İNTEGRAL ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT
|
|
- Aylin Uyanık
- 6 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 İNTEGRAL ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT Belili İntegal. Kazanım : Riemann toplamı adımıla integal kavamını açıkla.. Kazanım : Belili integalin özellikleini açıkla.. Kazanım : İntegal hesabının biinci ve ikinci temel teoemleinin anlamını açıkla. Belisiz İntegal. Kazanım : Bi fonksionun belisiz integalini açıkla.. Kazanım : Temel integal alma kuallaını tüev alma kuallaı adımıla aza.. Kazanım : Bi fonksionun bi sabitle çapımının, iki fonksionun toplamının ve fakının integaline ait kuallaı bulu ve ugulamala apa.. Kazanım : İntegal alma öntemleini açıkla ve ugulamala apa. Belili İntegalin Ugulamalaı. Kazanım : Belili integallei kullanaak ugulamala apa ve poblem çöze.
2 İntegal BELİRSİZ İNTEGRAL Belisiz integal almak, tüevi veilen fonksionu bulma işlemidi. Tüevi olan fonksionladan bii tü. Çünkü +, +,, +,... fonksionlaının tüevi di. Bu fonksionlaı temsilen + c alınısa, tüevi olan fonksion + c olu. Bunu d = + c biçimde gösteiiz. Tüevi f() e eşit olan F() ifadesine f() in integali deni ve fd ( ) = F ( ) + c biçiminde gösteili. Şimdi de bu eşitlikte kullanılan d ifadesini açıklaalım. df( ) = f () olduğunu biliouz. Bu eşitlikten df() = f ()d azılabili. Bu işlem difeansiel alma işlemidi. d ÖRNEK Aşağıda bazı fonksionlaın difeansiellei alınmıştı. İnceleiniz. d( ) = ( ).d =.d d( ) = ( ).d =.d ÖRNEK Aşağıdaki ifadelein eşitini bulunuz. d( ) d(tan) d(sin) = (sin).d = cos.d d(ln) = (ln).d =.d d( + ) = ( + ).d =.d = d ÖRNEK d = + c eşitliğinden aalanaak, ifadesinin eşitini bulunuz. dc m ÖRNEK d = + c eşitliğinden aalanaak, d d d ifadesinin eşitini bulunuz. 8
3 İntegal ÖRNEK 5 f() = ( + ) d ise f () fonksionunu bulunuz. ÖRNEK 9 f.() d 6 = + c ise f() kaçtı? ÖRNEK 6 d d ( + ) d ifadesinin eşitini bulunuz. ÖRNEK f() d = + ise f() fonksionunu bulunuz. ÖRNEK 7 fd ( ) = + ise f() fonksionunu bulunuz. Temel İntegal Alma Kuallaı Temel integal alma kuallaını tüev alma kuallaı adımıla azabiliiz. n+ n ifadesi c n + + nin tüevi olduğundan, bu duum aşağıdaki gibi ifade edilebili. n+ n d = + c n + ÖRNEK 8 f( ) d = 6 + c ise f() fonksionunu bulunuz. f() = (6 + c) f() = 6 ÖRNEK d= = d 5 = d 9
4 İntegal Aşağıdaki tabloda bazı fonksionlaın tüevi ile integali aasındaki ilişkiden aalanaak temel integal kuallaı veilmişti. İnceleiniz. F() F () F ()d Şimdi de tabloda ifade edilen temel integal kuallaını tek tek ele alıp öneklele pekiştielim. n+ n d = + c n + n+ n + n n d = n+ n+ + c ÖRNEK ln d = ln + c Aşağıda bazı integallein eşiti bulunmuştu. İnceleiniz. = d e e e d = e +c = d a lna sin cos a cos sin a d = a lna +c cos d = sin + c sin d = cos +c d = d= tan cos cos d = tan +c cot sin sin d = cot +c d = acsin d = acsin +c actan a + a d = actan +c + a d = a +c d =
5 İntegal ÖRNEK 5 a d = a + c ( ) d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK Aşağıda bazı integallein eşiti bulunmuştu. İnceleiniz. d = + c d = + c d = + c dz = z + c ÖRNEK 6 ( ) d integalinin eşitini bulunuz. cos t d = cost + c e k d = e k. + c a.f() d = a. f() d [ f() ± g() ]d = f() d ± g() d ÖRNEK 7 ( ) d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK Aşağıda bazı integallein eşiti bulunmuştu. İnceleiniz. d = d = + c = + c ( + ) d = d d + d ÖRNEK 8 + d integalinin eşitini bulunuz. c + m d = d d + d
6 İntegal d = ln + c, ÖRNEK 9 + a d = ln + a + c ÖRNEK + d integalinin eşitini bulunuz. d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK ÖRNEK d integalinin eşitini bulunuz. + ( ) d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK + d integalinin eşitini bulunuz. + ÖRNEK 5 ( ) d integalinin eşitini bulunuz. + ÖRNEK + d integalinin eşitini bulunuz. +
7 İntegal e d = e + c, e + a d = e +a + c + d = actan + c ÖRNEK 6 e d integalinin eşitini bulunuz. e ÖRNEK + d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 7 e. e d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK + d integalinin eşitini bulunuz. + a d =.a + c ln a a+ b d =.a +b + c ln a ÖRNEK d = acsin + c ÖRNEK 8 d integalinin eşitini bulunuz. d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 9 d integalinin eşitini bulunuz. NOT: d = accos + c olaak da azılabileceğinden sounun cevabı accos + c biçiminde de azılabilidi.
8 İntegal ÖRNEK d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 6 sin d integalinin eşitini bulunuz. sin ÖRNEK 7 ( cos d = + tan ) d = tan + c cot d integalinin eşitini bulunuz. tan ( sin d = + cot ) d = cot + c ÖRNEK sin. cos d integalinin eşitini bulunuz. cos d = sin + c, sin d= cos + c ÖRNEK 8 sin. cos d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 5 tan d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 9 + cos d integalinin eşitini bulunuz. cos
9 İntegal f() = fl ( ) d ÖRNEK f () = + ve f() = ise f() nedi? ÖRNEK f () = olmak üzee, f() fonksionuna A(, ) noktasından çizilen teğetin eğimi 7 ise f() fonksionunu bulunuz. ÖRNEK f () = 6, f () = ve f() = ise f() nedi? ETKİNLİK Bi intenet sitesi günlük 8 olan ziaetçi saısını attımak için eklam kampanası düzenlio. Kampananın t. günündeki ziaetçi saısı s(t) olmak üzee kampana sonucunda ziaetçi saısı atış hızının s (t) = 6 t olması beklenmektedi. Ziaetçi saısının 56 kişie ulaşması için kampana kaç gün devam etmelidi? s(t) = 6 sl(t)dt = 6 tdt= t dt =. t 6 + c = 6. t + c s(t) =.t c + Kampanadan önceki günlük ziaetçi saısı 8 olduğundan s() = 8 di. s(t) =.t + c s() = c c = 8 s(t) =.t + 8 olu. Ziaetçi saısı t günde.56 a ulaşacaksa s(t) = 56.t + 8 = 56.t = 56 t = 6 O halde, istenen ziaetçi saısına ulaşmak için kampana 6 gün südüülmelidi. 5
10 ALIŞTIRMALAR. Aşağıdaki integallein eşitini bulunuz. a. d. Aşağıdaki integallein eşitini bulunuz. a. d b. d b. d c. d c. d d. d d. d e. d e. log k d f. d f. d 6
11 İntegal. Aşağıdaki integallein eşitini bulunuz.. Aşağıdaki integallein eşitini bulunuz. a. ( + ) d a. d + b. ( ) d b. d + c. ( ) d c. d + d. ( )( + )( + ) d d. d + e. ( ) d e. ( ) + d f. d f. + + d 7
12 İntegal 5. Aşağıdaki integallein eşitini bulunuz. 6. Aşağıdaki integallein eşitini bulunuz. + a. e d a. + d b. ee d b. d + + c. d c. d d. d d. + d e. d e. + d f d f. d + 8
13 İntegal 7. Aşağıdaki integallein eşitini bulunuz. 8. Aşağıdaki integallein eşitini bulunuz. a. cos d a. ( sin + cos ) d b. sin d b. cos d sin c. cos d cos c. + cos d cos d. + sin d sin d. ( + tan ) d e. cot d e. bsin + cos l d f. tan d cot f. cos d sin. cos 9
14 İntegal d 9. ( ) d ifadesinin eşitini bulunuz. d. f( ) d = + c ise f() fonksionunu bulunuz.. f() = c + m d ise f () kaçtı? 5. 6 f( ) d = ise f() fonksionunu bulunuz.. f() = ( cos ) d ise fllb l kaçtı? 6. f () = ve f( ) = ise f() fonksionunu bulunuz.. d ( + ) integalinin eşitini bulunuz. 7. f () =, f ( ) = 6, f() = ise f() kaçtı?. d d dc + m ifadesinin eşitini bulunuz. 8. f () = olmak üzee, f() fonksionuna A(, 8) noktasından çizilen teğetin denklemi = + k ise f() fonksionunu bulunuz.
15 İntegal İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ Değişken Değiştime Yöntemi He integal sousu temel integal kuallaı adımıla çözülmeebili vea çözümü uzun işlemle geektiebili. Öneğin ÖRNEK 5 ( ) d integalinin eşitini bulunuz. ( ) d ifadesinin integalini almak için ( ) açılımını apmak geekebili. Bu da çözümün çok uzun olması demekti. Bu integalde = u alınaak d( ) = du d = du azılısa olan integal değişkeni u a dönüştüülmüş olu. Bu duumda, ( ) d = u du = u ( ) + c = + c bulunu. Bu çözüm öntemi, değişken değiştime öntemidi. ÖRNEK 6 ( ) ( ) d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 7 d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK cos( ) d integalinin eşitini bulunuz.
16 İntegal ÖRNEK 8 f ( ). fl ( d ) integalinin eşitini bulunuz. f() = u alısak f () d = du olu. ÖRNEK 5 d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 5 a + b d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 5 ÖRNEK 5 d integalinin eşitini bulunuz. Aşağıda, Önek 5 deki sonuçtan aalanaak bazı integallein sonucu patik olaak bulunmuştu. İnceleiniz. d = ln + + c + d = ln + c 5 d = ln 5 + c 5 ÖRNEK 5 fl ( ) d integalinin eşitini bulunuz. f ( )
17 İntegal ÖRNEK 55 Aşağıda, Önek 5 teki sonuçtan aalanaak bazı integallein sonucu patik olaak bulunmuştu. İnceleiniz. d = ln + + c + ÖRNEK 59 e + ln d integalinin eşitini bulunuz. d = ln + c + tan d = ln tan + c tan cot cot d = d = ln sin + c tan d= d = ln cos + c ÖRNEK 6 ÖRNEK 56 e +sin cos d integalinin eşitini bulunuz. d integalinin eşitini bulunuz. (n ) ( ) n ÖRNEK 57 e d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 6 Aşağıda, Önek 6 taki sonuçtan aalanaak bazı integallein sonucu patik olaak bulunmuştu. İnceleiniz. ÖRNEK 58 tan cos d integalinin eşitini bulunuz. ( ) ( + ) 5 d = d = ( ) d = ( + ) 6 d =
18 İntegal ÖRNEK 6 e d integalinin eşitini bulunuz. + e ÖRNEK 66 ln d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 6 e d integalinin eşitini bulunuz. + e ÖRNEK 67 ln d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 6 ( e e ) sin( e e ) d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 68 + ln d integalinin eşitini bulunuz. ln ÖRNEK 65 d integalinin eşitini bulunuz. e+ e ÖRNEK 69 cot. ln( sin ) d integalinin eşitini bulunuz.
19 İntegal ÖRNEK 7 + ln d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 7 d integalinin eşitini bulunuz. + 8 ÖRNEK 7 ÖRNEK 7 d integalinin eşitini bulunuz. ( ln ) cos d integalinin eşitini bulunuz. + sin sin = u cos d = du ÖRNEK 7 actan d integalinin eşitini bulunuz. + ÖRNEK 75 d integalinin eşitini bulunuz. ( + ) 5
20 İntegal ÖRNEK 76 + tan d integalinin eşitini bulunuz. tan ÖRNEK 79 Aşağıda, Önek 78 deki sonuçtan aalanaak bazı integallein eşiti patik olaak bulunmuştu. İnceleiniz. + d = actan + c d = d = d = ÖRNEK 77 e d integalinin eşitini bulunuz. e ÖRNEK 8 d integalinin eşitini bulunuz. + ( + ) ÖRNEK 78 actan a d = + c olduğunu gösteiniz. + a a ÖRNEK 8 Aşağıda, Önek 8 deki sonuçtan aalanaak bazı integallein eşiti patik olaak bulunmuştu. İnceleiniz. d + ( ) = actan( ) + c d = actanc m + c + ( ) + d = actan + ( + ) c m + c ÖRNEK 8 d integalinin eşitini bulunuz
21 İntegal ÖRNEK 8 a > olmak üzee, acsin a d = + c olduğunu gösteiniz. a ÖRNEK 86 Aşağıda, Önek 85 teki sonuçtan aalanaak bazı integallein eşiti patik olaak bulunmuştu. İnceleiniz. d = acsin( ) + c ( ) d = acsinc + ( + ) d = acsinc 5 ( ) ÖRNEK 87 d integalinin eşitini bulunuz. + ÖRNEK 8 Aşağıda, Önek 8 teki sonuçtan aalanaak bazı integallein eşiti patik olaak bulunmuştu. İnceleiniz. d = acsin + c d = acsin + c 9 d = acsin + c 5 d = acsin ÖRNEK 88 d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 85 ( + ) d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 89 a d integalinin eşitini bulunuz. 7
22 ALIŞTIRMALAR. d integalinin eşitini bulunuz. 6. ( + ) 5 d integalinin eşitini bulunuz.. + d integalinin eşitini bulunuz d integalinin eşitini bulunuz. 8. ( + )( + ) 5 d integalinin eşitini. d integalinin eşitini bulunuz. + bulunuz.. f n ().f () d integalinin eşitini bulunuz. 9.. ( ) d integalinin eşitini bulunuz. 5. ( + ) ( + ) d integalinin eşitini bulunuz.. d integalinin eşitini bulunuz. 8
23 İntegal. sin b d + l integalinin eşitini bulunuz. 6. cos d integalinin eşitini bulunuz. + sin. cos( + ) d integalinin eşitini bulunuz. 7. sin d integalinin eşitini bulunuz. + cos. e d integalinin eşitini bulunuz ln d integalinin eşitini bulunuz.. e d integalinin eşitini bulunuz. 9. ln d integalinin eşitini bulunuz. 5. ( )e d integalinin eşitini bulunuz.. + ln d integalinin eşitini bulunuz. 9
24 İntegal. cos d integalinin eşitini bulunuz. esin 6. tan e d integalinin eşitini bulunuz. cos. e + ln d integalinin eşitini bulunuz e d integalinin eşitini bulunuz.. e d integalinin eşitini bulunuz. 8. d integalinin eşitini bulunuz. ( ). e d integalinin eşitini bulunuz. e + 9. d integalinin eşitini bulunuz. 5. d integalinin eşitini bulunuz.. cos( ln ). ln d integalinin eşitini bulunuz.
25 İntegal. tan.ln(cos) d integalinin eşitini bulunuz. 6. ln d integalinin eşitini bulunuz.. acsin d integalinin eşitini bulunuz. 7. d 6 + integalinin eşitini bulunuz.. cos d integalinin eşitini bulunuz. + sin 8. d + integalinin eşitini bulunuz.. 7 d integalinin eşitini bulunuz. 9. d 9+ integalinin eşitini bulunuz. 5. d integalinin eşitini bulunuz. ( + ) ln( + ). d + integalinin eşitini bulunuz.
26 İntegal. d + integalinin eşitini bulunuz. 5. d integalinin eşitini bulunuz.. + d integalinin eşitini bulunuz d integalinin eşitini bulunuz.. d integalinin eşitini bulunuz d integalinin eşitini bulunuz. +. d integalinin eşitini bulunuz d integalinin eşitini bulunuz. + +
27 İntegal İçinde a, a vea a + den başka iasonel ifade bulundumaan integalle İçinde a den başka iasonel teim bulundumaan integallede = a sint vea = a cost dönüşümü apılı. ÖRNEK 9 d integalinin eşitini bulunuz. İçinde a den başka iasonel ifade a bulundumaan integallede = a sec t = cos t dönüşümü apılı. ÖRNEK 9 d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 9 d integalinin eşitini bulunuz.
28 İntegal ÖRNEK 9 d integalinin eşitini bulunuz. İçinde a+ den başka iasonel ifade bulunmaan integallede = a tan t dönüşümü apılı. ÖRNEK 9 d + integalinin eşitini bulunuz.
29 İntegal m n İçinde a + b ve a + b bulunan integalle m n İçinde a + b ve a + b bulunan integallei çözeken OKEK(m, n) = t olmak üzee (a + b) = u t dönüşümü apılı. ÖRNEK 95 ( ) + d integalinin eşitini bulunuz. + = u d = u du ve + = u = u olu. ÖRNEK 97 + d integalinin eşitini bulunuz. + ÖRNEK 96 d integalinin eşitini bulunuz. 5
30 ALIŞTIRMALAR. 9 d integalinin eşitini bulunuz. 5. d integalinin eşitini bulunuz.. 5 d integalinin eşitini bulunuz. 6. d ( + ) + integalinin eşitini bulunuz.. d integalinin eşitini bulunuz d integalinin eşitini bulunuz.. d integalinin eşitini bulunuz d integalinin eşitini bulunuz. 6
31 İntegal Tigonometik İfadelein İntegali ÖRNEK sinm. cosnd integalinde m tek, n tek vea çift ise sin = u alınaak değişken değiştime öntemi ile çözüm apılı. sin5 d integalinin eşitini bulunuz. cos = u sin d = du sin d = du olu. ÖRNEK 98 sin 7. cos d integalinin eşitini bulunuz. sin = u cos d = du olu. ÖRNEK 99 cos. sin d integalinin eşitini bulunuz. cos = u sin d = du sin d = du olu. sinm. cosnd integalinde m ve n çift ise, cos = cos ve cos = sin fomülleinden elde edilen cos + cos = sin cos = eşitliklei kullanılaak çözüm apılı. ÖRNEK cos d integalinin eşitini bulunuz. sin = u cos d = du ÖRNEK sin d integalinin eşitini bulunuz. 7
32 İntegal ÖRNEK sin. cosd integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 5 sin 5. cos d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 6 ÖRNEK cos d integalinin eşitini bulunuz. sin. sin 9d integalinin eşitini bulunuz. sin.sin9 = (cos8 cos) Bazı tigonometik teim içeen integallei aşağıda ifade edilmiş olan tes tigonometi fomüllei adımıla çözeiz. ÖRNEK 7 cos. cos d integalinin eşitini bulunuz. sin.cos = [sin( + ) + sin( ) ] sin.sin = [cos( ) cos( + ) ] cos.cos = [cos( + ) + cos( ) ] 8
33 İntegal ÖRNEK 8 sin. cos. cos 5d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK tan d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK tan d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 9 sin. cos( cos ) d integalinin eşitini bulunuz. cos = u sin d = du sin d = du ÖRNEK cot d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK cos d integalinin eşitini bulunuz. sin = u cos d = du olup ÖRNEK cot d integalinin eşitini bulunuz. tan d = ln cos + c = ln cos + c = ln sec + c cot d = ln sin + c 9
34 İntegal ÖRNEK 5 tan d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 8 cosec d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 6 sec. tan 6 d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 9 5 sin d integalinin eşitini bulunuz. cos ÖRNEK 7 sec d integalinin eşitini bulunuz. 5
35 ALIŞTIRMALAR. cos. sin d integalinin eşiti nedi? 6. sin. cos d integalinin eşiti nedi?. cos. sin d integalinin eşiti nedi? 7. sin. cos 6 d integalinin eşiti nedi?. sin. sin d integalinin eşiti nedi? 8. sin. cos d integalinin eşiti nedi?. sin d integalinin eşiti nedi? 9. cos d integalinin eşiti nedi? 5. cos5 d integalinin eşiti nedi?. sin. cos d integalinin eşiti nedi? 5
36 İntegal. cos. cos d integalinin eşiti nedi? 6. cos. sin( sin ) d integalinin eşitini bulunuz.. sin. sin d integalinin eşiti nedi? 7. sin d integalinin eşitini bulunuz.. sin. cos d integalinin eşiti nedi? 8. cot d integalinin eşitini bulunuz.. cos.( cos ) d integalinin eşiti nedi? 9. cosec d integalinin eşitini bulunuz. 5. sin cos sin 5d integalinin eşiti nedi?. 7 sin d integalinin eşitini bulunuz. cos 5
37 İntegal Kısmi İntegal Yöntemi d(u.v) = v.du + u.dv eşitliğinin he iki taafında integal alısak duv (. ) = vdu. + udv. uv. = vdu. + udv. elde edeiz. ÖRNEK ln d integalinin eşitini bulunuz. ln = u d = du udv. = uv. vdu. ÖRNEK e. d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK ln d integalinin eşitini bulunuz. ln = u d = du ÖRNEK.cosd integalinin eşitini bulunuz. = u d = du ÖRNEK actan d integalinin eşitini bulunuz. Kısmi integal öntemi ile sou çözeken hangi fonksiona u dieceğimiz önemlidi. LAPTÜ kelimesinde bulunan haflein dizilişindeki sıa dikkate alınabili. L A P T Ü Üstelle Logaitmikle ac li Tigonometikle ifadele Polinomla 5
38 İntegal ÖRNEK 5 e d integalinin eşitini bulunuz. Patik Yol Bazı kısmi integal soulaını aşağıdaki önekte göüldüğü gibi patik oldan çözebiliiz. Patik olu kullanabilmemiz için, İntegali alınacak ifadenin içinde, logaitmik vea tes tigonometik çapan bulunmamalıdı. Çapanladan bii polinom fonksion olmalıdı. e d Üst üste tüev al Üst üste integal al + e e + e ÖRNEK 6 e e.sind integalinin eşitini bulunuz. e d =.e.e + e + c sin = u cos d = du e d = dv e d = dv e = v = Ι = e. sin d u. v v. du ÖRNEK 7.sind integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 8 ( + ). e d integalinin eşitini bulunuz. 5
39 ALIŞTIRMALAR 5. e. d integalinin eşitini bulunuz. 6. accos d integalinin eşitini bulunuz... ln( ) d integalinin eşitini bulunuz. 7..sin d integalinin eşitini bulunuz.. 9e d integalinin eşitini bulunuz. 8. e cos d integalinin eşitini bulunuz.. d integalinin eşitini bulunuz. e 9. sin d integalinin eşitini bulunuz ln d integalinin eşitini bulunuz...sind integalinin eşitini bulunuz. 55
40 İntegal..cosd integalinin eşitini bulunuz. 6. ( + ) e d integalinin eşitini bulunuz.. sin d integalinin eşitini bulunuz. 7. ( ) sin d integalinin eşitini bulunuz.. e + ln d integalinin eşitini bulunuz. 8. e d ed + ed integalinin eşitini bulunuz.. ( + )cosb l d integalinin eşitini bulunuz. 9. d + e d + e d integalinin eşi- e tini bulunuz d integalinin eşitini bulunuz.. sin d sin d integalinin eşitini bulunuz. 56
41 İntegal Basit Kesilee Aıma Yöntemi Çapanlaa aıma konusunda öğendiğiniz basit kesilee aıma öntemleini kullanaak, kesili biçimde ifade edilmiş bazı integal soulaını çözebiliiz. ÖRNEK 5 + d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 9 ifadesini basit kesileine aıaak ( )( ) d integalinin eşitini bulunuz. ( )( ) Paın deecesi padanın deecesinden büük vea eşit ise önce polinom bölmesi apılı. ÖRNEK + integalinin eşitini bulunuz. 57
42 İntegal ÖRNEK + d integalinin eşitini bulunuz. ( )( + ) ÖRNEK + d integalinin eşitini bulunuz. ( ) ÖRNEK + + d integalinin eşitini bulunuz. ( + ) ÖRNEK 5 + d integalinin eşitini bulunuz. ( )( + ) 58
43 İntegal ÖRNEK 6 + d integalinin eşitini bulunuz. ( ) ÖRNEK 8 e d integalinin eşitini bulunuz. e e+ ÖRNEK 9 d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 7 cos d integalinin eşitini bulunuz. sin sin 59
44 ALIŞTIRMALAR 6. d integalinin eşitini bulunuz. 6. d ( + )( ) integalinin eşitini bulunuz.. d integalinin eşitini bulunuz d integalinin eşitini bulunuz.. d integalinin eşitini bulunuz. 8. d integalinin eşitini bulunuz.. d + integalinin eşitini bulunuz. 9. cos d integalinin eşitini bulunuz. sin sin 5. d integalinin eşitini bulunuz. +. e d integalinin eşitini bulunuz. e e 6
45 İntegal. d integalinin eşitini bulunuz d integalinin eşiti nedi? ( ). d integalinin eşitini bulunuz. e e 7. + d integalinin eşitini bulunuz. ( ) d integalinin eşitini bulunuz. ( + )( + ) d integalinin eşitini bulunuz d ( + ) integalinin eşitini bulunuz. 9. d integalinin eşitini bulunuz d integalinin eşiti nedi? d integalinin eşitini bulunuz. + 6
46 İntegal BELİRLİ İNTEGRAL Riemann Toplamı = eğisi ekseni ve = doğusula sınılanan alanının aklaşık değeini dikdötgenlee aıaak hesaplaalım. f() = f() = f() = 5 6 Şekil - I Şekil - II Şekil - I de oluşan üç dikdötgenin alanlaı toplamı = ( ).f() + ( ).f() + ( ).f() = [f() + f() + f() ] = ( + + ) = 5 olu. 5 Şekil - II de oluşan altı dikdötgenin alanlaı toplamı =.( f ) +. fc m+. fc m+ +. fc m 5 = ; f() + fc m+ fc m+ + fc me n nn ( + )( n+ ) = 6 5 olduğunu hatılaınız. = ; E = 8 [ ] = = = 6, [, ] aalığını n paçaa aıdığımızda oluşan alt dikdötgenlein alanlaı toplamı:... ( n ) > c m + c m + c m + + c m H = n n n n n..( n ) = G n n n n = n 7 [ (n ) ] = 7 ( n ) n( n ) n ; 6 E = 9( n )( n ) n Bu ifadede paça saısı olan n eine değele azaak oluşan alt dikdötgenlein alanlaı toplamını bulabiliiz. Bazı n değelei için bulunan sonuçla aşağıdaki tabloda gösteilmişti. İnceleiniz. olu. Paça sa s : n 6 Toplam alan: 9(n )(n ) n 5 6,87 7,695 7,965 8,68 8,8657 8,98655 Tabloda göüldüğü gibi n çok büüdükçe toplam alan 9 a aklaşmaktadı. 6
47 İntegal f() = f() = 5 6 Şekil - I Şekil - I deki üç dikdötgenin alanlaı toplamı: Şekil - II f() + f() + f() = = ( + + ) = Şekil - II de oluşan altı dikdötgenin alanlaı toplamı: 6. fc m+. fc m+ +. fc m = ; fc m+ fc m+ + fc me = = c m + c m + + c m G 6 = ; E = =,75 8 [, ] aalığını n paçaa aıdığımızda oluşan üst dikdötgenlein alanlaı toplamı:... n = c m + c m + + c m G = n n n n.. n 7 = G = n n n n n [ n ] = = 7 nn ( + )( n+ ) ; E n 6 9( n+ )( n+ ) Bu ifadede n eine değele azaak oluşan üst dikdötgenlein alanlaı toplamını bulabiliiz. n olu. Paça sa s : n 6 Toplam alan: 9(n + )(n + ) n,75,95,565 9,6865 9,55 9,55 Tabloda da göüldüğü gibi n çok büüdükçe toplam alan 9 a aklaşmaktadı. = eğisi, ekseni ve = doğusunun sınıladığı alanın aklaşık değeini alt ve üst dikdötgenle oluştuaak bulduk. Bu saısal işlemlei aşağıdaki gibi genelleştiebiliiz. [, ] kapalı aalığı = < <... < n < n = olmak üzee, k {,,,... n } için [ k, k ] şeklinde n tane kapalı alt aalığa bölünmüştü. k = k k, f() = ve t k [ k, k ] için oluşan alanla toplamı Bu toplama Riemann toplamı deni. n için k olacağından n / k k biçiminde gösteili. n " k = deni ve lim f( t ) T = d n / f(t k ) k biçiminde azılabili. k = n / f(t k ) k toplamına belili integal k = 6
48 İntegal İntegal Hesabının Temel Teoemi f, [a, b ] aalığında tanımlı, integallenebilen bi fonksion olmak üzee, (a, b) için F () = f() ise b f()d = F( ) = F(b) F(a) dı. a b a ÖRNEK f( ) d = A, f( ) d = B, a. f( ) d = C ise a nın A, B, C cinsinden değeini bulunuz. ÖRNEK Aşağıda bazı belili integallein sonucu bulunmuştu. İnceleiniz. d = ÖRNEK sin d d = 6 = a ( ) d = 9 ise a R + kaçtı? Belili İntegalin Özelliklei fd ( ) = a a b f( ) d = f( ) d a b a < b < c olmak üzee, c a fd ( ) = fd ( ) + fd ( ) a a b b kf.() d= k f() d b a a b b 6 f ( )! g ( )@ d = fd ( )! gd ( ) a a a b c b ÖRNEK sinb ld integalinin eşitini bulunuz. 6 6
49 İntegal ÖRNEK d ( ) integalinin eşitini bulunuz. + ÖRNEK 7 fd ( ) + fd ( ) + fd ( ) 8 ifadesinin eşitini bulunuz. 8 ÖRNEK 5 ln e d integalinin eşitini bulunuz. + e f() tek fonksion ise a fd ( ) = dı. a ÖRNEK 6 a ve b bie tam saı olmak üzee b ( + ) d = ise b kaçtı? a f() çift fonksion ise a a f ()d = f()d ti. ÖRNEK 8 a ( + sin ) d integalinin eşitini bulunuz. 65
50 İntegal ÖRNEK 9 f () fonksionu (, ) için çift fonksiondu. f() = ve f() = 6 ise fl ( ) d kaçtı? ÖRNEK 5 9 d integalinde = sinu dönüşümü apılısa hangi integal elde edili? ÖRNEK 5 = f() fonksionunun gafiğine A(, ) noktasından çizilen teğetin eğimi di. f. ll ( ) d= 8 ise f() kaçtı? ÖRNEK 5 d integalinde = cost dönüşümü apılısa hangi integal elde edili? ÖRNEK 5 ln e e d integalinde e = u dönüşümü apı- + e lısa hangi integal elde edili? 66
51 İntegal ÖRNEK 5 f(5 )d = a ise f()d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK fd ( = a ise f() d in a cinsinden değeini bulunuz. ÖRNEK 55 f( ) d = b ise f() d integalinin eşitini bulunuz. 5 ÖRNEK 57 + f() = * olmak üzee,, > f() d integalinin eşitini bulunuz. 67
52 İntegal ÖRNEK 58 d( ) ifadesinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 6 f() = + olmak üzee, d(f ()) ifadesinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 59 d(cos) ifadesinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 6 d ( + ) ifadesinin eşitini bulunuz. + ÖRNEK 6 + cos d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 6 d. ( ) ifadesinin eşitini bulunuz. 68
53 İntegal ÖRNEK 6 + sin d integalinin eşitini bulunuz. MUTLAK DEĞER İÇEREN İFADELERİN İNTEGRALİ f ( ) d integalinin eşiti bulunuken: a b f() in (a, b) aalığında işaeti inceleni. Bulunan aalıklaa göe, integal ugun paçalaa aılı. He paçanın belili integali bulunu. ÖRNEK 66 d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 65 6 sin d+ cos d integalinin eşitini bulunuz. 6 ÖRNEK 67 d integalinin eşitini bulunuz. 69
54 İntegal ÖRNEK 68 + d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 7 + d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 69 d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 7 ( + ) d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 7 d integalinin eşitini bulunuz. 7
55 İntegal ÖRNEK 7 sin d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 75 ln e d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 76 ln d integalinin eşitini bulunuz. e Patik Yol... = sin d = sin d = sin d = Bu kual cos için de geçelidi. ÖRNEK 7 Aşağıda bazı integallein eşiti bulunmuştu. İnceleiniz. cos d = sin d = 6 sin d = cos d = Belili İntegalin Tüevi d d v ( ) f(t)dt = v ().f(v()) u ().f(u()) u ( ) ÖRNEK 77 d d cos tdt ifadesinin eşitini bulunuz. 7
56 İntegal ÖRNEK 78 d d ln e t dt ifadesinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 8 f() = ( t + ) dt f () kaçtı? ÖRNEK 79 d d actan tdt ifadesinin eşitini bulunuz. 5 ÖRNEK 8 f() = + t + dt fonksionunun = noktasın- t + daki teğetinin eğimi kaçtı? ÖRNEK 8 f() = tan actan t dt ise f () nedi? ETKİNLİK f(t); bi şeke fabikasının işletmee açılışından t a sona üetilen (ton olaak) şeke miktaını göstemektedi. İlk alık üetim bilgileinden üetim hızının f (t) = + 6t olduğu belilenmişti. Üetimin f (t) hızıla devam ettiği düşünüleek sonaki a bounca üeteceği şeke miktaını bulunuz. 7
57 ALIŞTIRMALAR 7. Aşağıdaki belili integallein eşitini bulunuz.. Aşağıdaki belili integallein eşitini bulunuz. a. d a. d + b. d b. d + c. cos d c. d + d. ( ) d d. d e. d e. e d 7
58 İntegal. Aşağıdaki belili integallein eşitini bulunuz. 5 a. ( + ) d. Aşağıdaki belili integallein eşitini bulunuz. a. d b. ( + sin ) d b. ( + ) d c. d + c. (. + ) d d. ( 5 + ) d d. + d e. ( sin + + cos ) d e. + + d 7
59 İntegal 5. Aşağıdaki belili integallein eşitini bulunuz. 6. Aşağıdaki belili integallein eşitini bulunuz. a. + d a. cos d b. + d b. + sin d c. cos d c. sin d+ cos d d. sin d d. d( sin ) e. sin cos d e. d( ) 75
60 İntegal 7. = f() fonksionunun gafiğine göe A(, ) noktasından çizilen teğetin eğimi tü..f () d = ise f() kaçtı?. d d e + sin d ifadesinin eşiti nedi? cos + e 8. d integalinde = cost dönüşümü 6. d d et+ lnt dt ifadesinin eşiti nedi? apılısa hangi integal elde edili? 9. ln e d integalinde e = t dönüşümü e+ e ln apılısa hangi integal elde edili?. f() = ln t dt ise f () kaçtı? + 5. f( )d = 6 ise f() d integalinin eşiti nedi? 8 5. f() = sin t dt ise f () fonksionunu bulunuz.. [ f() ]d = A ise f() d integalinin A cinsinden değei nedi? 6. f() = t dt fonksionunun = nokta- t + sındaki teğetinin eğimi kaçtı? 76
61 İntegal BELİRLİ İNTEGRAL YARDIMIYLA ALAN HESABI = 6 a A b A = f() c 6 7 Yukaıdaki gafikte [a, b ] için f() [b, c ] için f() dı. Taalı bölgelein alanlaı A ve A olmak üzee, A = b f() d ve A = f() d ti. a b c Bu duumu aşağıdaki gibi bileştiebiliiz. A + A = f ( ) d a c = f() ÖRNEK 8 Aşağıda bazı bölgele ve bu bölgelein alanlaına kaşılık gelen integalle ifade edilmişti. İnceleiniz. = + ÖRNEK 8 S S = f() = Şekilde ifade edilen taalı alanla için S = b, S = b ise f()d integalinin eşiti kaçtı? 77
62 İntegal ÖRNEK 85 ÖRNEK 87 S S S = f() = Şekilde S = b, S = b f() d = b ise S kaç b di? Şekildeki taalı bölgenin alanını bulunuz. ÖRNEK 86 B C ÖRNEK 88 A O D 6 E = + F Şekilde veilenlee göe f()d kaçtı? 6 = f() Şekildeki taalı bölgenin alanını bulunuz. 78
63 İntegal ÖRNEK 89 ÖRNEK 9 = + = ln Şekildeki taalı bölgenin alanını bulunuz. Şekildeki taalı alanı bulunuz. ÖRNEK 9 ÖRNEK 9 = e π π = sin Şekildeki taalı bölgenin alanını bulunuz. Şekildeki taalı alanı bulunuz. 79
64 İntegal ÖRNEK 9 = ÖRNEK 96 f() = paabolü, = ve = doğulaı ile ekseninin sınıladığı bölgenin alanını bulunuz. Şekildeki taalı bölgenin alanı kaç b di? ÖRNEK 9 = ÖRNEK 97 e Şekildeki taalı bölgenin alanı kaç b di? f() = eğisi, = ve = doğulaı ile ekseninin sınıladığı bölgenin alanını bulunuz. ÖRNEK 95 f() = eğisi, = ve = doğulaı ve ekseninin sınıladığı bölgenin alanı kaç b di? İstenen alan A olsun. ÖRNEK 98 f() = paabolü, = ve = doğulaı ile ekseninin sınıladığı bölgenin alanını bulunuz. 8
65 İntegal b = f() ÖRNEK = eğisi ile ekseni aasında kalan bölgenin alanını bulunuz. a = f() eğisi = a ve = b doğulaı ile ekseninin sınıladığı bölgenin alanı b T.A = f ( ) d = d di. a a b ÖRNEK 99 = + eğisi, = ve = doğulaı ile ekseninin sınıladığı bölgenin alanını bulunuz. ÖRNEK = eğisi, = ve = doğulaı ile ekseninin oluştuduğu bölgenin alanını bulunuz. ÖRNEK = ( ) eğisi = ve = doğulaı ile ekseninin sınıladığı bölgenin alanını bulunuz. ÖRNEK = v Şekildeki taalı bölgenin alanını bulunuz. 8
66 İntegal ÖRNEK ÖRNEK 6 = ln = Şekildeki taalı bölgenin alanını bulunuz. Şekildeki taalı bölgenin alanını bulunuz. = = olu. ÖRNEK 7 ÖRNEK 5 = e = paabolü ile ekseni aasında kalan bölgenin alanını bulunuz. Şekildeki taalı bölgenin alanı kaç b di? 8
67 İntegal ÖRNEK 8 = paabolü ile ekseni aasında kalan bölgenin alanını bulunuz. İKİ EĞRİ ARASINDAKİ ALAN = g() = f() a b [a, b ] aalığında f() g() olmak üzee, T.A = (() f g ()) d ti. a b ÖRNEK 9 ÖRNEK = paabolü ile ekseni aasında kalan bölgenin alanını bulunuz. f() = g() = Şekildeki taalı bölgenin alanını bulunuz. ÖRNEK = eğisi ile ekseni aasında kalan bölgenin alanını bulunuz. 8
68 İntegal ÖRNEK = eğisi ile = + doğusu aasında kalan bölgenin alanını bulunuz. ÖRNEK = ile = bölgenin alanını bulunuz. paabollei aasında kalan ÖRNEK = eğisi ile = doğusu aasında kalan bölgenin alanını bulunuz. ÖRNEK 5 d integalinin eşitini bulunuz. 8
69 İntegal ÖRNEK 6 d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 9 6 d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 7 6 d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 9 d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 8 d integalinin eşitini bulunuz. 85
70 İntegal ÖRNEK Şekilde ifade edilen taalı alanla için S = 6.S ise a kaçtı? = S S a ÖRNEK ÖRNEK = e m d + log d ifadesinin eşitini bulunuz. Şekildeki taalı alan m b ise m kaçtı? ÖRNEK ^ hd integalinin eşitini bulunuz. 86
71 İntegal ÖRNEK 5 f(b) f() f(a) a b Şekilde gafiği veilen bie bi ve öten f:[a, b ] [f(a), f(b) ] fonksionunun tesi f di. b fb ( ) f( ) d + f ( ) d a fa ( ) ifadesinin eşitini bulunuz. ETKİNLİK Yandaki esimde bi gölün kesiti veilmişti. Bu kesitin bi paabol olduğu biliniosa kesitin alanını a ve h cinsinden bulunuz. a h 87
72 ALIŞTIRMALAR 8.. Aşağıdaki taalı alanlaa kaşılık gelen belili integallei azınız. = f() S S a. = Gafikte ifade edilen S ve S alanlaı için S = b, S = 6 b ise fd ( ) kaçtı? b.. 5 S S S = f() = Gafikte ifade edilen S, S ve S alanlaı için S = 5 b, S = 6 b, fd ( ) = ise S kaç b di? 5 c. = =. = f() a S b S c d. Gafikte ifade edilen S ve S alanlaı için c fd ( ) = 5, f ( ) d= 9 ise S kaç b a a di? c = = 88
73 İntegal 5. Aşağıdaki taalı alanlaın eşitini bulunuz. a. = 6. Aşağıdaki taalı alanlaın eşitini bulunuz. a. = b. b. = = c. = c. = d. = d. = ln 89
74 İntegal 7. Aşağıdaki taalı alanlaın eşitini bulunuz. a. = 8. = e eğisi, = ve = doğulaı ile ekseninin oluştuduğu bölgenin alanı kaç b di? = 9. = eğisi, = ve = doğulaı ile ekseninin sınıladığı bölgenin alanı kaç b di? b. = = 5. = eğisi, = e ve = doğulaı ile c. = ekseni aasında kalan bölgenin alanı kaç b di?. = eğisi ile ekseni aasında kalan bölgenin alanı kaç b di? d. = e = e. = eğisi ile ekseni aasında kalan bölgenin alanı kaç b di? 9
75 İntegal. = 9 paabolü ile = + doğusu aasında kalan bölgenin alanı kaç b di? 8. = paabolü ile = paabolü aasında kalan bölgenin alanı kaç b di?. = eğisi ile = doğusu aasında kalan bölgenin alanı kaç b di? 9. = doğusu ile = eğisi aasında kalan bölgenin alanı kaç b di? 5. = ile = paabollei aasında kalan bölgenin alanı kaç b di?. + = eğisi ile = doğusu aasında kalan bölgenin alanı kaç b di? 6. = doğusu ile = eğisi aasında kalan bölgenin alanı kaç b di?. = 6 paabolü ile = + + paabolü aasında kalan bölgenin alanı kaç b di? 7. = doğusu ile = eğisi aasında kalan bölgenin alanı kaç b di?. + = eğisi ile = doğusu aasında kalan bölgenin alanı kaç b di? 9
76 İntegal BELİRLİ İNTEGRAL YARDIMIYLA HACİM HESABI ÖRNEK 7 = eğisi, = ve = e doğulaı ile ekseni- = f() nin sınıladığı bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmini bulunuz. a b = f() eğisi, ekseni, = a ve = b doğulaının sınıladığı kapalı bölge, ekseni etafında 6 döndüüldüğünde oluşan cismin hacmi b b olu. V = d = f ( ) d a a ÖRNEK 6 = doğusu = doğusu ve ekseninin sınıladığı bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmi kaç b tü? = I. Yol ÖRNEK 8 = eğisi, = ve = doğulaının ekseni ile sınıladığı bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmini bulunuz. 9
77 İntegal ÖRNEK 9 = eğisi, = ve = doğulaı ile ekseninin oluştuduğu bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmini bulunuz. ÖRNEK = e eğisi, = ve = doğulaıla sınılanmış bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmi kaç b tü? ÖRNEK = sec eğisi, = ve = ÖRNEK = sin eğisi, = ve = doğulaı ile ekseninin oluştuduğu bölge ekseni etafında 6 dön- düülüo. Oluşan cismin hacmini bulunuz. doğulaı ile ekseninin oluştuduğu bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmi kaç b tü? 9
78 İntegal b a = f() ÖRNEK = eğisi, = ve = doğulaı ve ekseninin sınıladığı bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmi kaç b tü? = f() eğisi, = a ve = b doğulaı ile ekseninin sınıladığı bölge ekseni etafında 6 döndüüldüğünde oluşan cismin hacmi b b olu. V = d = 6 f ( d a a ÖRNEK = doğusu, = ve = doğulaı ile ekseninin oluştuduğu bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmi kaç b tü? ÖRNEK 5 = ln eğisi, ekseni ve = doğusu aasında kalan bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmi kaç b tü? 9
79 İntegal = g() = f() ÖRNEK 7 = eğisi ile = eğisinin aasında kalan bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmini bulunuz. a b = f() ve = g() eğileinin aasında kalan bölge ekseni etafında 6 döndüüldüğünde oluşan cismin hacmi, V = 6 f( ) g( d ti. a b ÖRNEK 8 ÖRNEK 6 = eğisi, = doğusunun aasında kalan bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmi kaç b tü? = + eğisi ile = doğusu aasında kalan bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmini bulunuz. 95
80 İntegal ETKİNLİK a. b. h R Taban aıçapı, üksekliği h olan dik koninin hacminin. h olduğunu gösteiniz. Yaıçapı R olan küenin hacminin R oldu- ğunu gösteiniz. 96
81 ALIŞTIRMALAR 9. = eğisi, = ve = doğulaı ile ekseninin sınıladığı bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmi kaç b tü? 5. = sin eğisi, = ve = doğulaının ekseni ile oluştuduğu bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmi kaç b tü?. = eğisi, = ve = doğulaı ve ekseninin oluştuduğu bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmi kaç b tü? 6. = e eğisi, = ve = doğulaı ile ekseninin oluştuduğu bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmini bulunuz.. = eğisi, = ve = doğulaı ile ekseninin sınıladığı bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmi kaç b tü? 7. = eğisi, = ve = doğulaının ekseni ile oluştuduklaı bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmi kaç b tü?. = eğisi, = ve = doğulaının ekseni ile oluştuduğu bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmi kaç b tü? 8. = eğisi ile = doğusu aasında kalan bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmi kaç b tü? 97
82 İntegal 9. = eğisi ile = eğisi aasında kalan bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmi kaç b tü?. = paabolü, = ve = doğulaı ile sınılanmış bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmi kaç b tü?. = eğisi = doğusu ve ekseninin sınıladığı bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmi kaç b tü?.. = eğisi, = ve = doğulaı ile ekseninin sınıladığı bölgenin ekseni etafında döndüülmesi ile oluştuulan cismin hacmi kaç b tü?. = eğisi ile = doğusunun sınıladığı bölgenin ekseni etafında 6 döndüülmesi ile oluşan cismin hacmi kaç b tü? 5. = eğisi ile ekseni aasında kalan bölgenin ekseni etafında 8 döndüülmesi ile oluştuulan cismin hacmi kaç b tü?. = + eğisi ile = doğusunun sınıladığı bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmi kaç b tü? 6. = bağıntısının gafiği ile ekseni aasında kalan bölgenin ekseni etafında 6 döndüülmesi ile oluştuulan cismin hacmi kaç b tü? 98
83 İntegal İNTEGRALİN FİZİKSEL ANLAMI t. saniedeki hız denklemi V(t) olan bi cismin [t, t ] aalığında aldığı ol (t) = Vtdt () di. t t ÖRNEK 9 V Yeden ükseklikte bulunan bi cisim V ilk hızıla ukaı doğu düşe olaak atılıo. Bu cismin t. saniedeki hız denklemi V(t) = V t di. Cismin atıldıktan sanie sona eden üksekliği V olduğuna göe a. Çıkış süesini bulunuz. b. Cismin atıldığı noktadan çıkacağı maksimum ükseklik 5 m olduğuna göe cismin ilk hızını bulunuz. ÖRNEK Bi cismin hızı V(t) = t + m/sanie di. 5 t [, ] aalığında alınan olu bulunuz. 99
84 İntegal ÖRNEK Bi bilenin akışkan bi madde içinde ivmesi a = V bağıntısı ile değişmektedi. Bile bu akışkan içine m/sanielik ilk hızla giese kaç sanie sona hızı ilk hızının aısına düşe? ÖRNEK ekseni bounca haeket eden kg lık bi cismin konumu = t + t bağıntısına göe değişmektedi. Hehangi bi t anı için kinetik enejii t anı için ivme ve kuvveti t anında veilen gücü [, ] zaman aalığındaki apılan işi bulunuz. ETKİNLİK Geog Fiedich Benhad Riemann (86-866) Analiz ve difeansiel geometi dalında çok önemli katkılaı olan Alman matematikçidi. Riemann integali olaak bildiğimiz belili integal kavamını otaa komuştu. Riemann ilk desini 85 te vedi ve bu desle sadece Riemann geometisinin temelleini kumakla kalmadı anı zamanda daha sona Einstein in izafiet teoisinde kullanacağı apılaın da temelleini attı. 857 de Götingen Ünivesitesi nde özel pofesölük kademesine tefi etti ve 859 da pofesö oldu. Bu matematikçinin ismi anı zamanda zeta fonksionu, Riemann hipotezi, Riemann manifoldlaı ve Riemann üzelei ile de bağlantılıdı.
85 TEST Saı Belisiz Poblemlei İntegal. ( + ) d integalinin eşiti nedi? A) + c B) c C) + c D) 9 + c E) + + c 5. d integalinin eşiti nedi? + A) + ln + + c B) + ln + + c C) ln + + c D) + ln + + c E) ln + + c. d integalinin eşiti nedi? 6. cos d integalinin eşiti nedi? A) + c B) + c C) D) + c E) + c + c A) sin + c B) sin + c C) sin + c D) cos + c E) cos + c. d integalinin eşiti nedi? A) ( ) + c B) ( ) + c C) ln + c D) ln E) + c + c 7. + d integalinin eşiti nedi? + A) actan + c B) accot + c C) actan + c D) + accot + c E) + actan + c. d integalinin eşiti nedi? 8. d integalinin eşiti nedi? A) C) E) ln + c B) ln + c ln + c D) ln + c ln + c A) 5 + c B) + c 5 C) 5 E) + c c D) + c 5
86 İntegal 9. cos d integalinin eşiti nedi? A).cos + c B) sin + c C) sin + c D).sin + c E) sin + c. d actan d ifadesinin eşiti nedi? d A) accot + c B) actan + c C) actan D) accot E) acsin. ( + ) d integalinin eşiti nedi? A) ( + ) + c B) ( + ) + c C) ( + ) + c D) ( + ) + c E) 6( + ) + c. d(sin) integalinin eşiti nedi? A) cos + c B) cos C) sin D) sin + c E) sin + c. ( e + e ) d integalinin eşiti nedi? A) e + e + c B) e + c C) e.e + c D).e +.e + c E) e +.e + c 5. [ f() ]d = + + c ise f() kaçtı? A) 5 B) C) 7 D) E) 9. d integalinin eşiti nedi? A) accos + c B) acsin + c C) accos + c D) acsin + c E) actan + c 6. f () = + ve f() = ise f() kaçtı? A) B) C) D) E). E. B. C. A 5. C 6. C 7. E 8. A 9. A. C. E. B. C. D 5. C 6. E 6
87 TEST Belisiz İntegal. ( ) d integalinin eşiti nedi? 5. sin.cos d integalinin eşiti nedi? A) c B) c C) c D) c E) c A) cos + c B) cos + c C) cos + c D) cos + c E) cos + c. + d integalinin eşiti nedi? 6. f () = ve f( ) = ise f() kaçtı? A) C) + ln + c B) + ln + c + ln + + c D) + ln + c E) ln + c A) B) C) D) E). sec d integalinin eşiti nedi? A) tan + c B) cot + c C) sec +c D) cosec + c E) cos + c 7. f () = olmak üzee f() eğisinin (, ) noktasındaki teğeti + = ise f() kaçtı? A) B) 5 C) 6 D) 7 E) 8. d integalinin eşiti nedi? cot A) tan + c B) tan + c C) + cot + c D) + tan + c E) + cot + c 8. d d d ifadesinin eşiti nedi? + A) actan B) accot C) actan + c D) E) + + c + 7
88 İntegal 9. d[f() ] = ( + ) d ve f( ) = ise f() kaçtı? A) B) 5 C) 6 D) 7 E) 8. [ f().g () + g().f () ] d integalinin eşiti nedi? A) f().g() + c B) f() + g() + c f ( ) g ( ) C) + c D) + c g ( ) f ( ) E) f [g()] + c. [ f() + ] d = d( + ) ise f() kaçtı? A) B) C) D) E) 5. d integalinin eşiti nedi? A) C) + + c B) b + l + c + c D) b l + c E) + c d. f() = cos d ise flb l kaçtı? d 8 A) D) B) E) C) 5. ( sin cos) d integalinin eşiti nedi? A) + sin + c B) sin + c C) + cos + c D) cos + c E) + cos + c. + d integalinin eşiti nedi? A) C) E) + c B) + + c + c D) + + c + + c d integalinin eşiti nedi? A) 6 + c B) ln 6 D) 6. + c C) ln c E) + c ln ln 6. + c ln 6. B. B. A. D 5. C 6. C 7. C 8. D 9. D. C. A. D. A. D 5. E 6. B 8
89 TEST 6 Belisiz İntegal. + d integalinin eşiti aşağıdakile den hangisidi? 5. ln d integalinin eşiti aşağıdakileden hangisidi? A) ln c B) ln( + + 5) + c C) ln( + + 5) + c D) ln + + c A) C) ln + c B) ln ln + c ln E) ln + c + c D) ln + c E) ln( + ) + c. e d integalinin eşiti aşağıdakileden han- gisidi? 6. tan d integalinin eşiti aşağıdakileden cos hangisidi? A) tan + c B) tan + c A) e + c B) e + c C) e + c D) e + c E) e + c C) tan + c D) tan + c E) tan + c. e + ln d integalinin eşiti aşağıdakileden hangisidi? 7. sec d integalinin eşiti aşağıdakileden tan hangisidi? A) e + c B) e ( ) + c C) e + c D) e ( ) + c E) e ( ) + c A) tan + c B) tan + + c C) tan + c D) tan + c E) tan + c. cos d integalinin eşiti aşağıdakileden + sin hangisidi? 8. d integalinin eşiti aşağıdakileden e+ e hangisidi? A) ln + sin + c B) ln sin + c C) ln + cos + c D) ln cos + c E) ln sec + c A) ln(e + e ) + c B) actan(e ) + c C) ln( + e ) + c D) actan(e ) + c E) actan(e + e ) + c 5
90 İntegal 9. + d integalinin eşiti aşağıdakileden + hangisidi?. sec. tan d integalinin eşiti aşağıdakileden + sec hangisidi? A) ln( + ) + actan + c B) ln( + ) + actan + c A) ln + tan + c B) ln + sec + c C) ln + cot + c D) ln sec + c E) ln + cosec + c C) ln( + ) + actan + c D) ln( + ) actan + c E) ln( + ) actan + c. d integalinin eşiti aşağıdakileden 9. d + 9 integalinin eşiti aşağıdakileden hangisidi? A) C) actan + c B) actan + c actan + c D) actan c hangisidi? A) 9 + c B) 9 + c C) 9 + c D) c E) c E) actan + c. d integalinin eşiti aşağıdakileden 6. sec d integalinin eşiti aşağıdakileden cosec hangisidi? hangisidi? A) acsin 6 + c B) accos + c A) ln sec + c B) ln sin + c C) ln cos + c D) ln cosec + c E) ln tan + c C) E) accos + c D) acsin + c acsin + c. A. D. B. A 5. C 6. D 7. C 8. B 9. A. C. A. B. C. D 6
91 TEST 9 Belisiz İntegal..e d integalinin eşiti nedi? A) e e c m + c B) c + m + c C) e c m + c D) e c E) e c m + c + m + c 5. c mln d integalinin eşiti nedi? A) ( ln ) C) ( ln ) ( ln ) + c B) ln + + c ( ln ) + + c D) + ln + c E) ( ln ) ln + c..sin d integalinin eşiti nedi? A) sin + cos + c B) sin + ( )cos + c C) cos + sin + c D) cos + ( )cos + c E) sin cos + c 6. e d + e d integalinin eşiti nedi? A) e ( + ) + c B) e ( + ) + c C) e ( ) + c D) e ( + + ) + c E) e ( ) + c. ln d integalinin eşiti nedi? A) (ln ) + c B) c ln + m + c C) ln c m + c D) c ln m + c E) c ln m + c 7..sec d integalinin eşiti aşağıdakileden hangisidi? A).tan + cos + c B).tan + sin + c C).tan sin + c D).tan + ln cos + c E).tan ln cos + c. accos d integalinin eşiti nedi? A).accos + c B).accos + c C).acsin + c D).acsin + c E).accos + c 8. e sin d integalinin eşiti nedi? A) B) C) D) E) e (cos sin) + c e (sin cos) + c e (sin + cos) + c e (cos sin) + c e (sin cos) + c
92 İntegal 9. d integalinin eşiti aşağıdakileden han- + gisidi?. + + d integalinin eşiti aşağıdakileden ( )( ) hangisidi? A) ln + + c B) ln + + c A) ln ( ) 5. ( ) 5. + c B) ln ( ) 6 ( ) + c C) E) ln + + ln + c D) ln + c + + c ( ). C) ln ( ). + c D) ln ( ) ( ) 6 ( ). E) ln ( ) + c + c. d integalinin eşiti aşağıdakileden hangisidi? + A) lnc m + c B) ln c C) ln + c D) ln + c E) ln + c +. d integalinin eşiti nedi? ( + ) A) ln + + B) ln C) ln + + D) ln E) ln + + c + c + c + c + c. d + + integalinin eşiti aşağıdakileden hangisidi?. d integalinin eşiti aşağıdakileden hangisidi? + + A) lnc m + c B) ln c A) ln + + c B) ln + + c C) ln c D) lnc m + c + C) ln + + c D) ln + + c + E) ln + + c E) ln + + c. A. B. C. B 5. B 6. A 7. D 8. E 9. C. B. C. A. B. D
93 TEST Belili İntegal. d integalinin eşiti nedi? e A) B) C) D) E) 5. cos.cos d integalinin eşiti aşağıdakileden hangisidi? A) B) C) D) E) 8. ( + ) d integalinin eşiti aşağıdakileden hangisidi? A) 6 5 B) C) 5 D) E) ( + ) d integalinin eşiti aşağıdakile- ( + ) + den hangisidi? A) ln B) ln C) ln D) ln E) ln5. d integalinin eşiti nedi? + A) B) 8 C) 6 D) E) 7. d integalinin eşiti nedi? ln e e A) B) e C) ln D) ln E). sin d integalinin eşiti aşağıdakileden cos hangisidi? A) B) C) D) E) 8. ln d integalinin eşiti nedi? A) 8(ln) B) (ln) C) 8(ln) D) 8(ln) E) (ln)
94 İntegal 9. d integalinde = sint dönüşümü apılısa aşağıdakileden hangisi elde edili? A) tdt B) dt C) ( t) dt D) dt E) ( t) dt. + sin d integalinin eşiti aşağıdakileden hangisidi? A) B) C) D) E) 5. cos d integalinin eşiti nedi? 7. f().f () d = olmak üzee f() fonksio- nunun gafiği (, ) noktasından geçmektedi. Buna göe f() nin pozitif değei kaçtı? A) 6 B) 5 C) D) E) A) B) D) 5 E) C). sin.cos d integalinin eşiti aşağıdakileden hangisidi? A) B) 8 C) 6 D) E) 5. = f() fonksionunun gafiğine üzeindeki = a ve = b apsisli noktalaından çizilen teğetle sıasıla ekseni ile 5 ve 5 lik açıla apmaktadı. Buna göe fl( ). fll( ) d integalinin eşiti kaçtı? a b A) B) C) D) E)..e d integalinin eşiti aşağıdakileden ln hangisidi? A) ln e B) ln e C) ln e 6. d integalinin eşiti nedi? sin D) ln e E) A) B) C) D) + E) +. D. C. A. C 5. D 6. B 7. C 8. A 9. B. C. B. B. D. C 5. A 6. E
95 TEST Alan ve Hacim Hesabı. = + 5. Şekilde ifade edilen = ( + ) taalı bölgenin alanı kaç b di? A) B) C) D) 5 E) Şekildeki taalı bölgenin alanı kaç b di? 5 A) B) C) D) E). Şekildeki taalı bölgenin alanı kaç b di? = 6. = A) B) C) 5 D) E) 7. Şekildeki taalı bölgenin alanı = Şekildeki taalı bölgenin alanı kaç b di? A) ln B) ln C) ln D) ln5 E) ln6 kaç b di? A) B) C) D) E) Şekildeki taalı = e S S S 5 = f() bölgenin alanı kaç b di? A) e + B) e + C) e D) e E) e Gafikte ifade edilen alanladan S = 5 b, S = b, S = 8 b ise 5 f()d + f ( ) d ifadesinin eşiti nedi? 5 A) B) 5 C) D) E) 6 9
96 İntegal 8. Şekildeki taalı = ln. = = bölgenin alanı kaç b di? A) ln e B) ln e C) ln e Şekildeki taalı bölgenin alanı kaç b di? D) ln e 5 E) ln e 6 A) + ln B) + ln C) + ln D) + ln E) + ln 9. =. Şekilde ifade = Şekildeki taalı bölgenin alanı kaç b di? 5 A) B) 7 8 C) D) E) edilen S ve S alanlaı için S S = 8 9 ise a kaçtı? A) B) C) S S a D) E) 5. Şekildeki taalı bölgenin alanı kaç b di? = =. = eğisi ile = ve = doğulaının ekseni ile oluştuduğu bölgenin alanı kaç b di? A) B) C) 5 D) E) 7 A) 6 B) C) D) E) d integalinin eşiti aşağıdakileden hangisidi?. = ile = eğilei aasında kalan bölgenin alanı kaç b di? A) 6 B) C) D) E) A) + B) C) D) + E). C. A. B. D 5. A 6. B 7. E 8. C 9. E. A. B. A. D. E 5. A
97 TEST 6. ( ) d integalinin eşiti nedi? A) ( ) ( ) + c B) + c cos( + ) d integalinin eşiti nedi? A) B) C) D) E) C) ( ) ( ) + c D) + c E) ( ) + c 6. d integalinin eşiti aşağıdakile- 5 den hangisidi? A) accos c m + c B) acsin c m + c. d integalinin eşiti nedi? A) B) C) D) E) C) accos + c m + c D) acsin + c E) acsin + c m + c m + c. + d integalinin eşiti nedi? 5 A) B) C) D) E) 7. sin( ln ) d integalinin eşiti nedi? A) cos(ln) + c sin ( ln ) B) + c C) sin(ln) + c cos( ln ) D) + c E) cos(ln) + c. d integalinin eşiti nedi? sin. cos 6 A) ln B) ln C) ln D) ln5 E) ln6 8. e sin cos d integalinin eşiti nedi? A) e cos + c B) e sin + c e C) sin + c D) e sin + c cos E) e + cos + c 5
98 İntegal 9. d = A ve d = B ise integalinin A ve B cinsinden değei nedi? A) A B B) A + B C) A B D) A + B E) A B d +. + cos d integalinin eşiti nedi? A) B) C) D) E). sin5.sin d integalinin eşiti aşağıdakileden hangisidi? A) B) C) (sin + sin8) + c 6 (sin + sin8) + c (sin sin8) + c 6. f() = eğisi ile g() = doğusu aasında kalan bölgenin alanı kaç b di? A) B) C) D) E) D) (sin sin8) + c E) 6 (sin sin8) + c. fl ( ) d = + + c ve f( ) = e ise f() f ( ) nedi? A) e B) e C) e D) e E) e 5. ( )( + ) d integalinin eşiti nedi? A) B) 8 C) 6 D) E). d( ln ) + ln integalinin eşiti nedi? A) ln( + ln) + c B) actan(ln) + c C) actan + c D) actan + c E) + ln + c 6. = eğisi ile = doğusu aasında kalan bölgenin ekseni etafında 6 döndüülmesi ile oluşan cismin hacmi kaç b tü? A) B) C) D) E) 6. A. C. A. B 5. E 6. D 7. E 8. B 9. A. E. E. B. B. B 5. C 6. E 6
99 TEST 7. ( + ) d ifadesinin eşiti nedi? 5 A) B) C) D) E) 5. d d d ifadesinin eşiti aşağıdakileden hangisidi? A) B) C) D) E) + c. + d integalinin eşiti aşağıdakileden + hangisidi? A) + ln + + c B) + ln + + c C) + ln + + c D) + ln + + c 6. d integalinin eşiti nedi? ln E) ln + + c A) ln + c B) ln + c C) (ln) + c D) ( ln ) + c E) ln + c. d ( ) integalinin eşiti nedi? A) + c B) ( ) + c C) E) + c D) + c ( + ) ( ) + c 7. ( + ) d integalinin eşiti nedi? A) B) C) D) E). d d integalinin eşiti aşağıdakile- 6 9 den hangisidi? A) C) E) acsin + c B) acsin 6 + c acsin + c D) acsin + c acsin + c 8. e d e d integalinin eşiti nedi? A) e ( + ) + c B) e ( ) + c C) e ( ) + c D) e ( + ) + c E) e ( ) + c 7
100 İntegal 9. cos d integalinin eşiti nedi? sin A) sin + c B) + cos + c C) + sin + c D) cos + c E) cos + c. = eğisi ile ekseninin sınıladığı bölgenin alanı kaç b di? 5 A) B) C) D) E). 9 d integalinin eşiti nedi? 5. = ve = eğilei ile sınılanmış bölgenin alanı kaç b di? A) B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 A) B) 6 C) 5 D) E) 6. ( sin + cos) d integalinin eşiti nedi? A) + D) + B) + E) C) + 5. Şekildeki taalı bölgenin alanı 8 b ise a kaçtı? A) B) C) = ( a) a D) E) 5. d integalinin eşiti nedi? e+ e A) ln( + e ) + c B) actane + c C) ln( + e ) + c D) actane + c E) ln tane + c 6. = sec eğisi, = ve = doğulaının ekseni ile oluştuduklaı bölgenin ekseni etafında 6 döndüülmesi ile oluşan cismin hacmi kaç b tü? A) B) C) D) E). B. A. B. B 5. C 6. A 7. C 8. E 9. D. E. A. D. C. D 5. D 6. B 8
101 ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI ÖYS sin.sin d ifadesinin değei nedi? A) 6 B) 6 C) D) 6 E) ÖYS ( + )d = 5 ve b a = 5 olduğuna göe a b a + b kaçtı? A) B) C) 9 D) 8 E) ÖYS ÖYS ( + ) d integalinin değei nedi? ( + ) + A) ln B) ln C) S S D) ln 5 7 E) ln Şekilde = nin gafiği veilmişti. Taalı S ve S alanlaı aa sın da S = S ba ğın tı sı bu lundu ğu na gö e apsisi kaçtı? A) 8 B) 6 C) D) E) ÖYS S 5 S = f() ÖYS a > koşulu ile = + a eğ i si, ek se ni ve = doğ u su ile sı nı lı alan 8 bi im ka e oldu ğu na gö e a nın değei nedi? A) B) C) D) E) 5 f, gafiğinin bi paçası ukaıdaki şekilde veilen bi fonksiondu. 5 5 fd ( ) = ve S = biim kae oldu- ğuna göe, S kaç biim kaedi? A) 7 B) C) D) 7 E) ÖYS a >, b > koşulu ile sonlu iki saıdı. a b a b d. d = d olduğuna göe b nin değei kaçtı? A) B) C) D) E) ÖYS = ln eğ i si, ek se ni ve = b (b > ) ile sını lı bölgenin alanı b + biim olduğuna göe b kaçtı? e A) B) C) e D) e E) e 9
102 İntegal ÖYS cos d integalinin değei nedi? ÖYS ( cos sin)d integalinin değei nedi? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) ÖYS f () = + ve f() = olduğuna göe f( ) in değei nedi? A) B) C) D) E) ÖYS e d integalinin değei nedi? ÖYS f() = olduğuna göe + d(f ()) kaçtı? A) e B) e C) e D) e + E) e + A) B) 6 C) 6 D) E) ÖYS f()d = + + c olduğuna göe f() aşağıdakileden hangisidi? (c sabitti.) A) B) ln C) + + c D) + E) ÖYS Denklemi = ve = 8 olan eğinin sınıladığı bölgenin alanı kaç biim kaedi? A) 8 B) 6 C) D) E) ÖYS f().f ()d integali alındığında aşağıdakileden hangisi elde edili? A) [f()] + c B) ln f() + c C) e f() + c D) + c f ( ) E) f ( ) + c ÖYS f() = t dt olduğuna göe f () değei t + kaçtı? A) 7 B) 5 C) 5 D) 5 E)
103 İntegal ÖYS ^ hd integalinin sonucu kaçtı? A) B) C) D) E) ÖYS d ( ) aşağıdakileden hangisine eşitti? + A) B) C) ln D) ln E) ÖYS ÖYS 5 = f() A (, ) C (, ) B (5, ) ( )( + ) d aşağıdakileden hangisine eşitti? A) B) C) D) E) 5 5 Yukaıdaki şekilde = f() in gafiği veilmişti. ekseninin, AB aı ile sınıladığı bölgenin alanı 5 b, BC aı ile sınıladığı bölgenin alanı b olduğuna göe 5 f()d değei kaçtı? A) 8 B) 67 C) 6 D) 9 E) ÖYS v + v = A(, ) C(, ) B(, ) ÖYS Şekildeki AB, h O me- kezli dötte bi çembe aı, [BC] de B(, ), C(, ) noktalaını bileştien doğu paçasıdı. Buna göe, aşağıdaki integalleden hangisi taalı alanı vei? Yukaıdaki şekilde denklemi + = olan paabol veilmişti. Şekildeki taalı bölgenin alanı kaç biim kaedi? A) 9 B) 8 C) 6 D) 5 E) A) 8 ( + ) Bd B) ; + E d ÖYS 8 6 ( ) Bd in değei nedi? C) 8 + ( + ) Bd D) 8 ( + ) Bd A) (π ) B) (π ) C) (π ) D) (π ) E) (π ) E) d + d
104 İntegal ÖYS cos(cos )sin d aşağıdakileden hangisine eşitti? A) sin(cos) + c B) cos(sin) + c C) cos(sin ) + c D) sin(cos ) + c E) sin(cos ) + cos(sin ) + c ÖYS a < a <, ( tan + tan )d = olduğuna göe a nın değei aşağıdakileden hangisidi? A) 6 B) C) D) E) ÖYS d d 5 ( f + ) dp aşağıdakileden hangisine eşitti? A) + B) + C) D) 79 E) ÖYS d integalinde = sint dönüşümü apılısa aşağıdaki integalleden hangisi elde edili? A) sin t dt B) sin t dt ÖYS ln ( e e )d integalinde e = t dönüşümü apılısa, aşağıdaki integalleden hangisi elde edili? C) ( sin t cos t) dt D) cos t dt E) cos t dt A) ( t t) dt B) ( t ) dt C) ( e t e t )e t dt D) ( t t) dt E) ( lnt lnt) dt ÖYS = e = e ÖYS a a d f p = d olduğuna göe, pozitif a kaçtı? A) B) C) D) E) Şekilde, = e, = e fonksionlaının gafiklei ve eksenile sınılı olan taalı bölgenin alanı kaç biim kaedi? A) B) C) D) ln E) ln
105 İntegal ÖYS + d integalinde u = dönüşümü apılısa aşağıdakileden hangisi elde edili? + u + u A) du B) du u u + u + u C) du D) du u u E) ÖYS a u( + u) du u (sin cos )d = olduğuna göe ÖYS sin(accos)d integalinde t = accos dönüşümü apılısa aşağıdaki integalleden hangisi elde edili? A) C) sint dt B) cos t dt cost dt D) cos tdt E) sin tdt a nın değei aşağıdakileden hangisidi? A) 8 B) 6 C) D) E) ÖYS ÖYS = f() eğisinin (, ) noktasındaki teğeti ekseni ile 5 lik açı apmaktadı. f () = 6 olduğuna göe eğinin eksenini kestiği noktanın odinatı kaçtı? 6 g() f() Şekildeki f() doğusu = noktasında = g() eğisine teğetti. 69 A) B) C) D) E) 5 g ( ) d = ln a g ( ) 8 l olduğuna göe a kaçtı? A) 6 B) 5 C) D) E) ÖYS + d integali aşağıdakileden 9+ hangisine eşitti? A) ln + ln c B) ln + ln c C) ln 7 ln + c D) ln ln + + c E) 5ln 7 + ln + c ÖYS t d > f cos dphdt değei kaçtı? dt A) D) B) E) C)
106 İntegal ÖYS = 6 paabolünün koodinat sisteminin. bölgesindeki (, ) paçası ile = ve = doğulaıla sınılı olan bölgenin alanı kaç biim kaedi? ÖYS 5 ( 5 ) d integalinin değei aşağıdakileden hangisidi? A) 8 B) C) 6 D) 6 E) 6 A) 5 B) 5 8 C) 6 D) 6 E) ÖYS = e ÖYS = eğisi, = doğusu ve ekseni ile sınılı bölgenin ekseni etafında döndüülmesile oluşan cismin hacmi kaç b tü? = = a A) B) 7 C) 9 5 Şekildeki gibi = e eğiisi ile =, = a ve = doğulaı ile sınılı bölgenin ekseni etafında döndüülmesile oluşan dönel cismin hacmi (e e ) b olduğuna göe a nın D) 7 5 E) 5 değei kaçtı? A) B) C) D) 5 E) ÖYS 5 d integalinin değei aşağıdakile- + den hangisidi? A) ( ) c B) 5 ( ) c + + C) ( ) c + + D) 5 ( ) c + + E) ( ) c ÖYS 5 + d integalinin değei aşağıdakileden hangisidi? A) ln + ln + + c B) 5ln ln + + c C) ln + ln + + c D) ln + ln + + c E) 5ln + c ÖYS = ve = eğisi ile sınılanan bölgenin alanı kaç b di? A) 5 6 B) 5 C) D) E)
107 İntegal ÖSS f : R R fonksionu he noktada tüevli ve f () = +, f() = olduğuna göe f() kaçtı? A) 5 B) C) D) E) ÖSS d integalinin değei kaçtı? + A) + ln B) + ln C) ln D) ln E) + ln ÖSS ( sin + cos)d integalinde t = dönüşümü apılısa aşağıdaki integalleden hangisi elde edili? A) ( sint + cost)dt B) ( sint cost)dt ÖSS + d integalinin değei kaçtı? A) + B) C) + D) E) 8 C) ( sint cost)dt D) ( cost sint)dt E) ( sint cost)dt ÖSS = ve = eğilei ile sınılanan bölgenin alanı kaç biim kaedi? A) 5 B) C) D) E) ÖSS Şekilde gafiği veilen bie bi ve öten f : [, ] [, ] f() fonksionunun tesi f di ÖSS b > olduğuna göe, f()d + f ()d b ( ) d değei nedi? integalinin alabileceği en büük değe kaçtı? A) B) C) 6 D) 8 E) A) B) C) 5 D) E) 5
108 İntegal ÖSS sin d integalinin değei kaçtı? A) C) E) B) 6 D) ÖSS a c O 7 9 b f() Yukaıda veilen taalı bölgelein alanlaı sıasıla a, b ve c biim kaedi. 9 Buna göe, f ( ) d fd ( ) 7 değei kaçtı? A) a + b B) a + c C) b + c D) c + b E) a + b + c ÖSS d integalinin değei kaçtı? ( ln ) e e A) B) C) D) E) ÖSS ( + ) e d integalinin değei kaçtı? 58. LYS f () = 6, f () =, f() = koşullaını geçekleen f fonksionu için f() değei kaçtı? A) B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 A) e B) e C) e D) e E) e 59. LYS ÖSS sin d integalinin değei kaçtı? cos A) B) C) D) E) O = = Şekildeki paabol ile doğu aasında kalan taalı bölgenin alanı kaç biim kaedi? A) B) C) D) E) 6. LYS 6 d integalinin değei kaçtı? + A) B) 5 C) 8 D) E) 6
109 İntegal 6. LYS = eğisi ve = doğusu ile sınılı (sonlu) bölgenin alanı kaç biim kaedi? A) B) C) D) E) 65. LYS Bi f fonksionunun gafiğinin = a noktasındaki teğetinin eğimi, = b noktasındaki teğetinin eğimi tü. f () ikinci tüev fonksionu [a, b] aalığında süekli olduğuna göe, fl( ). fll( ) d integalinin değei kaçtı? b a 6. LYS A) B) C) D) E) O f Yukaıda gafiği veilen f fonksionu için f. l ( ) f( ) d integalinin değei kaçtı? 7 5 A) B) C) D) E) 66. LYS Aşağıdaki gafikte, A ve B bölgeleinin alanlaı eşit olacak şekilde = k doğusu veilmişti. = + B = k A O 6. LYS, < f() = ), ise ise Buna göe, k nin değei kaçtı? A) B) C) D) 9 E) için f ( + ) d integalinin değei kaçtı? A) B) C) 6 D) 8 E) 6. LYS f () = + +, f() = olduğuna göe, f( ) değei kaçtı? A) B) C) D) E) 67. LYS e ln d = 6 e olduğuna göe, e ln d integalinin değei kaçtı? A) 7e 6 B) 8e 8 C) 9e D) e 6 E) e 8 7
110 İntegal 68. LYS ln d integalinde u = dönüşümü apılısa aşağıdaki integalleden hangisi elde edili? 7. LYS Biinci bölgede; koodinat eksenlei, = 5, = 5 doğulaı ve = +, = + eğilei aasında kalan A bölgesi aşağıda veilmişti. A) ln u du B) ln u du (, 5) ln u C) du D) u E) uln udu ln u du u O A (5, ) A bölgesinin alanı kaç biim kaedi? A) B) C) D) 6 E) LYS fl( ) d = 6 f ( )@ eşitliği veilio. f() = A) d olduğuna göe, f() değei kaçtı? B) C) 5 D) E) 7. LYS O 7. LYS ( acsin ) d Biinci bölgede; ekseni, = doğusu ve 9 + = 9 elipsi aasında kalan bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Elde edilen dönel cismin hacmi kaç biim küptü? A) 8 9 D) 5 7 B) 9 E) 8 7 C) 9 8 integalinde u = acsin dönüşümü apılısa aşağıdaki integalleden hangisi elde edili? A) u.sin udu B) u.cos udu C) u.sinudu D) u.cos udu E) u du 8
111 ESEN ÜÇRENK MATEMATİK ve GEOMETRİ KİTAPLARIMIZ ESEN ÜÇRENK
112 MATEMATİK ve GEOMETRİ KİTAPLARIMIZ 9. SINIF. SINIF. SINIF. SINIF YGS - LYS &
LİMİT TÜREV İNTEGRAL SORU BANKASI
LİMİT TÜREV İNTEGRAL SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER LİMİT Limitin Özelliklei... Paçalı Fonksionlada Limit... Mutlak Değeli Fonksionlada Limit... Gafikte Limit... Genişletilmiş Reel Saılada Limit... Belisizliği
DetaylıLYS TÜREV KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
LYS TÜREV KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Tüev... Sağdan Ve Soldan Tüev... Tüev Alma Kuallaı...7 f n () in Tüevi... Tigonometik Fonksionlaın Tüevi... 6 Bileşke Fonksionun Tüevi... Logaitma
Detaylı2013 2013 LYS LYS MATEMATİK Soruları
LYS LYS MATEMATİK Soulaı. LYS 5. LYS ( + a ) = 8 < < olmak üzee, olduğuna öe, a kaçtı? I. A) D) II. + III. (.) ifadeleinden hanileinin değei neatifti? A) Yalnız I Yalnız II Yalnız III D) I ve III II ve
DetaylıA A A A A A A A A A A
LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte 5 sou vadı.. Cevaplaınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için aılan kısmına işaetleiniz.. Veilen, ve z tamsaılaı için. =. z =. =f() olduğuna göe, + + z toplamı en çok kaçtı?
DetaylıLYS MATEMATİK DENEME - 2
LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte
Detaylır r r r
997 ÖYS. + 0,00 0,00 = k 0,00 olduğuna göe, k kaçtı? B) C). [(0 ) + ( 0) ] [(9 0) (0 ) ] işleminin sonucu kaçtı? B) C) 9 6. Bi a doğal sayısının ile bölündüğünde bölüm b, kalan ; b sayısı ile bölündüğünde
DetaylıÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI
ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINV SORULRI. 99 ÖYS D C 5. 99 ÖYS fonksionunun ba lan g ç nok ta s na en a k n olan nok ta s n n, ba lan g ç nok ta s na uzak l kaç bi im di? O bi im olan bi a çem be in içi ne çi zi
Detaylı4. f ( x ) = x m x + m. Cevap C. m açılımındaki bir terim, x. 5. cx 3 + Cevap D. 6. x 2 + ( a + 4 ) x + 3a + 3 ifadesinin tam kare olması için
Deneme - / YT / MT MTMTİ DNMSİ Çözümle. < n < 0. f ( ) m + m p ve q asal saıla olmak üzee, n p. q vea p şeklinde olmalıdı. n {.,.,. 7,.,.,. 7,. 9,.,. 9,.,. 7,.,.,. 7,. 9,. 7,.,, } 9 tane bulunu.. { 7,,,
Detaylı12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır?
. SINIF M Fonksionlar. f ( + a ) + vef( ) 7 olduğuna göre a kaçtır? E) TEST. f ( ) k + 6 fonksionu sabit fonksion olduğuna f ( ) göre aşağıdakilerden k E). f( ) 6 k ve f ( ) olduğuna göre k kaçtır? E)
DetaylıŞİFRELİ MATEMATİK. Trigonometri Youtube Şifreli Matematik. Matematik-Geometri Ders Videoları
Yasal Uyaı: Soulaın çözüm videolaına, tamamı video çözümlü süpe KİTAPLARIMA, güncel konu anlatımlaı ve daha fazlasına en güncel haliyle adesinden ulaşabilisiniz. de kanalına bekliyoum. Başaıla dileim...video
DetaylıDÝFERANSÝYEL DENKLEMLER ( Genel Tekrar Testi-1) KPSS MATEMATÝK
DÝFERANSÝYEL DENKLEMLER ( Genel Teka Testi-). Aşağıdaki difeansiel denklemlein hangisinin mete - besi (basamağı, sıası) tü?. Aşağıdaki difeansiel denklemlein hangisinin mete - besi (basamağı, sıası) ve
DetaylıTG 1 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK
KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlein he hakkı saklıdı. Hangi amaçla olusa olsun, testlein tamamının vea bi
Detaylı4. 89 / 5 ( mod p ) 84 / 0 ( mod p ) 60 / 4 ( mod p ) 56 / 0 ( mod p ) Cevap E. Cevap C. 6. x 0 f ( 0 ) = 1, f ( 1 ) = 2,...
eneme - / YT / MT MTMTİK NMSİ Çözümle. O ( b, c ) d ise b dm, c dk O ( a, b ) d ise b dm, a dn I. d tek saı iken a çift ise m ve n nin otak böleni olu. O ( a, b ) d olmaz. d tek ise a tek saıdı. ( oğu
DetaylıBelirsiz İntegral...415. İntegral Alma Yöntemleri... 425 Değişken Değiştirme Yöntemi... 425
Belisiz İntegl... İntegl Alm Yöntemlei... Değişken Değiştime Yöntemi... d c Biçimindeki İnteglle... 9 A B d Biçimindeki integlle... c Kesili Fonksionlın İntegli... 8 Tigonometik Fonksionlın İntegli...
DetaylıCevap C. 400 / 0 ( mod 8 ) A harfi. 500 / 4 ( mod 8 ) D harfi. Cevap C. 6. I. n tam sayı ise. n 2 = 4k 2 4k + 1 veya n 2 = 4k 2
MTMTİ NMSİ. 8 h + + h. ( a, b ) 0 h. + h h+ h h. + h + bulunu. 0... 7 sayısında asal çapanladan bie tane olduğundan pozitif bölen sayısı kada ( a, b ) sıalı ikilisi vadı. ( + ). ( + ). ( + ). ( + ) tane
Detaylı7. f(x) = 2sinx cos2x fonksiyonunun. π x 3 2 A) y = 9. f(x) = 1 2 x2 3x + 4 eğrisinin hangi noktadaki teğetinin D) ( 10 3, 4 9 ) E) ( 2 3, 56
, 006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir@ahoo.com.tr Türev TEST I 7. f() = sin cos fonksionunun. f()= sin( + )cos( ) için f'() nin eşiti nedir? A) B) C) 0 D) E) için erel minimum değeri nedir? A) B)
Detaylı5. ( 8! ) 2 ( 6! ) 2 = ( 8! 6! ). ( 8! + 6! ) Cevap E. 6. Büyük boy kutu = 8 tane. Cevap A dakika = 3 saat 15 dakika olup Göksu, ilk 3 saatte
Deneme - / Mat MTEMTİK DENEMESİ Çözümle. 7 7 7, 0, 7, + + = + + 03, 00,, 3 0 0 7 0 0 7 =. +. +. 3 = + + = 0 bulunu.. Pa ve padaa eklenecek saı olsun. a- b+ b =- a+ b+ a & a - ab+ a =-ab-b -b & a + b =
Detaylı13. İlk çemberin çevresi f ( x ) doğrusal fonksiyon ise a 1. Cevap A. 14. x = log 0,125. sonuç yayınları. Cevap D. 15. log ( x 3 )
eneme - / YT / MT MTMTİ NMSİ Çözümle.. =. 0 +. ( asal) tam saı bölen saısı 97 + = 00.. ( + ). ( + ) = 00 ( + ). ( + ) = 00 = 9 bln.. a + 7 = ( b + ). ( c ) ( + ).( + ) = ( b + ).( c ) b =, c =, a =, a
DetaylıLYS 1 / GEOMETRİ DENEME ÇÖZÜMLERİ
LYS / GMİ NM ÇÖZÜMLİ eneme -. 0 ' 0 ile l eş üçgenle olduğundan; = 0 cm l = 0 cm ve = desek l = olu. l de pisago ise l = cm. 0 @ nin ota noktasını olaak işaetlielim. u duumda, = cm ( de ota taan) = cm
DetaylıTÜREVİN GEOMETRİK YORUMU
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU f :R R, =f ( fonksionuna düzlemde A karşılık gelen f( +h eğri anda ki =f( P gibi olsun. f( Eğrinin P(,f( noktasındaki teğetlerini +h araştıralım. Bunun için P(,f( noktasının sağıda
DetaylıFONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları...
ÜNİTE Safa No............................................................ 79 98 Fonksionlar Konu Özeti...................................................... 79 Konu Testleri ( 8)...........................................................
DetaylıEMEKLILIK SİSTEMLERİ SINAV SORULARI WEB-ARALIK 2015. Bireysel emeklilik sistemine ilişkin olarak aşağıdakilerden hangisi(leri) yanlıştır?
EMEKLILIK SİSTEMLERİ SINAV SORULARI WEB-ARALIK 2015 Sou-1 Bieysel emeklilik sistemine ilişkin olaak aşağıdakileden hangisi(lei) yanlıştı? I. Bieysel emeklilik sistemindeki biikimle Sosyal Güvenlik Sistemine
Detaylı5 ÖABT / MTL ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG. 678 ( sin + cos )( sin- cos )( sin+ cos ) lim sin- cos " = lim ( sin+ cos ) = bulunu. ". # # I = sin d = sin sin d sin = u sin d = dv du = sin : cos
DetaylıBÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI YILLAR 966 967 968 969 97 97 97 975 976 977 978 980 98 98 98 98 985 986 987 988 989 990 99 99 99 99 995 996 997 998 006 007 ÖSS / ÖSS-I ÖYS / ÖSS-II 5 6 6 5
DetaylıBelirsiz İntegral İntegral Alma Yöntemleri Değişken Değiştirme Yöntemi
Belisiz İntegl... İntegl Alm Yöntemlei... Değişken Değiştime Yöntemi... d c Biçimindeki İnteglle... 9 A B d Biçimindeki integlle... c Kesili Fonksionlın İntegli... 8 Tigonometik Fonksionlın İntegli...
Detaylı1-A. Adı Soyadı. Okulu. Sınıfı LYS-1 MATEMATİK TESTİ. Bu Testte; Toplam 50 Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 75 dakikadır.
-A Adı Soadı kulu Sınıfı LYS- MATEMATİK TESTİ Bu Testte; Toplam Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 7 dakikadır. Süre bitiminde Matematik Testi sınav kitapçığınızı gözetmeninize verip Geometri Testi
DetaylıA A A A A A A A A A A
LYS MTEMTİK TESTİ. Bu testte soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz.. d + n - d + n d - + n- d + + n işleminin sonucu kaçtır?., R olmak üzere, + +
Detaylı2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.
4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.
DetaylıNokta (Skaler) Çarpım
Nokta (Skale) Çapım Statikte bazen iki doğu aasındaki açının, veya bi kuvvetin bi doğuya paalel ve dik bileşenleinin bulunması geeki. İki boyutlu poblemlede tigonometi ile çözülebili, ancak 3 boyutluda
DetaylıDİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ
DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan
DetaylıTORK. τ = 2.6 4.sin30.2 + 2.cos60.4 = 12 4 + 4 = 12 N.m Çubuk ( ) yönde dönme hareketi yapar. τ K. τ = F 1. τ 1. τ 2. τ 3. τ 4. 1. 2.
AIŞIRMAAR 8 BÖÜM R ÇÖZÜMER R cos N 4N 0 4sin0 N M 5d d N ve 4N luk kuv vet lein çu bu ğa dik bi le şen le i şekil de ki gi bi olu nok ta sı na gö e top lam tok; τ = 6 4sin0 + cos4 = 4 + 4 = Nm Çubuk yönde
DetaylıMekanik olayları ölçmekte ya da değerlendirmekte kullanılan matematiksel büyüklükler:
VEKTÖRLER KT 1 Mekanik olaylaı ölçmekte ya da değelendimekte kullanılan matematiksel büyüklükle: Skale büyüklük: sadece bi sayısal değei tanımlamakta kullanılı, pozitif veya negatif olabili. Kütle, hacim
DetaylıTÜREV TANIMI TÜREV ALMA KURALLARI FEN LĠSESĠ ÖĞRETĠM PROGRAMINA GÖRE DERS ANLATIM FÖYÜ 1
TÜRE TNIMI TÜRE LM KURLLRI FEN LĠSESĠ ÖĞRETĠM PROGRMIN GÖRE DERS NLTIM FÖYÜ Ortalama Değişim Oranı Bu itte dönüşümü apılırsa olur. f(b) B d f() f(b) f(a) Bu durumda iken olur. Buna göre, f() fonksionunun
DetaylıTRİGONOMETRİ ıı lik açı kaç derece, kaç dakika, kaç saniyedir? Şekilde O merkezli çeyrek çember verilmiştir. %
ünite TGOOMT sas Ölçü ve iim Çembe Tigonometik Fonksiyonla ve Özdeşlikle Tigonometik Fonksiyonlaın alığı ve Sıalaması ik Üçgende Tigonometik Oanla Tigonometi ndigeme Fomüllei Üçgende Tigonometik ağıntıla
DetaylıFONKSİYONLAR ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT
FONKSİYONLAR ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT. Kazanım : Gerçek saılar üzerinde tanımlanmış fonksion kavramını açıklar. Tanım kümesi, değer kümesi, görüntü kümesi kavramlarını açıklar.. Kazanım : Fonksionların
DetaylıSevgili Öğrenciler ve Değerli Öğretmenler, Yeni sisteme uygun ve çalışmalarınızda ışık tutacak MATEMATİK SORU BANKASI hazırladık.
Sevgili Öğrenciler ve Değerli Öğretmenler, Yeni sisteme ugun ve çalışmalarınızda ışık tutacak MATEMATİK SORU BANKASI hazırladık. MATEMATİK SORU BANKASI tamamıla Milli Eğitim Bakanlığı Talim ve Terbie Kurulu
DetaylıGelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören
Gelecek için hazılanan vatan evlâtlaına, hiçbi güçlük kaşısında yılmayaak tam bi sabı ve metanetle çalışmalaını ve öğenim göen çocuklaımızın ana ve babalaına da yavulaının öğeniminin tamamlanması için
DetaylıBÖLÜM 5 İDEAL AKIŞKANLARDA MOMENTUMUN KORUNUMU
BÖLÜM 5 İDEAL AKIŞKANLARDA MOMENTUMUN KORUNUMU Linee İmpuls-Momentum Denklemi Haeket halinde bulunan bi cismin hehangi bi andaki doğusal hızı, kütlesi m olsun. Eğe dt zaman aalığında cismin hızı değişiyosa,
DetaylıMATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 08
LİSNS YRLŞTİRM SINVI- MTMTİK-GMTRİ SINVI MTMTİK TSTİ SRU KİTPÇIĞI 08 U SRU KİTPÇIĞI LYS- MTMTİK TSTİ SRULRINI İÇRMKTİR. . u testte 0 soru vardýr. MTMTİK TSTİ. evaplarýnýzý, cevap kâðýdýnın Matematik Testi
DetaylıVIII ) E-M DALGA OLUŞUMU
94 VIII ) E-M DALGA OLUŞUMU A. HELMHOLTZ DENKLEMİNE GEÇİŞ B. F k : YAPI ÇARPANI 4-VEKTÖRÜ C. RADYASYON ALANLARI D. ELEKTRİK DİPOL RADYASYONU E. MAGNETİK DİPOL RADYASYONU 95 A) HELMHOLTZ DENKLEMİNE GEÇİŞ
DetaylıMil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012
Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi e Ku ru lu Baş kan lı ğı nın.8. ta rih ve sa ı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve - Öğ re tim Yı lın dan iti ba ren u gu lana cak olan prog ra ma gö re ha zır
DetaylıLYS Matemat k Deneme Sınavı
LYS Matematk Deneme Sınavı. abba dört basamaklı, ab iki basamaklı doğal saıları için, abba ab. a b eşitliğini sağlaan kaç farklı (a, b) doğal saı ikilisi vardır? 7 olduğuna göre, a b toplamı kaçtır? 9.,,
DetaylıBÖLÜM 4 4- TÜREV KAVRAMI 4- TÜREV KAVRAMI. Tanım y = fonksiyonunda x değişkeni x. artımını alırken y de. kadar artsın. = x.
- TÜREV KAVRAMI - TÜREV KAVRAMI 7 iadesinin türevini alınız. Çözüm lim lim 7 7 lim 7 7 lim lim onksionunun türevini alınız. Tanım onksionunda değişkeni artımını alırken de kadar artsın. oranının giderken
DetaylıTG 8 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK
KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN İLGİSİ TESTİ İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖAT İLKÖĞRETİM MATEMATİK u testlein he hakkı saklıdı. Hangi amaçla olusa olsun, testlein tamamının veya bi
DetaylıDRC. 5. ab b = 3 b ( a 1 ) = Deponun hacmi 24x olsun, 3. y = 6 için = 3. 7 MATEMATİK DENEMESİ. a 9 b. a 2 b b = 12 b ( a 2 1 ) = 12.
MTEMTİK DENEMESİ Çözümle.. ab b = b ( a ) = a 9 b a b b = b ( a ) =. c d 7,,,,,, 7,, 9 + +... + 9 = : = a + + = a = b =, c = + 7 + d = d = = 7 < < & > > 7 & > > 7 =,,,, olup in alabileceği faklı değelein
DetaylıASTRONOTİK DERS NOTLARI 2014
YÖRÜNGE MEKANİĞİ Yöüngeden Hız Hesabı Küçük bi cismin yöüngesi üzeinde veilen hehangi bi noktadaki hızı ve bu hızın doğultusu nedi? Uydu ve çekim etkisinde bulunan cisim (Ye, gezegen, vs) ikili bi sistem
DetaylıÖrnek...1 : Çapı 4 birim olan bir dairenin yarı çevresi ve alan ın ın sa yısal değerleri toplam ı kaçtır? 6π. Örnek...4 : Örnek...2 : Örnek...
ÇEEE ÇEVE, İEE N 3 ( ÇEEİN ÇEVEİ İENİN, İE İİİNİN, İE EEİNİN VE HNIN NI ÇEEE ENZEİ EĞEENİE ) ÇEEİN ÇEVEİ VE İENİN NI İE İİİ NI VE YY UZUNUĞU mek ezli bi çembein çevesi, Çeve=2.π. mek ezli bi daienin alanı,
DetaylıA A A A A A A A A A A
LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte 5 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz.. - - ^- h + c- m - (-5 )-(- ) işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) 5 E).
Detaylı3. EŞPOTANSİYEL VE ELEKTRİK ALAN ÇİZGİLERİ AMAÇ. Bir çift elektrot tarafından oluşturulan elektrik alan ve eş potansiyel çizgilerini görmek.
3. EŞPOTNSİYEL VE ELEKTRİK LN ÇİZGİLERİ MÇ i çift elektot taafından oluştuulan elektik alan ve eş potansiyel çizgileini gömek. RÇLR Güç kaynağı Galvanomete Elektot (iki adet) Pob (iki adet) İletken sıvı
DetaylıAnkara Üniversitesi Diş Hekimliği Fakültesi Ankara Aysuhan OZANSOY
FİZ11 FİZİK Ankaa Üniesitesi Diş Hekimliği Fakültesi Ankaa Aysuhan OZANSOY Bölüm-III : Doğusal (Bi boyutta) Haeket 1. Ye değiştime e Haeketin Tanımı 1.1. 1 Mekanik Nedi? 1.. Refeans çeçeesi, Konum, Ye
DetaylıÇözüm Kitapçığı Deneme-7
KAMU PESONEL SEÇME SINAI ÖĞETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ İLKÖĞETİM MATEMATİK ÖĞETMENLİĞİ 7-9 MAT 7 Çözüm Kitapçığı Deneme-7 Bu testlein he hakkı saklıdı. Hangi amaçla olusa olsun, testlein tamamının vea
DetaylıLYS Matemat k Deneme Sınavı
LYS Matematk Deneme Sınavı. A.. n saısının tamsaı bölenlerinin saısı olduğuna göre, n 0. R de tanımlı " " işlemi; ο ο işleminin sonucu 0. (6) 6 (6) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? 6 6 (6)
DetaylıTG 3 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK
KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ 9 Mat TG ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlein he hakkı saklıdı. Hangi amaçla olusa olsun testlein tamamının
DetaylıÇEMBERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
ÇEMBERİN ANALİTİK İNCELENMESİ Öncelikle çembein tanımını hatılayalım. Neydi çembe? Çembe, düzlemde bi noktaya eşit uzaklıkta bulunan noktala kümesiydi. O halde çembein analitik incelenmesinde en önemli
DetaylıÖ.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ
Ö.S.S. 7 MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Karmaşık sayılar kümesi üzerinde * işlemi, Z * Z Z + Z + Z Z biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, ( i) * (+i) işleminin sonucu nedir? A) + 8i B) - 8i C) 8 + i
Detaylı1996 ÖYS. 2 nin 2 fazlası kız. 1. Bir sınıftaki örencilerin 5. örencidir. Sınıfta 22 erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı kaçtır?
996 ÖYS. Bir sınıftaki örencilerin nin fazlası kız örencidir. Sınıfta erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin saısı kaçtır? 8 C) 6 D) E) 6. Saatteki hızı V olan bir hareketti A ve B arasındaki olu
DetaylıLYS MATEMATİK-2 SORU BANKASI LYS. M. Ali BARS. çözümlü sorular. yıldızlı testler. Sınavlara en yakın özgün sorular
LYS LYS 6 Sınavlara en akın özgün sorular MATEMATİK- SORU BANKASI çözümlü sorular ıldızlı testler M. Ali BARS M. Ali Bars LYS Matematik Soru Bankası ISBN 978-65-8-7-9 Kitapta er alan bölümlerin tüm sorumluluğu
DetaylıLYS Matemat k Deneme Sınavı
LYS Matematk Deneme Sınavı. n olmak üzere; n n toplamı ten büük n nin alabileceği tamsaı değerleri kaç tanedir? 9 B) 8 7.,, z reel saılar olmak üzere; ( 8) l 8 l z z aşağıdakilerden hangisidir? B) 8. tabanındaki
Detaylı6. loga log3a log5a log4a. 7. x,y R olmak üzere;
log. 5 5 0 olduğuna göre, değeri kaçtır? A) 5 B) 0 C) 6 8 E) 6. loga loga log5a loga eşitliğini sağlaan a değeri kaçtır? 5 A) 5 5 B) 5 5 C) 5 E) 5. loga logb logc ifadesinin eşiti aşağıdakilerden a c A)
DetaylıCevap D 6. P ( 1 ) = 2, P ( 2 ) = 1. x = 1 P ( P ( 1 ) ) = a + b. Cevap E. x = 2 P ( P ( 2 ) ) = 2a + b. a + b = 1 2a + b = 2
eeme - / YT / MT MTEMTİK ENEMESİ Çözümle. - a a + a - a+ a - - ^- ah. ^+ ah ^a- h. ^a+ h =. ^a-h. ^a-h a + =- ^a+ h =-a-. (! ) (! ) =. (!! ). (! +! ) =.!..!. =. tae tae tae = + + = 0 buluu.. =.. alıısa
Detaylı1998 ÖYS. 1. Üç basamaklı bir x doğal sayısının 7. iki basamaklı bir y doğal sayısına eşittir. Buna göre, y doğal sayısı en az kaç olabilir?
99 ÖYS. Üç basamaklı bir doğal saısının 7 katı, iki basamaklı bir doğal saısına eşittir. Buna göre, doğal saısı en az kaç olabilir? A) B) C) 6. Bugünkü aşları 6 ve ile orantılı olan iki kardeşin 6 ıl sonraki
DetaylıFİZ101 FİZİK-I. Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü B Grubu 3. Bölüm (Doğrusal Hareket) Özet
FİZ11 FİZİK-I Ankaa Üniesitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü B Gubu 3. Bölüm (Doğusal Haeket) Özet.1.14 Aysuhan Ozansoy Haeket Nedi? Mekanik; kuetlei e onlaın cisimle üzeine etkileini inceleyen fizik dalıdı
DetaylıFonksiyonlar ve Grafikleri
Fonksionlar ve Grafikleri Isınma Hareketleri Aşağıda verilenleri inceleiniz. A f f(a) 7 çocuk baan f: Çocukları annelerine götürüor. Fonksion olma şartı: Her çocuğun annesi olmalı ve bir tane olmalı. (
DetaylıDİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ
DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan
DetaylıFonksiyonların Grafikleri... 378
f() a a TÜREV KAVRAMI Türev ile Hız Arasındaki İlişki...5 Türev ve Teğetin Eğimi Arasındaki İlişki... 58 Diferansiel Kavramı... 6 Türevin Tanımı...6 Türev Alma Kuralları... 7 Sabitin Türevi... 7 Toplam
Detaylı8. f( x) 9. Almanca ve İngilizce dillerinden en az birini bilenlerin
. MAEMAİK çapıldığıda, çapım olu? 6 ifadesi aşağıdakilede hagisi ile ) 6 + ifadesie eşit ) D) 6 + 8. f( ) ile taımlı f foksiouu e geiş taım kümesi aşağıdaki sg( ) lede hagisidi? 6,@ ) 6,@ ) ^, h, ^, +
DetaylıFonksiyonlar ve Grafikleri
Fonksionlar ve Grafikleri Isınma Hareketleri Aşağıda verilenleri inceleiniz. A f f(a) 7 f: Çocukları annelerine götürüor. Fonksion olma şartı: Her çocuğun annesi olmalı ve bir tane olmalı. ( çocuk annenin
DetaylıLYS Matemat k Deneme Sınavı
LYS Matematk Deneme Sınavı. Üç basamaklı doğal saılardan kaç tanesi, 8 ve ile tam bölünür? 8 9. ile in geometrik ortası z dir. ( z). ( z ). z aşağıdakilerden hangisidir?. 9 ifadesinin cinsinden değeri
DetaylıÇözüm Kitapçığı Deneme-4
KMU PERSONEL SEÇME SINVI ÖĞRETMENLİK LN İLGİSİ TESTİ LİSE MTEMTİK ÖĞRETMENLİĞİ -5 ŞUT 7 Çözüm Kitapçığı Deneme- u tetlein he hakkı aklıdı. Hangi amaçla olua olun, tetlein tamamının vea bi kımının Mekezimizin
DetaylıSORULAR. 1. Aşa¼g daki limitleri bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. lim. 1 n sin. lim. q 1 x 1+x
SOULA. Aşa¼g daki limitleri bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. lim! lim sin(t )dt sin 4 np n! i= n sin i n. q + arcsin belirli integralini hesalay n z. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. 3. 4
DetaylıSİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL FİNAL/BÜTÜNLEME SORU ÖRNEKLERİ
SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL FİNAL/BÜTÜNLEME SORU ÖRNEKLERİ.Gup: Vize sou önekleindeki son gup (Routh-Huwitz testi) soula dahildi. Bunla PID soulaıyla bilikte de soulabili..) Tansfe fonksiyonu
DetaylıÖ.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ 1 E) x x. x x = x
Ö.S.S. MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. olduğuna göre, kaçtır? A B C D E Çözüm. -. : ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A B C D E Çözüm :... :....... . olduğuna göre, - ifadesinin
Detaylı1977 ÜSS. 2 y ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? 1 x. 2 y. 1 y. 1 y. 1 x. 2 x. 2 x. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y 2 C) 4 E)
77 ÜSS. ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?. C) 4 E). Şekilde a+b+c+d açılarının toplamı kaç dik açıdır? (açılar pozitif önlüdür.) 4 C) 6 7 E) 8 Verilen şekilde açıların ölçüleri verilmiştir. En
DetaylıC E V A P L I T E S T ~ 1
C E V A P L I T E S T ~. 5. () 7 ( ).( ) A) B) C) 0 D) E) A) B) C) 0 D) E). 6. 5 A) 0 B) C) D) E) A) B) C) D) E) 5. b b ab a a A) B) a C) b D) b E) 7. ( 5 ) A) B) C) 0 D) E). 9 8. 5 8 A) B) 0 C) D) E)
DetaylıDönerek Öteleme Hareketi ve Açısal Momentum
6 Döneek Ötelee Haeketi e Açısal Moentu Test 'in Çözülei.. R L P N yatay M Çebe üzeindeki bi noktanın yee göe hızı, o noktanın ekeze göe çizgisel hızı ile çebein ötelee hızının ektöel toplaına eşitti.
DetaylıFONKSİYONLAR BÖLÜM 8. Örnek...3 : Örnek...1 : f(x)=2x+5 fonksiyonu artan mıdır? Örnek...4 :
FONKSİYONLAR BÖLÜM 8 Örnek...3 : ARTAN AZALAN FONKSİYONLAR ARTAN FONKSİYON f : A R R fonksionu verilsin. Her i B A için 1 < 2 f ( 1 )
DetaylıEkon 321 Ders Notları 2 Refah Ekonomisi
Ekon 321 Des Notlaı 2 Refah Ekonoisi Refah Ekonoisinin Biinci Teel Teoei: İdeal işleyen bi sebest piyasa ekanizası kaynaklaın en etkin (optiu) bi şekilde dağılasını sağla. Topla net fayda (Topla Fayda-
DetaylıTG Haziran 2013 KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI LİSANS ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK TESTİ ÇÖZÜM KİTAPÇIĞI
KAMU PERSNEL SEÇME SINAVI LİSANS ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ RTAÖĞRETİM MATEMATİK TESTİ ÇÖZÜM KİTAPÇIĞI T.C. KİMLİK NUMARASI : ADI : SYADI : TG 9 Hazian DİKKAT! ÇÖZÜMLERLE İLGİLİ AŞAĞIDA VERİLEN UYARILARI
Detaylıaçılara bölünmüş kutupsal ızgara sisteminde gösteriniz. KOORDİNATLAR Düzlemde seçilen bir O başlangıç noktası ve bir yarı doğrudan oluşan sistemdir.
KUTUPSAL KOORDİNATLAR (POLAR Düzlemde seçilen bi O başlangıç noktası ve bi yaı doğudan oluşan sistemdi. açılaa bölünmüş kutupsal ızgaa sisteminde gösteiniz. Not: Kolaylık olması açısından Katezyen Koodinat
DetaylıKÜTLE VE AĞIRLIK MERKEZİ
ÜTE VE AĞIRI MEREZİ BÖÜM 0 Alıştıala ÇÖZÜMER ütle ve Ağılık Mekezi y() () 0 ütle ekezinin koodinatı, + + M + + ( ) + + + ( ) + + + + + + 9+ 8+ 6 8 olu y() A 0 () 5 ütle ekezinin koodinatı b olduğundan,
DetaylıKatı Cismin Uç Boyutlu Hareketi
Katı Cismin Uç outlu Haeketi KĐNEMĐK 7/2 Öteleme : a a a ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ / / /, 7/3 Sabit Eksen Etafında Dönme : Hız : wx bwe bwe wx be he x we wx bwe e d b be d be he b h O n n n ɺ ɺ θ θ θ θ θ ( 0 Đme : d d
DetaylıÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR Fonksionlar ve Özel Tanımlı Fonksionlar Özel tanımlı fonksionlar konusu fonksionların alt bir dalıdır. Bu konuu daha ii anlaabilmemiz için fonksionlar ile ilgili bilgilerimizi
DetaylıTEST 1 ÇÖZÜMLER BASİT MAKİNELER
ES ÇÖÜER BASİ AİNEER. ( ) Sis tem den ge de ol du ğu na gö e, nok ta sı na gö e tok alı sak; ( ). 4 +.. +. 8 4 + 4 0 4 olu. CEVA A yi de ğiş ti me den eşit li ği sağ la mak için, a kü çül tül meli di.
DetaylıBÖLÜM 2 GAUSS KANUNU
BÖLÜM GAUSS KANUNU.1. ELEKTRİK AKISI Elektik akısı, bi yüzeyden geçen elektik alan çizgileinin sayısının bi ölçüsüdü. Kapalı yüzey içinde net bi yük bulunduğunda, yüzeyden geçen alan çizgileinin net sayısı
Detaylı3.2. Euler Yüksek Mertebeden Değişken Katsayılı Diferansiyel Denklemi
3.2. Euler Yüksek Mertebeden Değişken Katsaılı Diferansiel Denklemi (n). (n) + (n-). (n-) + + 2. +. + = Q() Değişken dönüşümü apalım. Diferansiel denklemi sabit katsaılı ( erine t bağımsız değişkeni )
DetaylıÖrnek 1. Çözüm: Örnek 2. Çözüm: 60 30000 300 60 = = = 540
Önek 1 1.8 kn yük altında 175 dev/dak dönen bi mil yatağında çalışacak bilyeli ulman için, 5 saat ömü ve %9 güvenililik istemekteyiz. Öneğin SKF kataloğundan seçmemiz geeken inamik yük sayısı (C 1 ) nedi?
DetaylıLYS GENEL KATILIMLI TÜRKİYE GENELİ ONLİNE DENEME SINAVI
LYS GENEL KATILIMLI TÜRKİYE GENELİ ONLİNE DENEME SINAVI LYS- MATEMATİK (MF-TM). Bu testte Matematik ile ilgili soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz..
DetaylıPARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu
PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği
DetaylıVEKTÖRLER DOÇ.DR. KAMİLE TOSUN FELEKOĞLU
VEKTÖRLER DOÇ.DR. KMİLE TOSUN ELEKOĞLU 1 Mekanik olaylaı ölçmekte ya da değelendimekte kullanılan matematiksel büyüklükle: Skale büyüklük: sadece bi sayısal değei tanımlamakta kullanılı, pozitif veya negatif
DetaylıTÜREV ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT
TÜREV ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT Türev. Kazanım : Türev kavramını örneklerle açıklar.. Kazanım : Bir fonksionun bir noktadaki soldan türevini ve sağdan türevini bulur, soldan türev ve sağdan türev
DetaylıÜNİTE: KUVVET VE HAREKETİN BULUŞMASI - ENERJİ KONU: Evrende Her Şey Hareketlidir
ÜNTE: UET E HAREETN BUUŞMASI - ENERJ NU: Evende He Şey Haeketlidi ÖRNE SRUAR E ÇÖZÜMER. x M +x Bi adam önce noktasından noktasına daha sona ise noktasından M (m) 3 3 (m) noktasına geldiğine göe adamın
DetaylıFONKSİYONLAR ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT
FONKSİYONLAR ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT Fonksionlar. Kazanım : Fonksion kavramı, fonksion çeşitleri ve ters fonksion kavramlarını açıklar.. Kazanım : Verilen bir fonksionun artan, azalan ve sabit
Detaylı11 SINIF MATEMATİK. Trigonometri Doğrunun Analitik İncelenmesi
11 SINIF MATEMATİK Tigonometi Doğunun Analitik İncelenmesi 1 YAYIN KOORDİNATÖRÜ Oğuz GÜMÜŞ EDİTÖR Hazal ÖZNAR - Uğucan AYDIN DİZGİ Muhammed KARATAŞ SAYFA TASARIM - KAPAK F. Özgü OFLAZ Eğe bi gün sözleim
DetaylıParçacıkların Kinetiği Impuls-Momentum Yöntemi: Çarpışma
Paçacıklaın Kinetiği Impuls-Momentum Yöntemi: Çapışma İki kütle bibii ile kısa süe içeisinde büyük impulsif kuvvetlee yol açacak şekilde temas edese buna çapışma (impact) deni. Çapışma 1. Diekt mekezcil
DetaylıDERS 12. Belirli İntegral
DERS Belili İntegl.. Bi eği ltınd kln ln. Bi [, ] kplı lığı üzeinde süekli i onksionu veilmiş olsun ve e [, ] için olduğunu kul edelim. in giği ile ekseni sınd kln ölgenin lnı ile u deste göeeğimiz elili
Detaylı1. BÖLÜM 1. BÖLÜM BASİ BAS T İ MAKİ T MAK N İ ELER NELER
BÖÜ BASİ AİNEER AIŞIRAAR ÇÖZÜER BASİ AİNEER yatay düzlem 0N 0N 0N 0N fiekil-i fiekil-ii yatay düzlem 06 5 06 7 08 He iki şe kil de de des te ğe gö e tok alı nı sa a) kuvvetinin büyüklüğü 04 + 08 80 + 60
DetaylıLYS Y OĞRU MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a ve b asal
DetaylıİÇİNDEKİLER. Tekrar Zamanı TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU ÇÖZÜMLÜ TEST 1... 52 ÇÖZÜMLÜ TEST 2... 54 MAKS. - MİN. PROBLEMLERİ. Uygulama Zamanı 1...
İÇİNDEKİLER TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU Teğet ve Normal Doğruların Eğimi... Teğet Doğrusunun Eğim Açısı... Teğet ve Normal Denklemleri... Eğrinin Teğetine Paralel ve Dik Doğrular... Grafikte Teğet I... 5
DetaylıBölüm 11: Doğrusal Olmayan Optik Alıştırmalar
Bölüm : Dğusal Olmayan Optik Alıştımala. (a Şiddeti I (W/m laak veilen ışığın, dğusal kıılma indisi n lan madde tamı içinde elektik alanının (E laak veilebileceğini gösteiniz. 7, 4 I E = (b I=,5 W/cm laze
DetaylıLYS Y ĞRU MTMTİK TSTİ. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.., y reel sayılar
Detaylı