AYRIK ZAMANLI ELEKTRİK DEVRELERİNİN SONLU FARK DENKLEMLERİYLE MODELLENMESİ

Transkript

1 DOKUZ EYÜ ÜNİVESİTESİ MÜHENDİSİK FAKÜTESİ FEN VE MÜHENDİSİK DEGİSİ il/vol.:7 No/Nmber: Sayı/sse:49 Sayfa/Page:7-34 Ocak 05 /Janary 05 Makale Gönderim Tarihi (Paper eceived Dae): Aralık 04 Makale Kabl Tarihi (Paper Acceped Dae): 30 Aralık 04 AYK ZAMAN EEKTİK DEVEEİNİN SONU FAK DENKEMEİYE MODEENMESİ (MODENG OF DSETE TME EET UTS USNG FNTE DFFEENE EQUATON) em İVEEK ÖZ B çalışma, sürekli zamanda diferansiyel denklemlerle modellenen klasik elekrik devrelerinin ayrık zamanlı oldklarında sonl fark denklemleriyle nasıl modellenebileceğini incelemek amacıyla yapılmışır. Anahar kelimeler: Sonl fark denklemleri ve ayrık zaman analog devreleri, Modelleme, Devreler Teorisi ABSTAT This sdy incldes a research on applicaion of finie difference eaions for modellibiliy of discree ime analog elecric circis, which can be modeled in coninos ime domain by differenial eaions Keywords: Finie difference eaions and discree ime analog circis, modeling, circi heory Ege Üniversiesi, Mühendislik Fakülesi, Elekrik-Elekronik Mühendisliği Bölümü, Bornova Kampüs Bornova, İzmir, cem.civelek@ege.ed.r (sorml yazar)

2 Sayfa No: 8.İVEEK. GİİŞ Sürekli zaman bölgesinde analog devrelerin diferansiyel denklemlerle modellenmesi birçok Devre Teorisi kiabında blnabilir, örneğin (ha, 987) gibi. Sonl farklar ve fark denklemleriyle ilgili en emel bilgiler örnek olarak (Jordan and Smih 997) ve (Spiegel, 98) kiaplarında verilmişir. B iki maemaik kiabından ilki, aynı zamanda mühendislik maemaiği ve diferansiyel denklemler için de çok değerli bir kaynakır. Sonl farklar ve emel yglamaları üzerine yine değerli bir kaynak ise (MacKeown, P. K. Newman D. J., 987) kiabıdır. Mekanikeki konm ve hız gibi fiziksel büyüklüklerin ayrık zaman drm için incelendiği ender bir kaynak (Greenspan, 98) şeklindedir. Poansiyel ve kineik enerjilerin, ayrık drm için ele alınarak incelendiği kaynak (ivelek,. Süsse,., 003) şeklinde verilebilir. B çalışmada klasik bir elekrik devresinin giriş ve çıkışının sürekli gözlemlenemediği gözlemlenebilen değerlerin eşi aralıklı ayrık bir şekilde oldğ drmda devrenin nasıl modellenebileceği anlaılmakadır.. SİSTEM TANMA Kllanılan büyüklükler genel anlamda ve kısaca şöyle anımlanabilir: :örnekleme aralığı : örneklem 0,,,,n : (elekriksel) yükün ninci örneklem ile elde edilen değeri : (manyeik) akının ninci örneklem ile elde edilen değeri : akımın ninci örneklem ile elde edilen değeri : gerilimin ninci örneklem ile elde edilen değeri şeklindedir. B drmda süresi içinde yük örneklemlerinin değişim hızı/gradieni () şeklindedir. Benzer şekilde öndeki eksi işare göz ardı edilerek, akı örneklemlerinin değişim hızı/gradieni () şeklinde olacakır. Bilindiği üzere devrelerde yük ve akı hesaplanmalarından daha çok akım ve gerilim büyüklükleri kllanılır. Örnek olarak yük/akı değişiminin söz kons oldğ bir drmda, önceki örneklem (akım/gerilim) ve sonraki örneklem (akım/gerilim) değerleri söz kons olabilir. B iki örneklem arasında aşağıdaki gibi oralama değer olarak akım (3) ve gerilim (4)

3 Fen ve Mühendislik Dergisi il:7 No: Sayı:49 Sayfa No: 9 şeklinde yazılabilir. Şimdi de elekrik devresinin emel bileşenleri ayrık zaman drm için incelensin. Akım ve gerilimin sürekli olarak izlenemediği ve aynı örnekleme periyod ile örneklenerek işlemin ayrık zaman drma dönüşürülmesiyle bileşenler aşağıdaki şekilde olrlar: Direnç : B drmdaki direnç değeri (5) olp direnç anımının her iki arafına da eklenmesi, (6) ve cebirsel işlemlerle direnç için (7) blnr. B sonçlardan arılı olanı, direnç bağınısında gerilimin akı değişimi ürüyle ve akımın yük değişimi üründen yazılmasıyla ş şekilde de göserilebilir: (8) Ancak aşağıdaki diğer edilgen/pasif bileşenlerin ilgili büyüklükleri, büyüklükler arası işarein hep eksi olmasından yola çıkarak yapılacağından direncin de aşağıdaki eksi işareli şekli, ym açısından daha doğrdr ve ilgili gerilimler ş şekilde olrlar: (9)

4 Sayfa No: 30.İVEEK Kondansaör / Sığaç : Böyle bir drmdaki kondansaörün/sığaçın kapasiesi/sığası dirençekine benzer işlemlerle (0) şeklinde blnr. Yine b bağınının arılı biçimi, örnekleme aralığında kondansaörde/sığaça depolanan yükün oralamasının alınması ve gerilimin akı değişimi üründen yazılmasıyla () şeklinde de blnabilir. Akım ve gerilim anımları ykarıda büyüklüklerin aralarındaki işarein eksili biçimi için yapıldığından kondansaörün/sığaçın eksi işareli anımından, oralama akım için bağını ş şekilde blnr: Δ () ve görülebildiği gibi akım değeri oralama bir değerdir, çünkü akım değerleri her örneklemde değişebilir. Dolayısıyla akımlar Δ Δ (3) olarak elde edilir. Kondansaör/sığaç bağınısı üzerinden örneklemler arasındaki gerilim farkı Δ (4) ve dolayısıyla gerilimler Δ Δ (5) olarak blnr.

5 Fen ve Mühendislik Dergisi il:7 No: Sayı:49 Sayfa No: 3 İndükör / İrkileç : Tanım gereği İndükör/irkileç, direnç ve kondansaördekine/sığaçaki benzer işlemlerle (6) şeklinde olacağından, bağınının arılı olanı için ykarıda direnç ve kondansaörde/sığaça izlenen yaklaşımın benzeri ve oralama akıyla, (7) elde edilir. ndükör/irkileç gerilim açısından ele alınsın. Ykarıda kondansaör/sığaç kısmında açıklanan nedenden dolayı indükörün/irkileçin akılar arası eksi işareli anımından, oralama gerilim için bağını, benzer şekilde şöyle blnr: Δ (8) ve dolayısıyla gerilimler Δ Δ (9) şeklinde olrlar. İndükör/irkileç üzerinde ayrık zaman drm için gerilimin, kondansaördeki/sığaçaki akım gibi oralama bir değer oldğ görülmekedir. İndükör/irkileç bağınısı üzerinden örneklemler arasındaki akım farkı (0) şeklinde blnr ve bna göre de akımlar () şeklindedir. Türeildiği üzere, kondansaörde/sığaça gerilim örnekleme değerinin zamanla değişimi söz konsysa akımın indükörde/irkileçe akım örnekleme değerlerinin zamanla değişimi söz konsysa gerilimin oralaması alınmakadır.

6 Sayfa No: 3.İVEEK 3. ÖNEK Şimdi de her üç pasif/edilgen bileşenleri içeren aşağıda Şekil 3. de görülen seri devresi ayrık zaman drm için incelensin + ( ) - i () + - Şekil Sürekli zaman drmnda Kirchoff gerilim yasasıyla gerilimler için aşağıdaki bağını blnr: i iτ 0 dτ di d () Görüldüğü üzere b bağını, 0 için homojen olmayan bir inegrodiferansiyel denklem biçimindedir. Aynı devre, ayrık zamanlı drm için incelenecek olrsa akım (3) şeklinde olacağından Kirchoff gerilim yasasıyla şöyle bir bağını elde edilir: Δ (4) Δ Sürekli ve ayrık drmlar arasındaki benzerlikler görülmekle birlike farklılıklar da çok açıkır. Sürekli drm için blnan denklem bir inegrodiferansiyel denklem olrken ayrık drm için elde edilen denklem bir fark denklemidir. İnegrodiferansiyel denklemin inhomojen drmda Umcosω şeklinde bir dürüyle yarıldığı varsayılırsa, akım için çözüm ωu (5) 4 ω ω ω m cosω φ i şeklinde olr. Sonl farklar denklemi ise, birinci dereceden sabi/değişmez kasayılı inhomojen bir denklem olp cebirsel işlemlerle

7 Fen ve Mühendislik Dergisi il:7 No: Sayı:49 Sayfa No: 33 (6) Δ Δ Δ Δ şeklini alır. Δ bir kasayı oldğndan, ayrık drmda çözüm kolaylığı açısından Δ alınabilir. Dolayısıyla fark denklemi (7) şekline girer ve akımlar için 4 4 (8) blnr. Bna göre oralama akım şöyledir: 4 4 (9) Gerilim şeklindeki dürünün yine sinüzoidal, yani ω U cosω U cos (30) m olmasıyla oralama akım için m U m cos 4 U 4 m ω cosω (3) sonc elde edilir. B sonçla analiik sonç karşılaşırılırsa, birebir manın olmamasına rağmen benzerlik de açıkır. 4. SONUÇA B araşırmayla ayrık zaman sinyalleriyle beslenen klasik bir devrenin epkisini hesaplamak amaçlı bir yönem eklif edilmişir. Kon yeni ve bilindiği kadarıyla lieraürde olmadığından, genişleilmesi ve yeni yglama alanlarının araşırılması gerekmekedir. Ancak görülebildiği üzere bilgisayar ağırlıklı ve nümerik Devre Analizi drmları için ygn görünmekedir. Özellikle doğrsal olmayan, parça parça doğrsallaşırılabilen devreler için ygn olabilir. KAYNAKA [] ha. inear and Nonlinear ircis, McGraw-Hill, New York, 987.

8 Sayfa No: 34.İVEEK [] Jordan DW, Smih P. Mahemaical Technies, nd ed., Oxford: Oxford Universiy Press, 997. [3] Spiegel M. Theory and Problems of alcls of Finie Differences and Difference Eaions. New York: McGraw-Hill, 98. [4] MacKeown PK, Newman DJ. ompaional Technies in Physics, Brisol: OP Pblishing imied, 987. [5] Greenspan, D. omper-oriened Mahemaical Physics, Oxford: Pergamon Press, 98. [6] ivelek,., Süsse,. "Diskree Behandlng von Energie- nd Dissipaionsfnkion bei zeidiskreen Prozessen", nernaionales Wissenschafliches Kolloim Technische Universiä lmena, 48, s. -5, 003. ÖZGEÇMİŞ / V em İVEEK, Yard. Doç. Dr. Elekronik ve İnformasyon Mühendisliği dalında lisans-yüksek lisans birleşik eğiimini 988 sonnda Bremen Üniversiesi, Almanya da amamladı. Türkiye de kısa süre bir Alman sismik şirkei için 3D sismik veri opladı. Daha sonra İzmir de bir bilgisayar şirkeinde eknik müdür olarak çalışı. 990 yılı bahar döneminde Dokz Eylül Üniversiesi, Elekrik-Elekronik Mühendisliği adına ders verdi. 99 sonnda bölümde Elekromanyeik Teori ve Mikrodalga Tekniği ana bilim dalında öğreim görevlisi olarak aandı. 996 yılı oralarında lmena Teknik Üniversiesi/Almanya da Teorik Elekroeknik dalında dokora eğiimine başladı, 00 başlarında amamladı ve bölümünde öğreim görevlisi Dr. olarak çalışmaya devam ei. Mayıs 0 arihinden beri Ege üniversiesi, Elekrik-Elekronik Mühendisliği, Devreler ve Sisemler konlarında Yard. Doç. Dr. olarak çalışmakadır. Temel çalışma alanları Enerji fonksiyonlarıyla fiziksel sisemlerin maemaik modellenmesi ve Sinyal ve Spekrm Analizi üzerinedir.. He go his Dipl.-ng degree in Elecrical and nformaion Engineering in he Universiy of Bremen/Germany a he end of 998. n Trkey, he worked in a german seismic company for 3D daa acisiion for a shor while. aer, he worked for a comper sysem company as a echnical manager. n he spring semeser 990, he sared o hold lecres in he name of Dokz Eylül Universiy, Elecrical & Elecronics Engineering. A he end of 99, he was aended as an insrcor for he chair of Elecromagneic Theory and Microwave Technies a he deparmen. n he middle of 996, he sared wih his Ph.D sdies in he chair of Theoreical Fondaions of Elecrical Engineering, Technical Universiy of lmena/germany, compleed his hesis a he beginning of 00 and conined o work as an ınsrcor Dr. in his deparmen. Since May 0, he works as an assisan. Prof. Dr. in Ege Universiy, Elecrical & Elecronics Engineering Deparmen, chair of ircis & Sysems. His major areas of ineress are Mahemaical Modelling of physical Sysems sing Energy Fncions, Signal and Specrm Analysis.