Bölüm Konu Sayfa Bölüm Konu Sayfa

Transkript

1 ÇNDEKLER Bölüm Kon Sayfa Bölüm Kon Sayfa Giri Kapalı Fonksiyonların Türevi 8-5 Matrislerle Tanıma Parametrik Fonksiyonların Türevi 5-5 Matrislerin Çarpımı Fonksiyonların Tersinin Türevi Kare Matrislerin Kvvetleri 0-08 Trigonometrik Fonksiyonların Türevi Matrislerin Çarpımsal Tersi 09-0 Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevi Matrislerde Transpoz lemi Logaritmik Fonksiyonların Türevi Determinant Fonksiyon 08-0 Üstel Fonksiyonların Türevi Determinant Özellikleri Logaritma Yardımıyla Türev Alma Lineer Denklem Sistemleri Le Hospital Teoremi Diziler ve Terimleri Üslü Belirsizlikler 0-05 Sonl, Sabit ve Birbirlerine Eit Diziler Teet Eimi 06- Monoton Diziler Teet ve Normal Denklemleri -9 Alt Diziler Türevin Fiziksel Yorm 0- Aritmetik Dizi Artan ve Azalan Fonksiyonlar -0 5 Geometrik Dizi Yerel Ekstremm Noktaları -7 6 Özel Tanımlı Fonksiyonlar Mtlak Ekstremm Noktaları 8-7 Parçalı Fonksiyonlar kinci Türevin Geometrik Yorm - 8 Mtlak Deer Fonksiyon 0-55 Dönüm Noktası Mtlak Deer Fonksiyon Grafikleri 5-56 Türev Fonksiyonnn Grafii Fonksiyonlarda Limit - 57 Minimm-Maksimm Problemleri 5-68 Özel Tanımlı Fonksiyonlarda Limit Fonksiyon Grafikleri Çizimi Süreklilik 7-59 Türev Bilgisiyle ntegral Alma 9-00 SıfırBölüSıfır Belirsizlii d integralleri 0-08 Trigonometrik SıfırBölüSıfır Belirsizlii f() d integralleri 09-5 SonszBölüSonsz Belirsizlii / ntegralleri -7 6 SonszEksiSonsz Belirsizlii /( ) ntegralleri 8-7 SıfırÇarpıSonsz Belirsizlii /( ) ntegralleri -5 8 Üstel Belirsizlikler Deitirdiine Desin ntegralleri Bir Dizinin Limiti Kısmi ntegrasyon Seriler Kesirlere Ayırarak ntegrasyon 8- Türevin Tanımı Trigonometrik Özdeliklerden Yararlanma 5-5 Türev Süreklilik likisi Belirli ntegral 5-5 Polinom Fonksiyonların Türevi ntegral Hesabın Temel Teoremi 5-67 Parçalı Fonksiyonların Türevi - 7 Parçalı Fonksiyonların ntegralleri Diferansiyel Kavramı Belirli ntegralin Türevi Zincir Kralı ve Bileke Fonksiyon Türevi 7-7 ntegralle Alan Hesapları Yüksek Mertebeden Türevler ntegralle Hacim Hesapları 89-9

2 Teekkür ediyorm! Öncelikle, matematie bakıımı deitiren ve meslekte er neyi dor biliyorsam sebebi olan Prof. Dr. Ali NESN e ve b kitabın basılmasında imkanlarını, desteini ve tecrübesini benden esirgemeyen Memet EK ve Halil braim AKÇETN e, ardından ilk günden itibaren b iin tüm zametlerine katlanıp kitabın tüm aamalarında bana yardımlarını esirgemeyen kıymetli asistanlarım Erkan YILDIRIM ve mran ÖZENL ye, ve manevi desteklerini ep yanımda issettiim güzel dostlarım Füsn YAZICILAR, Reyan KURTOLU, Selcan SÜNNETÇOLU ve Mstafa SÜNNETÇOLU na, ve kitabın tasi aamasında elele verip atalarımı düzeltmeye çalıan bata Marrem AHN, Eyüp Kamil YELYURT ve braim KUCUOLU olmak üzere Amet ALKAN, Nman AKKOÇ, afak ALTUNSOY, Mrat AYDIN, Memet AYDODU, Gökan BABACAN, Vildan BALTA, Osman BOLAT, Mrat ÇELKKAYA, Taylan ÇFTÇ, Adem ÇL, Bekir DEMRBA, Levent DOAN, Drm DODU, Amet ELMAS, Eran ERTÜRK, Amet ETLKÇ, Mrat GDC, Alaaddin GÖLCÜR, Tamer GÜÇKAYA, Memet GÜLEEN, Ali Can GÜLLÜ, Cengiz GÜMÜ, Memet GÜMÜ, Memet KAIZMAN, Erdal KARABURUN, Sat KARADA, Volkan KARAHAN, Levent KAYA, Gökan KEÇEC, Erkan MERÇ, Fat OUL, Yavz OUZ, Emre ORHAN, Sezgin ÖNER, Benar Ertekin ÖZTÜRK, Mrat ÖZTÜRK, Mrat PAZARCIK, Bekir POLAT, Volkan POLAT, Baak SALIK, Atilla SANSAR, Fevzi SARGUN, Ayla SAYDAM, Talip AHN, braim EPK, Mrat TANRIKULU, Veli TARHAN, Ali Ziya TEKN, Hakan TÜZÜN, Önder UYSAL, Hüseyin ÜNAL,Takın YAKAR, Cem YILDIRIM, Hasan YAAYACAK, san YÜCEL, Selim YÜKSEL ve Rasim ZENCR ile birlikte tüm TMOZ üyesi meslektalarıma sonsz teekkürlerimle

3 0 Cebir Notları Mstafa YACI, yagcimstafa@yaoo.com Trig. Fonksiyonların Türevi Cebirsel Olmayan Fonksiyon Türevleri. Fonksiyonlar ço kez cebirsel olanlar ve olmayanlar diye iki sınıfa ayrılırlar. B bölümde cebirsel olmayan fonksiyonların yani trigonometrik, logaritmik ve üstel fonksiyonların türevlerini göreceiz. Bndan önceki bölümde türevle ilgili görülen tüm tanım ve teoremler elbet b bölüm için de geçerli olacaktır. Trigonometrik Fonksiyon Türevleri. Altı farklı trigonometrik oran ve bnlarla oltrlan 6 farklı trigonometrik fonksiyon oldn biliyorz. imdi sırasıyla bnların türevlerini almayı öreneceiz. Sinüs fonksiyonn, ana kadar türevlerini örendiimiz fonksiyonlar cinsinden yazamadıımızdan (siz öyle sanın), türevini mecbriyetten tanım yardımıyla yapaca- ız. Daa sonra cos, tan, cot, sec, csc fonksiyonlarının türevlerini daa önceden kanıtladıımız türev teoremleriyle yapacaız. çinin türevini ntmayın. Bileke fonksiyon türevinden sin g ' = g' cos g [ ] eitlii de geçerlidir. Örnein, y = sin iken y = cos y = sin iken y = sin cos y = sin () iken y = sin cos y = sin ( ) iken y = sin ( ) cos( ) y = sin iken y' = cos y = sin iken y' = cos sin y = sin(sin ) iken y = cos(sin ) cos Teorem. y = f () = sin iken y = cos. Kanıt: f( ) f f ' 0 sin( ) sin 0 sin cos( ) 0 sin lim = cos( ) 0 sin lim = lim cos( ) 0 0 = cos = cos cos deeri içbir reel sayısı için tanımsız olmayaca- ından sinüs fonksiyonnn er yerde türevli oldn söyleyebiliriz. Zaten grafiini gözünüzün önüne getirirseniz er yerde sürekli ve kırılmasız oldn fark edersiniz. d d ( sin8) ifadesi kaça eittir? A) cos 8 B) 8 cos 8 C) 8 sin 8 D) 8 cos E) 8 cos 8 Çözüm: Sor sin yapısında oldndan, türevi cos eklinde olmalıdır. = 8 oldndan = 8 olr. cos = 8 cos 8. Dor cevap: B. y = sin( ) ile belirli fonksiyon için y deeri aaıdakilerden angisine eittir? A) cos( ) B) sin( ) C) cos( ) D) cos( ) E) sin( ) Çözüm: Sor sin yapısında oldndan, türevi cos eklinde olmalıdır. = oldndan = olr. O alde y = cos = cos( ) olmalıdır. Dor cevap: D. 58

4 Mstafa YACI Trig. Fonksiyonların Türevi y = sin ile belirli fonksiyon için y deeri aa- ıdakilerden angisine eittir? A) sin B) cos C) sin D) sin cos E) sin cos Çözüm: Sor yapısında oldndan, türevi formatında olmalıdır. = sin oldndan = cos olacaından y = = sin cos. Dor cevap: E. d (sin ) ifadesi kaça eittir? d A) cos B) 8 cos C) 6 cos D) 8 sin E) sin Çözüm: f () = sin fonksiyonnn e göre ikinci türevi sorlyor. Birinci türevden balayalım. Sonra ikinciyi blrz. f () = sin cos = sin diye f () = cos = 8 cos. Dor cevap: B. f () = sin cos tan cot oldna göre f ( 6 ) kaçtır? A) 0 B) C) D) E) Çözüm: Sakın, em sin, em cos, em tan em cot kllanılmı, bnn türevini nasıl alacaız demeyin. sin cos = ve tan cot = oldndan f () = = olr. O alde türevin deeri, er için tabii ki 0 olr. Dor cevap: A. Teorem. y = f () = cos iken y = sin. Kanıt: Türevin limitle tanımına göre yapalım. f( ) f cos( ) cos lim 0 0 sin sin( ) 0 sin lim = sin( ) 0 sin lim = lim sin( ) 0 0 = sin = sin sin deeri de içbir reel sayısı için tanımsız olmaz. O alde kosinüs fonksiyon da er yerde türevlidir. Hatırlarsanız onn grafii de sürekli ve kırılmasızdı zaten. Aslında b eitlikle birlikte, anlıyorz ki sinüs fonksiyonnn türevini biliyorken kosinüs fonksiyonnn türevini türev tanımından yapmaya gerek yokt. Çünkü cos = sin( ) eitliinden kolayca türev alabilirdik. Alalım: d d cos = sin( ) d d = cos( ) = sin = eitliini kllanarak da kanıtlayabi- cos sin lirdik: d d sin cos cos = sin = = sin d d sin çinin türevini ntmayın. Bileke fonksiyon türevinden [ cos g ]' = g' sin g eitlii de geçerlidir. Örnein, y = cos iken y = sin y = cos iken y = cos sin y = cos () iken y = cos sin y = cos ( ) iken y = cos ( ) sin( ) y = cos iken y' = sin y = cos iken y' = sin cos y = cos(cos ) iken y = sin(cos ) sin y = cos(sin ) iken y = sin(sin ) cos d d ( cos 6) ifadesi kaça eittir? A) sin 6 B) 6 sin 6 C) 6 sin 6 D) 6 sin E) 6 sin Çözüm: Sor cos yapısında oldndan, türevi sin eklinde olmalıdır. = 6 oldndan = 6 olr. sin = 6 sin 6. Dor cevap: C. 59

5 Mstafa YACI Trig. Fonksiyonların Türevi y = cos ile belirli fonksiyon için y deeri angisidir? A) sin B) sin C) D) sin E) sin sin Çözüm: Sormz cos yapısında oldndan, türevi sin yapısında olmalıdır. = dersek ' = olacaından y = sin = sin. Dor cevap: D. y = sin(cos ) ile belirli fonksiyon için y deeri aaıdakilerden angisidir? A) cos(cos ) B) cos(cos ) C) sin (cos ) D) sin cos(cos ) E) sin cos(cos ) Çözüm: Sor sin yapısında oldndan, türevi cos formatında olmalıdır. = cos dersek = sin olacaından y = cos = ( sin ) cos(cos ). Dor cevap: E. f () = sin cos oldna göre f ( ) kaçtır? A) B) C) D) Çözüm: f () = cos sin oldndan E) π π π f ' = cos sin =. Dor cevap: D. f () = cos oldna göre f () fonksiyonnn kralı aaıdakilerden angisidir? A) cos B) sin C) sin D) cos E) sin Çözüm: Sormz formatında oldndan türevi formatında olmalıdır. = cos dersek = sin olacaından f () = = cos (cos ) = cos ( sin ) = sin olr. Dor cevap: E. Örnek [995 ÖYS]. f kaçtır? 0 f = cos5 ln oldna göre A) ln B) 5 ln C) ln 5 D) ln 5 E) ln5 cos5 Çözüm: f = ln = cos5 ln ve ln bir reel sayı oldndan, f ' = 5 sin5 ln olr ki bradan f ' = 5 sin ln= 5 ln bl- 0 nr. Dor cevap: B. y = cos ile belirli fonksiyon için y deeri aaıdakilerden angisidir? A) sin cos D) cos B) sin cos E) sin C) cos Çözüm: Sor yapısında oldndan türevi ' eklinde olmalıdır. = cos denirse = sin olacaından y = ' = ( sin ) cos = sin. cos Dor cevap: B. f () = sin cos oldna göre f ( 8 ) kaçtır? A) B) C) D) Çözüm: Birinci yol. Ayrı ayrı türev alalım emen. f () = sin cos cos ( sin ) = sin cos (sin cos ) = sin oldndan E) 0 π π f ' = sin = =. 8 kinci yol. fadeyi iki kare farkına göre açalım. f () = sin cos = (sin cos ) (sin cos ) = cos oldndan f () = sin olr. Gerisi aynı. Dor cevap: A. 60

6 0 Ü Cebir Notları Mstafa YACI, yagcimstafa@yaoo.com Logaritma Yardımıyla Türev slü ve üstel fonksiyonlarda türev almanın, yglaması çok kolay bir tekniinden basedeceiz. Bn sadece çeitlilik olsn diye anlatmayacaız, bazı fonksiyonların türevlerini b metot dıında çözemeyiz, en azından ben çözemem. y gibi ifadelerin, daa açık olarak 5,5, = f g veya y = f () f () f () f n () gibi ifadelerin e göre türevleri alınırken genel olarak önce eitliin er iki yanının e tabanına göre logaritması yani ln i alınır, daa sonra eitliin er iki yanının e göre türevi blnr. Örnek olarak, zaten türevini bildiimiz y = 5 fonksiyonndan balayalım. Ardında y = 5 için de metodn geçerli oldna ait olacaız. imdi y = 5 fonksiyonnn logaritmadan yararlanarak türevini blalım. Önce er iki tarafın ln ini alalım. y = 5 ln y = ln 5 ln y = 5 ln imdi er iki tarafın e göre türevini alalım: y y = y 5 y = = = 5 Aslına bakarsanız, üssü baa alıp, üssü düürme teknii de bradan domtr. Hani d n n ( ) n = d eitliini n doal ya da rasyonelken kanıtlamıtık ya, reelken de salar ama bn ilerde kanıtlayacaız demitik, ite oraya geldik. n y = ln y = ln n ln y = nln imdi eitliin er iki yanının e göre türevini alalım. y ' = n y y' = n y n y' = n n y' = n. imdi aynı metod y = 5 için yglayalım. y = 5 ln y = ln 5 ln y = ln 5 y ' ln 5 y = y' = y ln5 y ' = 5 ln5. y = oldna göre y deerini blnz. Çözüm: Eitliin er iki yanının e tabanına göre logaritmasını yani ln ini alalım. y = ln y = ln ln y = ln imdi er iki tarafın e göre türevini alalım. y ' y = ln y = y (ln ) y = (ln ). y = (sin ) tan oldna göre y deerini blnz. Çözüm: Aynı ilemleri tekrarlıyorz. y = (sin ) tan ln y = ln (sin ) tan ln y = tan ln (sin ) imdi er iki tarafın e göre türevini alalım: y' cos = sec ln ( sin ) tan y sin y' = y sec ln sin tan y' = sin sec ln sin. 90

7 Mstafa YACI Logaritma Yardımıyla Türev y = y denklemi ile belirli kapalı fonksiyonn e göre türevini blnz. Çözüm: Her iki tarafın ln ini alalım: y = y ln y = ln y y ln = ln y imdi de er iki yanın e göre türevini alalım: y ln y = ln y y y eitliinden y çekilirse; y ( y ln y) y = ( y ln ) blnr. d d ( ) ifadesi kaça eittir? A) ln B) ( ln ) C) (e ln ) D) ( ln ) E) ( ln ) Çözüm: Her iki yanın ln ini alalım. y = ln y = ln ln y = ln olr. Eitliin er iki yanının e göre türevini alırsak, y ' = ln = ln y y = y ( ln ) y = ( ln ) y = (ln ) Dor cevap: B. f () = ln oldna göre f (e) ifadesi kaçtır? A) B) e C) e D) ln E) e ln Çözüm: Her iki yanın ln ini alalım. y = ln ln y = ln( ln ) ln y = ln ln ln y = ln olr. Eitliin er iki yanının e göre türevini alırsak, y ' = ln y y = y ln y' = ln olr. yerine e yazarsak f (e) = e e = olr. Dor cevap: A. ln f () = (sin ) oldna göre f kaçtır? A) B) C) D) Çözüm: Her iki yanın ln ini alalım. y = (sin ) ln y = ln(sin ) ln y = ln(sin ) Her iki tarafın e göre türevini alalım. y' cos = ln(sin ) y sin oldndan y' = f ' = (sin ) ln(sin ) cot [ ] E) 0 f ' = [ 0 0] = 0. Dor cevap: E. f () = ( ) oldna göre f (0) kaçtır? A) ln B) ln C) ln D) ln E) ln Çözüm: Her üstel fonksiyonda old gibi eitliin er iki yanının ln ini alalım. ln f () = ln ( ) ln f () = ( ) ln ( ) imdi er iki yanın e göre türevini alalım. f ' = ln( ) ( ) f f ' = f ln( ) f '(0) = f(0) (ln ) (ln ) ln = = Dor cevap: E. y = ( ) ( ) ile belirli y fonksiyonnn logaritmadan yararlanarak türevini blnz. Çözüm: Yine er iki yanın ln ini alalım: y = ( ) ( ) ln y = ln [ ( ) ( ) ] ln y = ln ln ( ) ln ( ) ln y = ln ln ( ) ln ( ) imdi de er iki yanın e göre türevini alalım: y y = eitlii düzenlenir ve y yerine deeri yazılırsa; y = ( ) ( ) ( 8 ) 9

8 Mstafa YACI Logaritma Yardımıyla Türev CEVAPLI TEST. d e e ( a) = c d ( b) oldna göre a b c toplamı kaça eittir? A) 5 B) C) D) E) 6. ( e ) y = erisine = noktasında çizilen teetin eimi kaçtır? A) 0 B) C) e D) e 7. d ( e ) d ifadesinin = 0 daki deeri nedir? E) e. f () = sin(e ) g() = ln ise (o)'( f g e ) nin deeri kaça eittir? A) e B) cos e C) cos e D) cose e E) A) 0 B) C) ln(e) D) ln E) ln(e) 8. fonksiyonnn angisidir? y = (sin ) sin = için türevi aaıdakilerden A) 0 B) C) ln D) E) ln. f () = e oldna göre f ''(0) ın deeri kaçtır? A) e B) e C) D) E) 9. f () = ln[cos(e )] oldna göre f (0) ifadesinin sonc aaıdakilerden angisine eittir? A) B) C) tan D) E). f:, f () = ln fonksiyonnn türevi aaıdakilerden angisidir? A) ln ln B) ln ln C) ln D) ln ln E) 0. f () = ln(e e ) fonksiyon verilsin. f () = koln gerçekleyen aaıdakilerden angisidir? A) ln B) C) D) e ln E) ln 5. ln f = ln( ) fonksiyonnn e deki türevi kaçtır?. olmak üzere ifadesi için A) ln B) f = sin f ' nin deeri kaçtır? C) D) E) 0 A) e B) C) 0 D) e E) e. A. B. D. B 5. D 6. C 7. D 8. A 9. C 0. E. D 9

9 0 Cebir Notları Mstafa YACI, yagcimstafa@yaoo.com Üslü Belirsizlikler, 0 0, 0 belirsizliklerinin giderilii. veya veya olsn. lim f ( ) = ve lim g = a a lim f ( ) = 0 ve lim g = 0 a a lim f ( ) = ve lim g = a a lim a ifadesi öyle esaplanır: y [ f ] g a [ f ] g dendikten sonra eitliin er iki yanının e tabanında logaritması yani ln i alınır. ln y = ln lim f g ( [ ] ) a ( [ f ] g ) a ( g [ f ]) ln ln a Görüldüü üzere belirsizlikleri 0 ekline dönütürdük. Gerisi önceden anlattıklarımız üzere çözülecek. lim ( ) angisidir? 0 ifadesinin deeri aaıdakilerden A) 0 B) C) e D) e E) e Çözüm: 0 0 belirsizliini gidermeye çalıacaız. y = lim 0 ( ) diyelim. y yi blrsak, cevabı blm olacaız. ln y = ln lim lim = ln 0 0 ( ln ln ) = = 0 lim 0 lim 0 ln y = 0 çıktıından y = dir. ( ) = 0 0 Dor cevap: B. sin lim ( ) angisidir? 0 ifadesinin deeri aaıdakilerden A) 0 B) C) e D) e E) e Çözüm: Yine 0 0 belirsizlii var. sin y ( ) 0 diyelim ve y yi blmaya çalıalım. Her iki tarafın ln ini alalım. sin ln y = ln lim ( ) 0 = lim 0 0 ( ( sin ln )) ( ) sin ln imdiki belirsizlik 0 belirsizlii. Giderelim: ln y (sin ln ) 0 ln 0 csc imdi belirsizlii / belirsizliine dönütürdük. Türev alalım. ln y ( L ' Hospital) 0 csc cot sin tan 0 cos tan sec sin = 0 0 ln y = 0 oldndan y = e 0 = dir. Dor cevap: B. 0

10 Mstafa YACI Üstel Belirsizlikler ifadesinin deeri aaıdakiler- lim den angisidir? A) e B) e C) e 5 D) e 6 E) e Çözüm: alalım. y ln y = ln lim diyelim. Her iki yanın ln ini ln ln ln ( L ' Hospital) 6 = 6 ln y = 6 blndndan y = e 6 olmalıdır. Dor cevap: D. lim 5 ifadesinin deeri kaçtır? A) e B) e C) e D) e 5 E) e 6 Çözüm: oldndan = 5 5 lim ( 5) lim = e = e. Dor cevap: C. lim(cos ) 0 angisidir? cot ifadesinin deeri aaıdakilerden A) e B) 0 C) D) e E) e Çözüm: 0 belirsizliini gidermeye çalıacaız. cot y (cos ) 0 diyelim. y yi blrsak, sor çözülmü olacak. Her iki tarafın ln ini alalım. cot ln y = ln lim(cos ) 0 0 cot ( ) ln(cos ) 0 ( ) cot ln(cos ) ln(cos ) ( L ' Hospital) 0 tan tan = 0 0 tan ln y = 0 blndndan y = e 0 = olmalıdır. Dor cevap: C. lim ifadesinin deeri aaıdakilerden angisidir? A) e B) C) e D) e E) 0 Çözüm: mevct. lim oldndan 0 belirsizlii y diyelim ve y yi blmaya çalıalım. Yine er iki yanın ln ini alacaız. ln y = ln lim ln ln ln = 0 ln y = 0 blndndan y = e 0 = olmalıdır. Dor cevap: B. 0

11 0 Ç ok çok önemli bir integral tipine geldik. lerde göstereceimiz metotların nerdeyse epsine brnn sokacak. B yüzden brayı dikkatli çalımanızı öneririm. Cebir Notları Mstafa YACI, yagcimstafa@yaoo.com d ntegralleri ifadesi aaıdakilerden angisine eittir? d Hatırlarsanız,, den farklı pozitif bir reel sayı oldnda ln fonksiyon tanımlanabilirdi ve türevi de idi. Biz de b yüzden d = ln C demitik. Dikkat ederseniz ifadesinde pay, paydanın türevidir. te böyle kesirli ifadelerde pay, paydanın türevi oldnda paydaya deyip, payı da d ile birletirip d deyip integrali çözeceiz. Sor Tipi. f ' d integrali sorlr. f Çözüm yol. f = dersek f '( d ) = d olacaından, f ' d d = = ln C = ln f C f olr. A) ln C B) ln C C) ln C D) C ( ) E) ln C Çözüm: ( ) in diferansiyeli d oldndan ifadeyi le çarpıp bölelim. d d = = d = ln C = ln C. Dor cevap: B. Sık olarak sorld için b çözümü genelleyelim: k k d = ln a b C. a b a Örnein, ln d = C = cos d = ln sin C sin d ln C d = ln ln C ln d = ln Arctan C Arctan sec d = ln tan C tan d ifadesi aaıdakilerden angisine eittir? A) 6ln ln 5 5ln 7 C B) ln ln 5 5ln 7 C C) ln ln 5 5ln 7 C D) 6ln ln 5 5ln 7 C E) ln ln 5 5ln 7 C 6 5 Çözüm: 5 7 d = ln ln 5 5ln 7 C. Dor cevap: E.

12 Mstafa YACI / ntegralleri d ifadesi aaıdakilerden angisine eittir? A) ln C B) ln C C) ln C D) ln C E) ( )ln C Çözüm: = ise ( )d = d olacaından, d d = = d = ln C = ln C olr. Dor cevap: A. Not: tan fonksiyonnn integrali için da önerilebilir: sec fonksiyonnn türevi sec tan oldndan, tan ifadesini sec ile çarpıp bölebiliriz: sec tan tan d = d sec sec = denirse sec tan d = d olacaından tan d = ln sec C olr. eittir? tan d ifadesi aaıdakilerden angisine A) tan ln sec C B) C) tan ln sec C D) E) tan ln sec C tan ln sec C tan ln sec C eittir? tan d ifadesi aaıdakilerden angisine A) ln cos C B) ln sin C C) ln sin C D) ln cot C E) ln sec C Çözüm: Hoppalaaa imdi ne yapacaız? Neyin türevi tan ki? Yoksa b da tan d eklinde düünmemiz gerekenlerden mi? O da olamaz, ne sayısı tan in türevi ne de tan deeri in. Çözüm: tan ( sec ) d ( tan sec tan ) tan sec tan tan d = tan tan d = = d = d d tan ln sec = C. Dor cevap: B. sin tan d = d cos cos = dersek sin d = d oldndan sin d = d olr. O alde sin tan d = d cos d = = d = ln C = ln cos C = ln cos C = ln C cos = ln sec C Dor cevap: E. cot d ifadesi aaıdakilerden angisine eittir? A) ln cos C B) ln sin C C) ln sin C D) ln cot C E) ln sec C Çözüm: Hemen cot yerine özdeini yazalım. cos cot d = d sin olp sin = dersek cos d = d olr. O alde cos cot d = d sin d = = ln C = ln sin C Dor cevap: C.

13 Mstafa YACI / ntegralleri eittir? sec d ifadesi aaıdakilerden angisine A) ln sec C B) ln tan C C) ln ln C D) ln sec tan C E) ln sec tan C Çözüm: Türev dersinde türevi sec olan bir fonksiyon örenmedik. Dolayısıyla b ifadede bazı eklemeler çıkarmalar çarpmalar bölmeler yapmalıyız. lk akla gelen sec ifadesini olarak yazmak ve daa sonra payı cos da paydayı da cos ile çarpmak. Yapalım bakalım, seyretmekten iyidir! cos cos sec d = d = d d cos = cos sin Old gibi, sin = dersek cos d = d olr. cos d d = sin B integral gerçekten kolay bir integraldir ama bir sorn var, daa bn örenmedik. Bnn için gelecek dersi beklemek zorndasınız. O zaman b sory neden brada sordmza gelelim: sec fonksiyon neyin türevi bilmiyor olabilirsiniz ama sec in türevini biliyorsnz. En azından sec e deyince d diyebilecek bir ey blabilmek için payı da paydayı da sec tan ile çarpalım. Ne kadar iyi etti- imizi aaıda göreceksiniz. sec d = = sec sec tan d sec tan sec sec tan d sec tan sec tan sec tan sec d = d olr. d = ln C = ln sec tan C. Dor cevap: D. = denirse cos sin sec d = ln C cos sin sec d = ln tan C cos sec d = ln C cos csc d = ln csc cot C eitliklerini de siz blmaya çalıınız. (ln ) ln d ifadesi aaıdakilerden angisine eittir? A) ln ln C B) ln C C) ln ln C D) ln ln ( ) C E) ln ln C Birinci çözüm. d(ln ) = d oldndan sor aslında (ln ) ln d = ln d sorsdr. ln = denirse d = d olr ki b drmda d = ln C = ln ln C blnr. kinci çözüm. ln = denirse sor d alini alır. O alde cevap ln C = ln ln C. Dor cevap: E. e d ifadesi angisine eittir? e A) ln e C B) ln e C C) ln e C e D) ln C E) ln e C e Çözüm: e = dersek e d = d yani e d d = olr. d e d = = d = ln C = ln e C e. Dor cevap: E. d integrali aaıdakilerden angisidir? e A) e C B) e C C) ln e C D) ln e C E) ln e C d d e d Çözüm: = = e e ( e ) e e = dönüümü yapılırsa e d = d olacaından integral ali alır: d = ln C = ln e C e = ln C = ln C = ln e C e e Dor cevap: E.

14 0 d Cebir Notları Mstafa YACI, yagcimstafa@yaoo.com ntegralleri Önce b balıın er eyi olan teoremi atırlayalım: y = Arctan iken y ' = ve y = Arccot iken y ' = oldndan d = Arctan C = Arccot C. Brada dikkat edilmesi gereken nokta integranddaki kesirli ifadenin payında bir reel sayı varken paydasında tamkare bir polinom ile bir reel sayının toplam alinde olması lazımdır. Yani paydadaki yerinde veya, paydada yazan yerde de 6, 9, 5 gibi sayılar blnabilir. Brada amaç paydayı aline getirmektir. Örneklerle b ii nasıl yapacaımızı anlatacaız, daa sonra da b tarz sorların genel formülünü çıkartacaız. d 9 eittir? ifadesi aaıdakilerden angisine A) Arctan C B) Arccot C C) Arctan Arctan E) C D) Arccot C C Çözüm: Paydayı formatına getirmek amacıyla = diyelim. d = d olr. Hemen ifadeyi de le çarpıp bölelim. d d = 9 9 d = = Arctan C = Arctan C Dor cevap: E. d ifadesi aaıdakilerden angisine 6 9 eittir? A) Arctan C) Arctan C E) Arctan ( ) C C B) Arccot C D) Arctan C Çözüm: Paydayı formatına getirmek amacıyla, önce 6 parantezine alalım. d d d = = = yani = diyelim. d = d olr. d 6 = Arctan C = Arctan C. Dor cevap: C. B tarz sorları genelleyip, formülünü çıkartabiliriz. d a ve b birer reel sayı olmak üzere integrallerinin formülünü blalım. Paydayı formatına ge- a b tirmek amacıyla önce payda a parantezine alınır. d d = a b b a a imdi b a = denirse b d = d olacaından d yerine a a d yazabiliriz. drmda b a d d b d = = b ( ) ab a a a b = Arctan C = Arctan C ab ab a olarak blnr. 8