DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK KLÜBÜ FEN LİSELERİ TAKIM YARIŞMASI 2007 SORULARI

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK KLÜBÜ FEN LİSELERİ TAKIM YARIŞMASI 2007 SORULARI"

Gül Koz
6 yıl önce
İzleme sayısı:

1 DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK KLÜBÜ FEN LİSELERİ TAKIM YARIŞMASI 007 SORULARI Doğuş Ünivrsitsi Matmatik Kulübü tarafından düznlnn matmatik olimpiyatları, fn lislri takım yarışması sorularından bazıları ilrlyn sayfalarda vrilmiştir. Soruların tamamının çözümlrinin yayın hakkı sadc sınavı düznlyn kurum vya kişilr aittir. Umarız faydalı bir çalışma olmuştur. SBELIAN

2 Doğuş Ünivrsitsi Fn Lislri takım Yarışması 007 Soru. Aşağıdaki matris için n I + A + A + + A + sonsuz toplamını hsaplayınız. 0 A = 0 0 Çözüm. Önc soruda vriln matrisin karsini v küpünü alalım. Buna gör, A A = olacaktır. Eğr kuvvt almaya dvam drsk, n için tüm matrisi olacaktır. Buna gör istniln toplam I A A olacaktır. + + = = v n A matrislri birr sıfır SORU. d 0 + ln d =? ÇÖZÜM. Aslında soruda vriln iki intgral altında ki fonksiyonlar birbirlrinin trsi fonksiyonlardır. Buna gör ğr, ( ) f = olarak alınırsa, soruda vriln intgral toplamı ( ) + ( ) f d f d 0 olacaktır. Buna gör istniln sonuç knarları uzunluğu v olan dikdörtgnin alanı olacaktır. Yani d + ln d = olarak bulunur. 0 SORU. P() üçüncü drcdn bir polinom olsun. ( ) ( 9) ( ) ( ) Q = + k k Q = + k + k polinomlarının P() polinomunun birr çarpanı olduğu bilindiğin gör, k sayısının alabilcği dğrlr nlrdir? ÇÖZÜM. Q v Q polinomlarının bir tan ortak kökü olmalıdır. Varsayalım bu kök a olsun. Dmk ki a sayısı a aittir. Sayfa

3 Doğuş Ünivrsitsi Fn Lislri takım Yarışması 007 ( ) ( ) Q Q = + k + k k k dnklminind bir kökü olacaktır. Buna gör, = k / 5dğri Q in bir köküdür. Dolayısıyla k k + ( k 9) k = is ( )( ) k 5 k 9 k 5k = k 5k + 5k 5k is k 0k = 0is k = 0olacaktır. SORU. Aşağıdaki dnklm sistmini sağlayan n büyük grçl z dğri kaçtır? + y + z = 5 y + yz + z = ÇÖZÜM. ( ) ( ) 0 y = + y y ( ) ( 5 z) z ( 5 z) = z 0z = + + ( z )( z ) = + is 0 ( z )( z ) + olacağından z olacaktır. Buradan Z ma = olarak bulunur. SORU 5. k pozitif tamsayı olmak üzr 6 + k, 00 + k, ksayıları aritmtik dizi oluşturan üç sayının karlri is k kaçtır? ÇÖZÜM 5. Varsayalım aritmtik dizimizin lmanları a, a + d, a + d olsun. Buna gör karlri a + ad + d, a + ad + d olacaktır. a çıkarırsak olacaktır. Bnzr biçimd ( a + d ) = 00 + k v ( ) = 6 + k v ( a + d ) = 00 + k is birbirlrindn a, 6 = ad + d (.) a + d = k is = ad + d (.) 96 ld dilir. Eğr ()-() yaparsak, d = v a = sonuçlarından k = 95bulunur. a aittir. Sayfa

4 Doğuş Ünivrsitsi Fn Lislri takım Yarışması 007 a b 5c 7d SORU = şitliğini sağlayan a, b, c, d pozitif tamsayıları için a + b + c + d toplamının alabilcği n küçük dğr kaçtır? ÇÖZÜM 5. Eşitliğin hr iki tarafını şitliğindn şitliği ld dilir. Burada 7 d il bölrsk, + + = a d b d c d + + = 7d a 7d b 7 5c + + = olacağı açıktır. Buna gör, 7d a = 7d b = 7d 5c = is 7d = a + = b + = 5c + is 7d sayısı 60k + formunda olacaktır. Burada k = 5 is d = olacaktır. Buradan a = 00, b = 75, c = 60is a + b + c + d = 78bulunur. SORU 6. Basamakları toplamının. kuvvtin şit olan basamaklı sayıyı bulunuz. ÇÖZÜM 6. abcd dört basamaklı sayı olsun. Burada şitliğind a b c d 0 ( a + b + c + d ) = abcd = olursa ( a b c d ) bş basamaklı bir sayı olur. Eğr a + b + c + d = 5olursa bu sfrd sayı basamaklı olacaktır. Buna gör a + b + c + d toplamı 6,7,8,9 olabilir. Buna gör, 6 = 69 olamaz, 7 = 0 olur çünkü 7 = olacaktır, 8 = 096 olamaz, 9 = 656 olamaz. O hald istniln sayı 0 olacaktır. SORU 7. log + log y + log z = olduğuna gör + y + ztoplamının alabilcği n küçük dğr kaçtır? ÇÖZÜM 7. Aritmtik v Gomtrik orta şitsizliklrini kullanırsak, + y + z yz (.) a aittir. Sayfa

5 Doğuş Ünivrsitsi Fn Lislri takım Yarışması 007 olacaktır. Burada olacağına gör, 7 log + log y + log z = log yz = yz şitliği ld dilir. Buna gör, () şitsizliğindn v + y + z 9 olacaktır. + y + z 7 SORU 8. Aşağıdaki dnklm sistmini sağlayan (, y ) tamsayı ikililrini bulunuz. + 5y = 5 < y < 5 ÇÖZÜM 8. Eğr vriln dnklmi ( mod) altında inclrsk 5y ( mod) olacaktır. Ancak y = 0,,,,, dğrlrindn sadc y = 8bu dnkliği sağlayacaktır. Dmk ki y = k + 8, k Z formunda olacaktır. Soruda vriln aralığa düşn tk y dğri olacağına gör, şitliğindn + 5 = = olur. Buna gör istniln ikili (, y ) = (,) olacaktır. a aittir. Sayfa

Benzer belgeler

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matmatk Dnm Sınavı. Bir saıı,6 il çarpmak, bu saıı kaça bölmktir? 6. a, b, c saıları sırasıla,, saıları il trs orantılı a b oranı kaçtır? a c 7. v pozitif tamsaılardır.! ifadsi bir asal saıa şittir.