ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ. Çetin CAMCI ANKARA Her hakkı saklıdır

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ KONTAK GEOMETRİDE EĞRİLER TEORİSİ Çetin CAMCI MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2007 Her hakkı saklıdır

2 ÖZET Doktora Tezi KONTAK GEOMETRİDE EĞRİLER TEORİSİ Çetin CAMCI Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Prof.Dr. H.Hilmi HACISALİHOĞLU Bu doktora tezi beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci Bölümde, temel tanım kavramlar kaynaklarıyla birlikde verilmiştir. Üçüncü bölümde Kontak geometri tanıtılmış ve bu geometrideki temel tanım ile kavramlar verilmiştir. Dördüncü bölümde Baikousis ile Blair in 1991 de yaptıkları makalenin Lorentz geometrisinde karşılığı incelenmiş ve bazı farklılıklar olduğu görülmüştür. Son bölümde ise genelde üç boyutlu Sasaki uzaylarındaki eğriler incelenmiş ve bazı orjinal sonuçlar elde edilmiştir. 2007, 243 sayfa ANAHTAR KELİMELER: Kontak geometri, Kontak manifold, Kontak form, Hemen Hemen Kotak manifold, Kontak Metrik manifold, İntegral alt manifold, Legendre eğrileri, Sasaki manifold, Sonlu tip eğriler, Uzay formları i

3 ABSTRACT Ph.D. Thesis A CURVES THEORY IN CONTACT GEOMETRY Çetin CAMCI Ankara University Graduate School of Natural And Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Prof.Dr. H.Hilmi HACISALİHOĞLU This thesis consists of five chapters. The first chapter is introduction of my thesis. In the second chapter, Some basic fundamental definition and theorem has been presented. The third chapter has been devoted to the presentation of contact geometry and fundamental definition in this geometry. In the third chapter, Baikousis and Blair s paper that published in 1991 has been investigated as Lorentz geometry, some differences have been shown In the last chapter, The curves in the 3-dimensional Sasaki spaces has been examined and some original finding has been found. 2007, 243 pages Key Words: Contact Geometry, Contact Manifold, Contact form, Almost Contact Manifold, Contact Metric Manifold, Integral Submanifold, Legendre curve, Sasaki manifold, Finitely type curve, Space Forms ii

4 TEŞEKKÜR Doktora tez çalışmalarım sırasında bilgi ve tecrubelerini benden esirgemeyen danışman hocam, sayın Prof. Dr. H.Hilmi HACISALİHOĞLU(Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi) na, fikirleriyle ve sorularıyla beni yönlendiren Prof. Dr. Yusuf YAYLI (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi) ile Prof. Dr. Baki KARLIĞA(Gazi Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi) ya teşekkürlerimi sunarım Ayrıca çalışmalarım esnasında sonsuz sabrını benden hiç eksik etmeyen sevgili eşim Didem K. CAMCI yada teşekkürlerimi bir borç bilirim. Çetin CAMCI Ankara, Temmuz 2007 iii

5 İÇİNDEKİLER ÖZET i ABSTRACT ii TEŞEKKÜR iii SİMGELER DİZİNİ vi 1. GİRİŞ TEMEL KAVRAMLAR Dönüşümler Yarı Grubu Yönlendirilebilir Manifoldlar Lie Grupları, Çarpım manifoldları ve Bir Manifold Üzerindeki Etki Lif Demetleri Vektör Demeti Olarak Yönlendirilebilme ve Distribution Hodge Yıldız Operatörü Flow, 1-Parametreli Grup ve Lie Türevi Koneksiyon ve Eğrilikler Yarı Riemann Alt Manifoldları ve Sonlu Tipde Eğriler KONTAK MANİFOLDLAR Kontak manifold ve Geniş Anlamda Kontak Manifold Hemen Hemen Kontak Manifold Hemen Hemen Kontak Manifoldlarda Torsiyon Tensörü φ -Kesitsel Eğrilik Sasaki Manifoldların İntegral Alt Maanifoldları n+ 4. R 1 ( 3ε ) SASAKİ UZAYI n+ 4.1 R 1 ( 3ε ) Sasaki Uzayında İzometrik İmmersiyon n+ 4.2 R 1 ( 3ε ) Sasaki Uzayında İntegral Alt Manifoldların Özelikleri n+ 4.3 R 1 ( 3ε ) Sasaki Uzayındaki Silindirde Yatan İntegral Alt Manifoldlar ÜÇ BOYUTLU SASAKİ UZAYLARINDA EĞRİLER Legendre Eğrilerin Serret-Frenet Çatısı Üç Boyutlu Sasaki Uzayında Genel Legendre Eğrileri Üç Boyutlu Sasaki Uzay Formlarında Legendre Helis Eğrileri Biharmonik Legendre Eğrileri iv

6 5.5 Legendre Bertrant Eğri Çiftleri Involüt (Basıt) ve Evolüt (Mebsut)Eğriler Küresel Legendre Eğrileri n+ 5.8 R 1 ( 3ε ) Sasaki Uzayında Küresel Legendre Eğrileri n+ 5.9 R 1 ( 3ε ) Sasaki Uzayında Silindirde Yatan Legendre Eğrileri n R 1 ( 3ε ) Sasaki Uzayındaki Silindirde Yatan Keyfi Eğrileri KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ v

7 SİMGELER DİZİNİ η kontak form (M,η) kontak manifold (φ,ξ,η) hemenhemenkontakyapı (M,φ, ξ, η) hemen hemen kontakmanifold (φ,ξ,η,g,ε) hemenhemenkontakmetrikyapı (M,φ, ξ, η, g, ε) hemen hemen kontak metrik manifold [, ] Lie braket operatörü M/G G grubu tarafından elde edilmiş bölüm uzayı π projeksiyon σ cross section GL(n, R) genel lineer grup D, Riemann konneksiyonları R Riemann eğrilik tensörü K kesitsel eğrilik L Lie türevi H ortalama eğrilik tensörü gl Lie cebri C r s kontraksiyonoperatörü tensör çarpımı vi

8 1. GİRİŞ Kontak geometri ilk olarak Christian Huygens, Barrow ve Isaac Newton nun çalışmalarıyla ortaya çıkmıştır. Kontak dönüşümler teorisi daha sonraları S.Lie tarafından bazı diferansiyel denklemlerin çözümünü elde etmek için geliştirilmiştir. Yirminci yüzyılın ilk yarısında E.Cartan ve Darboux un kontak geometrinin gelişiminde büyük katkıları olmuştur. Kontak manifoldlarda önemli bir yeri olan Sasaki manifoldlarının tanımı 1960 lı yıllarda Japon matematikçi S.Sasaki tarafından verilmiştir. Yine aynı yıllarda yaşayan M.Gray, K.Ogiue ve W.M.Bootby gibi matematikçilerin çalışmaları dikkat çekmektedir. Günümüzde ise bu konuda pek çok matematikci çalışmaktadır. Doktora tezimi yazarken özellikle D.E.Blair in makale ve kitaplarından pek çok kere yararlandım li yıllardan sonra kontak geometriyi topolojik olarak da incelemek önem kazanmaya başlamıştır. Bu konuda ülkemizde özelikle B.Özbağcı nın çalışmaları dikkat çekmektedir. Kontak geometri ile Simplektik geometri ayrılmaz birer ikili gibidirler. Simplektik geometri çift boyutlu, Kontak geometri de tek boyutlu uzaylarda tanımlıdır. Bu yönleriyle biribirlerini tamamlayan uzaylardır. Bu yüzden olsa gerek bu iki geometri için pek çok makale ve kitapda ikiz kız kardeşler diye bahsedilir. Açıkcası neden erkek değil de kız kardeş dendiğini bende bilmiyorum. Kontak geometrinin bir çok alanda uygulamaları vardır. H.Geiges makalesinde kontak geometrinin fizik, mekanik, optik, termodinamik ve kontrol teorisi alanlarında nasıl uygulandığını anlatmıştır(geiges 2001). Kontak geometride integral alt manifoldlar önemli rol oynar. Doktora tez çalışmamda özellikle bir boyutlu integral alt manifoldları(legendre eğrileri) nı inceledik. Ayrıca Legendre eğrisi olmayan eğriler için de bazı sonuçlar elde ettik. Geometride en çok çalışılan konulardan biri de eğriler geometrisidir. Eğriler geometrisinde özellikle geodezikler, çemberler, genel helisler, Bertrant eğri çiftleri v.b. gibi özel eğriler çalışılmaktadır. Eğriler geometrisinin önemi ve tarihçesiyle ilgili K. İlarslan nın doktora tezinde yazmış olduğu giriş kısmının okunmasını tavsiye ederim (İlarslan 2002). Eğriler geometrisi çalışılırken; bir eğrinin Serret-Frenet denklemlerinin bulunması ve eğriliklerinin hesaplanması çok önemlidir. Öklid uzay- 1

9 larında eğrilikleri ve Serret-Frenet denklemlerini hesaplamak kolaydır. Fakat kontak geometride Serret-Frenet denklemlerini bulmak ve denklemlerde geçen çatılarda çalışmak çok da kolay değildir. Baikoussis ve Blair 1994 yılında yazdıkları makalede, üç boyutlu Sasaki uzayında Legendre eğrileri için Serret-Frenet denklemlerini vermişlerdir yılında ise Belkelfa ve arkadaşları Lorentz geometrisinde, üç boyutlu Sasaki uzayı için bir Legendre eğrinin Serret-Frenet denklemlerini vermişlerdir(baikoussis 1994). Üç boyutlu Sasaki uzaylarında Legendre eğriler haricindeki eğriler için Serret-Frenet denklemlerinin bulunması zor bir problemdir. Hatta üçten farklı boyuttaki Sasaki uzaylarında bir Legendre eğrisi için Serret-Frenet denklemlerinin bulunması hala çözülememiş problemdir. Sasaki uzayların çok özel bir kontak uzaylar olduğunu düşünürsek, kontak uzayda eğriler teorisi çalışmanın ne derecede zor olduğunu anlayabiliriz. Çalışmamızın üçüncü bölümünde kontak geometri tanıtılmış ve kontak geometri ile ilgili temel tanım ile teoremler verilmişdir. Bu bölümde, ilk kez K.Ogiue tarafından verilen uzay formlarının Rieman eğriliği ile ilgili formülün Lorentz geometrisindeki karşılığı verilmiştir (Ogiue 1964). Aslında Rieman eğriliğini hesaplarken K.Ogiue nın makalesi elimde değildi. Daha sonra K.Ogiue nın makalesi elime geçtiğinde makaledeki ispatdan farklı bir ispat yaptığımı fark ettim. Çalışmamızın dördüncü bölümünde Baikoussis ve Blair in 1991 de yaptıkları çalışmanın Lorentz geometrisinde karşılığı bulunmuş ve bazı farklılıkların olduğu görülmüştür. Çalışmamızın beşinci bölümü genelde orijinal kısımlardan oluşmaktadır. Bu bölümde Barrosanlamındahelistanımınıverilmiş,R 3 ( 3ε)SasakiuzayındakiLegendrehelis eğrilerinin N 2 (c) silindirinde yattığı görülmüştür. R 5 ( 3ε) Sasaki uzayında N 4 (c) silindirinin 2-tipli integral alt manifoldunda yatan biharmonik eğriler incelenmiştir. Ayrıca üç boyutlu Sasaki uzay formlarında küresel Legendre eğrileri için bir karakterizasyonverilmiş,r 3 ( 3ε)SasakiuzayındaküreselLegendreeğrininolmadığıgösterilmiştir. Bu bölümün son kısmı ise Baikoussis ve Blair in 1994 de yazdıkları 2

10 makalede geçen bir açık problem ile ilgilidir. Bu makalede R 3 ( 3ε) Sasaki uzayında N 2 (c)silindirindeyatanherhangibirlegendreeğri1-tiplidirancakveancak Legendre eğrisi sabit eğriliklidir. önermesi ispatlanmıştır. Bu teoremin sonlu tipdeki her hangi eğri için karşılığı ise açık problem olarak bırakılmıştır. Çalışmalarımızın sonkısmındar 3 ( 3ε)SasakiuzayındaN 2 (c)silindirindeyatanherhangibirsonlu tipdeki eğrinin 1-tipinde olduğunu ispatladık. Ayrıca N 2 (c) silindirinde yatan her hangi bir 1-tipinde eğrinin sabit eğrilikli olması gerektiğini fakat bunun tersinin doğru olmadığını gösterdik. Böylece bu açık probleme tam cevap vermiş olduk. Yukarıda anlattıklarım bu bölümdeki orjinal çalışmalarımızdır. Bunun haricinde başka makale lerden aldığım güzel çalışmalara da kaynaklarıyla birlikde tezimde yer verdim 3

11 2. TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR 2.1 Dönüşümlerin Yarı Grubu Tanım (Dönüşümlerin Yarı Grubu) S birtopolojikuzayveγdas den S ye dönüşümlerin cümlesi olsun. Aşağıdaki özelikleri sağlayan Γ cümlesine, S topolojik uzayının dönüşümler yarı grubu denir. DYG1) f Γdönüşümü,U,V S açıkcümlelerikenf :U V şeklindehomeomorfizimdir. DYG2)Şayetf Γisef fonksiyonununtanımcümlesininheraçıkaltcümlesine kısıtlanışıdaγdadır. YaniU,V S açıkolmaküzere f Γ,f :U V,U U (açık)isef U Γ DYG3)U i lers ninaçıkcümleleriolmaküzereu = i I U i vef :U V dönüşümü homeomorfizimolsun. f Ui Γikenf Γdır. Yani, U = i I U i,u i S,f :U V (homeomorfizim)vef Ui Γisef Γ DYG4)S dekiheraçıkcümleninbirimdönüşümleriγdadır. DYG5)Şayetf Γisef 1 Γdır. DYG6)f :U V ileg:u V (V U )şeklindetanımlanandönüşümlerγ daikeng f :f 1 (V U ) g(v U )dönüşümüdeγdadır(kobayashi1996). Teorem (Darboux Teoremi) n-boyutlu diferensiyellenebilir M manifold üzerinde ω 1-formu ω (dω) p 0ve(dω) p+1 =0 olacak şekilde verilsin. Bu durumda, M manifoldunun her noktasında ω=dy p+1 p y i dx i i=1 olacakşekildebir(x 1,...,x p,y 1,...,y p )koordinatkomşuluğuvardır(blair1976). 4

12 Örnek S=R 2n+1 de(x i,y i,z)(i=1,2,3,...n)kartezyenkoordinatlarveη bir 1-formu da n η=dz y i dx i olsun. U,V açıkcümlelervef :U V birdönüşümolmaküzere i=1 τ :U R ( P U,τ(P) 0)fonksiyonuiçinf (η)=τ.η oluyorsaf yekontak dönüşüm (Contac Transformation) denir. Kontak dönüşümlerin cümlesi Γ= { f :U V :U,V R 2n+1 (açıkcümleler),f (η)=τη, P U içinτ(p) 0 } olark tanımlarsak, Γ bir yarı gruptur. Çünkü, DYG1) f ΓveU,V S (açıkcümleler)ve( P U içinτ(p) 0)f η =τη olduğundan f : U V dönüşümünün homeomorfizim olduğu açıktır. DYG2)f Γ, f :U V,U U(açıkcümle)alalım P U içinτ(p) 0ise P U içinτ(p) 0dir. Böylece(f V ) η =τη ( P V içinτ(p) 0)olur. Dolayısıylaf U Γdır. DYG3)U = i I U i,u i S,f :U V (homeomorfizim)vef Ui Γolsun. P U için P U i olacakşekildei I vardır. f Ui ΓolduğundanP U noktasında (f Ui ) η=τηdır. f Ui (P)=f(P)olduğundanf η=τηolur. Böylecef Γdır. DYG4) U R 2n+1 açığıiçinbirimdönüşümünγdaolduğuaçıktır. DYG5)f Γ, f :U V içinf η =τη ( P U içinτ(p) 0) olsun. Burada f 1 :U U ve(f 1 ) η= 1 τ f 1 η ( f(p)=q V için f 1 Γolur. 1 τ f 1 (Q) 0)olduğundan DYG6)f,g Γ, f : U V ilef :U V ve V U olsun. Budurumda f η =τη veg η=τ η (τ(p) 0,τ (Q) 0, P U, Q U )olacakşekildeτ,τ vardır. g f :f 1 (V U ) g(v U )olmaküzere (g f) η = (g f )η = g (f η) 5

13 = g (τη) = ττ η eldeedilir. Burada Q f 1 (V U )için(ττ )(Q)=τ(Q)τ (Q) 0olduğundan g f Γdır. 2.2 Yönlendirilebilir Manifoldlar Tanım (Yönlendirme) V, n-boyutlu reel vektör uzayı ve L de V vektör uzayınınsıralıbazlarınıncümlesiolsun. u={u 1,u 2,...,u n },v={v 1,v 2,...,v n } L içinu i = n a ij v j olacakşekildea=(a ij ) GL(n,R)vardır. j=1 u={u 1,u 2,...,u n } v={v 1,v 2,...,v n } ancakveancak det(a ij ) 0 bir denklik bağıntısıdır. Bu denklik bağıntısının iki denklik sınıfı vardır. Şayet det(a ij ) 0iseuilev yeaynı yönlendirmeyesahip,det(a ij ) 0isedekarşıt yönlendirmeye sahiptir denir(boothby 1986). Sonuç V vektör uzayında n-lineer ve alterne fonksiyonellerin cümlesi de bir vektör uzayıdır. Bu uzayı Λ n V ile gösterirsek boy Λ n V = 1 dir. Tensör cebirindenbiliyoruzkiω Λ n V için Ω(u 1,u 2,...,u n )=det(a ij )Ω(v 1,v 2,...,v n ) (2.2.1) dir. Hiç bir yerde sıfır olmayan Ω Λ n V n-formunu alalım. Bu durumda (2.2.1) den,u={u 1,u 2,...,u n },v={v 1,v 2,...,v n }bazlarındaaynıyönlendirmevardır(veya karşıt) ancak ve ancak bazların Ω da aldığı değer aynı işarete sahiptir(veya zıt). Bu yüzden bir vektör uzayındaki yönlendirmeyi n-formlar ile ifade edebiliriz. Ω 1,Ω 2 Λ n V içinboyλ n V =1olduğundan Ω 1 =λω 2 6

14 olacakşekildeλvardır. BöyleceΩ 1,Ω 2 aynıyönlendirmeyesahiptir(veyakarşıt)ancak ve ancak λ 0(veyaλ 0) dir(boothby 1986). Tanım (Yönlendirilmiş Manifold) n-boyutlu bir M manifoldu üzerinde hiç bir yerde sıfır olmayan bir Ω n-form varsa, M manifolduna yönlendirilebilir (Orientable) manifold denir. Bu formların her birine yönlendirme(orientation) ve seçilen bu yönlendirmeyle birlikde bu mani folda da yönlendirilmiş(oriented) manifold denir(boothby 1986). Tanım2.2.3.(Uygun Yönlendirilmiş Atlas) Ϝ={(U α,ϕ α )} α Λ cümlesibirm manifoldununatlasıolsun. Şayet α,β Λiçin(U α,ϕ α ),(U β,ϕ β )haritalarıiçin ϕ α (ϕ β ) 1 dönüşümünün Jakobiyen matrisi pozitif determinanta sahip ise bu atlasa M üzerinde uygun yönlendirilmiş(coherently oriented) atlas denir(boothby 1986). Teorem M, n-boyutlu bir manifold olsun. Bu durumda aşağıdaki önermeler denktir. i) M manifoldu yönlendirilebilirdir. ii) M üzerinde hiçbir yerde sıfır olmayan n-form vardır. iii) M üzerinde uygun yönlendirilmiş bir atlas vardır(boothby 1986). Teorem Her hangi bir manifoldun tanjant demeti(tangant bundle) manifold olarak yönlendirilebilirdir(carmo1992). Teorem Yönlendirilebilir bir manifoldun her alt manifoldu da yönlendirilebilirdir (Carmo1992). 2.3 Lie Grupları, Çarpım Manifoldları ve Bir Manifold Üzerinde Etki Tanım (Lie grubu) G bir grup ve aynı zamanda diferensiyellenebilir manifold 7

15 olsun. Şayet G G G,(x,y) xyveg G,x x 1 dönüşümleric iselergyebirliegrubudenir(kobayashi1996). Tanım (Çarpım Manifoldu) M ve N diferensiyellenebilir manifoldlar ve {(U α,ϕ α )} α Λ ile {( V β,ψ β )}β I atlaslarıda,sırasıyla,m ven üzerindediferensiyellenebiliryapılarolsunlar. p U α ve q V β için φ αβ (p,q)=(ϕ α (p),ψ β (q)) dönüşümünütanımlarsak {( W αβ =U α V β,φ αβ )} cümlesim Nüzerindebirdiferen siyellenebilir yapıdır. Çünkü ÇM1)M N = α Λ,β I W αβ olduğuaçıktır. ÇM2) ( W α1 β 1 =U α1 V β1,φ α1 β1) ve ( Wα2 β 2 =U α2 V β2,φ α2β2 ) haritalarınıalırsak φ α2 β 2 φ 1 α 1 β 1 :φ α1 β 1 (W α1 β 1 W α2 β 2 ) φ α2 β 2 (W α1 β 1 W α2 β 2 ) olmak üzere φ α2 β 2 φ 1 α 1 β 1 (p,q ) = φ α2 β 2 (ϕ 1 α 1 (p ),ψ 1 β 1 (q )) = (ϕ α2 ϕ 1 α 1 (p ),ψ β2 ψ 1 β 1 (q )) olur. Buradaϕ α2 ϕ 1 α 1 ve ψ β2 ψ 1 β 1 diferensiyellenebilirolduğundanφ α2 β 2 φ 1 α 1 β 1 de diferensiyellenebilir. Benzerşekildeφ α1 β 1 φ 1 α 2 β 2 diferensiyellenebilirolduğugörülür. Benzerişlemleriherα 1,α 2 Λveβ 1,β 2 IiçinyaparsakM N çarpımcümlesinin bir diferensiyellenebilir manifold olduğunu görürüz(carmo1992). Teorem M 1 vem 2 manifoldlarıyönlendirilebilirancakveancak M =M 1 M 2 8

16 çarpım manifoldu yönlendirilebilirdir(steenrod 1951). Tanım (Etki) G bir grup ve M de bir diferensiyellenebilir manifold olsun. Şayet ϕ:g M M dönüşümü aşağıdaki koşulları sağlıyorsa G grubuna M manifoldu üzerinde soldan etki(gactsonleftonm)denir. E1) g Giçin ϕ g :M M,ϕ g (x)=ϕ(g,x) dönüşümüdifeomorfizimveϕ e =I (birimdönüşüm)dir. E2) g 1,g 2 Giçinϕ g1 g 2 =ϕ g1 ϕ g2 dir. Buradanotasyonolarakϕ g (x)=gxyazarsak(e2)ninbirsonucuolarak (g 1 g 2 )x=g 1 (g 2 x) olduğugörülür. EğerM G M dönüşümü x M ve g 1,g 2 Giçin x(g 1 g 2 )=(xg 1 )g 2 koşulu sağlanıyorsa G grubuna M manifoldu üzerinde sağdan etki(g acts on right onm)denir. Şayet x M noktasının, g GiçinU g(u)=φolacakşekilde bir U komşuluğu varsa bu etkiye uyumlu süreksizlik(properly discontinous) denir (Carmo 1992). Sonuç Kabul edelimki G grubu M diferensiyellenebilir manifoldu üzerinde soldan etki olsun. Bu durumda M manifoldu üzerinde bir denklik bağıntısını x y g G y=gx şeklinde tanımlayabiliriz. Bu bağıntının denklik sınıfları [x] = {xg: g G} olur. 9

17 Böylece bölüm uzayını elde ederiz. Burada M/G={[x]:x M} π:m M/G x π(x)=[x] şeklinde tanımlanan örten dönüşüme M manifoldundan M/G bölüm uzayına projeksiyon denir(carmo 1992). Teorem M diferensiyellenebilir manifold ve G grubu M manifoldu üzerinde uyumlu süreksiz etki olsun. Bu durumda π: M M/G lokal diferensiyellenebilir projeksiyonu yardımıyla, M/G cümlesi için bir diferensiyellenebilir yapı elde edebiliriz(carmo1992). İspat. M diferensiyellenebilirmanifoldolduğundanm üzerindebir{(u α,ϕ α )} α Λ diferensiyellenebilir yapısı alabiliriz. G grubu M manifoldu üzerinde uyumlu süreksiz hareket olduğundan x M için x in U g(u) = φ olacak şekilde bir U açık komşuluğu vardır. x M nin öyle bir ϕ 1 (V) koordinat komşuluğunu seçelimki ϕ 1 :V M olmaküzereϕ 1 (V) U olsun. Burada π U :M M/G dönüşümübirebirdir. Çünkü,x,y U içinπ U (x)=π U (y)olsun. Budurumda [x]=[y]vex y olur. Böylece g G y=gxdir. x U isey=gx g(u) dir. U g(u)=φolduğundang=evey=ex=xolur. π U veϕbirebirise ψ 1 =π U ϕ 1 :V M/G debirebirdir. Buişlemiherx M içinyaptığımızdanψ 1 i (V i )koordinatkomşulukları elde ederiz. Burada M/G= ψ 1 i (V i ) olduğunugöstermekkolaydır. Ayrıca(ψ 1 1 (V 1),ψ 1 )ve(ψ 1 2 (V 2),ψ 2 )haritalarınıalır- 10

18 sakψ 2 ψ 1 1 veψ 1 ψ 1 2 dönüşümlerinin diferensiyellenebilir olduğunu ispatlamamız gerekir. ψ 2 ψ 1 1 dönüşümü ψ 2 ψ 1 1 :ψ 1 (ψ 1 1 (V 1) ψ 1 2 (V 2)) ψ 2 (ψ 1 1 (V 1) ψ 1 2 (V 2)) şeklindedir. πninϕ 1 i (V i )yekısıtlanışınaπ i dersekψ i =ϕ i π 1 i ve ψ 2 ψ 1 1 =ϕ 2 π 1 2 π 1 ϕ 1 1 olur. x ψ 1 1 (V 1 ) ψ 1 2 (V 2 )için ψ 1 (W) ψ 1 1 (V 1) ψ 1 2 (V 2) olacakşekildey=ψ 1 1 (x)inw komşuluğunualalım. Böylece ( ) ( ) ψ2 ψ 1 1 (x) = ϕ2 π 1 2 π 1 ϕ 1 1 (x) [( )( = ϕ 2 π 1 2 π 1 ϕ 1 1 (x) )] olur. Burada a = ϕ 1 1 (x), π 1 (a) = b ve π 1 2 (b) = c dersek g G için c = ag dır. Sonuç olarak ( π 1 2 π 1 ) (a) = ag olur. Tanım (E1) şıkkından π 1 2 π 1 dönüşümündiferensiyellenebilirolduğugörülür. Benzerşekildeψ 1 ψ 1 2 dönüşümü de diferensiyellenebilirdir. Böylece {( ψ 1 i (V i ),ψ i )} cümlesi M/G nin bir diferensiyellenebilir atlasıdır. Örnek σ:r R x σ(x)=x+2π olaraktanımlayalım. G={σ n :n Z}olmaküzere(G, )birgruptur. Rreelsayılar üzerindeki bir denklik bağıntısını x y g G y=gx 11

19 olaraktanımlayabiliriz. Denkliksınıfları[x]={σ n (x):n Z}olur. Burada σ n (x)=x+2πn olduğunu görmek kolaydır. Böylece [x]={x+2πn:n Z}=x+2πZ olarak yazabiliriz. R/G = R/2πZ = {x+2πz:x R} dir. Teorem den R/2πZ bölüm cümlesinin diferensiyellenebilir manifold olduğu görülür. Şimdi de R/2πZ manifoldunun S 1 = { (x,y):x 2 +y 2 =1 } çemberine difeomorfik olduğunu gösterelim. R deki atlası {(R, I)} alırsak R/2πZ nin { ψ 1 i (V i ),ψ i } atlasıolmaküzere ψ i =ϕ i π 1 i =I π 1 i =π 1 i olur. S 1 dekiatlasıda U + 1 = { (x,y) S 1 :x 0 },U 1 = { (x,y) S 1 :x 0 } U + 2 = { (x,y) S 1 :y 0 },U 2 = { (x,y) S 1 :y 0 } açık cümleler ve dönüşümler olmak üzere ϕ + i :U + i I=( 1,1) ϕ + 1 (x,y)=y, ϕ + 2 (x,y)=x {( )} + ϕ + i,u i olarak alalım. Burada i=1,2 ( ) 1 + ϕ 1 (y)=( ( ) 1 1 y 2 +,y), ϕ 2 (x)=(x, 1 x 2 ) 12

20 dir. Ayrıca F :R/2πZ S 1 x+2πz F(x+2πZ)=e ix dönüşümünü tanımlarsak F dönüşümünün iyi tanımlı olduğunu göstermeliyiz. Şayet x+2πz=y+2πz ise n Z x y=2πndir. Böylece e (x y)i = e 2πn = cos(2πn)+isin(2πn) = 1 olduğundan F(x+2πZ)=e ix =e iy =F(y+2πZ) dir. Benzer şekilde F nin birebir ve örten olduğu kolayca gösterilebilir. F nin diferensiyellenebilirdönüşümolduğunugöstermekiçin F=ϕ + i F π 1 i nin diferensiyellenebilir olduğunu göstermeliyiz. Burada F (x) = = ( + ϕ i F π 1 i ( ϕ + i F ) (x) ) (x+2πz) = ϕ + i (cosx,sinx) olduğundan F (x)=cosxveya F (x)=sinxdir. Böylece F diferensiyellenebilirve F de diferaesiyellenebilir dönüşümdür. F birebir ve örten olduğundan tersi vardır. Benzer şekilde tersinin de diferensiyellenebilir dönüşüm olduğu gösterilebilir. Böylece R/2πZ manifoldus 1 çemberinedifeomorfikolur. 13

21 Örnek x=(x 1,x 2,...,x n )olmaküzere σ i :R n R n x σ i (x)=x i +2π olaraktanımlayalım. (G={σ p 1 1 σ p σ pn n :p 1,p 2,...,p n Z}, ) birabelgrupdur. Burada (σ p 1 1 σ p σ pn n )(x)=x+2π(p 1,p 2,...,p n ) olduğunugörmekkolydır. Örnek dekinebenzerşekilder n üzerinde x y g G y = gx denklik bağıntısını tanımlarsak [x] = {(σ p 1 1 σp σp n n )(x):p 1,p 2,...,p n Z} = {x+2π(p 1,p 2,...,p n ):p 1,p 2,...,p n Z} = x+2π(z Z... Z) = x+2πz n olarak yazabiliriz. Böylece R n /G=R n /2πZ n ={x+2πz n :x R n } olur. AyrıcaR n /2πZ n inbirdiferensiyellenebilirmanifoldve(n-torus) T n =S 1 S 1... S 1 (n tane S 1 in kartezyen çarpımı ) çarpım manifolduna difeomorfik olduğu Örnek deki gibi gösterilebilir. Tanım (Serbest Etki) G grubu M manifoldu üzerinde bir hareket olsun. Şayet x M içinr a (x)=xikena=e(gninbirimelemanı)oluyorsaggrubuna M manifoldu üzerinde serbest etki(g acts freely on M) denir(kobayashi 1996). 14

22 2.4 Lif Demetleri Tanım (Asli Lif Demeti) P ve M birer manifold ve G de bir Lie grubu olsun. Ayrıca G grubu P manifoldu üzerinde etki olmak üzere ALD1) G grubu P üzerinde sağdan serbest etki olsun. Yani (u,a) P G R a (u)=ua P olamaküzere x M içinr a (x)=xikena=edir. ALD2) M manifoldu G grubu tarafından elde edilen denklik bağıntısının bölüm uzayı (M = P/G)olacak. Ayrıca π : P M kanonik projeksiyonu diferensiyellenebilir olacak. ALD3) P manifoldu lokal aşikar(locally trivial) olacak. Yani, x M naoktasının öylebiru komşuluğuolacakkiπ 1 (U)cümlesiU Gyeizomorfolacak. Başkabir deyişle Ψ:π 1 (U) U G,Ψ(u)=(π(u),ϕ(u)) olacak şekilde bir difeomorphisim vardır. Burada ϕ dönüşümü ϕ:π 1 (U) G, u π 1 (U),a G için ϕ(ua) = ϕ(u)a şartını sağlayan dönüşümdür. (ALD1), (ALD2) ve (ALD3) koşulları sağlanıyorsa P manifolduna G grubu tarafından oluşturulmuş M manifoldu üzerindeki asli lif demeti (principal fibre bundle) denir. Burada P manifolduna total uzay (total space) veya demet uzayı (bundle space), M manifolduna baz uzayı (basespace)veggrubunadayapı grubu(structuregroup)denir. Buasli liftdemetip(m,g,π)veyap(m,g)ilegösterilir(kobayashi1996). Tanım2.4.2.(Aşikar Lif Demeti) P(M,G)aslilifdemetiolsun. ŞayetGgrubu P = M G üzerinde serbest etki (G acts freely on M G) ise P(M,G) asli lif demetine aşikar lif demeti denir. Burada R b :M G M G,R b (x,a)=(x,ab) 15

23 olarak tanımlanır(kobayashi 1996). Tanım2.4.3.(İlişikLifDemeti)P(M,G)asliliftdemetiveF manifolduggrubu üzerinde (a,ξ) G F aξ F. şeklinde soldan hareket olsun. Bu durumda F standart lifi ve P ile bağlantılı E(M,F,G,P)ilişiklifdemetiniinşaederiz. Burada Φ:(P F) G P F,Φ((u,ξ),a)=(u,ξ)a=(ua,a 1 ξ) dönüşümünü tanımlarsak G grubu P F manifoldu üzerinde sağ etkidir. Böylece bölümcümlesinee=p F/G=P G F dersek E={(u,ξ)G:(u,ξ) P F} olur,burada(u,ξ)g={(u,ξ)a:a G}şeklindedenkliksınıfıdır. π E :P G F M,π E ((u,ξ)g)=π(u) dönüşümüdeeüzerindeprojeksiyondenir. Ayrıca x M içinπ 1 (x)cümlesinex üzerinde E nin bir lifi denir(kobayashi 1996). Sonuç Φ:(P F) G P F,Φ((u,ξ),a)=(u,ξ)a=(ua,a 1 ξ) dönüşümünü tanımlarsak G grubu P F manifoldu üzerinde sağ etki olduğu görülür. Çünkü, H1)GLiegrubuolduğundana a 1 dönüşümüdiferensiyellenebilirdir. Ggrubu P ve F manifoldları üzerine sağdan ve soldan etki olduğundan (u,a) ua, (u,ξ) ξu 16

24 dönüşümleridediferensiyellenebilirdir. Dolayısıyla((u,ξ),a) (ua,a 1 ξ)dönüşümü de diferensiyellenebilir olur. Ayrıca e G(birim eleman) için (u,ξ)e = (ue,e 1 ξ) = (u,ξ) dir. H2)(u,ξ) P F vea,b Giçin (u,ξ)(ab) = (uab,(ab) 1 ξ) = ((ua)b,b 1 (a 1 ξ)) = (ua,a 1 ξ)b = ((u,ξ)a)b eldeedilir. π:p M kanonikprojeksiyonolmaküzere P F M (u,ξ) π(u) biçiminde tanımlı dönüşümden yararlanarak π E :E=P G F M (u,ξ)g π E ((u,ξ)g)=π(u) dönüşümü tanımlanabilir. Burada π E nin iyi tanımlı olduğunu görmek kolaydır. Ayrıca Ω:F E ξ Ω(ξ)=(u,ξ)G 17

25 dönüşümünü tanımlarsak Ω nın birebir olduğunu görürüz. Çünkü Ω(ξ 1 )=Ω(ξ 2 ) = (u,ξ 1 )G=(u,ξ 2 )G = a G (u,ξ 1 ) =(u,ξ 2 )a = (u,ξ 1 )=(ua,a 1 ξ 2 ) = u=ua, ξ 1 =a 1 ξ 2 serbest etki = a=eveξ 1 =e 1 ξ 2 =ξ 2 olur. Ayrıcau,u 1 P olmaküzereπ(u)=π(u 1 )iken {(u,ξ)g:ξ F}={(u 1,ξ)G:ξ F} olduğunu kolayca görebiliriz. Böylece x M için π 1 E (x)={(u,ξ)g:π(u)=x} cümlesinin elemanlarını bulmak için π(u) = x olacak şekildeki P nin en az bir u elemanınıalıpξdef dedeğiştirmelidir. Böyleceπ(u)=xolmaküzere Θ:E M F (u,ξ)g Θ((u,ξ)G)=(x,ξ) dönüşümünün birebir ve örten olduğunu görürüz. x M için π 1 E (x) cümlesi x üstündekilifolarakadlandırılırvef x ilegösterilir. P(M,G)aslilifdemetive π:p M kanonik projeksiyon olmak üzere Ψ:π 1 (U) U G,Ψ(u)=(π(u),ϕ(u)) olacak şekilde bir difeomorphisim var idi. Ayrıca ϕ dönüşümü ϕ:π 1 (U) G, u π 1 (U),a G 18

26 içinϕ(ua)=ϕ(u)aidi. Böyleceπ 1 (U)ileU Gnindifeomorfikolduğunusöylemiştik. Sonuçolarak(x,a) Giçin Ψ(u)=(x,a)olacakşekildebirteku π 1 (U)vardır. π(u)=xveϕ(u)=eolmaküzere θ:π 1 E (U) U F dönüşümünü θ((u, ξ)g) =(x, ξ) olarak tanımlayalım.θ dönüşümü iyi tanımlı, birebir veörtendir. Gerçekten,π(u)=x,ϕ(u)=eveπ(v)=y,ϕ(v)=eiçin (u,ξ)g=(v,η)g olsun. Budurumda a G (v,η) =(u,ξ)ave (v,η) = (u,ξ)a = (ua,a 1 ξ) olur. Böylecev=uaveη=a 1 ξeldeedilir. Diğertaraftan e=ϕ(v)=ϕ(ua)=ϕ(u)a=ea olduğundana=edir. Dolayısıylau=vveη=ξolur. Böyleceπ(u)=x=y=π(v) ve θ((u,ξ)g)=(x,ξ)=(y,η)=θ((v,η)g) olurkibudabizeθnıniyitanımlıolduğunusöyler. Diğertaraftanπ(u)=x,ϕ(u)=e veπ(v)=y,ϕ(v)=eiçinθ((u,ξ)g)=(x,ξ)=(y,η)=θ((v,η)g)ikenx=y ve ξ =η dır. π(u)=x=y =π(v) olduğundan v =ua olacakşekildea Gvardır. Burada e=ϕ(v)=ϕ(ua)=ϕ(u)a=ea olduğundan a = e ve u = v dir. Sonuç olarak (u,ξ)g = (v,η)g olduğundan θ birebir olur. Ayrıca her (x,ξ) U F için x U ve ξ F dir. Benzer şekilde Ψ:π 1 (U) U Gdifeomorfizimolduğundanπ(u)=x,ϕ(u)=eolacakşekilde 19

27 birteku π 1 (U)vardır. π E ((u,ξ)g)=π(u)=x U olduğundan(u,ξ)g π 1 E (U) dur. θ nıntanımındanθ((u,ξ)g)=(x,ξ) U F dir. Böylece θ dönüşümü örten olur. Burada P F nin diferesiyllenebilir manifold olduğunubiliyoruz. Teorem2.3.1denE =P G F dediferesiyellenebilirmanifold olduğu görülür. Hatta θ i :π 1 E (U i) U i F derseka= {( π 1 E (U i),θ i )}i Λ ailesie=p GF ninbiratlasıdır(yılmaz1999). Tanım (Crosssection) E(M,F,G,P)ilişiklifdemetiolsun. π E :E=P G F M birprojeksiyonolduğunubiliyoruz. π E σ=idolacakşekildeσ:m Edönüşüm varsaσyacrosssectiondenir. Buradaσcrosssectionnınolmasıiçingerekveyeter koşulp demetuzayınınm Gdeaşikardemetolmasıdır(Kobayashi1996). Örnek M, n boyutlu bir diferensiyellenebilir manifold olsun. P M için T P (M) nin sıralı bir {X 1,X 2,...,X n } tabanına P noktasındaki lineer çatı denir ve u=(p;x 1,X 2,...,X n )ilegösterilir. P noktasındakibütünlineerçatılarıncümlesi L(M) ile gösterilir. Böylece L(M)={u=(P;X 1,X 2,...,X n ):P M,{X 1,X 2,...,X n }cümlesit P (M)detaban} olur. Ayrıca projeksiyon fonksiyonu π:l(m) M u=(p;x 1,X 2,...,X n ) π(u)=p olaraktanımlanır. M manifoldununbiratlası{(u α,ϕ α )} α Λ olsun. (U α,ϕ α )haritası 20

28 P U α noktasında(x { 1,x 2,...,x n )koordinatkomşuluğuileverilsin. } BöyleceT P (U α ) nın doğal tabanı,,..., olur. X 1,X 2,...,X n T P (U α ) olduğundan x 1 x 2 { x n } X i = n X ij yazılabilir.,,..., ve{x 1,X 2,...,X n }cümlelerit P U α j=1 x j x 1 x 2 x n databanolduğundandet[x ij ] n n 0dır. L(M)debirharitayı ψ α :π 1 (U α ) U α GL(n,R) u=(p;x 1,X 2,...,X n ) ψ α (u)= ( ϕ α (x 1,x 2,...,x n ),[X ij ] n n ) olaraktanımlarsak{(π 1 (U α ),ψ α )} α Λ cümlesininl(m)debiratlasolduğunugörürüz. BöyleceL(M)cümlesinindiferensiyellenebilirmanifoldveboy R L(M)=n 2 +nolduğu kolayca görülebilir. GL(n, R) grubunun bir Lie grubu olduğunu biliyoruz. u=(p;x 1,X 2,...,X n ) L(M) vea=[a ij ] n n GL(n,R)içinY j = n a ji X i i=1 v=ua=(p;y 1,Y 2,...,Y n ) olmak üzere θ:l(m) GL(n,R) L(M) (u,a) θ(u,a)=ua dönüşümü tanımlanırsa E1)u=(P;X 1,X 2,...,X n )için dir. BuradaY j = n i=1 θ a (u) = θ(u,a) = ua = (P;Y 1,Y 2,...,Y n ) a ji X i olduğundany j (j =1,2,...,n)lerdiferensiyellenebilirdir. Böylece a GL(n,R) için θ a diferensiyellenebilir dönüşümdür. a GL(n,R) [ Aij ] T ikena 1 = 1 deta GL(n,R)olur. Benzerşekildeθa 1 dediferensiyellenebilir olduğu görülür. Sonuç olarak θ a diffeomorfizim dir. Ayrıca a = I n = e alrsak 21

29 θ e (u)=ui n =uolduğunugörmekkolaydır. E2)EğerX=[X 1,X 2,...,X n ] 1 n matrisinialırsak u=(p;x 1,X 2,...,X n )=(P;[X 1,X 2,...,X n ])=(P;X) olduğunugösterebiliriz. Böylecea GL(n,R)içinua=(P;Xa)olduğunugörmek kolaydır. a,b GL(n,R)için u(ab) = (P;X(ab)) = (P;(Xa)b) = (P;Xa)b = ((P;X)a)b olur. Dolayısıyla GL(n, R) grubu L(M) manifoldu üzerinde sağ etkidir. ALD1) u=(p;x 1,X 2,...,X n ) L(M)vea=[a ji ] n n içinr a (u)=ua=uolsun. Budurumdaua=(P;Y 1,Y 2,...,Y n )olmaküzerey i =X i = n a ij X j (i=1,2,...,n) ve a i1 X 1 +a i2 X (a ii 1)X i +...+a in X n =0 elde edlir. {X 1,X 2,...,X n } cümlesi T P (M) taban olduğundan a i1 = a i2 =... = a i(i 1) = a i(i+1) =... = a in = 0, a ii = 1 ve a = [a ij ] n n = I n = e dir. Böylece GL(n, R) grubu L(M) manifoldu üzerinde sağdan serbest etkidir. ALD 2) L(M) manifoldu üzerinde denklik bağıntısını j=1 u = (P;X 1,X 2,...,X n ) v=(q;y 1,Y 2,...,Y n ) P =Qve a = [a ij ] n n GL(n,R) v=ua şeklinde tanımlayalım. Böylece u L(M) nin denklik sınıfı [u]={ua:a GL(n,R)} 22

30 olur. P M içinu=(p;x 1,X 2,...,X n ) ve v = (P;Y 1,Y 2,...,Y n ) lineer çatılarını alalım. {X 1,X 2,...,X n }ve{y 1,Y 2,...,Y n }cümlelerit P (M)debirertabanolduğundan(X 1,X 2,...,X n )[a ij ] n n =(Y 1,Y 2,...,Y n )olacakşekildea=[a ij ] n n GL(n,R) vardır. Böyleceu vveu=(p;x 1,X 2,...,X n )ikenunundenkliksınıfı [u]={(p;x 1,X 2,...,X n ):{X 1,X 2,...,X n } cümlesit P (M)detaban} olur. Böylece L(M) deki elemanların denklik sınıfının sadece M manifoldundaki noktalara bağlı olduğu görülür. Bu yüzden [u] denklik sınıfı ile P M noktaları arasında bire bir eşleme vardır. Sonuç olarak M=L(M)/GL(n,R) olur. Ayrıca (U α,ϕ α )haritası P = (p 1,p 2,...,p n ) U α noktasında (x 1,x 2,...,x n ) koordinatkomşuluğuileverildiğindex i (P)=p i dir. Böylece π:l(m) M u=(p;x 1,X 2,...,X n ) π(u)=p dönüşümü π(x 1,x 2,...,x n,x 11,X 12,...,X nn )=(x 1,x 2,...,x n ) (2.4.1) şeklinde de verilebilir. (2.4.1) den π nin diferensiyellenebilir dönüşüm olduğu açıktır. ALD3) P M noktasıiçinbiru M komşuluğunudüşünelim. P U noktası (x { 1,x 2,...,x n ) koordinat } komşuluğu ile verilsin. Böylece T P (U) nın doğal tabanı,,..., olur. X 1,X 2,...,X n T P (U) olduğundan X i = n X ij x 1 x 2 x n j=1 x j yazılabilir. Ψdönüşümünü Ψ:π 1 (U) U GL(n,R),Ψ(u)=(π(u),ϕ(u)) u=(p;x 1,X 2,...,X n ) Ψ(u)=(π(u),ϕ(u))= ( π(u),[x ij ] n n ) şeklindetanımlarsakϕ(u)=[x ij ] n n olur. Böylece Ψ(x 1,x 2,...,x n,x 11,X 12,...,X nn )= (x 1,x 2,...,x n,[x ij ] n n )olduğundandiferensiyellenebilirolduğugörülür. Ayrıcau= 23

31 (P;X 1,X 2,...,X n ), v=(q;y 1,Y 2,...,Y n ) π 1 (U)içinΨ(u)=Ψ(v)iken ( π(u),[xij ] n n ) = ( π(v),[yij ] n n ) olur. Böyleceπ(u)=P =Q=π(v)ve[X ij ] n n =[Y ij ] n n dir. Buikimatriseşit olduğundan X ij = Y ij ve X i = n X ij = n Y ij = Y i elde edilir. Böylece j=1 x j j=1 x j u=(p;x 1,X 2,...,X n )=(Q;Y 1,Y 2,...,Y n )=v veψbirebirdir. Ψninörtenliğide kolaycasöylenebilir. DolayısıylaΨ 1 vardırvex i = n X ij olmaküzere x j j=1 Ψ 1 :U GL(n,R) π 1 (U) Ψ 1 (Q,[X ij ] n n )=(Q;X 1,X 2,...,X n ) şeklindebirdönüşümdür. BuradaX ij diferensiyellenebilirisex i = n X ij diferen j=1 x j siyellenebilirvektöralanıdır. BöyleceΨ 1 diferensiyellenebilirbirdönişümdür. Böylece Ψ bir difeomorfizim ve π 1 (U) ile U GL(n,R) de difeomorfiktir. Diğer taraftan u=(p;x 1,X 2,...,X n )vea=[a ki ] n n içinua=(p;y 1,Y 2,...,Y n )vey i = n a ik X k idi. X k = n j=1 X kj x j eşitliğinden k=1 Y i = = = n a ik X k k=1 ( n n ) a ik X kj x j=1 j ( n n ) a ik X kj x j k=1 j=1 k=1 elde edilir. Böylece ϕ(ua) = [ n ] ϕ(ua)=ϕ(u)a= X ik a kj k=1 n n [ n ] X ik a kj ve ϕ(u) = [X kj ] n n olduğundan k=1 n n olduğunu görmek kolaydır. Bu işlemlerden sonra L(M)(M,GL(n,R))ninaslilifdemetiolduğunusöyleyebiliriz. BuradaL(M)yeM manifoldu üzerinde lineer çatının demeti diyeceğiz. 24

32 Ayrıcaa=[a ij ] n n GL(n,R)veξ T =(ξ 1,ξ 2,...,ξ n ) R n için ρ:gl(n,r) R n R n (a,ξ) ρ(a,ξ)=aξ=[a ij ] n n ξ 1 ξ 2. R n ξ n şeklindebirdönüşümtanımlarsakgl(n,r)grubununr n üzerinesoldanetkiolduğunu görmekkolaydır. BöyleceE=P G F =L(M) GL(n,R) R n olmaküzere L(M) R n (M,R n,gl(n,r),l(m)) ilişik lif demetidir.burada Φ:(L(M) R n ) GL(n,R) L(M) R n,φ((u,ξ),a)=(u,ξ)a=(ua,a 1 ξ) dönüşümünü tanımlarsak GL(n,R) grubu L(M) R n manifoldu üzerinde sağdan etkidir. π E :E=L(M) GL(n,R) R n M,π E ((u,ξ)gl(n,r))=π(u) projeksiyon olmak üzere P M için π 1 E (P) lifini hesaplıyalım. Her P M noktasını P U koordinat komşuluğu ile verelim. U nun koordinat fonksiyonları (x 1,x 2,...,x n )olsun. T P M teğetuzayınındoğaltabanı { },,..., x 1 x 2 x n olur. π 1 (U)ileU Gcümleleri Ψ(u)=(π(u),ϕ(u))dönüşümüaltındadifeomorfikolduğundanΨ(u)=(π(u),ϕ(u))=(P,e=I n )olacakşekildebirteku L(M) vardır. π(u)=pikent P (M)ninbir{X 1,X 2,...,X n }bazıiçinu=(p;x 1,X 2,...,X n ) 25

33 olarakyazıyorduk. BuradaX i = n j=1 X ij x j olsun. Diğertaraftan ϕ(u)=[x ij ] n n =I n olduğundan 1 i=j X ij =δ ij = 0 i j olur. Böylece X 1 =,X 2 =,...,X n = ve u = (P;, x 1 x 2 x n x 1 olur. Yukarıdayaptığımızişlemleraltındaξ=(ξ 1,ξ 2,...,ξ n ) R n için x 2,..., x n ) α:π 1 E (P) T P(M) (u,ξ)gl(n,r) α((u,ξ)gl(n,r))=ξ 1 ( x 1 ) P ( ) ( ) +ξ ξ x n 2 P x n P olarak tanımlayalım. α dönüşümü iyi tanımlı birebir ve örtendir. Kabul edelimki (u,ξ)gl(n,r)=(u,η)gl(n,r)olsun. Budurumda a GL(n,R) (u,η)=(u,ξ)a dır. Böylece (u,η) = (u,ξ)a = (ua,a 1 ξ) ve u = ua, η = a 1 ξ olur. GL(n,R) grubu L(M) manifoldu üzerinde soldan serbest etki olduğundan R a (u) = ua = u iken a = e dir. Böylece η = ξ ve α((u,ξ)gl(n,r))=α((u,η)gl(n,r))olduğunugörmekkolaydır. Yani α:π 1 E (P) T P(M) dönüşümü iyi tanımlıdır. Benzer şekilde α((u,ξ)gl(n,r))=α((u,η)gl(n,r)) 26

34 olsun. ve α((u,ξ)gl(n,r))=x=ξ 1 x 1 +ξ 2 x ξ n x n α((u,η)gl(n,r))=η 1 x 1 +η 2 x η n x n dersek ξ 1 +ξ x ξ 1 x n =η 2 x 1 +η n x η 1 x n 2 x n { } olur.,,..., lineerbağımsızolduğundanξ x 1 x 2 x 1 =η 1,ξ 2 =η 2,...,ξ n =η n n veξ=ηdır. Böylece (u,ξ)gl(n,r)=(u,η)gl(n,r) olur. Yani α dönüşümü birebirdir. Ayrıca her ( ) ( ) ( ) X=ξ 1 +ξ x ξ 1 P x n 2 P x n P T P (M) içinξ=(ξ 1,ξ 2,...,ξ n ) R n yazabiliriz. Böyleceα((u,ξ)GL(n,R))=X olur. Buda bizeαnınörtenolduğunusöyler. Bueşlemedendolayıπ 1 E (P)=T P(M)olduğunu düşünebiliriz. BöylecestandartlifiR n olanl(m)yeilişiklifdemetinint(m)olduğu kolayca görülebilir(yılmaz 1999). Sonuç P M,{X 1,X 2,...,X n }cümlesit P (M)detabanolmaküzereu= (P;X 1,X 2,...,X n ) L(M) idi. Burada {X 1,X 2,...,X n } tabanını Gram-Schmidt metodu ile ortonormal hale getimek için E 1 = X 1 E 2 = X 2 X 2,E 1 E 1 2 E 1=X 2 λ 21 E 1 E 3 = X 3 X 3,E 1 E 1 2 E 1 X 3,E 2 E 2 2 E 2=X 3 λ 31 E 1 λ 32 E 2... E n = X n n 1 k=1 X n,e k E k 2 E n 1 k=x n λ nk E k k=1 27

35 ve X 1= E 1 E 1 2,X 2= E 2 E 2 2,...,X n= E n E n 2 işlemlerini yapmalıyız. Yukarıdaki eşitlikleri ve E 1 =X 1, E 2 =X 2 X 2,E 1 E 1 2 E 1= λ 21 X 1 +X 2 E 3 = X 3 X 3,E 1 E 1 2 E 1 X 3,E 2 E 2 2 E 2 = λ 31 X 1 λ 32 E 2 +X 3 = λ 31 X 1 λ 32 ( λ 21 X 1 +X 2 )+X 3 = (λ 32 λ 21 λ 31 )X 1 λ 32 X 2 +X 3 şeklinde düşünüp işlemleri devam ettirdiğimizde E k =µ k1 X 1 +µ k2 X µ k(k 1) X k 1 +X k, (k=1,2,...,n) eşitliklerini elde ederiz, burada µ ki =µ ki (λ k1,..., λ k(k 1,) λ (k 1)1,..., λ (k 1)(k 2),...,λ 31,λ 32,λ 21 ) katsayıları λ nk ların çarpım ve toplamlarının fonksiyonlarıdır. {X 1,X 2,...,X n } tabanını{x 1,X 2,...,X n }ortonormaltabanınadönüştürenmatrised u dersekbumatrisi D u = 1 µ 21 µ 31 E 1 2 E E 2 2 µ 32 E E E µ n1 E n 2 µ n2 E n 2 µ n3 E n E n 2 (2.4.2) 28

36 olarakeldeederiz. Burada[X 1,X 2,...,X n ]D u çarpımınıhesaplarsak [X 1,X 2,...,X n ]D u = [X 1,X 2,...,X n ] = [X 1,X 2,...,X n ] 1 µ 21 µ 31 E 1 2 E E 2 2 µ 32 E E E µ n1 E n 2 µ n2 E n 2 µ n3 E n E n 2 olur. Buişlemleraltındau=(P;X 1,X 2,...,X n ) L(M)vea O(n)için ua=(p;xd u ad 1 u ) olaraktanımlayalım. θ:l(m) O(n) L(M) θ:l(m) O(n) L(M) (u,a) θ(u,a)=ua şeklinde bir dönüşüm tanımlarsak O(n) ortogonal grubunun L(M) manifoldu üzerinde sağ etki olduğunu görürüz. Gerçekten H 1)λ nk = X n,e k E k 2 olduğundan diferensiyellenebilirdir. µ ki ler λ nk lerin çarpımları ve toplamları şeklinde fonksiyonlar olduğundan µ ki de diferensiyellenebilirdir. BöyleceD u nundiferensiyellenebiliroperatörolduğu(2.4.2)denaçıktır. Ayrıca detd u = 1 E 1 2 E E n 2 0 olduğundan D 1 u vardır ve benzer şekilde diferensiyellenebilir operatör olduğunu söyleyebiliriz. Sonuç olarak her a O(n) için θ a (u) = θ(u,a) = ua = (P;XD u ad 1 u ) 29

37 olduğundanθ a diferensiyellenebilirolur. Diğertaraftan θ e (u)=(p;xd u ed 1 u )=(P;X)=u elde edilir. H2) u(ab) = (P;XD u abd 1 u ) = (P; ( XD u ad 1 u = (P; ( XD u ad 1 u = ((P;X)a)b ) Du bd 1 ) )b u ) olur. BuradaE=P GL(n,R) R n =P O(n) R n olduğunugörmekkolaydır. Böylece yapı grubu GL(n, R) den O(n) ortogonal grubuna indirgenebilir(walschop 2004). 2.5 Vektör Demeti Olarak Yönlendirilebilme ve Dağılım Tanım E(M,R n,gl(n,r),l(m))ilişiklifdemetiverilsin. ŞayetL(M)üze rindekigl(n,r)yapıgrubugl + (n,r)indirgenebiliyorsar n lifiilebirliktemmani foldu üzerindeki E = T(M) manifoldu vektör demeti olarak yönlendirilebilir dir denir. Sonuç den GL(n, R) yapı grubunun O(n) ortogonal grubuna indirgendiğini biliyoruz. Bu yüzden vektör demeti olarak yönlendirmeyi; L(M) üzerin dekio(n)ortogonalyapıgrubunuso(n)grubunaindirgenebiliyorsar n lifiilebirlikte M manifoldu üzerindeki E = T(M) manifoldu vektör demeti olarak yönlendirilebilirdir şeklinde de yapabiliriz(blair 1976). Teorem E(M,R n,gl(n,r),l(m))ilişiklifdemetindet(m)teğetdemeti (tangent bundle) vektör demeti olarak yönlendirilebilirdir ancak ve ancak M cümlesi manifold olarak yönlendirilebilirdir(blair 1976). İspat. Kabul edelimki T(M) teğet demeti vektör demeti olarak yönlendirilebilir 30

38 olsun. M diferensiyellenebilirmanifoldolduğundan{(u α,ϕ α )} α Λ şeklindebiratlası vardır. α,β Λiçin(U α,ϕ α ),(U β,ϕ β ) koordinatkomşuluklarınıalalım. Bukoordinat komşuluklarının P U α U β noktasındaki koordinat fonksiyonları sırasıyla (x 1,x 2,...,x n )ve(y 1,y 2,...,y n )olsun. Böylece ϕ α (U α )=V α R n, ϕ β (U β )=V β R n olmaküzerep 1 =ϕ α (P) V α noktasındakiteğetuzayınstandartbazı { },,..., x 1 x 2 x n vep 2 =ϕ β (P) V β noktasındakiteğetuzayınstandarttabanıda olur. ( ) E ip =(ϕ α ) 1 P x i dersek {E 1P,E 2P,...,E np } ile cümleleri T P (M) nin birer tabanıdır. { },,..., y 1 y 2 y n veẽ ip = ( ( ) 1 ϕ β P y i {Ẽ1P,Ẽ 2P,...,Ẽ np } u=(p;e 1P,E 2P,...,E np ),v= ) ( ) P;Ẽ1P,Ẽ2P,...,ẼnP L(M) alırsaktmvektördemetiolarakyönlendirilebilirolduğundan a=[a ij ] GL + (n,r) içinv=uadır. Böylece n Ẽ ip = a ji E jp j=1 olur. Diğer taraftan J(ϕ α ϕ 1 β )=[a ij]=a olduğu görülür. Bunu α,β Λ için yapabiliriz. Bu durumda bu atlas uygun yönlendirilmiştir. Teorem den M manifoldunun yönlendirilebilir olduğu görülür. M cümlesi manifold olarak yönlendirilebilir olduğunda yukarıdaki işlemlerin tersine gidildiğinde T(M) teğet demeti vektör demeti olarak yönlendirilebilir olduğu görülür. 31

39 Tanım (Dağılma) m = (n+k)-boyutlu M manifoldu verilsin. P M noktasında :M q M T q M P (P)= P olmak üzere P cümlesi T P M nin n boyutlu alt uzayı olsun. Üstelik P M noktasınınbiru komşuluğunda Q U için Q nunbirbazı {(X 1 ) Q,(X 2 ) Q,(X 3 ) Q,...,(X n ) Q } olacakşekildec vektöralanlarıx 1,X 2,X 3,...,X n varolsun. Budurumda yam manifoldunun n düzlem dağılması(distributionu) denir(boothby 1986). Tanım2.5.3.(İntegralAltmanifold)m M manifoldununc n düzlemdistributionu olsun. N manifoldum manifoldununbağlantılıc altmanifolduolmak üzere Q U içint P N Q oluyorsan manifoldunan düzlemdistributionu nın integral altmanifoldu denir(boothby 1986). Teorem m=(n+k)-boyutlum manifolduverilsin. dam manifoldunun n düzlem distributionu olsun. Bu durumada T M tanjant demetinin yapı grubu GL(m,R)denG=GL(n,R) GL(k,R)altgrubunaindirgenebilir(Blair1976). İspat: A GL(n,R),B GL(k,R)olmaküzerea= A 0 0 B ve u=(p;x 1,X 2,...,X n,x n+1,...,x n+k ) L(M) için ua=(p;[x 1,X 2,...,X n ]A,[X n+1,...,x n+k ]B) olaraktanımlayıpörnek.2.4.1dekiişlemelerinbenzerleriniyaparsak,standartlifir n 32

40 olanl(m)yeilişiklifdemetinint(m)olduğunugörülebilir. Burada Ψ:GL(n,R) GL(k,R) GL(m,R) (A,B) Ψ(A,B)= A 0 0 B şeklinde bir dönüşüm tnımlarsak Ψ nin grup monomorfizmi olduğunu görmek kolaydır. Böylece M manifoldunun yapı grubunu GL(n, R) GL(k, R) olarak görebiliriz. 2.6 Hodge Yıldız Operatörü Tanım (Hodge Yıldız Operatörü)(V,, F, +,., ) n-boyutlu vektör uzayı vebuuzayda g demetrikolsun. Buuzayınortogonalbirtabanını{σ 1,σ 2,...,σ n } olarakalalım. DolayısıylaΛ s V uzayınınbirtabanı { σ i 1 σ i 2... σ is :1 i 1 i 2... i s n } dir(boothby1986). Λ s V debir g s metriğialalım. BiliyoruzkiboyΛ s V = dir. Şimdisabitbirλ Λ p V için n s h λ : Λ n p V Λ n V : µ h λ (µ)=λ µ olaraktanımlıyalım. σ=σ 1 σ 2... σ n dersek λ µ=g p ( λ,µ)σ (2.6.1) eşitliğinisağlayanbir λ Λ n p V elemanıvardır. Burada :Λ p V Λ n p V λ λ dönüşümü lineer bir dönüşümdür. Bu yıldız dönüşümündeki operatörüne Hodge 33

41 yıldızoperatörüdenir. Buoperatörlineerolduğundanλ=σ i 1 σ i 2... σ ip olarak alıpincelememizyeterliolacaktır. Kabuledelimki λ=cσ i p+1 σ ip σ in olsun. (2.6.1)eşitliği µ Λ n p V içinsağlandığındanözelolarakµ=σ i p+1 σ i p+2... σ in alırsak λ µ = (σ i 1 σ i 2... σ i p ) (σ i p+1 σ ip σ i n ) = g(cσ i p+1 σ ip σ in,σ i p+1 σ ip σ in )σ = cg(σ i p+1 σ i p+2... σ i n,σ i p+1 σ ip σ i n )σ = cσ eldeedilir. Ayrıcaθ= n i 1 i 2... i n olmak üzere λ µ = (σ i 1 σ i 2... σ ip ) (σ i p+1 σ ip σ in ) = sgn(θ)σ 1 σ 2... σ n = sgn(θ)σ eşitliğine ulaşırız. Böylece cσ = sgn(θ) σ eşitliğinden c = sgn(θ) eşitliğine ulaşırız. Dolayısıyla λ=sgn(θ)σ i p+1 σ i p+2... σ in (2.6.2) olarak bulunur. Şimdi ( λ) nın neye eşit olduğunu araştıralım. θ = n p n p+1... i p+1 i p+2... i n i 1... n i p olmak üzere ( λ)=sgn(θ )σ i 1 σ i 2... σ ip (2.6.3) olur. Buradaλ=σ i 1 σ i 2... σ ip veµ=σ i p+1 σ ip σ in dersek λ µ=( 1) p(n p) µ λ 34

42 dır. Dolayısıyla, ( λ) ( λ) = ( 1) p(n p) ( λ) ( λ) σ i 1... σ ip σ i p+1... σ in = ( 1) p(n p) σ i p+1... σ in σ i 1... σ ip sgn(θ)σ 1 σ 2... σ n = ( 1) p(n p) sgn(θ )σ 1 σ 2... σ n dir. Son eşitlikden sgn(θ ) = ( 1) p(n p) sgn(θ) elde edilir. Bunu (2.6.3) de yerine yazarsak ( λ)=( 1) p(n p) sgn(θ)σ i 1 σ i 2... σ ip olur. (2.6.2)den ( λ)=( 1) p(n p) λ (2.6.4) sonucunaulaşırız. Ayrıcatanımdan λ,µ Λ p V olmaküzere λ ( µ)=µ ( λ) olduğunu görmek kolaydır(aubin 2001). Sonuç λ Λ p V ve φ Λ n p V için λ φ = g p ( λ,φ)σ ve φ λ = g n p (λ, φ)σdir. Böylece g p ( λ,φ)=( 1) p(n p) g n p (λ, φ) olduğunu görmek kolaydır. Sonuç (V,,F,+,., )n+1-boyutluvektöruzayıolsunvebuuzayabir g metriği koyalım. Bu uzayın ortogonal bir bazını {σ 1,σ 2,...,σ n+1 } alalım. Böylece Λ n V uzayınınbirbazı{σ i 1 σ i 2... σ i n :1 i 1 i 2... i s n}ve boyλ n V = n+1 =n+1 n 35

43 olur. Burada Hodge yıldız operatörü :Λ n V Λ n V şeklindebirdönüşümdür. σ i 1 σ i 2... σ in Λ n V içinθ= olmak üzere ( σ i 1 σ i 2... σ in) =sgn(θ)σ i n n n+1 i 1 i 2... i n i n+1 olduğunubiliyoruz. Böyleceα j = n+1 i=1 n+1 α 1 α 2... α n = i=1 a ji σ i V vektörleriiçin a 1i1 a 2i2...a nin σ i 1 σ i 2... σ in olur ve (α 1 α 2... α n )= θ S n+1 sgn(θ)a 1θ(1) a 2θ(2)...a nθ(n) σ θ(n+1) eşitliğieldeedilir. Diğertaraftan n+1 i=1 det(σ i,α 1,α 2,...,α n )σ i değerinihesaplarsak n+1 i=1 det(σ i,α 1,α 2,...,α n )σ i = = n+1 i=1 n+1 n+1 n+1 det(σ i, a 1i1 σ i 1, a 2i2 σ i 2,..., i,i 1,...,i n =1 i 1 =1 i 2 =1 n+1 i n =1 a 1i1 a 2i2...a nin det(σ i,σ i 1,σ i 2,...,σ in )σ i a nin σ in )σ i olur. Buradaθ= n n+1 i 1 i 2... i n i dersek n+1 i=1 det(σ i,α 1,α 2,...,α n )σ i = θ S n+1 sgn(θ)a 1θ(1) a 2θ(2)...a nθ(n) σ θ(n+1) olur. Böylece n+1 (α 1 α 2... α n )= i=1 det(σ i,α 1,α 2,...,α n )σ i 36

44 eşitliğini elde ederiz. Bu eşitliğin bir sonucu olarak (α 1 α 2... α n ) α j (j=1,2,...,n) diyebiliriz. Çünkü ( n+1 g 1 ( (α 1 α 2... α n ),α j ) = g 1 = = n+1 i,k=1 n+1 i=1 i=1 det(σ i,α 1,α 2,...,α n )σ i, n+1 k=1 a jk det(σ i,α 1,α 2,...,α n )g 1 ( σ i,σ k) a ji det(σ i,α 1,α 2,...,α n ) n+1 = det( a ji σ i,α 1,α 2,...,α n ) i=1 = det(α j,α 1,α 2,...,α n ) = 0 a jk σ k ) olur.benzer şekilde g 1 ( (α 1 α 2... α n ),β)=det(β,α 1,α 2,...,α n ) eşitliğini de kolayca ispatlayabiliriz. Sonuç V nindualuzayıv vev ındualtabanı {( σ 1 ), ( σ 2 ),..., ( σ n+1 ) } olsun. Bu bölümde notasyon olarak şapkalı terimi yok sayacağız. V vektör uzayında Φ={α 1,α 2,...,α i 1,α i,α i+1,...,α n+1 } cümlesilineerbağımsızolmaküzere,u =sp{α 1,α 2,...,α i 1,α i,α i+1,...,α n+1 }der- 37

45 sek(u,,f,+,., )altılısıv ninbiraltvektöruzayıdır. U nunkeyfibirbazı Ψ= { β 1,β 2,...,β i 1,β i,β i+1,...,β n } olsun. Bu durumda ω i = (( σ i) )( β1,β 2,...,β i 1,β i,β i+1,...,β n ) ve olarak tanımlayalım. Burada θ = n+1 ω= i=1 ω i σ i i 1 i i+1... n+1 i 1 2 i 2 i 1 i+1... n+1 = (1,i,i 1,...,3,2) = (1,2)(1,3)(1,4)...(1,i 1)(1,i) olarak tanımlarsak (( σ i) ( ) (σ = sgnθ 1 )... ( σ i 1) ( ) σ i ( ) σ i+1 ( ) )... σ n+1 = ( 1) i 1 ( (σ 1 )... ( σ i 1) ( σ i ) ( σ i+1)... ( σ n+1) ) olur. Ayrıcaα j = n+1 i=1 a ij σ i olmaküzere ω i = (( σ i) ) ( α 1,α 2,...,α i 1, α i,α i+1,...,α n+1 ) = ( 1) i 1 ( ( σ 1) ( )... σ i ( )... σ n+1 )(α1,..., α i,...,α n+1 ) şeklinde tanımlayalım. Burada şapkalı terim olmayan terimdir. Böylece S n = i 1 i i+1... n+1 θ = θ (1) θ (2) θ (3)... θ (i 1) i θ (i+1)... θ (n+1) 38

46 dersek ω i=( 1) i 1 sgnθ. θ S n ( (σ ) θ (1) (σ θ (α1 ))...( ) ) (i 1) (αi 1 ). ( (σ ) θ (i+1) (σ θ (αi+1 ))...( ) ) (n+1 (αn+1 ) ve ω = = = = n+1 i=1 n+1 i=1 n+1 i=1 n+1 i=1 ω iσ i ( (σ ( 1) ) θ (1) (σ (α1 ))...( ) ) θ (i 1) (αi 1 ). i 1 sgnθ. ( (σ ) θ (i+1) (σ θ θ S n (αi+1 ))...( ) ) (n+1 (αn+1 ) ( 1) i 1 ( ) ( aθ sgnθ. (1)1... aθ (i 1)(i 1)) σi θ S n ( ) ( aθ (i+1)(i+1)... aθ (n+1)(n+1)) ( 1) i 1 det(σ i,α 1,α 2,...,α i 1,α i+1,...,α n+1 )σ i = (α 1 α 2... α i 1 α i+1... α n+1 ) σ i eşitlikleri elde edilir. Diğer taraftan Φ bazından Ψ bazına geçiş matrisine A dersek ( (σ i ) ) n formualterneolduğundam ω i = (( σ i) ) ( α 1,α 2,...,α i 1, α i,α i+1,...,α n+1 ) = (deta) (( σ i) )( β1,β 2,...,β i 1,β i,β i+1,...,β n ) = (deta)ω i ve ω = n+1 i=1 = deta ω i σi n+1 i=1 = (deta)ω ω i σ i 39

47 olur. Böylece (deta)ω = (α 1 α 2... α i 1 α i+1... α n+1 ) = (deta) ( β 1 β 2... β i 1 β i β i+1... β n ) ve ω= ( β 1 β 2... β i 1 β i β i+1... β n ) eldeedilir. Sonuçolarakherβ U için n β= λ i β i yazabiliriz ve i=1 g(ω,β) = g 1 ( ( β 1 β 2... β i 1 β i β i+1... β n ),β) = g 1 ( ( β 1 β 2... β i 1 β i β i+1... β n ), n = = 0 n λi i=1 i=1 λ i β i ) g 1 ( ( β 1 β 2... β i 1 β i β i+1... β n ),βi ) olur. Böyleceω U olduğugörülür. 2.7 Flow, 1-Parametreli Grup ve Lie Türevi Tanım (Flow, 1-Parametreli grup) M bir diferansiyellenebilir manifold olmak üzere, ϕ : M R M : (m,t) ϕ(m,t)=ϕ m (t) 40

48 dönüşümü,m M vet,s Riçin i) ϕ(m,0)=m (2.7.1) ii)ϕ(ϕ(m,t),s)=ϕ(m,t+s) (2.7.2) şartlarınısağlıyorsa ϕ yem manifolduüzerindebirflowdenir. Buradamiletnin yerlerinideğiştirirsekθ t (m)=ϕ m (t)dönüşümünüeldeederiz.(θ t ) e I cümlesibileşke işlemine göre bir gruptur. Bu gruba 1-Parametreli grup denir. Ayrıca burada I Rcümlesidebiraralıktır(Boothby1986). Tanım (İntegral Eğrisi) θ t bir M manifoldu üzerinde 1-Parametreli grup olsun. X χ(m)olmaküzere dθ t dt (m)=x(θ t(m)) (2.7.3) şartısağlanıyorsaθ t yex vektöralanınınintegraleğrisidenir(boothby1986). Tanım2.7.3.(LieTürevi)L X Y vektöralanınax iny yönündelietürevidenir. L X Y Lietürevi P M noktasındatanımlıdırve (L X Y) P =lim t 0 1[ ] (θ t ) (Y θt(p)) Y P t (2.7.4) olaraktanımlanır. Buradaθ t 1-Parametreligrubu,X vektöralanınınintegraleğrisidir(boothby 1986). Tanım (Lie Cebiri).gl = {V,,R,+,, } birreel vektör uzayı olsun. gl üzerinde bilineer operatör [,] : gl gl gl (2.7.5) : (X,Y) [,](X,Y)=[X,Y] olarak tanımlansın. Şayet bu operatör 41

49 i) [X,Y]= [Y,X](ters-simetrik) ii)[[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y] 0(Jacobiözdeşliği)özeliklerinisağlıyorsa [,]yebraketoperatörüve(gl,[,])ikilisinelie cebiridenir. Bucebirikısacagl ile gösteririz(hacısalihoğlu 2000). Teorem XveY vektöralanlarımmanifolduüzerindec vef C (M,R) olmak üzere L X f =X(f) (2.7.6) (L X Y) P =[X,Y] P (2.7.7) dir(boothby 1986). Tanım (Tensör Alanlarının Lie Türevi). M manifoldu üzerinde(ψ, U) haritasını alalım. X,UüzerindeC vektöralanıves Tens (p,q) (U)tipindetensöralanıolmak üzere m M için L X S=lim t 0 1[ ] (θ t ) (S θt (m)) S m t (2.7.8) olaraktanımlanır. Buradaθ t 1-Parametreligrubu,X vektöralanınınintegraleğrisidir. AyrıcaTens (p,q) (U)denkastımız Tens (p,q) (U)= S:(T PU)... (T P U) }{{} T P U... T P U }{{} p tane q tane şeklindeki lineer dönüşümler cümlesidir(boothby 1986). p+q lineer R Tanım (Kontraksiyon Operatörü). BirA Tens (p,q) (U) tensörünün r yincive s yincielemanlarıboyuncakontraksiyonuc r sa Tens (p 1,q 1) (U)şeklinde bir diğer tensördür ve C r sa(α 1,...,α r 1,α r+1,...,α p,x 1,...,x s 1,x s+1,...,x q ) = A(α 1,...,α r 1,e a,α r+1,...,α p,x 1,...,x s 1,e a,x s+1,...,x q ) 42

50 olarak tanımlanır. Burada {e i } 1 i n cümlesi χ(u) uzayının bir bazı ve {e i } 1 i n cümlesideχ(u) uzaylarınındualbazıdır(o Neill1983). Örnek a)ϖ Tens (0,1) (U),x Tens (1,0) (U)tiplitensörlerolmaküzere C 1 1ϖ x=ϖ(x) (2.7.9) dir. b)f Tens (0,2) (U),X Tens (1,0) (U)veY Tens (1,0) (U)tensörlerolmaküzere C 1 1((C 1 1F X) Y)=F(X,Y) (2.7.10) dir. Buna benzer pek çok örnek verilebilir. Teorem H Tens (p,q) (U),K Tens (t,s) (U)veX χ(u)olmaküzere L X (H K)=(L X H) K+H (L X K) (2.7.11) L X (C r sh)=c r sl X (H) (2.7.12) dir (Kobayashi1996). Burada (2.7.8) den Lie türevini hesaplamak kolay değildir. (2.7.11) ve(2.7.12) denklemlerini kullanarak Lie türevini daha kolay hesaplayabiliriz. Örnek M bir diferansiyellenebilir manifold ve g de M de (0,2) tipli bir metrikolsun. Şimdi X,Y,Z χ(m)için(l X g)(y,z)değerinihesaplıyalım. ( L X C 1 1 ((C1g Y) Z) ) ( 1 = C1L 1 X (C 1 1 g Y) Z ) = C1(L 1 X (C1g Y)) Z+C 1 1(C 1 1g Y) L 1 X Z = C1(C 1 1L 1 X (g Y)) Z+C1(C 1 1g Y) L 1 X Z = C1 1 (C1 1 ((L Xg) Y) Z+C1 1 (C1 1 (g L XY)) Z +C1(C 1 1g Y) L 1 X Z 43