AKT 418 Aktüeryal Sistem Benzetimi
|
|
- Ata Albayrak
- 6 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 AKT 418 Aktüeryal Sistem Benzetimi Ders 1 Sistem, model, Monte Carlo simülasyonu Dr. Murat BÜYÜKYAZICI muratby@hacettepe.edu.tr Hacettepe Üniversitesi Aktüerya Bilimleri Bölümü
2 Anlamlı bir söz! Sadece ortalama derinliğinin 120 cm olduğu bilgisine güvenerek, bir derenin karşı tarafına yürüyerek geçmeyi asla deneme. Never try to walk across a river just because it has an average depth of four feet. Milton Friedman Nobel ödülü almış Amerikalı bir ekonomist Şubat 15 Dr. Murat Büyükyazıcı 2
3 Modelleme ve Simülasyon Bu bölümde, Sistem ve model Deterministik ve stokastik modeller Deterministik ve stokastik çözüm yaklaşımları Model değişkenleri Çeşitli alanlarda model değişkenleri örnekleri Simülasyon modeli Monte-Carlo simülasyonu Rasgele Sayı Üretme Yöntemleri Simülasyon modeli geliştirme süreci konuları ele alınacaktır Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 3
4 Modelleme ve Simülasyon Sistem ve Model Güneş sistemi: Gerçek hayatta karşılaşılan sorunlar çok çeşitli ve çok boyutludur. Sorunların çözümü için çoğu kez analitik yöntemlerden yararlanılmaktadır. Çözümlerin kalıcı ve etkin olabilmesi için sorunun tüm bileşenleri ile birlikte bir sistem yaklaşımı içinde ele alınması gerekir. Bu durumda ise, analitik yöntemlerle çözüm elde edilemeyebilir. Güneş sistemi modeli: Sistem yaklaşımı içerisinde çözümü uygulayacak karar vericilerin sistem ve model kavramlarını bilmesi gerekmektedir Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 4
5 Modelleme ve Simülasyon Sistem Aralarında ilişki bulunan ve birbirlerini karşılıklı olarak etkileyen bileşenlerin oluşturduğu bir yapıdır. Sistemler çeşitli açılardan sınıflandırılabilir: Yapılarına göre; doğal ve insan yapısı sistemler, Çevre ile ilişkilerine göre; açık ve kapalı sistemler, Sistem bileşenlerinin davranışının önceden kestirilebilirliğine göre; deterministik ve stokastik sistemler, Zaman içinde gösterdiği değişime göre, statik ve dinamik sistemler olarak sınıflandırılabilir. Güneş sistemi, doğal, açık, stokastik ve dinamik bir sistemdir Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 5
6 Modelleme ve Simülasyon Model Sistemin bileşenleri arasındaki ilişkilerin fiziksel büyüklükler, sözel ya da matematiksel ifadeler ile belirlenmiş biçimine model denir. Sistem modeli, ele alınan sistemin değişik koşullar altındaki davranışlarını incelemek, sistemi denetlemek sistemin gelecekteki davranışlarını kestirmek amacıyla kullanılabilir. analog model ölçek model matematiksel model Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 6
7 Modelleme ve Simülasyon Deterministik ve Stokastik Modeller Deterministik modellerde her bir bileşenin davranışı önceden kesin olarak bilinir. Örnekler Dijital devre simülasyonu. Bir kimyasal tepkimenin diferansiyel denklemlere dayalı simülasyonu. Belirlenen bir girdi kümesi için elde edilecek sonuç deterministiktir. Stokastik modellerde ise rastlantıya bağlı olayların ortaya çıkma durumu söz konusudur ve bu nedenle sistem bileşenlerinin davranışı önceden kesin olarak bilinemez. Örnekler Bir mağaza ya da restoranda gelen iki müşteri arasında geçen süre Bir mağaza ya da restoranda müşteriye verilen hizmet süresi Elde edilecek sonuç bir rastlantı değişkenidir. Çok sayıda deneme yapılarak elde edilecek sonuçların olasılık dağılımı incelenir Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 7
8 Modelleme ve Simülasyon Deterministik ve Stokastik Çözüm Yaklaşımları Deterministik çözüm yaklaşımı Stokastik çözüm yaklaşımı alt sınır üst sınır alt sınır üst sınır kabul edilebilir 15% arıza oluşma olasılığı - kabul edilemez Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 8
9 Modelleme ve Simülasyon Deterministik ve Stokastik Çözüm Yaklaşımları Deterministik çözüm yaklaşımı: Beklenen kar = 1,68 milyon $ Stokastik yaklaşım: Beklenen kar = 1,68 milyon $ Zarar etme olasılığı = 0,28 dağılıma ilşikin her türlü istatistik hesaplanabilir. - $4 M - $2 M $0 M $2 M $4 M $6 M $8 M NPV Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 9
10 Modelleme ve Simülasyon Model Değişkenleri Karar değişkenleri (decision variables), değerleri kontrol edilebilen yani karar verici tarafından belirlenebilen değişkenlerdir.örnekler: bir dairenin aylık kirasının kaç TL olacağı hangi yatırım seçeneğine ne kadar para yatırılacağı Durum (varsayım) değişkenleri (assumption variables), değerleri bir olasılık dağılımına bağlı olarak rasgele ortaya çıkan değişkenlerdir. Bu değişkenlerin değerleri karar verici tarafından kontrol edilemediğinden kontrol edilemeyen değişkenler olarak da adlandırılır. Örnekler: enflasyon oranı müşterinin aylık geliri Sistem parametreleri, genellikle fiziksel sabitleri, tasarım parametrelerini, oransal katsayıları gösterirler. Örnekler: pi sayısı vergi oranı Kestirim değişkenleri (forecast variables), değerleri sistem parametrelerine, karar değişkenlerine, varsayım değişkenlerine bağlı olarak ortaya çıkar. Matematiksel modelde bu değişkenlerin değerlerini kullanarak hesaplanır. Örnekler: toplam kar piyasa payı müşteri memnuniyeti Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 10
11 Modelleme ve Simülasyon Çeşitli Alanlarda, Model Değişkenleri Örnekleri Alan Karar değişkenleri Kestirim değişkenleri Durum (varsayım) değişkenleri Finansal yatırım Yatırım seçenekleri ve her bir Toplam kar Enflasyon oranı seçeneğe ne kadar yatırılacağı Ne zaman yatırılacak İç getiri oranı Kredi faizi Ne kadar vade ile yatırılacak Hisse başına kazanç Likit seviyesi Pazarlama Reklam bütçesi Pazar payı Müşterinin gelir seviyesi Hangi reklam aracına ne kadar Müşteri memnuniyeti Rakip firmaların durumu reklam harcaması yapılacak Üretim Ne ve ne kadar üretilecek Toplam maliyet Makine kapasiteleri Envanter seviyeleri Kalite seviyesi Teknoloji İşçi memnuniyeti Ham madde maliyetleri Ulaşım / Taşıma Sevkiyat çizelgesi Müşteri memnuniyeti Taşıma hizmeti talep seviyesi Sigorta Saklama payı seviyesi Sigorta şirketinin toplam Her bir poliçenin hasar miktarı hasar ödemesi Reasürans şirketinin toplam hasar ödemesi Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 11
12 Modelleme ve Simülasyon Simülasyon Modeli Bir stokastik modelin çözümü analitik olarak elde edilemediği zamanlarda, sistemin simülasyon modeli kurulabilir. Simülasyon modeli üzerinde çok sayıda denemeler yaparak çözüm aranır. Denemeler bilgisayar programı aracılığıyla yapılır. Simülasyon modeli ile yapılan denemeler ile incelenen sistemin çeşitli etkiler karşısındaki davranışları incelenir. En iyi sistem davranışını belirlemek için çeşitli ölçütler kullanılabilir. Bu ölçütlere sistem başarım ölçütleri denir. Kestirim değişkenleri (forecast) sistem başarım ölçütü olarak kullanılabilir. Aylık prim büyüklüğünün deneme sonucu elde edilen değerlerinin dağılım grafiği. Kullanılan simülasyon programı, Crystal Ball Simülasyon deneme sayısı, Kestirim değişkeni (forecast): aylık prim Aylık prim ortalaması, TL Aylık prim değerinin TL den büyük olması olasılığı %72.09 dur Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 12
13 Modelleme ve Simülasyon Monte Carlo Simülasyonu Simülasyon, incelenen sistemin modelini kurmayı ve model üzerinde deney yapmayı kapsayan bir tekniktir. Bir simülasyon çalışması, incelenen sistemin neden-sonuç ilişkilerini betimleyen modelin davranışları incelenerek yapılır. İncelenen sistemin modeli stokastik bir yapıya sahipse, bir başka deyişle belirsizliği içeren varsayım değişkenlerine sahipse, ve modelin analitik çözümü elde edilemiyorsa çözüm rasgele sayılar üretmeye dayalı Monte-Carlo Simülasyonu tekniği ile incelenebilir Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 13
14 Modelleme ve Simülasyon Rasgele Sayı Üretme Yöntemleri İstatistiksel dağılımlara ait rasgele sayılar, (0,1) aralığında tanımlı uniform dağılımdan rasgele sayılar kullanılarak elde edilir. Uygulamada yaygın olarak kullanılan rastgele sayı üretme yöntemleri: Ters dönüşüm yöntemi ile rastgele sayı üretme Ters dönüşüm yöntemi Doğrudan benzetim yöntemi Reddetme yöntemi Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 14
15 Modelleme ve Simülasyon Simülasyon Modeli Geliştirme Süreci Adım 1. Sorunu tanımla. Adım 2. Eldeki veri kaynaklarını incele ve veri gereksinmesini belirle. Adım 3. Gerekli verileri topla, simülasyon modelinin parametrelerini tahmin et. Adım 4. Karar değişkenlerini, varsayım değişkenlerini, çıktı değişkenlerini belirle. Adım 5. Simülasyon modelini bilgisar programını (ya da hesap tablosu (spreadsheet) yapısını oluştur) yaz. Adım 6. Simülasyon modelinin geçerliliğini test et, geçerli değilse önceki adımlara dön. Adım 7. Benzetim denemelerini tasarla ve gerçekleştir. Adım 8. Sonuçları incele ve yorumla, sonuçlar tatmin edici değilse önceki adımlara dön Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 15
16 Temel İstatistik ve Olasılık Dağılımları Bu bölümde, Betimleyici istatistikler Konum ve dağılım ölçüleri Çarpıklık, basıklık katsayıları Sürekli ve kesikli dağılımlar Birikimli dağılım fonksiyonları Temel dağılımlar konuları ele alınacaktır Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 16
17 Temel İstatistik ve Olasılık Dağılımları Betimleyici İstatistikler Betimleyici istatistikler veri setinde yer alan değişkenleri özetleyen, tanıtan değerlerdir. n birime ait verinin genel eğilimi, yayılımı ve belirli değerler etrafında toplanma yığılmaları hakkında bilgi edinmek için betimleyici istatistikler hesaplanır. Betimleyici istatistikler Konum ölçüleri Dağılım ölçüleri olarak iki grupta incelenir Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 17
18 Temel İstatistik ve Olasılık Dağılımları Konum Ölçüleri Konum ölçüleri, verilerin merkezi eğilimlerini ve verilerin belirli yüzdelerinin hangi değerler arasında toplanma eğilimi gösterdiğini belirten tipik değerlerdir. Bu istatistikler, kitle parametresini tahmine yardımcı olur. aritmetik ortalama (mean, average) ortanca (median) çeyrek (quartile) değerler yüzdelik (percentage) değerler Dağılım Ölçüleri Verilerin dağılım biçimini, ortalama etrafında değişimini, yayılmalarını ve serpilmelerini belirlemeye yarayan ölçülerdir. değişim aralığı (değişim genişliği, range) varyans (variance) standart sapma (standart deviation) standart hata (standart error of mean) basıklık (kurtosis) çarpıklık (skewness) değişim katsayısı (coefficient of variation) en küçük değer (minimum) en büyük değer (maximum) Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 18
19 Temel İstatistik ve Olasılık Dağılımları Aritmetik Ortalama: n değerleri toplamının n e (birim sayısına) bölünmesiyle bulunur. Çan eğrisi biçiminde simetrik dağılım gösteren verileri en iyi temsil eden merkezi eğilim ölçüsüdür. Analitik karşılaştırmalarda en sık kullanılan istatistiktir. Varyans: Bir dizideki değerlerin ortalamadan olan farklarının kareleri toplamının (n-1) sayısına bölünmesiyle bulunan bir dağılım ölçüsüdür. Standart Sapma: Varyansın kare kökü alınarak bulunan bir standart dağılım ölçüsüdür. Standart Hata: Örneklem ortalamalarının oluşturduğu dağılımın standart sapmasını veren bir dağılım ölçüsüdür. Standart hata, kitle ortalaması ile bu kitleden çekilen örneklemin ortalaması arsındaki fark şeklinde de ifade edilebilir. Standart hata, örneklem standart sapması ile doğru ve örneklemin denek sayısı ile ters bağlantılıdır. Değişim Katsayısı (Coefficient of Variation): Standart sapmanın ortalamaya bölünmesi ile elde edilir. Farklı birimlerdeki değişkenlerin standart sapmalarının, ortalamalarına bölmek suretiyle birimden bağımsızlaştırarak, ortalamadan sapmalarının karşılaştırılabilir olmasını sağlar. Dağılım Genişliği: En büyük ve en küçük değerler arasındaki farka dağılım genişliği (range) denir Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 19
20 Temel İstatistik ve Olasılık Dağılımları Çarpıklık (Skewness) Bir dağılımın normal dağılıma göre simetrik ya da çarpık (asimetrik) olup olmadığını belirten bir ölçüdür. Simetrik (normal) dağılımda çarpıklık değeri 0 dır. Dağılımın simetrik olup olmadığı, çarpıklığın önemliliği: 1 den büyük ya da -1 den küçük ise oldukça çarpık 0,5 ile 1 arasında ya da -1 ile -0,5 arasında ise orta ölçüde çarpık -0,5 ile 0,5 arasında ise oldukça simetrik Sağa çarpık : çok yüksek ücretler bulunmasına rağmen, ücrertlerin çoğu en düşük ücrete yakın. Çarpıklık katsayısı > 0 Sağa çarpık Çarpıklık katsayısı = 0 Simetrik Çarpıklık katsayısı < 0 Sola çarpık Sola çarpık : çok düşük ücretler bulunmasına rağmen, ücretlerin çoğu en yüksek ücrete yakın Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 20
21 Temel İstatistik ve Olasılık Dağılımları Basıklık (Kurtosis) Bir dağılımın normal dağılıma göre basık ya da sivri (tepeleşmiş) olup olmadığını belirten bir ölçüdür. Normal dağılımın basıklık katsayısı 3 dür ve genellikle bu değer referans olarak alınır. 3 den küçük ise dağılımın basık tepeli 3 den büyük ise sivri tepeli olduğu söylenebilir. Basık tepeli : ücretlerin çoğu daha geniş bir alana yayılmıştır.. Basıklık Katsayısı < 3 Basıklık Katsayısı = 3 Basıklık Katsayısı > 3 Sivri tepeli : az sayıda çok düşük ve çok yüksek ücret olsa da, ücretlerin çoğu birbirine yakın Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 21
22 Temel İstatistik ve Olasılık Dağılımları Kesikli ve Sürekli Dağılımlar Kesikli Dağılım 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 p(x) , x , x 4 ve 8 p( xi ) 0.15, x 7 0.3, x 5 ve 6 x 9 x4 p( x) 1 f(x) Sürekli Dağılım ( x) f ( x) e 2, x 2 f ( x) dx Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 22
23 Temel İstatistik ve Olasılık Dağılımları Birikimli Dağılım Fonksiyonları, F(x) Kesikli Dağılım 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 p(x) f(x) x 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 F(x) F(x) x F( x) p( x) x x4 Sürekli Dağılım x F( x) f ( x) dx Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 23
24 Temel İstatistik ve Olasılık Dağılımları Temel Dağılımlar Normal Dağılım Bernolli Dağılımı (Yes No) Lognormal Dağılım Binom Dağılımı Üçgen Dağılım (triangular) Poisson Dağılımı Tekdüze Dağılım (uniform) Negatif Binom Dağılımı Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 24
25 Temel İstatistik ve Olasılık Dağılımları Normal Dağılım Özellikleri En çok gözlenen değerler ortalamaya yakın olan değerlerdir. Simetriktir. Herhangi bir değerin ortalamaya yakın olması olasılığı uzak olması olasılığından büyüktür. Uygulama Alanları Doğal olaylar İnsanların boyları Nüfus yenileme hızı Enflasyon Portföy getirisi Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 25
26 Temel İstatistik ve Olasılık Dağılımları Log Normal Dağılım Özellikleri Üst sınırı yoktur. Alt sınırı 0 dır. Çoğu değer alt sınıra yakın ve dolayısıyla sağa çarpıktır. Logaritması alındığında Normal dağılıma dönüşür. Uygulama Alanları Değerlerin dağılımı sağa çarpık ve değerlerin negatif değer alma şansı olmadığında kullanılabilir. Gayrimenkul fiyatları Hasar büyüklükleri Hisse senedi fiyatları Petrol rezerv büyüklüğü Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 26
27 Temel İstatistik ve Olasılık Dağılımları Üçgen Dağılım Özellikleri Bir alt ve üst sınırı vardır. Alt ve üst sınır arasında bir yerde en çok rastlanan değer vardır ve üçgen biçiminde bir olasılık fonksiyonudur. Uygulama Alanları Değerlerin alt sınırı, üst sınırı ve ençok rastlanan değer biliniyorsa kullanılır. Sınırlı miktarda veri olduğunda yararlıdır. Satış miktarları Stok miktarları Pazarlama maliyetleri Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 27
28 Temel İstatistik ve Olasılık Dağılımları Üstel Dağılım (Exponantial) Özellikleri Oluşlar arasında geçen sürenin dağılımıdır. Dolayısıyla alt sınırı 0 dır. Üst sınırı yoktur. Önceki olaylardan bağımsızdır. Uygulama Alanları Gelen telefonlar arasında geçen süre Müşteri gelişleri arasında geçen süre Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 28
29 Temel İstatistik ve Olasılık Dağılımları Tekdüze (Uniform) Dağılım Özellikleri Bir alt ve üst sınırı vardır. Dağılım genişliği içindeki herhangi bir değeri alması olasılığı eşittir. Kesikli tekdüze (discrete uniform) dağılımı tekdüze dağılımın kesikli karşılığıdır. Uygulama Alanları Değerlerin alt ve üst sınırları bilindiğinde ve olasılıkların eşit olduğu bilindiğinde kullanılır. Gayrimenkül ekspertiz değeri Bir boru hattında sızıntı olan yer. Hilesiz bir zar atıldığında gelen sayılar Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 29
30 Temel İstatistik ve Olasılık Dağılımları Binom Dağılımı ve Bernoulli Dağılımı (Yes-No) Özellikleri Her denemede yanlız iki olası sonuç vardır (başarı, başarısızlık; yazı, tura; var, yok; evet, hayır; doğru, yanlış) Denemeler birbirinden bağımsızdır. Her denemede başarılı olayın gerçekleşmesi olasılığı aynıdır, denemeler süresince değişmez. Deneme sayısı bir olduğunda başarı ile sonuçlanan deneme sayısı bernolli dağılımına, birden fazla olduğunda binom dağılımına uyar. Uygulama Alanları Hilesiz bir bozuk para 10 kez atıldığında gelecek olan tura sayısı Bir sigorta portföyünde aynı yaş grubunda olanlardan bir yıl içinde ölenelerin sayısı Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 30
31 Temel İstatistik ve Olasılık Dağılımları Poison Dağılımı Özellikleri Olayların oluş sayısı Olayların gerçekleşmesi birbirinden ve zamandan bağımsız. Uygulama Alanları Belirlenen bir aralıkta (çoğunlukla zaman aralığı) ortaya çıkan yada gözlenen olaylar, oluşumların sayısı. Dakikada gelen telefon arama sayısı Bir materyalin 100 m2 sinde gözlemlenen hata sayısı Bir yılda gerçekleşen kaza sayısı Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 31
32 Temel İstatistik ve Olasılık Dağılımları Geometrik Dağılım Özellikleri Deneme sayısı için bir üst sınır yoktur. İlk başarılı deneme gerçekleşinceye kadar denemeler devam eder. Her denemede başarı olasılığı aynıdır, denemeler süresince değişmez. Uygulama Alanları İlk başarılı deneme gerçekleşinceye kadar yapılması gereken deneme sayısını modellemede kullanılır. Petrol buluncaya kadar kaç kuyu sondalamak gerektiği Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 32
33 Temel İstatistik ve Olasılık Dağılımları Negatif Binom Dağılımı Özellikleri Deneme sayısı için bir üst sınır yoktur. r. başarılı deneme gerçekleşinceye kadar denemeler devam eder. Her denemede başarı olasılığı aynıdır, denemeler süresince değişmez. Uygulama Alanları r. başarılı deneme gerçekleşinceye kadar yapılması gereken deneme sayısını modellemede kullanılır. 10. siparişi alıncaya kadar yapılması gereken satış ziyareti sayısı Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 33
34 Temel İstatistik ve Olasılık Dağılımları Hipergeometric Dağılımı Özellikleri Kitle sayısı sabit. Kitleden örneklem çekiliyor. Başarı olasılığı denemeden denemeye değişiyor (yerine koymadan örneklem) Uygulama Alanları Bir torbada 10 top (population=10) olsun. Topların 4 tanesi kırmızı (success=4) olsun. Yerine koymadan 3 tanesi çekilirse (trials=3) gelen kırmızı topların sayısı hipergeometrik dağılıma uyar Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 34
35 Nokta Tahmin ile Simülasyon Farkı Simülasyon çok sayıda olası sonucu hızlı bir şekilde oluşturmanın ve analiz etmenin bir yoludur Nokta tahmini = beklenen değerlerle elde edilen 1 tablo Simülasyon = Her seferinde farklı rastgele sayılarla çok sayıda tablo ve sonuçların özeti Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 35
36 Örnek: Ekipman Kiralama Müdürlüğü İşi Yeni bir iş için karar verme Pozisyon İşle ilgili veriler Ekipman kiralama işinde müdürlük Aylık 3.000TL maaş artı brüt karın %2 si kadar prim En iyi diğer seçenek 5.000TL lık sabit aylık gelirle bir başka iş. Ücreti satıştaki değişkenliğe göre almak. Aylık kiralar: min TL, maksimum 2.500TL, en olası değer 2.100TL. Maliyetlerdeki değişkenlik aralığı: 600TL-900TL, en olası 800TL. 100 birim ekipman var. Kiralanan birim sayısı ortalama 85 ve dağılım aralığı (70-100) Sabit maliyet değişkenlik aralığı: TL TL, en olası TL Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 36
37 Örnek 1 için Nokta Tahmini Ekipman Kiralama Müdürlüğü İşi Gelir Maliyet Prim oranı 0,02 Birim başına kiralama ücreti Kiralanacak birim adedi 85 Aylık toplam gelir =D4*D5 Birim başına değişken maliyet 800 Toplam değişken maliyet =D5*D9 Sabit maliyet Aylık toplam maliyet =D10+D11 Brüt kar =D6-D12 Aylık prim =D16*D Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 37
38 Örnek 1 için Dağılım Genişliği Tahminleri En kötü durum Prim oranı 0,02 En olası durum Prim oranı 0,02 Gelir Birim başına kiralama ücreti Gelir Birim başına kiralama ücreti Kiralanacak birim adedi 70 Kiralanacak birim adedi 85 Aylık toplam gelir Aylık toplam gelir Maliyet Birim başına değişken maliyet 900 Maliyet Birim başına değişken maliyet 800 Toplam değişken maliyet Toplam değişken maliyet Sabit maliyet Sabit maliyet Aylık toplam maliyet Aylık toplam maliyet Brüt kar Aylık prim Brüt kar Aylık prim En yüksek maaş TL TL = TL Beklenen maaş TL TL = TL En düşük maaş TL TL = TL Karar ne olacak, olasılıklar ne? En iyi durum Prim oranı 0,02 Gelir Birim başına kiralama ücreti Kiralanacak birim adedi 100 Aylık toplam gelir Maliyet Birim başına değişken maliyet 600 Toplam değişken maliyet Sabit maliyet Aylık toplam maliyet Brüt kar Aylık prim Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 38
39 Örnek 1 için varsayım değişkenleri Birim başına kiralama ücreti üçgen dağılıma uygun olsun (uç noktaları 2.000TL ve 2.500TL, tepe noktası 2.100TL). Birim başına değişken maliyet üçgen dağılıma uygun olsun (uç noktaları 600TL ve 900TL, tepe noktası 800TL) Sabit maliyet üçgen dağılıma uygun olsun (uç noktaları TL ve TL, tepe noktası TL) Kiralanacak birim adedi normal dağılıma uygun olsun (ortalaması 85, standart sapma 5). Kiralanabilecek minimum birim sayısı 70, maksimum 100. Kestirim değişkeni (forecast), aylık prim Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 39
40 Aylık prim kestirim grafiği Kestirim değerinin sınırlar içinde kalması olasılığı Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 40
41 Aylık prim kestirim grafiği Ekipman kiralama müdürünün değişen priminin ayda en az 2.000TL yani toplam aylık maaşının en az 5.000TL olması olasılığı % Bu durumda, alternatif iş seçeneği olan ayda 5.000TL ye çalışmaktansa %71 olasılıkla en az 5.000TL kazanma şansı olan ekipman kiralama müdürlüğü işini tercih etmesi mantıklı görülüyor Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 41
42 Aylık prim istatistikleri Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 42
Nicel / Nitel Verilerde Konum ve Değişim Ölçüleri. BBY606 Araştırma Yöntemleri 2013-2014 Bahar Dönemi 13 Mart 2014
Nicel / Nitel Verilerde Konum ve Değişim Ölçüleri BBY606 Araştırma Yöntemleri 2013-2014 Bahar Dönemi 13 Mart 2014 1 Konum ölçüleri Merkezi eğilim ölçüleri Verilerin ortalamaya göre olan gruplanması nasıl?
Detaylı13. Olasılık Dağılımlar
13. Olasılık Dağılımlar Mühendislik alanında karşılaşılan fiziksel yada fiziksel olmayan rasgele değişken büyüklüklerin olasılık dağılımları için model alınabilecek çok sayıda sürekli ve kesikli fonksiyon
DetaylıOLASILIK ve KURAMSAL DAĞILIMLAR
OLASILIK ve KURAMSAL DAĞILIMLAR Kuramsal Dağılımlar İstatistiksel çözümlemelerde; değişkenlerimizin dağılma özellikleri, çözümleme yönteminin seçimi ve sonuçlarının yorumlanmasında önemlidir. Dağılma özelliklerine
DetaylıKARŞILAŞTIRMA İSTATİSTİĞİ, ANALİTİK YÖNTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI, BİYOLOJİK DEĞİŞKENLİK. Doç.Dr. Mustafa ALTINIŞIK ADÜTF Biyokimya AD 2005
KARŞILAŞTIRMA İSTATİSTİĞİ, ANALİTİK YÖNTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI, BİYOLOJİK DEĞİŞKENLİK Doç.Dr. Mustafa ALTINIŞIK ADÜTF Biyokimya AD 2005 1 Karşılaştırma istatistiği Temel kavramlar: Örneklem ve evren:
DetaylıKonum ve Dağılım Ölçüleri. BBY606 Araştırma Yöntemleri Güleda Doğan
Konum ve Dağılım Ölçüleri BBY606 Araştırma Yöntemleri Güleda Doğan Konum ölçüleri Merkezi eğilim ölçüleri Verilerin ortalamaya göre olan gruplanması nasıl? Yakın, uzak? Sıklık dağılımlarının karşılaştırılması
DetaylıBÖLÜM 6 MERKEZDEN DAĞILMA ÖLÇÜLERİ
1 BÖLÜM 6 MERKEZDEN DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Gözlenen belli bir özelliği, bu özelliğe ilişkin ölçme sonuçlarını yani verileri kullanarak betimleme, istatistiksel işlemlerin bir boyutunu oluşturmaktadır. Temel
DetaylıBİYOİSTATİSTİK Merkezi Eğilim ve Değişim Ölçüleri Yrd. Doç. Dr. Aslı SUNER KARAKÜLAH
BİYOİSTATİSTİK Merkezi Eğilim ve Değişim Ölçüleri Yrd. Doç. Dr. Aslı SUNER KARAKÜLAH Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim AD. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr 1 İstatistik
DetaylıİÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37
İÇİNDEKİLER BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1 İstatistik 1 Yığın ve Örnek; Tümevarımcı ve Betimleyici İstatistik 1 Değişkenler: Kesikli ve Sürekli 1 Verilerin Yuvarlanması Bilimsel Gösterim Anlamlı Rakamlar
DetaylıTesadüfi Değişken. w ( )
1 Tesadüfi Değişken Tesadüfi değişkenler gibi büyük harflerle veya gibi yunan harfleri ile bunların aldığı değerler de gibi küçük harflerle gösterilir. Tesadüfi değişkenler kesikli veya sürekli olmak üzere
DetaylıYrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü
Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1 Araştırma sonuçlarının açıklanmasında frekans tablosu
Detaylıİçindekiler. Ön Söz... xiii
İçindekiler Ön Söz.................................................... xiii Bölüm 1 İstatistiğe Giriş....................................... 1 1.1 Giriş......................................................1
Detaylı2018 İKİNCİ SEVİYE AKTÜERLİK SINAVLARI RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME 12 MAYIS 2018
2018 İKİNCİ SEVİYE AKTÜERLİK SINAVLARI RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME 12 MAYIS 2018 Sigortacılık Eğitim Merkezi (SEGEM) tarafından hazırlanmış olan bu sınav sorularının her hakkı saklıdır. Hangi amaçla
DetaylıÖrnek 4.1: Tablo 2 de verilen ham verilerin aritmetik ortalamasını hesaplayınız.
.4. Merkezi Eğilim ve Dağılım Ölçüleri Merkezi eğilim ölçüleri kitleye ilişkin bir değişkenin bütün farklı değerlerinin çevresinde toplandığı merkezi bir değeri gösterirler. Dağılım ölçüleri ise değişkenin
DetaylıYANLILIK. Yanlılık örneklem istatistiği değerlerinin evren parametre değerinden herhangi bir sistematik sapması olarak tanımlanır.
AED 310 İSTATİSTİK YANLILIK Yanlılık örneklem istatistiği değerlerinin evren parametre değerinden herhangi bir sistematik sapması olarak tanımlanır. YANLILIK Yanlı bir araştırma tasarımı uygulandığında,
DetaylıDr. Mehmet AKSARAYLI
Dr. Mehmet AKSARAYLI Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir. Şans Değişkenleri KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Kesikli
Detaylı0.04.03 Standart Hata İstatistikte hesaplanan her istatistik değerin mutlaka hatası da hesaplanmalıdır. Çünkü hesaplanan istatistikler, tahmini bir değer olduğu için mutlaka hataları da vardır. Standart
DetaylıBaşarı olasılığı olan bir Bernoulli denemesinin aynı şartlar altında (bağımsız olarak) n kez tekrarlanması ile oluşan deneye binom deneyi denir.
3.5. Bazı Kesikli Dağılımlar 3.5.1. Bernoulli Dağılımı Bir deneyde başarı ve başarısızlık diye nitelendirilen iki sonuçla ilgilenildiğinde bu deneye (iki sonuçlu) Bernoulli deneyi ya da Bernoulli denemesi
DetaylıBÖLÜM 5 MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ
1 BÖLÜM 5 MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Gözlenen belli bir özelliği, bu özelliğe ilişkin ölçme sonuçlarını yani verileri kullanarak betimleme, istatistiksel işlemlerin bir boyutunu oluşturmaktadır. Temel sayma
DetaylıUYGULAMA 4 TANIMLAYICI İSTATİSTİK DEĞERLERİNİN HESAPLANMASI
1 UYGULAMA 4 TANIMLAYICI İSTATİSTİK DEĞERLERİNİN HESAPLANMASI Örnek 1: Ders Kitabı 3. konuda verilen 100 tane yaş değeri için; a. Aritmetik ortalama, b. Ortanca değer, c. Tepe değeri, d. En küçük ve en
DetaylıTemel İstatistik. Y.Doç.Dr. İbrahim Turan Mart Tanımlayıcı İstatistik. Dağılımları Tanımlayıcı Ölçüler Dağılış Ölçüleri
Temel İstatistik Tanımlayıcı İstatistik Dağılımları Tanımlayıcı Ölçüler Dağılış Ölçüleri Y.Doç.Dr. İbrahim Turan Mart 2011 DAĞILIM / YAYGINLIK ÖLÇÜLERİ Verilerin değişkenlik durumu ve dağılışın şeklini
DetaylıÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI VE TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ
ÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI VE TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ TEMEL KAVRAMLAR PARAMETRE: Populasyonun sayısal açıklayıcı bir ölçüsüdür ve anakütledeki tüm elemanlar dikkate alınarak hesaplanabilir. Ana kütledeki
DetaylıMühendislikte İstatistik Yöntemler
.0.0 Mühendislikte İstatistik Yöntemler İstatistik Parametreler Tarih Qma.3.98 4..98 0.3.983 45 7..984 37.3.985 48 0.4.986 67.4.987 5 0.3.988 45.5.989 34.3.990 59.4.99 3 4 34 5 37 6 45 7 45 8 48 9 5 0
DetaylıRastgele Değişkenlerin Dağılımları. Mühendislikte İstatistik Yöntemler
Rastgele Değişkenlerin Dağılımları Mühendislikte İstatistik Yöntemler Ayrık Rastgele Değişkenler ve Olasılık Dağılımları Yapılan çalışmalarda elde edilen verilerin dağılışı ve dağılış fonksiyonu her seferinde
Detaylırasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
3.6. Bazı Sürekli Dağılımlar 3.6.1 Normal Dağılım Normal dağılım hem uygulamalı hem de teorik istatistikte kullanılan oldukça önemli bir dağılımdır. Normal dağılımın istatistikte önemli bir yerinin olmasının
DetaylıORTALAMA ÖLÇÜLERİ. Ünite 6. Öğr. Gör. Ali Onur CERRAH
ORTALAMA ÖLÇÜLERİ Ünite 6 Öğr. Gör. Ali Onur CERRAH Araştırma sonucunda elde edilen nitelik değişkenler hakkında tablo ve grafikle bilgi sahibi olunurken, sayısal değişkenler hakkında bilgi sahibi olmanın
DetaylıTanımlayıcı İstatistikler. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN
Tanımlayıcı İstatistikler Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 Tanımlayıcı İstatistikler Yer Gösteren Ölçüler Yaygınlık Ölçüleri Merkezi Eğilim Ölçüleri Konum Ölçüleri 2 3 Aritmetik Ortalama Aritmetik ortalama,
DetaylıBÖLÜM 9 NORMAL DAĞILIM
1 BÖLÜM 9 NORMAL DAĞILIM Normal dağılım; 'normal dağılım eğrisi (normaly distribution curve)' ile kavramlaştırılan hipotetik bir evren dağılımıdır. 'Gauss dağılımı' ya da 'Gauss eğrisi' olarak da bilinen
DetaylıIE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R
IE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R Geçen Ders Envanter yonetımı: Gazetecı problemı Rastsal Rakamlar Üret Talebi hesapla Geliri hesapla Toplam maliyeti hesapla Günlük ve aylık
DetaylıRASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN
RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Olasılığa ilişkin olayların çoğunluğunda, deneme sonuçlarının bir veya birkaç yönden incelenmesi
DetaylıTest İstatistikleri AHMET SALİH ŞİMŞEK
Test İstatistikleri AHMET SALİH ŞİMŞEK İçindekiler Test İstatistikleri Merkezi Eğilim Tepe Değer (Mod) Ortanca (Medyan) Aritmetik Ortalama Merkezi Dağılım Dizi Genişliği (Ranj) Standart Sapma Varyans Çarpıklık
DetaylıRİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME MAYIS 2015
RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME MAYIS 2015 SORU 2: Motosiklet sigortası pazarlamak isteyen bir şirket, motosiklet kaza istatistiklerine bakarak, poliçe başına yılda ortalama 0,095 kaza olacağını tahmin
DetaylıKesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları
Kesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli ġans DeğiĢkenlerinin Olasılık Fonksiyonları X, şans değişkeni ve, 2,.., n ise bu tesadüfi değişkenin
Detaylıİstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık Örnekleme Planlar ve Dağılımları Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım İncelenen olayın ait olduğu anakütlenin bütünüyle dikkate alınması zaman, para, ekipman ve bunun gibi nedenlerden dolayı
DetaylıBİYOİSTATİSTİK Bazı Olasılık Dağılışları Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH
BİYOİSTATİSTİK Bazı Olasılık Dağılışları Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim AD. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr 1 Uygulamalı bilim
DetaylıProbability Density Function (PDF, Sürekli fonksiyon)
Varyans Bir serideki her elemanın ortalamadan farklarının karelerinin toplamının, serideki eleman sayısına bölümü ile elde edilir. Standart Sapma Varyansın kareköküdür. Eğer birçok veri ortalamaya yakın
DetaylıRİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME
SORU 1: Bir hasar sıklığı dağılımının rassal değişken olan ortalaması (0,8) aralığında tekdüze dağılmaktadır. Hasar sıklığı dağılımının Poisson karma dağılıma uyduğu bilindiğine göre 1 ya da daha fazla
DetaylıSÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım
SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ Üstel Dağılım Normal Dağılım 1 Üstel Dağılım Meydana gelen iki olay arasındaki geçen süre veya bir başka ifadeyle ilgilenilen olayın ilk defa ortaya çıkması için geçen sürenin
DetaylıEME 3117 SISTEM SIMÜLASYONU. Üçgensel Dağılım. Sürekli Düzgün Dağılım. Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar
0..07 EME 37 SISTEM SIMÜLASYONU Simulasyonda İstatistiksel Modeller-II Ders 5 Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar Sürekli Düzgün (Uniform) Dağılım Normal Dağılım Üstel (Exponential)
DetaylıKesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları
Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları 1 Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir.
DetaylıİÇİNDEKİLER ÖN SÖZ...
İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ... v GİRİŞ... 1 1. İSTATİSTİK İN TARİHÇESİ... 1 2. İSTATİSTİK NEDİR?... 3 3. SAYISAL BİLGİDEN ANLAM ÇIKARILMASI... 4 4. BELİRSİZLİĞİN ELE ALINMASI... 4 5. ÖRNEKLEME... 5 6. İLİŞKİLERİN
DetaylıVeriye Dayalı Karar Verme (Bölüm 2) Can Akkan
Veriye Dayalı Karar Verme (Bölüm 2) Can Akkan 1 Ders Planı 1. Karar Problemleri i. Karar problemlerinin bileşenleri ii. Değerler, amaçlar, bağlam iii. Etki diagramları 2. Model Girdilerinde Belirsizlik
DetaylıİSTATİSTİK MHN3120 Malzeme Mühendisliği
İSTATİSTİK MHN3120 Malzeme Mühendisliği CBÜ - Malzeme Mühendisliği Bölümü Ofis: Mühendislik Fakültesi A Blok Ofis no:311 Tel: 0 236 2012404 E-posta :emre.yalamac@cbu.edu.tr YARDIMCI KAYNAKLAR Mühendiler
DetaylıKESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM
KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM Eğer X kesikli rassal değişkeninin alabileceği değerler (,,..., ) eşit olasılığa sahip ise, kesikli düzgün dağılım söz konusudur. p(x) =, X=,,..., şeklinde gösterilir. Bir kutuda
DetaylıEME 3117 SİSTEM SİMÜLASYONU. Üçgensel Dağılım. Sürekli Düzgün Dağılım. Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar
9.0.06 Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar EME 7 SİSTEM SİMÜLASYONU Simulasyonda İstatistiksel Modeller (Sürekli Dağılımlar) Ders 5 Sürekli Düzgün Dağılım Sürekli Düzgün (Uniform)
DetaylıBölüm 3. Tanımlayıcı İstatistikler
Bölüm 3 Tanımlayıcı İstatistikler 1 Tanımlayıcı İstatistikler Bir veri setini tanımak veya birden fazla veri setini karşılaştırmak için kullanılan ve ayrıca örnek verilerinden hareket ile frekans dağılışlarını
DetaylıEME Sistem Simülasyonu. Giriş. Olasılık Dağılımı. Rassal Degiskenler
EME 3105 1 Giriş Sistem Simülasyonu Önümüzdeki hafta simulasyon girdilerinin modellenmesinde kullanılan kesikli ve sürekli Simulasyonda İstatistiksel Modeller-I Ders 4 dağılımlar hatırlatılacaktır. Rassal
DetaylıProf. Dr. Özkan ÜNVER Prof. Dr. Hamza GAMGAM Doç. Dr. Bülent ALTUNKAYNAK SPSS UYGULAMALI TEMEL İSTATİSTİK YÖNTEMLER
Prof. Dr. Özkan ÜNVER Prof. Dr. Hamza GAMGAM Doç. Dr. Bülent ALTUNKAYNAK SPSS UYGULAMALI TEMEL İSTATİSTİK YÖNTEMLER Gözden Geçirilmiş ve Genişletilmiş 8. Baskı Frekans Dağılımları Varyans Analizi Merkezsel
Detaylıχ =1,61< χ χ =2,23< χ χ =42,9> χ χ =59,4> χ
SORU : Ortalaması, varyansı olan bir raslantı değişkeninin, k ile k arasında değer alması olasılığının en az 0,96 olmasını sağlayacak en küçük k değeri aşağıdakilerden hangisidir? A),5 B) C) 3,75 D) 5
DetaylıDAĞILMA YADA DEĞİ KENLİK ÖLÇÜLERİ (MEASURE OF DISPERSION) Prof.Dr.A.KARACABEY Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
DAĞILMA YADA DEĞİ KENLİK ÖLÇÜLERİ (MEASURE OF DISPERSION) 1 AMAÇ... Mevcut veri seti için bulunan merkezi eğilim ölçüsünün yorumlamak Birden fazla veri seti için dağılımlar arası kıyaslama yapabilmek amaçlarıyla
DetaylıMerkezi eğilim ölçüleri ile bir frekans dağılımının merkezi belirlenirken; yayılma ölçüleri ile değişkenliği veya yayılma düzeyini tespit eder.
Yayılma Ölçütleri Merkezi eğilim ölçüleri ile bir frekans dağılımının merkezi belirlenirken; yayılma ölçüleri ile değişkenliği veya yayılma düzeyini tespit eder. Bir başka ifade ile, bir veri setinin,
DetaylıÖrneklemden elde edilen parametreler üzerinden kitle parametreleri tahmin edilmek istenmektedir.
ÇIKARSAMALI İSTATİSTİKLER Çıkarsamalı istatistikler, örneklemden elde edilen değerler üzerinde kitleyi tanımlamak için uygulanan istatistiksel yöntemlerdir. Çıkarsamalı istatistikler; Tahmin Hipotez Testleri
DetaylıDers 6: Sürekli Olasılık Dağılımları
Ders 6: Sürekli Olasılık Dağılımları Normal Dağılım Standart Normal Dağılım Binom Dağılımına Normal Yaklaşım Düzgün (uniform) Dağılım Üstel Dağılım Dağılımlar arası ilişkiler Bir rastgele değişkenin, normal
DetaylıİSTATİSTİK DERS NOTLARI
Balıkesir Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü umutokkan@balikesir.edu.tr İSTATİSTİK DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Umut OKKAN Hidrolik Anabilim Dalı Balıkesir Üniversitesi Balıkesir Üniversitesi İnşaat
Detaylıİstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik
6.SUNUM İstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik özellikleri (ortalama, varyans v.b. gibi) hakkında
DetaylıYapılan alan araştırması sonucunda aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. ( ) ( ) ( ) ( )
İKİ DEĞİŞKENLİ OLASILIK Rassal bir deneme yapılmakta ve farklı iki olay ile ilgilenilmektedir. A 1, A 2,,A i olayları bağdaşmaz ve bütünü kapsayıcıdır. B 1, B 2,,B j olayları bağdaşmaz ve bütünü kapsayıcıdır.
DetaylıIE 303T Sistem Benzetimi
IE 303T Sistem Benzetimi 1 L E C T U R E 5 : O L A S I L I K T E K R A R 2 Review of the Last Lecture Random Variables Beklenen Değer ve Varyans Moment Kesikli Dağılımlar Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı
DetaylıDENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ
DENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf/Y.Y. Ders Saati (T+U+L) Kredi AKTS OLASILIK VE İSTATİSTİK FEB-222 2/ 2.YY 3+0+0 3 3 Dersin Dili Dersin Seviyesi
DetaylıBKİ farkı Standart Sapması (kg/m 2 ) A B BKİ farkı Ortalaması (kg/m 2 )
4. SUNUM 1 Gözlem ya da deneme sonucu elde edilmiş sonuçların, rastlantıya bağlı olup olmadığının incelenmesinde kullanılan istatistiksel yöntemlere HİPOTEZ TESTLERİ denir. Sonuçların rastlantıya bağlı
DetaylıGenel olarak test istatistikleri. Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Dağılım (Yayılma) Ölçüleri. olmak üzere 2 grupta incelenebilir.
4.SUNUM Genel olarak test istatistikleri Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Dağılım (Yayılma) Ölçüleri olmak üzere 2 grupta incelenebilir. 2 Ranj Çeyrek Kayma Çeyrekler Arası Açıklık Standart Sapma Varyans
Detaylı3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI
ÖNSÖZ İÇİNDEKİLER III Bölüm 1 İSTATİSTİK ve SAYISAL BİLGİ 11 1.1 İstatistik ve Önemi 12 1.2 İstatistikte Temel Kavramlar 14 1.3 İstatistiğin Amacı 15 1.4 Veri Türleri 15 1.5 Veri Ölçüm Düzeyleri 16 1.6
DetaylıİÇİNDEKİLER. Ön Söz Saymanın Temel Kuralları Permütasyon (Sıralama) Kombinasyon (Gruplama) Binom Açılımı...
İÇİNDEKİLER Ön Söz... Saymanın Temel Kuralları... Permütasyon (Sıralama)... 8 Kombinasyon (Gruplama)... 6 Binom Açılımı... Olasılık... 9 İstatistik... 8... Dağılımlar... 5 Genel Tarama Sınavı... 6 RASTGELE
Detaylıχ =1,61< χ χ =2,23< χ χ =42,9> χ χ =59,4> χ
SORU : Ortalaması, varyansı olan bir raslantı değişkeninin, k ile k arasında değer alması olasılığının en az 0,96 olmasını sağlayacak en küçük k değeri aşağıdakilerden hangisidir? A),5 B) C) 3,75 D) 5
DetaylıProf.Dr.A.KARACABEY Doç.Dr.F.GÖKGÖZ RANDOM DEĞİŞKEN
SÜREKSİZ (DISCRETE) OLASILIK DAĞILIMLARI 1 RANDOM DEĞİŞKEN Nümerik olarak ifade edilebilen bir deneyin sonuçlarına rassal (random) değişken denir. Temelde iki çeşit random değişken vardır. ##süreksiz(discrete)
DetaylıTEMEL İSTATİSTİKİ KAVRAMLAR YRD. DOÇ. DR. İBRAHİM ÇÜTCÜ
TEMEL İSTATİSTİKİ KAVRAMLAR YRD. DOÇ. DR. İBRAHİM ÇÜTCÜ 1 İstatistik İstatistik, belirsizliğin veya eksik bilginin söz konusu olduğu durumlarda çıkarımlar yapmak ve karar vermek için sayısal verilerin
Detaylıİstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık Ders 8: Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Tahmin (kestirim veya öngörü): Mevcut bilgi ve deneylere dayanarak olayın bütünü hakkında bir yargıya varmaktır. Bu anlamda, anakütleden çekilen
DetaylıCopyright 2004 Pearson Education, Inc. Slide 1
Slide 1 Bölüm 2 Verileri Betimleme, Keşfetme, ve Karşılaştırma 2-1 Genel Bakış 2-2 Sıklık Dağılımları 2-3 Verilerin Görselleştirilmesi 2-4 Merkezi Eğilim Ölçüleri 2-5 Değişimin Ölçülmesi 2-6 Nispi Sabitlerin
DetaylıTANIMLAYICI İSTATİSTİKLER
TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER Tanımlayıcı İstatistikler ve Grafikle Gösterim Grafik ve bir ölçüde tablolar değişkenlerin görsel bir özetini verirler. İdeal olarak burada değişkenlerin merkezi (ortalama) değerlerinin
DetaylıGÜVEN ARALIKLARI ve İSTATİSTİKSEL ANLAMLILIK. Ankara Üniversitesi Tıp Fakültesi Biyoistatistik Anabilim Dalı
GÜVEN ARALIKLARI ve İSTATİSTİKSEL ANLAMLILIK Ankara Üniversitesi Tıp Fakültesi Biyoistatistik Anabilim Dalı Kestirim Pratikte kitle parametrelerinin doğrudan hesaplamak olanaklı değildir. Bunun yerine
DetaylıProf.Dr.İhsan HALİFEOĞLU
Prof.Dr.İhsan HALİFEOĞLU FREKANS DAĞILIMLARINI TANIMLAYICI ÖLÇÜLER Düzenlenmiş verilerin yorumlanması ve daha ileri düzeydeki işlemler için verilerin bütününe ait tanımlayıcı ve özetleyici ölçülere ihtiyaç
DetaylıBÖLÜM 1 GİRİŞ: İSTATİSTİĞİN MÜHENDİSLİKTEKİ ÖNEMİ
BÖLÜM..AMAÇ GİRİŞ: İSTATİSTİĞİ MÜHEDİSLİKTEKİ ÖEMİ Doğa bilimlerinde karşılaştığımız problemlerin birçoğunda olaydaki değişkenlerin değerleri bilindiğinde probleme kesin ve tek bir çözüm bulunabilir. Örneğin
DetaylıKESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI. Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı
KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı 1 Bernoulli Dağılımı Bir şans değişkeninin bernoulli dağılımı göstermesi için ilgilenilen süreçte bernoulli
Detaylı3/6/2013. Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları
Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları Kesikli Düzgün (uniform) Dağılım Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Çok Terimli Dağılım Geometrik Dağılım Negatif Binom Dağılımı Hipergeometrik Dağılım Poisson Dağılımı
DetaylıDers 6: Kesikli Olasılık Dağılımları
Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları Kesikli Düzgün (uniform) Dağılım Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Çok Terimli Dağılım Geometrik Dağılım Negatif Binom Dağılımı Hipergeometrik Dağılım Poisson Dağılımı
DetaylıRISK ANALIZI SINAVI WEB EKİM Kasko sigortasından çekilen beş hasarlı bir rassal örneklem aşağıdaki gibi verilmektedir:
RISK ANALIZI SINAVI WEB EKİM 2017 SORU 1: Kasko sigortasından çekilen beş hasarlı bir rassal örneklem aşağıdaki gibi verilmektedir: 115 240 325 570 750 Hasarların α = 1 ve λ parametreli Gamma(α, λ) dağılıma
DetaylıSÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI
SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI Sürekli verilerin göstermiş olduğu dağılışa sürekli olasılık dağılışı denir. Sürekli olasılık dağılışlarının fonksiyonlarına yoğunluk fonksiyonu denilmekte ve bu dağılışlarla
DetaylıHatalar Bilgisi ve İstatistik Ders Kodu: Kredi: 3 / ECTS: 5
Ders Kodu: 0010070021 Kredi: 3 / ECTS: 5 Yrd. Doç. Dr. Serkan DOĞANALP Necmettin Erbakan Üniversitesi Harita Mühendisliği Bölümü Konya 07.01.2015 1 Giriş 2 Giriş Matematiksel istatistiğin konusu yığın
DetaylıAKT201 Matematiksel İstatistik I Yrd. Doç. Dr. Könül Bayramoğlu Kavlak
AKT20 Matematiksel İstatistik I 207-208 Güz Dönemi AKT20 MATEMATİKSEL İSTATİSTİK I ÖDEV 6 Son Teslim Tarihi: 29 Aralık 207 Cuma, Saat: 5:00 (Ödevlerinizi Arş. Gör. Ezgi NEVRUZ a elden teslim ediniz.) (SORU
DetaylıVERİ KÜMELERİNİ BETİMLEME
BETİMLEYİCİ İSTATİSTİK VERİ KÜMELERİNİ BETİMLEME Bir amaç için derlenen verilerin tamamının olduğu, veri kümesindeki birimlerin sayısal değerlerinden faydalanarak açık ve net bir şekilde ilgilenilen özellik
Detaylı8.Hafta. Değişkenlik Ölçüleri. Öğr.Gör.Muhsin ÇELİK. Uygun değişkenlik ölçüsünü hesaplayıp yorumlayabilecek,
İSTATİSTİK 8.Hafta Değişkenlik Ölçüleri Hedefler Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Uygun değişkenlik ölçüsünü hesaplayıp yorumlayabilecek, Serilerin birbirlerine değişkenliklerini yorumlayabileceksiniz. 2
DetaylıDers 5: Kesikli Olasılık Dağılımları
Ders 5: Kesikli Olasılık Dağılımları Kesikli Düzgün (uniform) Dağılım Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Çok Terimli Dağılım Geometrik Dağılım Negatif Binom Dağılımı Hipergeometrik Dağılım Poisson Dağılımı
DetaylıDers 5: Kesikli Olasılık Dağılımları
Ders 5: Kesikli Olasılık Dağılımları Kesikli Düzgün (uniform) Dağılım Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Çok Terimli Dağılım Geometrik Dağılım Negatif Binom Dağılımı Hipergeometrik Dağılım Poisson Dağılımı
DetaylıALKÜ EKONOMİ ve FİNANS BÖLÜMÜ ISL 207 İSTATİSTİK I ALIŞTIRMALAR
ALKÜ EKONOMİ ve FİNANS BÖLÜMÜ ISL 207 İSTATİSTİK I ALIŞTIRMALAR 1- İlaçla tedavi edilen 7 hastanın ortalama iyileşme süresi 22.6 gün ve standart sapması.360 gündür. Ameliyatla tedavi edilen 9 hasta için
DetaylıSÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI
SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI Sayı ekseni üzerindeki tüm noktalarda değer alabilen değişkenler, sürekli değişkenler olarak tanımlanmaktadır. Bu bölümde, sürekli değişkenlere uygun olasılık dağılımları üzerinde
DetaylıSİSTEM SİMÜLASYONU BENZETIM 1 SİMÜLASYON MODEL TÜRLERİ 1. STATİK VEYA DİNAMİK. Simülasyon Modelleri
SİSTEM SİMÜLASYONU SİMÜLASYON MODELİ TÜRLERİ BİR SİMÜLASYON ÇALIŞMASINDA İZLENECEK ADIMLAR ve SİMÜLASYON MODEL TÜRLERİ Simülasyon Modelleri Üç ana grupta toplanabilir; 1. Statik (Static) veya Dinamik (Dynamic),
Detaylı19.11.2013 EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Sürekli Dağılımlar (2) Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar.
9..03 EME 305 SİSTEM SİMÜLASYONU Simulasyonda İstatistiksel Modeller-II Ders 5 Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar Sürekli Düzgün (Uniform) Dağılım Normal Dağılım Üstel (Exponential)
DetaylıRassal Değişken Üretimi
Rassal Değişken Üretimi Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI GİRİŞ Yaşadığımız ya da karşılaştığımız olayların sonuçları farlılık göstermektedir. Sonuçları farklılık gösteren bu olaylar, tesadüfü olaylar olarak adlandırılır.
DetaylıDers 8: Verilerin Düzenlenmesi ve Analizi
Ders 8: Verilerin Düzenlenmesi ve Analizi Betimsel İstatistik Merkezsel Eğilim Ölçüleri Dağılım Ölçüleri Grafiksel Gösterimler Bir kitlenin tamamını, ya da kitleden alınan bir örneklemi özetlemekle (betimlemekle)
DetaylıFaktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir,
14. Binom ve Poisson olasılık dağılımları Faktöriyeller ve kombinasyonlar Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, n! denir ve n! = 1.2.3...(n-2).(n-l).n biçiminde gösterilir.
DetaylıMIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
DetaylıAnkara Üniversitesi, SBF İstatistik 2 Ders Notları Prof. Dr. Onur Özsoy 1
1 Rastgele bir denemede ortaya çıkması olası sonuçların tamamıdır Örnek: bir zar bir kez yuvarlandığında S= Yukarıdaki sonuçlardan biri elde edilecektir. Sonuçların her biri basit olaydır Örnek: Bir deste
DetaylıSIGORTA MATEMATİĞİ SORULARI WEB EKİM 2017
SIGORTA MATEMATİĞİ SORULARI WEB EKİM 2017 SORU 1: Hasar rassal değişkenini tanımlayan rassal X aşağıdaki dağılıma sahiptir: 150 F ( x) = 1, 0. x 150 + x Simülasyon teknikleri kullanılarak bu dağılımdan
DetaylıMerkezi Yığılma ve Dağılım Ölçüleri
1.11.013 Merkezi Yığılma ve Dağılım Ölçüleri 4.-5. hafta Merkezi eğilim ölçüleri, belli bir özelliğe ya da değişkene ilişkin ölçme sonuçlarının, hangi değer etrafında toplandığını gösteren ve veri grubunu
DetaylıGAZİ ÜNİVERSİTESİ, İ.İ.B.F, İSTATİSTİK VE OLASILIĞA GİRİŞ I, UYGULAMA SORULARI. Prof. Dr. Nezir KÖSE
GAZİ ÜNİVERSİTESİ, İ.İ.B.F, İSTATİSTİK VE OLASILIĞA GİRİŞ I, UYGULAMA SORULARI Prof. Dr. Nezir KÖSE 30.12.2013 S-1) Ankara ilinde satın alınan televizyonların %40 ı A-firması tarafından üretilmektedir.
DetaylıUygulama 3 Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH
BİYOİSTATİSTİK Uygulama 3 Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim AD. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr Olasılık Hatırlatma Olasılık teorisi,
Detaylıİstatistik ve Olasılığa Giriş. İstatistik ve Olasılığa Giriş. Ders 3 Verileri Sayısal Ölçütlerle İfade Etme. Verileri Sayısal Ölçütlerle İfade Etme
İstatistik ve Olasılığa Giriş Robert J. Beaver Barbara M. Beaver William Mendenhall Presentation designed and written by: Barbara M. Beaver İstatistik ve Olasılığa Giriş Ders 3 Verileri Sayısal Ölçütlerle
DetaylıVerilerin Özetlenmesinde Kullanılan Sayısal Yöntemler
Verilerin Özetlenmesinde Kullanılan Sayısal Yöntemler Merkezi Eğilim Ölçüleri Merkezi eğilim ölçüsü, bir veri setindeki merkezi, yada tipik, tek bir değeri ifade eder. Nicel veriler için, reel sayı çizgisindeki
DetaylıMerkezi Eğilim ve Dağılım Ölçüleri
Merkezi Eğilim ve Dağılım Ölçüleri Soru Öğrencilerin derse katılım düzeylerini ölçmek amacıyla geliştirilen 16 soruluk bir test için öğrencilerin ilk 8 ve son 8 soruluk yarılardan aldıkları puanlar arasındaki
DetaylıZ = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ
YTÜ-İktisat İstatistik II Merkezi Limit Teoremi 1 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ CENTRAL LIMIT THEOREM X 1,X 2,...,X n herbirinin ortalaması µ ve varyansı σ 2 olan ve aynı dağılıma uyan n tane bağımsız r.d. olsun.
Detaylıİstatistik Nedir? İstatistiğin Önemi Nedir? Tanımlayıcı ve Çıkarımcı İstatistik ttitik Tanımlayıcı İstatistik Türleri Çıkarımcı İstatistiğin i iği
İSTATİSTİK E GİRİŞ TEMEL KAVRAMLAR İstatistik Nedir? İstatistiğin Önemi Nedir? Tanımlayıcı ve Çıkarımcı İstatistik ttitik Tanımlayıcı İstatistik Türleri Çıkarımcı İstatistiğin i iği Elemanlarıl AMAÇ İstatistiğe
DetaylıMIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
Detaylı