Içindekiler. Karşk Örnekler 87. TÜBITAK SORULARI (Fonksiyonlar) 55 ULUSAL ANTALYA MATEMATIK OLIMPIYATI SORULARI 64
|
|
- Ata Topbaş
- 6 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Içindekiler BIRINCI BÖLÜM Fonksiyonlar Bagnt Fonksiyon 2 Fonksiyonel Denklemlere Giriş 4 Fonksiyonun Gragi 7 Fonksiyon Çeşitleri 8 Bir Fonksiyonun Tersi 20 Bileşke Fonksiyon 23 Tek ve Çift Fonksiyon 25 Periyodik Fonksiyon 26 Artan ve Azalan Fonksiyon 26 Polinom Fonksiyon 28 Üstel ve Logaritmik Fonksiyon 28 Çok Degişkenli Fonksiyonlar 30 Karşk Örnekler 34 ÇÖZÜMLÜ TEST 45 ÇÖZÜMLER 59 TÜBITAK SORULARI (Fonksiyonlar) 55 TÜBITAK SORULARININ ÇÖZÜMLERI 58 ULUSAL ANTALYA MATEMATIK OLIMPIYATI SORULARI 64 IKINCI BÖLÜM Polinomlar Polinomlarn Eşitligi 69 Polinomlarn Katsaylar ve Terim Says Ile Ilgili Sorular 73 Horner Metodu Ile Bölme 76 Bölme Işlemlerinde Kalann Bulunmas 78 Bir Polinomun Türevi 82 Karşk Örnekler 87 ÇÖZÜMLÜ TEST 96 ÇÖZÜMLER 99
2 TÜBITAK SORULARI (Polinomlar) 05 TÜBITAK SORULARININ ÇÖZÜMLERI 07 ULUSAL ANTALYA MATEMATIK OLIMPIYATI SORULARI ÜÇÜNCÜ BÖLÜM Denklemler ve Denklem Sistemleri Ikinci Dereceden Denklemler 3 Ikinci Dereceden Bir Denklemin Sanal Kökleri 8 Ikinci Dereceden Denklemlere Dönüştürülebilen Denklemler 20 Köklü Denklemler 22 Üçüncü Dereceden Denklemler 26 Üçüncü Dereceden Bir Denklemin Çözümü 27 Yüksek Dereceden Polinom Denklemler 30 Kökler ve Katsaylar Arasndaki Bagntlar (Vieta Formülleri) 32 Bir Bilinmeyenli Polinom Eşitsizlikler 4 Türevi Kullanarak Köklerin Yorumlanmas 44 Bir Polinom Denklemin Reel Köklerinin Üst Snrnn Bulunmas 48 Tamsay Köklerin Bulunmas 49 Tamsay Köklerin Bulunmas Için Newton Metodu 5 Tamsay Köklerin Bulunmas Için Başka Bir Yöntem 52 Reel Köklerin Işaret Incelemesi 52 Decartes'in Işaret Degişim Kural 54 Rasyonel Köklerin Bulunmas 56 Mutlak Degerli Denklem ve Eşitsizlikler 58 Grakler Yardmyla Denklem Çözümü 60 Köklerin Kuvvetleri Toplamnn Hesaplanmas 62 Denklem Sistemleri 67 Karşk Örnekler 85 ÇÖZÜMLÜ TEST 95 ÇÖZÜMLER 204 TÜBITAK SORULARI (Denklemler ve Denklem Sistemleri) 223 TÜBITAK SORULARININ ÇÖZÜMLERI 230 ULUSAL ANTALYA MATEMATIK OLIMPIYATI SORULARI 245
3 DÖRDÜNCÜ BÖLÜM Diziler Aritmetik Dizi 25 Geometrik Dizi 255 Fibonacci Dizisi 258 Bir Dizinin Genel Teriminin Bulunmas 26 Dizilerin Homojen Yineleme Bagntlar ve Genel Teriminin Bulunmas 264 Dizilerin Homojen Olmayan Yineleme Bagntlar ve Genel Teriminin Bulunmas 266 Yardmc Genel Terim Kullanma 27 Dizinin Tüm Terimlerinin Tamsay Oldugunu Gösterme 273 Dizinin Limiti 274 Karşk Örnekler 284 ÇÖZÜMLÜ TEST 297 ÇÖZÜMLER 302 TÜBITAK SORULARI (Diziler) 32 TÜBITAK SORULARININ ÇÖZÜMLERI 36 ULUSAL ANTALYA MATEMATIK OLIMPIYATI SORULARI 329 YANIT ANAHTARI 332
4 Fonksiyonlar 3 Örnek 32 Reel saylar kümesinde sfrdan farkl x; y reel saylar için tanmlanan f (7=x; y=5) = x + y + xy fonksiyonu için, f (6=5; 2=3) =? Çözüm : 7 x = 6 35 ise, x = 5 6 ve y 5 = 2 0 ise y = 3 3 oldugundan, 6 f 5 ; 2 = f ( ; = = bulunur. Örnek 33 f : Z Z! Z fonksiyonu, i) f (a + ; b) f (a ; b) = 2a ii) f (b; a) = f (a; b) iii) f (0; ) = koşullarn sagladgna göre, f (999; 000) =? Çözüm : Birinci eşitlikte, b'yi sabit tutup, a yerine srasyla 998'den 2'ye kadar çift say degerleri verelim. eşitliklerini taraf tarafa toplarsak, f (999; b) f (997; b) = f (997; b) f (995; b) = f (3; b) f (; b) = 2 2 f (999; b) f (; b) = 2 ( ) = = () olur. Şimdi de, 999'dan 'e kadar tek degerleri verelim, eşitliklerini taraf tarafa toplarsak, f (000; b) f (998; b) = f (998; b) f (996; b) = f (2; b) f (0; b) = 2 f (000; b) f (0; b) = 2 ( ) = olur. b = yazlrsa, iii) eşitliginden, f (000; ) = elde edilir. Şimdi, () eşitliginde, b = 000 yazarsak, elde edilir. Burada, f (; 000) = elde edilir. f (999; 000) f (; 000) = f (000; ) oldugu da göz önüne alnrsa, f (999; 000) = f (000; ) = = 00
5 32 Matematik Olimpiyatlarna Hazrlk 4 Örnek 34 f : R R! R olmak üzere, f (x; y) + z = f (y + z; x + z) f (0; x + y) = f (0; x) + f (0; y) koşullar saglanyorsa, f (2009; 20) =? Çözüm : Ikinci eşitlikte, x = y = 0 yazarsak, f (0; 0) = 0 elde edilir. Şimdi de, y = x yazalm. Bu durumda, 0 = f (0; 0) = f (0; x) + f (0; x) eşitliginden, f (0; x) = f (0; x) () elde edilir. Şimdi, birinci eşitlikte, x = 0 ve z = y yazarsak, f (0; y) y = f (0; y) olur. Buna göre, () eşitliginden de, f (0; y) = y=2 bulunur. Son olarak, birinci eşitlikte, z = y yazlrsa, f (x; y) y = f (0; x y) = x y 2 olacagndan, f (x; y) = (x + y) =2 bulunur. O halde, f (2009; 20) = 200 olur. Örnek 35 f : R R! R fonksiyonu, i) f (x; x) = x ii) f (x; y) = f (y; x) iii) f (x; f (y; z)) = f (f (x; y) ; z) iv) y < z ve f (x; y) 6= x ise f (x; y) < f (x; z) koşullarn sagladgna göre, f (x; y) = x veya f (x; y) = y oldugunu gösteriniz. Çözüm : Olmayana ergi metodunu kullanacagz. x; y 2 R ve f (x; y) 6= x ve f (x; y) 6= y oldugunu kabul edelim. Bu durumda, ikinci koşuldan dolay y < x kabul edebiliriz. f (x; y) 6= x oldugundan, dördüncü koşuldan, elde edilir. Diger taraftan, f (y; f (x; y)) bulunur. f (x; y) 6= y oldugundan dolay, f (x; y) < f (x; x) = x ii) den iii) den i) den = f (f (x; y) ; y) = f (x; f (y; y)) = f (x; y) f (y; f (x; y)) < f (y; x) = f (x; y) eşitsizliginden, f (x; y) < f (x; y) çelişkisi elde edilir. O halde, kabulümüz yanlştr.
6 Fonksiyonlar 33 Örnek 36 f : Z Z! Z fonksiyonu, f (2x; x) = 2f (x; x) f (x + ; y) = f (x; y) + f y 2 + ; 0 f (; 0) = koşullarn sagladgna göre, f (0; ) =? Çözüm : f y 2 + ; 0 = g (y) diyelim. Ikinci eşitlikte srasyla x yerine 0'dan n 'e kadar degerler verirsek; f (; y) = f (0; y) + g (y) f (2; y) = f (; y) + g (y)... f (n; y) = f (n ; y) + g (y) elde edilir. Bu eşitlikleri taraf tarafa toplarsak, f (n; y) = f (0; y) + ng (y) bulunur. Özel olarak, n = 2k ve y = k alrsak, f (2x; x) = 2f (x; x) oldugundan, ve n = y = k alrsak, 2f (k; k) = f (0; k) + 2kg (k) f (k; k) = f (0; k) + kg (k) eşitlikleri elde edilir. Bu iki eşitlikten, f (0; k) = 0 bulunacagndan, elde edilir. Buna göre, f (n; k) = ng (k) g (k) = f k 2 + ; 0 = k 2 + g (0) = k 2 + f ; 0 = k 2 + f (; 0) oldugundan, g (k) = k 2 + elde edilir. O halde, f (n; k) = n k 2 + olur. Böylece, f (0; ) = = 220 bulunur.
7 Fonksiyonlar 45.5 Çözümlü Test. f : R! R; fonksiyonu için, f (0) = ve f (xy + ) = f (x) f (y) f (y) x + 2 eşitlikleri saglandgna göre, f (00) =? A) 00 B) 0 C) 99 D) 200 E) Hiçbiri 2. n saysnn rakamlarnn toplam n ; n saysnn rakamlarnn toplam n 2 ve bu şekilde her defasnda elde edilen saynn rakamlarn toplam hesaplanarak, en sonunda bir rakam elde edilecektir. Bu rakam f (n) ile gösterelim. f (n) = 5 olacak şekilde, 200'dan küçük kaç pozitif tamsay vardr? A) 00 B) 222 C) 22 D) 223 E) Hiçbiri 3. f (x) = 9x olduguna göre, 3 + 9x 2 f + f toplamn hesaplaynz. (KANADA 995) 3 + f + + f A) 996=2 B) 997=2 C) 996 D) 995=2 E) Hiçbiri 4. Herhangi k pozitif tamsays için, f (k) fonksiyonu k saysnn rakamlarnn kareleri toplamn göstermektedir. olduguna göre, f 2009 (200) =? f n (k) = f (f n (k)) A) 89 B) 37 C) 42 D) 29 E) Hiçbiri 5. Her x; y reel says için, f (x) f (y) f (x y) = x + y olduguna göre, f (00) =? A) 00 B) 0 C) 99 D) 200 E) Reel saylarda tanmlanmş f (x) fonksiyonu her x; y 2 R için, f (x + y) = f (x y) ve f ( =2) = =2 olduguna göre, f (00) =? A) 00 B) 0 C) 99 D) 50 E) Hiçbiri
8 46 Matematik Olimpiyatlarna Hazrlk 4 7. f (x) = ax 2 c fonksiyonu için, 4 f () ve f (2) 5 olduguna göre, f (3) için aşagdakilerden hangisi dogrudur? A) 0 < f (3) < 2 B) 2 < f (3) < 0 C) 2 < f (3) < 20 D) < f (3) < 20 E) Hiçbiri 8. Her x; y reel says için, f x + y 2 = f (x) + 2 (f (y)) 2 ve f () 6= 0 olduguna göre, f (00) =? A) 00 B) 0 C) 99 D) 50 E) Hiçbiri 9. f : Z + Z +! Z + fonksiyonu için, f (x; y + z) = f (x; y) f (x; z) f (x + y; ) = f (x; ) + f (y; ) f (x + y; 2) = f (x; 2) + 4f (xy; ) + f (y; 2) olduguna göre, f (5; 00) says kaç basamakldr. A) 00 B) 0 C) 99 D) 50 E) Hiçbiri 0. f (x; y) : R R! R fonksiyonu, f (x; 0) = x; f (x; y) = f (y; x) ve f (x + ; y) = f (x; y) + y + koşullarn sagladgna göre, f (3; 6) =? A) 00 B) 98 C) 99 D) 50 E) Hiçbiri. Her x reel says için, f (x + ) = + f (x) olarak tanmlanyor. f () = 2 f (x) olduguna göre, f (00) =? A) B) C) 3 D) 2 E) Hiçbiri x 6= 0 ve x 6= olmak üzere,f (x) 2 x f = 64x olduguna göre, f (4) =? + x A) 2 3 3p 0=3 B) 2 6 3p 0=3 C) 2 4 3p 0=3 D) 2 5 3p 0=3 E) Hiçbiri 3. f fonksiyonu, f (00) = 0 ve her x; y 2 R için f(f(x) + y) = f(x + y) + f(0) eşitliklerini saglayan artan bir fonksiyon olduguna göre f (000) =? A) 000 B) 998 C) 999 D) 900 E) Hiçbiri
9 58 Matematik Olimpiyatlarna Hazrlk 4.8 Tübitak Matematik Olimpiyat Sorularnn Çözümleri. F (x + ; y)+f (x; y + ) = F (x; y)+f (x + ; y + ) fonksiyonunda, y yerine srasyla, 0 'dan 992'ye kadar degerler verelim. Bu durumda, F (x + ; 0) + F (x; ) = F (x; 0) + F (x + ; ) F (x + ; ) + F (x; 2) = F (x; ) + F (x + ; 2). F (x + ; 99) + F (x; 992) = F (x; 99) + F (x + ; 992) F (x + ; 992) + F (x; 993) = F (x; 992) + F (x + ; 993) olur. Bu eşitlikleri taraf tarafa toplayp gerekli sadeleştirmeleri yaparsak, F (x + ; 0) + F (x; 993) = F (x; 0) + F (x + ; 993) elde edilir. F (x; 0) = x ve y > 0 için, F (0; y) = oldugundan, F (x + ; 0) = x+ oldugu kullanlrsa, x + + F (x; 993) = x + F (x + ; 993) eşitliginden, + F (x; 993) = F (x + ; 993) olur. Bu eşitlikte, x = 0 'dan x = 999'a kadar degerler verelim. Böylece, + F (0; 993) = F (; 993) + F (; 993) = F (2; 993). + F (998; 993) = F (999; 993) + F (999; 993) = F (000; 993) eşitliklerinin taraf tarafa toplanmasyla, F (0; 993) = F (000; 993) eşitliginden F (000; 993) = 00 elde edilir. 2. f (a + b) = f (a) + f (b) denkleminde, b yerine srasyla, a; 2a; 3a; :::; (n ) a; (n 2 Z + ) yazalm. Bu durumda, f (2a) = f (a) + f (a) f (3a) = f (a) + f (2a). f ((n ) a) = f (a) + f ((n 2) a) f (na) = f (a) + f ((n ) a) olur. Bu eşitlikleri taraf tarafa toplarsak, f (na) = nf (a) elde edilir. Buna göre, f (5=2) = k olsun. eşitliginden x = 5=4 olur. 4f (5=2) = 4k ise, f (4 (5=2)) = 4k f (0) = 4k ise, f (2 5) = 4x 5f (2) = 4x ise, 5 3 = 4x
10 32 Matematik Olimpiyatlarna Hazrlk 4 Teorem : Reel katsayl bir polinom denklemin b 6= 0 olmak üzere, a + ib kökü ise a ib'de köküdür. Ispat : P (x) = 0 olsun, P (x) polinomunu, (x a) 2 + b 2 ile bölelim. Buna göre, kalann en fazla birinci dereceden olacagn göz önünde bulundurarak, P (x) = (x a) 2 + b 2 B (x) + mx + n yazabiliriz. P (x)'in ve bölen polinomun tüm katsaylar reel oldugundan, B (x) ve mx + n polinomlar da reel katsayldr. x = a + bi bir kök ise, m (a + ib) + n = 0 eşitliginden, mb = 0 ve ma + n = 0 elde edilir. b 6= 0 oldugundan, m = 0 ve n = 0 elde edilir. O halde, P (x) = (x a) 2 + b 2 B (x) olur. P (a ib) = 0 oldugundan, a ib'nin de bir kök oldugu görülür. 3.8 Kökler ve Katsaylar Arasndaki Bagntlar (Vieta Formülleri) a n x n +a n x n + +a x+a 0 = 0 () denkleminin n tane kökü x ; x 2 ; :::; x n olsun. Bu durumda, denkleminin açlmndan, (x x ) (x x 2 ) (x x n ) = 0 x n (x + x x n ) x n + (x x 2 + x x x n x n ) x n 2 + (x x 2 x 3 + x x 2 x x n 2 x n x n ) x n 2 + ::: x x 2 x n = 0 olur. Bu denklem ile () denklemi karşlaştrlrsa, a n x + x x n = a n x x 2 + x x x n x n = a n 2 x x 2 x 3 + x x 2 x x n 2 x n x n =. a n a n 3 a n x x 2 x n = ( )n a 0 a n elde edilir. Bu formüllere Vieta formülleri denir.
11 Denklemler ve Denklem Sistemleri 33 Bu formülleri toplam sembolleriyle, np x i = a n i= a n np x i x j = a n 2 ij a n np i<j<k.. x i x j x k = an 3 a n x x 2 x n = ( )n a 0 a n şeklinde gösteririz. Örnegin, üçüncü dereceden denklemler konusunda, denklemi için, a 3 x 3 + a 2 x 2 + a x + a 0 = 0 x + x 2 + x 3 = a 2 a 3 ; x x 2 + x x 3 + x 2 x 3 = a a 3 ve x x 2 x 3 = a 0 a 3 oldugunu görmüştük. Örnek 49 x 3 x 2 3x + 2 = 0 denkleminin kökleri a; b; c ise, =a + =b + =c toplamn hesaplaynz. Çözüm : Paydalar eşitlersek, a + b + bc + ab + ac = c abc olur. abc = 2= ve bc + ab + ac = 3= oldugundan, =a + =b + =c = 3=2 elde edilir. Örnek 50 x 4 3x 2 + 4x + m = 0 denkleminin kökleri x ; x 2 ; x 3 ve x 4 olsun. olduguna göre, m kaçtr? x 4 = x + x 2 + x 3 ve x 2 x 4 + x 3 x 4 + x x 4 = 0 Çözüm : x 4 = + + = x 2x 3 + x x 3 + x x 2 x x 2 x 3 x x 2 x 3 çarpmndan, eşitliginin içler dşlar x x 2 x 3 x 4 = x 2 x 3 + x x 3 + x x 2 olur. Buna göre, Vieta formüllerine göre, x x 2 x 3 x 4 = x 2 x 3 + x x 3 + x x 2 + x 2 x 4 + x 3 x 4 + x x 4 0 olacagndan, m = 4 0 ve buradan da m = 6 bulunur.
12 34 Matematik Olimpiyatlarna Hazrlk 4 Örnek 5 x 3 3x 2 + x 2 = 0 denkleminin kökleri, a; b; c ise, a 3 + b 3 + c 3 =? Çözüm : Vieta formüllerinden, a + b + c = 3; ab + ac + bc = ve abc = 2 eşitlikleri vardr. Köklerin üçüncü dereceden kuvvetlerini bulmak için önce denklemi kullanarak, bulacagmz ifadeyi daha sade hale getirelim. Buna göre, x 3 = 3x 2 x+2 oldugundan, a 3 + b 3 + c 3 = 3a 2 a b 2 b c 2 c + 2 elde edilir. a 2 + b 2 + c 2 = (a + b + c) 2 olur. Böylece, bulunur. = 3 a 2 + b 2 + c 2 (a + b + c) + 6 a 2 + b 2 + c 2 = = 7 2 (ab + ac + bc) eşitliginden, a 3 + b 3 + c 3 = = 24 Örnek 52 a; b ve c, x 3 x = 0 denkleminin kökleri olduguna göre, a + a + b + b + c + c eşitligini hesaplaynz. Çözüm : Vieta formüllerinden, oldugundan, a + a + b + b + c + c a + b + c = 0; ab + ac + cb = ve abc = elde edilir. (Not : Denklemden yararlanarak, oldugu kolayca görülebilirdi.) = 2 a + 2 b + 2 c + a + b + c = a + + b + + c (a + b + c) + bc + ac + ab = a + b + c + ab + ac + bc + abc = = ( + a) ( + b) ( + c) = a 3 b 3 c 3 = (abc) 3 =
13 Denklemler ve Denklem Sistemleri 35 Örnek 53 x 0 +x 2 x+ = 0 denkleminin kökleri, x ; x 2 ; :::; x 0 olduguna göre, toplamn hesaplaynz. x 0 + x x 0 0 Çözüm : x 0 + x x 0 0 = m diyelim. x 0 = x 2 + x oldugundan, m = x 2 + x + x x 2 + x x x x 0 yazlabilir. Bu ifadeler kuvvetlerine göre snanrsa, bulunur. m = x 2 + x x (x + x x 0 ) 0 = (x + x x 0 ) 2 2 (x x 2 + x x x 9 x 0 ) + (x + x x 0 ) 0 = = 0 Örnek 54 x 3 + px + q = 0 denkleminin üç farkl reel kökü varsa, p < 0 oldugunu gösteriniz. (BREZILYA M.O. 992) Çözüm : Denklemin kökleri a; b ve c olsun. Bu durumda, Vieta formüllerinden, a + b + c = 0; ab + ac + bc = p ve abc = q olur. a > 0 olsun. c = a b oldugundan, p = ab + ac + bc = ab + c (a + b) = ab (a + b) 2 elde edilir. Bu eşitlige göre, i) b < 0 ise, ab < 0 olacagndan, p < 0 olur. ii) b > 0 ise, ab > 0 olur ve p = ab (a + b) 2 = ab a 2 b 2 < 0 elde edilir. Örnek 55 Kökleri, 2x (m + n) x + m 2 + n 2 = 0 denkleminin köklerinin farknn karesi ve kökleri toplamnn karesi olan ikinci dereceden denklemi bulunuz? Çözüm : (x + x 2 ) 2 = ( m n) 2 = (m + n) 2 ve (x x 2 ) 2 = x 2 + x 2 2 2x x 2 = (x + x 2 ) 2 4x x 2 = (m + n) 2 2 m 2 + n 2 = (m n) 2 olur. O halde, yeni ikinci dereceden denklem x (m 2 + n) 2 (m n) 2 x + yani, x 2 4mnx (n m) 2 (m + n) 2 = 0 olur. (m n) 2 (m + n) 2 = 0
14 36 Matematik Olimpiyatlarna Hazrlk 4 Örnek 56 Kökleri 2x 3 9x 2 + 0x 3 = 0 denkleminin köklerinden 'er fazla olan denklemi bulunuz. Çözüm : 2x 3 9x 2 + 0x 3 = 0 denkleminin kökleri, a; b ve c olsun. Buna göre, kökleri x = a + ; x 2 = b + ve x 3 = c + olan denklem oldugundan, x 3 (x + x 2 + x 3 ) x + (x x 2 + x x 3 + x 2 x 3 ) x x x 2 x 3 = 0 x + x 2 + x 3 = a + + b + + c + = a + b + c + 3 = 9=2 + 3 = 5=2; ve x x 2 + x x 3 + x 2 x 3 = (a + ) (b + ) + (a + ) (c + ) + (c + ) (b + ) = 2 (a + b + c) + ab + ac + bc + 3 = 2 (9=2) = 7 x x 2 x 3 = (a + ) (b + ) (c + ) = a + b + c + ab + ac + bc + abc + = 9= =2 + = 2 eşitliklerinden, x 3 (5=2) x + 7x 2 = 0 veya 2x 3 5x x 24 = 0 bulunur. Örnek 57 x 3 + ax 2 + ax + = 0 denkleminde a katsaysnn 2 kat alndgnda, denklemin köklerinin toplam artmaktadr. Buna göre a kaçtr? Çözüm : x +x 2 +x 3 = a iken x 0 +x 0 2 +x 0 3 = 2a ve 2a = a+ oldugundan a = olur. Örnek 58 ax 2 + bx + c = 0 denkleminin bir kökü diger kökünün karesi olduguna göre, b 3 + a 2 c + ac 2 =? Çözüm : x x 2 = k k 2 = c a eşitliginden, k3 = c a ve x + x 2 = de k + k 2 = b a olur. Buna göre, srasyla, k + k 2 3 b 3 = k 3 + 3k 4 + 3k 5 + k 6 ; = c a + 3k3 k + k 2 c 2 + ; a ca 3bc + c2 a 3 = a 2 ; eşitliginden, b 3 + a 2 c + ac 2 = 3abc elde edilir. b a eşitliginden
15 Denklemler ve Denklem Sistemleri 37 Örnek 59 c ve d reel saylar olmak üzere, tam üç tane farkl pozitif tamsay kökü olacak şekilde kaç tane x 3 x 2 + cx + d polinomu vardr? Çözüm : Vieta formüllerine göre, köklerin toplam olmaldr. pozitif tamsaylar oldugu göz önünde bulundurulursa, kökler, ; 2; 8; ; 3; 7; ; 4; 6; 2; 3; 6 veya 2; 4; 5 Köklerin farkl say gruplarndan biri olabilir. O halde, istenen şekilde 5 polinom vardr. Örnegin, kökleri ; 2; 8 olan polinom, polinomudur. P (x) = (x ) (x 2) (x 8) = x 3 x x 6 Örnek 60 (x ) + (x 2) 2 + (x 3) (x 99) 99 + (x 00) 00 polinomunun köklerinin toplamn bulunuz. Çözüm : Vieta formüllerine göre kökler toplam, x 99 katsaysnn, x 00 'ün katsaysna yani 'e bölümüne eşittir. O halde, x 99 'un katsaysn bulmalyz. (x 99) 99 ifadesinde, x 99 'un katsays 'dir. (x 00) 00 ifadesinde ise, x 99 'un katsays, 0000 oldugundan, yant = 9999 bulunur. Örnek 6 Katl kökü olmayan x (=2 x) 200 = 0 denkleminin reel ve reel olmayan tüm köklerinin toplamn bulunuz. (AIME 200) Çözüm : x (=2 x) 200 = 0 denkleminin açlmnda, x 200 sadeleşecek ve 2000'inci dereceden bir denklem elde edilecektir. O halde, Vieta formüllerine göre, kökler toplamn bulabilmemiz için, x 999 ve x 2000 teriminin katsaylarna ihtiyacmz var. Bunun için, Binom açlmn kullanarak, ( 2 x) 200 açlmndaki x 999 ve x 2000 terimlerinin katsaysn bulalm ( x) 2 = x2000 ve oldugundan, Vieta formüllerinden, bulunur ( x) 999 ( 2 )2 = x 999 x + x x 2000 = =2 = 500
16 60 Matematik Olimpiyatlarna Hazrlk Grakler Yardmyla Denklem Çözümü Örnek 203 p x = x 4 eşitligini saglayan kaç tane x pozitif reel says vardr? (USC Math.Contest) Çözüm : p x = x 4 p veya x = x 4 olabilir. p x = x 4 denkleminin çözümü için, y = p x ve y = x 4 fonksiyonlarnn grakleri çizilirse, şekildeki gibi bir noktada kesiştikleri görülür. O halde, bu denklemin sadece bir çözümü var demektir. Benzer şekilde, p x = x 4 denkleminin de bir çözümü olacaktr. O halde denklemin sadece 2 reel çözümü vardr. y 0 y 4 = x y = x x y = x Örnek 204 x 4 +jxj = 0 denkleminin kaç tane reel çözümü vardr? (USC Math.Contest) Çözüm : y = jxj ve y = 0 x 4 fonksiyonlarnn gragini göz önüne alalm. Bu iki fonksiyon, yandaki grakte görüldügü gibi sadece, iki noktada kesişirler. O halde, denklemin sadece 2 tane reel kökü vardr. y 4 y = 0 x y = x x Örnek x = x 2 x + denkleminin kaç tane reel kökü vardr? 2 y x x = + y y = x 3 x Çözüm : x = ve x = 2 için denklem saglanr. Bu iki kökten başka köklerinin olmadgn y = 3 x ve y = x 2 x + fonksiyonlarnn gragini çizerek görebiliriz. Gerçekten, grakten görüldügü gibi bu iki fonksiyon sadece iki noktada kesişirler. Yani, denklemin sadece 2 kökü vardr.
17 Denklemler ve Denklem Sistemleri 6 Örnek 206 Hangi a reel says için, jx j jx 2j + jx 4j = a denkleminin tam üç kökü vardr? (Wisconsin Math Talent Search 996) Çözüm : f (x) = jx j jx 2j + jx 4j diyelim ve gragini çizelim. Aralklara göre incelersek, x ise, f (x) = x + (2 x) + ( x + 4) = 3 x x 2 ise, f (x) = (x ) (2 x) + ( x + 4) = x + 2 x 4 ise, f (x) = (x ) (x 2) + ( x + 4) = 5 x x 4 için, f (x) = (x ) (x 2) + (x 4) = x 3 olur. Buna göre, grak şekildeki gibi olur. Daha sonra şekilde görüldügü gibi, a 2 Z için y = a graklerini çizersek, a > 4 için, f (x) ve y = a iki noktada, a = 3 ve a = 2 için, f (x) ve y = a üç noktada, a = için, f (x) ve y = a sadece noktada kesişirler. a < için ise kesişmezler yani çözüm yoktur. 3 2 y 2 f(x) y = 4 y = 3 y = 2 y = x Örnek 207 jx jx jx 4jjj = a denkleminin tam üç tane kökü olacak şekilde tüm a reel saylarn bulunuz. (Wisconsin Math Talent Search 2008) Çözüm : Önce, y = jx jx jx 4jjj fonksiyonunun gragini çizelim. x 4 için, y = jx jx x 4jj = jx 4j = x 4 x 4 için, y = jx jx + x 4jj = jx j2x 4jj ve x 2 için, y = jx 2x + 4j = j4 xj = 4 x elde edilir. x 2 için, y = jx j2x 4jj = jx + 2x 4j = j3x 4j olacagndan, x 4=3 için, y = 3x 4 ve x 4 için, y = 3x olur. Buna göre, belirtilen aralklar için, grak çizilirse, yandaki grak elde edilir. Grakten de görülür ki, a > 3 için, denklemin iki çözümü, a = 2 için, denklemin üç çözümü, 0 a < 2 için, denklemin dört çözümü a = 0 için, denklemin iki çözümü vardr. a < 0 için ise çözüm yoktur. 3 y y = x x x 4 2 y = 2 y = x
18 62 Matematik Olimpiyatlarna Hazrlk Köklerin Kuvvetleri Toplamnn Hesaplanmas Bu ksmda, kökleri x ; x 2 ; :::; x n olan n'inci dereceden bir polinom için, k 2 Z + olmak üzere, S k = x k + x k x k n toplamn nasl hesaplayabilecegimizi görecegiz. Önce aşagdaki ilk örnekte, üçüncü dereceden bir polinom için, S 3 'ü klasik yöntemle hesaplayalm. Sonraki örnekte ise, S 4 için başka bir yöntem kullanalm. Örnek 208 9x 3 3x 6 = 0 denkleminin kökleri a; b; c ise, a 3 + b 3 + c 3 =? Çözüm : a; b; c denklemin kökleri olduguna göre, 9a 3 3a 6 = 0; 9b 3 3b 6 = 0; 9x 3 3b 6 = 0 eşitlikleri saglanr. Bunlar taraf tarafa toplarsak, 9 a 3 + b 3 + c 3 3 (a + b + c) 8 = 0 elde edilir. Vieta formüllerine göre, a + b + c = 0 oldugundan, a 3 + b 3 + c 3 = 2 bulunur. Örnek 209 P (x) = 2x 3 +3x 2 3 polinomunun üç farkl reel kökü a; b; c olduguna göre, a 4 + b 4 + c 4 =? Çözüm : Negatif olmayan bir k says için, S k = a k + b k + c k olarak gösterelim. S 0 = a 0 + b 0 + c 0 = 3 olur. Diger taraftan Vieta formüllerine göre, a + b + c = 3=2; abc = 3 ve ab + ac + bc = 0 eşitlikleri vardr. Şimdi bunlar da kullanarak S 2 'yi hesaplayalm. S 2 = a 2 + b 2 + c 2 = (a + b + c) 2 2 (ab + ac + bc) oldugundan, S 2 = 69=4 bulunur. Bundan sonraki S k degerlerini daha kolay elde etmek için başka bir yöntem kullanacagz. a polinomun bir kökü oldugundan, P (a) = 2a 3 + 3a 2 3 = 0 eşitligi, yani, 2a 3 = 3a eşitligi saglanr. Bu eşitligi, a k 3 ile çarparsak, elde edilir. Benzer şekilde, 2a k = 3a k + 3a k 3 2b k = 3b k + 3b k 3 ve 2c k = 3c k + 3c k 3 eşitlikleri saglanacaktr. Bu üç eşitligi taraf tarafa toplarsak, olacaktr. 2S k = 3S k + 3S k 3
Içindekiler. Karşk Örnekler 87. TÜBITAK SORULARI (Fonksiyonlar) 55 ULUSAL ANTALYA MATEMATIK OLIMPIYATI SORULARI 64
Içindekiler BIRINCI BÖLÜM Fonksiyonlar Bagnt 11 Fonksiyon 12 Fonksiyonel Denklemlere Giriş 14 Fonksiyonun Gragi 17 Fonksiyon Çeşitleri 18 Bir Fonksiyonun Tersi 20 Bileşke Fonksiyon 23 Tek ve Çift Fonksiyon
DetaylıMustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi
2 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 4 Mustafa Özdemir MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK 4 (336 sayfa) ANALİZ CEBİR 1 TANITIM DÖKÜMANI (Kitabın içeriği hakkında bir bilgi verilmesi amacıyla bu döküman
DetaylıIçindekiler. Bölünebilme ve Bölme Algoritmas Bölme Algoritmas 12 Bölünebilme Kurallar 15 Bölünebilme Problemlerinde En Çok Kullanlan Yöntemler 22
Içindekiler BIRINCI BÖLÜM Bölünebilme ve Bölme Algoritmas Bölme Algoritmas 12 Bölünebilme Kurallar 15 Bölünebilme Problemlerinde En Çok Kullanlan Yöntemler 22 Çözümlü Test 25 Çözümler 28 Problemler (Bölünebilme)
Detaylı(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM
EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin
DetaylıYAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK
YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki
Detaylı28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31
SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 11 32159 Rasyonel sayı kavramını açıklar. 2 12 32151 İki ya da daha çok doğal sayının en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını bulur.
DetaylıPOL NOMLAR. Polinomlar
POL NOMLAR ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN T POL NOMLAR Polinomlar 1. Kazan m: Gerçek kat say l ve tek de i kenli polinom kavram n örneklerle aç klar, polinomun derecesini, ba kat say s n, sabit
DetaylıİKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden
Detaylıbiçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces
TANIM n bir doğal sayı ve a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n birer gerçel sayı olmak üzere, P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n 1 x n 1 +a n x n biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel)
DetaylıÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI
0 KULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 0 SINIFLAR SRULARI (5xy) dört basamaklı sayıdır 5 x y 6 - a 3 Yukarıdaki bölme işlemine göre y nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? 4 m pozitif bir tamsayı olmak üzere;
DetaylıPolinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14.
1. Ünite: Polinomlar Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Polinomlarda Bölme, Bölüm ve Kalan Bulma 1 1 1 1 1 1 1 1 1
DetaylıPERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR
2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve
DetaylıLYS MATEMATİK DENEME - 1
LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte
Detaylı1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol
ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.
Detaylı1.DERECEDEN DENKLEMLER. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)
.DERECEDEN DENKLEMLER Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları 8 Ağustos 07 0. Bir Bilinmeyenli
DetaylıYeşilköy Anadolu Lisesi
Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi
DetaylıİÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel
DetaylıDenklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,
Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli
DetaylıİÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel
DetaylıXIV. Ulusal Antalya Matematk Olmpyat Brnc A³ama Snav Sorular -2009
XIV. Ulusal ntalya Matematk Olmpyat rnc ³ama Snav Sorular -009 c www.sbelian.wordpress.com sbelianwordpress@gmail.com Soru 1. dar açl üçgeninde m() = 45 'dir. 'dan 'ye indirilmi³ dikmenin aya E ve 'den
Detaylı13.Konu Reel sayılar
13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık
DetaylıTemel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.
Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal
Detaylı2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?
017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin
DetaylıÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI. MATEMATİK YARIŞMASI 0. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 5. sayısının virgülden sonra 9 99 999 5. basamağındaki rakam kaçtır? A) 0 B) C) 3 D) E) 8!.!.3!...4! 4. A= aşağıdaki hangi
DetaylıBÖLÜM 1. stanbul Kültür Üniversitesi. Fonksiyonlar - Özellikleri ve Limit Kavram. ³eklinde tanmlanan fonksiyona Dirichlet fonksiyonu ad verilir.
BÖLÜM 1 0, Q 1. f() = 1, R/Q, Fonksiyonlar - Özellikleri ve Limit Kavram ³eklinde tanmlanan fonksiyona Dirichlet fonksiyonu ad verilir. Buna göre a³a da verilen tanm bölgeleri altnda görüntü cümlelerini
DetaylıPolinomlar. Polinom Kavram
1 2 Bölüm 1 Polinomlar Polinom Kavram Polinomlar, yalnz Matematikte de il, ba³ka bilim dallarnda da kar- ³la³lan bir çok problemin çözümünde etkili bir araçtr. Polinom kavram, farkl soyut biçimleriyle
DetaylıİÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 KÜMELER 11 1.1. Küme 12 1.2. Kümelerin Gösterimi 13 1.3. Boş Küme 13 1.4. Denk Küme 13 1.5. Eşit Kümeler 13 1.6. Alt Küme 13 1.7. Alt Küme Sayısı 14 1.8. Öz Alt Küme 16 1.9.
DetaylıPENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 10.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI
PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 0-0 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 0.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI EYLÜL EKİM. Gerçek katsayılı ve tek değişkenli polinomu kavram olarak örneklerle açıklar, polinomun derecesini,
DetaylıL SANS YERLE T RME SINAVI 1
LSANS YERLETRME SINAVI MATEMATK TEST SORU KTAPÇII 9 HAZRAN 00. ( )( + ) + ( )( ) = 0 eitliini salayan gerçel saylarnn toplam kaçtr?. ( )( ) < 0 eitsizliinin gerçel saylardaki çözüm kümesi aadaki açk aralklarn
Detaylı1.BÖLÜM SORU SORU. (x 1) (x 3) = A + B. x 3 ise, d(p(x)) ve d(q(x)) polinomlar n derecelerini göstermek. A. B çarp m kaçt r?
1.BÖLÜM MATEMAT K Derginin bu say s nda Polinomlar konusunda çözümlü sorular yer almaktad r. Bu konuda, ÖSS de ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik yollar, sorular m z n çözümü
DetaylıMustafa Sezer PEHLİVAN. Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü
* Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü SAYILAR Doğal Sayılar, Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar, N={0,1,2,3,,n, } Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Q={p/q: p,q Z ve q 0} İrrasyonel Sayılar, I= {p/q
DetaylıMEB YÖK MESLEK YÜKSEKOKULLARI PROGRAM GELİŞTİRME PROJESİ. 1. Matematik ile ilgili temel kavramları açıklayabilme.
PROGRAMIN ADI DERSIN ADI DERSİN İŞLENECEĞİ YARIYIL HAFTALIK DERS SAATİ DERSİN SÜRESİ AMAÇLAR 1. Matematik ile ilgili temel kavramları açıklayabilme. MUHASEBE PROGRAMI MATEMATİK 1. Yıl I. Yarıyıl 3 (Teori:
Detaylı1 RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Sorular Sorular DOĞRUSAL DENKLEMLER Sorular DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 25
İçindekiler RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER. Çözümlü Sorular............................. 2.2 Sorular................................... 5 2 TEK - TERİMLİ veçok-terimli İFADELER 7 2. Çözümlü Sorular.............................
DetaylıÜN TE 2 2. DERECEDEN DENKLEMLER VE
31 0 ZMR 5 8 5 63 8 MECYEKÖY 7 3 3 NSAN KAYNAKLARI MERKEZ BEKTA 7 76 70 KOCAEL DENZL 65 09 90 ÜNTE. DERECEDEN DENKLEMLER VE TSZLKLER 0 31 0 ZMR 5 8 5 63 8 MECYEKÖY 7 3 3 NSAN KAYNAKLARI MERKEZ BEKTA 7
DetaylıEĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ
EKİM 07-08 EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 0. SINIF MATEMATİK DERSİ 0... Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. 0... Sınırsız sayıda tekrarlayan nesnelerin dizilişlerini
DetaylıCEVAP ANAHTARI. Tempo Testi D 2-B 3-A 4-A 5-C 6-B 7-B 8-C 9-B 10-D 11-C 12-D 13-C 14-C
01. BÖLÜM: FONKSİYONLARLA İLGİLİ UYGULAMALAR - 1 1-E 2-D 3-C 4-E 5-B 6-C 7-C 8-B 9-C 10-D 11-C - 2 1-D 2-E 3-C 4-D 5-E 6-E 7-C 8-D 9-E 10-B - 3 1-E 2-A 3-B 4-D 5-A 6-E 7-E 8-C 9-C 10-C 11-C 1-A 2-B 3-E
DetaylıMATEMATİK 1 - FÖY İZLEME TESTLERİ. ÜNİTE 1: TEMEL KAVRAMLAR Temel Kavramlar. 4. a.b + a b 10 = x ve y farklı birer pozitif tam sayı,
MATEMATİK - FÖY İZLEME TESTLERİ 0/U UYGULAMA ÜNİTE : TEMEL KAVRAMLAR Temel Kavramlar. x, y, z birer rakam ve x < y < 6 < z olmak üzere, x + 3y z ifadesinin en büyük değeri A) B) 3 C) 6 D) 0 E) 9 4. a.b
Detaylı1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon
İçindekiler Cebir 1. Fonksiyonlar....... 1.1 Fonksiyonların Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi...... 1.1.1 Fonksiyon.. 1.1. Görüntü Kümesi... 1.1.3 Eşit Fonksiyonlar. 1.1.4 Fonksiyonun Gösterimi. 1.1.4.1 Liste
DetaylıÖRNEK KİTAP. x ax 12. x.sinx dx. 1 cos x. x x mx 1. 4 (a b ) ise a çifttir. 4. x+y=14 ise x 2.y 5 çarpımının değeri en fazla kaça eşittir?
1. lim a 1 üzere a+b toplam kaçtr? A)-8 B)-5 C)- C)1 E)4 b, a,b R olmak 4. +y=14 ise.y 5 çarpmnn değeri en fazla kaça eşittir? A)4 6.10 B)10.4 5 C)10 5. D) 5.10 7 E)16.10 5. bir cisim için hareket denklemi
Detaylıp sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?
07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin
DetaylıNÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. Sabit Nokta ve Fonksiyonel Yineleme. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi
NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP Sabit Nokta ve Fonksiyonel Yineleme Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 3 7! Sabit Nokta ve Fonksiyonel Yineleme 1 / 23 Sabit Nokta
DetaylıDOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ 8. İSTANBUL MATEMATİK YARIŞMASI LİSELER KATEGORİSİ TAKIM YARIŞMASI
DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ 8. İSTANBUL MATEMATİK YARIŞMASI LİSELER KATEGORİSİ TAKIM YARIŞMASI 1-60) Dört çocuk, Ahmet, Ferit, Berk ve Mehmet koşu yarışı yapıyorlar. Yarışma sonucunda, Ahmet, "Ben birinci ve sonuncu
DetaylıSunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.
Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: POLİNOMLAR ALIŞTIRMALAR Bu başlık altında her bölüm kazanımlara ayrılmış, kazanımlar tek tek çözümlü temel alıştırmalar ve sorular ile taranmıştır. Özellikle bu kısmın sınıf
DetaylıULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATLARI DENEMESİ ( ŞUBAT 2010 )
ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATLARI DENEMESİ ( ŞUBAT 010 ) 1) Dar açılı ABC üçgeninde BB 1 ve CC 1 yükseklikleri H noktasında kesişiyor. CH = C H, BH = B H ise BAC açısını bulunuz. 1 1 A)0 0 B)45 0 C) arccos
DetaylıMC 311/ANAL Z III ARA SINAV I ÇÖZÜMLER
MC 311/ANAL Z III ARA SINAV I ÇÖZÜMLER (1) A³a daki her bir önermenin do ru mu yanl³ m oldu unu belirleyiniz. Do ruysa, gerekçe gösteriniz; yanl³sa, bir kar³-örnek veriniz. (a) (a n ) n N dizisi yaknsak
DetaylıPOLİNOMLARIN TANIMI. ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: KONU: POLİNOMLAR NUMARASI: SINIFI:
ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: Dersin Adı POLİNOMLARIN TANIMI 1. Aşağıdaki fonksiyonlardan polinom belirtir? I. Dersin Konusu 1 5. P x x n 1 7 x 4 n 5 ifadesi bir polinom belirttiğine göre, bu polinomun derecesi
DetaylıÖABT Soyut Matematik KONU TESTİ Önermeler ve İspat Yöntemleri
ÖABT Soyut Matematik KONU TESTİ Önermeler ve İspat Yöntemleri ÇÖZÜMLER p q r q q p r q q. p r q q p r 5. p q q r r r, p q q r, r p, q q r q, q p q. p q p q p q p q p q q p p 6. p p q p p q p q p p p q
DetaylıDeğişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir.
1 DENKLEMLER: Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. Bir denklemde eşitliği sağlayan(doğrulayan) değerlere; verilen denklemin kökleri veya
DetaylıÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV
- 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını
DetaylıEşit Ağırlık ve Sayısal Adaylar İçin ALES KONU ANLATIMLI ALES. eğitimde. Kenan Osmanoğlu Kerem Köker. Özgün Sorular. Çıkmış.
Eşit Ağırlık ve Sayısal Adaylar İçin 2018 KONU ANLATIMLI Özgün Sorular eğitimde Çıkmış 30.yıl Sorular Kenan Osmanoğlu Kerem Köker Pratik Bilgiler Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker Eşit Ağırlık ve Sayısal Konu
DetaylıAtatürk Anadolu. Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar
Atatürk Anadolu Lisesi M A T E M A T İ K Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar KONYA \ SELÇUKLU 01 MATEMATİK 1. TEMEL KAVRAMLAR 1.1. RAKAM Sayıların yazılmasında kullanılan sembollere rakam denir. Onluk
DetaylıNÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi
NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 1 / 21 1 Polinom Interpolasyonu Newton Formu
DetaylıTANIM : a, a, a, a,..., a R ve n N olmak üzere,
MATEMAT K TANIM : a, a, a, a,..., a R ve n N olmak üzere, 0 1 2 3 n P(x) = a x n a x n 1... a x 3 a x 2 a x n n 1 3 2 1 a ifadesine reel katsay l POL NOM denir. 0 a, a, a,..., a say lar na KATSAYILAR,
Detaylı2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK
2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 1. 2,31 0,33 0,65 0,13 + 3,6 0,6 işleminin sonucu kaçtır? A)0,5 B) 0,8 C)0,9 D)5 E)8 4. Üç basamaklı ABB doğal sayısı 4 e ve 9 a kalansız bölünmektedir. Buna göre, A+B toplamının
DetaylıEŞİTSİZLİKLER. 5. x 2 + 4x + 4 > x 2 0. eşitsizliğinin çözüm kümesi. eşitsizliğinin çözüm kümesi. aşağıdakilerden hangisidir?
1. 36 x A) [- 6, ] B) [- 6, 6 ] C) [, 36] D) [, 36 ] E) [- 36, ] 5. x + 4x + 4 > A) (, ) B) - } C) D) R E) R - {- } 6. x + 8x + 16. x x 8 < aşağıdalerden hangisidir? A) (- 4, ) B) (-, ) C) (- 4, ) A) {
DetaylıBu ders materyali 06.09.2015 23:17:19 tarihinde matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır. Unutmayın bilgi paylaştıkça değerlidir.
-- Bu ders materyali 06.09.05 :7:9 tarihinde matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından UYGULAMA-00 Cevap: x- -x- x- =0 denklemini sağlayan x değeri kaçtır? UYGULAMA-00 Cevap: x x x 5 + = + denklemini
DetaylıKPSS ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK. Tamamı Çözümlü SORU BANKASI. 50 soruda SORU
KPSS ÖABT 09 İLKÖĞRETİM MATEMATİK Tamamı Çözümlü SORU BANKASI 50 soruda SORU Komisyon ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK TAMAMI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ISBN 978-605--9-6 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu
DetaylıSAYILAR TEORİSİ. KİTAPTA BULUNAN, TEOREM İSPATLARI, KONU ANLATIMI ve ÇÖZÜMLERİN OLDUĞU KISIMLAR, BU DÖKÜMANA KONULMAMIŞTIR.
2 SAYILAR TEORİSİ - MUSTAFA ÖZDEMİR SAYILAR TEORİSİ Bu kitap üniversitelerimizin Matematik ve Matematik Eğitimi bölümlerinde okutulmakta olan Sayılar Teorisi derslerine de yardımcı olacaktır. Bunun yanında,
DetaylıİKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER,, olmak üzere 2. ÜNİTE. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER ve FONKSİYONLAR
- 1-2 ÜNİTE İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER ve FONKSİYONLAR ÖĞRENME ALANI CEBİR İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER,, olmak üzere Şeklindeki açık önermelere, ikinci dereceden bir bilinmeyenli
DetaylıCEVAP ANAHTARI 1-A 2-C 3-A 4-D 5-D 6-E 7-A 8-E 9-D 10-D 11-C 12-B 13-E 14-E 15-E 16-A 17-D 18-B
1. BÖLÜM: TEMEL KAVRAMLAR - 3 1-A 2-C 3-A 4-D 5-D 6-E 7-A 8-E 9-D 10-D 11-C 12-B 13-E 14-E 15-E 16-A 17-D 18-B 1-D 2-B 3-B 4-E 5-C 6-D 7-C 8-E 9-B 10-A 11-C 12-E 13-C 14-D 15-E 16-D 1-A 2-B 3-A 4-E 5-A
Detaylı1998 ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI B IR INC I AŞAMA SORULARI
1998 ULUSL NTLY MTEMT IK OL IMP IYTI IR INC I ŞM SORULRI Lise 1- S nav Sorular 1. T = 1! +! + 3! + ::: + 1997! + 1998! toplam n n son iki basama¼g ndaki rakamlar n toplam kaçt r? ) 13 ) 9 C) 6 D) E) Hiçbiri.
Detaylı23. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI SORULARI B B B B B B B
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ 23. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI SORULARI ADI SOYADI :... OKUL... ŞEHİR :...SINIF :... İMZA :... SINAV TARİHİ VESAATİ:29 Nisan 2018 - Pazar 10.00-12.30 u sınav 25 sorudan oluşmaktadır
DetaylıLĐMĐT ÖSS ÖYS YILLAR SAĞDAN VE SOLDAN LĐMĐT. ÇÖZÜM: x=2 f(x) de yerine yazılır cevap:7
YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS ÖYS LĐMĐT Tanım : Bir x0 A = [ a,b ] alalım, f: A R ye veya f: A - { x 0 } R ye bir fonksiyon olsun. Terimleri A - { x 0 } kümesine ait ve x
Detaylı1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.
1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)
DetaylıCebirsel Fonksiyonlar
Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş
DetaylıÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler
DetaylıNİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4
NİSAN 21 DENEMESİ 1) ABCD dikdörtgeninin AB kenarı üzerindeki M noktasından geçen ve CM doğrusuna dik olan doğru AD kenarını E noktasında kesiyor. M noktasından CE doğrusuna indirilen dikmenin ayağı P
DetaylıÇ NDEK LER. Bölüm 4: Üslü Say lar...44 Üslü fadeler...44 Al t rmalar...47 Test Sorular...49
Ç NDEK LER Bölüm1: Say Sistemleri...1 Say Sistemi...2 Desimal (Onluk) Say Sistemi...2 Say Basamaklar ve Taban...4 Binary ( kilik) Say Sistemi...4 Oktal (Sekizlik) Say Sistemi...7 Heksadesimal (Onalt l
DetaylıGelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören
Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören çocuklarımızın ana ve babalarına da yavrularının öğreniminin tamamlanması
DetaylıTEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 10. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI
9 Eylül- Eylül 0-07 TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 0. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI Veri, Sayma ve Sayma. Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. Sıralama
DetaylıKöklü Sayılar ,1+ 0,1+ 1, 6= m 10 ise m kaçtır? ( 8 5 ) 2x 3. + a =? (4)
Köklü Sayılar.,+ 0,+, 6= m 0 ise m kaçtır ( 8 5 ). a= ise a + a (). : :... = 8 0 0... eşitliğini sağlayan değeri nedir (). 99.0+.6+ (75) 5. + : + 8 7 8 () 6. > 0 ve = olduğuna göre ( ) + a+ b 7. a, b R
DetaylıÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16.MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF FİNAL SORULARI
10. SINIF FİNAL SORULARI 1. a,b,c,d sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere, + c + d = 0 denkleminin kökleri a ve b, + a + b = 0 denkleminin kökleri c ve d ise b + d değerini bulunuz.. sin + cos cos +
Detaylısayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1
TAM KARELER 1. Bir 1000 basamaklı sayıda bir tanesi dışında tüm basamaklar 5 tir. Bu sayının hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız. (2L44) Çözüm: Son rakam 5 ise, bir önceki 2 olmak zorunda.
DetaylıXII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı
XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı A 1. Köşeleri, yarıçapı 1 olan çemberin üstünde yer alan düzgün bir n-genin çevre uzunluğunun alanına oranı 4 3 ise, n kaçtır? 3 a) 3 b) 4 c) 5 d)
DetaylıProf. Dr. Mahmut Koçak.
i Prof. Dr. Mahmut Koçak http://fef.ogu.edu.tr/mkocak/ ii Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Kitabın yazarına aittir. Bütün hakları saklıdır. Kitabın tümü ya da bölümü/bölümleri yazarın yazılı izni
Detaylı12. SINIF. Ağırlık (%) SAYILAR VE CEBİR ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Üstel Fonksiyon 1 8 4
12. SINIF No Konular Kazanım Sayısı Ders Saati Ağırlık (%) 12.1. ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR 6 36 17 12.1.1. Üstel Fonksiyon 1 8 4 12.1.2. Logaritma Fonksiyonu 3 18 8 12.1.3 Üstel, Logaritmik Denklemler
DetaylıMatematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.
- 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle
DetaylıFath Ünverstes Matematk Olmpyatlar
Fath Ünverstes Matematk Olmpyatlar - 007 www.sbelian.wordpress.com Fatih Üniversitesi Matematik Bölümü tarafndan ilki düzenlenen Liseleraras Matematik Olimpiyat'nn ilk snav 0 Ekim 007 tarihinde üniversite
Detaylı2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.
Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS'de matematik testinde
DetaylıAKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER
AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 015-01 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI SÜRE: MANTIK(30) ÖNERMELER VE BİLEŞİK ÖNERMELER(18) 1. Önermeyi, önermenin
DetaylıHOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER
n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin
Detaylı23. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI SORULARI A A A A A A A
KDENİZ ÜNİVERSİTESİ 23. ULUSL NTLY MTEMTİK OLİMPİYTI SORULRI DI SOYDI :... OKUL... ŞEHİR :...SINIF :... İMZ :... SINV TRİHİ VESTİ:29 Nisan 2018 - Pazar 10.00-12.30 Bu sınav 25 sorudan oluşmaktadır vesınav
DetaylıSivas Fen Lisesi Ortaokul 2. Matematik Olimpiyatı Sınavı A A) 55 B) 50 C) 45 D) 40 E) 35
Sivas Fen Lisesi Ortaokul 2. Matematik Olimpiyatı Sınavı A 1. ABC üçgeninde BF BD, EC CD olacak şekilde AC kenarı üzerinde E noktası, o BC m(ba C) 70 ise m(fd E) kaç derecedir? AB kenarı üzerinde F noktası,
DetaylıBuna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.
TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }
Detaylı{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde
1. Aşağıdaki kümelerden hangisi sonsuz küme belirtir? A) A = { x 4 < x < 36,x N} B) B = { x 19 < x,x asal sayı} C) C = { x x = 5k,0 < x < 100,k Z} D) D = { x x = 5, x Z} E) E = { x x < 19,x N}. A, B ve
Detaylıünite12 POLİNOMLAR Polinomlar
ünite1 POOM = 1 Polinomlar 0 1 1. şağıdakilerden hangileri bir polinom değildir?. x 4 + 3. x 3 3x 5 +. x 6 1 V. x 4 1 + V. 5x 1 8 POOM POOM 5. P(x) = (a )x + (b + 3)x + ab 1 polinomu sabit bir polinom
Detaylı19.8. PROBLEMLER 0.1 PROBLEMLER 0.1. PROBLEMLER a herhangi bir nicelik says ise
0.1. PROBLEMLER 1 19.8. PROBLEMLER // 0.1 PROBLEMLER // 1. a herhangi bir nicelik says ise (i) a + 0 = a, a0 = 0, a 0 = 1 oldu unu gösteriniz. A³a daki kümelerin e³güçlülü ünden nicelik saylar için istenen
DetaylıTüm Matematik Lise Konu Anlatımlı Referans Kitabı. Ağustos c FET IYE OZLEM ONBAS IO GLU
Tüm Matematik Lise 1--3 Konu Anlatımlı Referans Kitabı Fetiye Özlem Onbaşıoğlu Ağustos 015 Kitabın Kapsamı Ve Amacı Bu kitap Lise 1, ve 3 Matematik müfredatının konu anlatımı yolu ile öğrencinin kendi
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıÖrnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?
KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve
DetaylıDO U ÜN VERS TES 9.Liseleraras Matematik Yar³mas Sorular. (n + 1) n n n + 1 = n(n + 1)
DO U ÜN VERS TES 9.Liseleraras Matematik Yar³mas Sorular 1 1) a n = (n + 1) n + n n + 1 olmak üzere, a 1 + a + a 3 +... + a 99 toplamn bulunuz. 9 evap: 10 a n = (n + 1) n n n + 1 n(n + 1) n (n + 1) oldu
Detaylındrgemel Dzler Ders Notlar
ndrgemel Dzler Ders Notlar c wwww.sbelian.wordpress.com Bu ders notunda diziler konusunun bir alt konusu olan First Order Recursions ve Second Order Recursions konular anlatlm³ ve bu konularla alakal örnekler
DetaylıÇARPANLARA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ TEST 2
ÇARPANLARA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ TEST 1) 4y x xy 4 4y x xy 4 ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir? 4 x 4 x x A) B) C) 4 x 4 x 4 x x x 1 D) E) 4 x x 1 1) İkili ikili gruplayarak ortak paranteze
DetaylıDers 9: Bézout teoremi
Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak
Detaylı;] u Y hb* p(a/ > V aaa!a!a!a!!!!!a! BASIN KİTAPÇIĞI
BASIN KİTAPÇIĞI 00000000 AÇIKLAMA 1. Bu kitapç kta Lisans Yerle tirme S nav -1 Matematik Testi bulunmaktad r. 2. Bu test için verilen toplam cevaplama süresi 75 dakikadır. 3. Bu kitapç ktaki testlerde
DetaylıÜstel ve Logaritmik Fonksiyonlar
Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini
DetaylıBu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,
DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin
DetaylıİZMİR MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SINAVI
İZMİR MATEMATİK OLİMPİYATI 1. AŞAMA SINAVI 20.05.2018 Sınava giren öğrencinin ADI SOYADI :.......................................................................... T.C. KİMLİK NO :..................................................................
DetaylıTaşkın, Çetin, Abdullayeva
BÖLÜM Taşkın, Çetin, Abdullaeva FONKSİYONLAR.. FONKSİYON KAVRAMI Tanım : A ve B boş olmaan iki küme a A ve b B olmak üzere ( ab, ) sıralı eleman çiftine sıralı ikili denir. ( ab, ) sıralı ikilisinde a
DetaylıBASIN KİTAPÇIĞI ÖSYM
BASIN KİTAPÇIĞI 00000000 AÇIKLAMA 1. Bu kitapç kta Lisans Yerle tirme S nav -1 Matematik Testi bulunmaktad r. 2. Bu test için verilen toplam cevaplama süresi 75 dakikadır. 3. Bu kitapç ktaki testlerde
Detaylı