BİYOİSTATİSTİK MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ

Transkript

1 BİYOİSTATİSTİK MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ B Doç. Dr. Mahmut AKBOLAT

2 *Bir veri setinin merkez noktasını gösteren, serinin normal değerinin bir göstergesi olan ve veriyi tek bir değerle ifade eden değerlere merkezi eğilim ölçüleri adı verilir. Bir verinin ortalaması onun en küçük ve en büyük değeri arasında yer alır. X Ortalama X min max *Herhangi bir veri grubu, sınıflandırma veya gruplandırma yoluyla özetlenebildiği gibi, bu veri gurubu, ortalaması alınarak da özetlenebilir. Bu durumda, veri grubu, tek bir sayı ile de temsil edilir. Yani, merkezi eğilim ölçüleri, istatistiksel özetlemeyi en ileri seviyede yapan ölçülerdir.

3 *Ortalamaların Faydaları: 1. Ortalamalar çoğu zaman serinin normal değerini gösterir. Tabi bunun için serinin dağılımının da aşırı çarpık olmaması gerekir. 2. İstatistik analiz işleminin temel elemanlarından biridir. 3. Aynı birimle ölçmek kaydıyla farklı serileri karşılaştırmaya imkan tanır. 4. Tek bir sayı olması sebebiyle hatırda tutulması kolaydır.

4 *Herhangi bir ortalamanın, ait olduğu seriyi temsil edebilmesi için, o serideki, verilerin büyük bir çoğunluğuna değerce yakın olması gerekir. *Eğer, bir serinin bütün terimleri birbirine eşit ise, bu serinin ortalaması, seriyi tam temsil eder. Fakat istatistik kolektif olaylarla ilgilendiği için ve kolektif olaylara etki eden faktörler de tam kontrol altına alınamadığı için, bir serideki bütün terimlerin birbirine eşit olması mümkün değildir. *Simetrisi hafifçe bozulmuş, sağa veya sola eğik serilerin ortalamaları da oldukça temsili kabul edilir. Buna karşılık j, ters j ve u serilerinin terimleri, belirli bir merkezi değer etrafında toplanmadıkları için, bunlar hakkında hesaplanacak ortalamalar temsili değildir

5 Ortalamalar Analitik Ortalamalar (Parametrik, Duyarlı Ortalamalar) 1. Aritmetik ortalama 2. Geometrik ortalama 3. Harmonik 4. Kareli ortalama Analitik Olmayan Ortalamalar (Parametrik Olmayan, Duyarlı Olmayan Ortalamalar) 1. Mod ortalama 2. Medyan ortalama 3. Kartil 4. Desil 5. Pörsentil

6 *Veri grubundaki veya serideki her bir değeri hesaba katarak belirlenen ortalamalardır. Değerlerden birinin değişmesi durumunda ortalama değer de değişir. Bu sebeple analitik (parametrik) ortalamaların tamamı serideki aşırı uçlardan etkilenirler. *Parametrik ortalamalar, basit ve sınıflandırılmış seriler için kesin, gruplandırılmış seriler için yaklaşık sonuçlar verir. Ayrıca dikkat edilmesi gereken bir durum da, parametrik ortalamalar eşit aralıklı (interval scale) ve oranlı (ratio scale) ölçek düzeyleri ile elde edilmiş, sayısal değişkenler için kullanılır. Parametrik ortalamalar değişkenin ölçü birimi cinsinden elde edilir. Örneğin, ağırlık ortalaması kg, boy uzunluğu ortalaması ise cm cinsinden elde edilir. Parametrik ortalamalar arasında H.O.<G.O.<A.O.<K.O. eşitsizliği vardır.

7 *En yaygın kullanılan ortalama çeşididir. Aritmetik ortalama basit olarak; verilerin top lanıp, veri sayısına bölünmesiyle elde edilir ve X sembolü ile gösterilir. *Veriler, normal (simetrik) dağılıyorsa, eşit aralıklı (interval scale) veya oranlı (ratio scale) ölçekle elde edilmiş ise bu tür serileri en iyi temsil eden ortalama, aritmetik ortalamadır. *X değişkenin aldığı değerler, aritmetik dizi şeklinde artış veya azalış gösterir. Verilerin dağılımı, çarpık ve aşırı uç değerler sahipse, aritmetik ortalamaya güvenilmez. Aritmetik ortalama kıyaslama amacıyla kullanılır

8 *Aritmetik ortalama basit, sınıflandırılmış ve gruplandırılmış seriler için aşağıdaki gibi hesaplanır. Basit Seri X = X i n Sınıflandırılmış Seri X = f ix i f i Gruplandırılmış Seri X = f im i f i Xi : i. gözlem değeri fi : i. değerin frekansı mi : i. sınıfın orta noktası N : toplam gözlem sayısı

9 *Örnek: Verileri 6, 5, 4, 5 olan basit serinin-aritmetik ortalamasını bulmak için bütün veriler toplanır ve veri sayısı olan 4 e bölünerek aşağıdaki gibi bulunur. X = X i n = 20 4 = 5

10 *Örnek: Aşağıdaki sınıflandırılmış serinin aritmetik ortalamasını bulmak için, verilere karşılık gelen frekans değerleri ile veriler çarpılır ve sonuçlar toplanır. X f f.x Toplam 5 22 *Elde edilen toplam, toplam frekansa bölünerek aşağıdaki sonuç elde edilir. X = f ix i f i = 22 5 = 4,4

11 *Örnek: Aşağıdaki gruplandırılmış serinin aritmetik ortalamasını bulmak için, her bir sınıfın sınıf ortalaması bulunur. Ortalamalara karşılık gelen frekans değerleri ile ortalamalar çarpılır ve sonuçlar toplanır. Notlar f m f.m 2-4 den az 10 (2 + 4)/2 = dan az 20 (4 + 6)/2 = den az 10 (6 + 8)/2 = 7 70 *Elde edilen toplam, toplam frekansa bölünerek aşağıdaki sonuç elde edilir. Toplam X = f im i f i = = 5

12 * Örnek: Sakarya Doğumevi nde Eylül Ayı ilk haftasında doğan 100 erkek bebeğin ağırlıkları aşağıda verilmiştir. Bebeklerin ağırlıklarının aritmetik ortalamasını hesaplayınız. 3,45 3,1 3,25 3,5 3,45 3,15 3,2 3,3 3,6 3,55 3,35 3,25 3,2 3,1 3,45 3,35 3,5 3,65 3,65 3,3 3,8 3,2 3,3 3,55 3,1 3,2 3,2 3,6 3,35 3,6 3,4 3 3,5 3 3,3 3,4 3,5 3,6 3,2 3,6 3,5 3,4 3,2 3,3 3,65 3,45 3,45 3,5 3,4 3,4 3,3 3,45 3,4 3,2 3,5 3,15 3,65 3,7 3,35 3,2 3,5 3,1 3,3 3,6 3,75 3,2 3,3 3,1 3,4 3,35 3,45 3,3 3,5 3,25 3,7 3,4 3,4 3,2 3,3 3,35 3,4 3,6 3,5 3,4 3,8 3,4 3,6 3,35 3,65 3,8 3,1 3,6 3,85 3,4 3,55 3,85 3,1 3,7 3,4 3,85

13 X X 1 X 2... X N N X X i 341,25 N 100 X 3, 41Kg

14 * Örnek: Bir hastanede dahiliye uzmanlarının hasta muayene sürelerinin dağılımı aşağıdaki gibidir. Dahiliye hasta muayene süresinin aritmetik ortalamasını bulunuz. Hasta Muayene Süresi (dakika) (X i ) Hekim Sayısı (f i ) f i X i * Seri tasnif edilmiş olarak verilmiştir. O halde aritmetik ortalaması: Toplam f i =23 f i x i =321 X 14dakika / hasta X 5 i1 5 i1 f i X f i i

15 * Örnek: Bir işyerinde yapılan telefon görüşmelerinin süresinin dağılımı için aşağıdaki gruplanmış seri verilmiştir. Buna göre görüşme süresinin aritmetik ortalamasını bulunuz. Hasta Ziayreti süresi (dakika) Ziyaret sayısı (f i ) m i f i m i 0-10 den az 10 5=[ (0+10)/2] =[(10+20)/2] =[(20+30)/2] =[(30+40)/2] =[(40+50)/2] 1125 Toplam f i =130 f i m i = 3700 Verilen seri gruplanmış olduğuna göre aritmetik k ortalama X X k i1 k i1 X f i m i f i i1 k i1 fim formülü ile hesaplanır. 28,5 dakika f i i

16 * Bir serideki gözlem değerlerinin önem dereceleri farklı olursa, bu tür serilerin aritmetik ortalaması tartılı olarak hesaplanır. Bunun için önem derecesini gösteren katsayılar (tartılar) kullanılır. Örnek olarak öğrencilerin ortalama notlarını hesaplarken derslerin kredileri tartı olarak düşünülürken, ücretlerin belirlenmesinde kıdem tartı olarak kabul edilebilir. * Basit seride * Tasnif edilmiş seride *Gruplanmış seride X X X T T T ti ti t i t t f i f i X t i i i X f f i m i i i i şeklinde hesaplanır.

17 * Örnek: Aşağıda bir öğrencinin almış olduğu dersler, notları ve kredileri verilmiştir. Not ortalamasını tartılı aritmetik ortalama cinsinden hesaplayınız. Dersler Notlar (X i ) Kredi (t i ) t i X i İstatistik X T t i X t i i Matematik Fizik X T 63,33 puan Kimya Toplam 260 t i =12 t i X i =760

18 * Örnek Bir hastanede hemşirelerin ücretleri kıdemleri dikkate alınarak hesaplanmaktadır. Kıdemlerine göre verilen saat ücretleri aşağıdaki gibi olduğuna göre, saat başına hemşire ücretini tartılı aritmetik ortalama cinsinden hesaplayınız. Saat ücreti (TL) Ortalama Hemşire kıdem sayısı (f i ) (t i ) m i f i t i f i t i m i f i m i 5,1 6,0 10 5,0 5,6 50,0 280,0 56,0 6,1-7, ,0 6,6 200,0 1320,0 132,0 7,1-8, ,0 7,6 375,0 2850,0 190,0 8,1-9, ,0 8,6 700,0 6020,0 301,0 9,1-10, ,0 9,6 250,0 2400,0 96,0 Toplam , ,0 775,0 X f i t f i i m t i i X 8,2 TL / saat

19 * Veriler arasında önem farkı bulunması halinde kullanılır. * Oranların ve ortalamaların ortalaması hesaplanırken kullanılır. * Ortalama maliyet ve satış fiyatı, bileşik fiyat ve miktar indekslerinin hesaplanmasında da tartılı ortalama kullanılır. * Örnek: Bir hastanede üç farklı klinikte bir yıllık sürede tedavi ettikleri hasta sayısı ve hasta sayılarına göre hesaplanan ölüm oranları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Buna göre bu kliniklerde meydana gelen ölüm oranı nedir? Klinikler Hasta sayısı (ti) Ölüm oranı (Xi) A ,003 3 B , C ,001 5 tixi ti = 8000 Xi = 0,009 tixi = 18 X X T T tix t i 0,002 i Kliniklerin ölüm oranı %0,002 dir.

20 1. Aritmetik ortalama hassas bir ortalama olup serideki aşırı değerlerden etkilenir ve aşırı değere doğru kayma gösterir. 2. Serinin gözlem sayısı ile aritmetik ortalaması çarpılırsa serinin toplam değeri elde edilir. N.X X i 3. Serideki gözlem değerlerinin aritmetik ortalamadan sapmaları toplamı sıfır olur. X i NX ( X i X ) X i NX X X 0 N N 4. Serideki değerlerin aritmetik ortalamadan sapmalarının kareleri toplamı minimum olur. 2 ( X i X ) Minimum

21 5. Bir serinin bütün değerlerine c gibi bir sabit sayı ilave edilir ya da çıkarılırsa o serinin aritmetik ortalaması da c kadar artar ya da azalır. 6. Bir serinin bütün değerleri c gibi sabit bir değerle çarpılır ya da bölünürse o serinin aritmetik ortalaması c oranında artar, ya da c oranında azalır. 7. Aritmetik ortalama özellikle normal dağılıma yakın serilerin ortalaması için elverişlidir. 8. Bir serinin değerleri, diğer iki serinin değerleri toplamından oluşuyorsa bu serinin aritmetik ortalaması da diğer iki serinin aritmetik ortalamaları toplamına eşit olur. X =Y +Z

22 *Aritmetik ortalamayı SPSS te analyze menüsünün Reports kısmından hesaplamak mümkündür. Bunun için Analyze ve case summaries tıklanır.

23 *Gelen ekranda Variables kısmına Ağırlık değişkeni girilir ve Statistics tıklanır. Gelen ekranda Cell statistics kısmına Mean atanır. Continue ve OK tıklanarak sonuçlar çıktı ekranında görüntülenir. Sonuç çıktı ekranında şöyle görüntülenir.

24 Aritmetik ortalamanın belli bir değişkenin kategorilerine göre hesaplanması: Bunun için katılımcıların yaşlarının aritmetik ortalamasını cinsiyet özelliğine göre hesaplayacağız. Analyze menüsünden Reports ve Case summaries tıklanır. Gelen ekranda Variables kısmına yaş, Grouping variable(s) kısmına cinsiyet değişkeni girilir ve statistics tıklanır ve gelen ekranda Mean girilip Continue ve OK tıklanır.

25 *Sonuçlar SPSS ekranında aşağıdaki gibi görüntülenir.

26 *SPSS te aritmetik ortalamayı hesaplayabilmek için Analyze menüsünden Descriptive Statistics seçeneği tıklanır. Gelen ekranda Variable(s) kısmına ortalamasını hesaplamak istediğimiz değişkenleri (yaş ve çalışma süresi) girilir.

27 *Options tıklanır ve gelen ekranda Mean (aritmetik ortalama) işaretlenir ve Continue ve OK tıklanarak sonuçlar çıktı ekranından alınır.

28 *Sonuçlar aşağıdaki şekilde elde edilir. Gözlem sayısı En küçük değerler En büyük değerler Verinin toplamı Aritmetik ortalama Standart sapma

29 *Aynı seride çalışanların görevlerine göre ağılrlandırılarak aritmetik ortalama hesaplanırken, data menüsünden görev değişkenini frekans olarak tanımlayabilmek için Data menüsünden Weight cases tıklanır ve gelen ekranda Weight cases by kısmına görev değişkeni girilir böylece frekans tanımlanmış olur.

30 *Analyze menüsünden Reports ve Case summaries tıklanır. Gelen ekranda Variables kısmına yaş değişkeni girilir ve statistics tıklanır. Gelen ekranda Mean seçilir, continue ve OK tıklanarak sonuçlar çıktı ekranından alınır. Sonuçlar aşağıdaki gibi görüntülenir.

31 Analyze menüsünden Descriptive statistics kısmından Descriptive tıklanır. Gelen ekranda Variable(s) için yaş girilir. Options tıklanır Mean işaretlenip Continue ve OK tıklanır

32 *Sonuçlar çıktı ekranında aşağıdaki gibi görüntülenir. En küçük değerler En küçük değerler Verinin toplamı Aritmetik ortalama Standart sapma

33 *Geometrik ortalama basit olarak; bütün verilerin çarpılarak, veri sayısının kök kuvvetine alınmasıyla elde edilir ve G sembolü ile gösterilir. *Geometrik ve aritmetik seri şeklinde artış veya azalış gösteren verileri, en iyi temsil eden ortalama geometrik ortalamadır. *Veriler, normal (simetrik) dağılmak, eşit aralıklı (interval scale) veya oranlı (ratio scale) ölçekle elde edilmiş olmalıdır. *Tıbbi verilerin çoğunluğu normal dağılım göstermekle birlikte, artan ya da azalan veri türlerine sık rastlanmaz. *Geometrik ortalama, logaritmaları alınmış verilerin aritmetik ortalamaları alınarak elde edilen sonuca, antilogaritma uygulanarak daha kolay bulunabilir. *Terimlerin kendileri yerine, oranları ile ilgileniliyorsa, serinin geometrik ortalaması hesaplanır.

34 *Geometrik ortalama basit, sınıflandırılmış ve gruplandırılmış seriler için aşağıdaki gibi hesaplanır. n Basit Seri G = X 1. X 2... X n veya logg = log X i n Sınıflandırılmış Seri f f G = X 1 f 1. X 2 f 2 X n n.. veya logg = f i. log X i f i Gruplandırıimış Seri f f G = m 1 f 1. m 2 f 2 m n n.. veya logg = f i. log m i f i

35 *Örnek: Son üç günde, tedavi için gelen hasta sayısı 2, 4, 8 dir. Bu basit serinin geometrik ortalaması nedir? 3 G = = 64 = 4 3 = 4 biçiminde veya her iki tarafın 10 tabanına göre logaritması alınarak, log2 + log4 + log8 LogG = 3 0, , ,90309 = 3 = 0,60206 elde edilen sonuca, anti logaritma uygulanır ve log G = 0,60206 G = 10 0,60206 = 4 değeri elde edilir.

36 *Örnek: Aşağıdaki sınıflandırılmış serinin geometrik ortalaması için, Sınıflar f Toplam 4 G = f X 1 f 1. X 2 f 2 X n f n 4 = = 2 8 = 4 sonucu bulunur.

37 *Örnek: Aşağıdaki gruplandırılmış serinin geometrik ortalaması bulabilmek için, sınıf Sınıflar f m Toplam 8 G = f m 1 f 1. m 2 f 2 m n f n 8 = = = 5,6 sonucu bulunur.

38 *Örnek Bir işletmede çalışan işçilerin belli bir günde ürettikleri kusurlu parça sayılarının dağılımı aşağıda verilmiştir. Bu verilerden hareketle işçi başına günlük kusurlu parça üretiminin geometrik ortalamasını bulunuz. G logg Kusurlu parça sayısı İşçi sayısı (f i ) m i logm i f i logm i 0 10 dan az 5 5 0, , den az 8 11,5 1,0606 8, den az ,146 11, den az 12 17,5 1,243 14, den az ,477 7,385 f k i i m f 1 1 m f 2 2 m f i = 40 f i logm i = f 3 3 m fi logmi 1 45,74065 logg 1,1436 k 40 fi i1 f k k ,1436 G 10 G=13,918 G=13,918 parça

39 *Örnek Bir işletmede çalışan işçilerin belli bir günde ürettikleri kusurlu parça sayılarının dağılımı aşağıda verilmiştir. Bu verilerden hareketle işçi başına günlük kusurlu parça üretiminin geometrik ortalamasını bulunuz. G logg Kusurlu parça sayısı İşçi sayısı (f i ) m i logm i f i logm i 0 10 dan az 5 5 0, , den az 8 11,5 1,0606 8, den az ,146 11, den az 12 17,5 1,243 14, den az ,477 7,385 f k i i m f 1 1 m f 2 2 m f i = 40 f i logm i = f 3 3 m fi logmi 1 45,74065 logg 1,1436 k 40 fi i1 f k k ,1436 G 10 G=13,918 G=13,918 parça

40 *Geometrik diziye benzer değişim gösteren nüfus, milli gelir artışı, fiyat artışı ve sermaye artışı gibi değişkenlerin tahmininde geometrik ortalama özelliğinden yararlanılabilir. Bu tür seriler genel olarak bir önceki yılın belli bir yüzdesi şeklinde değişim göstermektedir. Bunun için bir dönemlik (ay yıl vs)değişim oranı geometrik ortalama ile belirlenir. Bu eğilimin gelecekte de benzerlik göstereceği varsayımı ile gelecek dönem ile ilgili tahminler elde edilebilir. *Bir malın fiyatı için: *Po: başlangıç dönemi değeri, *Pn: n. Dönemin değeri, * r: bir dönemlik değişim yüzdesi ( 1 r) n Pn P 0 (1 r) n Pn P 0 P n P (1 r) 0 n şeklinde olur.

41 *Örnek Bir X malının 1995 yılı fiyatı TL, 2003 yılı fiyatı TL olduğu bilindiğine göre; *A) Bu malın yıllık fiyat artış oranını hesaplayınız *B) 2010 yılı için X malının fiyatını tahmin ediniz Çözüm * P1995 = P2003 = n= 8 ( ) * Fiyat artış oranı için geometrik artış dikkate alınırsa; A) Pn ( 1 r) n (1 r) P 8 30 (1 r) fiyat artışı %53 olur B) formülünden 2010 yılı fiyatı tahmin edilebilir. 8 1, 53 n P n P0(1 r) *P2010 = P2003(1,53)( ) P2010 = (1,53)7 = (19,626) * P2010 = TL olur.

42 1. Seride sıfır veya negatif gözlem değeri varsa geometrik ortalama hesaplanamaz. Çünkü sadece bir verinin bile sıfır olması sonucun sıfır, verinin negatif olması da sonucun negatif olmasına veya reel sayı olmamasına sebep olur. Örnek: Verileri -2, 4, 8 olan serinin geometrik ortalaması G = = 4 verileri 0, 4, 8 olan serinin geometrik ortalaması da, 3 G = = 0 olur.

43 2. Geometrik ortalama terimlerdeki anlık ve anormal artışlara karşı aritmetik ortalama kadar duyarlı olmayıp, aritmetik ortalamaya göre daha istikrarlı ve gerçeği daha iyi yansıtan bir ortalamadır. Örnek: Verileri 2, 4, 8, olarak verilen, basit bir serinin geometrik ortalaması, 3 G = = 4 Aritmetik ortalaması X = X i n = = 4,7 3 2, 4, 8 serisine 81 eklenirse, bu serinin geometrik ortalaması 4 G = = 8,5 X = X i n = = 23,8 olur.

44 *Basit serinin geometrik ortalaması *Basit bir serinin geometrik ortalamasını SPSS de hesaplamak için Analyze menüsünden Reports ve cases summary tıklanır.

45 *Gelen ekranda geometrik ortalaması bulunacak değişken(ler) Variables kısmına taşınır (Çalışma süresi). Statistics tıklanır ve gelen ekranda Geometric mean seçilir, continue ve OK tıklanır. Sonuçlar çıktı ekranında görüntülenir.

46 Sonuçlar çıktı ekranda aşağıdaki gibi görüntülenir.

47 *Tasnif edilmiş serinin geometrik ortalaması *Tasnif edilmiş bir serinin geometrik ortalamasını SPSS de bulabilmek için serinin frekansının tanımlanması gerekir. *Bunun için Data menüsünden Weight cases seçeneği tıklanıp frekans değişkeni Weight cases by kısmına taşınarak tanımlanmaktadır. Geometrik ortalama için diğer işlemler yukarıda anlatıldığı gibi yapılmaktadır.

48 *Frekans tanımlama işlemi

49 *Analyze menüsünden Reports ve cases summary tıklanır. Gelen ekranda geometrik ortalaması bulunacak değişken(ler) Variables kısmına taşınır (Çalışma süresi). Statistics tıklanır ve gelen ekranda Geometric mean seçilir, continue ve OK tıklanır. Sonuçlar çıktı ekranında görüntülenir. Sonuçlar aşağıdaki gibi görüntülenir.

50 *Harmonik ortalama bir serideki gözlem değerlerinin terslerinin aritmetik ortalamasının tersine eşittir. *Verileri X1,X2,...,Xn olan serinin tersleri 1/X1,l/X2,...,l/Xn olur. Tersleri alınan serinin, aritmetik ortalaması ise, 1 X X X n n olur. Bu aritmetik ortalamanın da tersi alınarak, H = n X 1 X 2 X n

51 *Harmonik ortalama basit, sınıflandırılmış ve gruplandırılmış seriler için aşağıdaki gibi hesaplanır. Basit Seri H = n 1 X i Sınıflandırılmış Seri Gruplandırılmış Seri H = H = f i f i X i f i f i m i

52 *Örnek: Bir ilkokulda 5. Sınıf öğrencilerinin okuma hızlarını ölçmek için yapılan araştırmada alınan sonuçlar şöyledir. 1 Buna göre öğrencilerin ortalama okuma hızını harmonik Xi ortalama ile bulunuz. 1 dakikada okunan kelime sayısı (X i ) 60 0,0167 H N i1 N 1 X i , , ,33 kelime/dakika 75 0, ,0125 Toplam 0,0711

53 Örnek: Bir ilkokulda 5. Sınıf öğrencilerinin okuma hızlarını ölçmek için yapılan araştırmada alınan sonuçlar 1 Xi şöyledir. Buna göre öğrencilerin ortalama okuma hızını harmonik ortalama ile bulunuz. Çözüm: Veriler, günlere göre, artan ve azalan dalgalanma gösteren zaman serisi olduğundan dolayı harmonik ortalama kullanılacaktır. Verileri 8, 2, 16, 4, 18 olan basit bir serinin harmonik ortalamasını H = n 1 X i = = 5,035 18

54 *Örnek: Okuma hızının ölçümü için sınıftaki 55 öğrenci gözleme tabi tutulmuş ve öğrencilerin okudukları kelime sayıları gruplanmış seri şeklinde verilmiştir. Bu sınıftaki öğrencilerin okuma hızının harmonik ortalamasını bulunuz. Dakika/keli me sayısı Öğrenci sayısı (fi) mi fi m , , , , ,026 fi = 55 0,762 i 1 Xi H fi 55 72,18 fi 0,762 mi kelime/dakika

55 *Harmonik ortalama az kullanılan ortalamalardan biri olup, özellikle oran şeklinde ortaya çıkan verilerin ortalamasında 1 kullanılır. Bir seride sabit ve değişken unsurun yer Xi değiştiriyorsa, yani sabit unsur, değişken, değişken unsur sabit oluyorsa böyle durumlarda harmonik ortalama kullanılır. *Hız yol (km)/zaman(saat) değişken *Verim zaman/parça zaman sabit, alınan yol parça sabit zaman değişken *Fiyat ödenen para(tl)/miktar(kg) miktar sabit, ödenen para değişken olarak ifade edilir. Bu ifadeler tam ters şekilde; yani sabit unsuru değişken, değişken unsuru sabit tutmak sureti ile de ifade edilebilir.

56 *Hız zaman/yol şeklinde ters olarak ifade edilebilir. (Belli uzunluktaki bir yolun ne kadar zamanda alındığı ifade edilebilir.) *Verim parça/zaman Belli bir zamanda üretilen parça sayısı şeklinde ifade edilebilir (zaman sabit üretilen parça sayısı değişken olmuştur). *Fiyat miktar/ödenen para Para miktarı sabit iken, bu paraya alınabilecek değişen mal miktarı şeklinde düşünülebilir. *Bu ve benzeri durumlarda hız, verim, fiyat vb. değişkenlerin ortalaması harmonik ortalama ile hesaplanabilir.

57 *Örnek: Bir Sağlık kuruluşunda alkol alımı için ayrılan aylık bütçe 1000 TL. olup, alkolün fiyatı aylara göre değişkenlik göstermektedir. Aşağıda hastanenin 6 aylık alkol alım fiyatı görülmektedir. Buna göre hastanenin 6 aylık alkol alımının ortalama fiyatını hesaplayınız. Aylar Fiyat (TL) Ocak 10 Şubat 11 Mart 12 Nisan 13 Mayıs 14 Haziran 16

58 Aylar itibari ile alınan alkol miktarı aşağıdaki gibi hesaplanabilir Aylar Fiyat/ Litre Alınan Miktar (Lt) Ocak ,00 0,10 Şubat 11 90,91 0,09 Mart 12 83,33 0,08 Nisan 13 76,92 0,08 Mayıs 14 71,43 0,07 Haziran 16 62,50 0,06 Toplam 485,09 0,49 Aylık toplam bütçe: 1000 X 6 = 6000 TL 6000 TL ye alınan mal miktarı: 485,09 Litre 1 Xi 1 Xi

59 *Malın ortalama fiyatı = ,09 12,4 TL/Litre Alınan malın fiyatının harmonik ortalama ile hesabı H n i1 n 1 X i 9 0,49 12,4 TL Görüldüğü üzere harmonik ortalama ile aynı sonuca ulaşılmıştır. Diğer ortalamalarla bu sonucun elde edilmesi mümkün değildir. Ancak uygun bir tartı kullanılarak tartılı aritmetik ortalama ile bu sonuca ulaşılabilir.

60 *Kareli ortalama serideki değerlerin karelerinin aritmetik ortalamasının kareköküdür. Kareli ortalama aşağıdaki formüllerle hesaplanır. *Basit seride: *Tasnif edilmiş seride: *Gruplanmış seride: N X K N X X X X K N i i N k i i k i i i k k k f X f K f f f f X f X f X f X f K k i i k i i i k k k f m f K f f f f m f m f m f m f K

61 *Örnek: Bir hastanenin dahiliye polikliniğine gelen hasta sayısının dağılımı aşağıda verilmiştir. Günler K K fi 10,93 Sayı f X i 2 i 2 X i fi X i Toplam K 10,93 11hasta

62 Örnek Bir şehirdeki konutlarda elektrik enerjisi tüketimi üzerine yapılan araştırmada, 200 konut rasgele seçilmiş ve aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. K K Aylık elektrik Tüketimi (Kwh) Konut sayısı (fi) mi mi 2 fi.mi Toplam k i1 k f i1 i m f 2 i 21179,375 i K 145,53Kwh / ay

63 *Diğer ortalamaların kullanılmadığı durumlarda kareli ortalama kullanılabilir. Bir seride sıfır ve/veya farklı işaretli değerler varsa geometrik ve harmonik ortalamalar hesaplanamaz, hesaplansa da mantıklı sonuçlar vermez. Eğer aritmetik ortalama da makul bir sonuç vermiyorsa kareli ortalama kullanılabilir. *Kareli ortalama özel olarak sapmalar serisinin ortalamasında kullanılır. Zira Xi - X sapmalar serisinin toplamı sıfır olduğundan { (Xi - X) = 0 }, bu serinin ortalaması kareli ortalama ile hesaplanabilir. Bu şekilde hesaplanan ortalamaya standart sapma adı verilir. *SPSS te kareli ortalama işlemi yapılamamaktadır. Bu sebeple kareli ortalamayı Excel kullanarak hesaplayabiliriz.

64 *Analitik ortalamalar arasındaki ilişkiler *Normal bir seride ortalamalar arasında aşağıdaki gibi bir büyüklük ilişkisi vardır. K >X > G > H

65 *EXCEL SAYFASINA VERİ GİRİŞİ SPSS TE OLDUĞU GİBİ GİRİLİR. HÜCRE TANIMLAMAK SURETİYLE İLGİLİ İŞLEMLER YAPILARAK ORTALAMALAR HESAPLANIR. AŞAĞIDA BASİT BİR SERİNİN ORTALAMALARI EXCEL ORTAMINDA GERÇEKLEŞTİRİLMİŞTİR.

66 *Önceki slaytta ortalama formülleri kullanılarak ortalamalar hesaplanmıştı. Ancak Excelde doğrudan ortalamaları hesaplayan fonksiyonlar vardır. Bunları kullanarak ta ortalamalar hesaplanabilir. 16

67 *Harmonik ortalamanın hesaplanması 14,

68 *Excel fonksiyonu kullanılarak Geometrik ortalamanın hesaplanması. Excelde kareli ortalama için fonksiyon yoktur. Kareli ortalama formül kullanılarak hesaplanır. 15,

69 *Excel sayfasına veri girişi SPSS te olduğu gibi girilir. Hücre tanımlamak suretiyle ilgili işlemler yapılarak ta ortalamalar hesaplanır. Aşağıda basit bir serinin ortalamaları Excel ortamında gerçekleştirilmiştir.

70 Örnek: Bir işletmede gerçekleştirilen günlük üretim miktarının dağılımı aşağıda verilmiştir. Bu verilerden hareketle; * Aritmetik ortalamayı, * Geometrik ortalamayı, * Harmonik ortalamayı, * Kareli ortalamayı bulunuz. Üretim (Kg) f i m i f i.m i f i /mi m i 2 f i m i 2 logm i f i logm i , , , , , , , , , , , , , , , , , ,635 Toplam , , ,01 * Aritmetik ortalama: 137,63 Harmonik ortalama: 112,64 * Geometrik ortalama: 127,36 Kareli ortalama: 145,53 * K = 145,53>X = 137,63 > G = 127,36> H = 112,64 olduğu görülür.

71 *Bu gruptaki ortalamalar serinin bütün değerlerini dikkate almayıp, sadece belli birkaç değerini, özellikle ortadaki değerleri esas alarak hesaplanan ortalamalardır. *Serinin bütün değerlerini dikkate almadan hesaplandıkları için analitik olmayan ortalamalar olarak adlandırılmaktadırlar.

72 Bir seride en çok tekrarlanan değere mod adı verilir. İstatistikte nispeten az kullanılan bu ölçü özellikle verilerin simetrik bir dağılış göstermediği durumlarda iyi bir ölçü olarak düşünülebilir. Basit ve tasnif edilmiş seride modun bulunması oldukça kolaydır. Seride en fazla rastlanan ya da frekansı en yüksek olan değer mod olarak ifade edilir. Eğer seride en çok tekrarlanan birden fazla eleman varsa bu tür seriler çok modlu seriler olarak isimlendirilir. Böyle serilerde modun tek bir değerle ifade edilmesi istenirse seri gruplanmış hale dönüştürülerek modu hesaplanabilir. Gruplama sonrasında da en yüksek frekansa sahip tek bir sınıf bulunamazsa sınıflar birleştirilerek mod hesaplanabilir.

73 Örnek:Adapazarı nda nisan ayında yağışlı gün sayısı için aşağıdaki iki veri elde edilmiştir. Nisan ayı yağışlı gün sayısının modunu bulunuz. Yağışlı gün sayısı Yağışlı gün sayısı Ay sayısı * Mod = 5gün Mod= 6 gün

74 Gruplanmış seride modu belirleyebilmek için önce modun içinde bulunduğu sınıf belirlenir. Mod sınıfı frekansı en fazla olan sınıftır. Gruplanmış seride modun hesaplanabilmesi için serinin sınıf aralığının eşit olması gerekir. Çünkü sınıf içindeki frekansların dağılımı sınıf aralıklarının büyüklüğüne göre değişir. Eğer sınıf aralıkları eşit değilse eşit hale getirmek gerekir. Eşit hale getirilemiyorsa modun bu şekilde hesaplanması uygun olmaz. Bu sınıf içindeki modun değeri aşağıdaki formülle bulunur. 1 Mod l1 s 1 2 Yukarıdaki formülde; l1: mod sınıfının alt sınırı 1: mod sınıfı frekansından bir önceki sınıf frekansının farkı, 2: mod sınıfı frekansından bir sonraki sınıf frekansının farkı, s: seride sabit olan sınıf aralığı

75 *Örnek Bir ilköğretim okulunda öğrencilerin günlük olarak aldıkları harçlıkların dağılımı aşağıda verilmiştir. Öğrencilerin aldıkları günlük harçlık miktarının ortalamasını mod ile belirleyiniz. Harçlık (TL/gün) Öğrenci sayısı 0 0,5 30 l 1 = 1 0, = = ,5 100 Mod sınıfı 1, = = ,5 20 s = 0,5 Mod Mod l s 1,3125TL / gün 2 Mod ,5 Mod 1,3125

76 *Örnek: Aşağıda bir parçanın üretim süreleri verilmiştir. Bu parçanın üretim sürelerinin a) Aritmetik (13,52) b) Geometrik (12,77) c) Harmonik (12,03) d)kareli ortalamalarını (14,25) e) modunu bulunuz. (11,67) Parça f i 2 m sayısı (f i ) m i f i m i m i i , Üretim süresi 2 fi m i , , , , Toplam ,

77 *Modun grafikle gösterilebilmesi için serinin histogramı çizilir. Histogramda en yüksek sütün mod sınıfına karşılık gelir. Burada modun yerini tayin etmek için en yüksek sütunun üst köşegenleri ile komşu sütunların bitişik üst köşeleri çapraz olarak birleştirilir. İki doğrunun kesim noktasından yatay eksene çizilen doğrunun ekseni kestiği nokta mod olarak tespit edilir.

78 *Ortalamalar arasında en temsili olanıdır. *Pratik hayatta çok kullanılan ortalamalardandır *Özellikle kalitatif (niteliksel) serilerin ortalaması mod ile ifade edilir. Göz rengi, medeni hal, marka, cinsiyet v.s gibi değişkenler kalitatif değişkenler olup sayısal olarak ifade edilemezler *Mod serideki aşırı değerlere karşı hassas değildir. Çünkü normal serilerde mod genellikle serinin orta bölgesinde yer alır, uç değerlerden etkilenmez. *Yukarıdaki avantajlarının yanında analitik olmaması sebebi ile matematik işlemlere elverişli olmaması dezavantajıdır. *J, ters J ve U tipi serilerde mod temsili alma özelliğini kaybeder. Böyle serilerde mod ya en küçük veya en büyük değere karşılık gelir.

79 *Eğitim durumun dağılımının modunu belirlemek istiyoruz. Bunun için Analyze menüsünden Descriptive ve Frequencies tıklanır.

80 *Gelen ekranda variable(s) kısmına Modu hesaplanacak Model değişkeni (eğitim durumu) girilir. Statistics tıklanır gelen ekranda Mode işaretlenir, continue ve OK tıklanarak sonuçlar çıktı ekranında görüntülenir. Çıktı aşağıdaki gibi görüntülenir.

81 *Sonucu frekans tablosu ile birlikte almak istersek frequencies ekranının altındaki Display frequency tables işaretlenerek OK tıklanır.

82 *Serideki değerler küçükten büyüğe sıralandığında tam ortaya düşen ve seriyi iki eşit parçaya bölen değere medyan adı verilir. Basit ve tasnif edilmiş seride medyanın bulunuşu: *Bunun için serideki değerler küçükten büyüğe sıralanır. Daha sonra N 1 medyana karşılık gelen değerin sıra değeri işlemi ile belirlenir. 2 Eğer bu işlemin sonucu tam sayı ise bu sıradaki eleman medyan olarak belirlenmiş olur. Eğer bu işlemin sonucu kesirli çıkarsa medyan iki değerin tam ortasına düşeceğinden bu iki değerin ortalaması alınarak medyan bulunur. *Örnek: Xi:15,8,12,23,45,32,5,18,16,28,39,51 Yukarıdaki serinin medyanını bulunuz. Önce serideki değerler büyüklük sırasına göre dizilir. Xi : 5,8,12,15,16,18,23,28,32,39,45,51 gözlem sayısı N=12 N ,5 2 2 düşer Medyan 2 sıradaki değer medyandır. Bu değer 18;23 arasına Medyan = 20,5 olur.

83 *Örnek: Aşağıda bir hastanede çalışan hekimlerin belli bir günde muayene ettikleri hasatların dağılımı verilmiştir. Bu verilerden hareketle hekim başına ortalama muayene sayısını medyanla belirleyiniz. *Çözüm: *Medyanın serideki sırası N ,5 Hasta sayısı Hekim sayısı İşçi sayısı ve daha az ve daha az ve daha az ve daha az ve daha az Toplam (N) 36 *Medyan = 18 hasta

84 *Gruplanmış seriler sürekli karakterde seriler olduğu için medyanın sıra değeri N/2 şeklinde bulunur. Bu değer toplam frekansın yarısına eşit olup serinin orta noktasını gösterir. Bu noktayı tespit etmek gruplanmış serilerde basit bir sayma işlemi ile mümkün olmaz. Bu işlemle medyanın içinde bulunduğu sınıf tespit edilir. Belirlenmiş olan medyan sınıfından hareketle aşağıdaki formül yardımı ile medyan değeri hesaplanır. m N 1 Ni 2 i1 Medyan L1 sm Nm l1 : Medyan sınıfının alt sınırı Nm : Medyan sınıfının frekansı Sm : Medyan sınıfının sınıf aralığı N/2 : Medyanın sıra değeri medyan 1 N i i1 : Medyandan sınıfından önceki frekanslar toplamı

85 *Örnek: Bir hastanede hemşirelere ödenen saat ücretlerin gruplandırılmış dağılımı aşağıda verilmiştir. Bu verilere göre medyan saat ücretini hesaplayınız. Saat ücreti (Bin TL) Hemşire sayısı Hemşire sayısı den az 10 l 1 = den az 60 N/2=150/2= Medyan sınıfı den az 100 Ni= N m = S m = = 100 Toplam 150 N sıradaki değer medyandır. 2 2 Bu değer sınıfına düşmektedir. Bu sınıf içindeki medyan değeri şöyle hesaplanır. Medyan m 1 N Ni 2 i L1 sm Medyan Medyan N 40 m 737,5TL / saat

86 *SPSS te Medyanı hesaplayabilmek için Reports ya da Descriptive statistics menülerini kullanabiliriz. *Analyze menüsünden Reports ve case summaries tıklanır. Gelen ekranda medyanı hesaplanacak değişken (Eğitim) variables kısmına taşınır. Statistics tıklanır, gelen ekranda Median seçilir continue ve OK tıklanarak sonuçlar çıktı ekranında görüntülenir. Çıktı ekranı

87 *Diğer bir yoldan Medyanı belirleyebilmek için Analyze menüsünden Descriptive ve frequencies tıklanır. Gelen ekranda Variable(s) kısmına medyanı hesaplanacak değişken ya da değişkenler (eğitim) taşınır. Statistics tıklanır gelen ekranda Median işaretlenir continue ve OK tıklanarak sonuçlar çıktı ekranından alınır. Çıktı ekranı

88 *Örnek: Yukarıdaki örneğin grafikle gösterimi Kümülatif frekans dağılımı Ters kümülatif frekans dağılımı Saat ücreti (Bin TL) f i f i 500 den az den çok den az den çok den az den çok den az den çok den az den çok den az den çok 0

89 *Medyanın grafik üzerinde gösterilebilmesi için kümülatif ve ters kümalatif frekans serilerin oluşturulması gerekir. Bu serilerin grafiği birlikte çizildiğinde iki eğrinin birbirini kestiği noktadan yatay eksene çizilen doğrunun ekseni kestiği nokta medyan olarak tespit edilir. Esasen bu işlemi sadece eğrilerden birini çizmekle de yapabiliriz. Eğrilerden biri çizildiğinde Y ekseninde N/2 değerine karşılık gelen noktadan X eksenine paralel çizildiğinde, bu doğrunun kümülatif eğriye temas ettiği noktadan X eksenine çizilen doğrunun ekseni kestiği noktada medyanı gösterecektir.

90

91 1. Pratik bir ortalamadır. Çünkü sadece basit bir sıralama işlemi gerektirir. 2. Özellikle açık sınıflı seriler için medyan daha bir önem kazanır. Bu tür serilerde diğer ortalamalar ya hesaplanamaz, ya da açık sınıflar için sınıf sınırları farazi olarak seçilerek hesaplanabilir. Mod ise sınıf aralıklarının eşit olmasını gerektirdiğinden hesaplanamaz. Medyan ise böyle serilerin ortalamasında problemsiz olarak hesaplanabilir. 3. Serideki aşırı değerlere karşı hassas değildir. Çünkü medyan serinin ortasına rastladığından, uçlarda oluşan aşırı değerler medyanı etkilemez. 4. Serideki değerlerin medyandan mutlak farkları toplamı minimum olur. Bu sebeple ortalama sapma medyandan sapmalar şeklinde de hesaplanmaktadır. Xi-medyan minimum 5. Medyanın zayıf tarafı serideki bütün değerleri dikkate almaması sebebi ile matematik işlemlere uygun olmamasıdır.

92 *Örnek: X hastalığı için yapılan bir araştırmada 2, 3, 4, 4 5, 6 verileri elde edilmiştir. Bu basit serinin mod ve medyan ını bulunuz. *Çözüm: Mod = 4 ve Medyan = 4 *Veriler SPSS e aşağıdaki gibi girilir.

93 *M od ve medyan ortalamayı elde edebilmek için, SPSS ekranında sırayla Analyze Descriptive Statistics Freqnencies menüsüne girilir. *Frequencies menüsü tıklandıktan sonra, görüntüye gelen ekranda X değişkeni, Variable(s) kısmına aktarılır.

94 *Statistics menüsü tıklanarak, statistics alanmdaki median ve mod işaretlenerek continue tıklanır. *Analizin sonucunu görebilmek için ok tıklanır ve sonuçlar aşağıdaki gibi elde edilir. Statistics X Valid 6 N Missing 0 Median 4,0000 Mode 4,00

95 *Q1, Q2, Q3 ile gösterilen üç kartil vardır. Kartiller seriyi %25 lik dilimlere ayırırlar. *İkinci kartil medyana eşittir *Basit ve sınıflandırılmış serilerdeki bu formüller, *Birinci Kartil Q 1 = N+2 4 *İkinci kartil Q 2 = 2N+2 4 *Üçüncü kartil Q 3 = 3N+2 4 = n+1 2 (Medyan)

96 *Örnek: Aşağıdaki basit seri için Q 1, Q 2 ve Q 3 değerlerini 1.Terim (X 1 ) 5 2.Terim(X 2 ) 6 3.Terim (X 3 ) 7 4.Terim (X 4 ) 8 5.Terim(X 5 ) 9 6.Terim(X 6 ) 10 hesaplayınız. *Birinci kartil: N = 6 olduğundan (N+2)/4=(6+2)/2=8 Birinci kartil, ikinci terime karşılık gelir. Q 2 = X 2 =6 *İkinci kartil: (2N+2)/4=(n+1)/2=(6+1)/2= 3,5 üçüncü terim (7) ile bir sonraki terim olan dördüncü terim (8) toplanarak ikiye bölünür. Q 2 = 7+8 = 15 = 7,5 2 2 *Üçüncü kartil: (3N+2)/4=(3.6+2)/4=5 Üçüncü kartil beşinci terime karşılık gelir. Q 3 = X 5 = 9 olarak bulunur.

97 *Gruplandırılmış serilerde, *Birinci kartil Q 1 = L 1 + (N 2 F) f Q1. c *İkinci kartil Q 2 = L 1 + (2N 4 F). c = L f 1 + ( N Q2 4 F) f Q2 (Medyan) *Üçüncü kartil Q 3 = L 1 + (3N 4 F) f Q3. c Formülü ile hesaplanır.

98 *D1, D2, D9 ile gösterilen dokuz desil vardır. Desil ler seriyi %10 luk dilimlere bölerler. Beşinci (D5) desil medyana eşittir. *Basit ve sınıflandırılmış serilerde, *Birinci desil D1 = (N + l)/10 *İkinci desil D2 = 2(N + l)/10 * *Dokuzuncu desil D9 = 9(N +1) /10 ile hesaplanır.

99 *Gruplandırılmış serilerde, *Birinci desil D 1 = L 1 + ( N 10 F) f D1. c *İkinci desil D 2 = L 1 + (2N 10 F) * f D2. c *Dokuzuncu desil D 9 = L 1 + (9N 10 F) ile hesaplanır. f D9. c

100 *P 1, P 2,.., P 99 ile gösterilen 99 tane pörsentil vardır. Pörsentiller seriyi %1 lik diliımlere bölerler. Ellinci (P 50 ) pörsentil medyana eşittir. *Basit ve sınıflandırılmış serilerde, *Birinci pörsentil P 1 = (N + l)/100 *İkinci pörsentil P 2 = 2(N +1)/100 *.. *99. pörsentil P 99 = 99(N +1)/100 ile hesaplanır.

101 *Gruplandırılmış serilerde, *Birinci pörsentil P 1 = L 1 + ( N 100 F) f P1 *İkinci pörsentil P 2 = L 1 + ( 2N 100 F) *.. f P1 *99. pörsentil P 99 = L 1 + (99N 100 F) ile hesaplanır. f P99. c. c. c

102 *Örnek: Aşağıdaki gruplandırılmış seri için; Sınıflar *a) Q 2 =? b) D 5 =? c) P 50 =? *A) Q 2 = 2N 4 = terim ikinci kartildir. = 14 olduğundan, Bu durumda kümülatif frekans bulunur. 14. terim, 8-10 sınıfına karşılık gelir. Bu durumda, serinin ikinci kartil i f Toplam 28 Sınıflar f kf Q 2 = L 1 + (2N 4 F) f Q2. c = = = 9 bulunur.

103 *Örnek: Aşağıdaki gruplandırılmış seri için; *a) Q 2 =? b) D 5 =? c) P 50 =? *B) D 5 = 5N = *14. Terim beşinci desildir. = 14 olduğundan Sınıflar f Toplam 28 *Kümülatif frekansta 14. Terim 8-10 sınıfına karşılık gelir. *D 5 = L 1 + (5N 10 F) f D5. c = Sınıflar f kf = 9 bulunur.

104 *Örnek: Aşağıdaki gruplandırılmış seri için; *a) Q 2 =? b) D 5 =? c) P 50 =? *C)P 50 = 50N = *14. Terim beşinci pörsentildir. *Kümülatif frekansta 14. Terim 8-10 sınıfına karşılık gelir. = 14 olduğundan Sınıflar f Toplam 28 Sınıflar f kf *P 50 = L 1 + (50N 100 F) f P50. c = = 9 bulunur.

105 *Örnek: 200 öğrencinin bir sınava ait notlarının dağılımı aşağıdaki gibidir. Notlar Oğr. Sayısı 0-20 den az dan az den az den az Toplam 200 *a) En yüksek %56 puan başarılı sayılacağına göre en düşük başarı puanını bulunuz. *b) En düşük % 40 puan başarısız sayılacağına göre hangi puan ve altındakiler başarısız olacaktır, bulunuz?

106 *Örnek: 56N = = 112 olduğundan, 112 inci terim 56. pörsentildir. Kümülatif frekansa bakıldığında 112 inci terim, sınıfına karşılık gelir. Bu durumda, serinin 56. pörsentil i *P 56 = L 1 + (56N 100 F) f P56. c = = 47olarak bulunur. Dolayısıyla, en yüksek %45 başarı puanı içindeki en düşük başarı puanı: 47 dir. Yani 47 ve yukarısı başarılıdır. Notlar Öğr. Sayısı kf 0-20 den az den az den az den az

107 *Örnek: 40N 100 = = 80 olduğundan, 80"inci terim pörsentildir. Kümülatif frekansa bakıldığında; 80 inci terim, sınıfına karşılık gelir. Bu durumda, serinin 40. pörsentili *P 40 = L 1 + (40N 100 F) f P40. c = = 36 olarak bulunur. Dolayısıyla, en düşük % 40 puan başarısız sayılacağına göre, 36 ve altındaki puanlar başarısız sayılacaktır. Notlar Öğr. Sayısı kf 0-20 den az den az den az den az

108 *Örnek: X hastalığı için yapılan bir araştırmada 2, 3, 4, 4, 5, 6 verileri elde edilmiştir. Bu basit serinin kartil, desil, 27. pörsentil değerlerini bulunuz. *Veriler SPSS e aşağıdaki gibi girilir

109 *Kartil, desil, 27. pörsentil değerlerini hesaplayabilmek için, SPSS ekranında sırayla Analyze Descriptive Statistics Frequencies menüsüne girilir. *Frequencies menüsü tıklandıktan sonra, görüntüye gelen ekranda X değişkeni test variable list kısmına aktarılır.

110 *Statistics butonu tıklanarak, gelen ekranda, aşağıdaki Qartiles, Cut points for 10 equal groups ve percentiles menüleri işaretlenir. 27. Pörsentilin de bulunması istendiğinden kutuya 27 yazılır ve Add tıklanır.

111 *Analizin sonucunu görebilmek için ok tıklanır ve sonuçlar aşağıdaki gibi elde edilir Statistics X *Qartiles menüsünden, birinci N Percentiles Valid 6 Missing , , (Q 1) 2, , , , (Q 2) 4, , , (Q 3) 5, , kartil 2,75, ikinci kartil (medyan) 4, üçüncü kartil 5,25. Cut points for menüsünden 10 ve 10 un katlan olan pörsentil ler ve percentiles menüsünden sadece 27 inci pörsentil bulunmuştur.

112 Aritmetik Ortalama Medyan Mod 1. Sayısal verilerde 1. Sayısal verilerde ve kullanılır. 2. Simetrik (normal dağılmış) verilerde kullanılır. 3. Ölçek düzeyi en az interval olmalıdır. 4. Kıyaslama amacıyla kullanılır. 5. Serideki bütün mantıksal sıraya dizilebilen sayısal olmayan verilerde kullanılır. 2. Simetrik (normal dağılmış) ve simetrik olmayan (çarpık) verilerde kullanılır. J ve ters J serilerinde kullanılmaz 3. Ölçek düzeyi en az ordinal olmalıdır. terimler kullanılır 4. Seriyi temsil etmek amacıyla kullanılır. 5. Serideki bazı terimler kullanılır 1. Sayısal ve sayısal olmayan verilerde kullanılır. 2. Simetrik (normal dağılmış) ve simetrik olmayan (çarpık) verilerde kullanılır. U serilerinde kullanılmaz 3. Her Ölçek düzeyinde kullanılır 4. Seriyi temsil etmek amacıyla kullanılır. 5. Serideki bazı terimler kullanılır

113 *Veriler normal dağılıyorsa mod, medyan ve aritmetik ortalama değerleri birbirine eşittir. Çarpıklık arttıkça mod, medyan ve aritmetik ortalama değerleri birbirinden uzaklaşır. *Örnek: Aşağıdaki göz renkleri ile ilgili oluşturulmuş sınıflama için aritmetik ortalama, medyan ve mod u hesaplayınız Sınıflar F Mavi 13 Yeşil 17 Kahve 10 Siyah 84 Ela 6

114 a) Aritmetik ortalama hesaplanamaz. Çünkü değişkenler sayısal değildir. b) Medyan değeri de hesaplanamaz. Çünkü renklerin tercih sıralaması yapılamaz, c) Mod değeri ise siyahtır. *Dolayısıyla, kalitatif ( sayısal olmayan) değişkenler için merkezi eğilim Ölçüsü olarak sadece mod kullanılır. Bu durum mod un diğer ortalamalara göre avantajlı yanıdır.

115 1. Simetrik seride her üç ortalama birbirine eşit olur. X = medyan = mod 2. Sağa çarpık serilerde X > Medyan > Mod 3. Sola çarpık seride X < Medyan < Mod 4. Asimetrisi hafif serilerde aşağıdaki yaklaşık eşitlik vardır. (X Mod) 3(X Medyan)

116 *Örnek: Bir dağılımın mod u 42, aritmetik ortalaması 18 dir. Bu dağılımın medyanı yaklaşık olarak *(X Mod) 3(X Medyan)= (18-Medyan) *-24 3(18-Medyan) *-8 18-Medyan *Medyan 26 *olarak bulunur. Ayrıca X < Medyan < Mod olduğundan, dağılım sola çarpıktır. Medyan, her zaman aritmetik ortalama ile mod arasındadır.

117 *Örnek: X hastalığı için yapılan bir araştırmada 2, 3, 4, 4, 5, 6 verileri elde edilmiştir. Bu basit serinin aritmetik ortalamasını, medyan ortalamasını, mod ortalamasını bulunuz. *X = X i = n 5 = 4 Medyan=4, Mod=4

118 *Veriler SPSS e aşağıdaki gibi girilir. *Mod ve medyan ortalamayı elde edebilmek için, SPSS ekranında sırayla Analyze Descriptive Statistics Frequencies menüsüne girilir.

119 *Frequencies menüsü tıklandıktan sonra, ekrana gelen görüntüde X değişkeni, Variable(s) kısmına aktarılır. *Statistics menüsü tıklanarak, stattistics alanındaki mean, median ve mod işaretlenerek continue tıklanır.

120 *Analizin sonucunu görebilmek için ok tıklanır ve sonuçlar aşağıdaki gibi elde edilir. Statistics X Valid 6 N Missing 0 Mean 4,00 Median 4,00 Mode 4,00

121 M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik