ASAL YAKIN HALKALAR ÜZER NE ON PRIME NEAR-RINGS

Transkript

1 Asal Yak n Halkalar Üzerine C.B.Ü. Fen Bilimleri Dergisi ISSN C.B.U. Journal of Siene 2.2 (26) (26) ASAL YAKIN HALKALAR ÜZER NE Ak n Osman ATAGÜN* Eriyes Üniversitesi, Yozgat Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, 661 Yozgat, TÜRK YE Özet: Yak n-halkalarda asall n bir çok farkl genelle tirilmesi çal lm t r. Bu çal mada, asal yak n- halkalar için 1 -asal yak n-halkalar ad yla yeni bir genelle tirme verilmi tir. Bir N yak n-halkas üzerinde, 1 - N-grup kavram tan mlanm ve 1 -asal yak n-halkalar ile 1 -N-gruplar aras nda literatüre uygun bir ili ki oldu u ispatlanm t r. 199 y l nda Booth, Groenewald ve Veldsman taraf ndan tan t lan e-asal yak n- halkalar n, ayn zamanda 1 -asal oldu u ispatlanm t r. Bunun tersinin yak n-halkan n s f r-simetrik olmas halinde bile do ru olmayaa na bir örnek verilmi tir. Anahtar Kelimeler: Asal yak n-halka, N-grup, e-asal ON PRIME NEAR-RINGS Abstrat: Several different generalizations of primeness in near-rings have been studied. In this study, a new generalization for prime near-rings alled 1 -primeness has been given. On a near-ring N, the onept 1 - N-group has been defined and it has been proved that there is a relation, whih is suitable in the literature, between 1 -prime near-rings and 1 -N-groups. It has been proved that the e-prime near-rings, defined by Booth, Groenewald and Veldsman in 199, are also 1 -prime. An eample has been given for the onverse is not true even when N is zero-symmetri. Key Words: Prime near-ring, N-group, e-prime. MOS Classifiation. 16Y *aoatagun@eriyes.edu.tr

2 C.B.Ü. Fen Bil. Dergisi (26) , 26 /A. Osman ATAGÜN gerekmeyen bir grup, (N,.) bir yar grup ve, y, z N için ( y) z z yz 1. G R Yak n-halkalarda asall k kavram için baz genelle tirmeler bir çok yazar taraf ndan tan mlanm t r. [1] de Holombe yak n- halkalar için üç farkl asall k kavram üzerinde çal m adland rm t r. ve bunlar -, 1- ve 2-asal eklinde Groenewald bu kavramlar üzerinde yeni sonuçlar elde etmi ve 3-asall k ad yla yeni bir genelle tirme vermi tir [2]. Booth, Groenewald ve Veldsman e-asall k ad yla farkl bir tan m ortaya koymu lard r [3]. Bu çal mada, bir N yak n-halkas nda N- grupsall k kavram tan t laak ve bunun yard m yla 1 -asal yak n-halka olarak isimlendirilen, yukar da belirtilen genelle tirmelere bir yenisi ilave edileektir. Halkalarda kar l modüller olan, bir N yak n-halkas n n N-gruplar için, 1 -asal yak n- halka tan m na uygun olarak, 1 -N-grup kavram tan t laak ve 1 -asal yak n-halkalar ile 1 -N-gruplar aras nda literatüre uygun bir ili ki oldu u ispatlanaakt r. e-asal yak n- halkalar n, ayn zamanda 1 -asal oldu u ispatlanm t r. Fakat, bunun tersinin yak n- halkan n s f r-simetrik olmas durumunda dahi do ru olmayaa 2. ÖNB LG LER Bir N ümlesi, + ve. na bir örnek verilmi tir. eklinde gösterilen iki ikili i lem ile, (N, ) de i meli olmas (sa dan da lma) özelliklerini sa l yorsa, (N,,.) üçlüsüne bir sa yak n-halka denir. Bu çal ma da, tüm yak n-halkalar sa yak n-halka olarak al naakt r. Bir N yak n- halkas nda, { n N : n } N o ümlesine N yak n-halkas n n s f r-simetrik k sm ad verilir. E er N N o s f r-simetrik yak n-halka denir. ise, N ye bir N bir yak n-halka olsun. N üzerinde bir yak n-modül, ya da daha çok kullan lan ifadesiyle bir N-grup, a a sa layan bir daki ko ullar toplamsal grubu ile birlikte üzerinde N nin bir i lemine (yani, N,(, ) eklindeki bir dönü üme) denir: için,, y N ve ( y) y ve ( y ) ( y ). N bir yak n-halka ve bir N-grup olsun. n n N (N-grup i lemi alt nda) art n sa layan bir grubuna alt n n bir N-alt grubu denir ve N ile gösterilir. E er ( : ) N { n N : için n } { } ise ya bir faithful N-grup ad verilir. N bir yak n-halka ve A; B N olsun. Bu durumda AB { ab: a A, b B} eklinde tan mlanaakt r. 199 y l nda Booth, Groenewald ve Veldsman [3] e-asal yak n- 136

3 Asal Yak n Halkalar Üzerine halka tan m n yak n-halka olsun. E er ve u ekilde vermi lerdir: N bir, y N, a N n N için an any iken y oluyorsa, N ye bir e-asal yak n-halka denir.1992 y l nda Booth ve Groenewald [4] e- asal N-grup tan m n u ekilde vermi lerdir: N bir yak n-halka ve bir N-grup olsun. E er, N, a N ( : ) N, n N ve 1, 2 için 2 an 1 an olmas 1 2 olmas n gerektirir, N artlar sa lan yorsa ya bir e-asal N-grup denir. e- asal yak n-halkalar ve e-asal N-gruplar aras nda a a daki gibi bir ili ki vard r: N bir yak n-halka olsun. Bu durumda N nin bir e- asal yak n-halka olmas için gerek ve yeter art N nin bir faithful e-asal N-grubu olmas d r [4]. Bu çal mada 1 -asal yak n-halkalar ile 1 -Ngruplar aras nda yukar dakine benzer bir ili ki oldu u da ispatlanaakt r. Çal mada tan m verilmeyen kavramlar için [5] kaynak olarak al nabilir. 3. YAKIN-HALKALARDA GRUPSALLAR 3.1 Tan m N bir yak n-halka ve A N olsun. E er NA N ise, yani (NA, ) (N, ) n n bir alt grubu ise, A ya bir N- grupsal denir ve A N ile gösterilir. 3.2 Lemma N bir yak n-halka olsun. Bu durumda N nin kendisi ve N nin tek noktal her alt ümlesi bir N-grupsald r. spat: n N için (Nn, ), (N, ) n n bir alt grubudur. Gerçekten, N bir sa yak n- halka oldu undan, y N için n yn ( y) n Nn dir. Yak n-halkalarda grupsall k kavram için a a daki örnekler verilebilir: 3.3 Örnek Z tam say lar halkas nda {,2} ve {,3} alt ümleleri Z-grupsald r. Fakat bunlar n birle imi olan {,2,3} alt ümlesi bir Z-grupsal de ildir. Buradan herhangi iki grupsal n birle iminin yine bir grupsal olmak zorunda olmad 3.4 Örnek S 3 görülür. simetrik grubu üzerinde Çizelge 1 ile verilen i lemler alt nda tan mlanan N yak n-halkas n alal m [6, Eample 3.7]. Yak n-halka tan m ndan da görülee i gibi, her halka ayn zamanda bir yak n-halkad r. Bu kesimde, sadee yak n-halkalar de il halkalar için de yeni bir yap olan grupsall k kavram tan t lm t r. 137

4 C.B.Ü. Fen Bil. Dergisi (26) , 26 /A. Osman ATAGÜN E er A {},{1 } veya {,1} al n rsa, oldu unu kabul edelim., y N ve NA {,1} görülee i gibi ve dolay s yla Çizelge 1 den de A N dir. N nin bunlar A, B N için A By olsun. Bu durumda A By d r. Dolay s yla d ndaki tüm A alt ümleleri için NA N oldu undan yine A N dir. O halde N yak n-halkas n n tüm alt ümleleri N- grupsald r. için ( A A( By) ) B( y ( A) ) ( By) d r. Burada 1, y 2 diyelim. 4. C 1 -ASAL YAKIN-HALKALAR VE C 1 -N-GRUPLAR 4.1 Tan m N bir yak n-halka olsun. E er, y N ve A, B N için A By olmas y olmas n gerektiriyorsa N ye bir 1 -asal yak n-halka ad verilir. Bu tan ma benzer olarak a a verebiliriz. daki tan m 4.2 Tan m N bir yak n halka ve bir N-grup olsun. E er 1, 2 ve A, B N için A 1 B 2 olmas 1 2 olmas n gerektiriyorsa, ya bir 1 -N-grup ad verilir. Bir 1 -asal N yak n-halkas ile 1 -Ngruplar aras nda a a daki ili ki mevuttur. 4.3 Önerme N s f r-simetrik bir yak n- halka olsun. Bu taktirde, N nin 1 -asal olmas için gerek ve yeter ko ul s f rdan farkl bir faithful 1 -N-grubunun mevut olmas d r. spat: N 1 -asal olsun. N al n rsa ispat n birini taraf elde edilir. Yani N nin kendisi bir faithful 1 -N-gruptur. spat n ikini taraf için, n n s f rdan farkl bir faithful 1 -N-grup Dolay s yla A 1 B 2 dir. bir 1 -Ngrup oldu undan 1 2 dir. O halde için y ve buradan ( y) elde edilir. faithful oldu undan y : ), yani y gösterir. A a ( N olur. Bu ise N nin 1 -asal oldu unu daki teorem 1 -asall k ve e-asall k aras ndaki ili kiyi vermektedir. 4.4 Teorem Her e-asal yak n-halka bir 1 - asal yak n-halkad r. spat: N bir e-asal yak n-halka, ve, y y olsun. O halde e-asall k tan m ndan an any N olaak ekilde bir a N {} ve bir n N vard r Lemma dan a, n N için { an} N dir. E er A B {an} al n rsa, A By olaak ekilde Dolay s yla N 1 -asald r. A, B N elde edilir. Bu teoremin tersi yak n-halkan n s f r- simetrik olmas durumunda dahi do ru 138

5 Asal Yak n Halkalar Üzerine de ildir. Bunu göstermek için a a yeterlidir. daki örnek 4.5 Örnek [7, eample 4] (N, ) mertebesi 3 olan bir grup olsun. Bu grup üzerinde çarpma i lemi, y, y, y ile tan mlan rsa N bir s f r-simetrik sa yak n- halka olur. N nin bir 1 -asal yak n-halka oldu unu gösterelim., y N, y alal m. a, b N, a b olmak üzere A {, a} ve B {, b} seçelim. Bu durumda NA NB N oldu undan A, B N dir. Bu durumda yani A By {, a} { y, by} {, a} {, y} {, a} A By elde edilir. Dolay s yla N 1 - asald r. imdi N nin e-asal olmad n gösterelim. durumda, yani, y N, y n n ny ny, n, n A B alal m. Bu n N için n ny, fakat y Dolay s yla N bir e-asal yak n-halka de ildir. dir. KAYNAKLAR 1. Holombe, W. L. M., Primitive nearrings, Dotoral Dissertation, University of Leeds, Groenewald, N. J., Different Prime Ideals in Near-rings, Comm. Algebra, 1, , Booth. G. L., Groenewald, N. J., Veldsman, S., A Kurosh-Amitsur Radial For Near-rings, Comm. Algebra 18, , Booth. G. L., Groenewald, N. J., Equiprime Left Ideals and Equiprime N-groups of a Near-ring, Contributations to General Algebra 8, 25-38, Pilz, G., Near-rings, 2nd. ed., Amsterdam, North-Holland, Groenewald, N. J., Prime near-rings and Speial Radials, East-West J. of Math., 3, , Booth. G. L., Groenewald, N. J., Different Prime Ideals in Near-rings II, Rings and Radials (B. J. Gardner, Liu Shaoue, R. Wiegandt (eds.)), Shijiazhaung 1994, Pitman Res. Notes Math., 346, , Geli Tarihi: 5/1/26 Kabul Tarihi: 9/5/26 139

6 14 C.B.Ü. Fen Bil. Dergisi (26) , 26 /A. Osman ATAGÜN