Çok Kriterli Karar Verme için Alfa İndirgeme Yöntemi (α-i ÇKKV)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Çok Kriterli Karar Verme için Alfa İndirgeme Yöntemi (α-i ÇKKV)"

Transkript

1 Çok Krierli Karar Verme için Alfa İndirgeme Yönemi (α-i ÇKKV) Florenin Smarandache Universi of New Meico College Road, Gallup NM 87, USA E-posa: ÖZET Bu makalede, Saa nin Analiik Hierarşi Sürecine (AHP) alernaif olan ve onu genişleen Çok Krierli Karar Verme için Alfa İndirgeme Yönemi (α-i ÇKKV) olarak adlandırdığımı eni bir aklaşımı sunmakaı. Yönem, homojen lineer eşilikler sisemine dönüşürülebilen herhangi bir ercihler kümesi için işe arar. Karar verme probleminin uarlılık derecesi (ve dolalı olarak da uarsılık derecesi) anımlanmakadır. α-i ÇKKV, lineer ve/vea lineer olmaan homojen ve/vea homojen olmaan eşilikler ve/vea eşisilikler sisemine dönüşürülebilen bir ercihler kümesine genelleşirilmişir. Makalede birçok uarlı, aıf uarsı ve güçlü uarsı örnekler verilmekedir. Anahar Söcükler: Çok Krierli Karar Verme (ÇKKV), Analiik Hierarşi Süreci (AHP), α İndirgeme Yönemi, Adillik İlkesi, Paramereleşirme, İkili Karşılaşırma, n-li Karşılaşırma, Tuarlı ÇKKV Problemi, Zaıf vea Güçlü Tuarsı ÇKKV Problemi. GİRİŞ Çok Krierli Karar Verme için Alfa İndirgeme Yönemi (α-i ÇKKV), Saa nin Analiik Hierarşi Sürecine (AHP) alernaif ve onun bir genişlemesidir (Daha fala bilgi için [ ] arasındaki makalelere bakını). Yönem, sadece AHP nin apığı gibi ikili karşılaşırmalar arındaki ercihler için işe aramaka kalmaıp anı amanda lineer homojen eşilikler olarak ifade edilebilen krierlerin herhangi n-li (n için) karşılaşırmaları arındaki ercihler için de işe aramakadır. α-i ÇKKV deki genel fikir; sadece sıfır çöümü olan üs arafaki eşiliklerin lineer homojen sisemini belli bir sıfırdan farklı çöümü olan bir siseme dönüşürmek amacıla kasaıları aalan vea arıran α, α,, α p gibi sıfırdan farklı poiif paramereleri her bir ercihin sağ araf kasaılarına aamakır. Bu sisemin genel çöümünü buldukan sonra üm α değerlerini belli değerler aamak için kullanılan ilkeler önemin ikinci önemli kısmıdır; ancak bu kısım geleceke daha derin incelenecekir. Mevcu makalede Adillik İlkesini önermekei; diğer bir deişle, her bir kasaı arı üdele indirgenmelidir (Bunun adil olduğunu düşünüoru: Herhangi bir kasaıa adalesilik a da kaırmacılık apmama); faka okuucu başka ilkeler önerebilir. İkili karşılaşırmalı uarlı karar verme problemleri için Adillik İlkesile beraber kullanılan α-i ÇKKV, AHP ile anı sonucu vermekedir. Ancak aıf uarsı karar verme problemlerinde Adillik İlkesile beraber kullanılan α-i ÇKKV, AHP den farklı bir sonuç vermekedir. α-i/adillik İlkesi beraber iki ercihli ve iki krierli güçlü uarsı karar verme problemleri için doğruluğu ispa edilebilir bir sonuç vermekedir; ancak ercih ve krier saısı ikiden fala olan ÇKKV problemleri için Adillik İlkesinin erini üm α paramerelerine saısal değerler aaan başka bir ilke almalıdır.

2 Bu makalenin konusu Saa nin AHP si olmadığından sadece bu önemin ugulanmasındaki ana adımları haırlaacağı, bölece α-i ÇKKV ile AHP nin sonuçları kıaslanabilsin. AHP krierlerin sadece ikili karşılaşırmaları için işe araan bir önemdir. Bu karşılaşırmalardan n n bouunda bir kare Tercih Marisi, A, oluşurulur. Bu marise daalı olarak A nın maksimum ö değerini, λma, ve ilgili ö vekörü hesaplanır. Eğer λ ma kare marisin bouuna eşise bu durumda karar verme problemi uarlıdır ve ilgili normalleşirilmiş ö vekörü (Perron-Frobenius Vekörü) öncelik vekörüdür. Eğer λ ma kare marisin bouundan kesin suree daha büükse bu durumda karar verme problemi uarlı değildir. Bu durumda A marisi ikinci üssüne ükselilir ve elde edilen maris ekrar kendi ikinci üssüne ükselilir, vb. ki bölelikle A, A, A 8, vb maris diisi elde edilir. Her bir durumda, iki ardıl normalleşirilmiş ö vekörler arasındaki fark belirlenmiş eşik nokasından daha küçük oluncaa kadar maksimum ö değeri ve ilgili normalleşirilmiş ö vekörü hesaplanmaa devam eder. Belirlenmiş eşik nokasından küçük olan son ö vekör öncelik vekörü olacakır. Saa, Tuarlılık Endeksini şöle anımlamışır: ma( A) n CI( A), n=kare maris A nın bouu. n Çok Krierli Karar Verme için α-indirgeme Yönemi (α-i ÇKKV). α-i ÇKKV Tanımı Bu makalenin genel fikri uarsı bir (karar verme) problemin(in) kasaılarını belli üdelere indirgeerek uarlı bir (karar verme) problem(in)e dönüşürmekir. Krierler kümesi, C={C, C,, Cn}, n, ve Tercihler kümesi, P={P, P,, Pn}, m olsun. Her bir P i ercihi ukarıda verilen C, C,, C n krierlerinin bir lineer homojen eşiliğidir: P i = f(c, C,, C n ) Aşağıdaki gibi bir emel kanı aaması (bba) oluşurmamı gerekir: öle ki m(c i ) = i, < i < ve m ( C i ). n i n i i m: C [, ] P ercihler kümesile uumlu üm i değişkenlerini bulmamı gerekir. Bu surele, eşlenik marisi A = (a ij ), i m ve j n olan m n bouunda eşiliklerin lineer homojen sisemini elde ederi. Bu sisemin sıfırdan farklı çöümlere sahip olması için A marisinin merebesi kesinlikle n den küçük olmalıdır.. Lineer Karar Verme Problemlerinin Sınıflandırılması a) Bir i değişkeninin bir eşiliken diğer bir eşiliğe herhangi bir ikamesile üm eşiliklerle uumlu bir sonuç alıorsak bu lineer karar verme problemi uarlıdır deri.

3 b) Bir eşiliken diğer bir eşiliğe bir i değişkeninin en a bir ane ikamesile aşağıdaki şekillerde göserildiği gibi en a bir eşilikle uumsu bir sonuç alıorsak bu lineer karar verme problemi aıf uarsıdır deri: WD() vea i i k k j, k, k ; j, k k WD() i i k k j, k ; j, k, k k vea WD( ) k, k i i Örneğin bir değişkeni den büük olma ( > ) koşulunu farklı oranlarla sağlıor olsun (mesela, = ve = ). Bu sebepen, (WD)-(WD) aıf uuşmalıklardır. Bu durumda, üm uuşmalıklar (WD)-(WD) gibi olmalıdır. c) Eğer bir i değişkeninin bir eşiliken diğer bir eşiliğe en a bir ane ikamesile aşağıda göserildiği gibi en a bir eşilikle uumsu bir sonuç alıorsak bu lineer karar verme problemi güçlü uarsıdır deri: i k j ; SD (), < k < < k vea < k < < k iken (diğer bir deişle bir eşiliken i < j i k j, elde edilirken diğer bir eşiliken am ersi bir eşisilik olan j < i elde edilir.) Güçlü uarsılık için (SD) gibi en a bir uarsılığın var olması gerekir; bu durum için (WD)- (WD) gibi uarsılıkların olup olmaması önem aşıma. A marisinin deerminanını hesapla. a) Eğer de(a) = ise karar problemi uarlıdır ira eşilikler sisemi bağımlıdır. Sisemi paramereleşirmek şar değildir. {Paramereleşirdiğimi durumda Adillik İlkesini kullanabiliri; diğer bir deişle, üm paramereleri birbirine eşileri α = α =... = α p > } Bu sisemi çöelim ve genel çöümünü bulalım. Paramereleri ve ikincil değişkenleri erine koalım, bölelikle belli bir çöüm elde edebiliri. Bu belli çöümü (her bir bileşeni üm bileşenlerin oplamına bölerek) normalleşirelim. Bunun sonucunda (bileşenlerinin oplamı emesi gereken) öncelik vekörünü elde ederi. b) Eğer de(a) ise karar problemi uarsıdır ira homojen lineer sisemin sadece sıfır çöümü vardır. i. Eğer uarsılık aıf düedese sağ araf kasaılarını paramereleşirip sisem marisini A(α) olarak belir. Paramerik eşiliği elde edebilmek için de(a(α)) = ı hesapla. Eğer Adillik İlkesi kullanılıorsa üm paramereleri birbirine eşile ve α > için çö. A(α) daki α ı değişir ve elde edilen bağımlı homojen lineer sisemi çö.

4 a) dakine bener şekilde her bir ikincil değişkeni ile değişir ve öncelik vekörünü elde edebilmek için ulaşılan çöümü normalleşir. ii. Eğer uarsılık güçlüse Adillik İlkesi isenildiği gibi işe aramaabilir. Başka bir aklaşımlı ilke asarlanabilir vea daha fala bilgi edilerek karar verme probleminin güçlü düedeki uarsılıkları ekrar göden geçirilebilir.. AHP ile α-i ÇKKV nin Karşılaşırması a) α-i ÇKKV nin genel çöümü AHP ninki de dâhil olmak üere üm belirli çöümleri içerir. b) α-i ÇKKV sadece ikili karşılaşırmalarla sınırlı kalmaıp krierler arasında üm karşılaşırma ürlerini kullanır. c) Tuarlı problemler için AHP ve α-i ÇKKV/Adillik İlkesi anı sonucu verir. d) Büük girdiler için α-i ÇKKV eşilikleri (baı α paramerelerine bağlı olarak) bir maris formun alına koabiliri ve sonra olacak şekilde marisin deerminanını hesaplaabiliri. Bundan sonra sisemi çöeri (üm bunlar maemaik aılımları kullanılarak bilgisaarda apılabilir): MATHEMATICA ve MAPLE gibi aılımlar örneğin deerminan hesaplamalarını apabilir ve bu lineer sisemin çöümlerini hesaplaabilir). e) α-i ÇKKV daha büük ercihler sınıfı için işe araabilir; diğer bir deişle, homojen lineer eşiliklere vea lineer olmaan eşiliklere ve/vea eşisiliklere dönüşürülebilen ürde ercihler için. Daha fala arını için aşağıa bakın.. α-i ÇKKV nin Genelleşirmesi Her bir ercih, lineer a da lineer olmaan eşilik vea eşisilik olarak ifade edilebilior olsun. Tüm ercihler beraber lineer/lineer olmaan eşilikler/eşisilikler sisemini vea eşilikler ve eşisiliklerin karma bir sisemini oluşururlar. Kesinlikle poiif bir çöümü (ani üm bilinmeen i > ) araarak bu sisemi çöelim. Sonra çöüm vekörünü normalleşirelim. Eğer böle birden fala saısal çöüm varsa bir değerlendirme apın: Her bir durumdaki normalleşirilmiş çöüm vekörünü anali edin. Eğer genel bir çöüm varsa en ii belirli çöümü seçerek alın. Eğer kesinlikle poiif çöüm oksa sisemin kasaılarını paramereleşirin, paramerik eşiliği bulun ve α paramerelerinin saısal değerlerini bulabilmek için ugulanacak baı ilkeleri araın. Bir arışma/değerlendirme dâhil edilebilir. Belirlenemeen sonuçlar elde edebiliri. α-i ÇKKV/Adillik İlkesinde Tuarlılık ve Tuarsılık Dereceleri Tuarlı ve aıf uarlı karar verme problemlerindeki α-i ÇKKV/Adillik İlkesi için aşağıdaki durumlar sö konusudur: a) Eğer < α < ise o aman α karar verme probleminin uarlılık derecesidir ve β = - α da karar verme probleminin uarsılık derecesini belirir. b) Eğer α > ise o aman /α karar verme probleminin uarlılık derecesidir ve β = - /α da karar verme probleminin uarsılık derecesini belirir. α-i ÇKKV nin İlkeleri (İkinci Kısım). α-i Yöneminin ikinci kısmında ugulamalarda diğer ilkeler Adillik İlkesi nin erini alabilir. Uman Görüşü: Örneğin, bir ercihin kasaısının uman görüşüne daanarak diğer bir kasaıdan iki ka daha fala ve başka bir ercihin kasaısının da üçe biri kadar indirgeneceğine dair bir

5 bilgimi varsa o aman ugun bir şekilde paramerik eşiliğimide bu durumu beliriri. Örneğin; α = α ve anılan sıraa göre α = (/)α.. α-i/adillik İlkesi vea Uman Görüşü Buradaki başka bir görüş de bir uarlılık eşiği c (vea dolalı olarak bir uarsılık eşiği i ) belirlemek olabilir. Bu durumda, uarlılık derecesi isenen c değerinden asa Adillik İlkesi vea Uman Görüşü (hangisi kullanıldısa) bırakılmalı ve üm α değerlerini bulan başka bir ilke asarlanmalıdır. Beneri şekilde anı durum uarsılık i değerinden çok olması durumunda da geçerlidir.. Tüm m ercihlerinin eşiliklere dönüşürülebildiği durum için sisemin haasılığı (vea haası) ölçülebilir. Örneğin; P i ercihi f i (,,, n ) = eşiliğine dönüşürülsün. O halde,,,, n bilinmeenlerini bulmamı gerekir, öle ki: m (e: haa), e(,,, n ) = f i (,,..., n ) minimum olsun. Eğer minimum değer mevcusa Anali (Calculus) Teorisi (kısmi ürevler) kullanılarak i e R n : R iken e(,,, n ) gibi n değişkenli bir fonksionun minimum değeri bulunabilir. Tuarlı karar verme problemleri için sisemin haasılığı/haası sıfırdır; bölelikle kesin sonucu elde ederi. Bunu şu gerçek olula kanılaabiliri: Tüm i ler için i = a i > olduğu normalleşirilmiş öncelik vekörü [a a a n ], i =,,, m için f i (,,, n ) = siseminin belirli bir çöümüdür. Dolaısıla, m i f (a,a,..., a ) i n m i Ancak uarsı karar verme problemleri için değişkenler için aklaşık değerler buluru. α-i ÇKKV için Genişleme (Lineer Olmaan α-i ÇKKV) Tercihlerin lineer olmaan homojen (vea haa homojen olmaan) eşilikler olduğu durum için α-i ÇKKV i genelleşirmek or değildir. Tercihlerin bu lineer olmaan sisemi bağımlı olmak orundadır (bu, gene çöümün ana değişkenlerin en a bir ane ikincil değişkene bağlı olması anlamına gelir). Eğer sisem bağımlı değilse sisemi anı olla paramereleşirebiliri. Üselik bu lineer olmaan α-i ÇKKV nin ikinci kısmında (alabileceğimi ek bilgie bağlı olarak) ikincil değerlerin her birine baı değerler aarı ve üm paramereler için saısal değerleri bulabilmemie ardım edecek bir ilkei asarlamaa da ihiacımı vardır. (Genel çöümden bölelikle üreiğimi) belirli bir sonuç elde ederi. Buradan normalleşirdiğimi sonuç bie öncelik vekörümüü verecekir. Ancak, Lineer Olmaan α-i ÇKKV daha karmaşıkır ve her bir lineer olmaan karar verme problemine bağlıdır. Şimdi baı örnekler görelim. Tuarlı Örnek. α-i ÇKKV ile Çöüm α-i ÇKKV i kullanarak örneğimii çöelim. Tercihler Kümesi {C, C, C} olsun ve Krierler Kümesi ise. C, C e göre ka önemlidir.

6 . C, C e göre ka önemlidir.. C, C e göre / ka önemlidir. şeklinde belirilmişir. m(c) =, m(c) =, m(c) = olsun. Bu karar verme problemine eşlenmiş lineer homojen sisem şöledir: Bu sisemin eşlenik A marisi ise şöledir: /, buradan de(a ) =, bundan dolaı karar verme problemi uarlıdır. Bu homojen lineer sisemi çöerek [ ] vekörü olarak belirlediğimi genel çöüme ulaşırı. herhangi bir reel saı olabilir ( = ile = ana değişkenlerken, ikincil bir değişken olarak addedilebilir). = aparak vekör değerleri olarak [ ] e ulaşırı ve akabinde normalleşirerek (her bir vekör bileşenini + + = a bölerek) öncelik vekörünü elde ederi: [/ / /], bölelikle ercihimi C olacakır.. AHP ile Çöüm Örneği AHP ile çöersek anı sonucu elde ederi. Tercih marisimi: / / / Marisin maksimum ö değeri λ ma = ür ve karşılık gelen normalleşirilmiş ö vekörü (Perron-Frebenius vekörü) ise [/ / /] dır.. Mahemaica 7. Yaılımıla Çöüm Mahemaica 7. ı kullanarak h(,) = ;, [, ] şeklindeki fonksionun grafiğini çieri. Bu fonksion, uarlı karar verme probleminin eşlenik sisemini emsil eder: / =, / =, / =, ve + + =, >, >, >. In[]:= PloD[Abs[-]+Abs[+-]+Abs[+- ],{,,},{,,}]

7 Bu fonksionun minimum değeri ve = /, = / dır. Eğer h(, ) ile eşleşirilmiş üç değişkenin orijinal fonksionunu ele alacak olursak o aman H(,, ) = , + + =, ve,, [,]. Anı şekilde H(,, ) nin minimum değerini olarak buluru ve = /, = /, = / dır. 7 AHP nin İşe Yaramadığı Zaıf Tuarsı Örnekler Tercihler Kümesi {C, C, C} olsun. 7. Zaıf Tuarsı Örnek 7.. α-i ÇKKV Yönemini Kullanarak Çöüm Krierler Kümesi,. C, oplandığında C den ve C en ka önemlidir.. C, C den arım ka önemlidir.. C, C den üçe bir ka önemlidir. şeklinde belirilmişir. m(c) =, m(c) =, m(c) = olsun; AHP bu örneğe ugulanama çünkü ilk ercihin şekli ikili bir karşılaşırma değildir. Eğer mevcu halile eşiliklerin bu lineer homojen sisemini çöersek = = = elde ederi ira eşlenik marisi / / Ama bu sıfır sonuçlu durum kabul edileme ira + + = olmalıdır. Sağ araf kasaılarının her birini paramereleşirelim ve ukarıdaki sisemin genel çöümünü elde edelim. Burada α, α, α, α > dır. () () () () e () ve () eki ifadeleri erleşirirsek şunu elde ederi: 7

8 = (α α + α α ) ifadesinden de α α + α α = (paramerik eşilik) () Sisemin genel çöümü, buradan da öncelik vekörü: olur. Adillik İlkesi: Tüm kasaıları anı üdele indirge. O halde, () e α = α = α = α = α > ı erine koarsak α + α =, buradan normalleşirirsek. elde ederi. Öncelik vekörümü olur ve bunu..8 C C C sonucunca ulaşırı. Tercihimi en büük vekör bileşeni olan C den ana olacakır. Bunu doğrulaalım:. olur. erine; ani orijinal halinin % 7.7 idir..7 olur. erine; ani orijinal halinin %7.7 idir.. +. olur + erine; ani, nin %7.7 i ve ün %7.7 i dir. Sonuç iibarile, her bir kasaı için adil bir indirgeme apılmış oldu. 7.. Mahemaica 7. Yaılımını Kullanarak Çöüm Mahemaica 7. aılımını kullanarak ilgili aıf uarlı karar verme problemini - - =, - =, - =, ve + + =, >, >, > olarak emsil eden g(, ) = , ve, [, ] fonksionunun grafiğini çielim. = - i çöerek ve aşağıdaki fonksionda erine koarsak G(,, ) = ve >, >, >: In[]:= PloD[Abs[--]+Abs[-]+Abs[+- ],{,,},{,,}] Eğer varsa g(, ) nin minimum değerini buluru: In[]:= FindMinValue[{Abs[--]+Abs[-]+Abs[+- ],+,>,>},{,}] Aşağıdaki sonuç elde edilir: Ou[]:=.8. 8

9 FindMinValue::ei: The algorihm does no converge o he olerance of.8787`*^- in ieraions. The bes esimaed soluion, wih feasibili residual, KKT residual, or complemenar residual of {.7888,.77,.78}, is reurned. 7.. α-i Kullanarak Maris Yönemile Çöüm (), (), () homojen lineer siseminin deerminanı: = ( + + ) (α α + α α ) = vea (α α + α α ) = (paramerik eşilik). Sisemin sıfırlı olmaan çöüme sahip olması için deerminan olmalıdır. Marisin merebesi dir. Bölelikle, iki değişken buluru. Örneğin, son iki eşiliken ve için e göre çömek daha koladır: ve öncesinde olduğu gibi prosedür anı adımları akip eder. Çeşili durumları incelemek için Örnek i değişirelim. 7. Zaıf Tuarsı Örnek Örnek, Örnek e göre aıf uarsılık derecesi arırılmış bir örnekir.. Örnek dekinin anısı (Bir araa geirildiğinde C, C den ve C en ka önemlidir).. C, C den ka önemlidir.. Örnek dekinin anısı (C, C den üçe bir ka önemlidir). 8 ) (8 ) (

10 normalleşirme:. olur erine;. olur. erine; =.7 + olur + erine. Her bir kasaı %. oranında indirgenmişir. Tuarsılık büüdükçe (β ) indirgeme oranı o kadar büür (α ). 7. Zaıf Tuarsı Örnek Örnek, Örnek en bile daha uarsı bir örnekir.. Örnek dekinin anısı (Bir araa geirildiğinde C, C den ve C en ka önemlidir).. Örnek ekinin anısı (C, C den ka önemlidir).. C, C den ka önemlidir. ( ) (8 ) buradan8, Normalleşirme: %. 8 oranında bir indirgemele;.8 olur erine;. 7 olur erine;.7 +. olur + erine. Her bir kasaı %. 8 oranında indirgenmişir. 7. Tuarlı Örnek α = elde eiğimide uarlı bir probleme sahip oluru. Tercihlerin şöle olduğunu varsaalım:. Örnek dekinin anısı (Bir araa geirildiğinde C, C den ve C en ka önemlidir).. C, C den döre bir ka önemlidir.

11 . C, C den alıda bir ka önemlidir. Sisemimi şöle olur: 7.. Bu Sisemi Çömenin İlk Yolu Bu sisemin ikinci ve üçüncü eşiliklerini birincide erine koarsak, şunu elde ederi: ki bu bir ödeşlikir (bölece çelişki okur). Genel çöüm: Öncelik vekörü: Normalleşirme: Bu Sisemi Çömenin İkinci Yolu Paramereleşirelim: Son iki eşiliğimii birincide erine koarsak şunu elde ederi:, Buradan vea olur. Adillik ilkesini gö önünde bulundurun: α = α = α = α = α >, ölese α =, α = ± ama sadece poiif değer α = i alırı (uarlı bir problemden beklendiği gibi). Konrol edelim:

12 7 7, anen orijinal sisemde olduğu gibi; 7 7, anen orijinal sisemde olduğu gibi; = + ira ; sonuç iibarile üm kasaılar α = olarak orijinal hallerinde kaldı. Herhangi bir indirgemee gerek görülmedi. 7. Genel Örnek Şu genel durumu dikkae alalım: a, a, a, a > iken a a a a olsun. Paramerik hale geirelim: α, α, α, α > iken a a a a olur. İkinci ve üçüncü eşilikleri birincide erine koarsak = a α (a α ) + a α (a α ) = a a α α + a a α α Buradan a a α α + a a α α = (paramerik eşiliği) elde edilir. Bu sisemin genel çöümü, (, a α, a α ) ve öncelik vekörü, [ a α a α ] şeklindedir. Adillik İlkesini dikkae alırsak: α = α = α = α = α > şunu elde ederi: ulaşılır. a a a a i) Eğer, derecesidir. a a a a, bölece ise, o halde α problemin uarlılık derecesiken β = α problemin uarsılık ii) Eğer α > ise, o halde problemin uarlılık derecesiken problemin uarsılık derecesidir. Tuarlılık derecesi olduğu aman uarsılık derecesi olur. (Karşılıklı durum da geçerlidir). Genel Örnek için Tarışma a, a, a, a kasaılarının a a + a a olacak şekilde büük değerler aldığını varsaalım, o aman α ve β olur. Öel Örnek 7 a, a, a, a ün a a + a a ü büük apığı öel bir durumu görelim: a = a = a = a = olsun.

13 Bu durumda, uarlılık derecesi =., ve uarsılık derecesi = β =. dur. Öel Örnek 7 nin öncelik vekörü [ (.) (.)] = [.], normalleşirilmiş hali olur. Öel Örnek 8 Başka bir durum da a, a, a, a ün a a + a a ü çok küçük apığı bir durumdur: a =. a =. a =. a =. olsun. Bu durumda, olarak elde edilir. O halde problemin uarlılık derecesidir ve uarsılık derecesi de. dır. Öel Örnek 8 in öncelik vekörü [ a α a α] = [.().()] = [.7.], normalleşirilmiş hali olur. Doğrulaalım:.7. olur. erine; ani α = ke (a da %) daha büükür; olur. erine; ani α = ke daha büükür; =. +. olur =. +. erine (Hem.,. den hem de.,. en ke büükür); çünkü... 8 Jean Deer in Zaıf Tuarsı Örnekleri 8. Jean Deer in Zaıf Tuarsı Örneği α, α, α, α > paramerelerimi olsun. O halde: () () (7) ( ) ( ) eşiliğinin ile uarlı olması için α α = α eşiliğine vea

14 .α α = α (paramerik eşiliğine) (8) sahip olmamı gerekir. Bu sisemi çöersek: şu genel çöümü elde ederi: [α (.α α ) ] [α α α ] Genel normalleşirip öncelik vekörü: α, α > ; (α α =.α α )., burada Hangi α ve α en ii sonucu verir? Bunu nasıl ölçmek gerekir? Bu en büük orlukur. α-indirgeme Yönemi üm çöümleri (marisi uarlı apan üm olası öncelik vekörleri) içerir. Tüm oranılarla uarlı olmamı (ani paramerelerin saısal değerlerini bulmak için Adillik İlkesini kullanmak) gerekiğinden üm üç oranıa (), (), (7) e anı indirgeme olmalıdır; buradan α = α = α > () Paramerik eşilik (8). vea., (. ), buradan α = vea. () ile çelişiğinden α = reddedilir. Sisemimi şu hale gelir:. () () () () ve () in beraber şunu oraa çıkardığını görüoru: şimdi uarlı hale gelmişir. () den ve () den ve normalleşirilmiş hali, 7 7 vea, bölece () ile elde ederi. Öncelik vekörü, 7 ; ani 7 7

15 C C C T () C C C..8. T olur. en üksek öncelik Sonucu inceleelim: C C C T Oranlar:. olur erine;. olur erine;.8 olur erine; İndirgeme Yüdesi: %. %. %. Sonuç iibarile problemde sırasıla, ve e ai eşi olan üm orijinal oranılar anı fakörle ( ) çarpılarak indirgenmişir; ani her birinin %. sı alınmışır. Bölelikle her bir fakörü kendisinin %. sına indirgemek adil olmuşur. Ama Saa nin öneminde durum C C C böle değildir. Normalleşirilmiş öncelik vekörü: şeklindedir. Burada,.7.77 Oranlar:. İndirgeme Yüdesi:. olur erine; % olur erine; % olur erine; %.

16 Örneğin nie e eşi olan ilk oranı %7.87 sine indirgenirken e eşi olan ikinci oranı (akın da olsa) diğer bir üde olan % 7.7 sine indirgenmişir? Haa daha da şüphe çekeni e eşi olan üçüncü oranımıın kasaısı %. ına ükselgenirken önceki iki oranımı indirgenmişi. Bunlar için ne gibi bir makul açıklama vardır? İşe bundandır ki α-i/adillik İlkesinin daha ii gerekçeli olduğunu düşünüoru. Anı problemi marisleri kullanarak da çöebiliri. (), (), (7) lineer paramerik homojen bir sisem oluşurmak için başka bir şekilde aılabilir: () Eşlenik marisi de: P () a) Eğer de(p ) o halde () daki sisemin sadece = = = sıfırlı çöümü vardır. b) Dolaısıla, de(p ) = vea (α )(α ) α = vea.α α α = a sahip olmamı gerekir, bölelikle (8) deki anı paramerik eşiliği elde ederi. Bu durumda homojen paramerik lineer sisem () ün üçlü sonsu çöümü vardır. Bu önem Saa nin öneminin bir genişlemesidir, ira α, α ve α paramerelerini manipüle eme imkânımı vardır. Örneğin, eğer ikinci bir kanak bie nin in kaı kadar indirgenmesi ve nin en ka daha a indirgenmesi gerekiğini sölerse o aman α = α ve buna bağlı olarak e eşileri ve orijinal (), (), (7) sisemi aşağıdakine dönüşür: ( ) 8 () ve bunu da anı olla çöeri. 8. Zaıf Tuarsı Örnek Jean Deer in Zaıf Tuarsı Örnek unu bir ercih daha ekleerek karmaşıklaşıralım: C i, C ve C ün oplamına. ka ercih edelim. Yeni sisem:

17 7,,, ).( (7) Paramereleşirirsek:,,,,,, ) (. (8) Eşlenik marisi:.. P () P marisinin merebesi (8) deki sisemin sıfırlı olmaan bir sonuca sahip olması için kesinlikle en a olmalıdır. Eğer () daki ilk üç saırı alırsak (deerminanı olması gereken) P marisini elde ederi, dolaısıla bundan önceki.α α = α paramerik eşiliğini elde ederi. Eğer, ve. saırları alırsak, bunlar C ve diğer C ve C krierleri içerdiğinden deerminanı olması gereken şu marisi elde ederi:.. P () de(p ) = [α (.α ) + α (.α ) + ] [ + α (α ) + ] =.α α + 7.α α α α = () Eğer andakini alırsak:.. P ()

18 8 O halde de(p ) = [.α + + ] [-α α + α + ] =.α + α α α = () Eğer şunu alırsak.. P () O halde de(p ) = [ + + α α ] [ + α α.α ] = α α α α +.α = () Bölelikle, bu dör paramerik eşilik bir paramerik sisem oluşurur ki bunun sıfırlı olmaan bir çöümü olması gerekmekedir: () Eğer başa elde eiğimi gibi ı dikkae alırsak ve sonra () daki sisemin son üç eşiliğindeki üm α ları bu değerle değişirirsek şunu elde ederi: α, α = α = α e eşi olamadı çünkü α ek bir ercihir, ira saırların saısı süunların saısından büükür. Sonuç iibarile, =.( + ) dördüncü ercihini eklemek orunda kalmadan sisem öncekile anı çöüme sahipir ve uarlıdır. Jean Deer in Güçlü Tuarsı Örnekleri. Jean Deer in Güçlü Tuarsı Örneği.. Problem Tanımı Tercih marisimi: M,

19 bölelikle,,,, ulaşılabilir. Diğer üç eşilik olan eleebiliri.,, diğer üç eşiliken doğrudan çıkarılabildiğinden bunları (Yukarıdaki birinci ve üçüncü eşisiliklerdeki) > ile > den > e ulaşabiliri ancak ikinci eşisilik bie am ersi olan < ifadesini vermekedir; bu sebepen dolaı güçlü bir çelişki/uarsılık ile karşı karşıaı. Ya da, her üçünü birleşirirsek > > > i elde ederi ki bu da ine güçlü bir uarsılıkır. Paramereleşirelim: (burada α, α, α > dır) (7) (8) () (7) den i, (8) den i elde ederi. Bu () da erine konduğunda 8 8 e ulaşırı. Bölece vea α = 7α α (paramerik eşilik) olur. Sisemin genel çöümü:,, ve genel öncelik vekörü de dir. Adillik İlkesini dikkae alırsak, o aman α = α = α = α > paramerik eşilik α = 7α de erine konur. Buradan α = (ii değil) ve dür. Öel öncelik vekörü [ ] = [ 8 ] ve 7 8 normalleşirilmiş hali de olarak bulunur. Tuarlılık. 7 aşırı 7 derecede düşük (ve uarsılık β = α =.8 çok büük) çıkığından bu sonucu ihmal edebiliri... Açıklamalar: a) Eğer M de alı ane u daha büük bir saı ile değişirdiğimide sisemin uarsılığı arar. Mesela i kullanalım.. 7 (uarlılık) olurken uarsılık β =. olur. b) M deki üm ları den daha büük ancak dan küçük bir saı ile değişirdiğimide sisemin uarlılığı düşer. Mesela i kullanalım.. ve β =.87 olur. c) Tüm ları ile değişirdiğimide uarlılık olur. d) Yine üm ları den küçük poiif bir saıla değişirirsek uarlılık ekrar düşer. Örneğin,.8 ile değişirecek olursak., buradan. (uarlılık) ve β =.88.8 (uarsılık) olur.

20 . Jean Deer in Güçlü Tuarsı Örneği M e bener olan ancak üm ların erini lerin aldığı ercih marisimi şu şekilde olsun: M,. 8 (uarlılık) ve β =. (uarsılık) olur. Öncelik vekörü [ ] ve normalleşirilmiş hali olarak bulunur. M, M den bira daha uarlıdır çünkü.8 >.7, ancak ine de bu eerli değildir, bu üden bu sonuç da ihmal edilmişir.. Jean Deer in Güçlü Tuarsı Örneklerinin Genelleşirmesi Genel Örnek için ercih marisimi şöle olsun: M, > ve c(m ) M nin uarlılığı, i(m ) M nin uarsılığı olsun. Adillik İlkesi için şunlara sahibi: limc( M lim c( M limc( M ) ve lim i( M ) ve lim i( M ) ve lim i( M ) ; ) ; ). Anı amanda, öncelik vekörü [ ] ve normalleşirilmiş hali de ür. > > > vea bener şekilde < < vb. haldeki güçlü çelişkinin bulunduğu ve uarlılığın çok küçük olduğu durumlarda, a = = = ⅓ (bölece, Saa nin AHP sinde olduğu gibi, hiçbir krier diğerine ercih edilir durumda olma) a da + + = i (ki C C C şeklinde oplam bilinmeliğe de sahip olunduğu anlamına gelir) dikkae alabiliri. Güçlü Tuarsı Örnek C = {C, C} ve P = {C, C den iki ka daha fala önemli; C, C den beş ka daha fala önemli} şeklinde olsun. m(c) =, m(c) = şeklinde ifade edilsin. O halde, = ve = olur (burada güçlü bir uarsılık vardır ira birinci eşiliken > elde edilirken ikincisinden > elde edilmekedir). Paramereleşirelim: = α, = α, buradan vea α α = ifadesine ulaşırı.

21 Eğer Adillik İlkesini dikkae alırsak, o aman α = α = α > ki bu durumda %. uarlılık ile [..] öncelik vekörüne ulaşılır, sonuç iibarile > ir. Tuarlılık öesi (vea nörosofik) manıka olduğu gibi bir açıklama şöle apılabilir: Tercihlerin dürüs ancak önel olduğunu dikkae alırı, dolaısıla eşanlı olarak doğru olan iki çelişen ifadee sahip olmak mümkündür, ira bir bakış açısına göre C krieri C den daha önemli olabilirken başka bir bakış açısına görese C krieri C den daha önemli olabilir. Karar verme problemimide daha fala bilgi sahibi olamaışımı ve hılıca bir karar alma durumunda kalışımıdan C i ercih edebiliri, ira C krieri C den ka daha fala önemliken C krieri C den ancak ka daha fala önemlidir; ani > dir. Eğer bir acele oksa, bu gibi bir ikilemde C ve C üerinde daha fala araşırma aparak daha edbirli olunmasında fada vardır. Eğer Örnek ü = ve = şeklinde değişirirsek (iki kasaı birbirine eşilendi), α = ½ elde ederi. Bölece öncelik vekörü [..] olur ve bu durumda karar verme problemi karar verileme bir hale dönüşür. Lineer Olmaan Eşilik Sisemi Örneği C = {C, C, C} ve m(c) =, m(c) =, m(c) = olsun. F de şu şekilde verilsin:. C, C ve C ün çarpımından iki ka daha fala önemli.. C, C en ka daha fala önemli. Şu sisemi oluşururu: = (lineer olmaan eşilik) ve = (lineer eşilik). Bu karma sisemin genel çöüm vekörü: [ ], > dır. Bir irdeleme apacak olursak: a) > olduğunu kesin olarak görmekei ira kesin suree poiif için > dir. Ancak in poisonu ne olurdu ile ilgili bir şe görmemekei. b) Her bir vekör bileşenini > ile bölerek genel çöüm vekörünü sadeleşirelim. Sonuç olarak [ ] vekörünü elde ederi. Eğer (,.) ise o aman > >. Eğer =. ise o aman > =. Eğer (.,.) ise o aman > >. Eğer =. ise o aman = >. Eğer >. ise o aman > >. Karma Lineer Olmaan/Lineer Eşilik/Eşisilik Sisemi Örneği Önceki Örnek in çok fala değişik biçimleri olduğundan (önceki iki ercihe ek olarak) eni bir ercihin siseme dahil edildiğini varsaalım:. C, C en daha a önemlidir. Karma sisem şimdi şu duruma ulaşır: = (lineer olmaan eşilik), = (lineer eşilik), ve < (lineer eşisilik).

22 Bu karma sisemin genel çöüm vekörü: [ ], burada > ve < dir. Son iki eşisiliken (,.) elde ederi. Buradan öncelikler > > olur. İleriki Araşırmalar α-i ÇKKV ile ideal çöüme benerlik olula ercih sıralama ekniği (TOPSIS), basi oplamlı ağırlıklandırma (SAW), sıra saılı ercihlerin büünleşirildiği Borda-Kendall (BK) önemi, veri arflama analiindeki (DEA) çapra ekinlik değerlendirme önemi gibi diğer önemler arasındaki bağı araşırmak. Sonuç Çok Krierli Karar Verme için α-indirgeme ÇKKV adını verdiğimi eni bir önemi anıık. Bu önemin ilk kısmında her bir ercih lineer vea lineer olmaan eşilik vea eşisiliğe dönüşürülmeke ve hepsi beraber çöülen bir sisemi poiif sonuçların oraa konduğu genel çöümü bulunur oluşurmakadır. Eğer sisem sadece sıfırlı bir çöüme sahipse vea uarsısa, sisemin kasaıları paramerik hale geirilir. Bu önemin ikinci kısmında paramerelerin saısal değerlerini bulmak için bir ilke seçilir (Bi burada Adillik İlkesi, İndirgeme için Uman Görüşü vea Tuarlılık/Tuarsılık Eşiği belirlemei önerdik). Teşekkür Yaar, KHO SAVBEN Hareka Araşırması Bölümü nde (Ankara, Türkie) dokora öğrencisi olan ve dokora einde Çok Krierli Karar Verme için α-indirgeme Yönemini kullanan Ailla Karaman a bu makalele ilgili gölemlerinden dolaı eşekkür eder. Kanakça [] J. Barilai, Noes on he Analic Hierarch Process, Proc. of he NSF Design and Manufacuring Research Conf., pp., Tampa, Florida, Januar. [] V. Belon, A.E. Gear, On a Shor-coming of Saa s Mehod of Analic Hierarchies, Omega, Vol., No., pp. 8, 8. [] M. Benon, B. Curr, P.H. Morgan, The Dempser-Shafer heor of evidence: An alernaive approach o mulicrieria decision modeling, Omega, Vol. 8, No., pp. 7,. [] M. Benon, D. Cosker, D. Marshall, An eper ssem for muli-crieria decision making using Dempser- Shafer heor, Eper Ssems wih Applicaions, Vol., No., pp. 7 7,. [] E.H. Forman, S.I. Gass, The analical hierarch process: an eposiion, Operaions Research, Vol., No. pp. 87,. [] R.D. Holder, Some Commen on he Analic Hierarch Process, Journal of he Operaional Research Socie, Vol., No., pp. 7 7,. [7] F.A. Loosma, Scale sensiivi in he muliplicaive AHP and SMART, Journal of Muli-Crieria Decision Analsis, Vol., pp. 87,. [8] J.R. Miller, Professional Decision-Making, Praeger, 7. [] J. Pere, Some commens on Saa s AHP, Managemen Science, Vol., No., pp.,. [] T. L. Saa, Mulicrieria Decision Making, The Analic Hierarch Process, Planning, Priori Seing, Resource Allocaion, RWS Publicaions, Pisburgh, USA, 88.

BEKLENTİLERİN EKONOMİ ÜZERİNDEKİ ETKİSİ: MS-VAR YAKLAŞIMI

BEKLENTİLERİN EKONOMİ ÜZERİNDEKİ ETKİSİ: MS-VAR YAKLAŞIMI TÜSİAD-KOÇ UNIVERSITY ECONOMIC RESEARCH FORUM WORKING PAPER SERIES BEKLENTİLERİN EKONOMİ ÜZERİNDEKİ ETKİSİ: MS-VAR YAKLAŞIMI Melike Bildirici Ümi Bozoklu Working Paper 09 June 200 TÜSİAD-KOÇ UNIVERSITY

Detaylı

www.mehmetsahinkitaplari.org

www.mehmetsahinkitaplari.org MATEMA www.mehmetsahinkitaplari.org T T r. P ALME YA YINCILIK Ankara I PALME YAYINLARI: 76 Sinif Matematik Konu Anlatım / Mehmet Şahin Yaına Hazırlama : PALME Dizgi-Grafik Tasarım Birimi Yaın Editörü :

Detaylı

YILDIZLARIN İÇ YAPI MODELLERİ

YILDIZLARIN İÇ YAPI MODELLERİ YILDIZLARIN İÇ YAPI MODELLERİ INTRODUCTION TO STELLAR ATMOSPHERES AND INTERIORS EVA NOVOTNY - Model B: Konvekif Zarf ve Radyaif Çekirdek - Yayınlanmış Tablolardan Elde Edilen Poliroik İçyaı Modelleri -

Detaylı

Soru. x y R olmak üzere 2 x y 3 1 x 4 olduğuna göre y nin alabileceği değerler hangi aralıktadır? A 3 y 1 B 6 y 2

Soru. x y R olmak üzere 2 x y 3 1 x 4 olduğuna göre y nin alabileceği değerler hangi aralıktadır? A 3 y 1 B 6 y 2 Eşitsizliklerde taraf tarafa toplama Sağlama işlemi apma Adana Ankara İzmir zümresine katılan meslektaşlarımızla birlikte piasada cevabı hatalı verilen sorular azıldığını tespit ederek anı hatanın tekrarı

Detaylı

FİNANSAL BİLGİ MANİPÜLASYONU:

FİNANSAL BİLGİ MANİPÜLASYONU: FİNANSAL BİLGİ MANİPÜLASYONU: İMKB ŞİRKETLERİ ÜZERİNE AMPİRİK BİR ÇALIŞMA Cemal Küçüksözen Güray Küçükkocaoğlu ÖZET Finansal piyasaların emel aşı olan finansal bilginin, ekonomik performansı çeşili yollarla

Detaylı

ÖZEL ARAŞTIRMA MAKALE KONFERANS - SEMİNER ARALIK 2012

ÖZEL ARAŞTIRMA MAKALE KONFERANS - SEMİNER ARALIK 2012 SAYI 83 ARALIK 2012 ÖZEL ARAŞTIRMA Prof. Dr. Ümi Özlale Alper Karakur Türkiye de Tasarruf Açığının Nedenleri ve Kapaılması İçin Poliika Önerileri Yrd. Doç. Dr. Burak Darıcı Finansal İsikrar ve Finansal

Detaylı

DERS 6. Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Maksimum Minimum

DERS 6. Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Maksimum Minimum DERS Çok Değişkenli onksionlarda Maksimum Minimum.. Yerel Maksimum Yerel Minimum. z denklemi ile tanımlanan iki değişkenli bir onksionu ve bu onksionun tanım kümesi içinde ab R verilmiş olsun. Tanım. Eğer

Detaylı

BÖLÜM 9 Kök-yer Eğrisiyle Tasarım

BÖLÜM 9 Kök-yer Eğrisiyle Tasarım BÖLÜM 9 Kök-yer Eğrisiyle Tasarım GİRİŞ Kök-yer eğrisi bize grafik olarak sistemin geçici hal cevabı ve kararlılığı ile ilgili bilgi verir. Sistemin geçici hal cevabı ve kararlılığı ile ilgili bilgi almak

Detaylı

ERSÖZ-KABAK SAVUNMA SANAYİ UYGULAMALARINDA ÇOK KRİTERLİ KARAR VERME YÖNTEMLERİNİN LİTERATÜR ARAŞTIRMASI. Filiz ERSÖZ 1 Mehmet KABAK 2 ÖZET

ERSÖZ-KABAK SAVUNMA SANAYİ UYGULAMALARINDA ÇOK KRİTERLİ KARAR VERME YÖNTEMLERİNİN LİTERATÜR ARAŞTIRMASI. Filiz ERSÖZ 1 Mehmet KABAK 2 ÖZET SAVUNMA SANAYİ UYGULAMALARINDA ÇOK KRİTERLİ KARAR VERME YÖNTEMLERİNİN LİTERATÜR ARAŞTIRMASI Filiz ERSÖZ 1 Mehmet KABAK 2 ÖZET Bu çalışmada çok kriterli karar verme yöntemleri adı altında geçen yöntemlerin

Detaylı

VAR YAKLAŞIMI İLE VERİMLİLİK ŞOKLARININ ETKİLERİNİN BELİRLENMESİ

VAR YAKLAŞIMI İLE VERİMLİLİK ŞOKLARININ ETKİLERİNİN BELİRLENMESİ VAR YAKLAŞIMI İLE VERİMLİLİK ŞOKLARININ ETKİLERİNİN BELİRLENMESİ Leven ERDOĞAN ÖZET. Bu çalışmada verimliliğin devrevi harekei, ekonomik faaliyelerle ilişkisi ve verimliliği nelerin belirlediği açıklanmaya

Detaylı

BULANIK DOĞRUSAL PROGRAMLAMA VE BİR BİSKÜVİ İŞLETMESİNDE OPTİMUM ÜRÜN FORMÜLÜ OLUŞTURMA

BULANIK DOĞRUSAL PROGRAMLAMA VE BİR BİSKÜVİ İŞLETMESİNDE OPTİMUM ÜRÜN FORMÜLÜ OLUŞTURMA T.C. KARAMANOĞLU MEHMETBEY ÜNİVERSİTESİ SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ BULANIK DOĞRUSAL PROGRAMLAMA VE BİR BİSKÜVİ İŞLETMESİNDE OPTİMUM ÜRÜN FORMÜLÜ OLUŞTURMA Hazırlayan Bayezid GÜLCAN İşletme Anabilim Dalı

Detaylı

ÇOK KRİTERLİ KARAR VERME TEKNİKLERİ İLE TÜRKİYE NİN EKONOMİK PERFORMANSININ AVRUPA BİRLİĞİ ÜYE ÜLKELERİ İLE KARŞILAŞTIRILMASI

ÇOK KRİTERLİ KARAR VERME TEKNİKLERİ İLE TÜRKİYE NİN EKONOMİK PERFORMANSININ AVRUPA BİRLİĞİ ÜYE ÜLKELERİ İLE KARŞILAŞTIRILMASI Marmara Üniversitesi İ.İ.B. Dergisi YIL 2013, CİLT XXXV, SAYI II, S. 329-360 Doi No: 10.14780/iibdergi.201324469 ÇOK KRİTERLİ KARAR VERME TEKNİKLERİ İLE TÜRKİYE NİN EKONOMİK PERFORMANSININ AVRUPA BİRLİĞİ

Detaylı

SAYMA. Ayrık iki kümenin bileşimindeki eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayıları toplamına

SAYMA. Ayrık iki kümenin bileşimindeki eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayıları toplamına SONLU MATEMATİK SAYMA SAYMANIN İKİ TEMEL PRENSİBİ TOPLAMA PRENSİBİ Ayrık iki kümenin bileşimindeki eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayıları toplamına eşittir. Örnek. Bir sınıftaki her öğrencinin, iki

Detaylı

TÜRKİYE DE BÖLGELER ARASI GELİR FARKLILIKLARI: YAKINSAMA VAR MI?

TÜRKİYE DE BÖLGELER ARASI GELİR FARKLILIKLARI: YAKINSAMA VAR MI? TÜRKİYE EKONOMİ KURUMU TARTIŞMA METNİ 2004/7 hp://www.ek.org.r TÜRKİYE DE BÖLGELER ARASI GELİR FARKLILIKLARI: YAKINSAMA VAR MI? Orhan Karaca Nisan, 2004 TÜRKİYE DE BÖLGELER ARASI GELİR FARKLILIKLARI: YAKINSAMA

Detaylı

11. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ

11. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ 2012 11. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ TOLGA YAVAN Matematik Öğretmeni 1.ÜNİTE: KARMAŞIK SAYILAR x 2 +3=0 gibi denklemlerin gerçek sayılarda çözümü olmadığından bu denklemlerin boş kümeden farklı çözüm kümeleri

Detaylı

TÜRKİYE DE İL OLMASI UYGUN OLAN İLÇELERİN AHP YÖNTEMİYLE BELİRLENMESİ

TÜRKİYE DE İL OLMASI UYGUN OLAN İLÇELERİN AHP YÖNTEMİYLE BELİRLENMESİ ISSD ' 10 SECOND INTERNATIONAL SYMPOSIUM ON SUSTAINABLE DEVELOPMENT isimli sempozyumda sunulmuştur., TÜRKİYE DE İL OLMASI UYGUN OLAN İLÇELERİN AHP YÖNTEMİYLE BELİRLENMESİ Prof. Dr. İbrahim GÜNGÖR Akdeniz

Detaylı

Devlet Malzeme Ofisi Genel Müdürlüğü, İnönü Bulvarı No: 18, 06041, Ankara. Geliş Tarihi/Received : 18.11.2008, Kabul Tarihi/Accepted : 24.04.

Devlet Malzeme Ofisi Genel Müdürlüğü, İnönü Bulvarı No: 18, 06041, Ankara. Geliş Tarihi/Received : 18.11.2008, Kabul Tarihi/Accepted : 24.04. Pamukkale Üniversitesi Mühendislik Bilimleri Dergisi, Cilt 15, Sayı 2, 2009, Sayfa 227-252 Öğrenme Etkili Erken/Geç Tamamlanma Çizelgeleme Problemleri İçin bir Literatür Araştırması A Literature Survey

Detaylı

Hangi mallar/hizmetler ne miktarda üretilmelidir? Hangi kaynaklar ne kadar kullanılarak üretimde bulunulmalıdır?

Hangi mallar/hizmetler ne miktarda üretilmelidir? Hangi kaynaklar ne kadar kullanılarak üretimde bulunulmalıdır? 3. TERCİH, TÜKETİCİ VE ÜRETİCİ KURAMLARI Bu bölümde, mikro iktisadın iki önemli yapı taşı üretici ve tüketicinin rasyonel davranışlarının iktisadi olarak nasıl analiz edileceğini öğreneceğiz. Üretici ve

Detaylı

BÖLÜM 5 TRANSİSTÖRLERİN DC ANALİZİ. Konular: Amaçlar:

BÖLÜM 5 TRANSİSTÖRLERİN DC ANALİZİ. Konular: Amaçlar: ÖLÜM 5 5 TRANSİSTÖRLRİN D ANALİZİ Konular: Amaçlar: 5.1 Transistörde D çalışma noktası 5.2 Transistörde temel polarama 5.3 eyz polarma 5.4 Gerilim bölücülü polarma devresi 5.5 Geribeslemeli polarma devresi

Detaylı

Bilimsel Bir Araştırma Ödevi Nasıl Hazırlanır?

Bilimsel Bir Araştırma Ödevi Nasıl Hazırlanır? Bilimsel Bir Araştırma Ödevi Nasıl Hazırlanır? **Bu e kitap www.kutuphanem.net ve www.odevsitesi.com adreslerinden ücretsiz olarak indirilebilir. ÖDEV VE TEZLERİNİZİN ARAŞTIRILMASI KAYNAK TARAMASI YAZILMASI

Detaylı

ULUSLARARASI KT SAT NOT: Uluslararas Ekonomik Olaylar: NOT: Uzun Vadeli Sermaye Al mlar : K sa Vadeli Sermaye Al mlar :

ULUSLARARASI KT SAT NOT: Uluslararas Ekonomik Olaylar: NOT: Uzun Vadeli Sermaye Al mlar : K sa Vadeli Sermaye Al mlar : ULUSLARARASI İKTİSAT Az gelişmiş ülkeler kalkınma açısından dışa bağımlıdırlar. Üretim yapabilmek için dışardan mal ve hizmet satın almalıdır. 1980 lerden sonra küreselleşme ortaya çıkmıştır. Dünyadaki

Detaylı

T.C. TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ T.C. TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ VERİ SIKIŞTIRMADA YENİ YÖNTEMLER Altan MESUT Doktora Tezi Bilgisayar Mühendisliği Anabilim Dalı 2006 EDİRNE Danışman: Yrd. Doç. Dr. Aydın CARUS i ÖZET Bu

Detaylı

İmalat Alt Sektörlerinin Finansal Performanslarının TOPSIS ve ELECTRE Yöntemleri İle Değerlendirilmesi

İmalat Alt Sektörlerinin Finansal Performanslarının TOPSIS ve ELECTRE Yöntemleri İle Değerlendirilmesi Çankırı Karatekin Üniversitesi Y.2014, Cilt 4, Sayı 1, ss.237266 Y.2014, Volume 4, Issue 1, pp.237266 İmalat Alt Sektörlerinin Finansal Performanslarının TOPSIS ve ELECTRE Yöntemleri İle Değerlendirilmesi

Detaylı

DİJİTAL ELEKTRONİK VE MİKROİŞLEMCİLER

DİJİTAL ELEKTRONİK VE MİKROİŞLEMCİLER YNİ SERVİNİ JNET SERVİNİ İJİTL ELEKTRONİK VE MİKROİŞLEMİLER II (ikinci) Sınıf Elekroeknik Mesleği Elekronik ve Telekomüniksyon Elekro Teknisyeni Manasır, 20 ii ijial Elekronik ve Mikroişlemciler II (İkinci)

Detaylı

TÜRKİYE DENETİM STANDARTLARI BAĞIMSIZ DENETİM STANDARDI 200

TÜRKİYE DENETİM STANDARTLARI BAĞIMSIZ DENETİM STANDARDI 200 EK TÜRKİYE DENETİM STANDARTLARI BAĞIMSIZ DENETİM STANDARDI 200 BAĞIMSIZ DENETÇİNİN GENEL AMAÇLARI VE BAĞIMSIZ DENETİMİN BAĞIMSIZ DENETİM STANDARTLARINA UYGUN OLARAK YÜRÜTÜLMESİ BAĞIMSIZ DENETİM STANDARDI

Detaylı

SU DALGALARINDA GİRİŞİM

SU DALGALARINDA GİRİŞİM SU DALGALARINDA GİRİŞİM Yukarıda iki kaynağın oluşturduğu dairesel su dalgalarının meydana getirdiği girişim deseni gösterilmiştir Burada kesikli çizgiler dalga çukurlarını, düz çizgiler dalga tepelerini

Detaylı

Ch. 4: Çok Değişkenli Regresyon Analizi: Çıkarsama

Ch. 4: Çok Değişkenli Regresyon Analizi: Çıkarsama Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Notları Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. ed., 2002, Thomson Learning. Ch. 4: Çok Değişkenli Regresyon

Detaylı

2. SAF MADDENİN ÖZELİKLERİ. 2.1. Saf Madde

2. SAF MADDENİN ÖZELİKLERİ. 2.1. Saf Madde 2. SAF MADDENİN ÖZELİKLERİ 2.1. Saf Madde Her noktasında aynı ve değişmeyen bir kimyasal bileşime sahip olan maddeye saf madde denir. Saf maddenin sadece tek bir kimyasal element veya bileşimden oluşması

Detaylı

Bayesgil VAR Modelinin Gerçek Zaman Dizileri

Bayesgil VAR Modelinin Gerçek Zaman Dizileri Çankaya University Journal of Science and Engineering Volume 7 (2010), No. 2, 169 185 Bayesgil VAR Modelinin Gerçek Zaman Dizileri için Kestirim Amaçlı Kullanılması Reşat Kasap 1, ve Sibel Kavak 2 1 Gazi

Detaylı

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları 4.Ders Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X, X,,X n : R n X, X,,X n X, X,,X n olmak üzere, her a, a,,a n R n için : X i a i, i,, 3,,n U özelliği sağlanıyor

Detaylı