SEK Tahmincilerinin Türetilmesi. SEK Tahmincilerinin Türetilmesi. Ekonometri 1 Konu 8 Sürüm 2,0 (Ekim 2011)

Transkript

1 İki Değişkenli Bağlanım Modeli SEK Tahmincilerinin Türetilmesi Ekonometri 1 Konu 8 Sürüm 2,0 (Ekim 2011)

2 UADMK Açık Lisans Bilgisi İşbu belge, Creative Commons Attribution-Non-Commercial ShareAlike 3.0 Unported (CC BY-NC-SA 3.0) lisansı altında bir açık ders malzemesi olarak genel kullanıma sunulmuştur. Eserin ilk sahibinin belirtilmesi ve geçerli lisansın korunması koşulu ile özgürce kullanılabilir, çoğaltılabilir ve değiştirilebilir. Creative Commons örgütü ve CC-BY-NC-SA lisansı ile ilgili ayrıntılı bilgi adresinde bulunmaktadır. Bu ekonometri ders notları setinin tamamına adresinden ulaşılabilir. A. Talha Yalta TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Ekim 2011

3 Ders Planı SEK Tahmincilerinin Türetilmesi 1 SEK Tahmincilerinin Türetilmesi

4 Sıradan En Küçük Kareler Yöntemi Bağlanım çözümlemesinde amaç, örneklem bağlanım işlevi (ÖBİ) temel alınarak anakütle bağlanım işlevinin (ABİ) olabildiğince doğru biçimde tahmin edilmesidir. Bunun için kullanılan en yaygın yol sıradan en küçük kareler (ordinary least squares), kısaca SEK (OLS) yöntemidir. SEK yönteminin 1794 yılında Alman matematikçi Carl Fredrich Gauss tarafından bulunduğu kabul edilir.

5 Sıradan En Küçük Kareler Yöntemi SEK yöntemini anlamak için iki değişkenli ABİ yi anımsayalım: Y i = β 1 + β 2 X i + u i ABİ gözlenemediğinden ÖBİ kullanılarak tahmin edilir: Y i = ˆβ 1 + ˆβ 2 X i + û i = Ŷi + û i ÖBİ nin kendisini bulmak için ise kalıntılar (residuals), diğer bir deyişle hata terimi kullanılır: û i = Y i Ŷi = Y i ˆβ 1 ˆβ 2 X i

6 Sıradan En Küçük Kareler Yöntemi Elimizde n tane X ve Y varken, ÖBİ yi gözlenen Y lere olabildiğince yakın biçimde belirlemek istiyoruz. Bunun için şu ölçüt benimsenebilir: min ( ( (Yi ) û i ) = min Ŷi) Ancak bu durumda artı ve eksi değerli hatalar büyük ölçüde birbirlerini etkisiz hale getirecektir. Ayrıca burada ÖBİ ye ne kadar yakın ya da uzak olursa olsun tüm kalıntılar eşit önem taşımaktadır. Öyleyse, ÖBİ yi kalıntılar toplamı en küçük olacak şekilde seçmek iyi bir ölçüt değildir.

7 Sıradan En Küçük Kareler Yöntemi Herhangi bir veri seti için farklı ˆβ 1 ve ˆβ 2 değerleri farklı û i ve dolayısıyla da farklı û i 2 toplamları verir. Ancak hatalar toplamı û i her zaman sıfır çıkar. Örnek olarak, varsayımsal bir veri seti için aşağıdaki iki ÖBİ yi ele alalım: Ŷ 1i = 1, ,357X i Ŷ 2i = 3, ,000X i Y i X i Ŷ 1i û 1i û 2 1i Ŷ 2i û 2i û 2 2i 4 1 2,929 1,071 1, ,000-2,000 4, ,357-1,357 1, ,714 2,286 5, Toplam ,

8 Sıradan En Küçük Kareler Yöntemi VARSAYIMSAL ÖRNEK 14 Y = 1,57 + 1,36X Y X

9 Sıradan En Küçük Kareler Yöntemi Artı ve eksi değerler alabilen kalıntıların toplamının küçük çıkma sorunundan kurtulmak için en küçük kareler ölçütü kullanılır: En Küçük Kareler Ölçütü ( ) ( 2 (Yi ) min ûi = min Ŷi) 2 ( (Yi = min ˆβ 1 ˆβ ) 2 X i ) 2 Yukarıdaki gösterimin ˆβ 1 ve ˆβ 2 tahmincilerine dayanan bir matematiksel işlev olduğuna dikkat ediniz.

10 Normal Denklemler SEK, kalıntı kareleri toplamını enazlamak (minimize) için, ÖBİ değiştirgelerini hesaplamada basit bir eniyileme (optimization) yönteminden yararlanır. (Yi ˆβ 1 ˆβ 2 X i ) 2 teriminin ˆβ 1 ve ˆβ 2 ya göre kısmi türevlerini alalım: Yi = n ˆβ 1 + ˆβ 2 Xi Yi X i = ˆβ 1 Xi + ˆβ 2 X 2 i Burada n örneklem büyüklüğüdür. Yukarıdaki denklemler normal denklemler (normal equations) olarak adlandırılırlar.

11 Normal Denklemler ˆβ 1 ve ˆβ 2 değiştirgeleri, normal denklemlerin eşanlı olarak çözülmesi ile bulunur: ˆβ 2 = n X i Y i X i Yi n X 2 i ( X i ) 2 ˆβ 1 = X 2 i Yi X i Xi Y i n Xi 2 ( X i ) 2 = xi y i x 2 i = Ȳ ˆβ 2 X X ve Ȳ terimleri X ile Y nin örneklem ortalamalarıdır. Küçük harfler ise ortalamadan sapma (deviation from the mean) olarak kullanılmıştır: x i = (X i X) y i = (Y i Ȳ )

12 SEK Bağlanım Doğrusunun Özellikleri İkili bağlanım SEK tahmincileri ˆβ 1 ve ˆβ 2 nın şu özelliklerine dikkat edelim: Bunlar birer nokta tahmincisidirler. Gözlemlenebilen örneklem değerleri (X i ve Y i ) cinsinden gösterilir ve dolayısıyla kolayca hesaplanabilirler. Örneklem verileri kullanılarak ˆβ 1 ve ˆβ 2 hesaplandıktan sonra, örneklem bağlanım doğrusu da kolayca çizilebilir.

13 SEK Bağlanım Doğrusunun Özellikleri SEK yöntemi ile bulunan örneklem bağlanım doğrusu aşağıda verilen özellikleri taşır: 1 Örneklem bağlanım doğrusu, X ve Y nin örneklem ortalamalarından geçer. (Ȳi = ˆβ 1 + ˆβ 2 Xi ) 2 û i kalıntılarının ortalaması sıfırdır. ( û i = 0) 3 û i kalıntıları tahmin edilen Y i lerle ilişkisizdir. ( û i Ŷ i = 0) 4 û i kalıntıları X i lerle ilişkisizdir. ( û i X i = 0) 5 Tahmin edilen Ŷi ların ortalaması, gözlemlenen Y i değerlerinin ortalamasına eşittir. Bu ÖBİ den görülebilir: Ŷ i = ˆβ 1 + ˆβ 2 X i = (Ȳ ˆβ 2 X) + ˆβ 2 X i = Ȳ + ˆβ 2 (X i X) Son satırın her iki yanı örneklem üzerinden toplanıp n ye bölünürse, Ŷ = Ȳ olarak bulunabilir.

14 ÖBİ nin Sapma Biçiminde Gösterimi ÖBİ nin sapma biçimi (deviation form) gösterimini bulmak için Y i = ˆβ 1 + ˆβ 2 X i + û i işlevinin her iki yanını toplayalım: Yi = n ˆβ 1 + ˆβ 2 Xi + û i = n ˆβ 1 + ˆβ 2 Xi ( û i = 0 olduğu için) Daha sonra bu denklemin her iki yanını n ye bölelim: Ȳ = ˆβ 1 + ˆβ 2 X Yukarıdaki eşitlik, örneklem bağlanımı doğrusunun X ve Y nin örneklem ortalamalarından geçtiğini göstermektedir. Son olarak yukarıdaki eşitliği ilk eşitlikten çıkaralım: Y i Ȳ = ˆβ 2 (X i X) + û i y i = ˆβ 2 x i + û i Sapma gösteriminde ˆβ 1 nın bulunmadığına dikkat ediniz.

15 Önümüzdeki Dersin Konusu Önümüzdeki ders SEK tahmincilerinin arzulanan özellikleri