İŞ-ENERJİ. Dengelenmemiş net kuvvetin parçacığın yörüngesi boyunca kattettiği eğrisel yola göre integrasyonu işi verir.

Transkript

1 İŞ-ENEJİ Dengeleneiş ne kuvvein paçacığın yöüngesi boyunca kaeiği eğisel yola göe inegasyonu işi vei. yöünge F i = F F n A A s n küleli paçacığın üzeine ekiyen ü kuvvelein bileşkesi F i = F olsun. Bu eki alında paçacığın yöünge üzeinde A dan A ye kada gideek geçekleşidiği difeansiyel d ye değişiesi sıasında yapılan iş du = F d () olaak anılanı. du = F d cosα F cosα = du = F ds () du = Fcos αds Buadan anlaşılakadı ki F nin eğesel bileşeni iş yapa F n ise iş yapaz; çünkü F n ile d aasındaki açı 90 di. Buadan işin skale bi büyüklük olduğu göülekedi. bileşeni, d yedeğişiesi ile aynı yönde ise iş poziif, es yönlüyse iş negaif olu. Biii [U]=N.=joule dü. Paçacığın yöünge boyunca s den s ye kada sonlu yedeğişiesi sıasında yapılan opla iş, U = s F d = s ds (3) foülüyle veili. Eğe kuvvein eğesel bileşeni ile s yolu aasındaki bağını aeaiksel olaak beliliyse iş, (3) foülüyle hesaplanı. Böyle bi bağını deney veileiyle yaklaşık olaak elde edilişse iş, nüeik veya gafik inegasyon yöneleiyle s eğisi alındaki kapalı alanın hesaplanasıyla bulunu.

2 Paçacık, üzeine ekiyen F, F,..., F kuvvele siseinin ekisinde d difeansiyel deplasanını geçekleşiiyosa bu esnada yapılan opla iş ek ek he bi kuvvein yapığı işlein oplaına eşii. du = F d + F d + F d F d du = ( F + F + F F ) d 3 3 du = Fi d Fi = F = Fx i + Fy j + Fz k i= d = xi + yj + zk du = i= ( F i + F j + F k) ( dxi + dyj + dzk) x y du = F dx + F dy F dz (4) x y + z z Bİ YAYIN İŞİ s s ds du = F ds Bi cisin üzeine uygulanan değişken kuvvein yapığı işe önek olaak haeke edebilen bloğa bağlı doğusal bi yayın ekisi göseilebili. F F F=kx F=kx x x x x F=kx P P x x x x F=kx Geileiş konu (a) Geiliş konu Sıkışıılaış konu Sıkışıılış konu (b) Bloğun P kuvveiyle çekilip yayın x kada uzaası (a) veya yine P ile sıkışıılıp x kada kısalası (b) halinde yayın cise uyguladığı kuvve cisin yedeğişiesi ile es yönlü olduğu için yayın yapığı iş negaif ( ) olu.

3 ( x x ) x U = F dx = kxdx = k (5) x Buna kaşılık önceden geiliş veya basılış bi yayın sebes hale geçesi esnasında kendisine bağlı olan cise uyguladığı kuvve ye değişie ile aynı yönde olduğu için yayın yapığı iş poziif (+) olu. F=kx bağınısı saik bi bağınıdı. Yayın dinaik davanışını hassas bi biçide inceleek için yay külesini de hesaba kaak geeki. Bu kaaşık bi pobledi. Ancak yayın külesi ona bağlı olaak incelenen diğe küle veya külele yanında küçük ise saik bağınının kullanılasında sakınca yoku. İŞ-KİNETİK ENEJİ BAĞINTISI () s d F n a α F = Fi = a () s Paçacığın kineik enejisi; T = v (6) olaak anılanı. n Diğe bi deyişle küleli paçacığın duuşan v hızına geiilesi için yapılan opla işi. Biii yine joule du ve kineik eneji daia poziifi. Paçacığın () konuundan () konuuna gelene kada yapılan işi yazacak olusak, = Fd = ad U a d = U a d cos α = a dscosα = = 443 a s v = ad = a ds = vdv = s v ( a cosα ) ds = a ds a ds vdv v v = T T U = v v = T T (7 ) U =ΔT (7) (7) bağınısından () konuundan () konuuna gelene kada paçacığa ekiyen ü kuvvelein yapığı işin oplaı bu iki noka aasındaki kineik eneji değişi ikaına eşi olduğunu göüüz. T poziifi aa ΔT poziif, sıfı veya negaif olabili.

4 İş, kineik enejideki değişe ikaına eşii. Foülün önei veya uygunluğu ise yapılan işle paçacığın ilk ve son hızlaı aasında bağını kuasıdı (iveyi alayaak) ve foül yalnızca iş yapan kuvvelei gözönüne alı. GÜÇ (POWE) Bi akinanın kapasiesi, iş göe hızı veya eneji ilee hızı ile ölçülü. Sadece opla iş veya eneji çıkısı kapasie ölçüsü için yeeli değildi. Çünkü, öneğin bi oo küçük de olsa yeeince uzun süe çalışıılısa büyük ikada eneji üeebili. Bu nedenle güç kısaca iş yapa hızı olaak adlandıılı. Eğe U, F' in yapığı işi sigelese, bu kuvve aafından gelişiilen güç, du P U& F & = = = = F v P = F v (8) d olaak anılanı. Güç de iş gibi skale bi niceliki ve biii işin biii bölü zaandı: SI da [ ] [ U] [] joule P = = = wa s 0 3 wa= kw 0 6 wa= MW 0 9 wa= GW 75 kg f /s=(75 9.8) N/s=736 W= BG Foüldeki v, F kuvveinin uygulaa nokasının hızıdı. Benze biçide ω açısal hızına sahip bi cisi üzeine ekiyen M oeni (kuplu) aafından gelişiilen güç: P = U& = M ω (8 ) VEİM (EFFICIENCY) Bii zaanda akinanın yapığı işin (üeiği enejinin) akina üzeine yapılan işe (akinanın hacadığı eneji) oanıdı. Bu anı akina içinde eneji üeen veya eneji yuan başka bi kaynak oladığı süece geçelidi. Vei daia den küçükü, çünkü he akina bi ika eneji kaybıyla çalışı. Makinanın haekeli paçalaı aafından oluşuulan kineik süüne kuvveleinin neden olduğu negaif iş daia eneji kaybına yol aça. Bu negaif işin bi kısı ısıya dönüşeek çeveye dağılı. Hehangi bi anda ekanik vei şöyle belileni: Pç ıkı Pou e = = (9) Pgidi Pin Mekanik süünele nedeniyle kaybolan eneji yanında bi sisede eik ve elekiksel eneji kayıplaı da söz konusu olabili. Bu duuda, e e e : eik vei : elekiksel vei Topla vei : e=e e e e (0)

5 POTANSİYEL ENEJİ (7) ve (7 ) bağınılaı veilen iş-kineik eneji ilişkilei yadııyla poble çözülüken paçacığın SCD si çizilip ona dışaıdan ekiyen gaviasyon kuvveleinin, yay kuvveleinin ve diğe ü kuvvelein yapığı iş ayı ayı hesaplanı. Oysa gaviasyon ve yay kuvveleinin işlei poansiyel eneji kavaıyla açıklanıp ifade edili ve hesaplanısa biçok poblein çözüü çok kolaylaşı. GAVİTASYON (YE ÇEKİMİ) POTANSİYEL ENEJİSİ Yeyüzüne yakın yükseklik içinde (düşük iifalada) g ve dolayısıyla g sabi alı. Bu bölgede küleli paçacığının haekeini inceleyeli. Paçacığı bulunduğu başlangıç konuundan h kada yükseğe çıkaak için yein çeki alanına kaşı yapılan ve gh a eşi olan iş onun gaviasyon poansiyel enejisidi. Bu bağınıda keyfi olaak başlangıç nokasında paçacığın poansiyel enejisi sıfı kabul edilişi. V g =gh g V g =0 h ve V g =gh g h yüksekliğinden daha yukaıdaki h yüksekliğine çıkışa gaviasyon poansiyel enejisindeki değişi; ΔV g =g(h h )=gδh olu. Bu esnada ye çeki kuvveinin paçacık üzeine yapığı iş gδh. Diğe bi deyişle ye çeki kuvveinin yapığı iş, poansiyel enejideki değişiinin negaif değeine eşii.

6 YÜKSEK İTİFALADA YEÇEKİM KUVVETİNDE ve POTANSİYEL ENEJİDEKİ DEĞİŞİM Yein çeki alanı içinde yeden yükseklike (iifada) büyük değişiklikle olduğu akdide ye çeki kuvvei olan G = e = g aık yukaıdaki gibi g sabi kalaz, ile değişi (yein ekezinden olan esafeye bağlı olaak). e Paçacığın konuunun den ye kada değişiek için bu ye çeki kuvveine kaşı yapılan iş gaviasyon poansiyel enejisindeki değişie eşi olacağı için söz konusu değişi Vg Vg = g d = g şeklinde veili. yein oalaa yaıçapı Genel yaklaşı için V g =0, böylece V g = g olu. ( konuundaki gaviasyon poansiyel eneji) den ye gidildiğinde gaviasyon poansiyel enejideki değişi, ΔV g = g olu ki bu da yine ye çeki kuvveinin yapığı işin negaifine ( ) eşii. Ye çeki kuvveinin yapığı işi yazaken kuvvele d es yönlü olduğu için g d = g olu. g Bi paçacığın poansiyel enejisi sadece konua bağlı olup o konua vaak için izlediği yöüngeden bağısızdı. e

7 ELASTİK POTANSİYEL ENEJİ Elasik bi cisin şekil değişiesi sıasında poansiyel eneji kavaı yine oaya çıka. Öneğin bi yayın şeklini değişiek için onun üzeine yapılan iş, yayda elasik poansiyel eneji olaak depolanı. Depolanan bu eneji yayın defoasyonu sıfılanıken gei kazanılı. Yayın Elasik Poansiyel Enejisi Doğusal bi yayı sebes boyundan x kada defoe eek için üzeine uygulanan (yapılan) iş onun elasik poansiyel enejisine eşii. V e = xkxdx = kx 0 Yayın defoasyonu ise çeke ise basa olsun, sonucunda uzayaak veya kısalaak x den x ye kada aasa poansiyel enejideki değişi=son konudaki değe ilk konudaki değe olaak anılanı ve poziifi. ( x x ) Δ V e = k Tesin olaak haeke esnasında yayın defoasyonu azalısa elasik poansiyel enejisindeki değişi negaif olu. Yeyüzünde yapılan iş, ona bağlı blok (veya cisi) üzeine yapığı işin negaifidi. Çünkü kuvvelein yönlei esi. Eğe bi sisee yay kaılış ise iş-eneji bağınısından yayın cise yapığı iş eii yeine yayın elasik poansiyel enejisindeki değişiin negaifi ( ΔV e ) olaak yazabiliiz. U -, incelenen pobledeki ye çekii kuvvelei ve yay kuvvelei dışında kalan ü dış kuvvelein yapığı iş-eneji bağınısı; U - +( ΔV g )+( ΔV e )=ΔT U - =ΔT+ΔV g +ΔV e veya T +V g +V e + U - = T +V g +V e ( ) halleini alı. Bu bağınıla ye çekii ve yay kuvveleinin yapığı işi hesaplaken sadece paçacığın ilk ve son konuu ile yayın ilk ve son uzunluğunu gözönüne aldığı için çok yaalı ve uygundu. ( ) bağınısını, U - =Δ(T+V g +V e ) şeklinde yazasak E= T+V g +V e (Topla ekanik eneji) Bi sise üzeine yay ve gaviasyon kuvvelei iş, sisein opla ekanik enejisindeki değişie eşii. U - =ΔE dışındaki ü kuvvelein yapığı

8 Bi poblede iş yapan kuvvele sadece yay ve gaviasyon kuvveleinden ibae olup bunlaın dışındaki kuvvele iş yapayan bağ kuvvelei ise bu duuda U - =0 ΔE=0 olu ve opla ekanik enejideki değişi sıfıdı. E=SABİT Böyle duulada sisedeki kineik ve poansiyel enejile aasında eneji ansfei söz konusu olasına ağen opla ekanik eneji değişez ve bu duu T+V g +V e =sabi veya T +V g +V e = T +V g +V e bağınılaıyla ifade edili. KOUNUMLU KUVVET ALANLA (CONSEVATIVE FOCE FIELDS) z y d F x Gaviasyon ve yay kuvveleine kaşı yapılan işlein sadece konudaki ne değişikliğe bağlı olduğunu ve bi konudan diğeine ulaşıken izlenen yoldan bağısız olduğunu gödük. Bu nielikeki kuvvele kounulu alanladan doğa. Bu alanlaın ise öneli bi aeaiksel özelliği vadı. F kuvveinin, konu koodinalaının fonksiyonu olduğunu düşüneli. Uygulaa nokasının d difeansiyel yedeğişiesi süesince F kuvveinin yapığı iş du = F d olu. () den () ye kada yöünge boyunca yapılan opla iş ise, ( F i + F j + F k) ( dxi + dyj + dzk) U = ( F dx + F dy F ) U = Fd = x y z x y + zdz Genel iş anıını veen F d v inegali esas iibaiyle bi eğisel inegal olup () ve () nokalaı aasında izlenen yola bağlıdı. Faka F d v koodinalaın V gibi skale bi poansiyel fonksiyonun negaif a difeansiyeline eşise o zaan yapılan iş, V U = dv = ( V V ) bağınısıyla anılanı ve yöüngeden bağıız hale geleek sadece başlangıç V ve biiş nokalaına bağlı bi hal alı. Negaif işaein yein çeki alanında poansiyel enejideki değişiin benisenen işaeiyle uyu sağlaak için konuluşu. Eğe yukaıda anılanan V gibi bi skale poansiyel fonksiyondaki difeansiyel değişi:

9 Bu duuda, dv = dx + dy + dz şeklinde ifade edili. x y z v dv = F d = Fx dx + Fydy + F dz z F x = x F y = y F z = bulunu. z Ayıca F kuvvei de vekö foda F = V = i + j + k x y z F = V bağınısı F kuvveinin, V poansiyel fonksiyonunun gadyanına eşi olduğunu belii. Sonuç olaak eğe F kuvveinin bileşenlei bi poansiyel fonksiyondan yukada anılandığı gibi üeilebiliyosa bu kuvvee kounulu (consevaive) deni ve böyle bi kuvve aafından hehangi iki noka aasında yapılan iş izlenen yoldan bağısız olu.