T.C SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KALMAN FİLTRELEME YÖNTEMİYLE DEFORMASYON ANALİZİ SERKAN DOĞANALP

Transkript

1 İ.C SELÇUK ÜNİVERSİESİ FEN BİLİMLERİ ENSİÜSÜ KALMAN FİLRELEME YÖNEMİYLE DEFORMASYON ANALİZİ SERKAN DOĞANALP YÜKSEK LİSANS SEMİNERİ JEODEZİ VE FOOGRAMERİ ANABİLİM DALI Kona,003

2 KALMAN FİLRELEME YÖNEMİYLE DEFORMASYON ANALİZİ SERKAN DOĞANALP YÜKSEK LİSANS SEMİNERİ JEODEZİ VE FOOGRAMERİ ANABİLİM DALI Kona,003 İİ

3 İİİ İÇİNDEKİLER...SAYFA NO GİRİŞ... DEFORMASYON İLE İLGİLİ GENEL BİLGİLER.... DEFORMASYON..... Deformason ölçmeler nerelere kullanılablr? Deformason ölçmelernn amacı Deformason neenler Deformason ölçme öntemnn seçmne kkat elecek hususlar.. 4. DEFORMASYON MODELLERİ VE SINIFLANDIRILMASI Statk eformason moel Dnamk eformason moel Knematk eformason moel DEFORMASYON ANALİZİNDE KULLANILAN YÖNEMLER θ ölçütü (ortalama akırılıklar öntem) le eformason analz Sabt noktaların test elmes Sabt noktaların ortalama akırılığı Obe noktalarının test elmes KİNEMAİK DEFORMASYON MODELLERİ KİNEMAİK EK NOKA MODELİ KALMAN FİLRELEME EKNİĞİ Prekson, süzme e umuşatma Kalman fltreleme öntem le çözüm Kalman fltreleme öntemnn global test Hareket parametrelernn anlamlılık test Kalman fltreleme teknğne başlangıç perouna apılacak şlemler Sıfır perou (t 0 ) eğerlenrlmes Brnc peroun (t ) eğerlenrlmes İknc peroun (t ) eğerlenrlmes SAYISAL UYGULAMA... 3

4 İV 5 SONUÇLAR KAYNAKLAR... 4

5 GİRİŞ Günümüze mühenslk apılarının kontrolü, ata e üşe önek erkabuğu hareketlernn belrlenmes büük önem taşımaktaır. Yapıların kontrolü e erkabuğu hareketlernn belrlenmesne lşkn eformason analzler her zaman mühenslk eoezsnn temel konuları arasına er almıştır. Obelern şekl, bout e er eğşmler bu analzler arımıla belrlenmekte e orumlanmaktaır. Son ıllara, Ruolf Eml Kalman tarafınan 960 ılına ortaa konan teor mühensler e statstkçler tarafınan gelştrlmş e mühenslk ugulamalarına kullanılmaa başlanmıştır. Kalman tarafınan ortaa konan teor; eformason, nagason, eprem tahmnler e obelerek namk e knematk hareketlern belrlenmes gb brçok mühenslk alanına kullanılmaktaır. Yerkabuğu hareketlernn ata e üşe önek hareketlernn belrlenmesne genellkle zamanın br fonksonu olan knematk moeller kullanılmaktaır. Bu çalışmaa knematk moelleren olan Kalman Fltreleme Yöntem le 5 noktalı br nelman ağına eformason analz ugulanmıştır. Ugulanan eformason analz hem statk olarak θ ölçütü le hem e knematk olarak Kalman Fltreleme Yöntem le apılmıştır. Sonuçlar statstk olarak karşılaştırılmıştır.

6 DEFORMASYON İLE İLGİLİ GENEL BİLGİLER. Deformason Yapılara, makne tesslerne ea erkabuğuna kalıcı aa geçc etkler altına oluşan şekl eğşmlerne Deformason aı erlr. Deformasonlar, zamana e koşullara bağlı olarak oluşur. Bu eğşmlern belrlenmes çn apılan ölçmelere Deformason Ölçmeler, bu ölçülern eğerlenrlp, orumlanması şlemne e Deformason Ölçülernn Analz enlmekter. Deformasonlar, şekl eğşmlernn apısına e cnsne göre kalıcı e elastk olmak üzere ke arılırlar. DEFORMASYON Kalıcı Deformasonlar Elastk Deformasonlar Çökme (Düşe ötelenme) Kama (Yata ötelenme) Bükülme Bükülme Burulma Dönme (Düşe / Yata) Dlatason (Genşleme, Uzama, Sünme gb)

7 3.. Deformason ölçmeler nerelere kullanılablr? Deformasonlar farklı meslek gruplarına eğşk bçmlere karşımıza çıkmaktaır. Bunlaran bazıları; İnşaat Mühenslğne örneğn üklemeler altına apı eğşmlernn araştırılması, Makne apılarına, aar urumunun kontrolüne, Yer e kaa mekanğnn temel problemlerne, Jeolo e eomorfoloe erkabuğu hareketlernn zlenmesne, şeklne sıralanablr... Deformason ölçmelernn amacı Deformason ölçmelernn amacı; a gerçek br sorunun belrlenmes aa br tehlkenn ortaa çıkarılması amacıla apılır. Bu sorun ea tehlke zamanına belrlenp gerekl önlemler alınırsa eformason ölçmeler amacına ulaşmış olacaktır. Deformasonların tam olarak belrlenp orumlanması çn zamana bağlı olarak obenn sürekl gözlenmes gereklr. Deformasonlara lşkn orum apmak çn br perottan fazla ölçüe gereksnm arır. Buraa lk apılan ölçmeler sıfır ölçmes ea referans ölçmes (t 0 ), knc olarak apılan ölçmeler neleme ea tekrar ölçüsü (t, t ) olarak alanırılır. Bu k perot arasınak hıza göre ölçülern nelenme oranı eğşr. Braz önce e belrtlğ gb eformasonların belrlenmes çn ölçülern zamana bağlı urumları gözlenmelr. Pek bu perot ölçüler ne kaar sıklıkta nelenmelr? Bu ölçülern nelenme aralığı, obeek eğşmn hızına bağlıır. Yan hız üşük se, ölçmeler klask eoezk öntemlerle apılablr. Hız fazla se, ölçmeler özel ölçme öntemler le apılması erne olacaktır. Arıca bu zaman aralığı eformason hızının anına, eformasonun büüklüğüne e apıı etkleen faktörlern eğşmne bağlıır.

8 4..3 Deformason neenler Deformason neenler; abanak eğşmler, Yapı temelnek geşemeler, Nem, sıcaklık, basınç eğşmler, An eğşmler olarak sıralanablr(inal, 000)...4 Deformason ölçme öntemnn seçmne kkat elecek hususlar Ölçme öntem seçlrken öncelkle eformasonu belrlenecek obenn anına arılıp arılamaığı, üzernen geçlp geçlemeğ aa saece gözleneblr olup olmaığı e ölçme programının ne kaar br süre gerektrğ belrlenmelr ( İnal,000). Ölçmeler genellkle uzun zaman aralığına şekller aaş aaş eğşen obeler çerr.. Deformason moeller e sınıflanırılması Kuhlmann e Pelzer e göre; eformasonlar kuetlern etkmes sonucuna oluşur e genellkle zamana bağlı olarak eğşr. Deformasonları belrlemek çn oluşturulan matematksel moeller fzksel gerçeğn bastleştrlmş bçmlerr, genellkle kuet aa zamana bağlı olarak tanımlanır (Doğan,00). Deformasonlar, probleme ugulanan ölçme planına e öntemne göre statk, knematk e namk olmak üzere başlıca üç moel le ncelenr (Aan,98).

9 5 Çzelge. Deformason moellernn sınıflanırılması(doğan, 00) Moel Fonkson Zamana bağlı Kuete bağlı Statk x x + t t k k Φ (x) sta Knematk x + Φ (x, t t ) Eet x t kn k k t k k Dnamk x + Φ (x, f f ) Eet x t k t k n t k t k.. Statk eformason moel Statk moel en bast eformason moelr. Deformason ncelenmesne konu bölge ea apının karakterstk noktalarını, eformason ektörlernn zamanan e etken kuetleren bağımsız olarak belrlenmesn sağlar. Bu moele tüm ağın br kez ölçülmes sırasına noktaların sabt kalığı arsaılır (Öztürk, Üner, 99). Bu moele br peroa lşkn ölçme süresnce obee br hareket olmaığı arsaılır (Aan,98; Doğan, 00)... Dnamk eformason moel Br namk eformason moel, obenn geçc aranışları anına eformasona neen olan kuetlern zamana e ış etkenlere bağlı olarak eğşmn e bu kuetler arasınak fonksonel lşk tanımlar (Aan, 98). Dnamk sstemler, ış kuetlern etks altına bulunur e zaman çne sstem hareketlern, bunlara neen olan kuetlern a a bu kuetler le orantılı büüklüklern fonksonu olarak belrler (Demrel, 993). Moele oğru br orumlama apılablmes çn her etk apan kuetn çok blnmes gereklr...3 Knematk eformason moel Knematk eformason moelne aanak e obe noktalarının koornatları zamanın fonksonları bçmne tanımlanır(doğan, 00).

10 6 Buna göre X koornat parametreler ektörü zamana bağlı br eğşkenr e aşağıak gb fae eleblr. X(t) X(t k ) + (t t k )V(t k ) + a(t k )(t t k ) () X (t) : t zamanına lşkn urum ektörü X (t k ) : V (t k ) : t k zamanına lşkn urum ektörü Hız ektörü a (t k ) : İme ektörü anlamınaır. Knematk eformason moel hakkına genş blg Bölüm 3 te arıntılı br bçme ele alınacaktır..3 Deformason analzne kullanılan öntemler Deformason analzne kullanılan öntemler başlıca şu şekle sıralaablrz: Bağıl güen elpsler öntem le eformason analz S transformasonu arımıla eformason analz Merlo öntemle eformason analz Knematk moeller le eformason analz Cholesk çarpanlara aırma öntemle eformason analz θ ölçütü ea Ortalama akırılıklar öntemle eformason analz Yukarıa sıralanan eformason analz öntemler arasına bazı farklılıklar arır. Bunlar kullanım kolalığı, ağın apısı, ölçme planı b. şeklne sıralanablr. Örneğn; eformason analz öntemlernen bağıl güen elpsler öntemne anı

11 7 ölçme planı öngörülür br başka eşle ağın unarant olması stenr. Arıca bağıl güen elpsler öntemle eformason analz saece D ağlara kullanılablmekter. Bunun anı sıra ortalama akırılıklar öntem br başka fae le θ ölçütü le eformason analz D, D, 3D ağlar çn kullanılablmekter. Arıca θ ölçütü le eformason analz öntemne ölçü noktaları eğşmş olablr. Yan. perot le. perotta anı ölçü öntemnn kullanılması zorunlu eğlr. Kullanım e zaman açısınan se bazı urumlara a S transformasonu öntem le eformason analz terch sebebr. Çünkü bu analze en br engelemee gerek kalmaan br atuman ğer br atuma geçş sağlanablmekter. Bu çalışmaa statk eformason analz şlem gerçekleştrlrken θ ölçütü le eformason analz kullanılmıştır. Bu neenle θ ölçütü le eformason analzn kısaca açıklamak erne olacaktır..3. θ ölçütü (ortalama akırılıklar öntem) le eformason analz Bu önteme kısaca aşağıa sıralanan şlem aımları gerçekleştrlr. Perot ölçüler arı arı serbest engelenr. Uuşumsuz ölçüler aıklanır. Perot ölçüler çn uuşum test apılır.. e. perotta ağ geometrler farklı se ağ ortak noktalara konumlanırılır. Bu önteme t zamanına apılan L ölçüler le t zamanına apılan ölçüler arı arı serbest engelenr. Buraa serbest engeleme apılmasının neen aalı ağ engelemes ağın hassasetn gerçekç olarak ansıtmaz(inal, 000). Bu neenle serbest engeleme terch elr. Bu üzen ölçülere kaba hata olup olmaığı araştırılır e perotlar çn uuşum test apılır. L e L ölçüler arasına korelason an ölçülern çne anı hata kanağının olmaığı kabul elr. θ ölçütü le eformason analzne ölçme zamanları arasına anı ölçme planının ugulanması zorunlu eğlr. Ölçü noktaları farklı olablr. Böles br uruma ortak olmaan noktalar hesap çne ok elr.

12 8 Matrs gösterm le lneer hale gelmş hata enklemler; X Y [ A B] L + V () Buraa ; A, B : Katsaılar matrs X : Ortak noktalara at blnmeen ektörü Y : Ortak olmaan noktalara at blnmeen ektörü L : Ölçü ektörü anlamınaır. Normal enklemler se ; A B PA PA A B PB PB X Y A PL B PL N N AA BA N N AB BB X Y n n A B (3) şeklne azılablr. Ortak olmaan noktalara lşkn blnmeenlern ok elmesle tekl normal enklemler oluşur. N N n n A AA N N AB AB N N BB BB n B N BA (4) le + N x n x N n ele elr.

13 9 Brbrnen bağımsız olarak arı arı engelenen L e L ölçülernn aranslarının brleştrlmesle aha ugun br arans eğer hesaplanır e bunan sonra hesaplamalara bu arans eğer kullanılır. m fm + f m (f n-u+) (5) f + f Öncelkle sabt kabul elen noktaların sabt kalıp kalmaıkları ektörler arımıla kontrol elrler. Akırılık ektörü X X (6) şeklne azılablr. Hata ağılım kuralının ugulanmasıla fark ektörünün ağırlık katsaılar matrs hesaplanır. + (7) Ağın şeklne hç eğşklk olmamış se P N alınablr. Ölçme önemler arasına ölçü noktalarınak eğşmler anlamak çn sıfır hpotez olarak; H 0 : E() 0 (8) ler sürülür. Sıfır hpotez geçerl se farkı ölçü hatalarınan ler gelmekter. Sıfır hpoteznn geçerllğne Fscher ağılımına uan F n, f hm + θ m (9) test büüklüğü hesaplanır. Buraa ; h : ektörünek bağımsız bleşken saısıır. ektörünek bleşenlern saısı u e, ağırlık katsaıları matrslernen her ksnn rang efekt se; h u- (0)

14 0 r. θ büüklüğüne koornat farklarınan önüştürülen ölçü uarlılığı oluğunan ortalama akırılık a enmekter. est büüklüğü F tablo eğer le h, f + f, α karşılaştırılır. est büüklüğü tablo eğernen büükse H 0 hpotez ret elr. Bu uruma ele elen koornat farkları rastlantı ntelğne eğlr. Başka br eşle ağa anlamlı eformason meana gelmştr. Bu test sonucuna ağın tümüne a a br bölümüne eformason olup olmaığına karar erleblğ çn bu teste Global est aı erlmekter(inal, 000)..3.. Sabt noktaların test elmes fark ektörü e ağırlık katsaıları matrs ugun br bçme bölümlere arılır. Yan matrs sabt e obe noktaları çn bölümlenrlr. S L L e O PSS LL P OS M LML M PSO LL P OO P θ () h Karesel şeklne gösterlrse; P O SS + O P SS + P S P P OO SO SS P P S OS OO + S P OS S P SO O + O P OO O () önüşümü le sabt e obe noktalarına at akırılık bölümler + S SS S S P + P + SO O O P OO O Sabt noktalara at akırılık Obe noktalarına at akırılık olarak arılablr. Sabt noktalara at kısm z mnmum çözümü apılığına P SS matrs le buraa ele elecek matrs anıır.

15 .3.. Sabt noktaların ortalama akırılığı Aşağıa belrtlen formül le hesaplama apılır. S PSS S θ S (3) h S Global testte h u-. Fakat sabt e obe noktaları arılıktan sonra h S, S ektörünek eleman saısı olarak alınır. (3) formülüne geçen farklar alnız er eğştrp eğştrmekler araştırılan noktalara Helmert önüşümünün ugulanması halne ele elecek çakışma hataları anlamına görüleblr. Sabt arsaılan noktalar çn; F S S θ (4) m test büüklüğü hesaplanır. F eğer F ağılım tablosunan alınır. F S > h S, f, α F h S, f, α se öngörülen anılma olasılığı α le sabt nokta alanına eformason oluğuna karar erlr. Aks uruma bütün ağ noktalarının konumları kabul elr. Hang noktalara gerçekten eformason oluğunu belrlemek çn başka testler apılması gereklr. Her ele alınan noktaa hareketl, ğer noktalara se sabt gb şlem apılarak fark ektörü bölümlenrlr. Buraa B hareketl kabul elen noktanın koornat farkları, F se sabt kabul elen ötek noktaların koornat farklarını gösterr. S F L L e B P SS P FF LL P BF M LML M P FB LL P BB (5) aha önce apılan önüşüme ugun olarak; P B FF B P FF + P P BB FB P P BF BB F P BF (6)

16 apılır. Bu eştlkler le θ S nn paınak karesel term; S SS S F FF F B P P + P (7) BB B k termn toplamı şeklne azılablr. (7) eştlğnek; eştlğn knc term ncelenen noktaa at akırılıklaran brnc term se ağın ğer noktalarına at akırılıklaran oluşmaktaır. S ektörünek nokta saısı k se her nokta çn; P B BB B θ J (,,..., k) (8) J ortalama akırılık eğer hesaplanablr. Formüle paa a bulunan, B ektörünün çerğ bleşen saısıır. θ J eğerler arasına en büük olan ortalama akırılık θ MAX max( θ,,..., k) bulunur. Ortalama akırılığı maksmum olan noktaa s -α statstk güenle eformason oluğuna karar erlr. Sabt noktalaran brs eformasona uğramışsa gere kalan noktalara eformason olup olmaığı araştırılmalıır. Şm bunu apalım, bunun çn (7) formülünek k- saıak nokta çn akırılık; θ kalan F PFF h S F (9) hesaplanır. k- saıa nokta çn global test apılır. P θ kalan > Fh, f, α M H 0 α (0) S m azılablr. Bu genel test sonucuna başka noktalara a eformason oluğuna karar erlrse eformasona uğraan nokta F ektörünen atılır. Bu şlem θ kalan m oranı F ağılım tablosunan alınan sınır eğernen küçük kalıncaa kaar sürürülür. Bölece er eğştren noktaların belrlenmes çn şlem sona erer. Yer eğştren noktaların ışına kalan noktalar gerçek sabt noktalar olarak belrlenmş olur.

17 Obe noktalarının test elmes Sabt noktalar belrlenkten sonra obe noktalarınak eformasonların belrlenmesne geçlr. Yer eğştrğ saptanan noktalar obe noktası sıfatıla şleme tab tutulur. fark ektörü e P matrs ugun olarak bölümlere arılır. F L L e O P P FF LL P OF M LML M P FO LL P OO () Obe noktalarının sabt kalıkları kanıtlanan kontrol noktalarına göre kama bleşen ektörü; O O OO + P P () OF F şeklne ele elr. Buraa P 00, O ektörüne lşkn ağırlık katsaıları matrsr. O ektörünün ncelenmesne k ol mecuttur. Bunlar;. O nün bleşenler enformason teors anlamına snal olarak kabul elrse bunların m stanart sapmaları bozucu etken ; m m (3) eştlğ le hesaplanablr. Snaln bozucu etkler oranı tüm ler çn; q > 5 (4) m se başka testlere başurmaan eformasonun oluştuğu söleneblr.. q < 5 se obe noktalarının ortalama akırılığı; m O POO O θ O (5) h O

18 4 şeklne hesaplamak gerekr. h 0, 0 ektörünek bleşen saısıır. Buraan sonra analze sabt noktaların sabtlğnn araştırılmasına oluğu gb global test arsa eformasonların erelleştrlmes şlemler apılmalıır. Sonuçta; eformasona uğraan noktalar bulunur e bu noktalara lşkn kama büüklükler 0 ektörünün bleşenlerr. 3 KİNEMAİK DEFORMASYON MODELLERİ Knematk hareketlern tanımlanablmes çn kurulan moeller, br eoezk ağak konum eğşklklern zamanın fonksonu olarak errler. Bu moellern genel amacı, etken kuetler kkate almaksızın zamana e konuma bağlı olarak eformason noktalarının hareketlern ea eformason bölgesnn hareket üzen saptamaktır (Pelzer, 985, 986, 987; Neman, 994; Lu, 998; Zppelt, 998; Yalçınkaa, 994). Knematk moellern hepsne ana amaç, noktaların hızlarını, melern zamana bağlı olarak ea hız üzelern zamana e konuma bağlı olarak belrlemektr. Günümüze kaar önerlmş, le getrlmş pek çok knematk tek nokta hareket moeller arır. Bu çalışmaa, knematk hareketler, knematk tek nokta moelle belrlenmştr. 3. Knematk tek nokta moel Knematk tek nokta moelnn amacı, eformasona neen olan ış güçler kkate almaksızın zamana bağlı fonksonlar arımıla nokta hareketlernn ugun br tanımını bulmaktır (Aan,98; Gülal, 999/ e 999/; Yalçınkaa, 988). Bu moel eformasonlar sonucu oluşan er eğştrmelern anı sıra hareket hızlarının e melernn e kestrlmesn sağlar. Knematk tek nokta moelne, eoezk ağa zamanla hareket een noktalar, hareketn büüklüğü, hareketn hızı e mes zamana bağlı (6) eştlğne erlen br fonksonla saptanır. () ( ) x x + (t t ) + a (t t ) +... (6)

19 5 Buraa; : Nokta hareketnn hızını a : Nokta hareketnn mesn t :. perot ölçü zamanını t : (-). peroun ölçü zamanını : Nokta koornatlarının saısını (,,..., 3n; n: nokta saısı) anlamınaır. Knematk tek nokta moel, aşağıa açıklanığı bçme aım aım çözülerek hareket parametreler (konum, hız, me) hesaplanablr. Her perot ölçüler serbest ağ öntem le engelenerek her ölçme perou çn noktaların engel koornatları (x), engel koornatların ters ağırlık matrs (xx) e brm ölçünün aransı ( S 0 ) hesaplanır. Bu eğerler, knc aıma er olarak kullanılır. Bu aıma statk moel le hareketler saptanır. Statk moel, () ( ) x x (7) şeklne oluşturulur. İstatstk test sonucuna tüm bölgee hareket olup olmaığına bakılır. Hareket arsa ğer aıma geçlr. Bu aıma oğrusal moel le hareketler saptanır. Doğrusal moel, () ( ) x x + (t t ) (8) şeklne oluşturulur. Eğer statstk test sonucuna hareket oluğu belrlenrse, aha üksek erecel br hareket moel enenr.

20 6 Bu aıma karesel moel le hareketler saptanır. Karesel moel, x (9) () ( ) x + (t t ) + a (t t ) bçmne oluşturulur. Hareketn orumlanması çn özellkle menn şaret çok önemlr. Çünkü eformasonun sernn nasıl olacağı menn büüklüğüne göre anlaşılır. İme > 0 se eformason hızı büür. Bu urum araştırma obesnn kararsızlığını gösterr. İme < 0 se eformason hızı azalır. Çoğu kez menn şaretn eformason moelnn fzksel çere koşulları etkler (Pelzer, 993). Moel aha üksek erecel termlerle genşletmek hareketn orumlanmasına hata apılmasına neen olablr. Bu neenle bu çalışmaa karesel moele genşletme şlem keslmştr. Knematk tek nokta moelne hareketn hızları e meler ukarıa özetlenğ şekle aım aım belrlenğnen ara sonuçlar görüleblmekte, anı zamana hesap olu a enetleneblmekter. (9) eştlğne erlen knematk tek nokta moelnen her noktanın hareket parametrelernn engel olarak hesaplanablmes çn çok saıa ölçme perouna apılan ölçülere gereksnm arır(barak, Yalçınkaa, 003). t 0 perounak ölçülern anı sıra ükseklğn belrlenmes çn t, hızın belrlenmes çn t, menn belrlenmes çn t 3 e engeleme apılablmes çn e t 4 perouna apılmış ölçülere gereksnm arır. Görülüğü gb hareket parametrelernn engel br şekle hesabı çn en az 5 zaman perouna apılmış ölçülere htaç arır (Yalçınkaa, 996). Kalman- Fltreleme öntem hareket parametrelern az saıa ölçü perou kullanarak hesaplaablğnen bu öntemn kullanılması erne olacaktır. 3. Kalman fltreleme teknğ Kalman fltres, Ruolf Eml Kalman tarafınan 960 ılına ortaa konmuştur. Sonra mühensler e statstkçler tarafınan gelştrlmş e mühenslk ugulamalarının br çoğuna kullanılmaa başlanmıştır.

21 7 Aklımıza şöle br soru geleblr; neen Kalman Fltreleme Yöntem? Kısaca açıklaacak olursak; Öncelkle ğer öntemlere göre farkı e olumlu tarafı; aha az ölçme perou olması urumuna hareket parametreler belrleneblmekter, Düzgün e üzgün olmaan hareketler belrleneblmekter, En küçük kareler ugulamalarına olukça hızlı e erml, Geçmş, şm e gelecek zamanlı kestrmlere güenlr, Kaıp gözlemlern ea urumların tahmnne kullanılablr, Sağlam e güenlr şeklne özetleneblr. Kalman Fltreleme Yöntemnn kullanım alanları se olukça genş br elpazee sahp kısaca aşağıak şekle sıralanablr. Bu öntem bütün namk sstemlern urum eğşkenlernn kestrmne örneğn; rao algalarının e raar snallernn kestrmne, Ssmk erlern analzne, görüntü şlemee, Haa raporlarının tahmnne, tarım ürünlernn en ugun toplanma zamanlarının önceen tahmnne, Yersel ölçmelere, nagason ölçmelerne, Füze, merm e taşıt b. obelern zn sürmee, Deprem tahmnlerne, ekonome, Deformason e obelerek namk e knematk hareketlern belrlenmesne e buna benzer brçok alana Kalman Fltreleme Yöntem kullanılablmekter.

22 8 X Akıntı Rüzgar X k S α X k X k- Y Şekl. Kalman fltresnn temel üşünces Buraa; ektörü : Yenlk (nnoaton) ea fark ektörü : Sstem hatası : Ölçü hatası olarak smlenrlr. fark ektörü kaba hatalaran ea sstem eştlklernen kanaklanablr. fark ektörü çok büük eğerlere se moellemee br hata olablr. ektörü test büüklüğünün çne alınmalıır. Kalman fltresn bast br örnek le gemlern nagasonu ugulaması le açıklaalım. Br t k- zamanına gemnn konumu X k- blnor olsun. Gemnn belrl br rota bounca sabt br hız le sahle akın hareket ettğn üşünelm. Gemnn blnen rotası e hızı hakkınak blgleren br t k zamanına gemnn konumu X k

23 9 belrleneblr. Denzek rüzgar e akıntıa bağlı olarak t k zaman noktasınak gemnn konumu belrl br hata le belrleneblecektr. Bu hata şekle elps le fae elmekter. Gemnn t k zamanınak tahmn elen konumunu (sstem eştlğ) kontrol etmek çn kııa bulunan L, L e L 3 gb sabt noktalara skanl pusulası le α azmut açılarının ölçülüğünü (ölçü eştlğ) e bu ölçüleren t k zaman noktası çn gemnn konumunun belrl br hata le belrlenğn üşünelm. ahmne e ölçülere aanarak belrlenen konumlar kabul eleblr br oğruluk le örtüşüorsa t k zaman noktasınak X k konumunun tahmn elmesnek rüzgar, akıntı gb etklern oğru olarak belrlenğ sonucuna arılır. Eğer konumlar brbrnen farklı se sebepler aha etalı br bçme araştırılır. Ölçülen konum le tahmn elen konum arasınak fark enlk (nnoaton) olarak alanırılır. Gemnn ölçülere aanılarak belrlenen konumunun aha oğru oluğu üşünülerek tahmne kullanılan kabullern kalbrasonu le gemnn br sonrak konumu çn apılacak tahmnler aha gerçekç olacaktır. Açıklanan nagason örneğ KALMAN fltresnn temel üşüncesn oluşturmaktaır(gülal,003). 3.. Prekson, süzme e umuşatma Kalman Fltres üç temel aşamaan oluşmaktaır. Prekson (precton, ekstrapolason), süzme (flterng) e umuşatma (smoothng) Kalman süzgecnn aşamalarını oluşturmakta e zamana bağlı blnmeen parametrelern en küçük kareler lkesne göre kestrlğ ugulamalara kullanılmaktaır. Hareket een br aracın konumunu kestrmek (nagason) buna açık br örnektr. Hareket een br obenn t, t, t 3,..., t,... zamanlarınak konumları Şekl. e erlmştr.

24 0 t t t 3 t t Şekl. Hareket een br obenn zamana göre konumları t : Güncel zaman, t : Obe konumunun kestrlmek stenğ herhang br zaman olsun. t zamanınak kestrm; t < t t t Prekson Süzme t > t Yumuşatma olarak tanımlanır (Cross, 990; Doğan, 00). t zamanına bulunan br namk sstemn t zamanınak urum ektörünün; t < t koşulula sstemn öncek özellklernen ararlanarak hesaplanmasına prekson; t t koşulula t anınak ölçülere kullanılarak belrlenmesne süzme (upate) e t > t koşulula t zamanına kaar ar olan tüm ölçüler kullanılarak belrlenmesne umuşatma aı erlr(kalman, 960).

25 Mermno, Welch e Bslop a göre br knematk moel le brlkte geçmş zamanak konumlama blglern temel alan prekson aımına br sonrak ölçüm perou çn beklenen konum koornatları e oğrulukları hesaplanır. Süzme aımı, klask en küçük kareler öntemnn ugulanmasıır. Kalman süzgec en küçük kareler öntemne göre engelemenn özel br bçmr. Yapılan en son ölçme perou e tamamlanan süzme aımınan sonra tüm ölçülern enen şlenğ umuşatma aımı gerçekleştrlr(doğan, 00). 3.. Kalman fltreleme öntem le çözüm Kalman Fltreleme eknğ, t - perouna blnen hareket parametrelernen oluşan urum ektörü blgler e t perouna apılmış ölçüler arımıla güncel urum ektörünün tahmnne kullanılır. Yan öncek peroun hareket parametreler blnorsa ğer peroun hareket parametreler bu öntemle kolaca hesaplanır. Bu öntemn blnen ğer öntemleren farkı e olumlu anı üzgün e üzgün olmaan hareketlern belrleneblmesr. Arıca az saıa ölçme perou le hesaplama apılablmekte e sonuçlar a statk öntem sonuçları le uuşmaktaır. Kalman Fltreleme Yöntem le oğrusal moeln çözümü çn k zamanak nokta koornatları eterlr. Karesel moel e se üç zamanak nokta koornatları eterlr. Hareket parametrelernen oluşan urum ektörü, konum e konumun zamana göre brnc türe hız, knc türe meen oluşan eğşkenlerr. Üç boutlu ağlara göre konum, hız e meen oluşan hareket moel aşağıak (30) eştlğne göre oluşturulur(rosskopoulos., 998; Pelzer, 985,986; Holahl, Harh, 979). X Y Z () () () X Y Z ( ) ( ) ( ) + (t + (t + (t t t t ) ) ) z x + (t + (t + (t t t t ) ) ) a a a z x (30)

26 Buraa, X (), Y (), Z () e X (-), Y (-), Z (-) sırasıla () e (-) zamanlarınak noktasının koornatlarıır. x,, z e a x, a, a z ; noktasının X, Y, Z koornatlarının hızları e melerr. Br noktanın konumunu eren (30) eştlğ, konumun brnc türe olan hız e knc türe olan me bağıntılarıla genşletlerek (3) eştlğ oluşturulur. z () z () x () x z z () z () x x () x z z ) ( () ) ( () x x ) ( () a a a a a a )a t (t )a t (t )a t (t a ) t (t ) t (t Z Z a ) t (t ) t (t Y Y a ) t (t ) t (t X X (3) (3) eştlğ matrs bçmne e kısa göstermle (3) e (33) eştlğnek gb azılablr. z x z x z x z x a a a z x I 0 0 ) t I(t I 0 ) t (t I ) t I(t I a a a z x Y (3)

27 3 Y, Y (33) Buraa, Y ; t anı çn prekson (öncül kestrm) urum (konum, hız, me) ektörü, Y ; t - anınak urum (konum, hız, me) ektörü,, ; prekson (en urumu ele etme) matrs e I; (3nx3n) boutlu brm matrstr. (33) eştlğ Kalman Fltrelemenn temel enklem olan Prekson (ön kestrm) enklemr. t e t - perotları arasınak sabt bozucu me w olmak üzere, prekson enklemne bulunan sstem gürültüler (moeln rasgele hataları), (33) enklemne matrsnn son sütununak termleren oluşan S gürültü ektörü (36) olarak üşünülür. Bölece prekson enklem e koarans matrs aşağıak gb olur(pelzer, 988; Gülal, 999/; Barak, Yalçınkaa, 003). Y, Y + S w (34), YY,,, + Y Y,, ww,, S S (35) (t t ), I I(t t ) I (36) S Bozucu etklern me ektörü w belrszr e kural olarak ölçülemez. Bu neenle w çn pseuo gözlem ektörü w 0 alınablr. Bozucu etklern konuma etks aha öncek eneleren ararlanarak belrleneblr. Arıca sstem bozukluğu çn örnek olarak tpk eğerler aşağıa erlmekter. Zorunlu merkezlenrmel ple : σ x σ σ z 0.mm Bnalara gömülü nelman bronzu : σ z 0.5mm Optk merkezlenrmel zemn tess : σ x σ mm

28 4 Bu prekson problemn çözmek çn hakkına sağlıklı blgler olmaığı çn w sstem bozukluğu çn pseuo gözlem eğer w 0 kullanılarak eştlkler çıkarılmıştır(gülal,003). Buna karşın hız e meek etkler zor tahmn elr. Bozucu etk mesnn koaransı bozucu matrs S arımıla aşağıak bağıntıan türetleblr(pelzer, 987; Heunecke, 994; Barak, Yalçınkaa, 003). ww, 4 4(t t ) SS, (37) Buraa SS, noktaların (-) perounak konumlarının bozucu bleşenler çn koarans matrsr. perouna apılmış olan ölçülern üzeltme enklem, l + l, A Y [ A 0 0] konum, Y Y Y (38) le perounun prekson enklem (34) brleştrlerek Fltre aşamasının Fonksonel e Stokastk Moel aşağıak gb oluşturulur. Y l l A Y Y, l, e 0 YY, (39) 0 ll, Kalman kazanç (gan) matrs olarak alanırılan matrs K aşağıak gb olmak üzere, K A ( YY, ll, + A A YY, ) A YY, D (40) eğnme (enlk) ektörü, t anına fltre elmş (engelenmş) urum ektörü Y, prekson elmş urum ektörünün üzeltmes üzeltmes l, aşağıak eştlkten hesaplanır. e t Y, anınak ölçülern

29 5 A Y I K A İ K A Y, İ l, ll, D A İ I K K ll, D Y l (4) Fltre aşaması gerçekte klask en küçük kareler öntemle engelemer. Klask engelemeen en öneml farkı; klask engelemee ölçü saısı n blnmeen saısı u an aha büük olmak zorunaır. Kalman Fltresne se ölçme saısı blnmeenlern saısınan az olablr. Fltre, ölçme erler e öncül kestrm blglernn ağırlıklı kombnasonu le urum blnmeenlernn fltre elmş (engelenmş)eğerlern hesaplar(gülal, 999/; Barak, Yalçınkaa, 003). Kalman Fltres her en perotta tekrar başa önerek çalışmasına eam eer. Bu tekrarlı apı Kalman Fltresnn en öneml özellklernen brr. Bunun anı sıra fltre tekrarlı apısı çersne her öncül kestrmn, o ana kaar apılmış tüm ölçüler kullanarak hesaplar(pelzer, 986; Chu, Chen, 987). Bu moele prekson le çözüm apılığı çn ölçülern belrl orana ölçü hatalarıla üklü oluşu e br öncek zamanak urum ektörünek elemanların (ükseklk + hız + me) a hatasız olmaması neenle knematk aranışlar, sınırsız bçme ekstrapolasonla genşletlmemelr. Çok saıa prekson apılığına bu hatalar brkerek bz anlış sonuca götüreblr. Bu a Kalman Fltreleme öntemnn sakıncalı önüür Kalman fltreleme öntemnn global test Ön kestrmle hesaplanan urum ektörü le engelemele (fltrelemele) bulunan urum ektörü arasınak fark tespt elr. Y Y K (4) Sıfır hpotez aşağıak bçme kurulur. H : E( ) E(l ) A E(Y ) 0 (43) 0

30 6 est büüklüğü, fltreleme teknğnn brm ölçünün aransı (engeleme sonrası, soncul stanart sapma) s 0, le öncek preksonan kestrlen arans (engeleme önces, öncül stanart sapma) s 0 le aşağıak gb hesaplanır. G 0 s 0, D (44) s n s, 0 (n,, perounak ölçü saısı) se sıfır hpotez geçerl saılamaz. G > Fn,, f, α Bunun neen uuşumsuzluk gözlem ektörü l a a preksonla kazanılan kanaklanablr. Y en Ölçülerek kaba hatalar uuşumsuz ölçüler test le belrlenr e aıklanır. Global test hala anlamlı çıkıorsa uuşumsuzluğun sebeb prekte elen urum ektörüne oluğu arsaılır. Br P noktasına at 9 hareket parametresnen oluşan üzeltme ektörünen (45) ararlanarak test büüklüğü, (46) eştlğnen hesaplanarak tablo eğerle karşılaştırılır. x z x z x z (45) 9s 0 F9, f, α (46) (46) eştlğ geçerl se P noktasına br moel hatası arır. Bu moel hatası, P noktasınak bozucu etklern büütülmesle gerleblr. Bu uruma moel hatası oluşan noktaak bozucu menn aransı büütülmelr. Bu şleme anlamlı moel hatası kalmaıncaa kaar eam elmelr(yalçınkaa, 00).

31 Hareket parametrelernn anlamlılık test Kalman Fltreleme teknğ le hesaplanan konum, hız e me parametrelernn anlamlı olup olmaıkları test elmelr. Her noktanın koornatlarının, konum, hız e me blnmeenlernn test çn test büüklükler aşağıak gb hesaplanablr(yalçınkaa, 00). x x m x m z z m z x x x m x m x x m m z z z m m z z z (47) x x t ablo, t ablo, x t ablo, t ablo, z t ablo, t ablo, z z t ablo t ablo t ablo KONUM, HIZ e İVME blnmeenler ANLAMLIır Kalman fltreleme teknğne başlangıç perouna apılacak şlemler Kalman Fltreleme analznn apılablmes çn t - perounak hareket parametrelernn (konum, hız, me) e bunların koarans matrslernn blnmes gerekmekter. Fakat başlangıç perouna bunlar blnmemekter. Bu blgler, ancak t 0,t e t perotlarının eğerlenrlmesnen sonra ele elrler. Buraa başlangıç perouna apılacak şlemler açıkça gösterlecektr Sıfır perou (t 0 ) eğerlenrlmes Sıfır perounun eğerlenrlmesne ölçülern türüne göre kurulan matematk moeln engelenmes sonucuna ağ noktalarının konum blnmeenler e bunlara at ters ağırlık matrsler şu bçme ele elr. (n, ağak nokta saısı olmak üzere) Y [ x z.. x ] 0 n n z n

32 8 xx x xz YY,0 x z (48) zx z zz Brnc peroun (t ) eğerlenrlmes Brnc perotta hız blnmeenler hesaplanablr. Bunun çn sıfır perounak urum ektörü, hesaplanacak hız kaar sıfırla genşletlr. Y 0 [ x z.. x z 0.. 0] (49) n n n (48) eştlğnek koarans matrs, hız parametres çn apılan tahmnlerle aşağıak gb türetlerek genşletlr.,0,0 (50) Y Y,0,0,0,0, sıfır perounak koarans matrsr. Hız le konum arasına korelason olmaığı arsaımı apılığınan, lgl matrsler sıfır alınır. 0 (5),0,0 Hızların arans-koarans matrs henüz blnmeğnen aklaşık olarak tahmn elr. Deformason ağının hareketl noktalarına üşünüleblen maksmum hızlar arımıla maksmum hata H max Y 0 Y max (5) bçmne türetlr. Ağa başlangıçta herhang br şekle blnen a a statk br öntemle belrlenen hareketl noktalarak arans aşağıak eştlkten kestrlr. H max σ (53) Y, H 0

33 9 Bu eğern hareketl noktaların tümüne anı kalığı, hareketsz noktalar çn sıfır oluğu arsaılır. 0 Y,S σ (54) ahmn elen hızlar arasına korelason olmaığı arsaılarak hızlar çn koarans matrs aşağıak bçme köşegen matrs olarak ele elr. σ σ σ Y,S H Y, 0,0 (55) Bölece brnc peroun urum ektörünü hesaplamak çn gerekl olan sıfır perou urum ektörü e koarans matrs belrlenmş olur. Kalman Fltreleme teknğne gerekl olan matrsler e eştlkler brnc perot çn aşağıak bçme oluşturulur. Prekson matrs e gürültü matrs S, I 0 ) t I(t I 0 e I ) t I(t S 0 (56) Ölçülern üzeltme enklem, [ ] konum l, Y Y 0 A Y A l + (57)

34 30 A e A konum brnc perottak konum (x,,z) blgler çn katsaılar matrs l e l, brnc peroun ölçüler e üzeltmelerr. Oluşturulan matrslerle gerekl şlem aımları zlenerek brnc peroun urum ektörü e koarans matrs hesaplanmış olur. Y Y Y Y, Y (58) İknc peroun (t ) eğerlenrlmes Artık knc perotta me blnmeenler hesaplanablr. Bunun çn sıfır perounak urum ektörü, hesaplanacak me kaar sıfırla genşletlr. n n n n n n z x.. z x z x.. z x Y (59) Brnc perottak koarans matrs me çn genşletleblr. İmenn aranskoarans matrs henüz blnmeğnen brnc perottak gb aklaşık olarak tahmn elr. Brnc perotta hesaplanan hız e konum le me arasına korelason olmaığı arsaımı apılığınan, lgl termler sıfır alınarak koarans matrs oluşturulur. Daha sonra urum ektörü e koarans matrs hesaplanablr(yalçınkaa, 00). Y Y Y Y Y Y, (60)

35 3 4 SAYISAL UYGULAMA Deformason ağı, beş noktaan oluşan br nelman ağıır. Ağa k ölçümler Şubat 998 emmuz 998 Nsan 999 olmak üzere 3 perot olarak trgonometrk nelman öntemle apılmıştır. Şekl 3. Deformason ağı Ugulamaa, öncelkle statk olarak eformasonlar belrlenmş arınan knematk eformason moellernen olan Kalman Fltreleme eknğ le eformasonlar belrlenerek karşılaştırılmıştır. İlk olarak her perot ölçüler arı arı serbest ağ öntem le engelenerek her ölçme perou çn noktaların engel koornatları, ters ağırlık matrsler e brm ölçünün aransı hesaplanmıştır. Hesaplanan bu eğerler ablo. e görülmekter.

36 3 ablo. Serbest ağ engeleme sonuçları Perotlar t 0 Şubat 998 t emmuz 998 t Nsan 999 Brm ölçünün ortalama hatası (mm) Dengelenmş ükseklkler (m) m m m Bu şlemlern arınan ölçülere uuşumsuz ölçü olup olmaığını araştırmak çn uuşumsuz ölçü test apılmıştır. Uuşumsuz ölçüler test olarak Pope öntem kullanılmıştır. Değerlenrmenn arınan ölçülere uuşumsuz ölçü olmaığı anlaşılmış e ğer aım olan statk eformason analzne geçlmştr. Deformason analz.-. perot olan Şubat 998 emmuz 998 e.-3. perot olan Şubat 998 Nsan 999 arasına θ (ortalama akırılıklar) öntemne göre hesaplanmıştır. Bu sonuçlar ablo. e erlmştr. ablo. Statk eformason analz sonuçları Perotlar t 0 - t t 0 - t Homoenlk test e ortak arans hesabı (F h < F t se %95 htmal le aranslar homoenr.) Global test (F> F t se %95 statstk le ağa eformason arır.) θ (θ max olan noktaa eformason arır.) Gere kalan noktaların test (F< F t se gere kalan noktalara eformason oktur.) F h.4503 F t 5.05 m ort F F t 3.48 θ (θ max ) θ 3.73 θ θ θ F.43 F t 3.48 F h.3454 F t 5.05 m ort 4.43 F F t 3.48 θ θ 6.77 θ θ (θ max ) θ F.635 F t 3.48

37 33 Bu eğerlenrmenn arınan hareketl noktalar belrlenmş olup Kalman Fltreleme Yöntem le eformason analzne geçlmştr. Önce statk moel kurulup EKK le çözülerek brm ölçünün ortalama hatası hesaplanmıştır. Sonra, statk moel hız parametres le genşletlerek oğrusal moel Kalman Fltreleme Yöntemle çözülmüş e sonuçlar statstk olarak relenmştr. İrelemenn brnc aımına global test apılmıştır. Öncül ortalama hata (s 0 ), statk moelen hesaplanan ortalama hata; soncul ortalama hata (m 0 ), oğrusal moelen hesaplanan ortalama hata olmak üzere br test büüklüğü hesaplanır e F-ağılımı tablo eğer q le karşılaştırılır. >q se kurulan hareket moelnn anlamlı oluğuna, ters urumuna anlamlı olmaığına karar erlmştr. Başka br eşle <q se moel uuşumluur enlr. İknc releme aımı se; fonksonel moeln genşletlmesnn testr. Doğrusal moel, statk moeln hız parametresle genşletlmş br hal oluğunan hesaplanan hızlar e hızların ters ağırlık matrs arımıla genşletlmş kısmın ortalama hatası (m g ) hesaplanır. Bu hesaplanan eğer e öncül ortalama hata le br test büüklüğü hesaplanır ( g ) e bu test büüklüğü F-ağılımı tablo eğer q le karşılaştırılır. Bu karşılaştırma sonucuna; g > q se Kalman Fltreleme Yöntemnn. aşamasına geçlr. Yan moel br aım aha genşletleblr. Bu apılan şlemler ablo.3 e erlmştr. ablo.3 Knematk moeln statstk test sonuçları Global test s 0 (öncül ortalama hata) m 0 (soncul ortalama hata) (test büüklüğü) q (F-test) Not : Karar Konum + Hız Genşletlmş moeln test s 0 (öncül ortalama hata) m g (soncul ortalama hata) g (test büüklüğü) q (F-test)

38 34 ablo.3 en e görülüğü üzere moel uuşumluur. Fakat hız parametreler fazla anlamlı olmaıklarınan olaı Kalman Fltrelemenn. aımına geçmee gerek oktur. Br başka fae le moel genşletmek erszr. Aşağıa Kalman Fltreleme Yöntemnn brnc aşamasına eformason analzne kullanılan matrsleren bazıları erlmştr A ,344 0,88 5,834 Yk -,444,836 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0, S Yk+ -6,344 0,88 5,834 -,444,836 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

39 35 0,505-0,04-0,0475-0,058-0,0308 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000-0,04 0,090-0,037-0,09-0,04 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000-0,0475-0,037 0,095-0,0066-0,07 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000-0,058-0,09-0,0066 0,0935-0,0059 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000-0,0308-0,04-0,07-0,0059 0,0807 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000,k 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,69 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,006-0,000-0,0005-0,0006-0,0003 0,0003 0,0000-0,000-0,000-0,000-0,000 0,0009-0,0003-0,000-0,000 0,0000 0,000-0,000 0,0000 0,0000-0,0005-0,0003 0,00-0,000-0,000-0,000-0,000 0,000 0,0000 0,0000 ss -0,0006-0,000-0,000 0,000-0,000-0,000 0,0000 0,0000 0,000 0,0000-0,0003-0,000-0,000-0,000 0,0008-0,000 0,0000 0,0000 0,0000 0,000 0,0003 0,0000-0,000-0,000-0,000 0,000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,000-0,000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000-0,000-0,000 0,000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000-0,000 0,0000 0,0000 0,000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000-0,000 0,0000 0,0000 0,0000 0,000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0, llk 0, Perot 0 0 0, Ağırlıkların , ers , , , , ,365 7,840-6,793 6,739 0,09 0,0705 0,0967-0,008-0,0054-0,06-6,793 8,9-6,7563 0,775 0,070 0,070-0,065 0,505 0,0440 6,739-6,7563 7,4880-0,035-0,060-0,00-0,077 0,0875 0,0598 D 0,09 0,775-0,035,455 0,45 0,37-0,73 0,450 0,078 0,0705 0,070-0,060 0,45 0,748 0,307 0,09 0,008 0,00 0,0967 0,070-0,00 0,37 0,307 0,7485 0,0070-0,099-0,0860-0,008-0,065-0,077-0,73 0,09 0,0070 0,603-0,34 0,084-0,0054 0,505 0,0875 0,450 0,008-0,099-0,34 0,8775 0,037-0,06 0,0440 0,0598 0,078 0,00-0,0860 0,084 0,037 0,5044

40 36-0,4450 0,840-0,333 0,09 0,0430 0,058 0,039 0,03 0,0436 0,069 0,049-0,0379 0,0709 0,0 0,06-0,09 0,0089 0,004-0,088-0,0480-0,08-0,085-0,055-0,0095 0,56-0,039-0,056-0,0065-0,0043 0,0086-0,0093-0,35-0,060-0,307 0,0005-0,579 K -0,0346 0,038 0,0547 0,0008-0,05-0,0964-0,09 0,08 0,375-0,089 0,034-0,064 0,0000 0,000 0,0000 0,0000 0,0000 0,000 0,000 0,000-0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000 0,0000 0,0000-0,000-0,000 0,0000-0,000-0,000 0,0000 0,0003-0,000-0,000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000-0,000 0,0000-0,0003 0,0000-0,0003-0,000 0,0000 0,000 0,0000 0,0000-0,000 0,0000 0,000 0,0003-4,93-4,8503 3,499 k 0,574 L-A*Yk 6,79,578 3,7655 -,004 0,765-6,0657 0,466 6,6050-3,7657 Yk,7997 Yk+K*k 0,0006 YENİ DURUM 0,0006 VEKÖRÜ 0,006-0,007-0,000 0,4 0,079 0,00-0,0043 0,0095 0,0496 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,079 0,0499-0,03-0,0073-0,0065 0,0083 0,000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00-0,03 0,059 0,0009-0,007 0,0083 0,0000 0,000 0,0000 0,0000 k3-0,0043-0,0073 0,0009 0,05 0,00 0,0083 0,0000 0,0000 0,000 0,0000 0,0095-0,0065-0,007 0,00 0,0447 0,0083 0,0000 0,0000 0,0000 0,000 Y.D.V.NÜN 0,0496 0,0083 0,0083 0,0083 0,0083 0,065 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 ERS AĞIRLIK 0,0000 0,000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 MARİSİ 0,0000 0,0000 0,000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

41 37 Karar erlen ugun moel le hareket parametreler hesaplanmış e sonuçlar statstk olarak relenmştr. Hang noktanın hareket parametresnn anlamlı oluğunu saptamak amacıla ükseklk blnmeen e hız blnmeen çn arı arı test büüklükler hesaplanmıştır. Sonuçlar ablo.4 e gösterlmştr. ablo.4 Konum e Hız büüklükler çn test büüklükler konum 3,0586 anlamlıır 0,4558 anlamlı eğlr 6,4786 anlamlıır 3,976 anlamlıır 3,594 anlamlıır t (0, 0.975),80 hız 0,00 anlamlı eğlr 0,047 anlamlı eğlr 0,0564 anlamlı eğlr 0,046 anlamlı eğlr 0,008 anlamlı eğlr ablo.4 en e görülüğü üzere,3,4 e 5 numaralı noktaların konumlarına anlamlı eğşmeler meana gelmştr. Yan apılan anlamlılık testne test büüklüğünün üstüne eğerler ele elmştr. Buna rağmen numaralı noktaa konumsal baza anlamlı br eğşme söz konusu eğlr. Yne ablo.4 e bakılırsa noktaların hızlarına anlamlı br eğşm gözükmemekter. Başka br fae le hızlar hesap elen test büüklük sınır eğer çersne kalmaktaır. Arıca hızların bu test eğer çersne kalması e anlamlı eğşm göstermemes apılan fonksonel moeln genşletlmes testnn e oğruluğunu kanıtlar ntelkter. Yaptığımız çalışmaa fonksonel moeln genşletlmes testnn olumsuz çıkmasına rağmen Kalman Fltreleme Yöntemnn knc aşamasına geçlmş e hesaplamalar apılmıştır. Ele elen statk e knematk moellerle belrlenen hareketler aşağıa ablo.5 e ablo.6 a gösterlmekter.

42 38 ablo.5 Şubat 998 emmuz 998 perotlarına statk e knematk moeller le hesaplanan eğerler Şubat 998 emmuz 998 Statk Moel Knematk Moel NN Yük.Bl. Yük.Bl. Hız İme ablo.5 en görülüğü gb bütün noktaların statk moelle hesaplanan ükseklk blnmeen le knematk moel le hesaplanan ükseklk blnmeenler brbrne akın e hareket önler anıır. Bu sonuç bze statk eformason analz sonuçları le Knematk eformason analz sonuçlarının uuşumlu oluğu sonucuna götürür. Anı şekle fonksonel moelnn genşletlmesne an Kalman Fltreleme Yöntemnn knc aşamasına hesap elen sonuçlar aşağıa ablo.6 e ablo.7 e erlmekter. ablo.6 Konum, Hız e İme büüklükler çn test büüklükler konum,090 anlamlı eğlr 0,66 anlamlı eğlr 4,697 anlamlıır 4,985 anlamlıır,5305 anlamlıır hız 0,90 anlamlı eğlr 0,9 anlamlı eğlr 0,704 t (0, 0.975),80 anlamlı eğlr 0,7 anlamlı eğlr 0,59 anlamlı eğlr me 0,066 anlamlı eğlr 0,0775 anlamlı eğlr 0,999 anlamlı eğlr 0, anlamlı eğlr 0,0000 anlamlı eğlr

43 39 ablo.7 Şubat 998 emmuz 998 Nsan 999 perotlarına statk e knematk moeller le hesaplanan eğerler Şubat 998 emmuz 998 Nsan 999 Statk Moel Knematk Moel NN Yük.Bl. Yük.Bl. Hız İme ablo.6 e ablo.7 en e görülüğü üzere ne statk e knematk moeln uuşumu söz konusuur. Yukarıa sölenğ gb ablo.6 e ablo.7 e htaç oktur. Çünkü fonksonel moeln genşletlmes testnn sonucuna genşletmenn ersz olacağı sonucuna arılmıştır. Buraa saece Kalman Fltreleme Yöntemnn knc aşaması a apılırsa nasıl br sonuç çıkacağını görmek çn apılmıştır. Görülüğü üzere hız e meler anlamsızır aha oğru br eşle test büüklük eğer çne kalmaktaır. Arıca brnc aşamaa,3,4 e 5 noktalarınak konumsal hareket knc aşamaa 3,4 e 5 noktalarına görülmüştür. Brnc e knc aşamaa ortak olan se numaralı noktanın konumunak eğşmelern anlamlı olmaışıır. Sonuçlaran görülüğü üzere Kalman Fltreleme Yöntemne konumsal eğşklklern anına hız e me gb blnmeenler hakkına blg enmek mümkünür. 5 SONUÇLAR Jeoezk öntemlerle güncel erkabuğu hareketlernn belrlenmesne statk, knematk ea namk moeller kullanılablmekter. Düşe önek erkabuğu hareketler genel olarak aaştır. Deformason ölçümüne başlanmaan önce eformason ağı kurulacak bölgenn karakterstk özellkler blnmel e ona göre sağlam br eformason ağı kurulmalıır. Kurulan ağ üzerne ölçümler hassas olarak apılmalıır e bu üzen ağ korunmalıır.

44 40 Genel knematk moele hareket parametrelernn (koornat blnmeen, hız, me) anı ana belrleneblmes çn fazla perot a apılmış ölçülere gereksnm arır. Kalman Fltreleme Yöntemne se az saıa ölçme perou kullanılarak hareket parametreler belrleneblmekter. Normal EKK öntemne göre engelemenn apılablmes çn ölçü saısının blnmeen saısınan fazla olması gereklr. Fakat Kalman Fltreleme Yöntemne, ölçü saısı blnmeen saısınan aha az saıa olsa ah hareket parametreler belrleneblmekter. Kalman Fltreleme Yöntemne her türlü oğrusal e oğrusal olmaan eğşmlern stokastk moelnn kurulması ahlne eformason araştırmaları çn ugun br öntem oluğu görülmekter. Arıca statk moel sonuçları le uumlu oluşu öntemn üstün önüür. Kalman Fltreleme Yöntemnn bu aantaları anına br e ezaantaı bulunmaktaır. Yönteme preksonla çözüm apılığınan ölçülern belrl br orana ölçü hataları le üklü oluşu e br öncek zamanak urum ektörünün hatasız olmaması neenle knematk aranışlar, sınırsız bçme ekstrapolasonla genşletlmemelr. Br başka faele çok saıa prekson apılırsa ölçü hatalarının brkerek bz anlış sonuca götürmes muhtemelr. Sonuç olarak, güncel erkabuğu hareketlernn belrlenmesne e aha brçok alana Kalman Fltreleme Yöntemnn kullanılması erne e ugun olacaktır.

45 4 6 KAYNAKLAR Üner, M., 994, Düşe Yerkabuğu Deformasonlarının Knematk Moel İle Belrlenmes, Doktora ez, KÜ Fen Blmler Ensttüsü, rabzon Doğan, U., 00, 7 Ağustos 999 İzmt Depremnen Kanaklanan Deformasonların Knematk Moellerle Araştırılması, Doktora ez, YÜ Fen Blmler Ensttüsü, İstanbul Barak,., Yalçınkaa, M., 00, GPS İle İzlenen Jeoezk Deformason Ağlarına Knematk Hareketlern Ve Hareket Yüzelernn Belrlenmes, UJK ektonk Ve Jeoezk Ağlar Çalıştaı, 0- Ekm 00, İznk İnal, C., 000, Lsans e Yüksek Lsans Ders Notları, SÜ, Kona Gülal, E., 003, Yüksek Lsans Ders Notları, YÜ, İstanbul Yalçınkaa, M., 00/, Üç Boutlu Ağlara Kalman Fltreleme eknğnn Ugulanması MALAB e FORRAN Programlama Dllerle Çözümü, KÜ Araştırma Raporları, rabzon Üner, M., 996, Kalman Fltreleme Yöntem İle Knematk Düşe Hareketlern Belrlenmes, Harta Dergs, Saı : 6 Barak,., Yalçınkaa, M., 00, GPS Ağlarına Deformasonların Statk Ve Knematk Moellerle Belrlenmes İçn Gelştrlmş Br Deformason Yazılım Paket, SÜ Jeoez Ve Fotogrametr Mühenslğ Öğretmne 30. Yıl Sempozumu, 6-8 Ekm 00, Kona Aan,., 98, Jeoezk Ağlarla Deformason Analzne Genel Bakış, İÜ Dergs, 40/, İstanbul Demrel, H., 993, Deformason Ölçülernn Analz, YÜ Fen Blmler Ensttüsü, Lsansüstü Ders Notu, İstanbul

46 4 Kalman, R. E., 960, A New Approach to Lnear Flterng an Precton Problems, Journal of Basc Engneerng, Vol. 83D, Gülal, E., 999/, Kalman Fltreleme eknğnn Deformason Analzne Ugulanması, YÜ İnşaat Fakültes Jeoez e Fotogrametr Bölümü, Araştırma Makales, Yılız İstanbul Gülal, E., 999/, Deformason Ölçülernn Analzne, YÜ İnşaat Fakültes Jeoez e Fotogrametr Bölümü, Araştırma Makales, Yılız İstanbul