunluk grafğdr. Bu dkdörtgenlern tabanları gruplandırılmış serdek her br sınıfın sınıf büyüklüğünü, yükseklkler se sınıf frekansını göstermektedr. Hstogram çzlrken yatay eksende gruplandırılmış sernn sınıf sınırları, dkey eksende se frekanslar yer almaktadır. Sınıf aralıkları ve frekans değerler eksenlerde belrlendkten sonra sınıf sınırlarının alt ve üst sınırlarından frekans değerlerne kadar brer dkme çzlr. Gruplandırılmış serlerde sınıfların frekanslarının sınıf sınırları çersnde düzgün dağıldığı kabul edldğnden, çzlen dkmeler yatay eksene paralel br çzg le brleştrlerek dkdörtgenler elde edlr. Bu dkdörtgenlern tamamı hstogramı oluşturmaktadır. Örnek 1-) Br sınıftak 100 öğrencnn ağırlıklarına göre dağılımları aşağıda verlmştr. Ağırlık dağılımının hstogramını çznz. Ağırlıklar Öğrenc Sayısı Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 36

40 Grafkler Öğrenc Sayısı Ağırlıklar Şekl 1. Ağırlık Dağılımının Hstogramı Grafk ncelendğnde en yüksek olan dkdörtgen en fazla öğrencnn olduğu sınıf aralığını, en kısa dkdörtgen se en az öğrencnn olduğu sınıf aralığını göstermektedr. Buradan öğrenclern en fazla klo aralığında, en az se klo aralığında oldukları anlaşılmaktadır. FREKANS POLİGONU Frekans polgonu, hstogramdak sınıf sınırlarının orta noktalarını apss sınıf frekanslarını ordnat kabul eden noktaların doğru parçaları le brleştrlmes le elde edlen grafk çeşddr. Kısacası hstogramı oluşturan dkdörtgenlern üst kenarlarının orta noktaları brleştrlmek suretyle elde edlen grafğe frekans polgonu denr. Frekans polgonu sınıf sınırlarının mümkün olduğunca küçültülmes durumunda br eğrye dönüşür. Söz konusu eğrye se frekans eğrs adı verlmektedr. Frekans polgonunun yatay eksen üzerndek başlangıç noktası lk sınıftan br öncek faraz sınıfın orta noktası, btş noktası se son sınıftan br sonrak faraz sınıfın orta noktasıdır. Hstogramların kapladığı alan le polgonun altında kalan alan brbrne eşttr. Örnek 2-) İktsad ve İdar Blmler Fakültes nde okuyan 100 öğrencnn statstk dersnden aldığı notları sorularak aşağıdak verlere ulaşılmıştır. Öğrenclern statstk dersnden aldığı notların hstogramını ve frekans polgonunu çznz. Notlar Öğrenc Sayısı Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 37

41 Grafkler Burada verlen ser keskl gruplandırılmış ser olduğu çn öncelkle sernn sınıf sınırları ve sınıf değerler elde edlmş ve aşağıda verlmştr: Gruplar Alt Sınır Üst Sınır Sınıf Değer Sınıf sınırları ve sınıf değerler kullanılarak sernn hstogramı ve frekans polgonu aşağıdak gb elde edlmştr: Frekanslar Gruplar Şekl 2. Notların Hstogram ve Frekans Polgonu KÜMÜLATİF FREKANS GRAFİKLERİ Daha öncek bölümde anlatılan den az kümülatf frekans dağılımları ve den çok kümülatf frekans dağılımlarının grafkler koordnat sstem üzernde çzleblr. Grafklern çzmnde yatay eksende değşken değerler, düşey eksende se kümülatf frekans değerler bulunur. Değşkenn aldığı değerler le kümülatf frekansların kesştğ noktaların brleştrlmes le kümülatf frekans dağılımlarının grafğ çzlmş olur. Nsp ve kümülatf frekans dağılımlarına at grafkler elde etmek çn düşey eksene nsp veya kümülatf frekans değerler yerleştrlmeldr. Kümülatf frekans polgonlarına ojv eğrler de denr. Gruplandırılmış serlern den az kümülatf frekans dağılımları ve den çok kümülatf frekans dağılımlarına at grafklern çzmnde yatay eksende sınıf sınırları şaretlenr. den az kümülatf frekans dağılımı çn üst sınıf sınırları apss, frekans değerler ordnat olacak şeklde düzlemdek noktalar belrlenr. Gruplandırılmış serdek brnc alt sınıf sınırı çn sıfır yoğunluk kabul edlr. Belrlenen noktalar çzglerle brleştrlr. den çok kümülatf frekans dağılımlarına at grafklern çzmnde se gruplandırılmış serde alt sınıf sınırları kullanılmaktadır. Alt sınıf sınırları apss, frekans değerler ordnat olacak şeklde düzlemdek noktalar çzglerle brleştrlr. Gruplandırılmış serdek Son sınıfın üst Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 38

42 Grafkler sınırında son nokta bulunur ve burada grafk yatay eksene değecek şeklde çzm yapılır. Kısaca gruplandırılmış serlern den az kümülatf frekans dağılımlarına at grafkler çzlrken üst sınıf sınırları den çok kümülatf frekans dağılımlarına at grafkler çzlrken se alt sınıf sınırları kullanılmaktadır. Örnek 3-) Örnek 2 de verlen öğrenclern not dağılımını kullanarak...den az kümülatf frekans dağılımlarının ve den çok kümülatf frekans dağılımlarının grafklern çznz. Notlar Öğrenc Sayısı den az kümülatf frekans dağılımının grafğn çzmek çn öncelkle...den az kümülatf frekans değerler elde edlr: Gruplar Frekanslar...den az k. f Bu dağılıma göre hazırlanan...den az kümülatf frekans dağılımının grafğ aşağıdak gbdr:...den az k. f Gruplar Şekl 3....den Az Kümülatf Frekans Dağılımının Grafğ Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 39

43 Grafkler den çok kümülatf frekans dağılımının grafğn çzmek çn öncelkle...den çok kümülatf frekans değerler elde edlerek aşağıda verlmştr: Gruplar Frekanslar...den çok k.f Bu dağılıma göre hazırlanan...den çok kümülatf frekans dağılımının grafğ aşağıdak gbdr:...den çok k. f Gruplar Şekl 4....den Çok Kümülatf Frekans Dağılımının Grafğ...den az kümülatf frekans dağılımları ve...den çok kümülatf frekans dağılımları aynı grafk üzernde gösterleblr. Grafktek k kümülatf frekans eğrsnn kesştğ noktadak X değer medyan değern vermektedr. Örnek 4-) Br pl fabrkasında üretlen pller arasından tesadüf olarak seçlen 400 pln dayanma süreler aşağıdak gb tespt edlmştr....den az kümülatf frekans dağılımları ve...den çok kümülatf frekans dağılımlarına at ojv eğrlern aynı grafk üzernde gösternz. Pllern Dayanma Süres Pl Sayısı Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 40

44 Grafkler Burada ser keskl gruplandırılmış ser olduğu çn öncelkle sernn sınıf sınırları ve sınıf değerler elde edlmş ve aşağıda verlmştr: Dayanma Süres Pl Sayısı Alt Sınır Üst Sınır Sınıf Değer den az kümülatf frekans dağılımları ve...den çok kümülatf frekans dağılımlarına at ojv eğrlern aynı grafk üzernde çzmek çn öncelkle kümülatf frekans değerler elde edlerek aşağıda verlmştr: Dayanma Süres Sınıf Değer Pl Sayısı..den az k.f...den çok k.f Frekans dağılımındak sınıf değerlerne karşı gelen...den az frekans değerler ve...den çok frekans değerler koordnat sstemnde şaretlendkten sonra bu noktalar brleştrlerek ojv eğrler aşağıdak gb elde edlr. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 41

45 Grafkler...den az ve çok k. f Sınıf değerler (x10) Şekl 5....den Az ve...den Çok Frekans Dağılımlarının Ojv Eğrler SÜTUN GRAFİĞİ İknc üntede zah edlen ntel veya başka br fade le kategork verler değşkenn vasfı le lgl sayısal olmayan verlerdr. Özellkle sosyal blmlerde araştırma konuları gereğ, daha fazla ntel verler kullanılmaktadır. Ntel verde brmlere at sıfatlar ya da durumlar tespt edlr. Ntel verlern sunumu grafklerle yapılablr. Örneğn ülkelern nüfus dağılımı, televzyon kanallarının prme-tme zlenme oranları, syas partlern seçmlerde aldıkları oy oranları, ülkelern hracat, thalat veya üretm değerler grafklerle gösterleblr. Bu tp verlern görsel olarak sunulması çn çeştl grafkler mevcuttur. Bu grafk çeştlernden br de sütun grafğdr. Sütun grafğ, yatay eksende kategorlern, düşey eksende se bu kategorlern frekansları gösterlerek elde edlr. Çzlen sütunların genşlkler brbrne eşttr. Çzlen sütunlar brbrne btşk olableceğ gb brbrnden ayrık da olablr. Örnek 5-) Br lde yaşayan 100 şahsın meslekler aşağıdak gb tespt edlmştr. Bu verler kullanarak sütun grafğn çznz. Meslekler Frekanslar Memur 25 İşç 33 Serbest Meslek 8 Esnaf 29 İşsz 5 Yatay eksende meslek grupları düşey eksende se bu meslek gruplarının frekansları gösterlerek sütun grafğ elde edlmş ve aşağıda verlmştr: Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 42

46 Grafkler Sayı Memur İşç S. Meslek Esnaf İşsz Şekl 6. Meslek Gruplarına At Sütun Grafğ Sütun grafğ ncelendğnde meslek grupları arasında en fazla sayıya şçlern sahp olduğu onu sırasıyla esnaf ve memurların takp ettğ görülmektedr. İşszlern en az sayıya sahp oldukları, grafkten kolaylıkla görüleblmektedr. DAİRE GRAFİĞİ Dare grafğ yukarıda zah edlen sütun grafğ gb kategork verlern sunumunda kullanılan br grafk türüdür. Dare grafğ, nomnal ölçekle elde edlmş verler, kategork verler veya az sayıda sınıfa ayrılablen verler çn kullanılablecek br grafk türüdür. Dare grafğnde her sınıf veya kategor sahp olduğu frekansla orantılı büyüklüktek dlmlerle gösterlmektedr. Şekl tbarıyla dlmlenmş pastaya benzedğ çn bu grafğe pasta grafğ de denlmektedr. Dare grafğnn çzlmes çn öncelkle nsp frekans değerler elde edlmektedr. Br darenn ç açıları toplamı 360 o olduğuna göre nsp frekanslar 360 le çarpılarak her br kategornn 360 o den alacağı pay tespt edlr. Toplam ver sayısı 360 o lk açıya karşılık gelmektedr. Genellkle saatn 12 y gösterdğ noktadan başlanarak her br kategornn belrledğ alanın bulunması çn, saatn dönüş stkametne göre, kategorler çn belrlenen açılar kadar lerlenr. Yukarıda fade edldğ gb dare grafğ, az sayıda sınıfa veya kategorye ayrılablen verler çn kullanılablecek br grafk türüdür. Sınıf veya kategor sayısı arttıkça dare grafğnn çzm ve anlaşılması zorlaşır. Grafklerde amaç, verlern anlaşılır br şeklde görsel olarak sunulması olduğuna göre; grafk karmaşıklaştıkça amacından uzaklaşmış olacaktır. Dolayısıyla kategork verler çn grafk çzlrken bu hususun dkkate alınması gerekmektedr. Örnek 6-) Br ülkedek çalışma kategorlerne göre çalışanların sayısı aşağıdak gbdr. Söz konusu verler kullanarak dare grafğn çznz. Çalışma Kategorler Çalışan Sayısı Ücretller Yevmyel veya Mevsmlk İşçler İşverenler Kend Hesabına Çalışanlar Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 43

47 Grafkler Ücretsz Ale İşçs Dare grafğnn çzlmes çn lk olarak nsp frekans değerler elde edlmştr. Daha sonra nsp frekans değerler 360 le çarpılarak her br kategornn 360 o dan alacağı paylar tespt edlmştr. Elde edlen değerler aşağıda gösterlmştr: Çalışma Kategorler Frekanslar n.f x n.f. Ücretller Yevmyel veya Mevsmlk İşçler İşverenler Kend Hesabına Çalışanlar Ücretsz Ale İşçs Toplam Gerekl hesaplamalar yapıldıktan sonra saatn 12 y gösterdğ noktadan başlanarak her br kategornn belrledğ alanın bulunması çn, saatn dönüş stkametne göre, kategorler çn belrlenen açılar kadar lerlenr. Böylece dare grafğ aşağıdak gb elde edlr: Ücretsz A. İşçs, 31.0 % Ücretller, 31.8 % Yevm. veya Mevs., 6.8 % Kend. Hes. Çalış., 24.8 % İşverenler, 5.7 % Şekl 7: Çalışma Kategorlerne At Dare Grafğ Grafk ncelendğnde en fazla payı %31.8 le ücretller alırken onu %31 le ücretsz ale şçler ve %24.8 le kend hesabına çalışanlar takp etmektedr. Dareden en az payı se %5.7 le şverenler almaktadır. PARETO GRAFİĞİ İlk kez İtalyan Ekonomst Pareto ( ) tarafından bulunan Pareto grafğ söz konusu blm adamının adıyla anılmaktadır. Pareto grafğ gelr dağılımları le lgl çalışmalarda tespt edlmştr. Grafk hata ve malyet analzler çn kullanılan bast br yöntemdr. Pareto grafğ; bozuk ürünler, tamrler, arızalar, talepler, noksanlıklar veya kazalar le mal kayıplar ve bunların sebepler gb, olayların görsel olarak meydana gelme frekanslarını gösteren br tür frekans dağılım grafğdr. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 44

48 Grafkler Pareto grafğ br sorunu oluşturan nedenler önem sırasına göre sıralayarak, önemller önemszlerden ayırt etmeye ve dkkatler öneml nedenler üzernde toplamaya mkân vermektedr. Grafkte soldan sağa doğru gdldkçe küçülen sütunlara sahp ver sınıfları sıralanmaktadır. Pareto grafğnde en öneml problemler sol tarafta yer alırken, önemsz olanlar sağ tarafta yer alır. Bazen Dğerler adı altında çok önemsz durumlar br sınıf altında toplanıp brleştrleblr. Dğerler kategors kullanıldığında bu sınıf en sağda yer alır. Malyet, frekanslar veya % gb değerler de dkey eksende gösterlr. Pareto grafğ bazı özellkler bakımından hstograma benzemektedr. Hstogramdan şu özellğ le ayırt edleblr: Pareto grafğnde yatay eksen kategork verler gösterrken, hstogramda yatay eksen numerk verler göstermektedr. Bazı durumlarda pareto grafğnde kümülatf eğr gösterlmektedr. Söz konusu eğr soldan sağa doğru eklenen ver sınıflarının toplamını göstermektedr. Şekl 8 de örnek br pareto grafğ verlmştr. Grafk 8 ncelendğnde en fazla A türü hatanın yapıldığı onu da B türü hatanın takp ettğ görülmektedr. En az hata türünün se E türü hata olduğu pareto grafğnden kolaylıkla anlaşılmaktadır. Şekl 8. Örnek Br Pareto Grafğ Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 45

49 Tartışma Grafkler Hang ver çn hang grafk türünün daha uygun olacağını tartışınız. Düşüncelernz sstemde lgl ünte başlığı altında yer alan tartışma forumu bölümünde paylaşablrsnz. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 46

50 Özet Grafkler İstatstğn uğraş alanlarından br de görselleştrmedr. Grafkler gözlem değerlernn görselleştrlmesnde kullanılan öneml araçlardır. Daha çok göze htap eden grafkler, gözlem değerlernn matematksel ve blmsel temellere sahp şekller hâlnde fade edlmes şeklnde tanımlanablr. Grafkler gözlem değerlernn daha kolay anlaşılmasını sağlamaktadır. Çünkü grafkler temsl ettkler olayların bleşmn ve değşmelerndek ana eğlm tüm canlılığı le lk bakışta ortaya koymaktadır. Rakamların yerne grafkler görsel olarak sonuçlar verdklernden daha kolay anlaşılır. İy çzlmş br grafk üzernde gösterlen sonuçlar görsel olduğundan şahıslar tarafından daha anlaşılır olmaktadır. Bu bölümde grafk çeştlernden sırasıyla; hstogram, frekans polgonu, kümülatf frekans dağılımları, dare grafğ, sütun grafğ ve pareto grafğ hakkında blg verlmştr. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 47

51 Grafkler Değerlendrme sorularını sstemde lgl ünte başlığı altında yer alan bölüm sonu test bölümünde etkleşml olarak cevaplayablrsnz. DEĞERLENDİRME SORULARI 1. Gözlem değerlernn matematksel ve blmsel temellere sahp şekller hâlnde fade edlmesne ne ad verlr? a) Grafk b) Tablo c) Frekans Tablosu d) Sınıflandırma e) Gruplandırılmış ser 2. Gruplandırılmış serler çn oluşturulan dkdörtgenler dzsne ne ad verlr? a) Ojv eğrs b) Hstogram c) Pareto grafğ d) Frekans polgonu e) Sütun grafğ 3. Hstogram çn aşağıdak fadelerden hangs yanlıştır? a) Hstogram br dkdörtgenler dzsnden oluşmaktadır. b) Yatay eksende gruplandırılmış sernn sınıf sınırları yer alır. c) Dkey eksende frekanslar yer alır. d) Dkdörtgenlern tabanları her br sınıfın sınıf büyüklüğünü, göstermektedr. e) Hstogramda dkdörtgenler büyüklük sırasına göre yerleştrlr. 4. Hstogramı oluşturan dkdörtgenlern üst kenarlarının orta noktalarını brleştrmek suretyle elde edlen grafğe ne ad verlr? a) Frekans polgonu b) Pareto grafğ c) Sütun grafğ d) Dare grafğ e) Kümülatf frekans eğrs 5. Kümülatf frekans polgonlarına ne ad verlr? a) Pareto grafğ b) Frekans polgonu c) Ojv eğrs d) Kümülatf frekans eğrs e) Frekans dağılımı Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 48

52 Grafkler 6. Aşağıdak hstogramda gösterlen dağılımın gözlem sayısı (n) kaçtır? Notlar a) 7 b) 8 c) 26 d) 27 e) Aşağıdaklerden hangs kategork verler çn kullanılan br grafk türüdür? a) Hstogram b) Dare grafğ c) Den az kümülatf frekans eğrs d) Ojv eğrs e) Kümülatf frekans eğrs 8. Aşağıdaklerden hangs sürekl sayısal verler çn kullanılan br grafk türüdür? a) Sütun grafğ b) Dare grafğ c) Pareto grafğ d) Frekans dağılımı e) Hstogram 9. Bozuk ürünler, tamrler, arızalar vb. gb olayların görsel olarak meydana gelme frekanslarını gösteren grafk türü hangsdr? a) Sütun grafğ b) Dare grafğ c) Ojv eğrs d) Pareto grafğ e) Hstogram Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 49

53 Grafkler 10. Grafklerle lgl aşağıda verlen fadelerden hangs yanlıştır? a) Hstogram br dkdörtgenler dzsnden oluşmaktadır. b) Sütun grafğnde çzlen sütunların genşlkler brbrnden farklıdır. c) Dare grafğ kategork verlern sunumunda kullanılan br grafk türüdür. d) Pareto grafğ bazı özellkler bakımından hstograma benzemektedr. e) Grafkler, gözlem değerlernn daha kolay anlaşılmasını sağlamaktadır. Cevap Anahtarı 1.A, 2.B, 3.E, 4.A, 5.C, 6.D, 7.B, 8.E, 9.D, 10.B Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 50

54 Grafkler YARARLANILAN VE BAŞVURULABİLECEK DİĞER KAYNAKLAR Armutlulu, İ. H. (1999). İşletme İstatstğne Grş, Alfa Yayınları: İstanbul. Başar, A., E. Oktay (2012). Uygulamalı İstatstk I: Kısa Teork Blgler ve Çözülmüş Problemler, 6. Baskı, EKEV Yayınları: Erzurum. Berenson, M. L., D. M. Levne (1996). Basc Busness Statstcs: Concepts and Applcatons, 8. Baskı, Prentce Hall, Inc., New Jersey. Köksal, B. A. (1995). İstatstk Analz Metodları, 4. Baskı, Çağlayan Ktabev: İstanbul. Serper, Ö. (1996). Uygulamalı İstatstk I, 3. Baskı, Flz Ktabev, İstanbul. Turanlı, M., S. Gürş (2000).Temel İstatstk, Der Yayınları: İstanbul. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 51

55 HEDEFLER İÇİNDEKİLER PARAMETRİK MERKEZÎ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ İSTATİSTİĞE GİRİŞ Yrd.Doç.Dr.Emrah Talaş Artmetk Ortalama Geometrk Ortalama Harmonk Ortalama Karel Ortalama Bu üntey çalıştıktan sonra, Parametrk eğlm ölçüler kavramını anlayablecek Bast, sınıflandırılmış ve gruplandırılmış serlerden parametrk merkezî eğlm ölçülern hesaplayablecek Parametrk merkezî eğlm ölçüler arasındak büyüklük lşksn anlayableceksnz. ÜNİTE 5

56 Parametrk Merkezî Eğlm Ölçüler GİRİŞ Merkezî eğlm ölçüler, statstğn özetleme görevn en ler sevyede gören statstk ölçülerdr. Şöyle k, 1000 brmlk br ser, mesela 80 sınıf, yahut 15 grup hâlnde özetlenebldğ gb sernn ortalaması alınmak suretyle bu 1000 sayı br tek brmle temsl edleblmektedr. Merkezî eğlm ölçüler başlıca k gruba ayrılır: 1-) Sernn bütün brmlerne tab olan merkezî eğlm ölçüler 2-) Sernn bütün brmlerne tab olmayan merkezî eğlm ölçüler Brnc gruba gren merkezî eğlm ölçülerne parametrk merkezî eğlm ölçüler de denmektedr. Bu gruptak merkezî eğlm ölçüler serdek tek br rakamın değşmesnden doğrudan doğruya etklenrler. Bu sebeple parametrk merkezî eğlm ölçülernn tamamı serdek aşırı uçların etksnde kalırlar. Sınıf uçları bell olmayan gruplandırılmış serlerde sınıf değerler hesaplanamayacağı çn parametrk merkezî eğlm ölçülernn hçbr hesaplanamaz. Bu gruptak merkezî eğlm ölçüler, artmetk ortalama ( X ), geometrk ortalama (G), harmonk ortalama (H) ve karel ortalamadır (K). İknc grupta ncelenecek merkezî eğlm ölçüler se serdek her br değerden drekt olarak etklenmeyeblr. Medyan, mod, kantller ve ortalama kartl değerler bu gruba gren merkezî eğlm ölçülerndendr. Bu ölçüler takp eden üntede ncelecektr. ARİTMETİK ORTALAMA ( X ) Yukarıda da temas ettğmz gb, artmetk ortalama serdek bütün rakamlardan etklenen br ortalamadır. İstatstk uygulamalarda en çok kullanılan merkezî eğlm ölçüsüdür. Bast br serde artmetk ortalama serdek brmlern toplamının brm sayısına bölümüyle elde edlr. Yan, X = n 1 n X şeklnde hesaplanır. Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış serlerde se artmetk ortalama, X = n 1 n 1 f X f formülüyle hesaplanır. Gruplandırılmış serlerde X değerler sınıf orta noktalarını yan sınıf değerlern gösterrler. X değerlerne at tartılar varsa frekanslar yerne tartılar kullanılarak tartılı artmetk ortalama hesaplanır. Tartılar t le gösterlmek üzere tartılı artmetk ortalama formülü, Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 52

57 Parametrk Merkezî Eğlm Ölçüler X = n 1 n 1 t X t şeklndedr. Tartılı artmetk ortalama hesaplanırken kullanılan tartılar sınıflandırılmış ve gruplandırılmış serdek frekanslar gb şlem görür. Örnek 1-) Aşağıdak bast sernn artmetk ortalamasını hesaplayalım. X Bast serlerde artmetk ortalama hesaplanırken önce serdek değerler toplanır. Örnekte yer alan serdek değerlern toplamı tır. Daha sonra bu toplam serdek değer sayısı olan 4 e bölünür. Böylece sernn artmetk ortalaması X = 4 1 n X olarak elde edlr. Örnek 2-) Aşağıdak sınıflandırılmış sernn artmetk ortalamasını hesaplayalım: X f Sınıflandırılmış serlern artmetk ortalaması hesaplanırken önce her br X değşken değernnn tekrarlanma sayısını fade eden f değer le çarparız. Çarpım sonuçları aşağıdak gbdr: X f f X Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 53

58 Parametrk Merkezî Eğlm Ölçüler Daha sonra çarpım değern toplarız. Çarpım değerler toplamı, dur. Bu toplam serdek toplam değer sayısı olan 10 a bölündüğünde sernn artmetk ortalaması X = n 1 n 1 f X f olarak elde edlr. Örnek 3-) Aşağıdak sınıflandırılmış sernn artmetk ortalamasını hesaplayalım. Derslern haftalık kred saatler onların tartılarıdır. Dersler Notu Kred Saat t X Matematk Genel İktsat Temel Hukuk Muhasebe Yönetm Tartılı artmetk ortalama hesaplanırken önce her br ders notu kendsne karşı gelen tartı le çarpılır. Daha sonra çarpım değerlern toplarız. Çarpım değerler toplamı dr. Bu toplam serdek toplam tartı mktarı olan 10 a bölündüğünde sernn artmetk ortalaması; X = n 1 n 1 t X t olarak elde edlr. Bahse konu olan öğrencnn ağırlıklı not ortalaması 75.2 dr. Örnek 4-) Aşağıdak gruplandırılmış sernn artmetk ortalamasını hesaplayalım: Gruplar f Gruplandırılmış serden herhang br parametrk merkezî eğlm ölçüsü elde edleblmes çn gruplandırılmış serdek sınıf sınırları veya sınıf uçlarından sınıf değerler elde edlr. Mesela brnc sınıfın sınıf değer 2 le 4 aralığının tam ortası, yan 3 tür. İknc sınıfın sınıf değer 6 dır. Üçüncü sınıfın sınıf değer 9 dur. Dördüncü sınıfın sınıf değer 12 dr. Sınıf değerler X le gösterlr. Bundan sonrak Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 54

59 Parametrk Merkezî Eğlm Ölçüler şlemler sınıflandırılmış serden artmetk ortalamanın hesaplanmasına benzer. Her br sınıf değer kendsne karşı gelen sınıf frekansı le çarpılır. Gruplar X f f X Sınıf değerler le frekanslarının çarpımları toplamı, dr. Bu toplam frekansı fade eden 20 değerne bölündüğünde gruplandırılmış sernn artmetk ortalaması, X = n 1 n 1 f X f olarak elde edlr. Artmetk Ortalamanın Özellkler Artmetk dz şeklnde artış veya azalış gösteren serler en y temsl eden parametrk merkezî eğlm ölçüsüdür. Bast br sayıya belrl br sayının katlarının lave edlmesyle elde edlen dzye artmetk dz denr. Mesela 5 sayısına sabt br sayı olan 3 sayısının sürekl olarak lave edlmesyle 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 36, sers elde edlr. Bu ser artmetk dz şeklnde artışları gösteren br serdr. Artmetk ortalama artmetk dzye benzeyen serler de en y temsl eden merkezî eğlm ölçüsüdür. Serdek brmlern artmetk ortalamadan sapmalarının toplamı sıfırdır. X ( X X) Yukarıdak bast sernn artmetk ortalaması 15 tr. Serdek değerlerden sernn artmetk ortalaması çıkarıldığında bazı farklar negatf, bazı farklar poztf şaretl çıkmaktadır. Bu farklar toplandığında sıfır çıkmaktadır. ( X X) 0 Serdek brmlern artmetk ortalamadan sapmalarının kareler toplamı mnmumdur. (X X) 68 2 Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 55

60 Parametrk Merkezî Eğlm Ölçüler X 2 ( X X) ( X X) Eştlktek X yerne A = 14 gb br başka değer koyduğumuzda bulacağımız 2 ) (X A) 2 toplamı, ( X X toplamından büyük çıkacaktır. X ( X A) 2 ( X A) (X X) 68 değer, (X A) 2 = 72 değernden küçüktür. Br sernn artmetk ortalaması sernn toplam frekansı le çarpılırsa serdek rakamların toplamı elde edlr. Yan yukarıdak bast serde n( X) olmalıdır. 4(15) = 60 dr. Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış X serlerde se ( f ) X fx olur. Br serdek rakamlar k veya daha fazla sernn aynı hzadak rakamlarının toplamına eştse bu sernn artmetk ortalaması dğer serlern artmetk ortalamaları toplamına eşttr. X A B X sersnn artmetk ortalaması tr. A sersnn artmetk ortalaması tür. B sers, X ve A sersnn aynı hzadak değerlernn toplamıdır. Bu sebeple dr. Br serdek rakamların her brnn sabt br sayı le çarpılması hâlnde bulunacak sernn ortalaması öncek sernn ortalamasının söz konusu sabt sayı le çarpımına eşttr. X A X sersnn artmetk ortalaması tr. X sersndek değerler 2 sayısı le çarpılarak A sersndek sayılar elde edlmştr. A sersnn artmetk ortalaması ( ) ( ) dur. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 56

61 Parametrk Merkezî Eğlm Ölçüler Serdek rakamlara belrl br sabt sayının eklenmes hâlnde bulunacak ortalama öncek ortalamanın söz konusu sabt sayı le toplamına eşttr. X A X sersnn artmetk ortalaması tr. X sersndek değerlere 2 sayısı eklenerek A sersndek sayılar elde edlmştr. A sersnn artmetk ortalaması ( ) dr. GEOMETRİK ORTALAMA (G) Geometrk ortalama da artmetk ortalama gb sernn bütün brmlerne tab br ortalama çeşddr. Bu ortalama, serdek n tane brmn çarpımının n nc dereceden kökü alınmak suretyle hesaplanır. Serde sıfır veya negatf değer varsa geometrk ortalama hesaplanamaz. Geometrk ortalama, geometrk dz şeklnde artış gösteren serler en y temsl eden parametrk merkezî eğlm ölçüsüdür. Geometrk dz br sayının katlanarak değerler alması durumunda oluşan serdr. Mesela 2 değer katlanarak değerler alırsa 2, 4, 8, 16, 32, sers elde edlr. Gözlem sonuçları arasındak oransal (nsp) farkların mutlak farklardan öneml olduğu durumlarda geometrk ortalamaya başvurulur. Dğer br fade le gözlem sonuçlarının her br br öncek gözlem sonucuna bağlı olarak değşyorsa ve bu değşmenn hızı saptanmak stenrse geometrk ortalama sağlıklı sonuçlar verr. Bast serlerde geometrk ortalama, G n X1. X X n formülüyle hesaplanır. Bu formül serde çok sayıda rakam varsa pek elverşl değldr. Eştlğn her k tarafının logartması alındığında, logartması alınmış geometrk ortalama, 1 log G log X1 log X2... log X n n formülü le hesaplanır. logg elde edldkten sonra her k tarafın ant logartması alınarak geometrk ortalama hesaplanır. Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış serlerde geometrk ortalama, f f 1 2 G f 1 2 X. X..... X f n n formülüyle bulunur. Formül bu halyle kullanılamaz. Her k tarafın logartması alındığında, logg 1 f f 1 logx 1 f 2 logx 2... f n logx n Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 57

62 Parametrk Merkezî Eğlm Ölçüler olur. logg bulunduktan sonra her k tarafın ant logartması alınarak geometrk ortalama bulunur. Örnek 1-) Aşağıdak bast sernn geometrk ortalamasını hesaplayalım. Bu ser daha önce artmetk ortalamanın hesaplanışını göstermede kullanılmıştır. X Geometrk ortalamanın hesaplanablmes çn önce serdek rakamların logartması alınır. X sersndek değerlern logartmaları, log10 = 1, log12 = , log18 = , log20 = dur. Serdek n = 4 değern logartma değerlernn toplamı, tr. Bu değer logg formülünde yerne yazılırsa; logg olarak elde edlr. Eştlğn her k tarafının ant logartması alınırsa sernn geometrk ortalaması, G = olarak elde edlr. Hatırlanacağı üzere aynı sernn artmetk ortalaması 15 tr. Aynı serden hem artmetk ortalama hem de geometrk ortalama elde edlrse G < olduğu gözlenecektr. Örnek 2-) Aşağıdak sınıflandırılmış sernn geometrk ortalamasını hesaplayalım: X f Sınıflandırılmış serlern geometrk ortalaması hesaplanırken önce her br X değşkenn logartması alınır. Daha sonra logartmalı değerler tekrarlanma sayısını fade eden f değerler le çarparız. Çarpım sonuçları aşağıdak gbdr. X f logx f logx Çarpım sonuçları toplamı, f logx dr. Bu değer logg formülünde yerne yazdığımızda f logx logg f olarak elde edlr. Eştlğn her k tarafının ant logartması alındığında sınıflandırılmış sernn geometrk ortalaması, G = 6.67 olarak elde edlr. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 58

63 Parametrk Merkezî Eğlm Ölçüler Hatırlanacağı üzere aynı sernn artmetk ortalaması 6.9 dır. İk parametrk merkezî eğlm ölçüsü arasındak G < büyüklük lşks yne gözlenmştr. Örnek 3-) Aşağıdak gruplandırılmış sernn artmetk ortalamasını hesaplayalım. Gruplar f Gruplandırılmış serden herhang br parametrk merkezî eğlm ölçüsü elde edleblmes çn gruplandırılmış serdek sınıf sınırları veya sınıf uçlarından sınıf değerler elde edlr. Bundan sonrak şlemler sınıflandırılmış serden geometrk ortalamanın hesaplanmasına benzer. Her br sınıf değernn logartması alınır. Daha sonra bu logartmk değerler kendsne karşı gelen sınıf frekansı le çarpılır. Gruplar X f logx f logx Çarpım sonuçları toplamı, f logx dr. Bu değer logg formülünde yerne yazdığımızda, f logx logg f olarak elde edlr. Eştlğn her k tarafının ant logartması alındığında sınıflandırılmış sernn geometrk ortalaması, G = 6.28 olarak elde edlr. Hatırlanacağı üzere aynı sernn artmetk ortalaması 6.6 dır. Gruplandırılmış serden elde edlen k parametrk merkezî eğlm ölçüsü arasında da G < büyüklük lşks gözlenmştr. HARMONİK ORTALAMA (H) Harmonk ortalama serdek brmlern çarpmaya göre terslernn artmetk ortalamasının tersdr. Serde sıfır veya negatf brm bulunması hâlnde harmonk ortalama kullanılmaz. Bast serlerde harmonk ortalama, H n n 1 1 X formülüyle hesaplanır. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 59

64 Parametrk Merkezî Eğlm Ölçüler Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış serlerde harmonk ortalama, H n f 1 f X formülüyle hesaplanır. Örnek 1-) Aşağıdak bast sernn harmonk ortalamasını hesaplayalım: X Harmonk ortalamanın hesaplanablmes çn önce 1/X değerlernn bulunması gerekr. X 1/X Daha sonra 1/X değerlernn toplamı, olarak elde edlr. Bu değer formülde yerne yazılırsa bast sernn harmonk ortalaması, H 4 n 1 1 X olarak elde edlr. Bu bast sernn artmetk ortalaması 15 ve geometrk ortalaması olarak hesaplanmıştır. Harmonk ortalama parametrk merkezî eğlm ölçülernn en küçüğü olarak elde edlr. Şmdye kadark parametrk merkezî eğlm ölçüler arasında H < G < şeklnde büyüklük lşks vardır. Örnek 2-) Aşağıdak sınıflandırılmış sernn geometrk ortalamasını hesaplayalım: X f Sınıflandırılmış serlern geometrk ortalaması hesaplanırken önce f /X değerler bulunur. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 60

65 Parametrk Merkezî Eğlm Ölçüler X f f /X Daha sonra bu değerler toplanarak, değer bulunur. Bu değer formülde yerne yazılırsa sınıflandırılmış sernn harmonk ortalaması, H f f n 1 X olarak elde edlr. Bu örneğe göre de parametrk merkezî eğlm ölçüler arasındak H < G < şeklnde büyüklük lşks gözlenmektedr. Örnek 3-) Aşağıdak gruplandırılmış sernn harmonk ortalamasını hesaplayalım: Gruplar f Gruplandırılmış serden herhang br parametrk merkezî eğlm ölçüsü elde edleblmes çn gruplandırılmış serdek sınıf sınırları veya sınıf uçlarından sınıf değerler elde edlr. Bundan sonrak şlemler sınıflandırılmış serden harmonk ortalamanın hesaplanmasına benzer. Her br sınıfın frekansını ve değern kullanarak f /X değerler bulunur. Gruplar X f f /X Daha sonra bu değerler toplanarak, değer bulunur. Bu değer formülde yerne yazılırsa sınıflandırılmış sernn harmonk ortalaması, H f f n 1 X olarak elde edlr. Daha önce söz konusu gruplandırılmış sernn artmetk ortalaması 6.6 ve geometrk ortalaması 6.28 olarak elde edlmştr. Bu örneğe göre de parametrk merkezî eğlm ölçüler arasında H < G < şeklnde büyüklük lşks vardır. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 61

66 Parametrk Merkezî Eğlm Ölçüler KARELİ ORTALAMA (K) Karel ortalama, serdek brmlern karelernn artmetk ortalamasının kareköküdür. Bast serlerde karel ortalama, K n 1 n X 2 formülüyle hesaplanır. Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış serlerde karel ortalama, K n 1 f X f 2 formülüyle hesaplanır. Örnek 1-) Aşağıdak bast sernn karel ortalamasını hesaplayalım: X Bast serlerde karel ortalama hesaplanırken önce serdek değerlern kareler hesaplanır. X X Sonra karel değerler toplamı, olarak elde edlr. Daha sonra karel değerlern toplamı serdek değer sayısı olan 4 e bölündüğünde elde edlen değern karekökü alınarak karel ortalama, K n 1 n X olarak elde edlr. Bu bast sernn artmetk ortalaması 15, geometrk ortalaması ve hormonk ortalaması olarak hesaplanmıştır. Karel ortalama parametrk merkezî eğlm ölçülernn en büyüğü olarak elde edlr. Parametrk merkezî eğlm ölçüler arasında H < G < < K şeklnde büyüklük lşks vardır. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 62

67 Parametrk Merkezî Eğlm Ölçüler Örnek 2-) Aşağıdak sınıflandırılmış sernn karel ortalamasını hesaplayalım: X f Sınıflandırılmış serlern karel ortalaması hesaplanırken önce X değerlernn kares hesaplanarak f değerler le çarpılır. X f X 2 fx Daha sonra f X çarpımları toplanarak, değer elde edlr. Bu değer serdek toplam rakam sayısı olan 10 a bölünerek karekökü alınırsa sınıflandırılmış sernn karel ortalaması K f X f olarak elde edlr. Bu örnekte de parametrk merkezî eğlm ölçüler arasındak büyüklük lşks H < G < < K şeklnde gözlenr. Örnek 3-) Aşağıdak gruplandırılmış sernn karel ortalamasını hesaplayalım: Gruplar f Gruplandırılmış serden herhang br parametrk merkezî eğlm ölçüsü elde edleblmes çn gruplandırılmış serdek sınıf sınırları veya sınıf uçlarından sınıf değerler elde edlr. Bundan sonrak şlemler sınıflandırılmış serden karel ortalamanın hesaplanmasına benzer. Her br sınıf değernn kares bulunur. Daha sonra bu karel değerler kendsne karşı gelen sınıfın frekansı le çarpılır. Gruplar X f X 2 fx Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 63

68 Parametrk Merkezî Eğlm Ölçüler Daha sonra bu değerler toplanarak, değer bulunur. Bu değer formülde yerne yazılırsa sınıflandırılmış sernn karel ortalaması, 2 fx K f olarak elde edlr. Daha önce söz konusu gruplandırılmış sernn artmetk ortalaması 6.6, geometrk ortalaması 6.28 ve harmonk ortalaması 5.95 olarak elde edlmştr. Bu gruplandırılmış serden elde edlen parametrk merkezî eğlm ölçüler arasında H < G < < K şeklnde büyüklük lşks vardır. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 64

69 Özet Parametrk Merkezî Eğlm Ölçüler Serdek tüm verlerden etklenen merkezî eğlm ölçüler parametrk merkezî eğlm ölçüler olarak adlandırılır. İstatstksel çalışmalarda en fazla kullanılan ortalama türü artmetk ortalamadır. Artmetk ortalama, tüm ver dzsnn toplanıp ver sayısına bölünmesyle elde edlr. Geometrk ortalama n tane değern çarpımının n'nc dereceden kökü alınarak bulunur. Serde negatf br değer veya sıfır varsa geometrk ortalama hesaplanamaz. Harmonk ortalama, gözlem sonuçlarının çarpma şlemne göre terslernn, artmetk ortalamasının tersdr. Geometrk ortalamada olduğu gb serde sıfır veya negatf değer bulunduğu durumlarda harmonk ortalama bulunması mümkün değldr. Karel ortalama sayısal olarak elde edlen verlern karelernn artmetk ortalamasının karekökü alınarak hesaplanır. Parametrk merkezî eğlm ölçüler arasında H < G < < K şeklnde br büyüklük lşks vardır. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 65

70 Parametrk Merkezî Eğlm Ölçüler DEĞERLENDİRME SORULARI Değerlendrme sorularını sstemde lgl ünte başlığı altında yer alan bölüm sonu test bölümünde etkleşml olarak cevaplayablrsnz. 1. Br kbrt fabrkasının ürettğ kbrtlerden rastgele seçlen 10 paket kbrtn çndek kbrt çöpler sayılmış ve sırasıyla 39, 43, 35, 46, 47, 38, 41, 40, 45 ve 36 olarak bulunmuştur. Buna göre bu kbrt fabrkasının ürettğ paketlerdek çöplern artmetk ortalaması kaçtır? a) 39 b) 40 c) 41 d) 42 e) Aşağıda verlmş olan sınıflandırılmış sernn artmetk ortalaması nedr? X f a) 5.8 b) 6.4 c) 6.8 d) 7.1 e) Aşağıda verlmş olan gruplandırılmış sernn artmetk ortalaması nedr? Gruplar f a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3 Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 66

71 Parametrk Merkezî Eğlm Ölçüler 4. Aşağıda verlmş olan sınıflandırılmış sernn artmetk ortalaması nedr? X f a) b) c) d) e) Dört ülkenn şszlk oranları (%) şu şekldedr: 5, 8, 12, 20. Bu bast sernn geometrk ortalaması nedr? a) 8.82 b) 9.89 c) d) e) Aşağıda verlmş olan sınıflandırılmış sernn geometrk ortalaması nedr? X f a) 4.98 b) 5.25 c) 5.68 d) 6.07 e) 6.46 Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 67

72 Parametrk Merkezî Eğlm Ölçüler 7. Aşağıda verlmş olan sınıflandırılmış sernn geometrk ortalaması nedr? X f a) b) c) d) e) Aşağıda verlmş olan gruplandırılmış sernn geometrk ortalaması nedr? Gruplar f a) 5.99 b) 6.32 c) 6.88 d) 7.51 e) Br fabrkada üretlen lk 1000 üründe her br ürün 3 dk'da üretlrken, knc 1000 üründe her br ürün 5 dk'da üretlmektedr. Buna göre bu fabrkada ürün üretme hızının harmonk ortalaması kaçtır? a) 3.12 b) 3.45 c) 3.75 d) 3.98 e) 4.24 Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 68

73 Parametrk Merkezî Eğlm Ölçüler 10. Aşağıda verlmş olan sınıflandırılmış sernn harmonk ortalaması nedr? X f a) 9.1 b) 9.58 c) d) e) Cevap Anahtarı 1.C, 2.B, 3.A, 4.C, 5.B, 6.D, 7.E, 8.A, 9.C, 10.B Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 69

74 Parametrk Merkezî Eğlm Ölçüler YARARLANILAN VE BAŞVURULABİLECEK DİĞER KAYNAKLAR Alpar, R. (2010). Spor, Sağlık ve Eğtm Blmlernden Örneklerle Uygulamalı İstatstk ve Geçerlk-Güvenrlk, Detay Yayıncılık, Ankara. Başar, A., Oktay, E. (2012). Uygulamalı İstatstk I: Kısa Teork Blgler ve Çözülmüş Problemler, EKEV Yayınları, 6. Baskı, Erzurum. Bülbül, E. S. (2007), Çözümsel İstatstk, Alfa Yayıncılık, İstanbul. Büyüköztürk, Ş. (2008). Sosyal Blmler İçn Ver Analz El Ktabı, 9. Baskı, Pegem Akadem Yayıncılık, İstanbul. Çakır, F. (2000). Sosyal Blmlerde İstatstk, Alfa Yayıncılık, İstanbul. Gürsakal, N. (2008). Betmsel İstatstk, 4. Baskı, Dora Yayıncılık, Bursa. Hayran, M. (1996).Blgsyar İstatstk ve Tıp, Medkomat Basım Yayın, Ankara. Köseoğlu M., Yamak, R. (2009). Uygulamalı İstatstk, 4. Baskı, Celepler Matbaacılık, Trabzon. Newbold, P. (2009). Statstcs for Busness and Economcs, 7. Baskı, Lteratür Yayıncılık, İstanbul. Özsoy, O. (2010). İktsatçılar ve İşletmecler çn İstatstk, 3. Baskı, Syasal Ktabev, Ankara. Serper, Ö. (2004). Uygulamalı İstatstk-I, 5.Baskı, Ezg Ktabev, Bursa. Johnson, A. R., W. D. Wchern (1998). Appled Multvarate Statstcal Analyss, 4th Edton, Prentce-Hall Inc., London. Yıldız, N. T. (2008). Uygulamalı İstatstk, 3. Baskı, Nobel Yayıncılık, Ankara. Yılmaz, B. (2010). İstatstk, 3. Baskı, Nobel Yayıncılık, Ankara. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 70

75 HEDEFLER İÇİNDEKİLE R PARAMETRİK OLMAYAN MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Mod Medyan Kantller Kartller Desller Pörsentller İSTATİSTİĞE GİRİŞ Yrd.Doç.Dr.Emrah Talaş Bu üntey çalıştıktan sonra, Parametrk olmayan merkezî eğlm ölçüler kavramını açıklayablecek İstatstksel serlern mod, medyan ve kantllern bulablecek Parametrk olmayan merkezî eğlm ölçülernn hang serlerden elde edlebleceğn anlayacak Parametrk olmayan merkezî eğlm ölçülernn nasıl yorumlanacağını kavrayableceksnz. ÜNİTE 6

76 Parametrk Olmayan Merkezî Eğlm Ölçüler Br serde verlern heps brbrnden farklı se bu serde mod yoktur. GİRİŞ Parametrk merkezî eğlm ölçüler serdek tüm verlerden elde edlrken parametrk olmayan merkezî eğlm ölçüler serdek bazı verlerden elde edlmektedr. Bu tür ortalamalar serdek tek br rakamın değşmnden ve aşırı uçlardan drekt etklenmezler. Parametrk Olmayan Merkezî Eğlm Ölçüler; Mod Medyan Kantller olmak üzere üç grupta sınıflandırılırlar. Ayrıca kantller de kend aralarında Kartller Desller Pörsentller olmak üzere üç grupta ncelenrler. MOD Herkesn çok y bldğ moda kelmes moddan türetlmş br kelmedr. En yaygın kullanılan, en çok beğenlen, en yaygın gözlenen anlamına gelr. Mod, ncelenen br serde en fazla tekrar eden ya da başka br fadeyle frekansı en yüksek olan gözlem değerdr. Br serde brden fazla mod olableceğ gb serde mod bulunmayablr. Bu tür serlerde modun merkezî eğlm ölçüsü olarak değer olmaz. Mod, grafksel olarak gösterldğnde grafğn tepe noktasında olduğundan tepe değer olarak da fade edleblr. Örnek 1-) Br ş yer sahb, personelnn çalışma saatlern aşağıdak gb yazmıştır: Bu serde en çok tekrar eden değer 8 olduğu çn bu sernn modu 8 dr. Bu ş yernde en yaygın çalışma süres 8 saattr. Örnek 2-) Br sınıftak öğrenclern yaşlarına göre dağılımı aşağıdak gbdr: Puanlar Frekans Bu sınıfta en çok gözlenen yaş 21 dr. Bu sernn modu 21 dr. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 70

77 Parametrk Olmayan Merkezî Eğlm Ölçüler Gruplandırılmış serde çersnde en fazla değer bulunduran sınıf mod sınıfıdır. Mod sınıfı, çersnde modu bulunduran sınıftır. Mod sınıfından modu bulurken aşağıdak formül kullanılır. L 1 = Mod sınıfının alt sınırıdır. 1 = Mod sınıfının frekansı le mod sınıfından br öncek sınıfın frekansı arasındak farktır. 2 = Sernn modunu barındıran grubun frekansı le br sonrak grubun frekansı arasındak farktır. c = Sernn modunu barındıran grubun sınıf büyüklüğüdür. Örnek 3-) Br kursa katılan öğrenclern yaşlarına göre dağılımı aşağıdak gbdr. Bu kursa en çok hang yaşta öğrenc katılmaktadır? Gruplar Frekanslar Öncelkle sernn modunun hang sınıfta olduğu tespt edlr. Frekansı en yüksek olan sınıfı, dağılımın modunu çnde barındıran sınıftır. Mod sınıfının alt sınırı 10 dur. Mod sınıfının frekansı le mod sınıfından br öncek sınıfın frekansı arasındak fark 1 = 40 tır. Mod sınıfının frekansı le mod sınıfından br sonrak sınıfın frekansı arasındak fark 2 = 30 dur. Mod sınıfının sınıf büyüklüğü üst sınıf sınırı 12 le alt sınıf sınırı 10 arasındak farktır. Blnen değerler mod formülünde yerne yazıldığında gruplandırılmış sernn modu, olarak elde edlr. Bahse konu olan kursa en çok yaklaşık 11 yaşındak öğrencler katılmıştır. Örnek 4-) Br kursa katılan öğrenclern yaşlara göre dağılımı aşağıdak gbdr. Bu kursa en çok hang yaşta öğrenc katılmaktadır? Gruplar Frekanslar Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 71

78 Parametrk Olmayan Merkezî Eğlm Ölçüler Öncelkle sernn modunun hang sınıfta olduğu tespt edlr. Frekansı en yüksek olan sınıfı, dağılımın modunu çnde barındıran sınıftır. Mod sınıfının alt sınırı 11.5 tr. Mod değer 11.5 le 14.5 arasındadır. Mod sınıfının frekansı le mod sınıfından br öncek sınıfın frekansı arasındak fark 1 = 40 tır. Mod sınıfının frekansı le mod sınıfından br sonrak sınıfın frekansı arasındak fark 2 = 30 dur. Mod sınıfının sınıf büyüklüğü üst sınıf sınırı 14.5 le alt sınıf sınırı 11.5 arasındak farktır. Blnen değerler mod formülünde yerne yazıldığında gruplandırılmış sernn modu, olarak elde edlr. Bahse konu olan kursa en çok yaklaşık 13 yaşındak öğrencler katılmıştır. Mod grafkle de tespt edleblr. Verlmş olan grubun, hstogramı üzerndek, frekans eksen en büyük olan kutucuğun, üst köşe noktaları le komşu kutucuklara değdğ en üst noktaların çapraz br şeklde brleştrlmes le oluşan kesşm noktasının yatay eksendek karşılığı sernn modudur. Örnek 4-) Br mezrada yaşayan kşlern yaşlarına göre dağılımı aşağıdak gbdr. Bu mezrada en çok hang yaşta nsan bulunmaktadır? Gruplar Frekanslar Yukarıda verlmş olan gruplandırılmış keskl sernn modunu grafkle aşağıdak gb göstereblrz. Grafkte de görüleceğ gb sernn modu tr. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 72

79 Parametrk Olmayan Merkezî Eğlm Ölçüler MEDYAN Verler büyükten küçüğe veya küçükten büyüğe doğru sıralandığında sernn tam ortasına karşılık gelen değere medyan ya da ortanca denr. Büyüklük sırasına göre sıralanmış bast br serdek ver sayısı n olmak üzere; n tek se medyan (n+1)/2 nc değerdr. Örnek hacm n çft se medyan n/2 nc değer le (n/2)+1 nc değern artmetk ortalamasıdır. Medyanı bulablmek çn serdek değerler öncelkle büyüklük sırasına konmalıdır. Örnek 1-) Bast br serdek değerler şeklndedr. Bu sernn ortanca değern bulalım: Serdek değerler küçükten büyüğe doğru sıralandığı çn sernn tam ortasındak değer medyandır. Sersnde gözlem değerler tek olduğu çn medyan (n+1)/2 nc değerdr. Yan medyan (11+ 1)/2 = 6 ıncı değerdr. Küçükten büyüğe doğru altı değer saydığımızda altıncı değer olan 7 değer bu sernn medyanıdır. Örnek 2-) Bast br serdek değerler şeklndedr. Bu sernn medyan değern bulalım: Serdek değer sayısı 10 dur. Örnek hacm çft sayıdır. Serdek değerler küçükten büyüğe doğru sıralandığı çn sernn tam ortasındak k değern ortalaması medyandır. Sersnde gözlem değerler çft olduğu çn medyan n/2 nc yan beşnc değer le n/2+1 yan altıncı değern ortalaması medyandır. Bahsedlen serde beşnc değer olan 12 değer le altıncı değer olan 14 değerlernn artmetk ortalaması olan 13 değer, bu sernn medyanıdır. Sınıflandırılmış serden medyan bulunablmes çn öncelkle den az kümülatf frekans değerlernn bulunması gerekr. Medyanı gösteren n/2 nc değer lk kez çersnde bulunduran kümülatf frekansa sahp olan değer medyan değerdr. Örnek 3-) Br sınıftak öğrenclern yaşlarına göre dağılımı aşağıdak gbdr. Bu sernn medyanını bulablmek çn önce den az kümülatf frekans değerler hesaplanır. Puanlar Frekans den az kümülatf frekans Bu serde toplam 200 değer vardır. Bu serde n/2 nc değer, yan 200/2 = 100 üncü değer medyandır. 100 üncü değer lk kez çersnde bulunduran kümülatf frekans değer olan 150 nn gösterdğ puan olan 21 değer bu sernn medyanıdır. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 73

80 Parametrk Olmayan Merkezî Eğlm Ölçüler Gruplandırılmış serden de medyanın bulunablmes çn öncelkle den az kümülatf frekans değerlernn bulunması gerekr. Kümülatf frekans sersnde n/2 nc değer lk kez çersnde bulunduran sınıf medyan sınıfıdır. Medyanı çersnde bulunduran sınıf bulunduktan sonra tam olarak medyan değern elde edeblmek çn, formülü kullanılır. Bu formüldek L 1 = Medyan sınıfının alt sınırı n = Toplam frekans f m-1 = Medyan sınıfından br öncek sınıfın kümülatf frekansı = Medyan sınıfının frekansı c = Medyan sınıfının sınıf büyüklüğüdür. Örnek 4-) Br kursa katılan öğrenclern yaşlarına göre dağılımı aşağıdak gbdr. Bu kursa katılan öğrenclern ortanca yaşı nedr? Gruplar Frekanslar den az küm. frekanslar Öncelkle medyanın hang sınıfta olduğu tespt edlr. Sernn n/2 = 100/2 = 50 nc değer medyandır. 50 nc değer lk kez çersnde bulunduran kümülatf frekans değer olan 75 n gösterdğ sınıf medyan sınıfıdır. Bu sernn medyanı 10 le 12 arasındadır. Medyan sınıfının alt sınırı 10 dur. Medyan sınıfından br öncek sınıfın kümülatf frekansı f m-1 = 20 dr. Medyan sınıfının frekansı f m = 55 tr. Medyan sınıfının sınıf büyüklüğü üst sınıf sınırı 12 le alt sınıf sınırı 10 arasındak farka eşttr. Yan c = = 2 dr. Blnen değerler medyan formülünde yerne yazıldığında gruplandırılmış sernn medyanı olarak elde edlr. Bahse konu olan kursa katılan öğrenclern ortanca yaşı yaklaşık olarak 11 dr. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 74

81 Parametrk Olmayan Merkezî Eğlm Ölçüler Örnek 5-) Br kursa katılan öğrenclern yaşlarına göre dağılımı aşağıdak gbdr. Bu kursa en çok hang yaşta öğrenc katılmaktadır? Bu kursa katılan öğrenclern ortanca yaşı nedr? Gruplar Frekanslar den az küm. frekanslar Öncelkle medyanın hang sınıfta olduğu tespt edlr. Sernn n/2 = 100/2 = 50 nc değer medyandır. 50 nc değer lk kez çersnde bulunduran kümülatf frekans değer olan 75 n gösterdğ sınıf medyan sınıfıdır. Bu sernn medyanı 11.5 le 14.5 arasındadır. Medyan sınıfının alt sınırı 11.5 tr. Medyan sınıfından br öncek sınıfın kümülatf frekansı f m-1 = 20 dr. Medyan sınıfının frekansı f m = 55 tr. Medyan sınıfının sınıf büyüklüğü üst sınıf sınırı 14.5 le alt sınıf sınırı 11.5 arasındak farka eşttr. Yan c = = 3 tür. Blnen değerler medyan formülünde yerne yazıldığında gruplandırılmış sernn medyanı, olarak elde edlr. Bahse konu olan kursa katılan öğrenclern ortanca yaşı yaklaşık olarak 13 tür. KANTİLLER Kantller br sery 4, 10 ve 100 eşt parçaya ayırarak bu serdek değerlern, dörtte, onda ve yüzde ne kadarının belrl br değere göre yern saptamak çn kullanılır. Kartller Büyüklük sırasına dzlmş br sernn dört eşt parçaya bölünmes sonucu üç kartl bulunur. Küçükten büyüğe doğru sıralanan sery dört parçaya böleblmek çn üç bölen gerekr. Brnc kartl Q 1, knc kartl Q 2 ve üçüncü kartl Q 3 le gösterlr. Her br kartl aralığı yaklaşık serdek rakamların %25 n kapsar. Br sernn knc kartl medyandır. Bast serlerde; Q 1 = üncü değerdr. Q 2 = üncü değerdr. Q 3 = üncü değerdr. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 75

82 Parametrk Olmayan Merkezî Eğlm Ölçüler Örnek 1-) Bast br serdek değerler şeklndedr. Bu sernn kartllern bulalım: Serdek değer sayısı 11 dr. Serdek değerler küçükten büyüğe doğru sıralandığı (11+1)/4 = 3. değer olan 10 değer bu sernn 1. kartldr. Sernn knc kartl, aynı zamanda medyanı 2(11+1)/4 = 6. değer olan 14 değerdr. Sernn üçüncü kartl, 3(11+1)/4 = 9. değer olan 20 değerdr. Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış serlerde çok sayıda değer yer aldığı çn yukarıdak fadelerde yer alan +1 eklents yok sayılablr. Böylece Q 1 = üncü değerdr. Q 2 = üncü değerdr. Q 3 = üncü değerdr. Gruplandırılmış serlerde kartller bulablmek çn medyan formülüne benzer formüllerden yararlanılır. Medyan formülünde gerekl düzenlemeler yapıldığında kartller, formüller le hesaplanır. Kantller gösteren değerler den az kümülatf frekans değerler çersnde aranır. Örnek 2-) Br kursa katılan öğrenclern yaşlarına göre dağılımı aşağıdak gbdr. Kursa katılan öğrenclern kartl yaşlarını bulalım: Gruplar Frekanslar den az küm. frekanslar Öncelkle brnc kartln hang sınıfta olduğu tespt edlr. Sernn n/4 = 100/4 = 25 nc değer Q 1 dr. 25 nc değer lk kez çersnde bulunduran kümülatf frekans değer olan 75 n gösterdğ sınıf Q 1 sınıfıdır. Bu sernn Q 1 değer 10 le 12 Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 76

83 Parametrk Olmayan Merkezî Eğlm Ölçüler arasındadır. Q 1 sınıfının alt sınırı 10 dur. Q 1 sınıfından br öncek sınıfın kümülatf frekansı = 20 dr. Q 1 sınıfının frekansı = 55 tr. Q 1 sınıfının sınıf büyüklüğü, c = = 2 dr. Blnen değerler brnc kartl formülünde yerne yazıldığında gruplandırılmış sernn Q 1 değer olarak elde edlr. İknc kartl değer medyana eşttr. Şmd sernn üçüncü kartl hesaplanacaktır. Öncelkle üçüncü kartln hang sınıfta olduğu tespt edlr. Sernn 3n/4 = 3(100)/4 = 75 nc değer Q 3 dür. 75 nc değer lk kez çersnde bulunduran kümülatf frekans değer olan 75 n gösterdğ sınıf Q 3 sınıfıdır. Bu sernn Q 3 değer 10 le 12 arasındadır. Q 3 sınıfının alt sınırı 10 dur. Q 3 sınıfından br öncek sınıfın kümülatf frekansı = 20 dr. Q 3 sınıfının frekansı = 55 tr. Q 3 sınıfının sınıf büyüklüğü, c = = 2 dr. Blnen değerler üçüncü kartl formülünde yerne yazıldığında gruplandırılmış sernn Q 3 değer, olarak elde edlr. Desller Büyüklük sırasına dzlmş br sernn on eşt parçaya bölünmes çn dokuz bölen gerekr. En küçük desl brnc desl, en büyük desl dokuzuncu desldr. Brnc desl D 1, knc desl D 2,, dokuzuncu desl D 9 le gösterlr. Her br desl aralığı serdek rakamların yaklaşık %10 unu kapsar. Beşnc desl aynı zamanda sernn medyanıdır. Bast serlerde, D 1 = uncu değerdr. D 2 = uncu değerdr.... D 9 = uncu değerdr. Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış serlerde çok sayıda değer yer aldığı çn yukarıdak fadelerde yer alan +1 eklents yok sayılablr. Böylece, Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 77

84 Parametrk Olmayan Merkezî Eğlm Ölçüler... formüller le hesaplanır. Desller gösteren değerler den az kümülatf frekans değerler çersnde aranır. Örnek) Br kursa katılan öğrenclern yaşlarına göre dağılımı aşağıdak gbdr. Kursa katılan öğrenclern yaşlarının brnc ve dokuzuncu desllern bulalım. Gruplar Frekanslar den az küm. frekanslar Öncelkle brnc desln hang sınıfta olduğu tespt edlr. Sernn n/10 = 100/10 = 10 uncu değer D 1 dr. 10 uncu değer lk kez çersnde bulunduran kümülatf frekans değer olan 20 nn gösterdğ sınıf D 1 sınıfıdır. Bu sernn D 1 değer 8 le 10 arasındadır. D 1 sınıfının alt sınırı 8 dr. D 1 sınıfından br öncek sınıfın kümülatf frekansı = 5 tr. D 1 sınıfının frekansı = 15 tr. D 1 sınıfının sınıf büyüklüğü, c = 10 8 = 2 dr. Blnen değerler brnc desl formülünde yerne yazıldığında gruplandırılmış sernn D 1 değer, olarak elde edlr. Bu serde en küçük %10 u oluşturan değerlern en büyüğü 8.67 dr. Şmd sernn dokuzuncu desln bulalım: Öncelkle dokuzuncu desln hang sınıfta olduğu tespt edlr. Sernn 9n/10 = 9(100)/10 = 90 ıncı değer D 9 dur. 90 ıncı değer, lk kez çersnde bulunduran kümülatf frekans değer olan 100 ün gösterdğ sınıf D 9 sınıfıdır. Bu sernn D 9 değer 12 le 14 arasındadır. D 9 sınıfının alt sınırı 12 dr. D 9 sınıfından br öncek sınıfın kümülatf frekansı = 75 tr. D 9 sınıfının frekansı = 25 tr. D 9 sınıfının sınıf büyüklüğü, c = = 2 dr. Blnen değerler dokuzuncu desl formülünde yerne yazıldığında gruplandırılmış sernn D 9 değer, Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 78

85 Parametrk Olmayan Merkezî Eğlm Ölçüler olarak elde edlr. Bu serde en büyük %10 u oluşturan değerlern en küçüğü 13.2 dr. Pörsentller Büyüklük sırasına dzlmş br sernn yüz eşt parçaya bölünmes çn 99 bölen gerekr. En küçük pörsentl brnc pörsentl, en büyük pörsentl 99 uncu pörsentldr. Brnc pörsentl P 1, knc pörsentl P 2,, 99 uncu pörsentl P 99 le gösterlr. Her br pörsentl aralığı serdek rakamların yaklaşık %1 n kapsar. 50 nc pörsentl aynı zamanda sernn medyanıdır. Bast serlerde, P 1 = üncü değerdr. P 2 = üncü değerdr.... P 99 = üncü değerdr. Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış serlerde çok sayıda değer yer aldığı çn yukarıdak fadelerde yer alan +1 eklents yok sayılablr. Böylece,... formüller le hesaplanır. Pörsentller gösteren değerler den az kümülatf frekans değerler çersnde aranır. Örnek) Br kursa katılan öğrenclern yaşlarına göre dağılımı aşağıdak gbdr. Kursa katılan öğrenclern yaşlarının beşnc ve doksanbeşnc pörsentllern bulalım: Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 79

86 Tartışma Parametrk Olmayan Merkezî Eğlm Ölçüler Gruplar Frekanslar den az küm. frekanslar Öncelkle beşnc pörsentln hang sınıfta olduğu tespt edlr. Sernn 5n/100 = 5(100)/100 = 5 nc değer P 5 tr. Beşnc değer lk kez çersnde bulunduran kümülatf frekans değer olan 5 n gösterdğ sınıf P 5 sınıfıdır. Bu sernn P 5 değer 6 le 8 arasındadır. P 5 sınıfının alt sınırı 6 dır. P 5 sınıfından br öncek sınıfın kümülatf frekansı = 0 dır. P 5 sınıfının frekansı = 5 tr. P 5 sınıfının sınıf büyüklüğü, c = 8 6 = 2 dr. Blnen değerler beşnc pörsentl formülünde yerne yazıldığında gruplandırılmış sernn P 5 değer, olarak elde edlr. Bu serde en küçük %5 oluşturan değerlern en büyüğü 8 dr. Şmd sernn 95 nc pörsentl bulalım. Öncelkle 95 nc pörsentln hang sınıfta olduğu tespt edlr. Sernn 95n/100 = 95(100)/100 = 95 nc değer P 95 tr. Doksan beşnc değer lk kez çersnde bulunduran kümülatf frekans değer olan 95 n gösterdğ sınıf P 95 sınıfıdır. Bu sernn P 95 değer 12 le 14 arasındadır. P 95 sınıfının alt sınırı 12 dr. P 95 sınıfından br öncek sınıfın kümülatf frekansı = 75 tr. P 95 sınıfının frekansı = 25 tr. P 95 sınıfının sınıf büyüklüğü, c = = 2 dr. Blnen değerler 957 nc pörsentl formülünde yerne yazıldığında gruplandırılmış sernn P 95 değer, olarak elde edlr. Bu serde en büyük %5 oluşturan değerlern en küçüğü 13.6 dır. Parametrk olmayan merkezî eğlm ölçüler hang durumlarda kullanılablr? Tartışınız. Düşüncelernz sstemde lgl ünte başlığı altında yer alan tartışma forumu bölümünde paylaşablrsnz. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 80

87 Özet Parametrk Olmayan Merkezî Eğlm Ölçüler Serdek değerlern br kısmı dkkate alınarak hesaplanan merkezî eğlm ölçülerne parametrk olmayan merkezî eğlm ölçüler denr. Ntel değşkenl serler en y temsl eden merkezî eğlm ölçüler parametrk olmayan merkezî eğlm ölçülerdr. Serde en çok tekrarlanan değere sernn modu denr. Serdek rakamlar büyüklük sırasına konulduğunda tam ortaya düşen değere medyan denr. medyan aynı zamanda sery kye bölen değerdr. Sery bölen değerlere kantller denr. Sery dört eşt parçaya bölen kantllere kartller. Sery on eşt parçaya bölen kantllere desller. Sery yüz eşt parçaya bölen kantllere pörsentller denr. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 81

88 Ödev Parametrk Olmayan Merkezî Eğlm Ölçüler Br bast, br sınıflandırılmış ve br de gruplandırılmış ser hazırlayınız. Bu serlerden tanıdığınız parametrk merkezî eğlm ölçülern bulunuz. Hazırladığınız ödev sstemde lgl ünte başlığı altında yer alan ödev bölümüne yükleyeblrsnz. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 82

89 Parametrk Olmayan Merkezî Eğlm Ölçüler Değerlendrme sorularını sstemde lgl ünte başlığı altında yer alan bölüm sonu test bölümünde etkleşml olarak cevaplayablrsnz. DEĞERLENDİRME SORULARI 1. Aşağıdaklerden hangs parametrk olmayan merkezî eğlm ölçülernden br değldr? a) Mod b) Medyan c) Karel Ortalama d) Kartller e) Pörsentller 2. Aşağıdak sernn modu nedr? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7 3. Aşağıda verlmş olan gruplandırılmış sernnn modu nedr? Gruplar Frekanslar a) 6 b) 6.5 c) 7 d) 8 e) Aşağıdak sernn medyanı kaçtır? a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 5. Aşağıdak sernn medyanı kaçtır? a) 5 b) 5.5 c) 5 d) 6.5 e) 7 Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 83

90 Parametrk Olmayan Merkezî Eğlm Ölçüler 6. Aşağıda verlmş olan gruplandırılmış sernnn medyanı kaçtır? Gruplar Frekanslar a) 6.08 b) 6.23 c) 7.43 d) 7.87 e) Aşağıda verlen gruplandırılmış sernn medyanı nedr? Gruplar Frekanslar a) 5.78 b) 6.05 c) 6.19 d) 6.43 e) Aşağıda verlmş olan gruplandırılmış sernn 1. kartl nedr? Gruplar Frekanslar a) 1.78 b) 1.95 c) 2.12 d) 2.67 e) 2.81 Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 84

91 Parametrk Olmayan Merkezî Eğlm Ölçüler 9. Aşağıda verlmş olan gruplandırılmış sernn 3. kartl nedr? Gruplar Frekanslar a) 5.48 b) 5.95 c) 6.12 d) 6.39 e) Aşağıda verlmş olan gruplandırılmış sernn 9. desl nedr? Gruplar Frekanslar a) 7 b) 7.2 c) 7.7 d) 8 e) 8.3 Cevap Anahtarı 1.C, 2.E, 3.B, 4.D, 5.D, 6.C, 7.D, 8.D, 9.E, 10.D Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 85

92 Parametrk Olmayan Merkezî Eğlm Ölçüler YARARLANILAN VE BAŞVURULABİLECEK DİĞER KAYNAKLAR Alpar, R. (2010). Spor, Sağlık ve Eğtm Blmlernden Örneklerle Uygulamalı İstatstk ve Geçerlk-Güvenrlk, Detay Yayıncılık, Ankara. Başar, A., Oktay, E. (2012). Uygulamalı İstatstk II: Kısa Teork Blgler ve Çözülmüş Problemler, EKEV Yayınları, 6. Baskı, Erzurum. Bülbül, E. Ş. (2007). Çözümsel İstatstk, Alfa yayıncılık, İstanbul. Büyüköztürk, Ş. (2008). Sosyal Blmler İçn Ver Analz El Ktabı, 9. Baskı, Pegem Akadem Yayıcılık, Ankara. Gürsakal, N. (2008). Betmsel İstatstk, 4. Baskı, Dora Yayıncılık, Bursa. Köseoğlu M., Yamak, R. (2009). Uygulamalı İstatstk, 4. Baskı, Celepler Matbaacılık, Trabzon. Newbold, P. (2009). Statstcs for Busness and Economcs, 7. Baskı, Lteratür Yayıncılık, İstanbul. Özsoy, O. (2010). İktsatçılar ve İşletmecler çn İstatstk, 3. Baskı, Syasal Ktabev, Ankara. Serper, Ö. (2004). Uygulamalı İstatstk-I, 5.Baskı, Ezg Ktabev, Bursa. Johnson, A. R., Wchern, W. D. (1998). Appled Multvarate Statstcal Analyss, 4th Edton, Prentce-Hall Inc., London. Yıldız, N. T. (2008). Uygulamalı İstatstk, 3. Baskı, Nobel Yayıncılık, Ankara. Yılmaz, B. (2010). İstatstk, 3. Baskı, Nobel Yayıncılık, Ankara. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 86

93 HEDEFLER İÇİNDEKİLER PARAMETRİK DEĞİŞKENLİK ÖLÇÜLERİ Ortalama Sapma Varyans Standart Sapma Değşm Kat sayısı İSTATİSTİĞE GİRİŞ Doç.Dr.Suph Özçomak Bu üntey çalıştıktan sonra, Değşkenlk kavramını anlayablecek Serlerdek değşkenlğ ölçeblecek Artmetk ortalamadan mutlak sapmaları ölçen değşkenlk ölçüsünü öğreneblecek Artmetk ortalamadan kareler sapmaları ölçen değşkenlk ölçülern kavrayablecek Serlerden elde edleblecek parametrk değşkenlk ölçüler brbrleryle karşılaştırableceksnz. ÜNİTE ÜNİTE 7 7

94 Parametrk Değşkenlk Ölçüler GİRİŞ Merkezî eğlm ölçüler, statstksel serlern ncelenmes ve karşılaştırılmasında tek başlarına her zaman yeterl olmayablrler. Bu nedenle statstksel serlern karşılaştırılmasında brmlern merkezî eğlm etrafındak dağılma durumunu da ortaya koymak gerekmektedr. Merkezî eğlm etrafındak dağılma durumunu ortaya koymak amacıyla değşkenlk ölçülernden yararlanılır. Bazı durumlarda statstksel serlern ortalamaları brbrne eşt olsa da serlern dağılımları brbrnden farklı olablr. X ve Y k farklı bast serler olsun X Y Bu serlern artmetk ortalamaları sırasıyla; X 40 X 8 n 5 Y 40 Y 8 n 5 şeklnde hesaplandığında görüldüğü üzere her k sernn artmetk ortalamaları brbrne eşt çıkmıştır. Ancak serler ncelendğnde serlern ortalamalarının aynı olmasına rağmen serlern farklı özellkler taşıdığı görülmektedr. X sersnde gözlemler brbrne yakın değerler alırken Y sersnde gözlemler brbrlernden uzak değerler almışlardır. Başka br fade le X sers homojen br yapıya sahp yan gözlemler brbrne benzerken, Y sers heterojen br yapıya sahp olup gözlemler brbrne benzememektedr. Bu durum br ölçek üzernde gösterldğnde konu daha y anlaşılacaktır: X Sers Y Sers X = Y = 8 Şekl 1. X ve Y serlernn dağılımı Şekl 1 de görüldüğü üzere X sersnde gözlem değerler brbrne yakın ken Y sersnde se gözlem değerler brbrlernden uzaktır. Oysa her k sernn ortalaması eşt çıkmıştır. Yukarıda verlen örnekte serlern gözlem değerler yerne sadece ortalamaları verlerek karşılaştırma yapılması stenldğnde serlern brbrne benzer oldukları ya da aynı gözlem değerlerne sahp oldukları düşünüleblr. Bu durumda statstksel serler karşılaştırmak çn sadece merkezî eğlm ölçülern Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 88

95 Parametrk Değşkenlk Ölçüler hesaplamak yeterl olmayacaktır. Merkezî eğlm ölçülernn yanında serdek brmlern nasıl dağıldıklarını gösteren br ölçüye htyaç duyulacaktır. İstatstksel serlerdek gözlemlern brbrne benzeyp benzemedklern, brbrlernden uzak olup olmadıklarını başka br fade le serlern homojen m yoksa heterojen m olduklarını tespt etmek amacıyla değşkenlk ölçüler kullanılmaktadır. İstatstksel br sery oluşturan gözlem değerlernn değer tbarıyla brbrlernden ya da herhang br ortalamadan uzaklıkları esas alınarak hesaplanan ölçülere değşkenlk ölçüler denr. Değşkenlk ölçüler serdek gözlem değerlernn dağılımlarının br ölçüsüdür. Bu ölçüler serdek gözlem değerlernn ortalama etrafında ne kadar sık dağıldıklarını belrtrler. Değşkenlk ölçüler tek br ser çn hesaplandığında tek başına br anlam fade etmezler. Bu ölçüler ancak brbrler le karşılaştırıldıklarında hesaplandıkları serlern hangsnde brmlern ortalama etrafında daha sık, hangsnde daha seyrek bçmde dağıldığını belrtrler. Dğer br fade le değşkenlk ölçüsü küçük olan serler, değşkenlk ölçüsü büyük olan serlere göre ortalama etrafında daha sık br dağılım gösterrler. Bu nedenle değşkenlk ölçüler serdek gözlem değerlernn homojenlğ le lgldrler. Değşkenlk ölçüsü küçük olan serler karşılaştırma yapılan dğer serlere göre daha homojendrler. Gözlem değerler ortalama etrafında daha sık dağılan br başka br fade le homojen olan serlerde, ortalamanın sery temsl etme gücü daha yüksektr. Bu bölümde parametrk değşkenlk ölçülernden ortalama sapma, varyans, standart sapma ve değşm katsayısı anlatılacaktır. Takp eden üntede se parametrk olmayan değşkenlk ölçülernden değşm aralığı, kartl aralığı, desl aralığı ve pörsentl aralığı tanıtılacaktır. ORTALAMA SAPMA Değşkenlğn hesaplanmasında kullanılan ölçülerden br de ortalama sapmadır. Ortalama sapmanın hesaplanmasında serdek bütün gözlem değerler kullanıldığından br öncek konuda fade edlen dezavantaj gderlmektedr. Ortalama sapma, değşkenlğn ölçülmesnde serdek gözlem değerlernn artmetk ortalamadan ne kadar uzak olduklarını belrlemeye çalışan değşkenlk ölçüsüdür. Bu amaçla ortalama sapmanın hesaplanması çn gözlem değerlernn artmetk ortalamadan farklarının toplamı elde edlr. Bu fark değerlernn toplamı, n X - X 1 şeklnde fade edlr. Blndğ üzere artmetk ortalamanın özellklernden br, serdek rakamların artmetk ortalamadan farkların toplamının sıfır olduğudur. Yukarıdak toplamda, ortalamadan küçük gözlem değerler negatf, büyük olan gözlem değerler se poztf sonuç vereceğnden dolayı bu değerlern toplamı sıfıra eşt çıkacaktır. Bu sorun, söz konusu farkların mutlak değerler alınarak çözüleblr. n 1 X - X fades ver kümesnde yer alan gözlemlern artmetk ortalamadan toplam sapma mktarını göstermektedr. Bu toplam, gözlem sayısına bölünerek ortalama sapma elde edlr. Bast serlerde ortalama sapma, Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 89

96 Parametrk Değşkenlk Ölçüler n X - X 1 O.S. n eştlğ yardımıyla hesaplanır. Bast serlerde ortalama sapmanın nasıl hesaplanacağı aşağıdak örnekle zah edlecektr. Örnek 1-) Aşağıdak bast sernn ortalama sapmasını hesaplayınız. X Bu sernn artmetk ortalaması, = 10 dur. Gözlem değerlernn artmetk ortalamadan farklarının mutlak değerler aşağıdak gb elde edlerek toplanır: X Böylece ortalama sapma, O.S. n 1 X n - X olarak elde edlr. Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış serlerde ortalama sapma O.S. n 1 f X - X f formülüyle hesaplanır. Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış serlerde ortalama sapmanın nasıl hesaplanacağı aşağıda verlen örneklerle zah edlecektr. Örnek 2-) Aşağıdak sınıflandırılmış sernn ortalama sapmasını hesaplayınız. X f Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 90

97 Parametrk Değşkenlk Ölçüler Ortalama sapmanın hesaplanablmes çn lk olarak artmetk ortalama hesaplanır. Bu sernn artmetk ortalaması, = 38 dr. X f Gözlem değerlernn artmetk ortalamadan farklarının mutlak değerler elde edlp karşılarındak frekans değerler le çarpılarak toplanır. Elde edlen toplam, toplam frekansa bölündüğünde sernn ortalama sapması, O.S. n 1 f X - X f olarak elde edlr. Örnek 3-) Aşağıdak gruplandırılmış sernn ortalama sapmasını hesaplayınız. Gruplar f Ortalama sapmanın hesaplanablmes çn lk önce sınıf sınırları kullanılarak sınıf değerler (X ) elde edlr. Daha sonra yapılacak şlemler sınıflandırılmış ser çn ortalama sapma hesaplanırken yapılan şlemelern aynısıdır. Bu sernn artmetk ortalaması, = 5.8 dr. X f f X Bu gruplandırılmış sernn ortalama sapması, O.S. n 1 f X - X f olarak hesaplanır. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 91

98 Parametrk Değşkenlk Ölçüler VARYANS Ortalama sapma hesaplanırken, artmetk ortalamanın ( ) özellğnden yararlanılmıştır. Fark değerlernn mutlak değerler toplamı, bulunarak bu değerlern ortalaması bulunmuştur. Gözlem değerlernn artmetk ortalamadan farklarının toplamının sıfır çıkmaması çn gözlem değerlernn artmetk ortalamadan farklarının kareler de hesaplanablr. Serde bulunan gözlem değerlernn artmetk ortalamadan farklarının kareler alınarak toplanırsa ( ) en küçük fark kare toplamı elde edlr. En küçük fark kare toplamı serbestlk derecesne bölünerek varyans hesaplanır. Serbestlk dereces toplam gözlem sayısının br eksğdr. Varyans hesaplanırken ortalamadan sapmaların kares alınarak fark toplamlarının sıfıra eşt çıkma sorunu gderlmştr. Böylece ortalama sapmanın matematk şlemlere elverşl olmama dezavantajı da bu değşkenlk ölçüsünde ortadan kaldırılmıştır. Örnek değerler kullanılarak hesaplanan varyans değer s 2 le fade edlrken anakütledek tüm değerler kullanılarak hesaplanan varyans değer se 2 le gösterlr. Bast serlerde varyans, s 2 n 1 (X - X) n-1 2 formülü le hesaplanır. Bu formül düzenlendğnde varyans değern daha kolay hesaplamamızı sağlayan, s 2 n 1 n X 2 - n 1 2 X n formül elde edlr. Görüldüğü üzere karel ortalamanın karesnden artmetk ortalamanın kares çıkarıldığında varyans elde edlmektedr. Bast serlerde varyansın nasıl hesaplanacağı aşağıdak örnekle zah edlecektr. Örnek 4-) Aşağıdak bast sernn varyansını hesaplayınız. X Varyans değernn hesaplanması çn lk önce artmetk ortalama hesaplanır. Bu sernn artmetk ortalaması, = 25 tr ( ) Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 92

99 Parametrk Değşkenlk Ölçüler Artmetk ortalama hesaplandıktan sonra gözlem değerlernn artmetk ortalamadan farklarının kareler elde edlerek toplanır. Elde edlen toplam serbestlk dereces olan 4 1 = 3 e bölündüğünde varyans, s 2 n 1 (X - X) n olarak elde edlr. Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış serlerde varyans aşağıdak formülle hesaplanır: s 2 n 1 f 2 f (X - X) bu formül düzenlendğnde, s 2 n 1 f X f 2 - n 1 f X f 2 formülü elde edlr. Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış serlerde varyansın nasıl hesaplanacağı aşağıdak örneklerle zah edlecektr. Örnek 5-) Aşağıdak sınıflandırılmış sernn varyansını hesaplayınız. X f Bu sernn artmetk ortalaması, = 4 tür. Gözlem değerlernn artmetk ortalamadan farklarının kareler elde edldkten sonra karşılarındak frekanslar le çarpılır. X f ( ) ( ) ( ) değer, serdek gözlem sayısı n e bölünerek varyans, s 2 n 1 f (X - X) f olarak elde edlr. Varyansı veren dğer formül kullanılarak Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 93

100 Parametrk Değşkenlk Ölçüler X Varyans değer, s 2 n f X 1 f 2 - n 1 f X f olarak elde edlr. Görüldüğü üzere br öncek varyans formülünde bulunan değerle aynı sonuç elde edlmştr. Örnek 6-) Aşağıdak gruplandırılmış sernn varyansını hesaplayınız. Gruplar f Gruplandırılmış serde varyansın hesaplanablmes çn gerekl hesaplamalar aşağıda verlmştr. İlk olarak sınıf sınırları kullanılarak sınıf değerler (X ) elde edlr. Daha sonra yapılan şlemler sınıflandırılmış serdek varyans hesabı le aynıdır. Bu sernn artmetk ortalaması, = 6 dır. Varyansı elde etmek çn gerekl şlemler aşağıdak gbdr. X f ( ) ( ) Böylece varyans değer, s 2 n 1 f (X - X) f olarak elde edlr STANDART SAPMA Serdek gözlem değerlernn artmetk ortalamadan farklarının karel ortalamasına standart sapma denlr. Standart sapma serdek gözlem değerlernn artmetk ortalamadan sapmalarını br başka fade le ortalamadan uzaklıklarını fade eden değşkenlk ölçüsüdür. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 94

101 Parametrk Değşkenlk Ölçüler Br serdek gözlem değerler çn hesaplanan varyansın karekökü alındığında standart sapma elde edlr. Standart sapma, statstk uygulamalarda en çok kullanılan değşkenlk ölçüsüdür. Standart sapma ölçüm brmnden bağımsız değldr. Yan anakütle veya örnektek gözlem değerler hang ölçekle ölçülmüşse standart sapma da o ölçekle ölçülür. Örneğn anakütledek gözlem değerler cm le fade edlmş se anakütlenn standart sapması da cm le fade edlr. Uygulamada genellkle örnek standart sapması s, anakütle standart sapması se le gösterlr. Br serdek gözlem değerler çn hesaplanan standart sapma değer küçük olduğunda gözlem değerlernn artmetk ortalamaya daha yakın olduklarını aks durumda se uzak olduklarını fade etmektedr. Bu durum en az k statstksel ser karşılaştırıldığında daha y anlaşılablr. Örneğn X sersnn standart sapma değernn 1.79, Y sersnn standart sapma değernn se 2.06 olarak elde edldğn farz edelm. Bu durumda k ser değşkenlk bakımından karşılaştırılmak stenldğnde Y sersndek değşkenlğn X sersne göre daha fazla olduğu söylenr. Örnek 7-) Örnek 11 dek bast sernn varyansı olarak elde edlmşt. Bu değern karekökü alınırsa aynı sernn standart sapması 4.76 olarak elde edlr. Örnek 8-) Örnek 12 dek sınıflandırılmış sernn varyansı 3.22 olarak elde edlmşt. Bu değern karekökü alınırsa aynı sernn standart sapması 1.79 olarak elde edlr. Örnek 9-) Örnek 13 tek gruplandırılmış sernn varyansı 4.24 olarak elde edlmşt. Bu değern karekökü alınırsa aynı sernn standart sapması 2.06 olarak elde edlr. DEĞİŞİM KATSAYISI Gerek standart sapma gerekse dğer değşkenlk ölçüler, ölçü brmnden bağımsız değldrler. Bundan dolayı aynı ser farklı ölçü brmleryle (mesela, kg yerne gram le) fade edldğnde değşk standart sapma değerler elde edleceğ gb, farklı ölçü brmleryle fade edlmş k ayrı sernn karşılaştırılması da yanıltıcı sonuçlar verecektr. Örneğn aşağıdak X ve Y serlern değşkenlk bakımından karşılaştıralım: X Y Her k sernn artmetk ortalama ve standart sapmaları hesaplandığında, X = 6 Y = 6000 s X =2.236 = 2236 s Y olarak elde edlr. Her k ser karşılaştırıldığında Y sersnn standart sapma değer X sersnn standart sapma değernden büyük olduğu çn Y sersnde değşkenlğn daha fazla olduğu fade edlr. Oysa X sers kg cnsnden ve Y sers se gram cnsnden fade edlrse gerçekte her k sernn değşkenlğnn aynı olduğu Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 95

102 Tartışma Parametrk Değşkenlk Ölçüler görülecektr. İşte dğer değşkenlk ölçülernn bu dezavantajını gdermek amacıyla değşm katsayısı gelştrlmştr. Değşm katsayısı hesaplanırken mutlak dağılma yerne nsp dağılma esas alınmıştır. Değşm katsayısı yüzde olarak fade edldğnden dolayı ölçü brmnden bağımsızdır. Yan, değşm katsayısında standart sapma artmetk ortalamanın yüzdes olarak fade edlr. Değşm katsayısı, s D.K. 100 X formülüyle hesaplanır. Yukarıda verlen örneğn değşm katsayılarını hesaplayarak tekrar karşılaştıralım. X sers çn değşm katsayısı, s D.K %37.3 X 6 Y sers çn değşm katsayısı, D.K. s 100 X % olarak elde edlr. Görüldüğü gb her k sernn değşm katsayıları aynı değere sahptr. Değşm katsayısının nasıl hesaplanacağı aşağıdak örnekle zah edlecektr. Örnek 10-) Artmetk ortalaması 8 ve standart sapması 3.09 olan sernn değşm katsayısını hesaplayınız. Değşm katsayısı, 3.09 D.K. 100 % olarak elde edlr. Serler arasında değşkenlk karşılaştırmaları yapmada başvurulablecek en y değşkenlk ölçüsü hangsdr? Tartışınız. Düşüncelernz sstemde lgl ünte başlığı altında yer alan tartışma forumu bölümünde paylaşablrsnz. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 96

103 Özet Parametrk Değşkenlk Ölçüler Serdek değerlern brbrnden ve merkezî eğlmden uzaklaşmalarına değşkenlk denr. Az çok her serde değşkenlk olablr. Değşkenlğn fazla olması güvenlr statstkler elde edlmesn etkler. Bu sebeple serlerdek değşkenlğn ölçülmes gerekr. Serdek bütün değerlern hesaba katılmasıyla elde edlen değşkenlk ölçülerne parametrk değşkenlk ölçüler denr. Parametrk değşkenlk ölçüler, artmetk ortalama etrafındak dağılımı ölçerler. Artmetk ortalamadan mutlak sapmaları kullanan değşkenlk ölçüsü ortalama sapmadır. Artmetk ortalamadan karel sapmaları kullanan değşkenlk ölçüler se varyans, standart sapma ve değşm kat sayısıdır. İçersnde en fazla blg bulunduran ve serler arasında karşılaştırma yapmada kullanılablecek değşkenlk ölçüsü değşm kat sayısıdır. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 97

104 Ödev Parametrk Değşkenlk Ölçüler Brer örnek yardımıyla bast, sınıflandırılmış ve gruplandırılmış serlerden elde edleblecek parametrk değşkenlk ölçülern hesaplayınız. Hazırladığınız ödev sstemde lgl ünte başlığı altında yer alan ödev bölümüne yükleyeblrsnz. Atatürk Ünverstes Açıköğretm Fakültes 98