ÖZET Yüksek Lsans Tez TAM VE SANSÜRLÜ ÖRNEKLEM DURUMLARINDA WEIBULL DAĞILIMI İÇİN BAZI İSTATİSTİKİ SONUÇ ÇIKARIMLARI Dlşen TAMAM Ankara Ünverstes Fen

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ TAM VE SANSÜRLÜ ÖRNEKLEM DURUMLARINDA WEIBULL DAĞILIMI İÇİN BAZI İSTATİSTİKİ SONUÇ ÇIKARIMLARI Dlşen TAMAM İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 2008 Her hakkı saklıdır

2 ÖZET Yüksek Lsans Tez TAM VE SANSÜRLÜ ÖRNEKLEM DURUMLARINDA WEIBULL DAĞILIMI İÇİN BAZI İSTATİSTİKİ SONUÇ ÇIKARIMLARI Dlşen TAMAM Ankara Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü İstatstk Anablm Dalı Danışman: Prof. Dr. Fahrettn ARSLAN Yaşam analz, yapılacak çalışmalarda başarısızlık olarak adlandırılan ve genellkle bozulma, ölüm, çürüme v.b. olarak karşımıza çıkan olayların meydana gelmesne kadar geçen süre olarak elde edlen verlern analzdr. Yaşam analz, mühendslk, sosyal blmler, aktüerya ve tıp alanlarında yapılan çalışmalarda kullanılmaktadır ve bu blmler çn öneml br alandır. Bu çalışmada, yaşam analznn temel kavramları verlecektr. Yaşam analzn dğer statstksel analz yöntemlernden ayıran en öneml özellk sansürlü ver le çalışılmasıdır. Çalışmada, yaşam analznn temel karakterstğ olan sansürlemenn çeştler çn olasılık yoğunluk fonksyonlarının elde edlş gösterlecektr. Ayrıca, yaşam modellernde en yaygın kullanılan dağılım olan Webull dağılımı verlerek, dağılımın parametre tahmnler, tam ve sansürlü ver durumlarının her ks çn yapılacaktır. Yaşam analznde faydalı olan yaşam ve Hazard fonksyonları, Webull dağılımına uygun olduğu gösterlen br örnekle fade edlecektr. Tezdek amaç, yaşam sürelerne yönelk uygun dağılım çn parametre tahmnlern elde etmektr. Ekm 2008, 55 sayfa Anahtar Kelmeler: Yaşam Analz, Sansürleme, Sansürlü Ver, Parametrk Yaşam Modeller, Webull Dağılımı, Parametre Tahmn.

3 ABSTRACT Master Thess SOME INFERENCE ABOUT THE WEIBULL DISTRIBUTION BY USING THE COMPLETE AND CENSORED SAMPLING DATA Dlşen TAMAM Ankara Unversty Graduate School of Natural and Appled Scences Department of Stattstcs Supervsor: Prof. Dr. Fahrettn ARSLAN The survval analyss s the analyss of data that are called as a falure wthn the studes that wll be done, and, the data obtaned as elapsed tme whch could be seen untl the formulaton of events such as break, dead and putrefacton. The survval analyss s used n the areas of engneerng, socal scence, actuara and the medcne and t s very mportant area for these scences. Wthn the framework of ths study the basc concepts of survval analyss wll be detaled. The major characterstc of survval analyss wth the comparson of other studes s to be studed wth especally censored data. In ths study t wll be shown the acquston of probablty densty functon for the censorzaton that s the basc charecterstc of survval analyss. Also, the Webull dstrbuton that s common for survval modelng wll be gven and the parameter estmaton of dstrbuton wll be performed for both complete and censored data stuatons. The survval and hazard functons that are useful for survval analyss wll be denoted by an example that shows the convenence of Webull dstrbuton. The purpose of ths thess s to obtan the estmaton of parameters for the convenent dstrbuton for the duraton of survval. October 2008, 55 pages Key Words: Survval Analyss, Censorng, Censored Data, Parametrc Survval Models, Webull Dstrbuton, Parameter Estmaton

4 TEŞEKKÜR Çalışmalarımı yönlendren, bana duyduğu güven le çalışmamda blg, öner ve yardımlarıyla bana yol gösteren danışman hocam, Sayın Prof. Dr. Fahrettn ARSLAN (Ankara Ünverstes Fen Fakültes İstatstk Bölümü) a ve hçbr zaman benden desteğn esrgemeyen sevgl aleme ve arkadaşlarıma teşekkürlerm sunarım. Dlşen TAMAM Ankara, Ekm 2008

5 İÇİNDEKİLER ÖZET. ABSTRACT.. TEŞEKKÜR... SİMGELER DİZİNİ... v ŞEKİLLER DİZİNİ. v ÇİZELGELER DİZİNİ... x. GİRİŞ YAŞAM ANALİZİ Yaşam Süres Dağılımları Sürekl modeller Keskl modeller Ver Yapısı SANSÜRLEME Sağdan Sansürleme I.Tür sansürleme II.Tür sansürleme Bağımsız rasgele sansürleme İlerletlmş II. tür sansürleme Soldan Sansürleme Aralık Sansürlemes İkl Sansürleme PARAMETRİK YAŞAM MODELLERİ Webull Dağılımı PARAMETRİK YAŞAM MODELLERİNDE TAHMİN Tam ve Sansürlü Örneklem Durumlarında En Çok Olablrlk Yöntem Webull Dağılımı İçn Parametre Tahmn Tam örneklem durumunda parametre tahmn Sansürlü (tam olmayan) örneklem durumunda parametre tahmn I. Tür sansürleme durumunda parametre tahmn.. 26 v

6 II. Tür sansürleme durumunda parametre tahmn UYGULAMA TARTIŞMA VE SONUÇ 43 KAYNAKLAR EKLER 46 EK Akcğer Kanser Hastalarına At Verler EK 2 Mntab 4 Sonuçları 5 EK 3 I.Tp Sansürlenmş Ver İçn Webull Dağılımının Parametrelern Hesaplayan Matlab Programı 53 ÖZGEÇMİŞ v

7 SİMGELER DİZİNİ T f ( t ) F( t ) S( t ) ht ( ) Λ ( t) Yaşam süres rasgele değşken Olasılık yoğunluk fonksyonu Dağılım fonksyonu Yaşam fonksyonu Hazard fonksyonu Brkml Hazard Fonksyonu L Sansürleme zamanı mn max r Mnmum Maksmum Gözlenen başarısızlık sayısı T Breyn yaşam süres t r r-nc başarısızlık sayısı λ θ Lamda Beta Teta λ Lamda parametresnn tahmn Beta parametresnn tahmn θ Teta parametresnn tahmn δ, Delta v

8 ET ( ) VarT ( ) Beklenen değer Varyans r ET ( ) su ( ) r-nc moment Sansürlenmemş gözlem kümes eleman sayısı Toplam Çarpım İntegral Sonsuz > Büyük < Küçük! Faktöryel v

9 ŞEKİLLER DİZİNİ Şekl 2. Sansürsüz ver.. Şekl 2.2 Sağdan sansürlü ver. Şekl 3. İlerletlmş II. tür sansürleme 7 Şekl 6. Dört farklı dağılım çn yaşam olasılık grafkler.. 34 Şekl 6.2 Webull dağılımının parametreleryle lgl grafkler 36 Şekl 6.3 Akcğer kanser hastalarına at yaşam fonksyonu grafğ 40 Şekl 6.4 Akcğer kanser hastalarına at Hazard fonksyonu grafğ... 4 v

10 ÇİZELGELER DİZİNİ Çzelge 6. Akcğer kanser versnde kullanılan değşkenlern kodlarına göre yaşam süreler Çzelge 6.2 Durum değşkenler frekans tablosu 33 Çzelge 6.3 Webull dağılımının bazı karakterstkler x

11 . GİRİŞ Yaşam modeller, ölüm, bozulma, çürüme gb başarısızlık (falure) olarak adlandırılan olayların meydana çıkmasına kadar geçen sürenn modellemesdr. Yaşam analz de bu olayların meydana gelmesne kadar geçen süre olarak elde edlen verlern analzdr. Canlılar çn genellkle ölüm kavramından bahsedlrken, cansızlar çn bozulma kavramından bahsedlr. Yan yapılacak çalışmaya göre olayın ne olduğu belrlenr. Bu çalışmada da genellkle canlılar söz konusu olacağı çn başarısızlık yerne ölüm kavramı kullanılacaktır. Yaşam analz, tıp, mühendslk, sosyal blmler, sgortacılık gb brçok alanda kullanılmaktadır. Yaşam analznde en öneml unsur yaşam süresdr. Bu çalışmada, yaşam analznn öneml fonksyonlarından olan Hazard fonksyonu, brkml Hazard fonksyonu, yaşam fonksyonu gb temel kavramlar açıklanacak, olasılık yoğunluk fonksyonu ve dağılım fonksyonu le aralarındak lşk verlecektr. Yaşam modellernn temel kavramlarından br de sansürlemedr. Sansürlenmş verlern varlığı, yaşam analzn dğer statstk modellernden ayıran en belrgn özellktr. Sansürleme kavramından bahsedlrken, sansürleme çeştler verlp sansürleme çeştlerne göre olasılık yoğunluk fonksyonları verlecektr. Parametrk olmayan statstksel yöntemler bell br dağılım varsayımı gerektrmedğnden pratkte daha kullanışlıdır. Ancak, parametrk yöntemler daha profesyonel sonuçlar vereceğnden, yaşam analznde kullanılan öneml dağılımlarla çalışmak daha çok terch edlen br yoldur. Bu nedenle, yaşam analznde öneml br yer tutan ve en yaygın kullanılan Webull dağılımı verlecektr. Parametrk yaşam modellernde tahmn yapmak çn tam örneklem ve sansürlü örneklem durumlarının her ks çn de en çok olablrlk yöntem verlmştr. Bu yöntem Webull dağılımının parametrelernn tahmnnde de kullanılmıştır. Her k durumda da Webull dağılımının en çok olablrlk tahmn edcler araştırılmıştır.

12 Uygulama bölümünde, sansürlü ver çeren akcğer kanser 37 hastaya lşkn verler çn en uygun dağılım belrlenp, bu dağılım çn parametre tahmnler bulunacaktır. Ayrıca, yaşam fonksyonu ve Hazard fonksyonu gb yaşam analznde öneml yer tutan ve verler hakkında öneml puçları veren fonksyonların grafkler MINITAB 4 paket programı yardımıyla çzdrlecektr. 2

13 2. YAŞAM ANALİZİ Belrl br hastalığa yakalanan breylern, hastalığın tanısından sonra, brey gözlem altında ken, çeştl tedav yöntemlernn yaşam süresne etksn araştırmak ya da uygulanan tedav yöntemyle ne kadar süre yaşayableceğn tahmn etmek, tedav tplernn ve dğer faktörlern yaşam süresne etklern ncelemek amacıyla gelştrlmş olan yöntemler ales Yaşam Analz olarak adlandırılır. Yaşam analz, T zaman süresnde (araştırma peryodu) gözlenen n sayıda hasta brmden elde edlen yaşam sürelernn dağılımını açıklayarak, yaşam süresn etkleyen ve etklemes olası değşkenler çeren modeller kurarak, bu modellere göre parametre tahmnler yapmayı amaçlamaktadır. Br hastalığa yakalanan kşnn aldığı tedav türünün ve hastanın zamana bağlı olarak durumunda değşmelere neden olan faktörlern, yaşam süres üzerne etklern ortaya koymak çn yaşam analz yöntemlernden yararlanılır. Hastalık olgularında, hastaların herhang br medkal ya da cerrah grşmden (laç le tedav, amelyat, laç+amelyat v.b.) sonrak yaşamlarının yaşam süreler, gün, ay, yıl gb sürelerdr. Yaşam analz yöntemler, yaşam sürelern ve dğer faktör değşkenler çeren ver setlernde yaşam olasılıkları, ölüm olasılıkları, ortalama yaşam süres, ortanca yaşam süres tahmnler yapmayı amaçlayan yöntemlerdr (Özdamar 2003). Yaşam analz aynı zamanda mekank parçaların ve elektronk eşyaların farklı şartlar altında ne kadar bozulmadan kalableceğ le lgl tahmnlerde veya hayvanların kullanıldığı laboratuar deneylernde de uygulanablr. Yaşam analz, bazı uygulamalarda güvenlrlk analz veya sağ kalım analz olarak da smlendrlmektedr. Yaşam analznde kullanılan başarısızlık term, ncelenen konunun denekte görülmes durumudur. Canlılar çn genelde ölüm veya hastalık, mekank aletler çn se bozulma anlamına gelr (Nelson 982). 3

14 2. Yaşam Süres Dağılımları Yaşam analz, başarısızlık olarak adlandırılan br olayın meydana gelmesne kadar geçen sürede elde edlen verlern analzdr. Yaşam analznde geçen bazı kavram ve göstermler aşağıda kısaca açıklanmıştır (Özdamar 2003). Yaşam süres, br breyn belrl grşme ya da etkene maruz kaldıktan sonra yleşmesne, hastalığın tekrarlamasına ya da ölüme kadar geçen süreye denlmekte ve t le gösterlmektedr. Yaşam fonksyonu, yaşam sürelernn olasılık dağılımına denlmektedr. Fonksyon, yaşamsal verlern genel eğlmn matematksel br modelle fade eder. Yaşam fonksyonu br olasılıktır ve S( t ) le gösterlmektedr. An ölüm olasılığı (Hazard fonksyonu), sağ olan br kşnn, belrl br zamanda (anda) ölüm olasılığı, taşıdığı ölüm rskdr ve ht ( ) le gösterlr. Brkml ölüm fonksyonu (brkml Hazard fonksyonu), T zamanı çnde belrl br t zamanı (anı) çn hesaplanmış olan ölüm olasılıklarının brkml fonksyonudur ve Λ ( t) le gösterlr. Yaşam süres dağılımları sürekl ve keskl modeller olmak üzere kye ayrılır. 2.. Sürekl Modeller Yaşam süresnn negatf olamayacağı kabulü göz önüne alınarak, br ktledek canlıların yaşam süres, negatf olmayan sürekl br T rasgele değşken le gösterlsn. Herhang br canlının t zamanından önce ölmes olasılığı, t F( t) = PT ( t) = f ( xdx ), t> 0 (2.) 0 4

15 olarak tanımlanan Dağılım Fonksyonu yardımıyla bulunur. Burada f ( t ) se, T rasgele değşkennn olasılık yoğunluk fonksyonudur. Yukarıda tanımlanan T rasgele değşken çn, herhang br canlının t zamanına kadar yaşadığı blnyor olsun. Bu canlının t zamanından sonra da yaşaması olasılığı, S( t) = PT ( > t) = f ( xdx ) (2.2) t şeklnde tanımlanan fonksyon yardımı le bulunur. Bu fonksyona Yaşam Fonksyonu adı verlr. Yaşam fonksyonu le dağılım fonksyonu arasında, S( t) = F( t) (2.3) şeklnde br lşk vardır (Lawless 2003, London 988, Mller 98). Dağılım fonksyonu F( t ) azalmayan br fonksyon, lm F( t) = 0 t lm F( t) = t dr. Burada, lm S( t) = S(0) = F(0) = 0= t 0 lm S( t) = S( ) = F( ) = = 0 t olması sebebyle yaşam fonksyonu S( t ) nn yukarıdak özellkler taşıyan azalan br fonksyon olduğu söylenr. T rasgele değşkennn olasılık fonksyonu, küçük br zaman aralığında br breyn başarısız olma olasılığının lmtdr. 5

16 Bu fonksyon, Pt ( < T t+ t) f ( t) = lm t 0 t şeklnde yazılır. t zamanından sonra yaşadığı blnen br breyn, t zamanındak an başarısızlık ya da ölüm oranı, Pt ( < T t+ tt > t) ht ( ) = lm, t 0 (2.4) t 0 t bçmnde tanımlanan Hazard Fonksyonu le belrlenr (Lee 984). Hazard fonksyonu, T yaşam süresnn t 0 ve poztf küçük br [ t, t t) t değer çn + aralığında yaşamın koşullu dağılımıdır. λ ( t) veya r( t ) olarak da gösterlr. Yaşam fonksyonu, yaşama olasılığını ncelerken; Hazard fonksyonu başarısızlığı (ölümü) nceler ve zamana bağlı ölüm rskn belrler. Hazard fonksyonunun grafğ, yapılan çalışma çn model oluşturmada öneml puçları verr. Bu sebeple, yaşam fonksyonu gb, Hazard fonksyonu da, yaşam modellernn öneml br karakterstğdr. Ayrıca, Pt ( < T t+ t T > t) ht ( ) = lm t 0 t Pt ( < T t+ tt, > t) = lm t 0 t PT ( > t) Pt ( < T t+ t) = lm t 0 t PT ( > t) Pt ( < T t+ t) = lm PT ( > t) t 0 t F( t+ t) F( t) = lm PT ( > t) t 0 t f ( t) = S( t) (2.5) 6

17 dır. Başka br fadeyle ht ( ) fonksyonu, f ( t) f ( t) d ht ( ) = ln( S( t)) S( t) = F( t) = dt (2.6) olarak da fade edleblr (Gross anda Clark 975, Cox and Oakes 984). (2.6) eştlğnde her k tarafın ntegral alınırsa, t 0 h( xdx ) = ln( S( t)) 0 S( t) = e t h( x) dx S t = e Λ( t) ( ) (2.7) sonucuna ulaşılır. Burada Λ ( t), Brkml (Kümülatf) Hazard Fonksyonu olarak adlandırılır ve t Λ ( t) = h( x) dx (2.8) 0 şeklnde fade edlr (Lawless 2003). Kümülatf Hazard fonksyonu aşağıdak özellkler taşır: () Λ (0) = 0 dır. Çünkü, lm Λ ( t) = lm h( xdx ) t 0 t 0 0 f ( x) = lm dx F ( x ) t 0 0 t 0 t t ( ( F t )) = lm ln ( ) 7

18 ( S( t) ) = lm ln t 0 = 0 (2.9) Veya, S (0) = olduğundan Λ (0) = 0 olduğu görülür. () Λ( ) = dır. Çünkü, lm Λ ( t) = lm h( xdx ) t t 0 t f ( x) = lm dx t 0 F ( x ) = lm ln ( ) t = lm t = t ( ( F t )) ln( S( t) ) ( ) (2.0) Veya, S( ) = 0 olduğundan Λ( ) = olduğu görülür. x anından sonra yaşadığı blnen canlının ( x, x t) ölmes olasılığı se, + yaşam aralığında (t zaman sonra) q = q( x, x+ t) t x = P( x< X x+ t X > x) P( x< X x+ t, X > x) = P( X > x) P( x< X x+ t) = P( X > x) = x+ t x x f ( y) dy f ( y) dy F( x+ t) F( x) = F( x) S( x+ t) + S( x) = S( x) 8

19 S( x) S( x+ t) = S( x) S( x+ t) = S( x) (2.) dr. Sonuç olarak, yaşam fonksyonu, dağılım fonksyonu ve Hazard fonksyonu arasındak lşk (2.2) le fade edlr (Le 997). { } S( t) = F( t) = exp Λ ( t) (2.2) 2..2 Keskl modeller Yaşam süreler bazen keskl olarak fade edlmş olablr. T rasgele değşken 0 t t... değerlern alıyorsa, T rasgele değşkennn olasılık fonksyonu, 2 f ( t ) = PT ( = t ), j=,2,... (2.3) j j lgl yaşam fonksyonu, S( t ) = PT ( t ) = f ( t ) (2.4) j j j jt : j> t Hazard fonksyonu, ht ( ) = PT ( = t T t ) j j j PT ( = tj, T tj ) = PT ( t ) j f ( tj) =, j=,2,... (2.5) S( t ) j şeklnde tanımlanır. 9

20 Ayrıca, f ( tj ) = PT ( tj ) PT ( t j + ) (2.6) olduğundan, ht ( ) = j f ( t ) S( t ) PT ( tj ) PT ( tj+ ) = S( t ) S( tj ) S( tj+ ) = S( t ) S( t ) = S( t ) j j j j j+ (2.7) j eştlğ yazılır (Lawless 2003). 2.2 Ver Yapısı Yaşam analzndek en öneml değşken yaşam süresdr. Yaşam süres de çoğu kez sansürlü olmaktadır. Yan, breyn yaşam süres hakkında her zaman tam br blgye ulaşılamayablr. Ver yapısındak bu farklılık, yaşam analzn dğer statstksel analz yöntemlernden ayıran en öneml özellktr. Tam örneklem durumunda, her br breyn yaşamı, çalışmanın peryodu çersnde son bulmuştur. Verler her br breyn ölüm zamanını kapsar. Ancak sansürlü örneklem durumunda çalışma tamamlandığında breyler hala yaşıyor veya çalışma süresnn sonuna gelnmş olmasına rağmen breylern yaşam durumu blnmyor olablr. Ya da brey çalışma süres çersnde çeştl nedenlerle kayıp gözlem durumuna düşmüş, herhang br nedenden dolayı çalışmadan çıkmış olablr. Yan, tam örneklem durumunda breylern başarısızlık zamanı kesn bell ken, sansürlü örneklem durumunda se başarısızlık zamanı hakkında kesn br blgye ulaşılamaz. 0

21 Tam ve sansürlü ver yapıları aşağıdak gb Şekl 2. ve Şekl 2.2 le fade edleblr (Nelson 982). Brey 3 t 3 2 t 2 t Şekl 2. Sansürsüz Ver Zaman Brey 4 t 4 3 t 2 2 t 3 t Zaman Şekl 2.2 Sağdan Sansürlü Ver

22 3. SANSÜRLEME Sansürleme; zaman ve malyet gb brtakım sınırlamalar nedenyle, kesn olarak blnmeyen, herhang br sebeple gözlenemeyen verlern göz ardı edlmesdr. Br çalışmada, lglenlen olay br breyn yaşam süres olduğunda, her br breyn çalışmanın başlangıcından sonuna kadar gözlem altında bulundurulması çeştl nedenlerden dolayı olanaksızdır. Bu durumda ver sansürlüdür denr. Gözlemlenen brey; - Tedav gördüğü süre çersnde trafk kazası gb farklı br sebepten ölmüş, - Kalp yetmezlğ, kan değerlernn artması v.b. gb sebeplerle tedavye ara vermek zorunda kalmış, - Başka br hastanede veya başka br şehrde tedavye devam etmek zorunda kalmış, - Tedavye cevap vermemş, - Tedav süres çersnde başka br hastalığa yakalanmış, - Tedavden vazgeçmş olablr. Bu gb durumlarda yaşam süres kesn olarak blnemeyeceğnden sansürlüdür. Yaşam modelnde meydana geleblecek 3 durumdan söz edleblr (Klenbaum 996): (a) Brey gözlem esnasında öleblr. (b) Brey gözlemden ger çekleblr. İlglenlen olay dışında br başka nedenden dolayı öleblr veya uygulanan yöntemlerden beklenmeyen br sonuç alınablr. (c) Brey gözlemn sonunda hala yaşıyor olablr. (a) durumunda breyn yaşam süres blndğnden sansürlü değldr. (b) durumunda breyn yaşam süres, gözlemden çeklme zamanından tbaren sansürlüdür. (c) durumunda se, breyn yaşam süres çalışmanın sonlandırılma zamanına kadar blnmesne rağmen, gözlem sonrası hakkında br blg olmadığından bu breyn yaşam süres de sansürlüdür (Klenbaum 996). Sansürleme, sağdan sansürleme ve soldan sansürleme olarak k ana gruba ayrılır. Ayrıca, sağdan ve soldan sansürlemeler kullanılarak elde edlen aralık sansürlemes ve kl sansürleme de genelleştrlmş sansürleme çeştler olarak nceleneblr. 2

23 Bu çalışmada, soldan sansürleme sık karşılaşılan br sansürleme çeşd olmadığından, en çok karşılaşılan sansürleme çeşd olması sebebyle, sağdan sansürleme üzernde durulacaktır. Bölüm 6 dak uygulamalar da sağdan sansürleme üzerne yapılacaktır. 3. Sağdan Sansürleme Başarısızlık olarak adlandırılan (ölüm, bozulma, çürüme v.b.) olay, çalışma çn belrlenen br durma zamanına kadar gerçekleşmezse, breyn yaşam süresnn uzunluğu çalışmanın durma zamanının sağ tarafına geçer. Böyle br durumda, bu breyn yaşam süres kesn olarak blnmeyecek ve brey gözleme alınmayacaktır. Yan, breyn yaşam süres sansürlenecektr. Bu tp sansürlemeye sağdan sansürleme denr. L sansürleme zamanı, T breyn yaşam süres olmak üzere; T L breyn yaşam süresnn sağdan sansürlenmş olduğu söylenr. > olduğunda bu 0, T > L δ =, =, 2,..., n, T L (3.) δ = ( T L) Eğer 0 982, Lawless 2003). > se brey sansürlenmş, δ = ( T L) se gözlenmştr (Nelson Sağdan sansürleme, kend çnde bazı alt gruplara ayrılır:. I. Tür Sansürleme (Type I Censorng) 2. II. Tür Sansürleme (Type II Censorng) 3. Bağımsız Rasgele Sansürleme (Independent Random Censorng) 4. İlerletlmş II. Tür Sansürleme (Progressve Type II Censorng) 3.. I. Tür sansürleme I. tür sansürlemede, her breyn br sansürleme zamanının olduğu düşünülür ( L > 0 ). Breyler sürece herhang br zamanda dahl olurlar ve belrlenmş durma zamanına kadar gözlenrler. T breyn çalışma süresnce gözlenebldğ süre, L sansürleme 3

24 zamanı se çalışmanın başlama zamanı le btş zamanı arasında br zamandır. Bu durumda, L sansürleme zamanı sabt br sayıdır. I. tür sansürleme çn genel gösterm, t = mn( T, L ) ve δ = I( T L ) olmak üzere, ( t, δ ) çn olasılık yoğunluk fonksyonu, δ ( ) ( ) δ Pt (, δ ) = f t P T > L = δ ( ) ( ) f t S t δ (3.2) olarak tanımlanır. (3.) ve (3.2) eştlğnden, Pt ( = L, δ = 0) = PT ( > L ) = S( L ), =,2,..., n (sansürlü) Pt (, δ = ) = f ( t ), t L (sansürsüz) olarak elde edlr (Lawless 2003) II. Tür sansürleme II. tür sansürlemede, başlangıçta belrlenen br başarısızlık sayısı vardır. n brey aynı anda gözlenmeye başlanır ve çalışmanın başında belrlenen sabt br r tane başarısızlık gözlendğ anda çalışmaya son verlr. Çalışmanın toplam süres, r -nc başarısızlık zamanı olan t ( r) ye eşttr. Bu zaman, çalışmanın başında blnmemektedr. T T... Tr rasgele örneklem olmak üzere, () (2) ( ) T(), T(2),..., T ( r ) nn ortak olasılık yoğunluk fonksyonu; n! ( n r)! r n r f ( t( ) ) S( t( r )) (3.3) = bçmnde tanımlanır. Bu fade sıralı statstklern genel bçmdr (Lawless 2003). 4

25 3..3 Bağımsız rasgele sansürleme Bağımsız rasgele sansür modelnde brçok durumda sansürleme sürec, başarısızlık zamanı (falure tme) le lşkldr. Sonlandırma zamanı rasgele olup çalışmadan önce bell değldr, daha sonradan seçlr. Fakat bu seçm, sonlandırma sürecne kadar çalışmanın sonuçlarından etklenr. T, her breyn yaşam süres ken L de sansürleme zamanıdır. T le L rasgele değşkenler bağımsız sürekl rasgele değşkenlerdr. Ayrıca; S( t ), T rasgele değşkennn, Gt ( ) de L rasgele değşkennn yaşam fonksyonu ken f ( t ), T rasgele değşkennn ve g( t ) de L rasgele değşkennn olasılık yoğunluk fonksyonudur. t = mn( T, L ) ve δ = I( T L ) olmak üzere, (3.) eştlğnden, ( t, δ ) olasılık yoğunluk fonksyonu, çft çn ( δ ) ( ) P t = t, = 0 = P L = tt, > L = g( t) S( t) ( δ ) ( ) P t = t, = = P T = tt, L = f ( t) Gt ( ) δ (, δ ) [ f ( t ) Gt ( )] [ g( t ) S( t )] P t δ = (3.4) olarak elde edlr (Lawless 2003) İlerletlmş II. tür sansürleme İlerletlmş II. tür sansürleme, II. tür sansürlemenn genelleştrlmş haldr. Bu sansürleme çeşdnde, söz konusu olayda yer alan n tane breyden, başarısız olan r tane brey gözlenr. Gerye kalan n r tane breyden n tanes çalışmadan uzaklaştırılır. Böylece, n r n brey çalışmada kalmış olur. Daha sonra, başarısız olan r 2 tane brey gözlenr. Gerye n r n r2 brey kalır. Kalan breylerden n 2 5

26 tanes çalışmadan alınarak gerye kalan breyler le çalışmaya devam edlr. İşleyş bu şeklde devam ettrlr (Şekl 3.). T T... Tr : İlk gözlenen r başarısızlık sayısı () (2) ( ) T T : Daha sonrak r 2 başarısızlık sayısı * * * () (2)... T( r2 ) olmak üzere, vernn dağılımı; * * * () (2) ( r ) 2 () (2) ( r2 ) () (2) ( r ) g ( t, t,..., t ) g ( t, t,..., t t, t,..., t ) (3.5) şeklndedr. (3.3) eştlğnden, (3.5) fadesnn lk term aşağıdak gb yazılablr: n! r n r f ( t( ) ) S( t( r )) (3.6)! = ( n r) (3.5) fadesnn knc term, t, t,..., t r başarısızlık zamanları gözlendğnde gerye () (2) ( ) kalan breylern yaşam sürelernn dağılımının, olasılık yoğunluk fonksyonu ve yaşam fonksyonu aşağıdak gb olan dağılıma sahp olduğunu göstermektedr. f ( t) f( t) = (3.7) S t ( ( r )) S( t) S( t) =, S t ( ( r )) t t (3.8) ( r ) T T, ( n r n ) genşlkl rasgele örneklemden alınan gözlemlerdr. * * * () (2)... T( r2 ) (3.5) fadesnn knc term se aşağıdak gb olacaktır: ( n r n )! ( n r n r ) 2! * * * () ( r2 ) ( r2 ) f ( t )... f ( t ) [ S ( t )] n r n r2 (3.9) (3.6) ve (3.9) dak fadeler brleştrlerek; 6

27 cf ( t )... f ( t )[ S ( t )] f ( t )... f ( t )[ S ( t )] * n r * * * n r n r2 () ( r ) ( r ) () ( r2 ) ( r2 ) (3.0) fadesne ulaşılır. Burada c= n! ( n r n )! / [( n r )! ( n r n r2 )!] dır (Lawless 2003). 0 T () (2) T... T T ( r ) () T T (2)... ( r 2 ) n brey Başarısız olmayan n brey rasgele uzaklaştırılır. n r n brey kalır. Çalışmanın sonlandırılış zamanı Şekl 3. İlerletlmş II. Tür Sansürleme (Lawless 2003) 3.2 Soldan Sansürleme L sansürleme zamanı, T breyn yaşam süres olmak üzere; T L breyn yaşam süresnn soldan sansürlenmş olduğu söylenr. 0, T L δ =, T > L < olduğunda bu Eğer δ = 0 ( T L 982, Lawless 2003). ) se brey sansürlenmş, δ = ( T > L ) se gözlenmştr (Nelson t = max( T, L ) 3.3 Aralık Sansürlemes Aralık sansürlemes, genelleştrlmş br sansürleme çeşddr. Genellkle takp gerektren olaylarda kullanılır. Çalışmaya konu olan olayın meydana gelme süres, br aralıkta fade edlr. Yaşam süres ( L, R ] aralığında yer alır. Eğer aralık sansürlemes, sağdan sansürlemenn genelleştrlmş bçm olarak fade edlyorsa, sol sınır noktasının 0, sağ sınır noktasının se L olarak alındığı söylenr. 7

28 Soldan sansürlemenn genelleştrlmş bçm olarak fade edlyorsa da, sol sınır noktasının L, sağ sınır noktasının se ( ) olarak alındığı söylenr. Yan, aralık sansürlemes, sağdan sansürlemenn ve soldan sansürlemenn genelleştrlmş şekldr (Nelson 982). 3.4 İkl Sansürleme Bazı çalışmalarda soldan sansürlemenn meydana geldğ durumlarda, sağdan sansürleme de aynı zamanda ortaya çıkablr. Böyle durumlarda, yaşam sürelernn kl sansürlendğ fade edlr. Burada, L ele alınan olayın brey çn gerçekleşmesnden öncek zaman ken, alınan olayın brey çn gerçekleşmesnden sonrak zamandır. L j ele, eğer T başarısızlık zamanı se δ = 0, eğer T sağdan sansürlenmş se, eğer T soldan sansürlenmş se Eğer, X Lj ya da (Nelson 982). X L se breyn yaşam süres kesn olarak blnyor demektr 8

29 4. PARAMETRİK YAŞAM MODELLERİ Üstel, log-normal, extreme değer dağılımları gb negatf olmayan bazı olasılık dağılımlarına uygun yaşam modelnn yorumunu yapmak mümkündür. Ancak bu bölümde sadece Webull dağılımı ele alınmıştır. 4. Webull Dağılımı Webull dağılımı yaşam modellernde en yaygın kullanılan dağılımdır. Rsk ve sgortacılık gb alanlarda sıkça kullanılmaktadır. Başarısızlığın oluşmasına kadar geçen sürey ya da başarısızlıktan sonra knc br başarısızlığın oluşmasına kadar geçen sürey modellemede kullanılan k parametrel br dağılımdır. T, Webull dağılımından alınan br yaşam süres rasgele değşken olsun. T rasgele değşken sürekl br dağılıma sahptr ve aşağıdak olasılık yoğunluk fonksyonuna sahptr: ( λt) = λ λt e, t> 0, > 0, λ > 0 (4.) f ( t) ( )( ) Burada bçm, λ ölçek parametresdr. = olduğunda, T rasgele değşken üstel dağılıma sahp olur. Dolayısıyla, Webull dağılımı üstel dağılımın br genellemesdr denleblr. (2.5) ve (2.6) eştlklernden Hazard fonksyonu, ht ( ) ( )( ) λ λt = (4.2) olduğunda, t h( x) dx= ( λ )( λ ) 0 0 t = λ ( λ) = ( λt) x dx t (4.3) olur. Dolayısıyla, 9

30 0 S( t) = e = e t h( x) dx ( λt) olarak bulunur. Böylece (2.5) eştlğ de sağlanmış olur. (4.4) Dağılım fonksyonu se (2.3) eştlğnden, F( t) ( λt) = e (4.5) olarak yazılır (Lee 984). se Webull dağılımının Hazard fonksyonu monoton artan, < se monoton azalandır (Barlow and Proschan 975, Klenbaum 996). Gamma fonksyonu, α x ( ) x e dx (4.6) Γ α = 0 olarak tanımlandığından, yaşam süres rasgele değşkennn r-nc dereceden beklenen değer (r -nc moment), r ( ) E T = = 0 r t f ( t) dt t ( ) r+ ( λ ) t λ e dt 0 (4.7) elde edlr. (4.6) eştlğ ve u= ( λt) fades (4.7) eştlğnde yerne konulduğunda, r r u ( ) E T = r λ 0 u e du r Γ + = r λ (4.8) elde edlr. 20

31 Böylece yaşam süres rasgele değşkennn beklenen değer, ET ( ) Γ + = (4.9) λ ve varyansı, 2 ( ) ( ) 2 VarT ( ) = E T E T 2 Γ + Γ + λ λ = 2 λ 2 = Γ + Γ (4.0) olur (Gross and Clark 975, Lee 984, London 988). Pth quantle se; ( λtp) F( t ) = p e = p p ( ln( p) ) ( λtp) p= e ln( p) = ( λt ) t p = λt = p p ( ln( p) ) λ (4.) dr (Lee 984). 2

32 5. PARAMETRİK YAŞAM MODELLERİNDE TAHMİN Bu bölümde, T yaşam süres rasgele değşken ken, S( t ) yaşam model kullanılarak, Webull dağılımının parametreler çn tahmn edcler ve güven aralıkları bulunmuştur. Bu tahmnler, tam ve sansürlü örneklem durumlarının her ks çn de, en çok olablrlk tahmn yöntem le elde edlmştr. Parametrelern en çok olablrlk tahmn edclern elde edeblmek çn olablrlk fonksyonlarından yararlanılır. Böylece olasılık dağılımlarının parametrelernn en çok olablrlk tahmn edcler bulunablr. Bunun çn Webull dağılımının tek değşkenl parametre tahmnler verlecektr. 5. Tam ve Sansürlü Örneklem Durumlarında En Çok Olablrlk Yöntem θ parametresne bağlı olarak, olasılık yoğunluk fonksyonu, n f ( t; θ ) = f ( t ; θ ) (5.) = le gösterlsn. ( t, t2,..., t n) olablrlk fonksyonu,, n brmlk br rasgele örneklem göstermek üzere, L( θ; t) = f ( t; θ ) (5.2) le verlr. θ parametre kümes üzernde maksmum yapan ( t, t2,..., t n ) θ değerne, var θ =, 2,..., n statstğne de olması halnde θ nın en çok olablrlk tahmn ve ( T T T ) en çok olablrlk tahmn edcs denr. Buna göre, n L( θ; t) = max f ( t ; θ ) (5.3) = dır. Logartmk fonksyonu, 22

33 n ln L( θ; t) = max ln f ( t ; θ ) (5.4) = yazılablr (Hars and Albert 99, Mller and Mller 200). Eğer belrlenen br t zamanında breylern tamamı gözlenmş se, yan tam ver örneklemes söz konusu se, olablrlk fonksyonu, n L( θ; t) = f ( t ; θ ) = ht ( ) S( t ) = = n (5.5) olur. Ancak, sansürlü ver örneklemes söz konusu olduğunda, olablrlk fonksyonu, n L( θ; t) = S( t ) (5.6) = olacaktır. Tamamı gözlemlenmş (sansürsüz) breyler le sansürlü (sağdan) gözlemlern brlkte fade edldğ, dağılımın olablrlk fonksyonu, n δ L( θ; t) = [ f ( t )] [ S( t )] = n = δ δ = [ ht ( )] [ S( t )] (5.7) şeklnde yazılablr. Burada δ = sansürsüz brey, δ = 0 se sansürlü brey göstermektedr. Yukarıdak fadenn e tabanında logartması alınırsa, logartmk olablrlk fonksyonu, n = = { δ } ln L( θ; t) = ln ht ( ) + ln S( t ) n { δ ln ht ( ) ( t )} = Λ (5.8) 23

34 olur. Dağılımın Hazard ve yaşam fonksyonları bu fadede yerne yazılarak, parametrelern en çok olablrlk tahmn edcler elde edlr (Hars and Albert 99). 5.2 Webull Dağılımı İçn Parametre Tahmn Webull dağılımından alınan br T rasgele değşkennn olasılık yoğunluk fonksyonu, yaşam fonksyonu ve Hazard fonksyonu, f ( t) = ( λ )( λt) e ( λt), t> 0, > 0, λ > 0 S( t) = exp[ ( λ. t) ] ht ( ) = ( λ )( λ ) t olarak 4. Bölüm de verlmşt. θ = λ olarak alındığında Webull dağılımının olasılık yoğunluk fonksyonu, ( ) t θ ( ) = ( ), > 0, > 0, > 0 f t t e t θ θ (5.9) yaşam fonksyonu, S( t) = exp ( ) θ t (5.0) ve Hazard fonksyonu, ht ( ) ( ) θ t = (5.) olarak elde edlr. Bu bölümde, tam gözlenmş (sansürsüz) ver le I. ve II. tür sağdan sansürlü ver durumlarında Webull dağılımı çn en çok olablrlk yöntemyle parametre tahmn yapılmıştır. 24

35 5.2. Tam örneklem durumunda parametre tahmn t, t2,..., t n yaşam süreler, λ ve parametrel Webull dağılımından alınan n brmlk br örneklem olsun. (5.3) ve (5.9) eştlklernden olablrlk fonksyonu, n = ( ) t θ n n Lt (, t2,..., tn) = θ ( t ) e (5.2) olarak elde edlr. (5.2) eştlğ, (5.4) eştlğnde yerne yazıldığında, logartmk olablrlk fonksyonu, n n lnl= n ln n ln θ + ( ) ln t ( t ) (5.3) = θ = olur. (5.3) eştlğnde, θ parametresne göre türev alındığında, n lnl n = + ( t ) (5.4) 2 θ θ θ = eştlğ elde edlp, bu türev sıfıra eştlendğnde θ parametresnn tahmn edcs, n θ = ( t ) (5.5) n = olarak elde edlr. Aynı şeklde, (5.3) eştlğnde, parametresne göre türev alındığında, lnl n = + ln( ) ln( ) θ n n t ( t) t = = (5.6) eştlğ elde edlp, bu türev sıfıra eştlenp (5.5) eştlğ yerne yazıldığında, n ( t ) ln( t ) n = = n n = ( t ) = ln( t ) (5.7) 25

36 elde edlr. parametresnn tahmn edcs (5.7) eştlğn sağlayan değerdr (Cohen 965). ve θ parametreler çn 00 ( α) % lık asmptotk güven aralıkları, P Zα 2sh < < + Zα 2sh = α (5.8) P θ Zα 2sh θ < θ < θ+ Zα 2sh θ = α (5.9) olarak verlr (Lee 984) Sansürlü (tam olmayan) örneklem durumunda parametre tahmn I. Tür sansürleme durumunda parametre tahmn En çok olablrlk yöntem le uygun br şeklde çalışmak çn gözlemlern kümesn U ve C gb k alt kümeye ayıralım. U gözlenmş bozulma zamanlarını ve C sansürlenmş gözlemlern ndslernn kümesn göstersn. f ( t ), δ = L( δ, t ) = S( t ), δ = 0 (5.20) δ L( δ, t ) = f ( t ) S( L ) δ Lt (,..., t ) = n n = = = L( δ, t ) n δ f ( t ) S( L ) = U C δ f ( t ) S( L ) (5.2) 26

37 (5.9) eştlğyle verlen olasılık yoğunluk fonksyonu le (5.0) le verlen yaşam fonksyonu yerne konulduğunda olablrlk fonksyonu, ( ) ( ) Lt (,..., tn) = U θ C t t θ θ ( t) e e (5.22) olarak elde edlr. (5.22) eştlğ, (5.4) eştlğnde yerne yazıldığında, logartmk olablrlk fonksyonu, ( t) ( t) θ θ lnl= ln ( t) e + ln e U θ C n ln L= su ( )ln su ( )ln θ+ ( ) lnt t (5.23) U θ = olur. (5.23) eştlğnn θ ya göre türev alınırsa, ln L su ( ) n = + t 2 θ θ θ = eştlğ elde edlp, bu türev sıfıra eştlğnde θ parametresnn tahmn edcs, θ = n t = su ( ) (5.24) olarak elde edlr. Aynı şeklde, (5.23) eştlğnde, parametresne göre türev alındığında, n n lnt t lnt = = n su ( ) t = lnl = + (5.25) elde edlr. Bu türev sıfıra eştlendğnde, 27

38 = n n t lnt lnt = = n su ( ) t = (5.26) bulunur. parametresnn tahmn edcs (5.26) eştlğn sağlayan değerdr (Cohen 965, Gross and Clark 975). ve θ parametreler çn 00 ( α) % lık asmptotk güven aralıkları, P Zα 2sh < < + Zα 2sh = α (5.27) P θ Zα 2sh θ < θ < θ+ Zα 2sh θ = α (5.28) olarak verlr (Lee 984) II. Tür sansürleme durumunda parametre tahmn λ ve parametrel Webull dağılımından yaşam zamanları t(), t(2),..., t ( n) olan n brmlk br örneklem alınsın. Herhang r tane breyn yaşam sürelernn blndğ kabul edldğnde yaşam zamanları, t t... t = t = t =... = t () (2) ( r ) () (2) ( n r ) olarak sıralansın. (5.9) eştlğnde verlen Webull dağılımının olasılık yoğunluk fonksyonundan, (5.3) eştlğndek olablrlk fonksyonu, r n! ( t ) ( ) t r θ θ Lt ( (),..., t( n) ) = ( t ) e e (5.29) ( n r)! = θ n r 28

39 olarak elde edlr. olarak elde edlr. (5.29) eştlğ, (5.4) eştlğnde yerne yazıldığında, logartmk olablrlk fonksyonu, n! lnl= ln + r ln( ) r ln( θ ) + ( ) ( n r)! r ln( t ) r ( t ) ( ) ( ) = θ = ( n r) t θ ( r ) (5.30) olarak bulunur. (5.30) eştlğnn θ ya göre türev alındığında, lnl r = + θ 2 θ θ = ( ) (5.3) n ( t( ) ) + n r ( t( r )) eştlğ elde edlp, bu türev sıfıra eştlğnde θ parametresnn tahmn edcs, θ = + r r t( ) ( n r) ( t( r )) (5.32) = olarak bulunur. Aynı şeklde, (5.32) eştlğnde, parametresne göre türev alındığında, ln L r = + + = θ = r r ln( t( ) ) t( ) ln t( ) ( n r) t( r) ln( t( r) ) (5.33) olarak bulunur. Bu türev sıfıra eştlenp, (5.32) eştlğ yerne konduğunda, ( ) = r t( ) ln t( ) + ( n r) t( r) ln t( r ) r = r r = t( ) + ( n rt ) ( r) = lnt ( ) (5.34) 29

40 bulunur. parametresnn tahmn edcs (5.34) eştlğn sağlayan değerdr (Cohen 965, Gross and Clark 975). ve θ parametreler çn 00 ( α) % lık asmptotk güven aralıkları, P Zα 2sh < < + Zα 2sh = α (5.35) P θ Zα 2sh θ < θ < θ+ Zα 2sh θ = α (5.36) olarak verlr (Lee 984). 30

41 6. UYGULAMA Bu çalışmada kullanılacak olan uygulama vers Kalbflesch and Prentce (page ) ktabından alınmıştır. Verler, akcğer kanser hastalarına attr. Akcğer kanser, dünyada en sık görülen kanser çeşd olup, akcğer dokusunu oluşturan hücrelern kontrol dışı çoğalmasıyla meydana gelr. Akcğer kanser rsk; alede akcğer kanser hastası breylern olması, kmyasal maddelerle ç çe çalışılması, sgara kullanılması, daha önceden akcğerle lgl br hastalık geçrlmes, bazı çevresel faktörler (hava krllğ v.b.), beslenme özellkler gb nedenlerden ötürü artmaktadır. Çalışmada, akcğer kansernn meydana geldğ dört tp hücre gözlemlenmştr. Squamous tp, küçük hücre tp, adeno tp ve genş hücre tp çn yaşam zamanları ncelenmştr. Verler, akcğer kanser tanısı konulan hastaların, 000 günlük gözlem sürelerne lşkn olup, teşhs zamanı ortalama 9 ay olan, ortalama 58 yaşındak 37 hastadan oluşmaktadır. Hastalara at yaşam süreler gün olarak elde edlmştr. 37 akcğer hastasının 28 tanes sansürsüz (% 93,43), 9 tanes se sansürlüdür (% 6,57). Burada 28 hastaya at verler tam gözlemlenmş olup, 9 hastaya at verler se sağdan sansürlü ver olarak alınmıştır. Sağdan sansürleme çeşdnn I. tür sansürlemeye uygun olduğu görülmektedr. Bu bölümde yapılan yaşam analzlernde Mntab 4, parametre tahmnlernde Matlab 5.2 programlarından yararlanılmış olup, hücre tpler dkkate alınmadan, sadece yaşam süres ve durum değşken göz önüne alınarak analz yürütülmüştür. Uygulamada öncelkle verlern br statstksel dağılıma uygun olup olmadığı kontrol edlmş, Webull dağılımına uygunluğu görülmüştür. Webull dağılımı çn yaşam grafkler çzdrlmş ve dağılımın parametre tahmnler yapılmıştır. 37 akcğer kanser hastalarına at verler EK de verlmştr. 4 hücre tpne göre akcğer kanser hastalarının sansürlü/sansürsüz durumları le en yüksek ve en düşük yaşam süreler Çzelge 6. le verlmştr. 3

42 Çzelge 6. Akcğer kanser versnde kullanılan değşkenlern kodlarına göre yaşam süreler Hücre Tp Squamous tp Durumu Brey Sayısı En Düşük Yaşam Süres (gün) En Yüksek Yaşam Süres (gün) Sansürsüz ( δ = ) () Sansürlü ( δ = 0 ) Toplam Küçük hücre tp Sansürsüz ( δ = ) (2) Sansürlü ( δ = 0 ) Toplam Adeno tp Sansürsüz ( δ = ) (3) Sansürlü ( δ = 0 ) Toplam Genş hücre tp Sansürsüz ( δ = ) (4) Sansürlü ( δ = 0 ) Toplam GENEL Sansürsüz ( δ = ) TOPLAM Sansürlü ( δ = 0 ) Çzelge 6. de uygulamaya konu olan dört tp akcğer kanser çeşdnn, kullanılan ver setndek dağılımı anlatılmıştır. Her hücre tp çn, sansürsüz (tam gözlenen) brey sayısı δ = le fade edlrken, sansürlenen (yaşamı devam eden, blg kaybı olan, takp edlemeyen v.s.) brey sayısı se δ = 0 le fade edlmştr., eğer nc breyn yaşam süres bell se ( sansürsüz) δ = 0, eğer nc breyn yaşam süres bell değl se ( sansürlü) 32

43 Çzelgede, sansürsüz durumdak brey sayısı ve sansürlü durumdak brey sayısı görüleblmektedr. Bu anlatım her tp hücre çn yapıldığından, her hücre tp kanser hastalığından toplam kaç brey gözlendğ de görülmektedr. Örneğn, squamous hücre tp kanser hastalığı çn, 35 hasta brey gözlenmş olup, bu breylern 3 sansürsüz durumdayken 4 ü sansürlüdür. Aynı şeklde, dğer üç tp hücre çn de sansürsüz ve sansürlü durumlarına bakıldığında, genel toplamda, 37 hastanın 9 tanesnn sansürlü, 28 tanesnn se tam gözlenmş durumda olduğu görüleblr. Ayrıca çzelgede, en düşük ve en yüksek yaşam süreler de verlmş olup, yne bu da her tp hücre ve durum çn tekrarlanmıştır. Örneğn, küçük hücre tp kanser hastalığının, sansürsüz durumda en düşük yaşam süres 2 gün ken en yüksek yaşam süres se 392 gündür. Sansürlü durumunda se, en düşük yaşam süres 97 gün ken, en yüksek yaşam süres 23 gündür. Aynı şeklde, dğer üç tp hücre çn de yaşam sürelerne bakıldığında, genel toplamda, sansürsüz durumdak 28 hastanın en düşük yaşam süres gün ken, en yüksek yaşam süres 99 gün ve sansürlü durumdak 9 hastanın en düşük yaşam süres 25 gün ken, en yüksek yaşam süres 23 gündür. Çzelge 6.2 Durum Değşken Frekans Tablosu DURUM FREKANS YÜZDE TOPLAM Başka br deyşle, uygulama versnde, 37 olgudan elde edlen yaşam süres verlernn % 6.57 s tamamlanmamış (sansürlü), % ü se tamamlanmış (sansürsüz) verler göstermektedr (Çzelge 6.2). Bu şeklde verlen akcğer kanser verlernn, öncelkle Webull dağılımına uygun olup olmadığı araştırılmıştır. 33

44 Yaşam verlernn analznde kullanılan öneml olasılık dağılımları le ler analzler yapablmek daha uygundur. Yaşam analznde kullanılan en öneml dağılımlardan Webull, log-normal, üstel ve normal dağılımlar karşılaştırılmıştır. Karşılaştırma çn, küçük ve büyük uç değerlere karşı duyarsızlığı gderlmş, Anderson- Darlng uyum ylğ test statstğ kullanılmıştır. Bu test, Normal, Webull, log-normal ve fonksyonları blnen dağılımlara uygulanablr. Hesaplanan olasılık fonksyonları le n brmden elde edlen verlern deneysel dağılım fonksyonları arasındak farkların beklenen uyum çnde olup olmadıklarını test eder (Özdamar 2004). Percent Webull Four-way Probablty Plot for Yasam Süres ML Estmates - Censorng Column n Sansürleme Percent Lognormal base e Anderson-Darlng (adj) Webull 0,494 Lognormal base e 0,682 Exponental 2,0 Normal 9,970 0,,0 0,0 00,0 000,0 Exponental Normal Percent Percent Şekl 6. Dört farklı dağılım çn yaşam olasılık grafkler Şekl 6. de akcğer kanser verlerne en uygun dağılımın Webull dağılımı olduğu görülmektedr. Ayrıca Anderson-Darlng uyum ylğ test statstğ değer en küçük olan dağılım ver çn en uygun dağılım olduğundan, buradan da Webull dağılımının uygunluğu tespt edleblr. 34

45 Ver setlernde kolay blg ednme yollarından brs de belrtc statstklerden yararlanmaktır. Belrtc statstkler, sayısal verler özet olarak tanıtan, özetleyen, brmlern yığıldıkları tpk değerler ve bu değerler etrafında değerlern yayılması ve dağılımları hakkında blg veren değerlerdr. Adından da anlaşılacağı gb belrtc statstkler, ver setnde yer alan değşkenler belrten, tanıtan, açıklayan, özet olarak tanıtan değerlerdr. Belrtc statstklerden, n sayıda brme at vernn genel eğlmn, yayılımını, belrl değerler etrafında toplanma özellkler hakkında blg ednmek çn ve topluma at verler çn hesaplanablecek parametrelern tahmnnde yararlanılır. Bu sebeple Çzelge 6.3 te bazı belrtc statstkler verlmştr (Özdamar 2004). Çzelge 6.3 Webull Dağılımının Bazı Karakterstkler Standart 95,0 % Güven Aralığı Tahmn Hata Alt Sınır Üst Sınır Ortalama (Mean) 3,64 3,798 06,7336 6,800 Standart Sapma 55, ,8052 9, ,2046 Ortanca (Medyan) 78,088 9,336 6, ,642 İlk Çeyreklk (Q) 27,682 4,5648 9, ,842 Üçüncü Çeyreklk (Q3) 76,8838 8,474 44,408 27,0647 Akcğer kanser hastalarının yaşam sürelerne bakıldığında, ortalama yaşam süres 3 gün olarak elde edlrken, standart sapma 55,5 gün ve ortanca yaşam süres (medyan) 78 gün olarak elde edlmştr. 37 akcğer kanser hastasının ortanca yaşam süres 78 gün ve % 95 güven aralığında bu hastaların en az yaşama süres yaklaşık 62 gün, en çok yaşama süres se yaklaşık 99 gün olarak elde edlmştr. Burada yaşam süres ncelenrken ortalama yaşam süres yerne, ortanca yaşam süres göz önüne alınmıştır. Çünkü yaşam analznde, yaşam sürelern çeren ver setlernde ana eğlmden aşırı derecede küçük ya da aşırı derecede büyük değerler olablr. Değşm genşlğ büyük olacağından ortalamalar bu değerlerden etklenerek gerçek eğlm yansıtmaktan uzak kalırlar. Bu nedenle, aşırı uç değerlerden etklenmeyen ortanca yaşam süres, very temsl eden statstktr. Ortanca yaşam süresn dkkate almak daha sağlıklı sonuç verr (Çzelge 6.3). 35

46 Webull dağılımının parametreler olan -bçm (shape) ve λ -ölçek (scale) parametreler akcğer kanser hastaları çn tahmn edlmştr. Ayrıca dağılımın olasılık yoğunluk fonksyonu, yaşam fonksyonu ve Hazard fonksyonuna at grafkler de elde edlmştr. 0,05 0,00 0,005 Overvew Plot for Yasam Süres ML Estmates - Censorng Column n Sansürleme Probablty Densty Functon Webull Probablty Percent Shape Scale MTTF Falure Censor 0, ,27 3, Goodness of Ft AD* 0,494 0,000, Survval Functon 0,025 0,,0 0,0 00,0 000,0 Hazard Functon Probablty 0,5 Rate 0,05 0,0 0, Şekl 6.2 Webull dağılımının parametreleryle lgl grafkler Şekl 6.2 de Webull dağılımı çn şekl ve ölçek parametreler tahmnler bulunmuştur. Ancak, Mntab programında Webull dağılımının ölçek parametres şeklnde fade λ edldğ çn, = 0,8468 ve λ= = 0, 0083 olarak bulunmuş olur. Bu 20, 27 tahmnler en çok olablrlk yöntem kullanılarak hesaplanmıştır. 36

47 Bu parametre tahmnler teork olarak Bölüm 5 te elde edlmşt. I. tür sağdan sansürlemeye uygun akcğer kanser verlernn parametrelernn tahmnler Newton- Raphson yöntemnden yararlanılarak da elde edleblr. Öncelkle Newton-Raphson yöntemnn şleyşnden kısaca bahsedlecek olunursa; 0 =, 2,..., r çn θ, θ parametresnn gerçek değer, log L( θ,..., θ ) U θ θ θ r r (, 2,..., r ) =, =,2,..., θ ve olsun. U 2 log L( θ,..., θ ) 2 log L( θ,..., θ ) 2 log L( θ,..., θ ) r r L r θ 2 θ θ θ θ 2 r 2 log (,..., ) 2 log (,..., ) 2 Lθ θ Lθ θ log L( θ,..., θ ) r r L r V ( θ 2,..., θr ) = θ θ θ θ 2 θ 2 2 r M M M 2 log L( θ,..., θ ) 2 log L( θ,..., θ ) 2 log L ( θ,..., θ ) r r L r θ θ θ θ 2 r r 2 θ r ( θ, θ,..., θ ) 2 olmak üzere, ( ),..., r r ( θ,..., θ ) U r = M dyelm. =, 2,..., r çn, Ur( θ,..., θ r) 0 0 U θ θ nn ( θ,..., r ) * 0 θ, θ le θ arasında θ etrafında Taylor sersne açılması le, 37

48 * 0 ( θ θ ) r U ( θ,..., θr ) = U ( θ,..., θr ) + V ( θ,..., θr ) M (6.) * 0 ( θ θr ) yazılablr (Gertsbakh 989). (6.) eştlğnde, θ = θ ( =, 2,..., r) alınsın. θ, θ nn en çok olablrlk tahmn edcsdr. Bu durumda, U ( θ,..., θ r ) = 0 olup, (6.) eştlğnden, θ θ * 0 θ r θ r * 0 M = M V (6.2) ( θ,..., θr ) U( θ,..., θr ) () bulunur. (6.2) fadesyle, =, 2,..., r çn θ, θ nn başlangıç değer olmak üzere, ( m+ ) ( m) θ θ ( m) ( m) ( m) ( m) M = M V ( θ,..., θr ) U( θ,..., θr ), m=,2,... (6.3) ( m+ ) ( m) θ r θ r ( ) terasyonları zlenr. =, 2,..., r çn θ m, θ + sayısına yeternce yakınsa terasyon ( m ) durdurulur. m ken =, 2,..., r çn θ ( m) dr. θ Bu blgler ışığında, I. tür sağdan sansürleme örneğ çn parametre tahmnnde bulunulduğunda, U n n ln ln t t t = = ( ) = + (6.4) n su ( ) t = V n n 2 2 ( ln ) ln t t t t = = ( ) = + + (6.5) 2 n n t t = = 38

49 olur. () başlangıç değer le ( ( )) ( ( )) U m ( m+ ) = ( m) V m n n ln ln t t t = = + n su ( ) t = n n 2 2 t ( lnt) t lnt = = + + n n 2 t t = = ( m+ ) = ( m) (6,6) terasyon şlemne ulaşılır. ( m+ ) yeternce ( m) sayısına yeternce yakınsa terasyon durdurularak nın en çok olablrlk tahmn değer olan ( m + ) olarak alınır. = t = (5.24) eştlğnde, θ = s U n ( ) olarak bulunmuştu. Ayrıca, parametres, θ = λ alındığından, her k tarafın e tabanında logartması alınırsa, λ lnθ = lnλ lnθ = lnλ lnθ lnλ = lnθ λ= e (6.7) olarak elde edlr. 39

50 (5.24), (6.6) ve (6.7) eştlkler göz önünde bulundurularak yazılan Matlab blgsayar programı kodları (EK 3) sonucunda, λ ve parametrelernn değer, Newton-Rapson yöntemne göre de, = 0,8468 ve λ= 0,0083 olarak bulunmuştur. Akcğer kanser hastalarına at yaşam fonksyonu Şekl 6.3 le verlmştr. Parametrc Survval Plot for Yasam Süres Webull Dstrbuton - ML Estmates - 95,0% CI Censorng Column n Sansürleme,0 0,9 0,8 0,7 Shape Scale MTTF StDev Medan IQR 0, ,27 3,6 55,58 78,09 49,27 Probablty 0,6 0,5 0,4 a 0,3 0,2 b 0, 0,0 c Tme to Falure Şekl 6.3 Akcğer kanser hastalarına at yaşam fonksyonu grafğ Webull dağılımı çn % 95 güven aralığındak yaşam fonksyonu Şekl 6.3 le gösterlmştr. Burada, a le fade edlen fonksyon yaşam fonksyonunun alt sınırı ken, c le fade edlen fonksyon se yaşam fonksyonunun üst sınırıdır. b le fade edlen fonksyon da akcğer kanser hastaların yaşam sürelerne lşkn yaşam fonksyonudur. Burada, b yaşam fonksyonunun % 95 güven aralığı çersnde olduğu görülmektedr. 40

51 Akcğer kanser hastalarına at Hazard fonksyonu Şekl 6.4 le verlmştr. Parametrc Hazard Plot for Yasam Süres Webull Dstrbuton - ML Estmates Censorng Column n Sansürleme 0,025 Shape Scale MTTF StDev Medan IQR 0, ,27 3,6 55,58 78,09 49,27 Rate 0,05 0, Tme to Falure Şekl 6.4 Akcğer kanser hastalarına at Hazard fonksyonu grafğ Elde edlen parametre tahmnlernden faydalanarak, Hazard ve yaşam fonksyonu değerlern hesaplayablrz. Bu sayede, her t anı çn yaşam ve an ölüm olasılıklarını elde etme şansımız olur. ( λ)( λ ) ( )( )( ) ( 0, ) = ( t) ht ( ) = t = t S( t) = e = e ( λt) ( t) olarak bulunur. 4

52 t= 50,00, 250, 500, 750,000 zamanları çn Hazard ve yaşam olasılıkları, h() = S() = h(50) = S(50) = h(00) = S(00) = h(250) = S(250) = h(500) = S(500) = h(750) = S(750) = h(000) = S(000) = olarak elde edlr. Buradan da görüldüğü gb, yaşam olasılığı zaman lerledkçe azalmaktadır. Ayrıca, Şekl 6.3 ve Şekl 6.4 te de yaşam olasılığı le an ölüm rsknn gderek azaldığı görülmektedr. Bu azalış, Hazard fonksyonunda daha hızlıdır. İlk 50 günde Hazard fonksyonu an düşüş gösterrken, 50 nc günden tbaren kademel olarak azalmaya devam etmektedr. Hazard fonksyonunun an ölüm rskn fade etmesnden dolayı, grafğ, yaşam fonksyonu grafğne göre daha keskndr. 42

53 7. TARTIŞMA VE SONUÇ Tam ve sansürlü ver örneklemes durumunda Webull dağılımı çn parametre tahmnler yapmak, bu çalışmanın esas amacıdır. Bu nedenle önce, yaşam sürelernn analznde, yaşam fonksyonu, dağılım fonksyonu, Hazard fonksyonu gb bazı temel kavramlar verlmş ve bu fonksyonlar arasındak lşkler rdelenmştr. Daha sonra, yaşam modellern dğer statstk modellernden ayıran en öneml fark olan sansürleme kavramından ve sansürleme çeştler konularına değnlmştr. Bell br dağılım varsayımı gerektrmedğ çn pratkte daha kullanışlı olan parametrk olmayan yöntemlere göre, parametrk statstksel yöntemler kullanmak daha profesyonel sonuçlar verr. Bu sebeple, yaşam analznde kullanılan öneml dağılımlarla çalışmak daha çok terch edlen br yoldur. Bu çalışmada, yaşam analznde öneml br yer tutan ve en yaygın kullanılan Webull dağılımı ele alınmıştır. Webull dağılımının olasılık yoğunluk fonksyonu, yaşam fonksyonu, Hazard fonksyonu verlmş, beklenen değer ve varyansı elde edlmştr. Bu çalışmada, parametrk yaşam modellernde tahmn yapmak çn en çok olablrlk yöntem kullanılmıştır. Bu yöntem, tam örneklem ve sansürlü örneklem durumlarının her ks çn de verlmştr. Ayrıca en çok olablrlk yöntem, Webull dağılımının parametrelernn tahmn çn de kullanılmış olup, her k durumda da Webull dağılımının en çok olablrlk tahmn edcler araştırılmıştır. Uygulamada en sık rastlanan sansürleme yöntem olması nedenyle, sansürlü örneklem durumunda Webull dağılımının parametre tahmnler, sağdan sansürleme üzerne yapılmıştır. Uygulama bölümünde, sansürlü ver çeren akcğer kanser hastalarına lşkn verler ele alınmıştır. Bu hastalara at verlern sağdan sansürlü verler olduğu görülmüştür. Yaşam analz yapablmek çn Mntab 4 paket programından faydalanılmıştır. Önce, verler çn en uygun dağılım araştırılmış ve bu dağılımın Webull dağılımı olduğu görülmüştür. Bu dağılım çn öneml karakterstkler elde edlmştr. Daha sonra, Webull dağılımı çn parametre tahmnler elde edlmş olup, aynı tahmnler Newton- Raphson yöntemyle de yapılmıştır. Ayrıca, yaşam fonksyonu ve Hazard fonksyonu gb yaşam analznde öneml yer tutan fonksyonların grafkler elde edlmştr. 43

54 KAYNAKLAR Barlow, R.E. and Proschan Statstcal Theory of Relablty and Lfe Testng. Holt, Rnehart and Wnston, New York. Cohen, A.C.Jr Maxmum Lkelhood Estmaton n the Webull Dstrbuton Based on Complete Censored Samples. Techometrcs. Cox, D.R. and Oakes, D Analyss of Survval Data, Chapman and Hall, London. Gertsbakh, I. B Statstcal Relablty Theory. Marcel Dekker, New York. Gross, A.J. and Clark, V.A Survval Dstrbutons: Relablty Applcatons n the Bomedcal Scence. John Wley, New York. Hars, E. and Albert, A. 99. Survvorshp Analyss for Clncal Studes. Marce Dekker, New York, USA. Kalbflesch, J. D. and Prentce, R. I The Statstcal Analyss of Falure Tme Data. Klenbaum, D.G Survval Analyss a Self Learnng Text. Sprnger, New York. Lawlees, J. F Statstcal Models and Methods for Lfetme Data. John Wley, New York, USA. Le, C.T. 997.Appled Survval Analyss. John Wley, New York. Lee, E.T. 984.Statstcal Methods for Survval Data Analyss. Lfetme Learnng Publcatons, Belmont. London, D Survval Models and Ther Estmaton. Actex Publcatons Wnsted and Avon, Connectcut. Mller, I. and Mller, M John E. Freund dan Matematksel İstatstk. 6. Baskı (Çevren: Ümt Şenesen). Lteratür Yayıncılık, İstanbul. 44

55 Mller, R.G. 98. Survval Analyss. John Wley&Sons, New York. Nelson, W Appled Lfe Data Analyss, John Wley & Sons, Inc., Canada. Özdamar, K SPSS le Byostatstk. Kaan Ktabev, Eskşehr. Özdamar, K Paket Programlar İle İstatstksel Ver Analz. Kaan Ktabev. Eskşehr. 45