1 RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Sorular Sorular DOĞRUSAL DENKLEMLER Sorular DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 25

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "1 RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Sorular Sorular DOĞRUSAL DENKLEMLER Sorular DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 25"

Transkript

1 İçindekiler RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER. Çözümlü Sorular Sorular TEK - TERİMLİ veçok-terimli İFADELER 7 2. Çözümlü Sorular Sorular DOĞRUSAL DENKLEMLER 2 3. Çözümlü Sorular Sorular DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Çözümlü Sorular Sorular ÇARPANLARA AYIRMA I 3 5. Çözümlü Sorular Sorular ÇARPANLARA AYIRMA-II Çözümlü Sorular Sorular MUTLAK DEĞER 4 7. Çözümlü Sorular Sorular

2 2 İÇINDEKILER 8 MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER Çözümü Sorular Sorular POLİNOMLARA GİRİŞ Çözümlü Problemler Sorular KÖKLÜ İFADELERDE İŞLEMLER Çözümlü Problemler Sorular a ± b ŞEKLİNDEKİ KÖKLÜ İFADELER 6. Çözümlü Sorular Sorular KONGRÜANSLAR Çözümlü Sorular Sorular EULER - FERMAT 7 3. Çözümlü Sorular Sorular TAMSAYILARIN ONDALIKLI GÖSTERİMİ Çözümlü Sorular Sorular TAMKARE İFADELER Çözümlü Sorular Sorular DİOFANT DENKLEMLER-I Çözümlü Sorular Sorular DOĞRUSAL EŞİTSİZLİKLER Çözümlü Sorular

3 İÇINDEKILER Sorular İKİNCİ DERECEDEN VE RASYONEL EŞİTSİZLİKLER 9 8. Çözümlü problemler Sorular MUTLAK DEĞERLİ EŞİTSİZLİKLER Çözümlü Sorular Sorular DİOFANT DENKLEMLER-II Çözümlü Sorular Sorular TAM DEĞER FONKSİYONU Çözümlü Sorular Sorular ax 2 + bx + c =0 DENKLEMİNDEKÖKLER ve Çözümlü Sorular Sorular ax 2 + bx + c =0 DENKLEMİNDE KÖKLER-KATSAYILAR Çözümlü Sorular Sorular POLİNOM DENKLEMLER-I Çözümlü Sorular Sorular POLİNOM DENKLEMLER-II Çözümlü Sorular Sorular POLİNOMLARDA ÇARPANLARA AYIRMA Çözümlü Sorular Sorular

4 4 İÇINDEKILER 27 POLİNOMLARDA ÖZEL YÖNTEMLER Çözümlü Sorular Sorular POLİNOMLAR KARIŞIK SORULAR-I POLİNOMLAR KARIŞIK SORULAR-II FONKSİYONEL DENKLEMLER Çözümlü Sorular Sorular DİZİ -SERİI 6 3. Çözümlü Sorular Sorular DİZİ -SERİII Çözümlü Sorular Sorular EŞİTSİZLİKLER-I (AO-GO-Cauchy) Çözümlü Sorular Sorular EŞİTSİZLİKLER-II (Maksimum-Minimum) Çözümlü Sorular Sorular EŞİTSİZLİKLER-III Çözümlü Sorular Sorular ÇÖZÜMLER RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER TEK - TERİMLİ veçok-terimli İFADELER DOĞRUSALDENKLEMLER DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ ÇARPANLARA AYIRMA I

5 İÇINDEKILER ÇARPANLARA AYIRMA II MUTLAK DEĞER MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER POLİNOMLARA GİRİŞ KÖKLÜ İFADELERDE İŞLEMLER a ± b ŞEKLİNDEKİ KÖKLÜ İFADELER KONGRÜANSLAR EULER-FERMAT TAMSAYILARIN ONDALIKLI GÖSTERİMİ TAMKARE İFADELER DİOFANTDENKLEMLER-I DOĞRUSAL EŞİTSİZLİKLER İKİNCİ DERECEDEN VE RASYONEL EŞİTSİZLİKLER MUTLAK DEĞERLİ EŞİTSİZLİKLER DİOFANTDENKLEMLER-II TAM DEĞER FONKSİYONU ax 2 + bx + c =0 DENKLEMİNDEKÖKLER ve ax 2 + bx + c =0 DENKLEMİNDE KÖKLER-KATSAYILAR POLİNOMDENKLEMLER-I POLİNOMDENKLEMLER-II POLİNOMLARDA ÇARPANLARA AYIRMA POLİNOMLARDA ÖZEL YÖNTEMLER POLİNOMLAR KARIŞIK SORULAR-I POLİNOMLAR KARIŞIK SORULAR-II FONKSİYONEL DENKLEMLER DİZİ -SERİ I DİZİ -SERİ II EŞİTSİZLİKLER-I (AO-GO-Cauchy) EŞİTSİZLİKLER-II (Maksimum - Minimum) EŞİTSİZLİKLER-III

6 0 İÇINDEKILER

7 Bölüm RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER. BASİT ÖZELLİKLER a, b, c Q olmak üzere; a + b = b + a ve ab = ba Değişme özelliği (a + b)+c = a +(b + c) ve(ab)c = a(bc) Birleşme özelliği ac + bc =(a + b)c = c(a + b) Dağılma özelliği 2. PARANTEZ ÖZELLİKLERİ x, y Q olmak üzere; x +(y) =x + y, x +( y) =x y x (y) =x y, x ( y) =x + y x ( y) = xy,( x) y = xy,( x) ( y) =xy n =2k, k Z ( ) n = n =2k +,k Z ( ) n = Aşağıdaki ifadelerin paydaları sıfırdan farklı olmak üzere; x y = x y, x y = x y, x y = x y

8 2 BÖLÜM. RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER 3. TELESKOPİK TOPLAMLAR k(k +) = k k + k(k + m) = m ( k k + m ) k(k +)(k +2) = 2 ( k + (k +)(k +2) ) 4. ÇARPANLARA AYIRMA a, b Q olmak üzere ; (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 a 2 b 2 =(a b)(a + b) a 3 + b 3 =(a + b)(a 2 ab + b 2 ) a 3 b 3 =(a b)(a 2 + ab + b 2 ). Çözümlü Sorular Soru =? ÇÖZÜM: a 3 + b 3 =(a + b)(a 2 ab + b 2 ) özelliğini kullanalım = (83 + 7)( ) = 00 ( ) = 00 Soru..2. ( 5) 2 ( 5 )3 2 3 ( 2 )2 ( ) 999 =? ÇÖZÜM: ( 5) 2 ( 5 )3 2 3 ( 2 )2 ( ) 999 = 5 2 Soru =? ÇÖZÜM: K = ( ) K = 3 =3 K = [( ) ( ) ( ) ( ) = = 5 3 = 3 5 olmak üzere; ( ) 7 8 ( 7 )] ( =3 ) =

9 .. ÇÖZÜMLÜ SORULAR 3 Soru =? ÇÖZÜM: A = olmak üzere; A = ( ) = A = Soru ( 3579) 2 +( 3578)(3580) =? ÇÖZÜM: (a b)(a + b) =a 2 b 2 özdeşliğini kullanalım ( 3579) 2 +( 3578)(3580) = 3579 (3579) 2 ( ) = 3579 ( Soru )( + 3 )( + 3 ) ( + 3 )( + 3 ) =? ÇÖZÜM: Verilen ifade M olmak üzere; M = M = M = 5 Soru =? ÇÖZÜM: 2(k +2) = 2 ( k k +2 ) olduğundan = = 2 = 2 [( ) ( ) ( )] [ ] = 6 3 5

10 4 BÖLÜM. RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Soru ( 2) (2 3) (3 4) (000 00) 2 =? ÇÖZÜM: Verilen ifade K olmak üzere; K = K = K = 00 j= 2j + j 2 (j +) 2 ( ) 00 j 2 (j +) 2 j= () 2 (00) 2 K = 002 (00) 2 Soru..9. Birbirinden farklı p, q, r, s, t sayıları {, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanlarından oluşmaktadır. t nin hangi değeri için x en büyük değerini alır? x = p + q + r + s + t ÇÖZÜM: x in en büyük olması için paydayı mümkün olduğu kadar küçük yapmamız gerekmektedir. Payda p artı den küçük bir y kesri şeklindedir. p = ile en küçük değer elde edilir. y nin paydası q artı den küçük z kesri şeklindedir. q yu en büyük seçmemiz gerektiğinden q = 5 elde edilir. Aynı zamanda z nin de mümkün olduğu kadar büyük olması gerekmektedir. Bu sebeple r = 2 olmalıdır. Bu şekilde devam edilirse s =4vet = 3 bulunur.

11 .2. SORULAR 5.2 Sorular. Aşağıdaki işlemler sonucu elde edilen sonuçlardan hangisi en büyüktür? ( i. ( ) ) 7 ii. ( 0.25) iii. (-) + (-33) - (-55) - (-66) - (-77) - (-88) iv. v. ( 75 ) ( ) [ ( 6 ) 7 ( + 4 ) ( 4 ) ] 6 ( ) (4 7+2)(6 9+2)(8 + 2)...( ) (5 8+2)( )(9 2+2)...( ) =? =? 4. ab < 0 olduğuna göre (a b) 2 ve (a+b) 2 ifadelerinden hangisi daha büyüktür? ifadelerini küçükten bü- 5. <a<0 olduğuna göre a 3, a 3,a 4, a 4, a, a yüğe sıralayınız. 6. ( ) ( ) 2 ( ) 3... ( ) 99 ( ) 00 =? =? dan 2009 un yarısını sonra kalan sayının ünü çıkart. Daha sonra kalan 3 sayının 4 ünü vebuşekilde kalan sayının unu çıkartana kadar devam 2009 ettiğimizde kalan sayı kaç olur? =?

12 6 BÖLÜM. RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER =? ( )( ) 2008 ( )( ) =? =? n + 2 n n n + n n n =? =? =? =? (+2) 3 ( + 2) (+2+3) 4 (+2+3) (+2+3+4) 00 ( ) ( ) =? =? =?

13 Bölüm 2 TEK - TERİMLİ ve ÇOK-TERİMLİ İFADELER. Sayilarin ve bilinmiyenlerin çarpımlarından oluşan, 6, 32x, 2a, 2ax 2 y gibi ifadelere tek terimli ifadeler denir Her tek terimli ifadenin bir katsayısı vardır. Bu katsayı sabit bir sayı ifade eden bir harf ya da bir sayı olabilir. 32x ifadesinde katsayı 32, 2ax 2 y ifadesinde ise katsayı 2a dır. Bilinmiyen değerlerin derecelerinin toplamı tek terimli ifadenin derecesini verir. 3abx 2 nin derecesi 2, 7a 4 xy 2 nin derecesi 3. Tek terimli ifadelerin toplanmasıyla elde edilen yeni ifadelere polinom denir. Her bir tek terimli ifadeye polinomda polinomun bir terimi denir. Bilinmiyen değerin olmadığı terime sabit terim denir. En büyük dereceli terimin derecesine polinomun derecesi denir. İki terimin benzer olması için katsayıları hariç diğer bilinmiyen kısımlarının aynı olması gerekir. Aynı terimler arasında toplama ve çıkarma işlemleri yapılabilir. 4ax 2 y +5bx 2 y =(4a +5b)x 2 y ve 4ax 2 y 5bx 2 y =(4a 5b)x 2 y 2. ÇARPMA m, n negatif olmayan tam sayılar olmak üzere; a m.a n = a m+n, (a m ) n = a mn, (ab) n = a n b n 7

14 8 BÖLÜM 2. TEK - TERİMLİ VEÇOK-TERİMLİ İFADELER İkitekterimliifadeçarpıldığında katsayılar çarpılır, bilinmiyen kısımlar ise bir önceki kurala göre yapılır. Basit özdeşlikler (a b)(a + b) =a 2 b 2, (a + b) 2 = a 2 +2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 2. Çözümlü Sorular Soru a + { 4b [4a 7b ( 4a b)] + 5a} =? ÇÖZÜM: 3a + { 4b [4a 7b ( 4a b)] + 5a} = 3a + { 4b [8a 6b]+5a} = 3a + { 3a +2b} =2b Soru x n 2 8x n ( 9x n 2 ) 8(x n 2 2x n ) ifadesinin x =9ve n =3için en sade halini bulunuz. ÇÖZÜM: Parantezleri açarsak 8x n 8x n 2 ifadesi elde edilir. x =9ven =3 için 8x n 8x n 2 =8 (8 9) = 576 elde edilir. Soru (x )(x 2)(x 3)(x 4) ifadesini genişletin. ÇÖZÜM: (x )(x 2)(x 3)(x 4) = [(x )(x 4)] [(x 2)(x 3)] = (x 2 4x x +4)(x 2 3x 2x +6) = [(x 2 5x +5) ][(x 2 5x +5)+] = (x 2 5x +5) 2 = x 4 +25x x 3 +0x 2 50x = x 4 0x 3 +35x 2 50x +24 Soru x 2 x =0ise x3 + x + x 5 ifadesinin en sade halini bulun. ÇÖZÜM: x 2 x =0isex +=x 2 elde edilir. x 3 + x + x 5 = x3 + x 2 x 5 = x + x 5 = x = x2 x = x x

15 2.2. SORULAR Sorular. 4{(3x 2) [3(3x 2) + 3]} (4 6x) ifadesinin en sade halini yazınız. 2. Herhangi x, y reel sayıları için x 3 +4x 2 y + axy 2 +3xy bx c y +7xy 2 + dxy + y 2 = x 3 + y 3 olduğuna göre a, b, c, d değerlerini bulunuz dereceden iki polinomun toplamı ile elde edilen polinomun derecesi hakkında aşağıdakilerden hangileri doğrudur? i. 8 ii. 4 iii. < 4 iv m, x, y sayıları 2 3 (x 5)2 +5m 2 =0, 2a 2 b y+ ve 3a 2 b 3 terimleri aynıdır şartlarını sağladığına göre; { 3 8 x2 y +5m 2 7 [ 6 x2 y + 4 xy2 3 ] } 6 x2 y 3.475xy xy 2 ifadesinin en sade halini bulunuz. 5. P (x) =nx n+4 +3x 4 n 2x 3 +4x 5,Q(x) =3x n+4 x 4 + x 3 +2nx 2 + x 2 olmak üzere; P (x) Q(x) ifadesi5. dereceden ve altı terimli bir polinom ise n kaçtır? 6. Aşağıdaki ifadelerden hangileri tek-terimli dir? i. x 5 ii. 0, 5( + x ) iii. 3 x 2 7. (5xy 3x )(5xy y2 +3x 2 2 ) y2 ifadesini genişletin. 8. İki polinom toplanırken yanlışlıkla 2x2 + x + polinomu toplanacağına çıkartılmış ve5x 2 2x + 4 polinomu elde edilmiştir. Doğru cevabı bulunuz x b y c ve 0.5x m y 2n terimleri eşit ve toplamları.25ax n y m olduğuna göre abc kaçtır?

16 20 BÖLÜM 2. TEK - TERİMLİ VEÇOK-TERİMLİ İFADELER 0. x 5,x+ x, + 2 x + 3 x 2 ifadelerinin çarpımıyla elde edilen polinomun derecesi kaçtır?. 3x 2 + x =ise6x 3 x 2 3x kaçtır? 2. x = a b + c = b a + c = c ise x kaçtır? a + b n ifadesini tamkare yapan n değerlerini bulunuz. 4. x 2x +4xy 2y = 4 ise y x y 2xy kaçtır? 5. Dokuz tane kare birleştirilerek şekildeki gibi bir dikdörtgen elde ediliyor. En küçük karenin kenarı birim olduğuna göre bir sonraki küçük karenin kenarı kaç birimdir? Dikdörtgenin alanı kaç birim-karedir? D I C B E F G H 6. a, b, c sabit ve P (x) =ax 7 + bx 3 + cx 5olmaküzere; P ( 7) = 7 ise P (7) kaçtır? 7. a, b, c sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere; a + b + c = ise a, b, c a + b + c den iki tanesinin birbirinin ters işaretlisi olduğunu gösteriniz. 8. xy = a, xz = b, yz = c ve abc 0 ise x 2 + y 2 + z 2 nin değerini a, b, c cinsinden bulunuz. 9. a 4 + a 3 + a 2 + a + = 0 olduğuna göre a a 200 +kaçtır? 20. (x 2 x ) n = a 2n x 2n + a 2n x 2n a 2 x 2 + a x + a 0 olduğuna göre ifadesinin değeri kaçtır? a 0 + a 2 + a a 2n

17 Bölüm 3 DOĞRUSAL DENKLEMLER Denklem çözmede izlenecek yol Paydadan Kurtulmak: Eşitliğin her iki tarafı paydada yazan sayıların en küçük ortak katı ile çarpılır. Parantezler Açılır: Rasyonel sayılar ile ilgili özellikler kullanılarak parantezler açılır. İşaret değişikliklerine dikka edilir. Terimlerle İşlemler: Bilinmiyen terimler işlemler yapılıp bir tarafa, kalan sayılareşitliğin öbür tarafına göderilir. Eşitliğindiğer tarafına giden terimlerin işaretleri değiştirilir. Benzer terimler bir araya getirilerek denklemde ax = b elde edilir. a 0 ise x = b a olmak üzere tek çözüm vardır. a =0fakatb 0iseçözüm yoktur. a = b =0iseherx için çözüm vardır. 2

18 22 BÖLÜM 3. DOĞRUSAL DENKLEMLER 3. Çözümlü Sorular Soru { 9 [ 5 ( ) x ] } =denklemini çözünüz. ÇÖZÜM: [ ( ) ] x = ( ) x = x ise x +2=6 danx = 4 bulunur. = 2 Soru a, b, c pozitif sabit sayılar olmak üzere; aşağıdaki denklemi çözünüz. ÇÖZÜM: ( x a b c x a b c + x b c a + x c a b =3 ) ( ) ( ) x b c x c a + + a b = 0 ( x a b c c ) + ( x b c a a ) + ( ) x c a b b = 0 ( (x a b c) c + a + ) =0 b = 0 c + a + > 0isex a b c =0,x = a + b + c olur. b Soru a(2x +3)+3bx =2x +5 denkleminin sonsuz tane çözümü varsaa, b değerlerini bulunuz. ÇÖZÜM: a(2x +3)+3bx =2x + 5 ise (2a +3b 2)x =5 3aolduğundan 2a +3b 2=0ve5 3a = elde edilir. Dolayısıyla a = 5 3, b = 26 9 bulunur. Soru a(2x ) = 3x 3 denkleminin çözüm kümesi yoksa a sabiti kaçtır? ÇÖZÜM: a(2x ) = 3x 3ise(2a 3)x = a 3 olduğundan 2a 3=0ve a 3 0 olmalıdır. Dolayısıyla a = 3 elde edilir. 2 Soru ax +4=3x b denkleminin x için den fazla çözümü varsa (4a +3b) 2007 değeri kaçtır? ÇÖZÜM: (a 3)x = (4 + b) şeklindeki bir denklemin den fazla çözümünün olması için a 3 =0 ve 4+b = 0 olacağından a =3veb = 4 bulunur. Dolayısıyla (4a +3b) 2007 = =0

19 3.2. SORULAR Sorular. 5 { 4 [ 3 ( 2 x 3 ) ] } 2 2 = denklemini çözünüz. 2. [ ( ) ] x + +5 = x denklemini çözünüz x +3x 5 3 = x 2 2x 0 6x 7 2 denklemini çözünüz. 4. ax + b 5x +2ab 5 = 4 denklemini çözünüz. 5. x 2=kx + 5 denkleminin x için pozitif tamsayı çözümü varsak ve x değerlerini bulunuz. 6. 2a(x +6)=4x + denklemini sağlayan x değeri yok ise a kaçtır? 7. 3 ve 4 sayıları aşağıdaki denklemlerden hangilerinin kökleridir? (x 3)(x +4)=0 (x 3)(x 4) = 0 (x +3)(x +4)=0 (x +3)(x 4) = 0 8. k tamsayı ve kx = 2 denkleminin sadece pozitif tamsayı kökü varsak hangi değerleri alır? 9. x + x + + x +2 = 3 2 vardır? denklemini sağlayan kaç tane pozitif x tamsayısı 0. 3a x = x denkleminin kökü 4 olduğuna göre (a)2 2a kaçtır?. m n olmak üzere; x n m x m = m denklemini x için çözünüz. n n 2. a, b sabit sayılar olmak üzere; [4ax (a + b)](a + b) = 0 denklemini çözünüz.

20 24 BÖLÜM 3. DOĞRUSAL DENKLEMLER 3. 3 mx =5x +( 2)2 denkleminin kökü 2 olduğuna göre (m 2 m + 7) 2007 ifadesinin değeri kaçtır? 4. m sabit olmak üzere; mx 2 +=m(x + ) denklemini çözünüz. 5. k 2 x k 2 =2kx 5k denkleminin tam sayı çözümü olduğuna göre k pozitif sabit sayısı kaçtır? 6. [ ( 3 x 2 x + a )] =2xve 3x + a +4x = denklemlerinin ortak bir kökü varsabukök kaçtır? 7. a, b, c pozitif sayılar ve abc = olduğuna göre aşağıdaki denklemi x için 8. çözünüz. 2ax ab + a + + 2bx bc + b + + 2cx ca + c + = 8 3 x m = 9 x + 23 denkleminin pozitif tamsayı kökü olmasını sağlayan en 4 küçük m pozitif tamsayısı kaçtır? 9. Çözüm kümesi 3[4x (2x 6)] = x + 8 denklemi ile aynı olan denklemi sabit terimini kullanarak elde ediniz n =, 2,..., 2008, a =vea n+ = + a n olmak üzere; a a 2 + a 2 a 3 + a 3 a a 2008 a 2009 değeri kaçtır?

21 Bölüm 4 DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ. Genel olarak birinci dereceden iki bilinmiyenli denklem sistemi aşağıdaki gibidir. a x + b y = c a 2 x + b 2 y = c 2 2. Eğer a b ise x = c b 2 c 2 b, y = a c 2 a 2 c a 2 b 2 a b 2 a 2 b a b 2 a 2 b vardır. şeklinde tek çözüm 3. Eğer a a 2 = b b 2 = c c 2 ise denklemin sonsuz çözümü vardır. 4. Eğer a a 2 = b b 2 c c 2 ise çözüm yoktur. 4. Çözümlü Sorular Soru 4... Aşağıdaki denklem sistemini çözünüz. x y x + y 5 4 = 2 2(x y) 3(x + y)+ = 0 ÇÖZÜM: x y x + y = x +5y = elde edilir. Her iki denklem çözüldüğünde x = 59 4 bulunur. ise x +9y = 0 bulunur. İkinci denklemden 25 ve y = 4

22 26 BÖLÜM 4. DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Soru Aşağıdaki denklem sistemine göre z y kaçtır? 2000(x y) + 200(y z) (z x) = (x y) (y z) (z x) = 200 ÇÖZÜM: u = x y, v = y z ve w = z x dersek u + v + w = 0 elde edilir. 200 (u+v +w) (2000u+200v +2002w) = 0 dolayısıyla u w =0,u = w elde edilir. u+v+w = 0 olduğundan v = 2w bulunur u v w = 200 denkleminde u = w ve v = 2w yazarsak ( )w = 200 [( ) ( )] w = 200 Dolayısıyla z y = v =2w = 200 olarak bulunur. Soru ab a + b =2, ac a + c =5, 2w = 200 bc =4olduğuna göre a + b + c kaçtır? b + c ÇÖZÜM: Verilen ifadelerden abc 0 olduğu kolaylıkla anlaşılıyor. Bu durumda aşağıdaki gibi yazmamızda bir sakınca yoktur. a + b ab = 2, a + c ac = 5, b + c bc Dolayısıyla aşağıdaki denklem sistemi elde edilir. a + b = 2, a + c = 5, b + c = 4 Denklem sistemi çözüldüğünde a = 40/9, b = 40/, c = 40 elde edilir. = 4 Soru Aşağıdaki denklem sistemini çözünüz ve k değerini bulunuz. x +(+k)y = 0 ( k)x + ky = +k ( + k)x +(2 k)y = ( + k) ÇÖZÜM: 2. ve 3. denklemleri toplarsak 2x +2y =0yanix = 6y elde edilir.. denklemde x = 6y yazarsak (k 5)y = 0 elde edilir. k 5 ise y = 0 dolayısıyla x =0 bulunur. Bu durumda 2. denklemden k = kolaylıkla bulunur. Eğer k =5ise2. ve 3. denklemlerden y =6/29 ve x = 36/29 bulunur.

23 4.2. SORULAR Sorular. Aşağıdaki denklem sistemini çözünüz. 5.4x +4.6y = x +5.4y = Aşağıdaki denklem sistemini çözünüz. x +2(5x + y) = 6 5x + y = 7 3. Aşağıdaki denklem sistemini çözünüz. x 2 = y 3 = z 5 x +3y +6z = 5 4. Aşağıdaki denklem sistemini çözünüz. x + y = 5 y + z = 6 z + x = 7 5. Aşağıdaki denklem sistemini çözünüz. x +2y = 5 y +2z = 8 z +2u = u +2x = 6 6. Aşağıdaki denklem sistemini çözünüz. 5x y +3z = a 5y z +3x = b 5z x +3y = c

24 28 BÖLÜM 4. DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 7. x =2,y =aşağıdaki denklem sistemi için b,r çözüm ise a ile c arasındaki ilişkiyi bulunuz. ax + by = 7 bx + cy = 5 8. Ağağıdaki denklem sistemlerinin çözüm kümeleri aynı ise (a, b, c) değerlerini bulunuz. 3x y =5 ax by + z =8 2x + y z =0 x + y +5=c 4ax +5by z = 22 2x +3y = 4 9. Aşağıdaki denklem sisteminin tek çözümü varsa,çözümü yoksa ve sonsuz çözümü varsa durumları için k değerlerini bulunuz. kx y = 3 3y = 6x 0. Aşağıdaki denklem sistemini çözünüz. x y z = 5 y z x = z x y = 5. Aşağıdaki denklem sistemini çözünüz. x y + z = y z + u = 2 z u + v = 3 u v + x = 4 v x + y = 5 2. Aşağıdaki denklem sisteminin tamsayı çözümü olduğuna göre m 2 kaçtır? mx +2y = 0 3x 2y = 0

25 4.2. SORULAR x + 2 y + 3 z x 6 y 5 z = 0 = 0 olduğuna göre x y + y z + z x kaçtır? 4. a, b, c, d, e, f rasyonel sayılar olmak üzere; her satır, sütun ve köşegen boyunca sayıların toplamı eşit olduğuna göre a + b + c + d + e + f kaçtır? a b 6 c d e f Aşağıdaki denklem sistemini çözünüz. x + y + z + u = 0 2x + y +4z +3u = 29 3x +2y + z +4u = 27 4x +3y + z +2u = m, n tamsayı ve 0 m, n 0 olmak üzere; aşağıdaki denklem sisteminin çözümü yoksa m ve n değerlerini bulunuz. 3x + my = 7 2x + ny = 4 7. Aşağıdaki denklem sistemini çözünüz. x + y + z = 2 y + z + x = 3 z + x + y = 4

26 30 BÖLÜM 4. DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 8. Aşağıdaki denklem sistemini çözünüz. x(y + z x) = 60 2x 2 y(z + x y) = 75 2y 2 z(x + y z) = 90 2z 2 9. Aşağıdaki denklem sisteminin pozitif tamsayı çözümünün olmasını sağlayan a değerlerini bulunuz. x +2y = a +6 2x y = 25 2a 20. Aşağıdaki denklem sistemini çözünüz. 2x + y + z + u + v = 6 x +2y + z + u + v = 7 x + y +2z + u + v = 9 x + y + z +2u + v = 2 x + y + z + u +2v = 23

27 Bölüm 5 ÇARPANLARA AYIRMA I. Bilinen Çarpanlara Ayırma Fomülleri (a b)(a + b) =a 2 b 2 (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 (a ± b)(a 2 ab + b 2 )=a 3 ± b 3 (a + b) 3 = a 3 +3a 2 b +3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b +3ab 2 b 3 (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 +2ab +2bc +2ca 2. Formüllerin Genellenmesi (a b)(a 3 + a 2 b + ab 2 + b 3 )=a 4 b 4 (a b)(a 4 + a 2 b + ab 2 + b 3 )=a 4 b 4 Her n N için(a b)(a n + a n 2 b ab n 2 + b n )=a n b n Her n N ve n tek tamsayı olmak üzere ; (a + b)(a n a n 2 b +... ab n 2 + b n )=a n + b n 3. (a + a a n ) 2 = a 2 + a a 2 n +2a a 2 +2a a a a n +2a 2 a a 2 a n a n a n 3

28 32 BÖLÜM 5. ÇARPANLARA AYIRMA I 4. Yukarıdaki formüllerden elde edilmiş önemli ifadeler a 2 + b 2 =(a ± b) 2 2ab (a + b) 2 (a b) 2 =4ab a 3 ± b 3 =(a ± b) 3 3ab(a ± b) a 3 + b 3 + c 3 3abc =(a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 ab bc ca) 5. Çözümlü Sorular Soru 5... (2 + )(2 2 + )(2 4 +) (2 20 +)+=? ÇÖZÜM: (a b)(a + b) =a 2 b 2 özelliğini kullanarak soruyu çözelim. (2 + )(2 2 + )(2 4 +) (2 20 +)+=A olmak üzere; A = (2 )(2 + )(2 2 + )(2 4 +) (2 20 +)+ = (2 2 )(2 2 + )(2 4 +) (2 20 +)+ = (2 4 )(2 4 +) (2 20 +)+ =... = (2 20 )(2 20 +)+ = ((2 20 ) 2 ) + = =2 2 = Soru (a 6 b 6 ) (a 3 b 3 ) (a 2 ab + b 2 )=? ÇÖZÜM: A 2 B 2 =(A B)(A + B) vea 3 + B 3 =(A + B)(A 2 AB + B 2 ) formüllerini kullanarak soruyu çözelim. (a 6 b 6 ) (a 3 b 3 ) (a 2 ab + b 2 ) = = a 6 b 6 (a 3 b 3 )(a 2 ab + b 2 ) (a 3 b 3 )(a 3 + b 3 ) (a 3 b 3 )(a 2 ab + b 2 ) = a3 + b 3 a 2 ab + b 2 = (a + b)(a2 ab + b 2 ) a 2 ab + b 2 = a + b

29 5.. ÇÖZÜMLÜ SORULAR 33 Soru x y =8, xy = 5 olduğuna göre i. (x + y) 2 =? (x + y) 2 = x 2 + y 2 +2xy =(x 2 + y 2 2xy)+4xy =(x y) 2 +4xy = ( 5) = 4 ii. x 4 + y 4 =? x 4 + y 4 = (x 4 +2x 2 y 2 + y 4 ) 2x 2 y 2 =(x 2 + y 2 ) 2 2(xy) 2 = [(x 2 2xy + y 2 )+2xy] 2 2( 5) 2 = [(x y) 2 30] 2 2( 5) 2 =34 2 2(225) = = 706 Soru a, b, c, d > 0 ve a 4 + b 4 + c 4 + d 4 =4abcd ise a = b = c = d olduğunu gösteriniz. ÇÖZÜM: 0 = a 4 + b 4 + c 4 + d 4 4abcd = (a 4 2a 2 b 2 + b 4 )+(c 4 2c 2 d 2 + d 4 )+(2a 2 b 2 +2c 2 d 2 4abcd) = (a 2 b 2 ) 2 +(c 2 d 2 ) 2 +2(ab cd) 2 Soru a + b = c + d ve a 3 + b 3 = c 3 + d 3 ise a b 2009 = c d 2009 olduğunu gösteriniz. ÇÖZÜM: a + b = c + d ise (a + b) 3 =(c + d) 3 elde edilir. Dolayısıyla; a 3 +3a 2 b +3ab 2 + b 3 = c 3 +3c 2 d +3cd 2 + d 3 a 3 + b 3 = c 3 + d 3 Not : 3a 2 b +3ab 2 =3c 2 d +3cd 2, 3ab(a + b) =3cd(c + d) Eğer a + b = c + d = 0 ise b = a ve d = c ve buradan a b 2009 =0=c d 2009

30 34 BÖLÜM 5. ÇARPANLARA AYIRMA I elde edilir. Eğer a + b = c + d 0 ise ab = cd olacağından (a b) 2 =(a + b) 2 4ab =(c + d) 2 4cd =(c d) 2 i. a b = c d ise a + b = c + d olduğundan a = c ve b = d elde edilir. ii. a b = (c d) isea + b = c + d olduğundan a = d ve b = c elde edilir. Her iki durum için de a b 2009 = c d 2009 şartı sağlanır. Soru x, y reel sayılar olmak üzere; x + y =ve (x 2 + y 2 )(x 3 + y 3 )=2ise x 2 + y 2 =? ÇÖZÜM: (x 2 + y 2 )(x 3 + y 3 ) = 2 ise ((x + y) 2 2xy)(x + y)((x + y) 2 3xy) =2 elde edilir. u = xy ve x + y = ise ((x + y) 2 2xy)(x + y)((x + y) 2 3xy) = 2 ( 2u)( 3u) = 2 6u 2 5u = 0 olduğundan u = 6 ve u 2 = elde edilir. x, y reel kökler olmak üzere; (t x)(t y) =t 2 (x + y)t + xy = t 2 t + u denklemi bulunur. 0 olmalı. 4u 0ve u = olduğundan x 2 + y 2 =(x + y) 2 2u = + 2 = 3 bulunur.

31 5.2. SORULAR Sorular. x + x = 3 ise x3 + x 3 ve x4 + ifadelerinin değerlerini bulunuz. x4 2. x + y = 5 2, x2 + y 2 = 3 4 olduğuna göre x5 + y 5 kaçtır? 3. x, y, z reel sayıları aşağıdaki denklem sistemini sağladığına göre; xyz ve x 4 + y 4 + z 4 değerlerini bulunuz. x + y + z = 6 x 2 + y 2 + z 2 = 26 x 3 + y 3 + z 3 = a, b, c reel sayılar olmak üzere; aşağıdaki ifadenin en küçük değerini bulunuz. 3a 2 +27b 2 +5c 2 8ab 30c a ve b sayıları a 2 + b 2 +8a 4b +65=0 eşitliğini sağladığına göre a 2 + ab + b 2 ifadesinin değeri kaçtır? 6. a b =2,b c = 4 olduğuna göre a 2 + b 2 + c 2 ab bc ca ifadesinin değeri kaçtır? 7. a, b, c, d tamsayı olmak üzere; (a 2 +b 2 )(c 2 +d 2 ) ifadesini iki tamsayının kareleri toplamı şeklinde yazınız. 8. 4(a 2 + b 2 + c 2 )=(a +2b +3c) 2 olduğuna göre a : b : c oranını bulunuz. 9. a 0ve x x 2 +3x + = a ise x 2 x 4 +3x 2 ifadesinin değeri kaçtır? + 0. x + x = a olduğuna göre x6 + ifadesini a cinsinden yazınız. x6. a, b, c, d sıfırdan farklı sayılar olmak üzere a 4 + b 4 + c 4 + d 4 = 4abcd ise a 2 = b 2 = c 2 = d 2 olduğunu gösteriniz.

32 36 BÖLÜM 5. ÇARPANLARA AYIRMA I 2. a + b + c + d =0olmaküzere; a 3 + b 3 + c 3 + d 3 =3(abc + bcd + cda + dab) olduğunu gösteriniz. 3. (a 2) 3 +(b 2) 3 +(c 2) 3 =0,a 2 + b 2 + c 2 =6vea + b + c = 2 olduğuna göre a, b, c değerlerinden en az bir tanesinin 2 olduğunu gösteriniz. 4. a 3 + b 3 + c 3 =(a + b + c) 3 ise her n doğal sayısı için a 2n+ + b 2n+ + c 2n+ =(a + b + c) 2n+ olduğunu gösteriniz. 5. x, y reel sayılar olmak üzere; M =3x 2 8xy +9y 2 4x +6y +3ise M>0 olduğunu gösteriniz. 6. a + b = c + d ve a 2 + b 2 = c 2 + d 2 olduğuna göre a b 2009 = c d 2009 olduğunu gösteriniz. 7. a + b + c = 0 ise 2(a 4 + b 4 + c 4 )=(a 2 + b 2 + c 2 ) 2 olduğunu gösteriniz. 8. a + b =,a 2 + b 2 = 2 ise a 7 + b 7 değeri kaçtır? 9. a, b reel sayıları a 3 + b 3 +3ab =şartını sağladığına göre a + b kaçtır?

33 Bölüm 6 ÇARPANLARA AYIRMA-II. Ortak çarpan parantezine alma xm + ym + zm = m(x + y + z) 2. x 2 +(a + b)x + ab =(x + a)(x + b) 3. acx 2 +(ad + bc)x + bd =(ax + b)(cx + d) 4. Gruplandırarak çarpanlara ayırma ÖRNEK: 2ax 4ay x +2y =2a(x 2y) (x 2y) =(x 2y)(2a ) 5. Bir terim ekleyip çıkararak çarpanlara ayırma ÖRNEK: 4x 4 +7x 2 +4 = 4x 4 +7x 2 +4+x 2 x 2 = 4x 4 +8x 2 +4 x 2 = (2x 2 +2) 2 x 2 = (2x 2 +2 x)(2x 2 +2+x) = (2x 2 x + 2)(2x 2 + x +2) 37

34 38 BÖLÜM 6. ÇARPANLARA AYIRMA-II 6. Çözümlü Sorular Soru 6... (d 2 c 2 + a 2 b 2 ) 2 4(bc da) 2 ifadesini çarpanlarına ayırınız. ÇÖZÜM (d 2 c 2 + a 2 b 2 ) 2 4(bc da) 2 = A olsun A = (d 2 c 2 + a 2 b 2 ) 2 (2bc 2da) 2 A = (d 2 c 2 + a 2 b 2 2bc +2da)(d 2 c 2 + a 2 b 2 +2bc 2da) A = [(d + a) 2 (b + c) 2 ] [(d a) 2 (b c) 2 ] A = (d + a b c)(d + a + b + c)(d + b a c)(d + c a a) Soru x 6 729y 2 ifadesini çarpanlarına ayırınız. ÇÖZÜM 64x 6 729y 2 = (2x) 6 (3y 2 ) 6 = [(2x) 3 (3y 2 ) 3 ][(2x) 3 +(3y 2 ) 3 ] = (2x 3y 2 )[(2x) 2 +(2x)(3y 2 )+(3y 2 ) 2 ] (2x +3y 2 )[(2x) 2 (2x)(3y 2 )+(3y 2 ) 2 ] = (2x 3y 2 )(2x +3y 2 )(4x 2 +6xy 2 +9y 4 )(4x 2 6xy 2 +9y 4 ) Soru x 2 +7xy 4y 2 3x +6y 2 ifadesini çarpanlarına ayırınız. ÇÖZÜM 2x 2 +7xy 4y 2 =(2x y)(x+4y) olduğu kolayca görülebilir. Bu durumda verilen ifadenin 2x 2 +7xy 4y 2 3x +6y 2=(2x y + a)(x +4y + b) şeklinde çarpanlarına ayrıldığını kabul edelim. Bu durumda (2x y + a)(x +4y + b) =2x 2 +7xy 4y 2 +(a +2b)x +(4a b)y + ab elde edilir. Katsayıların eşitliğinden; a +2b = 3,4a b =6,ab = 2 Denklem sistemi elde edilir. Bu denklemlerden a =,b = 2 ve dolayısıyla 2x 2 +7xy 4y 2 3x +6y 2=(2x y +)(x +4y 2) elde edilir.

35 6.2. SORULAR Sorular. 2x 2 + x 6ve2x 2 0x + 8 ifadelerini çarpanlarına ayırınız. 2. 2a 3 +6a 2 +6a + 8 ifadesini çarpanlarına ayırınız. 3. x 4 +2x 3 +7x 2 +6x 7 vex 3 +9x 2 +23x+5 ifadelerini çarpanlarına ayırınız. 4. (a+)(a+2)(a+3)(a+4) 20 ve x 5 +x+ ifadelerini çarpanlarına ayırınız. 5. (2y 3z) 3 +(3z 4x) 3 +(4x 2y) 3 ifadesini çarpanlarına ayırınız. 6. (3a +3b 8ab)(3a +3b 2) + ( 9ab) 2 ifadesini çarpanlarına ayırınız. 7. x 5 5qx +4r ifadesinin bir çarpanı c sabit olmak üzere (x c) 2 ise q 5 = r 4 olduğunu gösteriniz. 8. Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. i. x 9 +7x 6 y 3 +7x 3 y 6 + y 9 ii. 4x 2 + y 2 +9z 2 6yz +2zx 4xy iii. (x 2 )(x +3)(x +5)+6 iv. (2x 2 4x +) 2 4x 2 +28x +3 v. x 3 3x 2 +(a +2)x 2a vi. x + x x 2 + x + 9. Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. i. x 4 2(a 2 + b 2 )x 2 +(a 2 b 2 ) 2 ii. (ab +)(a +)(b +)+ab ifadesinin 45 ile bölünebildiğini gösteriniz }{{} }{{} ifadesinin tam-kare olduğunu gösteriniz. 2n n 2. x 2 + xy 2y 2 +8x + ay 9 polinomunun doğrusal iki polinomun çarpımı şeklinde yazılabilmesi için a hangi değerleri alır?

36 40 BÖLÜM 6. ÇARPANLARA AYIRMA-II 3. Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. i. (x 2 + x ) 2 + x 2 + x 3 ii. (x y) 3 +(y x 2) 3 +8 iii. (6x +5) 2 (3x +2)(x +) 6 iv. (x 2 +5x +6)(x 2 +6x +6) 2x 2 v. (x 2 2x) 3 +(x 2 4x +2) 3 8(x 2 3x +) 3 vi. a 3 + b 3 + c 3 +(a + b)(b + c)(c + a) 2abc 4. x 4 x 3 +4x 2 +3x + 5 ifadesini çarpanlarına ayırınız. 5. y 4 6y 3 + my 2 + ny + 36 ifadesinin bir çarpanı y 2 +3y + 6 olduğuna göre m ve n değerlerini bulunuz. 6. 2(x 2 +6x +) 2 +5(x 2 +)(x 2 +6x +)+2(x 2 +) 2 ifadesini çarpanlarına ayırınız. 7. x 4 + ax 2 + b ifadesinin bir çarpanı x 2 +2x + 5 ise a + b kaçtır? 8. (ab + cd)(a 2 b 2 + c 2 d 2 )+(ac + bd)(a 2 + b 2 c 2 d 2 ) ifadesini çarpanlarına ayırınız. 9. (ay + bx) 3 +(ax + by) 3 (a 3 + b 3 )(x 3 + y 3 ) ifadesini çarpanlarına ayırınız. 20. a, b, c farklı pozitif tamsayılar olmak üzere aşağıdaki sayılardan birinin 8 ile bölündüğünü gösteriniz. a 5 b ab 5,b 5 c bc 5,c 5 a ca 5

37 Bölüm 7 MUTLAK DEĞER. a reel sayı olmak üzere, a şeklinde gösterilen mutlak değer fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlıdır. a a > 0 a = 0 a =0 a a < 0 2. Geometrik olarak ise bir a reel sayısının mutlak değeri ile a sayısının orjine olan uzaklığı ifade edilmektedir. a =-a b =b a O b 3. Daha genel olarak a b ifadesi ile a ve b noktalarının birbirine olan uzaklığı ifade edilir. 4. Diğer özellikler a = a a a a a = b a = b ya da a = b n herhangi bir pozitif tamsayı olmak üzere ; a n = a n ab = a b a = a b b a ± b a + b 4

38 42 BÖLÜM 7. MUTLAK DEĞER 7. Çözümlü Sorular x x Soru 7... ifadesini pozitif yapan x reel sayılarını bulunuz. x ÇÖZÜM: x 0 olduğu kolayca anlaşılmaktadır. x>0ise x<0ise x x x x x x = = x x x x ( x) x = 0 x =0 = 2x x = 2x x = 2 Dolayısıyla verilen ifadeyi pozitif yapan x reel sayısı yoktur. Soru a, b, c sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere; alabileceği bütün değerleri bulunuz. ÇÖZÜM: x>0ise x x =vex<0ise x = olduğundan x a, b, c üçü birden negatif ise a a + b b + c c = 3 a, b, c den tam olarak iki tanesi negatif ise a a + b b + c c = a, b, c den tam olarak bir tanesi negatif ise a a + b b + c c = a, b, c üçü birden pozitif ise a a + b b + c c =3 Dolayısıyla 3,, ve3değerlerini alabilir. Soru a, b, c reel sayılar olmak üzere; (3a + b) 2 + b 4 0 a 0 + bc ifadesinin kaçtır? a a + b b + c c ifadesinin + c +3 =0ise ÇÖZÜM: Verilen eşitliğin sol tarafındaki her ifade negatif değildir. Dolayısıyla toplamlarının sıfır olması için (3a + b) 2 =0, b 4 0 =0, c+ 3 = 0 olmalıdır. Dolayısıyla a = 2,b =40,c = 3 elde edilir. İstenen ifade a 0 + bc =( 2) 0 + (40)( 3) = = 904 olarak bulunur. Soru m = x +2 + x 2x 4 is m nin en büyük değeri kaçtır? ÇÖZÜM: Mutlak değerin içini sıfır yapan değerler önemlidir. i. x 2isem = (x +2) (x ) + (2x 4) = 5 ii. 2 x isem =(x +2) (x ) + (2x 4) = 2x iii. <x 2isem =(x +2)+(x ) + (2x 4) = 4x 3 5 iv. x>2isem =(x +2)+(x ) + (4 2x) =5 Dolayısıyla m nin en büyük değeri 5 olur.

39 7.2. SORULAR Sorular. a b a = b a olduğuna göre b ifadesinin alabileceği değerleri bulunuz. a a 2. <x<3olmaküzere aşağıdaki ifadeleri sadeleştiriniz. x 3 x 3 x ( x) ve x + 3 x 3. <x<3olmaküzere; x 2 +2 x ifadesinin en sade halini bulunuz <x<5olmaküzere ; x x-5 ifadesinin en sade halini bulunuz. 5. x 2 + x 3 = denklemini sağlayan kaç tanex reel sayısı vardır? 6. a<b<colmak üzere; y = x a + x b + x c ifadesinin en küçük değerini bulunuz. 7. Aşağıdaki ifadenin en sade halini bulunuz. x + x x 8. 2x x 5 3x olduğuna göre x x +3 ifadesinin en büyük 3 2 ve en küçük değerlerini bulunuz. 9. x reel sayı ve x =+ x ise x ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) B) (x ) C)x 0. x + + x 2 + x 3 ifadesinin en küçük değeri kaçtır?. x<0 olduğuna göre x 2x ifadesinin değeri kaçtır? 3 2. a<b<c<dolmak üzere; x a + x b + x c + x d ifadesinin en küçük değerini bulunuz. 3. a, b reel sayıları a + b = a b şartını sağladığına göre ab kaçtır? 4. a, b, c tamsayı olmak üzere; a b 9 + c a 9 = ise c a + a b + b c ifadesinin değeri kaçtır?

40 44 BÖLÜM 7. MUTLAK DEĞER 5. a = 2009 olmak üzere; 2a 3 3a 2 2a + 2a 3 3a 2 3a 2009 ifadesinin değeri kaçtır? 6. a, b sabit sayılar ve a > 0olmaküzere; x a b = 3 ifadesinin üç farklı kökü varsab kaçtır? 7. x,x 2,..., x n reel sayıları i =, 2,..., n için x i < ve x + x x n =49+ x + x x n şartlarını sağladığına göre n in en küçük değeri kaçtır? 8. a <a 2 <... < a n sabit olmak üzere; x a + x a x a n ifadesinin en küçük değerini bulunuz. 9. 2x+ 4 5x + 3x +4 ifadesi belli bir aralıkta belli bir sabit değer aldığına göre bu aralığı ve sabit değeri bulunuz. 20. a, b, c sıfırdan farklı reel sayılar ve a + b + c =0olmaküzere; x = a b + c + b a + c c a + b ise x x ifadesinin değeri kaçtır? 2. {, 2, 3,..., 99, 200} kümesinin elemanları her grupta 00 sayı olacak şekilde iki gruba parçalanıyorlar. İlk gruptaki sayılar küçükten büyüğe a <a 2 <... < a 00 şeklinde diğer gruptaki sayıla büyükten küçüğe b >b 2 >... > b 00 şeklinde sıralandıklarına göre a b + a 2 b a 99 b 99 + a 00 b 00 ifadesinin değeri kaç olur?

41 Bölüm 8 MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER. Mutlak değerli denklemleri çözebilmemiz için mutlak değerden kurtulmamız gerekmektedir. En genel haliyle P (x) = Q(x) şeklinde karşımıza çıkacak olan mutlak değerli denklemlerde Q(x) 0 olacaktır. Bu durumda denklem aşağıdaki durumlar incelenerek çözülür. P (x) =Q(x) ya da P(x) = Q(x) 2. Eğer bir denklemde aşağıdaki gibi birden fazla mutlak değerli ifade varsa ax + b cx + d = e mutlak değerin içini sıfır yapan değerlere göre farklı durumlarda inceleme yapmamız gerekecektir. 8. Çözümü Sorular Soru x +2 =4denklemini çözünüz. ÇÖZÜM: 3x +2 =4 3x +2= 4 yada3x + 2 = 4 elde edilir. Dolayısıyla x = 2 yadax = 2 çözümleri bulunur. 3 45

42 46 BÖLÜM 8. MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER Soru x 3x + =4denklemini çözünüz. ÇÖZÜM: Bu tür sorularda ilk olarak en dıştaki mutlak değerden kurtulmak gerekir. x 3x + = 4 x 3x + = 4 ya da x 3x + = 4 elde edilir. x 3x+ =4 0 x 4 = 3x+ x+4 = 3x+ ya da x 4 =3x+ dolayısıyla x = 3 4 ya da x = 5 elde edilir, ancak x 4 olacağından birinci 2 denklemden çözüm gelmez. x 3x+ = 4 0 x+4 = 3x+ x 4 =3x+ ya da x+4 = 3x+ dolayısıyla x = 5 4 ya da x = 3 elde edilir. 2 Soru x +2 x 3 x + x +2 = x denklemini çözünüz. ÇÖZÜM: x, x, x+, x+2 ifadelerini 0 yapan değerler sırasıyla, 0,, 2 olduğundan x 2, 2 <x, <x 0, 0 <x, <xaralıkları için çözümleri ayrı ayrı bulmamız gerekmektedir. x 2 olduğunda ( x)+2( x)+3(x+)+(x+2)= x eşitliğinden 6 = 0 elde edilir. Buradan çözüm gelmez. 2 <x olduğunda ( x)+2( x)+3(x+) (x+2)= x eşitliğinden x = elde edilir. Buradan çözüm gelmez. <x 0 olduğunda ( x)+2( x) 3(x +) (x +2)=x eşitliğinden x = 2 elde edilir. 0 <x olduğunda ( x)+2x 3(x +) (x +2)=x eşitliğinden x = elde edilir.buradan çözüm gelmez. <xolduğunda (x ) + 2x 3(x +) (x +2)=x eşitliğinden x = 3 elde edilir.buradan çözüm gelmez. Dolayısıyla sadece x = için çözüm vardır. 2

43 8.2. SORULAR Sorular. x 2 = 3 denklemini çözünüz. 2. x 2 + x 2 = 0 olduğuna göre x hangi değerleri alır. 3. 4m + 5 b = 6 denkleminin m için üç farklıçözümü olmasını sağlayan b rasyonel sayısı kaçtır? 4. x + +(y +2) 2 =0veax 3ay = ise a kaçtır? 5. xy + x y = denklemini sağlayan kaç tane(x, y) tamsayı ikilisi vardır? 6. x + x 3 = a denkleminin x için sonsuz çözümü varsaa kaçtır? 7. x + x + y =0vex + y y =2isex + y kaçtır? 8. 5x 4 2x = 3 denklemini çözünüz. 9. a tamsayı ve 2a a = 8 ise a kaç farklıdeğer alır? 0. x 2x + = 3 denklemini sağlayan kaç farklıx değeri vardır?. x = ax+ denkleminin tam olarak bir tane negatif çözümü ve pozitif çözümü yoksa a hangi değerleri alır? 2. x 2 = a denkleminin x için üç farklı tamsayı çözümü varsaa kaçtır? 3. a x x 2008 = 0 denkleminin x için sadece negatif çözümleri varsa a 2008 kaçtır? 4. m, n, k sabit olmak üzere; 3x 4 +2m =0, 4x 5 +3n =0, 5x 6 +4k =0 denklemlerinin sırasıyla çözümü yok, sadece bir çözümü varveikiçözümü var ise m, n, k sabitlerini büyükten küçüğe sıralayınız. 5. Aşağıdaki denklem sistemini çözünüz. x y = x + y 2 x + y = x +2

44 48 BÖLÜM 8. MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER 6. x 2 + x 6=0denklemininkaçkökü vardır?kökler toplamı ve kökler çarpımı hangi değerleri alır? 7. x +3y + 3x y =9,2x + y = 6 denklem sistemini çözünüz. 8. Aşağıdaki denklem sistemini çözünüz. x 2y = x + y = 2 9. x = 0 denkleminin köklerini bulunuz. 20. a, b reel sayılar olmak üzere; a (a + b) < a a + b ise a ve b hangi değerleri alır. 2. x 2 = denklemini x için çözünüz. a tek asal sayının karesi ise x 52a çözümün bileşik sayı olduğunu gösteriniz. 22. a,a 2,a 3,a 4 farklı reel sayılar olmak üzere aşağıdaki denklem sistemini çözünüz. a a 2 x 2 + a a 3 x 3 + a a 4 x 4 = a 2 a x + a 2 a 3 x 3 + a 2 a 4 x 4 = a 3 a x + a 3 a 2 x 2 + a 3 a 4 x 4 = a 4 a x + a 4 a 2 x 2 + a 4 a 3 x 3 =

45 Bölüm 9 POLİNOMLARA GİRİŞ n negatif olmayan tamsayı, her a i sabit ve her x değişken olmak üzere; a n x n + a n x n a x + a 0 ifadesine n. dereceden bir bilinmeyenli polinom denir. Her bir a i x i ifadesine terim denir. Polinomun derecesi katsayısı 0 olmayan terimlerden derecesi en büyük olandır. Sabit polinomun derecesi 0, sıfır polinomun derecesi tanımsızdır. f nin polinom fonksiyon olabilmesi için f(x) in polinom olması gerekir. Polinomun derecesi degf olarak gösterilir. Bazı polinomlar aşağıdaki tabloda gösterildiği gibi derecesine göre farklı isimler alırlar. Derece Polinom 0 sabit doğrusal (birinci dereceden) 2 quadratik (ikinci dereceden) 3 kübik (üçüncü dereceden) 4 quartik (dördüncü dereceden). Polinomlarda Bölme : n sayma sayısı sıfırdan farklı bir m sayma sayısı ile bölündüğünde bölüm q ve kalan r olmak üzere (0 r m) ;n = mq + r şeklinde ifade edilir. r 0isebubölmeye kalanlı bölme denir. Benzer şekilde f(x) polinomunun sıfırdan farklı g(x) polinomu ile bölümünden elde edilen bölüm q(x) ve kalan r(x) olmaküzere; p(x) =g(x) q(x) +r(x) şeklinde yazılabilir. f(x) polinomunun derecesi g(x) veq(x) polinomlarının dereceleri toplamına eşittir. Aynı zamanda r(x) polinomunun derecesi g(x) polinomunun derecesinden küçüktür. 49

46 50 BÖLÜM 9. POLİNOMLARA GİRİŞ 2. Sentetik Bölme : f(x) derecesi n olan bir polinom ve g(x) =x a olduğunda q(x) polinomu derecesi n olan bir polinom ve r(x) sabit polinom olur. f(x) = a n x n + a n x n a x + a 0 q(x) = b n x n + b n 2 x n b x + b 0 olmak üzere; f(x) =(x a)(b n x n + b n 2 x n b x + b 0 )+r = b n x n +(b n 2 ab n )x n +(b n 3 ab n 2 )x n (b 0 ab )x ab 0 + r f(x) polinomunun katsayıları ile elde ettiğimiz bu polinomun katsayıları aynı olacağından; b n = a n,b n 2 = a n + ab n,..., b 0 = a + ab,r = a 0 + ab 0 dolayısıyla aşağıdaki tablo elde edilir. a an an- n-2 n- ab n- + bn- b n- 2 a... a a0 ab 2... ab ab0... b r b n KALAN TEOREMİ veçarpan TEOREMLERİ TEOREM :f(x) derecesi n olan bir polinom olmak üzere; herhangi bir a sabit sayısı için f(x) =(x a)q(x)+r şeklinde yazılabilir. q(x) derecesi n olan bir polinom ve r = f(a) olarak elde edilir. TEOREM 2: (x a) nınf(x) in bir çarpanı olması için gerek ve yeter şart f(a) = 0 olmasıdır. TEOREM 3: (Rasyonel Kök Teoremi) Tamsayı katsayılı f(x) =a n x n + a n x n a x + a 0 ( polinomunun p ve q aralarında asal olmak üzere ; x p ) şeklinde bir çarpanı q varsa q a 0 ve p a n dir. (İlerde detaylı anlatılacak.)

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces TANIM n bir doğal sayı ve a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n birer gerçel sayı olmak üzere, P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n 1 x n 1 +a n x n biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel)

Detaylı

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır. Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS'de matematik testinde

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

1.DERECEDEN DENKLEMLER. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)

1.DERECEDEN DENKLEMLER.  (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) .DERECEDEN DENKLEMLER Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları 8 Ağustos 07 0. Bir Bilinmeyenli

Detaylı

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir. Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: POLİNOMLAR ALIŞTIRMALAR Bu başlık altında her bölüm kazanımlara ayrılmış, kazanımlar tek tek çözümlü temel alıştırmalar ve sorular ile taranmıştır. Özellikle bu kısmın sınıf

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir.

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. 1 DENKLEMLER: Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. Bir denklemde eşitliği sağlayan(doğrulayan) değerlere; verilen denklemin kökleri veya

Detaylı

Polinomlar. Rüstem YILMAZ

Polinomlar. Rüstem YILMAZ Polinomlar Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 matematikklinigi@gmail.com 26 Aralık 2016 0.1 Tanımı a, b, c, d reel sayılar ve n N olmak üzere, P (x) = ax n + bx n 1 + + cx + d ifadesine reel katsayılı ve bir

Detaylı

Yeşilköy Anadolu Lisesi

Yeşilköy Anadolu Lisesi Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi

Detaylı

Çok terimli bir ifadeyi iki ya da daha çok ifadenin çarpımı şeklinde yazmaya çarpanlara ayırma denir.

Çok terimli bir ifadeyi iki ya da daha çok ifadenin çarpımı şeklinde yazmaya çarpanlara ayırma denir. 1 B)ÇARPANLARA AYIRMA VE ÖZDEŞLİKLER: Çok terimli bir ifadeyi iki ya da daha çok ifadenin çarpımı şeklinde yazmaya çarpanlara ayırma denir. Çarpanlara Ayırma Yöntemleri: 1)Ortak Çarpan Parantezine Alma:

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI 0 KULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 0 SINIFLAR SRULARI (5xy) dört basamaklı sayıdır 5 x y 6 - a 3 Yukarıdaki bölme işlemine göre y nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? 4 m pozitif bir tamsayı olmak üzere;

Detaylı

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur? 07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin

Detaylı

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 1

LYS MATEMATİK DENEME - 1 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1 TAM KARELER 1. Bir 1000 basamaklı sayıda bir tanesi dışında tüm basamaklar 5 tir. Bu sayının hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız. (2L44) Çözüm: Son rakam 5 ise, bir önceki 2 olmak zorunda.

Detaylı

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir.

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir. Biz, Sizin İçin Farklı Düşünüyor Farklı Üretiyor Farklı Uyguluyoruz Biz, Sizin İçin Farklıyız Sizi de Farklı Görmek İstiyoruz Soru Bankası matematik konularını yeni öğrenen öğrenciler için TMOZ öğretmenlerince

Detaylı

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 4. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 4. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 4. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Çarpanlara Ayırma 5 52 Polinomlar 53 100 İkinci Dereceden Denklemler 101 120 Karmaşık Sayılar

Detaylı

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1 1. BÖLÜM Sayılarda Temel Kavramlar Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK Kontrol Noktası 1 Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. {0, 1, 2,..., 9} II. {1, 2, 3,...} III. {0, 1, 2,

Detaylı

Bu ders materyali 06.09.2015 23:17:19 tarihinde matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır. Unutmayın bilgi paylaştıkça değerlidir.

Bu ders materyali 06.09.2015 23:17:19 tarihinde matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır. Unutmayın bilgi paylaştıkça değerlidir. -- Bu ders materyali 06.09.05 :7:9 tarihinde matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından UYGULAMA-00 Cevap: x- -x- x- =0 denklemini sağlayan x değeri kaçtır? UYGULAMA-00 Cevap: x x x 5 + = + denklemini

Detaylı

Örnek...4 : P(x) = 3x + 2 ve Q(x)= x 2 +4x -3 polinomları için a) P(x). Q(x) b)x.p(x) 2.Q(x) işlem lerini ya pınız.

Örnek...4 : P(x) = 3x + 2 ve Q(x)= x 2 +4x -3 polinomları için a) P(x). Q(x) b)x.p(x) 2.Q(x) işlem lerini ya pınız. POLİNOMLARDA Polinomlarda To plama ve Çıkarma P(x) ve Q(x) iki polinom olsun. P(x) + Q(x) veya P(x) Q(x) işlemi yapılırken eşit dereceli terimlerin katsayıları işlemine göre toplanır veya çıkarılır. Örnek...1

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI. MATEMATİK YARIŞMASI 0. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 5. sayısının virgülden sonra 9 99 999 5. basamağındaki rakam kaçtır? A) 0 B) C) 3 D) E) 8!.!.3!...4! 4. A= aşağıdaki hangi

Detaylı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı

matematik LYS SORU BANKASI KONU ÖZETLERİ KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ Süleyman ERTEKİN Öğrenci Kitaplığı matematik SORU BANKASI Süleyman ERTEKİN LYS KONU ALT BÖLÜM TESTLERİ GERİ BESLEME TESTLERİ KONU ÖZETLERİ Öğrenci Kitaplığı SORU BANKASI matematik LYS EDAM Öğrenci Kitaplığı 18 EDAM ın yazılı izni olmaksızın,

Detaylı

POL NOMLAR. Polinomlar

POL NOMLAR. Polinomlar POL NOMLAR ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN T POL NOMLAR Polinomlar 1. Kazan m: Gerçek kat say l ve tek de i kenli polinom kavram n örneklerle aç klar, polinomun derecesini, ba kat say s n, sabit

Detaylı

12-A. Sayılar - 1 TEST

12-A. Sayılar - 1 TEST -A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç

Detaylı

NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4

NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4 NİSAN 21 DENEMESİ 1) ABCD dikdörtgeninin AB kenarı üzerindeki M noktasından geçen ve CM doğrusuna dik olan doğru AD kenarını E noktasında kesiyor. M noktasından CE doğrusuna indirilen dikmenin ayağı P

Detaylı

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi 2 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 4 Mustafa Özdemir MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK 4 (336 sayfa) ANALİZ CEBİR 1 TANITIM DÖKÜMANI (Kitabın içeriği hakkında bir bilgi verilmesi amacıyla bu döküman

Detaylı

MUTLAK DEĞER Test -1

MUTLAK DEĞER Test -1 MUTLAK DEĞER Test -. < x < olduğuna göre, x x ifadesinin eşiti aşağıdakilerden 7 B) 7 x C) x 7 D) x 7 E) 7 x 5. y < 0 < x olduğuna göre, y x x y x y ifadesinin eşiti aşağıdakilerden xy B) xy C) xy D) xy

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84 N 0,1,,... Sayı kümesine doğal sayı kümesi denir...., 3,, 1,0,1,,3,... sayı kümesine tamsayılar kümesi denir. 1,,3,... saı kümesine sayma sayıları denir.pozitif tamsayılar kümesidir. 15 y z x 3 5 Eşitliğinde

Detaylı

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10.

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10. MAT-1 EK SORULAR-2 1. 6. A)7 B)8 C)15.D)56 E)64 Olduğuna göre x.a)1 B)2 C)3 D)4 E)6 7. 2. Birbirinden farklı x ve y gerçek A)5.B)6 C)7 D)8 E)9 sayıları için; x 2 +2009y=y 2 +2009x eşitliği sağlandığına

Detaylı

PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 10.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI

PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 10.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 0-0 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 0.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI EYLÜL EKİM. Gerçek katsayılı ve tek değişkenli polinomu kavram olarak örneklerle açıklar, polinomun derecesini,

Detaylı

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR 1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği

Detaylı

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Đşlem ĐŞLEM A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona ikili işlem denir. Örneğin toplama, çıkarma, çarpma birer işlemdir. Đşlemler

Detaylı

Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14.

Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14. 1. Ünite: Polinomlar Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Polinomlarda Bölme, Bölüm ve Kalan Bulma 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK

ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK YGS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI CEVAP ANAHTARI RASYONEL SAYILAR ONDALIK SAYILAR ÖRNEKLER (Sayfa -) 6 ) ) ) 6) ; ; ) 0) ) ; 8 ) ) ) 0 ) 6 0 0 8) 0 ) 0) 6 ) 8 ) 8 8) ) ; 6

Detaylı

DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ 8. İSTANBUL MATEMATİK YARIŞMASI LİSELER KATEGORİSİ TAKIM YARIŞMASI

DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ 8. İSTANBUL MATEMATİK YARIŞMASI LİSELER KATEGORİSİ TAKIM YARIŞMASI DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ 8. İSTANBUL MATEMATİK YARIŞMASI LİSELER KATEGORİSİ TAKIM YARIŞMASI 1-60) Dört çocuk, Ahmet, Ferit, Berk ve Mehmet koşu yarışı yapıyorlar. Yarışma sonucunda, Ahmet, "Ben birinci ve sonuncu

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 12. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI. B) 2f(x)-6

ÖZEL EGE LİSESİ 12. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI. B) 2f(x)-6 1. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 1. Pozitif baş katsayılı bir P(x) polinomunda P(P(x)+x)=x 6 eşitliği sağlandığına göre ; P x polinomunun sabit terimi aşağıdakilerden hangisidir? A) 6 B) 5 C) 0 D)

Detaylı

Önce parantez içindeki işlemler yapılır. 150:(6+3.8)-5 = 150:(6+24)-5 = 150:30-5 = 5-5 = 0 ( A ) :5-3 = = 11 ( C )

Önce parantez içindeki işlemler yapılır. 150:(6+3.8)-5 = 150:(6+24)-5 = 150:30-5 = 5-5 = 0 ( A ) :5-3 = = 11 ( C ) Önce ÇARPMA ve Bölme, sonra Toplama ve Çıkarma. 3.4+10:5-3 = 12+2-3 = 11 ( C ) Önce parantez içindeki işlemler yapılır. 150:(6+3.8)-5 = 150:(6+24)-5 = 150:30-5 = 5-5 = 0 ( A ) 72:24+64:16 = 3+4 = 7 ( B

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK

2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 1. 2,31 0,33 0,65 0,13 + 3,6 0,6 işleminin sonucu kaçtır? A)0,5 B) 0,8 C)0,9 D)5 E)8 4. Üç basamaklı ABB doğal sayısı 4 e ve 9 a kalansız bölünmektedir. Buna göre, A+B toplamının

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr

ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr ASAL SAYILAR ve kendisinden aşka pozitif öleni olmayan den üyük doğal sayılara asal sayı denir.,, 5, 7,,, 7, 9, sayıları irer asal sayıdır. En küçük asal sayı dir. den aşka çift asal sayı yoktur. den aşka

Detaylı

MUTLAK DEĞER. Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z. Örnek...7 : x=1 5, y= 5 2, ise x+y y x x =? Örnek...1 : =? Örnek...8 : Örnek...2 : =?

MUTLAK DEĞER. Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z. Örnek...7 : x=1 5, y= 5 2, ise x+y y x x =? Örnek...1 : =? Örnek...8 : Örnek...2 : =? TANIM MUTLAK DEĞER Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z ise x y x z z y =? Bir x reel sayısına karşılık gelen noktanın sayı doğrusunda 0 (sıf ır) a olan uzaklığına x sayısının mutlak değeri denir ve x şeklinde

Detaylı

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi...

İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi... İÇİNDEKİLER HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları... 1 Benzer Terim... Harfli İfadenin Terimlerini Toplayıp Çıkarma... Harfli İfadelerin Terimlerini Çarpma... Harfli İfadelerde Parantez Açma...

Detaylı

DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ

DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ Koordinatlar DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ Bilindiği gibi, düzlemdeki her bir noktaya bir (a,b) sıralı ikilisi, her bir (a,b) sıralı ikilisine bir nokta karşılık gelir. Eğer bir A noktasına karşılık gelen

Detaylı

XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı

XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı A 1. Köşeleri, yarıçapı 1 olan çemberin üstünde yer alan düzgün bir n-genin çevre uzunluğunun alanına oranı 4 3 ise, n kaçtır? 3 a) 3 b) 4 c) 5 d)

Detaylı

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :.

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. SAYILAR BASAMAK KAVRAMI İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. Üç basamaklı rakamları farklı en küçük sayı :. SORU 5 MATEMATİK KAF03 TEMEL KAVRAM 01 Üç basamaklı birbirinden

Detaylı

140. 2< a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9 2,4 2,7 3,2 3,7. a a c b ve c a a b c

140. 2< a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9 2,4 2,7 3,2 3,7. a a c b ve c a a b c 138. a ve b gerçel sayılardır. a < a, 6a b 5= 0 b ne olabilir? (11) 4 5 8 11 1 139. < 0 olmak üzere, 4 3. =? ( 3 ) a 1 140. < a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9,4,7 3,

Detaylı

ÜSLÜ SAYILAR. AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama

ÜSLÜ SAYILAR. AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama KURAL: Bir sayının belli bir sayıda yan yana çarpımının kolay yoldan gösterimine üslü sayılar denir. Örneğin 5 sayısının

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

SAYILAR SAYI KÜMELERİ

SAYILAR SAYI KÜMELERİ SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1.Sayma Sayıları Kümesi: S=N =1,2,3,... 2. Doğal Sayılar Kümesi : N=0,1,2,... 3. Tamsayılar Kümesi : Z=..., 2, 1,0,1,2,... Sıfırın sağında bulunan 1,2,3,. tamsayılarına pozitif tamsayılar

Detaylı

II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -1

II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -1 II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -. 5 {, 5} {, 5} { 5, } {, 5} {, 5} 5. 5 {,, } {,, } {,, } {,, } {,, }.. 5 7 7 5 5,, 5 5, 5 5, 5 5, 6. 7. 5 95 { 5,, } {,, 5} { 5,, 9} {,, 5} { 9,, 5} 6 66 {, } {,, } {,,

Detaylı

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n, DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

SAYILAR SAYI KÜMELERİ

SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1 SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1.Sayma Sayıları Kümesi: S=N =1,2,3,... 2. Doğal Sayılar Kümesi : N=0,1,2,... 3. Tamsayılar Kümesi : Z=..., 2, 1,0,1,2,... Sıfırın sağında bulunan 1,2,3,. tamsayılarına pozitif

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI 1. 1999 ÖSS a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere a+ b ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde c edilir? 3 a+ b A) B) c a+ 3b C)

Detaylı

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar,

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar, 1. 9 2 x 2 ifadesinin açılımında sabit x terim kaç olur? A) 672 B) 84 C) 1 D) -84.E) -672 6. Ali her gün cebinde kalan parasının %20 sini harcamaktadır. Pazartesi sabahı haftalığını alan Ali ni Salı günü

Detaylı

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 8. SINIF. Üslü Sayılar - = T olduğuna göre T kaçtır? A) - B) - C) D) 7 TEST.. 0 - işleminin sonucu kaç basamaklı bir sayıdır? A) B) C) 6 D) 7. n =- 7 için n ifadesinin değeri kaçtır? A) - 8 B) - C) 8 D)

Detaylı

MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz.

MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz. MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA A S A L Ç A R P A N L A R A A Y I R M A T a n ı m : Bir tam sayıyı, asal sayıların çarpımı olarak yazmaya, asal çarpanlarına ayırma denir. 0 sayısını asal çarpanlarına

Detaylı

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol:

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol: EBOB - EKOK En Büyük Ortak Bölen (Ebob) İki veya daha fazla pozitif tamsayıyı aynı anda bölen pozitif tamsayıların en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve kısaca Ebob ile gösterilir. Örneğin,

Detaylı

EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ

EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ EKİM 07-08 EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 0. SINIF MATEMATİK DERSİ 0... Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. 0... Sınırsız sayıda tekrarlayan nesnelerin dizilişlerini

Detaylı

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI BİREYSEL YARIŞMA SORULARI CEVAPLARI CEVAP KAĞIDI ÜZERİNE YAZINIZ. SORU KİTAPÇIĞINI KARALAMA MAKSATLI KULLANABİLİRSİNİZ 1

Detaylı

Örnek...3 : P(x+4)=x 7 +6.x 6 +2x 3 polinomu için P(2) kaçtır? Örnek...4 : P(2x 1) = x 2 olduğuna göre, P(3)+P(5) kaçtır? Örnek...

Örnek...3 : P(x+4)=x 7 +6.x 6 +2x 3 polinomu için P(2) kaçtır? Örnek...4 : P(2x 1) = x 2 olduğuna göre, P(3)+P(5) kaçtır? Örnek... POLİNOMLAR n N, a n, a n 1, a n 2,a 1,a 0 R ve a n 0 olmak üzere, a n x n +a n 1 x n 1 +a n 2 x n 2 +...+a 1 x+a 0 ifadesine x in bir polinomu denir ve genellikle bu ifade P(x),Q(x) gibi bir ifadeye eşitlenerek

Detaylı

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3)": ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3): ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4 Üniversite Haz rl k Sözcükte Do al ve Say lar Söz Öbeklerinde ve Tam Say lar Anlam - I - I Kolay Temel Matematik. 8 ( + ) A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 6.! ( )": ( ) A) B) 0 C) D) E). 7. + 5 A) 6 B) 7 C) 8 D)

Detaylı

POLİNOMLARIN TANIMI. ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: KONU: POLİNOMLAR NUMARASI: SINIFI:

POLİNOMLARIN TANIMI.  ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: KONU: POLİNOMLAR NUMARASI: SINIFI: ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: Dersin Adı POLİNOMLARIN TANIMI 1. Aşağıdaki fonksiyonlardan polinom belirtir? I. Dersin Konusu 1 5. P x x n 1 7 x 4 n 5 ifadesi bir polinom belirttiğine göre, bu polinomun derecesi

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

Köklü Sayılar ,1+ 0,1+ 1, 6= m 10 ise m kaçtır? ( 8 5 ) 2x 3. + a =? (4)

Köklü Sayılar ,1+ 0,1+ 1, 6= m 10 ise m kaçtır? ( 8 5 ) 2x 3. + a =? (4) Köklü Sayılar.,+ 0,+, 6= m 0 ise m kaçtır ( 8 5 ). a= ise a + a (). : :... = 8 0 0... eşitliğini sağlayan değeri nedir (). 99.0+.6+ (75) 5. + : + 8 7 8 () 6. > 0 ve = olduğuna göre ( ) + a+ b 7. a, b R

Detaylı

1.BÖLÜM SORU SORU. (x 1) (x 3) = A + B. x 3 ise, d(p(x)) ve d(q(x)) polinomlar n derecelerini göstermek. A. B çarp m kaçt r?

1.BÖLÜM SORU SORU. (x 1) (x 3) = A + B. x 3 ise, d(p(x)) ve d(q(x)) polinomlar n derecelerini göstermek. A. B çarp m kaçt r? 1.BÖLÜM MATEMAT K Derginin bu say s nda Polinomlar konusunda çözümlü sorular yer almaktad r. Bu konuda, ÖSS de ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik yollar, sorular m z n çözümü

Detaylı

POLİNOMLAR Test I m P x 3 2x x 4x. P x x 5 II. III. A) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E) 9

POLİNOMLAR Test I m P x 3 2x x 4x. P x x 5 II. III. A) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E) 9 POLİNOMLAR Test -. I. P x x 5 II. III. P x x P x ifadelerinden hangileri polinom belirtir? 6. P x x x x 7 polinomunun katsayılar toplamı A) B) C) D) 0 E) 9 A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III

Detaylı

TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 10. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI

TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 10. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI 9 Eylül- Eylül 0-07 TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 0. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI Veri, Sayma ve Sayma. Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. Sıralama

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF TEST SORULARI A) 80 B) 84 C) 88 D) 102 E) 106

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF TEST SORULARI A) 80 B) 84 C) 88 D) 102 E) 106 1. n bir doğal sayı olmak üzere, n! sayısının sondan k basamağı 0 dır. Buna göre, k tamsayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz? 3. (x+y+z+t ) 6 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? A) 80 B) 84 C) 88 D)

Detaylı

1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1

1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1 . ÇÖZÜM YOLU: (5) 8 =.8+5 = 3 3:2 = 6.2+ 6:2 = 3.2+0 3:2 =.2+ En son bölümden başlayarak kalanları sıralarız. (5) 8 = (0) 2 2. ÇÖZÜM YOLU: 8 sayı tabanında verilen sayının her basamağını, 2 sayı tabanında

Detaylı

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir. ANALĐTĐK GEOMETRĐ 1. Analitik Düzlem Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da

Detaylı

EŞİTSİZLİKLER. 5. x 2 + 4x + 4 > x 2 0. eşitsizliğinin çözüm kümesi. eşitsizliğinin çözüm kümesi. aşağıdakilerden hangisidir?

EŞİTSİZLİKLER. 5. x 2 + 4x + 4 > x 2 0. eşitsizliğinin çözüm kümesi. eşitsizliğinin çözüm kümesi. aşağıdakilerden hangisidir? 1. 36 x A) [- 6, ] B) [- 6, 6 ] C) [, 36] D) [, 36 ] E) [- 36, ] 5. x + 4x + 4 > A) (, ) B) - } C) D) R E) R - {- } 6. x + 8x + 16. x x 8 < aşağıdalerden hangisidir? A) (- 4, ) B) (-, ) C) (- 4, ) A) {

Detaylı

ÜNİTE: RASYONEL SAYILAR KONU: Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi

ÜNİTE: RASYONEL SAYILAR KONU: Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi ÜNTE: RASYONEL SAYILAR ONU: Rasyonel Sayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE SORULAR VE ÇÖZÜMLER. işleminin sonucu B) D) ki rasyonel sayının farkını bulmak için çıkan terimin toplama işlemine göre tersi alınarak

Detaylı

Mehmet ŞAHİN. www.mehmetsahinkitaplari.org

Mehmet ŞAHİN. www.mehmetsahinkitaplari.org 0. Sınıf M AT E M AT İ K Mehmet ŞAHİN www.mehmetsahinkitaplari.org M.E.B Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı nın 0..009 tarih ve 4 sayılı kararı ve 00-0 öğretim yılından itibaren uygulanacak programa göre

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13 TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y): x ile y nin farkı n ile tam bölünür} = {(x,y): n x-y, n N + } bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. (x,y) ise x y (mod

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır?

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır? BÖLME İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, BÖLÜNEN A B C BÖLEN BÖLÜM Örnek...4 : x sayısının y ile bölümündeki bölüm 2 ve kalan 5 tir. y sayısının z ile bölümündeki bölüm

Detaylı

16. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK SORULARI A A A A A A A

16. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK SORULARI A A A A A A A AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ 16. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATLARI BİRİNCİ AŞAMA SORULARI A A A A A A A SINAV TARİHİ VESAATİ:16 NİSAN 2011 - Cumartesi 10.00-12.30 Bu sınav 25 sorudan oluşmaktadır vesınav

Detaylı

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA

KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Matematiğe Giriş... Temel Kavramlar... Bölme - Bölünebilme Kuralları... 85 EBOB - EKOK... Rasyonel Sayılar... Basit Eşitsizlikler... 65 Mutlak

Detaylı

önce biz sorduk KPSS Soruda 31 soru ÖABT LİSE MATEMATİK TAMAMI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Eğitimde

önce biz sorduk KPSS Soruda 31 soru ÖABT LİSE MATEMATİK TAMAMI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Eğitimde KPSS 2017 önce biz sorduk 50 Soruda 31 soru ÖABT LİSE MATEMATİK TAMAMI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Eğitimde 30. yıl Komisyon ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ SORU BANKASI ISBN 978-605-318-684-7 Kitapta yer alan

Detaylı

Ders 9: Bézout teoremi

Ders 9: Bézout teoremi Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak

Detaylı

Sivas Fen Lisesi Ortaokul 2. Matematik Olimpiyatı Sınavı A A) 55 B) 50 C) 45 D) 40 E) 35

Sivas Fen Lisesi Ortaokul 2. Matematik Olimpiyatı Sınavı A A) 55 B) 50 C) 45 D) 40 E) 35 Sivas Fen Lisesi Ortaokul 2. Matematik Olimpiyatı Sınavı A 1. ABC üçgeninde BF BD, EC CD olacak şekilde AC kenarı üzerinde E noktası, o BC m(ba C) 70 ise m(fd E) kaç derecedir? AB kenarı üzerinde F noktası,

Detaylı

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU MATEMATİK Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU Mesleki Matematik 1 TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Sayıları yazmak için kullandığımız işaretlere rakam denir. Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları

T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu 016-017 Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları 1) 3. [15 3(8: )] 9 =? a) 16 b) 14 c) 0 d) 14 e) 16 6)

Detaylı

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674 kapak sayfası İÇİNDEKİLER. ÜNİTE DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Gerçek Sayılar... 4 Doğal Sayılarda İşlemler... 4 Tam Sayılar... 4 Rasyonel Sayılar... 5 İrrasyonel Sayılar... 5 Gerçek (Reel) Sayılar... 6 9 Konu

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16.MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF FİNAL SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16.MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF FİNAL SORULARI 10. SINIF FİNAL SORULARI 1. a,b,c,d sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere, + c + d = 0 denkleminin kökleri a ve b, + a + b = 0 denkleminin kökleri c ve d ise b + d değerini bulunuz.. sin + cos cos +

Detaylı