MATE 409 SAYILAR TEORİSİ BÖLÜM: 8. Muazzez Sofuoğlu Nebil Tamcoşar

Transkript

1 MATE 409 SAYILAR TEORİSİ BÖLÜM: 8 LİNEER KONGRÜANSLAR Muazzez Sofuoğlu Nebil Tamcoşar

2 8.1. Bir Değişkenli Lineer Kongrüanslar a,b ve m/a olmak üzere; Z ax b(modm) şeklindeki bir kongrüansa, birinci dereceden bir bilinmeyenli kongrüans veya m modülüne göre lineer kongrüans denir. (m>0) Şayet x 1, ax b(modm) lineer kongrüansını sağlayan bir tam sayı ise bu takdirde k Zolmak üzere x 1 +km de lineer kongrüansı sağlar. Buradan başka +km (modm) yani denklik sınıfındaki x1 x 1 X 1

3 her eleman bu lineer kongrüansları sağlar. Bu sebeple böyle kongrüanslar için sadece 0,1,2,...,m-1 sayıları arasındaki çözümleri aramak ve onların denklik sınıfındaki her bir tam sayının çözüm olacağını düşünmek gerekir. Mesela 5x 2(mod6)nin çözümleri için sadece 0,1,2,3,4,,, ve 5 i düşünerek ş x 1 =4 ün bir çözüm olduğunu buluruz. Yani 5.4 2(mod6) ve böylece 4 ={x:x 4(mod6)} kalan sınıfındaki her elemanın bir çözümü ü olacağı ğ anlaşılır. l

4 Her lineer kongrüansın çözümü olmayacağı gibi çözümlerinde sadece bir kalan sınıfında bulunmaları gerekmez. Mesela 3 7 2x 3(mod4)ün hiçbir çözümü yokken 2x 6(mod8) lineer kongrüansının çözümleri {x:x 3(mod8) ve {x:x 7(mod8)} kalan sınıfındaki elemanlardır. 8.1 lineer kongrüansını sağlayan tam sayılara, m modülünün farklı kalan sınıflarına ait iseler denk olmayan çözümler, aynı denklik sınıfına ait iseler denk çözümler denir.

5 ax b(modm) şelindeki bir lineer kongrüansın çözümlerini ararken problemi iki grupta toplamak mümkündür. Bunlar; 1) (a,m)=1 2) (a,m)=d >1 durumlarıdır. TEOREM 8.1.(a,m)=1 ise ax b(modm) kongrüansının çözüm cümlesi tek elemandan ibarettir. İSPAT: T, m modülünün herhangi bir tam kalan sistemi olsun. Teorem 7.8 den dolayı {ax: x T} cümlesi de bir kalan sistemdir.

6 Dolayısıyla bir b Z tamı verildiğinde a x0 b (modm) olacak şekilde bir tek x 0 T vardır. / / / ÖRNEK 8.1. (a,m)=1 olmak üzere Euler Teoremini kullanarak ax b(modm) lineer kongrüansının çözümünün ( m) 1 a φ olduğunu gösteriniz. x b(modm) (a,m)=1 ise Euler Teoremine göre ( m) a φ 1(modm) dir. Bu takdirde teorem 7.4 den dolayı ( m) a φ b b(modm) yazılabilir. Simetri ve geçişme özelliklerinden x 0

7 a φ ( m) 1 ax ( m) a φ b(modm) a b(modm) elde edilir. Diğer taraftan (a,m)=1 olduğundan teorem 7.4 c den x ( m a φ ) 1 b(modm) bulunur./// Örnek 8.2: 3x 5(mod8) in çözüm cümlesini bulunuz. (3,8)=1 olduğundan (8) 1 x 3 φ 5(mod8) (mod8) 135(mod8) Bulunur. Ayrıca 135 Zolduğu için çözüm cümlesi Ç={7} dir.

8 TEOREM 8.2. d=(a,m) olmak üzere ax b(modm) lineer kongrüansının çözümünün olması için gerek ve yeter şart d nin b yi bölmesidir. Bu takdirde tam d tane çözümü vardır. Şayet d, b yi bölmüyorsa lineer kongrüansının çözümü yoktur. Örnek x 3(mod21) in çözüm cümlesini bulunuz. (6,21)=3 ve 3/3 olduğundan tam 3 tane çözümü vardır. 6x 3(mod21) ise 2x 1(mod7) (8.6) dir. 7 modülünün kalanlarının {0,1,2,3,4,5,6} cümlesindeki 4(86)k 4,(8.6) kongrüansını sağladığı ğ ii için çözüm öü cümlesi Ç={4+7t: t=0,1,2} = {4,11,18} dir. Yani x 4(mod21), x 11(mod21), x 18(mod21)dir.

9 8.2. Lineer Kongrüanslar ve Lineer Diophantine Denklemleri l ax+by=c D-lineer denkleminin şayet çözümü varsa bunların bulunuşunda lineer kongrüanslar kullanılabilir. Aslında ax+by=c (8.7) D-lineer denkelminin çözümlerinin tespit edilmesi ax c(modb) (8.8) 8) Lineer kongrüansının çözümlerinin tespit edilmesine denktir. Teorem 8.2 den dolayı d=(a,b) olmak üzere d/c ise (8.8) lineer kongrüansının bir çözümü vardır.

10 , bir özel çözüm ve t Z olmak üzere (8.8) lineer kongrüansının her bir çözümü x 0 x 0 + b t d şeklindedir. Bu değer (8.7) de x yerine konulursa (8.7)yi sağlayan y değerleri elde edilir. Gerçekten x b t d a( + )+by=c 0 yazarak buradan c a ( x b o + t ) d c ax0 a a y= = t = y0 t b b d d elde edilir. ( y için a +b y =c olduğuna dikkat ediniz) x 0 y0 0

11 x y0 O halde ve, ax+by=c D-lineer denklemini 0 sağlıyorsa ğ bu takdirde bu denklemin her bir x ve y çözümü d=(a,b) ve t Z olmak üzere x 0 b t d x= + ve y= eşitlikleri i ile verilebilir. Örnek 8.5. Lineer kongrüansları kullanarak 48x+7y=17 D-lineer denkleminin i özel çözümünü ü ü bulunuz. Çözüm: Her şeyden önce (48,7)=1 olduğundan çözüm vardır. Verilen denklemin özel çözümünü bulmak için önce buna tekabül eden lineer kongrüansın bir çözümünü ü ü bulalım. l y 0 a d t

12 48x 17(mod7) -x 17(mod7) -x 3(mod7) x -3(mod7) x 4(mod7) olduğundan verilen denklemde x yerine 4 alarak 48.(4)+7y=17 eşitliğinden y=-25 bulunur. Böylece 4 ve -25, 48x+7y=17 nin özel bir çözümüdür./ / /

13 8.3. İki veya fazla değişkenli kongrüanslar Bir lineer kongrüansta değişkenlerin sayısı iki veya daha fazla olabilir. Önce iki değişkenli ax+by c(modm) (8.9) Lineer kongrüansını düşünelim. Şayet x1 ve y1 (8.9) u sağlayan tam sayılar ise çözüm genellikle ( x in bir çözüm olması ) 1, y1 halinde k ve t tam sayılar olmak üzere açıkça ( x de bir çözüm yani, 1+ km, y1+ tm) xy ve denk çözüm olur. 1, 1 ( x + km, y + tm ) 1 1 TEOREM 8.3. ax+by c(modm) lineer kongrüansının çözümünün olması için gerek ve yeter şart d=(a,b,m) olmak üzere d nin c yi bölmesidir.

14 İspat: Verilen lineer kongrüans by c-ax(modm) olarak yazılabilir. Teorem 8.2. den dolayı (8.10) nun çözümünün olması için gerek ve yeter şart (b,m)/(c-ax) ( )yani ax c(mod(b,m)) (8.11) olmasıdır. Aynı şekilde (8.11) in bir çözümünün olması için gerek ve yeter şart (a,(b,m))/c olmasıdır. Teorem 4.8. ye göre (a,(b,m)) = (a,b,m) yazılabileceğinden ax+by c(modm) nin çözümünün olması için gerek ve yeter şart d nin c yi bölmesidir. / / /

15 Örnek 8.6 3x-7y 11(mod13) lineer kongrüansının çözüm cümlesini bulalım. (3,7,13)=1 olduğundan çözümü vardır. Verilen lineer kongrüans 3x 11+7y(mod13) 3x 24-6y(mod13) x 8-2y(mod13) olarak yazılabilir. y nin 13 modülüne göre denk olmayan her bir değerine ğ x in 13 modülüne göre denk olmayan tam bir değeri takabül eder. Böylece çözüm cümlesi sıralı çiftlerin Ç={(8,0),(6,1),(4,2),(2,3),(0,4),(11,5),(9,6),(7,7),(5,8), (3,9),(1,10),(12,11),(10,12)} cümlesidir. / / /

16 TEOREM 8.4. Şayet (a,m)=1 veya (b,m)=1 ise ax+by c(modm) lineer kongrüansının tam m tane çözümü vardır. İSPAT: Genelliği bozmadan (a,m)=1 olduğunu kabul edebiliriz. ax+by c(modm) olduğundan ax c-by(modm) (8.12) yazılabilir. Teorem 8.1 den dolayı (8.12) lineer kongrüansı, y nin denk olmayan her bir değeri için tam m tane x çözümüne sahiptir. m modülüne göre y nin denk olmayan tam m tane değeri olduğu için verilen lineer kongrüansın tam m tane (x,y) çözümü vardır. ///

17 Örnek x+8y 6(mod10) lineer kongrüansının çözüm cümlesini bulalım. Her şeyden önce çözüm vardır. Verilen lineer kongrüans 7x 6-8y(mod10) -3x 6-18y(mod10) x -2+6y(mod10) x 8+6y(mod10) olarak yazılabilir. Böylece y=0,1,2,,9 olarak Ç={(80)(41)(02)(63)(24)(85)(46)(07)(68)(29)} {(8,0),(4,1),(0,2),(6,3),(2,4),(8,5),(4,6),(0,7),(6,8),(2,9)} cümlesi bulunur.

18 8.4. KONGRÜANS SİSTEMLER: Bu bölümde lineer kongrüansların farklı iki sistemini ele alacağız. Birinci sistem, aynı modüle sahip iki veya daha fazla değişkene bağlı ve iki veya daha fazla lineer kongrüanstan meydana gelmiştir. İkinci sistem ise farklı modüle sahip tek değişkenli iki veya daha fazla lineer kongrüanslardan ibarettir. Birinci sistemin çözüm metodu iki veya daha fazla değişkenli lineer denklemlerin çözüm metoduna benzerdir.

19 Örnek 8.8. Lineer kongrüansların aşağıdaki sistemini çözelim. x+y 8(mod13) 2x+3y 12(mod13) x+y 8(mod13) kongrüansı netice 7.1 ve teorem 7.4 den dolayı 2x+2y 16(mod13) kongrüansına denktir. Bu takdirde teorem 7.4 a) dan dolayı (2+3y)-(2x+2y)(2x+2y) 12-16(mod13) 16(mod13) y -4(mod13) y 9(mod13) yazılabilir. x+y 8(mod13) kongrüansında y yerine 9 yazılırsa x 12(mod13) elde edilir. Böylece (12,9) sıralı çifti verilen sistemin bir çözümüdür. / / /

20 Örnek 8.9. (lineer kongrüansın 2. çeşidi) x 9(mod6) x 11(mod15) sistemini çözünüz. Çözüm: x 9(mod6) ise a Z olmak üzere x=9+6a yazılabilir. Şayet x 11(mod15) ise x=11+15b yazılabilir. b Z O halde verilen (8,13) sisteminin çözümünün olması için bu a ve b nin 9+6a=11+15b 6a-15b=2 (8.14) Denklemini sağlaması gerekir. Halbuki (6,-15)=3 olduğundan (8.14) eşitliğini sağlayan a,b Z bulunamaz. Çünkü 6 ve -15 in lineer homojen fonksiyonu olarak ifade edilebilen en küçük

21 Pozitif tam 3 tür. O halde (8.14)sisteminin çözümü yoktur. Şimdi; ; x 3(mod 4) x 5(mod 7) (8.15) sistemini düşünelim. x 3(mod 4) ise x=3+4a olacak şekilde vardır.(8.15) deki 2.lineer kongrüansda x in bu değeri a Z yerine konulursa 3+4a 5(mod 7) 4a 2(mod 7) 4a 16(mod 7) a 4(mod 7) elde edilir.a 4(mod 7)ise b Z olmak üzere a=4+7b yazılabilir. Bu sebeple x=3+4a =3+4(4+7b) yani x 19(mod 28) sistemin çözümüdür.///

22 Teorem 8.5: x a(modm) x b(modn) Sisteminin bir çözümünün olması için gerek ve yeter şart; b a(mod(m,n)) Olmasıdır. Şayet çözüm varsa bu x x 0 (modim,ni) şeklindedir.

23 TEOREM 8.6 (Çin kalanlar teoremi): ( mm i, j ) = 1 Şayet y 1 i < j n için ise a 1 m1 a 2 m 2 x (mod ) x (mod ) (8.17).. x a (mod m ) n Lineer kongrüans sisteminin m = mj modülüne göre bir tek çözümü vardır. i= 1 ÖRNEK 8.11 x 3(mod17) x 4(mod11) x 5(mod6) Sisteminin çözümünü bulunuz. n n

24 ÇÖZÜM: (17,11)=(17,6)=(11,6)=1 (, ) (, ) olduğundan ğ çözüm vardır. m1 =17, m =11 ve m 2 3 =6 olduğuna göre m= =1122dir.o halde =17 için =66, 66 1(mod17)=> =8 m1 1 m2 2 m3 M 3 M 1 x x1 x x2 x 3 x3 =11 için M =102, (mod11)=> =4 =6 için =187, 187 1(mod6)=> =1 dir. Buna göre sistemin çözümü 3 M ixa i i m 1. m2 m3 i= 1 xx mod(. ) olarak bulunur (mod1122) 4151mod(1122)

25 PROBLEMLER: (d) 6x 8(mod20) nin çözüm kümesini i bulunuz. ÇÖZÜM 8.1. (d) (6,20)=2 olduğundan dolayı 2/8 ise 2 tane çözüm vardır. 6x 8(mod20) 3x 4(mod 10) 10 modülünün kalanlarının {0,1,2,3,4...,9} kümesindeki 8 kongrüansı sağladığı için ÇK={ 8+10t: t=0,1}={8,18} x 8(mod20) x 18(mod 20) ///

26 8.3. Teorem 8.3 ü kullanarak 3x+4y 7(mod 12) lineer kongrüansının çözüm kümesini bulunuz. (3,4,12)= 1olduğu ğ için çözüm vardır. 4y 7-3x(mod 12) kongrüansının çözümünün olması için (4,12)/ 7-3x olması gerekir. Yani 3x 7(mod (4,12)) 3x 7(mod 4) 3x 3(mod 4) x 1(mod 4) 1 kongrüansı sağlar. x in Ç={1+4t:t=0,1,2}={1,5,9}. 1 4y 4(mod 12)=>y 1(mod 3) y için Ç={1+3t:t=0,1,2,3}={1,4,7,10},, {,,, } ÇK={(1,1),(1,4),(1,7),(1,10),(5,1),(5,4),(5,7),(5,10),(9,1),(9,4), (9,7),(9,10)}

27 8.5 Lineer kongrüansları kullanarak aşağıdaki D-lineer denklemlerinin genel çözümlerini bulunuz. (b)7x+6y =9 (7,9)=1 olduğundan çözüm vardır. x 3(mod 6) 7x 9(mod 6) Verilen denklemde x yerine 3 alarak 7.3+6y=9 y= -2 bulunur. Böylece 3 ve -2, 7x+6y =9 un özel çözümüdür. a Genel çözüm ise; x= x 0 + y= y 0 t x=3+6t ve y= -2-7t b t d 0 d

28 2x+7y 29(mod 18) lineer kongrüans sistemlerinin 8.6. (b) 3x+5y 17 (mod 18) y ( ) g çözüm kümesini bulun. ÇÖZÜM: 3x+5y 17(mod 18)*2 2x+7y 29(mod 18)*3 6x+10y 34(mod 18) 6x+21y 87(mod 18) 6x+21y-6x-10y 87-34(mod 18) 11y 53(mod 18) 11y 17(mod 18) => 13 kongrüansı sağlar y yerine 13 yazıp x i buluruz 3x+5.13=17 => x=2 Ç=(2,13) ///

29 8.7. Çin kalanlar teoremini kullanarak lineer denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz. x 5(mod12) x 7(mod 19) ÇÖZÜM: x 7(mod 19) x 5(mod 12) (12,19)=1 olduğu için çözüm vardır =228 m1=12, m2=19. m1=12 için M1=19, 19x1 1(mod12) x1=7 m2=19 için M2=12, 12x2 1(mod 19) x2=8 3 i= M xa mod( m 1. m 2. m 3) Buna göre x i i i 1 = = =1337(mod 228) olarak bulunur.///