INTRINSIC INTERFERENCE AND PREAMBLE BASED CHANNEL ESTIMATION IN FBMC

Transkript

1 FBMC DE İÇ-GİRİŞİM VE ÖNCÜL TABANLI KANAL KESTİRİMİ INTRINSIC INTERFERENCE AND PREAMBLE BASED CHANNEL ESTIMATION IN FBMC UMUT KAYIKCI Doç. Dr. Emre Aktaş Tez Danışmanı Hacettepe Üniversitesi Lisansüstü Eğitim - Öğretim ve Sınav Yönetmeliği nin Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Anabilim Dalı İçin Öngördüğü YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak hazırlanmıştır. 2017

2

3

4

5 ÖZET FBMC DE İÇ-GİRİŞİM VE ÖNCÜL TABANLI KANAL KESTİRİMİ UMUT KAYIKCI Yüksek Lisans, Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü Tez Danışmanı: Doç. Dr. Emre Aktaş 21 Haziran 2017, 88 sayfa Çok taşıyıcılı iletişim sistemleri, bugüne kadar uygunlandıkları sistemlerde iyi bir performans göstermişlerdir. Bu yüzden, yeni nesil iletişim sistemlerinde de kullanılmaları düşünülmektedir. Çok taşıyıcılı sistemler içerisinde bugüne kadar en çok tercih edilen yöntem ise OFDM olmuştur. OFDM in yaygın kullanım sebeplerinin başında; sistem karmaşıklığının az olması ve spektral açıdan verimli olması sayılabilir. Ancak bu güzel özelliklerine rağmen, yüksek güçlü yan frekans hüzmeleri ve yüksek PAPR değeri gibi bazı özellikleri, 5G sistemler için OFDM e alternatif yeni bir iletişim yöntemi arayışına yol açmıştır. 5G sistemler için aday yöntemlere örnek olarak bir FBMC üyesi olan OFDM/OQAM gösterilebilir. OFDM/OQAM bir çok konuda OFDM e göre daha iyi performans sağlamasına rağmen sistem yapısı nedeniyle alıcıda görülen iç-girişim, bilinen kanal kestirim yöntemlerinin kullanılmasına engel olmaktadır. Bu nedenle OFDM/OQAM için yeni kanal kestirim yöntemleri geliştirilmiştir. Bu tez çalışmasının amacı öncelikle literatürdeki genel FBMC yapısı ve özellikle OFDM/OQAM konusuyla ilgili çalışmaların incelenmesi, daha sonra OFDM/OQAM in kendine özgü özelliği olan iç-girişim konusunun anlaşılması, son olarak da OFDM/OQAM için en bilinen öncül tabanlı kanal kestirim yöntemlerinin incelenmesi ve karşılaştırılmasıdır. Bu amaçla, öncelikle FBMC konseptinden bahsedilmiş ve temel OFDM/OQAM yapısıi

6 nın üzerinden geçilmiştir. Sistemde ISI görülmeden iletişim yapılabilmesine olanak sağlayan Nyquist kanalının teorisi anlatılmış, daha sonra da bu kanalın OFDM/OQAM de elde edilebilmesi için kullanılan PHYDYAS fonksiyonu incelenmiştir. Alıcıdaki OFDM/OQAM sinyalinin ve burada görülen iç-girişimin matematiksel gösterimi yapılmıştır. Ardından, iç-girişimden sadece kurtulmaya çalışmak yerine nasıl yararlanabileceği, enformatik kanal kapasitesine ve kanal kestirimine nasıl bir katkı yapacağı incelenmiştir. İç-girişimden yararlanıldığı takdirde kapasite bazında 2.5 db nin üzerinde bir kazanç sağlanabileceği gösterilmiştir. Son olarak OFDM/OQAM için geliştirilen kanal kesitirim yöntemleri olan POP, ICM, IAM- 1, IAM-R, IAM-I, IAM-C ve E-IAM-C incelenmiştir. Yöntemlerin, alıcının AWGN olduğu durumda, sadece Rayleigh sönümlemeli kanallardaki ve aynı anda hem Rayleigh sönümlemeli hem de Doppler etkisi altında olan kanallardaki bit hata oranı performanslarının benzetimleri yapılmıştır. Yüksek dereceli yıldızküme diyagramı kullanılmasının yöntemler üzerindeki etkisine bakılmıştır. Ayrıca yöntemler PAPR açısından karşılaştırılmıştır. Karşılaştırmalar sonucunda, POP un düşük dereceli, yıldızküme diyagramlarında en zayıf performansı göstermesine rağmen, yüksek dereceli yıldızküme diyagramları için uygun bir yöntem olduğu görülmüştür. E-IAM-C nin yüksek gürültü gücüne karşı en düşük bit hata olasılığını vermesine rağmen, PAPR açısından kötü bir performans gösterdiği görülmüştür. PAPR açısından en iyi performansı gösteren yöntem olan IAM-1 in ise BER performansı açısından zayıf olduğu; PAPR - BER dengesi açısından en iyi yöntemin IAM-I olduğu belirlenmiştir. Ayrıca bu tez kapmasında PHYDYAS fonksiyonu için bir ICM öncül yapısı tasarlanmış ve yapılan benzetimlerde PAPR ve BER açısından dengeli ve yüksek dereceli yıldızküme diyagramları açısından zayıf sonuçlar verdiği görülmüştür. Anahtar Kelimeler: FBMC, OFDM/OQAM, İç-girişim, Kanal Kestirimi ii

7 ABSTRACT INTRINSIC INTERFERENCE AND PREAMBLE BASED CHANNEL ESTIMATION IN FBMC UMUT KAYIKCI Master of Science, Department of Electrical and Electronics Engineering Supervisor: Assoc. Prof. Emre Aktaş 21 June 2017, 88 pages Multi-carrier communication systems perform well in the systems they are used. Therefore, it is considered to be used in the next generation communication systems. Among multi-carrier systems, OFDM is the most preferred method. The most important reasons for common use of OFDM are low complexity and high spectral efficiency. On the other hand, some features such as high power side-lobs and high PAPR causes to search for an alternative method to OFDM for 5G. A candidate method for 5G is OFDM/OQAM, which is an FBMC member. Although OFDM/OQAM provides better performance than OFDM in many respects, because of intrinsic-interference seen in the receiver due to the system structure, conventional channel estimation methods can not be applied directly. For this reason, new channel estimation methods have been developed for OFDM/OQAM. The main purpose of this thesis is to examine the general FBMC structure and particularly the studies related to the OFDM/OQAM in the literature, then to understand the intrinsic-interference which is the specific feature of OFDM/OQAM, and finally the most popular preamble based channel estimation methods for OFDM/OQAM and their comparison. For this purpose, firstly the FBMC concept and then the basic OFDM/OQAM structure iii

8 are described. The theory of Nyquist channel, which enables communication without ISI in the system, is explained and then the PHYDYAS function, which is used to obtain Nyquist channel in OFDM/OQAM, is investigated. The OFDM/OQAM signal and intrinsic-interference in the receiver is shown mathematically. After that, instead of getting rid of intrinsic interference, utilization of it and its contribution to channel estimation and information capacity of the channel are investigated. It was shown that a capacitybased gain of over 2.5 db can be achieved via utilization of intrinsic-interference. Finally, OFDM/OQAM channel estimation methods POP, ICM, IAM-1, IAM-R, IAM-I, IAM-C and E-IAM-C are examined. Their BER performances in the presence of AWGN, only on Rayleigh and both Rayleigh and Doppler channel are shown. The influence of using high-order constellation diagrams on methods is examined. The methods are also compared in terms of their PAPR performances. As a result of comparisons, it was found that POP is a suitable method for high-order constellation diagrams, even though it shows the worst BER performance for low-order constellation diagrams. Although E-IAM-C provides the lowest bit error probability against high noise power, it shows poor performance in terms of PAPR. IAM-1 is the best method in terms of PAPR and the worst method in terms of BER, the best method provides PAPR-BER balance was determined as IAM-I. In addition, an ICM preamble for the PHYDYAS function was designed in this thesis, and the simulations shows that the method has balanced PAPR and BER performance and given unsatisfactory results for high-order constellation diagrams. Keywords: FBMC, OFDM/OQAM, Intrinsic Interference, Channel Estimation iv

9 TEŞEKKÜR Bilgi, tecrübe ve yardımlarıyla bu tez çalışmasının ortaya çıkmasını sağlayan danışmanım Doç. Dr. Emre Aktaş a, Katkılarından ve ilgilerinden ötürü jüri üyeleri Doç. Dr. Berkan Dülek, Doç. Dr. Cenk Toker, Doç. Dr. Sinan Gezici ve Doç. Dr. Tolga Girici ye, Çalışanlarına akademik çalışmalar için sağladığı destekten ötürü TÜBİTAK BİLGEM İLTAREN e, Anaokulundan bu yana üzerimde emeği olan tüm öğretmen ve öğretim görevlilerine, Başöğretmen Mustafa Kemal Atatürk e, Son olarak her şey için aileme teşekkür ederim. v

10 İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET ABSTRACT TEŞEKKÜR İÇİNDEKİLER ÇİZELGELER ŞEKİLLER SİMGELER VE KISALTMALAR i iii v vi viii ix xi 1. GİRİŞ Tezin Amacı ve Katkısı Tezin Çerçevesi OFDM/OQAM Nyquist ISI Ölçütü FBMC Temel OFDM/OQAM Yapısı Kaide Fonksiyonunun Kendisi ile İç Çarpımı Zamanda Çift Sembol Uzaklığında İki Kaide Fonksiyonunun İç Çarpımı Zamanda Tek Sembol Uzaklığında İki Kaide Fonksiyonunun İç Çarpımı Zamanda Çift ve Frekansta Tek Sembol Uzaklığında İki Kaide Fonksiyonunun İç Çarpımı Zamanda ve Frekansta Tek Sembol Uzaklığında İki Kaide Fonksiyonunun İç Çarpımı PHYDYAS Fonksiyonu Belirsizlik Fonksiyonu İÇ-GİRİŞİM Alınan OFDM/OQAM Sinyali Kipçözülmüş OFDM/OQAM Sinyali vi

11 İdeal Kanal Durumu İdeal Olmayan Kanal Durumu İç Çarpımın Belirsizlik Fonksiyonu Cinsinden İfade Edilmesi İç-girişimin Belirsizlik Fonksiyonu Cinsinden İfade Edilmesi İÇ-GİRİŞİMİ KULLANMANIN KAPASİTEYE ETKİSİ Paralel Gauss Kanallarında Kapasite OFDM/OQAM de Kapasite ÖNCÜL TABANLI KANAL KESTİRİM YÖNTEMLERİ IAM IAM IAM-R IAM-I IAM-C E-IAM-C POP ICM PHYDYAS FONKSİYONU İÇİN YENİ BİR ICM ÖNCÜLÜ KANAL KESTİRİM YÖNTEMLERİNİN BER VE PAPR AÇISINDAN KARŞILAŞTIRILMASI SONUÇLAR KAYNAKLAR EKLER ÖZGEÇMİŞ vii

12 ÇİZELGELER Sayfa Çizelge 3.1. n 0 çift olduğunda taşıyıcı fonksiyonlar arası iç çarpım sonuçları Çizelge 3.2. n 0 tek olduğunda taşıyıcı fonksiyonlar arası iç çarpım sonuçları Çizelge 4.1. Örnek bir veri çerçevesi Çizelge 4.2. İç-girişim matrisindeki elemanların dizilişi viii

13 ŞEKİLLER Sayfa Şekil 1.1. Zaman - frekans düzleminde (a) QAM ve (b) OQAM Şekil 2.1. Bir iletişim sistemi örneği Şekil 2.2. Etkin kanalın frekans yanıt fonksiyonunun blok diyagramı Şekil 2.3. Nyquist ölçütünün frekans alanında gösterimi Şekil 2.4. İdeal Nqyuist kanalının (a) frekans yanıt fonksiyonu, (b) dürtü tepkisi Şekil 2.5. FBMC in temel blok yapısı Şekil 2.6. t = 0 ve t = T /2 anlarında OFDM/OQAM taşıyıcıların dizilişi Şekil 2.7. OFDM/OQAM için zaman - frekans düzlemi Şekil 2.8. PHYDYAS fonksiyonunun (a) örneklenmiş frekans yanıt fonksiyonu, (b) dürtü tepkisi Şekil 2.9. PHYDYAS fonksiyonunun (a) frekansta, (b) zamanda enerji dağılımı Şekil PHYDYAS fonksiyonunun etkin kanal (a) frekans yanıt fonksiyonu, (b) dürtü tepkisi Şekil PHYDYAS fonksiyonu için belirsizlik fonksiyonu Şekil 4.1. İç-girişim matrisindeki elemanların dizilişi ve değerleri Şekil lük çerçeve için ulaşılabilir verimlilik Şekil lik çerçeve için ulaşılabilir verimlilik Şekil 5.1. Öncül içeren bir veri çerçevesinin yapısı Şekil 5.2. IAM-1 öncülü içeren bir veri çerçevesinin yapısı Şekil 5.3. IAM-1 öncülü içeren OFDM/OQAM sinyali Şekil 5.4. IAM-1 öncülü ile denkleştirilmiş OFDM/OQAM sinyalinin BER performansı Şekil 5.5. IAM-R öncülü içeren bir veri çerçevesinin yapısı Şekil 5.6. IAM-R öncülü içeren OFDM/OQAM sinyali Şekil 5.7. IAM-R öncülü ile denkleştirilmiş OFDM/OQAM sinyalinin BER performansı ix

14 Şekil 5.8. IAM-I öncülü içeren bir veri çerçevesinin yapısı ( n 0 çift iken) Şekil 5.9. IAM-I öncülü içeren OFDM/OQAM sinyali Şekil IAM-I öncülü ile denkleştirilmiş OFDM/OQAM sinyalinin BER performansı Şekil IAM-C öncülü içeren bir veri çerçevesinin yapısı ( n 0 çift iken) Şekil IAM-C öncülü içeren OFDM/OQAM sinyali Şekil IAM-C öncülü ile denkleştirilmiş OFDM/OQAM sinyalinin BER performansı Şekil E-IAM-C öncülü içeren bir veri çerçevesinin yapısı ( n 0 çift iken) Şekil E-IAM-C öncülü içeren OFDM/OQAM sinyali Şekil E-IAM-C öncülü ile denkleştirilmiş OFDM/OQAM sinyalinin BER performansı Şekil POP öncülü içeren bir veri çerçevesinin yapısı Şekil POP öncülü içeren OFDM/OQAM sinyali Şekil POP öncülü ile denkleştirilmiş OFDM/OQAM sinyalinin BER performansı Şekil 6.1. ICM öncülü içeren bir veri çerçevesinin yapısı Şekil 6.2. ICM öncülü içeren OFDM/OQAM sinyali Şekil 6.3. ICM öncülü ile denkleştirilmiş OFDM/OQAM sinyalinin BER performansı Şekil 7.1. Yöntemlerin PAPR performansları açısından karşılaştırılması Şekil 7.2. Yöntemlerin BER performansları açısından karşılaştırılması x

15 SİMGELER VE KISALTMALAR Simgeler g(t) g k,n (t) p(t) r(t) s(t) h(t, τ) H k,n a k [n] b k,n bk,n 1 y k,n A(τ, ν) B C h I N R τ 0 ν 0 faz(.) P(.) max E{.} Re{.} Darbe Şekillendirici Süzgeç Fonksiyonu Kaide Fonksiyonu Etkin Kanal Dürtü Tepkisi Alınan Sinyal Gönderilen Sinyal İletişim Kanalının Dürtü Tepkisi Karmaşık Değerli Kanal Katsayısı Gönderilen Veri Sembolü İç-girişim Komşulardan Gelen İç-girişim Alınan Karmaşık Değerli Sembol Belirsizlik Fonksiyonu İç-girişim Matrisi Enformasyon Kapasitesi Bağıl Entropi Ortak Enformasyon Gauss Dağılımı İlinti Matrisi Zaman Aralığı Frekans Aralığı Sayının Fazı Değişkenin Gücü Ençoklama İşlemi Beklenen Değerini Alma İşlemi Reel Kısmını Alma İşlemi xi

16 (r) Im{.} (i) Reel Kısmı Alınmış Değişken Sanal Kısmını Alma İşlemi Sanal Kısmı Alınmış Değişken Eşleniğini Alma İşlemi Evrişim İşlemi Elemanıdır << Çok Küçüktür log İki Tabanında Logaritma Kısaltmalar 1G 2G 3G 4G 5G AWGN BER CCDF CP FFT Hz ICI IFFT ISI IAM ICM MIMO OFDM Birinci Nesil İkinci Nesil Üçüncü Nesil Dördüncü Nesil Beşinci Nesil Eklenir Beyaz Gauss Gürültülü Bit Hata Olasılığı Tamamlayıcı Birikimli Olasılık Dağılım Fonksiyonu Döngüsel Önek Hızlı Fourier Dönüşümü Hertz Taşıyıcılar Arası Girişim Hızlı Ters Fourier Dönüşümü Semboller Arası Girişim Girişim Yaklaşıklama Yöntemi Girişim Çıkarma Yöntemi Çok Girdili Çok Çıktılı Sistem Dikgen Frekans Bölüşümlü Çoğullama xii

17 OQAM PAPR PHYDYAS POP sn SNR FBMC QAM Zaman Aralıklı Dördün Genlik Kiplemesi Tepe Gücünün Ortalama Güce Oranı Bilişsel Radyo için Fiziksel Katman ve Dinamik Spektrum Erişimi Pilot Çifti Saniye Sinyal Gürültü Oranı Süzgeç Bankası ile Çoklu Taşıyıcı Dördün Genlik Kiplemesi xiii

18 1. GİRİŞ İnsan sosyal bir varlıktır; bu yüzden iletişim, insanoğlu için tarihin her döneminde önem taşımıştır. Tarih boyunca insanlar uzak mesafeler ile iletişim kurabilmek için çeşitli yöntemler geliştirmişlerdir; dumanla haberleşmişler, posta güvercinleri kullanmışlar ve birbirlerine elçiler üzerinden haber yollamışlardır. Posta teşkilatlarının kurulması ile iletişim daha sistemli bir hal almıştır. Elektrik ve elektronik devrimi ile birlikte telgraf ve telefon kullanılmaya başlanmış; böylece insanlar daha hızlı bir şekilde ve/veya daha uzun mesafeler ile haberleşebilmişlerdir. Günümüzdeki haliyle iletişim; mesajların ses, resim ya da veri olarak; elektrik sinyalleri ve/veya elektromanyetik dalgalar kullanılarak iletilmesi olarak tanımlanabilir [1]. Kablosuz iletişim teknolojisinin gelişmesi ile beraber, cep telefonları hayatımıza girmiştir. Başlangıçta ses iletimi yapmakla görevli bu aletler; devamında kısa mesaj (SMS), çoğul ortam mesajı (MMS) gibi yeni formatlarda da veriler yollamaya başlamıştır. Daha sonra "akıllı" cep telefonları ortaya çıkmış ve iletişim teknolojisinde yeni bir sayfa açılmıştır. İnternet bağlantısı ile birlikte, akıllı telefonlarda iletilen verilerin boyutu büyük ölçüde artmıştır. Bugün kablosuz iletişim teknolojisinde gönderilen verilerin %60 ı video verileridir ve bu oranın 2021 de %78 e çıkması beklenmektedir [2]. Videolarda giderek artan çözünürlük de hesaba katıldığında, bu büyüklükte bir veri trafiğini kaldırabilecek, ayrıca sanal gerçeklik (VR); akıllı şebeke, ev ve arabalar gibi yeni teknolojiler için daha uyumlu olacak, 4G iletişim sistemlerine alternatif yeni bir iletişim sistemi ihtiyacı doğmuştur. 5G olarak adlandırılan bu yeni sistemin sahip olması beklenen bazı özellikler şöyledir [3]: Temin edilecek asgari veri hızının 100 Mbps olması beklenmektedir. Bu değer 4G için 1Mbps tır. 4G için yaklaşık 15 ms olan gecikme süresinin, 5G de 1 ms civarına inmesi beklenmektedir. İletişim için harcanan gücün 5G ye geçiş ile birlikte 4G ye göre en azından yükselmemesi, mümkünse düşmesi beklenmektedir. 1

19 Bu ve benzeri konularda gelişmeler, her yeni çıkan iletişim neslinde görülmüştür. Bu gelişmeleri sağlayabilmek için, nesil değişimleri esnasında çoklu erişim yöntemleri ve dalga formlarında değişikliğe gidilmiştir. 1G iletişim sistemlerinde analog frekans kiplemesi ile frekans bölüşümlü çoklu erişim yöntemi kullanılmıştır. 2G sistemlerde çoklu erişim için frekans bölüşümüne ek olarak zaman bölüşümü de kullanılmış ve sayısal iletişime geçiş yapılmıştır. 3G sistemlerde kod bölüşümlü çoklu erişim uygulanmıştır. 4G sistemlerde ise OFDM tabanlı zaman ve frekans bölüşümlü çoklu erişim kullanılmıştır. Klasik dikgen frekans bölüşümlü çoğullama (OFDM), döngüsel önekli OFDM (CP-OFDM), dördün genlik kiplemeli OFDM (OFDM/QAM) ya da kısaca OFDM son dönemde sadece 4G de değil, farklı pek çok iletişim sisteminde kullanılmıştır. Bu sistemlere örnek olarak; telsiz ethernet (WiFi), sayısal abone hattı, sayısal televizyon ve radyo yayını örnek gösterilebilir [3]. OFDM in yaygın kullanımının çeşitli sebepleri vardır. Öncelikle işlem sayısı bakımından karmaşıklığı çok düşüktür. Hızlı ters Fourier dönüşümü (IFFT) ile kolayca kiplenen semboller, hızlı Fourier dönüşümü (FFT) ile yine kolayca kipçözülür. Uygun uzunlukta CP kullanarak, semboller arası girişim (ISI) basitçe bertaraf edilebilir. Sistem karmaşıklığının az olması bakımından, çok girdili çok çıktılı sistemler (MIMO) gibi karmaşıklığı yüksek teknolojiler için çok uygundur. Bütün bunlara rağmen OFDM in bazı özellikleri, 5G için alternatif bir yöntem arayışına yol açmıştır. Bunlardan birincisi sahip olduğu yüksek PAPR değeridir [4]. Bir diğeri ise taşıyıcıların birbirine dikliğinin kolay bozulabilmesidir. Senkronizasyon hataları, yüksek hızla hareket eden alıcı ve/veya verici veya taşıyıcı frekanslarındaki en ufak hata, taşıyıcılar arası dikliği bozarak, sistemin performansında büyük düşüşlere yol açmaktadır. CP, ISI yı önlemede etkili ve basit bir yöntem olmasına rağmen spektral verimliliği düşürmektedir. Ek olarak, OFDM yapısı gereği frekans alanında yüksek güçlü yan hüzmelere sahip olduğundan, bilişsel radyo sistemleri ve korumasız kablolu iletişim sistemleri için verimsizdir. Çözüm olarak yan hüzme bastırma yöntemleri kullanılır, ancak bu yöntemler sistem karmaşıklığını arttırmalarına ve spektral verimliliği düşürmelerine rağmen yeterince yüksek bir performans göstermemektedirler [5]. Basit iletişim sistemleri için belki de en ideal yöntem olan OFDM, farklı sistemlerde artan sistem karmaşıklığı ile beraber giderek düşen bir performans gösterir. Örneğin 2

20 OFDMA, yani çoklu kullanıcılı OFDM için kullanıcılardan baz istasyonuna giden sinyalleri denkleştirmek bir problemdir. Çünkü her kullanıcının hızı farklıdır ve taşıyıcı frekanslarda meydana gelecek kaymalar da farklı olacaktır. Böyle bir bozulmayı düzeltebilmek için gereken işlemler sistem karmaşıklığını arttıracaktır ve OFDM in en büyük avantajını ortadan kaldıracaktır. Bu gibi sebeplerden ötürü, yeni nesil iletişim sistemlerinde OFDM e alternatif yöntemler araştırılmaktadır. 5G sistemler için kullanılması önerilmiş ve üzerinde araştırmalar yapılan bir çok iletişim yöntemi vardır. Bu yöntemlerin önde gelenleri: FBMC [5], [6] f-ofdm [6] UFMC [7] GFDM [8] FTN [9] olarak sayılabilir. Bu tez kapsamında, bir FBMC üyesi olan OFDM/OQAM yöntemi üzerine çalışılmıştır. OFDM/OQAM; yüksek güçlü yan hüzme ile ilgili problemleri, frekans alanında gücünü dar bir bölgede yoğunlaştırarak çözmektedir. Başka bir deyişle, OFDM/OQAM de komşu olmayan taşıyıcılar birbirinden neredeyse tamamiyle ayrıktır. OFDM de, belli bir veri hızında, QAM ile kiplenmiş, karmaşık değerli veri sembolleri gönderilmektedir. OFDM/OQAM de ise OFDM de olduğunun iki katı hızda, OQAM ile kiplenmiş, gerçek değerli veri sembolleri gönderilmektedir. Sonuç olarak iki yöntem de aynı spektral verimliliğe sahiptir. Bu durum (Şekil 1.1) de gösterilmiştir. Ancak OFDM/OQAM de iletişim kanalı için uygun bir sinyal tasarlandığı takdirde, ISI yı önlemek için CP kullanılmasına gerek yoktur. Bu yüzden pratikte spektral verimliliği OFDM e göre daha yüksektir. 3

21 (a) (b) Şekil 1.1. Zaman - frekans düzleminde (a) QAM ve (b) OQAM. (Şekil 1.1) (a) da gösterilen QAM yapısında artı ve çarpının birleşiminden oluşan her bir şekil karmaşık değerli veri sembollerini ifade etmektedir. Karmaşık değerli sembollerin sanal ve reel kısımlarını ayırıp, aralarında yarım karmaşık sembol süresi boşluk bırakılan yapıya ise OQAM denilmektedir ve bu yapı da (b) de gösterilmiştir. OFDM/OQAM de taşıyıcıların birbirine dik olma durumu, OFDM de olduğu gibi karmaşık uzayda değil sadece reel uzayda geçerlidir. Bu yüzden iletişim kanalı çok yollu ya da dar bantlı olmasa bile OFDM/OQAM alıcısında ISI görülür ve bu durum iç-girişim olarak isimlendirilmiştir [10]. Bunun yanında, iç-girişim sistemi faz değişimi olan kanallara karşı hassas hale getirmektedir. Ancak ilerki bölümlerde gösterileceği gibi, iyi bir kanal kestirimi yapıldığı takdirde iç-girişimin sisteme olumsuz etkisi en aza inecektir. İç-girişim nedeniyle, bilinen kanal kestirim yöntemleri OFDM/OQAM e uygulanamamaktadır. Bu yüzden OFDM/OQAM de iç-girişim ve kanal kestirimi ile ilgili çeşitli çalışmalar yapılmış ve halen yapılmaya devam etmektedir. Bu tez çalışması da bu konu hakkındaki bazı çalışmaların bir özeti ve devamı niteliğindedir. 1.1 Tezin Amacı ve Katkısı Bu tezde, yeni nesil iletişim sistemleri için aday bir yöntem olan OFDM/OQAM konusu çalışılmıştır. Temel FBMC ve OFDM/OQAM yapısı ile ilgili literatürdeki çalışma- 4

22 lar incelenerek konu hakkında bir altyapı oluşturulması amaçlanmıştır. Daha sonra OFDM/OQAM e özgü bir özellik olan iç-girişim konusu hem literatürdeki çalışmalar ile hem de yapılan benzetimler ile incelenmiştir. İç-girişimin sistem yararına nasıl kullanabileceğiyle ilgili yapılmış olan çalışmalar araştırılmış ve bu tez kapsamında enformatik kanal kapasitesine katkısının bulunması hedeflenmiştir. Son olarak OFDM/OQAM de kanal kesitirimi konusunda literatürde en çok kullanılan öncül (preamble) tabanlı yöntemler incelenmiş ve benzetimleri yapılmıştır. ICM yönteminin PHYDYAS fonksiyonuna uygulanabilmesi için bir öncül tasarlanmıştır. Kanal kestirim yöntemleri, PAPR performansları da hesaba katılarak farklı bir bakış açısı ile karşılaştırılmıştır. 1.2 Tezin Çerçevesi Tezin kalan kısmı şu şekilde özetlenebilir: İkinci bölümde temel FBMC ve OFDM/OQAM yapısı anlatılmaktadır. Üçüncü bölümde alıcıdaki OFDM/OQAM sinyalinin ve bu esnada ortaya çıkan iç-girişimin matematiksel gösterimi yapılmaktadır. Dördüncü bölümde içgirişimin sistem yararına kullanılmasına ilişkin çalışmalar bulunmaktadır. Beşinci bölümde literatürde en çok rastlanılan öncül tabanlı OFDM/OQAM kanal kesitirim yöntemleri incelenmektedir. Altıncı bölümde ICM yönteminin PHYDYAS fonksiyonuna uygulanabilmesi için yeni bir öncül tasarımı bulunmaktadır. Yedinci bölümde beşinci ve altıncı bölümde anlatılan kanal kestirim yöntemlerinin karşılaştırma sonuçlarına yer verilmektedir. Son bölümde ise çalışma boyunca elde edilen sonuçlarla ilgili çıkarımlar özetlenmektedir. 5

23 2. OFDM/OQAM 2.1 Nyquist ISI Ölçütü Bir iletişim sistemi, kabaca, belirli kurallara göre oluşturulmuş ve içerisinde veri taşıyan sinyal gönderen bir verici, sinyalin geçtiği bir iletişim kanalı ve kanaldan geçmiş sinyali alan bir alıcı ile tanımlanabilir. Aşağıda bu tanıma uygun bir gösterim verilmiştir. Şekil 2.1. Bir iletişim sistemi örneği. Kanal doğrusal olsun ve tabanbant gösterimi ele alınsın. a info, 0 ve 1 lerden oluşan veri bitlerini ifade etsin. Veri bitleri ikili kipleme ile +1V, a info = 1 a[n] = 1V, a info = 0 (2.1) kuralına göre kiplensin. Böyle bir kipleme, veri bitlerine göre genliğini değiştirdiği elektriksel darbeler üretir ve PAM olarak isimlendirilir. Darbeler dürtü tepkisi g t (t) olan, vericideki darbe şekillendirici süzgeçten geçer ve s(t) = i a[i]g t (t it s ) (2.2) ile ifade edilebilen, gönderilen sinyal s(t) yi oluşturur. Burada T s bit periyodunu ifade etmektedir. Gönderilen sinyal, dürtü tepkisi h(t) olduğu varsayılan bir kanaldan geçtiğinde, alıcının girişindeki ya da başka bir deyişle kanalın çıkışındaki sinyal r(t) = s(t) h(t) + w(t) (2.3) 6

24 olarak ifade edilir. Burada w(t) eklenir beyaz Gauss gürültüsünü (AWGN) ifade etmektedir. Sinyalin geçtiği kanal çeşitli şekillerde modellenebilir. En sık rastlanılan modeller AWGN kanallar ve/veya sönümlemeli kanallardır. Toplanır gürültü, alıcının sahip olduğu ısıdan ötürü alıcıdaki atom ya da moleküllerin titreşerek çevrelerine her frekansta elektromanyetik dalga yaymalarından dolayı ortaya çıkar. Sönümleme ise alıcı ve verici arasındaki engellerden ötürü sinyalin alıcıya birden çok yoldan ulaşması nedeniyle ortaya çıkar. Bunun sonucunda sinyalin fazı değişir ve farklı yollardan farklı zamanlarda alıcıya ulaşan sinyalin her bir frekans bileşeni değişik miktarlarda zayıflayabilir. Bu şekilde bozulan bir sinyalin üzerine alıcıda eklenen gürültü ile birlikte sinyaldeki bozulma oranı artar. Üzerine gürültü binen sinyal, dürtü tepkisi g r (t) olan alıcı süzgecinden geçer ve alınan sinyal y(t) = r(t) g r (t) ( ) = a[i]g t (t it s ) h(t) + w(t) g r (t) n ( ) = a[i]g t (t it s ) h(t) g r (t) + η(t) n = a[i]p(t it s ) + η(t) n (2.4) olarak bulunur. Son olarak alınan sinyal örneklenerek y n = y(nt s ) = i a[i]p ((n i)t s ) + η(nt s ) (2.5) = a[n] + n i a[n]p ((n i)t s ) + η n elde edilir. Burada birinci terim alıcıda elde edilmek istenen sembol, ikinci terim ISI etkisi, üçüncü terim ise gürültü etkisi olarak açıklanabilir. p(t) ise p(t) = g t (t) h(t) g r (t) (2.6) 7

25 yani etkin kanalın dürtü tepkisi ve η(t) = w(t) h(t) (2.7) süzgeçlenmiş gürültüdür. Bu durumda ISI önleyici ölçüt 1, n = i p ((n i)t s ) = 0, n i (2.8) olacaktır. Ölçüte uyulduğu takdirde, gönderilen bir a[n] sembolü için alıcıda y n = a[n] + η n (2.9) elde dilecektir. Etkin kanal; verici süzgeci, iletişim kanalı ve alıcı süzgecinin zamanda evrişimidir. Frekans alanında ise bunların frekans yanıt fonksiyonlarının çarpımıdır ve aşağıdaki blok diyagram ile ifade edilebilir. Şekil 2.2. Etkin kanalın frekans yanıt fonksiyonunun blok diyagramı. Burada G t (f ) verici süzgecinin frekans yanıt fonksiyonu, H(f ) kanalın frekans yanıt fonksiyonu, G r (f ) ise alıcı süzgecinin frekans yanıt fonksiyonudur. P(f ) ise etkin kanalın frekans yanıt fonksiyonudur. (2.8) deki ölçüt, frekans alanında ise P i ( f i ) = T s (2.10) T s 8

26 ile ifade edilir. Bir başka deyişle, frekans alanında P(f ) in 1/T s boşluklarla yan yana dizilmiş kopyaları frekanstan bağımsız olarak sabit bir sayıya eşit ise sistemde ISI gözlenmeyecektir. Buna Nyquist ölçütü denilmektedir ve bu ölçüt (Şekil 2.3) te gösterilmiştir. Bu ölçütü sağlayan etkin kanala ise Nyquist kanalı denilmektedir. Şekil 2.3. Nyquist ölçütünün frekans alanında gösterimi. İdeal Nyquist kanalı, Nyquist ölçütünü sağlamanın en kolay yöntemidir. Kanal frekans alanında matematiksel olarak P Nyquist (f ) = T s rect (ft s ) (2.11) şeklinde gösterilir. P Nyquist in ters Fourier dönüşümünü alarak fonksiyonun zamandaki dürtü tepkisine baktığımızda ise ( ) t p Nyquist (t) = sinc T s (2.12) olacak şekilde bir sinc fonksiyonu elde ederiz. (Şekil 2.4) de bu iki fonksiyonun grafiği verilmiştir. 9

27 (a) (b) Şekil 2.4. İdeal Nqyuist kanalının (a) frekans yanıt fonksiyonu, (b) dürtü tepkisi. Grafiklerden de görülebileceği üzere, p Nyquist (t) beklenildiği gibi (2.8) deki ölçütü sağlayacaktır. İdeal Nyquist kanalı, taban bantta R s sembol hızında, ki o da kanalın bant genişliğinin iki katına eşittir, iletişime izin vermektedir. Bu durumda kanalın bant genişliği Nyquist bant genişliği olarak adlandırılır. Eğer kanal genişliğini ν Nyquist, sembol periyodunu τ Nyquist ile ifade edersek; spektral verimlilik 1/ν Nyquist τ Nyquist olarak tanımlanabilir. Bu değerler ν Nyquist = 1 2T s (2.13) τ Nyquist = T s olacaktır, bu durumda spektral verimlilik 1 ν Nyquist τ Nyquist = 2 reel sembol/sn/hz (2.14) olarak bulunur. Yani kanalda Hz başına saniyede en fazla 2 reel sembol taşınabilir ve bu bilgi kaybetmeden elde edilebilecek en yüksek spektral verimliliktir. Bu değer spektral etek faktörü ϑ (0 < ϑ < 1) olan tabanlı yükseltilmiş kosinüs süzgeci için 1 ν RC τ RC = ϑ (2.15) 10

28 OFDM için ise 1 T s = 2 (2.16) ν OFDM τ OFDM T s + T CP olacaktır. 2 katsayısının sebebi, OFDM sembolünün karmaşık değerli olması yani hem sanal hem de reel kısmında bilgi taşımasıdır. CP kullanılmadığı takdirde yine azami spektral verimlilik olan 2 reel sembol/sn/hz elde edilir. Ancak CP uzunluğu büyüdükçe verimlilik de düşecektir. CP, sembol uzunluğunun %25 ine kadar uzayabilmektedir [12]. OFDM/OQAM için ν OQAM = 1/T, τ OQAM = T /2 dir. Bu durumda spektral verimlilik 1 ν OQAM τ OQAM = 2 (2.17) olarak hesaplanır. Şuna dikkat çekmek gerekir ki ideal Nyquist kanalı sınırlı bantlıdır, ancak sınırlı zamanlı değildir; dolayısıyla nedensellik ilkesine uymamaktadır. Bu, sinyalin t = 0 anı yerine t = anında gönderilmesi gerektiği şeklinde de açıklanabilir [11]. Dolayısıyla ideal Nyquist kanalını pratikte uygulamak mümkün değildir. Bu yüzden pratikte FBMC de olduğu gibi Nyquist ölçütüne uygun başka fonksiyonlar kullanılmaktadır. Ek olarak, bit hata olasılığını (BER) asgariye indirmek için alıcıda uyumlu süzgeç kullanması gerektiği, diğer yandan çift yönlü iletişim için sistemin iki ucunun da alıcı ve verici olarak çalıştığı gözetildiğinde; alıcı süzgeci ve verici süzgecinin aynı olması gerektiği söylenebilir [11]. Bu süzgeci g(t) olarak tanımlarsak, kanalın ideal olduğu durumda (2.6), (2.18) e dönüşür ve etkin kanal dürtü tepkisi p(t) = g(t) g(t) (2.18) olur. 11

29 2.2 FBMC Kablosuz iletişim kanalları, genellikle zaman ve frekansta seçici (diğer bir deyişle çok yollu ve zamanla değişen, ya da çoklu gecikmeli ve Doppler etkisi altındaki) kanallardır. Çok taşıyıcılı sistemlerde geniş bantlı (yüksek veri hızına sahip) bir sinyal, dar bantlı (düşük veri hızına sahip) sinyallere bölünür. Bu sinyaller kanalın farklı alt kanallarından geçer ve sinyallerin bant genişlikleri yeterince dar ise bu alt kanalların her biri düz olarak kabul edilebilir. Bu durumda, alınan sinyal zaman alanında çok kademeli karmaşık denkleştirme sistemleri yerine, tek bir katsayı kullanarak denkleştirilebilir. Böylece sinyal denkleştirme, kanal kestirme işlemleri kolaylaşır ve sistem karmaşıklığı azaltılmış olur. Bunların yanında itki gürültüye karşı da sistemin bağışıklığını arttırmaktadır [13]. Çok taşıyıcılı sistemler 4G için kullanılmış, yeni nesil kablosuz iletişim sistemleri için de gelecek vaad eden bir performans sergilemiştir. FBMC bir çok taşıyıcılı iletişim yöntemidir. FBMC temelli tipik bir sistem (Şekil 2.5) te gösterilmiştir. Sistem, ana hatlarıyla, verici tarafında gönderilecek sinyali oluşturan bir "sentezci" süzgeç bankası; alıcı tarafında ise, alınan sinyali ayrıştıran bir "analizci" süzgeç bankasından oluşmaktadır. Şekil 2.5. FBMC in temel blok yapısı. 12

30 FBMC ile iletişimin temelleri 1960 lı yıllarda atılmaya başlanmıştır. [14] te yazar birbirine dik paralel sinyaller kullanarak yüksek hızda veri iletilmesi için gereken koşulları tanımlamıştır. Bu çalışmada sinyaller PAM ile kiplenmiş veri sembollerini bir süzgeç bankasından geçirerek, bant genişliğini en düşük seviyede tutmayı hedeflemiştir. Bunu sağlamak için de süzgeç bankasındaki darbe şekillendirici süzgeç fonksiyonlarının frekans alanında üst üste binmesi gerektiğini ve artık yan bant (VSB) şeklinde olması gerektiğini açıklamıştır. Ancak bu çalışma literatürde yeterince dikkat çekmemiştir. Bunun nedeni VSB modülasyonun gerçekleştirilebilmesi için Hilbert dönüşümü gerektiğinin ve bu yüzden sistem karmaşıklığının artacağı düşüncesidir [5]. Kosinüs ile modüle edilmiş süzgeç bankaları (CMFB) veya kosinüs ile modüle edilmiş çoklu taşıyıcı (CMT) adı altında yapılan çalışmalar [14] teki çalışmanın çok farklı bir uygulama amacı ile yeniden icadı olarak görülebilir [15]. [16] da ise ayrık dalgacıklı çoklu taşıyıcı (DWMT) adı altında yapılan çalışmalarda, bu tür sistemlerin de CMFB temelli olduğu gösterilmiştir. [17] de [14] teki çalışmanın süzgeç fonksiyonlarının frekans alanında çift yan bant (DSB) şeklinde olduğu hali gösterilmiştir. Bu yöntemde spektral verimliği koruyabilmek için, semboller QAM ile modüle edilmiş ve her bir QAM sembolünün reel ve sanal bileşenlerinin arasında zamanda yarım sembol süresi aralık olacak şekilde ayrılması gerektiği gösterilmiştir. Bu çalışma literatürde dikkat çekmiş ve çeşitli isimler ile anılmıştır. Bu isimlerin en yaygın olanları; zaman aralıklı (offset) QAM, kısaca OQAM; kademeli (staggered) QAM, kısaca SQAM; kademeli çoklu taşıyıcı, kısaca SMT dir. Çoğu zaman isimlendirmeye sistem yapısı nedeniyle OFDM veya FBMC de dahil edilmektektedir: Örneğin OFDM/OQAM, OQAM-OFDM, FBMC/OQAM gibi. [18] ile başlayan yapısı değiştirilmiş ayrık Fourier dönüşümü ile süzgeç bankası (MDFT) ile ilgili çalışmalar dikkatli bir şekilde incelendiğinde, bu sistemin bağımsız bir şekilde türetilmiş olmasına rağmen [17] deki çıkarımların yeniden elde edilmesi ve sıkıştırma kodlama işleri üzerinde durulması olarak görülebilir [5]. [15] te, [17] ve [14] teki çalışmaların önceki düşüncelerin aksine küçük değişiklikler ile birbirine dönüşebildiği gösterilmiştir. FBMC nin en büyük dezavantajı sistem karmaşıklığını yüksek olmasıdır. Sistem kar- 13

31 maşıklığını düşürmek amacı ile çok fazlı ağ (PPN) ve hızlı Fourier dönüşümü (FFT) kullanımı öncelikle [19] da daha sonra [20] de gösterilmiştir. [21] de ise bu çalışmaların, ideal olmayan bir kanal varolma durumunda, kanala göre düzenlenerek, ISI nın ve ICI nın düşürülebileceği gösterilmiştir. Bu çalışma ile beraber FBMC nin yeni nesil iletişim sistemleri için iyi bir alternatif olabileceği fikri kabul edilmeye başlanmış ve FBMC ile ilgili çalışmalar artmıştır. FBMC yöntemlerinin kablolu ve kablosuz çeşitli iletişim sistemlerinin standartlarına girmesi düşünüldüğü halde, bugüne kadar sadece TIA nın sayısal radyo teknik standartınca kabul edilmiştir [22]. 2.3 Temel OFDM/OQAM Yapısı Taban bant eşdeğer sürekli zamanda OFDM/OQAM sinyali, [5] çalışmasıyla benzer şekilde s(t) = k a k [n] g k,n (t) (2.19) n olarak ifade edidlebilir. Burada k taşıyıcı indisini (k = 1,..., K ), n zaman indisini (n Z ), a k [n] gerçek değerli veri sembollerini, g k,n (t) kaide fonksiyonunu ifade eder. Hızlı ters Fourier dönüşümü (IFFT) ve FFT işlemlerinin gerçekleştirilebilmesi için, K değerinin bir çift sayı olması gerekmektedir. Kaide fonksiyonları, sentezci süzgeç bankasını oluşturan fonksiyonlardır ve her biri bir veri sembolü taşır. Fonksiyonunun içine baktığımızda g k,n (t) = g(t nτ 0 )e j2πkν 0t e jφ (k,n) (2.20) 14

32 olacaktır ve burada da τ 0 = T 2 ν 0 = 1 T semboller arası zaman aralığını, semboller arası frekans aralığını, T reel değerli sembol periyodunu, g(t) gerçek değerli darbe şekillendirici süzgeç fonksiyonunu, e jφ (k,n) ise faz terimini ifade eder. Faz terimi kaide fonksiyonlarının frekans ve zamanda birbirine dik olmasını sağlar. k ve n nin bir fonksiyonudur. Genellikle φ (k,n) = (π/2)(k +n) olarak seçilir. Böylece e jφ (k,n) = j (k+n) olur. (Şekil 2.6) da [5] ile benzer şekilde, sırasıyla t = 0 ve t = T anları için 2 taşıyıcıların frekans alanındaki dizilişleri verilmiştir. Şekil 2.6. t = 0 ve t = T /2 anlarında OFDM/OQAM taşıyıcıların dizilişi. Şekilde diklik durumunu belirtmek amacıyla birbirine dik taşıyıcılar farklı tipte çizgilerle gösterilmişlerdir. Frekans alanında bir taşıyıcı, sağındaki ve solundaki komşu taşıyıcı- 15

33 lara reel uzayda diktir. Zaman alanında ise aynı frekanstaki taşıyıcılar, aralarında yarım sembol periyodu zaman aralığı olduğunda reel uzayda diklik koşulunu sağlamaktadır. Örneğin t = 0 anında frekansta 0 konumuna yerleştirilmiş taşıyıcı ile t = T /2 anında frekansta 0 konumuna yerleştirilmiş taşıyıcı farklı renkte gösterilerek, birbirlerine reel uzayda dik oldukları vurgulanmıştır. a k [n] sembolleri, 4-QAM, 16-QAM veya benzeri yıldız küme diyagramlarından gelen karmaşık değerli sembollerin reel ve sanal kısımlarının alınması ile oluşturulur. g(t) gerçek değerli bir fonksiyon olduğu için g(t) = g (t) (2.21) olacaktır. Zaman aralığı, frekans aralığı ve faz teriminin bu şekilde seçilmesi; zamanda n, frekansta k bölgesinde bulunan bir g k,n (t) fonksiyonunun, zaman-frekans düzleminde diğer tüm kaide fonksiyonlarına dik olmasını sağlar. Karmaşık uzayda g k,n (t), g l,m (t) = g k,n (t) g l,m(t) dt = 0 (2.22) eşitliğini sağlayan herhangi iki fonksiyon birbirine diktir. OFDM/OQAM de kaide fonksiyonlarının diklik tanımı ise g k,n (t), g l,m (t) (r) = Re = Re = 0 { } g k,n (t) gl,m(t) dt { } j (k+n l m) g(t n τ 0 ) g(t m τ 0 ) e j2π(k l)ν0t dt (2.23) olacak şekilde reel uzayda yapılır. Veri sembolleri a k [n] ler reel değerli oldukları için fonksiyonlar arası dikliği karmaşık uzayda sağlamaya çalışmak yerine, reel uzayda sağlamak yeterlidir. 16

34 Şekil 2.7. OFDM/OQAM için zaman - frekans düzlemi. Bir başka deyişle, [5] ile benzer şekilde, (Şekil 2.7) de zaman-frekans düzleminde renkli daireler olarak gösterilen taşıyıcıların tümü, (2.23) te gösterildiği gibi reel iç çarpım uzayında birbirine diktir. 2.4 Kaide Fonksiyonunun Kendisi ile İç Çarpımı Kaide fonksiyonları arası dikliğe bakmadan önce, bir kaide fonksiyonunun kendisi ile iç çarpımını inceleyelim. Bu durumda m = n, k = l ve g k,n (t), g k,n (t) (r) = Re { } g(t nτ 0 ) g(t nτ 0 ) dt (2.24) olur. t t + nt 2 için dönüşümü yapıldığında, enerjisi normalize edilmiş bir g(t) fonksiyonu g k,n (t), g l,m (t) (r) = Re { } g 2 (t) dt = 1 (2.25) eşitliğini elde ederiz. 17

35 2.5 Zamanda Çift Sembol Uzaklığında İki Kaide Fonksiyonunun İç Çarpımı Şimdi bu iç-çarpımı, farklı konumlardaki kaide fonksiyon çiftleri için inceleyelim. n m = 2r ve n m, k = l olduğu durumda g k,n (t), g l,m (t) (r) = Re = Re { } j 2r g(t n τ 0 ) g(t m τ 0 ) dt { } (2.26) ( 1) r g(t n τ 0 ) g (t (n 2r) τ 0 ) dt olur. t t + nt 2 dönüşümü yapıldığında g k,n (t), g l,m (t) (r) = Re { ( 1) r } g(t) g(t + rt ) dt (2.27) olacaktır. Burada, (2.18) denklemi p(t) = g(τ) g(t τ) dτ (2.28) şeklinde yazılabilir. g(t) fonkiyonu simetrik olarak seçilirse p(t) = g(τ) g(τ t) dτ (2.29) olacaktır. t rt dönüşümü yapıldığında p(rt ) = g(τ) g(τ rt ) dτ (2.30) olur ve p(t), (Şekil 2.4) ve (Şekil 2.10) daki gibi, zaman T nin katı olduğu her an, büyüklüğü sıfır olan bir fonksiyon olarak seçildiğinde g k,n (t), g l,m (t) (r) = 0 (2.31) elde edilir. p(t) için tanımlanan bu koşul, Nyquist ISI ölçütüdür. Bu durumda g(t) gerçek değerli, g(t) = g( t) olacak şekilde simetrik bir karekök Nyquist fonksiyonu olacaktır. 18

36 2.6 Zamanda Tek Sembol Uzaklığında İki Kaide Fonksiyonunun İç Çarpımı k = l ve n m = 2r + 1 olduğu durumda g k,n (t), g l,m (t) (r) = Re { j 2r+1 } g (t n τ 0 ) g (t m τ 0 ) dt (2.32) g k,n (t), g l,m (t) (r) = Re j ( 1) r g (t n τ 0 ) g (t m τ 0 ) dt = 0 (2.33) }{{} reel sayı elde edilir. 2.7 Zamanda Çift ve Frekansta Tek Sembol Uzaklığında İki Kaide Fonksiyonunun İç Çarpımı k l = 1 ve n m = 2r olduğu durumda { } g k,n (t), g l,m (t) (r) = Re j (1+2r) g (t n τ 0 ) g (t m τ 0 ) e j2π 1 T t dt = ( 1) r g (t n τ 0 ) g (t m τ 0 ) sin (2π 1T ) t dt (2.34) t t + (n + m)t 4 dönüşümü yapıldığında g k,n (t), g l,m (t) (r) = ( 1) r ( g t rt ) ( g t + rt ) sin (2π 1T 2 2 t + π2 ) (n + m) dt (2.35) toplam fark formülleri kullanıldığında g k,n (t), g l,m (t) (r) = ( 1) r ( t rt ) ( g 2 g [ sin (2π 1T ) ( π ) t cos 2 (n + m) + cos t + rt 2 ) (2π 1T t ) sin ( π 2 (n + m) ) ] dt (2.36) 19

37 m + n (2r + n) + n = 2(r + n) e eşit, yani çift sayı olduğu için ( π ) g k,n (t), g l,m (t) (r) = ( 1) r cos 2 (n + m) ( g t rt ) ( g t + rt ) 2 2 }{{} çift fonksiyon sin (2π 1T ) t } {{ } tek fonksiyon dt (2.37) olur. Yukarıdaki integralin değeri sıfır olacağı için, iç çarpımın alacağı değer de sıfır olacaktır. 2.8 Zamanda ve Frekansta Tek Sembol Uzaklığında İki Kaide Fonksiyonunun İç Çarpımı k l = 1 ve n m = 2r + 1 olduğu durumda g k,n (t), g l,m (t) (r) = Re { j (2r+2) } g (t n τ 0 ) g (t m τ 0 ) e j2π 1 T t dt (2.38) g k,n (t), g l,m (t) (r) = ( 1) r g (t n τ 0 ) g (t m τ 0 ) cos (2π 1T ) t dt (2.39) t t + (n + m)t 4 dönüşümü yapıldığında g k,n (t), g l,m (t) (r) = ( 1) r ( ) (2r + 1)T g t g 4 ( ) ( (2r + 1)T t + cos 2π 1 4 T ( )) (n + m)t t + dt (2.40) 4 toplam fark formülleri kullanıldığında g k,n (t), g l,m (t) (r) = ( 1) r [ cos (2π 1T ) t cos ( ) ( ) (2r + 1)T (2r + 1)T g t g t ( π ) 2 (n + m) sin (2π 1T t ) sin ( π 2 (n + m) ) ] dt (2.41) 20

38 m + n = 2r + 2n + 1 = 2(r + n) + 1 yani tek sayı olduğu için ( π ) g k,n (t), g l,m (t) (r) = ( 1) r sin 2 (n + m) ( g t rt 2 + T ) g 4 ( t + rt 2 T ) sin (2π 1T ) 4 t dt (2.42) ( π ) g k,n (t), g l,m (t) (r) = ( 1) r sin 2 (n + m) ( g t rt 2 + T ) ( g t + rt 4 2 T ) 4 }{{} çift fonksiyon sin (2π 1T ) t } {{ } tek fonksiyon dt (2.43) olur. Yukarıdaki integralin değeri sıfır olacağı için, iç çarpımın alacağı değer de sıfır olacaktır. k l = 1 ve n m = 2r ile k l = 1 ve n m = 2r + 1 için olan sonuçlar da benzer şekilde bulunabilir. k l > 1 olduğu durumda, frekansta komşu olmayan fonksiyonlar için ise diklik, g(t) fonksiyonunun frekans alanında frekans değiştikçe ne kadar hızlı değer kaybettiğiyle bağlantılıdır. (Şekil 2.6) da gösterildiği gibi OFDM/OQAM sisteminde, komşu taşıyıcılar frekans alanında birbirleri üzerine binmektedir. Eğer komşu olmayan taşıyıcılar frekans alanında birbirlerinden tamamen ayrık olursa, genelleştirilmiş Parseval ilişkisine göre G k,n (f ) G l,m(f ) df = 0 (2.44) olacağından fonksiyonlar birbirine dik olacaktır. 2.9 PHYDYAS Fonksiyonu Önceki bölümde, süzgeç fonksiyonlarının frekans yanıt fonksiyonlarının çarpımından oluşan etkin kanalın özelliklerine değinilmişti. Etkin kanal dürtü tepkisinin zamanda her 21

39 T anında 0 değerini alması gerektiği söylenmişti. Bu özellikleri taşıyan ve literatürde darbe şekillendirici süzgeç olarak kullanılan değişik özellikte fonskiyonlar vardır. Başlıcaları: IOTA fonksiyonu [21], TFL1 fonksiyonu [23], EGF fonksiyonu [24], PHYDYAS fonksiyonu [25] olarak sayılabilir. Bu tez çalışmasında, frekansta örnekleme yöntemi ile üretilen g(t) = i=1 ( Θ i cos 2π it ) 4T (2.45) şeklinde ifade edilen PHYDYAS fonksiyonu kullanılmıştır. PHYDYAS fonksiyonu için bindirme katsayısı adlı bir parametre kullanılır. Bu parametre, fonksiyonun kaç sembol uzunluğunda olduğunu, frekans alanında değeri sıfırdan farklı olan kaç örneğe sahip olacağını belirler. Bindirme katsayısı literatürdeki çalışmalarda genellikle 4 seçilmektedir. Buna karşılık gelen değerler Θ 0 = 1 Θ 1 = Θ 2 = 1 2 Θ 3 = 1 Θ 2 1 (2.46) olarak belirlenmiştir [25]. Oluşan g(t) fonksiyonunun (Şekil 2.8) de frekans ve zamandaki görünümü, (Şekil 2.9) da ise frekans ve zamandaki enerji dağılımı gösterilmiştir. 22

40 (a) (b) Şekil 2.8. PHYDYAS fonksiyonunun (a) örneklenmiş frekans yanıt fonksiyonu, (b) dürtü tepkisi (a) (b) Şekil 2.9. PHYDYAS fonksiyonunun (a) frekansta, (b) zamanda enerji dağılımı (Şekil 2.8) in frekans grafiğindeki örneklerin değerlerinin, (2.46) denkleminde verilen değerlere eşit olduğu görülebilir. Ayrıca bindirme faktörü 4 olarak seçildiği için fonksiyonun frekans alanında değeri sıfırdan farklı 7 tane örneği vardır. Bu örnekler aradeğerlendiğinde ise G(f ) = 3 i= 3 sin ( π ( ) ) f i 4K 4K Θ i 4Ksin ( π ( )) (2.47) f i 4K 23

41 fonksiyonu elde edilir. Enerji grafiklerine bakıldığında frekans alanında enerjinin oldukça dar bir bantta toplanmış olduğu görülebilir. FBMC in en karakteristik özelliği süzgeçlerin enerjilerinin dar bir bantta yoğunlaşıyor olmasıdır. Ayrıca grafik, iki sembol uzaklığında ya da daha uzaktaki iki kaide fonksiyonunun iç çarpımının sıfıra yakın değerler alacağını göstermektedir. (Şekil 2.2) den de görülebileceği gibi, alıcı süzgeci ve verici süzgeci g(t), kanalın ideal olduğu durumda P(f ) = G 2 (f ) olacak P(f ) = 3 Θ 2 i i= 3 sin ( π ( ) ) f i 4K 4K 4Ksin ( π ( f i 4K )) (2.48) p(t) = i=1 ( Θ 2 i cos 2π it ) 4T (2.49) olarak bulunacaktır ve bu fonksiyon (2.8) ve (2.10) ölçütlerini sağlamaktadır. P(f ) fonksiyonunun üst üste gelecek örneklerinin toplamı sabit bir sayı, 1 dir. Θ 2 0 = 1 Θ Θ 2 3 = 1 (2.50) Θ Θ 2 2 = 1 (a) (b) Şekil PHYDYAS fonksiyonunun etkin kanal (a) frekans yanıt fonksiyonu, (b) dürtü tepkisi 24

42 (Şekil 2.10) da PHYDYAS fonksiyonunun etkin kanal frekans yanıt fonksiyonu ve dürtü tepkisi gösterilmiştir. Frekans alanında üst üste gelen örneklerin toplamının 1 e eşit olması nedeniyle Nyquist ölçütü sağlanmaktadır. Zaman alanında ise her T anında fonksiyonun değeri 0 a eşit olduğu için Nyquist ölçütü sağlanmaktadır Belirsizlik Fonksiyonu Bir g(t) fonksiyonu için belirsizlik fonksiyonu A g (τ, ν) = g ( t + τ ) ( g t τ ) e j 2 π ν t dt (2.51) 2 2 R olarak tanımlanır [21]. Fonksiyon, g(t) nin zaman frekans düzleminde kendisi ile ilintisini gösteren, reel değerli bir fonksiyondur. Reel değerli olmasının sebebi, g(t) nin simetrik oluşudur. Darbe şekillendirici süzgeç fonksiyonunun enerjisinin zaman - frekans düzleminde nasıl dağıldığıyla ve ICI, ISI ya karşı duyarlılığıyla ilgili bilgi verir. Nyquist ölçütü, belirsizlik fonksiyonunu kullanarak 1, p = q = 0 A g (2qτ 0, 2pν 0 ) = 0, aksi takdirde (2.52) şeklinde tanımlanabilir [26]. (Şekil 2.11) de PHYDYAS fonksiyonu için belirsizlik fonksiyonu gösterilmiştir. Grafik, (2.52) ölçütünü sağlamaktadır. Ayrıca grafiğin, bir sonraki bölümde gösterilecek olan (Çizelge 3.1) ve (Çizelge 3.1) tabloları ile arasında (3.35) te gösterildiği şekilde bir ilişki vardır. Grafik zamanda geniş, frekansta dar bir bölgeye yayılmıştır. Bu durum beşinci bölümde anlatılacak olan kanal kestirim performanslarını direkt olarak etkilemektedir. Örnek olarak beşinci bölümde anlatılan IAM-R yönteminin performansının PHYDYAS fonksiyonuna özel bir şekilde düşük olmasının sebebi, PHYDYAS fonksiyonu için belirsizlik fonksiyonun frekansta daha dar bir bölgeye yayılmasıdır. 25

43 Şekil PHYDYAS fonksiyonu için belirsizlik fonksiyonu. 26

44 3.1 Alınan OFDM/OQAM Sinyali 3. İÇ-GİRİŞİM Gönderilen OFDM/OQAM sinyali, zamanda ve frekansta değişen bir kanaldan geçirildiğinde ve de alıcıda gürültü olmayan durumda, alınan sinyal r(t) = s(t) h(t, τ) (3.1) r(t) = h(t, τ) s(t τ) dτ (3.2) r(t) = k a k [n] n τ max 0 h(t, τ) g k,n (t τ) dτ (3.3) r(t) = k a k [n] e jφ (k,n) e j2πkν 0t n τ max 0 h(t, τ) g(t nτ 0 τ) e j2πkν 0τ dτ (3.4) şeklinde ifade edilir. Burada τ max çok yollu kanaldaki en büyük gecikme süresini ifade etmektedir. (3.4) denklemini daha basit hale getirebilmek için öncelikle kanalın frekans alanında bir taşıyıcı boyunca düz olduğu (frekans seçici olmayan sönümlemeye maruz kaldığı) varsayılabilir. Bir başka deyişle τ max bir sembol süresinden çok daha kısa kabul edilir. Böylece g(t nτ 0 τ) g(t nτ 0 ) (3.5) olacaktır. Buna göre (3.4) yeniden düzenlendiğinde r(t) = k olur. Burada, a k [n] e jφ (k,n) e j2πkν0t g(t nτ 0 ) n τ max 0 h(t, τ) e j2πkν 0τ dτ (3.6) H k (t) = τ max h(t, τ) e j2πkν 0τ dτ (3.7) 0 27

45 t anındaki kanal etkisidir. Böylece denklem r(t) = k a k [n] g k,n (t) H k (t) (3.8) n halini alır. (3.4) denklemini daha basit hale getirebilmek için yapılacak olan ikinci varsayım, kanalın bir sembol süresince değişmediğini (yavaş sönümlemeye maruz kaldığını) kabul etmektir. Böylece H k (t) = H k,n olur ve alınan sinyal, basitçe r(t) = k a k [n] g k,n (t) H k,n (3.9) n şeklinde ifade edilir. 3.2 Kipçözülmüş OFDM/OQAM Sinyali Vericide kiplenmiş olan s(t) sinyalinin, karmaşık değerli H k,n katsayılı bir kanaldan geçtiğini ve alıcıda r(t) olarak alındığını gördük. Alınan sinyalin içinden, istenilen veri sembolünü elde edebilmek için sinyale kipçözme işlemi uygulanır. Bu işlem, alınan sinyalin ve istenilen veri sembolünü taşıyan kaide fonksiyonunun iç çarpımıdır ve analizci süzgeç bankasında gerçekleştirilmektedir. Böylece y k0,n 0 = r(t), g k0,n 0 (t) = r(t) g k 0,n 0 (t) dt (3.10) olacaktır. Basitleştirilmiş r(t) denklemi (3.9) burada kullanıldığında ( ) y k0,n 0 = a k [n] g k,n (t) H k,n gk 0,n 0 (t) dt (3.11) k n k için k 0 + p ve n için n 0 + q denildiğinde y k0,n 0 = a k0 +p[n 0 + q] H k0 +p,n 0 +q (p,q) Z g k0 +p,n 0 +q(t) g k 0,n 0 (t) dt (3.12) 28

46 y k0,n 0 = a k0 [n 0 ] H k0,n 0 + a k0 +p[n 0 + q] H k0 +p,n 0 +q (p,q) (0,0) g k0 +p,n 0 +q(t) g k 0,n 0 (t) dt (3.13) olur ve (2.44) burada kullanıldığında y k0,n 0 = a k0 [n 0 ] H k0,n 0 + (p,q) (0,0) a k0 +p[n 0 + q] H k0 +p,n 0 +q g k0 +p,n 0 +q(t), g k0,n 0 (t) (3.14) denklemi elde edilir. Önceki bölümde bir kaide fonksiyonunun, reel uzayda, zamanda ve frekansta diğer kaide fonksiyonlarına dik olduğu gösterilmişti. Bir başka deyişle, (l, m) (k, n) için g k,n (t), g l,m (t) (r) = Re { } g k,n (t) gl,m(t) dt = 0 (3.15) olduğundan g k,n (t), g l,m (t) tamamiyle sanal bir sayıdır. Bu nedenle, bazı işlemlerde gösterim kolaylığı sağlayacağı için ve iç-girişimin tamamiyle sanal olduğunu vurgulamak amacıyla g k,n (t), g l,m (t) = j g k,n (t), g l,m (t) (r) (3.16) olacak şekilde reel değerli g k,n (t), g l,m (t) (r) ifadesini kullanalım. Bu ifadeyi kullanarak, önceki bölümde bahsedilen iki varsayım ( τ << τ max ve 0 < t < T için H k (t) = H k,n ) ile alıcıda alınan karmaşık değerli sembol y k0,n 0 = a k0 [n 0 ] H k0,n 0 + j a k0 +p[n 0 + q] g k0 +p,n 0 +q(t), g k0,n 0 (t) (r) H k0 +p,n 0 +q(3.17) (p,q) (0,0) y k0,n 0 = H k0,n 0 a k 0 [n 0 ] + j (p,q) (0,0) a k0 +p[n 0 + q] g k0 +p,n 0 +q(t), g k0,n 0 (t) (r) H k0 +p,n 0 +q H k0,n 0 (3.18) şeklinde ifade edilebilir. 29

47 3.2.1 İdeal Kanal Durumu İdeal kanal durumunda, kanalda sadece tek bir yol olduğu varsayılır. Böyle bir kanal zamanda h(t, τ) = δ(τ), kolaylık adına τ sıfır kabul edildiğinde frekansta ise H k,n = 1 olarak ifade edilebilir. Bu durumda kipçözülmüş sinyal y k0,n 0 = a k0 [n 0 ] + j a k0 +p[n 0 + q] g k0 +p,n 0 +q(t), g k0,n 0 (t) (r) (3.19) (p,q) (0,0) olarak elde edilir. Burada eşitliğin sağındaki ikinci terim a k0 [n 0 ] ın çevresindeki tüm sembollerden gelen, tamamiyle sanal iç-girişimdir ve b k0,n 0 = j a k0 +p[n 0 + q] g k0 +p,n 0 +q(t), g k0,n 0 (t) (r) (3.20) (p,q) (0,0) olacak şekilde, kolaylık adına b k0,n 0 olarak kısaltılacaktır. Böylece kipçözülmüş sinyal y k0,n 0 = a k0 [n 0 ] + b k0,n 0 (3.21) olacaktır. Burada dikkat edilmesi gereken nokta, kanal ideal olmasına rağmen alınan sinyalde semboller arası girişim görülmüştür. Bu durum iç-girişim olarak isimlendirilmiştir. İç-girişim nedeniyle bilinen yöntemlerin uygulanamamasından dolayı, OFDM/OQAM de kanal kestirimi için beşinci bölümde anlatılan yöntemler gibi yeni yöntemler ortaya çıkmıştır. Kanalın ideal olduğu durumda iç-girişimin sisteme etkisi kolayca bertaraf edilebilir. Elde etmek istediğimiz sembol olan a k0 [n 0 ] ı, basitçe â k0 [n 0 ] = Re { y k0,n 0 } = a k0 [n 0 ] (3.22) olarak bulabiliriz. 30

48 3.2.2 İdeal Olmayan Kanal Durumu Kanalın ideal olmadığı durumda, karmaşık değerli kanal katsayısı H k0,n 0 biliniyorsa, bu katsayı kullanılarak denkleştirilmiş olan kipçözülmüş sinyal y k0,n 0, (3.17) yi kullanarak y k0,n 0 H k0,n 0 = a k0 [n 0 ] + j (p,q) (0,0) a k0 +p[n 0 + q] g k0 +p,n 0 +q(t), g k0,n 0 (t) (r) H k0 +p,n 0 +q H k0,n 0 (3.23) şeklinde, kısaca y k0,n 0 H k0,n 0 = a k0 [n 0 ] + b k0,n 0 H k0 +p,n 0 +q H k0,n 0 (3.24) olarak gösterilebilir. Elde edilmek istenilen sembol a k0 [n 0 ] ı bulmak için, yine karmaşık değerli kipçözülmüş sinyalin reel kısmını aldığımızda Re { yk0,n 0 H k0,n 0 } = a k0 [n 0 ] + Re { } H k0 +p,n b 0 +q k0,n 0 H k0,n 0 (3.25) olur. a k0 [n 0 ] sembolünü, karmaşık değerli kipçözülmüş sinyali karmaşık değerli kanal H k0,n 0 katsayısı { ile denkleştirdikten } sonra reel kısmını alarak elde edebilmek için, H k0 +p,n Re b 0 +q k0,n 0 değerinin sıfır olması gerekmektedir. Bazı varsayımlar ile bu değer sıfır olarak kabul edilebilir. İlk olarak p ve q arttığında g k0 +p,n 0 +q(t), g k0,n 0 (t) değeri sıfıra yaklaşacaktır. Bu konuda p ve/veya q, 1 den büyük olduğu durumlar için iç çarpım, g k0 +p,n 0 +q(t), g k0,n 0 (t) 0 dır varsayımı yapılabilir. Böylece (3.20) de tanımlanan iç-girişim b 1 k 0,n 0 = j (p,q) {1, 1} a k0 +p[n 0 + q] g k0 +p,n 0 +q(t), g k0,n 0 (t) (r) (3.26) halini alır. Burada (p, q) {1, 1} ifadesi, a k0 [n 0 ] ın zaman ve frekanstaki komşularını ifade etmektedir. Bu varsayımın ne kadar doğru olduğunu görmek amacıyla (Çizelge 3.1) ve (Çizelge 3.2) de PHYDYAS fonksiyonu için n 0 ın sırasıyla çift ve tek olduğu durumlarda g k0 +p,n 0 +q(t), g k0,n 0 (t) değerleri verilmiştir. (3.35) te tablonun neden n 0 değerine bağlı olduğu görülmektedir. 31

49 q p j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j Çizelge 3.1. n 0 çift olduğunda taşıyıcı fonksiyonlar arası iç çarpım sonuçları q p j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j Çizelge 3.2. n 0 tek olduğunda taşıyıcı fonksiyonlar arası iç çarpım sonuçları Tablodaki değerlerin, ikinci bölümde kaide fonksiyonlarının iç çarpımları için bulunan sonuçlar ile örtüştüğü görülebilir. Örneğin (2.31) denkleminde, teorik olarak 0 bulunan değer, PHYDYAS fonksiyonu ile hesaplandığında gibi oldukça küçük bir değer olarak bulunmuştur. Ayrıca tablo, (2.52) denklemi ile de uyumludur. Hesaplanan sanal sayılar ise, reel uzayda diklik koşulunun sağlandığını göstermektedir. Komşu olmayan semboller ihmal edildiğinde, tablodaki ve gibi görece büyük değerlerin yok sayıldığına dikkat çekilmesi gerekmektedir. İlerleyen bölümlerde, yüksek dereceli yıldızküme diyagramları için karşılaşılacak sorunların kaynağı bu değerler olacaktır. İkinci bir varsayım olarak komşu semboller için karmaşık değerli kanal katsayısının çok değişmediği kabul edilebilir. Bir başka deyişle, (p, q) ε {1, 1} olduğu durumda a k0 +p[n 0 +q] ve a k0 [n 0 ] için karmaşık değerli kanal katsayılarını eşit olarak kabul edebiliriz. Böylece H k0 +p,n 0 +q = H k0,n 0 (3.27) 32

50 olacaktır. Bu iki varsayım altında kipçözülmüş sinyal y k0,n 0 = a k0 [n 0 ] H k0,n 0 + j a k0 +p[n 0 + q] g k0 +p,n 0 +q(t), g k0,n 0 (t) (r) H k0,n 0 (3.28) (p,q) ε {1, 1} olarak ifade edilebilecektir. Kipçözülmüş sinyal, karmaşık değerli kanal katsayısı ile denkleştirildiğinde y k0,n 0 H k0,n 0 = a k0 [n 0 ] + j a k0 +p[n 0 + q] g k0 +p,n 0 +q(t), g k0,n 0 (t) (r) (3.29) (p,q) ε {1, 1} y k0,n 0 H k0,n 0 = a k0 [n 0 ] + b 1 k 0,n 0 (3.30) şeklinde ifade edilebilir ve reel kısmı alındığında elde edilmek istenen a k0 [n 0 ] sembolüne ulaşılabilir. Özet olarak, zamanda bir sembol süresince yavaş ve frekansta bir taşıyıcı boyunca seçici olmayan sönümlemeli bir kanal için, etkin kanal zamanda ve frekansta yeterince hızlı güç kaybediyorsa ve komşu semboller için karmaşık kanal katsayıları çok değişmiyorsa; denkleştirme işleminden sonra sadece karmaşık bir sayının reel kısmını alarak aranan sembol elde edilebilir. (3.5) ve (3.9) elde edilirken yapılan varsayımlar, pratikte kanalın kararlı zaman aralığı ve kararlı bant genişliği dengesini gözetip sembol periyodunu ayarlayarak sağlanabilir. (3.26) elde edilirken yapılan varsayım ise darbe şekillendirici süzgeç fonksiyonuna bağlıdır. (Çizelge 3.1) ve (Çizelge 3.2) ile PHYDYAS fonksiyonunun bu varsayım için uygun olduğu gösterilmiştir. 3.3 İç Çarpımın Belirsizlik Fonksiyonu Cinsinden İfade Edilmesi Zaman - frekans düzleminde, belirli bir a k0 [n 0 ] sembolünü elde etmek için g k0,n 0 (t) kaide fonksiyonu tarafından yapılacak kipçözme işlemi g k,n (t), g k0,n 0 (t) = j (k+n) (k 0+n 0 ) g(t nτ 0 ) g(t n 0 τ 0 ) e j 2 π (k k 0) ν 0 t dt (3.31) 33

51 ile ifade edilebilir. t t + n + n 0 2 τ 0 dönüşümü yapılırsa g k,n (t), g k0,n 0 (t) = e j 2 π (k k 0) ν 0 [t+ n+n 0 τ 2 0] ( j (k+n) (k 0+n 0 ) g t + (n 0 n) τ ) ( 0 g t (n 0 n) τ ) 0 dt 2 2 (3.32) olur. Eğer τ 0 = T 2 ve ν 0 = 1 T bilgisi burada kullanılırsa, eşitlik [ (n+n0 ) 2 g k,n (t), g k0,n 0 (t) = j (k+n) (k 0+n 0 ) e j 2 π (k k 0) 1 T ( g t + (n 0 n) τ ) ( 0 g 2 ] T 2 t (n 0 n) τ 0 2 ) e j 2 π (k k 0) ν 0 t dt (3.33) halini alacaktır. Belirsizlik fonksiyonu yukarıdaki denklemin içinde kullanıldığında, sonuç olarak g k,n (t), g k0,n 0 (t) = A g ((n 0 n)τ 0, (k 0 k)ν 0 ) j (n n 0)+(k k 0 )+(k k 0 )(n+n 0 ) (3.34) elde edilir. k için k 0 + p ve n için n 0 + q denildiğinde eşitlik g k0 +p,n 0 +q(t), g k0,n 0 (t) = j g k0 +p,n 0 +q(t), g k0,n 0 (t) (r) = A g ( qτ 0, pν 0 ) j p+q+p (2n 0+q) (3.35) halini alır. g(t) simetrik bir fonksiyon olduğu için A g (±τ, ±ν) = A g (τ, ν) (3.36) gerçek değerli bir fonksiyon olduğu için A g(±τ, ±ν) = A g (τ, ν) (3.37) 34

52 olacaktır. Enerjisi 1 e eşit olacak şekilde normalize edilmiş bir fonksiyon için belirsizlik fonksiyonu A g (0, 0) = 1 (3.38) olacak şekilde, orijinde 1 değerini verecektir. 3.4 İç-girişimin Belirsizlik Fonksiyonu Cinsinden İfade Edilmesi Zamanla değişen kanalın, zamana göre Fourier dönüşümü h(t, τ) = H(τ, ν) e j2πνt dν (3.39) şeklinde ifade edilir. Böylece (3.2) denklemi r(t) = H(τ, ν) s(t τ) e j2πνt dν dτ (3.40) halini alır. İntegral sınırları kanaldaki en büyük gecikme süresi τ max ve en büyük Doppler etkisi f D ye göre belirlenir. (2.19) burada kullanıldığında; alınan sinyal r(t) = k n a k [n] H(τ, ν) g k,n (t τ) e j2πνt dν dτ (3.41) ve (3.10) kullanıldığında kipçözülmüş sinyal y k0,n 0 = k a k [n] n ( H(τ, ν) ) g k,n (t τ) gk 0,n 0 (t)e j2πνt dt dν dτ (3.42) olacaktır. Eğer parantezin içine bakarsak g k,n (t τ) g k 0,n 0 (t)e j2πνt dt = e j 2 π k ν 0 τ j (k+n) (k 0+n 0 ) g(t nτ 0 τ) g(t n 0 τ 0 ) e j 2 π (k k 0) ν 0 t e j2πνt dt (3.43) 35

53 olur. t t + n + n 0 2 τ 0 + τ 2 dönüşümü yapılırsa g k,n (t τ) g k 0,n 0 (t)e j2πνt dt = e j 2 π k ν 0 τ j (k+n) (k 0+n 0 ) ( g t + (n 0 n) τ 0 2 τ ) ( g t (n 0 n) τ τ ) (3.44) 2 e j 2 π (k k 0) ν 0 (t+ n+n 0 2 τ 0 + τ 2 ) e j2πν(t+ n+n 0 2 τ 0 + τ 2 ) dt elde edilecektir. Burada τ 0 = T 2 ve ν 0 = 1 T bilgisi kullanıldığında denklem g k,n (t τ) g k 0,n 0 (t)e j2πνt dt = g e j 2 π (k k 0) 1 T ( n+n 0 2 ( t + (n 0 n) τ 0 2 τ 2 T 2 ) e j2πν( n+n 0 τ τ 2 ) e j π (k+k 0 ) ν 0 τ j (k+n) (k 0+n 0 ) ) ) g ( t (n 0 n) τ τ 2 e j 2 π (k k 0) ν 0 t e j2πνt dt (3.45) g k,n (t τ) gk 0,n 0 (t)e j2πνt dt = e j2πν [ n+n 0 τ τ 2 ] e j π (k+k 0 ) ν 0 τ j (n n 0)+(k k 0 )+(k k 0 )(n+n 0 ) ( g t + (n 0 n) τ 0 2 τ ) ( g t (n 0 n) τ τ ) e j 2 π (k k 0) ν 0 t e j2πνt dt (3.46) 2 halini alır. Yine k için k 0 + p, n için n 0 + q denilirse ( ) g k,n (t τ) gk 0,n 0 (t)e j2πνt dt =e j2πν 2n0 +q τ τ 2 e j π (2k 0+p) ν 0 τ j (p)+(q)+p (2n 0+q) ( g t qτ 0 + τ ) ( g t + qτ 0 + τ ) (3.47) e j 2 π (pν 0+ν) t dt 2 2 olacaktır. Bu noktada kipçözülmüş sinyal y k0,n 0 = a k0 +p[n 0 + q] j p+q+p (2n 0+q) (p,q) Z H(τ, ν) A g ((qτ 0 + τ), (pν 0 + ν)) e j π (νqτ 0 pν 0 τ) e j π (2νn 0τ 0 2k 0 ν 0 τ+ντ) dν dτ (3.48) 36

54 şeklinde yazılabilir. Önceki bölümlerde yapılan sönümleme varsayımlarını burada da yaptığımızda ( τ max << τ 0 ve f D << ν 0 ) A g ((qτ 0 + τ), (pν 0 + ν)) e j π (νqτ 0 pν 0 τ) A g (qτ 0, pν 0 ) (3.49) diyebiliriz. Böylece kipçözülmüş sinyal y k0,n 0 = a k0 +p[n 0 + q] j p+q+p (2n0+q) A g (qτ 0, pν 0 ) (p,q) Z H(τ, ν) e j π (2νn 0τ 0 2k 0 ν 0 τ+ντ) dν dτ (3.50) olacaktır. Burada H(τ, ν) e j π (2νn 0τ 0 2k 0 ν 0 τ+ντ) dν dτ ifadesini k 0 frekans taşıyıcısına n 0 zamanında etki eden kanal etkisi olarak tanımlayarak H k0,n 0 şeklinde kısaltabiliriz. Böylece y k0,n 0 = a k0 [n 0 ] H k0,n 0 + j p+q+p (2n 0+q) (p,q) (0,0) a k0 +p[n 0 + q]a g (qτ 0, pν 0 )H k0,n 0 (3.51) denklemi elde edilir. 37

55 4. İÇ-GİRİŞİMİ KULLANMANIN KAPASİTEYE ETKİSİ Önceki bölümde, kanal bilgisi bilindiği takdirde alınan karmaşık değerli sembol denkleştirildikten sonra reel kısmının alınarak, gönderilen orijinal sembolün elde edilebileceği gösterilmişti. Alınan sembolün denkleştirildikten sonra reel kısmının alınması işleminde amaç, sanal kısım olan iç-girişim etkisinden kurtulmaktır. Literatürde iç-girişimden sadece kurtulmaya çalışmak yerine, iç-girişimi kullanıp sistem performansını arttırmaya yönelik çalışmalar vardır. Örneğin [27] de ileriki bölümlerde anlatılacak olan IAM yöntemini kullanarak alıcıdaki termal gürültü etkisinin azaltılabileceği gösterilmiştir. [28] de ise alıcı ve vericinin eşzamanlı olmadığı durumda, alınan sembolün reel ve sanal kısımlarının arasındaki ilintiyi kullanarak denkleştirme işleminde performans artışı sağlanabileceği gösterilmiştir. [29] da iç-girişim alıcı ve vericinin hem eşzamanlı olduğu hem de eşzamanlı olmadığı durumlar için istatistiksel olarak incelenmiştir. Bu bölümde ise iç-girişimi kullanmanın kanal kapasitesine etkisi araştırılacaktır. 4.1 Paralel Gauss Kanallarında Kapasite Öncelikle Gauss gürültülü bir kanaldaki teorik limiti hesaplamak için kapasite hesabına bakalım. a gönderilen sembol olsun ve N(0, 1) olacak şekilde bir Gauss dağılımına sahip olsun. Toplanır gürültü η ise N(0, σ 2 ) olacak şekilde yine Gauss dağılımına sahip olsun. Böylece alınan sembol y = a + η (4.1) şeklinde ifade edilebilir. Bu durumda sinyalin güç sınırlaması 1 olduğu için, toplanır Gauss gürültülü kanalın enformasyon kapasitesi C = max I(a; y) (4.2) P(a),E{a 2 }<1 olarak tanımlanır [30]. Burada I(y; a), a ile y arasındaki ortak enformasyondur ve I(y; a) = h(y) h(η) (4.3) 38

56 olarak bulunur. h(y) alınan sinyalin, h(η) ise gürültünün entropisidir ve h(y) 1 log (2πe(1 + σ)) (4.4) 2 h(η) = 1 2 log ( 2πeσ 2) (4.5) olarak hesaplanır. Böylece kanalın enformasyon kapasitesi C = 1 2 log (2πe(1 + σ)) 1 log (2πeσ) (4.6) 2 C = 1 ( 2 log ) σ (4.7) olacaktır. Şimdi ise elimizde tek boyutlu bir sembol yerine, içerisinde semboller barındıran, N(0, I) olacak şekilde bağımsız çok değişkenli Gauss dağılımına sahip bir a vektörü ve yine N(0, R σ ) olacak şekilde bağımsız çok değişkenli Gauss dağılımına sahip bir η gürültü vektörü olsun. R σ, diagonal bir matris olsun ve diagonal elemanlarının her birine σ diyelim. Böylece alınan semboller y = a + η (4.8) şeklinde ifade edilebilir. Bu durumda ise kanalın enformasyon kapasitesi C = i ) 1 (1 2 log + 1σi (4.9) olacaktır. 39

57 4.2 OFDM/OQAM de Kapasite İdeal kanal varsayımı yapıldığında, alıcıda toplanır beyaz Gauss gürültüsü olduğu durumda (3.21) denklemi y k0,n 0 = a k0 [n 0 ] + b k0,n 0 + η k0,n 0 (4.10) halini alır. Bu denkleme göre, basitçe y k0,n 0 nin reel kısmını alarak iç-girişimden kurtulabileceğimizi ve gönderilen sembolü kestirebileceğimizi söylemiştik. Ancak şuna dikkat çekmek gerekir ki iç-girişim içerisinde gönderilen semboller ile ilgili bilgi taşımaktadır. Bu bilginin kapasiteye etkisini görebilmek için, y k0,n 0 nin reel ve sanal kısımlarına Re {y k0,n 0 } = y (r) k 0,n 0 = a k0 [n 0 ] + Re {η k0,n 0 } (4.11) Im {y k0,n 0 } = y (i) k 0,n 0 = b k0,n 0 + Im {η k0,n 0 } (4.12) denklemlerini kullanarak ayrı ayrı bakalım. Elimizde 16 veri sembolü olsun ve bu semboller zamanda ve frekansta (Çizelge 4.1) de gösterildiği gibi dizilsin. a 1 [1] a 1 [2] a 1 [3] a 1 [4] a 2 [1] a 2 [2] a 2 [3] a 2 [4] a 3 [1] a 3 [2] a 3 [3] a 3 [4] a 4 [1] a 4 [2] a 4 [3] a 4 [4] Çizelge 4.1. Örnek bir veri çerçevesi Bu gösterimde de, tezin kalanında olduğu gibi, yatay eksen zamanı, dikey eksen frekansı temsil etmektedir. Böyle bir veri çerçevesi için (4.11) ve (4.12) denklemleri, çerçevenin her bir elemanı için yazıldığında, denklemler 40

58 y (r) 1,1 a 1 [1] η (r) 1,1 y (r) 1,2 a 1 [2] η (r) 1,2 y (r) 1,3 a 1 [3] η (r) 1,3 y (r) 1,4 a 1 [4] η (r) 1,4 y (r) 2,1 a 2 [1] η (r) 2,1... = y (r) 3,4 a 3 [4] η (r) 3,4 y (r) 4,1 a 4 [1] η (r) 4,1 y (r) 4,2 a 4 [2] η (r) 4,2 y (r) a 4 [3] η (r) a 4 [4] 4,3 y (r) 4,4 4,3 η (r) 4,4 (4.13) y (i) 1,1 y (i) 1,2 y (i) 1,3 y (i) 1,4 y (i) 2,1... = B y (i) 3,4 y (i) 4,1 y (i) 4,2 y (i) 4,3 y (i) 4,4 a 1 [1] η (i) 1,1 a 1 [2] η (i) 1,2 a 1 [3] η (i) 1,3 a 1 [4] η (i) 1,4 a 2 [1] η (i) 2, a 3 [4] η (i) 3,4 a 4 [1] η (i) 4,1 a 4 [2] η (i) 4,2 a 4 [3] η (i) a 4 [4] 4,3 η (i) 4,4 (4.14) olacak şekilde vektörlerle ifade edilebilir. Zamanda iki, frekansta bir ötedeki sembole kadar iç-girişim etkisi olduğunu kabul edelim. (3.19) denklemine göre, (Çizelge 3.1) ve (Çizelge 3.2) deki değerlerden için α, için β, için γ ve için ς sembollerini kullandığımızda, (4.14) denklemindeki iç-girişim matrisi B (Çizelge 4.2) deki gibi olacaktır. 41

59 α 0 α β γ 0 γ 0 -ς 0 ς α 0 -α 0 γ β γ 0 ς 0 ς α 0 -α 0 γ β γ 0 ς 0 ς α 0 α 0 γ 0 γ β ς 0 ς β -γ 0 -γ 0 α 0 -α β -γ 0 -γ 0 ς 0 -ς 6 -γ -β -γ 0 -α 0 α 0 -γ β -γ 0 -ς 0 ς γ -β -γ 0 -α 0 α 0 -γ β -γ 0 -ς 0 ς 8 -γ 0 -γ -β α 0 -α 0 -γ 0 -γ β ς 0 -ς ς 0 ς -β γ 0 γ 0 -α 0 α β γ 0 γ 10 ς 0 ς 0 γ -β γ 0 α 0 -α 0 γ β γ ς 0 ς 0 γ -β γ 0 α 0 -α 0 γ β γ 12 ς 0 ς 0 γ 0 0 -β -α 0 α 0 γ 0 γ β ς 0 ς -β -γ 0 -γ 0 α 0 -α ς 0 ς 0 -γ -β -γ 0 -α 0 α ς 0 ς 0 -γ -β -γ 0 -α 0 α ς 0 ς 0 -γ 0 -γ -β α 0 -α 0 Çizelge 4.2. İç-girişim matrisindeki elemanların dizilişi. 42

60 Şekil 4.1. İç-girişim matrisindeki elemanların dizilişi ve değerleri. (4.13) ve (4.14) ü y (r) = a + η (r) (4.15) y (i) = B a + η (i) (4.16) olacak şekilde vektör formunda yeniden yazalım. 43

61 a vektörü çok değişkenli Gauss dağılımı N(0, I) e ve η (r) ile η (i) vektörleri çok değişkenli Gauss dağılımı N(0, R η ) e sahip olsun. Beklenen değerler E { y (r)} = E {a} + E { η (r)} = 0 (4.17) E { y (i)} = B E {a} + E { η (i)} = 0 (4.18) olduğu için kovaryans matrisleri ilinti matrislerine eşit olacaktır ve R a a = R y (r) a = R a y (r) = I (4.19) R y (r) y (r) = I + C η (4.20) R y (i) a = B (4.21) R a y (i) = B T (4.22) R y (i) y (i) = BBT + C η (4.23) olarak bulunurlar. Bu durumda, alınan karmaşık değerli sembollerin reel kısımları ve gönderilen semboller arası ortak enformasyon I(y (r) ; a), [31] deki Gauss dağılımına sahip iki vektörün ortak enformasyon formülünü kullanarak I ( y (r) ; a ) = 1 2 log R y (r) y (r) R a a R y (r) y (r) R a y (r) R y (r) a R a a = 1 2 log I + R η I I + R η I I I (4.24) 44

62 olarak buluruz. I(y (r) ; a) bize alınan karmaşık değerli sembollerin reel kısımlarının, gönderilen semboller hakkında ne kadar bilgi taşıdığını gösterecektir ve kanal üzerinden erişilebilir hızı verecektir. Şimdi de y (r) ve y (i) nin beraber kullanıldığında kapasiteye nasıl bir etkisi olduğunu görmek için z = y (r) = I a + B y (i) η(r) η (i) (4.25) z = F a + η (c) (4.26) olacak şekilde bir z vektörü tanımlayalım. Bu durumda I(z; a) yı bulabilmek için R a z = F T (4.27) R z a = F (4.28) R z z = F F T + R Rη (4.29) olarak bulunur. Burada R Rη, lik diagonal bir matristir ve R Rη = R η 0 0 R η (4.30) şeklinde ifade edilebilir. Sonuç olarak, aynı formül kullanıldığında ortak enformasyon R a z R a a I (z; a) = 1 2 log R z z R a a = 1 R z z R z a 2 log FF T + R Rη I FF T + R Rη F F T I (4.31) 45

63 olacaktır. Alınan karmaşık değerli sembolün sadece reel kısmını içeren y (r), z vektörünün bir alt kümesi olduğu için I(z; a) I(y (r) ; a) olması beklenir. Dolayısıyla alıcıda y (r) yerine daha geniş bir gözlem kümesi kullanmak kapasiteyi arttıracaktır. Bizim amacımız ise ne kadar arttıracağını incelemektir. (Şekil 4.2) de, (Çizelge 4.1) de verilen çerçeve için, (4.9) denklemine göre hesaplanan kapasite ile (4.24) ve (4.31) formüllerini kullanarak elde edilen ulaşılabilir verimlilik gösterilmiştir. (4.15) ve (4.8) denklemlerine bakıldığında, (4.9) ve (4.24) grafiklerinin üst üste çıkması beklenen bir sonuçtur. OFDM/OQAM sisteminde sadece reel kısımlar dikkate alındığında semboller arası girişim olmadığı için sistem paralel Gauss kanalları olarak düşünülebilir. Ayrıca kapasite tanımı ortak enformasyonun aldığı en büyük değer şeklindedir. Gauss dağılımı entropiyi ençoklar, biz de veri sembollerinin Gauss dağılımına sahip olduğunu varsaydığımız için ortak enformasyon en büyük değerini alacak ve kapasiteye eşit olacaktır. Grafikte açıkça görüldüğü gibi, gönderilen sembolü elde etmek için iç-girişim de kullanıldığında 2.5 db nin üzerinde bir kazanç sağlanabilecektir. 46

64 Şekil lük çerçeve için ulaşılabilir verimlilik. Şuna dikkat çekmek gerekir ki 4 4 lük çerçevenin ilk anda yollanan 4 veri sembolü ve son anda yollanan 4 veri sembolü çerçevenin kenarlarında kaldığı için komşu sayıları azdır. Bu yüzden, bu sembollere etki eden iç-girişim içerisinde daha az sembolle ilgili bilgi vardır. Toplam sembol sayısının çerçeve kenarlarındaki sembollerin sayısına oranı arttığında elde edilecek kazanç da artacaktır. Bu yüzden iç-girişim kullanıldığında (Şekil 4.3) te, (Şekil 4.2) ye göre az da olsa daha fazla kazanç elde edilmiştir. 47

65 Şekil lik çerçeve için ulaşılabilir verimlilik. 48

66 5. ÖNCÜL TABANLI KANAL KESTİRİM YÖNTEMLERİ Önceki bölümlerde, kablosuz iletişim kanallarının çoğunlukla zamanda ve frekansta değişen, karmaşık yapıları olduğundan bahsedilmişti. Bu tür kanallar söz konusu olduğunda, faz uyumlu bir alıcı tasarlayabilmek için kanal kesitirimi yapılması gerekmektedir. Üçüncü bölümde, kanalın frekans alanında bir taşıyıcı boyunca frekans seçici olmayan sönümlemeli ( τ max << τ 0 ) ve bir sembol süresi boyunca yavaş sönümlemeli ( f D << ν 0 ) olduğu varsayımı ışığında, belirli bir frekans taşıyıcısının belirli bir zamanda maruz kaldığı kanal etkisinin, karmaşık değerli kanal katsayısı H k0,n 0 ile modellenebildiği gösterilmişti. Bu katsayı bilindiği takdirde alınan sinyalin denkleştirilerek fazının düzeltilebileceği, ki böylece alıcının faz uyumlu hale getirilmiş olur, daha sonra da denkleştirilmiş karmaşık sembolün basitçe reel kısmını alarak gönderilen sembolün elde edilebileceği anlatılmıştı. Karmaşık kanal katsayısının kestirilmesi için veri sembollerinden önce pilot semboller gönderilir. Pilot semboller veri iletiminde kullanılmazlar ve alıcı ile verici arasında daha önceden kararlaştırılmış bir düzen içerisinde bulunmaktadırlar, yani alıcı tarafından bilinmektedirler. Alınan sinyalin fazı pilot semboller sayesinde elde dilen kanal bilgisi ile düzeltilerek, vericide gönderilen orijinal veri sembolleri elde edilir. Alınan OFDM/OQAM sinyalinde, sistem yapısı gereği bir iç-girişim gözlendiği için geleneksel kanal kestirim yöntemlerinin dışında OFDM/OQAM e özgü kanal kestirim yöntemleri kullanmak gerekmektedir. Pilot semboller [32] deki gibi veri sembollerinin arasına dağınık bir şekilde yerleştirilebilir ve yine aynı kaynaktaki aradeğerleme yöntemleri ile pilot semboller arasındaki semboller için de kanal katsayıları hesaplanabilir. Bu yöntemde az sayıda pilot kullanarak spektral verimlilik arttırılırken, aradeğerlemedeki hatalar nedeniyle de performans düşecektir. Ek olarak dağınık pilot sembollü yöntemler, tepe gücünün ortalama güce oranı (PAPR) açısından iyi performans göstermektedir. Pilot semboller (Şekil 5.1) de gösterilen yapıdaki gibi, veri sembolleri öncesinde gönderilen bir öncül içerisinde de yer alabilir. 49

67 Şekil 5.1. Öncül içeren bir veri çerçevesinin yapısı. OFDM/OQAM kanal kestirimi için literatürde yaygın olarak kullanılan, öncül içeren yapıda olan üç yaklaşım aşağıdaki gibidir. 1. IAM 2. POP 3. ICM Yöntemler bu çalışmada öncül yapısında gösterilecek olmalarına rağmen, aynı teoriyi kullanarak dağınık pilot sembol uygulaması da gerçekleştirilebilir. Ayrıca bu yöntemler [33] teki gibi istatistiksel kanal kesitirim çalışmaları için de kullanılmaktadır. 5.1 IAM IAM yönteminde, iç-girişimin büyük kısmının komşu sembollerden geleceği varsayılır. Yöntem adında "yaklaşıklama" kelimesinin geçme sebebi, gerçekte iç-girişimin sadece komşu sembollerden değil diğer tüm sembollerden geliyor olmasıdır. Bir başka deyişle "yaklaşık" iç girişim bilgisi b 1 k 0,n 0 alıcıda bilinmektedir. Bu durumda (3.30) denklemini kullanarak ve sistemde beyaz toplanır Gauss gürültüsü η de hesaba katıldığında kanal kestirimi Ĥ k0,n 0 = y k0,n 0 η + (5.1) a k0 [n 0 ] + bk 1 0,n 0 a k0 [n 0 ] + bk 1 0,n 0 50

68 y k0,n 0 = ( a k0 [n 0 ] + b 1 k 0,n 0 ) Hk0,n 0 + b k0,n 0 H k0 +p,n 0 +q b 1 k 0,n 0 H k0,n 0 + η (5.2) Ĥ k0,n 0 = y k0,n 0 η + (5.3) a k0 [n 0 ] + bk 1 0,n 0 a k0 [n 0 ] + bk 1 0,n 0 Ĥ k0,n 0 = ( ) ak0 [n 0 ] + bk 1 0,n Hk0 0,n 0 + b k0,n 0 H k0 +p,n 0 +q bk 1 0,n 0 H k0,n 0 η + (5.4) a k0 [n 0 ] + bk 1 0,n 0 a k0 [n 0 ] + bk 1 0,n 0 Ĥ k0,n 0 = H k0,n 0 + η a k0 [n 0 ] + b 1 k 0,n 0 + b k 0,n 0 H k0+p,n 0+q b 1 k 0,n 0 H k0,n 0 a k0 [n 0 ] + b 1 k 0,n 0 (5.5) şeklinde yazılabilir. Burada dikkat çekilmesi gereken nokta a k0 [n 0 ] + bk 1 0,n 0 büyüdüğünde sistemin gürültüye karşı başarımı artacak ve yüksek dereceli yıldızküme diyagramlarında ihmal edilemez hale gelen, komşu olmayan sembollerden gelen iç-girişim etkisi olan sondaki terimin hata katkısı azalacaktır. Bu durum (Şekil 5.4), (Şekil 5.7), (Şekil 5.10), (Şekil 5.13), (Şekil 5.16) grafiklerinde 4-QAM ve 16-QAM için BER yöntemlerin performansları karşılaştırılarak gösterilecektir. IAM yöntemlerinde amaç, yalancı pilot gücünü arttırmaktır. Yalancı pilot gücü arttıkça, hem sistemin gürültüye karşı dayanıklılığı artacak hem de yüksek dereceli yıldızküme diyagramlarında ihmal edilemez hale gelen, komşu olmayan sembollerden gelen içgirişim etkisi azalacaktır. Zaman-frekans düzleminde (k 0, n 0 ) taşıyıcısının taşıdığı reel sembol pilot sembol olsun ve diğer taşıyıcılardan gelen sanal iç-girişimin toplamıyla oluşan sembole "yalancı pilot" [27] diyelim ve p k0 [n 0 ] ile gösterelim. Önceki tanımları kullandığımızda p k0 [n 0 ] = a k0 [n 0 ] + bk 1 0,n 0 = a k0 [n 0 ] + j a k0 +p[n 0 + q] g k0 +p,n 0 +q(t), g k0,n 0 (t) (r) (5.6) (p,q) {1, 1} 51

69 eşitliği elde edilir. Yalancı pilotun istatistiksel değerlerini incelediğimizde E{ p k0 [n 0 ] } = E{ a k0 [n 0 ] } + E{ bk 1 0,n 0 } = E{ a k0 [n 0 ] } + j E{ a k0 +p[n 0 + q] } g k0 +p,n 0 +q(t), g k0,n 0 (t) (r) (5.7) (p,q) {1, 1} ve eğer a k [n] sembollerinin rastgele dağılımlı olduğunu düşünürsek, E{ a k [n] } = 0 olacağından E{ p k0 [n 0 ] } = 0 (5.8) elde edilir. E{ p k0 [n 0 ] 2 } için ise E{ p k0 [n 0 ] 2 } =σ 2 a + E{ a k0 +p[n 0 + q] g k0 +p,n 0 +q(t), g k0,n 0 (t) (r) 2 } (p,q) {1, 1} (5.9) + E{ a k0 [n 0 ] j (p,q) {1, 1} a k0 +p[n 0 + q] g k0 +p,n 0 +q(t), g k0,n 0 (t) (r) } eşitliği elde edilecektir. Burada E{ a k0 [n 0 ] } = σ 2 a (5.10) sembol gücünü ifade etmektedir IAM-1 Bu yöntemde öncüldeki semboller rastgele seçilir [27]. (Şekil 5.2) de IAM-1 öncülü içeren bir veri çerçevesinin sembol dizilimi verilmiştir. 52

70 Şekil 5.2. IAM-1 öncülü içeren bir veri çerçevesinin yapısı. Şimdi bu öncül yapısı için yalancı pilot gücünü bulalım. (5.9) da eşitliğin sağ tarafındaki son terimi bulmakla başlayalım. a k0 [n 0 ] ve a k0 +p[n 0 +q] istastiksel olarak bağımsız olduğu için E a k 0 [n 0 ] (p,q) {1, 1} a k0 +p[n 0 + q] g k0 +p,n 0 +q(t), g k0,n 0 (t) (r) = 0 (5.11) olacaktır. Şimdi de (5.9) da eşitliğin sağ tarafındaki orta terimi bulalım. Bağımsız sembollerden dolayı E{ a k0 +p[n 0 +q] g k0 +p,n 0 +q(t), g k0,n 0 (t) (r) 2 } içerisindeki çapraz terimler (p,q) {1, 1} sıfır olacağından E (p,q) {1, 1} a k0 +p[n 0 + q] g k0 +p,n 0 +q(t), g k0,n 0 (t) (r) 2 = σa 2 (p,q) {1, 1} g k0 +p,n 0 +q(t), g k0,n 0 (t) (r) 2 (5.12) elde edilir. Böylece E{ p k0 [n 0 ] 2 } = σ 2 a + σ 2 a (p,q) {1, 1} g k0 +p,n 0 +q(t), g k0,n 0 (t) (r) 2 (5.13) 53

71 olarak hesaplanır. [27] de aşağıdaki eşitlik gösterilmiştir. (p,q) (0,0) g k0 +p,n 0 +q(t), g k0,n 0 (t) (r) 2 = 1 (5.14) Önceki bölümde yaptığımız kabulu burada tekrarlarsak, yani p ve/veya q birden büyük olduğu durumda g k0 +p,n 0 +q(t), g k0,n 0 (t) = g k0 +p,n 0 +q(t), g k0,n 0 (t) (r) = 0 (5.15) varsayımı yapılırsa, bir başka deyişle komşu olmayan taşıyıcıların iç çarpımının çok küçük olduğu kabul edildiğinde (p,q) {1, 1} g k0 +p,n 0 +q(t), g k0,n 0 (t) (r) 2 1 (5.16) diyebiliriz. Sonuç olarak, IAM-1 yöntemi için E{ p k0 [n 0 ] 2 } 2σ 2 a (5.17) bulunur ve burada dikkat edilmesi gereken birinci nokta, OFDM/OQAM sisteminde etrafı rastgele sembollerle çevrilmiş reel değerli bir sembolün alıcıda iç-girişim ile beraber toplam gücü, OFDM sisteminde iletilen karmaşık değerli bir pilot sembolün gücüne eşittir. Ayrıca OFDM de tek sembol uzunluğunda karmaşık değerli bir pilot, OFDM/OQAM de iki sembol uzunluğunda reel değerli bir pilota tekabül eder. Bu yüzden spektral verimlilik açısından OFDM e göre bir dezavantaj vardır. Ancak OFDM/OQAM yapısında CP kullanılmaması bu dezavantajı ortadan kaldıracaktır. Dikkat edilmesi gereken ikinci nokta ise, pilot sembolün etrafındaki semboller rastgele seçildiği için yalancı pilot gücünün ortalama değeri 2σa 2 olduğundan, gerçekte alacağı 54

72 değer daha yüksek veya düşük olabilir; bu da kanal kesitirim performansını direkt olarak etkiler. Bir diğer önemli nokta ise, etrafı rastgele sembollerle çevrili bu pilotun gücü, aslında yine etrafı rastgele sembollerle çevrili olacak olan veri sembollerinin gücüne eşittir. (Şekil 5.3) ve (Şekil 5.4) te sırasıyla IAM-1 öncülü içeren OFDM/OQAM sinyali ve IAM-1 öncülü ile denkleştirilmiş OFDM/OQAM sinyalinin BER performansı gösterilmiştir. Öncül yapısı tamamiyle rastgele sembollerden oluştuğu için sinyalde gözüken baskın bir tepe noktası olmamıştır. BER grafiğinde 16-QAM kullanıldığında görülen performans kaybının sebebi ise matematiksel olarak (5.5) denkleminde anlatıldığı gibi ihmal edilen komşu olmayan sembollerden gelen iç-girişimin, yüksek dereceli yıldızküme diyagramlarında ihmal edilemez hale gelmesidir. Şekil 5.3. IAM-1 öncülü içeren OFDM/OQAM sinyali. 55