Rasyonel Çekirdekli Belirli İntegral Operatörlerin Özdeğerlerinin Farklı Nümerik Yöntemler Kullanılarak Yaklaşık Hesabı

Transkript

1 Krel Fe ve Mü Derg 6():9-, 06 Krel Fe ve Müedilik Dergii Dergi we yfı: p://fdeuedur rşır Mklei Ryoel Çekirdekli Belirli İegrl Operörleri Özdeğerlerii Frklı Nüerik Yöeler Kullılrk Yklşık Heı Te pproxie Clulio of Eigevlue of Ceri Iegrl Operor wi Riol Kerel Uig Differe Nueril Meod Meli Göe *, Yükel Soyk, Erk Tşdeir Büle Eevi Üiveriei, Fe Edeiy Fkülei, Meik Bölüü, Zoguldk, Türkiye Kırklreli Üiveriei, Pırir Melek Yükekokulu, Kırklreli, Türkiye Öz Bu çlışd Riz, Kelg ve Tre yklşı eolrı kullılrk ryoel çekirdekli elirli iegrl operörleri özdeğerleri yklşık olrk epldı Bu eolr ile epl özdeğerler irirleri ile krşılşırıldı 00 MS-Kou Sııfldırılı: C0 r Kelieler: İegrl operörler, Özdeğer, Yklşık yöeler r I i work, e eigevlue of eri iegrl operor wi riol kerel re luled uig Riz, Kelg d Tre pproxiio eod Te eigevlue luled y ee eod re opred wi e oer 00 MS-Meil Suje Clifiio Nuer: C0 Keyword: Iegrl operor, Eigevlue, pproxiio eod Giriş Bu ölüde çlış oyu kullılk kvrlr ve oyolr kı verilişir Burd uul ilgiler (Tşdeir 0), (Göe 00), (Kye d Puri 00) ve ( 99) kyklrı kullılrk zırlışır Tı V ir vekör uzyı ve K! L( V) olu Bir! F kleri içi, K() x x deklei ıfırd frklı ir x! Vçözüüe ipe λ y K operörüü ir özdeğeri deir Tı S, "(,):,, R *Sorulu yzrı e-po drei: goe@oilo Geliş rii / Reeived : 06 Kul rii / eped : 06 küei R düzlei içide ir kre ks : ", C ölçüleilir ir fokiyo olu Şidi, ergi ir f! L içi g() k(,) f( ) () ile ir g: " C fokiyou ılylı g fokiyou ilie ve f fokiyou d ilieye olrk kul edilire o z () k y deklei çekirdeği deir Kf() k(,) f( ) () ile ılı KL : L operörüe ir (k çekirdekli y d k çekirdeğii üreiği) Fredol iegrl operörü vey kı ir iegrl operör dı verilir Tı Bir H Hiler uzyı üzeride ılı ergi ir kopk K operörü içi, ) K operörüü poziif özdeğerleri ( K) $ ( K) $ ( K) $

2 Göe, Soyk, Tşdeir / Ryoel Çekirdekli Belirli İegrl Operörleri Özdeğerlerii Frklı Nüerik Yöeler Kullılrk Yklşık Heı zl ırlı içide klılıklrı ekrr eek üzere ( ( K)) ile göerilir ve K ı egif özdeğerleri ie r ırlı içide klılıklrı ekrr eek üzere ( - ( K)) ile göerilir ) K operörüü poziif özdeğerlerii yııı ve egif özdeğerlerii yııı ırıyl N (K) ve N - (K) ile göereeğiz Uyrı Bu çlışd k (,) içiideki ( ) çekirdekleri özel ir li ol şrıı ğly çekirdekler ieleeekir Bu duru ( 99) ve (Göe 00) rfıd rşırılış olup u ip çekirdeklere krşılık gele iegrl operörleri poziif özdeğer yııı N (K) ve egif özdeğer yııı N - (K) 0 olduğu d öede göerilişir Riz yöeide kullılk Legedre ve Ceyev poliolrıı ılrı verilerek üerik epllr geçileekir şğıd verile iki ı (Yşr 00) de lıışır Tı P ()! d d ( -) ile ıl polio Legedre poliou deir Bir kç Legedre poliou olrk P (), P ( ), P () ( ), P ( ) ( - - ), 0 () verileilir Büü durulrd P( ), P( - ) (- ) Tı 6 - T() o( o ), 0,,, ile ıl polio Ceyev poliou deir T () içi idirgee forülü T () T() -T-() ile verilir Ceyev poliolrıı irkçı T0(), T( ), T( ) -, T( ) -, Gereç ve Yöe Ryoel çekirdekli zı iegrl operörleri özdeğerlerii yklşık değerleri üerik olrk (Göe 0), (Tşdeir 0) ve (Göe 00) d eplışı Bu ölüde ie Riz, Kelg ve Tre yklşı eolrı kullılrk ryoel çekirdekli elirli iegrl operörleri özdeğerleri yklşık olrk ulukır Bu üerik yklşı yöeleri içi yrıılı ilgilere (Krov e l 9) kyğıd ulşılilir Riz Meodu Bu yöede; çekirdeği ierik ol, yi k(,) k(,) ğıııı gerçekleye şğıdki iegrl dekle ele lıkır {() k(,) {( ), "} (),, ilk eleı [,] rlığı üzeride lieer ğıız ve L (,) de ol ir fokiyo dizii olu { () / j} j() () j şeklidedir ve urd j kyılrı { olk şekilde elirleeekir Bu koşul lıd GK{,{ H kudrik foruu değerleri rkır Souç olrk j ler iide yzılış şğıdki ooje lieer dekle ieie ulşılkdır (Burd μ ir Lrgge çrpıdır) / " GK} i, } jh- G} i, } jh, j 0, i,,, () j () ooje dekle ieii ıfırd frklı ir çözüüü olı içi () dekle ieie krşılık gele kyılr riii deeriı ıfır ollıdır Yi, GK}, } H- G}, } H GK}, } H- G}, } H GK}, } H- G}, } H g g j g GK}, } H- G}, } H GK}, } H- G}, } H GK}, } H- G}, } H 0 () olur () dekleii kökleri k(,) çekirdeğii özdeğerii yklşık olrk verir () dekleii e üyük kökü, özdeğerlerii e üyüğüü olduğud d küçük olrk verir () de μ yü ulup () dığıızd () j (i,,,) çözüleri elde edileekir Böylee ulu j değerlerii () ı ile elde edile özdeğerlere krşılık gele özfokiyolr yklşık olrk ulukdır (Kye d Puri 00) Riz eodud, p i poliou i ii dereede Legedre poliou ve T i poliou ie i ii dereede Ceyev poliou olup ψ i () P i- (); i,, ve ψ i () T i- (); i,, şeklide yrı u poliolr (-,) rlığıd orogol Bu poliolr kullılrk epllrd gerekli ol değerler şğıdki lolrd verilişir (Çizelge, ) Örek Sdee ir e poziif özdeğere ip ol (Bkz Uyrı ) 0 Krel Fe Mü Derg, 06; 6():9-

3 Göe, Soyk, Tşdeir / Ryoel Çekirdekli Belirli İegrl Operörleri Özdeğerlerii Frklı Nüerik Yöeler Kullılrk Yklşık Heı Çizelge Kullıl poliolr içi gerekli epllr lou Legedre Poliou (P i ) Ceyev Poliou (T i ) i j r GTT i, jh ; ij,,,, GPP i, jh ; ij,,,, i GT0, T0H r; ij, 0 i j GPP i, jh 0; ij,,,, GTT i, jh 0; ij,,,, Çizelge Kullıl poliolr içi iç çrpı epllrı lou Legedre Poliou (P i ) Ceyev Poliou (T i ) G}, } H π G}, } H 0 0 G}, } H r k (,) 6 ( ) () ierik çekirdekli iegrl operörü özdeğerii Riz yöei kullrk yklşık olrk eplylı () dekleide Legedre ve Ceyev poliolrı kullılrk içi özdeğer eplı ypılkır duruu içi öelikle Legedre poliolrıı kullrk epl yplı İlk olrk () dekle iei içi gerekli değerleri eplylı GK}, } H GK}, } H GK}, } H ( ) d d ( ) d ( ) Burd şeklide elde edile () çözüldüğüde μ 9, μ 6x0-8 uluur k(,) çekirdeğii özdeğerlerii ikiii yklşık olrk elde edilir Fk r özdeğer poziif olğıd dolyı λ 0 Şidi yı çekirdek içi Ceyev poliolrı kullrk duruu içi epl yplı İlk olrk kle iei içi gerekli değerleri ullı GK}, } H GK}, } H GK}, } H d 9 - ( 6 ( ) ) d ( 6 ( ) ) d ( 6 ( ) ) Burd () 9 - r -00 r şeklide elde edilir ve eşilik çözüldüğüde μ 8, μ 9x0-0 olur k(,) çekirdeğii özdeğerlerii ikiii yklşık olrk elde edilir Burd r özdeğer yklşık olrk λ 8 Krel Fe Mü Derg, 06; 6():9-

4 Göe, Soyk, Tşdeir / Ryoel Çekirdekli Belirli İegrl Operörleri Özdeğerlerii Frklı Nüerik Yöeler Kullılrk Yklşık Heı Örek Sdee ir e poziif özdeğere ip ol (Bkz Uyrı ) k (,) () 8-8( ) ierik çekirdekli iegrl operörü özdeğerii Riz yöei kullrk yklşık olrk eplylı () içi özdeğer eplı ypılkır duruu içi öelikle Legedre poliolrıı kullrk epl yplı İlk olrk () erekli değerleri eplylı GK}, } H d ( ) ) - - GK}, } H d ( ) ) - - GK}, } H d ( ) ) - - Burd şeklide elde edile () μ 0969, μ -68x0-0 uluur k(,) çekirdeğii özdeğerlerii ikiii yklşık olrk elde edilir Fk r özdeğer poziif olğıd dolyı λ 80 Şidi yı çekirdek içi Ceyev poliolrı kullrk duruu içi epl yplı İlk olrk GK}, } H d ( 8-8( ) ) - - GK}, } H d ( 8-8( ) ) - - GK}, } H d ( 8-8( ) ) r Burd () r şeklide elde edilir ve eşilik çözüldüğüde μ 0606, μ x0 - olur k(,) çekirdeğii özdeğerlerii ikiii yklşık olrk elde edilir Burd r özdeğer yklşık olrk λ 89 Kelg Meodu k(,) çekirdeği poziif ılı ierik ir çekirdek ve w(), L (,) içide keyfi ir fokiyo olu w() k (,) w ( ) w() kw (,) ( ) w() kw (,) -( ) olk üzere " w(), Kw,,,, (6) ile ılı fokiyo dizii ve w w - ile elirlee yı dizii ele lıkdır () k(,) çekirdeğii orogol özfokiyolrı { (), { ( ), f ve ulr krşılık gele özdeğerler f olu Bulrı yı ır w() fokiyolrı, { (), { ( ), f, { k - ( ) fokiyolrı ile orogol olu fk { k() fokiyou ile orogol olı Bu durud () λ k özdeğeri olkır Bu kdirde, w w fokiyo dizii λ k özdeğeri ile eşlee özfokiyolrı lieer koiyou ol ir fokiyo ykıykır (8) w dizii de () diziii ykıdığı değere ykıykır Gw, { H! 0 ie e küçük özdeğeri vere iki yrı forül uluilir: w w - (9) Krel Fe Mü Derg, 06; 6():9-

5 Göe, Soyk, Tşdeir / Ryoel Çekirdekli Belirli İegrl Operörleri Özdeğerlerii Frklı Nüerik Yöeler Kullılrk Yklşık Heı ve w (0) (9) forülü λ i değerii olduğud d üyük olrk verir k(,) çekirdeği poziif ılı değil ie (9) (0) forülleri verile çekirdeği özdeğerii e küçük olıı ulk değerii verir Bu eo, dee λ özdeğerii yklşık değerii ulk içi ypıl e iyi yklşıdır Örek k (,) 6 ( ) () ierik çekirdeğie krşılık gele iegrl operörü özdeğerii Kelg eodu ile yklşık olrk eplylı w() lıdığıd (6) d verile fokiyo dizii - k 6 ( ) ( ) - - k - k 6 ( ) ( ) ( ) - - k 8- k 6 ( ) ( ) ( ) k k ( ) olrk elde edilir Burd, w() - k - k - k - k uluur ve özdeğer yklşık olrk - k - k - k - k elde edilir Örek k (,) 8-8( ) - d ( ) () ierik çekirdeğie krşılık gele iegrl operörü özdeğeri Kelg eodu ile yklşık olrk eplylı w() lıdığıd (6) verile fokiyo dizii 9 8-8( ) ( ( ) ( -9) ( ( ) ( -9) 99( k e o - 9 olrk elde edilir Burd, w() - 9 k k d ( - - k 9 k uluur ve özdeğer yklşık olrk - k 9 k k k elde edilir Tre (İz) Meodu k (,) ile rdışık çekirdek göerilek üzere k(,) yıı k(,) çekirdeğii izi dı verilir ve ( K z) k(,) z( ), () Forülü e küçük krkeriik yı ol λ ve i yeerie üyük değerleri içi geçerli () forülü i değerii olduğud d üyük olrk verir Sierik çekirdekler içi çif ereede izler, k(,) d k (,) d () forülü yrdııyl eplır Örek k (,) 6 ( ) () Krel Fe Mü Derg, 06; 6():9-

6 Göe, Soyk, Tşdeir / Ryoel Çekirdekli Belirli İegrl Operörleri Özdeğerlerii Frklı Nüerik Yöeler Kullılrk Yklşık Heı Çizelge Hepl özdeğerleri yklşık değerlerii lou k(,) k (,) k (,) 6 ( ) 8-8( ) Legedre Poliolrı Yrdııyl Riz Meodu Ceyev Poliolrı Yrdııyl Tre Meodu Kelg Meodu λ 0 λ λ λ λ 80 λ 89 λ 800 λ 800 ierik çekirdeğie krşılık gele iegrl operörü özdeğerii Tre eodu ile yklşık olrk eplylı () k(,) çekirdeği ierik olduğud, k(,) k( z, ) kzdz (,) - dz 6 ( z) z 6 ( z ) z - ( )( ) eşiliği elde edilir () dekleide ve lıdığıd, k (,) d k (,) d d 6 ( ) d ( )( ) 6 06 değerleri uluur Bu değerler, özdeğeri ulk içi () de yerie yzıldığıd, r özdeğeri yklşık olrk 6 06 olduğu görülür Örek k (,) 8-8( ) (6) ierik çekirdeğie krşılık gele iegrl operörü özdeğerii Tre eodu ile yklşık olrk eplylı (6) ile verile k(,) çekirdeği ierik olduğud, k(,) k( z, ) kzdz (,) - dz 8-8( z) z 8-8( z ) z - ( -9)( -9) eşiliği elde edilir () dekleide ve lıdığıd, k (,) d k (,) d d 8-8( ) d ( -9)( -9) değerleri uluur Bu değerler, özdeğeri ulk içi () de yerie yzıldığıd, r özdeğeri yklşık olrk olduğu görülür Souçlr Bu çlışd, özel olrk k (,) 6 ( ) ve k (,) 8-8( ) ryoel çekirdeklerie krşılık gele iegrl operörleri özdeğerleri Riz, Tre ve Kelg yklşı eolrı kullılrk yklşık olrk eplışır Riz eodu kullılırke () lırk epllr ypıldı (Göe 0) de yıı rırılrk d epllr ypıldığıd ouçlrı ezer şekilde çıkığı görüleke Yukrıd edile üç üerik yklşı yöeiyle epl özdeğerleri yklşık değerleri Çizelge de verilişir Krel Fe Mü Derg, 06; 6():9-

7 Göe, Soyk, Tşdeir / Ryoel Çekirdekli Belirli İegrl Operörleri Özdeğerlerii Frklı Nüerik Yöeler Kullılrk Yklşık Heı Souç olrk lo yrıılı olrk ielediğide er iki çekirdek içi de Tre ve Kelg eolrı ile elde edile özdeğerleri üerik olrk eşi olduğu koly görüleilir yrı Riz eodu ile elde edile özdeğerlerde ie Legedre poliolrı kullılrk elde edile özdeğerleri üerik değerleri, Ceyev poliolrı kullılrk elde edile özdeğerleri üerik değerleride z d üyükür k lo geel olrk ielediğide er üç eo ile elde edile özdeğerleri üerik değerlerii yklşık olrk iririe çok ykı olduğu görüleilir Kyklr l, M 99 Iegrl Operor wi Riol Kerel PD Tei Uiveriy of Meer 9pp Göe, M 0 Ryoel Çekirdekli İegrl Operörler Dokor Tezi Zoguldk Krel Üiveriei 98 Göe, M, Soyk, Y O ueril lulio of eigevlue uig Riz Meod MS, 6(0): 9-99 Krov, M, Kielev,, Mkreko, G 9 Prole d Exerie i Iegrl Equio Mir Pulier Moow pp Kye, PK, Puri, P 0 Copuiol Meod for Lier Iegrl Equio Birkuer Boo 08pp Tşdeir, E Poziif İegrl Operörler Yükek Li Tezi Zoguldk Krel Üiveriei Yşr, İB 0 Uygullı Meik Siyl Kievi kr 89 Krel Fe Mü Derg, 06; 6():9-