SEK Yönteminin Güvenilirliği Sayısal Bir Örnek. Ekonometri 1 Konu 11 Sürüm 2,0 (Ekim 2011)

Transkript

1 İk Değşkenl Bağlanım Model SEK Yöntemnn Güvenlrlğ Ekonometr 1 Konu 11 Sürüm,0 (Ekm 011)

2 UADMK Açık Lsans Blgs İşbu belge, Creatve Commons Attrbuton-Non-Commercal ShareAlke 3.0 Unported (CC BY-NC-SA 3.0) lsansı altında br açık ders malzemes olarak genel kullanıma sunulmuştur. Esern lk sahbnn belrtlmes ve geçerl lsansın korunması koşulu le özgürce kullanılablr, çoğaltılablr ve değştrleblr. Creatve Commons örgütü ve CC-BY-NC-SA lsansı le lgl ayrıntılı blg adresnde bulunmaktadır. Bu ekonometr ders notları setnn tamamına adresnden ulaşılablr. A. Talha Yalta TOBB Ekonom ve Teknoloj Ünverstes Ekm 011

3 Ders Planı SEK Yöntemnn Güvenlrlğ 1 SEK Yöntemnn Güvenlrlğ Monte Carlo Yöntem

4 Monte Carlo Yöntem Sıradan en küçük kareler tahmnclernn örneklem verlernn brer şlev olduğunu anımsayalım: ˆβ = n X Y X Y n X ( X ) ˆβ 1 = X Y X X Y n X ( X ) = x y x = Ȳ ˆβ X Verler örneklemden örnekleme değşeceğ çn tahmnler de buna bağlı olarak değşecektr. Öyleyse ˆβ 1 ve ˆβ tahmnclernn güvenlrlğ çn br ölçüte gereksnm vardır.

5 Monte Carlo Yöntem İstatstkte rastsal br değşkenn doğruluk dereces ölçünlü hata (standard error), kısaca öh (se) le ölçülür: Ölçünlü Hata Ölçünlü hata, br tahmncye at örneklem dağılımının kend ortalamasından ortalama olarak ne kadar saptığını gösterr. Örneklem dağılımı varyansının artı değerl kare köküdür.

6 Monte Carlo Yöntem Başta sözü edlmş olan Gaussçu varsayımlar geçerl ken SEK tahmnclernn ölçünlü hataları aşağıdak gbdr: var( ˆβ ) = σ x var( ˆβ 1 ) = X n σ x öh( ˆβ ) = σ x öh( ˆβ 1 ) = X n x σ Burada var değşrlk ya da varyansı, öh ölçünlü hatayı, σ se bağlanımın sabt varyansını göstermektedr.

7 Monte Carlo Yöntem u nn sabt varyansını veren σ şöyle tahmn edlr: ˆσ = û n Buradak ˆσ, blnmeyen σ nn SEK tahmncsdr. û termne kalıntı kareler toplamı (resdual sum of squares), kısaca KKT (RSS) denr ve şöyle bulunur: û = y ˆβ x n değer se k değşkenl çözümleme çn geçerl serbestlk derecesdr.

8 Serbestlk Dereces Kavramı Monte Carlo Yöntem Serbestlk Dereces Serbestlk dereces (degree of freedom), örneklemdek toplam gözlem sayısı (n) eks bunlar üzerne konulmuş olan bağımsız ve doğrusal sınırlama sayısıdır. Örnek olarak, KKT nn hesaplanablmes çn önce ˆβ 1 ve ˆβ değerlernn bulunmuş olması gerekldr: û = (Y ˆβ 1 ˆβ X ) Dolayısıyla bu k tahmnc KKT üzerne k sınırlama getrr. Bu durumda, KKT y ve dolayısıyla da ölçünlü hatayı doğru hesaplayablmek çn aslında elde n değl n sayıda bağımsız gözlem vardır.

9 Monte Carlo Yöntem nın Özellkler SEK tahmncler ˆβ 1 ve ˆβ nın varyans formüllern anımsayalım: var( ˆβ ) = σ x var( ˆβ 1 ) = X n x ˆβ 1 le ˆβ tahmnclernn varyanslarının ve dolayısıyla bunların ölçünlü hatalarının şu özellkler önemldr: 1 Örneklem büyüklüğü n arttıkça x toplamındak term sayısı da artar. Böylece n büyüdükçe ˆβ 1 ve ˆβ nın doğruluk dereceler de artar. ˆβ 1 ve ˆβ, verl br örneklemde brbrler le lşkl olablrler. Bu bağımlılık aralarındak kovaryans le ölçülür: cov( ˆβ 1, ˆβ ) = X var( ˆβ ) 3 Eğer X artı değerl se kovaryans da eks değerl olur. Bu durumda eğer β katsayısı olduğundan büyük tahmn edlr se β 1 de olduğundan küçük tahmn edlmş olur. σ

10 Monte Carlo Yöntem Eldek gözlemler çoğunlukla bağlanım doğrusu üzernde yer almazlar. Artı ya da eks şaretl û hataları le karşılaşıldığına göre örneklem bağlanım doğrusunun eldek verlerle ne ölçüde örtüştüğünü gösteren br ölçüte gereksnm vardır: Belrleme Katsayısı Belrleme katsayısı (coeffcent of determnaton) ya da r (çoklu bağlanımda R ), örneklem bağlanım şlevnn verlere ne kadar y yakıştığını gösteren özet br ölçüttür.

11 Monte Carlo Yöntem Belrleme Katsayısının Hesaplanması Belrleme katsayısını hesaplamak çn, y = ŷ + û eştlğnn k yanının kares alınır ve örneklem boyunca toplanır: y = ŷ + û + ŷ û = ŷ + û = ˆβ x + û TKT = BKT + KKT Burada TKT Toplam Kareler Toplamı (Total Sum of Squares), BKT Bağlanım Kareler Toplamı (Regresson Sum of Squares), KKT Kalıntı Kareler Toplamı (Resdual Sum of Squares) anlamına gelmektedr. Yukarıdak ŷ û termnn SEK bağlanım doğrusunun 3. özellğnden dolayı sıfıra eşt olduğuna dkkat ednz.

12 Monte Carlo Yöntem Belrleme Katsayısının Hesaplanması y = ˆβ x + û TKT = BKT + KKT Yukarıdak eştlğn her k yanını TKT ye bölelm: 1 = BKT TKT + KKT TKT Buna göre r aşağıdak gb tanımlanır: Belrleme Katsayısı r = ŷ y = ( Ŷ Ȳ ) BKT = (Y Ȳ ) TKT = 1 KKT TKT

13 Belrleme Katsayısının Özellkler Monte Carlo Yöntem r nn k temel özellğnden söz edleblr: 1 r eks değer almayan br büyüklüktür. Sınırları 0 r 1 dr. Buna göre: Eğer r = 1 olursa bu kusursuz br yakışma demektr. Bu durumda rastsal hata yoktur ve tüm gözlemler bre br bağlanım doğrusu üzernde yer almaktadır. Sıfıra eşt br r se bağımlı değşkenle açıklayıcı değşken arasında hçbr lşknn olmadığı ( ˆβ = 0) anlamına gelr.

14 İlnt Katsayısı SEK Yöntemnn Güvenlrlğ Monte Carlo Yöntem r le yakın lşkl ama kavramsal olarak çok uzak br büyüklük lnt katsayısı (coeffcent of correlaton), kısaca r dr: İlnt Katsayısı r = ± r r değer, bağımlı ve açıklayıcı değşkenler arasındak doğrusal bağımlılığın br ölçüsüdür. 1 ve +1 arasında yer alır: 1 r 1. Bakışımlıdır: r XY = r YX. Sıfır noktasından ve ölçekten bağımsızdır. Herhang br neden-sonuç lşks çermez. İk değşken arasında sıfır lnt (r = 0) mutlaka bağımsızlık göstermez çünkü r yalnızca doğrusal lşky ölçer.

15 Monte Carlo Yöntem Monte Carlo Yöntem KDBM varsayımları altında SEK tahmnclernn EDYT (En y Doğrusal Yansız Tahmnc) olmalarını sağlayan bazı arzulanan özellkler taşıdıklarını anımsayalım. EDYT özellklernn geçerllğ, br benzetm (smulaton) yöntem olan Monte Carlo deneyler le doğrulanablr. Bu yöntem, anakütle katsayılarını tahmn eden süreçlern statstksel özellklern ncelemede sıkça kullanılmaktadır. Monte Carlo aynı zamanda statstksel çıkarsamanın temel sayılan tekrarlı örnekleme (repeated samplng) kavramının anlaşılması çn de yararlı br araçtır.

16 Monte Carlo Yöntemnn Adımları Monte Carlo Yöntem Br Monte Carlo deney aşağıdak gb yapılır: 1 Anakütle katsayıları seçlr. Örnek: β 1 = 0 ve β = 0,6. Br örneklem büyüklüğü seçlr. Örnek: n = 5. 3 Her gözlem çn br X değer belrlenr. 4 Br rastsal sayı oluşturucu kullanılarak u kalıntıları üretlr. 5 β 1, β, X ler ve u ler kullanılarak Y değerler bulunur. 6 Bu şeklde üretlen Y değerler X ler le bağlanıma sokulur ve ˆβ 1 ve ˆβ SEK tahmncler hesaplanır. 7 İşlem tekrarlanır (örneğn 1000 kez) ve rastsallıktan dolayı her seferde değşen tahmnlern ortalamaları ( ˆβ 1, ˆβ ) alınır. 8 Eğer ˆβ 1 ve ˆβ değerler β 1 ve β ye aşağı yukarı eşt se, deney SEK tahmnclernn yansızlığını, dğer br deyşle E( ˆβ 1 ) = β 1 ve E( ˆβ ) = β olduğunu saptamış sayılır.

17 SEK Yöntemnn Güvenlrlğ Ele almış olduğumuz bazı kavramları sayısal br örnek yardımı le gözden geçrelm. Türkye de arası toplam tüketm harcamaları ve GSYH verler şöyledr: Çzelge: Türkye de Tüketm ve GSYH ( ) Yıl C Y Yıl C Y Toplu özel nha tüketm harcamalarını (Y ), gayr saf yurtç hasıla (X) le lşklendrmek styor olalım.

18 SEK Yöntemnn Güvenlrlğ TÜRKİYE YILLARI ARASI MİLLİ GELİR VE TÜKETİM HARCAMALARI İLİŞKİSİ 100 Y = 8,03 + 0,593X Toplu Özel Nha Tüketm Harcamaları Gayr Saf Yurtç Hasıla

19 SEK Bağlanımı gretl Çıktısı

20 SEK Bağlanım Çıktısının Yorumlanması Gretl çıktısına göre marjnal tüketm eğlm (MTE) 0,59 dur. Buna göre gelr 1 lra arttığında tüketmn de 59 kuruş artması beklenmektedr. Sabt term, toplam gelr sıfır olduğunda toplam tüketmn yaklaşık 8 mlyon lra olacağını göstermektedr. Sıfır gelrn gözlem aralığı dışında kalan ve gerçek hayatta olanaksız br değer olmasından dolayı, sabt termn böyles br mekank yorumu ktsad anlam çermemektedr. Gretl ˆβ 1, ˆβ ve û çn ölçünlü hataları sırasıyla 1,85509 ve 0, ve 1, olarak hesaplamıştır. Yukarıdak değerlern kares alınarak var( ˆβ 1 ) = 3,44136 ve var( ˆβ ) = 0, ve ˆσ = 3,05590 varyansları da kolayca bulunablr. r = 0,985 değer se bağlanım modelnn verlere gerçekç kabul edlemeyecek kadar y yakıştığını göstermektedr.

21 Önümüzdek Dersn Konusu Önümüzdek ders Normallk varsayımı ve lşkn dağılımlar