T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ. f-cebirlerinin İKİNCİ SIRALI DUALİ VE BANACH A-MODÜLLERİ ÜZERİNDEKİ A-LİNEER OPERATÖRLER

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ. f-cebirlerinin İKİNCİ SIRALI DUALİ VE BANACH A-MODÜLLERİ ÜZERİNDEKİ A-LİNEER OPERATÖRLER"

Transkript

1 T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ -CEBİRLERİNİN İKİNCİ SIRALI DUALİ VE BANACH A-MODÜLLERİ ÜZERİNDEKİ A-LİNEER OPERATÖRLER ESRA ULUOCAK DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI MATEMATİK PROGRAMI DANIŞMAN PROF. DR. ÖMER GÖK İSTANBUL, 04

2 T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ -CEBİRLERİNİN İKİNCİ SIRALI DUALİ VE BANACH A-MODÜLLERİ ÜZERİNDEKİ A-LİNEER OPERATÖRLER Esra ULUOCAK taraıda hazırlaa tez çalışması. tarihide aşağıdaki jüri taraıda Yıldız Tekik Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matematik Aabilim Dalı da DOKTORA TEZİ olarak kabul edilmiştir. Tez Daışmaı Pro. Dr. Ömer GÖK Yıldız Tekik Üiversitesi Jüri Üyeleri Pro. Dr. Ömer GÖK Yıldız Tekik Üiversitesi Pro. Dr. Yasemi KAHRAMANER İstabul Ticaret Üiversitesi Doç. Dr. Bayram Ali ERSOY Yıldız Tekik Üiversitesi Doç. Dr. Erdal GÜL Yıldız Tekik Üiversitesi Doç. Dr. Bület KÖKLÜCE Fatih Üiversitesi

3 ÖNSÖZ Bu tezi hazırlamasıda yardımlarıı esirgemeye daışmaım Sayı Pro. Dr. Ömer GÖK e ve çalışmalarım sırasıda maevi desteğii eksik etmeyip her zama yaımda ola eşime ve aileme teşekkürü bir borç bilirim. Eylül, 04 Esra ULUOCAK

4 İÇİNDEKİLER Saya SİMGE LİSTESİ...v ÖZET... vii ABSTRACT... viii BÖLÜM GİRİŞ.... Literatür Özeti.... Tezi Amacı....3 Hipotez... 3 BÖLÜM 4 ÖN BİLGİLER... 4 BÖLÜM CEBİRLERİNİN İKİNCİ SIRALI DUALİ BÖLÜM 4 34 BANACH A-MODÜLLERİ ÜZERİNDEKİ A-LİNEER OPERATÖRLER SONUÇ VE ÖNERİLER... 4 ÖZGEÇMİŞ iv

5 SİMGE LİSTESİ E E E uzayıı topolojik duali E uzayıı topolojik ikici duali Kompleks sayılar kümesi Reel sayılar kümesi E x T 0 d A Doğal sayılar kümesi İimum Supremum E kümesii poziti koisi x elemaıı mutlak değeri T operatörüü ormu Sıralı yakısama Toplam A kümesii ayrık tümleyei Orth (L) L deki bütü ortomorizmaları kümesi L b L L deki tüm sıralı sıırlı operatörleri kümesi C X X üzerideki tüm sürekli oksiyoları kümesi L L i Dedekid tamlaması dd u u kümesii ikici ayrık tümleyei Büyüktür Büyüktür veya eşittir v

6 x x Küçüktür Küçüktür veya eşittir x elemaıı poziti kısmı x elemaıı egati kısmı Kesişim Birleşim Her vi

7 ÖZET -CEBİRLERİNİN İKİNCİ SIRALI DUALİ VE BANACH A-MODÜLLERİ ÜZERİNDEKİ A-LİNEER OPERATÖRLER Esra ULUOCAK Matematik Aabilim Dalı Doktora Tezi Tez Daışmaı: Pro. Dr. Ömer GÖK Bu çalışmada, A cebirleri i ikici sıralı dualleri ve Baach A modülleri üzerideki lieer operatörler icelemiştir. X bir Archimedea cebiri olmak üzere, X i ikici duali X de taımlı Ares çarpımları verilmiştir. Bu çarpımlarda aydalaarak, T Orth( X ), x X içi : Orth( X ) Orth( X ), T x Tx döüşümü ve F X, Orth( X ) içi : X Orth( X ), ( F)( ) F( X ) olmak üzere döüşümüü bir cebir homomorizması olduğu gösterilmiştir. A, Baach cebiri olmak üzere Baach modül üzerideki A lieer operatör taımı verilmiştir. X ve Y Baach A modül olduğuda X ve X i birer Baach A modül olduğu gösterilmiştir. Ayrıca, lieer T : X Y operatörü A lieer ise ou sürekli adjoit operatörü T: Y X i de A lieer operatör olduğu T Orth X T OrthA X olduğu gösterilmiştir. gösterilmiştir. So olarak, ise A Aahtar Kelimeler:Ares çarpımları, cebiri, ortomorizma, sıralı dual, Baach A modülleri, ayrıklığı koruya operatör. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ vii

8 ABSTRACT ORDER BIDUAL OF -ALGEBRAS AND A-LINEAR OPERATORS ON BANACH A-MODULES Esra ULUOCAK Departmet o Mathematics Ph.D. Thesis Adviser: Pro. Dr. Ömer GÖK I this thesis, order bidual o algebra A ad A liear operators o Baach A modules are ivestigated. Let X be a Archimedea algebra. The Ares multiplicatio i the order bidual X is give. With this multiplicatio it is show that the mappig : OrthX OrthX, T x Tx or T OrthX, x X ad the mappig : X Orth X, F F X. Let A be a Baach algebra. The deiitio o A liear operator o Baach modul is give. Let X ad Y be a Baach A modul. It is show that X ad X are Baach A modul. Also, it is show that i a liear operatör T : X Y is a A liear, the its cotiuous adjoit operator T : Y X is a A liear operator. Ad also, it is show that i T OrthA X, T OrthA X. the are algebra homomorphism, where Keywords: Ares multiplicatio, -algebra, orthomorphism, order dual, Baach modules, disjoitess preservig operator. viii A YILDIZ TECHNICAL UNIVERSITY GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES

9 BÖLÜM GİRİŞ. Literatür Özeti Poziti operatörleri başlagıcı 9. yüzyılı başlarıa dayaır. Başlarda poziti operatörler, itegral operatörlerle ( çalışmaları oksiyoel aalizi başlata ) bağlatı kurularak çalışılmıştır. Acak çok soraları poziti operatörler sistematik bir biçimde araştırılmıştır. Özellikle poziti operatörleri gelişimi, Riesz uzaylarıı gelişmesiyle hız kazamıştır. halka teori ve cebir teori, bir çok yazar taraıda çalışılmıştır. Öreği [], [], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9] bazı yazarlar [3] bir -halkayı, u v 0, w 0 ise uw v wu v 0 özelliğiyle birlikte bir latis sıralı halkası olarak taımlar. Diğerleri ( 9. [] A. Bigard, K. Keimel ve S. Wolestei ve Bölüm IX, [4] L. Fuchs ) bir halkayı, tamamıyla sıralı halkaları bir altdirekt izomorik ola bir latis sıralı halkası olarak taımlar. Bu iki taım eşdeğer olarak da görülebilir. Acak, herhagi bilie eşdeğer kaıt Zor Öermesi deki iddialara dayaır. Eğer ikici taım kullaılırsa, her tamamıyla sıralı halkada sağlaa bir özdeşlik, her halkada sağlaır matematiksel yorumu aracılığıyla halkalar üzerideki belli sayıdaki stadart teoremleri kaıtlamak mümküdür. 98 yılıda F. Riesz, Doğrusal Foksiyoları Ayrışması Üzerie [0] ( poziti ve egati kısımlar ) koulu çalışmayı, Riesz uzayları ve poziti operatörleri başlagıcıı, Bologa da Uluslararası Matematikçiler Koerası da sumuştur. 930 ları ortalarıda, Riesz uzaylarıı teorisi H. Freudethal ve L.V. Katorovic taraıda aksiyomatik olarak geliştirilmiştir. Ayrıca, poziti operatörler 930 ları ortalarıda yie L. Katorovich taraıda suulmuş ve çalışılmıştır. Yaptıkları çalışmayı ilk olarak G. Birkho u Latis Teorisi [] kitabıı baskısıyla ders kitabı olarak sumuşlarıdır. Şüphesiz ki, poziti operatörleri e kapsamlı çalışması 930 larda F. Riesz, L. V. Katorovich, ve G. Birkho taraıda yapılmıştır. 940 larda ve 950 leri başlarıda poziti operatörler üzerie çok az çalışma yapılmıştır. Bu periyotta öemli katkılar Sovyet okuluda ( L. V. Katorovich, M. G. Krei, A. G. Pisker, M. A. Rutma, B. Z. Vulik ) ve Japo okuluda ( H. Nakao, K. Yosida, T. Ogasuwara ve öğrecileri ) gelmiştir. 954 yılıda, Kısmi Sıralı Uzaylarda

10 Foksiyoel Aaliz kitabı [] L. V. Katorovich, B. Z. Vulikh ve A. G. Pisker taraıda Sovyet Literatürüe girmiştir. Bu kitap poziti operatörler ve oları uygulamalarıı mükemmel işlemlerii içerir. 950 leri ortalarıda beri poziti operatörleri araştırılması kaydadeğer bir ivme kazamıştır. 955 te 970 yılıa kadar öemli katkılar T. Ado, C. Goma, S. Kapla, S. Karli, P. P. Korovki, M. A. Krasoseskii, P. P. Zabreiko, E. I. Pustylik ve P. E. Sobolevskii, U. Kregel, G. Y. Lozaorskii, W.A, J. Luxemburg ve A. C. Zaae, H. Nakao, L. Namiska, A. Pressii, H. H. Shaeer ve B. Z. Vulikh te gelmiştir. Böylece 960 ları soua kadar poziti operatörleri alt yapısı iyi kurulmuştur. 970 li yıllar, poziti operatörler teorisi içi olguluk periyodu olarak iade edilebilir. 974 yılıda, ilk moograi tamame, literatürde çıka kouya adamıştır. Bu poziti operatörleri gelişmeside büyük etkisi ola H. H. Schaeer i Baach Lattices ad Positive Operators [3] kitabıdır. Bu döemde, bu alada çalışa matematikçi sayısı artmıştır ve araştırmalar daha sistematik şekilde yürütülmüştür. Kouu gelişimi çok hızlamıştır; ve bua ek olarak diğer disiplilere ola uygulamaları gelişmeye başlamıştır. 970 leri kilometre taşı P. G. Dodds ve D. H. Fremli i poziti kompakt operatörlerle ilgili makalesidir [4]. 970 lerde poziti operatör teorisiyle ilgili çalışaları listesi Ju. A. A Abromovich, C.D. Alipratis, S. J. Berau, A.V. Buhvalov, O. Burkishaw, D. I. Cartwright, P. G. Dodds, M. Dohoux, P. Va Elik, J. J. Grobler, D. H. Fremli, H.P. Lotz, W. A. J. Luxemburg, M. Meyer, P. Meyer-Nieberg, R.J. Nagel, U. Schlotterback, H. H. Schaeer, A. R. Schep, C. T. Tucker, A.I. Veksler, A. W. Wickstead, M. Wol ve A. C. Zaae i içerir. 980 ler poziti operatörler teorisi içi çok iyi başladı. Poziti kompakt operatörler üzerie öemli makaleleri bir serisi C. D. Alipratis ve O. Burkishaw taraıda yazılmıştır [5],[6],[7],[8]. Poziti operatörler üzerie bir diğer seçki kitap, poziti operatörler literatürüe eklemiştir. Bu A. C. Zaae i Riesz Uzayları II [9] kitabıdır. Baach uzayları teorisii çalışa pek çok matematikçi poziti operatörleri çalışmaktadır; ve bu durum kouya ekstra bir destek vermiştir. Bua ek olarak, poziti operatörler teorisi, matematiksel izikte ekoomiye kadar pek çok disiplide bazı öemli uygulama alaları bulmuştur.. Tezi Amacı Bu çalışmaı amacı, X bir Archimedea cebiri ve X, X i duali olduğuda OrthX de OrthX e taımladığımız T x Tx döüşümüü ve X de OrthX e taımlaa : X OrthX olmak üzere döüşümüü lieer, birebir bir cebir homorizması olduklarıı göstermektir. Diğer bölümde Baach A modül taımıı verip, X ve X ü birer Baach A modül olduğuu ispatlamaktır. Ayrıca, X ve Y Baach A modülü olduğuda, lieer T : X Y operatörü A lieer ise ou sürekli adjoit operatörü T: Y X ü de A lieer operatör olduğuu ispatlamaktır.

11 .3 Hipotez X Archimedea cebiri ve X i duali de X olduğuda T OrthX, x X içi, :OrthX OrthX, T x Tx döüşümü lieer, birebir bir cebir homomorizmadır. x X ve X Orth X alıdığıda içi,. x: Orth X R,. x x döüşümü ile x OrthX olur. Ayrıca her F X, OrthX içi : X OrthX, F F X döüşümüü aldığımızda :Orth X Orth X olmak üzere, bir cebir g Orth X : 0 g ve g olmak üzere X i homomorizmadır. sıralı duali X de 0. x 0 olduğuda x 0 X, bir Baach x olacak şekilde bir elemaı alıdığıda olur. A modül olduğuda her A taımladığıda * a m a * modüllerdir. w t * a içi m : A LX x X içi, *, m a a. m olur. Ayrıca, X ve X birer Baach A * zayı * operatör topoloji olmak üzere her * a A içi m a, A A, A ye süreklidir. Ve, X ve Y Baach A modülü olduğuda, lieer T : X Y operatörü A lieer ise ou sürekli adjoit operatörü T: Y X de A lieer operatördür. de LX w t * X, bir Baach A modül ve T : X X operatörü bir A lieer operatör olduğuda, T : X X operatörü T operatörüü adjoiti olmak üzere her x X, x X, içi Tx. x xt. x olur. Ayrıca Eğer, T OrthA X, ise o zama T OrthA X olur. 3

12 BÖLÜM Bu bölümde çalışmamızı içide yer ala temel taım ve teoremleri vereceğiz. Taım. E boş olmaya bir küme ve K cismi veya olsu. : E E E,. : K E E, x, y x y a, x a. x, döüşümleri ile toplama ve çarpma işlemlerii taımlayalım. Aşağıdaki koşullar sağlası. a ) Her b ) Her x, y, z E içi x y z x y z ( toplamada birleşme özelliği ) x, y E içi x y y x ( toplamada değişme özelliği ) ÖN BİLGİLER c ) Her x E içi x 0 x eşitliğii sağlaya E içide bir tek 0 ( sıır ) elemaı vardır. ( Burada 0 elemaı, etkisiz elemadır.) d ) Her x E içi x x 0 eşitliğii sağlaya bir tek x E vardır. ( x toplamada ters elemadır. ) e ) Her x E içi.x x ( çarpmada birim ya da etkisiz elemadır. ), içi x abx ) Her x E ve a bk g ) Her h ) Her ab. x E ve a, bk içi ax y ax ay. x E ve a, bk içi a bx ax bx. Bu durumda E ye K üzeride bir vektör uzayı ( lieer uzay ) ve elemalarıa da vektör deir. alıırsa E ye bir reel vektör uzayı, alıırsa E ye bir kompleks vektör uzayı adı verilir []. 4

13 Örekler. ) Reel sayılar kümesi ve kompleks sayılar kümesi bildiğimiz çarpma ve toplama işlemlerie göre birer vektör uzayıdır. ) olsu. x x,..., x, y y, y y E x,,..., içi toplama işlemii şu şekilde taımlayalım: x y x,..., y x y. Bir a R sayısı ile x x,..., x E vektörüü çarpımıı da şu şekilde taımlayalım: a. x ax,... ax. Bu çarpma ve toplama taımları ile bir vektör uzayıdır. 3 ) K, veya ve X boş olmaya bir küme olsu. X kümeside K kümesie taımlı tüm oksiyoları kümesi E olsu. Yai ; E : X K., g E içi gx x gx, x X olarak toplam taımlası. Bir a K ve E a x a x olarak taımlası. Bu çarpma ve toplama işlemlerii taımları ile E bir vektör uzayıdır. Çükü, içi çarpımı a ) Her, g E içi, g h x x g hx x gx hx x gx hx, x X. O halde g h g h b ) Her sağlaır., g E içi, gx x gx gx x g x x X,. O halde g g sağlaır. c ) 0x 0, x X. O halde sıır oksiyou 0, E i sıırıdır. d ) E içi E e ) Her E sağlaır. oksiyou x x içi. x x x, x X ) a, b K ve E, x X içi, eşitliğii sağlar. olduğuda. özelliği ab x ab x ab x ab x olduğuda ab g ), g E, ak ve x X içi, ab sağlaır. a g x a gx a x gx a x agx a agx olduğuda 5

14 a g a ag sağlaır. h) a, b K, E ve x X içi a b x a b x a x b x a b x a b a b sağlaır. olduğuda O halde E bir vektör uzayıdır []. Taım.3 Boşta arklı bir küme üzeride yasıma, ters simetri ve geçişme özellikleri varsa bağıtısıa bu küme üzeride sıralama bağıtısı deir. Boşta arklı E kümesi üzerideki sıralama bağıtısı şu özellikleri sağlar : i) Her x E içi x x olur. ( yasıma ) ii) Her iii) Her x, y E içi x y ve y x sağlaıyorsa x y olur. ( ters simetri ) x, y E içi x y ve y z sağlaıyorsa x z olur. ( geçişme ) Herhagi bir küme sıralama bağıtısı özelliklerii sağlıyor ise bu kümeye kısmi sıralı küme deir. Üzeride sıralama taımlamış reel vektör uzayıa da kısmi sıralı reel vektör uzayı deir [0]. Taım.4 E, bir reel vektör uzayı ve E üzeride bir sıralama bağıtısı olsu. Her x, y, z E ve a 0 reel sayısı içi, i ) x y x z y z i i) x y ax ay aksiyomları sağlaıyorsa E ye sıralı vektör uzayı deir [0]. Taım.5 E bir K cismi üzeride bir vektör uzayı olsu.. : E R, x x, taımlı döüşümüe aşağıdaki koşulları sağlarsa E üzeride bir orm adı verilir. i Her ii Her E x E içi x 0 x içi x 0 ise x 0. iii Her x E ve a K içi ax a x iv Her x, y E içi x y x y ( üçge eşitsizliği ) Bu durumda E,. çitie bir ormlu vektör uzayı deir. Üzeride orm taımlamış bir uzaya ormlu bir uzay adı verilir []. 6

15 Örek.6 ) olsu. x R içi x x taımı ile. üzeride bir orm belirtir. ) olsu. x C içi x x taımı ile. üzeride bir orm belirtir. 3) olsu. x x,..., x E içi, taımı ile. x i x i E üzeride bir ormdur. 4) p içi l p taımı ile E olsu. x x l p x i içi x p l p üzeride bir ormdur. 5) X boş olmaya bir küme ve B X oksiyoları vektör uzayı olsu. BX içi sup t taımı ile. X İspat: tx p, X üzeride taımlı sıırlı reel değerli B üzeride bir ormdur. Reel sayıları özelliğide üstte sıırlı bir kümei e küçük üst sıırı olduğuda orm iyi taımlıdır. Şimdi sıra ile orm aksiyomlarıı sağladığıı görelim: i ) Mutlak değeri taımıda dolayı her BX ii) BX içi t halde 0 ( sıır ) oksiyoudur. iii) BX a K, içi a iv) g BX içi 0. 0 olduğuda her X t sup a a. tx, içi. t gt t gt olduğuda dolayı t içi t 0 dır. O g g üçge eşitsizliği elde edilir []. 7

16 Taım.7 E,. ormlu bir uzay ve x E içide bir dizi olsu. Verile her 0 içi bir 0 buluduğuda her, m 0 içi x x m oluyorsa x dizisie E içide bir Cauchy dizisi deir. Eğer E içideki her Cauchy dizisi E deki orma göre yakısak ise E uzayıa bir Baach uzayı ( veya Tam uzay ) adı verilir. O halde bir ormlu E uzayıı Baach uzayı olması içi gerek ve yeter koşul x E ve verile her 0 içi bir 0 sayısı buluabilir ki her, m 0 içi x x m eşitsizliği sağladığıda bir eşitsizliğii sağlamasıdır []. Örek.8 x E ve bir sayısı buluabilir ki her içi x ) p içi l p uzayı bir Baach uzayıdır. İspat: x l 0, içide bir Cauchy dizisi olsu, yai x y,,... p Bu durumda sayısı buluabilir ki, m içi, 0 0 j. verilsi. j x x x m sağlaır. O halde, m 0 içi j olur. Dolayısıyla her k 0 içi y y jm y j p km yk j y p jm p y j p p olur. y k reel sayılarda bir Cauchy dizisi olduğuda yakısar, yai, lim y y R, k,... olsu. Serii kısmi toplamlar dizisii düşüelim. k k Buu içi keyi bir 0 K sayısı içi, K y y jm j j j p y jm y j p p yazalım. Her 0 içi K j y jm y j p K j y jm y j p p olur. K keyi olduğuda her içi 0 içi 0 0 p y j j y j serisi yakısar. O halde her j y j y j p p 8

17 olduğuda y y j l, j,... 0 p y j l, j,... 0 p ve p y j y j y j y j l 0 0 p olur. y j x j elde edilir. Ayı zamada x j y j l bir vektör uzayı olduğuda x olsu. O zama 0 içi y olduğuda lim x elde edilir. O halde l p uzayı bir Baach uzayıdır. x j p p ) Sıırlı dizileri uzayı l üzerideki supremum ormua göre bir Baach uzayıdır, x x l içi, yai, x sup x. 3) Yakısak dizileri uzayı c üzeride taımlaa supremum ormua göre bir Baach uzayıdır, yai, x x c içi, x sup x. Taım.9 ve A sıralı bir vektör uzayı olsu. Her x A içi x y olacak şekilde bir varsa ye A içi bir üst sıır deir. A kümesie de üstte sıırlı küme deir. Her x A içi x z, z R olduğuda y z ise y ye A ı e küçük üst sıırı ( supremumu ) deir ve sup A ile gösterilir []. Taım.0 ve B sıralı bir vektör uzayı olsu. Her x B içi y x olacak şekilde bir varsa ye B içi bir alt sıır deir. B kümesie de altta sıırlı küme deir. Her x B içi z x, z R olduğuda z y oluyorsa y ye B kümesii e büyük alt sıırı ( iimumu ) deir ve i B ile gösterilir []. Taım. E, toplamsal özelliklere sahip bir sıralı vektör uzayı olsu. Her x, y E çiti içi xy, kümesii supremumu ve iimumu yie E i elemaı ise E ye bir Riesz uzayı ( vektör latis ) deir. x y : sup x, y x y : i x, y şeklide gösterilir []. Taım. E, bir sıralı vektör uzayı ise; E x E : x 0 koisi deir. Her şekildedir: kümesie, E i poziti x E içi x i poziti kısmı, x i egati kısmı ve mutlak değeri şu x x 0 x x 0 9

18 x x x []. Taım.3 E, bir Riesz uzayı olsu. x: N kümesi üstte sıırlı olduğuda x 0 oluyorsa, E ye Archimedea Riesz uzayı deir []. Taım.4 E bir Riesz uzayı olsu. G, E i bir vektör alt uzayı olsu. Eğer G, E deki latis işlemleri altıda kapalı yai her x, y G içi x yg ve x yg ise G ye E i bir Riesz alt uzayı deir []. Taım.5 E bir Riesz uzayı olsu. x, y E alalım. Eğer, x y 0 ise x, y ye diktir deir ve x y şeklide gösterilir []. Taım.6 E bir Riesz uzayı olsu. E i boşta arklı bir alt kümesi A olsu. A ı ayrık tümleyei d A ile gösterilir ve A d xe : her ya içi x y şeklide taımlaır [0]. Taım.7 E bir Riesz uzayı ve olsu. x x, y E olsu. E i boşta arklı bir alt kümesi A y ve y A ike x A oluyorsa A ya solid ( katı ) deir [0]. E i bir solid vektör alt uzayıa E de bir ideal deir. Taım.8 E bir Riesz uzayı olsu. x A ve x x a a A, E içeriside bir ideal olsu. 0 ike x A oluyorsa A ya E de bad deir [0]. Örek.9 E L p 0,, 0 p ve G L 0, olsu. O zama G E L 0, eşitsizliği ile G, E i idealidir, E de L 0, i idealidir. ( Burada g eşitsizliği ile Lebesgue ölçümüe göre her x içi x gx olduğu gösterilmektedir.) Taım.0 Bir Riesz uzayı E üzeride taımlı. orma; x, y E içi x y olduğuda x y oluyorsa; latis orm deir. Latis ormu içere Riesz uzaya da ormlu Riesz uzayı deir []. Taım. Normlu Riesz uzayıa tam ise Baach latis deir []. Taım. Bir Riesz uzayıa, uzayı üstte sıırlı her boşta arklı alt kümesi bir supremuma ( ya da altta sıırlı her boşta arklı alt kümesi bir iimuma ) sahipse Dedekid tam Riesz uzayı deir []. Taım.3 Bir Riesz uzayıa, uzayı üstte sıırlı her sayılabilir alt kümesi bir supremuma sahipse -Dedekid tam Riesz uzayı deir []. 0

19 Taım.4 Bir Y sıralı vektör uzayıa eğer her içi x y iadesi x 0 olmasıı gerektiriyorsa Archimedea sıralı vektör uzayı deir []. Taım.5 E, bir vektör uzayı ve K reel veya kompleks sayıları cismi olsu. : E K lieer operatörüe bir lieer oksiyoel deir [0]. Taım.6 : E R bir lieer oksiyoel olsu. Her oksiyoelie pozititir deir [0]. x E içi x 0 oluyorsa : E R bir lieer oksiyoel olsu., E i sıralı sıırlı alt uzaylarıı R i sıırlı alt uzaylarıa örterek eşliyorsa ye sıralı sıırlı oksiyoel deir [0]. Taım.7 E, bir Riesz uzayı olsu. i E üzerideki tüm sıralı sıırlı lieer oksiyoelleri vektör uzayıa E i sıralı duali deir. E ile gösterilir. ii E üzerideki sıralı sürekli lieer oksiyoelleri vektör uzayı E ile gösterilir. E E üzeride badtır. E badıa, E i sıralı sürekli duali deir. iii E bir Riesz uzayı ise ou sıralı duali E de yie bir Riesz uzayıdır. E üzerideki tüm sıralı sıırlı lieer oksiyoelleri Riesz uzayıa E i ikici sıralı duali deir ve E ile gösterilir. E, E ü sıralı dualidir [0]. Örekler.8 a) c l olduğuu gösterelim. 0 İspat: c 0 olsu. e y ve y y olsu. O zama, yazalım. x sg y e, e 0,...,0,... N N N xn y xn eşitsizliğide y y l ve y elde edilir. x c0, x x x y içi i lieer ve sürekliliğide x x e x y yazılabilir. Burada da x x y x y eşitsizliğide x üzeride supremum alıırsa y elde edilir. Bu edele y, yai T y.

20 T c l, : 0 T e y döüşümü lieer izometri olduğuda T i örte olduğuu göstermek yeterlidir. y y l alalım. O zama, Buu içi g y x x y, x xe l Bu edele Tg g e y y ile T b) c l olduğuu gösterelim. İspat : x c x, x x0 y taımıyla g y sürekli lieer bir oksiyoeldir. y örtedir. O halde c0 l lim ve,,,... e olmak üzere, dir. x x N 0e x x e 0 lim yazalım. Bir c içi, x x0 e x x e 0 N lim, 0 e b, e b olsu. c c olduğuda x c, 0 0 x kabul edelim. O zama, da x x 0 b 0 eşitsizliği l olmasıı gerektirir. 0 x b ve burada b 0 b a0 olsu. 0 0, ve burada da a b 0 Bu durumda x x a x b x x c olur. y y l ve y a b ise b lim x x y x c olduğuda örtedir []. 0 0 y, y c ) l l dir. İspat : l uzayıı Schauder tabaı e olsu. O halde x l vektörü şekilde tek bir biçimde a sayı dizisi buluabilir. Böylece, T : l l T ve e b, e lieer ve sıırlı olduğuda, b e, e ve buda dolayı, olarak taımlası. x a e olacak

21 sup elde edilir. O halde b l dir. b x a b x supb i i x üzeride supremum alıırsa sup x elde edilir. x O halde T b, yai bir y y l içi g y x a y, x a l olacak biçimde bir g lieer ve sıırlı oksiyoeli vardır. g i lieerliliği açık olduğuda g i sıırlılığıı verelim: g x O halde y a y x. g l dür. Teorem.9 E, bir reel vektör uzayı ve F, E i bir özalt uzayı ve p : E R bir altlieer oksiyoel ve : F R bir lieer oksiyoel ve her x F içi x px olsu. O zama, bir sağlaır ve her İspat: ˆ : E R lieer oksiyoeli buluabilir ki her E x F içi ˆ x x dir []. x içi ˆ x px Bu teoremi ispat etmek içi öce şu iddiayı ispat edelim. z E F olsu. z ve F ile üretile altuzay M olsu, yai, M spa z F. : F R bir lieer oksiyoel ve p : E R bir altlieer oksiyoel, ve her x F içi x px olsu. O zama oksiyoelii M altuzayıa geişletebiliriz, yai; ˆ : M R lieer oksiyoeli buluabilir ki, her x M içi ˆ x px eşitsizliği ˆ x x dır. sağlaır ve x x p olsu. y u F içi y u y u py u py z p u z eşitsizliği elde edilir. O halde, u z u py z y p eşitsizliği doğrudur. y F elemaıı sabit tutup u F üzeride supremum alalım. Sol taraı bir üst sıırı olduğuda e küçük üst sıırı vardır, bu a olsu. u z u a sup p : u F. Şimdi u F elemaıı sabit tutup y F üzeride iimum alalım. Sağ taraı bir alt sıırı olduğuda e büyük alt sıırı vardır, bu b olsu. py z y b i : y F. O halde bir c R buluabilir ki a c b eşitsizliği sağlaır. Bir t F içi, 3

22 t z t c pt z t p olur. z E F olduğuda bir a K içi, x y az, y M yazılabilir. ˆ : M R döüşümü ˆ y az y ac olarak taımlası. ˆ, M üzeride iyi taımlı, lieer oksiyoeldir. a 0 alıırsa ˆ y y olduğuda ˆ, oksiyoelii bir geişlemesidir, yai, her y M içi ˆ y y eşitliği sağlaır. Bir x M alalım. O halde x y az biçimidedir. Burada a sayısı 0 a, a 0 veya a 0 dır. a 0 olsu. O zama y az ˆ y y ˆ eşitsizliği sağlaır. y py a 0 olsu. Bu durumda eşitsizliğide c p ˆ olduğuda y z y y F yazılırsa a c p y a olması gerekir. Böylece, yai, y z a y ac py az x x ˆ p elde edilir. 3 a 0 olsu. Bu durumda eşitsizliğide p y z y c y F yazılırsa a p y a y z c a buluur. a 0 olduğuda, ˆ y ac y py az elde edilir. oksiyoelii geişlemesi ola lieer oksiyoelleri kümesi S : I 4

23 olsu ve her x içi x px, S içi, sağlası. S olduğuda S kümesi boş değildir. T T, T bağıtısıı taımlayalım. Burada T a üzeride bir kısmi sıralama bağıtısı taımlar. ile x T olsu. O zama, bir içi T olduğuda, sağlaır. T T veya T T olsu. x, y alalım. Bu durumda x y T T ı taım kümesi belirtilmektedir., S T x ve x x x, y T ve x y T olduğuda T elde edilir. bir skaler ve ax T x T ise ˆ S ve T bir altuzaydır. ˆ T ˆ dır. S lieer olarak sıralı olduğu da bezer biçimde gösterilir. Böylece T bir altuzaydır. ˆ iyi taımlıdır. Buu içi x T ve xt ˆ x x ve ˆ x x olur. Bu durumda ya alalım. O zama buluur. O halde her,, i geişlemesi veya a x xt ˆ a içi px x Ve ˆ lieer bir oksiyoeldir. Her I içi ˆ ı geişlemesi olduğuda, sağladığıda S üstte sıırlıdır. Bu edele Zor Yardımcı Özelliğide dolayı bir G S olduğuda G, i bir geişlemesi ve Gx px ve T E dir. E T G olsaydı bir y E, y TG vektörü buluabilirdi. O zama i x T içi geişlemesi bir başka H lieer oksiyoeli olacaktı ve her x H px G y G 5

24 eşitsizliği sağlaacaktı. Bu durumda H S olması gerekirdi ki bu G i maksimal elema olması ile çelişir. O halde T G E dir. Teorem.30 (Hah-Baach Teoremi ) E, bir kompleks vektör uzayı, F de E i bir alt uzayı ve p, E üzeride bir semi-orm olsu. : F K lieer oksiyoel ve her x F içi x px olsu. O zama bir H : E K lieer oksiyoeli buluabilir ki, H F ve her E oksiyoelie i geişlemesi adı verilir []. İspat : x içi x px 6 H sağlaır. Buradaki H i olarak yazalım. Burada ve reel değerli lieer oksiyoellerdir. a R içi, ax ax i ax a xia x a x x, y E içi, elde edilir. x y x y i x y x y i x i y x y sağladığıda lieer oksiyoeldir. Burada ile reel lieer oksiyoellerdir. ix ix i ix i x i x x ix, x ix eşitliğide x i buluur. Hipotezde, x px, x F elde edilir. Hah-Baach ı reel drumuda lieer oksiyoelii geişlemesi bir G lieer oksiyoeli buluabilir ki her x E içi x x G p sağlaır. Şimdi, x G x ig ix x G H taımlayalım. x F olsu. O zama, x ve ix ix x G elde edilir. Bu yüzde, x xi x x H eşitsizliği bize H i i bir geişlemesi olduğuu gösterir. H ix G ixig ix G ix ig x ih x eşitsizliği bize H i bir lieer i H x olsu. Hx re yazalım. oksiyoel olduğuu verir. 0 e x r Hx H i i i olduğuda He x G e x olur. O halde her x E içi,

25 i i x px Hx G e pe px G eşitsizliği sağlaır. H x ise açıktır. Eğer, 0 Öerme.3 ormlu bir E uzayıı bir F alt uzayıda sıırlı lieer bir oksiyoel olsu. O zama oksiyoelii E uzayıa ormları korumak üzere geişletebiliriz. O halde, bir ˆ : E K lieer oksiyoeli buluabilir ki her x F içi ˆ x x ve ˆ sağlaır []. Taım.3 T : X Y operatörü iki vektör uzayı arasıda taımlası. Her x, y X ve her, deir [0]. skaleri içi; T x y T x T y Taım.33 X ve Y ormlu uzaylar ve T : X T i ormu; T sup Tx sup Tx ile taımlaır. x x oluyorsa; T ye lieer operatör Y operatörü bir lieer operatör olsu Eğer; T ise T ye sıırlı operatör deir [0]. Taım.34 İki sıralı vektör uzayı arasıda taımlamış T : E içi Tx 0 Eğer; 0 oluyorsa poziti operatör deir. x içi x 0 F operatörüe; x 0 T oluyorsa, T operatörüe tam poziti operatör deir [0]. Taım.35 T : X Y iki sıralı vektör uzayı arasıda taımlı bir operatör olmak üzere; T, X i sıralı sıırlı alt kümelerii, Y i sıralı sıırlı alt kümelerie taşıyorsa, T ye sıralı sıırlı operatör deir [0]. Taım.36 E, F ormlu uzaylar ve T : E F lieer sıırlı bir operatör olsu. O zama T operatörüü adjoiti, T, T: F E, g F içi Tg gt ile taımlaır []. g, hf içi T g hx g htx gtx htx T g Th x, xe olduğuda T toplamayı korur. a K, F içi a x a Tx a Tx at x xe T, olması T i çarpmayı koruduğuu gösterir. Böylece T lieer bir operatördür. 7

26 Tx g Tx g eşitsizliğide T g E olduğu görülür. a Taım.37 x E de bir et olsu. Eğer x x y 0 olacak şekilde ayı ideksli a a kümede bir a y eti varsa x, x e sıralı yakısar deir ve x a 0 x a ile gösterilir. İki Riesz uzayı arasıda taımlı T : E o de Tx 0 oluyorsa, sıralı sürekli operatör deir []. Örek.38 T Tx x,... x x, x,... ) l l, : lieer ve sıırlıdır. F operatörüe; E de x 0 olduğu sürece F, x3 ) T C0, R, T xdx 0 ile taımlı T operatörü : taımıyla T sıırlı lieer bir operatördür. 3) E p p R R poliom : uzayı veriliyor. T E R taımıyla T bir lieer operatördür. 4) T :C0, içi : C0, C0, T x si x cos x T operatörü taımıyla süreklidir. o :, Tp pt, t R Taım.39 İki Riesz uzayı arasıda taımlı T : E T x y TxTy F operatörüe, her x, y E içi; oluyorsa, latis homomorizma ( Riesz homomorizma ) deir [0]. Taım.40 x : i i ve y j : j m elemaları iki sıırlı altkümeleri olsu. Eğer; poziti elemaları zi j : i ; j m olacak şekilde, bir Riesz uzayıda taımlı poziti m xi yj sağlaıyorsa; o zama bu i j m x z ; i,..., i j y z ; j,..., m j i ij ij sıırlı alt kümeleri vardır []. 8

27 Taım.4 L, bir Archimedea Riesz uzayı olsu. L de taımlı operatörü L deki her B badı içi B B yi sağlıyorsa ye bad geişleye deir. i bad geişleye operatör olması içi gerek ve yeter koşul L deki g olduğuda g olmasıdır [9]. ve g içi Teorem.4 L, bir Archimedea Riesz uzayı olsu. L de taımlı operatoru içi aşağıdaki durumlar dektir: i, bad geişleyedir. D D sağlaır. d d ii L i boşta arklı her D alt kümesi içi iii L de u v 0 ise u v olur. iv L de g ise g olur. v L deki her elemaı içi Eğer bu koşullar sağlaıyorsa, her İspat : dd sağlaır. L içi sağlaır [9]. i ii d D bad olduğuda bu durum aşikardır. ii iii u v dir. iii iv g u ise uv d olur. Buda dolayı uv d Eğer v0 elde edilir. Yai; olduğu içi g 0 ve g 0 eşitlikleri sağlaır. O zama g ve g görülür. iv v d olur. Buda dolayı g olduğu de herhagi bir g elemaı alalım. O zama g olduğuda g sağlaır. Bu durum dd olduğuu gösterir. i v L de bir B badı alalım. L olsu. ve olur. Yai, Taım.43 elde edilir. Fakat o zama, dir. olduğu içi E ve F vektör uzayları ve T : E F lieer operatör olsu. Çek T xe : Tx0 kümesie T i sıır uzayı ( çekirdeği ) adı verilir [0]. 9

28 Taım.44 L, bir Archimedea Riesz uzayı olsu. L deki sıralı sıırlı bad geişleye operatöre ortomorizma deir [9]. Özellikler : * L, bir Archimedea Riesz uzayı olsu. Eğer, L de bir poziti operator ise; o zama i ortomoizma olması içi gerek ve yeter koşul, L de u v 0 olduğuda u v 0 olmasıdır. * Orth (L) ile L deki bütü ortomorizmalar kümesi gösterilir. (L) sıralı sıırlı operatörleri kümesi ola * L L b de, operatörlerii alalım. Eğer ; her u L içi u u ike vektör uzayı olur. * L Orth, L deki tüm L b L vektör uzayıı lieer alt uzayıdır. oluyorsa, L Orth vektör uzayı sıralı L b de alıa, operatörleri içi, 0 ve ortomorizma ise operatörü de ortomorizmadır. * Özel olarak eğer L Dedekid tam ise, L L b uzayı Dedekid tam Riesz uzayıdır. Bu durumda L deki sıralı sıırlı operatörüü ortomorizma olması içi gerek ve yeter koşul ve operatörlerii ortomorizma olmalarıdır. Diğer bir iadeyle ; i ortomorizma olması içi gerek ve yeter koşul i ortomorizma olmasıdır. Bu durumu L b L de taımlı L Orth L, L * N ve Orth i ideal ( ve bad ) olması takip eder. Aslıda L b i birim operatörü taraıda üretile bad geişlemesidir. R ile sıır uzayı ve ortomorizma i görütüsü iade edilmek üzere ; N N ve olması * Orth L, bir Riesz uzayıdır. N L de bir badtır. Ayı zamada L R R olmasıı gerektirir. Orth de N R d ve Taım.45 E bir kompleks vektör uzayı ve E i elemalarıı çarpımı şu aksiyomları sağlası. x, y E içi xy E olsu. ) yz xyz x, ) xy z xy xz, 3) x yz xz yz 4) K, a içi xy xay a. O zama E ye bir cebir deir. Her x E içi ex xe x eşitliğii sağlaya 0 ee varsa E ye birimli cebir deir. Her x, y E içi xy yx ise E ye değişmeli cebir deir [9]. 0

29 Taım.46 Normlu bir E uzayı cebir aksiyomlarıı sağlası. Her x, y E içi xy x y ise E ye ormlu cebir deir. Tam ormlu cebire bir Baach cebiri deir [9]. Taım.47 Eğer A Riesz uzayıda çarpmaı birleşme özelliği ( geel cebir kurallarıa göre ) var ve u, v A içi u v0 sağlaıyorsa Riesz uzayı A ya Riesz cebiri deir. Her 0 u, v A içi 0 uv olması u. v x. y olmasıa dektir [9]. Örek.48 Riesz cebirie örekler verelim: ) Dedekid tam Riesz uzayı L deki tüm sıralı sıırlı operatörler cebiri L b (L) bir Riesz cebiridir. ) X topolojik uzayı üzerideki tüm reel değerli oksiyoları uzayı C (X ) bir Riesz cebiridir. Taım.49 Riesz cebiri A ya her deir [9]., g A içi g g sağlıyorsa değişmelidir Taım.50 A, bir Riesz cebiri olsu. Eğer alıa her w A içi u v 0 olduğuda uw v wu v 0 oluyorsa A ya cebiri deir. Archimedea özelliğii sağlaya cebiri e Archimedea cebiri deir. cebirleri e aşağıdaki örekleri verebiliriz: Bir X topolojik uzayı üzeride tüm sürekli reel oksiyoları cebiri X cebiri dir. C bir Bir X topolojik uzayı üzeride tüm sıırlı sürekli reel oksiyoları oluşturduğu C b X bir cebiri dir. Riesz uzayı 3 Boşta arklı X kümesi üzeride tüm reel oksiyoları oluşturduğu Riesz uzayı X R bir cebiri dir. Riesz uzayı X 4 Boşta arklı X kümesi üzeride tüm sıırlı reel değerli oksiyoları oluşturduğu bir cebiri dir. 5 Ölçüm uzayıda taımlı tüm ölçülebilir oksiyolarda oluşa Riesz uzayı bir cebiri dir [9]. Özellikler: * Her Archimedea cebiri değişmelidir. * Orth L uzayıı birim elemaıı L i birim elemaı olarak taımladığımızda Orth L uzayı bir Archimedea cebiri dir. Eğer L düzgü olarak tamsa Orth L de tamdır. Eğer L izdüşüm özelliğie sahipse Orth L de izdüşüm özelliğie sahiptir.

30 * L birim elemalı Archimedea cebiri ve, L de ortomorizma olsu. O zama, her L içi p sağlaya bir p L vardır. * A bir cebiri olsu. Her A içi 0 u v u v doğrudur. ve dır. Her u, va içiu v u v * A ı birim elemaı e olsu. O zama e 0 dır. Herhagi bir u A elemaıı tersi vardır ve u A dır. Ayrıca u u e sağlaır. u, va alalım. Eğer hem u hem de v i tersleri var ise ; u v u v ve v u v u sağlaır. * A yarıasal ( 0 olması içi gerek ve yeter koşul 0 olmasıdır) olsu. O zama ve g i ayrık olması içi gerek ve yeter koşul g 0 olması ve sürece 0 u v eşitsizliğii sağlamasıdır. u v olduğu * Archimedea cebirleri de her g A g g g eşitliği sağlaır. A eğer birim elemalı Archimedea ise, A yarıasaldır ve bu özellik yukarıda bahsedile tüm özellikleri kapsar. Bu özellikleri hepsi Orth L içi de geçerlidir., içi Taım.5 Baach latis A, cebiri olduğuda A ya Baach cebiri deir [9]. Teorem.5 Archimedea Riesz uzayı L deki her ortomorizma i sıralı sürekli olması içi L de u u 0 olduğuda i 0 eşitliğii sağlaması gerekir [9]. 0 T * L, Archimedea Riesz uzayı olsu. L deki her poziti ortomorizma Riesz homomorizmadır. *, Archimedea Riesz uzayı L de taımlı bir poziti ortomorizma ike u v 0 eşitliği de L de sağlaıyorsa o zama ; u v 0 ve burada da u v 0 eşitliği sağlaır. Bu iadei tersi doğru değildir. Öreği; sıırda arklı bir a sayısıı alalım. Eğer, L L R ve : L L her L içi x x a olarak taımlamışsa, o zama bir Riesz homomorizmadır akat ortomorizma değildir. L de taımlı birim operatör, poziti ortomorizmadır. Yardımcı Teorem.53 L, Archimedea Riesz uzayı ve M Dedekid tam Riesz uzayı olsu. L i Dedekid tamlamasıı L ile göstereceğiz. Ayrıca T : L M operatörü sıralı sıırlı ve sürekli yai M de T, T ve T sıralı sürekli T, u T i Tu =0 ike L de u u 0 olsu. O zama; T ve T L de M ye şeklidedir. Ve 0 geişlemelerie sahiptir. Bu geişleme T T, T T eşitlikleri sağlaır [9]. Yardımcı Teorem.54 Archimedea Riesz uzayı L deki herhagi bir ortomorizması, L i tamlaması L daki ortomorizma ye geişletilebilir [9].

31 Yardımcı Teorem.55 Dedekid tam Riesz uzayı L de bir ortomorizması alalım. O zama, her u ; L içi, u u ve u u olur [9]. Teorem.56 L, bir Archimedea Riesz uzayı olsu. Herhagi bir OrthL aşağıdaki özellikler sağlaır: i i sıır uzayı ii N N, L de bir badtır ve N N N N olur. d R, ( R i görütüsüü iade etmektedir ) [9]., içi Teorem.57 L, bir Archimedea Riesz uzayı olsu. O zama, sıralı vektör uzayı Orth (L) bir Archimedea Riesz uzayıdır. Ve her Orth( ) ve her u L içi, ( ) u u u u u u sağlaır. Ayrıca, her Orth(L) u u u u u u sağlaır [9]., ve ve her u L içi;, L Teorem.58 L bir Archimedea Riesz uzayı olsu. Her Orth(L) içi aşağıdaki özellikler geçerlidir: i i sıır uzayı N, L de bir badtır ve N N N N ii R i değeri olmak üzere,, d N R dir [9]. Souç.59 L, bir Archimedea Riesz uzayı olsu: i L de taımlı ortomorizması acak ve acak kedisie eşitse birebirdir. Yai, ii R dd L. R bad geişlemesi L i Orth L ve D dd, ( ) L olacak şekilde L i bir D alt kümesii alalım. Eğer, her D içi verilmişse o zama dir. Ayrıca, eğer e, L de zayı sıralı birim ve e e ise, o zama dır. dır. iii Bir L içi 0 sağlaıyorsa, o zama 0 dır. Ayrıca 0 ise 0 iv Eğer,, Orth ( X ) içi sağlaıyorsa R R dır [9]. Teorem.60 Her Archimedea cebiri ayı zamada değişmelidir [9]. 3

32 İspat : A da poziti elemeları değişmeli olduğuu göstermek ispat içi yeterlidir. Öcelikle A da u v 0 olduğuda uv 0 olur. A cebiri olduğuda, u v 0 eşitliğide v 0 v d uv yazabiliriz. Yai, uvv d dir. Diğer tarata, v v d olmasıda uv elde edilir. Böylece uv 0 olur. Bezer şekilde vu 0 olur. u A içi uw wu w A verilsi. Her olduğuu gösterelim. Buu içi öcelikle A da her A içi, w ve r w olacak şekilde ve r operatörleri taımlayalım. O zama, ve r operatörleri A da poziti ortomorizmalardır. Herhagibir ispatı ilk kısmıda vw 0 v A içi d w de v w 0 eşitliği vardır. O zama, wv elde edillir. Diğer bir iadeyle her vw d 0 içi v v 0 olur. Burada her w d içi r yazılır. Böylece r w r w w elde edillir. A ı, d alalım. O zama, 0 w ve w yi içere bir D alt kümesii d D dır. Yai, D dd A olur. Ayrıca, ve D de çakışıktır. Bu A da r olması demektir. Yai, her u, w A içi wu uw olur. L b (L) Archimedeadır akat değişmeli değildir. Bu yüzde L b (L) Riesz cebiri olup cebiri olmaya cebire özel bir örektir. Taım.6 Orth L de I taraıda üretile ideale L i merkezi deir ve L gösterilir. Yai ZL T OrthL: T I her skaleri içi [9]. Teorem.6 yeter koşul bir sayısı içi OrthL olarak verilsi. O zama, ZL I olmasıdır [9]. r Z ile olması içi gerek ve Teorem.63 L, birim elemaı e ola Archimedea cebiri olsu. ( yai her L içi e e ) Eğer, L de bir ortomorizma ise o zama her L içi p sağlaacak şekilde bir p L vardır. Ters olarak her p L, p ile taımlı L deki bir ortomorizmasıa ede olur. ortomorizmasıı poziti olması içi gerek ve yeter koşul p elemaıı poziti olmasıdır. Ayrıca, ortomorizmasıı Z (L) ye ait olması içi gerek ve yeter koşul p i L de e taraıda üretile ideale ait olmasıdır [9]. Teorem.64 Her cebiri A aşağıdaki özellikleri sağlar: i Poziti elemala çarpım bir Riesz homomorizmadır. Yai her, g A içi; u g u ug ve gu u gu eşitlikleri sağlaır. Bezer şekilde ; u A ve her 4

33 u g u ug ve gu u gu Ayrıca ; eşitlikleri sağlaır. u ve u u u eşitlikleri de sağlaır. ii Her, g A içi g. g eşitliği sağlaır. Ayrıca; g g ve g g g g eşitlikleri de sağlaır. iii Eğer;, g, h A ve g ise h g ve h g olur. Buda dolayı A daki herhagi bir ayrık tümleye çit taralı halka idealidir. iv Eğer ;, g A içi g ise. g 0 dır. Her A içi 0 eşitliği sağlaır. v Her u u vi Her v vii Her A içi 0 ve 0 ' dır. u, v A içi; uv vu ve u v uv vu u, v A içi; u v ve u v u v v İspat : sağlaır. sağlaır [9]. i g g g 0 olduğu içi u u g ug u g 0 olur. Ve burada da, u g u ug elde edilir. g g g eşitliğii biliyoruz burada u g u ug olduğuu elde ederiz. Sağda çarpım da bezer şekilde gösterilir. ii, g A verilsi. cebiri taımıda, g g, g g, g g ve g g vardır. Burda g g g g u buluur. Ayı zamada g u u olduğuu da biliyoruz. u elemaları poziti ve ayrıktır, arkları da g dir. O u ve u g u ve g u zama oldukları içi bu durum; g g u u g g g g. olmasıı gerektirir. iii g ve h keyi seçilmiş olsu. O zama, g 0 olduğuda. g 0 h olur. Yai h g 0 dır. Diğer bir deyişle, h g dir. Bezer şekilde iv Eğer olur. v Her h g dir. g ise, iii de g g elde edilir, burada da g g yai g 0 A içi 0 eşitliği vardır. Burada da ; 5

34 0 olur. Ve, elde edilir. Bezer şekilde, dır. 0 vi u v v u 0 olduğuda u v v u v ormül ola, g g yardımıyla; u v v uv 0 Burada da, v uv u uv v uv 0 u olur. Geel u elde edilir. u olur. Bu eşitlik gösterir ki; u v uv ve u v vu eşitsizlikleri sağlaır. u v içi ispat bezer şekilde ; u v v u 0 eşitliği yardımı ile v gösterilir. v u v u 0 vii u v u u v v u v u uv vu v u v Burada da, u v uv vu buluur. v u olmasıyla olduğuu biliyoruz. u içi ispat bezer şekilde gösterilir. Teorem.65 Birim elemaı e ola bir A cebiride aşağıdaki özellikler sağlaır: i e 0. ii u Eğer; A ve u A ve u elemaıı tersi u, A u u e dd A. e iii Eğer; u, v A ve hem vardır. Ayrıca; dd dir. Ayrıca, u 0. Yai, A. u hem de v u v ve u v u v v var ise, o zama v da taımlı ise, o zama u dd Diğer bir deyişle u ve v u eşitlikleri de sağlaır [9]. Teorem.66 A, yarıasal i ii cebiri olsu. O zama aşağıdaki özellikler sağlaır: g olması içi gerek ve yeter koşul g 0 olmasıdır. u de u, v A içi u v acak ve acak u v olduğuda sağlaır. Souç olarak, u v i sağlaması içi gerek ve yeter şart u v olmasıdır [9]. Teorem.67 A, Archimedea cebiri olsu. N, A daki tüm ilpotet elemaları kümesi olsu. O zama aşağıdaki özellikler sağlaır: i ii N acak ve acak 0 olduğuda sağlaır. N, A içide badtır ve halka idealidir. 6

35 iii Her g A içi A olduğuda. g 0 olur. Buda dolayı, eğer A ı birim elemaı varsa, o zama N olması içi gerek ve yeter koşul 0 olmasıdır. Diğer bir deyişle, herhagi bir Archimedea cebiri birim elemaa sahipse, yarıasaldır [9]. Teorem.68 Yarıasal i ii cebiri A içi aşağıdaki özellikler sağlaır. g olması içi gerek ve yeter şart g 0 dır. u, v A içi, u v acak ve acak v u olduğuda sağlaır. Buu soucu olarak, u v i sağlaması içi gerek ve yeter koşul u v olmasıdır [9]. Teorem.69 A, değişmeli eşitliği sağlaır [9]. cebiri olsu. Her g A, içi g g g Teorem.70 Eğer, u ve v A cebiride poziti elemalar ise, o zama,,... içi; u v u ve v v u v elemaı e ise,,... içi; olur. Ayrıca eğer; A cebirii birim u e u ve 0 u i u, e u e u dir [9]. Teorem.7 ortomorizması, Archimedea Riesz uzayı L de poziti bir ortomorizma olsu. O zama,,,... içi ;, içi ; 0 i I olur. Burada I olarak belirttiğimiz, L deki birim operatördür. Ayrıca;,,... i I dizisi artadır ve ye yakısar [9]., Teorem.7 L Dedekid tam Riesz uzayı olsu. O zama L deki tüm sıralı sıırlı operatörleri uzayı ola L b L Dedekid tam uzayıda birim operatör I taraıda üretile Orth L badtır [9]. Taım.73 Riesz uzaylarıda taımlı T: E F operatörüe, E de x y olduğuda F de Tx Ty oluyorsa ayrıklığı koruya operatör deir [9]. Taım.74 Bir X, X dual sistemi; () Her x X içi x, x 0 olduğuda x 0, () Her x X içi x, x 0 olduğuda x 0, olacak şekilde x, x x, x bilieer ormuyla ( yai her bir değişkei ile ayrı ayrı lieer ola bir.,. : X xx R oksiyou ile ) birlikte X ve X vektör uzaylarıı bir çitidir. Eğer, X,, yerel koveks uzay ise bu durumda X, X, x, x xx bilieer ormu altıda bir dual sistemdir. X, X bir dual sistemi olsu. Bu durumda, her bir x X içi x x, x, x X iadesi X üzeride bir lieer oksiyoel taımlar. Ayrıca, X de X ye taımlı x., x döüşümü, birebir ve lieerdir. Diğer bir deyişle 7

36 ., x lieer oksiyoelii x ile taımlayarak, her bir x X, X üzeride bir lieer oksiyoel olarak görülebilir ve aşağıdaki altuzay kapsaması sağlaır: X üzerideki X, X X X zayı topolojisi, X üzeride taraıda üretile bir yerel koveks topolojidir. x R içi p x x sağlaacak şekilde p x X, p x x x, x sağlaacak şekilde x X R x R çarpım topolojisi x R çarpım topolojisi, her : x X yarıormlar ailesi taraıda üretile yerel koveks topolojidir. Böylece, X, her x X içi üretilir. Özel olarak, p x x X : xi, x, i,,... : yarıormları bir ailesi taraıda içi kümelerii bir ailesii, X, X içi sıırda bir taba oluşturduğua dikkat etmeliyiz. Bir x X x, x etii, x 0 durumuu sağlaması içi gerek ve yeter koşul her bir x X içi de x, x 0durumuu sağlamasıdır, bu X, X içi kullaıla X üzeride oktasal yakısaklığı topolojisi ismii doğrular. Bezer şekilde, her bir x X içi x x x, x ormülü, X üzeride x ile belirlediğimiz bir lieer oksiyoel taımlar. Böylece, aşağıdaki vektör altuzay kapsaması sağlaır: X x X R X, X zayı topolojisi ( ya da X üzeride okta tabalı yakısaklığı topolojisi ) x R ü çarpım topolojisi ile üretile, X üzeride yerel koveks bir topolojidir. X, X ü, p x x x, x olmak üzere p x : x X yarıormlarıı ailesi, taraıda üretilir. Özel olarak, bir x X etii x x x 0 durumuu sağlaması içi gerekli ve yeterli koşul her bir x X içi R de, x 0 durumuu sağlamasıdır. Ayrıca, x X : x, xi, i,,3..., içi ormudaki kümeleri ailesi X, X topolojisi içi sıırda bir taba oluşturur [9]. x 8

37 BÖLÜM 3 -CEBİRLERİNİN İKİNCİ SIRALI DUALİ E bir Riesz uzayı olsu. lieer oksiyoeli E i sıralı sıırlı alt kümelerii R deki sıırlı kümelere taşıyorsa, ye sıralı sıırlı lieer oksiyoel deir. E üzerideki tüm sıralı sıırlı lieer oksiyoelleri kümesi E ye E i sıralı duali E : Lb E, R olur. deir. Yai X Archimedea cebiri olsu. X i duali de X olsu. O zama aşağıda taımlayacağımız çarpımlar X i ikici duali X içi sağlaır: ) Orth X X X X, x X içi, T, xt x Tx T Orth. ) X X Orth X x X, x X, T Orth X içi, x, x x. xt x T. x 3) OrthX X X T Orth. X, x X, x X içi, T, x T. xx Tx x 4) OrthX X X T Orth. X, x X, xˆ X içi, T, xˆ T.ˆ xx xˆ T x 9

38 Teorem 3. T OrthX, x X içi, : Orth X OrthX T x T. x döüşümü taımlası. Bu döüşümle lieer, birebir bir cebir homomorizmadır. İspat : Aşağıdaki iadeleri doğruluğuu gösterelim: i, lieer bir döüşümdür. ii, birebir bir döüşümdür. iii, cebir homomorizmadır. i : OrthX OrthX T x T. x, T OrthX, x X içi T x T. x, lieer bir döüşümdür: a T ST S T Sx T x Sx x X içi doğruluğuu göstermeliyiz. olur. T Sxx T S. xx T Sx. x (. T Sx. x Tx. x Sx. x T. xx S. xx T xx S b T T T x T x xx III çarpımda, T x x Tx. x x X içi doğruluğuu göstermeliyiz.. ) T. x x T. xx x X içi T x. x T. xx T. x Yai, lieer bir döüşümdür. x ii, birebir bir döüşümdür: Yai T 0 T 0 T OrthX OrthX, 0 y vardır. 30

39 y x. xorthx alalım. O zama, olur. Ty 0 T x. x 0 T. x x 0 T xx 0 T 0 iii, cebir homomorizmadır: T S T S. x X içi doğruluğuu göstermeliyiz. T. S. x. x T. Sx. x, x. xorth X T Sx. x T S. xx T Sx TS T S x şeklide ispat tamamlamış olur. Teorem 3. x X ve X alalım. Eğer; Orth X içi, döüşümüü. x x olarak taımlarsak, x OrthX olur. İspat: II. döüşümde, X X OrthX, O zama, x x., x. OrthX, x OrthX R x x. olduğuu gösterelim: X L X : Orth döüşümüü T b T x Tx olarak taımlayalım. O zama aşağıdaki eşitlikler sağlaır: 3

40 x. T Tx, X T x x. x x x x buluur. Öyleyse; x. x olur ve OrthX x elde edilir [3]. Yardımcı Teorem 3.3 Her F X, Orth X içi : X OrthX döüşümüü şöyle taımlayalım: F F. Ayrıca; X X OrthX :Orth olarak taımladığıda, bir cebir homomorizmadır. X Orth Orth X X İspat : Her F, G X içi; F. G F. G doğruluğuu göstermeliyiz. F. G F. G F.G ( döüşümüü homomorizma olduğuu biliyoruz.) FG F. G F. G F. G. şeklide ispat tamamlamış olur. 3

41 Taım 3.4 Her X içi Orth X deki tüm geişlemelerii kümesi şu şekilde taımlıdır: : 0 g ve g X. g OrthX Teorem 3.5 X i sıralı duali X de 0 x X içi,. x 0 İspat: X, x X içi; olduğuda x 0 olacak şekilde bir elemaı alalım. olur. g OrthX : 0 g ve g X olsu. 0. x OrthX alalım. 0T T. x, T Orth X 0 T. x olur. Eğer, T I olarak alırsak, Ix 0 x 0 buluur. 33

42 BÖLÜM 4 BANACH A-MODÜLLERİ ÜZERİNDEKİ A-LİNEER OPERATÖRLER Taım 4. X, Y, Z ; K ( kompleks ya da reel sayılar ) cismi üzeride ormlu lieer uzay olsular. X, Y, Z sırasıyla X, Y, Z i birici duali olsular. X, Y, Z sırasıyla X, Y, Z i ikici duali olsular. X te taımlı lieer oksiyoelleri içi ; x sup olarak taımlası. xx X Y üzeride bir m sıırlı bilieer döüşüm taımlası : m: X Y Z 3 x, x m m x x, ym x, y mx, y x, y y m x, y mx, y M içi, sup x, y X, y Y m x X, y, y x, y M. ve skaleri içi, Y ve skaleri içi, O zama ; m : Z X Y adjoit operatörü, Z, x X içi;, x y mx y m, ile,, 3 şartlarıı sağlar. 34

43 m : Y Z X. Bu döüşüm de (),(),(3) şartlarıı sağlar. Ayrıca m döüşümüü Ares geişlemesi m Bu döüşüm (),(),(3) şartlarıı sağlar [4]. : X Y Z döüşümü ile verilir. Yukarıda taımlaa çarpımlar vasıtasıyla, değişme özelliği olması gerekmeye akat birleşme özelliği ola A cebirii ikici duali A de bir çarpım şöyle taımlaır: A, A ı birici duali ve A, A ı ikici duali olmak üzere, a, b A, F, G A verildiğide, A A A a, b a. b taımıı verelim. Diğer çarpımları da, A A A, a. a,. ab a. b ( A, a A, b A ) A A A G, G., G. a G. a ( A, a A, G A ) 3 A A A F, G F. G, F. G FG. ( A, F A, G A ) eşitlikleri ile. a A, G. A ve F. G A olmak üzere taımlayabiliriz. Bu çarpımlara Ares Çarpımları deir. 3 ücü çarpımda A birleşmeli cebirdir. A da taımlı çarpım birleşme özelliğie sahip olmasıa rağme, A de taımlı Ares çarpımı değişme özelliğie sahip olmak zoruda değildir. Ares çarpımları aşağıda verile özellikleri sağlar: i A da taımlı çarpım, A deki Ares çarpımıa geişletilebilir. a. b a. b a, b A ) ( Yai içi ii Eğer, A cebirii birim elemaı e ise, A cebirii birim elemaı da e olur. iii Eğer, A değişme özelliğie sahip ise her a A ve A içi a.. a olur. ( Yai her b A içi, a. b a. b. ba b. a a. b. ab ) 35

44 A, bir Baach cebiri ve X bir Baach uzayı olsu. L X ile X te X e taımlı tüm lieer oparetörleri kümesii gösterelim. X i topolojik dualii X ile gösterelim. p : A X X a, x a. x bilieer döüşüm aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa X e Baach A modülü deir: i. x x her x X, A içi ii ab. x a. b. x her a, b A, x X içi iii a. x a x her a A, x X içi. Öreği, Baach C K modülleri Baach A - modülüdür [30]. p bilieer döüşümü, m: A LX, a x a. x max,, orm. topolojide kuvvetli operatör topolojiye sürekli birimsel cebir homomorizmasıı taımlar ve A, A içie aşağıdaki gibi gömülebilir. Her a A, A içi, a A. elemaı a a Her a A, : A A döüşümü a a ile taımladığıda birebir cebir homomorizmasıdır. Bu edele A, A içide bir alt cebir olarak düşüülebilir. Aşağıdaki üç bilieer döüşümü kurabiliriz: X X A x X, X, a A A X X a A, X, x X içi içi x, x. a a. x a, a. x ax.,, 3 A X X a A, z X, X içi a, z a. z za.. 36

45 X i A olarak aldığımız zama (3) döüşümü A üzeride Ares çarpımı olarak adladırılır. deki bilieer döüşüm X üzeride Baach A modül yapısı m homomorizmasıı şu şekilde taımlamamızı sağlar: * m : A L X a * m a. 3 teki bilieer döüşüm X üzeride Baach A modül yapısı taımlar. Bu çarpımlara X modül çarpımlarıı Ares geişlemesi deir [9]. Yardımcı Teorem 4. X, bir Baach A modül olsu. O zama aşağıdaki iadeler doğrudur : i Her a A içi m * a m a * dır, burada m a * ile m a ii X bir Baach iii X bir Baach iv Her w t a A modüldür. A modüldür. * A içi m a, A A, A * zayı * operatör topolojisidir. İspat: i Her a A içi m a a. m a x a. x a. x a. x max ma x 37 ı adjoiti gösterilmektedir. de LX w t * ii - Her X, A içi. olduğuu gösterelim.. x. x x. olur. ise - Her a, b A ve X içi a b. a b. Her a, b A içi lim a lim a a b ye süreklidir. Burada olduğuu gösterelim. olacak şekilde a, a A etlerii alalım.

46 lima a a. b a. a. a a. lima. a. lim a a. olduğuda ( çarpımı sürekliliğide ) a. b. a. b. elde edilir. - Her a A ve X içi a. a olduğuu gösterelim. p döüşümüü bilieer sürekli olmasıda sırasıyla ( ),(),(3) döüşümleri de bilieer süreklidir. Yai, a. a eşitsizliği sağlaır. Her F X A içi. F F. F. F F olur. iii - ii,. F F olduğuu gösterelim. ise - Her a, b A ve F X içi a b. F a b. F olduğuu gösterelim. deki ispata bezer şekilde gösterilir. - Her a A ve F X içi a. F a F olduğuu gösterelim. m döüşümüü lieer sürekli olmasıda sırasıyla m, m, m döüşümleri de lieer süreklidir. Yai, a. F a F eşitsizliği sağlaır. iv her eti alalım. A, A A içi a a a a olacak şekilde a A m : A L X içi, demektir. a a alıdığıda, bir x sabiti içi; a. x a. x (3) ü sürekliliğide * * m a x x m a m * * a m a xx olup w t * topolojiye süreklidir. topolojisie göre, Taım 4.3 X, bir Baach A modülü olsu. O zama, Cl X ile X e göre kapaışıı x Cl X a. x : a A, a olsu. Y, X i bir altuzayı olsu. Her göstermek üzere x Y içi xy oluyorsa Y ye ideal deir. X, bir Baach A modül ve X, olsu. Bezer biçimde, Cl a. : aa, X a taımlaabilir. Burada Cl X ile X e göre kapaışıı göstermekteyiz [6]. 38

47 Taım 4.4 X, bir Baach A modülü ve x, yx olsu. Eğer ; x yx y ve x y0 sağlaıyorsa, x yx y, ayrıktır deir. X, bir Baach A modülü ve Y, bir Baach A modülü olsu. T : X Y lieer operatörüü alalım. O zama, x z olduğuda Tx Tz sağlaıyorsa T ye ayrıklığı koruya operatör ( d-homomorizm ) deir [6]. X ve Y Baach A modülü olsular. ( ayı A üzeride ) O zama, T : X Y lieer sürekli operatörüe a A ve x X içi T a. x a. Tx ise A lieer operatör deir. Eğer, T : X Y operatörü A lieer ise, T i adjoiti T operatörü Y de X e ayrıklığı koruya operatör olur [7]. Teorem 4.5 X ve Y Baach A modülü olsular. O zama, lieer T : X Y operatörü A lieer ise ou sürekli adjoit operatörü T: Y X de A lieer operatördür. İspat: a A, yy içi, T a. y at. y alalım. x X değişkei içi, T a. y x at. y x olduğuu gösterelim: a. yx a. ytx yatx T. (() deki bilieer döüşümde ) = y T a. x a xaxty ( A lieerlikte ) T y.. (() deki bilieer döüşümde ) = a T y x. (() deki bilieer döüşümde ) Buda dolayı, T bir A lieer operatördür. A, A de A, A yoğudur [0]. a A alalım. O zama, A, A da a a olacak şekilde A da bir a eti vardır. () deki bilieer döüşümü sürekliliğide, a. yy içi a. y a. y elde edebiliriz. T operatörüü sürekli olmasıda T a y T a y.. olur. Birici iade sayeside T a. y a. T y elde edilir. () deki bilieer döüşüm ile a. T y at. y T a. y at. elde edilir. Bu edele, T, A olur ve burda y lieerdir. 39

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS)

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS) T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ (IDEAL PRODUCTS) 070216013 TUĞBA ÖZMEN 080216038 AYŞE MUTLU 080216064 SEVİLAY HOROZ Nil ehri, Düyaı e uzu ehridir (6.650

Detaylı

MATEMATİK ANABİLİM DALI

MATEMATİK ANABİLİM DALI ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Serka ÖKTEN -NORMLU UZAYLAR MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 00 ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ -NORMLU UZAYLAR Serka ÖKTEN ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

BAĞINTI VE FONKSİYON

BAĞINTI VE FONKSİYON BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı

Detaylı

H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Kısım Bir Reel Değişkeli Foksiyolar Teorisi Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 3 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Reel

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

KONİK METRİK UZAYLAR VE BAZI SABİT NOKTA TEOREMLERİ. Muhib ABULOHA DOKTORA TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

KONİK METRİK UZAYLAR VE BAZI SABİT NOKTA TEOREMLERİ. Muhib ABULOHA DOKTORA TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KONİK METRİK UZAYLAR VE BAZI SABİT NOKTA TEOREMLERİ Muhib ABULOHA DOKTORA TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HAZİRAN 009 ANKARA Muhib ABULOHA tarafıda hazırlaa KONİK METRİK UZAYLAR

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açı Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerde alıtı yapma veya Kullaım Koşulları haıda bilgi alma içi http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.aciders.org.tr adresii ziyaret ediiz. 18.102

Detaylı

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005 8.6 Professor Strag FİNAL 6 Mayıs 25 ( Pua) P,..., P R deki oktalar olsu. ( ai, ai2,..., a i) P i i koordiatlarıdır. Bütü P i oktasıı içere bir cx +... + cx = hiperdüzlemi bulmak istiyoruz. a) Bu hiperdüzlemi

Detaylı

KANTOROVICH-STANCU TİP OPERATÖRLER İLE YAKLAŞIM. Neslihan KOZAN BAŞAK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

KANTOROVICH-STANCU TİP OPERATÖRLER İLE YAKLAŞIM. Neslihan KOZAN BAŞAK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KANTOROVICH-STANCU TİP OPERATÖRLER İLE YAKLAŞIM Nesliha KOZAN BAŞAK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ŞUBAT 00 ANKARA Nesliha Koza BAŞAK taraıda hazırlaa KANTOROVICH-STANCU

Detaylı

REEL ANALĐZ UYGULAMALARI

REEL ANALĐZ UYGULAMALARI www.uukcevik.com REE NĐZ UYGUMRI Sou : (, Α, µ ) ölçü uzayı olsu. = N, Α= ( N ) ve µ ( E) olduğuu östeiiz. N üzeide alması içi eek ve yete koşul < di. Gösteiiz. µ oksiyouu veile taımıı uyulayalım; µ (

Detaylı

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0

Detaylı

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak Ve Şeması ile lt Kümeleri Saymak Osma Ekiz Bu çalışmada verile bir kümei çeşitli özellikleri sağlaya alt küme veya alt kümlerii ve şeması yardımıyla saymaya çalışacağız. Temel presibimiz aradığımız alt

Detaylı

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI Reel sayılar kümesinin "küçük ya da eşit", bağıntısı ile sıralanmış olduğunu biliyoruz. Bu bağıntı herhangi bir X kümesine aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. Bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma,

Detaylı

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

v = ise v ye spacelike vektör,

v = ise v ye spacelike vektör, D.P.Ü. Fe Bilimleri Estitüsü 1. ayı Mayıs 6 emi-pozitif Ortogoal Matrisler içi Alteratif İi Yötem WO ALERNAIVE MEHOD FOR EMI-POIIVE OROGONAL MARICE B. BÜKCÜ* *Gaziosmapaşa Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi,

Detaylı

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol komşuluğu: Taım: ; isteildiği kadar küçük seçilebile poziti bir sayı olmak üzere a a açık aralığıa a R sayısıı komşuluğu deir Örek : Taım: a a a a ve 0 00 olsu ' i 0 00 0 00 999 00 : Z R bir dizi deir

Detaylı

MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ, GENELLEŞTİRİLMELERİ VE UYGULAMALARI. Mehmet YILDIZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ, GENELLEŞTİRİLMELERİ VE UYGULAMALARI. Mehmet YILDIZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ, GENELLEŞTİRİLMELERİ VE UYGULAMALARI Mehmet YILDIZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ OCAK 200 ANKARA ii Mehmet YILDIZ tarafıda hazırlaa MÖBİUS

Detaylı

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla Foksiyolarda Limit Foksiyolarda it: Bu bölümde y f ( ) foksiyou ve sayısı verildiğide, bağımsız değişkei sayısıa (solda veya sağda) yaklaşırke ya da sosuza yaklaşırke, foksiyou da bir L sayısıa (veya ya

Detaylı

Bağıntı YILLAR ) AxB BxA. 2) Ax(BxC) = (AxB)xC. 4) s(axb) = s(bxa) = s(a).s(b)

Bağıntı YILLAR ) AxB BxA. 2) Ax(BxC) = (AxB)xC. 4) s(axb) = s(bxa) = s(a).s(b) Bağıtı YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - - - BAĞINTI ÖZELLĐKLER: SIRALI ĐKĐLĐ: (a,) şeklideki ifadeye ir sıralı ikili yada kısaca ikili deir (a,) sıralı ikiliside a ya irici

Detaylı

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10 KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1)

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1) TÜMEVARIM Matematite ulladığımız teoremleri ispatlamasıda pe ço ispat yötemi vardır. Özellile doğal sayılar ve birço ouda ispatlar yapare tümevarım yötemii sıça ullaırız. Tümevarım yötemii P Öermesii doğruluğuu

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle Bir kümeyi oluştura eseleri

Detaylı

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri, POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x

Detaylı

T.C. FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ AĞIRLIKLI VE DEĞİŞKEN ÜSLÜ LEBESGUE UZAYINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN KOMPAKTLIĞI LÜTFİ AKIN

T.C. FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ AĞIRLIKLI VE DEĞİŞKEN ÜSLÜ LEBESGUE UZAYINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN KOMPAKTLIĞI LÜTFİ AKIN T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ AĞIRLIKLI VE DEĞİŞKEN ÜSLÜ LEBESGUE UZAYINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN KOMPAKTLIĞI LÜTFİ AKIN DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI MATEMATİK PROGRAMI DANIŞMAN

Detaylı

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze

Detaylı

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016 6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

KLAN OYUNLARI TEMELLİ ÜRETİM YAPISININ TSURUMI GENİŞLEMESİ ve BULANIK SHAPLEY DEĞERLERİ

KLAN OYUNLARI TEMELLİ ÜRETİM YAPISININ TSURUMI GENİŞLEMESİ ve BULANIK SHAPLEY DEĞERLERİ Bu bildiri 2-22 Mart 204 tarihleride düzelee Üretim Ekoomisi Kogreside suulmuştur. KLAN OYUNLARI TEMELLİ ÜRETİM YAPISININ TSURUMI GENİŞLEMESİ ve BULANIK SHAPLEY DEĞERLERİ Murat BEŞER muratbeser @ yahoo.com

Detaylı

10. DİREKT ÇARPIMLAR

10. DİREKT ÇARPIMLAR 10. DİREKT ÇARPIMLAR Teorem 10.1. H 1,H 2,, H n bir G grubunun alt gruplarının bir ailesi ve H = H 1 H 2 H n olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir. a ) dönüşümü altında dır. b) ve olmak üzere her yi tek türlü

Detaylı

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler.

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler. OLASILIK VE İSTATİSTİK DERSLERİ ÖZET NOTLARI İstatistik: verileri toplaması, aalizi, suulması ve yorumlaması ile ilgili ilkeleri ve yötemleri içere ve bu işlemleri souçlarıı probabilite ilkelerie göre

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: ENDOMORFİZMA HALKALARI

DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: ENDOMORFİZMA HALKALARI T.C ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: ENDOMORFİZMA HALKALARI ÖĞRETİM ÜYELERİ: PROF.DR. NEŞET AYDIN AR.GÖR. DİDEM YEŞİL HAZIRLAYANLAR:

Detaylı

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisa 2010 LİSE - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Adreescu ad Joatha Kae Çeviri. Sibel Kılıçarsla Casu ve Fatih Kürşat Casu Problem 1 m ve aralarıda asal pozitif tam sayılar

Detaylı

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı

Detaylı

T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU.

T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU. T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Yüksek Lisas Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU Elif SERİN Tez Daışmaı Yrd. Doç. Dr.Abdullah SÖNMEZOĞLU Yozgat 202

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız. Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları www.sbelia.wordpress.com SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız.. 4 4 = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız..

Detaylı

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI AĞIRLIKLI LORENTZ UZAYLARINDA TRİGONOMETRİK YAKLAŞIM

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI AĞIRLIKLI LORENTZ UZAYLARINDA TRİGONOMETRİK YAKLAŞIM T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI AĞIRLIKLI LORENTZ UZAYLARINDA TRİGONOMETRİK YAKLAŞIM YÜKSEK LİSANS TEZİ AHMET HAMDİ AVŞAR BALIKESİR, HAZİRAN - 2016 T.C. BALIKESİR

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s - 18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte

Detaylı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı İstatistik Nedir? İstatistik rasgelelik içere olaylar, süreçler, sistemler hakkıda modeller kurmada, gözlemlere dayaarak bu modelleri geçerliğii sıamada ve bu modellerde souç çıkarmada gerekli bazı bilgi

Detaylı

Modül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

Modül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50 Modül Teori Modüller Prof. Dr. Neşet AYDIN ÇOMÜ - Matematik Bölümü [01/07] Mart 2012 Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart 2012 1 / 50 Giriş M bir toplamsal değişmeli

Detaylı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı 1.8.Reel Sayılar Kümesinin Tamlık Özelliği Rasyonel sayılar kümesi ile rasyonel olmayan sayıların kümesi olan irrasyonel sayılar kümesinin birleşimine reel sayılar kümesi denir ve IR ile gösterilir. Buna

Detaylı

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1 Örek.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III Markov Süreçleri Ders 7 Yrd. Doç. Dr. Beyazıt Ocakta Web site: ocakta.bau.edu.tr E-mail: bocakta@gmail.com Reault marka otomobil sahilerii bir soraki otomobillerii de Reault

Detaylı

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Yüksek Lisas Tezi İDEMPOTENT DÖNÜŞÜMLER VE İDEMPOTENT DÖNÜŞÜMLER TARAFINDAN DOĞURULAN YARIGRUPLAR MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 0 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN

Detaylı

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve düzlem Geçen ders doğrusal cebir aracılığıyla izdüşümsel geometri için bir model kurduk. Şimdi bu modeli daha somut bir şekle sokalım, F = R durumunda kurduğumuz

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

GAMA FONKSİYONU. H. Turgay Kaptanoğlu. A. Tanım Gama fonksiyonu, 0 < x < değerleri için Euler integrali dediğimiz

GAMA FONKSİYONU. H. Turgay Kaptanoğlu. A. Tanım Gama fonksiyonu, 0 < x < değerleri için Euler integrali dediğimiz GAMA FONKSİYONU H. Turgay Kaptaoğlu A. Taım Gama foksiyou, < < değerleri içi Euler itegrali dediğimiz Γ( = t e t dt itegrali ile taımlaır. Öce bu ifadei e demek olduğuu alamaya çalışalım. bir gerçel sayı

Detaylı

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı

Detaylı

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10 KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi oluştura

Detaylı

x A şeklinde gösterilir. Aksi durum ise x A olarak

x A şeklinde gösterilir. Aksi durum ise x A olarak BÖLÜM I OLSILIK Küme teorisi, matematiği geliştirilmesi ve öğretimide gittikçe daha fazla yararlaıla koularda biridir. yrıca olasılıkla ilgili birici bölümü temel aracıdır. Bu kısımda amaç, olasılık kousuda

Detaylı

Bir Sınıf Jacobi Matrisi İçin Özdeğer Problemi 1

Bir Sınıf Jacobi Matrisi İçin Özdeğer Problemi 1 S Ü Fe Ed Fa Fe Derg Sayı 7 (6-8, KONYA Bir Sııf Jacobi Matrisi İçi Özdeğer Problemi Oza ÖZKAN Selçu Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi, Matemati Bölümü 479 Kampüs, Koya simetri Jacobi matrislerii özdeğerleri

Detaylı

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ 5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ Bir lieer deklemi geel çözümüü bulmak homoje kısmı temel çözümlerii belirlemesie bağlıdır. Sabit katsayılı diferasiyel deklemleri temel çözümlerii

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir. SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Gruplar...3 Alt Gruplar...9 Simetrik Gruplar...13 Devirli Alt Gruplar...23 Sol ve Sağ Yan Kümeler (Kosetler)...32 Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 Grup Homomorfizmaları...41

Detaylı

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Geçen ders RP 2 de tekil olmayan her koniğin bir dönüşümün ardından tek bir koniğe dönüştüğü sonucuna vardık; o da {[x : y : z x 2 + y 2 z 2 = 0]} idi. Bu derste bu

Detaylı

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden MC TEST I Seriler ve Diziler www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir2@yahoo.com.tr 8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerde hagisidir? A) 0,8 B) 0,9

Detaylı

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri 6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme

Detaylı

Analiz II Çalışma Soruları-2

Analiz II Çalışma Soruları-2 Aaliz II Çalışma Soruları- So gücelleme: 04040 (I Aşağıdaki foksiyoları (ilgili değişkelere göre türevlerii buluuz 7 cos π 8 log (si π ( si ta e 9 4 5 6 + cot 0 sec sit t si( e + e arccos ( e cos(ta (II

Detaylı

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Đşlem ĐŞLEM A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona ikili işlem denir. Örneğin toplama, çıkarma, çarpma birer işlemdir. Đşlemler

Detaylı

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI GAUSS BALANS VE GAUSS KOBALANS SAYILARI ÜZERİNE YÜKSEK LİSANS TEZİ MUSTAFA YILMAZ DENİZLİ, TEMMUZ - 07 T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ

Detaylı

5. Ders Yeterlilik. f(x 1 ; x 2 ; :::; x n ; ) = g (T (x 1 ; x 2 ; :::; x n ); ) h(x 1 ; x 2 ; :::; x n )

5. Ders Yeterlilik. f(x 1 ; x 2 ; :::; x n ; ) = g (T (x 1 ; x 2 ; :::; x n ); ) h(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) 5. Ders Yeterlilik Yeterlilik Ilkesi: Bir T(X ; X ; :::; X ) istatisti¼gi, hakk da yeterli bir istatistik olacaksa hakk da herhagi bir souç ç kar m T arac l ¼g ile (X ; X,...,X ) öreklemie ba¼gl olmal

Detaylı

Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi

Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi 3 Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteı Yötemi Bu yötem bir izdüşüm tekiğie dayaır ve yalış pozisyo olarak isimledirile matematiksel tekiğe yakıdır. Buradaki düşüce f() çizgisi üzerideki bilie iki oktada

Detaylı

TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUPLAR ÜZERİNDE ANALİTİK İŞLEMLER

TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUPLAR ÜZERİNDE ANALİTİK İŞLEMLER TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUPLAR ÜZERİNDE ANALİTİK İŞLEMLER ERDENER KAYA MERSİN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANA BİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ MERSİN HAZİRAN 7 TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve

Detaylı

Leyla Bugay Doktora Nisan, 2011

Leyla Bugay Doktora Nisan, 2011 ltanguler@cu.edu.tr Çukurova Üniversitesi, Matematik Bölümü Doktora 2010913070 Nisan, 2011 Yarıgrup Teorisi Nedir? Yarıgrup teorisi cebirin en temel dallarından biridir. Yarıgrup terimi ilk olarak 1904

Detaylı

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1 SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) 1. A = { k k Z, < k 4 } 4. N tam sayılar kümesinde i N için, k 1 B = { k Z, 1 k < 1 } k 1 A = 1 i,i 1 i ( ] kümeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Detaylı

Ele Alınacak Ana Konular. Hafta 3: Doğrusal ve Zamanla Değişmeyen Sistemler (Linear Time Invariant, LTI)

Ele Alınacak Ana Konular. Hafta 3: Doğrusal ve Zamanla Değişmeyen Sistemler (Linear Time Invariant, LTI) 5..5 Ele Alıaca Aa Koular Ayrı-zama işaretleri impuls dizisi ciside ifade edilmesi Ayrı-zama LTI sistemleri ovolüsyo toplamı gösterilimi Hafta 3: Doğrusal ve Zamala Değişmeye Sistemler (Liear Time Ivariat

Detaylı

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI CHAKI PSEUDO SİMETRİK MANİFOLDLAR YÜKSEK LİSANS TEZİ.

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI CHAKI PSEUDO SİMETRİK MANİFOLDLAR YÜKSEK LİSANS TEZİ. T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI CHAKI PSEUDO SİMETRİK MANİFOLDLAR YÜKSEK LİSANS TEZİ İsmail AYDOĞDU Balıkesir, Hazira-009 ÖZET CHAKI PSEUDO SİMETRİK MANİFOLDLAR

Detaylı

7. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 17, 2016

7. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 17, 2016 7. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 17, 2016 Bu derste bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği sıfır olan k cismi üzerine tanımlı olduğunu varsayıyoruz. 1 Tekrar Gözden Geçirme: Basitlik,

Detaylı

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Prof.Dr.Hüseyi ÇAKALLI İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Bu ölümde dizileri, yi tım kümesi doğl syılr kümesi, değer kümesi, reel syılr kümesii ir lt kümesi ol foksiyolrı iceleyeceğiz... Ykısk Diziler. Öce

Detaylı

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI:

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: www.testhae.com SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: -RAKAM -SAYI -DOGAL SAYILAR -SAYMA SAYILARI -ÇFT DOGAL SAYILAR -TEK DOGAL SAYILAR -ARDISIK DOGAL SAYILAR -ARDISIK ILK

Detaylı

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPLANABİLEN VEYA SINIRLI OLAN DİZİ UZAYLARI ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPLANABİLEN VEYA SINIRLI OLAN DİZİ UZAYLARI ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPLANABİLEN VEYA SINIRLI OLAN DİZİ UZAYLARI ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ İnci BİRGİN Anabilim Dalı : Matematik Programı : Matematik

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları Alteratif üretim

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

ÇİN KALAN TEOREMİ. Chinese Remainder Theorem A.KILIÇ & V.SERT Ç ANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ

ÇİN KALAN TEOREMİ. Chinese Remainder Theorem A.KILIÇ & V.SERT Ç ANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ Chiese Remaider Theorem A.KILIÇ & V.SERT 2012 Ç ANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ İçidekiler Sayfa o Semboller 2 Ösöz 3 Öbilgiler 4 Geel Halkalar içi Çi Kala Teoremi 7 Çi Kala Teoremii Tamsayılar Halkasıa

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

SERBEST LİE CEBİRLERİNDE HESAPLAMALAR * Computation In Free Lie Algebras*

SERBEST LİE CEBİRLERİNDE HESAPLAMALAR * Computation In Free Lie Algebras* Ç.Ü Fe Bilileri Estitüsü Yıl:2008 ilt:18-3 SERBEST LİE EBİRLERİNDE ESAPLAMALAR * oputatio I Free Lie Algebras* Ebubekir TOPAK Mateatik Aabili Dalı Ahet TEMİZYÜREK Mateatik Aabili Dalı ÖZET Bu çalışada

Detaylı

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( )

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( ) Sıava Katıla Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR 2 997. ( )( )( ) ( ) ( ) k x x x... k. x... 997. x poliomu ( ) a x a x... a x, a 0 ve k < k

Detaylı

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve BÖLÜM III Kogrüaslar Taım 3. N sabit bir sayı, a, b Z olma üzere, eğer ( a b) ise a ile b, modülüe göre ogrüdür deir ve a b(mod ) şelide gösterilir. Asi halde, yai F ( a b) ise a ile b ye modülüe göre

Detaylı

GENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUK SİSTEMİ ÜZERİNE

GENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUK SİSTEMİ ÜZERİNE ÖZEL EGE LİSESİ GENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUK SİSTEMİ ÜZERİNE HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Berk KORKUT DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem GÜNEL İZMİR 2013 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI 3.33 2. GİRİŞ... 3 3. YÖNTEM 3 4.

Detaylı

Bölüm 5: Hareket Kanunları

Bölüm 5: Hareket Kanunları Bölüm 5: Hareket Kauları Kavrama Soruları 1- Bir cismi kütlesi ile ağırlığı ayımıdır? 2- Ne zama bir cismi kütlesi sayısal değerce ağırlığıa eşit olur? 3- Eşit kollu terazi kütleyi mi yoksa ağırlığı mı

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI µ µ içi Güve Aralığı ALTERNATİF İTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMAI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocm.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocm.mit.edu/terms veya http://tuba.açık ders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 4.KONU Latisler, Boole Cebri 1. Kısmi sıralı kümeler 2. Hasse Diyagramı 3. Infimum, Supremum 4. Latis (Kafes Lattice) 5. Latis (Kafes) Yapıları ve Özellikleri

Detaylı

PEANO UZAYLARI VE HAHN-MAZURKIEWICZ TEOREMİ ÜZERİNE

PEANO UZAYLARI VE HAHN-MAZURKIEWICZ TEOREMİ ÜZERİNE SAÜ Fe Edebiyat Dergisi (-) Z.GÜNEY ve M.ÖZKOÇ PEANO UZAYLAR VE HAHN-MAZURKEWCZ TEOREMİ ÜZERİNE Zekeriya GÜNEY, Murad ÖZKOÇ Muğla Üiversitesi Eğitim Fakültesi Ortaöğretim Fe ve Matematik Alalar Eğitimi

Detaylı