BÖLÜM 5: MATEMATİKSEL KARTOGRAFYA HARİTA PROJEKSİYONLARI KURAMI

Transkript

1 Kartografya Ders Not Bölüm 5 BÖLÜM 5: MATEMATİKSEL KATOGAFYA HAİTA POJEKSİYONLAI KUAMI Türkay Gökgöz ( 5

2 Kartografya Ders Not Bölüm 5 İÇİNDEKİLE 5. Harita Projeksiyonlarında Deformasyon Harita projeksiyonnda ölçek Deformasyon elipsi (Endikatris) Doğrlt açısı deformasyon Uznlk deformasyon oranı Alan deformasyon Deformasyon eşitliklerinin kllanımı Paralel ve meridyen boynca deformasyon oranlarının ( ve ) hesabı Projeksiyon Yüzeyleri ve Konmları 5.3 Projeksiyon Yöntemlerinin Sınıflandırılması Temel Projeksiyon Eşitliği Gerçek Projeksiyon Yöntemleri Düzlem projeksiyonlar Uznlk koryan normal teğet düzlem projeksiyon Alan koryan normal teğet düzlem projeksiyon Açı koryan normal teğet düzlem projeksiyon (Stereografik Proj.) Gnomonik projeksiyon Ortografik (paralel) projeksiyon Özet: Normal teğet düzlem projeksiyonlar Eğik teğet düzlem projeksiyonlar Enine (transversal) teğet düzlem projeksiyonlar Konik projeksiyonlar Uznlk koryan normal konik projeksiyonlar Uznlk koryan normal teğet konik projeksiyon Uznlk koryan normal kesen konik projeksiyon Alan koryan normal konik projeksiyonlar Bir paralel dairenin znlğnn korndğ alan koryan normal konik projeksiyonlar Bir paralel dairenin znlğnn korndğ alan koryan normal kesen konik projeksiyon Bir paralel dairenin znlğnn korndğ alan koryan normal teğet konik projeksiyon İki paralel dairenin znlğnn korndğ alan koryan normal kesen konik projeksiyon Açı koryan normal konik projeksiyonlar Açı koryan normal teğet konik projeksiyon Açı koryan normal kesen konik projeksiyon Silindirik projeksiyonlar Uznlk koryan normal silindirik projeksiyonlar Uznlk koryan normal teğet silindirik projeksiyon. 33 Türkay Gökgöz ( 5

3 Kartografya Ders Not Bölüm Uznlk koryan normal kesen silindirik projeksiyon Alan koryan normal silindirik projeksiyonlar Alan koryan normal teğet silindirik projeksiyon Alan koryan normal kesen silindirik projeksiyon Açı koryan normal teğet silindirik projeksiyonlar (Mercator Proj.) 38 Türkay Gökgöz ( 5 3

4 Kartografya Ders Not Bölüm 5 5. Harita Projeksiyonlarında Deformasyon Yırtma düşüncesi, dünya haritasının sınırını gösteren bir kenara sahip herhangi bir haritada anlaşılabilir. B kenar tamamen yapay bir sınırdır. Çünkü küresel yüzey tüm doğrltlarda süreklidir ve hiç kenarı yoktr. Bir harita projeksiyon, aynı paralel ya da aynı meridyenin haritanın birden fazla yerinde gösteriminden kaynaklanan ilave kenarlara sahip olabilir. Şekil 5., böyle bir örneği göstermektedir. 5, 45 ve 75 kzey ve güney paralelleri ikişer kez görülüyor ve 8 meridyen parçaları on farklı yerde görünüyor. Eğer yeryüzünü bir meyvenin kabğ gibi varsayarsak ve b haritada gösterilen yerlerinden kesersek, kabğn eğri yüzeyi bir düzlem üzerine oldkça iyi bir biçimde serilebilir. Böylece, b tür bir harita projeksiyon, şeritlerde az miktarda deformasyona sahip olr. Bnnla birlikte, sürekli olan küresel yüzeyi birçok boşlkla göstermek ygn değildir. Bn sürekli bir gösterim haline getirmek için her bir parçayı kzey-güney yönünde birbirlerine kavşana dek çekmek gerekir. B işlem yapılabilir ancak çekme işlemi kzey-güney yönünde haritanın ölçeğini değiştirir ve ölçeğin değişme miktarı, haritanın merkezinden itibaren doğ ve batı kenarlarına doğr giderek artan bir biçimde değişir. Başka bir deyişle, zatma işlemi ölçeğin değişmesi soncn doğrr. Şekil 5.: Polikonik projeksiyonda dünya haritası. Küçük dairelerin nasıl elipslere dönüştüğüne dikkat edilmelidir. 5.. Harita projeksiyonnda ölçek Ölçeğin en yalın tanımından hareketle, haritalar üzerinde ölçülen mesafeler hakkında aşağıdaki kabller yapılabilir: Haritanın ölçeği, tüm mesafeler için sabittir. O halde, eğer :5. ölçekli haritada 4 mm km ye karşılık geliyorsa, 8 mm nin km ye, mm nin 5 m ye karşılık geleceğini de kabl ederiz. Haritanın ölçeği, haritanın her yerinde sabittir. Başka bir deyişle, 4 mm znlğndaki bir çizginin, ister haritanın ortasına isterse de kenarına çizilmiş olsn, yeryüzündeki karşılığı km dir. Haritanın ölçeği, haritadaki tüm doğrltlar için sabittir. B nedenle, 4 mm kzey-güney doğrltsnda, doğ-batı doğrltsnda ya da herhangi bir doğrltda km yi gösterir. Türkay Gökgöz ( 5 4

5 Kartografya Ders Not Bölüm 5 B kabllerin hiçbiri doğr değildir! Deformasyonsz harita olamayacağı için, ölçek, noktadan noktaya ve aynı noktadaki farklı doğrltlarda farklı olmak zorndadır. Şekil 5. deki iki haritada görüldüğü gibi, meridyenler boynca germe işlemi, meridyenler boynca ölçeğin büyümee neden olmştr. Fakat meridyenler arası mesafeler her iki haritada da aynıdır. B drm böylesi küçük ölçekli bir dünya haritasında tespit etmek kolaydır. Fakat bir büyük ölçekli haritada görünmeyebilir ya da ölçülemeyebilir. Örneğin, :5. ölçeğinde, çizginin znlğ, konm ya da doğrltsndaki ölçek değişimini fark etmek imkansızdır. Çünkü böylesi bir alandaki (- km) değişimler ölçülemeyecek kadar küçüktür. Fakat b, olmadığı anlamına gelmemektedir. Ölçeğin en yalın tanımı, büyük ya da orta ölçekli haritalar için doğrdr. Ancak :.. ya da daha küçük ölçekli haritalar için pek geçerli değildir. 5.. Deformasyon elipsi (Endikatris) İzdüşüm (projeksiyon), küre üzerinde coğrafi koordinatları (enlem-boylam değerleri) ile bilinen bir noktanın, düzlem ya da açınımı düzlem olan bir yüzey üzerindeki karşılığının belirlenmesidir. Küre üzerindeki (yani yeryüzündeki) her obje (örneğin bir ülkenin sınırları) b şekilde (yani objeyi meydana getiren noktalar izdüşürülerek) harita da gösterilebilir. B, işin bir yönüdür. Diğer yönü ise b şekilde elde edilen haritaların kllanılması, yani b haritalardan znlk, açı ve alan gibi temel bilgilerin elde edilebilmesidir. Ancak b düşünüldüğü kadar kolay değildir. B bilgiler doğrdan elde edilemez ya da b bilgileri elde etmek için tek başına ölçek yetmez. Çünkü ykarıda ifade edildiği gibi böylesi küçük ölçekli haritalarda ölçek sabit değildir. Eğer sabit olsaydı, küre üzerindeki her bir daire haritada gene bir daire olarak görülür. Başka bir ifadeyle, yeryüzündeki dairelerin yarıçapları hep aynı oranda küçülerek izdüşmedikleri için haritada birer elips olarak görünmektedir. Üstelik haritanın farklı yerlerinde farklı eksen znlklarına sahip elipsler olarak. İşte b nedenle, küçük ölçekli bir harita üzerinde ölçülecek böylesi temel büyüklüklerin (znlk, açı, alan) arazideki karşılıkları (küre üzerindeki karşılıkları ya da gerçek değerleri) doğrdan elde edilemez, ancak b büyüklüklerin hangi oranda değişecekleri, daire ile elips arasındaki değişime bakılarak yani, daire yarıçapı ile elips eksenler arasındaki değişim oranlarına göre hesap edilebilir. Yani biz eğer yeryüzündeki bir noktadaki dairenin yarıçapının en az ve en fazla hangi oranlarda değişerek (deforme olarak) elip eksenlerine dönüşeceğini hesap edebilirsek, o noktadaki temel büyüklüklerdeki değişim (deformasyon) oranlarını da hesap edebiliriz. Şekil 5. de dıştaki daire küre üzerindeki yarıçaplı birim daireyi, elips (kesikli çizgi) ise onn izdişüm karşılığını (deformasyon elipsi) göstermektedir. Aralarındaki ilişki düz yazı şeklinde şöyle ifade edilebilir:, meridyen doğrltsnda oranında deforme olmş (kısalmış ya da zamış) ve znlğna dönüşmüştür ( )., paralel dairesi boynca oranın da deforme olmş (kısalmış ya da zamış) ve znlğna dönüşmüştür ( ). Türkay Gökgöz ( 5 5

6 Kartografya Ders Not Bölüm 5 Şekil 5.: Küre üzerindeki birim daire ile izdüşümdeki karşılığı (deformasyon elipsi) arasındaki ilişki Hatırlatma: Herhangi bir elips aşağıdaki yöntemle çizilebilir (Şekil 5.3). ) Elip büyük ve küçük ekseni hesap edilir. ) ve yarıçaplı iki daire çizilir. 3) İstenen aralıklarla doğrltları çizilir. 4) Her doğrltsnn dıştaki daireyi kestiği noktadan dik düşürülür. 5) doğrltsnn içteki daireyi kestiği noktadan, bir önceki adımda belirlenen dik e dik düşürülerek kestiği nokta belirlenebilir. B nokta, elips üzerinde bir noktadır Şekil 5.3: Elips çizim yöntemi 5..3 Doğrlt açısı deformasyon P P tan PP tan P P Taraf tarafa bölünürse; Türkay Gökgöz ( 5 6

7 Kartografya Ders Not Bölüm 5 tan tan tan tan P P P P P P P P PP a a kr PP kr P P b b hr P P hr tan tan tan tan kr hr k h tan h tan k k h Paydan paydayı çıkarıp, paydaya payı eklersek, k h k h Hatırlatma: ( ) ( ) ( ) k h ( ) k h k h ( ) ( ) k h Son eşitlik, doğrlt açısı deformasyon noktalarını hesaplamaya yarar. B eşitlikte (kh)/(k+h) değeri sabit, değişkendir. B nedenle, doğrlt açısı deformasyon miktarı fonksiyonnn değerine bağlıdır. B fonksiyon ise ile arası değerler alabilir. Dolayısıyla b fonksiyonn değerinin oldğ doğrltda deformasyon maksimm demektir. B fonksiyon yalnız 9 için değerini verir. Yani, 9 oldğ drmda doğrlt açısı deformasyon maksimm demektir. 9 için Türkay Gökgöz ( 5 7

8 Kartografya Ders Not Bölüm 5 Türkay Gökgöz ( 5 8 ) arc ) ( ) ( max max h k h k ( h k h k 5..4 Uznlk deformasyon oranı P P PP kr kr kr a Taraf tarafa bölünürse: P P PP hr b P P P P kr a kr a PP hr hr kr kr r h r k ) ( h k r h k r h k r r h r k

9 Kartografya Ders Not Bölüm Alan deformasyon oranı ı ı Alan deformasyon oranı Endikatris alanı khr F Birim daire alanı r kh 5..6 Deformasyon eşitliklerinin kllanımı Deformasyon hesaplarında: daima meridyen boynca deformasyon oranıdır. daima paralel boynca deformasyon oranıdır. daima endikatri büyük eksenidir. daima endikatri küçük eksenidir. Ykarıdaki bağıntılar, endikatri yatay, yani büyük ekseninin paralel dairesi ile çakışık olması drna göre çıkartılmıştır. Ancak bazen projeksiyonlarda endikatris düşey, yani büyük ekseni meridyen dairesi boynca çakışık olr. Böylesi drmlarda ykarıdaki formüllerde yerine, yerine yazılmalıdır. Endikatri yatay mı düşey mi oldğn anlamak için ise ve nın değerlerine bakılır. Eğer ise endikatris yatay Şekil 5.4: Yatay endikatris ise endikatris düşeydir. Şekil 5.5: Düşey endikatris Kısacası, eğer ise ykarıdaki formüller geçerli, ise ykarıdaki formüllerde yerine, yerine getirilmelidir. Türkay Gökgöz ( 5 9

10 Kartografya Ders Not Bölüm 5 Çünkü; Yatay drmda, Düşey drmda, Formüller ve eksenlerine göre ve ve nin ykarıdaki karşılıkları yazılarak çıkartılmıştır Paralel ve meridyen boynca znlk deformasyon oranlarının ( ve ) hesabı Şekil 5.6:Küre üzerindeki birim daire (sol) ve izdüşümdeki karşılığı elips (sağ) k a r h b r a dm r d b dm r d dm k d d nd dm h d dm h d h m F f k k ndm d mn mn Türkay Gökgöz ( 5

11 Kartografya Ders Not Bölüm 5 5. Projeksiyon Yüzeyleri ve Konmları Harita düzlem bir yüzeye sahiptir. Bna göre projeksiyon yüzeyleri ancak düzlem veya açınımı düzlem olan yüzeyler olabilir. Açınımı düzlem olan yüzeyler de koni ve silindirdir. Bradan projeksiyon yüzeylerinin yalnız Düzlem Koni Silindir olabileceği anlaşılmaktadır. Projeksiyon için b yüzeylerin dünyaya göre konmları oldkça önemlidir. B konnn incelenmesi için dünyanın şekli olarak daha önceki bölümlerde laşılan sonçlara göre küre olarak alınacaktır. İzdüşüm yüzeylerinin küreye göre konmları genel anlamda aşağıdaki gibi özetlenebilir. ) İzdüşüm yüzeyleri ile kürenin hiçbir ortak noktası blnmaması (Şekil 5.7 de a konm) ) Düzlem ile kürenin bir ortak noktası olması; koni ve silindirin ise bir daire boynca küreye teğet olması (Şekil 5.7 de b konm) 3) Düzlem, koni ve silindirin küreyi kesmesi (Şekil 5.7 de c konm) Koni ve silindirin konmlarında (harita projeksiyonları için) bir şartın gerçekleşmesi gereklidir. B yüzeyler dönel yüzeylerdir. Harita projeksiyonları için dönme eksenlerinin daima küre merkezinden geçtiği düşünülür. Şekil 5.7 de ifade edilen a konm harita projeksiyonları esasına aykırıdır, ygn değildir. Bna göre izdüşüm yüzeylerin harita projeksiyon için yalnız teğet ve kesişme konm ygndr. (c) (b) (a) (b) (c) (a) (a) (b) (c) Şekil 5.7: Projeksiyon yüzeylerinin küre ile konmları Türkay Gökgöz ( 5

12 Kartografya Ders Not Bölüm 5 Tanım : Düzlemin teğet oldğ; koni ve silindirin dönme eksenlerinin küreyi deldiği noktalara ASAL NOKTALA denir. Tanım : Asal noktalardan geçen ve küre merkezini içeren dairelere ASAL DAİELE denir. Tanım 3: Asal dairelere dik konmda blnan dairelere YATAY DAİELE denir. B tanımlara göre harita projeksiyonlarında kllanılan konmlar genel olarak ş şekilde özetlenebilir. NOMAL KONUM: Düzlemin ktplarda teğet olması; koni ve silindirin dönme ekseninin kürenin dönme ekseni ile çakışık olması. TANSVESAL (ENİNE) KONUM: Düzlemin ekvatorda teğet olması veya ekvator düzlemini dik bir konmda kesmesi; silindir ve koninin eksenlerinin ekvator düzleminde kalması ve kürenin merkezinden geçmesi kaydıyla teğet olması veya kesmesi. EĞİK KONUM: B iki konmn dışında kalan konmlar. B konmda koni ve silindirin dönme eksenlerinin küre merkezinden geçme şartı da vardır. 5.3 Projeksiyon Yöntemlerinin Sınıflandırılması Harita projeksiyonları çeşitli özelliklerine göre aşağıdaki gibi sınıflandırılabilir. Projeksiyon yüzeylerine göre; Düzlem projeksiyonlar Konik projeksiyonlar Silindirik projeksiyonlar Projeksiyon yüzeylerinin konmna göre; Normal projeksiyonlar Transversal (enine) projeksiyonlar Eğik projeksiyonlar Endikatri şekline (deformasyon drmna) göre; ise AÇI KOUYAN veya KONFOM projeksiyonlar ise ALAN KOUYAN projeksiyonlar veya ise UZUNLUK KOUYAN projeksiyonlar ve den farklı bir değer alıyor ise OTOGAFİK projeksiyonlar Not: Uznlk koryan projeksiyonlarda ya meridyen ya da paralel daireleri boynca znlk kornmaktadır. Meridyen daireleri boynca znlk koryan projeksiyonlar esas itibariyle UZUNLUK KOUYAN POJEKSİYONLA olarak alınır. Bnn dışında projeksiyon paralel daire boynca znlk koryorsa o zaman b özellik b projeksiyon paralel daire boynca veya doğrltsnda znlk koryor diye belirtilir. Türkay Gökgöz ( 5

13 Kartografya Ders Not Bölüm 5 Bna göre znlk koryan projeksiyon dendiğinde genel olarak meridyen daireleri boynca znlk koryan projeksiyon anlaşılır. Harita ağında, Meridyen daireleri, ktpta birleşen doğrlar şeklinde; paralel daireleri, ktp merkez olmak üzere eş merkezli daireler ya da daire yayları şeklinde veya Paralel ve meridyen daireleri birbirini dik kesen doğrlar şeklinde görünüyorsa ve ayrıca projeksiyon yöntemi üç deformasyon türünden yalnız birinden arındırılmışsa, böylesi projeksiyonlara GEÇEK (HAKİKİ) POJEKSİYONLA denir. Bahsedilen b özelliklerden bazılarını kaybetmiş veya bazı ilave özellikler kazandırılmış, kısacası değişikliğe ğramış projeksiyon yöntemleri de GEÇEK OLMAYAN (İTİBAİ) POJEKSİYONLA olarak isimlendirilmektedir. 5.4 Temel Projeksiyon Eşitliği Şekil 5.8 deki teğet koninin açınımının yapıldığını kabl edelim. Koninin tepe açısı açınım sonrası olmaktadır. Açınımında koninin tepe açısı, yarıçaplı dairenin yayını görmektedir. yayı ise koninin teğet oldğ yatay dairenin çevresidir. Yatay dairenin çevresi ise merkez açı cinden 36 veya 4 g dır. A B Şekil 5.8: Teğet koni ve açınımı Bna göre; m y m cot y cot B eşitliğin anlamı şdr: Küre üzerindeki nin (36 veya 4 g ın) izdüşüm karşılığını blmak için ile çarpmak gerekir. O halde, küre üzerindeki bir açısının izdüşüm karşılığını blmak için de gene ile çarpmak gerekir. B drmda eşitlik aşağıdaki gibi yeniden düzenlenebilir. Türkay Gökgöz ( 5 3

14 Kartografya Ders Not Bölüm 5 n n B eşitlik, projeksiyonların temel eşitliğidir. Brada; için (Koni silindire dönüşür.) 9 için (Koni düzleme dönüşür.) 9 için (koni) Görüldüğü gibi düzlem ve silindir, koninin özel halleridir. Bna göre koni için önerilecek bazı kaideler düzlem ve silindir için de geçerlidir. 5.5 Gerçek Projeksiyon Yöntemleri 5.5. Düzlem projeksiyonlar Uznlk koryan normal teğet düzlem projeksiyon nin zantısı değildir.,, Şekil 5.9: Uznlk koryan normal gerçek teğet düzlem projeksiyon m NP m NP h f h h Türkay Gökgöz ( 5 4

15 Kartografya Ders Not Bölüm 5 mn k k k, yani endikatris yataydır. Deformasyon eşitlikleri aynen geçerlidir Alan koryan normal teğet düzlem projeksiyon 9 / nin zantısı değildir., /, 9 9 / / / Şekil 5.: Alan koryan normal gerçek teğet düzlem projeksiyon noktasının üzerinde yer aldığı paralel dairesi ile sınırlı küre kapağının alanı, b paralel dairein izdüşümü olan dairenin alanına eşit olmalıdır. ü ğıı ı ı Türkay Gökgöz ( 5 5

16 Kartografya Ders Not Bölüm 5 Türkay Gökgöz ( 5 6 Üçgeninde Üçgeninde H NP NP H NPN NP NP NPS Taraf tarafa çarparsak m m m m H NP H NP m NP m H NP H NPNP h h f h

17 Kartografya Ders Not Bölüm 5 mn k k k k, yani endikatris yataydır. Deformasyon eşitlikleri aynen geçerlidir Açı koryan normal teğet düzlem projeksiyon (Stereografik Proj.) B projeksiyon da izdüşüm merkezi güney ktbdr. noktasını güney ktbna (düzlemin teğet oldğ ktbn karşısındaki ktp) birleştiren doğrnn düzlemi deldiği nokta noktasının, düzlemdeki izdüşümünü () verir., nin zantısıdır., / Şekil 5.: Açı koryan normal gerçek teğet düzlem projeksiyon (Stereografik Proj.) Türkay Gökgöz ( 5 7

18 Kartografya Ders Not Bölüm 5 I. Yol: h k dm f d mn m dm m d dm d m ln m ln tan ln c ln m lnc tan m c tan Sabitinin Belirlenmesi: Düzlem projeksiyonlarda oldğndan, noktası açı koryan bir noktadır. Ayrıca noktasının izdüşümü yine bir noktadır, yani b noktada znlk deformasyon oranı e (bir) eşittir. h f h c sec c h Türkay Gökgöz ( 5 8

19 Kartografya Ders Not Bölüm 5 mn k c tan k c k k c c k noktasında znlk korndğna göre, h k c c c noktasında oldğna göre, c m c tan m tan B projeksiyonn (yani olan) diğer adı da STEEOGAFİK projeksiyondr. II. Yol: noktasının izdüşümü, noktasının zantısı yani, noktasının düzlemin teğet oldğ ktp noktasının karşısındaki ktp noktasına birleştiren doğrnn düzlemi kestiği nokta oldğ için izdüşüm yarıçapı aşağıdaki gibi doğrdan yazılabilir. m tan Türkay Gökgöz ( 5 9

20 Kartografya Ders Not Bölüm 5 h f h h mn k tan k k k k h k, yani küre üzerindeki daire gene daire olarak izdüşmüştür. Deformasyon eşitlikleri aynen geçerlidir Gnomonik projeksiyon B projeksiyonda küre merkezi projeksiyon merkezidir. Küre üzerindeki bir noktayı kürenin merkezine birleştiren doğrnn düzlemi deldiği nokta (), küre üzerindeki noktanın () izdüşümünü verir. B projeksiyonn en önemli özelliği, büyük dairelerin daima doğr olarak izdüşmesidir. B nedenle ortodrom eğrisi de doğr olarak izdüşer. Türkay Gökgöz ( 5

21 Kartografya Ders Not Bölüm 5, nin zantısıdır., Şekil 5.: Gnomonik projeksiyon h f h h mn k tan k k k k, yani endikatris düşeydir. Deformasyon eşitliklerinde ve yer değiştirmelidir. Türkay Gökgöz ( 5

22 Kartografya Ders Not Bölüm Ortografik (paralel) projeksiyon B projeksiyonda izdüşüm merkezi sonszdadır.,, h f h h Şekil 5.3: Ortografik (paralel) projeksiyon k k k mn, yani endikatris yataydır. Deformasyon eşitlikleri aynen geçerlidir Özet: Normal düzlem projeksiyonlar Temel projeksiyon eşitliği dir. Bnn anlamı şdr: Boylam açıları gerçek değerleriyle gözükür. Meridyenler izdüşümde ktp noktasında birleşen doğrlar şeklindedir. B iki özellikten çıkan sonç ise, b projeksiyonlarda ktp noktası aynı zamanda açı koryan bir noktadır. Türkay Gökgöz ( 5

23 Kartografya Ders Not Bölüm 5 Paralel daireleri ktp merkez olmak üzere eş merkezli daireler şeklindedir. Paralel dairelerin izdüşüm yarıçapları () nın fonksiyonlarıdır ( ). Düzlem projeksiyonlar ile yalnız yarım kürenin haritaları yapılabilir. Genellikle ktp bölgelerinin haritalarının yapımında kllanılır. Deniz ve hava yolları haritalarında astronomi haritalarında kllanıldığı görülmektedir. da Stereografik, gnomonik ve ortografik projeksiyonda merkezsel bir izdüşüm söz konsdr. İzdüşüm merkezi, stereografik projeksiyonda ktp noktalarından biri; gnomonik projeksiyonda kürenin merkezi; ortografik projeksiyonda sonszdr. B nedenle b projeksiyonlar Gerçek Perspektif Projeksiyonlar olarak isimlendirilir Eğik teğet düzlem projeksiyonlar, düzlemin teğet oldğ noktadır. 9 P P Şekil 5.4: Eğik teğet düzlem projeksiyonlar P P P P Eğik konml düzlem projeksiyonların izdüşüm yarıçaplarını blmak için normal konml düzlem projeksiyonlar için çıkarılan eşitliklerde yerine, yerine de yı yazmak yeterlidir. Bna göre, Uznlk koryan eğik düzlem projeksiyon için m Alan koryan eğik düzlem projeksiyon için m Türkay Gökgöz ( 5 3

24 Kartografya Ders Not Bölüm 5 Açı koryan eğik düzlem projeksiyon için m tan Deformasyon eşitlikleri de bnlara göre yeniden düzenlenir Enine (transversal) teğet düzlem projeksiyonlar 9 9 Şekil 5.5: Enine (transversal) teğet düzlem projeksiyonlar B konm, eğik konmn özel bir halidir. Yani, düzlem küreye ekvatorda teğettir. B nedenle dır. P P P 9 P P P 9 9 Türkay Gökgöz ( 5 4

25 Kartografya Ders Not Bölüm Konik projeksiyonlar Şekil 5.6: Konik projeksiyonlar Teğet ise Kesen ise, Uznlk koryan normal konik projeksiyonlar Meridyen dairesi boynca znlk kornr Uznlk koryan normal teğet konik projeksiyon Şekil 5.7: Uznlk koryan normal teğet konik projeksiyon Türkay Gökgöz ( 5 5

26 Kartografya Ders Not Bölüm 5 Türkay Gökgöz ( 5 6 tan tan mn k m f h m m m m n n ktp, yani endikatris yataydır. Deformasyon eşitlikleri aynen geçerlidir Uznlk koryan normal kesen konik projeksiyon Şekil 5.8: Uznlk koryan normal kesen konik projeksiyon m m m cot tan n n

27 Kartografya Ders Not Bölüm 5 h mn k ( içte) k, yani endikatris düşeydir ve deformasyon eşitliklerinde ve yer değiştirmelidir. ( dista) k, yani endikatris yataydır ve deformasyon eşitlikleri aynen geçerlidir. NOT: Koninin tepe açısı, koninin teğet oldğ paralel dairenin çevrein görmektedir. Koninin açınımında tepe açısı, () açısına dönüşmektedir ki, b açı aynı zamanda radyan cinden veya açı cinden 36 veya 4 g a karşılıktır. () açısı yarıçaplı dairenin; koninin teğet oldğ paralel dairenin çevree eşit yayı gören, merkez açıdır. ğ ç m m tan n n Alan koryan normal konik projeksiyonlar Bir paralel dairenin znlğnn korndğ alan koryan normal konik projeksiyonlar B projeksiyon iki ayrı şekilde gerçekleştirilebilir. a) Koni teğet alınır ve b drmda ktp noktası artık nokta değildir. b) Ktbn nokta olarak gözüktüğü konm: B konmda koni; artık teğet değildir Bir paralel dairenin znlğnn korndğ alan koryan normal kesen konik projeksiyon B projeksiyon için iki şartın gerçekleştirilmesi gerekir. a) Ktp mesafesi olan paralel dairenin znlğnn kornması, b) Uznlğ kornacak paralel daire ile herhangi bir paralel daire arasında kalan alanın kornması Bnlardan yalnız ikincisi gerçekleştirilmiştir. Türkay Gökgöz ( 5 7

28 Kartografya Ders Not Bölüm 5 m Ktp noktası Şekil 5.9: Bir paralel dairenin znlğnn korndğ alan koryan normal kesen konik projeksiyon n n m tan m h k ise, yani endikatris düşeydir ve deformasyon eşitliklerinde ve yer değiştirmelidir. ise, yani endikatris yataydır ve deformasyon eşitlikleri aynen geçerlidir. Not: Koninin küreyi kestiği paralel üzerindeki her noktada ve dir. Yani b noktalarda hem paralel hem de meridyen boynca znlk kornr ve dolayısıyla şekil kornr ancak diferansiyel anlamdadır (paralel dairesi boynca hariç; yani, paralel dairesi boynca kramsal olarak da pratikte de znlk kornr). Türkay Gökgöz ( 5 8

29 Kartografya Ders Not Bölüm Bir paralel dairenin znlğnn korndğ alan koryan normal teğet konik projeksiyon. σ Şekil 5.: Bir paralel dairenin znlğnn korndğ alan koryan normal teğet konik projeksiyon n n m tan m mn k h f k, yani endikatris yataydır. Deformasyon eşitlikleri aynen geçerlidir İki paralel dairenin znlğnn korndğ alan koryan normal kesen konik projeksiyon Projeksiyon aşağıdaki temel şartlara dayanmaktadır Ktp mesafeleri δ ve δ olan paralel dairelerin znlklarının kornması, B iki daire arasındaki alanın kornması, Sınırlarından biri znlğ kornan paralel dairelerinden biri olmak koşlyla bir küre şeridinin alanının kornması. Türkay Gökgöz ( 5 9

30 Kartografya Ders Not Bölüm 5 Şekil 5.: İki paralel dairenin znlğnn korndğ alan koryan normal kesen konik projeksiyon n c 4n 4 : Herhangi bir ktp mesafeli paralel dairesi düzleminin koni yüzeyinden ayırdığı dairenin yarıçapıdır. c m n 4 m n m n m n 4 n h k mn mn Paralel daireler arasında, yani endikatris düşeydir ve deformasyon eşitliklerinde ve yer değiştirmelidir. Paralel daireler dışında, yani endikatris yataydır ve deformasyon eşitlikleri aynen geçerlidir. Türkay Gökgöz ( 5 3

31 Kartografya Ders Not Bölüm Açı koryan normal konik projeksiyonlar h k n m c tan 9 m m e tan n g (Entegral sabiti=ekvator izdüşüm yarıçapı) Açı koryan normal teğet konik projeksiyon σ Şekil 5.: Açı koryan normal teğet konik projeksiyon n n m tan tan me n tan tan m tan n tan mn h k n me tan n oldğ için endikatris dairedir ve deformasyon eşitlikleri aynen geçerlidir. Türkay Gökgöz ( 5 3

32 Kartografya Ders Not Bölüm Açı koryan normal kesen konik projeksiyon Şekil 5.3: Açı koryan normal kesen konik projeksiyon n log n tan log tan m n m n me n n tan m m e tan n n n tan : Ekvator n izdüşüm yarıçapı m. n h k. oldğ için endikatris dairedir ve deformasyon eşitlikleri aynen geçerlidir. Türkay Gökgöz ( 5 3

33 Kartografya Ders Not Bölüm Silindirik projeksiyonlar Normal konmdaki silindirik projeksiyonlar aşağıdaki özellikleri gösterir: a) Ekvator, yatay doğr ve teğet olması drmnda znlğ kornarak izdüşürülür. Ekvatorn izdüşümü, dik koordinat sistemi içinde ordinat ekseni olarak alınır. b) Paralel dairelerin izdüşümleri de doğr çizgilerdir ve ekvatorn izdüşümüne paraleldir. Ancak bütün paralel daireler, ekvatorn izdüşüm znlğnda izdüşer. Bnların ekvatordan znlkları ise, dik koordinat sistemi için apsis olarak alınır. c) Ktp noktası artık nokta olarak izdüşmez. Ekvator znlğnda doğr bir çizgi şeklindedir. d) Meridyen dairelerinin izdüşümleri eşit znlkl doğrlardır ve ekvatora dik konmdadırlar Uznlk koryan normal silindirik projeksiyonlar Uznlk koryan normal teğet silindirik projeksiyon Diğer projeksiyonlarda oldğ gibi b projeksiyonlarda da znlk kormaktan, meridyen daireleri boynca znlk kornacağı anlaşılır. Diğer şart ise, Ekvator znlğnn kornmasıdır. Bradan çıkan sonç projeksiyonn aynı zamanda teğet silindirik projeksiyon oldğdr. Şekil 5.4: Uznlk koryan normal teğet silindirik projeksiyon y x Türkay Gökgöz ( 5 33

34 Kartografya Ders Not Bölüm 5 oldğ için Kare İlmikli Projeksiyon olarak da tanınır. h f F h x h mn harita üzerindeki znlk (Paralel dairesi boynca) k küre üzerindeki znlk Paralel dairesi boynca k k NOT: B projeksiyonda paralel daireleri ekvatorla aynı znlkta izdüştükleri için noktasından geçen paralel dairesi de ekvator znlğ kadar yani kadar izdüşer. Oysa aynı paralel dairesi küre üzerinde yani kadardır. Ayrıca, eğer koni teğet ise; ister alan, ister açı, ister znlk koryan olsn y ve / değişmez ve değeri değişir Uznlk koryan normal kesen silindirik projeksiyon, ğ. Şekil 5.5: Uznlk koryan normal kesen silindirik projeksiyon Türkay Gökgöz ( 5 34

35 Kartografya Ders Not Bölüm 5 Türkay Gökgöz ( y x y y y znlk 'den geçen paralelin küre üzerindeki znlk üzerindeki 'den geçen paralelin harita k k P P mn k h x h F f h B projeksiyonda ağ ilmikleri dikdörtgendir. B nedenle projeksiyon aynı zamanda Dikdörtgen İlmikli Projeksiyon olarak da tanınır.

36 Kartografya Ders Not Bölüm Alan koryan normal silindirik projeksiyonlar Alan koryan normal teğet silindirik projeksiyon Ş Şekil 5.6: Alan koryan normal teğet silindirik projeksiyon y 36 y F F x H F Harita KüreSeridi KüreSeridi H F H F KŞ olmalı x x h x h F h. k olmalı k k Türkay Gökgöz ( 5 36

37 Kartografya Ders Not Bölüm Alan koryan normal kesen silindirik projeksiyon Silindirin küreyi kestiği paralel dairelerinin ; ) znlkları kornmaktadır. Ayrıca, b paralel daireleri arasında ve b paralel daireler ile herhangi bir paralel daire arasında kalan alanlar kornmaktadır. Ş Şekil 5.7: Alan koryan normal kesen silindirik projeksiyon y 36 y F F F H KŞ H x x x H F KŞ h x h F hk k Türkay Gökgöz ( 5 37

38 Kartografya Ders Not Bölüm Açı koryan normal teğet silindirik projeksiyonlar (Mercator Proj.) Şekil 5.8: Açı koryan normal teğet silindirik projeksiyonlar (Mercator Proj.) y 36 y olmalı (açı koryan oldğ için) dx h x d k dx d d dx x ln tan(45 ) c x ln tan(45 tan 45 ln x için ) c Dolayısıyla olmalıdır. Çünkü c bir sabittir. için değeri ne ise herhangi bir enlem için de aynı olmalıdır. Türkay Gökgöz ( 5 38

39 Kartografya Ders Not Bölüm 5 loge ln x log x x log tan(45 ) k h B projeksiyonda loksodrom eğrisi doğr olarak izdüşer. Türkay Gökgöz ( 5 39