5.1 Olasılık Tarihi Temel Olasılık Kavramları

Transkript

1 5 OLSILIK 5.. Olasılık Tarh 5.. Temel Olasılık Kavramları 5.3. Deeysel Olasılık 5.4. Temel olasılık Teoremler 5.5. Koşullu (Şartlı Olasılık 5.6. ayes Teorem 5.7. ağımsızlık: 5.8. Olasılık Foksyoları Keskl Rasgele Değşke Olasılık Dağılımı Sürekl Rasgele Değşke Olasılık Dağılımı 5.9. eklee Değer (Exected Value 5.0. Varyas

2 5. Olasılık Tarh Şasa bağlı olaylar 7. yüzyılda bu yaa yoğu olarak celemektedr. Ülü fzkç Galle fzksel büyüklükler ölçüm hatalarıı celemş ve bu hataları şasa bağlı olduğuu varsayarak hatalrı olasılığıı hesalamıştır. yı yüzyılda sgorta hesaları yaılmaya başlamış ve doğal olayları kauları oluşturulmaya çalışılırke şasa bağlı olayları aalz ç olasılık hesalamalarıa başvurulmuştur. u amaçla şasa bağlı olayları alaşılması bast modeller kurulurke şas oyularıda yararlaılmıştır. Moder olasılık teoroso 650 lerde Pascal, Fermat, ve Huuyges çalışmaları le oluşmaya başlamıştır. u çalışmalar oyu teoroso, olasılık kavramları ve beklee değer gb kavramları doğmasıa sebe olmuştur. 6. yüzyılı solarıa doğru eroull büyükm sayılar kauu ele almıştış ve satlamıştır. 7. yüzyılı başlarıda De Movre ormal veya Gauss teorem bulmuştur. 7. yüzyılı ortalarıda tbare Lalace ve 8 yüzyılı başlarıda Gauss ve Posso u olasılık teorse çok katkıları olmuştur. Lalace merkez lmt teorem satlamış. Gauss ormal kauu daha cdd olarak ele almış ve e küçük kareler yötem gelştrmştr. 8. yüzyıl ve 9. yüzyılı başları olasılık teors e yoğu gelştğ döem olmuştur. u döemde olasılık teors brçok alada uygulamaya başlamıştır. 9. yüzyılda Tchebyhheff ve Markov olasılık teorse daha moder br alam getre çalışmalarda buludu, 0 yüzyılda se Kolmogorov, Fsher Nevma ve Cramer bu alada büyük katkı sağlamış blm adamlarıdır. 5.. Temel Olasılık Kavramları Gülük hayatta olasılık, gelecektek br olay ç breyler umutlarıı, bekletler br ölçüsüdür. u taıma göre br olayı ortaya çıkma olasılığıı farklı breyler değşk umutları olduğu varsayımıda geelleştrmek mümkü değldr. uda ötürü bu taım blmsel br temel oluşturmaz. r olayı gerçekleşme olasılığı, olayı gerçekleşmes ç uygu haller tüm olaaklı hallere oraıdır. Fzksel ve sosyal br olguu kes olarak belrlemes olaaksız da olsa, bu tür olgular yeterce gözledklerde belrl br düzeler oldukları sataablr. u düze matematksel fades elde etmek, olguları gerçekleşmese lşk yargılarımızı, öermelermz sayılaştırmak olasılık teors suduğu araçlarla olaaklıdır. astçe fade edersek olasılık, rastlatısal br olguya lşk br öerme

3 3 kese yada olaaksıza e kadar yakı olduğuu göstere br sayıdır. 0 olaaksızı se kesleşmey smgeler. Olasılık, objektf yötemlerle ve/veya sübjektf süreçte hesalaablr. r olayı sübjektf olasılığı, daha öcek k taım da olduğu gb yalızca objektf yötemlerle değl, sübjektf yargılarıı da hesaba katıldığı ve söz kousu olayı geçerllğe ya da olablrlğe lşk verle ve vere kş olayı gerçekleşmese lşk kşsel güve dereces göstere [0, ] aralığıda reel br sayıdır. Sübjektf taım, yasaya lk kez sürülecek ola br ürüü % 5 lk Pazar ayı alması, 05 yılıda br meteoru düyaya çarması ya da 0 yıl çersde Kuzey aadolu fay hattı üzerde merkez üssü İstabul u güey ve 7 büyüklüğüde br derem olması gb gelecekte gerçekleşecek olayları olasılığıı hesalamada kullaılablr. Olasılıklar tay edlrke objektf ver ve veya sübjektf yargıya başvurulur. Öreğ br ürüü Pazar ayı ç olasılık hesalarke, gelecektek müşter bekletler gb sübjektf verler yaı sıra geçmştek bezer ve rak ürü grularıı Pazar ayları gb objektf verler brleştrerek olasılıklar tay edeblrler. cak başvurdukları krterlere, blg brkmlere ve yeteeklere göre farklı hesalama modeller farklı olasılıklar vereblr, bu edele bu taım sübjektf olasılık kavramı le fade edlr. Taım : r olayı meydaa gelme şasıı sayısal değere olasılık der ve le gösterlr. Olasılık 0 aralığıda değerler alablr. Kes olaylarda %00 meydaa gelme olasılığı dr. Taım : Verle br deey mümkü ola bütü souçlarıı oluşturduğu kümeye örek uzay der. Taım : Eğer br olay s defa gerçekleşr ve f defa gerekleşmezse ve eğer örek uzayı s+f kadar olayları hes eşt şasa sahse bu olaylardak s başarıı olasılığı ve s f başarısızlık olasılığı f q s f olur. s f u taımda q elde edlr ve bu souç geelleeblr. s f s f

4 4 Taım : İster deemede, ster doğruda elde edle verlere olay der. u olaylar brer örek oktası olarak E ( evet le gösterlrse; Tek zar atılışıda gelmes E gelmes E. 6 gelmes E 6 tek sayı gelmes, 4 de küçük gelmes le gösterls. ve se brkaç olayı E brleşmesde oluşur. u edele E : bast (elemeter olaylar,: brleşk olaylar olarak adladırılır. E ler brer olaydır ve Örek: r basketbol müsabakasıı soucuda takımlar açısıda 3 durum söz kousudur: MağlubyetM GalbyetG eraberlk Örek : S M, G, Deey : Tek zar atılışı Örek Uzayı : S,,3, 4,5,6 r başka gösterm se : S E, E, E, E, E, E E E E3 3 E4 4 ast olaylar E5 5 E6 6 Olayı: Tek zar atılışı deey soucuda tek sayı gelmes Olayı: Tek zar atılışı deey soucuda 4 de küçük sayı gelmes E, E3, E5,3,5,,,,3 rleşk Olaylar E E E 3 Taım : u olaylar okta setler oluştururlar ve her bast olay E ç br okta vardır ve bular örek oktası adıı alırlar. Örek oktalarıı oluşturduğu sete( uzaya örek uzayı (S delr. Örek uzayıı gösterm 3 bçmde olur:

5 5. Lsteleme Örek: Deeme br metal ara le yaılırsa; S Y, T örek uzayıda k okta var.. Ve dyagramı S.E.E 3.E.E 4.E 6 E 5 3. ğaç dyagramı ğaç dyagramı çoğulukla brde çok brlkte veya ardışık gerçekleşe olayları göstermde daha yararlı olur. Örek: Deeme k metal ara le yaılırsa; Y, Y, Y, T,, T, Y, T T S, Y YY I Y T T Y YT TY T TT Taım : oş küme le örek uzay S de brer olaydır. olayıa olaaksız olay, S olayıa da kes olay der.

6 6 r set çde tüm elema ya da olayları olasılıkları tolamı dama; E ve 0 E dr. Örek uzayı ( set S le gösterlrse; S E E,...,, E E E E... dr. E Örek: Deeme k zar le yaılırsa örek uzayı S, j ;, j,,...,6,,,,,3,...,,6,,,...,..., 6,6 S şeklde oluşturulur. Örek: Çft zar atılışıda üst yüzler tolamıı 6 gelmes olasılığı S 36 okta var r metal ara atılışıda; S Y, T = I. II. zar zar 5 Örek: Y ve T gelmes eşt olasılıklıdır varsayımı altıda, ya metal ara hlesz se, bu k olayı soucuu meydaa gelme olasılıkları 0,5 dr. Örek: İk metal ara atılışıda; T, T, T, Y, Y, T Y Y S, T, T 4 Y, T 4 4

7 7 Örek:,,C gb değşk ırkta üç at yarışıyor. ı kazama olasılığı k katı; k de C k katıdır. Her br,, C şeklde fade edle kazama olasılıklarıı buluuz. C= dyelm. = ; =4 dr. Tüm olasılıklar tolamı olacağıda ++4= =/7 =4/7 =/7 C=/7 Taım : Şasa ağlılık yı koşullar altıda tekrarladığıda dama ayı soucu vermeye, bu edele de determstk( kes olmaya deeylere şasa bağlı deey der. Taım : Şas değşke: r değşke acak, taım aralığıdak br değer bell br olasılık değer le alabldğde şasa bağlı br değşkedr Şas değşke => x x x x => taım aralığı (örek uzayı 0< < => => =.3. Deeysel Olasılık Taım : Eğer adet deemede başarı sayısı s ve lm ke başarıı s frekası s/ bell br lmte ulaşırsa, bu değere (s/ o deeme başarı olasılığı der. Olasılığı dğer br satama yolu çok sayıda deeyler yamakla da mümküdür ve olayı souçları defalarca gözlemler. u şeklde elde edle başarılı olay sayısıı tolam deey sayısıa oraıa deeysel olasılık der. Şasa bağlı br deey ayı koşullar altıda f keza tekrarlaırsa, bu deeyde lglele olaya at souç (sıklık sayısı f a olsu. Deey sayısı yeterce tekrarlaırsa bu oraıı belrl br değere vardığıda durağalaştığı görülür. İlglele bu a olayıı gerçekleşme olasılığı ( a lm f a f bçmde fade edlr. Olasılık çoğu kez uzu döem tekrarlı olay/deeme souçlarıda elde edle s frekas olarak yorumlaır.

8 Temel olasılık Teoremler x ; x olayıı olasılığı gerçek br sayıdır. x 0 3 rakest : Örek uzayıda k olayı brlkte gerçekleşmes söz kousu se k olayı oluşturduğu alt sete bu olayları arakest (tersecto der ve E ve E gb k olayı brleşm E E şeklde gösterlr., ve şeklde okuur ve ( x x x bçmde gösterlr. Geelleme : E : :,..., değerler ç E E E... E E ler hesde ortak ola oktaları fade eder. Taım : r örek uzayıda taımlaa olaylar brbr egelleyeblecek telkte olablr. rbr egelleye olaylar ( mutually exclusve, ayı ada gerçekleşmes mümkü olmaya olaylardır. (ayrık olaylar: dsjot rbr egelleye olaylar ç kesşm: se ( + E E dr. j 4 rleşm : Örek uzayıda k olayda herhag br gerçekleşmes söz kousu se k olayı oluşturduğu alt sete bu olayları brleşm( uo der ve E ve E gb k olayı brleşm E E şeklde gösterlr., ya da şeklde okuur ve ( x x x bçmde gösterlr. rbr egelleye olaylarda: ve gb k olay brbr egellyorsa Eğer. lşks geçerl değldr.. ks halde k olay brlkte gerçekleşeblr.

9 9 0 se ve brbr egellyorsa 0 olur rlkte gerçekleşeble olaylarda: k a k b k a b k k cak 0 dr. se brbr egelleye k olay söz kousudur ve Eğer olaylar bağımlı se ya ve brbr egellemyorsa =.

10 0 Örek : Tek zar atılışıda; çıkablecek souçları kümes örek uzay olu E,..., 6 S E, E dr. ve olayları aşağıdak gb oluşturulmuş olsu: =E, E E =E, E 5, 4 E, E E, E 4, 5 S ı ı ı ı ı * * * * * ={} tersecto( arakest Örek: r sııfta 0 erkek 0 kız öğrec vardır. Kızları ve erkekler yarısı syah gözlüdür. Örek olarak alıa br öğrec br erkek veya syah gözlü olması olasılığıı hesalayıız. =Öğrec erkektr =Öğrec syah gözlüdür. =Öğrec erkek veya syah gözlüdür. 0 5, oulasyo olasılığı dr. 5 E E u E : :,..., tümü E E E... E E ler herhag brde yer ala oktaları 6 0 se 7

11 ( ( ( 0 ( olduğuda ( ( dır. ağımsız üç olayı olasılığı C C Karşılıklı bağımlı üç olayı olasılığı g d g e C g f C C g f e d g e f c f g d b g e d a C C C c b a g g f g e g d c b a

12 C ( ( ( C ( C C C Geelleme : Yukarıda elde edle bu souç 3 de fazla olaylar ç de geelleeblr. j j j k j k m jk jk m 8 ( ( S ( S ( 9 - veya!, le farkı şeklde okuur ve ( x x, x bçmde gösterlr. ve k olay olsu. u durumda ( ( ( ( Dğer tarafta, ( ( olduğuda ( ( ( olur. 0 Değl ağıtısı: r olayıı meydaa gelme olasılığı, ayı olayı meydaa gelmeme olasılığı se ' le gösterlrse; ' olayı, olayıı meydaa gelmemes durumudur. u k olay arasıda şu lşk mevcuttur. ' ' veya ' dür.

13 3 Örek: 50 kşlk br sııfta 0 kız, 30 erkek öğrec bulumaktadır. Rastgele oluşturulacak 5 kşlk br çalışma grubu çersde, e az tae kız öğrec buluması olasılığı edr? urada 50 kşlk sııfta 5 kşlk br alt set seçm söz kousudur. 50 kşde beşerl olaaklı gru oluşturma sayısı 5 kadardır öğrec çersde 5 kşlk gruba hç kız öğrec grmemes, 5 öğrec de erkek seçlmes alamıa gelr ve bu durumuu çere alt setler se 30 farklı şeklde gerçekleşşeblr. 5 E az kız öğrec buluma olasılığı x x x x 3 x 4 x 5 veya O halde x 0 dr. f f ' dr ve temel olasılık teoremde 30 5 olarak buluur. 50 5, değl şeklde okuur. ı S ye göre tümleyedr ve ( x xs, x bçmde gösterlr. E, E olayıı tamamlayıcısı olsu E E dolayısıyla da E E dr.

14 4 Çükü; S E E S E E azı şlem özellkler : ( C ( C ( C ( C ( C ( ( C ( C ( ( C De Morga Kauları = = Eğer,,... kşer kşer ayrık olaylar se (... ( (... ( Örek: r bakada yaıla br araştırmada her 5 kadı müşterde 3 üü (, her erkek müşterde ( kred şlem ç bakaya geldğ test edlmştr. Her k olaya lşk =3/5 =/ =3/0 olasılıkları verldğe göre U v P (, P ( v v

15 5 U=+- = v ( P ( P = 8 P P v 3 P 0 0 v ( P = 3 7 P 0 0 Örek: Üç kutu ve çdekler aşağıdak bçmde verlmştr. I. kutu 0 amul 4 ü bozuk II. kutu 6 amul bozuk III. kutu 8 amul 3 ü bozuk Kutularda br rastgele seçlyor ve bu kutuda br amul alııyor. u amulü bozuk olması olasılığı edr? urada k deeylk br ser var: üç kutuda br seçmek seçle kutuda bozuk ya da sağlam amul çekmek /3 I /5 3/5 S (/3.(/5 /3 /3 II /6 5/6 S (/3.(/6 3/360 III 3/8 (/3.(3/8 5/8 S

16 6 Örek: I. ve II. torbadak toları sayısı aşağıdak gbdr. Rastgele çekle br tou, a. S olması b. olması c. M olması d. S veya olması e. S veya veya M olması olasılığı edr? 6 8 S I S II S I S II S a. b. I II veya 5 8 c. M I M II M ( M ( S ( d. S I SII S I II ( S ( M = veya e. S M S M

17 Koşullu (Şartlı Olasılık S örek uzayı çde E herhag br olay olsu. (E>0. E olayıı gerçekleştğ bldkte sora, k bu durumda ye örek uzayı E ye drgemş olur ve bua drgemş örek uzayı da der, olayıı gerçekleşmes olasılığı ya da br başka deyşle E olayı gerçekleşt se ı koşullu olasılığı /E le gösterlr. E E / E E / E PE ( Örek: İk zar brlkte atılıyor; tolam 6 gelmşse zarlarda br gelmes olasılığı edr? E tolam 6,5,,4, 3,3, 4,, 5, zarlarda br (,,(3,,(4,,(5,,(6,,,, E,4, 4, E /36 / E PE ( 5/ 36 ( E' elema says / E E' elema says,3,(,4,(,5,(,6 Souçlar: E / E E E E / da yazılablr.

18 8 Taım : oole eştszlğ,,..., br S örek uzayıda olaylarsa P dr. Örek: r okulu öğrecler %5 matematkte, %5 kmyada ve %0 u hem matematkte hem kmyada başarısızdır. Rassal olarak alıa öğrec Kmyada zayıf se, matematkte de zayıf olması Matematkte zayıf se kmyada da zayıf olması Kmyada yada matematkte zayıf olması olasılıklarıı ayrı ayrı hesalayıız. M=Matematkte zayıf öğrecler K=Kmyada zayıf öğrecler. C M 0.0 M C PC ( C M 0.0 C M PM ( M C M C M C Koşullu Olasılıkta Çarım Kuralı olayıı soucu y ya da olayıı soucu yı etkledğ durumlar da söz kousudur (brbr egellyorsa olmaz. / / /. / 3 / Örek: r kutuda adet arça vardır. uları 4 taes arızalıdır. Kutuda 3 tae arça arka arkaya (yere komada çeklyor. Çekle üç arçaı da sağlam olması olasılığı edr? rc arçaı sağlam olması olasılığı: 8/ rc sağlam kalmak koşuluyla kcs sağlam olması olasılığı 7/

19 9 İlk ks sağlam olmak koşuluyla üçücüsüü de sağlam olma olasılığı 6/0 dur. Çarım teorse göre I II III I II / I III / I II Örek : İçde 40 tae stadarda uygu, 0 tae se stadarda uygu olmaya arça bulua br kutuda a İadel b İadesz örekleme le arça alııyor =. arça bozuk =. arça bozuk gösteryor se ve e olur? a =/5= b =/5 ve /E=9/49 P ( / E 0/ 49 ya burada veya. / >0. / >0 şeklde yazılablr ve burada da /. şeklde de yazılablr. Örek: r fabrkada bulua 0 tae make özellkler aşağıdak gbdr. Marka Tolam Ye Esk 3 Tolam Makelerde br şasa bağlı olarak çekldğde a Make ye olması b Make makesde olma olasılığı c Ye olma olasılığı d Make ye olduğu blyorsa buu makesde olma olasılığı edr? a Y=7/0 b =6/0 c Y=4/0 d /Y=Y/Y=4/7 şeklde hesalaır.

20 0 Örek: I. torbada to çeklyor ve II. torbaya kouyor. II. torbada çekle tou beyaz olması olasılığı edr? : II. torbada çekle tou beyaz gelmes : I. torbada çekle tou beyaz ve II. torbada çekle tou beyaz gelmes C: I. torbada çekle tou syah ve II. torbada çekle tou beyaz gelmes : I. torbada çekle tou beyaz gelmes C : I. torbada çekle tou syah gelmes =+C... ( =.... ( C= C.... (3 C C 0 ve C brbr egelleye olaylar C / C. / C

21 veya dğer br çözüm yolu olayları tümüü taımlamakla mümküdür. : beyaz gelmes :,,3 S : syah gelmes olaylar E I. torbada çekle to II.torbada çekle to olasılığı E E /3./=/6 E /6 (* 3 E 3 /6 (* E 4 /6 (* 3 E 5 S /6 (* 3 E S S /6 6 5 : II. torbada çekle tou beyaz gelmes 6 Örek: de 0 a kadar umaralamış kartlarda k tae örek seçlyor. Tolamı tek sayı olma olasılığıı hesalayıız. İk kart beraber çeklmşse, rc çekl yere komada kc çeklmşse, rc çekl yere kouldukta sora kc çeklmşse, 0 45 mümkü durum vardır. Tolamı tek olması ç br kartı umarası tek se ötek çft olması gerekr. 5 tae tek, 5 tae çft sayı olduğu ç, tolamı tek ola 55 =5 tae sayı kls vardır. P= =90 mümkü durum vardır, 55 =5 tae, lk çft kcs tek 55 =5 tae de lk tek kcs çft ola sayı kls vardır; ya uygu haller sayısı 5+5=50 dr ve P= Çekle tekrar koymak şartıyla arka arkaya çekle kart ç 00=00 değşk durum vardır. c soruda olduğu gb tolamı tek sayı vere kller mktarı 5+5=50 dr ve P= 50 00

22 Örek: a rdı arda çekle (adesz 3 tou M olması olasılığı M M M3 M. M M M3 M M biadel çeklş olursa koşul ortada kalkar, M M M3 M. M M ayes Teorem S örek uzayıı br artsyouu oluştura E,E,...E olaylarıı göz öüe alalım; u olaylar kşer kşer ayrıktır ve hes bleşm S kümese eşttr. Dğer herhag br olay olsu. S E E... E urada E E E E... E E kümeler kşer kşer aralarıda ayrıktır. E E... E Çarım kuramıı uygulayarak E E / E yere koyduğumuzda E / E E / E... E / E Öte yada, E ya göre şartlı olasılığı E E E / E / E E / E... E / E

23 3 E E / E yere koyduğumuzda E E / E E / E / E E / E... E / E elde edlr. ua ayes Teorem der. Taım 4: ayes Teorem Olayı souçları bell ke ede,sebe, kayak bulmak ç kullaıla olasılıktır. maç olayıı olasılığıı bulmak yere bu olayıı meydaa geldğ örek uzayıı alt kümelerde herhag bre at olasılığı hesalamasıdır. Örek uzayı arçalara ayrılmıştır ve olayı bu uzayda taımlamıştır. E E E E E taşıya ayrık olayları olasılıkları; S (örek uzayı ve E >0 özellkler P E / E E / >0 şeklde buluur. / E E

24 4 Örek: r fabrkada üretle mamüller %50 s makesde, %30 u makesda, %0 s de C makesde üretlmektedr. u makelerdek üretmde dak %3 ü, dek %4 ü ve C dek %5 bozuk olduğu blmektedr. a u mamullerde rastgele olarak alıa br taes bozuk olması olasılığıı hesalayıız b Rastgele olarak alıa mamülü bozuk çıktığıı düşüürsek, bu mamülü makesde üretlmş olması olasılığı edr? a r mamülü bozuk olması olayıa X dersek X X / X / C X / C b X / / X X / X / C X / C Örek:r şrket yöetcs kadrosua çalışalarıda br atamasıı yaacaktır. r kşs başvurursa ş elde etme şasıı e kadar olduğuu merak etmektedr., arkadaşı başvurmazsa ş elde etme şasıı 0,75 olduğuu, başvurursa şasıı /3 olduğuu düşüüyor. arkadaşı şe başvurma şasıı /5 olduğuu düşümektedr. u durumda ı yöetc kadrosua atama olasılığıı buluuz. ı ataması= ,583 buluur. Olaylar taımlayarak roblem çözelm: C={ ı şe alıması} D={ şe başvurması} olsu. olasılık 3 3 C / D, C / D, D, P.( D olduğuda stee

25 5 C C D C D D. C / D D. C / D , Örek: r fabrkada 3 ayrı makede üretm yaılmaktadır. I. make II. make katı, II. ve III. makelerde se eşt mktarda üretm yaılmaktadır. I. ve II make üretmlerde 0.0, III. make üretmde se 0.04 lük hatalı ürü elde edlmektedr. u tezgahlarda br güde üretle arçalar tolaarak rassal br seçm yaıldığı zama bu arçaı hatalı olduğu görülürse, buu I. makede üretlmş olma olasılığı edr? : arçaı hatalı olması E :. makede üretlmes E :. makede üretlmes E 3: 3. makede üretlmes, şeklde gösterlrse. P ( E P ( E 4 P ( E3 4 / E E E / / E E / E E / E E y., bozuk arçaı I. makede üretlmş olma olasılığı %40 dır. urada kullaıla E olasılıklarıa deey öces (ror olasılık ve E / olasılığıa se deey sorası (osteror olasılık der. ayes teoremde deey sorası olasılık deey öcek olasılıkta daha geçerldr. Deeyler tekrarlaarak, her br olay ye tekrarda deey sorası olay, deey öces gb kabul edlerek zcrleme olarak gerçek olasılığa yaklaşılır. Parça bozuk se II.makede gelme olasılığı? E / / E E 0.0(/ 4 / E E 0.0(/ 0.0(/ (/ 4

26 6 Örek: I. kutuda II. kutuya br to kouyor. II kutuda to çeklyor. a Çekle to sarı se I.K çekl II.K koa tou kırmızı olma olasılığı edr? I II IK.IIKK to kımızı/ii KÇT sarı=? =IIKÇT sarı =IKÇIIKK to kımızı = IKÇII KK to sarı 7 4 ( P 7 3 ( P 8 5 / ( P 8 6 / ( P ( / ( ( / ( ( / ( / ( P P P P P P P b Çekle to sarı se I. K çekl II. kutuya koa tou sarı olma olasılığı edr? ( / ( ( / ( ( / ( / ( P P P P P P P / ( / ( P P 4K 3S K 5S S

27 7 Örek: Hoda Ford Fat grdğ yarış kazadığı yarış H/kazadı=? 5.7. ağımsızlık: Souca lşk olasılığı dğer olayları soucuda etklemeye ve oları etklemeye olaylar bağımsızdır. r deemede br olayı meydaa gelmes veya gelmemes öbür deemedek olayları olasılığıı etklemedğde veya olarda etklemedğde bu olaylar bağımsız olaylardır. Eğer br olayıı meydaa gelme olasılığı olayıı meydaa gelmesde hçbr etk yamıyor se olayı le olayı bağımsız k olaydır der. r başka deyşle olayıı olasılığı şartı le olasılığıa eştse ya =/ se, le bağımsız k olaydır. /. dr. Yada =/ u eştlk, bağımsız k olayı brlkte meydaa gelme gelmes olasılığıı herbr tek başıa meydaa gelmes olasılıkları çarımıa eşt olduğuu fade eder. Taım : Eğer. se le bağımsız k olaydır. ks halde k olay bağımlıdır. Örek: r ara üç defa atıldığıda eş olasılıklı br souçlar uzayı oluşmakta d S YYY, YYT, YTY, TYY, TTY, TYT, YTT, TTT şağıdak olayları göz öüe alırsak: = lk atış yazı YYY, YYT, YTY, YTT = kc atış yazı YYY, YYT, TYY, TYT C= lk k atış yazı C YYY, YYT

28 8 bağımsız bağımlı bağımlı 4 P ( 8 YYY, YYT C YYY, YYT C YYY, YYT 4 P ( 8 8 C 8 C P ( C 8 P (.. ve 4 4 C P (. C. ve C C P (. C. ve C Örek: ı hedef vurma olasılığı /4, hedef vurma olasılığı /5 se le ateş etmes halde hedef e az br defa vurulması olasılığı edr? Hedefe sabet ya da tarafıda olacaktır. O halde; k olay bağımsız olduğuda. olacağıda. olacaktır Not :, ve C gb üç olay bağımsız se C.. C dr. Not :, ve C gb üç olay kşer kşer bağımsız seler üçüü brde bağımsız olması bekleemez.

29 9 Örek: = rc atış yazı YY,YT = İkc atış yazı YY,TY kşer kşer bağımsız.. C= Yalız br yazı YT,TY acak üçü brde bağımsız değl C 0 P (.. C 8 ağımsızlık kuralları: r olaylar setde ve gb k olay aşağıdak koşullar sağlıyorsa bu olaylar bağımsız olaylardır.. / 3 / Örek: r çft zar atılışıda. zarı ve her k zarı üst yüzler tolamıı 7 gelmes olasılığı : brc gelmes : üst yüzler tolamıı 7 gelmes / 6 / İkde fazla olayı bağımsızlığı söz kousu olursa ayı koşullar geçerldr. adet olay ç br geellemeye gdlrse; öreğ br deeme brbrde bağımsız olarak defa tekrarlaırsa, başarı olasılığı her tekrar ç varsayıldığıa göre a E az br başarı b k başarı c başarı sağlama olasılıkları a : e az br başarı =0 başarıyı gösters aşarı olasılığı, başarısızlık olasılığı q=- dr. Olayları bağımsızlığıda dolayı, hç başarı sağlamama olasılığı 36

30 b bağımsız deemede k tae başarı söz kousu se -k tae de başarısızlık söz kousudur. O halde k başarı olasılıkla ve -k başarısızlık - olasılıkla meydaa gelrke bu olaylar C değşk şeklde ortaya çıkar. O halde k başarıı olasılığı k c tae başarıı olasılığı da. olur. k k k k Örek Lokatada br gru şakalı sa yemek yedkte sora şakalarıı kedler m dye bakmada rastgele aldığıda a hç br ked şakasıı almamış olma olasılığı edr? Ked şakasıı alma olasılığı kş ked şakasıı almama olasılığı kş / kş (-/.kş (/(/ kş ((-/((-/ kş (/ kş ((-/ = ( / lm ( ( - / = e - dr. b e az br ked şakasıı alma olsaılığı / + / + + / = =(/ = S dr çükü, S = =0 /( - (/ dr, veya a şıkkıdak cevada değl bağlatısıı kullaarak - (/e dr.

31 Olasılık Foksyoları Taım : r deey ya da gözlem şasa bağlı soucu br değşke aldığı değer olarak düşüülürse böyle br değşkee rasgele değşke adı verlr. Rasgele br değşke le ou alableceğ değerler smgesel olarak farklı bçmde gösterlr. Değşke X gb büyük harflerle, ou alableceğ değerler se x gb küçük harflerle gösterlr. Rasgele değşkeler keskl veya sürekl olablmektedr Keskl Olasılık Foksyoları Taım : r rasgele değşke yalızca sayılablr sayıda değerler alablyorsa keskl değşkedr. Öreğ ; r galer herhag br ayda satmış olduğu otomobl sayısı r ara üç defa atıldığıda yazı gelme sayısı r ale çocuk sayısı r şrket hesalarıda bulua hata sayısı lgsayardak rskl dosya sayısı Taım : r rasgele değşke belrl br aralıktak bütü değerler alablyorsa sürekldr. Öreğ; r ale yıllık gelr r kmyasal madde üretm artsde krllk oraı r kş boy uzuluğu r şşe sodaı ağırlığı Rasgele br değşke olasılık dağılımı, alableceğ değerlere göre olasılıkları

32 3 Keskl Olasılık Yoğuluk Foksyou X; x,x,...değerler ala keskl br şas değşke se x olasılık yoğuluk foksyou: X x X x,,... x ( 0 dd u foksyo olasılığı herhag br oktadak değer verr. Dğer br adı olasılık yoğuluk foksyoudur. Keskl Olasılık Yoğuluk foksyouu özellkler:: x ( 0 x ( Keskl Olasılık Dağılım Foksyou X, xx... gb sıralı x, x,... değerler alable keskl rasgele değşke olsu. F(x, X dağılım foksyou se bu takdrde f ( x X x F( x F( x dr. Dağılım foksyou F(x ve yoğuluk foksyou f(x br dğerde elde edleblr. f(x blyorsa, F( x X x X x... X xk f ( x F(x blyorsa, f ( x F( x lm F( x h 0 h

33 33 Örek : Tek zar atılışı ç olasılık dağılım ve yoğuluk foksyolarıı buluuz. x f(x /6 /6 /6 /6 /6 /6 F(x /6 /6 3/6 4/6 5/6 6/6 Örek: çft zar atılışıda üst yüzler arasıdak mutlak fark x değşke olsu. X (x 6/36 0/36 8/36 6/36 4/36 /36 F(x 6/36 6/36 4/36 30/36 34/36 36/36 f(x a 0/36 8/36 6/36 4/36 / x Olasılık yoğuluk foksyou F(x 36/36 34/36 30/36 4/36 6/36 a 6/ x Olasılık Dağılım Foksyou

34 34 ( X f ( X 8 36 yada F( X F( X ( X 4 f ( X f ( X 3 f ( X yada F( X 4 F( X X X 4 f (4 4 / 36 4 F(4 34 / Sürekl Olasılık Foksyoları Sürekl Olasılık Yoğuluk Foksyou azı uygulamalarda rasgele değşke br aralıkta ya da brde çok aralıkta her değer alablr. Sürekl rasgele değşkelere karşılık getrle olasılıklar roblem, keskl rasgele değşkelerde olduğu gb düşüülemez. Sürekl rasgele değşke ç taımlaa olasılık yoğuluk foksyou, keskl şas değşkelerdek olasılık foksyouu oyadığı rolü bezer oyar. X, (-, aralığıda taımlaa sürekl rasgele değşke olsu. şağıdak koşulları sağlaya f(x foksyoua X rasgele değşke olasılık yoğuluk foksyou der.. f ( x 0, x. f ( x dx (f(x eğrs altıda kala ve x-ekse le sıırlaa ala e eşttr.

35 35 x c le d arasıda buluma olasılığı; f(x c d x c X d f ( x dx f ( x eğrs, x-ekse ve x=c, x=d doğruları le sıırlaa aladır. Örek: x sürekl br şas değşke olsu ve buu yoğuluk foksyou şu şeklde taımlamış olsu: x 0 x f( x 0 dh..5.5 x ve.5 arasıda buluma olasılığı edr?.5 ( x.5 f ( x dx xdx x ( x f ( x dx 0 Sürekl Olasılık Dağılım Foksyou Taım aralığı reel sayılar ekse, değşm aralığı [0,] ola ve F x x x x ( eştlğ sağlaya foksyoa olasılık dağılım foksyou der. Dağılım foksyou arta(azalmaya br foksyodur. X,f(x olasılık yoğuluk foksyoua sah sürekl rasgele değşke olsu. X dağılım foksyou x F( x X x f ( s ds olarak taımlaır.

36 36 F(x F(x x x x x x x X sürekl br şas değşke se, F(x foksyou da bütü x değerler ç sürekldr. ve a a F(x azalmaya br foksyodur. Ya x x se F( x F( x dr. b lm F( x 0 ve lm F( x (Geellkle F(-=0 ve F(+= x yazılır. x b olmak üzere herhag a ve b gerçel sayıları ç x a le b arasıda buluma olasılığı; b a X b F( b F( a f ( x dx a X,f(x olasılık yoğuluk foksyoua sah sürekl rasgele değşke olsu. X dağılım foksyou F( x X x f ( s ds olarak taımlaır. F(x x dr. 0 x a X b F( b F( a dr.

37 37 Sürekl X rasgele değşke olasılık yoğuluk foksyou f ve dağılım foksyou F olsu. u takdrde bütü x değerlerde yoğuluk foksyouda dağılım foksyoua geçş : x F( x f ( x dx Dağılım foksyouda yoğuluk foksyoua geçş: d f ( x ( F( x dx Örek: Yukarıda verle örek ç yoğuluk foksyouda dağılım foksyoua ve dağılım foksyouda yoğuluk foksyoua geçşler gösterz. d dx d dx 4 4 ( F( x ( x. x x f ( x x x ( ( 0 ( f x dx xdx x x F x Örek: r öcek örekte yer ala x sürekl değşkee lşk dağılım foksyou aşağıda verlmştr. x 0 x F( x 4 0 dh. x ve.5 arasıda buluma olasılığı edr? 5 X.5 F(.5 F( (.5 ( Görüldüğü gb yoğuluk foksyou ve dağılım foksyou souçları lgl olasılık ç her zama ayı soucu verr.

38 38 Sürekl X rasgele değşke olasılık yoğuluk foksyou f(x ve dağılım foksyou F(x olsu. u takdrde bütü x değerlerde yoğuluk foksyouda dağılım foksyoua geçş f(x blyorsa x F( x f ( x dx Dağılım foksyouda yoğuluk foksyoua geçş: F(X blyorsa d f ( x ( F( x dx şeklde gerçekleştrleblr. Dağılış fosyou kullaılarak olasılık hesalama se aşağıdak gb yaılır. ve a b olmak üzere herhag a ve b gerçel sayıları ç a X b F( b F( a dr. X, xx... gb sıralı x, x,... değerler alable keskl rasgele değşke olsu. F(x, X dağılım foksyou se bu takdrde f ( x F( x ve f ( x X x F( x F( x dr eklee Değer (Exected Value rtmetk ortalamaı olasılık foksyou üzerdek değerdr. x şas değşke, olasılık dağılışı olsu. x, beklee değer x X keskl şas değşke beklee değer; x x E x. şeklde taımlaır. x x sürekl şas değşke beklee değer; E( x x. f ( x dx şeklde taımlaır. R E olsu x br değşke

39 39 Örek: r tek zar atılışıda x değşke zarı üst yüzüdek sayıları gösterrse, x x /6 /6 /6 /6 /6 /6 x x. /6 /6 3/6 4/6 5/6 6/6 x x E x. 3, 5 şeklde elde edlr. 6 Yorumu: Değşke lm x durumuda alacağı değer gösterr. Örek: ell br oyu tekrar tekrar oyadığı zama olaaklı sayıda meydaa geleblecek souçları olasılıkları olarak souçlara ödeecek tutarlar,,..., olsu ve karşılıklı G,...,, G G se bu oyuu beklee değer veya oyuu sayısı defa tekrarladığıda beklee E. G G. G.... G G değer;. G dr. öyle br oyua örek olması açısıda; kazama şası 3/4 ola br oyuda, oyucu kazadığıda lra alır ve kaybettğde 3 lra verrse, Oyuu beklee değer; G. G. G E 3 4 lra 4 = Gerçektede her oyucu açısıda adl br bahs veya beklee değer 0 olarak taımlaablr. eklee değer özellkler: c sabt sayı ve x şas değşke se; E c. x c. Ex Ec c E c x c. x c. Ex c. Ex. =c c. Ex

40 40 v Eğer x ve j x j brbrde bağımsız se x Ex E ( x. x E. j dr. j 5.0. Varyas X şas değşke olasılık dağılışı (x ve X keskl br değşke se, X değşke varyası Var(x = E[(x-µ ] = E[{x E(x} ] = E(x [E(x] urada E(x = Σ x x ve E(x = Σ x x dr. x sürekl değşke se x varyası var( ( ( ( ( x x f x dx E x x f x dx R var( x E( x [ E( x] Örek : r tek zar atılışıda X değşke zarı üst yüzüdek sayıları gösters. X varyası aşağıdak gb buluur. x x x ( /6 /6 /6 /6 /6 /6 x ( x /6 4/6 9/6 6/6 5/6 36/6 Ex ( Var( x Varyası Özellkler : c : br sabt (x ve y bağımsız se Stadart Sama : Varyası kareköküdür.