MAT216 TOPOLOJ IYE G IR IŞ DERS NOTLARI by Mehmet K rdar

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "MAT216 TOPOLOJ IYE G IR IŞ DERS NOTLARI by Mehmet K rdar"

Transkript

1 MAT216 TOPOLOJ IYE G IR IŞ DERS NOTLARI by Mehmet K rdar Içindekiler 1. Topolojinin Tan m, Ilk Örnekler, Aç k ve Kapal Kümeler 2. Topolojilerin Karş laşt r lmas ve Alt Uzay 3. Baz ve Alt Baz 4. Metrik Uzaylar ve Metrik Topoloji 5. Iç, Y l¼g lma Noktalar, Kapan ş ve S n r 6. Süreklilik, Aç k ve Kapal Fonksiyonlar, Homeomor zma 7. Fonksiyonlarla Üretilen Topolojiler, Bölüm Uzaylar ve Çarp m Uzaylar 8. Birinci ve Ikinci Say labilir Uzaylar 9. Ayr lma Aksiyomlar 10. Diziler, Limit Noktalar, Bolzano Weierstrass Teoremi ve Süreklilik 11. Kompaktl k, Heine-Borel Teoremi 12. Limit Nokta Kompaktl ¼g, Dizisel Kompaktl k, Metrik Uzaylarda Kompaktl k 13. A¼glar ve Süzgeçler 14. Ba¼glant l l k ve Yol-Ba¼glant l l ¼g 15. Genişleme Teoremleri 1 Topoljinin Tan m, Ilk Örnekler, Aç k ve Kapal Kümeler X bir küme ise X in tüm alt kümelerinin kümesini, yani X in güç kümesini, 2 X ile gösterece¼giz. Tan m: T 2 X kümesi aşa¼g daki şartlar sa¼gl yorsa T ye X üzerinde bir topoloji ve ya X in bir topolojisi denir: 1. 2 T ve X 2 T: 2. U 1 2 T ve U 2 2 T ) U 1 \ U 2 2 T: 3. I herhangi bir indeksleme kümesi ve fu g 2I T ise [ 2I U 2 T: Bu durumda X kümesine topolojik uzay denir ve (X; T ) ikilisi ile gösterilir. Bazen T nin X üzerinde bir topolojik yap oldu¼guda söylenebilir. Indaksiyon ile 2. şarttan T nin sonlu say da eleman n n kesişiminin T de oldu¼gu sonucuna ulaşabiliriz ki baz kaynaklar 2. şart bu şekilde yazmaktad r. Fakat key say da, yani sonsuz say da, eleman n kesişiminin T de olma zorunlulu¼gu yoktur. 3. şart T den al nan key say da elaman n bileşiminin yine T de olmas zorunlulu¼gudur. Yani tan m n püf noktas "Sonlu kesişimler içerde olacak. Key bileşimler içerde olacak." şeklinde özetlenebilir. Ayr ca, di¼ger şart, yani 1. şart ise boş kümenin ve X in kendisinin topolojide olmas şart d r. 1. X herhangi bir küme olsun. T trivial = f; Xg kümesinin X in topolojisi oldu¼gu, yani tan m n şartlar n sa¼glad ¼g, kontrol edilebilir. Buda bize her kümenin en az bir topolojisi oldu¼gunu söylemektedir. 2. X herhangi bir küme olsun. T ayr{k = 2 X kümesinin, yani X in tüm alt kümelerinin kümesi olan güç kümesinin, X in topolojisi oldu¼gu kontrol edilebilir. Buda bize en az iki eleman içeren bir kümenin en az iki topolojisi oldu¼gunu gösterir: Trivial topoloji ve ayr k topoloji. Fakat, s f r elemanl kümenin, yani boş kümenin, ve bir elemanl kümenin, bir topolojisi vard r. Bu kümelerin ayr k ve trivial topolojileri ayn d r ve 1 elemanl kümelerin 1 topolojisi oldu¼gunu söyledik. X = f1; 2g iki elemanl bir küme olsun. Bu küme üzerindeki tüm topolojiler T 1 = T trivial, T 2 = T ayr{k, T 3 = f; f1g ; Xg ve T 4 = f; f2g ; Xg olup bunlar n topolji oldu¼gu kontrol edilebilir. 1

2 4. n elemanl kümenin üzerindeki topoloji say s T (n) olsun. T (n) says n n n cinsinden hesaplanmas aç k bir problemdir. Henüz çözülememiştir! Buda topolojinin küme büyüdükçe ne kadar karmaş klaşt ¼g n göstermektedir. Yukar da T (0) = T (1) = 1 ve T (2) = 4 oldu¼gunu söylemiştik. Şimdi bir üç elemanl küme düşünelim: X = f1; 2; 3g : Bu küme üzerindeki yazabilece¼gimiz ilk iki topolojiler T 1 = T trivial ve T 2 = T ayr{kd{r : Fakat bunlar n d ş nda X üzerinde daha yirmi yedi tane topoloji yaz labilir! Yani T (3) = 29 d r. Örne¼gin X üzerinde üç elemanl topolojilerden biri T 3 = f; f1g ; Xg ; dört elemanl topolojilerden biri T 4 = f; f1g ; f2; 3g ; Xg, beş elemanl topolojileren biri T 5 = f; f1g ; f2g ; f1; 2g ; Xg ve alt elemanl topolojilerden biri T 6 = f; f1g ; f2g ; f1; 2g ; f2; 3g ; Xg olarak yaz labilir. Geriye kalan 23 topolojiyi düşünmeyi okuyucuya b rak yoruz. 5. X sonlu ve ya sonsuz herhangi bir küme olsun. T sonlutümleyen = fu X j U 0 = X U sonlu kümeg [ fg kümesi X in bir topoloijsidir. Bu topolojiye X in sonlu tümleyen topolojisi denir. 6. X sonlu ve ya sonsuz herhangi bir küme olsun. T say labilirtümleyen = fu X j U 0 say labilir kümeg [ fg kümesi X in bir topoloijsidir. Bu topolojiye X in say labilir tümleyen topolojisi denir. 7. X = R 1 reel say do¼grusu kümesi olsun. Herhangi iki reel say a; b 2 R 1 için (a; b) = x 2 R 1 j a < x < b kümesine s n rl aç k aral k denir. U R T standart = 1 j U key say da s n rl aç k aral ¼g n bileşimi şeklinde yaz labilir. şeklinde tan mlanan küme reel say do¼grusun topolojisidir. Bu kümenin topoloji oldu¼gunu daha sonra ayr nt l olarak tüm metrik uzaylara genelleştirerek kan tlayaca¼g z. Bu topolojiye reel say do¼grusunun standart topolojisi denir. Bu topolojinin di¼ger isimleri, standart metrik topolojisi, do¼gal topoloji, s radan topoloji vb. dir. 8. X = R 1 reel say do¼grusu kümesi olsun. Şimdi reel say do¼grusun başka bir topolojisini tan ml yaca¼g z. Do¼gal topolojisini unutunuz. Herhangi iki a; b 2 R 1 için [a; b) = x 2 R 1 j a x < b kümesine s n rl ve alttan kapal üstten aç k aral k denir. U R T altlimit = 1 j U key say da s n rl alttan kapal üstten aç k aral ¼g n bileşimi şeklinde yaz labilir. şeklinde tan mlanan küme reel say do¼grusu kümesinin topolojisidir ve reel say do¼grusunun alt limit topolojisi olarak adaland r l r. Benzer şekilde üst limit topolojisini tan mlamay okuyucuya b rak yoruz. 9. X = R 1 reel say do¼grusu kümesi olsun. Şimdi reel say do¼grusun yukar dakilerden başka bir topolojisini tan ml yaca¼g z. Bunun için bir küme tan mlayal m: K = 1 n j n 2 Z+ : Ve (a; b) K şeklindeki kümelere K s silinmiş aç k aral klar diyelim. Şimdi şu kümeyi tan mlayal m: U R T K = 1 j U key say da aç k aral ¼g n ve ya K s silinmiş aç k aral ¼g n bileşimi şeklinde yaz labilir. Bu küme reel say do¼grusu kümesinin topolojisidir ve reel say do¼grusunun K-topolojisi olarak adaland r l r. 10. Şimdi yedinci örne¼gin genelleştirmesini yapal m ve çok boyutlu reel Öklit uzaylar n n do¼gal topolojini tan mlayal m. R n ; n 1; n-boyutlu reel Öklit uzay üzerindeki uzunluk fonksiyonu, di¼ger ad yla standart metrik, d : R n R n! R; x = (x 1 ; x 2 ; ::::; x n ) 2 R n ve y = (y 1 ; y 2 ; ::::; y n ) 2 R n ; v ux d standart (x; y) = t n (y i x i ) 2 şeklinde tan mlan r. x = (x 1 ; x 2 ; ::::; x n ) 2 R n için x merkezli 2 R + yar çapl aç k küre şeklinde tan mlan r. T standart = B(x; ) = fy 2 R n j d standart (x; y) < g U R n j U key say da aç k kürenin bileşimi şeklinde yaz labilir. kümesi n-boyutlu reel Öklit uzay n n bir topolojsidir ve R n in standart topolojisi olarak adland r l r. Bu topolojinin di¼ger isimleri 7. örnekte oldu¼gu gibidir. Ayr ca n = 1 durumunda bu örne¼gin 7. örne¼gin ayn s oldu¼gunu gösterebiliriz: Bir boyutlu aç k küreler s n rl aç k aral klard r. 2

3 11. X bir küme ve üzerinde bir < üzerindeki s ralama ba¼g nt s olsun. Ayr ca, X in bu s ralama ba¼g nt s na göre en küçük ve en büyük eleman olmas n. a < b şart n sa¼glayan her a; b 2 X için (a; b) = fx 2 X j a < x < bg aral ¼g n tan ml yal m. Bu tip aral klar n key bileşimlerinin koleksiyonu X üzerinde bir topoloji tan mlar. Bu topolojiye X in s ralama topolojisi denir. X in en küçük ve en büyük elemanlar varsa bu tan m n modife edilmesi gerekti¼gini belirtelim, [Munkres]. Aç kça görüldü¼gü gibi bu topoloji reel say s do¼grusunun do¼gal topolojisinin anolojisidir. Gerçektende reel say do¼grusu üzerindeki küçük olma ba¼g nt s na göre tan mlanan s ralama topolojisi R 1 in standart metri¼gi yani mutlak de¼ger metri¼gine göre tan mlanan standart topolojisine eşittir! R 2 üzerinde bir s ralama var m d r? Do¼gru üzerinde bir noktada durdu¼gumuzda sadece iki yön vard r sa¼g-sol (do¼gu-bat ) ve bu nedenle s ralama ba¼g nt s n bulmak kolayd r. Fakat düzlem üzerinde bir noktada durdu¼gumuzda gidebilece¼gimiz sonsuz tane yön vard r. Do¼gu-bat ve kuzey-güney bunlardan sadece dördüdür. Bununla birlikte düzlemde s ralama ba¼g nt s bulmak mümkündür. Bu s ralamalardan biri kütüphanelerde kullan lan "sözlük s ralamas " denilen s ralamad r. E¼ger (x 1 ; y 1 ) ve (x 2 ; y 2 ) düzlemde iki nokta ise önce ilk koordinatlar na bakar z. E¼ger x 1 < x 2 ise (x 1 ; y 1 ) < (x 2 ; y 2 ) oldu¼gunu kabul ederiz. Fakat x 1 = x 2 ise ikinci koordinatlar na bakar z. E¼ger x 1 = x 2 ve y 1 < y 2 ise (x 1 ; y 1 ) < (x 2 ; y 2 ) oldu¼gunu kabul ederiz. Bu düzlemde s ralama ba¼g nt s tan mlar ve bu s ralama ba¼g nt s düzlem üzerindeki sözlük topolojsi T sözlük ü yarat r. Sözlük topolojisinin tan m benzer şekilde di¼ger R n lere (n 3) genelleştirilebilir. Reel say do¼grusu üzerindeki sözlük topolojsinin standart topoloji ile ayn oldu¼gunu söylemiştik. Fakat n 2 için bu do¼gru de¼gildir. Bu konuya topolojilerin karş laşt r lmas n tan mlad kdan sonra tekrar de¼ginece¼giz. Tan m: (X; T ) topolojik uzay olsun. U 2 T ise U ya aç k küme denir. E¼ger C X kümesinin tümleyeni aç k ise yani C 0 = X C 2 T ise C ye kapal küme denir. Örnek: 1. Burada önemli bir kaç uyar da bulunal m. Aç k küme X in belli bir topolojisine göre tan mlanm şd r. Bir küme üzerinde birden fazla topoloji olabilece¼ginden, X in bir topolojisine göre aç k olan bir küme başka bir topolojisine göre aç k olmayabilir. Örne¼gin X = f1; 2g için U = f1g kümesi T ayr{k için aç k kümedir fakat T trivial için aç k küme de¼gildir. Bu örnek ayr ca bir kümenin ne aç k nede kapal olabilece¼ginide göstermekdedir. Ne aç k nede kapal kümeler olabilece¼gi gibi, hem aç k hem kapal kümelerde vard r. En basiti ve X kümeleri, 0 = X ve X 0 = oldu¼gu için X in her topolojisi için hem aç k hem de kapal kümelerdir! Bu bariz iki örne¼gin d ş nda hem aç k hem kapal küme örne¼gi olan başka örneklerde vermek mümkündür. Örne¼gin, X = f1; 2; 3; 4g kümesi üzerindeki T = f; f1g ; f2; 3g ; f4; 5g ; f1; 2; 3g ; f1; 4; 5g ; f2; 3; 4; 5g ; Xg topolojisini düşünelim. Bu topolojiye göre A = f1; 2; 3g kümesi hem aç k hemde kapal d r. Daha zor bir örnek reel say do¼grusunun alt limit topolojisi T altlimit de gösterilebilir. Reel say do¼grusun alt limit topolojisinde [a; b) kümeleri hem aç k hem kapal kümelerdir. Bu mant k oyununu çözmeyi okuyucuya b rak yoruz. 2. R 1 in standart topolojisinin ba¼glant l, yani tek komponentli, olan aç k kümeleri s n rl ve ya s n rs z aç k aral klard r. (a; b) şeklindeki s n rl aç k aral klar zaten bu topolojinin yaratanlar olarak al nm şt ve dolay s yla standart topolojinin içindedir. (a; 1); ( 1; b); R 1 = ( 1; 1) şeklindeki s n rs z aç k aral klar n standart topolojinin içinde oldu¼gu sonsuz bir 1[ bileşimle gösterelebilir. Örne¼gin (3; 1) = (3; n) gibi. Fakat R 1 in çok komponentli olan aç k kümeleride vard r. Örne¼gin, n=4 ( 1; 1 2 ) [ (4; 1) aral ¼g iki komponentli, ( 2; 1) [ (0; 0:1) [ (; 2) aral ¼g üç komponentli aç k kümeleridir. Her n 2 Z+ için R 1 in sonsuz tane n komponentli aç k kümesi vard r. R 1 in s n rl ve ba¼glant l, yani tek komponetli, kapal aral klar [a; b] şeklindedir. Önemli bir durumu not etmek gerekirse, [a; a] = fag tek nokta kümeleride bu türdendir, yani kapal ve ba¼glant l. Noktalar n kapal olma özelli¼gine ilerde uzay n T 1 olma özelli¼gi diyece¼giz. (R 1 ; T standart ) uzay T 1 uzay d r. R 1 in ba¼glant l olmayan kapal kümeleri de vard r. Örne¼gin, f 3g [ [0; 2] [ [8; 1) kümesi (R 1 ; T standart ) uzay n n üç komponentli kapal bir kümesidir. Her n 2 Z + için R 1 in sonsuz tane n komponentli kapal kümesi vard r. Ve ayr ca standart topolojide, sonsuz komponentli aç k ve kapal kümelerinde oldu¼gunu ve sonsuz tane oldu¼gunu kolayca ispatlayabiliriz. Topolojinin tan m n kapal kümeler yani aşa¼g da tan mlad ¼g m z kapal küme ailesi cinsindende vermek de mümkündür. Tan m: (X; T ) topolojik uzay olsun. K = fc j C 0 2 T g kümesine X in T topolojisine göre kapal küme ailesi denir. Teorem: (X; T ) topolojik uzay ve K bu topoljinin kapal küme ailesi olsun. K aşa¼g daki şartlar sa¼glar: 1. ; X 2 K: 3

4 2. K n n key say da eleman n n kesişimi K dad r. 3. K n n sonlu say da eleman n bileşimi K dad r. Yukar daki teoremden dolay, alternatif olarak, X üzerindeki bir topolojiyi şu şekilde tan mlayabilirdik: K 2 X olsun ve yukar daki teoremdeki şartlar sa¼glas n. Bu durumda T = fu j U 0 2 Kg ailesi X in bir topolojisidir ve bu topolojinin kapal küme ailesi K d r. K sacas, aç k kümeler ile kapal kümeler aras nda bir "dualite" vard r ve bir kapal küme ailesi verildi¼ginde bu kapal küme ailesi bir topoloji tan mlar. 2 Topolojilerin Karş laşt r lmas ve Alt Uzay Tan m: T 1, T 2 kümeleri X kümesinin iki topolojisi olsun. E¼ger T 1! T 2 ; daha aç k olarak yazmak gerekirse T 1 T 2 ve T 1 6= T 2 ; ise T 1 topolojisi T 2 topolojisine göre daha incedir ve ya T 2 topolojisi T 1 topolojisine göre daha kabad r denir. T 1 = T 2 ; daha aç k olarak yazmak gerekirse T 1 T 2 ve T 1 T 2 ; ise bu topolojilere eşit topolojiler denir. E¼ger topolojiler aras nda bir kapsma ilişkisi yoksa bu topolojilere karş laşt r lamaz topolojiler denir. 1. X herhangi bir küme olsun. X in üzerindeki en kaba topoloji trivial topolojidir. Di¼ger bir deyişle X in üzerindeki di¼ger her topoloji trivial topolojiyi kapsar. 2. X herhangi bir küme olsun. X in üzerindeki en ince topoloji ayr k topolojidir. Di¼ger bir deyişle X in üzerindeki di¼ger her topoloji ayr k topoloji taraf ndan kapsan r. 3. R 1 üzerindeki altlimit ve üstlimit topolojileri standart topolojiden daha incedir, yani, T altlimit! T standart ve T üstlimit! 1[ T standart : Örne¼gin altlimit topolojinin neden standart topolojiden daha ince oldu¼gunu gösterelim: (a; b) = [a + 1 n ; b) şeklinde yaz labilece¼gi için her s n rl aç k aral k T altlimit topolojisi içindedir, dolay s yla T altlimit T standart olur. Fakat en basiti [0; 1) =2 T standart oldu¼gu için T altlimit 6= T standart ve böylece T altlimit! T standart ispatlanm ş olur. Üstlimit topolojisi içinde benzer bir ispat yap labilir. Ayr ca not etmek gerekirse, T altlimit ve T üstlimit topolojileri birbirleri ile karş laşt r lamaz. 4. R 1 üzerindeki K-topolojisi T K y hat rl yal m. T K topolojisi T standart topolojisinden daha incedir. Gerçekten tan mdan dolay T K T standart oldu¼gu kolayca görülür. Eşit olmad klar n kan tlayal m. Örne¼gin U = ( 1; 1) K kümesini düşünelim. U 2 T K d r. Fakat U kümesi T standart topolojisin eleman olamaz. Çünkü bu küme T standart topolojisin eleman olsayd aç k aral klar n bileşimi olarak yaz labilirdi ve 0 2 U oldu¼gu için 0 içeren bir aç k aral ¼g n U nun içinde olmas gerekirdi. Örne¼gin böyle bir aral k ( 2 ; 1 ) olsun. Burada 1 ; 2 2 R + ve bu nedenle öyle bir n 2 Z + vard r ki 1 n < 1: Fakat bu durumda 1 n 2 U olur. Çelişki. O halde. T K! T standart olur yani kapsama ilişkisi "kesinlikle" dir. 5. R n üzerinde standart metri¼ge göre tan mlanm ş T standart topolojisini hat rl yal m. R n üzerinde standart metri¼gin d ş nda metriklerde mevcuttur. Örne¼gin x; y 2 R n olmak üzere küp metrik ve elmas metrik d küp (x; y) = max 1in jy i d elmas (x; y) = şeklinde tan mlan r. Aç k kürelere benzer olarak aç k küpler nx jy i x i j x i j ve aç k elmaslar K up(x; ) = fy 2 R n j d küp (x; y) < g Elmas(x; ) = fy 2 R n j d elmas (x; y) < g tan mlayabiliriz. Benzer şekilde, T küp topolojisini key say da aç k küplerin bileşimleri ve T elmas topolojisin key say da aç k elmaslar n bileşimleri şeklinde tan mlayabiliriz. Ilerki bir konuda, baz kavram n tan mlad ktan sonra, şunu ispatl yaca¼g z: T standart = T küp = T elmas 4

5 6. Do¼gru, yani R 1 ; üzerindeki standart topoloji ile sözlük topolojisin ayn oldu¼gunu söylemiştik. Fakat, düzlem, yani R 2 üzerindeki sözlük topolojisi düzlem üzerindeki standart topolojiden daha incedir. Bunu ispatlamak için önce I b a(x 0 ) = f(x 0 ; y) j a < y < bg şeklindeki aral klar n sözlük topolojisinde oldu¼gunu gösteririz. Düzlemde aç k bir küre (disk) verildi¼ginde bu aç k diski bu tip aral klar n bileşimi şeklinde yazabiliriz. Dolays yla aç k diskler sözlük topolojisinin içindedir ve dolay syla standart topoloji sözlük topolojisinin içindedir. Fakat I b a(x 0 ) şeklinde bir aral k standart topolojinin içinde olamaz. Bu nedenle T sözlük topolojisi T standart topolojisinden daha incedir. Benzer şekilde di¼ger R n ler; n 3; için de sözlük topolojisi standart topolojiden daha incedir. Teorem: (X; T ) topolojik uzay ve A X bir alt küme olsun. T A = fu \ A j U 2 T g kümesi A üzerinde bir topolojidir. Tan m: (X; T ) topolojik uzay ve A X olsun. (A; T A ) ikilsine ve ya k saca A ya X in bir alt uzay denir. T A topolojisine T taraf ndan üretilen ve ya T den indirgenmiş alt uzay topolojisi denir. K sacas, X in her alt kümesi bir alt uzay d r. Bu tan mda üzerinde durulmas ve vurgulanmas gereken temel nokta alt uzay n aç k kümelerinin karakterizasyonudur: Alt uzay n bir aç k kümesi ana uzay n bir aç k kümesinin alt uzay ile kesişimidir. Alt uzay n kapal kümeleride aşa¼g daki teoremde söylendi¼gi gibi benzer karakterizasyona sahiptir. Teorem: (X; T ) topolojik uzay ve (A; T A ) altuzay olsun. C A kümesinin A da kapal olmas için gerek ve yeter koşul K X kapal olmak üzere C = A \ K olmas d r. 1. Trivial topolojinin herhangi bir alt kümeye indirgenmesi trivial topolojdir. Benzer bir şekilde ayr k topolojinin herhangi bir alt kümeye indirgenmesi ayr k topolojidir. 2. A = [0; 1] R 1 olsun. (R 1 ; T standart ) topolojisin A üzerine indirgenmesini düşünelim. Bu topolojide en basit aç k kümelere [0; b); 0 < b 1; ve (a; 1]; 0 a < 1; ve (a; b); 0 < a; b < 1; şeklinde olanlard r. Ve [0; 1] üzerindeki indirgenmiş standart topoloji bu tip aral klar n key bileşimleri olarak düşünülebilir. Burada not düşmemiz gereken önemli bir nokta şudur: Alt uzayda aç k olan bir küme ana uzayda aç k olmak zorunda de¼gildir. Örne¼gin bu örnekte A = [0; 1] in kendisi alt uzay topolojisinde aç kt r fakat (R 1 ; T standart ) da elbetteki aç k de¼gildir. Bu örnekte alt uzayda aç k olan fakat ana uzayda aç k olmayan başka bir kümeye örnek olarak [0; 1 2 ) kümesi gösterilebilir. 3. Öklit düzleminin S 1 = (x; y) j x 2 + y 2 = 1 R 2 altkümesi, yani birim çember, üzerindeki standart topolojiden indirgenmiş alt uzay topolojisini düşünelim. Bu topolojinin en basit elemanlar "aç k yaylar" olarak adland raca¼g m z yaylard r. 0 < 360 olmak üzere _ aç k yay n _ = f(cos t; sin t) j < t < g şeklinde tan mlayal m. Birim çember üzerindeki, düzlemin standart topolojisinden indirgenmiş alt uzay topolojisinin elemanlar, key say da aç k yay n bileşimi ile elde edilebilen kümelerdir. 4. m n ise R m R n olarak düşünülebilir. R m in üzerindeki R n in standart topolojisinden indirgenmiş alt uzay topolojisi R m in standart topolojisidir! Bunun ispat n baz kavram n tan mlad ktan sonra düşünece¼giz. Alt uzay n aç k bir kümesinin ana uzayda aç k olmayabilece¼gini söylemiştik. Ayn uyar kapal kümeler içinde yap labilir. Fakat, Teorem: (X; T ) topolojik uzay ve (A; T A ) alt uzay olsun. A da aç k (kapal ) olan herhangi bir kümenin X de aç k (kapal ) olmas için gerek ve yeter koşul A n n aç k (kapal ) olmas d r. Tan m: (X; T ) topolojik uzay olsun. Bu uzay n sahip oldu¼gu bir özellik bu uzay n tüm alt uzaylar nda varsa bu özelli¼ge kal tsal (genetik) özellik denir. Kal tsal özellikle ilgili örnekler daha sonra verilecektir. 5

6 3 Baz ve Alt Baz Bir önceki konuda, örneklerde, bir topolojinin çok daha az say da eleman n key bileşimleri ile inşaa edildi¼gini gördük. Örne¼gin, R n in standart topolojisini tan mlarken aç k küreleri kulland k. Standart topolojiyi tan mlamadan önce tüm aç k kürelerin kümesini ayr bir koleksiyon (aile) olarak düşünebilirdik. Bu koleksiyon standart topolojinin kendisinden çok daha küçük bir küme olurdu. Bu nedenle topolojiyi tan mlamadan önce daha temel bir kavram olan baz tan mlanabilir. Tan m: X bir küme ve B 2 X olsun. B aşa¼g daki özellikleri sa¼gl yorsa B ye X in bir baz d r denir: 1. X = [ U: U2B 2. Her U 1 ; U 2 2 B ve x 2 U 1 \ U 2 için 9U 3 2 B öyleki x 2 U 3 U 1 \ U 2 : Teorem: B 2 X kümesi X in bir baz ise kümesi X in bir topolojisidir. T = fu j U kümesi B nin key say da eleman n bileşimi olarak yaz labilir.g Tan m: B 2 X kümesi X in bir baz ise yukar da ifadesi verilen ve topoloji oldu¼gu ispatlanan T kümesine B baz taraf ndan yarat lan topoloji denir. Bu durumda B ye T topolojisinin bir baz d r denir. K sacas, bir topoloji verilmeden ve ya biliniyor olmadan önce baz verilebilir ve bu baz bir topoloji yarat r. Ters olarakda, bir topoloji verildi¼ginde bu topolojinin bir baz n n bulunmas istenebilir. Elbetteki verilen topolojinin kendisi kendisin baz d r fakat bu pek yararl olmayan bazd r elemanl X = f1; 2; 3g in 4 elemanl topolojisi T = f; f1g ; f2; 3g ; Xg nin bir baz B = ff1g ; f2; 3gg dir ve 2 elemanl d r. Bu kümenin baz tan m ndaki şartlar sa¼glad ¼g kolayca görülebilir. 2. B = fb standart (x; ) j x 2 R n ; 2 R + g koleksiyonunun baz tan m n sa¼glad ¼g n ve R n kümesinin bir baz oldu¼gunu kolayca gösterebiliriz. Ve bu baz daha önceden tan mlad ¼g m z topoloji olan standart topolojiyi yarat r. Bu baz çok daha fazla küçültülebilir! Şu şekilde: n tane rasyonel say cisminin kartezyen çarp m Q n = f(q 1 ; q 2 ; :::; q n ) j q 1 ; q 2 ; ::::; q n 2 Qg yi tan mlarsak Q n R n olur ve B 0 = fb standart (x; ) j x 2 Q n ; 2 Q + g koleksiyonuda baz tan m n n şartlar n sa¼glar, yani R n in bir baz d r. Bu bazda R n in satandart topolojisini yarat r! Bunu daha sonra yazaca¼g m z bir teoremi kullanarak ispatlayaca¼g z. Bu örne¼gi n = 1 için tekrar yazacak olursak (R 1 ; T standart ) topolojik uzay n n, di¼ger bir deyişle, standart topolojili reel say do¼grusunun en kullan şl baz B = f(a; b) j a < b; a; b 2 Qg d r. 3. B = f[a; b) j a; b 2 Rg kümesinin tan m sa¼glad ¼g n ve bir baz oldu¼gunu kolayca gösterebiliriz. Bu baz R 1 in alt limit topolojisi T altlimit yi yarat r. Alt limit topolojisi için daha küçük bir baz B 0 = f[a; b) j a 2 R; b 2 Qg olarak verilebilir. Fakat burada alt limit ucu olan a y rasyonel say olarak almak mümkün de¼gildir. Daha önceden topolojilerin nas l karş laşt r ld ¼g n tan mlam şt k. Peki bu karş laşt rman n bazla ilgisi nedir? Teorem: B 1 ve B 2 s ras ile (X; T 1 ) ve (X; T 2 ) topolojik uzaylar n n bazlar olsunlar. Aşa¼g dakiler denkdir: 1. T 1 T 2 2. Her x 2 X ve her x 2 U 2 2 B 2 için 9U 1 2 B 1 öyle ki x 2 U 1 U 2 : 1. Şimdi bu teoremi kullanarak bir önceki konuda iddia etti¼gimiz R n üzerindeki T standart = T küp = T elmas eşitli¼gini ispat edebiliriz. Gerçektende bir aç k küre ve bu aç k kürenin içinde bir nokta verildi¼ginde bu noktay içeren ve kürenin içinde kalan daha küçük aç k bir elmas ve ya aç k bir küp bulabiliriz. Benzer olarak ayn şeyi aç k küpler için ve aç k elmaslar içinde söyleyebiliriz. Dolay s yla bu topolojiler ikili olarak yukardaki teoremin 2. şart n sa¼glarlar. 1. şart, 2. şarta denk oldu¼gu için, bu üç topoloji birbirini kapsamaktad r, dolay s yla eşittirler. 6

7 2. Şimdi daha önceden sözünü etti¼gimiz Öklit uzay n n baz çok küçültülebilir iddias n ispatl yal m: R n nin B = fb standart (x; ) j x 2 ve B 0 = fb standart (x; ) j x 2 Q n ; 2 Q + g bazlar n n yukar daki teoremin 2. şart n "çift tara olarak" sa¼glad ¼g gösterilebilir. Bu nedenle bu bazlar n yaratt ¼g topolojiler eşittir. Ana uzay n topolojisinin bir baz alt uzay içinde bir baz tan mlar ve bu baz n yaratt ¼g topoloji alt uzay n indirgenmiş topolojisini yarat r. Teorem olarak yazarsak, Teorem: (X; T ) topolojik uzay, B bu topolojinin bir baz ve A X olsun. kümesi alt uzay topolojisi T A n n bir baz d r. B A = fu \ A j U 2 Bg Yukarda tan mlanan B A kümesine B baz n n A alt kümesine indirgenmiş baz denir. Ve teorem, tekrar edecek olursak, do¼gal olarak beklendi¼gi gibi, indirgenmiş baz n indirgenmiş topolojiyi yaratt ¼g n söylemektedir. Örnek: Nas l R 2 de x-eksenini R 1 olarak, ve ya nas l R 3 de xy-düzlemini R 2 olarak düşünüyorsak, m n için R m R n olarak düşünebiliriz. Bu durumda n-boyutlu aç k bir kürenin R m ile kesişimi e¼ger boş küme de¼gilse m-boyutlu aç k bir küredir ve tüm m-boyutlu aç k küreler bu şekilde kesişimle elde edilebilir ve dolay s yla R n nin standart baz n n R m e indirgenmesi R m nin standart baz d r. Ve bu indirgenmiş baz, yukar daki teoreminde söyledi¼gi gibi, R m nin standart topolojisini yarat r. Buda R n nin standart topolojisinin R m e indirgenmesinin R m nin standart topolojisi oldu¼gunu kan tlar. Topolojiyi yaratan daha küçük bir koleksiyon olarak baz tan mlad k. Baz yaratan daha küçük bir koleksiyonda tan mlanabilir. Tan m: (X; T ) topolojik uzay ve S T olsun. E¼ger S nin elemanlar n n sonlu kesişimleri kümesi T nin bir baz n oluşturuyorsa S ye T nin ve yaratt ¼g baz n bir alt baz d r denir. Örnek: Altbaz ve baz kavram n kafada canland rabilmek için düzlemin topolojisini ak lda tutmakta fayda vard r. Öklit düzleminin standart topolojisinin bir baz aç k dikdtörtgenler kümesidir. Bu baza B diktörtgen diyelim. Bir aç k dikdörtgeni elde etmenin kolay bir yolu bir aç k dik şerit ile bir aç k yatay şeriti kesiştirmekdir. Dolay s yla aç k kenarl dik şeritlerin ve aç k kenarl yatay şeritlerin hepsini bir bohçaya koyarsak bu bohçaya Sşerit dersek Sşerit kümesi düzlemin standart topolojisinin bir alt baz olur. Bu şerit örne¼gini tüm Öklit uzaylar na genelleştirebiliriz. Ayr ca şerit kavram, çarp m uzaylar n n anlaş lmas nda temel oluşturmaktad r. 4 Metrik Uzaylar ve Metrik Topoloji Aç k kürelerin bir metrik uzay olan n-boyutlu reel Öklit uzay n n yani R n nin bir baz oldu¼gunu ve standart topolojisini yaratt ¼g n söylemiştik. Şimdi bunu tüm metrik uzaylara genelleştirece¼giz. Ama önce metri¼gin ve metrik uzay n tan m n verelim. Tan m: X bir küme olsun. d : X X! R fonksiyonu aşa¼g daki şartlar sa¼gl yorsa d nin X kümesinin üzerinde bir metrik oldu¼gu söylenir ve (X; d) ikilisine metrik uzay denir: 1. Her x; y 2 V için d(x; y) 0: (Poziti ik özelli¼gi.) 2. d(x; y) = 0, x = y: (S f r olma özelli¼gi.) 3. Her x; y 2 X için d(x; y) = d(y; x): (Yans ma özelli¼gi.) 4. Her x; y; z 2 X için d(x; y) d(x; z) + d(z; y): (Üçgen eşitsizli¼gi.) Tan m: 2 R + olsun. B d (x; ) = fy 2 X j d(x; y) < g kümesine x merkezli yar çapl aç k küre ve ya x in (aç k) - komşulu¼gu denir. Teorem: (X; d) bir metrik uzay olsun. Tüm aç k kürelerin koleksiyonu olan B = fb d (x; ) j x 2 X; 2 R + g kümesi X in bir baz d r. Tan m: Yukardaki teoremdeki baz n yaratt ¼g topolojiye X üzerindeki d metri¼ginin yaratt ¼g metrik topoloji denir. d metri¼gi ve d 0 metri¼gi X üzerinde iki metrik ve ayn topolojiyi yarat yor iseler bu metriklere denk metrikler denir. 7

8 1. R n için tan mlanan küre (di¼ger ad yla standart), v küp ve elmas metriklerini hat rlayal m: i) Uzunluk fonksiyonu ve ya di¼ger u nx ad yla standart metrik: d standart (x; y) = t (y i x i ) 2 ii) Küp metri¼gi: d küp (x; y) = max jy i x i j iii) Elmas metri¼gi: 1in d elmas (x; y) = nx jy i x i j : Bu üç fonksiyonun metrik oldu¼gunu yani tan m n şartlar n sa¼glad ¼g n ispatlamay okuyucuya b rak yoruz. Daha önceden gösterildi¼gi gibi, bu metriklerin yaratt ¼g topolojiler eşittir yani ayn d r ve standart metrik topoloji ve ya standart topoloji olarak adland r l r. K sacas d standart ; d küp ve d elmas denk metriklerdir. 1 x 6= y 2. X boş olmayan bir küme ise d(x; y) = şeklinde tan mlanan fonksiyon X üzerinde bir metrikdir ve ayr k 0 x = y metrik olarak ça¼gr l r. Bu metri¼gin yaratt ¼g topoloji kolayca gösterilebilece¼gi gibi X üzerindeki ayr k topolojidir. 3. (X; d) metrik uzay olsun. d 0 (x; y) = min f1; d(x; y)g şeklinde tan mlanan fonksiyon X üzerinde yeni bir metriktir ve bu metrik ayn topolojiyi yarat r. Di¼ger bir ifadeyle d ve d 0 denk metriklerdir. Şimdi ilerde kullanabilece¼gimiz uzakl k ve s n rl l k ile ilgili bir kaç tan m verelim: Tan m: (X; d) metrik uzay olsun. x 2 X ve A X ise d(x; A) = inf fd(x; y) j y 2 Ag say s na x in A ya uzakl ¼g, ayr ca B X ise d(a; B) = inf fd(y; z) j y 2 A; z 2 Bg say s na A ile B aras ndaki uzakl k denir. (A) = sup fd(y; z) j y; z 2 Ag say s na ise A n n çap ad verilir. E¼ger (A) sonlu bir say ise A kümesine s n rl küme ad verilir. Örnek: Her aç k kürenin s n rl oldu¼gu gösterilebilir: Gerçektende üçgen eşitsizli¼gi kullanarak (B d (x; )) 2 oldu¼gu gösterilebilir ve bu nedenle B d (x; ) s n rl d r. Dolay s yla bir aç k kürenin içinde kalan bir küme s n rl d r. Dolay s yla, Öklit uzaylar için s n rl kümenin alternatif bir tan m da şudur: E¼ger A B (0; ) ise yani A kümesi orijin merkezli bir aç k kürenin içinde kal yor ise A alt kümesi s n rl d r. Tan m: (X; T ) bir topolojik uzay olsun. E¼ger X üzerinde T topolojisini yaratan bir metrik bulunabiliyorsa, (X; T ) topolojik uzay na metrize edilebilir uzay denir. Örnek: 1. Her X kümesi için (X; T ayr{k ) topolojisi metrize edilebilir. Çünkü d(x; y) = ve bu fonksiyon her küme için metrikdir. 1 0 x 6= y x = y metri¼gi ayr k topolojiyi yarat r 2. E¼ger X "en az 2 eleman içeren" bir küme ise (X; T trivial ) topolojisi metrize edilemez. Bunun ispat n okuyucuya b rak yoruz. Tan m: (X 1 ; d); (Y; d 0 ) iki metrik uzay ve f : X! Y fonksiyonu her x 1 ; x 2 2 X için d 0 (f(x 1 ); f(x 2 )) = d(x 1 ; x 2 ) şart n sa¼gl yorsa f fonksiyonuna izometri denir. E¼ger ayr ca f fonksiyonu bire-bir ve örten ise bu durumda X ve Y izometrik uzaylard r denir. 1. R n den R n e tan mlanan öteleme, bir hiper düzleme göre yans ma ve dönme fonksiyonlar izometrilerdir. Hiper düzlemlere göre olan yans malar, bileşke işlemi alt nda, R n den R n e olan tüm izometrileri, di¼ger bir deyişle R n in izometri grubunu yarat r. 1 x 6= y 2. X en az iki elemanl bir küme olsun. Bu küme üzerinde iki metrik tan ml yal m: d 1 (x; y) = 0 x = y ve d 2(x; y) = 2 x 6= y 0 x = y : Birinci metri¼ge göre X kümesini X 1 ile, ikinci metri¼ge göre ayn kümeyi X 2 ile gösterelim. Bu durumda X 1 metrik uzay ile X 2 metrik uzay izometrik de¼gildir, yani aralar nda bir izometri fonksiyonu bulunamaz. Tan m: V bir reel vektör uzay ve kk : V! R aşa¼g daki özellikleri sa¼glayan bir fonksiyon ise (V; kk) ikilisine normlu vektör uzay ve ya k saca normlu uzay denir: 1. Her x 2 V için kxk 0: (Poziti ik özelli¼gi.) 2. kxk = 0, x = 0: (S f r olma özelli¼gi.) 8

9 3. Her 2 R; x 2 V için kxk = jj kxk : (Skaler çarp m özelli¼gi.) 4. Her x; y; z 2 V için d(x; y) d(x; z) + d(z; y): (Üçgen eşitsizli¼gi.) Teorem: (V; kk) bir normlu uzay ise d(x; y) = kx metriktir ve (V; d) metrik uzayd r. yk şeklinde tan mlanan d : V V! R fonksiyonu V üzerinde bir v u nx Örnek: n-boyutlu Öklit uzay R n bir reel vektör uzay d r ve her x = (x 1 ; x 2 ; :::; x n ) 2 X için kxk = t x 2 i şeklinde tan mlanan fonksiyon bir normdur. Bu norma standart norm ve ya Öklit normu denir ve standart norm daha önce defalarca belirtti¼gimiz standart metri¼gi tan mlar ve bu standart metrikde standart topolojiyi tan mlar. K sacas R n in pek çok yap s var d r: Vektör uzay, Normlu uzay, Metrik uzay, Topolojik uzay vb. Önemli bir not ile Metrik uzaylar konusunu, daha sonra metrik uzaylara tekrar tekrar de¼ginmek üzere, kapatal m. (Not: Bir Öklit uzay n n ve ya bir Öklit uzay n n alt uzay n n topolojisi belirtilmedi ise topolojisi standart topoloji olarak kabul edilecektir.) 5 Iç, Y ¼g lma Noktalar, Kapan ş ve S n r Tan m: (X; T ) bir topolojik uzay ve A X, yani A kümesi X in alt kümesi, olsun. A taraf ndan kapsanan en büyük aç k kümeye, ve ya di¼ger bir ifadeyle A taraf ndan kapsanan bütün aç k kümelerin bileşkesine, A n n içi denir ve A ile gösterilir. A y kapsayan en küçük kapal kümeye, ve ya di¼ger bir ifadeyle A y kapsayan bütün kapal kümelerin kesişimine, A n n kapan ş denir ve A ile gösterilir. A kümesinin s n r, yani ile gösterilir = A A şeklinde tan mlan r. (A) 0 = X A aç k kümesine A n n d ş denir. 1. A aç k bir alt kümeyse tan mdan hemen A = A oldu¼gunu söyleyebiliriz. Dual olarak A kapal bir alt kümeyse tan mdan hemen A = A oldu¼gunu söyleyebiliriz. 2. R 1 in standart topolojisinde, (0; 1) = [0; 1) = (0; 1] = [0; 1] oldu¼gu [0; 1) ve (0; 1] kümeleri kapal olmad ¼g için tan mdan otomatik olarak söylenebilir. Ayn şekilde [0; 1) ve (0; 1] kümeleri aç k olmad ¼g için [0; 1] = [0; 1) = (0; 1] = (0; 1) dir. Ve dolay s yla bu kümelerin dördününde s n r ayn d r 1] [0; 1) 1] 1) = f0; 1g olur. 3. R n deki B d (x; ) = fy 2 X j d(x; y) < g aç k küresinin kapan ş B d (x; ) = fy 2 X j d(x; y) g eşitsizli¼gi küçük-eşit yaparak elde edilir ve kapal küredir. Aç k kürenin kabu¼gu, yani s n r, eşitsizlik eşitlik yap larak d (x; ) = fy 2 X j d(x; y) = g. Elbette bu s n r aç k küreye ait de¼gildir fakat kapal küreye tamamen aittir. Teorem: (X; T ) bir topolojik uzay ve A X olsun. Bu durumda i) (A ) 0 = (A 0 ) ii) (A) 0 = (A 0 ) olur. Teorem: (X; T ) bir topolojik uzay ve A; B X olsun. Bu durumda i) X = X ii) A A iii) (A ) = A A B v) (A \ B) = A \ B olur. iv) A B ise Örnek: Yukar daki teoremdeki v. ş k bileşim için do¼gru de¼gildir. Örne¼gin, R 1 in standart topolojisinde A = (0; 1] ve B = (1; 2) alal m. Bu durumda (A [ B) = (0; 2) = (0; 2) dir fakat A [ B = (0; 1) [ (1; 2) dir. Yani bu örnek için (A [ B) 6= A [ B dir. Teorem (Kuratowski Kapan ş Aksiyomlar ): (X; T ) bir topolojik uzay ve A; B X olsun. Bu durumda i) = ii) A A iii) (A) = A iv) A B ise A B v) (A [ B) = A [ B olur. Örnek: Yukar daki teoremdeki v. ş k kesişim için do¼gru de¼gildir. Örne¼gin, R 1 in standart topolojisinde A = (0; 1) ve B = (1; 2) alal m. Bu durumda A \ B = = dir fakat A \ B = [0; 1] \ [1; 2] = f1g dir. Yani bu örnek için A \ B 6= A \ B dir. Teorem (S n r n alternatif tan m = A \ (A 0 ): Kapan ş n alternatif bir tan m da y ¼g lma noktas ve daha da sadesi limit noktas kavram kullan larak verilebilir. Yukar daki teoremler ve topolojideki pek çok teorem limit noktas kavram kullan lrak daha kolay bir şekilde ispatlanabilir. Bu tan mlardan önce komşuluk kavram ile ilgili birkaç notasyon tan mlayal m. Bu notasyonlar ilerki konularda kullan lacakt r. 9

10 Tan m: (X; T ) bir topolojik uzay ve x 2 X olsun. x i içeren bir U 2 T aç k kümesine x in bir (aç k) komşulu¼gu denir. x in tüm aç k komşuluklar n n kümesini T (x) ile gösterece¼giz. Tan m: (X; T ) bir topolojik uzay ve x 2 X olsun. B(x) T (x) şu şart sa¼gl yorsa B(x) e x in lokal bir baz d r denir: Her x 2 U T (x) için 9V 2 B(x) öyle ki x 2 V U: Teorem: (X; T ) bir topolojik uzay olsun. Her x 2 X için B(x) kümesi x in bir lokal baz ise [ x2x B(x) kümesi T nin bir baz d r. Ters olarak e¼ger B kümesi T nin bir baz ise her x 2 X için B(x) = fu 2 B j x 2 Ug kümesi x in lokal bir baz d r. Tan m: (X; T ) bir topolojik uzay ve A X olsun. E¼ger her U 2 T (x) için (U denir. A n n y ¼g lma noktalar kümesini A y ile gösterece¼giz. fxg) \ A 6= ise x e A n n y ¼g lma noktas Tan m: E¼ger x =2 A y fakat x 2 A ise x e A n n izole noktas denir. A n n izole noktalar kümesini A iz ile gösterece¼giz. A ile A y aras nda bir kapsama ilişkisi yoktur. A A y = A iz dir yani A y ve A iz ayr k kümelerdir. Tan m: E¼ger her U 2 T (x) için U \ A 6= ise x e A n n limit noktas denir. Di¼ger bir de¼gişle, x bir y ¼g lma noktas ve ya bir izole nokta ise x e limit noktas denir. Teorem (Kapan ş n alternatif tan m ): (X; T ) bir topolojik uzay ve A X olsun. Bu durumda A = fx j x; A n n bir limit noktas d r.g olur. Di¼ger bir ifadeyle A = A y [ A ve ya ayr k kümeler cinsinden di¼ger bir ifadeyle A = A y [ A iz olur. K sacas, bir kümenin kapan ş o kümenin tüm limit noktalar n n kümesidir ve ya di¼ger bir ifade ile tüm y ¼g lma noktalar ile tüm izole noktalar n n bileşim kümesidir. Kapan ş n alternatif tan m n, yani limit noktalar tan m n kullanarak metrik uzaylarda, bir alt kümenin kapan ş n n aşa¼g daki teoremde verildi¼gi gibi oldu¼gunu gösterebiliriz ve bu metrik uzaylar için kapan ş n tan m olarak kabul edilebilir. Teorem: (X; d) bir metrik uzay ve (X; T ) yaratt ¼g topoloji ve A X olsun. Bu durumda A = fx 2 X j d(x; A) = 0g : Şimdi kapan ş ile ilgili önemli bir tan m daha yapal m. Yo¼gun küme kavram ileriki konularda tekrar karş m za ç kacak. Tan m: (X; T ) bir topolojik uzay ve A X olsun. E¼ger A = X ise A ya (her yerde) yo¼gun küme denir. Örnek: Q n R n kümesi n-boyutlu reel Öklit uzay n n yo¼gun bir alt kümesidir; çünkü, her x 2 R n ve B(x; ); > 0; için B(x; ) \ Q n 6= dir. Alt uzay n herhangi bir alt kümesinin kapan ş n hem alt uzaya hemde ana uzaya göre tan mlayabiliriz. Peki bunlar aras ndaki ilişki nedir? Teorem: B A X şeklinde bir alt uzay zinciri olsun. B nin A daki kapan ş n B A ile, X deki kapan ş n B ile gösterirsek B A = B \ A olur. Örnek: Yukar daki teorem iç için do¼gru de¼gildir. Yani B nin A daki içini BA ile, X deki içini B ile gösterirsek BA ile B \A farkl olabilir. Çok basit bir karş örnek: B = A = Q rasyonel say lar kümesi ve X = R reel say lar kümesi olsun. Standart topolojiyi düşünelim. Bu durumda Q nun kendisine göre içi kendisi olaca¼g ndan Q Q = Q olur. Fakat Q nun R ye göre içi boş kümedir. O halde Q \ R = olur. Ve böylece Q Q 6= Q \ R: 10

11 6 Süreklilik, Aç k ve Kapal Fonksiyonlar, Homeomor zma Önce lokal süreklili¼gi tan ml yal m. Notasyonlar hat rl yal m: T; T (x); B; B(x) ve K notasyonlar s ras yla, topolojiyi, x in komşuluk ailesini, baz, x in lokal baz n ve T nin kapal ailesini göstermektedir. Tan m: (X; T ) ve (Y; T 0 ) iki topolojik uzay, f : X! Y bir fonksiyon, x 0 2 X ve y 0 = f(x 0 ) olsun. E¼ger her V 2 T 0 (y 0 ) için f(u) V şart n sa¼glayan bir U 2 T (x 0 ) varsa, f fonksiyonuna x 0 noktas nda, T T 0 topolojilerine göre, süreklidir denir. Tan m: (X; T ) ve (Y; T 0 ) iki topolojik uzay, f : X! Y bir fonksiyon olsun. E¼ger f fonksiyonu X in her noktas nda sürekli ise bu fonksiyona X üzerinde süreklidir ve ya her yerde süreklidir ve ya sadece süreklidir denir. Şimdi süreklili¼gin alternatif tan mlar n görelim: Teorem: (X; T ) ve (Y; T 0 ) iki topolojik uzay, f : X! Y bir fonksiyon olsun. K ve K 0 s ras ile T ve T 0 nün kapal ailelerini göstersin. Aşa¼g daki cümleler denkdir: 1. f süreklidir. 2. Her V 2 T 0 için f 1 (V ) 2 T: 3. Her B 2 K 0 için f 1 (B) 2 K: 4. Her A X için f(a) f(a). 5. Her C Y için f 1 (C ) (f 1 (C)) 6. E¼ger B 0 kümesi Y uzay n n bir baz ise 8V 2 B 0 için f 1 (V ) 2 T: Yukar daki teoremin 2. ş kk, pek çok kitapda, lokal süreklili¼gin tan m ndan ba¼g ms z olarak, süreklili¼gin tan m olarak verilmektedir. Bu tan m süreklili¼gin en güzel tan m d r. Bizde bunu süreklili¼gin genel tan m olarak hat rlayaca¼g z. Şu şekilde: "E¼ger (hedef uzay ndaki) her aç k kümenin ters görüntüsü (tan m uzay nda) aç k ise fonksiyon süreklidir." Daha da basiti, 6. ş kda söylendi¼gi gibi, hedef uzay n baz elemanlar n n tersinin tan m kümesi uzay nda aç k olmas fonksiyonun sürekli olmas için yeterlidir. Metrik uzaylar aras ndaki fonksiyonlar n "süreklili¼gin " tan m " diye bildi¼gimiz süreklilik tan m ile süreklili¼gin genel tan m denktir. Bu denklik yukrdaki teoremin 6. ş kk ndan kolayca ç kart labilir. Notasyonu hat rl yal m: B d (x; ) notasyonu d metri¼gine göre, x merkezli, yar çapl aç k küreyi göstermektedir. Teorem: (X; d) ve (Y; d 0 ) iki metrik uzay T d ve T d 0 s ras ile d ve d 0 metriklerinin X ve Y üzerinde yaratt ¼g topolojiler olsun. f : X! Y fonksiyonu X den Y ye bir fonksiyon olsun. Aşa¼g daki cümleler denktir: 1. f fonksiyonu T d -T d 0 süreklidir, yani k sacasa söylemek gerekirse, süreklidir. 2. 8" > 0 ve 8x 2 X için 9 > 0 öyle ki f(b d (x; )) B d 0(f(x); "): Tan m: Yukar daki teoremdeki say s x den ba¼g ms z yani sadece " a ba¼gl olarak bulunabiliyorsa f ye düzgün süreklidir denir. Düzgün sürekli olan her fonksiyon süreklidir fakat bunun tersi do¼gru de¼gildir. Düzgün süreklilik süreklilikden daha güçlüdür. Aşa¼g da sürekli fonksiyonlarla ilgili temel örnekler, verilen sürekli fonksiyonlardan yeni sürekli fonksiyon elde etme yollar ve düzgün süreklilikle ilgili örnekler verilmiştir. Yap lmas gereken ispatlar okuyucuya al şt rma olarak b rak yoruz. 1. Yukar daki tan mlarda X kümesi fonksiyonun tan m kümesidir (uzay d r). Yani f fonksiyonu X in her noktas nda tan mlanm şt r. Buna dikkat edilmesi gerekir. Örne¼gin f : R! R; f(x) = 1 x, şeklinde bir yaz m, x 6= 0 oldu¼gu belirtilmezse, do¼gru de¼gildir. Çünkü bu fonksiyon x = 0 noktas nda tan ms zd r. Kalkülüs de bu nednenle bu fonksiyonun bu noktada süreksiz oldu¼gunu söyleriz. Fakat topolojide bu o kadar önemli bir husus de¼gildir. Çünkü X = R f0g bu fonksiyonun tan m kümesidir ve asl nda fonksiyon f : X! R; f(x) = 1 x şeklinde verilmelidir. Bu fonksiyon X üzerinde süreklidir, k saca söylemek gerekirse, süreklidir. 11

12 2. (X; T ) ve (Y; T 0 ) iki topolojik uzay ve c 2 Y olsun. Her x 2 X için f(x) = c şeklinde tan mlanan bir f : X! Y fonksiyonuna sabit fonksiyon denir. Sabit fonksiyonlar süreklidir. Çünkü her V 2 T 0 için ya c 2 V dir ki bu durumda f 1 (V ) = X 2 T olur ve ya c =2 V dir ki bu durumda f 1 (V ) = 2 T olur. Her iki durumda süreklilik şart sa¼gland ¼g için sabit bir fonksiyon süreklidir. 3. (X; T ) ve (Y; T 0 ) iki topolojik uzay, f : X! Y bir fonksiyon olsun. E¼ger T, yani X in topolojisi, yani tan m kümesinin topolojisi ayr k topoloji ise f hangi fonksiyon olursa olsun süreklidir. 4. (X; T ) ve (Y; T 0 ) iki topolojik uzay, f : X! Y bir fonksiyon olsun. E¼ger T 0, yani Y nin topolojisi, yani hedef kümesinin topolojisi trivial topoloji ise f hangi fonksiyon olursa olsun süreklidir. 1 x 0 5. u = 0 x < 0 şeklinde tan mlanan ad m fonksiyonu u : R1! R 1 standart topoloji-standart topoloji ikilisine göre süreksizdir. Örne¼gin V = ( 1 2 ; 3 2 ) kümesi standart topolojide aç kt r fakat f 1 (V ) = f 1 (1) = [0; 1) standart topolojide aç k de¼gildir ve bu nedenle ad m fonksiyonu süreklili¼gin tan m n sa¼glamaz. Bu fonksiyonun süreksiz oldu¼gu tek nokta x = 0 noktas d r. Ve fonksiyonun bir noktada süreksiz olmas, (global olarak) süreksiz olmas için yeterlidir. 6. (X; T ) bir topolojik uzay ve A X alt uzay ve T A bu alt uzay n indirgenmiş topolojisi olsun. i : A! X fonksiyonunu i(a) = a şeklinde tan ml yal m. Bu fonksiyona (A n n X e) gömme fonksiyonu denir. Bu fonksiyon yani i süreklidir. Bunun ispat tamamen alt uzay n tan m ndan gelir. E¼ger V 2 T ise i nin tan m ndan dolay i 1 (V ) = V \ A olaca¼g ndan i 1 (V ) 2 T A olur ve bu nedenle i süreklidir. 7. (X; T ) ve (Y; T 0 ) iki topolojik uzay, f : X! Y sürekli bir fonksiyon, yani T T 0 ikilisine göre sürekli bir fonksiyon, olsun. E¼ger T T 0 topolojileri yerine X üzerine T den daha ince bir topoloji T ve Y üzerine T 0 den daha kaba bir topoloji T 0 konursa f fonksiyonu T T 0 ikilisine görede süreklidir. 8. (X; T ) ve (Y; T 0 ) iki topolojik uzay, f : X! Y sürekli bir fonksiyon ve A X olsun. A üzerindeki k s tlanm ş fonksiyon f ja : A! Y bariz bir şekilde tan mlan r: f ja (a) = f(a): Bu fonksiyon A n n alt uzay topolojisi ve T 0 topolojisi ikilisine göre süreklidir. 9. (Yap şt rma Lemas ) X = A [ B bir topolojik uzay olsun ve A; B X in aç k alt kümeleri (alt uzaylar ) olsun. f : A! Y ve g : B! Y sürekli fonksiyonlar olsun. Ve her x 2 A \ B için f(x) = g(x) olsun. Bu durumda e¼ger h : X! Y fonksiyonunu, h(x) = f(x); e¼ger x 2 A; h(x) = g(x); e¼ger x 2 B; şeklinde tan mlarsak h fonksiyonu sürekli olur. Bu Lema da her iki kümeyi aç k almak yerine her ikisinide kapal al rsak Lema yine do¼grudur. 10. Iki sürekli fonksiyonun bileşkesi yeni bir sürekli fonksiyondur. f : X! Y sürekli ve g : Y! Z sürekli ise g f : X! Z süreklidir. 11. Düzgün ve düzgün olmayan süreklili¼ge örnek verelim. f : R 1! R 1 ; f(x) = ax + b; düzgün süreklidir. Fakat g : R 1! R 1 ; g(x) = ax 2 +bx+c; a 6= 0; düzgün sürekli de¼gildir. Ikinci fonksiyonun düzgün sürekli olmamas n n nedeni, tan m kümesinin s n rs z olmas ndan ve dolay s yla n n x e ba¼gl olarak bulunmas ndan kaynaklan r. Fakat, örne¼gin, bu fonksiyonu kapal bir aral ¼ga s n rl etmiş olsayd k, y x den ba¼g ms z olarak sadece " a ba¼gl olarak ifade edebilirdik ve g(x) de bu kapal aral k üzerinde düzgün sürekli olurdu. n n seçimindeki ayr nt lar okuyucuya al şt rma olarak b rak yoruz. 12. (X; d) metrik uzay ve x 0 2 X seçilmiş (sabit) bir nokta olsun. d(x; x 0 ) : X! R fonksiyonu düzgün süreklidir. Tan m:(x; T ) ve (Y; T 0 ) iki topolojik uzay ve f : X! Y bir fonksiyon olsun. K ve K 0 s ras ile T ve T 0 nün kapal ailelerini göstersin. Her U 2 T için f(u) 2 T 0 ise f ye aç k fonksiyon, her C 2 K için f(c) 2 K 0 ise f ye kapal fonksiyon denir. Teorem: (X; T ) ve (Y; T 0 ) iki topolojik uzay ve f : X! Y bir fonksiyon olsun. Şu ifadeler denktir: a) fonksiyondur. b) Her A X için f(a ) f(a) : f : X! Y aç k Yukar daki teoremin benzeri kapal fonksiyonlar içinde yaz labilir. Bunu okuyucuya b rak yoruz. 1. (X; T ) üzerinde trivial topoloji olan bir topolojik uzay ve ya (Y; T 0 ) üzerinde ayr k topoloji olan bir uzay ise, her f : X! Y bir fonksiyonu hem aç k fonksiyon hem kapal fonksiyondur. 2. p 1 (x; y) = x; şeklinde tan mlanan p 1 : R 2! R 1 projeksiyon fonksiyonu aç k fonksiyondur fakat kapal fonksiyon de¼gildir. Bunu ispatlamak için y = 1 x fonksiyonunun R2 deki gra ¼gi y düşünmek yeterlidir. kolayca ispatlanaca¼g gibi R 2 de kapal d r. Fakat, p 1 ( ) = ( 1; 0) [ (0; 1) kümesi R 1 de kapal de¼gildir. Ve genel olarak R n den R m e olan bir projeksiyon aç k fonksiyondur fakat kapal fonksiyon de¼gildir. 12

13 3. Sürekli bir fonksiyon aç k fonksiyon ve ya kapal fonksiyon olmak zorunda de¼gildir. Örne¼gin, f : R 1! R 1 ; f(x) = x 2 fonksiyonu süreklidir fakat aç k de¼gildir. Örne¼gin, f(( 1; 1)) = [0; 1) ve bu fonksiyon aç k de¼gildir. Bu örnekte kullan lan fonksiyon 1 1 ve örten de¼gildir. 1-1, örten ve sürekli olan fakat aç k olmayan bir fonksiyona örnek olarak şu verilebilir: f : (R 1 ; T standart )! (R 1 ; T trivial ) fonksiyonunu birim fonksiyon yani f(x) = x şeklinde tan mlans n. Bu fonksiyon tan m gere¼gi 1-1 ve örtendir, yani bijektifdir. Sürekli oldu¼gu hemen kontrol edilebilir. Fakat aç k de¼gildir. Örne¼gin, U = (0; 1) 2 T standart oldu¼gu halde f(u) = (0; 1) =2 T trivial : Fakat, f : (R 1 ; T standart )! (R 1 ; T standart ) şeklindeki bijektif sürekli bir fonksiyon aç kt r. Bunun ispat n daha sonra, ba¼glant l l k kavram n kullanarak yapaca¼g z. 4. Başka bir bijektif ve sürekli olan fakat aç k olmayan fonksiyon örne¼gi gösterelim. Önce birim çemberi karmaş k say lar içinde jzj = 1 olarak düşünelim. f : [0; 1)! S 1 ; f(x) = exp 2i; fonksiyonu bijektifdir ve süreklidir, fakat aç k de¼gildir. Üstelik bu örnekte kullan lan her iki uzay n topolojisi standart topolojiden indirgenmiştir, yani standart topolojidir. 5. Aç k olan fakat sürekli olmayan bir fonksiyon örne¼gi de gösterebiliriz. Kolay bir karş örnek şu: f : (R 1 ; T trivial )! (R 1 ; T standart ) fonksiyonunu birim fonksiyon olsun. f in aç k bir fonksiyon oldu¼gu kolayca kontrol edilebilir. Fakat, f sürekli de¼gildir. Örne¼gin, (0; 1) 2 T standart, fakat f 1 ((0; 1)) = (0; 1) =2 T trivial. Fakat, f : (R 1 ; T standart )! (R 1 ; T standart ) şeklindeki bijektif aç k bir fonksiyon süreklidir. Ters fonksiyon f 1 i düşünerek ve 3. örnekte söylenen son şeyi kullanarak bu ispatlanabilir. Topolojide karş örnekler bulmak için genelde "tuhaf" topolojileri ve ya farkl topolojileri düşünmemiz gerekebilir. Gerçektende, 3. ve 5. örnekte görüldü¼gü gibi, standart topoloji, topolojideki pek çok problem için karş örnekler üretmiyor. Bunu ak lda tutmakda yarar var. Tan m: (X; T ) ve (Y; T 0 ) iki topolojik uzay ve f : X! Y bir fonksiyon olsun. f bijektif, sürekli ve tersi sürekli bir fonksiyon ise f e homeomor zma; X ve Y ye homeomor k uzaylar, ve ya topolojik olarak eşit uzaylar, denir ve X = Y şeklinde gösterilir. Teorem: (X; T ) ve (Y; T 0 ) iki topolojik uzay ve f : X! Y bijektif bir fonksiyon olsun. Şu ifadeler denktir: a) f homeomor zmad r b) f aç k ve süreklidir c) f kapal ve süreklidir d) Her A X için f(a) = f(a) d r. 1. R 1 herhangi bir (a; b) s n rl aç k aral ¼g alt uzay na homeomor kdir, k saca ifade etmek gerekirse: R 1 = (a; b): Ispat: f : R 1 (b a)! (a; b); f(x) = arctan x + a+b 2 istenen homeomor zmad r. 2. (0; 1) aç k aral ¼g (0; 1) [ (1; 2) aç k kümesine homeomor k de¼gildir. Bunun ispat n "ba¼glant l l k" kavram n kullanarak ilerki bir konuda yapaca¼g z. Fakat, okuyucu üzerinde biraz düşünürse, şu andada bu sav kan tlayabilir. 3. R 2 deki birim çember, max(jxj ; jyj) = 1 karesine homeomor kdir. Genel olarak söylemek gerekirse, düzlemde bir çember ile bir kare homeomor kdir. Bu heomeomor zma fonksiyonunu aç k olarak yazmak o kadar kolay de¼gildir. Ama bu homeomor zmay hayal etmek o kadar zor de¼gildir. Benzer şekilde, genel olarak, R n de kapal, sürekli ve kendini kesmeyen her e¼grinin çembere homeomor k oldu¼gu hayal edilebilir. 4. Düzlemde, ve ya R n de (n 3), sekiz şeklindeki, yani yat k olarak hayal edilirse, sonsuz şeklindeki bir e¼gri çembere homeomor k de¼gildir. Bunun ispat topolojik uzaylara ait bir topolojik de¼gişmez olan "temel grup" kavram kullan larak yap labilir. Bu kavram cebirsel topolojinin ilk ve önemli kavramlar ndan biridir. 5. n-boyutlu birim küreyi S n = fx 2 R n j kxk = 1g şeklinde tan mlarsak S n ve R m nin hiç bir m; n 2 N ikilisi için homeomor k olmad ¼g ilerki bir konuda tan mlayaca¼g m z kompaktl k kavram kullan larak kolyaca gösterilebilir boyutlu birim küre S 2 üzerinden bir nokta ç kar rsak kalan alt uzay düzleme, yani R 2 ye, homeomor ktir. Bu homeomor zmay formülize etmek mümkündür. Okuyucu için anahtar kelime: Stereogra k projeksiyon. 7. n 6= m, R n R m : n = 1 için bir çözüm her iki uzaydan bir nokta ç kar larak ve ba¼glant l l k kavram kullan larak yap labilir. n; m 2 için, bu problemi genel topolojide çözmek zordur. Cebirsel topoloji teknikleri ile çözülebilir. 8. n 6= m, S n S m ise yukardaki örne¼gin, yani 7. örne¼gin, direkt sonucudur. Bunu göstermeyi okuyucuya b rak yoruz. Homeomor zma = ba¼g nt s bir denklik ba¼g nt s d r ve topolojik uzaylar ve sürekli fonksiyonlar kategorisini homeomor- zma denklik s n ar na ay r r. Topolojinin en önemli problemlerinden biri iki uzay n ayn homeomor zma denklik s n f nda olup olmad ¼g n anlamak için topolojik özellikler ve ya topolojik de¼gişmezler bulmakt r. Say labilme ve ayr lama aksiyomlar, kompaktl k, ba¼glant l l k ve yol ba¼glant l l ¼g genel topolojideki en önemli topolojik özelliklerdendir. Fakat bu özellikler, homeomor zma problemlerini çözmeye yetmez. Bu nedenle topolojinin bir kolu olan cebirsel topoloji do¼gmuştur. 13

14 7 Fonksiyonlarla Üretilen Topolojiler, Bölüm Uzaylar ve Çarp m Uzaylar Topolojileri olmayan uzaylara fonksiyonlar kullanarak topoloji koyabiliriz. Tan m: a) X bir küme, f(y i ; T 0 i )g bir topolojik uzay ailesi ve ff i : X! (Y i ; T 0 i )g bir fonksiyon ailesi olsun. ff ig ailesinin tüm elemanlar n sürekli yapan X üzerindeki en kaba topolojiye, ff i g fonksiyonlar na göre X in başlang ç topolojisi denir. b) Y bir küme, f(x i ; T i )g bir topolojik uzay ailesi ve fg i : (X i ; T i )! Y g bir fonksiyon ailesi olsun. fg i g ailesinin tüm elemanlar n sürekli yapan Y üzerindeki en ince topolojiye, fg i g fonksiyonlar na göre Y nin bitiş topolojisi denir. Örnek: 1. X = R 1 kümesi reel say kümesi olsun. Standart topolojisini unutun. Y = fa; b; cg ve üzerindeki topoloji T 0 = f; fag ; fb; cg ; Y g olsun. f : X! Y; 8 < a; x < 0 f(x) = b; x = 0 : c; x > 0 olsun. Bu durumda bu fonksiyonu sürekli yapan X in en kaba topolojisi T başlang ç = ; ( 1; 0); [0; 1); R 1 olur ve bu topoloji reel say do¼grusunun yukar daki fonksiyona göre başlang ç topolojisidir. 2. (X; T ) topolojik uzay ve A X alt kümesi olsun. A n n üzerine topoloji konulmad ¼g n ve topoloji koymak istedi¼gimizi farz edelim. i : A! X fonksiyonunu i(a) = a; 8a 2 A; şeklinde tan mlayal m. Buna içine ve ya gömme fonksiyonu diyoruz. Kolayca görülece¼gi gibi, bu fonksiyona göre A n n üzerine konulan başlang ç topolojisi A n n alt uzay topolojisidir. 3. Y kümesi 1. örnekte oldu¼gu gibi olsun ve üzerinde topoloji olmas n; yukar daki topolojisini unutun. f : R 1! Y fonksiyonu 1. örnekte oldu¼gu gibi tan mlans n. f fonksiyonunu sürekli yapan Y üzerindeki en ince topoloji T bitiş = f; fag ; fcg ; fa; cg ; Y g dir. 4. f : R 1! S 1 ; f(x) = exp 2i; şeklinde tan mlans n. S 1 in üzerinde topoloji olmas n. Bu durumda bu fonksiyona göre S 1 in bitiş topolojisi (R 2 den indirgenmiş) standart topolojisidir. Bu iddiay kan tlamak için baz elemanlar n n görüntülerini ve ters görüntülerini düşünmek yeterlidir. Aç k aral klar n görüntüleri aç k yaylar ve aç k yaylar n ters görüntüleri aç k aral klar n bileşimi şeklinde olaca¼g için buradaki bitiş topolojisi S 1 in standart topolojisine eşit olmal d r. Fonksiyonlarla üretilen topolojilerin en önemlileri bölüm topolojisi ve çarp m topolojisi olarak adland raca¼g m z topolojilerdir. Bu kavramlara ayr ayr de¼ginelim. Önce bölüm uzaylar ndan bahsedelim. Bir uzay n bölünmesi denildi¼ginde genelde bu uzay n üzerinde bir denklik ilişkisi oldu¼gu ve ya uzay n bir ayr k parçalanmas n n yap ld ¼g düşünülür. Bununla birlikte, bölüm uzay daha genel bir şekilde tan mlan r. Tan m: (X; T ) ve (Y; T 0 ) iki topolojik uzay ve p : X! Y örten fonksiyon olsun. p şu şart sa¼gl yorsa p ye bölüm fonksiyonu denir: p 1 (V ) 2 T () V 2 T 0 : Ve bu durumda Y uzay na X in bir bölüm uzay denir. Yukar daki tan mdaki şart süreklilik şart ndan daha güçlüdür. Bu sebeble bölüm fonksiyonu şart na "güçlü süreklilik" denir. Aşa¼g daki teorem her bölüm uzay n n asl nda bir bitiş topolojisi oldu¼gunu söylüyor. Yani aşa¼g daki teorem bölüm uzay n n tan m olarakda al nabilir. Teorem: (X; T ) bir topolojik uzay, Y bir küme ve f : X! Y örten bir fonksiyon olsun. Y kümesinin üzerinde, f yi bölüm fonksiyonu yapan, di¼ger bir ifadeyle Y yi bölüm uzay yapan tek bir topoloji vard r ve bu topoloji f ye göre Y nin bitiş topolojisidir. Di¼ger bir ifadeyle, bir topolojik uzaydan topolojisi olmayan bir kümeye örten bir fonksiyon verildi¼ginde, hedef kümesi üzerine bitiş topolojisi konuldu¼gunda, bu fonksiyon bölüm fonksiyonu olur. Bir fonksiyonun bir bölüm fonksiyonu oldu¼gunu anlamak bazen kolayd r. Örne¼gin, Teorem: X; Y topolojik uzaylar ve f : X! Y örten bir fonksiyon olsun. E¼ger f hem sürekli hemde aç k ise f bölüm fonksiyonudur. Fakat, bir bölüm fonksiyonun aç k olmas zorunlu de¼gildir. Örten fonksiyonlar için, ayn anda aç k ve sürekli olma bölüm fonksiyonu olmakdan daha kuvvetlidir. Benzer bir teorem kapal ve sürekli örten fonksiyonlar içinde yaz labilir. 14

2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k Ba¼glant l Topolojik Uzaylar. Tan m (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k

2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k Ba¼glant l Topolojik Uzaylar. Tan m (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k 2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k 2.1. Ba¼glant l Topolojik Uzaylar Tan m 2.1.1. (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k iki aç ktan oluşan bir örtüsü yok ise, (X; ) topolojik

Detaylı

1.3. Normal Uzaylar. Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak. baz temel özellikleri incelenecektir.

1.3. Normal Uzaylar. Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak. baz temel özellikleri incelenecektir. 1.3. Normal Uzaylar Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak baz temel özellikleri incelenecektir. Tan m 1.3.1. (X; ) bir Hausdor uzay olsun. E¼ger, 8F; K 2 F; F \ K = ;

Detaylı

FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ I Aras nav Sorular

FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ I Aras nav Sorular Ad ve Soyad : Numaras : FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ I Aras nav Sorular 30.11.2007 1. Aşa¼g daki ifadelerin do¼gru olup olmad klar n nedenlerini aç klayarak yaz n z. (a) (X; kk) bir normlu uzay ve M bunun

Detaylı

A; e A; A kümelerini tan mlay n z. (x) = fb 2 B : x 2 Bg

A; e A; A kümelerini tan mlay n z. (x) = fb 2 B : x 2 Bg Genel Topolojiye Giriş I Ara S nav Sorular 30 Kas m 2010 1 (X; T ) bir topolojik uzay ve A X olsun. 2 (a) Ikinci say labilir topolojik uzay ne demektir? Tan mlay n z. A; e A; A ve @A kümelerini tan mlay

Detaylı

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0

Detaylı

Topolojik Uzay. Kapak Konusu: Topoloji

Topolojik Uzay. Kapak Konusu: Topoloji Kapak Konusu: Topoloji Topolojik Uzay Geçen yaz da nin, ad na aç k dedi imiz baz altkümelerini tan mlad k ve bir fonksiyonun süreklili ini tamamen aç k kümeler yard m yla (hiç ve kullanmadan) ifade ettik.

Detaylı

Önsav 1. Her fley yukardaki gibi olsun. {ƒ 1 (V) g 1 (W) : V X, W Y, V ve W aç k}

Önsav 1. Her fley yukardaki gibi olsun. {ƒ 1 (V) g 1 (W) : V X, W Y, V ve W aç k} Kapak Konusu: Topoloji Çarp m Topolojisi Bu yaz da topolojik uzaylar n kartezyen çarp m n do al bir topolojik uzay yap s yla donataca z. E er ve topolojik uzaylarsa, üzerine en do al topolojik yap, herhalde,

Detaylı

Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi

Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi 25. Hausdorff Zincir Teoremi ve Zorn Önsav n n Kan t Tolga Karayayla Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi ve yis ralama Teoremi varsay larak Seçim Aksiyomu kan tland. Bu bölümde önce

Detaylı

MATEMAT IK-I (SORULAR)

MATEMAT IK-I (SORULAR) Part I MATEMAT IK-I (SORULAR) SAYILAR. irrasyonel midir?. 7 say s n n irrasyonel oldu¼gunu gösteriniz. (Gauss Teoremini kullan n z.) 3. + 3 say s n n irrasyonel oldu¼gunu gösteriniz. (Gauss Teoremini kullan

Detaylı

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve düzlem Geçen ders doğrusal cebir aracılığıyla izdüşümsel geometri için bir model kurduk. Şimdi bu modeli daha somut bir şekle sokalım, F = R durumunda kurduğumuz

Detaylı

1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi

1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi 1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi Euclidean R uzayının tabanının B = {(a, b) : a, b R} olduğunu biliyoruz. Demek ki bu uzayda belirleyiçi unsur açık aralıklar. Her açık aralık (a, b) için, olmak üzere, d

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ GENELLEŞTİRİLMİŞ TOPOLOJİLERDE BAZI YENİ SONUÇLAR. Sevda SAĞIROĞLU PEKER

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ GENELLEŞTİRİLMİŞ TOPOLOJİLERDE BAZI YENİ SONUÇLAR. Sevda SAĞIROĞLU PEKER ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ GENELLEŞTİRİLMİŞ TOPOLOJİLERDE BAZI YENİ SONUÇLAR Sevda SAĞIROĞLU PEKER MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2009 Her hakkı saklıdır ÖZET Doktora Tezi

Detaylı

ANAL IZ III Aras nav Sorular

ANAL IZ III Aras nav Sorular Ad ve Soyad : Numaras : ANAL IZ III Aras nav Sorular 26.11.27 1. x 1 = p 3 ve x n+1 = p 3 + x n ; n = 1; 2; ::: biçiminde tan mlanan (x n ) dizisinin yak nsak oldu¼gunu gösteriniz ve limitini bulunuz.(2)

Detaylı

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 1 / 21 1 Polinom Interpolasyonu Newton Formu

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri. Yrd. Doç. Dr. Erhan Pişkin

Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri. Yrd. Doç. Dr. Erhan Pişkin Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri Yrd. Doç. Dr. Erhan Pişkin 1 Yrd. Doç. Dr. Erhan PİŞKİN ÇÖZÜMLÜ YÜKSEK MATEMATİK PROBLEMLERİ 1 ISBN 978-605-318-249-8 Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarına aittir.

Detaylı

Bir H Hilbert uzay üzerinde herhangi bir kompakt simetrik T operatörü için,

Bir H Hilbert uzay üzerinde herhangi bir kompakt simetrik T operatörü için, Ritz Yöntemi Kullan larak Integral Operatörlerin Özde¼gerlerinin Yaklaş k Hesab Yüksel SOYKAN, Erkan TAŞDEM IR, Melih GÖCEN Zonguldak Karaelmas Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, 6700

Detaylı

TOPOLOJ TEST B. (d) Dizinin limiti yoktur; y lma noktas yoktur. 4. Dizisel süreklilik hangi uzaylarda süreklili e denktir?

TOPOLOJ TEST B. (d) Dizinin limiti yoktur; y lma noktas yoktur. 4. Dizisel süreklilik hangi uzaylarda süreklili e denktir? 1 TOPOLOJ TEST B 1. {( 1) n 1 n : n > 0} dizisi için a³a dakilerden hangisi do rudur? (a) Dizinin limiti 1 ve +1 dir; y lma noktas 1 ve +1 dir. (b) Dizinin limiti 1 ve +1 dir; y lma noktas yoktur. (c)

Detaylı

GENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUK SİSTEMİ ÜZERİNE

GENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUK SİSTEMİ ÜZERİNE ÖZEL EGE LİSESİ GENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUK SİSTEMİ ÜZERİNE HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Berk KORKUT DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem GÜNEL İZMİR 2013 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI 3.33 2. GİRİŞ... 3 3. YÖNTEM 3 4.

Detaylı

Yan t Bilinmeyen Bir Soru

Yan t Bilinmeyen Bir Soru Yan t Bilinmeyen Bir Soru Ö nce yan t n dünyada kimsenin bilmedi i bir soru soraca- m, sonra yan t n dünyada kimsenin bilmedi i bu soru üzerine birkaç kolay soru yan tlayaca m. Herhangi bir pozitif do

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

TOPOLOGY TEST A³a dakilerden hangisi bir süzgeç de ildir? 3. A³a dakilerden hangisi a³kn bir süzgeç de ildir?

TOPOLOGY TEST A³a dakilerden hangisi bir süzgeç de ildir? 3. A³a dakilerden hangisi a³kn bir süzgeç de ildir? 1 TOPOLOGY TEST 02 1. S ailesi X kümesi üzerinde bir süzgeç ise, a³a dakilerden hangisi sa lanmaz? (a) / S (b) * S (c) X S (d) A, B S A B S (e) (V S ) (V W ) W S 2. A³a dakilerden hangisi bir süzgeç de

Detaylı

Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr

Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr apak onusu: oncelet Teoremleri oni. Uzayda birbirini 0 < < 90 derecede kesen iki de iflik a ve do rusu alal m. Do rulardan birini di erinin etraf nda, diyelim a y nin etraf nda oluflturduklar aç s n bozmadan

Detaylı

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir

Detaylı

TOPOLOJ TEST A. 1. A³a dakilerden hangisi topoloji tanmlama yöntemi de ildir?

TOPOLOJ TEST A. 1. A³a dakilerden hangisi topoloji tanmlama yöntemi de ildir? 1 TOPOLOJ TEST A 1. A³a dakilerden hangisi topoloji tanmlama yöntemi de ildir? (a) Açk kümeleri belirleme (b) Kapal kümeleri belirleme (c) Alt-kümeleri belirleme (d) Kaplamlar belirleme (e) çlemleri belirleme

Detaylı

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. SAYISAL TÜREV ve INTEGRAL. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. SAYISAL TÜREV ve INTEGRAL. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP SAYISAL TÜREV ve INTEGRAL Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 5 7! SAYISAL TÜREV ve INTEGRAL 1 / 23 1 Say sal Türev ve Richardson

Detaylı

f( F) f(f) K = K F f 1 f( F) f 1 (K) = F F f 1 (S ) = [f 1 (S)] f(x) S V

f( F) f(f) K = K F f 1 f( F) f 1 (K) = F F f 1 (S ) = [f 1 (S)] f(x) S V Bölüm 6 SÜREKL FONKS YONLAR 6.1 YEREL SÜREKL L K Tanm 6.1.1. (X, T ) ve (Y, S) topolojik uzaylar ile f : X Y fonksiyonu verilsin. E er f(x 0 ) ö esinin her V kom³ulu una kar³lk f(u) V olacak ³ekilde x

Detaylı

Ders 9: Bézout teoremi

Ders 9: Bézout teoremi Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak

Detaylı

Xherhangi bir küme olsun. Mesela X olabilir (ama olmayabilir

Xherhangi bir küme olsun. Mesela X olabilir (ama olmayabilir 53. Fonksiyon Dizilerinin Noktasal Yak nsamas Xherhangi bir küme olsun. Mesela Xolabilir (ama olmayabilir de). Her n do al say s için bir ƒ n : X fonksiyonu verilmifl olsun. O zaman her xxiçin ayr bir

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

f 1 (H ) T f 1 (H ) = T

f 1 (H ) T f 1 (H ) = T Bölüm 15 TIKIZLIK 15.1 TIKIZ UZAYLAR 15.1.1 Problemler 1. Her sonlu topolojik uzay tkzdr. 2. Ayrk bir topolojik uzayn tkz olmas için gerekli ve yeterli ko³ul sonlu olmasdr. 3. Ayn bir küme üzerinde S T

Detaylı

(z z 0 ) n. n=1. Z f (z) dz = 2ib 1

(z z 0 ) n. n=1. Z f (z) dz = 2ib 1 0 RE IDÜ TEOR IS I Tan m. f fonksiyonu z 0 noktas nda ayr k singülerli¼ge sahip olsun. Bu durumda f fonksiyonu 0 < jz z 0 j < " bölgesinde X X f(z) = a n (z z 0 ) n b n + (z z 0 ) n Laurent seri aç l m

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI Reel sayılar kümesinin "küçük ya da eşit", bağıntısı ile sıralanmış olduğunu biliyoruz. Bu bağıntı herhangi bir X kümesine aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. Bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma,

Detaylı

BÖLÜM 1. Matematiksel ndüksiyon Prensibi

BÖLÜM 1. Matematiksel ndüksiyon Prensibi BÖLÜM 1 Matematiksel ndüksiyon Prensibi Matematiksel indüksiyon prensibini kullanarak a³a daki e³it(siz)liklerin her n N için gerçeklendi ini ispatlaynz. 1. 1 2 + 2 2 + 3 2 + + n 2 = n(n+1)(2n+1) 6 2.

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28)

TEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28) TEMEL KAVRAMLAR 6. a ve b birer do al say r. a b = 19 oldu una göre, a + b toplam (YANIT: 8) 1. ( 4) ( 1) 6 1 i leminin sonucu (YANIT: ). ( 6) ( 3) ( 4) ( 17) ( 5) :( 11) leminin sonucu (YANIT: 38) 7.

Detaylı

Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z

Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z Yoksulun fians Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z sonuca geçelim: Teorem. Yoksulun zengine karfl flans yoktur. Bu çok bilinen teorem i kan tlayabilmek için her fleyden önce önermeyi

Detaylı

14.Konu Reel sayılarının topolojisi. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir.

14.Konu Reel sayılarının topolojisi. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir. 14.Konu Reel sayılarının topolojisi 1.Teorem: cismi tamdır. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir. 2.Tanım: ve verilsin. nın her komşuluğunda

Detaylı

Bu bölümde eski iyis ralamalardan yenilerini elde etmeyi ö renece iz.

Bu bölümde eski iyis ralamalardan yenilerini elde etmeyi ö renece iz. 5. Eski yis ralamalardan eni yis ralamalar Türetmek Bu bölümde eski iyis ralamalardan yenilerini elde etmeyi ö renece iz. Basitten zora do ru gidece iz. 5.1. yis ralaman n Sonuna Bir Eleman Eklemek. Bu

Detaylı

Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir

Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir Çizgeler Kuram Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir Kayhan Zemin E er bir çizgenin özdefllik, yani Id fonksiyonundan baflka otomorfizmas yoksa, bu çizgeye denir. flte en küçük asimetrik çizge: Asimetrik

Detaylı

0 = ρ(x,x) ρ(x,y)+ρ(y,x) = 2ρ(x,y) 0, x = y δ(x,y) = κ(z 1,z 2 ) = z 1 z 2, (z 1,z 2 C) (17.27)

0 = ρ(x,x) ρ(x,y)+ρ(y,x) = 2ρ(x,y) 0, x = y δ(x,y) = κ(z 1,z 2 ) = z 1 z 2, (z 1,z 2 C) (17.27) 230 BÖLÜM 17. METR K UZAYLAR 17.2 METR K METR K UZAY KAVRAMI Normlanm³ bir uzay, her³eyden önce bir vektör uzaydr, yani (X, ) normlanm³ bir uzay ise, X kümesi üzerinde bir vektör uzay yaps vardr. Oysa,

Detaylı

Soru Toplam Puanlama Alnan Puan

Soru Toplam Puanlama Alnan Puan 26.11.2013 No: Ad-Soyad: mza: Soru 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Toplam Puanlama 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 105 Alnan Puan 405024142006.1 CEB RSEL TOPOLOJ ARASINAVI CEVAP ANAHTARI SORULARI (ÖRGÜN Ö

Detaylı

Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s

Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s 331 13. Gerçel Say lar Kümesi Nihayet gerçel say lar tan mlayaca z. Bir sonraki bölümde gerçel say lar üzerine dört ifllemi ve s ralamay tan mlay p bunlar n özelliklerini

Detaylı

Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir:

Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir: Yak nsamak B u yaz da, ilerde s k s k kullanaca m z bir olguyu tan mlayaca z ve matemati in en önemli kavramlar ndan birine (limit kavram na) de inece iz. Asl nda okur anlataca m kavram sezgisel olarak

Detaylı

S = {T Y, X S T T, S S} (9.1)

S = {T Y, X S T T, S S} (9.1) Bölüm 9 ÇARPIM UZAYLARI 9.1 ÇARPIM TOPOLOJ S Bo³ olmayan kümelerden olu³an bo³ olmayan bir ailenin kartezyen çarpmnn da bo³ olmad n, Seçme Aksiyomu [13],[20], [8] ile kabul ediyoruz. imdi verilen aileye

Detaylı

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016 6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği

Detaylı

Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz -

Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - Saymadan Saymak Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - lan say 1 2... n say s na eflittir. Yani, tan m gere i, n! = 1 2... (n-1) n dir. n!, n fortoriyel diye okunur. Örne in,

Detaylı

Üst Üçgensel Matrisler

Üst Üçgensel Matrisler Ders Notlar Üst Üçgensel Matrisler Ali Nesin / anesin@bilgi.edu.tr 1. Lineer Cebir Tekrar V, bir K cismi üzerine n > 0 boyutlu bir vektör uzay olsun. V nin K-vektör uzay olarak andomorfizmalar, V nin lineer

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H

Detaylı

Soru Toplam Puanlama Alınan Puan

Soru Toplam Puanlama Alınan Puan 18.11.2013 No: Ad-Soyad: İmza: Soru 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Toplam Puanlama 20 20 20 20 20 20 20 20 100 Alınan Puan 405024142006.1 CEBİRSEL TOPOLOJİ ARASINAVI CEVAP ANAHTARI (ÖRGÜN ÖĞRETİM) Not: Süre 90

Detaylı

A = i I{B i : B i S} A = x A{B x A : B x S}

A = i I{B i : B i S} A = x A{B x A : B x S} Bölüm 4 TOPOLOJ TABANI 4.1 TOPOLOJ TABANI Tanm 4.1.1. Bir S P(X) ailesi verilsin. S ye ait kümelerin her hangi bir bile³imine e³it olan bütün kümelerin olu³turdu u aileye S nin üretti i (do urdu u) aile

Detaylı

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Geçen ders RP 2 de tekil olmayan her koniğin bir dönüşümün ardından tek bir koniğe dönüştüğü sonucuna vardık; o da {[x : y : z x 2 + y 2 z 2 = 0]} idi. Bu derste bu

Detaylı

AKDEN IZ ÜN IVERS ITES I 21. ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI SORULARI

AKDEN IZ ÜN IVERS ITES I 21. ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI SORULARI KDEN IZ ÜN IVERS ITES I 21. ULUSL NTLY MTEMT IK OL IMP IYTI SORULRI DI SOYDI :...CEP TEL :... OKUL...ŞEH IR :... SINIF :...Ö ¼GRETMEN :... eposta :... IMZ :... SINV TR IH I VE ST I : 14 May s 2016 - Cumartesi

Detaylı

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: KUVVET ve HAREKET 3. Konu TORK, AÇISAL MOMENTUM ve DENGE ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: KUVVET ve HAREKET 3. Konu TORK, AÇISAL MOMENTUM ve DENGE ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ 11. SINIF ONU ANAIMI 2. ÜNİE: UVVE ve HAREE 3. onu OR, AÇISA MOMENUM ve DENGE EİNİ ve ES ÇÖZÜMERİ 2 2. Ünite 3. onu ork, Aç sal Momentum ve Denge A n n Yan tlar 1. Çubuk dengede oldu una göre noktas na

Detaylı

Soru Toplam Puanlama Alnan Puan

Soru Toplam Puanlama Alnan Puan ..04 No: Ad-Soyad: mza: Soru.. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Toplam Puanlama 0 0 0 5 0 0 0 0 00 Alnan Puan 04043006. CEB RSEL TOPOLOJ ARASINAVI CEVAP ANAHTARI ( K NC Ö RET M) Not: Süre 90 Dakika. stedi iniz 7 soruyu

Detaylı

(i) (0,2], (ii) (0,1], (iii) [1,2), (iv) (1,2]

(i) (0,2], (ii) (0,1], (iii) [1,2), (iv) (1,2] Bölüm 5 KOM ULUKLAR 5.1 KOM ULUKLAR Tanm 5.1.1. (X, T ) bir topolojik uzay ve A ile N kümeleri X uzaynn iki alt-kümesi olsun. E er A T N olacak ³ekilde her hangi bir T T varsa, N kümesine A nn bir kom³ulu

Detaylı

T k z Topolojik Uzaylar

T k z Topolojik Uzaylar Kapak Konusu: Metrik Uzaylar ve Topoloji T k z Topolojik Uzaylar Yaz n n uzunlu undan da anlafl laca üzere, bir topolojik uzay n t k z altkümeleri çok önemlidir. (Bu girifl yaz s daha ilginç bir cümleyle

Detaylı

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: 4x > 9 b) x 4 < - c)

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Çizgeler 7. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Çift ve Tek Dereceler Çizgeler Çift ve Tek Dereceler Soru 51 kişinin

Detaylı

20. ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI SORULARI A A A A A A A

20. ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI SORULARI A A A A A A A KDEN IZ ÜN IVERS ITES I 20. ULUSL NTLY MTEMT IK OL IMP IYTI SORULRI DI SOYDI :...CEP TEL :... OKUL...ŞEH IR :... SINIF :...Ö ¼GRETMEN :... eposta :... IMZ :... SINV TR IH I VE ST I : 3 May s 2015 - Pazar

Detaylı

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: a) 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: a) 4x > 9 b) x 4

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

Olas l k Hesaplar (II)

Olas l k Hesaplar (II) Olas l k Hesaplar (II) B ir önceki yaz daki örneklerde olay say s sonluydu. Örne in, iki zarla 21 olay vard. fiimdi olay say m z sonsuz yapaca z. Kolay bir soruyla bafllayal m: [0, 1] aral nda rastgele

Detaylı

Sonlu Lineer Uzayların Doğru Dereceleri Üzerine. Metin Şahin YÜKSEK LİSANS TEZİ. Matematik ve Bilgisayar Bilimleri Anabilim Dalı

Sonlu Lineer Uzayların Doğru Dereceleri Üzerine. Metin Şahin YÜKSEK LİSANS TEZİ. Matematik ve Bilgisayar Bilimleri Anabilim Dalı Sonlu Lineer Uzayların Doğru Dereceleri Üzerine Metin Şahin YÜKSEK LİSANS TEZİ Matematik ve Bilgisayar Bilimleri Anabilim Dalı Ağustos 2013 On Line Degrees Of The Finite Linear Spaces Metin Şahin MASTER

Detaylı

256 = 2 8 = = = 2. Bu kez de iflik bir yan t bulduk. Bir yerde bir yanl fl yapt k, ama nerde? kinci hesab m z yanl fl.

256 = 2 8 = = = 2. Bu kez de iflik bir yan t bulduk. Bir yerde bir yanl fl yapt k, ama nerde? kinci hesab m z yanl fl. Bölünebilme B ir tamsay n n üçe ya da dokuza tam olarak bölünüp bölünmedi ini anlamak için çok bilinen bir yöntem vard r: Say - y oluflturan rakamlar toplan r. E er bu toplam üçe (dokuza) bölünüyorsa,

Detaylı

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c 0. Küme Cebri Bu bölümde verilen keyfikümeler üzerinde birleşim, kesişim, fark, tümleyen,...gibi özellikleri sağlayan eşitliklerle ilgilenceğiz. İlk olarak De Morgan kurallarıdiye bilinen bir Teoremi ifade

Detaylı

7 TAYLOR SER I GÖSTER IMLER I

7 TAYLOR SER I GÖSTER IMLER I 7 TAYLOR SER I GÖSTER IMLER I Bir f fonksiyonu analitiklik bölgesi içinde f () X a n ( 0 ) n şeklinde bir kuvvet serisi gösterimine sahiptir. E¼ger a n f (n) ( 0 ) seçilirse bu kuvvet serisi Taylor serisi

Detaylı

Her noktas ya maviye ya k rm z ya boyanm fl bir düzlem

Her noktas ya maviye ya k rm z ya boyanm fl bir düzlem Renkli Noktalar Her noktas ya maviye ya k rm z ya boyanm fl bir düzlem önündeyiz. Baz noktalar maviye, baz noktalar k rm z - ya boyanm fl bir düzlem... Düzlemin sonsuz tane noktas n kim boyam flsa boyam

Detaylı

10. DİREKT ÇARPIMLAR

10. DİREKT ÇARPIMLAR 10. DİREKT ÇARPIMLAR Teorem 10.1. H 1,H 2,, H n bir G grubunun alt gruplarının bir ailesi ve H = H 1 H 2 H n olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir. a ) dönüşümü altında dır. b) ve olmak üzere her yi tek türlü

Detaylı

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir. SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan

Detaylı

Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir

Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir B irçok yaz mda olas l k sorusu sordum. Bu yaz mda soru sormayaca m, sadece olas l n matematiksel tan m n verece im. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 say lar aras

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

Topolojik Uzaylarda Süreklilik Çeşitleri Üzerine

Topolojik Uzaylarda Süreklilik Çeşitleri Üzerine S Ü Fen Ed Fak Fen Derg Sayı 26 (2005) 43-50, KONYA Topolojik Uzaylarda Süreklilik Çeşitleri Üzerine Kemal USLU 1, Şaziye YÜKSEL Selçuk Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Kampüs-Konya

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

POL NOMLAR. Polinomlar

POL NOMLAR. Polinomlar POL NOMLAR ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN T POL NOMLAR Polinomlar 1. Kazan m: Gerçek kat say l ve tek de i kenli polinom kavram n örneklerle aç klar, polinomun derecesini, ba kat say s n, sabit

Detaylı

OPERATÖRLER BÖLÜM 4. 4.1 Giriş. 4.2. Aritmetik Operatörler

OPERATÖRLER BÖLÜM 4. 4.1 Giriş. 4.2. Aritmetik Operatörler BÖLÜM 4. OPERATÖRLER 4.1 Giriş Turbo Pascal programlama dilinde de diğer programlama dillerinde olduğu gibi operatörler, yapılan işlem türüne göre aritmetik, mantıksal ve karşılaştırma operatörleri olmak

Detaylı

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s - 18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

yaz labilir. Bu yaz l m da x reel say s na z nin reel k sm ; y reel say s na da z nin sanal k sm denir ve

yaz labilir. Bu yaz l m da x reel say s na z nin reel k sm ; y reel say s na da z nin sanal k sm denir ve Komplex say lar reel say lar n (x; y) s ral ikilileri şeklinde düşünülebilirler. x reel say s s n reel eksen üerindeki (x; 0) noktas şeklinde düşünürsek kompleks say lar kümesinin reel say lar kümesini

Detaylı

BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM

BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM ÖZEL EGE LİSESİ BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Sıla Avar DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem Günel İZMİR 2012 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI.. 3 2. GİRİŞ... 3 3. YÖNTEM. 3 4. ÖN BİLGİLER... 3 5.

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

A = i IA i = i I A = A = i IA i = {x α((α I) (x A α ))} (7.7) A = (α,β I) (α β) A α A β = (7.8) A A

A = i IA i = i I A = A = i IA i = {x α((α I) (x A α ))} (7.7) A = (α,β I) (α β) A α A β = (7.8) A A Bölüm 7 KÜME A LELER 7.1 DAMGALANMI KÜMELER E er inceledi imiz kümelerin says, alfabenin harerinden daha çok de ilse, onlara,b,...,w gibi harerle temsil edebiliriz. E er elimizde albenin harerinden daha

Detaylı

Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz.

Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz. Olas l k Hesaplar (I) Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz. Örne in tavla ya da kâ t oyunlar oynarken. ki kap ya üstüste birkaç kez gele atmayan tavlac görmedim hiç. fianss zl

Detaylı

TEMEL MATEMAT K TEST

TEMEL MATEMAT K TEST TEMEL MATEMAT K TEST KKAT! + Bu bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + Bu bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MATEMAT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 2 4. 4. 0,5 2. iflleminin sonucu

Detaylı

1956 da... Ali Nesin

1956 da... Ali Nesin 1956 da... Ali Nesin Nesin Yayıncılık Ltd. Şti. künye... Ali Nesin Analiz IV İçindekiler Üçüncü Basıma Önsöz.......................... 1 İkinci Basıma Önsöz........................... 1 Önsöz...................................

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

Okurun bir önceki bölümü okudu unu ve orada ortaya

Okurun bir önceki bölümü okudu unu ve orada ortaya 23. Zorn Önsav ve Birkaç Sonucu Okurun bir önceki bölümü okudu unu ve orada ortaya konulan sorunu anlad n varsay yoruz. O bölümde ele ald m z ama pek baflar l olamad m z kan tlama yönteminden, yani bir

Detaylı

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP L INEER OLMAYAN DENKLEMLER IN ÇÖZÜMÜ 1 / Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP L INEER OLMAYAN DENKLEMLER IN ÇÖZÜMÜ 1 / Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP L INEER OLMAYAN DENKLEMLER IN ÇÖZÜMÜ L INEER OLMAYAN DENKLEMLER IN ÇÖZÜMÜ 1 / 1 Denklemlerin Köklerini Bulma Giriş Denklemlerin Köklerini Bulma

Detaylı

Çarpm ve Bölüm Uzaylar

Çarpm ve Bölüm Uzaylar 1 Ksm I Çarpm ve Bölüm Uzaylar ÇARPIM UZAYLARI 1 ÇARPIM TOPOLOJ S 2 KARMA P R O B E M L E R 1. A ile B, srasyla, (X, T )X ile (Y, S ) topolojik uzaylarnn birer alt-kümesi olsunlar. (a) (A B) = A B (b)

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama

Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama Ç karma ve Kare Alma Alt nda Kapal Kümeler Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama ve çarpma ifllemleri alt nda kapal d r; bir baflka deyiflle, iki do al say y toplarsak ya da çarparsak

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ SIRA SÜREKLİ OPERATÖRLERİN LİMİTLERİ. Ercan KARADAŞ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2007

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ SIRA SÜREKLİ OPERATÖRLERİN LİMİTLERİ. Ercan KARADAŞ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2007 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ SIRA SÜREKLİ OPERATÖRLERİN LİMİTLERİ Ercan KARADAŞ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2007 Her Hakkı Saklıdır Anne ve Babam a ÖZET Yüksek Lisans

Detaylı

x 2i + A)( 1 yj 2 + B) u (v + B), y 1

x 2i + A)( 1 yj 2 + B) u (v + B), y 1 Ders 11: Örnekler 11.1 Kulplarla inşalar Bu bölümde kulpları birbirine yapıştırıp tanıdık manifoldlar elde edeceğiz. Artık bu son ders. Özellikle dersin ikinci bölümünde son meyveleri toplamak adına koşarak

Detaylı

Baki Karl ¼ga. Gazi Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Ankara/Türkiye

Baki Karl ¼ga. Gazi Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Ankara/Türkiye H IPERBOL IK VE KÜRESEL ÜÇGENLERIN KENAR UZUNLUKLARINA BA ¼GLI ALAN FORMÜLLER I Baki Karl ¼ga karliaga@gazi.edu.tr Murat Savaş msavas@gazi.edu.tr Gazi Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü

Detaylı