Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla"

Transkript

1 Foksiyolarda Limit Foksiyolarda it: Bu bölümde y f ( ) foksiyou ve sayısı verildiğide, bağımsız değişkei sayısıa (solda veya sağda) yaklaşırke ya da sosuza yaklaşırke, foksiyou da bir L sayısıa (veya ya da 'a ) yaklaşıp yaklaşmadığı araştırılacak. Buu içi öce özel alamda bir foksiyo ola dizileri iti iceleecek. Sora diziler yardımıyla, reel değişkeli y f ( ) reel foksiyoları iti ve daha sora da tamame foksiyolarda kalarak tekiği de deile it taımı ve özellikleri verilecek, o kadar özel it taıtılacaktır. Ayrıca it alırke karşılaşıla ilk beş belirsiz hâl (belirsiz durum, ya da kısaca belirsizlik) ola,,,, belirsizlikleri taıtılacak ve bu belirsizliklere sahip bir çok it örekleri L Hospital Kuralı kullaılmada çözülecektir. Bu ilk beş belirsizliğe sahip olup L Hospital siz çözülemeye bazı it örekleri ve diğer iki tae daha belirsiz hâl deile, belirsizlikleri de türev kousu işledikte sora, türev uygulamalarıda biri ola L Hospital Kuralı ile verilecektir. Diziler: Taım kümesi,,,,, bir dizi (veye bir reel dizi) deir. sayma sayıları kümesi ola her foksiyoa da ye f : ; f ( ) diziside f(), f(), f(),..., f ( ), ile gösterilirse,,,,,... lere dizii elemaları veya terimleri, 'ye ise dizii geel terimi deir. Dizi foksiyou, taım kümesideki bütü,,,,, sayma sayılarıa, sırasıyla,,,,, reel sayılarıı karşılık getirmekte Bir dizi, geel terimi parateze alıarak ( ) veya biçimide gösterilir. (, dizii bir elemaıı değildir, belli bir reel sayıyı göstermek içi kullaılır. Zira dizii taım kümesi sayma sayıları kümesi Sayma sayıları kümeside de sıfır yoktur. Dolayısıyla dizii ilk terimi )

2 Foksiyolarda Limit Örekler: ),,,,,, dizisii geel terimi 4 Bu dizi ile gösterilir.,,,,, dizisii geel terimi ) ) ( ) Bu dizi ile gösterilir. i terimleri,,, 4,,,, 4) a ve d reel (gerçek) sayıları içi a, a d, a d, a d,, a ( ) d, terimlerie (elemalarıa) sahip dizi a ( ) d Bu diziye aritmetik dizi deir. Burada d sayısıa dizii ortak farkı deir. Yai ardışık terimleri arasıdaki fark her içi d 5) a ve q ( q ) gerçek sayıları içi oluşturduğu dizii geel terimi aq a aq aq aq aq,,,,,, olup, bu dizi aq terimlerii Bua geometrik dizi ve ardışık terimlerii oraı ola q sayısıa da dizii ortak çarpaı deir. 6) sayısıı yaklaşık birer değerii göstere,4 ;,4 ;,45 ;.. gibi rasyoel odalık sayıları gitgide bir aralığıda sayısıa daha da çok yaklaşırlar, fakat bir dizi oluşturmazlar. Acak her sayısıı buludura, iç-içe aralıklar deile aralıkları sol uç oktaları bir dizi, sağ uç oktaları da bir başka dizi olarak oluşturulabilir ve her iki dizi de yaklaşır. sayısıa 7),,, 4 terimlerie sahip bir dizi,,,, 4 terimlerie sahip bir dizi y ( ),,,,,, 6 4 terimlerie sahip bir dizi z,, 4, 8, 6, terimlerii oluşturduğu bir dizi t 4 5,,,, terimleride oluşa bir dizi u ( ) ( )

3 Foksiyolarda Limit 8) cos dizisii ilk birkaç terimi cos,54 cos, 7 ; cos, cos,4 ; cos cos.6 dır. rd Burada kosiüsü öüdeki,, sayıları radya ciside radya 57, rd rd rd 7, (.46) 8 dir Komşuluk (civar) ve Deiş Komşuluk: Bir sayısı ve isteildiği kadar küçük bir gerçek (reel) sayısı verilsi. (, ) açık aralığıa sayısıı yarıçaplı komşuluğu deir ve C ( ) ile gösterilir. C açık aralığıdır. (Bkz.Şekil ). Bu aralıkta Yai ( ) : (, ) sayısı aralığı orta oktasıdır. Eğer bu okta aralıkta atılacak olursa elde edile ( ) \{ } : (, ) (, ) C açık aralığıa sayısıı yarıçaplı deiş komşuluğu deir (bkz. Şekil ). Şekil. Sayı doğrusu üzeride komşuluk Şekil. Sayı doğrusu üzeride deiş komşuluk Dizii yığılma oktası: A ve olsu. Eğer sayısıı her deiş komşuluğu A kümesii e az bir elemaıı içide buluduruyorsa bu sayısıa A kümesii bir yığılma oktasıdır deir. A kümesii yığılma oktalarıı oluşturduğu kümeye A ı türev kümesi deir ve A ile gösterilir.

4 Foksiyolarda Limit Örek: ( ) dizisii tek idisli terimleri sayısıa, çift idisli terimleri de sayısıa yığılmaktadır. Yai A {,} İleride görülecek ki bu dizii iti yoktur. Dizii Limiti ( tekiği): Bir diziside büyüdükçe dizii heme heme tüm terimleri belli bir sayısıa isteildiği kadar yaklaşıyorsa, dizisi sayısıa yaklaşıyor veya dizisii iti dır deir ve veya ile gösterilir. Bir başka deyişle; dizisii heme heme her terimi ı yarıçaplı komşuluğuda buluuyorsa, i iti dır deir ve veya ya da yazılır. Yai e kadar küçük olursa olsu, C ( ) komşuluğuu dışıda dizii solu sayıda ( 'a bağlı, biraz sora açıklayacağımız bir ( ) pozitif reel sayısıı tam kısmı kadar) elemaı, fakat bu komşuluğu içide ise dizii geri kala sosuz tae elemaı vardır. Bu durumda bu dizii sosuz elemaı sadece bu sayısıa yığılmaktadır ve dolayısıyla bu dizii iti oktasıdır deilir. Burada komşuluğu içideki elemaları saymak kolay olmadığıa göre komşuluğu dışıda solu sayıda elema olduğuu göstermek daha kolay olacaktır. Artık şimdi dizilerde iti matematiksel taımı verilebilir: dizisi verilsi. Eğer isteildiği kadar küçük her gerçek sayısıa karşılık, öyle bir ( ) reel sayısı buluabiliyor ve bu da büyük ola tüm sayma sayılarıı idis olarak kabul ede ler ile reel sayısı arasıda fark mutlak değerce da daha küçük sayısıa dizisii iti kalıyorsa, yai eşitsizliği sağlaıyorsa, o zama deir ve veya ya da ile gösterilir. Eğer bir dizii yığılma oktası bir tek ise bu dizi yakısak ve iti de bu yığılma oktasıdır. Yığılma oktaları birde fazla ise o zama dizi yakısak değil Yai dizii heme heme her terimi sadece bir sayısıa yığılmayıp, sosuz terimi da başka oktalara da yığılmaktaysa bu dizi yakısak değil Yakısak olmaya dizilere ıraksak dizi deir. Ayrıca iti ola dizilere sıfır dizisi deir. 4

5 Foksiyolarda Limit Uyarı: Dizilerde it, sadece ike araştırıldığıda, yerie de yazılabilir. Bir de sıfır idisli bir dizi elemaı yoktur. Yai sayısı dizi elemaı olarak gösterilmez. Dizii ilk elemaı Çükü dizilerde taım kümesi,,,,,,,,,, sayma sayıları kümesidir, doğal sayılar kümesi deile kümesi değil yerie l, a, c, v.s. de yazılabilir. Acak biz dizileri daha çok taım aralığı (taım kümesi) reel sayılar kümesi ola reel foksiyoları itii hesaplamada kullaacağımızda sayısıı foksiyou bağımsız değişkei itii yaklaşacağı sayıyı l, a, c, v.s. olarak almak yerie, almayı tercih edeceğiz. Bu bölümde dizii itii çok az yerde l olarak göstereceğiz. Bir Dizii Grafiği: f : ; f ( ) dizi foksiyouda, ( ), f f kümesie aalitik düzlemde (dik karteziye koordiat sistemide) karşılık gele oktaları oluşturduğu şekle ( ) dizisii grafiği deir. Burada grafik sürekli (veya kesikli) bir eğri olmayıp f veya aalitik düzlemde sıralı ikililerde oluşa bir oktalar topluluğudur (bkz. Şekil ). Şekil : Bir f( ) dizisii grafiği. Şekil te Oy eksei üzerideki f (), f (), f (), f (4),, f ( ), f ( ), ordiat değerlerii (görütü elemalarıı) sırasıyla,,, 4,,, olarak alıp O eksei üzerie yerleştirmekle dizileri yei bir geometrik gösterimii elde ederiz. (Bkz. Şekil 4). 5

6 Foksiyolarda Limit Şekil 4. Bir dizisii geometrik gösterimi. Şimdi dizileri itii, tekiği kullaılarak gösterildiği birkaç örek vere: Örek: dizisii itii sıfır olduğuu gösteriiz. Burada ve dır. İsteildiği kadar küçük sayısı seçilsi. Her sayısıa karşılık bir ( ) gerçek (reel) sayısı var mıdır? Öyle ki her içi dur. o Bu so eşitsizlikte hareketle deilirse burada da buluur. İşte bu sayısıı olarak alırsak o ( ) dur. Yai her sayısıa karşılık bir ( ) o reel (gerçek) sayısı buluabilmektedir ve her içi dur. Yai dır. Bua göre mesela,5 seçilseydi ( ) (,5) 66, 6, 5 5 olup ı,5 yarıçaplı komşuluğu dışıda dizii ilk 66 terimi vardır ve bu komşuluğu içide (,5) 66, 6 koşuluu sağlaya 67., 68.,.. sosuz tae terim vardır. Yai isteildiği kadar küçük her sayısıa karşılık eşitsizliğii her o ( ) içi sağlayacak biçimde bir o ( ) reel (gerçek) sayısıı bulabilmekteyiz. Dolayısıyla komşuluk dışıda solu, komşuluk içide sosuz terim vardır. O halde dır. 6

7 Foksiyolarda Limit Örek: dizisii itii olduğuu gösteriiz. Her sayısıa karşılık bir ( ) reel sayısı, her içi dır. olacak biçimde varsa o zama Burada hareket oktamız dur; ( ) deilirse () ( ) ( ) ( ) burada ( ) () olarak alıabilir ve koşulu da sağlamış olur. buluur. ( ) Böylece her sayısıa karşılık bir ( ) pozitif reel sayısı vardır ve her 4 içi dur, yai Uyarı: Bu örekte mesela, içi (,) 5 5,5 4, 4 olup her 5,5 içi, Yai, içi i, yarıçaplı komşuluğuu dışıda dizii ilk 4 tae terimi vardır ve 5-ici terimde itibare (her 5,5 içi) dizii sosuz tae terimi olsu i, yarıçaplı komşuluğuu içide Burada e kadar küçük olursa ( ) reel sayısı solu bir sayı (gerçi küçüldükçe 4 ( ) sayısı büyümektedir fakat yie de solu) olup, komşuluk dışıda dizii solu sayıda, komşuluk içide de sosuz sayıda terimi olmaktadır ki bu, demektir. Örek: 7 5 olduğuu gösteriiz. Her içi bir ( ) sayısı var mıdır? Öyle ki her ( ) içi 7 dur. Burada 5 7

8 Foksiyolarda Limit 7 7 ( 5) içi. O halde her 4 içi 7 5) 5 5 5, her deilirse, bu so eşitsizlikte alıabilir. de, her 8 içi 7 7 olup ( ) 7 olarak ( ) 7 Böylece her sayısıa karşılık bir ( ) reel sayısı vardır; öyle ki 7 7 koşuluu sağlaya her içi dur. 5 7 Dolayısıyla 5 Uyarı: Bu örekte çözümü beşici satırıda, ikici adımdaki payı yerie bir büyütme yapılarak alıdı, payda da -5 yerie -5 alıarak payda daha da küçültüldü ve böylece yei elde edile kesir büyümüş oldu. Bu işlemleri souda da yazıldı. Böylece mutlak değer dışıdaki kesri, bu kesri itii 5 değiştirmeyecek biçimde uygu terim ekleyip çıkarmakla basitleştirildi ve geçişme özelliği de göz öüde buludurularak olması da sağladı. Burada amaç her sayısıa karşılık olacak biçimde a bağlı bir ( ) reel sayısıı buluabilmesidir! Bu sayeside ı yarıçaplı komşuluğu dışıda dizii solu sayıda elemaı olduğu, dolayısıyla içeride de sosuz sayıda elemaıı (yai dizii heme heme her terimii) olduğu gösterilmiş olmaktadır. Ayrıca bu örekte, mesela, sayısal değeri içi ( ) 7, 6 dır. Acak bu sayı, C () komşuluğu dışıda dizii ilk 74 terimii olduğuu göstermez., Gerçekte dışarıda buda daha az sayıda terim vardır. Zira yukarıda yapıla büyültmelerde dolayı dışarıda kala elema sayısı daha büyük çıkmaktadır. Ama bizim içi öemli ola solu bir ( ) sayısıı buluabildiğii göstermektir. 8

9 Foksiyolarda Limit dizisii itii olduğuu, yai bu dizii bir sıfır dizisi Örek: olduğuu gösteriiz. Eğer dizisii iti ise, her sayısıa karşılık e az bir ( ) sayısı vardır ve her içi dur. O halde ( ) dersek, 4 4 olup sayısı vardır ve her dır. ( ) yi olarak alırsak; her sayısıa karşılık bir ( ) 4 4 içi ( ) dur. Yai Uyarı: Limiti sıfır ola dizilere sıfır dizisi veya sosuz küçüle dizi deir. Her yakısak dizi, geel terimi ile iti arasıdaki farkı ola dizisii yei bir dizi olarak aldığımızda y dır. Eğer ise göre tersii iti ya veya dur. bir sıfır dizisi dur. Yai sıfır dizisii çarpmaya Sosuz Büyüye Diziler: Limiti veya ola dizilere (pozitif veya egatif yöde) sosuz büyüye diziler deir. Sosuz büyüye dizileri itleri de matematiksel olarak verilebilir. Bu tekiğe de (M - tekiği) diye. Sosuz Büyüye Dizileri Limitleri ( M tekiği): İsteildiği kadar büyük M reel sayısıa karşılık bir ( ) M reel sayısı, her ( M ) içi deir ve dizide dizii M olacak biçimde buluabiliyorsa, dizisie sosuz büyüye dizi veya şeklide gösterilir. Ayrıca sosuz büyüye bir terimi belli bir sayma sayısıda soraki ler içi (veya baze ilk terimde itibare) daima pozitif değerler alıyorsa baze ilk terimde) itibare daima egatif değerler alıyorsa yazılır ve belli bir de (veya yazılır. 9

10 Foksiyolarda Limit Örek: q içi gösteriiz. q olduğuda q dizisii sosuz büyüye bir dizi olduğuu İsteildiği kadar büyük M reel sayısı verildiğide e az bir ( ) M reel sayısı buluabilir mi? Öyle ki her ( M ) içi q M olsu. Bu so eşitsizlikte hareketle q q M q M log q log M olup, burada log q M sayısı ( M ) olarak alıabilir. q q Böylece her isteildiği kadar büyük her M reel sayısıa karşılık bir ( ) log M M reel q sayısı buluabilmektedir ve her log ( M) içi q q M Yai q dur, hatta q> gibi pozitif reel sayı olduğuda q dur. Eğer q ise iki durum söz kousudur. Çift idisli dizi geel terimi içi q q dur. ve tek idisli dizi geel terimi içi de Örek: 5 geel terimli dizii sosuz büyüye bir dizi olduğuu gösteriiz. İsteildiği kadar büyük her M reel sayısı verildiğide her ( M ) içi olacak biçimde bir ( ) M var mı? Buu araştırıyoruz. Bu so eşitsizlikte 5 M hareketle, öcelikle eşitsizlikteki mutlak değeri içii dışarı alabilmek içi sayısı, 4 olmak koşuluyla, 5 5 M de M M 5 5 olup ( M) ( M ) M 5 olarak alıabilir. Yai isteildiği kadar büyük her M reel sayısıa karşılık bir ( M ) M 5 reel sayısı vardır ve her M 5 içi 5 M Yai 5 dur. Öte yada dizii ilk birkaç terimi hesaplaırsa 4,, 6, 4, 5, 6, her 4 içi olduğuda, yai de daha büyük ola her içi olacaktır; o halde ( ) dur. egatif olduğuda iti de egatif

11 Foksiyolarda Limit Örek: dizisi bir sosuz büyüye dizi olduğuu gösteriiz. Gerçekte her M reel sayısı verildiğide, her ( M ) içi M olacak biçimde bir ( ) M var mı? Bu so eşitsizlikte, yai M de log M logm alıabilir. Böylece isteildiği kadar büyük sayısı buluabilmektedir ve her olup ( M ) log M olarak M sayısıa karşılık bir M M ( ) log reel log M içi M Dolayısıyla dur. Öte yada her içi olduğuda dur. Arta İdis Dizisi: da ya gide ve her k içi k k sayıları dizisie arta idis dizisi deir. eşitsizliğii sağlaya sayma k Örek: k k k ise k k bir arta idis dizisi Gerçekte her k içi k k ( k ) k eşitsizliği sağlaır. k Bezer biçimde k k eşitsizliğii sağlaya, geel terimleri k, ola bir çok arta idis dizisi oluşturulabilir. k k, k k, Örek: k k bir arta idis dizisi değil Zira ike, k içi Yai k k dizisi, da ya gide bir arta idis dizisi değil Alt Dizi: herhagi bir reel dizi olsu. bir alt dizisi deir. k bir arta idis dizisi ise k dizisie dizisii

12 Foksiyolarda Limit Örek: k k ( ) k ( ) k k dizisi içi bir arta idis dizisi k bir alt dizi k k k içi bir başka arta idis dizisi içi k ( ) k k k k bir başka alt dizi Uyarı: Yukarıdaki alt dizileri k yerie yazarak göstermek dizi yazılışıa daha uygu olacaktır. Bua göre yukarıdaki örekte verile ( ) y ve z ( ) ( ) dizisii farklı iki alt dizisi Arta ve Azala Diziler: Bir dizisi verilsi. Her içi ise bu dizi mooto arta bir dizi ve her içi ise bu dizi mooto azala bir dizi Eğer her içi ise bu diziye azalmaya bir dizi ve her içi ise bu diziye de artmaya dizi deir. Örek: dizisi mooto azala bir dizi y mooto azala bir dizi Fakat z ( ) bir dizi Acak bu so dizii alt dizileride z azala, z dizisi bir dizisi e mooto arta e de mooto azala ( ) dizisi de mooto artadır. () ( ) dizisi mooto

13 Foksiyolarda Limit Sıırlı Diziler: dizisii tüm terimleri içi, eğer diziye üstte sıırlı dizi; eğer M eşitsizliğii sağlaya bir M reel sayısı varsa m koşuluu sağlaya bir m sayısı varsa dizisie altta sıırlı bir dizi deir. Hem altta, hem de üstte sıırlı bir diziye de sıırlı dizi deir. Yai her içi K olacak biçimde bir K reel sayısı varsa bu dizi sıırlı bir dizi Örekler:. {} sıırlı değil. { } dizisi her içi olduğuda bu dizi altta sıırlıdır. Fakat üste dizisi her içi olduğuda bu dizi üstte sıırlıdır. Fakat altta sıırlı değil Yai her içi. ( ) bu dizi sıırlıdır. Üstelik dizisi her içi ( ) olduğuda, m ve ( ) yazılabileceğide biçimde bir K sayısı vardır. Dolayısıyla bu sıırlı dizi 4. 7 ( ) M olup olabilecek dizisi içi 4 olup, m ve M 4 dür. Ayı zamada dizii geel terimi 4 4 olarak da yazılabileceğide 4 olup K 4 olarak alıabilir. Dolayısıyla bu dizi de sıırlı bir dizi Dizi Özellikleri: Dizilerle ilgili belli başlı özellikler ve teoremler aşağıda öermelerle verilmektedir:. dizisi yakısak ise iti tektir.. dizisi yakısak ise sıırlıdır.. ve y dizileri verilsi. Her içi y ise y 4. ve y yakısak dizileri verildiğide, y ve y ve y y ve ( y ) y dizileri de yakısaktır

14 Foksiyolarda Limit 5. ve y yakısak ve y ise y dizisi de yakısaktır ve y y 6., y ve olsu. Eğer ve z dizileri verilsi ve her içi y z ( veya y z ) z ayı bir l itie yakısarsa, yai z l ise, o zama y dizisi de yakısaktır ve ayı l ite yakısar, yai y l dır. (Sadöviç teoremi). 7. Mooto arta ve üstte sıırlı bir dizi yakısaktır. Bezer şekilde mooto azala ve altta sıırlı bir dizi de yakısaktır. 8. Bir dizi yakısak ve iti l ise bütü alt dizileri de yakısak ve ayı ite sahiptir. Tersie bir dizii iki alt dizisi farklı itlere sahipse o dizi ıraksaktır. 9. c sabit dizisii iti kedisi Yai. dizisi bir sosuz küçüle dizi (sıfır dizisi), y dizisi de bir sıfır dizisi (Burada y c, c,, c olup c y dizisi de sıırlı bir dizi ise o zama dizisii iti olmayabilir.yeter ki sıırlı olsu). Örek: 5 dizisii itii buluuz. 5 Ayı souca it özelliklerii adım adım kullaarak da ulaşabiliriz; buluur. 4

15 Foksiyolarda Limit Örek: dizisii bir sıfır dizisi olduğuu gösteriiz. olduğuda de Öte yada ve olup yazılabilir. Bu so eşitsizlikte ite geçilirse dır (6. Özellik: Sadöviç teoremi). Örek: ( ) dizisii yakısak olup olmadığıı araştırıız. ( ) alt dizisi içi Bir başka ( ) () alt dizisi içi ( ) dır. Verile dizii farklı iki alt dizisi farklı iki ite sahip olduğuda bu dizi yakısak değildir, ıraksaktır. Uyarı:: Bu örekteki dizi ıraksak olmasıa rağme ayı zamada ( ) ( ) olduğuda dizi sıırlıdır. Demek ki sıırlı her dizi yakısak olmayabilir, fakat yakısak bir dizi ayı zamada sıırlıdır. (Teorem: Yakısak her dizi sıırlıdır). 5

16 Foksiyolarda Limit Örek: cos dizisii itii olmadığıı gösteriiz. Bu öreği çözümü içi sosuza gide sayısıı, yei bir k sayma sayısı ile foksiyou periyodik oluşua da uygu biçimde düzelediğimizde acaba farklı itlere ulaşabilir miyiz? Buu içi yerie öce k yazılırsa, ile birlikte k da sosuza gideceğide k cos cos( k ) cos cos (sabit dizi) buluur. Şimdi de yerie k k biçimide bir düzeleme yapılırsa cos cos( k ) cos cos Buluur. Demek ki periyodik olma ve sosuza gidişi de amacımıza uygu biçimde düzelemekle (düzeli hale getirmekle)) bu dizii iti - ile + arasıda her hagi bir sayı olarak karşımıza çıkmaktadır. Dolayısıyla bu dizii iti biemekte Yai cos cos Yok! dur. Örek: cos dizisii itii buluuz. bir sıfır dizisi y cos cos ya da cos (Burada (cos ) YOK! cos dır. dizisi ise sıırlı bir dizi Yai ). O halde. Özelliğe göre Örek: dizisi yakısak mıdır? Araştırıız. Verile dizii geel terimi biom (iki terimli)açılımıa göre!!! () Ve bezer biçimde! ( )! yazılabilir. ile dizi elemalarıı sağ tarafları terim terim karşılaştırılırsa () deki paratezleri herbiri () deki karşılık geldiği paratezlerde büyük olup, ayrıca () de bulumaya fakat açılım gereği () de bulua pozitif soucu terimi ilaveside dolayı her içi Yai dizimiz mooto artadır. () 6

17 Foksiyolarda Limit Acaba üstte de sıırlı mıdır? () ifadesii sağ tarafıdaki paratezleri yerie daha büyük ola sayıları yazılır ve daha sora her içi! olduğuda (buu doğruluğu tümevarım ile yapılabilir), açılımdaki büyültme yapılmış kısımdaki terimleri yerie eşit ya da! daha büyük ola terimlerii yazıp elde edile ifadedeki geometrik serii de eşiti yazılarak; olup!!! dür. Yai üstte de sıırlıdır. Mooto arta ve üstte de sıırlı ola bir dizi yakısaktır ve bir iti vardır. Bu it e yaklaşık e, 7 dir ( e, ). e sayısı ile gösterilir. Bu e sayısı p q gibi yazılamaya, yai rasyoel olmaya, irrasyoel bir sayıdır. Trasadat (yüksek, aşkı) sayı olarak adladırılır. rd e,, l, log, si, Arc ta, birer trasadat sayıdır.,46, l,695, radya rd 57, rd 7, (,46) rd rd 8 Dizi Problemlerii Çözümüde İzleecek Yollar: Bir dizisii itii bir l reel sayısı olduğuu gösterilmesi isteildiğide, eğer l solu ise tekiği ile uygu bir ( ) sayısıı buluulabileceği, eğer l sosuz ise M tekiği ile uygu bir ( ) M sayısıı buluabileceği matematiksel olarak gösterilmeli Verile dizi mooto-sıırlı ise yakısaktır. Fakat bu yolla yakısaklığı gösterile bir dizii itii her zama bulamayabiliriz. Sadece yakısak olduğuu dolayısıyla bir itii olduğuu söyleyebiliriz. Verile dizii itii pratik yolda, yai geel terimii içi itii (daha öce verile it özellikleride de yararlaarak) elde edebiliriz. Verile bir dizii alt dizilerii hepsi ayı bir ite yakısıyor ise dizi yakısaktır ve iti de bu alt dizilerii iti ile ayıdır. Burada dizileri elemaları souçta bir sayı doğrusu üzeride buluduğuda, verile dizide yerie arta idis dizisie uygu li yei idisler verilerek buluacak iki alt diziside birisii geel terimii itte küçük ola bir dizi olarak, diğerii geel terimii de itte büyük bir dizi olarak seçip, ayı ite yaklaştıklarıı (mesela tekiği ile, ya da pratik yolda ike itii araştırarak) göstermek yeterli 7

18 Foksiyolarda Limit Foksiyolarda Limit: Foksiyolarda ite geçmede öce, bağımsız değişkei itii taımlayalım. Bağımsız değişkei Limiti: Eğer bir sayısıa yakısaya bir dizisii her bir terimi (elemaı) olarak alıırsa bu değişkei sayısıa yakısıyor veya itie sahiptir deir ve veya şeklide gösterilir. Örek: değişkeie sıra ile,,,,, değerleri verilirse, bu durumda tür veya tür. (Burada değişkei te büyük kalarak e yaklaşıldığıda bua sağda it de deir). Örek: değişkeie sıra ile,,,,, değerleri verilirse, bu durumda dir veya tür. (Burada değişkei de küçük kalarak ye yaklaştığıda bua solda it de deir). Foksiyolarda Limit (Diziler Yardımıyla): Eğer reel sayısıa yaklaşa her dizisie karşılık ( ) f görütüler dizisi bir L reel sayısıa yakısıyorsa giderke f( ) foksiyou L ye yakısıyor deir ve f ( ) L biçimide gösterilir. (Burada L bir reel sayı olabileceği gibi veya da olabilir). UYARI:: Burada dizilerii geel olarak veya gibi sayısıa solda veya sağda yaklaşa iki diziyi seçmek yeterli dizisi yerie veya ya da gibi dizilerde birisi de alıabilir. Ayı durum sağda it içi de geçerli Acak e yalı ve dizilerii almak daha kullaışlıdır. Fakat baze problemi gerektirdiği daha farklı diziler de alıabilir. 8

19 Foksiyolarda Limit Örek: f( ) foksiyouu içi itii diziler yardımıyla buluuz. geel terimli dizi içi dizii geel terimi yazılırsa olup foksiyoda her yerie bu ( ) f( ) f( ), görütüler dizisi geel terimi Buu içi iti olup, f( ) Bezer şekilde dizisi içi ( ) olup, f( ) Yai solda ve sağda itler var ve birbirii ayısıdır. ( itie sahip başka dizileri içi de kotrol edilirse yie L dir). O halde f( ) Örek: f( ) si foksiyouu içi, yai içi iti var mıdır? Burada olarak seçe; dizisii bu problemde amacımıza uygu olacak şekilde olup, görütüler dizisi geel terimi f( ) içi f ( ) si si si si ( sabit dizi) L Bir 9

20 Foksiyolarda Limit başka dizisi olarak seçilirse bu yei dizisi içi buluacak ola f( ) görütüler dizisii iti ise olup, f ( ) si si si si ( sabit dizi) L Farklı iki dizi içi görütü dizilerii itleri de farklıdır. Dolayısıyla içi f( ) si i iti yoktur. (Burada sadece sağda farklı iki dizi içi farklı itler buluduğua dikkat edilmeli. Bezer biçimde solda da it çalışmaları yapılabilir.). Örek: f ( ) cos foksiyouu içi itii olmadığıı gösteriiz. Sosuza gide dizisi içi f ( ) cos( ) cos( ) cos( ) ( ) görütüler dizisi geel terimi olup f ( ) ( ) ( ) L ve f ( ) ( ) ( ) ( ) L Uyarı:: Burada it alıırke yerie sadece yazılmıştır. Zira dizilerde it icelemeleride it değişkei (idis) sadece a giderke it araştırılır. Dolayısıyle gösterimii altıa yazılmayabilir. Örek: f ( ) foksiyouu oktasıdaki itii diziler yardımıyla buluuz. geel terimli dizii iti Görütüler dizisi geel terimi ise f ( ) f 4 L 4 olup, olduğuda Gerçekte L f ( ) olduğuu dizilerdeki her sayısıa karşılık bir ( ) reel sayısı bularak da gösterebiliriz. Şöyle ki; isteildiği kadar küçük her sayısıa karşılık bir ( ) reel sayısı bulabilir miyiz ki, her ( ) içi f ( ) L 4 olsu.

21 Foksiyolarda Limit O halde f ( ) L olup burada Burada Böylece ( ) olur. deilirse bu eşitsizliği so kısmıda ifadesi ( ) olarak alıabilir. Demek ki her sayısıa karşılık bir ( ) sayısı vardır ve her içi f ( ) L 4 dur. Yai f( ) 4 Yai dizisi içi bulua görütüler dizisi f ( ) 4 i iti L= Başka bir dizisi içi yukarıdakie bezer bir çalışma ile buluacak ola görütüler dizisi geel terimii iti de f ( ) f 4 L Böylece diziler yardımıyla bulua solda ve sağda itler ayıdır. O halde UYARI:: Yukarıdaki sağda it olarak yazılabilir. Hatta ileride bu örekte çözümü araştırıla it sorusu, dizilerde yararlamaksızı, pratik olarak ( ) ( ) 4 olarak da buluabilecektir.

22 Foksiyolarda Limit Örek: f( ) foksiyouu içi itii diziler yardımıyla buluuz. itie yaklaşa bir dizi içi f ( ) f ( ) dur. olarak seçilsi. Görütüler dizisi geel terimi Gerçekte isteildiği kadar büyük bir M reel sayısıa karşılık bir ( ) M pozitif reel sayısı var mıdır? Öyle ki her ( M ) içi ( ) f M dir, yai f ( ) M Burada M de log M olup, ( M) log M alıabilir. Dolayısıyla isteildiği kadar büyük her M reel sayısıa karşılık bir ( M) log M pozitif reel sayısı vardır ve her log M içi M Yai dur. UYARI:: f( ) görütüler dizisii ilk birkaç terimi farklı işarette olsa ve belli bir terimde itibare bu dizi daima pozitif değerler alıyorsa ( ) f dur. Bezer biçimde ( ) f görütüler dizisii ilk birkaç terimi hariç belli bir terimde itibare bu dizi daima egatif değerler alıyorsa ve örekteki gibi koşullar gerçekleiyorsa (yai isteildiği kadar büyük bir M reel sayısıa karşılık bir ( ) M pozitif reel sayısı buluabiliyor ve her ( M ) içi f ( ) M oluyorsa) f( ) dur. Örek: f( ) foksiyouu ike sıfıra yaklaştığıı diziler yardımıyla gösteriiz. Burada seçilirse, dur. (Gerçekte her sayısıa karşılık bir ( ) pozitif reel sayısı var mıdır? Öyle ki her ( ) içi f ( ) L olsu. Bu so eşitsizlikte olup burada log log log buluur. Bu so eşitsizlikte log ( ) olarak alıabilir. Yai her sayısıa karşılık bir ( ) log vardır, öyle ki her ( ) log içi dur. Yai f( ) dur. Buu bir başka yolda şöyle de açıklayabiliriz: f ( ) f ( ) olup dizisie karşılık görütüler dizisi dır. (Zira olup, bir sosuz büyüye dizidir, buu çarpmaya göre tersi ola geel terimli dizi ise bir sosuz küçüle dizi (sıfır dizisi) dir, yai dır.

23 Foksiyolarda Limit Bir Foksiyou Limiti ( Tekiği): ve L solu iki reel sayı olsu. İsteildiği kadar küçük sayısıa karşılık, ( ) koşuluu sağlaya her içi f ( ) L olacak şekilde bir ( ) buluabiliyorsa değişkei oktasıa (sayısıa) yaklaştığıda f( ) foksiyouu iti L dir deir ve f ( ) L ile gösterilir. Örek: ( ) olduğuu gösteriiz. Burada f ( ), ve L dür. Öcede seçilmiş isteildiği kadar küçük her sayısıa, ( ) oldukça f( ) olacak şekilde bir ( ) sayısıı belirleye. Buu içi f( ) eşitsizliğide hareketle; f ( ) f ( ) f ( ) 4 de dir, burada ( ) olarak 4 alıabilir. (Hatta ( ) sayısı, de küçük ola,,,,... de biri olarak da alıabilir). 5 9 Başka bir deyişle, ola ler içi ( ) dur, yai tür. (Bkz. Şekil.5).

24 Foksiyolarda Limit Şekil 5. ( ) itii grafiği. Buu bir de sayısal olarak gözlemlemek istersek,, olarak verilmiş olsu. O zama, ( ) (,),5 olur ve,5 ike f ( ), Yai bağımsız değişkei civarıda gezerke, f ( ) foksiyou da i civarıdaki değerlerie karşılık, L= sayısıı civarıda görütü değerleri almaktadır. Örek: gösteriiz. içi y f foksiyouu itie sahip olduğuu f ( ) deilirse bu ifadei so eşitsizliğide dur. O halde ( ) olarak alıabilir. Böylece her sayısıa ( ) sayısı ( ) oldukça olacak şekilde karşılık gelmekte Yai ( ) (Bkz.Şekil.6). 4

25 Foksiyolarda Limit Şekil 6. itii grafiği. Örek: f ( ) si foksiyouu oktasıda itii L si olduğuu gösteriiz. Her reel sayısıa karşılık bir ( ) reel sayısı var mıdır? Öyle ki ( ) koşuluu sağlaya reel sayıları içi f ( ) L si si dur. Burada f ( ) L si si cos si cos si si si cos si si dur. Burada bu ifadei so kısmı ola eşitsizliğide buluup, buradaki sayısıı ( ) olarak alabiliriz. Yai ( ) ike si si dur. Dolayısıyla her sayısıa karşılık, ( ) olacak biçimde bir ( ) sayısı buluabilmekte O halde si si dır. olup 5

26 Foksiyolarda Limit UYARI:: Birim çemberdeki gözlemlerde (alfa), radya ciside pozitif bir yayı göstermek üzere yayı daima si da büyüktür. Gerçekte iki okta arasıdaki e kısa mesafe bu iki oktayı birleştire doğru parçasıdır. Dolayısıyla PP PΑP si si dır. Burada si si dır. ı kedisii de egatif olabileceği göz öüde buludurulursa si dır. Şekil 7. Birim çemberde yay-kiriş ilişkisi. Foksiyolarda Limiti Özellikleri: Foksiyolarda iti belli başlı özelliklerii ve teoremlerii aşağıdaki öermelerle vere:. Eğer f( ) iti varsa bu it tektir.. f( ) ve g ( ) foksiyoları verilsi. Eğer i a yakısaya tüm değerleri içi f ( ) g( ) ise ve f( ), g ( ) itleri varsa o zama f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ). f ( ) g( ) f ( ) g( ) k bir reel sabit ise k k dır. 6. k bir sabit olmak üzere k k olduğuda k f ( ) k f ( ) 7. f( ) f( ) g ( ) g ( ) 6

27 Foksiyolarda Limit 8. i a yakı tüm değerleri içi f( ) ve g ( ) ise o zama f( ) ve g ( ) 9. i a yakı tüm değerleri içi h( ) f ( ) g( ) ve zama f( ) ( ) f ( ). f iti de vardır ve dir ve h( ) g( ) L ise o f ( ) L (Sadöviç teoremi). f ( ) f ( ) m m. log a f ( ) log a f ( ), si f ( ) si f ( ) Arc ta f ( ) Arc ta f ( ), v.s., g( ) g( ) ( ) ( ) f. f. f ( ) f ( ) L ise f ( ) L dır. Sözle ifade edilirse; ike L ise ( ) ( ) g f L foksiyou da içi bir sosuz küçüle foksiyodur, yai g i ( ) iti sıfırdır. Hatta solu sayıda küçüle foksiyou toplamı da çarpımı da yie bir sosuz küçüle 4. f ( ) L ise f f L ( ) ( ) UYARI:: Limit özelliklerii ispatı tekiği ile yapılabilir. Acak her zama kolay olmayabilir. Bazı özellikleri ispatıda ( ) ları oldukça özel seçimi gerekir. Sosuz küçüle foksiyoları özellikleri ve Örek: teoremleri verildikte sora, yukarıdaki özellikleri ispatıı daha basit yolda vermek de mümküdür. ile göstere. + 4 foksiyouu içi itii L olduğuu tekiği f ( ) İsteildiği kadar küçük her sayısıa karşılık bir ( ) reel sayısı var mıdır? Öyle ki ( ) eşitsizliğii sağlaya ler içi f ( ) L ( 4) dur. Bu so eşitsizlikte ( 4) ( ) dersek, bu ifadedeki so eşitsizlikte ( ) da olup ( ) olarak alıabilir. Böylece her sayısıa karşılık e az bir ( ) reel sayısı buluabilmektedir; öyle ki ( ) içi ( 4) dur, yai ( 4) dür. 7

28 Foksiyolarda Limit Örek: 4 olduğuu tekiği ile göstere. Her içi ike sayısı bulmak gerekir. 4 olacak biçimde bir ( ) Şimdi 4 ( ) ( ) olup, 4 eşitsizliğide a bağlı, ( ) olacak biçimde bir ( ) var mı? Buu arıyoruz. Acak bu örekte eşitsizliğide eşitsizliğie varılıp, burada kolayca f ( ) L 4 ( ) olacak biçimde bir ( ) reel sayısıa buluamaz. Zira yukarıdaki so lu eşitsizlikte terimii yaıda bir de bir türlü kurtulamadığımız terimi vardır. Bu terimi ise aşağıdaki gibi bir ek kabulle amacımıza uygu bir hale getirmeliyiz. Buu içi civarıdaki lerle ilgileildiğide öce koşuluu göz öüe alalım. Bu koşuldaki sayısı ( ) u göstersi, yai ( ) olsu. (Burada yerie ; ;, ;, ; v.s. de alıabilirdi!). Böylece koşuluda buluur. Böylece ( ) koşulu altıda (bu durumda 5 dir), 4 ( ) ( ) 5 eşitsizliğide olup bu 5 5 pozitif reel sayısı ( ) olarak alıabilir, yai ( ) seçilebilir. O halde 5 ( ) mi ( ), ( ) mi, olarak alıırsa (dolayısıyla hem 5 hem de sağlaır), her sayısıa karşılık, ( ) ike 4 olacak 5 biçimde bir ( ) mi, sayısı buluabilmekte Dolayısıyla 4 UYARI:Yukarıdaki örekte görülüyor ki 4 dür. Yai bu örek içi f ( ) f ( ) dır. Zate poliomlarda her zama bağımsız değişkeii a yaklaşırke buluacak it poliomu bu oktasıdaki değerie eşittir. 8

29 Foksiyolarda Limit Özel Limitler: Limit hesaplamakta, süreklilik-süreksizlik araştırmakta ve hatta taımda hareketle türev almakta çok işimize yarayacak belli başlı özel itleri vere: si, ta, Arcsi, Arc ta, e, u u ( u) e, l( ), e sih,, tah, ( ), burada UYARI:: Bu özel itler u u ( ) l u ( ) l( u) ; u( ) u olmak üzere u si u( ) si u olarak; u( ) u u u( ) u e e u( ) u Bu özel itlerde birkaçıı ispatı aşağıda örekler içide verilmiştir. olarak da kullaılabilir. Örek: si olduğuu gösteriiz. olmak üzere, birim çemberde AP yayıı uzuluğu m( AP) radya ya da AOP merkez açısıı ölçüsü de m( AOP) üzere yadaki şekilde alalar: radya olmak POA üçgeii alaı: A( POA) si si br POA daire diii alaı: A( POA) ( ) br ve TOA dik üçgeii alaı: A( TOA) ta ta br olup Şekil 8. si iti içi şekil. 9

30 Foksiyolarda Limit Bu üç ala karşılaştırılırsa; A( POA) A( POA) A( TOA) si ta si si cos bu so eşitsizliği her bir yaı si e bölüürse (si olduğuda eşitsizlikler yö değiştirmez) si si si si cos si si cos Bu so eşitsizlikler ters si çevrilirse cos olup her bir yaı içi iti alıırsa si si cos olup (Sadöviç Teoremi) si olup Örek: Örek: ta olduğuu gösteriiz. ta si si buluur..cos cos (özel it) Arc ta olduğuu gösteriiz. Arc ta itide Arc ta t döüşümü yapılırsa burada içi t olduğuda Arc ta Arc ta t ta t t t ta t ta t ta t t t t t t t ta t olup Örek: Arc si olduğuu gösteriiz. Arc si Arc si t si t t t t si t buluur. UYARI:: f() t f ( t) L ise t yararlaılır. si t t deilirse () sit f( t) t t t t ike Yai kısaca t f ( t) t si t Yukarıdaki örekte olduğu gibi, bir çok problemde bu it özelliğide t f t L

31 Foksiyolarda Limit Örek: Özel itlerde Öce dizilerdeki a e itii ispatıı vere. geel terimli dizii itii e olduğuu göstere a, a,5, a,7, böylece devam edilirse a dizisii arta olduğu hissediliyor. Öce artalığıı, sora da üstte sıırlılığıı göstere. Buu içi biom (iki terimli) açılımda yararlaarak a buluur. Burada a ( ) ( ) ( ). ( ). ya da daha uygu bir yazılışla!!!.. (*) Elde edilir. Bu so eşitlikte her yerie yazılırsa buluacak yei ifadede sağ tarafta her bir paratez daha da büyüyeceğide ve yie bu tarafa yei bir pozitif ifade ekleeceğide her içi olmaktadır. Yai a dizisi kesi arta bir dizi Bu dizii üstte de sıırlı olduğuu göstermek içi (*) eşitliğide sağ taraftaki her bir paratez yerie daha büyük ola sayısı yazılarak ve sora yerie de (daima olduğuda) daha büyük-eşit ola!! ler alıarak daha da büyültmeler yapılırsa......!!! olup, her içi a tür.

32 Foksiyolarda Limit Dolayısıyle kesi arta ve üste sıırlı bir dizi yakısaktır ve bir ite sahiptir. Bu örekteki ite e deilirse, e irrasyoel ve trasadat (yüksek,aşkı) bir sayıdır. Bu e sayısı e, biçimide UYARI:: Her içi! ( ) olup,!! Diziler içi e e olduğu gibi, sürekli değişkeler (reel değişkei) içi de doğru olduğuu göstere. Öce olsu. Her pozitif reel sayısıı biçimide yazabiliriz ( eşitsizlik ). içi dur. Bu eşitsizlikte ve hatta içi it araştırılırsa ike olduğuda e Bu so olarak da yazılabileceğide, olduğuda so eşitsizlikte her bir yaı iti alıırsa ve e e buluur, burada sadöviç teoremi gereği olup, burada e elde edilir. Hatta ike de it e Gerçekte itii hesabıda ( t ) döüşümü uygulaırsa içi t dır. O halde ( t) t ( t) ( t) t t t t t t t t t t t t t t t t t e e Yai t t t t t t t t t t t

33 Foksiyolarda Limit içi de e Souç olarak e Örek: u u ( u) e olduğuu gösteriiz. t ( ) u t u u u t e u t t u t Yai u u ( u) e l( ) Örek: olduğuu gösteriiz. l( ) l( ) l( ) l ( ) l e buluur. Yai l( ) Örek: e olduğuu gösteriiz. buluur. Yai e e t e t t l( t) ; t t l( t) t l( t) t e t Artık birçok foksiyou itii alabilecek güçteyiz. Aşağıda, özel itler dışıda fakat özel itlerde yararlaılarak çözüle örekler verilmiştir. Örek: si ta itii hesaplayıız. si si si si ta ta ta ta buluur.

34 Foksiyolarda Limit Örek: e si itii hesaplayıız. si si si si e e si e si e si si si (özel it) (özel it) t si t dö. ile e buluur. t t t cos Örek: itii hesaplayıız. cos ( cos ) cos si si ( cos ) ( cos ) cos si cos buluur. Örek: Arcsi l( ) itii hesaplayıız. Arc si Arc si ( ) Arcsi ( ) 9 l( 5 ) l( 5 ) l( 5 ) (5 ) l( 5 ) 5 Arcsi buluur. Örek: l itii hesaplayıız. l l ( ) t dö. ile l( t) t t t (özel it) buluur. 4

35 Foksiyolarda Limit Örek: a a a itii hesaplayıız. a a a a a t dö. ile a a a a a a a a t a a ( t) a a a buluur. t t UYARI:: Burada çalışma, ayı zamada (özel it) ( ) itide yararlaıldı. ( bir sabit sayı.) Bu örekte yapıla u uu f ( ) f ( ) f ( a) f( a) a a f ( ) ola foksiyouu a oktasıdaki türev değeri ola itii (türevi it ile yapıla taımı olarak) hesaplamak demektir. Bu souç, foksiyouu (pratik yolda) türevi ola ile ayıdır. f ( a) a ( ) i f a oktasıdaki türev değeri Örek: itii hesaplayıız. buluur. Başka yolda çözüm: t dö. ile t ( t) t t t t ( t) ( t) ( t) t t t ( t) ( t) t t buluur. (Burada ( u) özel itide yararlaıldı. bir sabit sayı.) u u 5

36 Foksiyolarda Limit Örek: Arc ta 4 itii hesaplayıız. Arc ta Arc ta Arc ta ta ta 4 Arc Arc (+) + Arc ta Arc ta (+) + buluur. UYARI:: Burada u döüşümü ile u ve Arc ta ta Arc u u u Yukarıdaki öreği biraz daha geelleştirerek aşağıdaki örek de verilebilir. Örek: Arc ta Arc ta itii hesaplayıız. Arc ta Arc ta Arc ta Arc ta - (+ ) + Arc ta Arc ta ( ) buluur. UYARI:: Bu öreği çözümüde yerie ve yerie de yazılıp içi it alıırsa Arc ta( ) Arc ta buluur ki bu, f ( ) Arcta foksiyouu taımda hareketle (it yoluda) türevii f( ) olduğuu göstermekte (Taımda hareketle it çalışmasıda it değişkei olup, it değişkeie göre sabittir). 6

37 Foksiyolarda Limit Örek: a a a itii hesaplayıız a a a a a a a a a a a a a a a a a t dö. ile ( t) a a a a a a a a t t a t a buluur. 5 (özel it) 7 Örek: a itii hesaplayıız. t a e dö. ile la t le t t a e e t l a t t t t t l a l a t e (l a).l a l a buluur. t t t ( özel it) Örek: log ( ) a itii hesaplayıız. Örek: log ( ) e e a log a( ) log a( ) log a ( ) log a itii hesaplayıız. ( ) ta si ( ) ta ( ) si cos cos 7

38 Foksiyolarda Limit si cos cos si si ( ) ( ) ( ) ( ) t t t si ( ) si ( ) si t t Örek: cota si itii hesaplayıız. cos cos cos cota si si si si si (cos ) si si si si (si ) buluur. si si l( ) Örek: ( e ) Arc ta 4 itii hesaplayıız. si l( ) si l( ) ( ) ( e ) Arc ta 4 e Arc ta si l( ) ( )...( ) buluur. e Arc ta Örek: ( cos 4 ) Arc ta ( )l( e ) itii hesaplayıız. ( cos 4 ) ta ( si ) ta Arc Arc ( e ) l( ) ( e ) l( ) 8

39 Foksiyolarda Limit si Arc ta si Arc ta ( ) 4 ( ) e l( ) e l( ) si Arc ta e l( ) buluur. Örek: Aşağıdaki itleri hesaplayıız: a) 5 4, b) 4 5, c) 4 4, d) Çözümler: a) ( ) ( ) buluur. b) buluur ( ) c) 9

40 Foksiyolarda Limit d) ( ) 4 NOT: Bir poliomu (çok terimlii) bir polioma bölümüü dereceli terimleri oraıa bakmak yeterli Gerçekte içi iti araştırılırke e yüksek a, m ise b a a a a a, m ise m m m b b bm b m b, m ise Örek: 4 itii hesaplayıız. 4 ( ) e e e e buluur. Örek: 5 itii hesaplayıız e e e 6 buluur. 4

41 Foksiyolarda Limit Örek: (cos ) itii hesaplayıız. (cos ) [ (cos )] [ ( cos )] si si ( si ) si si si si si e e si si si si 4 () 4 e e e e e e buluur. e Örek: 4 itii hesaplayıız. 4 4 e e e buluur. u( ) v( ) u( ) e Limit çalışmalarıda karşılaşıla belirsizlik durumlarıda v( ) UYARI:: u ( ) ve v ( ) itteki belirsizlik ise dur. ise bu durumda v( ) u( ) v( ) u( ) e dir ve e i üssü ola 4

42 Foksiyolarda Limit Tek Taraflı (Solda veya Sağda) Limitler: Şimdiye kadar alıa itlerde aksi bir durum söz kousu olmadıkça bağımsız değişkei oktasıa (sayısıa) da küçük kalarak (solda) veya da büyük kalarak (sağda) yaklaşabiliyordu. Buu ( ) ola mutlak değerli eşitsizlik sayeside yapabiliyorduk. Ama baze verile foksiyou kedi özelliğide dolayı it çalışmalarıı tek taraflı yapmak gerekebilir, ya da özellikle süreksizlik çalışmalarıda süreksiz cisii belirlemek içi solda veya sağda itlere bakmak gerekir. Mesela f( ) foksiyouu oktasıdaki itii sadece solda iceleyebiliriz. Zira paydadaki karekökte dolayı sayısıa de küçük kalarak yaklaşmak gerekir. Bu iti biçimide göstereceğiz. Yie bezer bir biçimde l f( ) foksiyouu oktası civarıdaki itii de logaritma foksiyouu cota taım aralığıda dolayı, sadece pozitif ler içi yai içi araştırabiliriz. Solda Limit: İsteildiği kadar küçük bir sayısıa karşılık, eşitsizliğii sağlaya ler içi f ( ) L olacak biçimde bir ( ) sayısı buluabilirse, o zama bu L sayısıa, foksiyou oktasıdaki solda iti deir ve gösterilir. f( ) biçimide Bu it, ya da f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) olarak da gösterilir. Şekil 9. Foksiyou solda iti. 4

43 Foksiyolarda Limit Sağda Limit: İsteildiği kadar küçük bir sayısıa karşılık, eşitsizliğii sağlaya ler içi f ( ) L olacak biçimde bir ( ) sayısı buluabilirse, o zama bu L sayısıa, foksiyou oktasıdaki sağda iti deir ve f( ) biçimide gösterilir. Bu it, f ( ) f ( ) ya da f ( ) f ( ) olarak da gösterilir. Şekil. Foksiyou sağda iti. UYARI:: Solda itte da küçük kalarak, sağda itte ise da büyük kalarak a yaklaşılır. Sağda,solda it çalışmaları yei bir pozitif p reel değişkei yardımıyla şöyle yapılabilir: Sağda itte olup burada p deilerek p döüşümü yapılabilir. Burada p olup p içi it araştırılabilir. Bezer biçimde solda it içi değişkei sayısıda küçük kalarak a yaklaşacağıda (O-eksei üzeride oktası, daima ı soluda olacağıda) p döüşümü yapılır ve yie p olup p içi it araştırılır. Bu durumda pozitif p değişkei, taımda hareketle türev almadaki h veya gibi davramaktadır. Acak türevde h veya hem pozitif, hem de egatif olabilirke buradaki p değişkei sadece pozitif bir yei değişke p Örek: f ( ) l( ) foksiyouu oktasıda solda ve sağda itlerii hesaplayıız. p l( ) l ( p) l( p) p, p p p Solda it: ( ) 4

44 Foksiyolarda Limit l( p) l( p) l( ) p p p p p p p p p (özel it) buluur. (Burada l( p) l[ ( p)] p p p ( p) özel ittir.) Sağda it: p l( ) l ( p) l( p) p, p p p ( ) l( p) l( p) l( p) p p buluur. p p p p p p (özel it) Şekil. f ( ) l( ) i grafiği. Şekil. f ( ) l( ) i grafiği. UYARI:: Bu örekte f ( ) l( ) foksiyouu oktasıda solda ve sağda itleri var ve ayı olduğuda, bu oktada foksiyou iti vardır ve bu it f () l( ) l olduğuda bu örekte f ( ) l( ) dır. Üstelik f ( ) f () dır. Yai, ileride de görüleceği üzere bu foksiyo oktasıda sürekli Hatta taımda hareketle (it yoluda) sağda ve solda türevlerie de bakılacak ve oktasıda foksiyou türevii olmadığı da söyleebilecek. (Foksiyo bir oktada sürekli olduğu halde, bu oktada türevli olmayabilir. Fakat türevli olduğu bir oktada mutlaka sürekli). 44

45 Foksiyolarda Limit Bu öreği ikici bir yolda çözümü: Eğer solda ve sağda itlerde p 'li çalışma yapılmak istemiyorsa, o zama öce mutlak değerli ifade mutlak değer dışıa alımalıdır. Yai verile mutlak değerli ifade parçalı, (dalladırılmış) biçimde yazılmalıdır; l( ), ise f ( ) l( ), ise l( ), ise ı soluda it çalışılırke yukarıdaki parçalı foksiyou e üst parçası (dalı) üzeride ve ı sağıda it çalışılırke e alttaki parçası (dalı) üzeride itler alımalıdır. Bua göre solda it; l( ) l( ) l( ) l( ) l( ) buluur. Bezer biçimde sağda it çalışması ise l( ) l( ) l( ) l( ) l( ) dır. Örek: f( ) foksiyouu deki solda ve sağda itlerii hesaplayıız. Solda iti p ( p) ( p p ) p p p, p p ( p) p ( p) p p ( ) ( ) ( p) p ( p) p ( p) buluur. p p p p p Sağda iti ise p ( p) ( p p ) p p p, p p ( p) p ( p) p p ( p p ) p p p p p( p) [( ) ( p)] p p p p p p p p p 45

46 Foksiyolarda Limit Bu öreği ikici bir yolda çözümü: f( ) foksiyouu payıdaki mutlak değer ifadesii sıfır yerleri yai deklemii kökleri - ve + olup, kökler arası pozitif, kökler dışı egatif olduğuda ( ), ise, ise f ( ), ise, ise ( ), ise olarak yazılabilir. Bu örekte sadece oktasıda solda ve sağda it araştırılması istemekte Buu içi foksiyou oktasıda solda iti araştırılırke parçalı foksiyou üçücü satırı kullaılmalıdır, sağda iti araştırılırke de parçalı foksiyou so satırı kullaılmalıdır. Böylece solda iti ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) Buluur. Sağda iti ise ( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Örek: cos f( ) foksiyouu oktasıdaki solda ve sağda itii buluuz. cos p cos p f ( ) ( ) p p, p p si p si p si p si p p p p p p p p p 46

47 Foksiyolarda Limit Sağda iti ise cos p cos p f ( ) ( ) p p, p p si p si p si p si p p p p p p p p p Bu öreği de ikici bir yolda çözümü: cos f( ) foksiyouu payıdaki mutlak değerli ifadeyi, mutlak değer dışıa parçalı foksiyo olarak oktası civarıda, cos, ise cos, ise cos, ise biçimide çıkarılabilir. Bua göre foksiyou solda iti si si cos cos f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) si ( ) ( ) (özel it) buluur. Sağda iti ise si si cos cos f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 47

48 Foksiyolarda Limit si ( ) ( ) (özel it) Örek:, ise f ( ), ise, ise foksiyouu ve oktalarıdaki solda ve sağda itlerii buluuz. Burada foksiyou solda ve sağda itleri araştırılırke p 'li çalışma yapmaya gerek yoktur. Çükü foksiyou gerek i gerekse ü soluda ve sağıda kesi taımları yukarıdaki parçalı (dalladırılmış) foksiyoda verilmiştir. Bua göre içi itler f ( ) f ( ) ( ) f( ) f( ) olup f ( ) f ( ) ( ) f( ) oktasıdaki solda ve sağda itleri ise f f f f f( ) f( ) olup ( ) ( ) ( ) 5 ( ) ( ) ( ) 9 f ( ) YOK tur. UYARI:: Bu örekte foksiyo oktasıda taımlı olmadığı halde itlidir, oktasıda ise taımlı olduğu halde itli değil Yai de iti yoktur. Örek: f ( ) foksiyouu deki iti edir? Foksiyo çift kuvvette köke sahip olduğuda içi taımlı olacağıda, yai bağımsız değişkei ye eşit ya da de büyük olacağıda iti de sadece içi araştırılabilir. p f ( ) f ( ) ( p) p p, p p p UYARI:: Hatta f () dır ve olduğuda, yai foksiyo içi ileride oktasıda sağda süreklidir deilecek. f ( ) f ( ) olduğuda bu 48

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı

Detaylı

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol komşuluğu: Taım: ; isteildiği kadar küçük seçilebile poziti bir sayı olmak üzere a a açık aralığıa a R sayısıı komşuluğu deir Örek : Taım: a a a a ve 0 00 olsu ' i 0 00 0 00 999 00 : Z R bir dizi deir

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri, POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı

Detaylı

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden MC TEST I Seriler ve Diziler www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir2@yahoo.com.tr 8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerde hagisidir? A) 0,8 B) 0,9

Detaylı

Analiz II Çalışma Soruları-2

Analiz II Çalışma Soruları-2 Aaliz II Çalışma Soruları- So gücelleme: 04040 (I Aşağıdaki foksiyoları (ilgili değişkelere göre türevlerii buluuz 7 cos π 8 log (si π ( si ta e 9 4 5 6 + cot 0 sec sit t si( e + e arccos ( e cos(ta (II

Detaylı

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ 5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ Bir lieer deklemi geel çözümüü bulmak homoje kısmı temel çözümlerii belirlemesie bağlıdır. Sabit katsayılı diferasiyel deklemleri temel çözümlerii

Detaylı

BAĞINTI VE FONKSİYON

BAĞINTI VE FONKSİYON BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı

Detaylı

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisa 2010 LİSE - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Adreescu ad Joatha Kae Çeviri. Sibel Kılıçarsla Casu ve Fatih Kürşat Casu Problem 1 m ve aralarıda asal pozitif tam sayılar

Detaylı

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze

Detaylı

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak Ve Şeması ile lt Kümeleri Saymak Osma Ekiz Bu çalışmada verile bir kümei çeşitli özellikleri sağlaya alt küme veya alt kümlerii ve şeması yardımıyla saymaya çalışacağız. Temel presibimiz aradığımız alt

Detaylı

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız. Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları www.sbelia.wordpress.com SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız.. 4 4 = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız..

Detaylı

GAMA FONKSİYONU. H. Turgay Kaptanoğlu. A. Tanım Gama fonksiyonu, 0 < x < değerleri için Euler integrali dediğimiz

GAMA FONKSİYONU. H. Turgay Kaptanoğlu. A. Tanım Gama fonksiyonu, 0 < x < değerleri için Euler integrali dediğimiz GAMA FONKSİYONU H. Turgay Kaptaoğlu A. Taım Gama foksiyou, < < değerleri içi Euler itegrali dediğimiz Γ( = t e t dt itegrali ile taımlaır. Öce bu ifadei e demek olduğuu alamaya çalışalım. bir gerçel sayı

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Prof.Dr.Hüseyi ÇAKALLI İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Bu ölümde dizileri, yi tım kümesi doğl syılr kümesi, değer kümesi, reel syılr kümesii ir lt kümesi ol foksiyolrı iceleyeceğiz... Ykısk Diziler. Öce

Detaylı

H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Kısım Bir Reel Değişkeli Foksiyolar Teorisi Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 3 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Reel

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ

MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ MTEMTİK ÖĞRETMENİ LIMI KDEMİK EERİ SINVI ÇÖZÜMLERİ SÜLEYMNİYE EĞİTİM KURUMLRI MTEMTİK ÖĞRETMENİ LIMI KDEMİK EERİ SINVI ÇÖZÜMLERİ SORULR. li ile etül ü de içide buluduğu 4 erkek ve 6 bayada oluşa bir grupta

Detaylı

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI:

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: www.testhae.com SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: -RAKAM -SAYI -DOGAL SAYILAR -SAYMA SAYILARI -ÇFT DOGAL SAYILAR -TEK DOGAL SAYILAR -ARDISIK DOGAL SAYILAR -ARDISIK ILK

Detaylı

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere, KÖKLÜ SAYILAR, de üyük ir sayma sayısı olmak üzere, x = α deklemii sağlaya x sayısıa α ı yici derecede kökü deir. x m = x m O halde tersi düşüülürse, ir üslü sayıı üssü kesirli ise, o sayı köklü sayı içimide

Detaylı

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( )

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( ) Sıava Katıla Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR 2 997. ( )( )( ) ( ) ( ) k x x x... k. x... 997. x poliomu ( ) a x a x... a x, a 0 ve k < k

Detaylı

1. Tabanı 2a büyük eksenli, 2b küçük eksenli elips ile sınırlanan ve büyük eksene dik her kesiti kare olan cismin 16ab 2 hacmini bulunuz.

1. Tabanı 2a büyük eksenli, 2b küçük eksenli elips ile sınırlanan ve büyük eksene dik her kesiti kare olan cismin 16ab 2 hacmini bulunuz. MAT -MATEMATİK (5-5 YAZ DÖNEMİ) ÇALIŞMA SORULARI. Tabaı a büyük ekseli, b küçük ekseli elips ile sıırlaa ve büyük eksee dik her kesiti kare ola cismi 6ab hacmii buluuz. Cevap :. y = ve y = eğrileri ile

Detaylı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı İstatistik Nedir? İstatistik rasgelelik içere olaylar, süreçler, sistemler hakkıda modeller kurmada, gözlemlere dayaarak bu modelleri geçerliğii sıamada ve bu modellerde souç çıkarmada gerekli bazı bilgi

Detaylı

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe)

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) Matematikte sayı dizileri teorisii ilgiç bir alt kolu ola idirgemeli diziler kousu olimpiyat problemleride de karşımıza

Detaylı

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1)

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1) TÜMEVARIM Matematite ulladığımız teoremleri ispatlamasıda pe ço ispat yötemi vardır. Özellile doğal sayılar ve birço ouda ispatlar yapare tümevarım yötemii sıça ullaırız. Tümevarım yötemii P Öermesii doğruluğuu

Detaylı

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS YILLAR 4 5 6 7 8 9 ÖSS - - - - - - ÖYS POLĐNOMLAR a,a,a,..., a P () = a + a +... + a R ve N olmak üzere; ifadesie Reel katsayılı.ci derecede bir değişkeli poliom deir. P()= a sabit poliom, (a ) P()= sıfır

Detaylı

+ y ifadesinin en küçük değeri kaçtır?

+ y ifadesinin en küçük değeri kaçtır? PROBLEMLER: 9 Sıavı 5 a, a, a,..., a Z, 0 a k olmak üzere, 95 sayısı faktöriyel tabaıda 5. k 95 = a+ a.! + a.! +... + a.! biçimide yazılıyor. a kaçtır? (! =...( ) ) 0 ( B ) ( C ) ( D ) ( E ). Bir ABC üçgeide

Detaylı

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10 . ( ) ( ) 9 x.si x + 4 / x.si x, 0 x π İfadesii alabileceği e küçük tamsayı değeri A) 4 B) 3 C) D) E) 0. Yuvarlak bir masa etrafıda otura 5 şövalye arasıda rasgele seçile 3 taeside e az ikisii ya yaa oturma

Detaylı

Ki- kare Bağımsızlık Testi

Ki- kare Bağımsızlık Testi PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER Prof. Dr. Ali ŞEN Ki- kare Bağımsızlık Testi Daha öceki bölümlerde ölçümler arasıdaki ilişkileri asıl iceleeceğii gördük. Acak sıklıkla ilgileile veriler ölçüm

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir.

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir. BÖLÜM II Asal Sayılar Taım. p > tam sayısıı de ve ediside başa bölei yosa bu sayıya asal sayı deir. de büyü asal olmaya sayılara da bileşi sayı deir. Teorem. Eğer p bir asal sayı ve p ab ise p a veya p

Detaylı

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s - 18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte

Detaylı

limiti reel sayı Sonuç:

limiti reel sayı Sonuç: 6 TÜREV MAT Bara Yücel Taı: a, br veriliş ols. olak üzere : a, b R oksiyo ab, içi li liiti reel sayı ise, b liit değerie oksiyo oktasıdaki türevi deir ve d dy, ya da biçiide gösterilir. d d Ba göre, li

Detaylı

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1) 60 sayısıı asal çarpalarıa ayrılmış şekli aşağıdakilerde hagisidir? A)..5 D)..5 B)..5 E)..5 C)..5 1.Yötem: 60 180 90 45 60..5 tir. 15 5 5 1.Yötem: Öğrecilerimizi1.Yötemde

Detaylı

DERS 5. Limit Süreklilik ve Türev

DERS 5. Limit Süreklilik ve Türev DERS 5 imit Süreklilik ve Türev İlk dersimizi solarıda, it sözüğü kullaılmada bu sözükle iade edile kavram ele alımıştıbak.. Bu dersimizde, it kavramıa biraz daa akıda bakaağız ve bu kavram ardımıla süreklilik

Detaylı

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz.

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz. 19B. Yak sak Gerçel Dizi Örekleri Bu bölümde birkaç yak sak dizi öre i daha görece iz. Verdi imiz örekleri her biri hem kedi bafl a hem de kulla la yötem aç s da öemlidir. Örek 19B.1. lim 1/ = 1. Ka t:

Detaylı

h)

h) ĐZMĐR FEN LĐSESĐ TÜMEVARIM-DĐZĐLER-SERĐLER ÇALIŞMA SORULARI TÜME VARIM:. Aşağıdaki ifadelerde geel bir kural çıkarabilir misiiz? a) p()= ++4 poliomuda değişkeie 0,,,, değerleri verdiğimizde elde edile

Detaylı

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri uyruk Teorisi Ders Notları: Bazı uyruk Modelleri Mehmet YILMAZ mehmetyilmaz@akara.edu.tr 10 ASIM 2017 11. HAFTA 6 Çok kaallı, solu N kapasiteli, kuyruk sistemi M/M//N/ Birimleri sisteme gelişleri arasıdaki

Detaylı

Bağıntı YILLAR ) AxB BxA. 2) Ax(BxC) = (AxB)xC. 4) s(axb) = s(bxa) = s(a).s(b)

Bağıntı YILLAR ) AxB BxA. 2) Ax(BxC) = (AxB)xC. 4) s(axb) = s(bxa) = s(a).s(b) Bağıtı YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - - - BAĞINTI ÖZELLĐKLER: SIRALI ĐKĐLĐ: (a,) şeklideki ifadeye ir sıralı ikili yada kısaca ikili deir (a,) sıralı ikiliside a ya irici

Detaylı

TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz

TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz TĐCARĐ MATEMATĐK - 5 Bileşik 57ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER: Örek 57: 0000 YTL yıllık %40 faiz oraıyla yıl bileşik faiz ile bakaya yatırılmıştır Bu paraı yılı souda ulaşacağı değer edir? IYol: PV = 0000 YTL = PV (

Detaylı

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS)

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS) T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ (IDEAL PRODUCTS) 070216013 TUĞBA ÖZMEN 080216038 AYŞE MUTLU 080216064 SEVİLAY HOROZ Nil ehri, Düyaı e uzu ehridir (6.650

Detaylı

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n, DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin

Detaylı

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005 8.6 Professor Strag FİNAL 6 Mayıs 25 ( Pua) P,..., P R deki oktalar olsu. ( ai, ai2,..., a i) P i i koordiatlarıdır. Bütü P i oktasıı içere bir cx +... + cx = hiperdüzlemi bulmak istiyoruz. a) Bu hiperdüzlemi

Detaylı

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler.

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler. OLASILIK VE İSTATİSTİK DERSLERİ ÖZET NOTLARI İstatistik: verileri toplaması, aalizi, suulması ve yorumlaması ile ilgili ilkeleri ve yötemleri içere ve bu işlemleri souçlarıı probabilite ilkelerie göre

Detaylı

M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R

M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R İ H S A N T İ M U Ç İ N D O L A P C İ, Y İ Ğ İ T A K S O Y M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R P U B L I S H E R O F T H I S B O O K Copyright 13 İHSAN TİMUÇİN DOLAPCİ, YİĞİT AKSOY

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle Bir kümeyi oluştura eseleri

Detaylı

Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi

Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi 3 Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteı Yötemi Bu yötem bir izdüşüm tekiğie dayaır ve yalış pozisyo olarak isimledirile matematiksel tekiğe yakıdır. Buradaki düşüce f() çizgisi üzerideki bilie iki oktada

Detaylı

Matematik Olimpiyatları İçin

Matematik Olimpiyatları İçin KONU ANLATIMLI Matematik Olimpiyatları İçi İdirgemeli Diziler, Kombiatorik ve Cebirsel Uygulamaları LİSE MATEMATİK OLİMPİYATLARI İÇİN Lokma Gökçe, Osma Ekiz İdirgemeli Diziler ve Uygulamaları Lokma Gökçe,

Detaylı

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI OLASILIK HESABI Bu derste, uygulamalarda sıkça karşılaşıla, Olasılık Uzaylarıda bazılarıa değieceğiz ve verilmiş bir Olasılık Uzayıda olasılık hesabı yapacağız. Ω. Ω solu sayıda elemaa sahip olsu. Ω {

Detaylı

HARDY-CROSS METODU VE UYGULANMASI

HARDY-CROSS METODU VE UYGULANMASI HRY-ROSS MTOU V UYGUNMSI ğ şebekelerde debi bir oktaya çeşitli yollarda gelebildiği içi, şebekei er agi bir borusua suyu agi yolda geldiğii ilk bakışta söyleyebilmek geellikle mümkü değildir. Çözümleme

Detaylı

Permütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar

Permütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar 0 0 0 Gerçek Say lar Kümesii Geiflletme Gere i Kümesi Aalitik Düzlemde Gösterilmesi Efllei i Modülü da fllemler ki Karmafl k Say Aras daki Uzakl k Karmafl k Say Geometrik Yeri Kutupsal Gösterimi Karmafl

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi,

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi, . Ders Büyü Sayılar Kauları Kouya geçmede öce DeMoivre-Stirlig formülüü ve DeMoivre-Laplace teoremii hatırlayalım. DeMoivre, geel terimi, a!,,, 3,... e ola dizii yaısa olduğuu göstermiş, aca limitii bulamamış.

Detaylı

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları PROJE RAPORU PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıları. Derecede Kökler Toplamı ve Trigoometrik Yasımaları PROJENİN AMACI: Karmaşık sayıı karekökleri toplamı sıfırdır. Peki. derecede kök toplamı içi de geçerli miydi?

Detaylı

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10 KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise

Detaylı

1. TEMEL KAVRAMLAR Derleyen: Osman EKİZ ( )

1. TEMEL KAVRAMLAR Derleyen: Osman EKİZ ( ) . TEMEL KAVRAMLAR Derleye: Osma EKİZ Bu çalışmaı temelii Jiri Herma, Rada Kucera, Jaromir Simsa., Elemetary Problems ad Theorems i Algebra ad Number Theory isimli kitap oluşturmaktadır. İlgili bölümü çevirisi

Detaylı

Bağımsızlık özelliğinden hareketle Ortak olasılık fonksiyonu (sürekli ise

Bağımsızlık özelliğinden hareketle Ortak olasılık fonksiyonu (sürekli ise YTÜ-İktisat İstatistik II Örekleme ve Öreklem Dağılımları BASİT RASSAL ÖRNEKLEME N tae ese arasıda taelik bir öreklem seçilmesii istediğii düşüelim. eseli olaaklı her öreklemi seçilme şasıı eşit kıla seçim

Detaylı

T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU.

T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU. T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Yüksek Lisas Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU Elif SERİN Tez Daışmaı Yrd. Doç. Dr.Abdullah SÖNMEZOĞLU Yozgat 202

Detaylı

KÖKLÜ İFADELER. = a denklemini sağlayan x sayısına a nın n inci. Tanım: n pozitif doğal sayı olmak üzere kuvvetten kökü denir.

KÖKLÜ İFADELER. = a denklemini sağlayan x sayısına a nın n inci. Tanım: n pozitif doğal sayı olmak üzere kuvvetten kökü denir. 1 Taı: pozitif doğal saı olak üzere kuvvette kökü deir. KÖKLÜ İFADELER = a dekleii sağlaa saısıa a ı ici = a dekleide = a, tek ise a 0 ; = ± a, çift ise Uarı: = ise, a = a olarak gösterilir. a ifadesie

Detaylı

TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUPLAR ÜZERİNDE ANALİTİK İŞLEMLER

TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUPLAR ÜZERİNDE ANALİTİK İŞLEMLER TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUPLAR ÜZERİNDE ANALİTİK İŞLEMLER ERDENER KAYA MERSİN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANA BİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ MERSİN HAZİRAN 7 TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI

Detaylı

35 Yay Dalgaları. Test 1'in Çözümleri. Yanıt B dir.

35 Yay Dalgaları. Test 1'in Çözümleri. Yanıt B dir. 35 Yay Dalgaları 1 Test 1'i Çözümleri 1. dalga üreteci 3. m 1 2m 2 Türdeş bir yayı her tarafıı kalılığı ayıdır. tma türdeş yay üzeride ilerlerke dalga boyu ve hızı değişmez. İlk üretile ı geişliği büyük,

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI µ µ içi Güve Aralığı ALTERNATİF İTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMAI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları Alteratif üretim

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve BÖLÜM III Kogrüaslar Taım 3. N sabit bir sayı, a, b Z olma üzere, eğer ( a b) ise a ile b, modülüe göre ogrüdür deir ve a b(mod ) şelide gösterilir. Asi halde, yai F ( a b) ise a ile b ye modülüe göre

Detaylı

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10 KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise

Detaylı

İSTATİSTİK DERS NOTLARI

İSTATİSTİK DERS NOTLARI Balıkesir Üiversitesi İşaat Mühedisliği Bölümü umutokka@balikesir.edu.tr İSTATİSTİK DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Umut OKKAN idrolik Aabilim Dalı Balıkesir Üiversitesi İşaat Mühedisliği Bölümü Bölüm 5 Örekleme

Detaylı

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri 6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme

Detaylı

14. Kümelerin Niceliklerinin Kıyaslanışı ve Sonsuzluğun Mertebeleri

14. Kümelerin Niceliklerinin Kıyaslanışı ve Sonsuzluğun Mertebeleri =2. Kısmı Başı= 14. Kümeleri Niceliklerii Kıyaslaışı ve Sosuzluğu Mertebeleri Sosuz kümeleri iceliklerii kıyaslamak içi, öğe sayısı yaklaşımı yetersizdir. Farklı bir yaklaşım gereklidir. İki küme A, B

Detaylı

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com III - SAYI ÖRÜNTÜLERİ Htırltm: Syılrı virgülle yrılrk, birbirii rdı dizilmesie syı dizisi, dizideki her bir syıy d terim deir. hrfi verile örütüde syılrı sırsıı belirte semboldür ve ici syıy örütüü geel

Detaylı

Bir değişkenin bir sabite mümkün olduğu kadar çok yaklaşması durumu ancak onun limitiyle ifade edilebilir.

Bir değişkenin bir sabite mümkün olduğu kadar çok yaklaşması durumu ancak onun limitiyle ifade edilebilir. LİMİT VE SÜREKLİLİK A- LİMİTLER Bir top 10 metre yükseklikten bırakılmaktadır. Top yere vurduktan sonra ilk yüksekliğin 2/5 i kadar sıçramakta ve bunu her yükseliş için devam ettirmektedir. Topun sıçrayacağı

Detaylı

KOMBİNASYON: ve r birer pozitif doğal sayı olmak üzere r olsu. farklı elemaı r elemalı alt kümelerii sayısıa i r 2. Örek:! C(,r) = r!. r! li kombiasyou deir ve gösterilir. C(,r) = r P(,r)! = = r r! r!.

Detaylı

TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Sapmasızlık 3.2. Tutarlılık 3.3. Etkinlik minimum varyans 3.4. Aralık tahmini (güven aralığı)

TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Sapmasızlık 3.2. Tutarlılık 3.3. Etkinlik minimum varyans 3.4. Aralık tahmini (güven aralığı) 3 TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ 3.1. Sapmasızlık 3.. Tutarlılık 3.3. Etkilik miimum varyas 3.4. Aralık tahmii (güve aralığı) İyi bir tahmi edici dağılımı tahmi edilecek populasyo parametresie yakı civarda

Detaylı

11. SINIF KONU ÖZETLİ SORU BANKASI

11. SINIF KONU ÖZETLİ SORU BANKASI . SINIF MATEMATİK KONU ÖZETLİ SORU BANKASI Mil li Eği tim Ba ka lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş ka lı ğı ı 4.8. ta rih ve sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi le ve - Öğ re tim Yı lı da iti ba re uy

Detaylı

7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları

7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları Hatırlatma: ( Ω, U, P) bir olasılık uzayı ve 7. Ders Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları : Ω ω R ( ω) foksiyou Borel ölçülebilir, yai B B içi { ω Ω : ( ω) B } U oluyorsa foksiyoua bir Rasgele Değişke deir.

Detaylı

MATEMATİK ANABİLİM DALI

MATEMATİK ANABİLİM DALI ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Serka ÖKTEN -NORMLU UZAYLAR MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 00 ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ -NORMLU UZAYLAR Serka ÖKTEN ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN

Detaylı

AKIŞKAN BORUSU ve VANTİLATÖR DENEYİ

AKIŞKAN BORUSU ve VANTİLATÖR DENEYİ AKIŞKA BORUSU ve ATİLATÖR DEEYİ. DEEYİ AMACI a) Lüle ile debi ölçmek, b) Dairesel kesitli bir borudaki türbülaslı akış şartlarıda hız profili ve eerji kayıplarıı deeysel olarak belirlemek ve literatürde

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi oluştura

Detaylı

ISBN - 978-605-5631-60-4 Sertifika No: 11748

ISBN - 978-605-5631-60-4 Sertifika No: 11748 ISBN - 978-605-563-60-4 Sertifia No: 748 GENEL KOORDİNATÖR: REMZİ ŞAHİN AKSANKUR REDAKTE: REMZİ ŞAHİN AKSANKUR SERDAR DEMİRCİ SABRİ ŞENTÜRK Basm Yeri: EVOS BASIM - ANKARA Bu itab tüm basm ve yay halar

Detaylı

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI GAUSS BALANS VE GAUSS KOBALANS SAYILARI ÜZERİNE YÜKSEK LİSANS TEZİ MUSTAFA YILMAZ DENİZLİ, TEMMUZ - 07 T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açı Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerde alıtı yapma veya Kullaım Koşulları haıda bilgi alma içi http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.aciders.org.tr adresii ziyaret ediiz. 18.102

Detaylı

TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI.

TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI. TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI Birici Bölüm DENEME-4 Bu sıav iki bölümde oluşmaktadır. * Çokta seçmeli

Detaylı

Bileşik faiz hesaplamalarında kullanılan semboller basit faizdeki ile aynıdır. Temel formüller ise şöyledir:

Bileşik faiz hesaplamalarında kullanılan semboller basit faizdeki ile aynıdır. Temel formüller ise şöyledir: 1 BİLEŞİK FAİZ: Basit faiz hesabı kısa vadeli(1 yılda az) kredi işlemleride uygulaa bir metot idi. Ayrıca basit faiz metoduda her döem içi aapara sabit kalmakta olup o döem elde edile faiz tutarı bir soraki

Detaylı

ÖzelKredi. İsteklerinize daha kolay ulaşmanız için

ÖzelKredi. İsteklerinize daha kolay ulaşmanız için ÖzelKredi İstekleriize daha kolay ulaşmaız içi Yei özgürlükler keşfedi. Sizi içi öemli olaları gerçekleştiri. Hayalleriizi süsleye yei bir arabaya yei mobilyalara kavuşmak mı istiyorsuuz? Veya özel güler

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE İSTATİSTİKSEL YORUMLAMA TAHMİNLEME SÜRECİ VE YORUMLAMA SÜRECİ ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ ÖRNEKLEME VE ÖRNEKLEME ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI VE ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI Yorumlama

Detaylı

Doç. Dr. M. Mete DOĞANAY Prof. Dr. Ramazan AKTAŞ

Doç. Dr. M. Mete DOĞANAY Prof. Dr. Ramazan AKTAŞ TAHVİL DEĞERLEMESİ Doç. Dr. M. Mee DOĞANAY Prof. Dr. Ramaza AKTAŞ 1 İçerik Tahvil ve Özellikleri Faiz Oraı ve Tahvil Değeri Arasıdaki İlişki Tahvili Geiri Oraı ve Vadeye Kadar Geirisi Faiz Oraı Riski Verim

Detaylı

n 1 1. Pratik Bilgi-1 in y a(x r) k türünden 2. Pratik Bilgi-1 x a(y k) r türünden

n 1 1. Pratik Bilgi-1 in y a(x r) k türünden 2. Pratik Bilgi-1 x a(y k) r türünden Pratik Bilgi- (İtegralsiz Ala Bulma) a eğrisi ile ve 0 doğrularıı sıırladığı ala ise, a eğrisi ile 0 ve a doğrularıı sıırladığı ala dir. Ugulama-. Muharrem Şahi eğrisi ile ve 0 doğrularıı sıırladığı bölgei

Detaylı

FREKANS CEVABI YÖNTEMLERİ FREKANS ALANI CEVABI VEYA SİNUSOİDAL GİRİŞ CEVABI

FREKANS CEVABI YÖNTEMLERİ FREKANS ALANI CEVABI VEYA SİNUSOİDAL GİRİŞ CEVABI FREKANS CEVABI YÖNEMLERİ FREKANS ALANI CEVABI VEYA SİNUSOİDAL GİRİŞ CEVABI G(s (r(t ı Laplace döüşümü; A(s B(s A(s (s p (s p L(s p C(s G(sR(s R(s R s A(s B(s R(s A(s R a C(s L B(s s s j s j s p a b b s

Detaylı

HİPER KÜRESEL HORMONİKLER Nursefa YAKUPOĞLU Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı Uygulamalı Matematik Bilim Dalı Yrd. Doç. Dr.

HİPER KÜRESEL HORMONİKLER Nursefa YAKUPOĞLU Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı Uygulamalı Matematik Bilim Dalı Yrd. Doç. Dr. HİPER KÜRESEL HORMONİKLER Nursefa YAKUPOĞLU Yüksek Lisas Tezi Matematik Aabilim Dalı Uygulamalı Matematik Bilim Dalı Yrd. Doç. Dr. Arzu AYKUT 2014 Her hakkı saklıdır ATATÜRK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ

Detaylı

ANA NİRENGİ AĞLARINDA NİRENGİ SAYISINA GÖRE GPS ÖLÇÜ SÜRELERİNİN KURAMSAL OLARAK BULUNMASI

ANA NİRENGİ AĞLARINDA NİRENGİ SAYISINA GÖRE GPS ÖLÇÜ SÜRELERİNİN KURAMSAL OLARAK BULUNMASI TMMOB Harita ve Kadastro Mühedisleri Odası 13. Türkiye Harita Bilimsel ve Tekik Kurultayı 18 22 Nisa 2011, Akara ANA NİRENGİ AĞLARINDA NİRENGİ SAYISINA GÖRE GPS ÖLÇÜ SÜRELERİNİN KURAMSAL OLARAK BULUNMASI

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı