Tanım 2.1. Bir kare matrisin determinantı, o matrisi bir sayıya eşleyen fonksiyondur.
|
|
- Nesrin Altıntop
- 1 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Bölüm 2 Determinantlar Tanım 2.1. Bir kare matrisin determinantı, o matrisi bir sayıya eşleyen fonksiyondur. Söz konusu fonksiyonun değerine o matrisin determinantı denilir. A bir kare matris ise, determinantı det(a) ya da A ile gösterilir. Burada simgesi mutlak değer için kullanılan simge değildir. Determinantlar doğrusal denklem çözümlerinde çok işe yarar. Uygulamada bir çok olayın matematiksel modeli matrislerle kurulur. Matrislerin özelikleri yanında, ortaya çıkan durumların çözümlenmesi için determinantlar devreye girer. Determinantları en genel durumuyla anlatmak belki en iyisidir, ama en pedagojik yol olduğu söylenemez. O nedenle, bbu kitapta, determinantları hiç bilmeyenlerin kolayca anlayacağı bir yöntemle anlatmayı tercih ediyoruz. 2.1 Determinatlar 1 1 Matrislerin determinantı A matrisi en basit 1 1 tipinde bir matris olsun. Tek bileşeni sayı olan bu tip matrislerin determinantı, bileşen sayısıdır. A = [12] 15
2 16 BÖLÜM 2. DETERMİNANTLAR matrisi 1 1 tipinde olan bir matristir ve determinantı A = 12 Benzer olarak, A = ( 12) matrisi 1 1 tipinde olan bir matristir ve determinantı A = Matrislerinin determinantı A matrisi 2 2 tipinden bir matris olsun: ( ) 1 3 A = tipinden olan bu matrisin determinantı A = ( 1)( 4) (3)(2) = 2 biçiminde tanımlanır. Genel olarak, ( ) a b A = c d gibi 2 2 tipinden olan bir matrisin deteminantı A = ab cd olarak tanımlanır. 3 3 Matrislerinin determinantı A matrisi 3 3 tipinden bir matris olsun: A = tipinden olan bu matrisin determinantı d et(a) = A = (1)(4)(5)(2) ( 2).6 ( ( 2).2) = 136 biçiminde tanımlanır. genel olarak, a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
3 2.1. DETERMİNATLAR 17 Şekil 2.1: Sarrus Yöntemi gibi 3 3 tipinden olan bir matrisin determinantı det(a) = A = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 (a 31 a 22 a 13 + a 32 a 23 a 11 + a 33 a 21 a 12 ) olarak tanımlanır. Ancak bu tanım öncekilere göre biraz daha karmaşıktır. Bu karmaşıklığı yoketmek için daha basit bir yollar izlenebilir. izlenebilecek yollardan birisi, 3 3 tipinden matrislerin determinantını bulmaya yarayan Sarrus yöntemidir. Oldukça pratik olan bu yöntemi öğrenmek kolaydır. Sarrus Yöntemi 3 3 tipinden A matrisinin sağ yanına birinci ve ikinci kolon bileşenlerini Şekilde görüldüğü gibi ekleyelim. Sonra a 11 a 22 a 33 asal köşegeni ile onun üstünde ve ona paralel çizgilerle gösterilen öğelerin çarpımlarının toplamını yazalım. Benzer olarak, (a 31 a 22 a 13 yedek köşegeni ile onun altında ve ona paralel çizgilerle gösterilen öğelerin çarpımlarının toplamını yazalım. Sonra birinci toplamdan ikinciyi çıkaralım. Çıkan sayı, verilen matrisin deterinantıdır (bkz. Şekil 2.1). Sarrus yönetimi 3 3 tipinden matrislerin determinantlarını bulurken pratik kolaylık sağlar. Ama daha büyük boyutlu matrislere uygulanamaz. O nedenle, her tipten matrislere uygulanabilecek genel bir yönteme gereksinim vardır.
4 18 BÖLÜM 2. DETERMİNANTLAR 2.2 Başka Yöntemler Yüksek Boyutlu Matrislerin Determinantlarının Hesaplanması Yukarıda söylenen metotlar 2 ve 3 boyutlu matrisler içindir. Matrisin boyutu artınca o yöntemler işe yaramaz. Hangi boyutta olursa olsun, bir matrisin determinantını hesaplanak için Laplace yöntemi geçerli genel bir yöntemdir. İşlemleri kısaltmak için Gauss yoketme metodu da oldukça pratik genel bir yöntemdir. Bu yöntemleri aşağıdaki örneklerle inceleyeceğiz. Laplace Yöntemi Minör n n tipinden a 11 a 12 a 13,..., a 1n a 21 a 22 a 23,..., a 2n A =. a n1 a n2 a n3,..., a nn matrisinin herhangi bir a i j bileşeninin minörü şöyle tanımlanır: i-inci satır le j-inci kolon atılır. Geri kalan matrisin determinantı a i j bileşenine karşılık gelen minör dür. Buna göre, yukardaki A matrisinin a i j bileşenine karşılık gelen minör a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a n1 a n2 a n3 a nn biçimindeki matrisin determinantıdır. Onu
5 2.2. BAŞKA YÖNTEMLER 19 a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n min(a i j ) = M i j = a n1 a n2 a n3 a nn biçiminde gösterelim. Tabii, minörü yazarken, yukarıda bileşenleri ile gösterilen i-inci satır ile j-inci kolonun silineceğini unutmayacağız. örnek: A = matrisinin ikinci satırındaki bileşenlerin minörlerini bulalım. Önce A matrisini a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 matrisi gibi gibi düğünürsek, bu matrisin ikinci satırındaki bileşenlerine göre minörleri şöyle bulunur: a 21 = 3 bileşeninin minörü, a 21 bileşenin bulunduğu 2. satır ve 1. kolon atılınca geri kalan 2 2 matrisinin determinantıdır: min(a 21 ) = a 12 a 13 a 32 a 33 Bu determinantın değeri = = 8 9 = 1 Benzer olarak, a 22 = 1 bileşenini minörü, a 22 bileşenin bulunduğu 2. satır ve 2. kolon atılınca geri kalan 2 2 matrisinin determinantıdır: min(a 21 ) = a 11 a 13 a 31 a 33
6 20 BÖLÜM 2. DETERMİNANTLAR Bu determinantın değeri = = = 6 Son olarak, a 23 = 1 bileşeninin minörü, a 23 bileşenin bulunduğu 2. satır ve 3. kolon atılınca geri kalan 2 2 matrisinin determinantıdır: min(a 13 ) = a 11 a 12 a 31 a 32 Bu determinantın değeri = = = 2 min(a 21 ) = a 21 a 23 a 31 a 33 Bun determinantın değeri = = 9 10 = Determinantların Özelikleri Determinantların pratikte çok işe yarayan özelikleri vardır. Bunları genel durum için ispat etmek yerine, yalnızca 2 2 tipi matrisleri çin göstermekle yetineceğiz. Teorem 2.1. Bir matrisin determinantı devriğinin determinatına eşittir. 2 2 tipi A matrisi ve A T devrişi (transpose) şöyledir. ( ) a b A = c d ( ) A T a c = d d dir. Buradan determinantlar arasında
7 2.3. DETERMİNANTLARIN ÖZELİKLERİ 21 A = a c b d = ad bc = a b c d = AT eşitişi kurulabilir. Teorem 2.2. Üçgensel bir matrisin determinantı asal köşegen üzerindeki bileşenlerinin çarpımına eşittir A = a b 0 d = ad b.0 = ad = a 0 b d = AT Teorem 2.3. Matrisin iki satırı kendi aralarında yer değiştirirse determinantları ters işaretli Aynı özelik kolonlar için de geçerlidir. A = a c b d = ad b.c = (bc ad) = c a d b ve A = a c b d = ad b.c = (bc ad) = b d a c Teorem 2.4. Matrisin bir satırı bir λ sayısı ile çarpılırsa, determinantı da o sayı ile çarpılmış λ A = λa c λb d = λad λb.c = λ(ad bc) = a λc b λd
8 22 BÖLÜM 2. DETERMİNANTLAR Teorem 2.5. Matrisin bir satırı bir λ sayısı ile çarpılıp başkaş bir satıra eklenirse, determinantı değişmez. Aynı özelik kolonlar için de vardır. A = a + λc c b + λd d = ad b.c = a c b d = a b c + λa d + λb A = a + λb c + λd b d = ad b.c = a c b d = a c b + λa d + λc Teorem 2.6. İki matrisin çarpımının determinantı determinantlarının çarpımına eşittir. ( ) a b A = c d ( ) e f ve B = g h matrislri verilsin. AB = ae + bg ce + cg a f + bh c f + dh = (ad b.c)(eh f g ) = a c b d. e g f h 2.4 Uygulamalar Önerme 2.1. Bir paralelkenarın alanı, kendisini oluşturan vektörlerden oluşan matrisin determinantına eşittir. Köğeleri (0,0,(a,b),(a +c,b +d)ve(c,d) olan paralelkenar için, sözkonusu matris
9 2.4. UYGULAMALAR 23 Önerme 2.2. Bir paralelyüzün hacmı, kendisini oluşturan vektörlerden oluşan matrisin determinantına eşittir. Örnek: A = matrisinin determinatını Sarrus yöntemiyle ya da Laplace yöntemiyle hesaplayabiliriz: Sarrus Yöntemiyle Hesap: det(a) = ( ) + ( ) + (2.3.2) = ( 3.1.2) ( 2.3.0) ( ) = ( 6) 0 = 18 Laplace Yöntemiyle Hesap: ( ) det(a) = ( 1) det + ( 1) det 2 1 = ( 2).(( 1).( 1) (( 2).( 1) 2.( 3)) = ( 2)( 5) + 8 = 18 Gauss Yöntemiyle Hesap: ( ) Gauss yöntemiyle determinant hesaplarken, matrisin bir satırına başka bir satırın bir sayısal katının eklenmesiyle determinantın değişmedişi gerçeğine dayalıdır. Tabii, aynı özelişin kolonlar içnde geçerli olduğunu biliyoruz. Boyutları 3 ya da daha çok olan matrislerde Gauss yoketme yöntemi diye adlandırılan bu yöntem işlemleri kolaylağtırır. Uygun katsayılar seçilerek, matris üçgensel biçeme sokulabilir. Bu bağarılamadığında, bir satır ya da kolondaki bileşenlerin bazıları 0 yapılabilir.
10 24 BÖLÜM 2. DETERMİNANTLAR Bunu yukarıdaki örnek üzerinde gösterelim. Matrisin ikinci kolonu birinci kolona eklenirse, A 1 = matrisi elde edilir. A ile A 1 matrislerinin determinantları aynıdır. A 1 matrisini birinci kolona göre açarsak Örnek: det(a) = ( 1) det = 2.(2.3 1.( 3)) = 18 ( ) A = matrisinin determinatını Gauss yoketme yöntemiyle bulalım. işlemleri açıklamak için matrisin i-inci satırını S i ile j-inci kolonunu K j ile gösrerelim. Buna göre birinci satırın iki katını alıp ikinci satıra ekleme eylemini (S 2 +2S 1 ) (S 2 ) ile göstereceğiz. Benzer olarak (S 3 + S 1 ) (S 3 ) işlemlerini yapalım: A = = = = (1)(3)( 5) = Ters Matris Her gerçel a 0 sayısı için a a = aa 1 = a 1 a = 1 eşitlişini sağlayan bir a 1 sayısının varlığını biliyoruz. Öyleyse aklımıza ğu soru takılmlıdır: Acaba her A matrisi için AA 1 = I = A 1 A (2.1)
11 2.5. TERS MATRİS 25 eşitlişini sağlayan bir A 1 matrisi var mıdır? Bu özeliğin gene ancak bazı kısıtlar altında var olduğunu göreceğiz. Teorem 2.7. Tersinebilir (invertible) matrisin determinantı, tersinin çarpımsal tersine eşittir. det(a 1 1 ) = det(a) olduğunu bir örnekle göstereceğiz. 3 3 tipi matrislerin tersini bulmak için Gauss yoketme yöntemini kullananan pratik bir yöntemi bir örnek üzerinde göstereceğiz: A = (2.2) matrisinin tersini bulmak için, A matrisinin sağına birim matrisi aşağıda görüldüğü gibi ekleyelim: (2.3) Şimdi bu görüntüde soldaki A matrisini bir üçgen matris haline getirmek için Gauss yoketme yöntemini kullanacağız. (2.3) matrisine S 2 S 1 işlemini sonra S 3 S 1 işlemlerini uygulayalım (2.4) Şimdi (2.4) matrisinde S 1 3S 3 işlemini yaparsak, matris (2.5)
12 26 BÖLÜM 2. DETERMİNANTLAR biçimini alır. Son olarak, soldaki A matrisini birim matrise dönüştürmek için (2.5) imatrisine S 1 3S 3 işlemini uygulayalım: (2.6) (2.6) matrisinin sağında oluşan A 1 = (2.7) matrisi aradığımız ters matristir. Gerçekten bunun aradığımız ters matris olduğunu görmek için A 1 A çarpımını yapmak yetecektir: A 1 A = (2.8) Matrislerin çarpım kuralını uygulayarak, A 1 A = (2.9) olur ki buradan çıkar A 1 A = (2.10) Yüksek boyutlu matrislerin terslerini bulmak için daha genel olan Laplace yöntemini kısaca açıklayalım.bilmek için minör ve kofaktör kavramlarına gerekseme vardır.
13 2.5. TERS MATRİS 27 Eşçarpan (cofactor) A matsisinin a i j bileşeninin minörü M i j olmak üzere A i j = ( 1) i+j det M i j sayısına a i j bileşeninin esçarpanı denilir. Örnek: A = (2.11) matrisinin bileşenleri için eşçarpanları bulalım: M 11 = = 15 0 = 15 A 11 = ( 1) 1+1 M 11 = 15 (2.12) M 12 = = 3 5 = 8 A 13 = ( 1) 1+2 M 12 = +8 (2.13) M 13 = = 0 25 = 25 A 13 = ( 1) 1+3 M 13 = 25 (2.14) M 21 = = 9 0 = 9 A 21 = ( 1) 2+1 M 21 = 9 (2.15) M 22 = = 6 20 = 14 A 22 = ( 1) 2+2 M 21 = 14 (2.16) M 23 = = 0 15 = 15 A 23 = ( 1) 2+3 M 21 = 15 (2.17)
14 28 BÖLÜM 2. DETERMİNANTLAR M 31 = = 3 20 = 17 A 31 = ( 1) 3+2 M 31 = 17 (2.18) M 32 = = = 6 A 32 = ( 1) 3+2 M 32 = 6 (2.19) M 33 = = = 13 A 31 = ( 1) 3+3 M 31 = 13 (2.20) Buna göre eşçarpan matris co f A = (2.21) Ekli Matris Adjoint Matrix A matrisinnin her bir a i j bileşeni yerine a i j bileşeninin eşçarpanı (cofactor) konularak elde edilen matrise A matrisisnin eklenmişi (adjoint) denilir ve ad j A simgesiyle gösterilir. Buna göre (ad j A) i j = A i j (2.22) Bu gösterimler altında A.(ad j A) i j = B (2.23) diyelim. Çarpma kuralı b i j = n a ik (ad j A) k j (2.24) k=1 bağıntısını verişr. Burada (2.22) kullanılırsa, (ad j A) k j = A j k (2.25)
15 2.7. MATRİSİN TERSİ 29 çıkar. Bu ise () gereğince b i j = n a ik A i = j (2.26) k=1 = 0 i j (2.27) olmasını gerektirir. O halde B matrisi bütün bileşenleri A olan köşegen bir matristir. Öyleyse A.(ad j A) i j = B = A.I (2.28) eşitliği yazılabilir. 2.7 Matrisin Tersi A matrisi için AA 1 = I = A 1 A (2.29) koşulunu sağlayan A 1 matrisi A matrisinin tersidir. (2.29) eşitliğinin sol yanının olabilmesi için A nın satır sayısı I birim matrisinin satır sayısına eşit olmalıdır. Sağ yanının olabilmesi için I birim matrisinin satır sayısı A 1 ters matrisinin satır sayısına eşit olmalıdır. Soldaki çarpımların olabilmesi için A matrisinin kolon sayısı ile A 1 ters matrisinin satır sayısı eşit olmalıdır. Soldaki çarpımların olabilmesi için A 1 ters matrisinin kolon sayısı ile A matrisinin satır sayısı eşit olmalıdır. Bütün bunlardan A ile A 1 ters matrisinin aynı tipten karesel matris olmaları gerektiği çıkar. Matrisleri lineer cebirde AX = B (2.30) biçemindeki denklemleri çözmek için kullanırız. A matrisinin A 1 ters matrisi varsa, (2.30) denkleminin çözümü AX = B (2.31) biçemine döner. Dolayısıyla, karesel matrislerin tersini bulma eylemi önem kazanır. Aşağıda ters matris bulmak için en genel kuramsal yöntemi vereceğiz. Hemen belirtelim ki, bu genel kural pratikte en iyi yöntem değildir. Örneğin,
16 30 BÖLÜM 2. DETERMİNANTLAR tipinden bir matrisin tersini bulmak için yapılacak çarpma işlemlerinin sayısı n! + (n 1)!n 2 = (n + 1)! = 18! (2.32) tanedir. Saniyede 10 6 çarpma işlemi yapabilen hızlı bir bilgisayarın söylenen bütün çarpımları bitirebilmesi için saniye gereklidir. Bu ise 200 yıldan daha uzun bir zaman demektir. O nedenle, matrisin tersini bulurken, biraz sonra anlatacağımız genel yöntem yerine Gauss-Jordan yoketme yöntemi daha pratiktir. Teorem 2.8. AX = B doğrusal denkleminin X = (x 1, x 2,..., x n ) T çözüm kümesi, x 1 = A 1 A, x 2 = A 2 A,..., x n = A n A, (2.33) dır. Örnek 2.1. Aşağıdaki üç düzlemin kesişim noktasını bulunuz. x + y + 2z = 1 (2.34) 3x + 6y z = 0 (2.35) x y 4z = 3 (2.36) Çözüm: İstenen kesişim noktası bu üç doğrusal denklemin çözümüdür. Sistemin katsayılarından oluşan katsayılar determinantı, det(a) = A = = 32 dir. Buradan x = = = 2 y = = = 1
17 2.7. MATRİSİN TERSİ 31 z = = 0 32 = 0 bulunur. Öyleyse aranan kesişim noktası üç boyutlu uzayda P(2, 1, 0) noktasıdır.
8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.
8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 MATRİSLER Matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu
m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir.
Matrisler Satır ve sütunlar halinde düzenlenmiş tabloya matris denir. m satırı, n ise sütunu gösterir. a!! a!" a!! a!" a!! a!! a!! a!! a!" m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. [2 3 1] şeklinde,
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi
Bölüm 1 Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi 1.1 Dizeylere İlişkin Temel Kavramlar 1.1.1 Tanımlar Dizey cebiri kullanmaksızın k değişkenli bir bağlanım modeliyle uğraşmak son derece karmaşık bir iştir. Burada,
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA Ekonometri 2 Ders Notları Sürüm 2,0 (Ekim 2011) Açık Lisans Bilgisi İşbu belge, Creative Commons Attribution-Non-Commercial ShareAlike 3.0
Özdeğer ve Özvektörler
Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin
Lineer Denklem Sistemleri
Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin
18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
LİNEER CEBİR. Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU. Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN
LİNEER CEBİR Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN 1.BOLUM DOGRUSAL CEBIR VE DIFERANSIYEL DENKLEMLER LİNEER EŞİTLİKLER 1.1. LİNEER EŞİTLİKLERİN TANIMI x 1, x 2,...,
DENKLEM DÜZENEKLERI 1
DENKLEM DÜZENEKLERI 1 Dizey kuramının önemli bir kullanım alanı doğrusal denklem düzeneklerinin çözümüdür. 2.1. Doğrusal düzenekler Doğrusal denklem düzeneği (n denklem n bilinmeyen) a 11 x 1 + a 12 x
ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER
ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler
Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.
ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı
Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar
Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin Rankı A m n matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan alt kare matrislerinin boyutlarının en büyüğüne A matrisinin rankı denir. rank(a)
VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ
1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.
3. BÖLÜM MATRİSLER 1
3. BÖLÜM MATRİSLER 1 2 11 21 1 m1 a a a v 12 22 2 m2 a a a v 1 2 n n n mn a a a v gibi n tane vektörün oluşturduğu, şeklindeki sıralanışına matris denir. 1 2 n A v v v Matris A a a a a a a a a a 11 12
.:: BÖLÜM I ::. MATRİS ve DETERMİNANT
SAKARYA ÜNİVERSİTESİ İŞLETME FAKÜLTESİ İŞLETME BÖLÜMÜ.:: BÖLÜM I ::. MATRİS ve DETERMİNANT Halil İbrahim CEBECİ BÖLÜM I 1. Matris Cebirine Giriş MATRİS VE DETERMİNANT Sayıların, değişkenlerin veya parametrelerin
18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr
13. Karakteristik kökler ve özvektörler
13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik
Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık
Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin
İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 Bölüm 2 STATİK DENGE ANALİZİ 19 2.1 İktisatta Denge Kavramı 20 2.1.1.
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Bibliography 11 CONTENTS 5 0.1 Kartezyen Çarpım 0.2 Sıralı İkililer Şimdiye kadar sıra ya da
İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel
EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER
EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının
x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu;
4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x,x,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x + a x + L + a x = b n n a x + a x + L + a x = b n n a x + a
Matrisler ve matris işlemleri
2.Konu Matrisler ve matris işlemleri Kaynaklar: 1.Uygulamalı lineer cebir. 7.baskıdan çeviri.bernhard Kollman, David R.Hill/çev.Ed. Ömer Akın, Palma Yayıncılık, 2002 2.Lineer Cebir. Feyzi Başar.Surat Universite
Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN
Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Bibliography 9 Index 13 CONTENTS 5 0.1 Doğru, Düzlem, Uzay Bu derste sık sık doğru, düzlem ve
MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ
T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 589 MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ Lineer Cebir Yazar: Yrd.Doç.Dr. Nezahat ÇETİN Öğr.Grv.Dr. Nevin ORHUN Editör: Prof.Dr. Orhan
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI
MATRİS - DETERMİNANT Test -1
MRİS - DEERMİNN est - x y x 3., B olmak üzere, y y = B olduğuna göre, y x farkı kaçtır? 5. 5 4 0, B 4 3 7 3 matrisleri veriliyor. + B matrisi aşağıdakilerden hangisidir? 3 4 5 6 5 3 0 8 5 6 6 5 0 5 6 0
olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa
1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Türev Uygulamaları. 9.1 Ortalama Değer teoremi
1 2 Bölüm 9 Türev Uygulamaları 9.1 Ortalama Değer teoremi Türevin çok farklı uygulamaları vardır. Bunlar arasında çok önemli olan bazılarını ele alacağız. Ortalama Değer Teoremi ni daha önce görmüştük.
Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur.
Üç Boyutlu Geometri Nokta (Point,Vertex) Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Kartezyen Koordinat Sistemi Uzayda bir noktayı tanımlamak
İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN
İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.
8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar
8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye
ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI 1. Çözüm: w=k 1 u+k 2 v olmalıdır.
ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI. vektör uzayında yer alan w=(9 7) vektörünün, u=( -), v=(6 ) vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu olduğunu ve z=( - 8) vektörünün ise bu vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu
(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM
EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin
2.3. MATRİSLER Matris Tanımlama
2.3. MATRİSLER 2.3.1. Matris Tanımlama Matrisler girilirken köşeli parantez kullanılarak ( [ ] ) ve aşağıdaki yollardan biri kullanılarak girilir: 1. Elemanları bir tam liste olarak girmek Buna göre matris
Önsöz. Mustafa Özdemir Antalya 2016
Önsöz Bu kitap üniversitelerimizin Mühendislik Fakültelerinde, Doğrusal Cebir veya Lineer Cebir adıyla okutulan lisans dersine yardımcı bir kaynak olması amacıyla hazırlanmıştır. Konular, teorik anlatımdan
x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2)
ÖLÜM 2 LİNEER SİSTEMLER Genel durumda diferansiyel denklemlerin çözümlerini açık olarak elde etmek veya çözümlerin bazı önemli özelliklerini araştırmak için genel yöntemler yoktur, çoğu zaman denkleme
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 KÜMELER 11 1.1. Küme 12 1.2. Kümelerin Gösterimi 13 1.3. Boş Küme 13 1.4. Denk Küme 13 1.5. Eşit Kümeler 13 1.6. Alt Küme 13 1.7. Alt Küme Sayısı 14 1.8. Öz Alt Küme 16 1.9.
MATRİS İŞLEMLER LEMLERİ
MTRİS İŞLEMLER LEMLERİ Temel matris işlemlerinin doğrudan matematik açılımını 2 yapmadan önce, bir eşanlı denklem sisteminin matris işlemleri kullanılarak nasıl daha kolay ve sistematik bir çözüm verdiğini,
Ç NDEK LER II. C LT KONULAR Sayfa Öz De er Öz Vektör.. 2. Lineer Cebir ve Sistem Analizi...
ÇNDEKLER II. CLT KONULAR 1. Öz Deer Öz Vektör.. 1 Kare Matrisin Öz Deeri ve Öz Vektörleri... 21 Matrisin Karakteristik Denklemi : Cayley Hamilton Teoremi.. 26 Öz Deer - Öz Vektör ve Lineer Transformasyon
Nazım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları ax 1 + bx 2 = α cx 1 + dx 2 =
Naım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları 0.6. DOĞRUSL DENKLEM SİSTEMLERİ ax + bx = α cx + dx = gibi bir doğrusal denklem sistemini, x ve y bilinmeyenler olmak üere, çömeyi hepimi biliyoru. ma probleme
18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr
1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.
1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)
7.1 Karmaşık Sayılar. x 2 = 1. denkleminin çözümü olarak +i ve i sayıları tanımlanır. Tanım 7.1.
Bölüm 7 Karmaşık Sayılar Karmaşık sayılar gerçel sayıların genişlemesiyle elde edilen daha büyük bir kümedier. Genişleme şu gereksemeden doğmuştur: x 2 = +1 denklemimin çözümü +1, 1 sayılarıdır ve R içindedir.
5 Mayıs Fen Liseleri, Sosyal Bilimler Liseleri, Spor Liseleri, Anadolu Liseleri Öğretmenlerinin Seçme Sınavı. Matematik Soruları ve Çözümleri
Mayıs 7 Fen Liseleri, Sosyal Bilimler Liseleri, Spor Liseleri, Anadolu Liseleri Öğretmenlerinin Seçme Sınavı Matematik Soruları ve Çözümleri 6. Aşağıdakilerden hangisi verildiğinde p q önermesinin doğruluk
Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,
Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 Operatörler 5 Bibliography 19 Index 23 1 Operatörler İşlemler 1.1 Operatör Nedir? İlkokulden
PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR
2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve
7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;
İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c
0. Küme Cebri Bu bölümde verilen keyfikümeler üzerinde birleşim, kesişim, fark, tümleyen,...gibi özellikleri sağlayan eşitliklerle ilgilenceğiz. İlk olarak De Morgan kurallarıdiye bilinen bir Teoremi ifade
Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli
Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β
Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?
KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve
TUNCELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ LİNEER CEBİR DERSİ 2012 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜTÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR.
UNCELİ ÜNİVERSİESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLESİ LİNEER CEBİR DERSİ 0 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR.İNAN ÜNAL www.inanunal.com UNCELİ ÜNİVERSİESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ
6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016
6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği
3. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 11, Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar
3. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 11, 2016 1 Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar Lie nin üçüncü teoremi oarak bilinen ve Cartan tarafından asağıdaki gibi güçlendirilmiş bir teorem ile başlayalım:
MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ
T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 589 MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ Lineer Cebir Yazar: Yrd.Doç.Dr. Nezahat ÇETİN Öğr.Grv.Dr. Nevin ORHUN Editör: Prof.Dr. Orhan
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Ders: MAT261 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri matrisi bulunuz. olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X 1.
Ders: MAT6 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri. A = matrisi bulunuz.. A = a b c d e f ve B = ÇALIŞMA SORULARI- olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X matrisi satır basamak hale getirildiğinde en fazla
Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.
TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }
Ders 9: Bézout teoremi
Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak
Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS
DERS BİLGİLERİ Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS Diferansiyel Denklemler ve Lineer Cebir BIL271 3 3+0 3 5 Ön Koşul Dersleri Yok Dersin Dili Dersin Seviyesi Dersin Türü Türkçe Lisans
MAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 3- LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ Bilimsel ve teknolojik çalışmalarda karşılaşılan matematikle ilgili belli başlı
BÖLÜM 24 PAULI SPİN MATRİSLERİ
BÖLÜM 24 PAULI SPİN MATRİSLERİ Elektron spini için dalga fonksiyonlarını tanımlamak biraz kullanışsız görünüyor. Çünkü elektron, 3B uzayda dönmek yerine sadece kendi berlirlediği bir rotada dönüyor. Elektron
Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi
Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda verilen d 1 ve d aykırı doğrularının ikisine birden dik olan doğruya ortak dikme doğrusu denir... olmak üzere bu iki doğru denkleminde değilse
TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.
TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri
Outline İçindekiler 1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri 1 1.1 Lineer sistem türleri (iki bilinmeyenli iki denklem)................. 1 2 Normal Formda lineer denklem sistemleri (İki bilinmeyenli iki
HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER
n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin
1. BÖLÜM VEKTÖRLER 1
1. BÖLÜM VEKTÖRLER 1 Tanım:Matematik, istatistik, mekanik, gibi çeşitli bilim dallarında znlk, alan, hacim, yoğnlk, kütle, elektriksel yük, gibi büyüklükler, cebirsel krallara göre ifade edilirler. B tür
Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim
Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Geçen ders RP 2 de tekil olmayan her koniğin bir dönüşümün ardından tek bir koniğe dönüştüğü sonucuna vardık; o da {[x : y : z x 2 + y 2 z 2 = 0]} idi. Bu derste bu
Motivasyon Matrislerde Satır İşlemleri Eşelon Matris ve Uygulaması Satırca İndirgenmiş Eşelon Matris ve Uygulaması Matris Tersi ve Uygulaması Gauss
Motivasyon Matrislerde Satır İşlemleri Eşelon Matris ve Uygulaması Satırca İndirgenmiş Eşelon Matris ve Uygulaması Matris Tersi ve Uygulaması Gauss Jordan Yöntemi ve Uygulaması Performans Ölçümü 2 Bu çalışmada,
7. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 17, 2016
7. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 17, 2016 Bu derste bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği sıfır olan k cismi üzerine tanımlı olduğunu varsayıyoruz. 1 Tekrar Gözden Geçirme: Basitlik,
. [ ] vektörünü S deki vektörlerin bir lineer
11.Gram-Schmidt metodu 11.1. Ortonormal baz 11.1.Teorem: { }, V Öklid uzayı için bir ortonormal baz olsun. Bu durumda olmak üzere. 1.Ö.: { }, de bir ortonormal baz olsun. Burada. vektörünü S deki vektörlerin
6. Sistemin toplam potansiyeli, rijitlik matrisi ve kurulması
6 Sistemin toplam potansiyeli, rijitlik matrisi ve kurulması 6 Sistemin noktalarında süreklilik koşulu : Her elemanın düğüm noktası aynı zamanda sistemin de düğüm noktası olduğundan, sistemin noktaları
Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 2 Kuvvet Vektörleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö.Soyuçok. 2 Kuvvet Vektörleri Bu bölümde,
DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I-
DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- Dışbükeylik / İçbükeylik Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST38 Yöneylem Araştırması Dersi 0-0 Öğretim Yılı Doğrusal olmayan
AB yönlü doğru parçası belirtilmiş olur. Doğrultusu, uzunluğu ve yönünden söz edilebilir.
HAZİNE-1 HAZİNE-2 Doğrunun A ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [AB] DOĞRU PARÇASI denir. Doğrultusu (üzerinde bulunduğu doğru) ve uzunluğundan söz edilebilir.
1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol
ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik (Eşitlik Kısıtlı Türevli Yöntem) Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde
MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev
MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni
36. Basit kuvvet metodu
36. Basit kuvvet metodu Basit kuvvet metodu hakkında çok kısa bilgi verilecektir. Basit kuvvet metodunda hiperstatik bilinmeyenlerinin hesaplanmasına, dolayısıyla buna ait denklem sisteminin kurulmasına
Çözüm: Z 3 = 27 = 27CiS( +2k ) Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = 2 k=1 için z 1 = 3
p ve q iki önerme olsun p q q p dir. p: = 3 ve q: y< 8 alınırsa I ve III ün denk olduğu görülür. Yanıt B Z 3 = 7 = 7CiS( +k ) k Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = k=1 için z 1 = 3 k = için z = Yanıt A
ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler
HESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR
HESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR Kısıtlı ve kısıtsız fonksiyonlar için maksimum veya minimum (ekstremum) noktalarının belirlenmesinde diferansiyel hesabı kullanarak çeşitli
a) Çıkarma işleminin; eksilen ile çıkanın ters işaretlisinin toplamı anlamına geldiğini kavrar.
7. SINIF KAZANIM VE AÇIKLAMALARI M.7.1. SAYILAR VE İŞLEMLER M.7.1.1. Tam Sayılarla Toplama, Çıkarma, Çarpma ve Bölme İşlemleri M.7.1.1.1. Tam sayılarla toplama ve çıkarma işlemlerini yapar; ilgili problemleri
XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı
XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı A 1. Köşeleri, yarıçapı 1 olan çemberin üstünde yer alan düzgün bir n-genin çevre uzunluğunun alanına oranı 4 3 ise, n kaçtır? 3 a) 3 b) 4 c) 5 d)
25. f: R { 4} R 28. ( ) 3 2 ( ) 26. a ve b reel sayılar olmak üzere, 27. ( ) eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 10 olduğuna göre, m kaçtır?
. f: R { 4} R, > ise ( ) 4 f =, ise 6 8. ( ) f = 6 + m + 4 eğrisinin dönüm noktasının ordinatı olduğuna göre, m kaçtır? ) 7 ) 8 ) 9 ) E) fonksiyonu aşağıdaki değerlerinin hangisinde süreksizdir? ) ) )
Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.
- 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden
İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem
MATRİSLER. Şekil 1 =A6:B7+D6:E7
MATRİSLER Bir A matrisi mxn adet gerçel veya sanal elemanların sıralı koleksiyonudur. Bu koleksiyon m satır ve n sütun ile düzenlenir. A(mxn) notasyonu matrisin m satırlı n sütunlu olduğunu gösterir ve
30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 )
3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYAR MATEMATİK BÖLÜMÜ LİNEER CEBİR-II DERSİ ÖDEV 4 Soru I: Aşağıda verilen dönüşümlerin lineer olup olmadığını gösteriniz. ) L : R 3 R, L(x, x, x 3 ) = ( 3x + x 3 4x 4, x + x 3x
SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR
1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği
Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok
Gauss Yasası Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok daha kullanışlı bir şekilde nasıl hesaplanabileceği
5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR
5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR ÖZEL BÜYÜKÇEKMECE ÇINAR KOLEJİ 19 Mayıs Mah. Bülent Ecevit Cad. Tüyap Yokuşu