13. Kabul Örneklemesi, Örnekleme Planları, Çalışma Karakteristiği Eğrileri

Transkript

1 3. Kabul Örneklemesi, Örnekleme Planları, Çalışma Karakteristiği Eğrileri 3.. Giriş Kalite kontrolün önemli noktalarından birisi de hammaddelerin, yarı-mamullerin ve mamullerin muayenesidir. Belirlenmiş bir standarda göre yapılan kabul ya da red muayenesinde kullanılan muayene yöntemine kabul örneklemesi adı verilir. Kabul örneklemesi proses görüntüleme, kontrol ve diğer istatistiksel yöntemlere alternatif bir yöntem olmamaklar beraber, kabul örneklemesinin gerek üretici gerekse tedarikçi açısından uygulanması daha kapsamlı bir muayenenin ortadan kaldırılarak zamandan ve maliyetten tasarruf edilmesi anlamına gelmektedir. Kabul örneklemesinde ürünlere ilişkin muayene ve kararlar kalite güvencesinin temel değerlerindendir. 94 lı yıllarda kabul örneklemesi istatistiksel kalite kontrolün ana alanları içerisinde gelen malların kabulü için kullanılırdı. Günümüzde ise tedarikçilerle çalışan üreticiler, tedarikçilerin proses performanslarını artırmak için sadece kabul örneklemesi değil aynı zamanda deney tasarımları gibi yöntemlerden de faydalanmaktadırlar. 3.. Kabul Örneklemesi Genel olarak kabul örnekleme süreci üreticinin tedarikçiden hammadde almasıyla başlar. Gelen partiden bir örnek alınır ve örneğin kalite karakteristiğini karşılayıp karşılamadığına bakılır. Örnekten çıkan sonuca göre geriye kalan tüm parti için karar verilir. Genellikle bu karar tüm partinin kabulü ya da reddi şeklinde olur. Kabul edilen partiler üretim sürecine gönderilirken, reddedilenler tedarikçiye geri gönderilmektedir. Kabul örneklemesi gelen hammaddeler için uygulanabilir gözükse de üreticilerin kendi üretim süreçlerinde de bu yöntemi kullanması mümkündür. Üretim sürecinde kabul edilen partiler bir sonraki sürece gönderilirler. Reddedilenler ise yeniden işlemeye ya da ıskartaya atılırlar. Parti kabulünde üç yaklaşım mevcuttur. ). yaklaşımda hiçbir muayene yapılmadan parti kabul edilir..) yaklaşımda ise partinin tamamı muayene edilerek (% muayene) kusurlu

2 parçalar tedarikçiye (veya bir önceki üretim sürecine) geri yollanır. 3.) yaklaşımdaysa kabul örneklemesi yapılır. Muayenesiz kabul yaklaşımı tedarikçinin üretim sürecinin çok iyi olduğu durumlarda, yani hemen hemen hiçbir kusurlu parçanın beklenmediği durumlarda uygulanır. Ayrıca ekonomik açıdan önemi az olan partiler için, yeniden üretim maliyeti az olan ürünler için kullanılır. Örneğin tedarikçi proses yeterliliği 3 veya 4 ise kabul örneklemesinin hatalı ürün bulması olanaksızdır. % muayene, partideki ürünlerin hatalı olmasının sonraki aşamalara büyük ek maliyet getirmesi durumunda kullanılır. Kabul örneklemesi aşağıdaki durumlarda etkin bir yöntemdir:. Muayenenin hasar verici olduğu durumlarda. % muayenenin çok maliyetli olduğu durumlarda, 3. % muayenenin teknolojik kısıtlardan dolayı uygun olmamasından ve fazla mesai gerektirmesinden, uzun muayenelerin üretim çizelgelerini olumsuz etkilemesi nedeniyle, 4. Muayene edilecek çok fazla ürünün olması ve muayene hatasının fazla olduğu durumlarda % muayeneden geçecek hatalı ürünlerin daha fazla olması durumunda, 5. Tedarikçinin kabul edilebilir partiler gönderdiği ve % muayenenin azaltılmak istendiği durumlarda, ancak proses yeterliliğinin düşük olduğu durumlarda 6. Tedarikçinin güvenilirliğinin yüksek olduğu ancak prosesin sürekli izlenmesinin gerektiği durumlarda etkin bir yöntemdir. Kabul örneklemesi % muayene ile karşılaştırıldığında aşağıdaki avantajlar ortaya çıkmaktadır: Daha az muayeneden dolayı daha düşük maliyet, Ürünlere daha az müdahaleden dolayı daha az zarar verme durumu, Hasarlı testler için uygun olması, Muayene faaliyetlerine daha az personelin ayrılması, Genellikle muayene hatasının daha az olması, Tüm partinin reddine göre yapılan kısmi red ile tedarikçi motivasyonunun artırılması. Kabul örneklemesi % muayeneye göre avantajlarının yanında dezavantajlara da sahiptir:

3 Kötü partilerin kabul edilmesi, iyi partilerin ise reddedilmesi riskinin olması, Ürünü üreten proses hakkında daha az bilgiye sahip olunması, Kabul örneklemesinin dokümantasyon ve planlamaya ihtiyaç duyması, 3... Örnekleme Planları Tekli örnekleme planında partiden seçilen bir örnek muayene edilerek içindeki kusurluların durumuna göre tüm parti için karar verilir. n parçadan oluşan bir örnek için kabul sayısı c ise partiden n adet rasgele örnek alınarak kusurlu sayısına bakılır. Eğer kurulu sayısı d, kabul sayısı c den az veya c ye eşit ise ( d c ) parti kabul edilir, aksi halde (d > c) reddedilir. Çiftli örnekleme planında ikili karar yerine üçlü karar söz konusudur. Tekli örneklemede karar kabul-red iken burada ikinci bir örnek almak da seçenekler arasındadır. Eğer ikinci bir örnek alınırsa ilk iki örnekten alınan bilgiler birleştirilerek partinin kabulü veya reddi yapılır. Çoklu örnekleme çiftli örneklemenin bir uzantısıdır. Çoklu örneklemede örnek büyüklüğü tekli ve çiftli örneklemeye göre daha küçüktür. Çoklu örneklemenin uzantısı ise sıralı örneklemedir. Burada hatalı sayısı karar vermek için yeterli değilse tekrar örnek alınarak partinin reddine/kabulüne karar verilir. Tekli, çiftli ve sıralı örnekleme planları aynı sonucu verecek şekilde dizayn edilebilir. Bu örnekleme planlarıyla ilgili daha detaylı bilgi ileriki bölümlerde verilecektir Parti Seçiminde Dikkat Edilmesi Gereken Unsurlar Partilere ilişkin özelliklerin belirlenmesi kabul örnekleme planlarının etkinliğini doğrudan etkilemektedir. Örnekleme için göz önünde bulundurulması gereken önemli hususlar vardır. Öncelikle parti homojen olmalıdır, yani parti içindeki parçalar aynı makinelerden çıkmış olmalı ve olabildiğince benzer koşullarda üretilmiş olmalıdır. Partinin homojen olmadığı zamanlarda, iki farklı üretim bandından çıkan ürünlerin örneklemesinde, kabul örnekleme planı istendiği şekilde

4 iyi çalışmayabilir. Parti homojenliği dışında parti büyüklüğü de önemli bir husustur, parti büyüklüğünün fazla olması daha çok istenen bir durumdur ancak bu maliyetleri yükseltmektedir Rassal Örnekleme Partiden çekilen parçalar rasgele çekilmeli ve tüm partiyi yansıtır nitelikte olmalıdır. Rassal örnekleme yapılmaz ise hatalar meydana gelir. Örneğin, tedarikçi partinin üst kısmına en iyi parçaları koyabilir, ancak bu iyi parçalar partinin bütününü temsil etmez ve ancak rassal örnekleme ile bu sorunun üstesinden gelinebilir. Rassal örnekleme için öncelikle partideki tüm parçalar numaralandırılır. Daha sonra n adet rassal sayıya karşılık gelen parça alınır. Numaralandırmanın mümkün olmadığı durumlarda ise çeşitli teknikler uygulanabilir. Örneğin bir konteynır için muayene sorumlusu konteynırı farklı katmanlara ayırarak buralardan farklı örnekler alabilir, ya da üç haneli rassal sayı üretilerek en, boy, yükseklik ifade edilebilir, bu koordinatlara denk gelen parça muayene edilebilir Numune Kontrolünün İstatistik Esasları İstatistik bakımdan numune kontrolü, belirli oranda kusurlu parça içeren bir partiden alınan bir örneğe göre kabul veya reddedilme olasılığıdır. Buna göre bu olasılık binom veya hipergeometrik dağılımından faydalanılarak bulunabilir. Binom dağılımını, partiden seçilen parçalar iadeli olarak seçilirse veya parti büyüklüğü numune büyüklüğünden büyükse kullanabiliriz. Binom dağılımına göre bu olasılık: n d Pα ( d c) = p. q d c d = P : kabul olas ılığı n:numune ğü büyüklü N:p arti büyüklüğü c:kabul sayısı p : kusurlu ı oran q:kusursuz oranı (-p) d:numune içinde bulunan kusurlu sayısı n d

5 şeklinde ifade edilebilir. Hipergeometrik dağılım sınırlı partiden iadesiz seçim yapıldığında kullanılır. Hipergeometrik dağılım için aşağıdaki fonksiyon kullanılır. NP Nq c d n d Pα ( d c) = N Burada Np = D, Nq = N- D ve d = x dir. d = n Ayrıca partiden çekilen örnek hacmi (n) büyük değerler alırken p küçük bir değer alıyorsa Poisson dağılımını kullanabiliriz. c d = np ( np) d Px ( = d) = e. k! Burada np = λ ve (k ve d = x dir.) Bu olasılıkların kullanımı tüm kabul örnekleme planları için temel oluşturmaktadır. Bu olasılıkların kullanımına ait örnekler ileriki bölümlerde verilecektir Kabul Örneklemesi ve Çalışma Karakteristiği Eğrisi Mamullerin, yarı mamullerin ya da hammaddelerin kabulünde kalite kontrolü kabul örneklemesi ile yapılır. Kabul örneklemesinde kabul planları belirlenerek çeşitli p kusurlu oranlarına ait P kabul ihtimalleri hesaplanır. p ve P değerleri kullanılarak plan eğrisi çizilir. Plan eğrisine göre mallar kusurlu oranlarına göre;

6 a. İyi parti mallar b. Ara parti mallar c. Kötü parti mallar olmak üzere sınıflara ayrılır. Parti Kabul olasılığı(p) Üretici riski (α) Tüketici riski (β) Kusurluoranı (p) iyi parti ara parti mallar kötü parti mallar Geçerli Kalite Seviyesi Parti Toleransı Şekil. Çalışma Karakteristiği Eğrisi Uygulamada genellikle, α =,5 ve β =, olarak alınır. Buna göre Çalışma Karekteristiği eğrisi yardımıyla, p=, ve p =,95 kabul ihtimallerine karşılık gelen p kusurlu oranları bulunur. Birinci ara parti ve kötü parti malların sınırı olup, parti toleransı olarak adlandırılır. İkincisi ise iyi parti ve ara parti malların sınırıdır. Bu sınıra geçerli kalite seviyesi denilir. Geçerli kalite seviyesinden daha düşük oranda kusurlu birim içeren mallara, iyi parti mallar, geçerli kalite seviyesi ile parti toleransı arasındaki mallara ara parti mallar, parti toleransından daha büyük oranda kusurlu mal içeren partilere ise kötü parti mallar denilir. Bu durum yukarıda şekil de gösterilmiştir.

7 3.4. Tekli (Tek örnekli) Kabul Örneklemesi Partiden yalnız bir defada alınan örnek üzerinden yapılan muayene ile parti hakkında kabul veya red kararına ulaşma şeklidir. Burada, N birim içeren bir parti üründen rasgele olarak n birimlik örnek alınır. Alınan numuneler kusurlu/kusursuz incelemesi yapılarak kusurlu sayısı (d) tespit edilir. Partinin kabulü için örnekte bulunması gereken en büyük kusurlu sayısı c ile karşılaştırmalar yapılır ve parti hakkında karar verilir. d c ise parti kabul edilir. d > c ise parti red edilir. Parti büyüklüğü N= olan ve 89 adetlik bir örneğin bu partiden alındığı düşünülürse, c= olması, 89 adetten ve daha az kusurlu bulunması durumunda partinin kabul edileceği anlamına gelir Çalışma Karakteristiği Eğrisi (ÇKE) Kabul örneklemesinin önemli performans göstergeleri çalışma karakteristiği eğrileridir. Bu eğriler parti kusurlu oranlarını dikkate alarak parti kabul olasılılarını gösteren eğridir. Aşağıda

8 çalışma karakteristiği eğrisi örneği gösterilmiştir.. Çalışma Karakteristiği Eğrisi Parti kabul olasılığı c= Parti kusurlu oranı Şekil. Çalışma Karakteristiği Eğrisi Bu eğri şu şekilde elde edilmiştir: Parti büyüklüğü N oldukça büyük kabul edildiğinde, kusurlu parça sayısının (d) örnek büyüklüğü n için dağılımı n ve p parametreli binom dağılımına uyar. Daha önce açıklandığı üzere p partideki kusurlu oranıdır. Örneğin parti kusurlu oranı p =. olduğunda, n = 5, c= için P α ( d c) = 5! (,)!5! d = c n p d (,99) d 5 n d 5 d 5 d q =,,99 d = d 5! 49 5! + (,) (,99) + (,)!49!!48! (,99) =,986 Benzer şekilde parti kusurlu oranı p =. olduğunda, n = 5, c= için P α ( d 5!!5! c) = (,) d = c n p d (,98) d 5 q n d + = 5!!49! d = 5, d (,) d (,98), d 5!!48! (,) (,98) =,95 Hesaplanır.

9 Eğer pek çok p değeri (parti kusurlu oranı) için yukarıdaki işlemler yapılırsa ÇKE elde edilmiş olur. Parçaların % i kusurlu olarak düşünülürse 5 birimlik bir örneğin kontrolü sonucu bu partinin kabul edilme olasılığı %98.6 olurken, % si kusurlu olduğunda partinin kabul olasılığı %9,5 olmaktadır n ve c Değerlerinin ÇKE ye Etkisi ÇKE örnek büyüklüğü arttıkça ve c değeri örnek büyüklüğüne paralel değiştiğinde ideale yaklaşarak dik bir çizgi haline dönüşür. ÇKE nin daha dik olması eğrinin partiyi kabul/red etmesindeki etkinliğini artırmaktadır. Çalışma karakteristiği eğrisi Çalışma Karakteristiği Eğrisi Parti kabul olasılığı n=5, c= n=, c= n=5, c=3 n=, c=4 Parti kabul olasılığı n=5, c= n=5, c= n=5, c=3 n=5, c= Parti kusurlu oranı Parti kusurlu oranı Şekil 3. Farklı örnek hacimleri ve farklı kabul edilebilir kusur seviyeleri için ÇKE ler Soldaki ÇKE lerde farklı örnek büyüklüklerine oranlı olarak verilmiş c değerleri ile elde edilmiş ÇKE görülmektedir. Bu şekilde görüldüğü üzere oransal olarak c değeri sabit kalmasına karşın örnek büyüklüğü arttıkça ÇKE nin etkinliği artarak daha az oranda kusurlu tolere edilmektedir. Sağdaki ÇKE lerde ise n örnek büyüklüğü sabit tutulduğunda farklı c değerleri için oluşan eğriler verilmiştir. Kabul edilme sayısı (c) azaldıkça, OC eğrisi sola kaymaktadır. Küçük değerler kullanan c ile yapılmış örnekleme planları parti kusurlu oranının daha düşük seviyelerde ayırt edilmesini sağlar.

10 Yukarıda bahsi geçen ÇK eğrileri B tipi ÇKE lerdir. Bu tür eğrilerin oluşturulmasında örnekler parça sayısı çok fazla olan büyük partilerden alınmaktadırlar ve parti büyüklüğü alınan örnek büyüklüğüne göre sonsuzdur. Bu da alınan parçaların kabul olasılığının binom dağılıma uygun olması anlamına gelir A tipi ÇKE ler ise sonlu parti büyüklükleri için geçerlidir. Parti büyüklüğü N, örnek büyüklüğü n ve kabul sayısı c ise ve örnekleme iadesiz olarak yapılıyorsa örnekteki kusurlu parçaların sayısının dağılımı hipergeometrik dağılıma uyum gösterir. Sınırlı kütlelerden iadesiz örneklerin seçilmesi halinde deneylerin bağımsızlığı ortadan kalkmakta, dolayısıyla dağılım binom değil hipergeometrik dağılıma dönüşmektedir. Aşağıda N=, n=5 ve c= olan A tipi ve n=5, c= olan B tipi ÇKE ler verilmiştir. A tipi eğrinin kabul olasılıkları hipergeometrik dağılım ile bulunmuş ve eğri bu olasılıklara göre çizilmiştir. Parti büyüklüğü sonsuza yaklaştıkça A tipi ÇKE leri B-tipi ÇKE lere benzemektedir. Buradan da A-tipi ÇKE lerin her zaman B-tipi ÇKE lerin altında olduğu sonucuna varılır. Şekil 4. A ve B tipi Çalışma Karakteristiği Eğrileri Belirli bir ÇKE ye göre Tekli Kabul Örnekleme Planı Kabul örneklemesinde genel yaklaşım ÇKE nin iki noktadan geçmesiyle oluşturulmuş planların kullanımıdır. ÇKE de tek bir nokta yeterli değildir ve iki noktaya ihtiyaç vardır. Kabul olasılığı

11 -α, kusurlu oranı p olan ve kabul olasılığı β, kusurlu oranı p olan bir kabul örneklemesi planı ele alalım. Örnek büyüklüğü n ve kabul sayısı c olan, binom dağılımına uygun B tipi kabul örneklemesi planı için; c n p d ( p n d α = ) d d = c n p d n d β ( p = ) d d = şeklinde yazılabilir. Bu iki eşitliğin çözümü doğrusal değildir ve doğrudan çözümü yoktur. Aşağıda verilen binomial nomograf bu iki eşitliğin çözümü için kullanılabilir. Bu nomografın kullanımı oldukça basittir. Bir örnek ele alacak olursak, p =.,α=.5, p =.6, β=. değerleri için p ve -α yı birleştiren doğru ile p ve β yi birleştiren doğrunun kesim noktası örnek büyüklüğünü ve kabul sayısını verir. Yani yaklaşık olarak şeklin Ayrıştırılmış sağ üst köşesinde Muayeneler yer alan n=9, c=3 tam sayı değerleri elde edilir.

12 Kabul örnekleme planları ile partilerin reddedilmesi durumunda düzeltici faaliyetler gerekir. Bir başka deyişle reddedilen parti genel olarak % muayeneye alınır, tüm kusurlu parçalar partiden ayrılarak tedarikçiye ya da üretim sürecinin bir önceki aşamasına gönderilir. Bu tür planlar ayrıştırılmış muayene programı olarak adlandırılır. Çünkü muayene çıkan ürün kalitesini etkilemektedir. Ayrıştırılmış muayene programı aşağıdaki şekilde gösterilebilir. Reddedilen partiler Gelen partiler muayene Kusurlu oranı () Giden partiler p kusur oranı işlemi Kusurlu oranı (p ) Kusur oranı (p <p ) Kabul edilen partiler Şekil 5. Ayrıştırılmış Muayene Programı Gelen partiler p gibi kusurlu oranına sahipse ve bunlar kabul ediliyorsa, diğer tüm partiler reddediliyorsa ve reddedilen partiler yeniden işleme sokulup sıfır hata ile çıkıyorsa, ortalama çıkan kalitesi kusur oranı p olur ve bu değer p dan küçüktür Çıkan Ortalama Kalite Eğrisi (ÇOK) Çıkan Ortalama Kalite Eğrisi (ÇOK), reddedilen partiler % muayeneden geçirilip kusurlu parçalar ayıklandıktan sonra tüm partilerin ortalama kalite düzeyini belirlemeye yarar. ÇOK un maksimum değerine çıkan ortalama kalite limiti (ÇOKL) denir. ÇOK un maksimum olması, malların maksimum kusurlu mal olduğunu gösterir. Belirli hatalı oranındaki çıktının ortalama kalitesi: ÇOK P = α p ( N n) N P: Partinin kusurlu yüzdesi P α : Partinin kabul olasılığı N: Parti büyüklüğü n: Örnek büyüklüğü

13 Örneğin N=5, n=5 ve c= olduğunu ve gelen partilerin kusur oranının p=. olduğunda partinin kabul olasılığı P α ( d c) = 5! (,)!5! d = c n p d (,99) d 5 n d 5 d 5 d q =,,99 d = d 5! 49 5! + (,) (,99) + (,)!49!!48! (,99) =,986 Olarak bulunmuştu. Bu verileri kullanarak çıkan ortalama kalite (ÇOK) değeri şöyle bulunur. ÇOK p( Pα )( N n) (,)(,986)(5 5) = = ÇOK N 5 =,8878 olur..937 değeri kabul edilen partilerin (ortalama kalitesinin) %,887 sinin kusurlu olduğu anlamına gelir. N büyüdükçe (N-n)/N değeri bire yaklaşır. Bu durumda ÇOK değeri şöyle hesaplanabilir. ÇOK = p(p a ) Gelen partilerin kusur oranı değiştikçe çıkan ortalama kalite de değişir. Örnek: Parti hacmi N=5, örnek hacmi n=5, c= olmak üzere ÇOK eğrisini çiziniz. Şekil 6. Çıkan Ortalama Kalite Eğrisi

14 Yukarıdaki eğriden gelen ve çıkan kalitesinin iyi düzeyde olduğu sonucuna varılabilir. Eğer gelen partilerin kalitesi düşük olsaydı, çoğu parti fark edilerek düzeltici önlemler alınacak, dolayısıyla çıkan ortalama kalitesi de artacaktı. Yukarıda bahsi geçen çıkan ortalama kalite limiti (ÇOKL) bu eğrinin maksimum notasıdır. Bu örnek için ÇOKL değeri yaklaşık.7 dir. Bu da çıkan ortalama kalitesinin en kötü halde %,7 kusurlu olacağını gösterir Ortalama Toplam Muayene Sayısı (OTMS) Ayrıştırılmış muayenelerin önemli unsurlarında birisi de ortalama toplam muayene sayısıdır. Eğer parti tamamen kusursuz parçalardan oluşuyorsa hiçbiri reddedilmeyecektir ve muayene sayısı örnek büyüklüğü n kadar olacaktır. Eğer tüm mallar kusurluysa, tüm partiler % muayeneden geçirilecektir, parti başına düşen muayene sayısı N kadar olacaktır. Eğer parti kusur oranı <p< ise ortalama muayene sayısı n ile N arasında olacaktır. Parti kalitesi p ve kabul olasılığı P α ise ortalama muayene sayısı: OMS = n + ( Pα )( N n) olur. Örnek: Parti hacmi N = 5, örnek hacmi n = 5, c = ve parti kusurlu oranı p =. olmak üzere ortalama muayene sayısını (OTMS) bulunuz. (Burada kısaca OMS denilmektedir). OMS OMS OMS = n + ( P )( N n) = 5 + (,986)(5 5) 9 a Tıpkı ÇOK gibi OMS için de farklı parti büyüklükleri için bir eğri oluşturulabilir. N = 5, n = 5, c = 4 için ortalama muayene sayısı eğrisi aşağıda verilmiştir.

15 Ortalama Muayene Sayısı Eğrisi Muayene saysıs OMY Parti kusurlu sayısı Şekil 7. Ortalama Muayene Sayısı Eğrisi 3.5. İkili Örnekleme Planları İkili örneklemede belirli şartlar altında ikinci bir örnek alınması durumu söz konusudur. İkili örnekleme planı dört parametreye dayalıdır. n = ilk örneğin büyüklüğü c = ilk örnek kabul sayısı n = ikinci örneğin büyüklüğü c = her iki örnek için kabul sayısı Bir örnekle açıklamak gerekirse, n =5, c =, n =, c = 3 olduğunu düşünelim. Rassal alınan 5 parçalık birinci örnekte d adet kusurlu olduğu görüldüğünde, eğer d c = ise parti ilk örnekle kabul edilir. Eğer d c =3 ise de parti ilk örnek sonucuna göre reddedilir. Eğer c <d c ise partiden örnek büyüklüğü olan ikinci bir örnek çekilir. İkinci çekilen örneğin kusurlu sayısı d ise d + d sayısı kabul/red kararında kullanılır. Eğer d + d c =3 ise parti kabul edilir. Tersi durumunda ise parti reddedilir. Aşağıda n =5, c =, n =, c =3 olan ikili kabul planı gösterimi verilmiştir.

16 Rassal seçilen örneğin büyüklüğü n =5 d =gözlenen kusurlu Partiyi kabul et d c = d >c =3 c = d c =3 Rassal büyüklüğü n = olan ikinci bir örnek al d =gözlenen kusurlu sayısı Partiyi reddet Partiyi kabul et d + d c =3 d +d >c =3 Partiyi reddet Şekil 8. İkili Örnekleme Planı İkili kabul örnekleme planının tekli plana göre temel avantajı tekli örneklemeye göre daha az muayene gerektirmesidir. İkili örnekleme planında alınan ilk örneğin tekli planla alınan örnekten aynı kusur oranı için daha az sayıda parça gerektirdiği açıktır. Bu nedenle ikili örnekleme planlaması, ilk partinin reddedilmesi veya kabul edilmesinden bağımsız olarak muayene maliyetini düşürmektedir. İkili kabul örnekleme planının iki potansiyel riski mevcuttur. Öncelikle ikinci örnek için belirli kısıtlama (c değerinin az olması gibi) koşulu sağlanmaz ise ikili kabul örneklemede tekli kabul örneklemeyle aynı güvenilirliğin sağlanması için daha çok muayene yapılması gerekir. Yani ikili kabul örnekleme planı ancak dikkatlice uygulandığında ekonomik yarar sağlar. İkinci potansiyel dezavantajı ise daha karmaşık ve daha hassas kontrole ihtiyaç duymasıdır. Bu karmaşıklık da muayene hatalarına sebep olabilir İkili Örnekleme için ÇKE nin Oluşturulması İkili örnekleme planlarında ÇKE nin oluşturulması tekli örneklemedekine benzerdir. Aşağıdaki B tipi bir ÇKE eğrisinin nasıl oluşturulduğu ele alınmıştır.

17 Pa İlk örnekte Kabul etme olasılığı Birleştirilmiş örneklerin kabul olasılığı İlk örnekte reddetme olasılığı Kusurlu oranı, p Şekil 9. İkili örnekleme planı için Çalışma Karakteristiği Eğrisi Yukarıda ilk örneğe bağlı çalışma karakteristiği eğrileri n =5, c =, n =, c = 3 değerlerine göre oluşturulmuştur. Birleştirilmiş örnekler için aşağıdaki adımlar izlenerek ÇKE oluşturulur. Eğer Pα birleştirilmiş partilerin kabul edilme olasılığını ifade ederse örneklerde kabul edilme göstermektedir. Bu durumda I II Pα ve Pα birinci ve ikinci Gözlenen kusurlu ğundan sayısı n=5 büyüklüğünde örnek için d c = oldu Pα = şittir. Pα + Pα I II ye e I 5! d 5 d P ( ) α = p p olur. p=.5 ğer için yerine de kondu d!(5 d )! d = I 5! d 5 d Pα = = d!(5 d )! d =.5 (.95).79 ğunda; İkinci örneğin kabul olasılığını bulmak içinse ikinci örneğin alınması durumuna yol açan tüm koşullar düşünülmelidir. Yani ikinci örneğin sadece ilk örnekte ve 3 kusurlu olduğunda alınacağı unutulmamalı, hesaplama buna göre yapılmalıdır.. d = ve d = veya olursa (ilk örnekte ikincide veya kusurlu bulunacaktır) parti kabul edilir. Bu durumun olasılığı:

18 Pd { =, d } = Pd { = } Pd { } 5! 48! d d ( ) ( ) x ( ) ( ) = !48! d!( d )! ( )( ) =.6.37 =.9 d =. d = 3 ve d = ise (ilk örnekte 3 ikincide kusurlu bulunacaktır) parti yine kabul edilecektir. Bu durumun olasılığı: Pd { = 3, d = } = Pd { = 3} Pd { = } 5! 3 47! = (.5) (.95) x (.5) (.95) 3!47!!! = (.)(.59) =. Bu olasılıklardan yola çıkarak, ikinci örnekte partinin kabul edilme olasılığı şöyle hesaplanır: II Pα = Pd { =, d } + Pd { = 3, d = } =.9+. =. Sonuç olarak kusurlu oranı p=.5 olan partinin ikili kabul örneklemesi kabul olasılığı: I II α = α + α P P P =.79+.=.89'dur. ÇKE nin diğer noktaları da bu şekilde hesaplanabilir ve ÇKE oluşturulabilir. Bulunan nokta ÇKE de Pα ile p nin kesim noktasıdır ve grafikte kırmızı doğruların kesim noktasıdır İkili Örnekleme Planı İçin Ortalama Örnek Sayısının (ASN) Belirlenmesi Tekli örnekleme planlarında örnek sayısı sabittir. İkili örnekleme planlarında ise sayı ikinci bir örnek seçilip seçilmemesine göre değişmektedir. İkinci örnek ortalama örnek sayısı (ASN) için genel formül aşağıda verilmiştir.

19 c j+ ASN = n + P n j n P n c j + P n + c j+ (, j) : n büyüklü ( ) ( + + ) P n c (, ) (, ) (, ) L M p j= c + ğündeki örnekte j adet kusur P n, c j : n ğündeki büyüklüörnekte c - j veya da L P n, c j : n ğündeki + büyüklü örnekte c - j+ a M lu bulunması olasılığı ha az kusurlu bulunması olasılığı det kusurlu bulunması olasılığı İkili Örnekleme için Çıkan Ortalama Kalite Eğrisi ve Ortalama Muayene Sayısı İkili örnekleme planlarında çıkan ortalama kalitesini (ÇOK) aşağıdaki formül yardımıyla buluruz. II ( ) + ( ) I [ Pα N n Pα N n n ] p ÇOK = N Burada tüm kusurlu malların % veya örnekleme neticesinde değiştirildiğini varsayarız. Ortalama muayene sayısı (OMS) ise aşağıdaki şekilde bulunur. II ( ) ( ) I OMS = np α + n+ n Pα + N Pα I II I Hatırlanacağı üzere P = P + P eşitliği vardır ve öncelikle P α ve edilir. α α α II P α değerleri bulunarak P α elde 3.6. Ardışık (Sıralı) Örnekleme Planları Ardışık veya Sıralı örnekleme ikili ve çoklu örnekleme planlarının uzantısıdır. Sıralı örnekleme planlarında bir dizi örnek partiden alınır. Teorik olarak sıralı örnekleme parti % kontrol edilinceye kadar sürebilir. Pratikte ise sıralı örnekleme planında muayene edilen parça sayısı tekli örneklemede kullanılanın örnek hacminin üç katı olana dek sürer. Eğer her basamaktaki örnek büyüklüğü den büyükse bu tür sıralı örnekleme planına grup sıralı örnekleme denir. Eğer örnek büyüklükleri ise bire-bir sıralı örnekleme denir.

20 Birebir sıralı örnekleme sıralı olasılık oran testine (SPRT) dayanır. Bire-bir sıralı örneklemeye ait plan aşağıda verilmiştir. Kusurlu sayısı Red X R=h +sn 4 3 Örneklemeye devam X A=-h +sn - - h h 3 4 n Kabul Şekil. Sıralı Örnekleme Planı Kümülatif gözlenen kusurlu sayısı grafikte basamak şeklinde gösterilmiştir. Her nokta için x- ekseni belirli bir zamana kadar muayene için seçilen toplam parça sayısını verir, y ekseni ise gözlenen toplam kusur sayısını verir. Eğer çizilen noktalar kabul/red sınırları arasındaysa başka bir örnekle devam edilir. Bir nokta sınırların dışına çıkıncaya kadar devam edilir, sınır dışındaki bir nokta red/kabul kararını verir. Kabul çizgisinin altında yer alan bir nokta sonucu parti kabul edilirken, red çizgisinin üzerindeki nokta ise partinin reddedileceğini gösterir. Belirlenmiş p, -α, p ve β değerleri için kabul ve red sınırları için kullanılacak denklemler şöyledir: X A = h + sn X B = h + sn kabul çizgisi red çizgisi Bu denklemlerde h ve h değerleri ise aşağıdaki gibi bulunur.

21 β α h = log / k ; h = log / k α β ( p ) ( p ) p k=log ; s=log[ ( -p ) / ( p) ]/ k p Bir örnekte gösterilmek istenirse, p =., α=.5, p =.6 ve β =. değerleri için sıralı örnekleme planı oluşturalım. ( p ) ( p ) ( )( ) ( )( ) p.6.99 k=log = log =.866 p..94 β.95 h = log / k = log /.866=. α. α.9 h = log / k = log /.866=.57 β.5 s=log[ ( -p ) / ( p) ]/ k = log[.99/.94]/.866 =.8 Buradan sınırlar ( ) ( ) XA =. +.8 n kabul XB = n red olarak elde edilir. n=45 için sınırlar kabul için.4 red için.83 olarak belirlenir. Bu değerler tamsayı olması gerektiğinden yuvarlanarak ve 3 değerleri elde edilir Ardışık (Sıralı) Örnekleme için Ortalama Örnek Sayısı, Çıkan Ortalama Kalite Eğrisi ve Ortalama (Toplam) Muayene Sayısının Belirlenmesi Sıralı örnekleme planında eğri üzerindeki iki nokta (p,-α) ve (p, β) dir. Eğri üzerindeki üçüncü nokta, eğrinin ortasına yakın olan p=s noktasıyla p α =h /(h +h ) noktasıdır. Sıralı örneklemede ortalama örnek sayısı p ASN=P A ( ) B β β P olur. A=log, B=log, C=plog ( p) log p α + α + C C -α α p p Çıkan ortalama kalite ise ÇOK dir. Pα p OMS A Pα C Pα N Ortalama muayene sayısı ise = + ( ) şeklinde hesaplanır.