Çıkarsama, Tahmin, Hipotez Testi
|
|
- Basak Kaş
- 6 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 İSTATİSTİK II: Çıkarsama, Tahmin, Hipotez Testi Hüseyin Taştan 1 1 Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü 23 Eylül 2012 Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 1
2 İstatistik Biliminin Uğraşı Alanları Veriden anlam çıkarılması, özetlenmesi Belirsizlik: neyin olduğu değil, neyin olası olduğu Örnekleme (sampling): anakütlenin (population) tümüne ait bilgi toplamak çoğu zaman imkansızdır. Bunun yerine anakütleye ilişkin analiz bu anakütleyi en iyi temsil eden bir örnekleme dayandırılabilir. İktisadi ilişkilerin analizi: Ekonometrinin alanı Kestirim (Prediction) Belirsizlik altında karar alma Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 2
3 İstatistik Biliminin Uğraşı Alanları Veriden anlam çıkarılması, özetlenmesi Belirsizlik: neyin olduğu değil, neyin olası olduğu Örnekleme (sampling): anakütlenin (population) tümüne ait bilgi toplamak çoğu zaman imkansızdır. Bunun yerine anakütleye ilişkin analiz bu anakütleyi en iyi temsil eden bir örnekleme dayandırılabilir. İktisadi ilişkilerin analizi: Ekonometrinin alanı Kestirim (Prediction) Belirsizlik altında karar alma Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 2
4 İstatistik Biliminin Uğraşı Alanları Veriden anlam çıkarılması, özetlenmesi Belirsizlik: neyin olduğu değil, neyin olası olduğu Örnekleme (sampling): anakütlenin (population) tümüne ait bilgi toplamak çoğu zaman imkansızdır. Bunun yerine anakütleye ilişkin analiz bu anakütleyi en iyi temsil eden bir örnekleme dayandırılabilir. İktisadi ilişkilerin analizi: Ekonometrinin alanı Kestirim (Prediction) Belirsizlik altında karar alma Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 2
5 İstatistik Biliminin Uğraşı Alanları Veriden anlam çıkarılması, özetlenmesi Belirsizlik: neyin olduğu değil, neyin olası olduğu Örnekleme (sampling): anakütlenin (population) tümüne ait bilgi toplamak çoğu zaman imkansızdır. Bunun yerine anakütleye ilişkin analiz bu anakütleyi en iyi temsil eden bir örnekleme dayandırılabilir. İktisadi ilişkilerin analizi: Ekonometrinin alanı Kestirim (Prediction) Belirsizlik altında karar alma Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 2
6 İstatistik Biliminin Uğraşı Alanları Veriden anlam çıkarılması, özetlenmesi Belirsizlik: neyin olduğu değil, neyin olası olduğu Örnekleme (sampling): anakütlenin (population) tümüne ait bilgi toplamak çoğu zaman imkansızdır. Bunun yerine anakütleye ilişkin analiz bu anakütleyi en iyi temsil eden bir örnekleme dayandırılabilir. İktisadi ilişkilerin analizi: Ekonometrinin alanı Kestirim (Prediction) Belirsizlik altında karar alma Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 2
7 İstatistik Biliminin Uğraşı Alanları Veriden anlam çıkarılması, özetlenmesi Belirsizlik: neyin olduğu değil, neyin olası olduğu Örnekleme (sampling): anakütlenin (population) tümüne ait bilgi toplamak çoğu zaman imkansızdır. Bunun yerine anakütleye ilişkin analiz bu anakütleyi en iyi temsil eden bir örnekleme dayandırılabilir. İktisadi ilişkilerin analizi: Ekonometrinin alanı Kestirim (Prediction) Belirsizlik altında karar alma Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 2
8 BASİT RASSAL ÖRNEKLEME N tane nesne arasından n tanelik bir örneklem seçilmesinin istendiğini düşünelim. n nesneli olanaklı her örneklemin seçilme şansını eşit kılan seçim sürecine rassal örnekleme (random sampling) denir. Amaç: Örneklem bilgisine dayanarak anakütleye ilişkin çıkarsamalar yapmak Bu çıkarsamalar anakütleden çekilen örneklem bilgisinin belli bir fonksiyonu olan bir istatistiğe dayanır. Bu istatistiğin örnekleme dağılımı, bu anakütleden çekilebilecek aynı büyüklükteki bütün örneklemlerde sözkonusu istatistiğin alabileceği değerlerin olasılık dağılımıdır. Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 3
9 BASİT RASSAL ÖRNEKLEME N tane nesne arasından n tanelik bir örneklem seçilmesinin istendiğini düşünelim. n nesneli olanaklı her örneklemin seçilme şansını eşit kılan seçim sürecine rassal örnekleme (random sampling) denir. Amaç: Örneklem bilgisine dayanarak anakütleye ilişkin çıkarsamalar yapmak Bu çıkarsamalar anakütleden çekilen örneklem bilgisinin belli bir fonksiyonu olan bir istatistiğe dayanır. Bu istatistiğin örnekleme dağılımı, bu anakütleden çekilebilecek aynı büyüklükteki bütün örneklemlerde sözkonusu istatistiğin alabileceği değerlerin olasılık dağılımıdır. Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 3
10 BASİT RASSAL ÖRNEKLEME N tane nesne arasından n tanelik bir örneklem seçilmesinin istendiğini düşünelim. n nesneli olanaklı her örneklemin seçilme şansını eşit kılan seçim sürecine rassal örnekleme (random sampling) denir. Amaç: Örneklem bilgisine dayanarak anakütleye ilişkin çıkarsamalar yapmak Bu çıkarsamalar anakütleden çekilen örneklem bilgisinin belli bir fonksiyonu olan bir istatistiğe dayanır. Bu istatistiğin örnekleme dağılımı, bu anakütleden çekilebilecek aynı büyüklükteki bütün örneklemlerde sözkonusu istatistiğin alabileceği değerlerin olasılık dağılımıdır. Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 3
11 BASİT RASSAL ÖRNEKLEME N tane nesne arasından n tanelik bir örneklem seçilmesinin istendiğini düşünelim. n nesneli olanaklı her örneklemin seçilme şansını eşit kılan seçim sürecine rassal örnekleme (random sampling) denir. Amaç: Örneklem bilgisine dayanarak anakütleye ilişkin çıkarsamalar yapmak Bu çıkarsamalar anakütleden çekilen örneklem bilgisinin belli bir fonksiyonu olan bir istatistiğe dayanır. Bu istatistiğin örnekleme dağılımı, bu anakütleden çekilebilecek aynı büyüklükteki bütün örneklemlerde sözkonusu istatistiğin alabileceği değerlerin olasılık dağılımıdır. Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 3
12 BASİT RASSAL ÖRNEKLEME N tane nesne arasından n tanelik bir örneklem seçilmesinin istendiğini düşünelim. n nesneli olanaklı her örneklemin seçilme şansını eşit kılan seçim sürecine rassal örnekleme (random sampling) denir. Amaç: Örneklem bilgisine dayanarak anakütleye ilişkin çıkarsamalar yapmak Bu çıkarsamalar anakütleden çekilen örneklem bilgisinin belli bir fonksiyonu olan bir istatistiğe dayanır. Bu istatistiğin örnekleme dağılımı, bu anakütleden çekilebilecek aynı büyüklükteki bütün örneklemlerde sözkonusu istatistiğin alabileceği değerlerin olasılık dağılımıdır. Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 3
13 BASİT RASSAL ÖRNEKLEME n boyutlu Rassal Örneklem: X 1, X 2,..., X n, Bu r.d. lerin aldığı belirli değerler: x 1, x 2,..., x n Rassal Örneklem: her biri diğerinden bağımsız ve aynı dağılıma sahip, f(x i ), i = 1, 2,..., n Kısaca X i i.i.d f(x i ), i = 1, 2,..., n Bağımsızlık özelliğinden hareketle Ortak olasılık fonksiyonu (sürekli ise yoğunluğu): f(x 1, x 2,..., x n ) = f 1 (x 1 ) f 2 (x 2 ),..., f n (x n ) n = f j (x j ) j=1 Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 4
14 BASİT RASSAL ÖRNEKLEME n boyutlu Rassal Örneklem: X 1, X 2,..., X n, Bu r.d. lerin aldığı belirli değerler: x 1, x 2,..., x n Rassal Örneklem: her biri diğerinden bağımsız ve aynı dağılıma sahip, f(x i ), i = 1, 2,..., n Kısaca X i i.i.d f(x i ), i = 1, 2,..., n Bağımsızlık özelliğinden hareketle Ortak olasılık fonksiyonu (sürekli ise yoğunluğu): f(x 1, x 2,..., x n ) = f 1 (x 1 ) f 2 (x 2 ),..., f n (x n ) n = f j (x j ) j=1 Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 4
15 BASİT RASSAL ÖRNEKLEME n boyutlu Rassal Örneklem: X 1, X 2,..., X n, Bu r.d. lerin aldığı belirli değerler: x 1, x 2,..., x n Rassal Örneklem: her biri diğerinden bağımsız ve aynı dağılıma sahip, f(x i ), i = 1, 2,..., n Kısaca X i i.i.d f(x i ), i = 1, 2,..., n Bağımsızlık özelliğinden hareketle Ortak olasılık fonksiyonu (sürekli ise yoğunluğu): f(x 1, x 2,..., x n ) = f 1 (x 1 ) f 2 (x 2 ),..., f n (x n ) n = f j (x j ) j=1 Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 4
16 BASİT RASSAL ÖRNEKLEME n boyutlu Rassal Örneklem: X 1, X 2,..., X n, Bu r.d. lerin aldığı belirli değerler: x 1, x 2,..., x n Rassal Örneklem: her biri diğerinden bağımsız ve aynı dağılıma sahip, f(x i ), i = 1, 2,..., n Kısaca X i i.i.d f(x i ), i = 1, 2,..., n Bağımsızlık özelliğinden hareketle Ortak olasılık fonksiyonu (sürekli ise yoğunluğu): f(x 1, x 2,..., x n ) = f 1 (x 1 ) f 2 (x 2 ),..., f n (x n ) n = f j (x j ) j=1 Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 4
17 BASİT RASSAL ÖRNEKLEME n boyutlu Rassal Örneklem: X 1, X 2,..., X n, Bu r.d. lerin aldığı belirli değerler: x 1, x 2,..., x n Rassal Örneklem: her biri diğerinden bağımsız ve aynı dağılıma sahip, f(x i ), i = 1, 2,..., n Kısaca X i i.i.d f(x i ), i = 1, 2,..., n Bağımsızlık özelliğinden hareketle Ortak olasılık fonksiyonu (sürekli ise yoğunluğu): f(x 1, x 2,..., x n ) = f 1 (x 1 ) f 2 (x 2 ),..., f n (x n ) n = f j (x j ) j=1 Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 4
18 BETİMLEYİCİ ÖRNEK Populasyon: {6, 9, 12, 15, 18}, N = 5 f(x) = 1/5 farzedelim. Olasılık fonksiyonu şöyle yazılabilir: x f(x) = P (X = x) 1 5 Populasyon ortalaması, varyansı ve medyanını bulalım. E(X) = µ = = 12 E(X 2 ) = = 162 Var(X) = σ 2 = E(X 2 ) µ 2 = = 18 Med(X) = 12, Şimde bu 5 nesneli anakütleden n = 3 nesneli örneklemler çekmek istediğimizi düşünelim. ( ) 5 Olanaklı tüm örneklemlerin toplam sayısı: = 3 5 C 3 = 10 Örneklem ortalaması (X) ve medyanı (m) ve örneklem varyansının s 2 örnekleme dağılımlarını bulalım. Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan
19 BETİMLEYİCİ ÖRNEK (devam) Örneğimizdeki populasyonda sadece 5 nesne bulunduğundan olanaklı tüm örneklemleri (10 tane) listeleyip, herbiri için örneklem istatistiklerini hesaplayabiliriz: x = 1 n s 2 = 1 n 1 n i=1 x i n (x i x) 2 i=1 m = medyan(x) Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 6
20 BETİMLEYİCİ ÖRNEK (devam) Olanaklı tüm örneklemler için örneklem istatistikleri Örneklem no Örneklem değerleri x m s 2 1 6, 9, , 9, , 9, , 12, , 12, , 15, , 12, , 12, , 15, , 15, Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 7
21 BETİMLEYİCİ ÖRNEK (devam) Örneklem ortalamasının örnekleme dağılımı x f(x) = P (X = x) Örneklem ortalamasının beklenen değeri: E ( X ) = µ X = xf(x) = 9(0.1) (0.1) = 12 ( E X 2) = x 2 f(x) = 81(0.1) (0.1) = 147 Var ( X ) ( = E X 2) µ 2 = = 3 X Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 8
22 BETİMLEYİCİ ÖRNEK (devam) Örneklem medyanının örnekleme dağılımı m f(m) = P (M = m) E(m) = µ m = 12 Var(m) = σ 2 m = 5.4 Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 9
23 BETİMLEYİCİ ÖRNEK (devam) Örneklem varyansının örnekleme dağılımı s f(s 2 ) = P (S 2 = s 2 ) E(S 2 ) = s 2 f(s 2 ) = 9(0.3) + 21(0.4) + 36(0.1) + 39(0.2) = 22.5 Sonlu anakütle düzeltmesi yaparsak: E(S 2 ) = N N 1 = 5 4 σ2 = 22.5 Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 10
24 ÖRNEKLEM ORTALAMASININ ÖRNEKLEME DAĞILIMI Ortalaması µ, varyansı σ 2 olan bir anakütleden çekilmiş n boyutlu bir rassal örneklem: X 1, X 2,..., X n µ için bir tahminci: X = 1 n X i n Beklenen değer: E ( X ) = 1 n E ( n i=1 X i ) = 1 n i=1 n E(X i ) i=1 = 1 (µ + µ µ), X ler türdeş dağıldığı için n = 1 n nµ = µ Gözlem sayısı arttıkça, örneklem ortalaması anakütle ortalamasına yakınsar: n, X n µ Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 11
25 ÖRNEKLEM ORTALAMASININ ÖRNEKLEME DAĞILIMI Örneklem ortalamasının varyansı: V ar ( X ) ( n ) = 1 n 2 V ar X i = 1 n n 2 V ar(x i ) i=1 i=1 = 1 n 2 (σ2 + σ σ 2 ), X ler türdeş ve bağımsız dağıldığı için = 1 n 2 nσ2 = σ2 n Rassal örneklem olma özelliklerini (türdeş ve bağımsız dağılma, i.i.d) kullandık. Gözlem sayısı arttıkça, örneklem ortalamasının varyansı 0 a yakınsar: n, V ar(x n ) 0 Örneklem Ortalamasının standart hatası: sh(x) = σ X = σ n Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 12
26 ÖRNEKLEM ORTALAMASININ ÖRNEKLEME DAĞILIMI Anakütle normal dağılıyorsa örneklem ortalamasının örnekleme dağılımı da normal dağılır. Normal dağılmış r.d. lerin doğrusal fonksiyonları da normal dağılıma uyar: X N(µ, σ 2 ) ise a + bx N(a + bµ, b 2 σ 2 ) X i N(µ, σ 2 ), i = 1, 2,..., n ise X N ( µ, σ 2 ) n Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 13
27 ÖRNEKLEM ORTALAMASININ ÖRNEKLEME DAĞILIMI Eğer X lerin çekildiği anakütle normal dağılıma uyuyorsa: Z = X µ σ/ n N(0, 1) Daha genel olarak, eğer X lerin çekildiği anakütle normal dağılıma uymuyorsa, gözlem sayısı arttıkça, yukarıdaki ifade asimptotik olarak doğrudur. Merkezi Limit Teoreminden hareketle: Z = X µ σ/ n N(0, 1) Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 14
28 ÖRNEKLEM ORANININ ÖRNEKLEME DAĞILIMI Rassal değişken X, başarı olasılığının p ve toplam deneme sayısının n olduğu binom dağılımında toplam başarı sayısını ifade etsin: X Binom(n, p), E(X) = np, V ar(x) = np(1 p) Örneklem başarı oranı ˆp, toplam başarı sayısının gözlem sayısına oranıdır: ˆp = X n Beklenen değeri ve varyansı: ( ) X E(ˆp) = E = 1 n n E(X) = 1 n np = p ( ) X Var(ˆp) = Var = 1 n n 2 Var(X) = 1 p(1 p) np(1 p) = n2 n p(1 p) sh(ˆp) = σˆp = n Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 15
29 ÖRNEKLEM VARYANSININ ÖRNEKLEME DAĞILIMI Ortalaması µ, varyansı σ 2 olan bir anakütleden çekilmiş n boyutlu bir rassal örneklem: X 1, X 2,..., X n Amaç: Populasyon varyansı σ 2 için çıkarasama yapmak. Bu amaçla örneklem varyansı kullanılabilir: s 2 = 1 n 1 n (X i X) 2 i=1 Beklenen değer: E(s 2 ) = σ 2 Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 16
30 ÖRNEKLEM VARYANSININ ÖRNEKLEME DAĞILIMI E(s 2 ) = σ 2 İspat: s 2 formülünde parantezin içine µ yu ekleyip çıkarır ve yeniden düzenlersek: n ( Xi X ) 2 n [ = (Xi µ) (X µ) ] 2 i=1 = = = = i=1 n [ (Xi µ) 2 2(X i µ)(x µ) + (X µ) 2] i=1 n (X i µ) 2 2(X µ) i=1 n n (X i µ) + (X µ i=1 i=1 n (X i µ) 2 2n(X µ) 2 + n(x µ) 2 i=1 n (X i µ) 2 n(x µ) 2 Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama i=1 - H. Taştan 17
31 İspat (dvm) s 2 = 1 n 1 n i=1 (X i X) 2 = 1 n 1 n (X i µ) 2 n(x µ) 2 i=1 Beklenen değerini alırsak: ( n ) E(s 2 1 ) = n 1 E (X i µ) 2 n(x µ) 2 = 1 n 1 i=1 i=1 n E ( (X i µ) 2) ( n E (X µ) 2 ) }{{}}{{} σ 2 σ 2 n 1 = n 1 (nσ2 n σ2 n ) 1 = (n 1)σ2 n 1 = σ 2 Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 18
32 ÖRNEKLEM VARYANSININ ÖRNEKLEME DAĞILIMI Anakütlenin normal dağıldığı varsayımı altında gözlem değerlerinin ortalamadan sapmalarının karelerinin toplamının anakütle varyansına oranı ki-kare dağılımına uyar: (n 1)s 2 n i=1 σ 2 = (X i X) 2 σ 2 χ 2 n 1 Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 19
33 TAHMİN Tahmin teorisinde amaç örneklem (sample) bilgisine dayanarak anakütleye (population) ilişkin çıkarsamalar yapmaktır. Bu çıkarsamalar örneklem değerlerinin bir fonksiyonu olan istatistiklere dayanır. İstanbul da yaşayan hanehalklarının ortalama geliri ne kadardır? Buna ilişkin çıkarsama yapabilmemiz için örneklem bilgisini kullanan istatistiklerin, örneğin örneklem ortalamasının, örneklem dağılımını bilmemiz gerekir. Gerçek anakütle parametre değerleri (örneğin anakütledeki ortalama gelir) hiçbir zaman bilinemeyeceğinden, çıkarsama örneklem istatistikleriyle yapılır. Tahmin ikiye ayrılır: Nokta Tahmini ve Aralık Tahmini Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 20
34 TAHMİN Tahmin teorisinde amaç örneklem (sample) bilgisine dayanarak anakütleye (population) ilişkin çıkarsamalar yapmaktır. Bu çıkarsamalar örneklem değerlerinin bir fonksiyonu olan istatistiklere dayanır. İstanbul da yaşayan hanehalklarının ortalama geliri ne kadardır? Buna ilişkin çıkarsama yapabilmemiz için örneklem bilgisini kullanan istatistiklerin, örneğin örneklem ortalamasının, örneklem dağılımını bilmemiz gerekir. Gerçek anakütle parametre değerleri (örneğin anakütledeki ortalama gelir) hiçbir zaman bilinemeyeceğinden, çıkarsama örneklem istatistikleriyle yapılır. Tahmin ikiye ayrılır: Nokta Tahmini ve Aralık Tahmini Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 20
35 TAHMİN Tahmin teorisinde amaç örneklem (sample) bilgisine dayanarak anakütleye (population) ilişkin çıkarsamalar yapmaktır. Bu çıkarsamalar örneklem değerlerinin bir fonksiyonu olan istatistiklere dayanır. İstanbul da yaşayan hanehalklarının ortalama geliri ne kadardır? Buna ilişkin çıkarsama yapabilmemiz için örneklem bilgisini kullanan istatistiklerin, örneğin örneklem ortalamasının, örneklem dağılımını bilmemiz gerekir. Gerçek anakütle parametre değerleri (örneğin anakütledeki ortalama gelir) hiçbir zaman bilinemeyeceğinden, çıkarsama örneklem istatistikleriyle yapılır. Tahmin ikiye ayrılır: Nokta Tahmini ve Aralık Tahmini Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 20
36 TAHMİN Tahmin teorisinde amaç örneklem (sample) bilgisine dayanarak anakütleye (population) ilişkin çıkarsamalar yapmaktır. Bu çıkarsamalar örneklem değerlerinin bir fonksiyonu olan istatistiklere dayanır. İstanbul da yaşayan hanehalklarının ortalama geliri ne kadardır? Buna ilişkin çıkarsama yapabilmemiz için örneklem bilgisini kullanan istatistiklerin, örneğin örneklem ortalamasının, örneklem dağılımını bilmemiz gerekir. Gerçek anakütle parametre değerleri (örneğin anakütledeki ortalama gelir) hiçbir zaman bilinemeyeceğinden, çıkarsama örneklem istatistikleriyle yapılır. Tahmin ikiye ayrılır: Nokta Tahmini ve Aralık Tahmini Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 20
37 TAHMİN Tahmin teorisinde amaç örneklem (sample) bilgisine dayanarak anakütleye (population) ilişkin çıkarsamalar yapmaktır. Bu çıkarsamalar örneklem değerlerinin bir fonksiyonu olan istatistiklere dayanır. İstanbul da yaşayan hanehalklarının ortalama geliri ne kadardır? Buna ilişkin çıkarsama yapabilmemiz için örneklem bilgisini kullanan istatistiklerin, örneğin örneklem ortalamasının, örneklem dağılımını bilmemiz gerekir. Gerçek anakütle parametre değerleri (örneğin anakütledeki ortalama gelir) hiçbir zaman bilinemeyeceğinden, çıkarsama örneklem istatistikleriyle yapılır. Tahmin ikiye ayrılır: Nokta Tahmini ve Aralık Tahmini Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 20
38 TAHMİN Bir populasyon parametresinin bir tahmin edicisi (estimator) örneklem bilgisinin bir fonksiyonudur, dolayısıyla rassal bir değişkendir. Bu rassal değişkenin belli bir gerçekleşmesine, başka bir deyişle fonksiyonun belli örneklem için aldığı değere, tahmin (estimate) denir. İstanbul da yaşayan tüm ailelerin ortalama gelirini tahmin etmek istediğimizi düşünelim. 100 kişilik rassal bir örneklem seçersek, bu örneklemdeki ortalama, diyelim YTL, anakütle ortalamasının bir tahminidir. Örneklemi yinelesek başka bir tahmin değeri elde edeceğimiz neredeyse kesindir. Bir populasyon parametresinin nokta tahmin edicisi, örneklem bilgisinin tek bir sayı veren bir fonksiyonudur. Buna karşılık gelen belli bir gerçekleşmeye ise populasyon parametresinin nokta tahmini denir. İstanbul hanehalklarının ortalama geliri örneğinde, populasyon ortalamasını tahmin etmekte kullanılan örneklem ortalaması bir nokta tahmin edicisi, 100 kişiden oluşan her hangi bir rassal örneklem bilgisine dayanan YTL ise nokta tahminidir. Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 21
39 TAHMİN: Bazı tahminciler (estimator vs. estimate) Popülasyon parametresi Tahmin edici Tahmin Ortalama (µ) X x Varyans (σ 2 ) s 2 X s 2 x Standart Sapma (σ) s X s x Oran (p) ˆp X ˆp x Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 22
40 TAHMİN EDİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Anakütleye ilişkin gerçeğe yakın çıkarsamalar yapabilmemiz için tahmincilerin özelliklerini belirleyebilmemiz gerekir. Nokta tahmin edicilerinin özelliklerini ikiye ayırabiliriz: Sonlu örneklem (finite sample) özellikleri ve asimptotik özellikler Sonlu örneklem özellikleri, büyüklüğü ne olursa olsun her örneklem için gerçerlidir. Sonlu örneklem özellikleri: sapmasızlık, etkinlik Asimptotik ya da büyük örneklem özellikleri: tutarlılık, asimptotik etkinlik, asimptotik normallik Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 23
41 TAHMİN EDİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Anakütleye ilişkin gerçeğe yakın çıkarsamalar yapabilmemiz için tahmincilerin özelliklerini belirleyebilmemiz gerekir. Nokta tahmin edicilerinin özelliklerini ikiye ayırabiliriz: Sonlu örneklem (finite sample) özellikleri ve asimptotik özellikler Sonlu örneklem özellikleri, büyüklüğü ne olursa olsun her örneklem için gerçerlidir. Sonlu örneklem özellikleri: sapmasızlık, etkinlik Asimptotik ya da büyük örneklem özellikleri: tutarlılık, asimptotik etkinlik, asimptotik normallik Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 23
42 TAHMİN EDİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Anakütleye ilişkin gerçeğe yakın çıkarsamalar yapabilmemiz için tahmincilerin özelliklerini belirleyebilmemiz gerekir. Nokta tahmin edicilerinin özelliklerini ikiye ayırabiliriz: Sonlu örneklem (finite sample) özellikleri ve asimptotik özellikler Sonlu örneklem özellikleri, büyüklüğü ne olursa olsun her örneklem için gerçerlidir. Sonlu örneklem özellikleri: sapmasızlık, etkinlik Asimptotik ya da büyük örneklem özellikleri: tutarlılık, asimptotik etkinlik, asimptotik normallik Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 23
43 TAHMİN EDİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Anakütleye ilişkin gerçeğe yakın çıkarsamalar yapabilmemiz için tahmincilerin özelliklerini belirleyebilmemiz gerekir. Nokta tahmin edicilerinin özelliklerini ikiye ayırabiliriz: Sonlu örneklem (finite sample) özellikleri ve asimptotik özellikler Sonlu örneklem özellikleri, büyüklüğü ne olursa olsun her örneklem için gerçerlidir. Sonlu örneklem özellikleri: sapmasızlık, etkinlik Asimptotik ya da büyük örneklem özellikleri: tutarlılık, asimptotik etkinlik, asimptotik normallik Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 23
44 TAHMİN EDİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Anakütleye ilişkin gerçeğe yakın çıkarsamalar yapabilmemiz için tahmincilerin özelliklerini belirleyebilmemiz gerekir. Nokta tahmin edicilerinin özelliklerini ikiye ayırabiliriz: Sonlu örneklem (finite sample) özellikleri ve asimptotik özellikler Sonlu örneklem özellikleri, büyüklüğü ne olursa olsun her örneklem için gerçerlidir. Sonlu örneklem özellikleri: sapmasızlık, etkinlik Asimptotik ya da büyük örneklem özellikleri: tutarlılık, asimptotik etkinlik, asimptotik normallik Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 23
45 SAPMASIZLIK (UNBIASEDNESS) Bazı tanımlar: θ: Bilinmeyen anakütle parametresi ˆθ: θ nın nokta tahmin edicisi (kısaca, t.e.) TANIM: Eğer ˆθ nın örneklem dağılımındaki ortalaması anakütle parametresi θ ya eşitse, yani, E(ˆθ) = θ ise, ˆθ ya θ nın sapmasız bir tahmin edicisi (unbiased estimator) denir. Örnekleme sürecini çok sayıda yinelesek, her bir örneklem için ˆθ yı hesaplasak, bu çok sayıda tahmin değerinin ortalaması bizim bilmediğimiz anakütledeki parametre değerine (θ) eşit olur. Örnekler: E(X) = µ, E(s 2 X) = σ 2, E(ˆp X ) = p Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 24
46 SAPMASIZLIK (UNBIASEDNESS) Bazı tanımlar: θ: Bilinmeyen anakütle parametresi ˆθ: θ nın nokta tahmin edicisi (kısaca, t.e.) TANIM: Eğer ˆθ nın örneklem dağılımındaki ortalaması anakütle parametresi θ ya eşitse, yani, E(ˆθ) = θ ise, ˆθ ya θ nın sapmasız bir tahmin edicisi (unbiased estimator) denir. Örnekleme sürecini çok sayıda yinelesek, her bir örneklem için ˆθ yı hesaplasak, bu çok sayıda tahmin değerinin ortalaması bizim bilmediğimiz anakütledeki parametre değerine (θ) eşit olur. Örnekler: E(X) = µ, E(s 2 X) = σ 2, E(ˆp X ) = p Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 24
47 Sapmasızlık f ( ˆθ) θ icin SAPMALI ve SAPMASIZ tahmin ediciler ˆθ 1 in orn. dag ˆθ 2 nin orn. dag θ ˆθ
48 SAPMASIZLIK (dvm) Örneklem varyansı s 2 X nin beklenen değerinin anakütle varyansı σ 2 ye eşit olduğunu daha önce göstermiştik. Şimdi anakütle varyansının başka bir tahmin edicisini tanımlayalım. Örneklem ortalamasından sapmaların kareleri toplamını n 1 yerine n ye bölelim: ˆσ 2 = 1 n (X i X) 2 n i=1 Bu t.e. nin sapmalı olduğu açıktır. Bunu görmek için n i=1 (X i X) 2 = s 2 X (n 1) olduğundan hareketle (bkz. örneklem dağılımları) ˆσ 2 = n 1 n s2 X = E(ˆσ 2 ) = n 1 n E(s2 X) = n 1 n σ2 E(ˆσ 2 ) σ 2 olduğundan, ˆσ 2, σ 2 nin sapmalı bir tahmin edicisidir. Özellikle küçük örneklemlerde ˆσ 2 ye dayandırılan çıkarsamalar geçersiz olur. Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 26
49 SAPMASIZLIK (dvm) Örneklem varyansı s 2 X nin beklenen değerinin anakütle varyansı σ 2 ye eşit olduğunu daha önce göstermiştik. Şimdi anakütle varyansının başka bir tahmin edicisini tanımlayalım. Örneklem ortalamasından sapmaların kareleri toplamını n 1 yerine n ye bölelim: ˆσ 2 = 1 n (X i X) 2 n i=1 Bu t.e. nin sapmalı olduğu açıktır. Bunu görmek için n i=1 (X i X) 2 = s 2 X (n 1) olduğundan hareketle (bkz. örneklem dağılımları) ˆσ 2 = n 1 n s2 X = E(ˆσ 2 ) = n 1 n E(s2 X) = n 1 n σ2 E(ˆσ 2 ) σ 2 olduğundan, ˆσ 2, σ 2 nin sapmalı bir tahmin edicisidir. Özellikle küçük örneklemlerde ˆσ 2 ye dayandırılan çıkarsamalar geçersiz olur. Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 26
50 SAPMASIZLIK (dvm) Örneklem varyansı s 2 X nin beklenen değerinin anakütle varyansı σ 2 ye eşit olduğunu daha önce göstermiştik. Şimdi anakütle varyansının başka bir tahmin edicisini tanımlayalım. Örneklem ortalamasından sapmaların kareleri toplamını n 1 yerine n ye bölelim: ˆσ 2 = 1 n (X i X) 2 n i=1 Bu t.e. nin sapmalı olduğu açıktır. Bunu görmek için n i=1 (X i X) 2 = s 2 X (n 1) olduğundan hareketle (bkz. örneklem dağılımları) ˆσ 2 = n 1 n s2 X = E(ˆσ 2 ) = n 1 n E(s2 X) = n 1 n σ2 E(ˆσ 2 ) σ 2 olduğundan, ˆσ 2, σ 2 nin sapmalı bir tahmin edicisidir. Özellikle küçük örneklemlerde ˆσ 2 ye dayandırılan çıkarsamalar geçersiz olur. Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 26
51 SAPMASIZLIK (dvm) Örneklem varyansı s 2 X nin beklenen değerinin anakütle varyansı σ 2 ye eşit olduğunu daha önce göstermiştik. Şimdi anakütle varyansının başka bir tahmin edicisini tanımlayalım. Örneklem ortalamasından sapmaların kareleri toplamını n 1 yerine n ye bölelim: ˆσ 2 = 1 n (X i X) 2 n i=1 Bu t.e. nin sapmalı olduğu açıktır. Bunu görmek için n i=1 (X i X) 2 = s 2 X (n 1) olduğundan hareketle (bkz. örneklem dağılımları) ˆσ 2 = n 1 n s2 X = E(ˆσ 2 ) = n 1 n E(s2 X) = n 1 n σ2 E(ˆσ 2 ) σ 2 olduğundan, ˆσ 2, σ 2 nin sapmalı bir tahmin edicisidir. Özellikle küçük örneklemlerde ˆσ 2 ye dayandırılan çıkarsamalar geçersiz olur. Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 26
52 SAPMASIZLIK (dvm) Örneklem varyansı s 2 X nin beklenen değerinin anakütle varyansı σ 2 ye eşit olduğunu daha önce göstermiştik. Şimdi anakütle varyansının başka bir tahmin edicisini tanımlayalım. Örneklem ortalamasından sapmaların kareleri toplamını n 1 yerine n ye bölelim: ˆσ 2 = 1 n (X i X) 2 n i=1 Bu t.e. nin sapmalı olduğu açıktır. Bunu görmek için n i=1 (X i X) 2 = s 2 X (n 1) olduğundan hareketle (bkz. örneklem dağılımları) ˆσ 2 = n 1 n s2 X = E(ˆσ 2 ) = n 1 n E(s2 X) = n 1 n σ2 E(ˆσ 2 ) σ 2 olduğundan, ˆσ 2, σ 2 nin sapmalı bir tahmin edicisidir. Özellikle küçük örneklemlerde ˆσ 2 ye dayandırılan çıkarsamalar geçersiz olur. Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 26
53 SAPMASIZLIK (dvm) Sapmasız olmayan bir tahmin ediciye sapmalı (biased) denir. Sapmanın ölçüsü tahmin edicinin ortalaması ile gerçek popülasyon katsayısı arasındaki farktır: Sapma(ˆθ) = E(ˆθ) θ Sapmasız t.e.ler için Sapma(ˆθ) = 0 olduğu açıktır. Örneğin anakütle varyansının bir tahmin edicisi olan daha önce tanımladığımız ˆσ 2 için sapma: Sapma(ˆσ 2 ) = E(ˆσ 2 ) σ 2 = n 1 n σ2 σ 2 = 1 n σ2 Bir tahmin edicinin sapmasız olması, tahmin değerinin doğru değere eşit olduğu anlamına gelmez. Soyut olarak örneklem sürecinin çok sayıda tekrarlandığını düşünürsek, bu çok sayıda örneklemlerden hesaplanan tahmin değerlerinin ortalamasının bilinmeyen anakütle katsayısına eşit olmasıdır. Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 27
54 SAPMASIZLIK (dvm) Sapmasız olmayan bir tahmin ediciye sapmalı (biased) denir. Sapmanın ölçüsü tahmin edicinin ortalaması ile gerçek popülasyon katsayısı arasındaki farktır: Sapma(ˆθ) = E(ˆθ) θ Sapmasız t.e.ler için Sapma(ˆθ) = 0 olduğu açıktır. Örneğin anakütle varyansının bir tahmin edicisi olan daha önce tanımladığımız ˆσ 2 için sapma: Sapma(ˆσ 2 ) = E(ˆσ 2 ) σ 2 = n 1 n σ2 σ 2 = 1 n σ2 Bir tahmin edicinin sapmasız olması, tahmin değerinin doğru değere eşit olduğu anlamına gelmez. Soyut olarak örneklem sürecinin çok sayıda tekrarlandığını düşünürsek, bu çok sayıda örneklemlerden hesaplanan tahmin değerlerinin ortalamasının bilinmeyen anakütle katsayısına eşit olmasıdır. Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 27
55 SAPMASIZLIK (dvm) Sapmasız olmayan bir tahmin ediciye sapmalı (biased) denir. Sapmanın ölçüsü tahmin edicinin ortalaması ile gerçek popülasyon katsayısı arasındaki farktır: Sapma(ˆθ) = E(ˆθ) θ Sapmasız t.e.ler için Sapma(ˆθ) = 0 olduğu açıktır. Örneğin anakütle varyansının bir tahmin edicisi olan daha önce tanımladığımız ˆσ 2 için sapma: Sapma(ˆσ 2 ) = E(ˆσ 2 ) σ 2 = n 1 n σ2 σ 2 = 1 n σ2 Bir tahmin edicinin sapmasız olması, tahmin değerinin doğru değere eşit olduğu anlamına gelmez. Soyut olarak örneklem sürecinin çok sayıda tekrarlandığını düşünürsek, bu çok sayıda örneklemlerden hesaplanan tahmin değerlerinin ortalamasının bilinmeyen anakütle katsayısına eşit olmasıdır. Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 27
56 SAPMASIZLIK (dvm) Sapmasız olmayan bir tahmin ediciye sapmalı (biased) denir. Sapmanın ölçüsü tahmin edicinin ortalaması ile gerçek popülasyon katsayısı arasındaki farktır: Sapma(ˆθ) = E(ˆθ) θ Sapmasız t.e.ler için Sapma(ˆθ) = 0 olduğu açıktır. Örneğin anakütle varyansının bir tahmin edicisi olan daha önce tanımladığımız ˆσ 2 için sapma: Sapma(ˆσ 2 ) = E(ˆσ 2 ) σ 2 = n 1 n σ2 σ 2 = 1 n σ2 Bir tahmin edicinin sapmasız olması, tahmin değerinin doğru değere eşit olduğu anlamına gelmez. Soyut olarak örneklem sürecinin çok sayıda tekrarlandığını düşünürsek, bu çok sayıda örneklemlerden hesaplanan tahmin değerlerinin ortalamasının bilinmeyen anakütle katsayısına eşit olmasıdır. Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 27
57 ETKİNLİK (EFFICIENCY) Sapmasızlık tek başına iyi tahmin ediciler türetmede yeterli değildir. Genellikle bir anakütle parametresi için çok sayıda sapmasız tahmin edici tanımlanabilir. Bu tahmin edicilerin bilinmeyen gerçek anakütle değeri etrafındaki değişkenlikleri, yani varyansları da tahmin edicilerin seçiminde önemlidir. Tahmin edicilerin etkinliği bunların örneklem dağılımlarındaki varyansla ilişkilidir. TANIM: ˆθ 1 ve ˆθ 2, θ nın aynı sayıda gözleme dayanan iki sapmasız tahmin edicisi olsun. Eğer V ar(ˆθ 1 ) < V ar(ˆθ 2 ) ise ˆθ 1, ˆθ 2 dan daha etkin bir tahmin edicidir denir. Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 28
58 ETKİNLİK (EFFICIENCY) Sapmasızlık tek başına iyi tahmin ediciler türetmede yeterli değildir. Genellikle bir anakütle parametresi için çok sayıda sapmasız tahmin edici tanımlanabilir. Bu tahmin edicilerin bilinmeyen gerçek anakütle değeri etrafındaki değişkenlikleri, yani varyansları da tahmin edicilerin seçiminde önemlidir. Tahmin edicilerin etkinliği bunların örneklem dağılımlarındaki varyansla ilişkilidir. TANIM: ˆθ 1 ve ˆθ 2, θ nın aynı sayıda gözleme dayanan iki sapmasız tahmin edicisi olsun. Eğer V ar(ˆθ 1 ) < V ar(ˆθ 2 ) ise ˆθ 1, ˆθ 2 dan daha etkin bir tahmin edicidir denir. Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 28
59 ETKİNLİK (EFFICIENCY) Sapmasızlık tek başına iyi tahmin ediciler türetmede yeterli değildir. Genellikle bir anakütle parametresi için çok sayıda sapmasız tahmin edici tanımlanabilir. Bu tahmin edicilerin bilinmeyen gerçek anakütle değeri etrafındaki değişkenlikleri, yani varyansları da tahmin edicilerin seçiminde önemlidir. Tahmin edicilerin etkinliği bunların örneklem dağılımlarındaki varyansla ilişkilidir. TANIM: ˆθ 1 ve ˆθ 2, θ nın aynı sayıda gözleme dayanan iki sapmasız tahmin edicisi olsun. Eğer V ar(ˆθ 1 ) < V ar(ˆθ 2 ) ise ˆθ 1, ˆθ 2 dan daha etkin bir tahmin edicidir denir. Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 28
60 ETKİNLİK (EFFICIENCY) Sapmasızlık tek başına iyi tahmin ediciler türetmede yeterli değildir. Genellikle bir anakütle parametresi için çok sayıda sapmasız tahmin edici tanımlanabilir. Bu tahmin edicilerin bilinmeyen gerçek anakütle değeri etrafındaki değişkenlikleri, yani varyansları da tahmin edicilerin seçiminde önemlidir. Tahmin edicilerin etkinliği bunların örneklem dağılımlarındaki varyansla ilişkilidir. TANIM: ˆθ 1 ve ˆθ 2, θ nın aynı sayıda gözleme dayanan iki sapmasız tahmin edicisi olsun. Eğer V ar(ˆθ 1 ) < V ar(ˆθ 2 ) ise ˆθ 1, ˆθ 2 dan daha etkin bir tahmin edicidir denir. Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 28
61 Etkinlik Tahmin Edicilerin Etkinlikleri f ( ˆθ) ˆθ 1 nin orn. dag. ˆθ 2 nin orn. dag θ ˆθ
62 ETKİNLİK (dvm) TANIM: ˆθ 1 ve ˆθ 2, θ nın aynı sayıda gözleme dayanan iki sapmasız tahmin edicisi olsun. Bir tahmin edicinin ötekine göre göreli etkinliği varyanslarının oranıdır: Göreli etkinlik = V ar(ˆθ 2 ) V ar(ˆθ 1 ) TANIM: ˆθ 1, ˆθ 2,..., ˆθ k, θ nın aynı sayıda gözleme dayanan k tane sapmasız tahmin edicisi olsun. Eğer V ar(ˆθ 1 ) < V ar(ˆθ 2 ) <... < V ar(ˆθ k ) ise ˆθ 1, bu k sapmasız tahmin edici kümesi içinde en etkin ya da varyansı en küçük sapmasız tahmin edici denir. Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 30
63 ÖRNEK Ortalaması µ ve varyansı σ 2 olan bir anakütleden X 1, X 2,..., X 10 ile gösterilen 10 gözlemli rassal bir örneklem çekilmiştir. Anakütle ortalamasının iki tahmin edicisi tanımlanıyor: ˆθ 1 = X 1 ve ˆθ 2 = 10 1 X i. Bu tahmin edicilerin sapmasız olup olmadıklarını gösterin. Hangisi daha etkindir? CEVAP: Sapmasızlık için E(ˆθ 1 ) = µ olmalı. E(ˆθ 1 ) = E(X 1 ) = µ olduğundan ˆθ 1, µ nun sapmasız bir tahmin edicisidir. Benzer şekilde E(ˆθ 2 ) = E(10 1 X i ) = µ olduğundan ˆθ 2, µ nun sapmasız bir tahmin edicisidir. Etkinlik için varyanslarını hesaplamamız gerekir. V ar(ˆθ 1 ) = V ar(x 1 ) = σ 2 V ar(ˆθ 2 ) = V ar(10 1 X i ) = 0.01σ 2 Açıktır ki V ar(ˆθ 2 ) < V ar(ˆθ 1 ) olduğundan ˆθ 2, ˆθ 1 dan daha etkin bir tahmin edicidir. V ar(x Göreli Etkinlik= 1 ) V ar(10 1 X i ) = σ2 = σ 2 Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 31
64 ORTALAMA HATA KARESİ (MEAN SQUARED ERROR) Sapmasız tahmin edicilerin varyanslarını karşılaştırarak en etkin olanını çıkarsama yapmakta kullanabiliriz. Sadece sapmasız tahmin edicileri değil sapmalı olanları da gözönünde bulundurmak istersek varyansları karşılaştırmak çok anlamlı olmayabilir. Bunun yerine Ortalama Hata Karesi (MSE) kullanılabilir: MSE(ˆθ) = E[(ˆθ θ) 2 ] Ortalama Hata Karesinin aşağıdaki ifadeye eşdeğer olduğu gösterilebilir: MSE(ˆθ) = V ar(ˆθ) + (Sapma(ˆθ)) 2 MSE ˆθ nın gerçek anakütle parametresinden ortalamada ne kadar uzakta olduğunu ölçer. MSE varyans ve sapmaya bağlı olduğundan sapmalı tahmin edicilerin karşılaştırılmasında kullanılabilir. Sapma sıfır olduğunda MSE varyansa eşittir. Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 32
65 ORTALAMA HATA KARESİ (MEAN SQUARED ERROR) Sapmasız tahmin edicilerin varyanslarını karşılaştırarak en etkin olanını çıkarsama yapmakta kullanabiliriz. Sadece sapmasız tahmin edicileri değil sapmalı olanları da gözönünde bulundurmak istersek varyansları karşılaştırmak çok anlamlı olmayabilir. Bunun yerine Ortalama Hata Karesi (MSE) kullanılabilir: MSE(ˆθ) = E[(ˆθ θ) 2 ] Ortalama Hata Karesinin aşağıdaki ifadeye eşdeğer olduğu gösterilebilir: MSE(ˆθ) = V ar(ˆθ) + (Sapma(ˆθ)) 2 MSE ˆθ nın gerçek anakütle parametresinden ortalamada ne kadar uzakta olduğunu ölçer. MSE varyans ve sapmaya bağlı olduğundan sapmalı tahmin edicilerin karşılaştırılmasında kullanılabilir. Sapma sıfır olduğunda MSE varyansa eşittir. Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 32
66 ORTALAMA HATA KARESİ (MEAN SQUARED ERROR) Sapmasız tahmin edicilerin varyanslarını karşılaştırarak en etkin olanını çıkarsama yapmakta kullanabiliriz. Sadece sapmasız tahmin edicileri değil sapmalı olanları da gözönünde bulundurmak istersek varyansları karşılaştırmak çok anlamlı olmayabilir. Bunun yerine Ortalama Hata Karesi (MSE) kullanılabilir: MSE(ˆθ) = E[(ˆθ θ) 2 ] Ortalama Hata Karesinin aşağıdaki ifadeye eşdeğer olduğu gösterilebilir: MSE(ˆθ) = V ar(ˆθ) + (Sapma(ˆθ)) 2 MSE ˆθ nın gerçek anakütle parametresinden ortalamada ne kadar uzakta olduğunu ölçer. MSE varyans ve sapmaya bağlı olduğundan sapmalı tahmin edicilerin karşılaştırılmasında kullanılabilir. Sapma sıfır olduğunda MSE varyansa eşittir. Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 32
67 ORTALAMA HATA KARESİ (MEAN SQUARED ERROR) Sapmasız tahmin edicilerin varyanslarını karşılaştırarak en etkin olanını çıkarsama yapmakta kullanabiliriz. Sadece sapmasız tahmin edicileri değil sapmalı olanları da gözönünde bulundurmak istersek varyansları karşılaştırmak çok anlamlı olmayabilir. Bunun yerine Ortalama Hata Karesi (MSE) kullanılabilir: MSE(ˆθ) = E[(ˆθ θ) 2 ] Ortalama Hata Karesinin aşağıdaki ifadeye eşdeğer olduğu gösterilebilir: MSE(ˆθ) = V ar(ˆθ) + (Sapma(ˆθ)) 2 MSE ˆθ nın gerçek anakütle parametresinden ortalamada ne kadar uzakta olduğunu ölçer. MSE varyans ve sapmaya bağlı olduğundan sapmalı tahmin edicilerin karşılaştırılmasında kullanılabilir. Sapma sıfır olduğunda MSE varyansa eşittir. Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 32
68 ORTALAMA HATA KARESİ (MEAN SQUARED ERROR) Sapmasız tahmin edicilerin varyanslarını karşılaştırarak en etkin olanını çıkarsama yapmakta kullanabiliriz. Sadece sapmasız tahmin edicileri değil sapmalı olanları da gözönünde bulundurmak istersek varyansları karşılaştırmak çok anlamlı olmayabilir. Bunun yerine Ortalama Hata Karesi (MSE) kullanılabilir: MSE(ˆθ) = E[(ˆθ θ) 2 ] Ortalama Hata Karesinin aşağıdaki ifadeye eşdeğer olduğu gösterilebilir: MSE(ˆθ) = V ar(ˆθ) + (Sapma(ˆθ)) 2 MSE ˆθ nın gerçek anakütle parametresinden ortalamada ne kadar uzakta olduğunu ölçer. MSE varyans ve sapmaya bağlı olduğundan sapmalı tahmin edicilerin karşılaştırılmasında kullanılabilir. Sapma sıfır olduğunda MSE varyansa eşittir. Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 32
69 ORTALAMA HATA KARESİ (MEAN SQUARED ERROR) ÖRNEK: Anakütle varyansı σ 2 yi tahmin etmek için aşağıdaki iki tahmin ediciyi tanımlamıştık: ˆσ 2 = 1 n n i=1 (X i X) 2, ve s 2 = 1 n 1 n (X i X) 2 Daha önce E(ˆσ 2 ) = n 1 n σ2 ve E(s 2 ) = σ 2 olduğunu göstermiştik. Yani ˆσ 2 sapmalı, s 2 ise sapmasız bir tahmin ediciydi. Buradan hareketle ortalama hata kareleri: i=1 MSE(ˆσ 2 ) = V ar(ˆσ 2 ) + [Sapma(ˆσ 2 )] 2 Burada ˆσ 2 = n 1 n s2 ve V ar(s 2 ) = 2σ4 n 1 olduğuna dikkat edilirse ki-kare dağılımının özelliklerinden hareketle ( ) (n 1) n ( ) n 1 V ar ˆσ2 nˆσ 2 σ 2 = V ar σ 2 = 2(n 1) Buradan da n 2 σ 4 V ar(ˆσ2 ) = 2(n 1) = V ar(ˆσ 2 2(n 1) ) = n 2 σ 4 Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 33
70 ORTALAMA HATA KARESİ (MEAN SQUARED ERROR) ÖRNEK (dvm): Öyleyse ˆσ 2 için ortalama hata karesi: MSE(ˆσ 2 ) = V ar(ˆσ 2 ) + [Sapma(ˆσ 2 )] 2 2(n 1) = n 2 σ 4 + ( 1n ) 2 σ2 = s 2 için ortalama hata karesi (2n 1) n 2 σ 4 MSE(s 2 ) = V ar(s 2 ) + Sapma(s 2 ) = 2 n 1 σ4 + 0 = 2 n 1 σ4 Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 34
71 NOKTA TAHMİN EDİCİLERİNİN ASİMPTOTİK ÖZELLİKLERİ Anakütle ortalamasını tahmin etmek için n gözlemli bir rassal örneklemde nokta t.e. olarak bu örneklem değerlerinden sadece birini, mesela X 1, kullandığımızı düşünelim. Bu durumda örneklem bilgisinin tamamının kullanılmadığına dikkat edin. Bu tahmin edicinin sapmasız olduğunu ancak örneklem ortalamasına göre varyansının çok büyük olduğunu daha önce görmüştük. Örneklemin boyutu ne olursa olsun bu tahmin edicinin varyansı değişmeyecektir. Çoğu durumda gözlem sayısı n arttıkça tahmin sürecinin daha iyi sonuçlar vermesini bekleriz. Örneğin, n büyürken, X ın varyansı küçülür, böylece µ ya belli bir hızda yaklaşır. X 1 gibi bir t.e. ise n büyüdükçe değişmez. X 1 gibi aptalca tahmin edicileri bunların asimptotik özelliklerini inceleyerek eleyebiliriz. Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 35
72 NOKTA TAHMİN EDİCİLERİNİN ASİMPTOTİK ÖZELLİKLERİ Anakütle ortalamasını tahmin etmek için n gözlemli bir rassal örneklemde nokta t.e. olarak bu örneklem değerlerinden sadece birini, mesela X 1, kullandığımızı düşünelim. Bu durumda örneklem bilgisinin tamamının kullanılmadığına dikkat edin. Bu tahmin edicinin sapmasız olduğunu ancak örneklem ortalamasına göre varyansının çok büyük olduğunu daha önce görmüştük. Örneklemin boyutu ne olursa olsun bu tahmin edicinin varyansı değişmeyecektir. Çoğu durumda gözlem sayısı n arttıkça tahmin sürecinin daha iyi sonuçlar vermesini bekleriz. Örneğin, n büyürken, X ın varyansı küçülür, böylece µ ya belli bir hızda yaklaşır. X 1 gibi bir t.e. ise n büyüdükçe değişmez. X 1 gibi aptalca tahmin edicileri bunların asimptotik özelliklerini inceleyerek eleyebiliriz. Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 35
73 NOKTA TAHMİN EDİCİLERİNİN ASİMPTOTİK ÖZELLİKLERİ Anakütle ortalamasını tahmin etmek için n gözlemli bir rassal örneklemde nokta t.e. olarak bu örneklem değerlerinden sadece birini, mesela X 1, kullandığımızı düşünelim. Bu durumda örneklem bilgisinin tamamının kullanılmadığına dikkat edin. Bu tahmin edicinin sapmasız olduğunu ancak örneklem ortalamasına göre varyansının çok büyük olduğunu daha önce görmüştük. Örneklemin boyutu ne olursa olsun bu tahmin edicinin varyansı değişmeyecektir. Çoğu durumda gözlem sayısı n arttıkça tahmin sürecinin daha iyi sonuçlar vermesini bekleriz. Örneğin, n büyürken, X ın varyansı küçülür, böylece µ ya belli bir hızda yaklaşır. X 1 gibi bir t.e. ise n büyüdükçe değişmez. X 1 gibi aptalca tahmin edicileri bunların asimptotik özelliklerini inceleyerek eleyebiliriz. Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 35
74 NOKTA TAHMİN EDİCİLERİNİN ASİMPTOTİK ÖZELLİKLERİ Anakütle ortalamasını tahmin etmek için n gözlemli bir rassal örneklemde nokta t.e. olarak bu örneklem değerlerinden sadece birini, mesela X 1, kullandığımızı düşünelim. Bu durumda örneklem bilgisinin tamamının kullanılmadığına dikkat edin. Bu tahmin edicinin sapmasız olduğunu ancak örneklem ortalamasına göre varyansının çok büyük olduğunu daha önce görmüştük. Örneklemin boyutu ne olursa olsun bu tahmin edicinin varyansı değişmeyecektir. Çoğu durumda gözlem sayısı n arttıkça tahmin sürecinin daha iyi sonuçlar vermesini bekleriz. Örneğin, n büyürken, X ın varyansı küçülür, böylece µ ya belli bir hızda yaklaşır. X 1 gibi bir t.e. ise n büyüdükçe değişmez. X 1 gibi aptalca tahmin edicileri bunların asimptotik özelliklerini inceleyerek eleyebiliriz. Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 35
75 NOKTA TAHMİN EDİCİLERİNİN ASİMPTOTİK ÖZELLİKLERİ Anakütle ortalamasını tahmin etmek için n gözlemli bir rassal örneklemde nokta t.e. olarak bu örneklem değerlerinden sadece birini, mesela X 1, kullandığımızı düşünelim. Bu durumda örneklem bilgisinin tamamının kullanılmadığına dikkat edin. Bu tahmin edicinin sapmasız olduğunu ancak örneklem ortalamasına göre varyansının çok büyük olduğunu daha önce görmüştük. Örneklemin boyutu ne olursa olsun bu tahmin edicinin varyansı değişmeyecektir. Çoğu durumda gözlem sayısı n arttıkça tahmin sürecinin daha iyi sonuçlar vermesini bekleriz. Örneğin, n büyürken, X ın varyansı küçülür, böylece µ ya belli bir hızda yaklaşır. X 1 gibi bir t.e. ise n büyüdükçe değişmez. X 1 gibi aptalca tahmin edicileri bunların asimptotik özelliklerini inceleyerek eleyebiliriz. Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 35
76 NOKTA TAHMİN EDİCİLERİNİN ASİMPTOTİK ÖZELLİKLERİ Asimpototik özelliklerin incelenme nedenlerinden biri de, bazı durumlarda tahmin edicilerin küçük örneklem özelliklerinin açıkça ifade edilememesidir. Böyle bir durumda, tahmin ediciler arasında sapmasızlık ve etkinlik bakımından karşılaştırma yapmak olanaklı olmaz. Çoğu durumda tahmin edicilerin örneklem büyüklüğü artarken (n sonsuza giderken)ki davranışlarını incelemek daha kolay olabilir. Asimptotik özellikler: tutarlılık, asimptotik etkinlik Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 36
77 NOKTA TAHMİN EDİCİLERİNİN ASİMPTOTİK ÖZELLİKLERİ Asimpototik özelliklerin incelenme nedenlerinden biri de, bazı durumlarda tahmin edicilerin küçük örneklem özelliklerinin açıkça ifade edilememesidir. Böyle bir durumda, tahmin ediciler arasında sapmasızlık ve etkinlik bakımından karşılaştırma yapmak olanaklı olmaz. Çoğu durumda tahmin edicilerin örneklem büyüklüğü artarken (n sonsuza giderken)ki davranışlarını incelemek daha kolay olabilir. Asimptotik özellikler: tutarlılık, asimptotik etkinlik Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 36
78 NOKTA TAHMİN EDİCİLERİNİN ASİMPTOTİK ÖZELLİKLERİ Asimpototik özelliklerin incelenme nedenlerinden biri de, bazı durumlarda tahmin edicilerin küçük örneklem özelliklerinin açıkça ifade edilememesidir. Böyle bir durumda, tahmin ediciler arasında sapmasızlık ve etkinlik bakımından karşılaştırma yapmak olanaklı olmaz. Çoğu durumda tahmin edicilerin örneklem büyüklüğü artarken (n sonsuza giderken)ki davranışlarını incelemek daha kolay olabilir. Asimptotik özellikler: tutarlılık, asimptotik etkinlik Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 36
79 NOKTA TAHMİN EDİCİLERİNİN ASİMPTOTİK ÖZELLİKLERİ Asimpototik özelliklerin incelenme nedenlerinden biri de, bazı durumlarda tahmin edicilerin küçük örneklem özelliklerinin açıkça ifade edilememesidir. Böyle bir durumda, tahmin ediciler arasında sapmasızlık ve etkinlik bakımından karşılaştırma yapmak olanaklı olmaz. Çoğu durumda tahmin edicilerin örneklem büyüklüğü artarken (n sonsuza giderken)ki davranışlarını incelemek daha kolay olabilir. Asimptotik özellikler: tutarlılık, asimptotik etkinlik Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 36
80 TUTARLILIK (CONSISTENCY) Tanım: İlgilendiğimiz bilinmeyen populasyon parametresi θ olan bir anakütleden çekilmiş n boyutlu bir rassal örneklem X 1, X 2,..., X n olsun. Bu rassal örnekleme dayanarak θ nın ˆθ n gibi bir t.e. tanımlanıyor. İstediğimiz kadar küçük seçebileceğimiz her ɛ > 0 değeri için [ ] lim P ˆθ n θ < ɛ n [ ] = 1 ya da lim P ˆθ n θ > ɛ = 0 n koşulu sağlanıyorsa ˆθ n, θ nın tutarlı bir tahmin edicisidir. Bu koşul sağlandığında θ, ˆθ n nın olasılık limitidir denir ve kısaca şöyle gösterilir: plim(ˆθ n ) = θ ˆθ n nın örnekleme dağılımı büyük örneklemlerde (n sonsuza giderken) bilinmeyen anakütle parametre değeri θ etrafında yoğunlaşır. Tutarlı bir tahmin edici için, n büyürken doğru anakütle değerinden uzaklaşma olasılığı azalır, limitte sıfır olur. Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 37
81 TUTARLILIK (dvm) Law of Large Numbers: X 1, X 2,..., X n ortalaması µ, varyansı σ 2 olan bir anakütleden çekilmiş rassal bir örneklem (iid) olsun. Büyük sayılar yasasına göre ( ) 1 n plim(x n ) = plim X i = µ n V ar(x n ) limitte sıfıra yakınsadığından örneklem ortalaması limitte beklenti değeri olan µ ya yakınsar. Gözlem sayısı arttıkça X lerin anakütle ortalaması hakkında daha fazla bilgi toplanmış olur. Sonuçta bireysel olarak X lerdeki rassallık ortadan kalkar ve örneklem ortalaması popülasyon ortalamasına yakınsar.bunun gerçekleşebilmesi için i.i.d. varsayımı yeterlidir. n büyüdükçe varyansları küçülen (limitte sıfır olan) t.e. tutarlıdır. Tutarlılık özelliğini sağlamayan tahmin edicilere tutarsız (inconsistent) t.e. denir. Eğer bir t.e. tutarsız ise sonsuz sayıda örneklem değerleri olsa bile anakütle parametresi hakkında bilgi sahibi olmamıza imkan tanımaz. Tutarlı Ekonometri: bir tahmin İstatistiksel Çıkarsama edici sapmalı - H. Taştan olabileceği 38 gibi tersi de doğru i=1
82 TUTARLILIK (dvm) Bir tahmin edicinin tutarlı olabilmesi için aşağıdaki iki koşulu sağlaması yeterlidir: 1. lim n E(ˆθ n ) = θ 2. lim n V ar(ˆθ n ) = 0 Birinci koşula göre, gözlem sayısı arttıkça tahmin edicinin beklenen değeri limitte bilinmeyen doğru değere yakınsar. Bir başka deyişle n sonsuza giderken sapma sıfıra yakınsar. İkinci koşula göre, gözlem sayısı arttıkça anakütle parametresinin doğru değeri çevresindeki değişkenlik azalır, limitte sıfır olur. Eğer bu koşul sağlanmıyorsa, diyelim ki gözlem sayısı arttıkça tahmin edicinin varyansı artıyor ya da sabit kalıyorsa tutarlılık sağlanmaz. Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 39
83 TUTARLILIK (dvm) ÖRNEK: Ortalaması µ, varyansı σ 2 olan bir populasyondan n boyutlu bir örneklem çekilmiştir: X 1, X 2,..., X n. Örneklem ortalaması X n ın yanı sıra aşağıdaki tahmin ediciler tanımlanıyor: ˆµ 1 n = 1 n + 1 n i=1 X t, ˆµ 2 n = 1.02 n n i=1 X t, ˆµ 3 n = 0.01X n 1 Bu tahmin edicilerin sapmasız ve tutarlı olup olmadıklarını gösterin. Birinci tahmin edici sapmalı ancak tutarlıdır. ( ) E(ˆµ 1 1 n n) = E X t = n µ = sapmalı n + 1 n + 1 i=1 ( ) V ar(ˆµ 1 1 n n) = V ar X t = n + 1 i=1 n 2 (n + 1) 2 V ar(x n) = n i=2 X t n 2 σ 2 (n + 1) 2 n = n (n + 1) 2 σ2 n, n n + 1 µ µ, ve n (n + 1) 2 σ2 0 = tutarlı ˆµ 1 n = n n+1 X n olarak yazılabileceğine dikkat edin. Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 40
84 TUTARLILIK (dvm) ÖRNEK: İkinci tahmin edici sapmalı ve tutarsızdır: ( ) E(ˆµ n n) = E X t = 1.01E(X n ) = 1.01µ = sapmalı n n, i=1 1.01X n 1.01µ = tutarsız Üçüncü tahmin edici sapmasız ve tutarsızdır: ( n ) E(ˆµ 3 n) = 0.01E(X 1 ) n 1 E X t = 0.01µ (n 1)µ = µ = n 1 n, E ( 0.01X n 1 i=2 ) n X t 0.01X µ = tutarsı i=2 Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 41
85 TUTARLILIK (dvm) ÖRNEK: Anakütle varyansı σ 2 yi tahmin etmek için aşağıdaki iki tahmin ediciyi tanımlamıştık: ˆσ 2 = 1 n n i=1 (X i X) 2, ve s 2 = 1 n 1 n (X i X) 2 i=1 ˆσ 2 nın sapmalı olduğunu göstermiştik. Acaba tutarlı mı? Bunu görmek için n sonsuza giderken sapmanın sıfıra, varyansın da sıfıra yakınsadığını göstermek yeterlidir: n, ( 1n ) σ2 0, V ar(ˆσ 2 ) = 2(n 1) n 2 σ 4 0 = tutarlı Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 42
86 TUTARLILIK (dvm) Konuyu daha iyi anlamak için bilgisayarda şu Monte Carlo deneyini yapalım: Uniform(0,1) dağılımına uyan anakütleden n boyutlu rassal örneklemler çektiğimizi ve her örneklem için aşağıdaki t.e. değerlerini hesapladığımızı düşünelim. ˆσ 2 = 1 n n i=1 (X i X) 2, ve s 2 = 1 n 1 n (X i X) 2 i=1 Örneklem büyüklüklerini şu şekilde belirleyelim: n = {2, 5, 10, 15, 20, 50, 100, 1000, 5000, 10000}. Bu deneyi her bir örneklem için kere tekrarlayalım. Her örneklem büyüklüğü için bu sayının ortalamasını ve varyansını hesaplayalım. Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 43
87 Bu deney için aşağıdakine benzer bir MATLAB kodu kullanılabilir: n = [ ] ; N = 10000; for i=1:n for j=1:length(n); x = rand(n(j),1); xbar = mean(x); ssqdev = sum((x-xbar).^2); sigmahat2(i,j) = ssqdev/n(j); s2(i,j) = ssqdev/(n(j)-1); end end Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 44
88 Daha önce E(ˆσ 2 ) = n 1 n σ2 ve E(s 2 ) = σ 2 olduğunu göstermiştik. Yani ˆσ 2 sapmalı, s 2 ise sapmasız bir tahmin ediciydi. Bu iki tahmin edicinin varyansları: V ar(ˆσ 2 ) = 2(n 1)σ4 n 2, V ar(s 2 ) = 2σ4 n 1 Görüldüğü gibi ˆσ 2, s 2 den daha etkin bir tahmin edici ancak sapmalı. s 2 ise sapmasız fakat özellikle küçük örneklemlerde diğer t.e.ye göre daha büyük varyanslıdır. Ayrıca, ortalama hata kareleri: MSE(ˆσ 2 ) = (2n 1) n 2 σ 4, MSE(s 2 ) = 2 n 1 σ4 Ekonometri: İstatistiksel Çıkarsama - H. Taştan 45
Appendix C: İstatistiksel Çıkarsama
Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Notları Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix C: İstatistiksel Çıkarsama
DetaylıYTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları
Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix C: İstatistiksel Çıkarsama Doç.
DetaylıZ = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ
YTÜ-İktisat İstatistik II Merkezi Limit Teoremi 1 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ CENTRAL LIMIT THEOREM X 1,X 2,...,X n herbirinin ortalaması µ ve varyansı σ 2 olan ve aynı dağılıma uyan n tane bağımsız r.d. olsun.
DetaylıOLS Yönteminin Asimptotik (Büyük Örneklem) Özellikleri SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS) Asimptotik Özellikler: Tutarlılık. Asimptotik Özellikler
1 SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS) YÖNTEMİNİN ASİMPTOTİK ÖZELLİKLERİ Hüseyin Taştan 1 1 Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge
DetaylıBağımsızlık özelliğinden hareketle Ortak olasılık fonksiyonu (sürekli ise
YTÜ-İktisat İstatistik II Örekleme ve Öreklem Dağılımları BASİT RASSAL ÖRNEKLEME N tae ese arasıda taelik bir öreklem seçilmesii istediğii düşüelim. eseli olaaklı her öreklemi seçilme şasıı eşit kıla seçim
DetaylıSIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS)
SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS) YÖNTEMİNİN ASİMPTOTİK ÖZELLİKLERİ Hüseyin Taştan 1 1 Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge
DetaylıCh. 5: SEKK (OLS) nin Asimptotik Özellikleri
Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Notları Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. ed., 2002, Thomson Learning. Ch. 5: SEKK (OLS) nin Asimptotik
DetaylıYTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları
Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. ed., 2002, Thomson Learning. Ch. 5: SEKK (OLS) nin Asimptotik Özellikleri
DetaylıYTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları
Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. ed., 2002, Thomson Learning. Ch. 5: SEKK (OLS) nin Asimptotik Özellikleri
Detaylıaltında ilerde ele alınacaktır.
YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmin Yöntemleri 1 NOKTA TAHMİN YÖNTEMLERİ Şimdiye kadar verilmiş tahmin edicilerin sonlu örneklem ve asimptotik özelliklerini inceledik. Acaba bilinmeyen anakütle parametrelerini
DetaylıEkonometri I VARSAYIMLARI
Ekonometri I ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYON MODELİNİN VARSAYIMLARI Hüseyin Taştan Temmuz 23, 2006 İçindekiler 1 Varsayım MLR.1: Parametrelerde Doğrusallık 1 2 Varsayım MLR.2: Rassal Örnekleme 1 3 Varsayım MLR.3:
DetaylıARALIK TAHMİNİ (INTERVAL ESTIMATION):
YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmini I 1 ARALIK TAHMİNİ INTERVAL ESTIMATION): Nokta tahmininde ilgilenilen anakütle parametresine ilişkin örneklem bilgisinden hareketle tek bir sayı üretilir. Bir nokta
DetaylıAppendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi
Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Notları Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım
DetaylıYTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları
Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi
DetaylıYTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları
Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi
Detaylıİstatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi
İstatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi İstatistiksel Çıkarsama Ekonometri 1 Konu 3 Sürüm 2,0 (Ekim 2011) UADMK Açık Lisans Bilgisi İşbu belge, Creative Commons Attribution-Non-Commercial ShareAlike
DetaylıTahmin teorisinde amaç örneklem (sample) bilgisine dayanarak anakütleye. (population) ilişkin çıkarsamalar yapmaktır. Bu çıkarsamalar örneklem
YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmii 1 Tahmi teoriside amaç öreklem (sample) bilgisie dayaarak aakütleye (populatio) ilişki çıkarsamalar yapmaktır. Bu çıkarsamalar aakütlei dağılımıı belirleye bilimeye
DetaylıMIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
DetaylıÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI VE TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ
ÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI VE TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ TEMEL KAVRAMLAR PARAMETRE: Populasyonun sayısal açıklayıcı bir ölçüsüdür ve anakütledeki tüm elemanlar dikkate alınarak hesaplanabilir. Ana kütledeki
DetaylıMatris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli
Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β
DetaylıMIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
DetaylıTEMEL İSTATİSTİKİ KAVRAMLAR YRD. DOÇ. DR. İBRAHİM ÇÜTCÜ
TEMEL İSTATİSTİKİ KAVRAMLAR YRD. DOÇ. DR. İBRAHİM ÇÜTCÜ 1 İstatistik İstatistik, belirsizliğin veya eksik bilginin söz konusu olduğu durumlarda çıkarımlar yapmak ve karar vermek için sayısal verilerin
DetaylıH 0 : θ = θ 0 Bu sıfır hipotezi şunu ifade eder: Anakütle parametresi θ belirli bir θ 0
YTÜ-İktisat İstatistik II Hipotez Testi 1 HİPOTEZ TESTİ: AMAÇ: Örneklem bilgisinden hareketle anakütleye ilişkin olarak kurulan bir hipotezin (önsavın) geçerliliğinin test edilmesi Genel notasyon: anakütleye
Detaylıİstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık Ders 8: Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Tahmin (kestirim veya öngörü): Mevcut bilgi ve deneylere dayanarak olayın bütünü hakkında bir yargıya varmaktır. Bu anlamda, anakütleden çekilen
DetaylıÖrneklem Dağılımları ve Merkezi Limit Teoremi
Örneklem Dağılımları ve Merkezi Limit Teoremi Çıkarımsal İstatistik (Inferential Statistics) : Örneklemden yola çıkarak ana kütleyle (popülasyonla) ilgili çıkarımlarda bulunmak (Smidt, 2001) İstatistiksel
Detaylı3. TAHMİN En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1
3. TAHMİN 3.1. En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1 En Küçük Kareler (EKK) yöntemi, regresyon çözümlemesinde en yaygın olarak kullanılan, daha sonra ele alınacak bazı varsayımlar altında çok aranan istatistiki
DetaylıMIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
Detaylıİçindekiler. Ön Söz... xiii
İçindekiler Ön Söz.................................................... xiii Bölüm 1 İstatistiğe Giriş....................................... 1 1.1 Giriş......................................................1
DetaylıMIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
DetaylıMIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
DetaylıİSTATİSTİK I KAVRAMLARININ
YTÜ-İktisat İstatistik II İstatistik I Gözden Geçirme İSTATİSTİK I KAVRAMLARININ GÖZDEN GEÇİRİLMESİ Hüseyin Taştan Yıldız Teknik Üniversitesi, İktisat Bölümü, email: tastan@yildiz.edu.tr YTÜ-İktisat İstatistik
DetaylıANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM 317 Prof. Dr. Nihal ERGİNEL
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ENM 317 Prof. Dr. Nihal ERGİNEL 2 ÖRNEKLEME Anakütleden n birimlik örnek alınması ve anakütle parametrelerinin örnekten tahmin edilmesidir. 3 ÖRNEKLEME ALMANIN NEDENLERİ Anakütleye
DetaylıDers 9: Kitle Ortalaması ve Varyansı için Tahmin
Ders 9: Kitle Ortalaması ve Varyansı için Tahmin Kitle ve Örneklem Örneklem Dağılımı Nokta Tahmini Tahmin Edicilerin Özellikleri Kitle ortalaması için Aralık Tahmini Kitle Standart Sapması için Aralık
Detaylıİstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık - I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Tahmin (kes1rim veya öngörü): Mevcut bilgi ve deneylere dayanarak olayın bütünü hakkında bir yargıya varmak7r. ü Bu anlamda, anakütleden çekilen
DetaylıMIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
Detaylı8.Hafta. Değişkenlik Ölçüleri. Öğr.Gör.Muhsin ÇELİK. Uygun değişkenlik ölçüsünü hesaplayıp yorumlayabilecek,
İSTATİSTİK 8.Hafta Değişkenlik Ölçüleri Hedefler Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Uygun değişkenlik ölçüsünü hesaplayıp yorumlayabilecek, Serilerin birbirlerine değişkenliklerini yorumlayabileceksiniz. 2
DetaylıİÇİNDEKİLER ÖN SÖZ...
İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ... v GİRİŞ... 1 1. İSTATİSTİK İN TARİHÇESİ... 1 2. İSTATİSTİK NEDİR?... 3 3. SAYISAL BİLGİDEN ANLAM ÇIKARILMASI... 4 4. BELİRSİZLİĞİN ELE ALINMASI... 4 5. ÖRNEKLEME... 5 6. İLİŞKİLERİN
DetaylıBÖLÜM 12 STUDENT T DAĞILIMI
1 BÖLÜM 12 STUDENT T DAĞILIMI 'Student t dağılımı' ya da kısaca 't dağılımı'; normal dağılım ve Z dağılımının da içerisinde bulunduğu 'sürekli olasılık dağılımları' ailesinde yer alan dağılımlardan bir
DetaylıMühendislikte İstatistiksel Yöntemler
Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler BÖLÜM 7 TAHMİNLER Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU 1 Tahmin (kestirim veya öngörü): Mevcut bilgi ve deneylere dayanarak olayın bütünü hakkında bir yargıya varmaktır.
DetaylıCh. 12: Zaman Serisi Regresyonlarında Ardışık Bağıntı (Serial Correlation) ve Değişen Varyans
Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri II Ders Notları Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. ed., 2002, Thomson Learning. Ch. 12: Zaman Serisi Regresyonlarında
DetaylıANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM317 Mühendislik İstatistiği İSTATİSTİKSEL TAHMİN Prof. Dr. Nihal ERGİNEL
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ENM317 Mühendislik İstatistiği İSTATİSTİKSEL TAHMİN Prof. Dr. Nihal ERGİNEL İSTATİSTİKSEL TAHMİN Örnekten anakütle parametrelerinin tahmin edilmesidir. İki tür tahminleme yöntemi vardır:
DetaylıMIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
DetaylıTANIMLAYICI İSTATİSTİKLER
TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER Tanımlayıcı İstatistikler ve Grafikle Gösterim Grafik ve bir ölçüde tablolar değişkenlerin görsel bir özetini verirler. İdeal olarak burada değişkenlerin merkezi (ortalama) değerlerinin
Detaylıİstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık Örnekleme Planlar ve Dağılımları Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım İncelenen olayın ait olduğu anakütlenin bütünüyle dikkate alınması zaman, para, ekipman ve bunun gibi nedenlerden dolayı
DetaylıNORMAL DAĞILIM. 2., anakütle sayısı ile Poisson dağılımına uyan rassal bir değişkense ve 'a gidiyorsa,
NORMAL DAĞILIM TEORİK 1., ortalaması, standart sapması olan bir normal dağılıma uyan rassal bir değişkense, bir sabitken nin beklem üreten fonksiyonunu bulun. 2., anakütle sayısı ile Poisson dağılımına
DetaylıBKİ farkı Standart Sapması (kg/m 2 ) A B BKİ farkı Ortalaması (kg/m 2 )
4. SUNUM 1 Gözlem ya da deneme sonucu elde edilmiş sonuçların, rastlantıya bağlı olup olmadığının incelenmesinde kullanılan istatistiksel yöntemlere HİPOTEZ TESTLERİ denir. Sonuçların rastlantıya bağlı
Detaylı14 Ekim 2012. Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge. 1 Yıldız Teknik Üniversitesi
ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYON ANALİZİ: ÇIKARSAMA Hüseyin Taştan 1 1 Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge 14 Ekim 2012 Ekonometri
Detaylı2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI Tanım
2. REGRESYON ANALİZİNİN TEMEL KAVRAMLARI 2.1. Tanım Regresyon analizi, bir değişkenin başka bir veya daha fazla değişkene olan bağımlılığını inceler. Amaç, bağımlı değişkenin kitle ortalamasını, açıklayıcı
DetaylıİÇİNDEKİLER. Ön Söz Saymanın Temel Kuralları Permütasyon (Sıralama) Kombinasyon (Gruplama) Binom Açılımı...
İÇİNDEKİLER Ön Söz... Saymanın Temel Kuralları... Permütasyon (Sıralama)... 8 Kombinasyon (Gruplama)... 6 Binom Açılımı... Olasılık... 9 İstatistik... 8... Dağılımlar... 5 Genel Tarama Sınavı... 6 RASTGELE
DetaylıGenel olarak test istatistikleri. Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Dağılım (Yayılma) Ölçüleri. olmak üzere 2 grupta incelenebilir.
4.SUNUM Genel olarak test istatistikleri Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Dağılım (Yayılma) Ölçüleri olmak üzere 2 grupta incelenebilir. 2 Ranj Çeyrek Kayma Çeyrekler Arası Açıklık Standart Sapma Varyans
DetaylıÖrneklemden elde edilen parametreler üzerinden kitle parametreleri tahmin edilmek istenmektedir.
ÇIKARSAMALI İSTATİSTİKLER Çıkarsamalı istatistikler, örneklemden elde edilen değerler üzerinde kitleyi tanımlamak için uygulanan istatistiksel yöntemlerdir. Çıkarsamalı istatistikler; Tahmin Hipotez Testleri
DetaylıSÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER
SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER Sürekli Rassal Değişkenler Sürekli Rassal Değişken: Değerleriölçümyadatartımla elde edilen, bir başka anlatımla sayımla elde edilemeyen, değişkene sürekli rassal değişken denir.
DetaylıHipotez Testlerine Giriş. Hipotez Testlerine Giriş
Hipotez Testlerine Giriş Hipotez Testlerine Giriş Hipotez Testlerine Giriş Gözlem ya da deneme sonucu elde edilmiş sonuçların, raslantıya bağlı olup olmadığının incelenmesinde kullanılan istatistiksel
DetaylıRASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN
RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Olasılığa ilişkin olayların çoğunluğunda, deneme sonuçlarının bir veya birkaç yönden incelenmesi
DetaylıNormallik Varsayımı ve Ençok Olabilirlik Yöntemi
Normallik Varsayımı ve Ençok Olabilirlik Yöntemi Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA Ekonometri 1 Ders Notları Sürüm 2,0 (Ekim 2011) Açık Lisans Bilgisi İşbu belge, Creative Commons Attribution-Non-Commercial
Detaylıİki Değişkenli Bağlanım Çıkarsama Sorunu
İki Değişkenli Bağlanım Çıkarsama Sorunu Aralık Tahmini Ekonometri 1 Konu 15 Sürüm 2,0 (Ekim 2011) UADMK Açık Lisans Bilgisi İşbu belge, Creative Commons Attribution-Non-Commercial ShareAlike 3.0 Unported
Detaylıİstatistik I Ders Notları
İstatistik I Ders Notları Sürekli Rassal Değişkenler Hüseyin Taştan Kasım 2, 26 İçindekiler Sürekli Rassal Değişkenlerin Özellikleri 2 2 Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu 2 Birikimli Olasılık Fonksiyonu 6 4
DetaylıÖrneklem Dağılımları & Hipotez Testleri Örneklem Dağılımı
Örneklem Dağılımları & Hipotez Testleri Örneklem Dağılımı Ortalama veya korelasyon gibi istatistiklerin dağılımıdır Çıkarımsal istatistikte örneklem dağılımı temel fikirlerden biridir. Çıkarımsal istatistik
Detaylı1.58 arasındaki her bir değeri alabileceği için sürekli bir
7.SUNUM Hatırlanacağı gibi, kesikli rassal değişkenler sonlu (örneğin; 0, 1, 2,...,10) veya sayılabilir sonsuzlukta (örneğin; 0, 1, 2,...) değerler alabilmektedir. Fakat birçok uygulamada, rassal değişkenin
Detaylı3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI
ÖNSÖZ İÇİNDEKİLER III Bölüm 1 İSTATİSTİK ve SAYISAL BİLGİ 11 1.1 İstatistik ve Önemi 12 1.2 İstatistikte Temel Kavramlar 14 1.3 İstatistiğin Amacı 15 1.4 Veri Türleri 15 1.5 Veri Ölçüm Düzeyleri 16 1.6
Detaylı0.04.03 Standart Hata İstatistikte hesaplanan her istatistik değerin mutlaka hatası da hesaplanmalıdır. Çünkü hesaplanan istatistikler, tahmini bir değer olduğu için mutlaka hataları da vardır. Standart
DetaylıOLASILIK ve KURAMSAL DAĞILIMLAR
OLASILIK ve KURAMSAL DAĞILIMLAR Kuramsal Dağılımlar İstatistiksel çözümlemelerde; değişkenlerimizin dağılma özellikleri, çözümleme yönteminin seçimi ve sonuçlarının yorumlanmasında önemlidir. Dağılma özelliklerine
DetaylıOlasılık ve Normal Dağılım
Olasılık ve Normal Dağılım P = 0 İmkansız P =.5 Yarı yarıya P = 1 Kesin Yazı-Tura 1.5 2 1.5 2.5.5.25 Para atışı 10 kere tekrarlandığında Yazı Sayısı f % 0 3 30 1 6 60 2 1 10 Toplam 10 100 Atış 1000 kere
DetaylıDOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELLERİ. Durağan ARIMA Modelleri: Otoregresiv Modeller AR(p) Süreci
DOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELLERİ Durağan ARIMA Modelleri: Otoregresiv Modeller AR(p) Süreci Tek Değişkenli Zaman Serisi Modelleri Ekonomik verilerin analizi ile ekonomik değişkenlerin gelecekte alabilecekleri
DetaylıPARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER
PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER Prof. Dr. Ali ŞEN 1 ANAKÜTLE Anakütle kavramı insan, yer ve şeyler toplulugunu ifade etmek için kullanır. İlgi alanına gore, araştırmacı hangi topluluk üzerinde
Detaylıİstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik
6.SUNUM İstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik özellikleri (ortalama, varyans v.b. gibi) hakkında
DetaylıGÜVEN ARALIKLARI ve İSTATİSTİKSEL ANLAMLILIK. Ankara Üniversitesi Tıp Fakültesi Biyoistatistik Anabilim Dalı
GÜVEN ARALIKLARI ve İSTATİSTİKSEL ANLAMLILIK Ankara Üniversitesi Tıp Fakültesi Biyoistatistik Anabilim Dalı Kestirim Pratikte kitle parametrelerinin doğrudan hesaplamak olanaklı değildir. Bunun yerine
DetaylıTemel İstatistik. Y.Doç.Dr. İbrahim Turan Mart Tanımlayıcı İstatistik. Dağılımları Tanımlayıcı Ölçüler Dağılış Ölçüleri
Temel İstatistik Tanımlayıcı İstatistik Dağılımları Tanımlayıcı Ölçüler Dağılış Ölçüleri Y.Doç.Dr. İbrahim Turan Mart 2011 DAĞILIM / YAYGINLIK ÖLÇÜLERİ Verilerin değişkenlik durumu ve dağılışın şeklini
DetaylıNokta ve Aralık Tahmini Merkezi Limit Teoremi Örneklem Dağılımı Hipotez Testlerine Giriş
Nokta ve Aralık Tahmini Merkezi Limit Teoremi Örneklem Dağılımı Hipotez Testlerine Giriş Doç. Dr. Ertuğrul ÇOLAK Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Tıp Fakültesi Biyoistatistik Anabilim Dalı Nokta Tahmini
DetaylıRİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME
SORU 1: Bir hasar sıklığı dağılımının rassal değişken olan ortalaması (0,8) aralığında tekdüze dağılmaktadır. Hasar sıklığı dağılımının Poisson karma dağılıma uyduğu bilindiğine göre 1 ya da daha fazla
Detaylıİstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık -II Prof. Dr. İrfan KAYMAZ İki Ortalama Farkının Güven Aralığı Anakütle Varyansı Biliniyorsa İki ortalama arasındaki farkın dağılımına ilişkin Z değişkeni: Güven aralığı ifadesinde
DetaylıDeney Dizaynı ve Veri Analizi Ders Notları
Deney Dizaynı ve Veri Analizi Ders Notları Binom dağılım fonksiyonu: Süreksiz olaylarda, sonuçların az sayıda seçenekten oluştuğu durumlarda kullanılır. Bir para atıldığında yazı veya tura gelme olasılığı
DetaylıNormallik Varsayımı ve Ençok Olabilirlik Yöntemi
Normallik Varsayımı ve Ençok Olabilirlik Yöntemi EO Açıklayıcı Örnekler Ekonometri 1 Konu 14 Sürüm 2,0 (Ekim 2011) UADMK Açık Lisans Bilgisi İşbu belge, Creative Commons Attribution-Non-Commercial ShareAlike
DetaylıIstatistik ( IKT 253) 4. Çal şma Sorular - Cevaplar 7. CHAPTER (DISTRIBUTION OF SAM- PLE STATISTICS) 1 Ozan Eksi, TOBB-ETU
TOBB-ETÜ, Iktisat Bölümü Istatistik ( IKT 253) 4. Çal şma Sorular - Cevaplar 7. CHAPTER (DISTRIBUTION OF SAM- PLE STATISTICS) 1 Soru 1-(Sampling Distribution of Sample Means): Bir bölgedeki evlerin ortalama
Detaylı14 Ekim Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge. 1 Yıldız Teknik Üniversitesi
DEĞİŞEN VARYANS Hüseyin Taştan 1 1 Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge 14 Ekim 2012 Ekonometri I: Değişen Varyans
DetaylıİSTATİSTİK HAFTA. ÖRNEKLEME METOTLARI ve ÖRNEKLEM BÜYÜKLÜĞÜNÜN TESPİTİ
ÖRNEKLEME METOTLARI ve ÖRNEKLEM BÜYÜKLÜĞÜNÜN TESPİTİ HEDEFLER Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Örneklemenin niçin ve nasıl yapılacağını öğreneceksiniz. Temel Örnekleme metotlarını öğreneceksiniz. Örneklem
DetaylıMIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
Detaylıİstatistiksel Yorumlama
İstatistiksel Yorumlama Amaç, popülasyon hakkında yorumlamalar yapmaktadır. Populasyon Parametre Karar Vermek Örnek İstatistik Tahmin 1 Tahmin Olaylar hakkında tahminlerde bulunmak ve karar vermek zorundayız
DetaylıBİYOİSTATİSTİK Bazı Olasılık Dağılışları Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH
BİYOİSTATİSTİK Bazı Olasılık Dağılışları Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim AD. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr 1 Uygulamalı bilim
DetaylıSÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım
SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ Üstel Dağılım Normal Dağılım 1 Üstel Dağılım Meydana gelen iki olay arasındaki geçen süre veya bir başka ifadeyle ilgilenilen olayın ilk defa ortaya çıkması için geçen sürenin
DetaylıSÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI
SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI Sürekli verilerin göstermiş olduğu dağılışa sürekli olasılık dağılışı denir. Sürekli olasılık dağılışlarının fonksiyonlarına yoğunluk fonksiyonu denilmekte ve bu dağılışlarla
DetaylıProf.Dr.A.KARACABEY Doç.Dr.F.GÖKGÖZ RANDOM DEĞİŞKEN
SÜREKSİZ (DISCRETE) OLASILIK DAĞILIMLARI 1 RANDOM DEĞİŞKEN Nümerik olarak ifade edilebilen bir deneyin sonuçlarına rassal (random) değişken denir. Temelde iki çeşit random değişken vardır. ##süreksiz(discrete)
Detaylı26.12.2013. Farklı iki ilaç(a,b) kullanan iki grupta kan pıhtılaşma zamanları farklı mıdır?
26.2.23 Gözlem ya da deneme sonucu elde edilmiş sonuçların, raslantıya bağlı olup olmadığının incelenmesinde kullanılan istatistiksel yöntemlere HĐPOTEZ TESTLERĐ denir. Sonuçların raslantıya bağlı olup
DetaylıMerkezi Limit Teoremi
Örnekleme Dağılımı Merkezi Limit Teoremi Şimdiye kadar normal dağılıma uygun olan veriler ile ilgili örnekler incelendi. Çarpıklık gösteren veriler söz konusu olduğunda ne yapılması gerekir? Hala normal
DetaylıPARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER 8
PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER 8 Prof. Dr. Ali ŞEN İki Populasyonun Karşılaştırılması: Eşleştirilmiş Örnekler için Wilcoxon İşaretli Mertebe Testi -BÜYÜK ÖRNEK Bağımsız populasyonlara uygulanan
DetaylıBÖLÜM 6 MERKEZDEN DAĞILMA ÖLÇÜLERİ
1 BÖLÜM 6 MERKEZDEN DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Gözlenen belli bir özelliği, bu özelliğe ilişkin ölçme sonuçlarını yani verileri kullanarak betimleme, istatistiksel işlemlerin bir boyutunu oluşturmaktadır. Temel
Detaylı27 Mart Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (4th ed.) J. Wooldridge. 1 Yıldız Teknik Üniversitesi
ZAMAN SERİLERİ VERİLERİYLE REGRESYON ANALİZİNDE EK KONULAR Hüseyin Taştan 1 1 Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (4th ed.) J. Wooldridge
DetaylıİSTATİSTİK MHN3120 Malzeme Mühendisliği
İSTATİSTİK MHN3120 Malzeme Mühendisliği CBÜ - Malzeme Mühendisliği Bölümü Ofis: Mühendislik Fakültesi A Blok Ofis no:311 Tel: 0 236 2012404 E-posta :emre.yalamac@cbu.edu.tr YARDIMCI KAYNAKLAR Mühendiler
DetaylıBÖLÜM 1 GİRİŞ: İSTATİSTİĞİN MÜHENDİSLİKTEKİ ÖNEMİ
BÖLÜM..AMAÇ GİRİŞ: İSTATİSTİĞİ MÜHEDİSLİKTEKİ ÖEMİ Doğa bilimlerinde karşılaştığımız problemlerin birçoğunda olaydaki değişkenlerin değerleri bilindiğinde probleme kesin ve tek bir çözüm bulunabilir. Örneğin
DetaylıHatalar Bilgisi ve İstatistik Ders Kodu: Kredi: 3 / ECTS: 5
Ders Kodu: 0010070021 Kredi: 3 / ECTS: 5 Yrd. Doç. Dr. Serkan DOĞANALP Necmettin Erbakan Üniversitesi Harita Mühendisliği Bölümü Konya 07.01.2015 1 Giriş 2 Giriş Matematiksel istatistiğin konusu yığın
DetaylıAKT201 Matematiksel İstatistik I Yrd. Doç. Dr. Könül Bayramoğlu Kavlak
AKT20 Matematiksel İstatistik I 207-208 Güz Dönemi AKT20 MATEMATİKSEL İSTATİSTİK I ÖDEV 6 Son Teslim Tarihi: 29 Aralık 207 Cuma, Saat: 5:00 (Ödevlerinizi Arş. Gör. Ezgi NEVRUZ a elden teslim ediniz.) (SORU
DetaylıEME Sistem Simülasyonu. Giriş. Olasılık Dağılımı. Rassal Degiskenler
EME 3105 1 Giriş Sistem Simülasyonu Önümüzdeki hafta simulasyon girdilerinin modellenmesinde kullanılan kesikli ve sürekli Simulasyonda İstatistiksel Modeller-I Ders 4 dağılımlar hatırlatılacaktır. Rassal
Detaylıİstatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi
Bölüm 1 İstatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi 1.1 Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları Anlamlı Basamaklar Ondalık bir sayının anlamlı basamakları (significant digits), o sayının kesinlik ve
DetaylıKESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM
KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM Eğer X kesikli rassal değişkeninin alabileceği değerler (,,..., ) eşit olasılığa sahip ise, kesikli düzgün dağılım söz konusudur. p(x) =, X=,,..., şeklinde gösterilir. Bir kutuda
DetaylıYapılan alan araştırması sonucunda aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. ( ) ( ) ( ) ( )
İKİ DEĞİŞKENLİ OLASILIK Rassal bir deneme yapılmakta ve farklı iki olay ile ilgilenilmektedir. A 1, A 2,,A i olayları bağdaşmaz ve bütünü kapsayıcıdır. B 1, B 2,,B j olayları bağdaşmaz ve bütünü kapsayıcıdır.
DetaylıPARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER
PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER Prof. Dr. Ali ŞEN 1 Tek Örneklem İşaret Testi İşaret Testi parametrik olmayan prosedürler içinde en eski olanıdır. Analiz yapılırken serideki verileri artı ve
Detaylı13. Olasılık Dağılımlar
13. Olasılık Dağılımlar Mühendislik alanında karşılaşılan fiziksel yada fiziksel olmayan rasgele değişken büyüklüklerin olasılık dağılımları için model alınabilecek çok sayıda sürekli ve kesikli fonksiyon
Detaylıˆp x p p(1 p)/n. Ancak anakütle oranı p bilinmediğinden bu ilişki doğrudan kullanılamaz.
YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmii II 1 ANAKÜTLE ORANININ (p GÜVEN ARALIKLARI (BÜYÜK ÖRNEKLEMLERDE Her birii başarı olasılığı p ola birbiride bağımsız Beroulli deemeside öreklemdeki başarı oraıı ˆp
DetaylıANADOLU ÜNİVERSİTESİ BEKLENEN DEĞER. X beklenen değeri B[X] ile gösterilir. B[X] = İST 213 OLASILIK DERSİ BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLER
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLER DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL 2015 X beklenen değeri B[X] ile gösterilir. B[X] = BEKLENEN DEĞER Belli bir malzeme taşınan kolilerin ağırlıkları
DetaylıANADOLU ÜNİVERSİTESİ. Hipotez Testleri. ENM317 Mühendislik İstatistiği Prof. Dr. Nihal ERGİNEL
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ Hipotez Testleri ENM317 Mühendislik İstatistiği Prof. Dr. Nihal ERGİNEL HİPOTEZ TESTLERİ Pek çok problemde bazı parametrelere bağlı bir ifadeyi kabul yada red etmek için karar vermek
Detaylı