Makina Müh. Cem DOLU. Anabilim Dalı : MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ. Programı : ISI-AKIŞKAN

Transkript

1 İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MİKROKANAL ISIL PERFORMANSI ÜZERİNDE KAYMA AKIŞI MODELİ HASSASİYETİ ETKİLERİNİN ARAŞTIRILMASI YÜKSEK LİSANS TEZİ Makia Müh. Ce DOLU Aabili Dalı : MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ Prograı : ISI-AKIŞKAN HAZİRAN 7

2 İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MİKROKANAL ISIL PERFORMANSI ÜZERİNDE KAYMA AKIŞI MODELİ HASSASİYETİ ETKİLERİNİN ARAŞTIRILMASI YÜKSEK LİSANS TEZİ Makia Müh. Ce DOLU (5353) Tezi Etitüye Verildiği Tarih : 7 Mayı 7 Tezi Savuulduğu Tarih : 3 Hazira 7 TEZ DANIŞMANI : Doç.Dr. Lütfullah KUDDUSİ Diğer Jüri Üyeleri Prof.Dr. Seyha Uygur ONBAŞIOĞLU Doç.Dr. Fırat Oğuz EDİS HAZİRAN 7 ii

3 ÖNSÖZ Bu yükek lia tez çalışaıı yöete, olulu eleştiri ve öerileri ile katkıda bulua değerli hoca S. Doç. Dr. Lütfullah KUDDUSİ ye teşekkür ederi. Sayı daışa hocaı der yükü ve projeler açııda yoğu bir döe geçireie karşı, yükek lia tez çalışaı öcelik ıralaaıda e üte koyarak her türlü yardıı eirgeeiş olaıda dolayı da kediie teşekkürlerii iletek iteri. Ayrıca, daışa hocaa güüüzde üzeride yoğu araştıra ve geliştire yapıla bu zevkli kouda bei çalışaya yöelttiği içi de kediie teşekkür etek itiyoru. Akadeik kariyerii başlagıcıda olduğu bu gülerde, daışa hocaı çalışkalığı, işie ola aygıı ve evgii bei hayalii kurduğu akadeik kariyeride baa hep örek teşkil edeceğide dolayı da kedii teşekkür ederi. Ayrıca kedii ile birlikte çalışıyor olakta büyük gurur duyuyoru. Buu yaı ıra, S. Prof. Dr. Seyha Uygur ONBAŞIOĞLU a gerek lia ve gereke yükek lia çalışalarıda yapış olduğu deteklerde, değerli görüşlerii beile paylaşaıda ve baa her kouda detek olup yol götereide dolayı tü içteliği ile teşekkür ederi. Burada adıı yazaadığı fakat bei yetişede eeği geçe bütü değerli hocalarıa teşekkür ederi. So olarak, tü hayatı boyuca her adııda addi ve aevi deteklerii eirgeeye, her zaa yaıda olduklarıı hiettire evgili AİLEME ve DOSTLARIMA teşekkür ederi. Hazira 7 Ce DOLU iii

4 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ İİİ KISALTMALAR Vİ TABLO LİSTESİ Vİİ ŞEKİL LİSTESİ İX SEMBOL LİSTESİ Xİİ ÖZET Xİİİ SUMMARY XV. GİRİŞ. LİTERATÜR ARAŞTIRMASI 4 3. PROBLEMİN TANITILMASI Boyutuz Kaya Hızı İfadeii Çıkarılışı 3.. Boyutuz Kaya Sıcaklığı İfadeii Çıkarılışı 4. MOMENTUM DENKLEMİ 5 5. MOMENTUM DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜ 3 6. BOYUTSUZ ORTALAMA KAYMA HIZININ BULUNMASI ENERJİ DENKLEMİ SEKİZ DEĞİŞİK ISIL SINIR ŞARTININ TANITILMASI D SINIR ŞARTI HALİ İÇİN ENERJİ DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜ Boyutuz Ortalaa Kaya Sıcaklığıı Buluaı Yığı (Bulk) Sıcaklığı Heaplaaı Nuelt Sayııı (Nu) Heaplaaı 76. SONUÇLAR D Sıır Şartı Hali İçi Elde Edile Souçlar 8.. 3U Sıır Şartı Hali İçi Elde Edile Souçlar U Sıır Şartı Hali İçi Elde Edile Souçlar U Sıır Şartı Hali İçi Elde Edile Souçlar iv

5 .5. 3K Sıır Şartı Hali İçi Elde Edile Souçlar 6.6. K Sıır Şartı Hali İçi Elde Edile Souçlar.7. K Sıır Şartı Hali İçi Elde Edile Souçlar 8.8. C Sıır Şartı Hali İçi Elde Edile Souçlar 4 KAYNAKLAR 3 EK A 34 EK B 37 EK C 4 EK D 43 EK E 53 EK F 63 EK G 77 EK H 87 EK I 97 EK J ÖZGEÇMİŞ 3 v

6 KISALTMALAR 4D 3U U U 3K K K C : Dört duvarı abit ıcaklıkta ııtıldığı ıır şartı hali. : Üç duvarı abit ıcaklıkta ııtıldığı, bir kıa duvarı ie yalıtılı olduğu ıır şartı hali. : İki duvarı abit ıcaklıkta ııtıldığı, iki kıa duvarı ie yalıtılı olduğu ıır şartı hali. : Bir uzu duvarı abit ıcaklıkta ııtıldığı, diğer üç duvarı yalıtılı olduğu ıır şartı hali. : Üç duvarı abit ıcaklıkta ııtıldığı, bir uzu duvarı yalıtılı olduğu ıır şartı hali. : İki duvarı abit ıcaklıkta ııtıldığı, iki uzu duvarı yalıtılı olduğu ıır şartı hali. : Bir kıa duvarı abit ıcaklıkta ııtıldığı, diğer üç duvarı yalıtılı olduğu ıır şartı hali. : Bir kıa ve bir uzu duvarı abit ıcaklıkta ııtıldığı, diğer iki duvarı yalıtılı olduğu ıır şartı hali. vi

7 TABLO LİSTESİ Sayfa No Tablo.: Değişik Kaya Sıır Şartı Dekleleride Yer Ala A ve A Katayılarıı Karşılaştırılaı. (Moetu uyu katayııı olduğu duru içi) (Barber ve Eero, 6)...5 Tablo.: Birici Mertebede Kaya Akışı Modelii Kullaılaı İle 4D Sıır Şartı İçi Elde Edile Ortalaa Nuelt Sayıları (Nu)...8 Tablo.: 4D Sıır Şartı İçi Elde Edile Nuelt Sayıları (Kuddui, 6)...8 Tablo.3: İkici Mertebede Kaya Akışı Modelii Kullaılaı İle 4D Sıır Şartı İçi Elde Edile Ortalaa Nuelt Sayıları (Nu)...8 Tablo.4: 4D Sıır Şartı Hali İçi Elde Edile ε a Değerleri...84 Tablo.5: Birici Mertebede Kaya Akışı Modelii Kullaılaı İle 3U Sıır Şartı İçi Elde Edile Ortalaa Nuelt Sayıları (Nu)...88 Tablo.6: 3U Sıır Şartı İçi Elde Edile Nuelt Sayıları (Kuddui, 6)...88 Tablo.7: İkici Mertebede Kaya Akışı Modelii Kullaılaı İle Tablo.8: 3U Sıır Şartı İçi Elde Edile Ortalaa Nuelt Sayıları (Nu)...89 Birici Mertebede Kaya Akışı Modelii Kullaılaı İle U Sıır Şartı İçi Elde Edile Ortalaa Nuelt Sayıları (Nu)...94 Tablo.9: U Sıır Şartı İçi Elde Edile Nuelt Sayıları (Kuddui, 6)...94 Tablo.: İkici Mertebede Kaya Akışı Modelii Kullaılaı İle U Sıır Şartı İçi Elde Edile Ortalaa Nuelt Sayıları (Nu)...95 Tablo.: Birici Mertebede Kaya Akışı Modelii Kullaılaı İle U Sıır Şartı İçi Elde Edile Ortalaa Nuelt Sayıları (Nu)... Tablo.: U Sıır Şartı İçi Elde Edile Nuelt Sayıları (Kuddui, 6).. Tablo.3: İkici Mertebede Kaya Akışı Modelii Kullaılaı İle U Sıır Şartı İçi Elde Edile Ortalaa Nuelt Sayıları (Nu)... Tablo.4: Birici Mertebede Kaya Akışı Modelii Kullaılaı İle 3K Sıır Şartı İçi Elde Edile Ortalaa Nuelt Sayıları (Nu)...6 Tablo.5: 3K Sıır Şartı İçi Elde Edile Nuelt Sayıları (Kuddui, 6)..6 Tablo.6: İkici Mertebede Kaya Akışı Modelii Kullaılaı İle 3K Sıır Şartı İçi Elde Edile Ortalaa Nuelt Sayıları (Nu)...7 Tablo.7: Birici Mertebede Kaya Akışı Modelii Kullaılaı İle K Sıır Şartı İçi Elde Edile Ortalaa Nuelt Sayıları (Nu)... Tablo.8: K Sıır Şartı İçi Elde Edile Nuelt Sayıları (Kuddui, 6).. Tablo.9: İkici Mertebede Kaya Akışı Modelii Kullaılaı İle K Sıır Şartı İçi Elde Edile Ortalaa Nuelt Sayıları (Nu)...3 Tablo.: Birici Mertebede Kaya Akışı Modelii Kullaılaı İle K Sıır Şartı İçi Elde Edile Ortalaa Nuelt Sayıları (Nu)...8 Tablo.: K Sıır Şartı İçi Elde Edile Nuelt Sayıları (Kuddui, 6)..8 vii

8 Tablo.: İkici Mertebede Kaya Akışı Modelii Kullaılaı İle K Sıır Şartı İçi Elde Edile Ortalaa Nuelt Sayıları (Nu)...9 Tablo.3: Birici Mertebede Kaya Akışı Modelii Kullaılaı İle C Sıır Şartı İçi Elde Edile Ortalaa Nuelt Sayıları (Nu)...4 Tablo.4: C Sıır Şartı İçi Elde Edile Nuelt Sayıları (Kuddui, 6)...4 Tablo.5: İkici Mertebede Kaya Akışı Modelii Kullaılaı İle C Sıır Şartı İçi Elde Edile Ortalaa Nuelt Sayıları (Nu)...5 viii

9 ŞEKİL LİSTESİ Sayfa No Şekil.: Akış odellerii ııfladırılaı....5 Şekil.: Kude ayııa bağlı olarak akış karakterlerii göterilei...6 Şekil.3: Stadart atoferik şartlarda karakteritik uzuluk (L) ve Kude ayııa (K) göre ikro-akış elaalarıı akış rejilerii göterilei...8 Şekil.4: Navier-Stoke dekleii geçerli olduğu bölgeleri göterilei...9 Şekil 3.: Mikro kaalı şeatik çizii....7 Şekil 8.: Sekiz değişik ııl ıır şartıı şeatik göterii...56 Şekil.: 4D Sıır şartı içi Nu ayııı K ayııa göre değişii...83 Şekil.: 4D Sıır şartı içi Nu ayııı kear oraıa ( ) göre değişii Şekil.3: 4D Sıır şartı hali içi K ayııa bağlı olarak Nu ayııdaki % bağıl değişi ( ε a )...85 Şekil.4: 4D Sıır şartı hali içi kear oraıa ( ) bağlı olarak Nu ayııdaki % bağıl değişi ( ε a )...86 Şekil.5: 4D Sıır şartı içi elde edile eş ıcaklık eğrileri. (K=.5 ve = )...87 Şekil.6: 4D Sıır şartı içi elde edile eş ıcaklık eğrileri. (K=.5 ve =.6 )...87 Şekil.7: 3U Sıır şartı içi Nu ayııı K ayııa göre değişii...9 Şekil.8: 3U Sıır şartı içi Nu ayııı kear oraıa ( ) göre değişii....9 Şekil.9: 3U Sıır şartı hali içi K ayııa bağlı olarak Nu ayııdaki % bağıl değişi ( ε a )...9 Şekil.: 3U Sıır şartı hali içi kear oraıa ( ) bağlı olarak Nu ayııdaki % bağıl değişi ( ε a )...9 Şekil.: 3U Sıır şartı içi elde edile eş ıcaklık eğrileri. (K=.5 ve = )...93 Şekil.: 3U Sıır şartı içi elde edile eş ıcaklık eğrileri. (K=.5 ve =.6 )...93 Şekil.3: U Sıır şartı içi Nu ayııı K ayııa göre değişii...96 Şekil.4: U Sıır şartı içi Nu ayııı kear oraıa ( ) göre değişii Şekil.5: U Sıır şartı hali içi K ayııa bağlı olarak Nu ayııdaki % bağıl değişi ( ε a )...97 Şekil.6: U Sıır şartı hali içi kear oraıa ( ) bağlı olarak Nu ayııdaki % bağıl değişi ( ε a )...97 Şekil.7: U Sıır şartı içi elde edile eş ıcaklık eğrileri. (K=.5 ve = )...99 ix

10 Şekil.8: U Sıır şartı içi elde edile eş ıcaklık eğrileri. (K=.5 ve =.6 )...99 Şekil.9: U Sıır şartı içi Nu ayııı K ayııa göre değişii... Şekil.: U Sıır şartı içi Nu ayııı kear oraıa ( ) göre değişii.... Şekil.: U Sıır şartı hali içi K ayııa bağlı olarak Nu ayııdaki % bağıl değişi ( ε a )...3 Şekil.: U Sıır şartı hali içi kear oraıa ( ) bağlı olarak Nu ayııdaki % bağıl değişi ( ε a )...3 Şekil.3: U Sıır şartı içi elde edile eş ıcaklık eğrileri. (K=.5 ve = )...5 Şekil.4: U Sıır şartı içi elde edile eş ıcaklık eğrileri. (K=.5 ve =.6 )...5 Şekil.5: 3K Sıır şartı içi Nu ayııı K ayııa göre değişii...8 Şekil.6: 3K Sıır şartı içi Nu ayııı kear oraıa ( ) göre değişii....8 Şekil.7: 3K Sıır şartı hali içi K ayııa bağlı olarak Nu ayııdaki % bağıl değişi ( ε a )...9 Şekil.8: 3K Sıır şartı hali içi kear oraıa ( ) bağlı olarak Nu ayııdaki % bağıl değişi ( ε a )...9 Şekil.9: 3K Sıır şartı içi elde edile eş ıcaklık eğrileri. (K=.5 ve = )... Şekil.3: 3K Sıır şartı içi elde edile eş ıcaklık eğrileri. (K=.5 ve =.6 )... Şekil.3: K Sıır şartı içi Nu ayııı K ayııa göre değişii...4 Şekil.3: K Sıır şartı içi Nu ayııı kear oraıa ( ) göre değişii....4 Şekil.33: K Sıır şartı hali içi K ayııa bağlı olarak Nu ayııdaki % bağıl değişi ( ε a )...5 Şekil.34: K Sıır şartı hali içi kear oraıa ( ) bağlı olarak Nu ayııdaki % bağıl değişi ( ε a )...5 Şekil.35: K Sıır şartı içi elde edile eş ıcaklık eğrileri. (K=.5 ve = )...7 Şekil.36: K Sıır şartı içi elde edile eş ıcaklık eğrileri. (K=.5 ve =.6 )...7 Şekil.37: K Sıır şartı içi Nu ayııı K ayııa göre değişii... Şekil.38: U Sıır şartı içi Nu ayııı kear oraıa ( ) göre değişii.... Şekil.39: K Sıır şartı hali içi K ayııa bağlı olarak Nu ayııdaki % bağıl değişi ( ε a )... Şekil.4: K Sıır şartı hali içi kear oraıa ( ) bağlı olarak Nu ayııdaki % bağıl değişi ( ε a )... Şekil.4: K Sıır şartı içi elde edile eş ıcaklık eğrileri. (K=.5 ve = )...3 Şekil.4: K Sıır şartı içi elde edile eş ıcaklık eğrileri. (K=.5 ve =.6 )...3 Şekil.43: C Sıır şartı içi Nu ayııı K ayııa göre değişii...6 Şekil.44: C Sıır şartı içi Nu ayııı kear oraıa ( ) göre değişii....6 x

11 Şekil.45: Şekil.46: Şekil.47: Şekil.48: C Sıır şartı hali içi K ayııa bağlı olarak Nu ayııdaki % bağıl değişi ( ε a )...7 C Sıır şartı hali içi kear oraıa ( ) bağlı olarak Nu ayııdaki % bağıl değişi ( ε a )...7 C Sıır şartı içi elde edile eş ıcaklık eğrileri. (K=.5 ve = )...9 C Sıır şartı içi elde edile eş ıcaklık eğrileri. (K=.5 ve =.6 )...9 xi

12 SEMBOL LİSTESİ a : Mikrokaalı geişliği [] b : Mikrokaalı yükekliği [] c : Özgül ıı [J kg - K - ] P D h : Mikrokaalı hidrolik çapı [] h : Iı taşıı katayıı [W - K - ] k : Iı ileti katayıı [W - K - ] K : Kerel fokiyou K : Kude ayıı L h : Mikrokaalı ııtıla çevre uzuluğu [] L h : Mikrokaalı ııtıla boyutuz çevre uzuluğu Nu : Nuelt ayıı p : Akışkaı baıcı [Pa] P : Noralleştiriliş baıç gradyei Pr : Pradtl ayıı ' q : Mikrokaalı biri uzuluğu boyuca akışkaa aktarıla ııl güç [W - ] R : Özgül ııları oraı T : Sıcaklık [K] T : Boyutuz ıcaklık u : Akış hızı [ - ] u : Boyutuz akış hızı x, y, z : Boyutuz koordiatlar α : Iı yayılı katayıı [ - ] : Kear oraı : Eerji deklei içi özdeğer λ λ : Moleküler ortalaa erbet uzaklık [] fp, x, y : Moetu deklei içi özdeğer : Diaik vikozite [kg - - ] ρ : Yoğuluk [kg -3 ] ξ, η, ζ : Koordiatlar []. ve, : Odalık baaağı göterek içi kullaılıştır Alt İdiler b w : Yığı (bulk) : Ortalaa (ea) : Duvar (wall) : Duvarı hee yakııdaki akış özelliği xii

13 MİKROKANAL ISIL PERFORMANSI ÜZERİNDE KAYMA AKIŞI MODELİ HASSASİYETİ ETKİLERİNİN ARAŞTIRILMASI ÖZET Mikrokaallardaki akış ve ıı traferi koularıdaki araştıralar, ikro-elektroik cihazları iyatürleştirilei ile kıe harekete geçiştir. Yükek ıı akıı bileşeleri içi etkili oğuta etotlarıa ihtiyaç duyulaı ikrokaalları oğuta özelliklerie ola ilgiyi arttırıştır. Mikrokaallar çeşitli ühedilik ve biliel uygulaalarda kullaılaktadır. Mürekkep pükürteli yazıcılar (ikjet priter) klaik bir örek olarak verilebilir. Medikal uygulaalarda ve ikro-elektroekaik itelerde (MEMS) kapalı kullaı alaı buluaktadır: Mikro-ıı değiştiricileri, ikro-karıştırıcılar, ikro-popalar, ikro-türbiler, ikro-eörler ve ikro-erişi düzeekleri (icro-actuator) gibi. Cihazları (elektroik cihazlar gibi) boyutları küçüldükçe biri alada uzaklaştırılaı gereke ıı iktarıı artaıda dolayı ikro-ölçekli ıı traferi kouu daha fazla ilgi kazaaktadır. Bu cihazları perforaları doğruda ıcaklıkları ile ilgilidir, bu yüzde bu cihazları ıcaklıklarıı belirli değerlerde tutulaı kritik bir koudur. So zaalarda, yarıiletke (eicoductor) tekolojiideki ai değişede dolayı elektroik iteler daha küçük ve karaşık hale gelişlerdir. Elektroik itelerdeki yükek hız ve yoğuluk eğilii, biri alada atılaı gereke ıı iktarıı çok olaıda dolayı ıı traferi kouuda öeli oruları beraberide getirebilektedir. Etkili oğuta tekiği keşfi içi ikrokaallar hakkıda öeli araştıralar ürdürülektedir. Buu ile birlikte, bir çok araştıra göteriştir ki ikrotüp ve ikrokaallardaki akış ve ıı traferi karakterleri çok iyi bilie ve ürekli akış xiii

14 (cotiuu flow) kabulüe dayaa geleekel yaklaşılarda apalar göterektedir. Küçük yapıda ve yükek ıı perforaıa ahip ola avatajları ikro ölçekli ıı değiştiricilerii ikro-elektroiklerde, biyo-ühedilikte ve ikro-elektro-ekaik iteler (MEMS) gibi itelerde iyi bir şekilde ö plaa çıkartıştır. Bu yüzde he ticari aaç içi he de biliel araştıralar içi daha popüler bir hal alıştır. Araştıracıları ikro-alada oetu ve ıı traferi davraışları üzerideki çalışaları bu yei tekolojii gelişei içi teel oluşturaktadır. Gelişe ikroölçekli ııl ve akış itelerii geelde karakteritik uzulukları ile araıdadır ve çoğu kez bu iteler oleküler ortalaa erbet uzaklığı ola gaz akışka içerecek şekilde tadart koşullarda çalışaktadır. Bu duruda çalışa iteler içi, Kude ayıı (gaz oleküllerii ortalaa erbet uzaklıklarıı kaalı karakteritik uzuluğua oraı olarak taılaır) -3 ile - araıda değişektedir. Kude ayııı bu aralıkta değiştiği bölgeye kaya akışı bölgei adı verilir. Bu yüzde, ikro-ölçekte ııl ve akış iteleride duvarda kaya akışı ve ıcaklık ıçraaı etkilerii dikkate alıaı gerekir. Bu tez kapaıda, düzgü dağılılı ve abit ıcaklık ile ııtıla ikrokaalda birici ve ikici ertebede kaya akışı odeli çalışılıştır. Bu çalışada, duvarda abit ıcaklıkta ıı geçişii ve yalıtıı olaı hallerii kobiayouda oluşa ekiz değişik ııl ıır şartı üzeride heaplaalar yapılıştır. Moetu ve eerji dekleleri hidrodiaik ve ııl olarak ta gelişiş ıkıştırılaaz kaya akışı hali içi çözülerek boyutuz hız ve ıcaklık dağılıları elde ediliştir. Kaya akışı şartıda dikdörtge kaal içi hız dağılıı biliiyor olaıda dolayı, ilk öce oetu deklei çözülüştür. Elde edile hız dağılıı eerji dekleide yerie koularak ekiz değişik ııl ıır şartı içi ıcaklık dağılıları buluuştur. İtegral döüşü etodu iki kere uygulaıştır, bir kere oetu deklei içi bir kere de eerji deklei içi. Ayrıca ekiz değişik ııl ıır şartı içi ortalaa Nuelt ayıları birici ve ikici ertebede kaya akışı odelleri kullaılarak elde ediliştir. Mikrokaalı ıı traferi karakterie Kude ayııı, kear oraıı, ikici derecede kaya akışı odelii ve ııl ıır şartlarıı aıl etkidiği iceleiştir. xiv

15 SECOND ORDER SLIP FLOW EFFECTS ON HEAT TRANSFER PERFORMANCE OF MICROCHANNELS SUMMARY Reearch o fluid flow ad heat trafer i icrochael wa partly drive by iiaturizatio of icroelectroic device. The eed for efficiet coolig ethod for high heat flux copoet focued attetio o the coolig feature of icrochael. Microchael are ued i variety of egieerig ad cietific applicatio. The ikjet priter i a claic exaple. Exteive ue i foud i edical applicatio ad i icro-electro-echaical yte (MEMS) uch a icro heat exchager, ixer, pup, turbie, eor ad actuator. Microcale heat trafer ha bee gaiig ore iteret a the ize of the device decreae, a i electroic device, ice the aout of heat that eed to be diipated per uit area icreae. The perforace of thee device i directly related to the teperature; therefore it i critical iue to keep the teperature withi certai liit. Recetly, the electroic yte becoe aller ad ore coplex due to the rapid developet of eicoductor techology. The tred of high peed ad deity of electroic yte ca lead to eriou proble i heat trafer, ice large aout of heat per uit area ut be diipated. Great deal of reearch about icrochael are beig carried out to dicover the effective coolig techique. However, ay experiet have how that fluid flow ad heat trafer characteritic i icrotube ad icrochael deviate fro the well kow traditioal approache baed o the cotiuu flow auptio. xv

16 The advatage of copact tructure ad high heat trafer perforace ake the icrocale heat exchager howig a ice foregroud o icroelectroic, bioegieerig, icro-electroechaical yte (MEMS) ad o o, thu becoig ore popular, both for coercial purpoe ad i cietific reearch. The reearch work of oetu ad heat traport behavior i icrodoai i the fudaetal for developig thi ew techology. The developig icrocale theral ad fluidic yte geerally have characteritic legth of the order of - ad ofte operate i gaeou eviroet at tadard coditio, where the olecular ea free path i i the order of. For thee cae, the Kude uber, which i defied a the ratio of the ea free path of ga olecule to the characteritic dieio of chael, i i the rage fro -3 to -, aely the lip-flow regie. Therefore, the icrocale theral ad fluidic yte ut take ito accout the effect of lip flow ad teperature jup at wall. I thi thei, firt ad ecod order lip flow odel i rectagular icrochael heated at cotat ad uifor wall teperature i tudied. Eight poible theral verio that are fored of differet cobiatio of the heated ad adiabatic wall are tudied i thi thei. The dieiole velocity ad teperature profile are obtaied by olvig the oetu ad eergy equatio for hydrodyaically ad therally fully developed icopreible lip flow. Sice the velocity profile for a rectagular chael i ot kow uder the lip flow coditio, the oetu equatio i firt olved for velocity. The reultig velocity profile i the ubtituted ito the eergy equatio ad teperature ditributio are foud for eight theral boudary coditio. The itegral trafor ethod i applied twice, oce for oetu equatio ad oce for eergy equatio. Ad alo average Nuelt uber i derived for all eight theral verio with uig both firt ad ecod order lip flow odel. The effect of Kude uber, apect ratio, ecod order lip flow odel ad theral boudary coditio o the heat trafer characteritic of icrochael are exaied. xvi

17 . GİRİŞ Her geçe gü tekolojii hızla ilerleei ile gülük hayatıızda yer ala cihazlarla birlikte uzay, tıp, kiya, elektroik ve daha bir çok tekoloji ahaıda kullaıla cihazları boyutlarıı küçüldüğüü görebiliyoruz. Karakteritik boyutları de 'ye kadar değişe ikro-cihazlar güüüzde tekolojik bir gerçekliktir ve kalp pilide ürekkep pükürteli yazıcılara kadar pek çok alada başarı ile kullaılaktadırlar. Bular araıda ikro-popalar veya ikro-ıı eşajörleri gibi ikro-akışkalı cihazlar (Micro Fludic Device, MFD) çok öeli bir grup oluşturaktadır. MFD leri aa kullaıcıları otootiv ve uçak firalarıı içere ikro-elektroik, kiya, ecza, gıda ve tıbbi tekolojiler gibi aayilerdir (Sobha ve Gariella, ). Bu türlü cihazları hee hepii özü, karakteritik ölçüleri ikro ertebeide ola ve çeşitli keit alalarıa (e yaygıları daireel, yauk ve dikdörtge) ahip bir veya daha fazla ikrokaala dayaaktadır. MFD'leri başarıı göreceli olarak küçük yüzey ve hacilerde yükek ıı akıı geçişi kapaiteleriyle ilgilidir. MFD lerde kullaıla ikrokaalları hidrolik çapları tipik olarak araıda değişir (Pal, ). ile Kaal boyutları küçülei çok öeli bir kouyu güdee getirir, şöyle ki akrokobik boyutlarda ola kaallardaki akil olayıı yöete yaalar hala ikro ölçekte tutulur u, ve tutulaza e tür yei etkiler ortaya çıkar? Bu teel oruya yaıt verek içi pek çok deeyel ve teorik çalışa yapılıştır. Pek çok akale, hidrolik çapı 'de daha küçük ola ikrokaallardaki tek fazlı akışka akışı ve ıı geçişii aaliz ede ilk çalışa olarak Wu ve Little (983) tarafıda yazıla, akaleyi göterektedir. Bu yalıştır. Gerçekte, ilk deeyel çalışa Poieuille (84) tarafıda ca ikro tüpleri tet edileiyle yapılıştır.

18 O, u kullaarak kılcal borulardaki kütleel akış hızı kaularıı aaliz etek içi iç çapı 5 ye kadar ola ikrotüpleri tet etiştir. Bileşeleri iyatürleştirilei bir iktar ölçek etkii (calig effect) ve gerçek ikro-etkiler (icro-effect) ortaya koyabilektedir. Bu iki kavraı ayırt etek öelidir; Herwig ve Hauer (3)'i taııa göre ölçek etkii refera geoetrik ölçeğide ihal edilebile, aa ölçek değiştiğide öeli ola etkidir. Öreği, bir kaalı hidrolik çapıdaki azala, hacide öz kouu alaıdakide daha büyük bir azala eydaa getirektedir, yai ikro-akışkalı itelerde ala-haci oraı çok yükek ola eğiliidedir. Bu ayede, ikro-akışları davraışı, oral boyutlu borulardaki akışlarda taae farklı olabilir. Öte yada, ikro-etkiler itei ölçeği küçüldüğüde koruu eşitliklerii ve/veya bularla ilgili ıır koşullarıı yeide forüle edileii belirleye etkiler olarak taılaabilir. Öreği, bir ikrokaal içide aka bir gazı oleküler ortalaa erbet uzaklığı (olecular ea free path) kaalı hidrolik çapıyla ayı ertebede olduğuda akışka ürekli bir orta (cotiuu ediu) olarak göterileez ve Navier-Stoke eşitlikleri artık akışı odelleek içi kullaılaaz. Buları yaı ıra, bir ekaik itei ikro-ölçekli olarak küçültei birçok yararı vardır. Öcelikle böyle bir itede, hacile ilgili kuvvetler (ağırlık/atalet) öeii yitirir. Buu doğal oucuya, çok hızlı ekaik iteleri ikro-ölçekli düyada gerçekleştirilebileceğidir. Böylece alık hareket ettirilip/durdurulabile ekaizalarda; çok büyük iveli hareketlere dayaabilecek duyuculara kadar, birçok itei (ikro-ölçekli düyada) hayata geçirek ükü olur. Ayrıca ikro-ekaik iteler büyük ölçekli akia itelerie göre daha az yer kaplayıp, daha az güç harcarlar. Uygu eri üreti tekikleriyle, bu tip iteleri çok ucuza da ial edilebilecekleri öeli bir gerçektir. Cihazları küçülei hayatııza bir çok kolaylık getirei ile birlikte cihazlardaki boyutları gittikçe küçülei beraberide oruları da getiriştir. Bu oruları başıda üreti tekiklerii yeterizliği, alzee yeterizliği gibi koular gelektedir. Bu koular ile ilgili güüüzde bir çok çalışa yapılaktadır. Bu oruları yaı ıra cihazları küçülei, çalışırlarke eydaa getirdikleri ııı

19 uzaklaştırılaı probleii de beraberide getirektedir. Bu da ikro-akış karakterlerii iceleeii beraberide getirektedir. Yapıla bu çalışada, ekiz ayrı ııl ıır şartı hali (ikrokaal duvarlarıı abit ıcaklıkta ııtıldığı ve/veya yalıtılı ola hallerii kobiayoları) içi ikrokaallarda kaya akışı bölgeide (lip flow regio) ve geçiş akışı bölgeii (traitio flow regio) hee başıda akış problei iceleiş ve ikici ertebede türevleri içie ala bir kaya akışı odeli (lip flow odel) kullaılarak ikrokaal içideki eerji, oetu dekleleri aalitik olarak çözülüştür. Moetu ve eerji deklelerii çözüüde ıraıyla ikrokaal içideki hız ve ıcaklık dağılıları elde ediliştir. Sekiz ııl ıır şartı içi ikrokaal içideki ııl perforaı, kaya akışı odelide ikici ertebede türevleri heaba katılaı ile aıl değiştiğii alaak içi Nuelt ayıları heaplaış ve bu Nuelt ayıları kaya akışı odelide adece birici ertebede türevleri buluduğu hal ile karşılaştırılıştır. 3

20 . LİTERATÜR ARAŞTIRMASI Mikro üreti yötelerii o yıllarda gelişe göterei ile bir çok cihaz ikro boyutlarıa geliştir. Bu cihazlarda bazılarıa örek verek gerekire: Mikro-ıı kuyuları, ikro-işleciler, ikro-reaktörler, ikro-gaz türbileri, ikro-otorlar, ikro-yakıt hücreleri şeklide ıralaabilir. Cihazları gittikçe küçüle eğililerii e rahatlıkla bilgiayar tekolojiide görebilekteyiz. Fakat bilgiayar tekolojiide gerçekleşe işlecilerdeki gittikçe küçüle beraberide aşırı ııa problelerii getiriştir. Güüüzdeki bilgiayarlarda ıı akııı W/c değerlerie kadar artış göterei, araştıracıları yei oğuta tekolojileri koularıda çalışaya itiştir. Bu çalışalarda ıkça duyulalarda bir taei ııl paketlee (theral packagig) tekiğidir. Iıl paketlee tekiğideki öeli gelişeleri Bar-Cohe (99) yapış olduğu çalışada irdeleiştir. Buu yaı ıra Kakaç ve diğ. (99) yapış oldukları çalışada bir çok araştıracıı elektroik iteleri oğutulaı içi öerdikleri aalitik ve deeyel etotları bir araya getirişlerdir. Akışı odelleeide teelde iki adet odel kullaılaktadır. Bu odellerde biri ürekli odellee (cotiuu odelig) olarak adladırıla ve geleekel akışları odelleeide kullaıla bir yöteedir. Bu odelde akışı içide yer ala olekülleri tüü içi birde koruu dekleleri yazılır. Yai her bir olekül içi ayrı bir koruu deklei yazılaz. Diğer bir yöte ie oleküler odelleedir (olecular odelig). Bu odellee tekiğide her olekül ayrı ayrı ele alıır ve akış içide yer ala her bir olekül içi koruu deklei yazılarak çözüe gidilir. (Kakaç ve diğ., 5) Aşağıdaki şekilde yukarıda bahedile akış odellee yöteleri şeatik olarak göterilektedir. 4

21 Akış Modellee Yöteleri Moleküler Modellee Yötei Sürekli Orta Modellee Yötei Şekil.: Akış odellerii ııfladırılaı. Yukarıdaki şeada göterile ürekli orta odellee yötei geleekel akış probleleride kullaılaktadır. Buu yaıda oleküler odellee tekiğide her bir olekül içi koruu deklei yazılarak çözüe gidildiği içi ürekli orta odellee tekiğie göre çok daha fazla zaa iteye ve çok daha zor bir odellee yöteidir. (Kakaç ve diğ., 5) Büyük kaallardaki akışka akışı çoğulukla ürekli bir orta olarak odelleir. Uygulaabildiğide, ikrokobik iktarları küçük bir örekle hacide ortalayarak ürekizlikleri dikkate aladığı içi ürekli varayıı çok elverişlidir. Klaik akışkalar ekaiğide ilgileile tü akrokobik iktarları (yoğuluk, hız, baıç, ıcaklık vb.) akış içeriide oktada oktaya ürekli değiştiği varayılır. Süreklilik varayııa uyak içi, ikrokobik değişiler ortalaa iktarlarda belirgi dalgalaalar üreteelidir. Bu yüzde, tipik bir örekle hacii büyüklüğü yeterice büyük olalı aa kotrol hacideki hız ve baıç gradyeleri gibi akrokobik değişileri gizleeyecek kadar da küçük olalıdır. Moleküler odellee tekiği zor ve uzu olaıa rağe, ürekli orta fiziğii geçerli oladığı problelerde oleküler odelleei yapılaı gerekektedir. Sürekli orta fiziğii hagi durularda geçerli hagi durularda geçerli oladığıı alaak içi Kude (K) boyutuz ayııa bakılaktadır. Kude ayıı aşağıda göterildiği şekilde taılaaktadır. K λ fp = (.) L 5

22 Yukarıdaki ifadede yer ala λ fp terii oleküler ortalaa erbet uzaklık (olecular ea free path) ve L ie akışı karakteritik uzuluğuu göterektedir. Kude ayııa bağlı olarak akışı karakteri belirleir. Buu ile ilgili şeatik göteri Şekil. de göteriliştir. Şekilde de görüldüğü üzere K ayııı. ile. araıda olaı halide akış, kayalı akışı (lip flow) karakterie ahip olaktadır. Bu da artık bu akış karakteri içi ürekli orta odelleeii doğruda uygulaaayacağı alaıa gelektedir. (Gad-El-Hak, ) Şekil.: Kude ayııa bağlı olarak akış karakterlerii göterilei. Akış rejii K ayııa göre şu şekilde ııfladırılaktadır: K< -3 : Süreklilik (cotiuu) ve terodiaik dege (therodyaic equilibriu) kabulleri geçerlidir. Bu yüzde, ıır şartı olarak cidarda kayaa ıır şartı (o-lip boudary coditio) geçerlidir ve bu ıır şartı ile birlikte Navier- Stoke deklei kullaılarak akışı çözüleei yapılır. -3 <K< - : Bu bölgeye kayalı akış bölgei (lip-flow regio) deilektedir. Bu bölge içide de Navier-Stoke dekleleri ıır şartlarıı yeide düzeleei şartı ile kullaılabilir. Hız ve ııl ıır şartlarıdaki bu düzeleeler şu şekilde açıklaabilir: Bu bölgede hız ıır şartı içi ürekli ortada geçerli ola geleekel cidarda kayaa ıır şartı yerie kaya hızı ıır şartı (lip-velocity boudary coditio) kullaılaktadır. Ayrıca bu bölgede ııl ıır şartı içi ürekli ortada geçerli ola akışkaı ıcaklığıı duvar ıcaklığıa eşit olduğuu öyleye ııl ıır şartı yerie cidarda ıcaklık ıçraaı (teperature-jup) ııl ıır şartı kullaılaktadır. Yapıla ıır şartlarıdaki bu değişiklikler ile bu bölge içi yapılacak çözüleelerde Navier-Stoke deklei kullaılabilir hale getiriliştir. 6

23 Noralde Navier-Stoke deklei bu bölgede geçerli oladığı biliektedir. Çükü Navier-Stoke deklei ürekli orta fiziğii geçerli olduğu bölgede kullaılabilir. Fakat bu bölge ürekli orta fiziğii geçerli oladığı bir bölgedir ve Navier-Stoke deklei doğruda kullaılaaz. Acak ıır şartlarıda yukarıda alatıla değişiklikleri yapılaı ile Navier-Stoke dekleleri kullaılabilir hale getirilir. Fakat şu da uutulaalıdır ki, ıır şartlarıı yeide düzeleei ile Navier- Stoke dekleii kullaılaı yie de beraberide küçük hatalar getirektedir. Kayalı akışı eydaa gelebilei içi ya akış baıcıı çok küçük olaı ya da akışı karakteritik uzuluğuu çok küçük olaı gerekektedir. Kayalı akışta ürekli orta fiziği geçerliliği yitirektedir. Sürekli akışta yüzeydeki akış hızı ıfır ike kayalı akışta yüzeydeki hız ıfırda faklıdır. Buu yaı ıra ürekli akışta yüzeye çok yakı yerdeki akışkaı ıcaklığı yüzey ıcaklığıa eşit ike kayalı akışta bu ıcaklık yüzey ıcaklığıda faklılık göterekte ve ıcaklık ıçraaı (teperature jup) ile tariflee olay eydaa gelektedir. (Kuddui., 6) - <K<: Bu bölgeye geçiş akışı bölgei (traitio flow regio) adı verilektedir. Bu bölgede üreklilik ve terodiaik dege kabulleri geçerliliğii yitirekte ve bu da Navier-Stoke dekleii bu bölgede doğruda kullaılaayacağıı öyleektedir. Bu bölge içi alteratif aaliz etotları geliştiriliştir. Buret deklelerii ya da partikül tabalı doğruda Mote Carlo iülayou (Direct Siulatio Mote Carlo, DSCM) etoduu kullaılaı ile bu bölgede çözüe gidilektedir. Buları yaı ıra bu bölgei başlagıcıda hız ve ııl ıır şartlarıı ikici ertebede (ecod-order) hale getirilei ile Navier- Stoke deklelerii kullaılabileceği araştıracılar tarafıda göteriliştir. Buula birlikte, oleküller araı çarpışa heüz ihal edilebilir değildir ve dikkate alıaı gerekir. K>: Bu bölgeye erbet oleküler akış (free olecular flow) bölgei adı verilektedir. Bu bölgede olekülleri ortalaa erbet uzaklıkları akışı karakteritik uzuluğuda çok büyüktür ve ouç olarak yüzeye çarpıp yaıya oleküller diğer oleküllere çarpada öce çok uzu yol alaktadır. Bu bölgede oleküller araı çarpışa, olekülleri duvar ile çarpışaı göz öüe alıdığıda ihal edilebilir ertebededir. 7

24 Şuu vurgulaak gerekir ki, yukarıda K ayıyıa göre yapıla akış karakterii ııfladırılaı biraz deeyel kökelidir ve bu yüzde değişik akış rejilerii araıdaki ıırlar, problei özel geoetrik detayları ile de ilişkilidir. Şekil.3 bazı ikro-akış elealarıı Kude (K) ayııa ve karakteritik uzuluğa (L) bağlı olarak hagi akış rejiide olduğuu göterektedir (Bekok, ). Şekilde görüleceği üzere bir çok ikro-ite eleaıı kayalı akış bölgeide ya da geçiş akışı bölgeii hee başlagıcıda çalıştığı görülektedir. Buu dışıda hard dik ürücülerii K ayııı i aştığı bölgede çalıştığı görülektedir. So zaalarda ikro-üreti tekiklerideki hızlı gelişeler ikro-iteleri boyutlarıı ikro ertebelerii oldukça altıa rahatlık ile düşürebilektedir. Bu ölçeklere iilei ile geçiş akışı bölgeii ütlerie doğru yaklaşılaktadır. Şekil.3: Stadart atoferik şartlarda karakteritik uzuluk (L) ve Kude ayııa (K) göre ikro-akış elaalarıı akış rejilerii göterilei. Ayrıca üreklilik ve terodiaik dege koşulları Şekil.4 de şeatik olarak göterilektedir (Bird, 994). Diğer bir deyiş ile bu grafik Navier-Stoke dekleii erelerde geçerli olduğuu göterektedir. Bu grafik olekül çapı d = 4 [ ] ola gazları duruuu igeleektedir. Yaklaşık hava oleküllerii çapı da bu ertebelerde olduğuda, bu grafik akışkaı hava olaı 8

25 duruu içi de bilgi verektedir. Grafiği ol ordiatı karakteritik uzuluğu (L) göterektedir. Sağ ordiat ie karakteritik uzuluk ile olekül çapıı birbirlerie oraıı (L/d) göterektedir. Grafiği alt apii gaz yoğuluğuu refera yoğuluğa oraıı ( ρ / ρ ) ya da bu oraa eşit ola biri hacideki olekül ayııı refera durudaki biri hacideki olekül ayııa oraıı ( / ) göterektedir. So olarak grafiği üt apii oleküller araıdaki ortalaa uzaklığı olekül çapıa oraıı ( δ / d ) göterektedir. Şekil.4: Navier-Stoke dekleii geçerli olduğu bölgeleri göterilei. Şekil.4 deki düşey çizgi eyreltik (dilute) gaz ile yoğu (dee) gaz araıdaki ıırı göterektedir. Havaı tadart koşullardaki baıcı N, 5.3 [ / ] havaı biri hacideki olekül ayıı, hava içi δ / d oraı [ ] 8.5 dir. Bu duruda tadart koşullardaki hava eyreltik gaz kabul edilebilir. Bua karşı tadart koşullardaki havaı δ / d oraıı yoğu gaz ile eyreltik gazı birbiride ayıra çizgiye yakı olduğuu vurgulaak gerekir. Şekil.4 de L / δ = çizgii oleküler düzeizlik liitii göterektedir. Süreklilik yaklaşıı, verile hacide yeterli olekülü olaı ile üküdür çükü acak bu şekilde akrokobik akış özelliklerii itatitikel açıda degei 9

26 ağlaabilecektir. Karakteritik uzuluğu olekülleri ortalaa birbiride uzaklıklarıı e az katı olaı duruuda üreklilik yaklaşıı geçerlidir (Bird, 994). Bu yüzde L / δ = çizgiii üt tarafıda üreklilik yaklaşıı geçerlidir. Geriye kala eğri ( K = λ / L = ) terodiaik dege kabulüü geçerli fp olduğu bölge ile geçerli oladığı bölgeyi birbiride ayıraktadır. Moleküller araı ortalaa erbet uzaklığı biri haci içideki olekül ayıı ile ter oratılı olaıda dolayı terodiaik dege çizgiii gradyei oleküler düzeizlik çizgiii gradyeide üç kat daha fazladır. Şekil.4 icelediğide eyreltik gazlar içi akış boyutlarıdaki azala ile ilk öce terodiaik dege kabulüü daha ora ie üreklilik yaklaşııı ortada kaybolduğu görülektedir. Buu terie, yoğu gazlar içi akış boyutlarıdaki azala ile ilk öce üreklilik yaklaşıı geçerliliğii yitirekte daha ora terodiaik dege kabulü ortada kalkaktadır. Kayalı Akışı Bölgei: Geleekel akış aalizide, duvarda kayaa hız ıır şartı geçerlidir. Pratikte, kayaa ıır şartı K ayııı -3 değerii altıda olduğu durular içi geçerlidir. Eğer K ayıı bu değeri üzerie çıkara, eyrete (rarefactio) etkileri akışı etkileeye başlaakta ve biri ala başıa oleküller araı çarpışa frekaıı çok azalaı ile terodiaik dege ortada kalkaktadır. Bu koşullar altıda, duvardaki hızda ürekizlikler eydaa gelekte ve gaz katı yüzey üzeride kayaya başlaaktadır. Hızdaki bu ürekizlik ilk öce Maxwell (879) tarafıda taılaıştır. Maxwell duvardaki teğetel kaya hızıı aşağıda göterildiği şekilde yazılabileceğii öyleiştir. ( σ v ) u 3 T us = ug uw = ± λfp + σ y 4 ρ T x v w w (.) Yukarıdaki deklede yer ala u ifadei hız fokiyouu, x ve y koordiatları, λ fp gaz oleküllerii ortalaa erbet uzaklıklarıı, σ teğetel oetu barıdıra katayııı (Tagetial Moetu Accoodatio Coefficiet, TMAC), vikoziteyi, ρ ve T ıraıyla duvardaki gazı yoğuluğuu ve

27 ıcaklığıı göterektedir. Yukarıdaki dekledeki eşitliği ağıdaki ikici teri ııl terleeyi (theral trapiratio) taılaaktadır. Duvar boyuca ıcaklık T değişii yok kabul edilire =, yukarıdaki dekle birici ertebede x w kaya ıır şartı (firt-order lip-boudary) deklei halie gelir. Teğetel oetu barıdıra katayıı gaz oleküllerii duvarla çarpışaı ile oetularıdaki azalayı göterektedir. İdeal bir yüzey içi (oleküller eviyede ükeel pürüzüz yüzey) olekülü yüzeye geliş ve yüzeyde yaıa açıları ayıdır ve bu yüzde oleküller oetularıı koruaktadırlar. Bu aya yaıaı (pecular reflectio) olarak ifade edilir ve bu cidarda ükeel kaya ile ouçlaır ( σ ). Bua karşılık, yüzeyi oldukça pürüzlü olaı duruuda, yüzeye çarpa olekül taae ratlatıal bir yöde yüzeyde yaıtılırke oetuuu da koruyaaz. Bu durua dağıık yaıa (diffuive reflectio) deilekte ve bu duru içi σ = olaktadır. Gerçek duvarlar içi, bazı oleküller yüzeye çarptıkta ora aya yaıaı ile bazıları ie dağıık yaıa ile yüzeyde ayrılaktadırlar. TMAC değerii ölçülei içi değişik durular altıda bir çok deey yapılıştır (Seidl ve Steiheil, 974), (Thoa ve Lord, 974), (Porodov ve diğ., 974). Yapıla deeyler göteriştir ki teğetel oetu barıdıra katayıı gazı olekül ağırlığıa, gele olekülü eerjiie, duvar alzeeie, gazı ıcaklığıa ve yüzeyi duruua bağlı olarak değişektedir. Yapıla deeyler oucuda geellikle TMAC. ile. araıda değerler alaktadır: Düşük değer çok pürüzüz, yükek değer ie çok pürüzlü ve yükek okitli yüzeyler içi yapıla deeylerii oucuda elde ediliştir. So zaalarda iliko ikrokaallarda yapıla deeylerde TMAC değerii.8 ile. araıda değişti göteriliştir (Arkilic ve diğ., 994), (Arkilic ve diğ., 997a), (Arkilic ve diğ., 997b), (Arkilic ve diğ., ), (Maurer ve diğ., 3), (Coli ve diğ., 4). Duvardaki kaya hızıı vere ifadei bir bezeri ola ve yüzey ile gaz araıdaki ıcaklık ıçraaıı taılaya ifade Soluchowki (898) tarafıda aşağıda göterildiği şekilde yazılıştır.

28 ( σt ) R λfp T TS = Tg Tw = ± σ T ( R) + Pr y w (.3) Burada y, duvarı orali yöüdeki koordiatı; σ T, ııl barıdıra katayııı (theral accoodatio coefficiet); R, özgül ıı kapaitelerii oraıı ve Pr, Pradtl ayııı göterektedir. Aalitik Modeller: Birici Mertebede Forülayolar (Firt Order Forulatio): Kaallardaki baıç ürükleeli (preure-drive) kayalı akışı (lip flow) bir çok yılda beri öeli ilgi odağı halie geliştir. Bu ilgii bir oucu olarak araştıracılar bu koularda aalitik ve yarı aalitik çözüler geliştirişlerdir. Bir çok bait geoetri içi literatürde aalitik çözüler yer alaktadır: Silidirik içi Keard (938), Brow (946), Sparrow ve Li (96), Shidlovkiy (969); halka içi Ebert ve Sparrow (965) ve dikdörtge içi Ebert ve Sparrow (965), Morii ve Spiga (998) tarafıda yapıla araştıralar ayılabilir. Ayrıca, yükek kear oralarıa (apect ratio) ahip dikdörtge kaallar içi paralel plaka yaklaşıı yapılarak yaklaşık çözüler elde ediliştir (Arkilic ve diğ., 994), (Arkilic ve diğ., 997a), (Arkilic ve diğ., 997b), (Arkilic ve diğ., ), (Maurer ve diğ., 3). Paralel plaka kabulü yaparak, Arkilic ve diğ. (994) izoteral koşul altıda uzu ikrokaal boyuca debiyi vere ifadeyi aşağıda göterildiği şekilde buluşlardır. 3 H W v σ = P P + K P ( P P ) 4 L R T σ (.4) v Burada H, W ve L ıraıyla kaalı yükekliği, geişliği ve uzuluğudur. R özgül gaz abitii, T ıcaklığı, P kaal girişideki baıcı, P kaal çıkışıdaki baıcı ve K kaal çıkışıdaki Kude ayııı göterektedir. İkici Mertebede Forülayolar (Secod-Order Forulatio): Birici ertebede kaya ıır şartı (firt-order lip boudary) kullaılarak türetile aalitik odelleri, K ayııı yaklaşık - değerie kadar doğru ouç verdiği

29 görülektedir (Harley ve diğ., 995), (Arkilic ve diğ., ). Bua karşı K ayııı - değeride büyük olduğu durularda birici ertebede kaya ıır şartıı kullaılaı ile elde edile ouçları deeyel verilerle karşılaştırıldığıda çelişkileri olduğu görülektedir (Maurer ve diğ., 3), (Coli ve diğ., 4), (Sreekath, 969). Yükek Kude ayılarıda deey verileri ile ola uyuuzluğu ortada kaldırabilek içi bir çok bili adaı ikici ertebede kaya ıır şartı (ecod-order lip boudary) koularıda araştıra yapak içi harekete geçiştir. Heüz, bili çevrelerice ikici ertebede kaya ıır şartıı doğru forülayou kouuda fikir birliğie ulaşılaaıştır. Örek olarak, Deiler (964) ikici ertebede kaya ıır şartı olarak aşağıdaki ifadeyi öeriştir. u ( σ ) 9 v u u u u S = ± λfp λfp + + σ v y 6 y x z w w w w (.5) Bua karşı Bekok ve Kariadaki () ikici ertebede kaya ıır şartıı Taylor erii açılııı kullaarak aşağıda göterildiği şekilde öeriştir. u S ( σ v ) u ( σ v ) λ = ± λfp + σ y σ v w v fp u! y w (.6) Buu yaı ıra, Bekok ve Kariadaki (999) yükek ertebeli ıır şartı deklei olarak aşağıdaki ifadeyi öerişlerdir. u S ( σ v ) K u = ± σ ( b K) y v w (.7) Yukarıdaki ifadede yer ala b terii geoetrik yapıya bağlı ola deeyel bir paraetredir. y, duvarı orali yöüdeki boyutuz koordiatı göterektedir. Ayrıca yukarıdaki ifadeye bezer Xue ve Fa () tarafıda ortaya atıla ve yie adece birici ertebede türevli terii içere alteratif yükek ertebeli ıır şartı deklei aşağıda göterildiği şekildedir. ( σ v ) u us = ± tah( K ) (.8) σ y v w 3

30 Bazı ikici ertebede forülayolar ie duvarda ikici ertebede türevi alıaıı kolay olaaıda doğa zorluğu ortada kaldırak aacıyla türetiliştir. Örek olarak, Jie ve diğ. () aşağıda göterile forülayou öerişlerdir. u S ( σ v ) = ± K + Re σ y x u K p v w w (.9) Yukarıdaki ifadede yer ala x ve y, kaal yükekliği ile boyutuz hale getiriliş koordiatları göterektedir. Buu yaı ıra p, boyutuz baıcı, Re ie Reyold ayııı göterektedir. Yukarıdaki deklelere bakıldığıda literatürde birbiride farklı ikici ertebede kaya ıır şartı deklelerii yer aldığı rahatlık ile görülebilektedir. Buu dışıda ikici ertebede kaya ıır şartı dekleleride yer ala oetu barıdıra katayııı içere terii ( ( σ ) / σ ) adece birici ertebede türevli terie i yoka ikici ertebede türevli terie de i ait olduğu kouuda da literatürde heüz bir fikir birliğie ulaşılaaıştır. İkici ertebede kaya ıır şartı dekleleri ile ilgili probleleri daha iyi değerledirilebilei içi, iki paralel levha araıda Poieuille akışıı ele alıaı yararlı olacaktır. Bu duru içi geelleştiriliş ikici ertebede kaya ıır şartı deklei aşağıda göterildiği şekilde yazılabilir. v v u u A A u S = ± λfp λfp y y w w (.) Yukarıdaki ifadede yer ala A ve A katayıları birici ve ikici ertebede kaya katayılarıdır (lip coefficiet). Tablo. de literatürde yer ala değişik kaya ıır şartı dekleleri içi A ve A katayıları oetu barıdıra katayııı olaı duruu içi elde edile teorik değerlerii karşılaştırılaı göterilektedir. 4

31 Aşağıdaki tablo icelediğide de görülektedir ki, bili adaları araıda ikici ertebede terii öüdeki katayıı he değeri he de işareti kouuda heüz bir fikir birliğie ulaşılaaıştır. Lockerby ve diğ. (4) ikici ertebede terii öüdeki katayıı heüz bir keilik olaaıa rağe problei geoetriie bağlı olabileceği kouuda düşüceleri buluaktadır. Tablo.: Değişik Kaya Sıır Şartı Dekleleride Yer Ala A ve A Katayılarıı Karşılaştırılaı. (Moetu uyu katayııı olduğu duru içi) (Barber ve Eero, 6) YAZAR TARİH A A Maxwell 879 Schaberg π / Cercigai ve Daeri Deiler 964 9/8 Hia ve Dooto Mituya 993 /9 Bekok ve Kariadaki -.5 Evreel olarak kabul edile ikici ertebede kaya ıır şartı dekleii olaaı geçiş bölgeide kaya akışı deklelerii kullaılaıda zorluk çıkaraktadır. Ayrıca, değişik kaya ıır şartı dekleleri kullaılarak elde edile duvardaki kaya hızı ifadei ikici ertebede türevi öüdeki katayıı işaretie bağlı olarak arta ya da azala eğilii göterektedir. So zaalarda yapıla deeyel çalışalar göterektedir ki ikici ertebede türevi öüdeki katayıı doğru ve dikkatli eçilei ile ikici ertebede kaya odellerii kullaılaı başarılı olabilektedir (Maurer ve diğ., 3), (Coli ve diğ., 4), (Aubert ve Coli, ). Örek olarak, Aubert ve Coli () yapış oldukları çalışada Deiler (964) tarafıda ortaya atıla ikici ertebede kaya ıır şartı dekleii kullaarak elde ettikleri debi değerlerii deeyel ouçlar ile karşılaştırdıklarıda kaalı çıkışıdaki K ayııı.5 değerie kadar verileri birbirleri ile uyuştuklarıı göterişlerdir. Ayrıca, Maurer ve diğ. (3) 5

32 yapış oldukları deeyel çalışada ikici ertebede türevi öüdeki katayıı ayarlaaı ile kaal çıkışıdaki K ayııı.46 değerie kadar deey verileri ile ikici ertebede odelleri kullaılaı ile elde edile verileri uyuştuğuu göterişlerdir. Tü bu yapıla araştıralara karşı, ikici ertebede türevi öüdeki katayıı işareti ve değeri kouuda bili adaları araıda heüz bir fikir birliği yoktur. Bu kouda yapılacak daha kapalı çalışalar ile bu oruu çözülei bekleektedir. 6

33 3. PROBLEMİN TANITILMASI Bu çalışada dikdörtge bir ikrokaalda hidrodiaik ve ııl olarak ta gelişiş, ürekli ve ıkıştırılaaz bir akış iceleiştir. Üzeride çalışıla dikdörtge ikrokaalı geoetrii ve proble içi eçile koordiat itei Şekil 3. de göteriliştir. Şekil 3.: Mikro kaalı şeatik çizii. Üzeride çalışıla ikrokaalı boyutları olekülleri birbiride ortalaa erbet uzaklıkları ile (olecular ea free path) kıyalaabilecek ölçüde küçük eçiliştir. Böylece ikrokaal içideki akış, kayalı akış (lip flow) özelliklerie ahip hale getiriliştir. Yapıla bu çalışa, bu yaıyla geleekel akış teoriide farklılık göterektedir. Geleekel akış teoriide, yai kaal boyutlarıı olekülleri ortalaa erbet uzaklıklarıda hayli fazla olduğu durularda, ıır şartlarıda kayaa hali geçerlidir. Diğer bir deyişle geleekel akış probleleride yüzeyde akışka oleküllerii kayadığı kabulü yapılır. Bu duruda yüzeye deye akış olekülü yüzeye tea halide buluduğu ürece hızı ıfır olarak kalaktadır. Bu ıır şartıa kayaa ıır şartı (o-lip boudary coditio) deilektedir. Ayrıca ıcaklık içi de bezer şeyler öyleebilir. Sıcaklık içi ie yüzeye deye akışka olekülüü hızıı ıfır olaıda dolayı yüzeyde ıcaklık ıçraaı eydaa geleektedir. 7

34 Kaalı boyutları olekülleri birbiride ortalaa erbet uzaklıkları ile kıyalaılabilecek ölçüde küçük eçildiğide, artık kayaa ıır şartı kabulü yapılaaaktadır. Bu duruda yüzeyde kaya ıır şartı eydaa gelekte yai yüzeye deye akışka olekülüü hızı ıfır kabul edileeektedir. Bu duruda ötürü de yüzeyde bir ıcaklık ıçraaı eydaa gelektedir. Akış karakterii, kayalı akışa ı (lip flow) yoka kayalı olaya akışa ı (olip flow) bezediğii alaak içi boyutuz bir ayı ola Kude (K) ayııa bakılaktadır. K ayıı, olekülleri birbiride ortalaa uzaklıklarıı akışı karakteritik uzuluğua oraı olarak taılaakta ve dekle. ile göterilektedir. K ayııı -3 de küçük olaı duruuda akışı kayalı olaya akış karakteri göterdiği ve K ayııı -3 ile - araıda olaı duruuda ie akışı kayalı akış karakteri göterdiği kabul edilir. (Bekok ve Kariadaki, ) Eğer akış kayalı olaya akış karakteri göteriyora, duvarda olekülü kayadığı yai duvar ile teata bulua olekülü hızıı ıfır olduğu ortaya çıkar. Ayrıca kayalı olaya akışta duvara tea halide bulua olekülü ıcaklığı duvarı ıcaklığı ile ayı değeri alır yai bir ıcaklık ıçraaı olaz. Bua karşı akış, kayalı akış karakterie ahip ie duvarda akış hızıı ıfır olduğuu öyleyeeyiz yai duvara tea ede olekülü hızı ıfırda farklıdır bu da duvara tea ede olekülleri kaydığı alaıa gelir. Ayrıca duvardaki akış hızıı ıfır olaaıda dolayı bir ıcaklık ıçraaı eydaa gelektedir. Yai duvarı hee yakııdaki ıcaklık duvar ıcaklığıa eşit değildir. Kayalı olaya akışta, duvarıı hee yaıdaki olekülü ıcaklığı duvarı ıcaklığıa eşittir yai ıcaklık ıçraaı olaaktadır. K boyutuz ayııı -3 ile - araıda olaı duruuda (kayalı akış) geleekel akış dekleleri geçerliliğii yitirektedir. Diğer bir deyiş ile ürekli orta fiziği artık geçerli olaaaktadır. Bu yüzde geleekel akış problelerii çözerke kulladığıız Navier-Stoke deklei kayalı akış probleleri içi geçerliliğii yitirektedir. Çükü Navier-Stoke deklei ürekli orta fiziği içi çıkartılış bir dekledir ve ürekli orta fiziğii dışıda kala bu hal içi geçerliliği kalaaktadır. Kayalı akış (lip flow) problelerii çözebilei teorik bir yolu ie her bir olekül içi ayrı ayrı oetu deklelerii yazılarak 8

35 çözüleidir. Fakat takdir edilei gerekir ki bu çok uzu işleler gerektire ve çok güçlü bilgiayarlara gerekii duyulacak bir yötedir. Buu yerie araştıracılar, geleekel akış teoriideki ıır şartlarıı kayalı akış halie uyarlayarak Navier-Stoke dekleii kullaışlardır ve çıka ouçlar deey verileri ile karşılaştırıldığıda büyük yakılıklar fark ediliştir. Bu da şuu göterektedir ki Navier-Stoke dekleii bu duru içi kullaak beraberide bir hata getireie rağe ıır şartlarıı kayalı akış probleie göre düzeleeide dolayı bu hata çok küçük ertebelere çekilebiliştir. Bu ede ile kayalı akış içi ıır şartlarıdaki bu yei özellikleri ağlayacak yei ıır şartı deklelerie ihtiyaç duyuluştur. Literatürde kaya hızı ve kaya ıcaklığı içi değişik tipte çeşitli dekleler yer alaktadır. Bir öceki kou başlığıda bu deklelerde bazıları taıtılıştır. Bu çalışada Bekok ve Kariadaki () tarafıda öerile ve aşağıda geel hali yazıla kaya hızı ve kaya ıcaklığı ıır şartı dekleleri kullaılacaktır. u λ λ = σ v u fp u fp u uw λfp 3 σ v! 3! (3.) T λfp T λfp + + σ! T R T Tw = 3 σ Pr 3 T R + λfp T ! (3.) Burada: σ v : Teğetel oetu barıdıra katayıı (Tagetial oetu accoodatio coefficiet) σ T : Iıl barıdıra katayıı (Theral accoodatio coefficiet); R : Özgül ııları oraı λ fp : Moleküler ortalaa erbet uzaklık (Molecular ea free path) 9

36 Deklede u S ile göterili ifade duvarı hee yakııdaki kaya hızıı göterektedir. T S ie duvarı hee yakııdaki kaya ıcaklığıı göterektedir. Yukarıda göterile hız ve ıcaklık içi taılaış yei ıır şartı dekleleri yardııyla oetu ve eerji dekleleri, kayalı akış hali içi çözülerek ouca ulaşılacaktır. Çoğulukla kayalı akış probleleri çözülürke 3. ve 3. ile göterile yeileiş ıır şartı dekleleride adece birici ertebede türevli teri heaba katılarak işleler yapılıştır. Bu çalışada ie ikici ertebede türevli teri de heaba katılış ve bu duru içi çözüleelere gidiliştir. Yukarıda bahi geçe kayalı akış hali içi yeide düzeleiş ıır şartı deklelerii probleiize uygu olarak boyutuzlaştırarak işe başlayalı. 3.. Boyutuz Kaya Hızı İfadeii Çıkarılışı Bu çalışada kullaıla dekleler uygu paraetreler ile boyutuz hale getirilerek işleler yapılıştır. Bu ede ile bu başlık altıda, ilerideki heaplaalarıızda çok ık kullaacağıız kaya hızı dekleii boyutuzlaştırılaı alatılacaktır. Literatürde değişik kaya hızı dekleleri olduğu biliektedir. Buradaki çalışada 3. deklei ile geel hali verile Bekok ve Kariadaki () tarafıda ortaya atıla kaya hızı deklei kullaılacaktır. Geel ifadei verile bu deklei ilk iki terii alıarak heaplaalar yapılacaktır. Literatürde, ilk iki terii alıış yai ikici ertebede türevi içere kaya hızı dekleie, ikici ertebede (ecod order) kaya hızı deklei deilektedir. Bu ede ile ikici türevde oraki terileri ihal ederek ve probleiizde kulladığıız koordiat iteie göre dört duvar içi boyutlu kaya hızı deklelerii aşağıda göterildiği gibi yazabiliriz. σ v u( ξ, η) λ ( ξ, η) us ( ξ,) uw = λfp + σ v η η fp u η = η = (3.3) σ v u( ξ, η) fp u( ξ, η) S ( ξ, ) w = λfp + σ v η η η = b η = b u b u λ (3.4)

37 σ v u( ξ, η) λ ( ξ, η) us (, η) uw = λfp + σ v ξ ξ fp u ξ = ξ = (3.5) σ v u( ξ, η) fp u( ξ, η) S (, η) w = λfp + σ v ξ ξ ξ = a ξ = a u a u λ (3.6) Yukarıdaki deklede yer ala boyutlu büyüklüklerde ikrokaal içideki hız dağılııı götere u( ξ, η ) fokiyou aşağıda göterile şekilde boyutuzlaştırılıştır. u( ξ, η) u( x, y) = u (3.7) Yukarıdaki ifadede yer ala ikrokaal içideki ortalaa hız ifadei aşağıda göterildiği gibidir.. u = u d d ab b a ( ξ, η) ξ η (3.8) Ayrıca boyutlu koordiatlar ola ξ ve η, ikrokaal geişliği a ile aşağıda göterildiği şekilde boyutuz hale getiriliştir. ξ x =, x (3.9) a η b y =, y (3.) a a Yapıla boyutuzlaştıralar dekleleride yerie koulup gerekli düzeleeler yapılıra ikrokaalı dört duvarı üzerideki boyutuz kaya hızıı vere ifadeler aşağıda göterildiği şekilde elde ediliş oluur.

38 σ us ( x,) = K + v u( x, y) K u( x, y) σ v + y + y y= y= (3.) σ us ( x, ) = K + v u( x, y) K u( x, y) σ v + y + y y= y= (3.) σ us (, y) = K + v u( x, y) K u( x, y) σ v + x x= + x x= (3.3) σ us (, y) = K + v u( x, y) K u( x, y) σ v + x x= + x x= (3.4) Yukarıdaki deklede yer ala Kude ayıı (K), olekülleri ortalaa erbet uzaklığıı ( λ fp ) hidrolik çapa ( D h ) bölüei ile taılaıştır. Hidrolik çap aşağıda göterildiği şekildedir. D h 4 a b a b = = ( a + b) ( a + b) (3.5) 3.. Boyutuz Kaya Sıcaklığı İfadeii Çıkarılışı Kaya ıcaklığı ifadeii geel hali 3. deklei ile veriliştir. Bu çalışada ikici türevde oraki teriler ihal edilecek ve problee uygu eçile koordiat iteie göre 3. deklei tekrar düzeleecektir. Aşağıdaki deklelerde ikrokaalı dört duvarı üzerideki boyutlu kaya ıcaklığıı vere ifadeler göterilektedir. T ( ξ, η) λfp + σ T R η η = T ( ξ,) = Tw + σ T + R Pr λfp T ( ξ, η) η η = (3.6)