BİR STURM-LIOUVILLE TİPİNDE PROBLEMİN ÇÖZÜM FONKSİYONLARININ ASİMPTOTİĞİ VE GREEN FONKSİYONU

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "BİR STURM-LIOUVILLE TİPİNDE PROBLEMİN ÇÖZÜM FONKSİYONLARININ ASİMPTOTİĞİ VE GREEN FONKSİYONU"

Transkript

1 T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BİR STURM-LIOUVILLE TİPİNDE PROBLEMİN ÇÖZÜM FONKSİYONLARININ ASİMPTOTİĞİ VE GREEN FONKSİYONU Oka KUZU YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI KIRŞEHİR

2 T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BİR STURM-LIOUVILLE TİPİNDE PROBLEMİN ÇÖZÜM FONKSİYONLARININ ASİMPTOTİĞİ VE GREEN FONKSİYONU Oka KUZU YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI DANIŞMAN: Doç. Dr. Mahir KADAKAL KIRŞEHİR

3 ONAY Fe Bilimleri Etitüü Müdürlüğü e Bu çalışma jürimiz tarafıda Matematik Aabilim Dalıda YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir. Başka Doç. Dr. Mahir KADAKAL Üye Yrd. Doç. Dr. Şerife BÜYÜKKÖSE Üye Yrd. Doç. Dr. Muharrem AKTÜMEN Oay Yukarıdaki imzaları, adı geçe öğretim üyelerie ait olduğuu oaylarım. / / Etitü Müdürü Doç. Dr. Mutafa KURT i

4 ÖZET Bu çalışmada, ıır şartlarıda özdeğer parametrei buludura Sturm- Liouville problemi icelemiştir. Beş bölümde oluşa bu çalışmaı Giriş bölümüde, Sturm-Liouville deklemi, matematikel fizik, Sturm ad Liouville ile ilgili bilgiler verilmiştir. Literatür özeti bölümüde özdeğer parametrei içere lieer diferaiyel deklemler içi ıır değer problemlerii geel tarihie ve diğer çalışmalarda elde edilmiş ouçları kıa bir özetie değiilmiştir. Geel Bilgiler bölümüde tez koumuzla ilgili ola geel bilgilere ve taımlara yer verilmiştir. Bulgular ve Tartışma bölümüde Sturm-Liouville problemii özdeğerleri icelemiş, aimptotik ifadeler ve Gree Fokiyou bulumuştur. Çalışmamızı oucu bölümü ola Souç ve Öeriler bölümüde ie araştırmamızda elde edile ouçlara ve bu ouçları öemie yer verilmiştir. Aahtar Kelimeler: Sıır değer problemi, Sturm-Liouville teorii, diferaiyel operatör, özdeğer, özfokiyo, aimptotik davraış, Gree Fokiyou ii

5 ABSTRACT I thi tudy we have eamied Sturm-Liouville Problem which ha eigevalue parameter i the boudary coditio. Thi tudy ha arraged i 5 chapter, i The Itroductio chapter, iformatio related to Sturm-Liouville equatio, mathematical phyic, Sturm ad Liouville ha bee give. I The Literatur chapter, we have metioed the geeral hitory of boudary value problem for liear differetial equatio which ha eigevalue parameter ad a brief ummary of the reult obtaied from other tudie. I The Geeral Kowledge chapter, we have metioed the geeral kowledge ad defiitio about the ubject of our thei. I Fidig ad Dicuio chapter, we have eamied eigevalue of Sturm-Liouville Problem ad obtaied aymptotic formula ad Gree fuctio. I Cocluio ad Recommedatio chapter, we have metioed poible olutio obtaied from the tudy ad importat of thee olutio. Key Word: Boudary value problem, Sturm-Liouville Theory, Differetial operator, eigevalue, eigefuctio, aymptotic behavior, Gree Fuctio. iii

6 TEŞEKKÜR Yükek lia öğreimim boyuca olduğu gibi tez çalışmamı da her aşamaıda her türlü deteğii ve emeğii eirgemeye; kıymetli zamaıı, fikirlerii ve bilgilerii beimle paylaşa; göterdiği ouz alayış ve ilgiyle tezimi ortaya çıkmaıa yardımcı ola aygıdeğer daışma hocam Doç. Dr. Mahir KADAKAL a miettarlığımı uarım. Yükek lia öğreimim boyuca maddi ve maevi deteklerii bede hiçbir zama eirgemeye bölümümüzü değerli hocalarıa şükralarımı uarım. Öğreim hayatım boyuca olduğu gibi bu çalışma döemimde de hep yaımda ola kıymetli ae ve babama, bei bu tarz çalışmalara teşvik ede değerli kardeşlerime ve ouz deteklerii bede hiçbir zama eirgemeye evgili eşime teşekkür ederim. iv

7 İÇİNDEKİLER DİZİNİ ONAY... İ ÖZET... İİ ABSTRACT... İİİ TEŞEKKÜR... İV İÇİNDEKİLER DİZİNİ...V SİMGELER VE KISALTMALAR... Vİ. GİRİŞ.... LİTERATÜR ÖZETİ GENEL BİLGİLER Lieer Operatörler Lieer Diferaiyel İfade ve Sıır Şartları Diferaiyel Operatörleri Özdeğerleri ve Özfokiyoları Metrik Uzaylar, Normlu Uzaylar ve Baach Uzayları İç Çarpım Uzayları ve Hilbert Uzayları Hilbert Uzayıda Simetrik Operatörler L a, b Uzayı ve Sobolev Uzayı Mutlak ve Düzgü Yakıaklık SDP i Çözümüü Varlığı, Tekliği ve Parametreye Göre Tamlık Teoremi Aimptotik Davraışlar Wrokia Determiatı Sturm-Liouville Problemleri İkici Mertebede Lieer Diferaiyel Deklemler İçi Paramatreleri Değişimi Yötemi 3.4. Gree Fokiyou MATERYAL VE METOD BULGULAR VE TARTIŞMA Sıır Değer Problemii İfadei Sıır Değer Problemi İle Ayı Özdeğere Sahip Ola Lieer Operatörü Kurulmaı SDP ile İlgili Yardımcı BDP lerii Çözümleri ve Özdeğer Parametreie Göre Aalitikliği Temel Çözümler ve Karakteritik Fokiyo ve 5.6. ve Çözüm Fokiyolarıı Aimptotiği Fokiyoları Wrokiaıı Aimptotiği Gree Fokiyouu Kurulmaı SONUÇ VE ÖNERİLER KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ v

8 SİMGELER VE KISALTMALAR E E, K,, : Lieer veya Vektör uzayı X X, d : Metrik uzay E, : Lieer ormlu uzay y, : ve y elemalarıı iç çarpımı E E,, : İç çarpım uzayı, L a b : Karei itegralleebile fokiyolar uzayı W f, g : Wrokia determiatı q H : Özdeğer : Potaiyel fokiyou : Hilbert Uzayı Ca, b :,, ab aralığıda taımlı ve ürekli ola fokiyoları lieer uzayı W : Sobolev Uzayı O, o, SDP BDP : Aimptotik davraışları tarif etmek içi kullaıla imgeler : Sıır Değer Problemi : Başlagıç Değer Problemi vi

9 . GİRİŞ Iıı bir ee üzeride, belli bir koumda ve zamada, aıl dağılacağıı taımlaya parçalı diferaiyel dekleme ıı deklemi deir. Kartezye koordiat itemide, (, y, z ) koumu ve t zamaı götermek üzere, ıı deklemii geel ifadei t y z u u u u k şeklidedir. Burada k bir abit ve u u(, y, z, t) dir. Iı deklemi bir boyutta ie u u k t şeklidedir. Fourier yötemi; matematik fiziği birçok problemlerii çözümüde kullaıla e etkili yötemlerde biridir. Değişkelerie ayırma yötemi olarak da bilie bu yötemi uygulamaı oucuda, birçok problem adi diferaiyel deklemler içi ıır değer problemie döüştürülür. Acak, Fourier yötemii ealadırılmaı içi elde edile ıır değer problemii, özfokiyolarıı baz oluşturmaı veya hiç olmaza, özfokiyoları ve bu fokiyolara bağlamış fokiyoları tam olmaı göterilmelidir. Bu ie, Lieer Diferaiyel operatörleri pektral teoriii başlıca kouudur. Solu uzuluğuda, ıı geçirici ice bir telde ıı iletimi problemii ele alalım. Koordiat ekeii öyle eçelim ki, bu tel api ekeii, aralığıda olu. Zamaı ie ordiat ekei ile göterelim. Bu halde teli her oktaıda ki u ııı e ve t zamaıa bağlı olacaktır. Yai u u, t t şeklidedir. u, t u t u, t u u, f ( )

10 Matematik fizikte biliiyor ki, u, t fokiyou u u t (.) t,, deklemii ağlar. Burada, teli yapıldığı maddeye uygu fizikel abittir. ( ; K -dahili ıı iletme katayıı, - yoğuluk, c - ıı tutumudur.) c K Başlagıç aıda teli her oktaıdaki ııı değeri başlagıç şartıı almış oluruz. (.) deklemii f ile göterilire, u, f, (.) u, t, u, t, t (.3) çözümüü bulacağız. Fourier yötemie göre (.) deklemii herhagi çözümüü, X T t u t şeklide arayalım. (.4) ü (.) de yerie yazarak, olduğuda elde edilir. (.5) deklemii (.4) u XT, u TX, u TX t XT X T (.5) X T (.6) X T şeklide yazarak değişkelerie ayırmış oluruz. Sol taraf adece değişkeie, ağ taraf ie adece t değişkeie bağlı olduğuda, (.6) eşitliğii her iki tarafı e ve t ye bağlı olmaya herhagi abitie eşittir. Bu abite, ayırma abiti deir. Dolayııyla (.6) eşitliğii şeklide yazabiliriz. Böylece X T X T X ve Tt fokiyoları içi X X T T (.7) şeklide iki adi diferaiyel deklem elde edilmiş olur. (.3) ıır şartları ie (.4) deklemide yararlaılarak u, t X T t X T t X

11 ve ( Tt olura u, t çözümüe götürür.) u, t X T t X T t X şeklie döüşür. Böylece X fokiyou içi X X X (.8) X (.9) ıır değer problemi elde edilmiş olur. Şimdi elde edile bu ıır değer problemii çözelim. Kolaylık olmaı içi şeklide yazılır. ile göterelim. O halde (.8) deklemi X X (.) olduğuda bu deklemi geel çözümü X k k şeklidedir. Buu (.9) ıır şartlarıda yerie yazarak k k, yai u, t trivial (aşikar) çözümü elde edildiğide hali icelemelidir. O halde (.) deklemii geel çözümü; co X k k i (.) şeklide olur. Bu çözümü (.9) ıır şartlarıda yerie yazarak buluur. Bezer şekilde X k co k i k X k co k i co k i k i k olduğuda (.) deklemide X olur. olduğu görülür. Bu ie bizi u, t aşikar çözüme götürür. O halde k, i durumu icelemelidir. X ike i ifadeide,,,... elde edilir. olduğuda yazılabilir. Bu ayılara (.8), (.9) ıır değer problemii özdeğerleri deir. Bu değerlere uygu gele çözümler ie X i,,,... fokiyoları ve buları keyfi abitle çarpımlarıdır. Bu fokiyolara ie (.8), (.9) ıır değer problemlerii özfokiyoları deir. (.7) deklemii çözümleri ie 3

12 T t e t şeklide buluur. O halde U, t e i t fokiyoları (.) deklemii ve (.3) ıır şartlarıı ağlar. Bu durumda (.) başlagıç şartı aşağıdaki şekilde karşımıza çıkar. O halde f f i (.), (.) şeklide değile (.), (.3) problemii (.) şeklide çözümü bulumaz. (.) deklemi ve (.3) ıır şartları homoje olduklarıda m m u, t C u, t C e i şeklideki lieer birleşimlerde (.) deklemii ve (.3) ıır şartlarıı ağlar. (.) başlagıç şartıı ağlamaı içi f fokiyou m f i C (.3) şeklide olmalıdır. (.3) şartı ie (.) ve (.3) problemi içi hem fizikel, hem de matematikel açıda çok ağır ola ıırlayıcı şarttır. Buu arada kaldırabilmek içi f C X eriie açıldığıı kabul edelim. Bu halde belli şartlar altıda t u, t C u, t C e i fokiyou (.), (.3) problemii çözümü oluyor. Görüldüğü gibi birçok matematikel fizik problemii çözümü uygu özdeğer problemii özdeğer ve özfokiyoları kullaılarak işa edilebilir. 4

13 . LİTERATÜR ÖZETİ Adi diferaiyel deklemler içi ıır değer problemleri teorii ilk olarak 9. yüzyılı ortalarıda İveçli matematikçi Jacque Sturm (83-855) ve Fraız matematikçi Joeph Liouville (89-88) i çalışmalarıa dayamaktadır. Jacque Fraçoi Sturm Charle (9 Eylül 83 5 Aralık 855) Sturm, 83 yılıda İviçre i Ceevre ketide düyaya geldi. Ceevre akademiide okuduğu yıllarda matematik öğretmei ola babaıı kaybetti. Buu üzerie aileii deteklemek içi zegi çocuklara özel der vermeye başladı. Akademi yıllarıda e iyi arkadaşı ola Daiel Colloda ile 84 yılıda Pari Akademii ödülüü kazamak içi uyu ıkıştırılmaı üzeride çalışma yaptılar. Acak bu ödülü kazaamadılar. 85 yılıda Fourier i taviyeleri üzerie düzeltmeler yapalar da ödülü yie kazaamadılar. Ertei yıl Sturm ve Collada, Fourier içi aita olarak çalışmaya başladılar. Bu üre içide uyu ıkıştırılmaı çalışmalarıa devam ettiler ve ödülü kazadılar. Sturm, 89 yılıda verile limit değerleri araıda ümerik deklemleri reel köklerii ayııı belirlemede çalışmalar yaptı. Poio ıı teoriiyle ilişkiledirerek diferaiyel deklemlere çok büyük katkı ağladı. Bu çalışma Liouville form ile birleştirilerek Sturm-Liouville teoremie döüştü. Ayrıca Sturm u Souz Geometriye, Projektif Geometriye ve Diferaiyel Geometriye katkıları oldu. Joeph Liouville (4 Mart 89 8 Eylül 88) Liouville, 89 yılıda Fraa da Sait Omer ketide düyaya geldi. 833 yılıda Ecole Polytechique e profeör olarak atadı. 836 yılıda Joural de Mathematique Pure et Appliquee adlı dergiyi kurdu. 839 yılıda ie, hem College de Sorboe hem de College de Frace a profeör olarak atadı. 5

14 Liouville, matematiği birçok dalıda eer verdi. Özellikle ıır değer problemleri ve ikici mertebede adi diferaiyel deklemler üzerie çok ayıda çalışmaları vardır. Sayılar kuramı üzeride yaptığı yükek düzeydeki çalışmaları ilgiçtir. İki yüzü üzeride yayımlamış makalei vardır. Aalizde Liouville teoremi ülüdür. Liouville, Galoi öldükte ora ou ölmek üzere hataede kaleme aldığı ülü Galoi kuramıı ilk alaya ve bu ülü çalışmayı yayımlaya biri olduğu içi de çok değerlidir. Tüm düzlemde aalitik fokiyo ıırlı ie abittir. diye bilie Liouville teoremi, aalizde birçok teoremi ipatıda kullaılır. Adi diferaiyel deklemler içi ıır değer problemii geel hali ( y, ) y p (, ) y... p (, ) y (.) ( ) ( ) K K (.) V ( y, ) a y b y, j,,..., j jk jk K şeklide yazılabilir. Burada p, p, p cot,,..., ve p, a, b fokiyoları ie ı poliomlarıdır. (.), (.) tipide m jk jk problemleri araştırılmaı G.D. Birkhoff u [3] ve [4] çalışmalarıyla başlamıştır. Birkhoff u bu çalışmalarıda özdeğer parametreie bağlı lieer diferaiyel operatörler içi temel çözüm itemii oluştura çözümleri aimptotik davraışları icelemiş ve bazı aimptotik eşitlikler bulumuştur. Ayrıca Birkhoff u bu çalışmalarıda adi diferaiyel operatörler içi regüler ıır şartları kavramı taımlamış ve uygu ıır değer problemii kök fokiyolarıı (yai özfokiyolarıı) tamlığı hakkıda teorem ipatlamıştır. Bu tip problemler ilerleye yıllarda, J.D.Tamarki i [] çalışmaıda araştırılmıştır, (.) deklemii temel çözüm itemii oluştura fokiyoları aimptotik davraışları icelemiş, regüler ve güçlü regüler ıır değer problemi kavramı taımlamıştır. Güçlü regüler ıır değer problemii özdeğerleri içi aimptotik formüller bulumuştur. Regüler problemler içi ie Gree fokiyou değerledirilmiş ve kök fokiyoları üzerie açılım teoremleri ipatlamıştır. Daha 6

15 oraki yıllarda bu ve bezer problemler birçok matematikçi tarafıda yoğu şekilde araştırılmıştır. So yıllarda adi diferaiyel operatörler teorii ile ilgili farklı problemler de yoğu bir biçimde icelemiş ve adece deklemide değil, ayı zamada ıır şartlarıda da özdeğer parametrei buludura Sturm-Liouville tipide problemler özel ilgi çekmeye başlamıştır. Bu kouda çok ayıda makale ve kitaplar yazılmıştır. Bu koudaki öemli çalışmalar hakkıda [7], [8], [9], [4], [5], [7], [8], [], [5], [8], [3] kayaklarıda yeteri kadar bilgi verilmiştir. İkici mertebede adi diferaiyel deklemler içi bazı kedie eşleik ıır değer problemleri [], [], [], [], [9], [], [7], [9] çalışmalarıda icelemiştir. Öreği; J. Walter ı [7] çalışmaıda pu qu u, a, a (.3) r u a ua u a ua (.4) u a ua u a ua (.5) biçimide Sturm-Liouville problemi içi yei bir ölçümü taımlamış (problemi katayı fokiyoları ola uygu p ve r fokiyolarıda bağımlı ola ölçüm) ve L a, b ; Hilbert uzayıda (.3)-(.5) problemie uygu A: L a, b ; L a, b ; operatörü taımlayarak (.3)-(.5) problemii operatör-teorik yorumlamaıı vermiştir. Daha ora A operatörüü kedie eşleikliğii ipatlayarak, kedie eşleik operatörleri fokiyoel aalizide bilie özellikleride yararlaarak açılım teoremi ipatlamıştır. Scheider i [] çalışmaıda ie pu qu ru ua u b ub u b ub ıır şartlarıı adece bir taeide özdeğer parametrei içere uygu problem içi S-hermitye ıır değer problemleri yötemiyle araştırılabileceğii götermiş ve özfokiyolar itemi üzerie açılımı düzgü ve mutlak yakıaklığı içi yeter şartlar bulmuştur. 7

16 Fulto u [8] çalışmaıda, : u qu u cou a iua u b ub u b ub şeklide bir problem ele almış ve problemde adece fokiyoel aalizi yötemlerii değil, Titcmarh ı [5] çalışmaıı klaik yötemleride de faydalaarak özdeğer parametreii ıır şartlarıı adece bir taeide buluduğu durum içi çalışmalar yapmıştır. Çalışmalarıda uygu problem içi özdeğer ve özfokiyoları aimptotiğii bulmuş ve farklı açılım teoremleri ipatlamıştır. Ruakovkiy i [9] çalışmaıda, ıır şartları poliom biçimide özdeğer parametrei içere problemleri operatör-teorik yorumuu vermiştir. Kerimov ve Mamedov u [] çalışmaıda problemie uygu, u q u u (.6) u u (.7) u u (.8) A B C biçimide operatörler demetii kurarak (.6)-(.8) problemie farklı bir yaklaşımla operatör-teorik yorum getirmişlerdir. Bu çalışmada özdeğer ve özfokiyoları aimptotik davraışları icelemiş ve ayrıca özfokiyoları ıfır yerleri hakkıda klaik orulara bezer ouçlar bulmuşlardır. Tez çalışmamızda ie ıır şartlarıda özdeğer parametrei buludura Sturm- Liouville tipideki bir problemii özdeğerleri ve özfokiyoları icelemiştir. 8

17 3. GENEL BİLGİLER Bu bölümde tez çalışmamızda yararladığımız temel taım, kavram, teorem ve ouçlar hakkıda kıa ve öz bilgilere yer verilmiştir. 3.. Lieer Operatörler E kümei ve bu kümei elemaları araıda aşağıdaki şartları ağlaya işlemi : E E şeklide taımlaı;. y y (Değişme özelliği). y z y z (Birleşme özelliği) 3. " " ile göterile ve E içi şartıı ağlaya bir tek E elemaı mevcuttur. 4. Her E içi ile göterile ve şartıı ağlaya bir tek E elemaı mevcuttur. Yai her E içi y olacak şekilde bir tek y E vardır. Bu durumda y elemaı ile göterilir. Ayrıca bir K cimi (geel olarak K veya olarak düşüülür, ayı cimi olarak da adladırılır) içi K ile E i elemaları araıda ile göterile :K E E işlemi taımlaı ve bu işlem içi aşağıdaki özellikler ağlaı; (, K ve E içi) y y ( K cimii birim elemaı) Bu şartları (akiyomları) ağlaya E E, K,, kümei K cimi üzeride lieer veya vektör uzay olarak adladırılır. Kıaca E lieer uzaydır deir. E lieer uzayıı herhagi D alt kümeii elemaları E lieer uzayıda taımlı ve işlemlerie göre bir lieer uzay oluşturuyora, D ye E lieer uzayıı lieer alt uzayı deir. E lieer uzayı, bu uzayı bir D lieer alt uzayı ve bir A: D E döüşümü verili. Eğer her, y D ve her K içi, A y A Ay A A 9

18 şartları ağlaıyora, A döüşümü lieer operatör olarak adladırılır. D ye A lieer operatörüü taım bölgei deir [7]. 3.. Lieer Diferaiyel İfade ve Sıır Şartları p ( ) : ( i,,,..., ), ürekli fokiyolar olmak üzere i ( y) : p ( ) y p ( ) y... p ( ) y, ( a, b) ( ) ( ) biçimide verile bir ifadeye mertebede lieer diferaiyel ifade deir. Geel olarak her içi p ( ) olduğu kabul edilir. U( y) : y( a) y( a)... a y ( a)+ y( b) y( b)... y ( b) ( ) ( ) biçimideki ifadeye ie ıır değer ifadei deir. U ( y), i,,..., m ifadeleri ıır değer ifadeleri olduğuda U ( y), i,,..., m biçimideki eşitlikler ıır şartları olarak adladırılır. Ca, b ile, uzayı göterilir. Ayrıca ( ) lieer uzayı ie C, i i ab, aralığıda taımlı ve ürekli ola fokiyoları lieer ( ),,,...,, f C a b f f f C a b a b biçimide göterilir. Ca b L : C a, b, ( ) D( L) D y C a, b y C a, b, U ( y), i,,..., m L( y) ( y) p ( ) y p ( ) y... p ( ) y ( ) ( ) eşitlikleri ile taımlaa L lieer operatörüe lieer diferaiyel operatör veya ( y ) diferaiyel ifadei ile U ( y), i,,..., m ıır şartlarıı ürettiği lieer diferaiyel operatör deir [7]. i i 3.3. Diferaiyel Operatörleri Özdeğerleri ve Özfokiyoları E lieer uzayıda taım bölgei D A ola A: E E lieer operatörü verili. Eğer herhagi ve herhagi uh, u içi Au u eşitliği ağlaıra, ayııa A operatörüü özdeğeri, uh, u elamaıa ie özdeğerie uygu özelemeti (özfokiyou) deir [7].

19 3.4. Metrik Uzaylar, Normlu Uzaylar ve Baach Uzayları X kümei ve d : X X,, y d, y özellikler ağlaıra X X, d X d d. döüşümü içi aşağıdaki uzayı metrik uzay olarak adladırılır. d, y, d, y y, y X d, y d y,, y X. d, y d, z d z, y, y, z X 3. X, d metrik uzayıda bir ie,,, dizii olacak biçimde dizii ve bir oktaı verili. Eğer oktaıa yakııyor deir. dizii içi eğer X mevcuta diziie yakıak dizi deir Taım: X X, d metrik uzayı ve bu uzayda Eğer d, m ie bu durumda m, Taım: X X, d uzaya Tam Metrik Uzay deir [8]. dizii verili. dizii Cauchy dizii olarak adladırılır. metrik uzayıda her Cauchy dizii yakıak ie bu Taım: E lieer uzayı veya cimi üzeride ve : E döüşümü içi aşağıdaki şartları ağladığıı kabul edelim:. E içi ve. E ve içi 3., y E içi y y E Bu durumda E lieer uzayıda bir orm taımlamıştır deir. e elemaıı ormu, üzeride orm taımlamış E lieer uzayıa lieer ormlu uzay deir ve E, şeklide göterilir. Lieer ormlu uzayda, d y y eşitliği bir metrik taımlar. Bu edele her ormlu uzay ayı zamada bir metrik uzay olarak kabul edilir. Eğer lieer ormlu uzay tam ie (lieer ormlu uzay d, y y metriğie göre metrik uzay olarak kabul edildiği içi metrik

20 uzaylardaki bütü kavramlar lieer ormlu uzaylar içi de taımlamış olur.) bu uzay Baach Uzayı olarak adladırılır [8] İç Çarpım Uzayları ve Hilbert Uzayları Komplek ayılar cimi üzeride bir E lieer uzayı verili. Bu uzayda her, y E elema çiftie y, ile göterile bir tek komplek ayı karşılık gelmişe ve de bu durumda her, y, z E ve her komplek ayıı içi., y y,., y, y 3.,,, 4., y z, y, z şartları ağlaıra, E de bir iç çarpım taımlamıştır. y, ayııa ve y elemalarıı iç çarpımı deir. E E,, ie iç çarpım uzayı olarak adladırılır. E E,, iç çarpım uzayıda, eşitliği ile bir orm taımlar. Bu edele her iç çarpım uzayı bir ormlu uzay, dolayııyla bir metrik uzay olarak kabul edilir. Eğer E iç çarpım uzayı tam ve de ouz boyutlu ie (yai olu boyutlu değile) Hilbert uzayı olarak adladırılır [8] Hilbert Uzayıda Simetrik Operatörler H Hilbert uzayı ve A: D A H H lieer uzayı verili. eşitliği her, y D A A, y, Ay H içi ağlaıyora A operatörüe imetrik operatör deir. Simetrik operatörleri bütü özdeğerleri reel ve farklı özdeğerlere uygu özfokiyoları ortogoaldır [] L a,b Uzayı ve Sobolev Uzayı ab, aralığıda taımlı ve Lebegue alamıda ölçülebilir ola f( ) H fokiyou içi f( ) fokiyou bu aralıkta Lebegue alamıda

21 itegralleebilire f( ) fokiyoua ab, aralığıda karei itegralleebilir fokiyo deir. Karei itegralleebilir fokiyoları lieer uzayıda b f, g : f ( ) g( ) d a ile göterile bu formül bir iç çarpım taımlar. Bu şekilde taımlaa iç çarpım uzayıı bir Hilbert uzayı olduğu bilimektedir. Bu uzay L, a b ile göterilir. ab, aralığı olu olduğu durumda L a b de ola her bir fokiyou ab,, aralığıda Lebegue alamıda itegralleebilir olacağı açıktır [7]. ve Taım: ab, aralığıda taımlı ve lokal itegralleebilir ola u v fokiyoları verili. Eğer ouz mertebede diferaiyelleebilir ve, şartıı ağlaya her Supp a b eşitliği ağlaıyora b a geelleştirilmiş türevi deir. ile b a fokiyou içi u d v d v fokiyou ab, aralığı q reel ayıı ve u fokiyouu mertebede m m tamayıı verildiğide W a, b ab, aralığıda Lebeque alamıda ölçülebilir ve geelleştirilmiş türevleri bulua ve her k,,..., m içi fokiyoları lieer uzayıı götereceğiz. Bu uzayda m k u, v u, v k m W a, b L a, b k q m u, u,..., u k u L a b ola formülü bir iç çarpım taımlıyor. Bu uzaylara Sobolev uzayları deir. Bu uzayları Hilbert uzayları olduğu bilimektedir. [6], 3.8. Mutlak ve Düzgü Yakıaklık a a, a,..., a olmak üzere k k k k a dizii verilmiş olu. a a... a... a a, a,..., a k k k k k k k k 3

22 ifadeie de eri deir. S... k a a a ya erii kımi toplamı ve S k k diziie ie erii kımı toplamlar dizii deir ( k,,... ) S kımi toplamlar dizii a,,..., k a a a ye yakıak ie a k k erii a ya yakıaktır deir ve ak a yazılır. k k S ırakak ie eriye ırakak deir (Burada a k imgeii yerie göre eriyi, yerie göre ie erii toplamıı k göterdiğie dikkat ediiz) [] Taım: de a k erii verilmiş olu. Eğer k a k reel erii k! yakıak ie a k eriie mutlak yakıak deir []. k Taım: : ayıı verilmiş olu. Bütü ve f S olmak üzere k k k içi S de k f f f fokiyo dizii ve olacak şekilde, adece a bağlı fakat e bağlı olmaya bir k ayıı vara S de düzgü yakıaktır deir []. k Teorem (Diziler içi Cauchy Kriteri) : fk : S olmak üzere f dizii ve verilmiş olu. f yeter şart k p k içi S de k olacak şekilde bir k i olmaıdır []. İpat: k k p k k f, ı düzgü yakıak olmaı içi gerek ve f f (3.8.) f dizii S de f ye düzgü yakıak ve verilmiş olu. Bu takdirde her S ve her k k içi fk f olacak şekilde k vardır. Böylece her S ve k p k içi 4

23 f f f f f f f f f f k p k p k p olur. Terie olarak, verilmiş ayıı ve k p k içi S de k f f p olacak şekilde k pozitif tam ayııı olduğu yai (3.8.) Cauchy şartıı ağladığıı farz edelim. Bu demektir ki her bir S içi f dizii bir Cauchy dizii ve dolayııyla yakıaktır. f f lim k k olu. Şimdi bu yakıamaı düzgü olduğuu göterelim. Eğer verilmişe bu halle ilgili kabulde dolayı her S ve k p k k vardır. Bu takdirde her S içi içi lim f f f f, k k p k p k f f olacak şekilde k p k ve böylece fk f dir Teorem (Weiertra M-Kriteri): fk : A olmak üzere her A içi fk M k olacak şekilde M k reel ayılar mevcut ve M k erii k yakıak ie fk erii düzgü ve mutlak yakıaktır []. k İpat: İpat içi (3.8.) Cauchy şartıı ağladığıı götermek yeterlidir. Hipotezde M k yakıak olduğu içi k ve k p k içi k p M olacak şekilde k ayıı vardır. Böylece geelleştirilmiş üçge eşitizliğide k k k S S f f M k p p p p yazılabilir. Demek ki her A içi S S k ve böylece f p k erii k A da düzgü yakıaktır. Ayrıca o eşitizlikte f erii de yakıaktır. k 5

24 3.9. SDP i Çözümüü Varlığı, Tekliği ve Parametreye Göre Tamlık Teoremi Kabul edelim ki q : a, b ile taımlı q fokiyou ürekli bir fokiyodur. O halde u qu u, a, b diferaiyel deklemii i, ua co,, u a ıır şartlarıı ağlaya bir tek u, çözümü buluur ve bu çözüm her a, b içi parametreii tam fokiyoudur [5]. bait 3.. Aimptotik Davraışlar Verilmiş f fokiyouu içi davraışı bazı durumlarda bilie g fokiyouu edilebilir. Böyle durumlarda içi davraışıda yararlaılarak ifade f ve g i içi davraış yakılığı iceleirke o, O, gibi imgelerde yararlaılmaktadır. Ayrıca, içi g üzerie öcede hiçbir şart koulmamaktadır. Komplek düzlemi herhagi G bölgeide taımlı ola f z, g z ve h z fokiyoları verili. Eğer f z g z fokiyou bu bölgede ıırlı ie, yai;, : f z M g z z G z z R eşitizliği ağlaacak şekilde R, M ayıları mevcuta,, f z O g z z G z (3..) şeklide yazılır. Bu ifadeye aimptotik eşitlik deir. Eğer, f z hz Og z, z G, z ie f z hz Og z, z G, z (3..) yazılır. z G verili. Bu takdirde zz, zg z f lim g z 6

25 yazılır ve ouz küçüktür deir. yazılır. Eğer,, f z o g z z G z (3..3) f z fokiyou z oktaıı yakı komşuluğuda f z g z, g z ye göre z oktaıı herhagi komşuluğuda ıırlı ie,, f z O g z z G z z (3..4) zz z f lim ie g z,, f z g z z G z z (3..5) yazılır. Hagi G bölgeide bahedildiği açık şekilde biliire z G yazıı atılır. a, b ve olduğuda yazılır. a c Ob c reel veya komplek ayı dizileri verildiğide olduğuda ie bu eşitlik a a b dizii ıırlı O b (3..6) a şeklide göterilir. lim olduğuda bu eşitlik b şeklide ve a c ob a c O b (3..7) a o b (3..8) olduğuda ie bu eşitlik aşağıdaki şekilde göterilir. a c o b (3..9) (3..)-(3..9) şeklideki formüllere aimptotik formüller deir [5]. 3.. Wrokia Determiatı f, g C herhagi iki fokiyo olmak üzere f g W f, g f g f g f g şeklide taımlaa determiata Wrokia determiatı deir [3]. 7

26 3... Teorem: a, a,..., a fokiyoları bir I açık aralığıda ürekli ve bu aralıktaki içi a olu. Bu takdirde Ly a y a y... a y a y (3..) homoje lieer diferaiyel deklemii y, y,..., y çözümlerii I da lieer bağımız olmaı içi gerek ve yeter koşul, I aralığıdaki her içi olmaıdır [6]. W y, y,..., y İpat: Öce koşulu, yeter bir koşul olduğuu ipat edelim. Buu içi (3..) homoje lieer deklemii y, y,..., y çözümlerii Wrokkiaıı I aralığıdaki her içi ıfırda farklı, fakat bu çözümleri I da lieer bağımlı olduğuu varayalım. Bu takdirde hepi birde ıfır olmaya b, b,..., b abitleri ve I aralığıdaki her içi dolayııyla b y b y... by (3..) b y b y... b y b y b y... b y (3..3) bağıtıları ağlaır. I aralığıdaki her içi (3..) ve (3..3) bağıtılarıa, b, b,..., b bilimeyelerie göre bir homoje cebirel deklem itemi olarak W y, y,..., y dir. bakılabilir. Bu itemi katayılar determiatı, açıkça y, y,..., y çözümleri I da lieer bağımlı varayıldığıda, öz kouu homoje cebirel deklem itemi aşikar olmaya bir çözüm takımıa ahip olmalıdır. Buu içi, homoje cebirel deklem itemleri teoriide bilidiği üzere, I aralığıdaki her içi itemi katayılar determiatı ıfır, yai W y, y,..., y olmalıdır. Bu I aralığıdaki her içi W y, y,..., y kabulüyle çelişir. Demek ki, her I içi W y, y,..., y ie, (3..) homoje lieer diferaiyel deklemii y, y,..., y çözümleri I da lieer bağımızdır. 8

27 Şimdi koşulu, gerek bir koşul olduğuu ipat edelim. Buu içi, a y a y... a y a y homoje lieer deklemii y, y,..., y çözümlerii I da lieer bağımız, fakat I ı hiç olmaza bir oktaıda W y, y,..., y olduğuu varayalım. içi (3.4.) ve (3.4.3) cebirel deklem itemii tekrar göz öüe alalım. itemi, b y b y... b y b y b y... b y W y, y,..., y olduğuda, e az bir b b ahiptir ve b i leri hepi birde ıfır değildir. Şimdi (3..) i bir çözümü ola bu b, b,..., b abitleriyle b y b y b y fokiyouu taımlayalım. Bu fokiyo... (3..4),,..., b çözüm takımıa a y a y... a y a y homoje deklemii bir çözümüdür ve (3.4.4) gereğice,,..., Başlagıç koşullarıı ağlar. Böylece I aralığıdaki her içi dır. Burada, I aralığıdaki her ve hepi birde ıfır olmaya b, b,..., b abitleri içi b y b y... by elde edilir. Bu y, y,..., y leri I da lieer bağımız olduğu varayımıyla çelişir. Demek ki a y a y... a y a y homoje lieer diferaiyel deklemii y, y,..., y çözümleri I da lieer bağımız W y, y,..., y dır. ie, I daki tüm ler içi 9

28 3.. Sturm-Liouville Problemleri H herhagi Hilbert uzayı L : H H ie bu uzayda taımlı ola lieer operatör olu. Eğer H uzayıı cimide alımış herhagi kaleri içi Ly y olacak biçimde yh, y elemaı buluura, ayııa L operatörüü özdeğeri, y elemaıa ie bu özdeğere uygu ola özelema (veya özvektör) deir. Uygulamalarda ık ık ratlaa diferaiyel operatörlerde biri de d L q( ) d biçimide ifade edile operatördür (bu operatör geelde H L a b biçimideki, Hilbert uzaylarıda icelemektedir). L operatörü içi e öemli ıır şartları,, biçimide veya biçimide verilmiş ıır şartlarıdır. y( a)co y( a)i y( b)co y( b)i y a y b y a y b Ly y q y y (3..) (3..) deklemii (3..) veya (3..) tipideki ıır şartlarıı ağlaya çözümlerii bulumaı problemi klaik Sturm-Liouville problemi olarak adladırılır. Eğer ab, aralığı ıırlı, g fokiyou ie itegralleebilir ie o halde böyle problemlere Regüler Sturm-Liouville problemleri deir. Daha geel ola y p y r y (3..3) biçimideki diferaiyel deklemlerde y, değişkeleride tu, değişkelerie p d a, 4 a t u b t r e y a r d r d Laplace döüşümü ile geçerek, (3.5.3) deklemi u q t u u

29 deklemie döüşür. Burada r olmak üzere ikici mertebede ürekli diferaiyelleebilir bir fokiyo; p ie. mertebede ürekli diferaiyelleebilir fokiyodur. Ayrıca bu durumda ab, aralığı da, aralığıa döüşmüş olur [4] İkici Mertebede Lieer Diferaiyel Deklemler İçi Paramatreleri Değişimi Yötemi Parametreleri değişimi yötemi a y a y... a y a y Q (3.3.) deklemie ait a y a y... a y a y homoje lieer deklemii lieer bağımız çözümüü (dolayııyla geel çözümüü) bilimei halide (3.3.) deklemii bir özel çözümüü bulumaıda etkilidir. Yötemi, ikici mertebede a y a y a y Q (3.3.) deklemi içi açıklayalım. (3.6.) ye ait homoje lieer deklemii a y a y a y (3.3.3) h y C y C y (3.3.4) geel çözümüü bilidiğii varayalım. Burada C ve C keyfi abitlerdir. (3.3.4) de C ve C yerie ıraıyla v, v fokiyouu teşkil edelim. Acaba p fokiyolarıı alarak y v y v y (3.3.5) v ve v, (3.3.5) ifadei (3.3.) deklemii bir çözümü olacak şekilde belirtilebiliir mi? Soruyu cevapladırmak içi (3.6.5) deki y p yi ve buu y v y v y v y v y p y v y v y v y v y v y v y p türevlerii (3.3.) deklemide yerlerie koyalım. Gerekli düzelemelerde ora

30 a v y v y a v y v y a v y v y Q a y a y a y v a y a y a y v (3.3.6) elde edilir. y ve y (3.3.3) homoje lieer deklemii çözümleri olduğuda v ve v i katayıları ıfırdır. Böylece (3.6.6) a v y v y a v y v y a v y v y Q (3.3.7) olur. v ve v fokiyolarıı belirtmek içi, bular araıda iki bağıtı bulmak yeterlidir. I aralığıdaki her içi v y v y eçilire, (3.3.7) ifadeide I aralığıdaki her içi a v y v y Q buluur. Yai v ve v içi v y v y Q v y v y (3.3.8) a deklemleri elde edilir. (3.3.8), her I içi v, v bilimeyelerie göre homoje olmaya bir lieer cebirel deklem itemi olarak düşüülebilir. Bu itemi katayılar determiatı y y y y dir. Bu, (3.6.3) homoje lieer difereiyel deklemii lieer bağımız y, y çözümlerii Wrokiaıdır ve Teorem 3.4. gereğice ıfırda farklıdır. Dolayııyla (3.6.8) itemi bir ve yalız bir, ahiptir. v ve v i fokiyoları olup buları itegralleri fokiyolarıı verir. Demek ki, v, v (3.6.) deklemii bir çözümü olacak şekilde belirtilebilir. v v çözüm takımıa v ve v fokiyoları (3.3.5) fokiyou

31 Şimdi varayalım ki, v, v (3.3.8) itemii (tek) çözümüdür. Bu takdirde, aşikar olarak, her I içi (3.3.7) ağlaır. Yai p y v y v y fokiyou (3.3.) deklemii bir çözümüdür [6]. Soucu bir teorem olarak ifade edelim. I da Teorem a, a, a ve Q fokiyoları bir I açık aralığıda ürekli ve a olu. y ve y I da (3.3.3) homoje lieer difereiyel deklemii lieer bağımız iki çözümü olu. Eğer v ve v fokiyoları itemii ağlıyora, v y v y Q v y v y a p y v y v y fokiyou (3.3.) deklemii bir çözümüdür [6] Gree Fokiyou Aşağıdaki şartları ağlaya, :,, G a b a b fokiyoua L operatörüü Gree Fokiyou deir.., G fokiyou üreklidir ve e göre mertebe dahil) bütü ürekli türevleri vardır.. Her ab, içi, fokiyouu mertebede türev fokiyou özelliğie ahiptir. a ve,b. mertebeye kadar (bu aralıklarıı her biride G,. ve. mertebede türevleri var ve e göre. 3. Her bir, fokiyou gibi G, G, p a ve,b aralığıda, G fokiyou değişkeii 3

32 Sıır değer problemii çözümüdür [7]. v G,, U G v 4

33 4. MATERYAL ve METOD Bu tez çalışmaıda kayaklar kımıda belirtilmiş ola kitap ve makalelerde yararlaılmıştır. Bu kayaklarda belirtile ve uygulaa yötemler iceleerek tez koumuzda ele alıa probleme uygulaabilir hale döüştürülmüştür. Adi diferaiyel deklemler içi ıır değer problemlerii özdeğerlerii aimptotik davraışlarıı icelemei içi uygulaa karakteritik fokiyou kurulmaı yötemide, fokiyoel aalizde bazı temel taımlar ve imetrik operatörleri bazı temel özelliklerde, komplek aalizdeki tam fokiyoları ıfır yerleri ile ilgili ola teoremlerde ve özellikle o yıllardaki çalışmalarda uygulaa bazı yötemlerde ve aimptotik yötemlerde yararlaılmıştır. 5

34 5. BULGULAR VE TARTIŞMA 5.. Sıır Değer Problemii İfadei Bu bölümde u : u q u u (5..) Sturm-Liouville deklemide ve u u (5..) u( ) u( ) u( ) u( ) (5..3) ıır şartlarıda oluşa ıır değer problemii özdeğer ve özfokiyoları icelemiştir. Burada parametreidir. q,, aralığıda ürekli ve komplek özdeğer 5.. Sıır Değer Problemi İle Ayı Özdeğere Sahip Ola Lieer Operatörü Kurulmaı f( ) F F, f L,, F, F F Üç bileşeli elemaları lieer uzayıı H L, ile göterelim. Eğer biçimideki olmak üzere kabul ederek içi f g F F H, G G H F G F, G f g d F G F G (5..) iç çarpımıa göre H lieer uzayı bir Hilbert uzayı taımlar. Bu Hilbert uzayı (5..)- (5..3) ıır değer problemie uygu Hilbert uzayıdır. İşlemleri kolaylığı içi 6

35 ,, N u u N u u N u u u N u u u ifadelerii taımlayalım. Diğer tarafta determiatıı W f, g; f g f g f ve g fokiyolarıı Wrokia şeklide göterirek,, ;, ; N f N g N f N g W f g N f N g N f N g W f g ifadelerii elde ederiz. Gerçekte; N f N g N f N g f g f g W f, g; ve bezer şekilde de f f g g N f N g N f N g f f g g (5..) g f g f g f g f g f g f g f g f f g f g W f, g; dir. Bua göre (5..)-(5..3) ıır değer problemie uygu A: H H f f D A N f H f W N, f f q f AF N f N eşitlikleri ile taımlayım. Burada F D A ve f f F N f N f f q f A N f N f N f N f operatörüü (5..3) (5..4) dır. Yai A operatörü 7

36 biçimide taımlıdır. O halde, eşitliği, AF F (5..5) f q f f N f N f N f N f biçimide yazılır. Bu eşitlikte yararlaarak elde edilir. Ayrıca f q f f N f N f f f f f f F F D A F (5..6) olduğu içi F N f ve F N f eşitlikleri ağlaır. O halde, (5..)-(5..3) ıır değer problemi olmak üzere AU u u U N u N U biçimide yazılabilir. 5...Teorem: H L eşitlikleriyle taımlı A operatörü imetriktir. İpat: Her F, G D A, Hilbert uzayıda (5..3)-(5..4) içi AF, G F, AG olduğuu götermemiz gerekir. Gerçekte H daki iç çarpımı taımı gereği AF, G f q f g d N f N g N f N g f g d q f g d N f N g N f N g dir. So eşitliği birici itegralie,, f d dv f v g u g d du şeklide kımi itegrayo uygulaıra; 8

37 f g d g f f g d (5..7) olur. Bulua bu eşitliği ağ tarafıdaki itegrale,, f d dt f t g z g d dz şeklide kımi itegrayo uygulaıra; f g d g f f g d (5..8) elde edilir. (5..7) ve (5..8) eşitlikleride yararlaılarak AF, G ifadei AF, G f g d q f g d g f g f N f N g N f N g f g d q f g d g f g f g f g f N f N g N f N g, ;, ; f g d q f g d W f g W f g N f N g N f N g şeklide yazılır. Diğer tarafta H uzayıdaki iç çarpımı taımı gereği F, AG f g q g d N f N g N f N g f g d f q g d N f N g N f N g dir. Ütteki iki eşitlik taraf taraf çıkarılıra ve (5..) ifadeleride yararlaılıra; AF, G F, AG W f, g; W f, g; N f N g N f N g N f N g N f N g W f, g; W f, g; W f, g; W f, g; elde edilir. Dolayııyla her F, G D A içi, AF, G F, AG elde edilir Souç: Eğer şartı ağlaıyora (5..)-(5..3) ıır değer problemii bütü özdeğerleri reeldir. 9

38 İpat: ayııı (5..)-(5..3) ıır değer problemii özdeğeri olduğuu kabul edelim. Bu durumda ayıı (5..3)-(5..5) eşitlikleri ile taımlı A operatörüü özdeğeri olacaktır. Dolayııyla U, A operatörüü özdeğerie uygu herhagi bir öz elemeti olmak üzere U, U U, U AU, U U, AU U, U U, U H H H H H H elde ederiz. Burada ( ) U, U yazabiliriz. U, U olduğuda dolayııyla buluur. Buu alamı bütü özdeğerler reeldir. H Souç: Eğer şartı ağlaıyora (5..)-(5..3) problemii iki farklı ve özdeğerlerie karşılık gele u ve u H özfokiyoları içi u u d N u N u N u N u (5..9) eşitliği ağlaır. İpat: H - Hilbert uzayıda (5..4) ile taımlı A operatörü içi u( ) u( ) U : N( u ( )), U : N( u ( )) N ( u ( )) N ( u ( )) elemalarıı ve özdeğerlerie karşılık gele öz elemetleri olduğu açıktır. ve özdeğerleri reel ve A operatörü H -Hilbert uzayıda imetrik olduğuda U, U U, U AU, U U, AU U, U U, U H H H H H H bulmuş oluruz. Burada U, U U, U ( ) U, U yazılabilir. olduğuda H H H U, U (5..) dır. O halde H da taımlamış olduğumuz (5..) iç çarpım formülüü dikkate alırak, (5..9) ile (5..) ifadelerii eşdeğer olduğu görülür. H 5.3. SDP ile İlgili Yardımcı BDP lerii Çözümleri ve Özdeğer Parametreie Göre Aalitikliği Bu bölümde verile,, u q u u (5.3.) 3

39 deklemii u u (5.3.) u u u u (5.3.3) ıır şartlarıı ağlaya çözümüü araştırmak içi bazı yardımcı başlagıç-değer problemlerii çözümlerii mevcutluğu ve bu çözümleri özdeğer parametreie göre bütü komplek düzlemde aalitikliği göterilecektir. Daha ora (5.3.) deklemii (5.3.)-(5.3.3) problemi içi temel olacak çözümleri taımlaacaktır Teorem: Her içi problemii, bir tek u,, u q u u (5.3.4) u (5.3.5) u (5.3.6) çözümü mevcuttur ve ayrıca, değişkeii her bir değeride fokiyou parametreii tam fokiyoudur. İpat: Diferaiyel deklemler teoriide çok iyi bilie Cauchy-Picard teoremi gereği verilmiş (5.3.4)-(5.3.6) Cauchy problemii her içi bir tek çözümü mevcuttur. Bu teoremi ea ve öemli ola kımıı, yai çözümüü, değişkeii her bir, komplek düzlemde aalitik olduğuu ipat edelim. fokiyou her, değeri içi değişkeie göre bütü ve her içi (5.3.4) ü ağladığıda q deklemii ağlayacaktır. Burada her iki tarafı, aralığıda itegrali alııra, elde edilir. ya bağlı ola (5.3.7) qt tdt C C ifadeii bulmak içi (5.3.7) de yazarak C (5.3.8) eşitliği elde edilir. Diğer tarafta fokiyouu taımı gereği, (5.3.9) 3

40 eşitliği ağlaır. (5.3.8) ve (5.3.9) ifadeleride C olur. (5.3.) ifadei (5.3.7) de yerie yazılıra her, (5.3.) ve her içi q t t dt (5.3.) eşitliği elde edilir. (5.3.) eşitliği, aralığıda itegralleire, eşitliği elde edilir. Bu eşitliği (5.3.) d qt tdt C başlagıç şartıı ağladığıı da dikkate alırak, içi yazarak C eşitliği buluur. Diğer tarafta fokiyouu taımı gereği, yazılabilir. (5.3.3) ve (5.3.4) ifadeleride elde edilir. (5.3.5) ifadei (5.3.) de yerie yazılıra, fokiyouu (5.3.5) (5.3.3) (5.3.4) C (5.3.5) (5.3.6) d q t t dt eşitliği elde edilir. Eşitliği ağıdaki itegralde itegralleme ıraı değiştirilire, d qt tdt dt qt td qt t tdt, ve her t eşitliği buluur. So eşitliği (5.3.6) da yerie yazarak her içi geçerli ola özdeşliği elde edilir. Böylece q t t t dt (5.3.7) çözüm fokiyou içi (5.3.7) biçimide verilmiş itegral deklem elde edildi. Bu itegral deklemi çözümüe (yai fokiyoua) yakıaya fokiyo diziii işa edilmei içi, itegral deklemler 3

41 teoriide iyi bilie ardışık yaklaşımlar yötemide yararlaılacaktır. Bu yötem gereği aşağıdaki ard-arda birbirii ürete fokiyolar dizii işa edilecektir. İlk öce M : ma q t (5.3.8) q t t t dt,,,... (5.3.9) ve K t, ma t, t göterimleride yararlaılarak R keyfi ayı olmak üzere fokiyolar diziii herhagi kapalı ve ıırlı R yuvarıda (5.3.) fokiyolar diziii yakıaklık durumu iceleecektir. Bu dizi ile fokiyolar diziii ya her ikiii yakıak ya da her ikiii ırakak oldukları ve de yakıak olduklarıda verilmiş (5.3.) eriii toplamı ile limitii ayı olduğu açıktır. Bu edele diziii dizii yerie (5.3.) erii iceleecektir. Bu erii terimleri ard arda değerledirilecektir. O halde ilk olarak q t t t dt R M K t dt eşitizliği buluur. Daha ora R M K (5.3.) q t t t dt q t t t dt ifadeleride yararlaılarak içi geçerli ola q t t t t dt (5.3.) eşitliği elde edilir. (5.3.) eşitizliğide ve (5.3.) eşitliğide yararlaılarak (5.3.) eriii diğer terimleri değerledirilecektir. içi 33

42 q t t t t dt 4 R M K t tdt R M K 4! buluur. Böyle devam ederek tümevarım yötemi ile eşitizliğii her R M K, =,,... (5.3.3)! içi ağladığı kolayca buluur., olur. O halde (5.3.3) ifadeide eşitizliği elde edilir. R M K! ( R M ) K( ) ( )! olduğu içi ayıal erii yakıak olduğuda Weiertra M-Kriteri gereği (5.3.) erii mutlak ve düzgü yakıaktır. fokiyolarıı (5.3.8) ve (5.3.9) eşitlikleri ile verilmiş taımları gereği bu fokiyoları her biri her, içi : R bölgeide aalitik olduğuda ve her, içi dizii fokiyoua düzgü olarak yakıak olduğuda ( ) fokiyou da her, içi değişkeii tam fokiyoudur Souç: ağlaya ve her,, (5.3.) diferaiyel deklemii ve (5.3.) ıır şartıı içi parametreii tam fokiyou ola çözümüdür Teorem: Her içi,, u q u u (5.3.4) u (5.3.5) u (5.3.6) 34

43 problemii, bir tek u her bir değeride çözümü mevcuttur ve ayrıca, değişkeii fokiyou parametreii tam fokiyoudur. İpat: (5.3.) Teoremie bezer olarak ipatlaır Souç: ağlaya ve her,, (5.3.) diferaiyel deklemii ve (5.3.3) ıır şartıı içi parametreii tam fokiyou ola çözümüdür Temel Çözümler ve Karakteritik Fokiyo Bu keimde, u : u q u u,, (5.4.) : u u (5.4.) : u u u u (5.4.3) problemii özdeğer ve özfokiyoları araıdaki bazı temel bağıtıları iceleecektir.,, u q u u u u başlagıç-değer problemii çözümüü ile, başlagıç-değer problemii çözümüü,, u q u u u u (5.4.4) (5.4.5) ile göterelim. Bu ve çözüm fokiyoları tam aalitik fokiyolarıdır [4]. Buda dolayı,, ; W W (5.4.6) Wrokia determiatı, aralığıda -değişkeide bağımız olup [5], ı tam aalitik fokiyoudur. W, ; Wrokia determiatıı değişkeide bağımız olduğu açıktır. Bu edele W, yerie adece yazacağız. Burada özel olarak yazarak, bu fokiyo içi W 35

44 ifadeii, özel olarak N N W yazarak, bu fokiyo içi W N N ifadeii elde ederiz. Bezer olarak eşitliği buluur. acak N Teorem: (5.4.)-(5.4.3) ıır değer problemii özdeğerleri acak ve W fokiyouu ıfır yerleride ibarettir. İpat: olacaktır. Bu durumda W ı bir ıfırı olu. O halde, W ve fokiyoları, diferaiyel deklemler teoriide bilie y ( ), y ( ),..., y( ) fokiyoları. mertebede diferaiyel deklemi lieer bağımız çözümleri ie, bu fokiyoları Wrokia determiatı bütü oktalarda ıfırda farklıdır. teoremii oucu olarak lieer bağımlıdır. Yai k,, (5.4.7) olacak şekilde bir k abiti mevcuttur. i (5.4.) deklemii ve (5.4.) şartıı, i ie (5.4.) deklemii ve (5.4.3) şartıı ağladığı açıktır. Dolayııyla (5.4.7) gereği bu 36

45 fokiyoları her biri iki ıır şartıı da ağlar. O halde bu fokiyolar (5.4.)- (5.4.3) problemii çözümü olur. Bu ie ayııı özdeğer olduğuu göterir. Şimdi ie ayııı, (5.4.)-(5.4.3) problemii özdeğeri olduğuu kabul ederek, W eşitliğii doğruluğuu ipatlayalım. Herhagi özdeğeri içi, W olduğu kabul edili. O halde ve fokiyoları lieer bağımız olur [5]. (5.4.) deklemii geel çözümü, u C C olarak yazılabilir. O halde özdeğerie uygu ola her bir u C C u çözüm fokiyou içi, olacak şekilde e az biri ıfırda farklı ola C, C ayıları buluur. (5.4.) eşitliği ile verile u eşitlikleri geçerlidir. özfokiyou (5.4.)-(5.4.3) ıır şartlarıı ağladığıda elde edilir., ve, C C C C C i katayılarıı e az biri ıfırda farklı olduğu içi burada (5.4.8) fokiyolarıı taımı gereği, N N W N N W 37

46 elde edilir. Bulua bu eşitlikler (5.4.8) determiatıda yerlerie yazılıra, W W W W W eşitliği elde edilir. Bcu ie W kabulüyle çelişir ve teoremi ipatı tamamlaır ve Çözüm Fokiyolarıı Aimptotiği Lemma: olmak üzere (5..) diferaiyel deklemii (5.4.4) şartıı ağlaya çözümü aşağıdaki itegral deklemi ağlar. y q y y dy co i i İpat: (5..) diferaiyel deklemii u u qu (5.5.3) biçimide yazdıkta ora bu deklemi homoje olmaya diferaiyel deklem gibi düşüerek abiti değişimi yötemiyle çözelim. Probleme uygu homoje u u deklemii geel çözümü u, C co C i biçimide olduğu içi (5.5.3) deklemii geel çözümüü u(, ) C (, )co C (, )i (5.5.4) biçimide arayacağız. Sabiti değişimi yötemi gereği, C, ve C fokiyolarıı öyle eçelim ki C, co C, i C C q u, i, co, deklem itemii ağlaılar. Bu itemi C, ve C lieer deklem itemi gibi çözerek,,, değişkelerie göre 38

47 buluur. (5.5.5) de bulduğumuz q u, i C, q u, co C, (5.5.5) ifadelerii (5.5.4) de yerie koyarak, C y q y u y dy C, i, C y q y u y dy C, co, u, co i y q yu y, dy i co y q yu y, dy C co C i i y qyu y, dy C co C i (5.5.6) eşitliğii elde ederiz. (5..) deklemii (5.4.4) şartıı ağlaya çözümüü aradığımızda bu şartları kullaırak i y q yu y, dy Cco C i ifadei elde edilir. Burada C buluur. (5.5.6) ifadeii türevii alırak,, i i, u y q y u y dy co i q u, i q u, co co y q yu y, dy i co q u, co q u, C i C co i i y q y u y, dy co co y q y u y, dy C i elde edilir. Burada C co u, co y q y u y, dy C i C co (5.5.7) eşitliğii elde ederiz. Bu ifadede (5.4.4) şartıı kullaırak 39

48 yq yu y dy C C ifadei elde edilir. Burada C co, i co buluur. Bulua C, C değerlerii (5.5.6) ve (5.5.7) ifadeleride yerlerie yazıp gerekli düzelemeleri yaparak, u, co i i yq yu y, dy, i co co, u y q y u y dy itegral deklemleri elde edilir. Burada yazılabilir ve ipat tamamlaır. co i i Souç: y q y y dy çözüm fokiyou içi aşağıdaki eşitlikler ağlaır. y q y y dy co i i i co co y q y y dy Lemma: olmak üzere (5..) diferaiyel deklemii (5.4.5) şartıı ağlaya çözümü itegral deklemii ağlar. co i i yq y ydy İpat: Bezer şekilde ipat edelim. O halde (5.5.5) de bulduğumuz ifadelerii (5.5.4) de yerie koyarak, C y q y u y dy C, i, C y q y u y dy C, co, 4

49 u, co i y q yu y, dy i co y q yu y, dy C co C i i y qyu y, dy C co C i (5.5.8) formülüü elde ederiz. (5..) deklemii (5.4.5) şartıı ağlaya çözümüü aradığımızda bu şartları kullaırak i y q y u y, dy C co C i ifadei elde edilir. Burada C co C i (5.5.9) buluur. (5.5.8) ifadeii türevii alırak,, i i, u y q y u y dy + co i q u, i q u, co co y q yu y, dy i co q u, co q u, C i C co i i y q y u y, dy co co y q y u y, dy C i C co elde edilir. Burada u, co y q y u y, dy C i C co (5.5.) eşitliğii elde ederiz. Bu ifadede (5.4.5) şartıı kullaırak co y q y u y, dy C i C co ifadei elde edilir. Burada C i C co (5.5.) olur. (5.5.9) u co ile (5.5.) u i ile çarpıp, taraf tarafa toplarak, 4

50 co i C co C i co i buluur. Öte yada, (5.5.9) ifadei taraf tarafa toplaıra, C co C i i ile, (5.5.) ifadei co ile çarpılıp, i co C i C co i co C i C co buluur. Bulua C, C değerlerii (5.5.8) ve (5.5.) ifadeleride yerlerie yazıp gerekli düzelemeleri yaparak, u, co i i yq yu y, dy, i co u co y q y u y, dy itegral deklemleri elde edilir. Burada ( ) co i i yq y ( y) dy yazılabilir ve ipat tamamlaır Souç: çözüm fokiyou içi ( ) co i i yq y ( y) dy ( ) i co co y q y ( y) dy eşitlikleri ağlaır Teorem: kabul edelim ve, it ile göterelim. O halde öyle vardır ki içi aşağıdaki aimptotik eşitlikler ağlaır. 4

51 İpat: ile göterelim. O halde t ( ) O e (5.5.) t ( ) O e (5.5.3) F fokiyou t F : e ( ) (5.5.4) t t F e co i e i yq y ydy t t y t co i i e y q y F y e e dy t e co i i yq yf ye dy t y (5.5.5) itegral deklemii ağlar. (5.5.5) i her iki tarafıı mutlak değerii alırak, t t y co i i F e y q y F y e dy t t t t y t y e e e e q y F y e dy q y F y dy eşitizliğii elde ederiz. Burada ile göterirek, oucu eşitizlikte eşitizliği elde edilir. Burada ie, M : ma F (5.5.6) M M q ydy eşitizliği buluur. O halde M q ydy q y dy : r (5.5.7) 43

52 içi buluur. Burada M M r M (5.5.8) M r dır. Dolayııyla r ayıı (5.5.7) ile taımlamak üzere r içi (5.5.4), (5.5.6) ve (5.5.8) de eşitizliği elde edilir. Burada ie t ( ) M e (5.5.9) ( ) O e yazılır ve (5.5.) eşitliği ipatlamış olur. Şimdi (5.5.3) eşitliğii doğruluğuu ipatlayalım. (5.5.9) eşitizliği ve Souç gereğice r içi t t t y t t y t y e e e q y y dy e e q y M e dy M e e M q y dy q y dy e r r M M r e r ifadeide eşitizliği elde edilir. Burada ie t t t t M e ( ) yazılır ve (5.5.3) eşitliği ipatlamış olur. O e t t t Teorem: kabul edelim ve, it ile göterelim. O halde öyle vardır ki içi aşağıdaki aimptotik eşitlikler ağlaır. ) ie 44

53 ( ) t O e (5.5.) 3 t ( ) O e (5.5.) ) ie ( ) t O e (5.5.) t ( ) O e (5.5.3) İpat: Öce içi ( ) çözüm fokiyouu aimptotiğii bulalım. ile göterelim. O halde t F : e ( ) (5.5.4) F fokiyou t F e co i t e i yq y ( y) dy t e co i t y t i yq yf ye e dy t e co i i t y y q y F y e dy (5.5.5) itegral deklemii ağlar. (5.5.5) i her iki tarafıı mutlak değerii alırak, t F e co i t y i y q y F y e dy q y F y dy eşitizliğii elde ederiz. Burada, Y : ma F (5.5.6) 45

54 ile göterirek, oucu eşitizlikte Y Y q ydy eşitizliği elde edilir. Burada ie Y q ydy 3 eşitizliği buluur. O halde içi buluur. Burada Y q y dy : r (5.5.7) 3 r r r Y Y Y (5.5.8) 3 r r r dir. Dolayııyla r ayıı (5.5.7) ile taımlamak üzere r içi (5.5.4), (5.5.6) ve (5.5.8) de ( ) t Y e (5.5.9) eşitizliği elde edilir. Burada ie ( ) O e yazılır ve (5.5.) eşitliği ipatlamış olur. Şimdi (5.5.) eşitliğii doğruluğuu ipatlayalım. (5.5.9) eşitizliği ve Souç gereğice r içi t ( ) e e e q y ( y) dy t t t y t t y t y e e q y Y e dy 46

55 ifadeide 3 t t 3 e e Y q ydy Y 3 r r r r Y Y r 3 e r t 3 q y dy e t eşitizliği elde edilir. Burada ie 3 ( ) Y e ( ) O e yazılır ve (5.5.) eşitliği ipatlamış olur. durumu içi, (5.5.) ve (5.5.3) eşitlikleri de bezer şekilde ipatlaır. 3 t t Teorem: kabul edelim ve, it ile göterelim. O halde öyle vardır ki içi aşağıdaki aimptotik eşitliği ağlaır. t i Oe (5.5.3) co t O e (5.5.3) İpat: (5.5.9) ifadeii, Souç deki ( ) çözüm fokiyouu itegral kımıda dikkate alırak, yeteri kadar büyük ler içi i t y t y i y q y y dy y q y y dy M e q y e dy t M e q y eşitliğii elde ederiz. Bua göre i t y q y y dy O e aimptotik eşitliği ağlaır. Buu Souç deki ( ) ifadeide dikkate alırak, (5.5.3) ifadeii elde ederiz. (5.5.33) ifadei (5.5.3) ye bezer şekilde ipatlaır. 47

56 Teorem: kabul edelim ve, it ile göterelim. O halde öyle vardır ki içi aşağıdaki aimptotik eşitlikler ağlaır. ) ie ) ie t ( ) co O e (5.5.3) 3 t ( ) i O e (5.5.33) t ( ) i O e (5.5.34) t ( ) co O e (5.5.35) İpat: olu. O halde (5.5.9) ifadeii, Souç deki ( ) fokiyouu itegral kımıda dikkate alırak, yeteri kadar büyük ler içi i y q y ( y) dy i y q y ( y) dy eşitizliğii elde ederiz. Bua göre i t y t y Y e q ye dy Y e t q y y q y y dy O e aimptotik eşitliği ağlaır. Buu Souç deki ( ) ifadeide dikkate alırak, (5.5.3) ifadeii elde ederiz. (5.5.33) ifadei (5.5.3) ye bezer şekilde ipatlaır. ipatlaır. içi, (5.5.34) ve (5.5.35) eşitlikleri, durumua bezer şekilde 5.6. ve t Fokiyolarıı Wrokiaıı Aimptotiği Teorem: W içi aşağıdaki aimptotik formüller geçerlidir: 4 ie co 3 t W O e ) 48

57 3 ie i t W O e ) İpat: W olduğuu daha öcede biliyoruz. (5.6.) ) durumuu araştıralım. olduğuu dikkate alarak (5.5.3) ve (5.5.3) aimptotik eşitliklerii (5.6.) eşitliğide yerie yazarak t co t O e co O e t i t i W O e O e eşitliği elde edilir. Burada buluur. 3 t 4 3 t i co t t + i Oe co O e 4 3 t co O e W O e O e ) durumuu araştıralım. Bu durumda W fokiyou t t i i co t 3 t i O e W O e O e O e şeklide ifade edilir Gree Fokiyouu Kurulmaı Öcelikle ele aldığımız problemdeki ıır şartlarıı u u (5.7.) u u (5.7.) şeklide yazalım. Özdeğerlerde farklı her komplek ayıı içi (5.5.3) diferaiyel deklemii ( ) ve ( ) çözümleri lieer bağımız olduklarıda bu deklemi geel çözümüü u, C ( ) C ( ) 49

58 şeklide yazabiliriz. Sabiti değişimi yötemii kullaarak deklemii geel çözümüü u q u u f (5.7.3) u, C, ( ) C, ( ) (5.7.4) şeklide arayalım. Sabiti değişimi yötemi gereği C, ve C, fokiyolarıı öyle eçelim ki C, ( ) C, ( ) C C f deklem itemii ağlaılar. Bu itemde, ( ), ( ) C, C, elde edilir. Bu ifadelerde bulduğumuz ( ) f W ( ) f C, ( y) f y dy C W W ifadelerii (5.7.4) de yerlerie koyarak, W C, ( y) f y dy C u, ( ) ( y) f ydy C W ( ) ( y) f ydy C W ( ) ( ) u, ( y) f ydy ( y) f ydy W W (5.7.5) C ( ) C ( ) 5

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

SINIR KOŞULUNDA SPEKTRAL PARAMETRE BULUNAN GEÇ KALAN ARGÜMENTLİ SÜREKLİ OLMAYAN SINIR-DEĞER PROBLEMİNİN ÖZDEĞER VE ÖZFONKSİYONLARININ ASİMPTOTİK

SINIR KOŞULUNDA SPEKTRAL PARAMETRE BULUNAN GEÇ KALAN ARGÜMENTLİ SÜREKLİ OLMAYAN SINIR-DEĞER PROBLEMİNİN ÖZDEĞER VE ÖZFONKSİYONLARININ ASİMPTOTİK SINIR KOŞULUNDA SPEKTRAL PARAMETRE BULUNAN GEÇ KALAN ARGÜMENTLİ SÜREKLİ OLMAYAN SINIR-DEĞER PROBLEMİNİN ÖZDEĞER VE ÖZFONKSİYONLARININ ASİMPTOTİK İFADELERİ Erdoğa ŞEN Yükek Lia Tezi Matematik Aabilim Dalı

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005 8.6 Professor Strag FİNAL 6 Mayıs 25 ( Pua) P,..., P R deki oktalar olsu. ( ai, ai2,..., a i) P i i koordiatlarıdır. Bütü P i oktasıı içere bir cx +... + cx = hiperdüzlemi bulmak istiyoruz. a) Bu hiperdüzlemi

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

Sistemin derecesi, sistemin karakteristik denkleminin en sade halinde (çarpansız) paydadaki s nin en yüksek derecesidir.

Sistemin derecesi, sistemin karakteristik denkleminin en sade halinde (çarpansız) paydadaki s nin en yüksek derecesidir. 43 BÖLÜM 3 ZAMAN CEVABI Sitemi derecei, itemi karakteritik deklemii e ade halide (çarpaız) paydadaki i e yükek dereceidir. Bir Trafer Fokiyouu Kutupları Trafer fokiyou G() N()/N() şeklide ifade edilire,

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

Sistem Modellerinin Zaman Cevabı ve Performans Kriterleri

Sistem Modellerinin Zaman Cevabı ve Performans Kriterleri Korol Siemleri Taarımı Siem Modellerii Zama Cevabı ve Performa Krierleri Prof.Dr. Galip Caever Korol Siemleri Taarımı Prof.Dr.Galip Caever Kapalı dögü iemi oluşurulmaıda öce iem modelide geçici rejim cevabıı

Detaylı

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 6 Sayı: 1 sh Ocak 2004

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 6 Sayı: 1 sh Ocak 2004 DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 6 Sayı: 1 sh. 129-138 Ocak 2004 CEBİRSEL KATSAYILI HOMOJEN DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN FARK DENKLEMLERİ İLE ÇÖZÜMÜ (SOLUTION OF HOMEGENEOUS DIFFERANTIAL

Detaylı

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1 Örek.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III Markov Süreçleri Ders 7 Yrd. Doç. Dr. Beyazıt Ocakta Web site: ocakta.bau.edu.tr E-mail: bocakta@gmail.com Reault marka otomobil sahilerii bir soraki otomobillerii de Reault

Detaylı

Analiz II Çalışma Soruları-2

Analiz II Çalışma Soruları-2 Aaliz II Çalışma Soruları- So gücelleme: 04040 (I Aşağıdaki foksiyoları (ilgili değişkelere göre türevlerii buluuz 7 cos π 8 log (si π ( si ta e 9 4 5 6 + cot 0 sec sit t si( e + e arccos ( e cos(ta (II

Detaylı

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri, POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x

Detaylı

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ 5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ Bir lieer deklemi geel çözümüü bulmak homoje kısmı temel çözümlerii belirlemesie bağlıdır. Sabit katsayılı diferasiyel deklemleri temel çözümlerii

Detaylı

BAĞINTI VE FONKSİYON

BAĞINTI VE FONKSİYON BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze

Detaylı

Bir Sınıf Jacobi Matrisi İçin Özdeğer Problemi 1

Bir Sınıf Jacobi Matrisi İçin Özdeğer Problemi 1 S Ü Fe Ed Fa Fe Derg Sayı 7 (6-8, KONYA Bir Sııf Jacobi Matrisi İçi Özdeğer Problemi Oza ÖZKAN Selçu Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi, Matemati Bölümü 479 Kampüs, Koya simetri Jacobi matrislerii özdeğerleri

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

DİFERANSİYEL DENKLEMLER ve UYGULAMALARI

DİFERANSİYEL DENKLEMLER ve UYGULAMALARI Ercie Üiveritei Mühedilik Fakültei Makia Mühediliği Bölümü DİFERANSİYEL DENKLEMLER ve UYGULAMALARI (DERS NOTLARI) Doç.Dr. Sebahatti ÜNALAN Kaeri, Elül BÖLÜM I. GİRİŞ. ROBLEM ve DİFERANSİYEL ÇÖZÜM Mühedilik

Detaylı

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI CHAKI PSEUDO SİMETRİK MANİFOLDLAR YÜKSEK LİSANS TEZİ.

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI CHAKI PSEUDO SİMETRİK MANİFOLDLAR YÜKSEK LİSANS TEZİ. T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI CHAKI PSEUDO SİMETRİK MANİFOLDLAR YÜKSEK LİSANS TEZİ İsmail AYDOĞDU Balıkesir, Hazira-009 ÖZET CHAKI PSEUDO SİMETRİK MANİFOLDLAR

Detaylı

HİPER KÜRESEL HORMONİKLER Nursefa YAKUPOĞLU Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı Uygulamalı Matematik Bilim Dalı Yrd. Doç. Dr.

HİPER KÜRESEL HORMONİKLER Nursefa YAKUPOĞLU Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı Uygulamalı Matematik Bilim Dalı Yrd. Doç. Dr. HİPER KÜRESEL HORMONİKLER Nursefa YAKUPOĞLU Yüksek Lisas Tezi Matematik Aabilim Dalı Uygulamalı Matematik Bilim Dalı Yrd. Doç. Dr. Arzu AYKUT 2014 Her hakkı saklıdır ATATÜRK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ

Detaylı

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler.

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler. OLASILIK VE İSTATİSTİK DERSLERİ ÖZET NOTLARI İstatistik: verileri toplaması, aalizi, suulması ve yorumlaması ile ilgili ilkeleri ve yötemleri içere ve bu işlemleri souçlarıı probabilite ilkelerie göre

Detaylı

LOGARİTMİK ORTAM FİLTRELERİNİN SİSTEMATİK SENTEZİ

LOGARİTMİK ORTAM FİLTRELERİNİN SİSTEMATİK SENTEZİ .C. PAMUKKALE ÜNİERSİESİ FEN BİLİMLERİ ENSİÜSÜ LOGARİMİK ORAM FİLRELERİNİN SİSEMAİK SENEZİ Şaziye SURA YLMAZ Yükek Lia ezi DENİZLİ 5 LOGARİMİK ORAM FİLRELERİNİN SİSEMAİK SENEZİ Pamukkale Üiveritei Fe Bilimleri

Detaylı

DIRAC SİSTEMİ İÇİN BİR SINIR DEĞER PROBLEMİ

DIRAC SİSTEMİ İÇİN BİR SINIR DEĞER PROBLEMİ DIRAC SİSTEMİ İÇİN BİR SINIR DEĞER PROBLEMİ UFUK KAYA Mersi Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matematik Aa Bilim Dalı YÜKSEK LİSANS TEZİ Tez Daışmaı Prof. Dr. Nazım KERİMOV MERSİN Hazira - 8 ÖZ Bu çalışmada

Detaylı

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak Ve Şeması ile lt Kümeleri Saymak Osma Ekiz Bu çalışmada verile bir kümei çeşitli özellikleri sağlaya alt küme veya alt kümlerii ve şeması yardımıyla saymaya çalışacağız. Temel presibimiz aradığımız alt

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açı Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerde alıtı yapma veya Kullaım Koşulları haıda bilgi alma içi http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.aciders.org.tr adresii ziyaret ediiz. 18.102

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

T.C SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ .C SELÇUK ÜNİVERSİESİ FEN BİLİMLERİ ENSİÜSÜ CHEBYSHEV POLİNOMLARI VE BAZI UYGULAMALARI NEJLA ÇALIK YÜKSEK LİSANS EZİ İLKÖĞREİM ANABİLİM DALI KONYA, 00 ÖZE YÜKSEK LİSANS EZİ CHEBYSHEV POLİNOMLARI VE BAZI

Detaylı

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları PROJE RAPORU PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıları. Derecede Kökler Toplamı ve Trigoometrik Yasımaları PROJENİN AMACI: Karmaşık sayıı karekökleri toplamı sıfırdır. Peki. derecede kök toplamı içi de geçerli miydi?

Detaylı

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI GAUSS BALANS VE GAUSS KOBALANS SAYILARI ÜZERİNE YÜKSEK LİSANS TEZİ MUSTAFA YILMAZ DENİZLİ, TEMMUZ - 07 T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ

Detaylı

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe)

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) Matematikte sayı dizileri teorisii ilgiç bir alt kolu ola idirgemeli diziler kousu olimpiyat problemleride de karşımıza

Detaylı

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI UZAY-ZAMAN KESİRLİ DİFÜZYON SİSTEMLERİNİN OPTİMAL KONTROLÜ

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI UZAY-ZAMAN KESİRLİ DİFÜZYON SİSTEMLERİNİN OPTİMAL KONTROLÜ T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI UZAY-ZAMAN KESİRLİ DİFÜZYON SİSTEMLERİNİN OPTİMAL KONTROLÜ DOKTORA TEZİ DERYA AVCI BALIKESİR, OCAK - 3 T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ

Detaylı

EÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 4-2 Yıl: 2011 113-124

EÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 4-2 Yıl: 2011 113-124 EÜFBED - Fe Bilimleri Estitüsü Dergisi Cilt-Sa: 4- Yl: 3-4 STURM LİOUVİLLE FARK OERATÖRÜNÜN SEKTRAL ÖZELLİKLERİ SECTRAL ROERTIES OF THE STURM LIOUVILLE DIFFERENCE OERATOR Ateki ERYILMAZ * e Bileder AŞAOĞLU

Detaylı

YÜZME HAVUZUNUN AYARLI SIVI SÖNÜMLEYİCİ OLARAK PERFORMANSI

YÜZME HAVUZUNUN AYARLI SIVI SÖNÜMLEYİCİ OLARAK PERFORMANSI . Türkiye Deprem Mühediliği ve Simoloi Koferaı -4 Ekim ODTÜ AKARA ÖZET: YÜZME HAVUZUU AYARLI SIVI SÖÜMLEYİCİ OLARAK PERFORMASI A. Bozer Yrd. Doç. Dr., İşaat Müh. Bölümü, uh aci Yazga Üiveritei, Kayeri

Detaylı

Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi

Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi 3 Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteı Yötemi Bu yötem bir izdüşüm tekiğie dayaır ve yalış pozisyo olarak isimledirile matematiksel tekiğe yakıdır. Buradaki düşüce f() çizgisi üzerideki bilie iki oktada

Detaylı

v = ise v ye spacelike vektör,

v = ise v ye spacelike vektör, D.P.Ü. Fe Bilimleri Estitüsü 1. ayı Mayıs 6 emi-pozitif Ortogoal Matrisler içi Alteratif İi Yötem WO ALERNAIVE MEHOD FOR EMI-POIIVE OROGONAL MARICE B. BÜKCÜ* *Gaziosmapaşa Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi,

Detaylı

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1)

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1) TÜMEVARIM Matematite ulladığımız teoremleri ispatlamasıda pe ço ispat yötemi vardır. Özellile doğal sayılar ve birço ouda ispatlar yapare tümevarım yötemii sıça ullaırız. Tümevarım yötemii P Öermesii doğruluğuu

Detaylı

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız. Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları www.sbelia.wordpress.com SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız.. 4 4 = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız..

Detaylı

ÖĞRENME ETKİLİ HAZIRLIK VE TAŞIMA ZAMANLI PARALEL MAKİNELİ ÇİZELGELEME PROBLEMİ

ÖĞRENME ETKİLİ HAZIRLIK VE TAŞIMA ZAMANLI PARALEL MAKİNELİ ÇİZELGELEME PROBLEMİ Öğreme Etkili Hazırlık ve Taşıma Zamalı Paralel Makieli Çizelgeleme Problemi HAVACILIK VE UZAY TEKNOLOJİLERİ DERGİSİ TEMMUZ 2006 CİLT 2 SAYI 4 (67-72) ÖĞRENME ETKİLİ HAZIRLIK VE TAŞIMA ZAMANLI PARALEL

Detaylı

M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R

M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R İ H S A N T İ M U Ç İ N D O L A P C İ, Y İ Ğ İ T A K S O Y M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R P U B L I S H E R O F T H I S B O O K Copyright 13 İHSAN TİMUÇİN DOLAPCİ, YİĞİT AKSOY

Detaylı

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s - 18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte

Detaylı

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri 6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme

Detaylı

İstatistiksel Tahminleme. Güven Seviyesi. Verilerin yayılımı ( Örnek hacmi X = X / n Güven seviyesi (1 - )

İstatistiksel Tahminleme. Güven Seviyesi. Verilerin yayılımı ( Örnek hacmi X = X / n Güven seviyesi (1 - ) 04.05.0 İtatitikel Tahmileme İTATİTİKEL TAHMİNLEME VE YORUMLAMA ÜRECİ GÜVEN ARALIĞI Nokta Tahmii Populayo parametreii tek bir tahmi değerii verir μˆ σˆ p Pˆ Aralık Tahmii Populayo parametreii tahmi aralığıı

Detaylı

MATEMATİK ANABİLİM DALI

MATEMATİK ANABİLİM DALI ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Serka ÖKTEN -NORMLU UZAYLAR MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 00 ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ -NORMLU UZAYLAR Serka ÖKTEN ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN

Detaylı

Deney 1 : Ayrık Sinyaller

Deney 1 : Ayrık Sinyaller İŞARET İŞLEME ve UYGULAMALARI Deney : Ayrık Sinyaller Deney : Ayrık Sinyaller. Ayrık Sinüzoidaller 2. Periyodik Ayrık Sinyaller i. Fourier Serilerinin Önemli Özellikleri 3. Peryodik Olmayan Sonlu uzunluklu

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ. f-cebirlerinin İKİNCİ SIRALI DUALİ VE BANACH A-MODÜLLERİ ÜZERİNDEKİ A-LİNEER OPERATÖRLER

T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ. f-cebirlerinin İKİNCİ SIRALI DUALİ VE BANACH A-MODÜLLERİ ÜZERİNDEKİ A-LİNEER OPERATÖRLER T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ -CEBİRLERİNİN İKİNCİ SIRALI DUALİ VE BANACH A-MODÜLLERİ ÜZERİNDEKİ A-LİNEER OPERATÖRLER ESRA ULUOCAK DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI MATEMATİK

Detaylı

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden MC TEST I Seriler ve Diziler www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir2@yahoo.com.tr 8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerde hagisidir? A) 0,8 B) 0,9

Detaylı

Nümerik Analiz. Bilgisayar Destekli. Ders notları 2014. PROGRAMLAR: Doğrusal denklem sistemi Çözücüler

Nümerik Analiz. Bilgisayar Destekli. Ders notları 2014. PROGRAMLAR: Doğrusal denklem sistemi Çözücüler ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ Mühedilik Mimarlık Fakültei İşaat Mühediliği Bölümü E-Pota: ogu.ahmet.topcu@gmail.com We: http://mmf.ogu.edu.tr/atopcu Bilgiayar Detekli Nümerik Aaliz Der otları 014 Ahmet

Detaylı

Matematik Olimpiyatları İçin

Matematik Olimpiyatları İçin KONU ANLATIMLI Matematik Olimpiyatları İçi İdirgemeli Diziler, Kombiatorik ve Cebirsel Uygulamaları LİSE MATEMATİK OLİMPİYATLARI İÇİN Lokma Gökçe, Osma Ekiz İdirgemeli Diziler ve Uygulamaları Lokma Gökçe,

Detaylı

Değişkenler: Bir problemin modeli kurulduktan sonra değeri hesaplanacak olan bilinmeyen simgelerdir.

Değişkenler: Bir problemin modeli kurulduktan sonra değeri hesaplanacak olan bilinmeyen simgelerdir. 2. DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (DP) 2.1. DP i Taımı ve Bazı Temel Kavramlar Model: Bir sistemi değişe koşullar altıdaki davraışlarıı icelemek, kotrol etmek ve geleceği hakkıda varsayımlarda bulumak amacı ile

Detaylı

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisa 2010 LİSE - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Adreescu ad Joatha Kae Çeviri. Sibel Kılıçarsla Casu ve Fatih Kürşat Casu Problem 1 m ve aralarıda asal pozitif tam sayılar

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve BÖLÜM III Kogrüaslar Taım 3. N sabit bir sayı, a, b Z olma üzere, eğer ( a b) ise a ile b, modülüe göre ogrüdür deir ve a b(mod ) şelide gösterilir. Asi halde, yai F ( a b) ise a ile b ye modülüe göre

Detaylı

KANTOROVICH-STANCU TİP OPERATÖRLER İLE YAKLAŞIM. Neslihan KOZAN BAŞAK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

KANTOROVICH-STANCU TİP OPERATÖRLER İLE YAKLAŞIM. Neslihan KOZAN BAŞAK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KANTOROVICH-STANCU TİP OPERATÖRLER İLE YAKLAŞIM Nesliha KOZAN BAŞAK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ŞUBAT 00 ANKARA Nesliha Koza BAŞAK taraıda hazırlaa KANTOROVICH-STANCU

Detaylı

TUTGA ve C Dereceli Nokta Koordinatlarının Gri Sistem ile Tahmin Edilmesi

TUTGA ve C Dereceli Nokta Koordinatlarının Gri Sistem ile Tahmin Edilmesi TMMOB Harita ve Kadastro Mühedisleri Odası, 5. Türkiye Harita Bilimsel ve Tekik Kurultayı, 5 8 Mart 5, Akara. TUTGA ve C Dereceli Nokta Koordiatlarıı Gri istem ile Tahmi Edilmesi Kürşat Kaya *, Levet Taşcı,

Detaylı

HARDY-CROSS METODU VE UYGULANMASI

HARDY-CROSS METODU VE UYGULANMASI HRY-ROSS MTOU V UYGUNMSI ğ şebekelerde debi bir oktaya çeşitli yollarda gelebildiği içi, şebekei er agi bir borusua suyu agi yolda geldiğii ilk bakışta söyleyebilmek geellikle mümkü değildir. Çözümleme

Detaylı

Ders #9. Otomatik Kontrol. Kararlılık (Stability) Prof.Dr.Galip Cansever. 26 February 2007 Otomatik Kontrol. Prof.Dr.

Ders #9. Otomatik Kontrol. Kararlılık (Stability) Prof.Dr.Galip Cansever. 26 February 2007 Otomatik Kontrol. Prof.Dr. Der #9 Otomatik Kontrol Kararlılık (Stability) 1 Kararlılık, geçici rejim cevabı ve ürekli hal hataı gibi kontrol taarımcıının üç temel unurundan en önemli olanıdır. Lineer zamanla değişmeyen itemlerin

Detaylı

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı

Detaylı

Öğrenci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı

Öğrenci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı Öğreci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı SORU 1. a) Ekoomii taımıı yapıız, amaçlarıı yazıız. Tam istihdam ile ekoomik büyüme arasıdaki ilişkiyi açıklayıız. b) Arz-talep kauu edir? Arz ve talep asıl artar

Detaylı

ESM406- Elektrik Enerji Sistemlerinin Kontrolü. 2. SİSTEMLERİN MATEMATİKSEL MODELLENMESİ Laplace Dönüşümü

ESM406- Elektrik Enerji Sistemlerinin Kontrolü. 2. SİSTEMLERİN MATEMATİKSEL MODELLENMESİ Laplace Dönüşümü ESM406- Elektrik Enerji Sitemlerinin Kontrolü. SİSTEMLERİN MATEMATİKSEL MODELLENMESİ Laplace Dönüşümü.. Hedefler Bu bölümün hedefleri:. Komplek değişkenlerin tanıtılmaı.. Laplace Tranformayonun tanıtılmaı..

Detaylı

İSTATİSTİK DERS NOTLARI

İSTATİSTİK DERS NOTLARI Balıkesir Üiversitesi İşaat Mühedisliği Bölümü umutokka@balikesir.edu.tr İSTATİSTİK DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Umut OKKAN idrolik Aabilim Dalı Balıkesir Üiversitesi İşaat Mühedisliği Bölümü Bölüm 5 Örekleme

Detaylı

DOKTORA TEZİ. Ali ÇEVİK

DOKTORA TEZİ. Ali ÇEVİK ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ MATRİS ORTOGONAL POLİNOMLARININ ve MATRİS FONKSİYONLARININ BAZI ÖZELLİKLERİ Ali ÇEVİK MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 9 Her hakkı saklıdır ÖZET Doktora

Detaylı

Calculation of Spontaneous Emission Decay Rates of an Electron Moving in a Uniform Magnetic Field

Calculation of Spontaneous Emission Decay Rates of an Electron Moving in a Uniform Magnetic Field D.Ü.Ziya Gökalp Eğitim Fakülti Drgii 9, 1-17 (007) DÜZGÜN ANYETİK ALANDA HAREKET EDEN GÖRELİ ELEKTRON İÇİN KENDİLİĞİNDEN YAYA YARI ÖÜRLERİNİN HESAPLANASI Calculatio of Spotaou Emiio Dcay Rat of a Elctro

Detaylı

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz.

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz. 19B. Yak sak Gerçel Dizi Örekleri Bu bölümde birkaç yak sak dizi öre i daha görece iz. Verdi imiz örekleri her biri hem kedi bafl a hem de kulla la yötem aç s da öemlidir. Örek 19B.1. lim 1/ = 1. Ka t:

Detaylı

Tümleştirilmiş Kombinezonsal Devre Elemanları

Tümleştirilmiş Kombinezonsal Devre Elemanları Sayıal Devreler (Lojik Devreleri) Tümleştirilmiş Kombiezoal Devre Elemaları Sayıal itemleri gerçekleştirilmeide çokça kullaıla lojik devreler, lojik bağlaçları bir araya getirilmeiyle tümleştirilmiş devre

Detaylı

PEANO UZAYLARI VE HAHN-MAZURKIEWICZ TEOREMİ ÜZERİNE

PEANO UZAYLARI VE HAHN-MAZURKIEWICZ TEOREMİ ÜZERİNE SAÜ Fe Edebiyat Dergisi (-) Z.GÜNEY ve M.ÖZKOÇ PEANO UZAYLAR VE HAHN-MAZURKEWCZ TEOREMİ ÜZERİNE Zekeriya GÜNEY, Murad ÖZKOÇ Muğla Üiversitesi Eğitim Fakültesi Ortaöğretim Fe ve Matematik Alalar Eğitimi

Detaylı

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla Foksiyolarda Limit Foksiyolarda it: Bu bölümde y f ( ) foksiyou ve sayısı verildiğide, bağımsız değişkei sayısıa (solda veya sağda) yaklaşırke ya da sosuza yaklaşırke, foksiyou da bir L sayısıa (veya ya

Detaylı

Sınır Koşullarının Spektral Parametreyi İçerdiği İmpulsive Sturm-Liouville Sınır-Değer Problemi İçin Düz ve Ters Problemler

Sınır Koşullarının Spektral Parametreyi İçerdiği İmpulsive Sturm-Liouville Sınır-Değer Problemi İçin Düz ve Ters Problemler CÜ Fe-Edebiyat Faültesi Fe Bilimleri Dergisi (6)Cilt 7 Sayı Sıır Koşullarıı Spetral Parametreyi İçerdiği İmpulsive Sturm-Liouville Sıır-Değer Problemi İçi Düz ve Ters Problemler R Kh Amirov, B Kesi, A

Detaylı

TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUPLAR ÜZERİNDE ANALİTİK İŞLEMLER

TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUPLAR ÜZERİNDE ANALİTİK İŞLEMLER TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUPLAR ÜZERİNDE ANALİTİK İŞLEMLER ERDENER KAYA MERSİN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANA BİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ MERSİN HAZİRAN 7 TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI

Detaylı

REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyon Basit doğrusal regresyon modeli: .. + n gözlem için matris gösterimi,. olarak verilir.

REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyon Basit doğrusal regresyon modeli: .. + n gözlem için matris gösterimi,. olarak verilir. 203-204 Bahar REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyo Basit doğrusal regresyo modeli: y i = β 0 + β x i + ε i Modeli matris gösterimi, y i = [ x i ] β 0 β + ε i şeklidedir. x y 2 gözlem

Detaylı

ÖZET Doktora Tezi KISITLI DURUM KALMAN FİLTRESİ VE BAZI UYGULAMALARI Esi KÖKSAL BABACAN Akara Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü İstatistik Aabilim Dal

ÖZET Doktora Tezi KISITLI DURUM KALMAN FİLTRESİ VE BAZI UYGULAMALARI Esi KÖKSAL BABACAN Akara Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü İstatistik Aabilim Dal ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ KISITLI DURUM KALMAN FİLTRESİ VE BAZI UYGULAMALARI Esi KÖKSAL BABACAN İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 2009 Her hakkı saklıdır ÖZET Doktora Tezi

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI µ µ içi Güve Aralığı ALTERNATİF İTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMAI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

TEKNOLOJĐK ARAŞTIRMALAR

TEKNOLOJĐK ARAŞTIRMALAR www.tekolojikarastirmalar.com ISSN:34-44 Makie Tekolojileri Elektroik Dergisi 7 () 35-4 TEKNOLOJĐK ARAŞTIRMALAR Makale Polivili Klorür (Pvc) Malzemeleri Sıcaklığa Bağlı Titreşim Özelliklerii Đcelemesi

Detaylı

DENEY 5 İkinci Dereceden Sistem

DENEY 5 İkinci Dereceden Sistem DENEY 5 İkici Drcd Sitm DENEYİN AMACI. İkici drcd itmi karaktritiklrii alamak.. Söüm oraı ζ i, ikici drcd itm üzridki tkiii gözlmlmk. 3. Doğal frka i, ikici drcd itm üzridki tkiii gözlmlmk. GENEL BİLGİLER

Detaylı

SUALTI AKUSTİK DALGA YAYILIMINDA BALONCUKLARIN DİSPERSİF MODELLENMESİ. Burak DEĞİRMENCİ

SUALTI AKUSTİK DALGA YAYILIMINDA BALONCUKLARIN DİSPERSİF MODELLENMESİ. Burak DEĞİRMENCİ T.C. DENİZ HARP OKULU DENİZ BİLİMLERİ VE MÜHENDİSLİĞİ ENSTİTÜSÜ ELEKTRİK VE ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI İLETİŞİM BİLİM DALI SUALTI AKUSTİK DALGA YAYILIMINDA BALONCUKLARIN DİSPERSİF MODELLENMESİ

Detaylı

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KONVEKS FONKSİYONLAR VE MATRİS EŞİTSİZLİKLERİ Vilda BACAK YÜKSEK LİSANS TEZİ Matemati Aabilim Dalı Temmuz- KONYA Her Haı Salıdır ÖZET YÜKSEK LİSANS TEZİ

Detaylı

TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz

TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz TĐCARĐ MATEMATĐK - 5 Bileşik 57ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER: Örek 57: 0000 YTL yıllık %40 faiz oraıyla yıl bileşik faiz ile bakaya yatırılmıştır Bu paraı yılı souda ulaşacağı değer edir? IYol: PV = 0000 YTL = PV (

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LISANS TEZİ MARKOV ZİNCİRLERİNDE BOOTSTRAP. Serhat DUMAN İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 2006

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LISANS TEZİ MARKOV ZİNCİRLERİNDE BOOTSTRAP. Serhat DUMAN İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 2006 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LISANS TEZİ MARKOV ZİNCİRLERİNDE BOOTSTRAP Serhat DUMAN İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 26 Her hakkı saklıdır Yrd. Doç. Dr. İhsa KARABULUT u daışmalığıda,

Detaylı

KİMYASAL DENGE (GİBBS SERBEST ENERJİSİ MİNİMİZASYONU) MODELLEMESİ

KİMYASAL DENGE (GİBBS SERBEST ENERJİSİ MİNİMİZASYONU) MODELLEMESİ KİMYASAL DENGE (GİBBS SERBEST ENERJİSİ MİNİMİZASYONU) MODELLEMESİ M. Turha ÇOBAN Ege Üiversitesi, Mühedislik Fakultesi, Makie Mühedisliği Bölümü, Borova, İZMİR Turha.coba@ege.edu.tr Özet: Kimyasal degei

Detaylı

İSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr

İSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr İSTATİSTİK 2 Tahmi Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI aysecagli@beyket.edu.tr İstatistik yötemler İstatistik yötemler Betimsel istatistik Çıkarımsal istatistik Tahmi Hipotez testleri Nokta tahmii Aralık

Detaylı

AKIŞKAN BORUSU ve VANTİLATÖR DENEYİ

AKIŞKAN BORUSU ve VANTİLATÖR DENEYİ AKIŞKA BORUSU ve ATİLATÖR DEEYİ. DEEYİ AMACI a) Lüle ile debi ölçmek, b) Dairesel kesitli bir borudaki türbülaslı akış şartlarıda hız profili ve eerji kayıplarıı deeysel olarak belirlemek ve literatürde

Detaylı

H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Kısım Bir Reel Değişkeli Foksiyolar Teorisi Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 3 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Reel

Detaylı

T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU.

T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU. T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Yüksek Lisas Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU Elif SERİN Tez Daışmaı Yrd. Doç. Dr.Abdullah SÖNMEZOĞLU Yozgat 202

Detaylı

ÇOK SERBESTLĐK DERECELĐ SĐSTEMLERĐN ZAMAN TANIM ARALIĞINDA DĐNAMĐK ANALĐZĐ

ÇOK SERBESTLĐK DERECELĐ SĐSTEMLERĐN ZAMAN TANIM ARALIĞINDA DĐNAMĐK ANALĐZĐ DOKUZ EYLÜL ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ ÇOK SERBESTLĐK DERECELĐ SĐSTEMLERĐN ZAMAN TANIM ARALIĞINDA DĐNAMĐK ANALĐZĐ Kerem GÜRBÜZ Hazira, 011 ĐZMĐR ÇOK SERBESTLĐK DERECELĐ SĐSTEMLERĐN ZAMAN TANIM

Detaylı

Ele Alınacak Ana Konular. Hafta 3: Doğrusal ve Zamanla Değişmeyen Sistemler (Linear Time Invariant, LTI)

Ele Alınacak Ana Konular. Hafta 3: Doğrusal ve Zamanla Değişmeyen Sistemler (Linear Time Invariant, LTI) 5..5 Ele Alıaca Aa Koular Ayrı-zama işaretleri impuls dizisi ciside ifade edilmesi Ayrı-zama LTI sistemleri ovolüsyo toplamı gösterilimi Hafta 3: Doğrusal ve Zamala Değişmeye Sistemler (Liear Time Ivariat

Detaylı

Bağıntı YILLAR ) AxB BxA. 2) Ax(BxC) = (AxB)xC. 4) s(axb) = s(bxa) = s(a).s(b)

Bağıntı YILLAR ) AxB BxA. 2) Ax(BxC) = (AxB)xC. 4) s(axb) = s(bxa) = s(a).s(b) Bağıtı YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - - - BAĞINTI ÖZELLĐKLER: SIRALI ĐKĐLĐ: (a,) şeklideki ifadeye ir sıralı ikili yada kısaca ikili deir (a,) sıralı ikiliside a ya irici

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

GAMA FONKSİYONU. H. Turgay Kaptanoğlu. A. Tanım Gama fonksiyonu, 0 < x < değerleri için Euler integrali dediğimiz

GAMA FONKSİYONU. H. Turgay Kaptanoğlu. A. Tanım Gama fonksiyonu, 0 < x < değerleri için Euler integrali dediğimiz GAMA FONKSİYONU H. Turgay Kaptaoğlu A. Taım Gama foksiyou, < < değerleri içi Euler itegrali dediğimiz Γ( = t e t dt itegrali ile taımlaır. Öce bu ifadei e demek olduğuu alamaya çalışalım. bir gerçel sayı

Detaylı

SÖNÜMLÜ-DEĞİŞTİRİLMİŞ KORTEWEG-deVRIES (KdV) DENKLEMİNİN ANALİTİK VE HESAPLAMALI ÇÖZÜM KARŞILAŞTIRMASI

SÖNÜMLÜ-DEĞİŞTİRİLMİŞ KORTEWEG-deVRIES (KdV) DENKLEMİNİN ANALİTİK VE HESAPLAMALI ÇÖZÜM KARŞILAŞTIRMASI XIX. ULUSAL MEKANİK KONGRESİ 4-8 Ağustos 5, Karadeiz Tekik Üiversitesi, Trabzo SÖNÜMLÜ-DEĞİŞTİRİLMİŞ KORTEWEG-deVRIES (KdV) DENKLEMİNİN ANALİTİK VE HESAPLAMALI ÇÖZÜM KARŞILAŞTIRMASI Ciha BAYINDIR Işık

Detaylı

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS YILLAR 4 5 6 7 8 9 ÖSS - - - - - - ÖYS POLĐNOMLAR a,a,a,..., a P () = a + a +... + a R ve N olmak üzere; ifadesie Reel katsayılı.ci derecede bir değişkeli poliom deir. P()= a sabit poliom, (a ) P()= sıfır

Detaylı

1. Tabanı 2a büyük eksenli, 2b küçük eksenli elips ile sınırlanan ve büyük eksene dik her kesiti kare olan cismin 16ab 2 hacmini bulunuz.

1. Tabanı 2a büyük eksenli, 2b küçük eksenli elips ile sınırlanan ve büyük eksene dik her kesiti kare olan cismin 16ab 2 hacmini bulunuz. MAT -MATEMATİK (5-5 YAZ DÖNEMİ) ÇALIŞMA SORULARI. Tabaı a büyük ekseli, b küçük ekseli elips ile sıırlaa ve büyük eksee dik her kesiti kare ola cismi 6ab hacmii buluuz. Cevap :. y = ve y = eğrileri ile

Detaylı

Otomatik Kontrol. Sistem Modellerinin Zaman Cevabı ve Performans Kriterleri. Prof.Dr.Galip Cansever. Ders #6-8. Otomatik Kontrol

Otomatik Kontrol. Sistem Modellerinin Zaman Cevabı ve Performans Kriterleri. Prof.Dr.Galip Cansever. Ders #6-8. Otomatik Kontrol Der #6-8 Oomaik Korol Siem Modellerii Zama Cevabı ve Performa Krierleri Prof.Dr.Galip Caever Oomaik Korol Prof.Dr.Galip Caever Kapalı dögü iemi oluşurulmaıda öce iem modelide geçici rejim cevabıı aalizi

Detaylı

Standart Formun Yapısı. Kanonik Form. DP nin Formları SİMPLEX YÖNTEMİ DP nin Düzenleniş Şekilleri. 1) Optimizasyonun anlamını değiştirme

Standart Formun Yapısı. Kanonik Form. DP nin Formları SİMPLEX YÖNTEMİ DP nin Düzenleniş Şekilleri. 1) Optimizasyonun anlamını değiştirme 5.0.06 DP i Düzeleiş Şekilleri DP i Formları SİMPLEX YÖNTEMİ ) Primal (özgü) form ) Kaoik form 3) Stadart form 4) Dual (ikiz) form Ayrı bir kou olarak işleecek Stadart formlar Simplex Yötemi içi daha elverişli

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

Ki- kare Bağımsızlık Testi

Ki- kare Bağımsızlık Testi PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER Prof. Dr. Ali ŞEN Ki- kare Bağımsızlık Testi Daha öceki bölümlerde ölçümler arasıdaki ilişkileri asıl iceleeceğii gördük. Acak sıklıkla ilgileile veriler ölçüm

Detaylı