STOKASTİK SONLU ELEMAN YÖNTEMİYLE ÜÇ BOYUTLU ÇERÇEVE SİSTEMLERİN DEPREM ANALİZİ

Transkript

1 Atıncı Uusa Deprem Mühendisiği onferansı 16-2 Ekim 27 İstanu Sixth ationa onference on Earthuake Engineering 16-2 Octoer 27 Istanu Turkey STOASTİ SOLU ELEMA YÖTEMİYLE ÜÇ BOYUTLU ÇERÇEVE SİSTEMLERİ DEPREM AALİZİ EARTHQUAE AALYSIS OF SPAE FRAME SYSTEMS WITH STOHASTI FIITE ELEMET METHOD Aemdar BAYRATAR 1 Özem ÇAVDAR 2 Hasan Basri BAŞAĞA 3 Ahmet ÇAVDAR 4 ÖZET Yapı sistemerinin çözümemesinde yapıardaki eirsizikeri dikkate aan stokastik yöntemer gittikçe önem kazanmaktadır. Bu çaışmada deprem hareketine maruz kaan üç oyutu çerçeve sistemerin stokastik dinamik anaizi gerçekeştirimiştir. Stokastik çözümemeer sırasında Perturation yöntemi ve Monte aro Simüasyon MS yöntemi kuanımış ve u iki yöntemin formüasyonu gene hatarıya verimiştir. Stokastik anaizerde rastgee değişken oarak eastisite modüü seçimiştir. Çaışmaarda hem Perturation yöntemi için hem de Monte aro Simüasyon yöntemi için FORTRA diinde yazımış iki ayrı program kuanımıştır. İki farkı yönteme göre stokastik dinamik anaizeri gerçekeştirien çerçeve sistemerin yerdeğiştirme ve kesit tesiri değereri irireriye karşıaştırımıştır. Sonuçara göre çerçeve türü yapıarda Perturation yönteminden ede edien değererin Monte aro yönteminden ede edien sonuçara çok yakın oduğu ve u yöntemin MS yöntemi yerine kuanıaieceği görümüştür. Ayrıca sistem üyüküğündeki değişimerin iki yöntemin sonuçarını etkiemediği de yine u çaışmadan ede edien ir diğer sonuçtur. Anahtar eimeer: Stokastik sonu eemanar yöntemi Monte aro Simüasyon yöntemi Çerçeve sistem Perturation yöntemi. ABSTRAT The stochastic methods considering uncertainty in the structures are getting gain importance in anaysis of structura systems. In this study stochastic dynamic anayses of space frame systems sujected to earthuake ground motion were reaized. During stochastic dynamic anaysis Perturation method and Monte aro Simuation MS method were used and the 1 Prof. Dr. TÜ Müh. Fak. İnşaat Müh. Bö. 618 Trazon aemdar@ktu.edu.tr 2 Araş. Gör. TÜ Gümüşhane Müh. Fak. İnş. Müh. Bö. 29 Gümüşhane ozem_cavdar@hotmai.com 3 Araş. Gör. TÜ Müh. Fak. İnşaat Müh. Bö. 618 Trazon hasan@ktu.edu.tr 4 Araş. Gör. TÜ Gümüşhane Müh. Fak. İnşaat Müh. Bö. 29 Gümüşhane ahmcavdar@hotmai.com 317

2 318 Stokastik Sonu Eeman Yöntemiye Üç Boyutu Çerçeve Sistemerin Deprem Anaizi formuations of these two methods are given y genera ines. In stochastic anaysis young s modue was seected as random variaes. In the studies two different programs coded in FORTRA anguage were empoyed for oth perturation and Monte aro Simuation methods. The dispacements and sectiona forces of the frame systems which stochastic dynamics anaysis were reaized according to two different methods were compared to each other. According to resuts the vaues otained from perturation method are very cose to the ones otained from Monte aro method in frame type structure and it was seen that the method coud e sustituted instead of MS method. In addition that the changes in compexity of the system did not infuence the resuts of two methods is one another resut otained from this study. eywords: Stochastic finite eement method Monte aro Simuation method Frame system Perturation method. GİRİŞ İstatistik iimi açısından geçmişi 18 ü yıarın sonarına kadar uzanan stokastik yöntemer 196 ı yıara geindiğinde inşaat mühendisiği aanında da kuanımaya aşanmıştır. Stokastik yakaşımarın yapı mühendisiğinde kuanımasının teme gayesi yapısa çözümeme yöntemerini yapı sistem parametreerindeki eirsizikeri de kapsayacak şekide geiştirmektir. Yapı sistemerindeki eirsizikere değiniecek ounursa yapı eemanarının geometrik özeikeri mazeme mekanik özeikeri ve yükerin üyükük ve dağıımarı u eirsizikere örnek oarak verieiir. Bu eirsizikerden doayı deterministik çözümeme irçok yapı sisteminin çözümenmesinde yetersiz kaaimektedir. Stokastik anaiz için iki teme yakaşım vardır: i anaitik yakaşım ve ii sayısa yakaşım. Anaitik yakaşımar arasında stokastik sonu eeman yöntemini esas aan Perturation yöntemi en çok kuanıan yöntemerden iridir. Monte aro simüasyon gii sayısa yöntemde stokastik proemerin ütün tiperine genede uyguanaimektir. Bu yöntem geneike diğer anaitik yöntemerden ede edien sonuçarı doğruamak için kuanımaktadır. Her iki tekniğinde proemin doğasına ağı oarak azı avantajarı ve dezavantajarı uunmaktadır. Bu çaışmada üç oyutu çerçeve sistemerin stokastik dinamik anaizi gerçekeştiriecektir. Bu konuda iteratürde yer aan çaışmaar kısaca özetenecek ounursa: Zhou 1992 statik yüker atında geometri ve mazeme akımından ineer omayan çerçeve ve kafes yapıarın güveniirik anaizi için stokastik sonu eeman esası ir yöntem geiştirmiştir. Zhou 1992 çaışmasında yapının mazeme özeikerini geometrisini ve dış yükeri rastgee değişkener oarak dikkate amıştır. Mahadevan ve Mehta 1993 ise çaışmaarında dinamik oarak yükü üyük çerçeveerin güveniirik anaizi için stokastik sonu eemanar yöntemini SFEM kuanmışardır. Papadopouos ve Papadrakakis 1997 üç oyutu çerçeveerin stokastik sonu eemanar taanı güveniirik anaizini gerçekeştirmek için ağırıkı integra ve Monte aro yöntemini irikte kuanmışardır. Çaışmaarının sonunda ise her iki yöntemden ede edien sonuçarı karşıaştırmışardır. Deprem yayıımını rastgee seçerek yapıarın dinamik anaizi için ir yöntem geiştiren Lei ve Qiu 2 seçmiş odukarı üç oyutu yapıdaki dinamik tepkierin istatistikse özeikerini türetmek için eumann açıımı esası stokastik sonu eeman yöntemini kuanmışardır. eumann dinamik stokastik sonu eemanar yönteminden ede edien sonuçar Perturation esası stokastik sonu eeman yöntemi ve Monte aro Simuasyon sonuçarıya karşıaştırımıştır. Banik 23 Perturation ve Monte aro yöntemini uzay kafes ir yapıya uyguamış her iki yöntemin karışımından ouşan yöntemi ise deprem etkisine maruz kaan eirsiz

3 A. Bayraktar Ö. Çavdar H. B. Başağa ve A. Çavdar 319 rijitiki çok katı ir yapının dinamik anaizini gerçekeştirmek için kuanmıştır. Banik 23 çaışmanın sonucunda yapısa özeikerdeki eirsizikere ağı oarak yapı davranışında önemi ir değişim oaieceği sonucuna varmıştır. haudhuri ve hakraorty 23 çaışmaarında rastgee depreme maruz kaan çok katı uzay çerçeveerin güveniiriğini değerendirmeyi amaçamışardır. Bayraktar vd. 27 uzay kafes çeik ir kuenin Perturation ve Monte aro Simüasyon yöntemerine göre stokastik statik anaizini gerçekeştirmişerdir. Çaışmanın sonucunda küçük değişim katsayıarı için %1 OV her iki yöntemden ede edien yerdeğiştirme ve gerime değererinin iririne odukça yakın oduğu sonucuna varmışardır. Bu çaışmada stokastik sonu eeman taanı Perturation yöntemiye üç oyutu çerçeveerin oasııkı çözümeme ikeeri ortaya konumuş ve unun yanı sıra sistem üyükük ve kompeksiğinin sonuçar üzerine etkisi inceenmiştir. Bu amaca yöneik oarak deprem etkisinde farkı kat adedine farkı açıkıkara ve doayısıya farkı eeman sayısına sahip üç oyutu çerçeve sistemerin çözümemeeri Perturation yöntemine göre gerçekeştirimiş ve Monte aro yönteminden ede edien sonuçarın daha gerçekçi oduğu kauüye Perturation yönteminden ede edien yerdeğiştirmeer ve kesit tesireri u yöntemden ede edien sonuçar ie karşıaştırımıştır. Çaışmadaki stokastik dinamik çözümemeer sırasında mazeme özeikeri eastisite modüü rastgee değişken oarak seçimiştir. Stokastik Sonu Eemanar Yöntemi SFEM Değişken sistem parametreeriye oasııkı çözümeme yapma yöntemerinden iri oan stokastik sonu eemanar yöntemi değişken özeiki yapıarın tepki frekansarını tahmin etmek için geiştirimiştir. SFEM yakaşımı rastgee değişkenerin ir serisi oarak stokastik aanın temsii esasına dayanmaktadır. Stokastik sonu eemanar yöntemi yapısa sistemdeki eirsizikeri karşıamak için sonu eemanar yöntemi formüasyonarının değiştirimesinden iarettir. Teme değişkener stokastik oduğu için deterministik anaiz oyunca hesapanan her niteik ayrıca stokastiktir. Bu nedene stokastik tepkieri ede etmek için teme değişkenerin stokastik değişimi açısından deterministik anaizin her adımındaki niceikerin stokastik değişiminin hesaa katıması gerekmektedir. Bu teme fikir uyguaması asit gii görünmesine rağmen unu gerçekeştirmek odukça güçtür. Çünkü teme değişkener açısından değişik niceikerin kısmi türeverinin üyük matris topamarı gii odukça karışık hesapar içermektedir. Diğer modern çözümeme teknikerinde de oduğu gii stokastik sonu eemanar yönteminde de çok yoğun emek zaman ve karmaşık matematikse modeemeer gerekmektedir. Sıradan çözümeme işemeri gene oarak seçien tipik değişkenerden ouşur ancak gerçekte yapı sistemeri kendine ait süreki değişeien çok oyutu parametreerden ouşmaktadır. Bu parametreer kesit özeikeri ve oyutarı gii geometrik özeiker modüer ve dayanımar gii mazeme mekanik özeikeri ie yükerin üyükük ve dağıımı oaiir. Bu sistem parametreerinin karakteristikerindeki dağıımar iyi ir kaite kontroü ie eireneiir ve unar ancak oasııkı ir şekide tanımanaiir. Stokastik sonu eemanar yöntemi gene oarak dört şekide uyguanmaktadır: Titreşim veya Tayor açıımı temei yöntem Perturation method ağırıkı integra yöntemi Weighted integra method eumann açıımı yöntemi eumann expansion method ve çokterimi kaos açıımı yöntemi Poynomia chaos expansion method. Bu çaışmada uyguama aanı faza oduğu için Perturation yöntemi kuanımıştır. Perturation Yöntemi 196 yıından eri Perturation yöntemi stokastik sonu eeman proemerini çözmek için kuanıan etkii ir yöntemdir. İk defa Boyce ve Goodwin 1964 rastgee kiriş ve yayarın özdeğer proeminin çözümü için Perturation yöntemini kuanmışardır.

4 Stokastik Sonu Eeman Yöntemiye Üç Boyutu Çerçeve Sistemerin Deprem Anaizi 32 Tek rastgee değişkeni sistemin dinamik davranışını tanımayan Perturation esası stokastik sonu eeman denkemeri aşağıda verimektedir eier ve Hien 1992: Sıfırıncı-derece = için ineer eşzamanı sıradan fark denkemerinin ir sistemi Є terim Q M = 1 Birinci-derece = = için ineer eşzamanı sıradan fark denkeminin sistemeri Є 1 terim [ ] M Q M = 2 İkinci-derece = için ineer eşzamanı sıradan fark denkemerinin ir sistemi Є 2 terim [ ] [ ] σ σ σ σ σ σ σ σ S M M Q M } 2 { = 3 σ σ S 2 = 4 2 X 1 X = σ2 exp X X / λ 5 Bu formüasyonarda M Q σ S 2 X 1 X ve λ sırasıya düğüm noktası rastgee değişkenerinin vektörü düğüm noktası yerdeğiştirme tipi değişkenerin vektörü ieri zaman değişkeni sistem küte matrisi sönüm matrisi sistem rijitik matrisi yük vektörü yerdeğiştirme düğüm noktası rastgee değişkenerinin kovaryans matrisi değişim katsayısı OV ve koreasyon uzunuğunu ifade etmektedir. düğüm noktası rastgee değişkenerinin sayısını ve ise sistemdeki serestik dereceerinin sayısını göstermektedir. Monte aro Simüasyon MS Yöntemi Monte aro Yöntemi herhangi ir fizikse test yapmadan sayısa oarak sonuç üretmek amacıya kuanıan öze ir tekniktir. Bu yöntem X değişkenine ait oasıık yoğunuk fonksiyonuna göre üretien ir grup rastgee değerere işem yapmaktadır. Değişken için seçien rastgee değerer X={x 1 x 2 x 3 x } vektörü ie gösterieiir. Burada simuasyon sayısını göstermektedir. Bu yöntemde her ir X değeri için rijitik ve küte matriseri ouşturumakta ve yerdeğiştirme ve gerime değereri hesapanmaktadır. simuasyonun sonunda değişkene ait her ir rastgee değer için yerdeğiştirme ve gerime vektöreri ede edimektedir. { } { } { } { } { } yerdeğiştirme vektörerini {} {} { } { } { } σ σ σ σ gerime vektörerini göstermek üzere yerdeğiştirmenin ve gerimenin ekenen değereri ortaama değereri { } { } = = i i 1 1 μ 6

5 A. Bayraktar Ö. Çavdar H. B. Başağa ve A. Çavdar μ{} σ = {} σ i i= 1 7 formüeri ie hesapanmaktadır. SAYISAL UYGULAMA Bu çaışmada deprem etkisindeki üç oyutu çerçeve sistemerin stokastik sonu eeman çözümemeeri gerçekeştirimiştir. Sistem üyükük ve kompeksiğinin sonuçar üzerindeki etkisi ayrıca irdeenmiştir. Bu amaca yöneik oarak 2 katı X ve Y yönerinde 1 açıkıkı 4 katı X ve Y yönerinde 2 açıkıkı ve 1 katı X yönünde 3 Y yönünde 2 açıkıkı üç oyutu üç çerçeve sistemer mode oarak seçimiştir Şeki 1. Bu modeer için her ir açıkık x yönünde 4m y yönünde 3m kat yüksekikeri ise 3m aınmıştır. Çerçeve sistemerin eastisite modüerinin rastgee değiştiği kau edierek %15 değişim katsayısı OV için stokastik dinamik çözümemeer gerçekeştirimiştir. Diğer çaışmaarda oduğu gii u çaışmada da MS çözümemeeri sonuçarın mukayesesi amacıya kuanımış ve stokastik anaiz sonucunda ede edien yerdeğiştirmeer ve kesit tesireri u yöntemden ede edien sonuçar ie karşıaştırımıştır. Çözümemeer sırasında 17 Ağustos 1999 ocaei depreminin YPT33 Şeki 2 yatay ivme ieşeni sistemere etkittirimiştir. Perturation yöntemine dayaı anaizer FORTRA taanı ir igisayar programı kuanıarak Monte aro yöntemine dayaı anaizerde ise ayrı ir FORTRA taanı igisayar programı hazıranarak gerçekeştirimiştir. Monte aro yöntemi MS 1 simüasyon örnekeme sayısı için gerçekeştirimiştir. Seçien çerçeve modeerindeki koon ve kiriş eemanarın enkesit oyutarı sırasıya 3 mm 5 mm 25 mm 5 mm oarak dikkate aınmıştır. Çaışmada kuanıan çerçeveerde koon enkesit oyutarından üyüğünün eğime doğrutusunda oduğu dikkate aınmıştır. Mazemenin eastisite modüü E k/m 2 oarak kuanımış etonarmenin irim ağırığı ie poisson oranı ν TS 5 2 de öneridiği gii sırasıya 25 k/m 3 ve.2 aınmıştır. MS yöntemi ie her ir sistemin çözümenmesi programın koşması sistem üyüküğüne ve simüasyon sayısına ağı oarak değişmektedir. Örneğin u çaışmada yer aan 1 katı sistemin çözümenmesi 1 simüasyon sayısı için iki saati aşkın ir zaman amaktadır. 2 katı sistem ise yakaşık yarım saat içinde çözümeneimektedir. Aynı işem süreçeri Perturation yöntemi için ise saniyeere ifade edimektedir.

6 322 Stokastik Sonu Eeman Yöntemiye Üç Boyutu Çerçeve Sistemerin Deprem Anaizi a 1 katı X yönünde 3 Y yönünde 2 açıkıkı üç oyutu çerçeve 4 katı X ve Y yönünde 2 açıkıkı üç oyutu çerçeve c 2 katı X ve Y yönünde 1 açıkıkı üç oyutu çerçeve Şeki 1. Örnek çerçeve sistemer X yönündeki açıkıkar 4m Y yönündeki açıkıkar 3m kat yüksekikeri 3m 4 2 İvme m/s Zaman s Şeki ocaei depremi yatay ivme ieşeni. Yerdeğiştirmeer Üç oyutu çerçeve sistemerin Perturation ve Monte aro Simüasyon yöntemiye ede edimiş kat yüksekikeri oyunca X doğrutusundaki maksimum yatay yerdeğiştirme grafikeri Şeki 3 te görümektedir. Buna göre Perturation yönteminden ede edien yerdeğiştirmeer gene itiariye MS yöntemerinden ede edien yerdeğiştirme değererine kat yüksekiği oyunca yakın ir seyir izemektedir. Seçien üç çerçeve modei için de iki farkı yöntemden ede edien yerdeğiştirme

7 A. Bayraktar Ö. Çavdar H. B. Başağa ve A. Çavdar 323 değereri at katarda iririne daha uzak omaka irikte üst katara gittikçe daha yakın değerer amaktadır. Sayısa veriere ifade ediecek ounursa Perturation yöntemiye 1 katı çerçeveden ede edien yatay yerdeğiştirme değereri irinci katta MS yöntemine göre yakaşık %15 farkıık arz ederken u fark üst katara doğru hıza azamakta ve en üst katta %.6 seviyesine kadar düşmektedir. Diğer ir ifadeye en üst kat için Perturation yönteminden ede edien yatay yerdeğiştirme değeri 31 mm iken MS yönteminde u değer 38 mm dir. Diğer çerçeve sistemerde de enzer oarak en üst noktaarındaki farkı yöntem kuanımıya ouşan fark dört katı sistem için %1.8 2 katı sistem için ise %.5 merteesinde omaktadır. Bu noktadan harekete Perturation yönteminin çerçeve sistemerin yatay yerdeğiştirme değereri dikkate aındığında sistem kat adedi ve sistem eaman sayısından ağımsız oarak MS yöntemine yakın değerer verdiği görümektedir MS Perturation 1 atı Çerçeve 21. at Yüksekiği m atı Çerçeve atı Çerçeve Yatay Yerdeğiştirmem Şeki 3. Çerçeve modeerinin yüksekik oyunca X doğrutusundaki en üyük yatay yerdeğiştirmeeri Momenter Şeki 4 te çerçeve modeerinin kat yüksekiği oyunca koon at uçarında ouşan en üyük moment değererinin iki farkı stokastik yöntemden ede edien sonuçarı yer amaktadır. Grafikten görüeieceği gii Şeki 4 en üyük yatay yerdeğiştirme değererine enzer oarak iki yöntemden ede edien en üyük moment değereri için de enzer yakınsama oranarı söz konusudur. Tüm modeer için iki yöntemden ede edien en küçük momenterin ouştuğu fark en üst katarda %8-1 arasındayken en üyük momentin ouştuğu en at katarda u oran %2 nin atına düşmektedir. Yine urada da Perturation yönteminin MS yöntemine çok yakın moment değereri vermesi u yöntemin kuanıaiiriğini gözer önüne sermektedir.

8 324 Stokastik Sonu Eeman Yöntemiye Üç Boyutu Çerçeve Sistemerin Deprem Anaizi atı Çerçeve MS Perturation 21. at Yüksekiği m atı Çerçeve 6. 2 atı Çerçeve Moment km Şeki 4. Çerçeve modeerinin yüksekik oyunca koon at uçarındaki en üyük momenteri Eksene uvveter Çerçeve modeerinin kat yüksekiği oyunca koonarında ouşan en üyük eksene kuvvet değererinin iki farkı stokastik yöntemden ede edien sonuçarı Şeki 5 te yer amaktadır atı Çerçeve MS Perturation 21. at Yüksekiği m atı Çerçeve atı Çerçeve Eksene uvvet k Şeki 5. Çerçeve modeerinin yüksekik oyunca koonarındaki en üyük eksene kuvveter

9 A. Bayraktar Ö. Çavdar H. B. Başağa ve A. Çavdar 325 Tüm modeer için iki yöntemden ede edien sonuçar değerendiridiğinde en küçük eksene kuvveterin ouştuğu en üst katarda fark %15 iken en üyük eksene kuvvetin ouştuğu en at katarda u oran %2 nin atına düşmektedir. Yine urada da Perturation yönteminin MS yöntemine yakın değer verdiği açıkça görümektedir. SOUÇLAR Bu çaışmada üç farkı üç oyutu çerçevenin Perturation ve Monte aro yöntemerine göre stokastik dinamik anaizeri gerçekeştirimiştir. Mazeme özeikerinden eastisite modüü rastgee değişken oarak seçimiş ve değişim katsayısı OV %15 aınarak anaizer gerçekeştirimiştir. İki yöntemden ede edien sonuçar irireriye karşıaştırımıştır ve sonuçar aşağıda özetenmiştir: Çaışmada dikkate aınan ütün çerçeve sistem modeerinde yerdeğiştirme ve kesit tesireri için Perturation ve Monte aro simüasyon yöntemerinden ede edien sonuçar iririne odukça yakın değerer vermektedir. Bu seepe MS yönteminin işem süresi de dikkate aındığında u yöntemin yerine Perturation yönteminin kuanıaieceği u çaışmanın en önemi sonucunu teşki etmektedir. Çaışmadan ede edien ir diğer sonuç ise sistem üyükük ve kompeksiğinin MS ve Perturation yönteminden ede edien sonuçarı önemi düzeyde etkiemediğidir. Ancak her ir çerçeve sistem kendi içinde değerendiridiğinde gerek yerdeğiştirme değereri gerekse kesit tesireri değererinin en küçük oduğu katarda u iki yöntemin sonuçarı görecei oarak daha uzakken en üyük değererin ouştuğu katarda göze çarpar ir yakınsama söz konusu omaktadır. AYALAR Banik S. S. 23. Dynamic Anaysis of Structures with Uncertain Properties PhD Thesis University of Windsor Windsor anada. Bayraktar A. Çavdar Ö. Başağa H.B. ve Çavdar A. 27. Uzay afes Çeik Sistemerin Stokastik Sonu Eeman Anaizi 2. Çeik Yapıar Uusa Sempozyumu TMMOB İnşaat Mühendiseri Odası Eskişehir Boyce E.W. ve Goodwin B.E Random Transverse Viration of Eastic Beams SIAM Journa haudhuri A. ve hakraorty S. 23. Reiaiity Evauations of 3-D Frame Sujected to on-stationary Earthuake Journa of Sound and Viration eier M. ve Hien T.D The Stochastic Finite Eement Method. Wiey ew York USA. Lei Z. ve Qiu. 2. eumann Dynamic Stochastic Finite Eement Method of Viration for Structures with Stochastic Parameters to Random Excitation omputers and Structures Mahadevan S. ve Mehta S Dynamic Reiaiity of Large Frames omputers and Structures Papadoupuos V. ve Papadrakakis M Stochastic Finite Eement Based Reiaiity Anaysis of Space Frame Proaiistic Engineering Mechanics TS5 2 Betonarme Yapıarın Tasarım ve Yapım uraarı Türk Standartarı Enstitüsü Ankara. Zhou Y Efficient Stochastic Finite Eement Method for the Reiaiity Anaysis of oninear Frame Structures PhD Thesis Arizona USA.

10 326 Stokastik Sonu Eeman Yöntemiye Üç Boyutu Çerçeve Sistemerin Deprem Anaizi