Birinci Sınıf Bağlar Ayar Dönüşümlerinin Jeneratörleri midir?

Transkript

1 Birinci Sınıf Bağlar Ayar Dönüşümlerinin Jeneratörleri midir? Mehmet Kemal Gümüş Hacettepe Üniversitesi Fizik Mühendisliği Bölümü 14 Şubat 2015 Mehmet Kemal Gümüş (Hacettepe Üniversitesi Birinci Fizik Sınıf Mühendisliği Bağlar Ayar Dönüşümlerinin Bölümü) Jeneratörleri 14 midir? Şubat / 38

2 Birinci Sınıf Bağlar Ayar Dönüşümlerinin Jeneratörleri midir? 1 Bağlı Sistemler İçin Dirac Kanonik Kuantizasyon Yöntemi 2 Yang-Mills Alanlarının Dirac Yöntemiyle Kuantizasyonu 3 Kuantum Noether Teoremi ve Yük Cebiri 4 Bağlı Sistemler İçin Faddeev - Jackiw Kuantizasyon Yöntemi 5 Yang-Mills Alanlarının Faddeev Jackiw Yöntemiyle Kuantizasyonu Mehmet Kemal Gümüş (Hacettepe Üniversitesi Birinci Fizik Sınıf Mühendisliği Bağlar Ayar Dönüşümlerinin Bölümü) Jeneratörleri 14 midir? Şubat / 38

3 Bağlı Sistemler İçin Dirac Kanonik Kuantizasyon Yöntemi Lagranjiyenden Hamiltonyene Legendre dönüşümü p i = δl δ q i H = p i q i L(q, q) Bu dönüşümün tersinir olabilmesi için ( δ 2 ) L det δ q i δ q j 0 olması gerekir Mehmet Kemal Gümüş (Hacettepe Üniversitesi Birinci Fizik Sınıf Mühendisliği Bağlar Ayar Dönüşümlerinin Bölümü) Jeneratörleri 14 midir? Şubat / 38

4 Bağlı Sistemler İçin Dirac Kanonik Kuantizasyon Yöntemi δ 2 L δ q i δ q j matrisinin rankı R ise; N boyutlu bir sistemde R < N olduğu durumda N R = M tane birincil bağ koşulu vardır. Bu bağ koşulları: φ m p m g m (q, p) = 0, m = 1,..., M sistemin faz uzayını 2N M = N + R boyutlu bir Γ C hiper yüzeyine indirger. F ve G gibi iki dinamik değişken sadece faz uzayındaki bir hiper yüzeyi üzerinde birbirlerine eşitse bu iki nicelik birbirlerine zayıf-eşittir denir. F G ΓC = 0 F G Bu durumda bağ koşulları: φ m p m g m (q, p) 0, m = 1,..., M Mehmet Kemal Gümüş (Hacettepe Üniversitesi Birinci Fizik Sınıf Mühendisliği Bağlar Ayar Dönüşümlerinin Bölümü) Jeneratörleri 14 midir? Şubat / 38

5 Bağlı Sistemler İçin Dirac Kanonik Kuantizasyon Yöntemi Artık bu sistem için Hamiltonyen tek (unique) bir biçimde yazılamaz. Bağ koşullarının lineer kombinasyonları da Hamiltonyene eklenebilir. (u m : Lagrange çarpanları) Hamilton hareket denklemleri ise: H p = H + u m φ m q i δh p δp i ṗ i δh p δq i φ m 0 olduğu için bağ koşullarının tutarlılık şartları: φ m {φ m, H p } {φ m, H} + u n {φ m, φ n } 0 h m + C mn u n 0 Mehmet Kemal Gümüş (Hacettepe Üniversitesi Birinci Fizik Sınıf Mühendisliği Bağlar Ayar Dönüşümlerinin Bölümü) Jeneratörleri 14 midir? Şubat / 38

6 Bağlı Sistemler İçin Dirac Kanonik Kuantizasyon Yöntemi det (C mn ) 0 ise u m Lagrange çarpanları: u n h m ( C 1 ) mn şeklinde belirlenebilir. det (C mn ) 0 ise bu matrisin rankı R < M ise K 1 tane yeni (ikincil) bağ koşulu ortaya çıkar: φ k 0, k = 1,..., K 1 Bu yeni ikincil bağ koşulları sistemi daha düşük boyutlu yeni bir hiper yüzeyle sınırlar. Bu yeni hiper yüzey üzerinde birincil ve ikincil bağ koşullarının tutarlılık şartları sınanır. Mehmet Kemal Gümüş (Hacettepe Üniversitesi Birinci Fizik Sınıf Mühendisliği Bağlar Ayar Dönüşümlerinin Bölümü) Jeneratörleri 14 midir? Şubat / 38

7 Bağlı Sistemler İçin Dirac Kanonik Kuantizasyon Yöntemi Bu algoritma en küçük boyutlu bağ yüzeyi ve tüm bağ koşulları için tutarlılık şartları yazılıp bütün (K tane) bağ koşulları (birincil, ikincil, üçüncül...) belirleninceye dek sürdürülür. φ j 0, j = 1,..., M + K = J Sistemde J tane bağ koşulu olduğunda genişletilmiş Hamiltonyen v j gelişi güzel katsayılar olmak üzere olarak tanımlanır. H E H + v j φ j Mehmet Kemal Gümüş (Hacettepe Üniversitesi Birinci Fizik Sınıf Mühendisliği Bağlar Ayar Dönüşümlerinin Bölümü) Jeneratörleri 14 midir? Şubat / 38

8 Bağlı Sistemler İçin Dirac Kanonik Kuantizasyon Yöntemi Bağ koşulları için yeni bir sınıflandırma: Bir φ i bağ koşulu diğer tüm φ j bağ koşullarıyla Poisson parantezleri sıfıra zayıf-eşitse bu bağ koşulu birinci sınıf bağ koşulu olarak adlandırılır: {φ i, φ j } 0, i = 1,..., I Geriye kalan S = J I tane bağ koşulu ise ikinci sınıf bağ koşulu olarak adlandırılır: χ α 0, α = 1,..., S Mehmet Kemal Gümüş (Hacettepe Üniversitesi Birinci Fizik Sınıf Mühendisliği Bağlar Ayar Dönüşümlerinin Bölümü) Jeneratörleri 14 midir? Şubat / 38

9 Bağlı Sistemler İçin Dirac Kanonik Kuantizasyon Yöntemi İkinci sınıf bağ koşullarının inşa ettiği αβ {χ α, χ β } matrisi anti-simetriktir ve bağ yüzeyi üzerinde singüler değildir (S çift). det ( αβ ) ΓC 0 İkinci sınıf bağ koşullarının tutarlılık şartları v α lar için çözülebilir: χ α {χ α, H E } = {χ α, H} + v β {χ α, χ β } Mehmet Kemal Gümüş (Hacettepe Üniversitesi Birinci Fizik Sınıf Mühendisliği Bağlar Ayar Dönüşümlerinin Bölümü) Jeneratörleri 14 midir? Şubat / 38

10 Bağlı Sistemler İçin Dirac Kanonik Kuantizasyon Yöntemi Sistem kuantize edildiğinde Poisson parantezleri, kuantum komütatörlere denk gelir: Birinci sınıf bağ koşulları için i {F, G} [F, G] {φ 1, φ 2 } 0 [ ˆφ 1, ˆφ 2 ] ψ = 0 Eğer sistemde ikinci sınıf bağ koşulları varsa, Poisson parantezleri yerine Dirac parantezleri tanımlanır: {F, G} D {F, G} {F, χ α } Λ αβ {χ β, G} Λ αβ ( 1) αβ Şubat / 38

11 Bağlı Sistemler İçin Dirac Kanonik Kuantizasyon Yöntemi Bir faz uzayı fonksiyonunun ikinci sınıf bağ koşullarıyla Dirac parantezi: {F, χ α } D = {F, χ α } {F, χ γ } Λ γβ {χ β, χ α } }{{} βα = {F, χ α } {F, χ γ } δα γ = 0 Dirac parantezleri bilinen Poisson parantezleri ile aynı sonuçları verir. {F, H} D = {F, H} {F, χ α } Λ αβ {χ β, H} {F, H} Şubat / 38

12 Yang-Mills Alanlarının Dirac Yöntemiyle Kuantizasyonu Saf Yang-Mills Lagranjiyeni: L = 1 4 F a µνf µνa Alanların hareket denklemleri: F a µν = µ A a ν ν A a µ + f abc A b µa c ν D µ F µνa = µ F µνa + f abc A b µf µνc = 0 Bianchi Özdeşliği: D µ F µνa = 0 F µν = 1 2 ɛµνσρ F σρ Şubat / 38

13 Yang-Mills Alanlarının Dirac Yöntemiyle Kuantizasyonu A a µ alanları için kanonik momentumlar ise Π µa (x) L ( 0 A a µ { ) = F 0µ Π 0a = F 00a = 0 µ = 0 Π ia = F 0ia = E ia µ = i ϕ 1 = Π 0a = 0 sistemin birinci sınıf bağ koşuludur. Sistemin kanonik Hamiltonyeni ve birincil Hamiltonyeni ise H can = 1 2 ( Π a i Π ia + B a i B ia) Π a i i D i,ab A b 0 ˆ H p = H can + d 3 xλ 1 ϕ 1 Şubat / 38

14 Yang-Mills Alanlarının Dirac Yöntemiyle Kuantizasyonu ϕ 1 için tutarlılık şartı ikincil bağ koşulu üretir: { Π 0a, H p } = D ab i Π i,b 0 ϕ 2 = D ab i Π ib 0 İkincil Hamiltonyen: ˆ H S = H can + ˆ d 3 xλ 1 φ 1 + d 3 xλ 2 φ 2 İkincil bağ koşulu için tutarlılık şartı: ϕ 2 { D i Π ia, H S } 0 Şubat / 38

15 Yang-Mills Alanlarının Dirac Yöntemiyle Kuantizasyonu Algoritma sonlanmasına karşın sistemdeki Lagrange çarpanları belirlenemedi. Bu durumda sistemin bağ koşullarını ikinci sınıf bağ koşullarına dönüştürecek ayar sabitleme denklemleri (örneğin Coloumb Ayarı) eklenir χ 1 (x) A 0 (x) 0 χ 2 (x) D i A i (x) 0 Teorinin tüm bağ koşulları belirlendi: φ 1 ϕ 1, φ 2 ϕ 2, φ 3 χ 1, φ 4 χ 2 Şubat / 38

16 Yang-Mills Alanlarının Dirac Yöntemiyle Kuantizasyonu Bu bağ koşullarının oluşturduğu ij matrisi ve onun tersi Λ ij : ij (x, y) = {φ i (x), φ j (y)} x0 =y = x δ3 ( x y) 0 2 x Λ ij (x, y) = x δ3 ( x y) 0 2 x 0 0 Şubat / 38

17 Yang-Mills Alanlarının Dirac Yöntemiyle Kuantizasyonu Teorinin Dirac Komütatörleri Sırayla: [ ] A a µ (x), A b ν (y) = 0 = x0 =y 0 D [ ] Π a µ (x), Π b ν (y) D x0 =y 0 [ ] A a µ (x), Π ν,b (y) D ( = iδ ab x0 =y 0 δ j i ( x ) i 1 = iδ ab δ j i (tr) ( x y) 2 x ( x ) j ) δ 3 ( x y) Burada hesaplamaları yeniden yapmadan Abelian sonuçlar, Yang-Mills Teorisindeki SU(N) U(1) dönüşümü SU(N) gruplarının yapı sabitleri f abc 0 alınarak bulunabilir. Şubat / 38

18 Yang-Mills Alanları İçin Kuantum Noether Teoremi ve Yük Cebiri Dirac metodunda birinci sınıf bağ koşullarının tutarlılık şartları: φ j {φ j, H} + u m {φ j, φ m } j = 1,..., J = M + K m = 1,..., M u m : Lagrange çarpanları Bu eşitlik u m ler için J tane homojen olmayan lineer denklem olarak düşünülebilir. Bu durumda u m ler için genel çözüm: u m U m (q, p) + v a V m a (q, p) a = 1,..., A U m : homojen olmayan kısmın çözümleri V m a : homojen kısmın çözümleri v a : gelişi güzel katsayılar Şubat / 38

19 Ayar Alanları İçin Kuantum Noether Teoremi ve Yük Cebiri Herhangi bir faz uzayı niceliğinin bağ yüzeyi üzerindeki hareket denklemi: Ḟ {F, H} + u m {F, φ m } {F, H p } H p = H + U m φ }{{ m +v a V } a m φ }{{ m } H φ a Eğer dikkatimizi ayar simetrisine çevirirsek H p de gelişi güzel v a katsayılarının olması fiziksel bir durumun sonsuz farklı durum uzayları ile ifade edilebileceğini gösterir (Ayar Serbestisi). Buna göre F (0) başlangıç durumuna sahip bir fiziksel niceliğin zamanla değişimini sonsuz farklı şekilde gösterebiliriz. Şubat / 38

20 Ayar Alanları İçin Kuantum Noether Teoremi ve Yük Cebiri v a nın iki özel seçimi için sırayla v1 a ve v 2 a δt süresi için F in değişimi: olmak üzere çok küçük bir F 1 (δt) = F (0) + {F, H p } δt = F (0) + [{ F, H } + v1 a {F, φ a } ] δt F 2 (δt) = F (0) + {F, H p } δt = F (0) + [{ F, H } + v2 a {F, φ a } ] δt F nin t = δt anındaki iki değeri arasındaki fark: F (δt) = F 1 (δt) F 2 (δt) = δt (v1 a v2 a ) {F, φ a } µ a {F, φ a } µ a : infinitesimal gelişi güzel bir sayı Şubat / 38

21 Ayar Alanları İçin Kuantum Noether Teoremi ve Yük Cebiri Bu dönüşüm (infinitesimal) ayar dönüşümü olarak adlandırılır. Yukarıdaki iki hareket denklemi de aynı fiziksel sonucu verir. Yani birincil birinci sınıf bağ koşulları ayar dönüşümlerinin jeneratörü olur. Benzer şekilde ikincil birinci sınıf bağ koşullarının da ayar dönüşümlerinin jeneratörü olabileceği gösterilebilir. F 1 = F (0) + µ a {F, φ a } F 12 = F 1 + v a {F 1, φ a } = F (0) + µ a {F, φ a } + v a {F + µ a {F, φ a }, φ a } Aynı dönüşümü ters sırayla yapsaydık: F 21 = F (0) + v a {F, φ a } + µ a { F + v a {F, φ a }, φ a } Şubat / 38

22 Ayar Alanları İçin Kuantum Noether Teoremi ve Yük Cebiri F 12 ile F 21 arasındaki fark: F = F 21 F 12 = µ a v a [{{F, φ a }, φ a } {{F, φ a } φ a }] = µ a v a {F, {φ a, φ a }} {φ a, φ a } bu ayar dönüşümünün jeneratörüdür ve sıfıra zayıf-eşittir. Dolayısıyla birinci sınıf bağ koşulları kümesinin kapalılık özelliği gereği bu Poisson parantezi, birinci sınıf bağ koşullarının lineer kombinasyonuna kuvvetli-eşittir. {φ a, φ a } = λ a a a φ a Böylece birincil veya ikincil tüm birinci sınıf bağ koşulları ayar dönüşümlerinin jeneratörü olabildiği gösterilmiş olur. Şubat / 38

23 Ayar Alanları İçin Kuantum Noether Teoremi ve Yük Cebiri Klasik A µ = g τ a 2i Aa µ alanları, λ = g τ a 2i λa olmak üzere U = e λ şeklinde parametrize edilen Abelyen olmayan dönüşümler altında dönüşüm kuralı: A µ = UA µ U 1 ( µ U) U 1 Eğer dönüşüm infinintesimal olarak yapılırsa (λ δλ) olur. Burada A µ = A µ D µ (δλ) D µ µ + [A µ, kovaryant türevin adjoint temsildeki gösterimidir. Şubat / 38

24 Ayar Alanları İçin Kuantum Noether Teoremi ve Yük Cebiri Ayar alanları kuantize edildiğinde (A µ A µ ) kuantum alan operatörünün beklenen değerinin dönüşümünün klasik alanın dönüşümü ile aynı sonucu vermesi beklenir. Bu durumda dönüşüm kuralı: şeklinde olur. (A µ ) = U 1 A µ U Klasik Alan Kuramı ndaki Noether Teoremi, Kuantum Alan Kuramı na taşındığında korunumlu Q Noether yükünün kuantum bölgesinde simetrilerin jeneratörü olması beklenir. Yani U = e iq şekilde parametrize edilir ve sonsuz küçük dönüşümler için sağlanması gerekir. A µ + i [A µ, δq]? A µ D µ δλ Şubat / 38

25 Ayar Alanları İçin Kuantum Noether Teoremi ve Yük Cebiri Yang-Mills alanlarının Abelyen olmayan dönüşümler altındaki değişmezliğine karşı gelen Noether akımı ve Noether yükü sırasıyla: ˆ δq = δj µ δl = δ ( µ A a ν) δaa ν = F µν,a (D ν δλ) a ˆ ˆ d 3 xδj 0 = d 3 xf 0ν,a (D ν δλ) a = d 3 xπ ν,a (D ν δλ) a şeklindedir. Yang - Mills alanları için eş zamanlı kanonik kuantizasyon bağıntısı: [ A a µ (x), Π b ν (y) = iδb a δµ ν δ 3 ( x y) şeklindedir. Dolayısıyla; bulunur. ] x0=y0 [A µ, δq] = id µ λ Şubat / 38

26 Ayar Alanları İçin Kuantum Noether Teoremi ve Yük Cebiri Gerçekten δq yükünün Abelyen olmayan dönüşümlerin jeneratörü olduğu kanıtlanmış olur. Noether yüküne kısmi integrasyon uygulanırsa ˆ ˆ δq = d 3 xδj 0 = i d 3 x (D ν Π ν ) a δλ a olduğu görülebilir. Yani infinitesimal δλ parametreli ayar dönüşümünün jeneratörü Dirac kuramında ikincil birinci sınıf bağ koşuludur. Bu da genelleştirilmiş Gauß Yasasıdır: G a = D ab ν Π ν,b Şubat / 38

27 Bağlı Sistemler İçin Faddeev - Jackiw Kuantizasyon Yöntemi Dirac metoduna alternatif Dirac metoduna nazaran daha ekonomik ve basit bir yöntem Bu yöntemde Hamilton formalizmindeki momentumlar, Lagranjiyen formalizmine yeni koordinatlar olarak taşınır. Dirac metodunda bağ koşulları sınıflandırılırken Faddeev-Jackiw metodunda böyle bir sınıflandırma yoktur. Şubat / 38

28 Bağlı Sistemler İçin Faddeev - Jackiw Kuantizasyon Yöntemi Metodun başlangıç noktası: birinci mertebeden zaman türevleri içeren Lagranjiyen inşa etmek nboyutlu bir sistemin konfigürasyon uzayı momentumların eklenmesiyle 2n boyuta katlanır. p i ve q i, ξ i konfigürasyon uzayı değişkenleri olarak genelleştirilir Faz uzayındaki p i lere karşılık gelen ξ (pi ) lerin zamana bağlı türevleri Faddeev-Jackiw Lagranjiyeninde yoktur. Şubat / 38

29 Bağlı Sistemler İçin Faddeev - Jackiw Kuantizasyon Yöntemi Hamiltonyen, Lagranjiyendenters Legendre dönüşümü ile dönüştürülerek elde edilir: Hamiltonyen: L (ξ) = a i (ξ) ξ i V (ξ) H = L ξ ξ i L = a i ξ i i = V (ξ) [ ] a i (ξ) ξ i V (ξ) Şubat / 38

30 Bağlı Sistemler İçin Faddeev - Jackiw Kuantizasyon Yöntemi Vektör potansiyel a i (ξ) 1 2 ξj w ji nin olduğu durumda w ji anti-simetrik sabit bir matristir. w ij nin simetrik kısımlar zamanın tam türevlerini içerdiğinden Lagranjiyene katkı vermezler Euler-Lagrange denklemleri: f ij ( f 1) ij olmak üzere f ij ξ j = V ξ i = H ξ i f ij ξ i a j ξ j a i ξ j ij H = f ξ i Şubat / 38

31 Bağlı Sistemler İçin Faddeev - Jackiw Kuantizasyon Yöntemi Burada iki durum söz konusudur: det (f ij ) 0 ise ξ i ler için hareket denklemleri çözülebilir. det (f ij ) = 0 ise w nın M < N = 2n tane z m sıfır öz vektörü vardır ve M tane denklem zaman türevleri içermez: z i m H (ξ) = 0, ξi m = 1,..., M z m in kapsadığı ortogonal uzayda f ij matrisinin 2n boyutlu bir ters matrisi vardır. Bu durumda N = 2n + M olur. Şubat / 38

32 Bağlı Sistemler İçin Faddeev - Jackiw Kuantizasyon Yöntemi det (f ij ) 0 durumu yani f ij nin tersinin olduğu durum ele alınırsa ξ j ij H = f ξ i = { ξ j, H } 1 i [ ξ j, H ] = 1 i [ ξ j, ξ i] H ξ i Daha genel olarak: [A (ξ), B (ξ)] = 1 i A ij B f ξi ξ j Şubat / 38

33 Bağlı Sistemler İçin Faddeev - Jackiw Kuantizasyon Yöntemi f ij Darboux dönüşümü sayesinde sabit bir anti simetrik matrisle tasvir edilebilir: a i (ξ) = 1 2 Qk (ξ) w kl Q l ξ i f ij = Qk Q l ξ i w kl ξ j Bu yeni koordinatları kanonik yapmak için w ij Gram-Schmidt yöntemi ile anti simetrik blok diagonal bir forma sokulabilir ( ) 0 I w ij = I 0 Şubat / 38

34 Bağlı Sistemler İçin Faddeev - Jackiw Kuantizasyon Yöntemi det (f ij ) = 0 yani f ij singülerse Darboux dönüşümleri f ij nin en büyük ranka sahip singüler olmayan alt matrisi için uygulanabilir ve böylece w ij nin daha küçük boyutlu olduğu bir kinetik terim elde edilir. Bağlı z m (ξ), m = 1,..., M koordinatları Hamiltonyenin içine taşınır. L = 1 2 ξi w ij ξ i H (ξ, z) Bu durumda bağlı z m koordinatlar için Euler-Lagrange denklemleri H (ξ, z) z m = 0 Şubat / 38

35 Bağlı Sistemler İçin Faddeev - Jackiw Kuantizasyon Yöntemi Bu Euler-Lagrange denklemleri z m ler için çözülürse sistemin gerçek bağ koşulları φ k (ξ) lar elde edilir ve bu çözümler Lagranjiyen e yerleştirilir L = 1 2 ξi w ij ξ j H (ξ) z k φ k Bu birbirinden bağımsız ξ lerin sayısını azaltır. Bu φ k lar Lagranjiyen e eklendiğinde: a i (ξ) a i (ξ) Bu yeni vektör potansiyeli de kanonik forma sokmak için Darboux dönüşümü uygulanır. Bu prosedür yeni bağ koşulları üretmeyen indirgenmiş bir kanonik sistem yani indirgenmiş bir Lagranjiyen elde edilene kadar sürdürülür. Şubat / 38

36 Yang-Mills Alanlarının Faddeev Jackiw Yöntemiyle Kuantizasyonu Yang-Mills Lagrangian i Π µ,a F 0µ,a ve Π 0,a = 0 olmak üzere: ˆ L = d 3 x Π i Ȧ i 1 [ (Π i,a ) 2 ( + B i,a ) ] 2 + D ab i Π i,b A a 0 } 2 {{} A 0,a simplektik kısımda olmadığı için H H (ξ, z) z m = 0 δh δa a 0 = D ab i Π i,b = 0 Şubat / 38

37 Yang-Mills Alanlarının Faddeev Jackiw Yöntemiyle Kuantizasyonu Bunu çözmek için Π i,a ve A i,a enine (transverse) ve boyuna (longitudial) bileşenlerine ayrılır ve Lagrangian da yerine yerleştirilirse: Π i,a = Π ia T + i 2 Πa ˆ L = { d 3 x A i,a = A ia T + Π i,a T Ȧi,a T 1 2 i 2 Aa [ ( ) 2 Π i,a ( T + B i,a ) 2]} Simplektik kısımda artık bağlı bir koordinat kalmadığı için: wij ab = 1 ] [Π a i,t i (x), Ab,j,T (y) = iδb a δi j δ 4 (x y) yazılabilir ve böylece kuantizasyon yapılabilir. Şubat / 38

38 P.A.M. Dirac, Lectures on Quantum Mechanics, (Yeshiva University Press, New York, 1964) R. Jackiw, (Constrained) Quantization Without Tears, arxiv:hep-th/930675v1, 1993 N.K. Pak, Introduction to Instatons in Yang-Mills Theory, ICTP Lecture Notes, IC/80/17, Trieste, Italy, 1980 İ.Turan, The Faddeev-Jackiw Quantization of the U(1) Gauged SU(2) WZW Model,(Graduate School of Natural and Applied Sciences, METU Master Thesis) 1999 Mehmet Kemal Gümüş (Hacettepe Üniversitesi Bağlı Sistemlerde Fizik Mühendisliği Birinci Sınıf Bölümü) Bağlar Ayar Dönüşümlerinin 14 Şubat Jeneratörleri 2015 midir? 38 / 38

39 Bağlı Sistemlerde Birinci Sınıf Bağlar Ayar Dönüşümlerinin Jeneratörleri midir? Yardımları ve rehberlikleri için Sayın Prof. Namık K. Pak a ve Prof. Müge Boz a ve beni dinlediğiniz için sizlere Teşekküler Mehmet Kemal Gümüş (Hacettepe Üniversitesi Bağlı Sistemlerde Fizik Mühendisliği Birinci Sınıf Bölümü) Bağlar Ayar Dönüşümlerinin 14 Şubat Jeneratörleri 2015 midir? 38 / 38