İSTANBUL ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ S 6 KÜRESİNİN TÜMEL GERÇEL ALTMANİFOLDLARI. Beran PİRİNÇÇİ Matematik Anabilim Dalı
|
|
- Nesrin Güneş
- 6 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 İSTANBUL ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ S 6 KÜRESİNİN TÜMEL GERÇEL ALTMANİFOLDLARI Bera PİRİNÇÇİ Mateatk Aabl Dalı Daışa Prof.Dr. Mehet ERDOĞAN Hazra, 005 İSTANBUL
2 ÖNSÖZ Yüksek lsas öğre sırasıda ve tez çalışaları boyuca gösterdğ her türlü destek ve yardıda dolayı çok değerl hoca Prof.Dr. Mehet ERDOĞAN a e çte dleklerle teşekkür eder. Hazra, 005 Bera PİRİNÇÇİ
3 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ... İÇİNDEKİLER... ŞEKİL LİSTESİ... v TABLO LİSTESİ... v SEMBOL LİSTESİ... v ÖZET... v SUMMARY... v. GİRİŞ.... GENEL KISIMLAR RIEMANN MANİFOLDLAR İLE İLGİLİ TEMEL BİLGİLER Dferasyelleeblr Mafoldlar Tesör Alaları Rea Mafoldlar Rea Mafoldları Altafoldları HEMEN HEMEN KOMPLEKS MANİFOLDLAR Hee Hee Kopleks Yapılar Hee Hee Hertye Yapılar Hee Hee Hertye Mafold Sııfları YAKLAŞIK KAEHLER MANİFOLDLAR YAKLAŞIK KAEHLER S 6 ( Cayley Cebr S 6 ( S 6 ( KÜRESİNİN TÜMEL GERÇEL ALTMANİFOLDLARI S 6 ( Küres Tüel Gerçel Yüzeyler S 6 ( Küres Tüel Gerçel 3-Boyutlu Altafoldları TARTIŞMA VE SONUÇ... 09
4 KAYNAKLAR... ÖZGEÇMİŞ... 5
5 ŞEKİL LİSTESİ ( Şekl. : S, br yarıçaplı -boyutlu küre... 5 v
6 TABLO LİSTESİ Tablo. : e, e baz vektörler çarpıı v
7 SEMBOL LİSTESİ M I ( M : p ( T M : Tp ( M : X ( M : X ( : : boyutlu afold M üzerde taılı C sııfıda foksyolar kües p M oktasıdak taat vektör uzayı p M oktasıdak oral vektör uzayı M üzerde taılı C sııfıda taat vektör alalarıı kües M üzerde taılı C sııfıda oral vektör alalarıı kües : dış çarpı operatörü g : Rea etrk tesörü : kovaryat türev operatörü R : Rea eğrlk tesörü r : skaler eğrlk foksyou A : kc teel tesör D : oral koeksyo h : kc teel for J : hee hee kopleks yapı tesörü N : Nehus tesörü dω : ω foruu dış dferasyel δω : ω foruu kodferasyel ˆK : geelleştrlş Cher-foru, : ç çarpı operatörü R : reel sayılar kües : kopleks sayılar kües H : kuateryolar kües O : Cayley sayılar (oktayolar kües α : α sayısıı eşleğ Reα : α sayısıı reel kısı Iα : α sayısıı aer kısı α : α sayısıı oru : vektörel çarpı operatörü v
8 ÖZET 6 S KÜRESİNİN TÜMEL GERÇEL ALTMANİFOLDLARI Bu tez çalışası kopleks afoldlar teors sıradışı br öreğ ola yaklaşık Kaehler S 6 küres ve ou tüel gerçel altafoldlarıı celedğ br derleedr. ( Üç bölüde oluşa bu çalışada brc bölü, S 6 ( küres ve ou tüel gerçel altafoldları hakkıda yapılış çalışaları geel br değerledrese ayrılıştır. İkc bölü beş alt bölüde oluşaktadır. Bölü.. de S 6 ( küres üzerde taılaacak yapıları ve ou altafoldlarıı celeesde kullaılacak taılar ve bazı teel teoreler verlştr. Bölü.. de hee hee kopleks yapı ve hee hee Hertye yapı kavraları celeerek bu yapılar yardııyla taılaa bazı öel tesörler özellkler ele alııştır. Ayrıca bu bölüde br hee hee kopleks yapıı ve br Kaehler foru hee hee Hertye afoldlar üzerde ayırdığı afold sııfları taılaış ve bu sııflar arasıdak kapsaa bağıtıları celeştr. Bölü.3. de yaklaşık Kaehler afoldları Rea eğrlk tesörüü özellkler celeştr. Geel olarak br yaklaşık Kaehler afoldu br o-kaehler (Kaehlerye olaya afold olası duruuda r skaler eğrlğ br poztf sabt olduğu kaıtlaış ve S 6 küres tüel gerçel altafoldlarıı ( celeesde gerekl ola teel dekleler elde edlştr. Ayrıca böyle br afoldu 6 boyutlu olası duruuda br Este afold olduğu gösterlştr. Bölü.4. de Cayley sayılar cebr celeş ve saf aer Cayley sayıları üzerde S 6 küres br yaklaşık Kaehler afold taılı vektörel çarpı sayesde ( olduğu kaıtlaıştır. Ayrıca br öcek bölüde ulaşıla geel souçlarda S 6 ( küres üzerde geçerl ola teel dekleler elde edlş gösterlştr. Bölü.5. lk kısıda S 6 küres br al tüel gerçel yüzey br küreye eşyapılı ( (hoeoorf olası duruuda tüel geodezk olduğu kaıtlaıştır. İkc kısıda S 6 küres tüel gerçel 3 boyutlu altafolduu yöledrleblr ve al ( olduğu gösterlş ve böyle br altafoldu sabt eğrlkl olası duruuda eğrlğ ya ya da 6 olası gerektğ kaıtlaıştır. Üçücü bölüde se yapıla çalışa le lgl br değerledre yer alaktadır. v
9 SUMMARY TOTALLY REAL SUBMANIFOLDS OF Ths thess represets a revew whch the early Kaehler subafolds were vestgated. 6 S S 6 ( ad ts totally real The preset study cossts of three parts. I the frst part, a geeral evaluato of the studes about S 6 ad ts totally real subafolds s preseted. ( The secod part cludes fve sectos. I Secto.. soe deftos ad fudaetal S 6 ad ts subafolds are theores that wll be eeded to study the structures o ( gve. I Secto.. the otos of alost coplex ad alost Herta structures, as well as propertes of soe portat tesors whch are defed wth these structures are preseted. Moreover, ths secto, soe afold classes whch are defed by alost coplex structure ad Kaehler for o Herta afolds are studed, the soe cluso relatos betwee these classes are provded. I Secto.3. propertes of Rea curvature tesor o a early Kaehler afold are dscussed. It s also proved that scalar curvature r of a o-kaehler early Kaehler afold s a postve costat, ad such a afold s a Este afold whe t s 6 desoal. I addto, soe equatos whch are held o totally real subafolds of are preseted. I Secto.4. by a vector product o purely agary Cayley ubers t s proved that S 6 s a early Kaehler afold. Moreover, usg the geeral coclusos of the ( prevous secto, soe fudaetal equatos that are held o S 6 ( S 6 ( the frst part of Secto.5. t s proved that f a al totally real surface of are suppled. I S 6 ( s hoeoorphc to a sphere, the t s totally geodesc. I the secod part of the secto S 6 s questo the fact that a totally real 3 desoal subafold of ( oretable ad al s proved. Furtherore, t s proved that f such a subafold has costat curvature c, the ether c = or c = 6. A evaluato of ths study s placed the thrd part. v
10 . GİRİŞ Rea afoldlar üzerde br kopleks yapıı var olup oladığı sorusu, şüphesz kopleks afoldlar teors e öel probledr. Teork fzğ, özellkle strg teors ve süpersetrk kuatu alalarıda, kopleks yapıları varlığı ve dolayısıyla da kopleks afoldlar teors öel br yere sahp olduğu blektedr. Br kopleks yapı, br reel vektör uzayı üzerde J edoorfzası şeklde taılaır ve üzerde br = I özellğe sahp br kopleks yapısı taılı br afold, br kopleks afold adıı alır. Her afold üzerde böyle br kopleks yapısıı taılaaaası geoetrcler hee hee kopleks yapı (alost coplex structure fkr gelştrelere yol açıştır. Br afold üzerde br hee hee kopleks yapı, br kopleks yapıya bezer şeklde taılaır acak br farkla k burada söz kousu vektör uzayı afoldu keds yere bu afoldu taat uzayıdır. Açıktır k her kopleks afold ayı zaada br hee hee kopleks afoldtur. Acak br hee hee kopleks afold üzerde br kopleks yapıı taılaables ç gerek koşul Nehus tesörüü sıfıra eşt olasıdır, dğer br deyşle kopleks yapısıı tegralleeblr olasıdır. Br afoldu taat uzayıı afold le ayı boyuta sahp olası ve afold üzerdek her oktaya br taat vektör karşılık getre şleler sayesde hee hee kopleks yapı taıı, kopleks afoldlar teorse büyük katkılar sağlasa da bazı afoldları br kopleks yapıya sahp olup oladıklarıı kaıtlaak oldukça güç oluştur. Böyle br güçlüğü yaşadığı e öel afold öreğ se J J J J J N 6 boyutlu 6 S küresdr. Bldğ gb br afold üzerde br hee hee kopleks yapıı taılaables ç gerek koşul bu afoldu boyutuu br çft sayı olasıdır. Açıktır k tü boyutlu hee hee kopleks afoldlar üzerde br kopleks yapı taılıdır. Buu e ble öreğ se stereografk zdüşü yöteyle kopleks
11 düzle sayesde üzerde kopleks yapı taılı ola S küresdr. S akse küres üzerde br hee hee kopleks yapı ble taılaaaz. Üzerde br hee hee kopleks yapı taılaaaa duruu, olak üzere dğer tü S küreler de ortak özellğdr. Acak = 3 ç, ya S küres br hee hee > 3 kopleks afoldtur. Sadece S ve S küreler üzerde hee hee kopleks yapıları taılaables, sadece R ve R uzayları üzerde ters-setrk bleer vektörel çarpıı taılaables br soucudur. 4 S küres br kopleks afold olup oladığı yakı zaaa kadar çözüleeş br proble olarak kaldı. Acak 004 yılıda S.S.Cher, 6 S 3 6 küres br kopleks afold oladığıı kaıtladı []. 93 yaşıda ve ölüüde kısa br süre öce yaptığı bu kaıtlaa edeyledr k bu teore ateatkçler arasıda Cher So Teore olarak 7 6 S 6 blr. Ayrıca bu teore, olarak kaıtlaaktadır. 6 S küres br o-kaehler afold olduğuu da dolaylı 6 S küres e öel özellğ, br yaklaşık Kaehler afold olasıdır. Bu özellğ sayesde 6 S küres ve ou altafoldları başta eğrlkler le lgl olak üzere ye özellkler kazaır. Yaklaşık Kaehler afoldları eğrlkler lk olarak S.Tachbaa 959 ve 96 yılları arasıda brbr devaı telğde yayıladığı akalelerde celed[, 3, 4]. Bu çalışalarıda, Rcc ( R ve Rcc ( R tesörler le J kovaryat türev arasıdak lşky açığa çıkardı ve böylece br yaklaşık Kaehler afoldu skaler eğrlğ le lgl r r 0 soucuu elde ett. Ayrıca geelleştrlş Cher-foruu kapalı olduğuu kaıtlayarak bu foru özellkler celed. Ye 96 yılıda S.Sawak [5], br yaklaşık Kaehler afold üzerde ˆK r r farkıı sabt olduğuu kaıtladı ve bu sayede br o-kaehler yaklaşık Kaehler afold ç r r farkıı br poztf sabt olduğu soucu elde edld. 965 yılıda A.Gray [6], hee hee Hertye afoldlar üzerde J kovaryat türev ve Kaehler foru belrledğ afold sııflarıı celed. Ye ayı akalesde küres br yaklaşık Kaehler afold olduğuu, 955 yılıda F.Fuka ve S.Ishhara [7] ı verdğ cebrsel kaıtlaada farklı olarak, R üzerde taılı vektörel çarpı sayesde gösterd. Ayrıca 969 [8] ve 970 [9] yıllarıda yayıladığı akalelerde 7 6 S
12 3 yaklaşık Kaehler afoldları Rea eğrlk tesörü le kovaryat türev arasıdak lşky gösterd. 97 yılıda K.Takaatsu [0], Tachbaa ve Sawak elde ettğ souçlarda yararlaarak br afoldu r J 6 boyutlu o-kaehler yaklaşık Kaehler skaler eğrlğ br poztf sabt olduğuu kaıtladı. 97 yılıda M.Matsuoto [], Takaatsu u elde ettğ bu souç yardııyla br Kaehler yaklaşık Kaehler afold üzerde 6 boyutlu o- yapısıı kc ertebede kovaryat türev forüle ett. Ye bu akalede, S.Yaaguch, G.Chua ve M.Matsuoto [] u 97 yılıda yayılaa akalesde ulaşıla souçlar yardııyla küres br Este afold olduğuu gösterd. J S 6 ( 6 ( S küres 3 boyutlu tüel gerçel altafoldlarıı lk olarak 98 yılıda N.Er [3] celed ve böyle br altafoldu yöledrleblr ve al olduğuu kaıtladı. Ayrıca ye böyle br altafoldu kest eğrlğ sabt se bu sabt veya 6 olduğuu gösterd. 983 yılıda K.Sekgawa [4], özellkle Takaatsu ve Matsuoto u tesör bleşeler csde fade ettkler souçları brleştrerek S 6 ( üzerde J yapısıı brc ve kc ertebede kovaryat türevler le lgl geel dekleler lteratüre kazadırdı. 987 yılıda F.Dlle, B.Opozda, L.Verstraele ve ( 6 L.Vracke [5], S br kopakt 3 boyutlu tüel gerçel altafolduu tü K kest eğrlkler K > 6 koşuluu sağlaası duruuda bu altafoldu tüel geodezk olduğuu gösterdler. 988 yılıda lk olarak F.Dlle, B.Opozda, L.Verstraele ve L.Vracke [6], S 6 ( küres tüel gerçel yüzeyler celedler ve böyle br al yüzey br küreye eşyapılı (hoeoorf olası duruuda tüel geodezk olduğuu kaıtladılar. 990 yılıda F.Dlle, L.Verstraele ve L.Vracke [7], N.Er [3] elde ettğ souçlarda da yararlaarak S K 6 kest eğrlkl 3 boyutlu tüel gerçel altafoldları ç br sııfladıra yaptılar. ( 6
13 4. GENEL KISIMLAR.. RIEMANN MANİFOLDLAR İLE İLGİLİ TEMEL BİLGİLER Bu bölüde, tez çalışaızda kullaacağıız bazı taıları ve teel teoreler taıyacağız [8, 9, 0].... Dferasyelleeblr Mafoldlar Taı... Br boyutlu M Hausdorff uzayıı her p oktasıı br ψ eşyapı döüşüü (hoeoorphs sayesde koşuluğu var se R br açık alt küese eşyapılı br U M uzayıa br boyutlu afold ve (, üzerde br yerel koordat sste (veya yerel harta der. şeklde tü p U (, I U ψ klse de U = M I M olacak U ψ alese de br koordat sste (veya atlas adı verlr. Br ( oktası ç ψ ( p = x ( p,..., x ( p R olduğuda x ( oktasıı koordatları ve adı verlr. Taı... sste olak üzere U küese de U U olacak şeklde (, ψ, ç ( U U p sayılarıa p p oktasıı br koordat koşuluğu U ψ ve (, I ψ kües ( U U U ψ k koordat I ψ kües üzere resede ψ döüşüler. ertebede sürekl türevlere sahp seler koordat sstee k ( U, ψ k C sııfıda br koordat sste der. I Taı..3. boyutlu br M afoldu üzerde k C sııfıda br koordat sste taılı se M afoldua k C sııfıda br afold adı verlr. Örek R uzayıda O or erkezl ve br yarıçaplı { R = } ( ( + + ( + = + + ( S z,..., z : z... z
14 5 küres düşüel. Şekl.: S (, br yarıçaplı boyutlu küre + S ( küres kuzey ve güey kutup oktalarıı sırasıyla P ( 0,0,...,0, + T = ( 0,0,...,0, R le gösterel (bkz. Şekl.. ( ( V, ϕ yerel koordat ssteler aşağıdak gb taılayalı: = ( \{ }, V S ( { T} U S P zdüşü ve PQ = R ve S üzerde (, U ψ ve = \ ; Q U ç ψ, P kutbuda yapıla stereografk doğrusuu {(,..., + + : + z z z 0 } Π = R = düzle kestğ okta olak üzere ψ Q = Q ; Q V ç ϕ, T kutbuda yapıla stereografk zdüşü Q ( ve TQ doğrusuu (,..., + + : Π= z z R z + = 0 düzle kestğ okta ( { } olak üzere ϕ Q = Q olsu. Açıktır k U V S ( br koordat sstedr ve koordatları sırasıyla (, r Q = olduğuda ( U, ψ ve ( V, ϕ Π R dr. Şd ve Q oktalarıı kutupsal α ve (, Q ρ ω olsu. Şu halde r = OQ, ρ = OQ, α = ω ve rρ = OP. OT = dr. Eğer U V kües üzerde ψ ϕ foksyouu α = ω ve ρ r = şeklde taılarsak U V kües üzerde r, ρ 0 olduğuda ρ
15 6 ψ ϕ foksyou C sııfıdadır. Ayrıca ve Q oktalarıı kartezye koordatlarıı sırasıyla { Q x } ve { } y le gösterrsek y ρ = x r olacağıda y y, x x = = ( x ( y = = şekldedr. Taı..5. M afolduu k C sııfıda br koordat sste (, I U ψ, br açık kües U ve f se U üzerde taılı reel değerl, sürekl br foksyo olsu. Br p U oktasıı br a I ds ç V U U a olacak şeklde yeterce küçük br koşuluğu buluablr. Eğer ψ V V ( foksyou ( p ψ br koşuluğuda R açık kües üzerde taılı r C sııfıda ( r k f ψ dferasyelleeblr br foksyo se f foksyoua p U oktasıda C sııfıda dferasyelleeblr der. Br değerl p M oktasıı br koşuluğuda taılı tü reel C sııfıda foksyoları kües I ( p ve r M afolduu taaı üzerde taılı tü reel değerl C sııfıda foksyoları kües ( M gösterlr. Taı..6. ( t eğr ve f ( p ( ( τ a t b, τ I olsu. t 0 = p olacak şeklde I le M afoldu üzerde br p ( ( τ ( t0 X f = df t dt olacak şeklde X p : I( p R döüşüüe τ ( t eğrs p oktasıdak taat vektörü der ve aşağıdak özellkler sağlar: a b ( λ + µ = λ ( + µ ( X f g X f X g p p p ( = ( ( + ( ( X fg X f g p X g f p p p p ( λµ, R ; f, g I( p
16 7 Br p M oktasıdak tü taat vektörler kües ( X p + Yp( f = X p( f + Yp( f, ( λx p( f = λx p( f şeklde taılı toplaa ve skalerle çarpa şlelere göre R üzerde br vektör uzayıdır ve bu uzay p ( T M le gösterlr. Şd x,..., x, p oktasıı br U koordat koşuluğuda yerel koordatlar olak üzere ç ( ( x, I ( p de R çe br döüşüdür ve açıktır k Taı..6. dak koşulları sağlar. Şu ( t 0 halde τ = p koşuluu sağlaya herhag br τ ( t eğrs ç x τ ( t yazarsak her p X p taat vektörü ( ( ( τ ( ( τ ( X f = df t dt = f x d t dt t p t 0 0 şekldedr. Böylece her taat vektör ( x = ( { p} { x p} ( gerçekte, 0 0 ξ x = = ξ x x = ξ p p leer kobasyou şeklde yazılır. Şu halde ( küesdek vektörler br vektör kües leer, bağısız olup ( ( ( T p ( M Teore..7.[8] taat uzayı da Taı..8. Her br bazıdır. Böylece aşağıdak teore fade ederz. boyutlu br boyutludur. p M afolduu br p oktasıdak Tp ( M M oktasıa br X p Tp( M karşılık getre X : p X p döüşüüe M üzerde br taat vektör alaı der. M üzerde tü C sııfıda taat vektör alalarıı kües X ( M le göstereceğz. Taı..9. XY, X ( M ç [ X, Y] f = X ( Yf Y( Xf p
17 8 şeklde taılı [ XY, ]: I( M I( M döüşüüe X, Y vektör alalarıı braket adı verlr.açıktır k [ X, Y ], [ ] = [ ] [ ] + [ ] + [ ] XY, YX,, XY,, Z YZ,, X ZX,, Y = 0 özellklere sahptr.... Tesör Alaları Taı..0. E br boyutlu reel vektör uzayı ve E se E dual uzayı olak üzere E... E E... r s uzayıı br tesörüe br E ( r,s Böyle br tesöre r ertebe kotravaryat ve der. { θ }, { e } s tesör adı verlr. ertebede kovaryat tesör bazıı dual bazı olsu. Şu halde br ( rs, tesörü, r değer ç f = e ve s değer ç f = θ olak üzere f f... f r+ s br leer kobasyoudur. gele β { θ } β dual bazı θ E br dğer bazı { } eα, e α = aα e, se bu baza karşılık α β β = b θ şekldedr k burada ( b β atrs ( a α atrs ters atrsdr, ya 0, δ =, = Kroecker tesörüü gösterek üzere α ab α = δ dr. Taı... br rs, tesör olsu. T tesörüü bleşeler br kovaryat ve T ( br kotravaryat dsler eştler ve topla alıırsa br ( r, s tesör elde edlr. Bu ye tesöre T tesörüde büzüle (cotracto le elde edle tesör adı verlr r s Şöyle k; t, br T tesörüü bleşeler olsu. ve... k... r... = k... r şeklde eştler ve topla alırsak t λ λ olur. Gerçekte, a b = δ olduğuda s s τ, br ( r, s dsler = = k tesörü bleşeler
18 9 α... αr λα... αr... r s λ α αr... r s α r β... β = t α s λβ β = t s a a a b s λ β βs b b = τ r a a b s β βs b r τ buluur k bu br ( r, s tesörü bleşelerdr. Taı..0. u br M afoldu ç geelleştrrsek ; ( ( ( ( T : Tp M... Tp M Tp M... Tp M R r s şeklde taılı ( r,s tesör ve R üzerde ( r+ s leer br T döüşüüe M üzerde br ( ( ( ( I( T : X M... X M X M... X M M şeklde taılı br r s I ( M üzerde ( r+ s leer br T döüşüüe de ( tesör alaı der. Açıktır k sırasıyla r,s ( 0,0, (, 0 ve ( forlardır. M üzerde 0, tpdek tesör alaları M üzerde dferasyelleeblr foksyolar, vektör alaları ve Taı... : ( ω X M... X( M I( M r şeklde taılı ters-setrk ve I( M üzerde r leer döüşüe br r-for adı verlr. Böylece ω r foru r ω = f... dx... dx r r! şekldedr ve eğer,..., r = se ω ya dferasyelleeblr f bleşeler dferasyelleeblr... r r - for adı verlr. Br ω r foru le br q foruu dış çarpıı,,..., X X r + q X ( M olak üzere ( ( = ( ( ( ( σ σ ( σ( σ( q ω η X,..., X ε σ ω X,..., X η X,..., X rq!! r + q r r + σ r + Ρ şeklde taılaır, burada ε ( σ, σ Ρ perütasyolarıı şaret gösterektedr. Açıktır k ω η br ( + fordur. r q η
19 0 Taı..3. ω br dferasyelleeblr r for olsu. ( = ( ω ( ( ( X X X X X Xr+ r+,..., r+,...,,..., r+ = dω X X X X X X + ( ω +,,,...,,...,,..., < şeklde taılı ( r + fora ω ı dış dferasyel adı verlr...3. Rea Mafoldlar Taı..4. Br M afoldu üzerde a g( X, Y = g( Y, X X, Y X ( M b g( X, X 0 X ( M X ve ( ( g X, X = 0 X = 0 koşullarıı sağlaya 0, tpde g tesör alaıa br Rea etrk adı verlr. Üzerde br der. g Rea etrk taılı br M afoldua da br Rea afold Bu çalışada br M afoldu br M Rea afoldu şeklde alaşılalıdır. Her parakopakt M afoldu üzerde br Rea etrk taılı olduğuda [], üzerde çalıştığıız bütü afoldları parakopakt olduğuu varsayacağız. Açıktır k br g Rea etrk Tp ( M üzerde br ç çarpı belrtr. x,..., x, M br yerel koordat sste olak üzere ve kotravaryat bleşeler g bu yerel koordat sstee göre kovaryat = (, ve g g ( dx, dx g g x x = (, =,..., şeklde ve g g k k = δ dır. Ayrıca Taı..4 de g = g ve g = g eştlkler geçerldr. Taı..5. f, g I ( M ve XY, X ( M olak üzere = f + g a fx+ gy X Y b ( fy f Y ( Xf = + Y X X
20 koşullarıı sağlaya : ( M ( M X X şeklde taılı br leer döüşüe M afoldu üzerde br af koeksyo der ve göre kovaryat türev adıı alır. Geel olarak br T ( rs, tesör alaıı ( ( ( X operatörü se X vektör alaıa X T kovaryat türev se s ( ( T X,..., X = T X,..., X T X,..., X,..., Xs X s X s X = şeklde taılaır. Teore..6.[8] Br M afoldu üzerde a T( X, Y Y X [ X, Y] b X g = 0 = =0 X Y koşullarıı sağlaya br ve acak br af koeksyo vardır ve bu koeksyoa Rea koeksyo adı verlr. a da taılaa T (, tesör alaıa burula tesör alaı adı verlr. Bu çalışada br koeksyou, br Rea koeksyo şeklde alaşılalıdır. Taı..7. XY, X ( M olak üzere (, X Y Y X [ XY, ] R X Y = şeklde taılı (, 3 tesör alaıa eğrlk tesör alaı adı verlr. Açıktır k R ( XY ( alaı ç = dr. Ayrıca X, Y, Z ( M, RYX, ( ( ( R X, Y Z + R Y, Z X + R Z, X Y = 0 ( R( Y, Z ( R( Z, X ( R( X, Y + + = 0 X Y Z X olak üzere bu tesör eştlkler geçerldr ve bulara sırasıyla,. Bach özdeşlğ ve. Bach özdeşlğ adı verlr. R ( W, X, Y, Z = g( R( W, X Y, Z şeklde taılaırsa, { } E, X ( M
21 uzayıı br bazı olak üzere R ( XY, Z ve (,,, csde, sırasıyla, (, l k k l R E E E R E yazılır. Şu halde eğrlk tesör alaı taııda R W X Y Z tesörler bleşeler l k h k lh = ve (,,, R E E E E = R g şeklde (,,, (,,, (,,, (,,, (,,, (,,, R W X Y Z = R X W Y Z R = R R W X Y Z = R W X Z Y R = R RW XYZ = RYZW X R = R kl kl kl kl kl lk (.. eştlkler geçerldr ve. ve. Bach özdeşlkler bleşeler csde, sırasıyla R + R + R = 0, R + R + R = 0 kl kl kl h kl hkl hkl şeklde yazılır. Ayrıca geel olarak br T ( rs, tesörü ç r r aα α α+ ( s a... a a... a ka... ar k a... ar Tb... b Rk Tb... b Rb Tb... b kb... b α= β= = s s β β β+ s eştlğe Rcc özdeşlğ adı verlr. Taı..8. π, ( Tp M taat uzayıda br düzle ve X, X se π düzle br bazı olsu. p ( T M de her π düzle ç K ( π = R( X, X, X, X (, (, ( (, g X X g X X g X X şeklde taılı K ( π, π düzle kest eğrlğ olarak adladırılır. Açıktır k X X br ortooral baz se K( R( X, X, X, X, π = şekldedr. Eğer her p oktasıdak p ( T M taat uzayıı tü π düzleler ç K ( π sabt se M afoldua br sabt eğrlkl afold adı verlr. Teore..9.[8] Br c sabt eğrlkl afold üzerde (, = ( (, (, R XY Z cgyz X g XZY
22 3 eştlğ geçerldr. Bu eştlk R ( XYZW,,, = cgyz ( (, g( XW, g( XZ, gyw (, şeklde de fade edleblr k bu duruda bleşeler csde Rkl = c( gk gl gk gl yazılır. Taı..0. Br M afoldu üzerde { } E ortooral bazı ç ( S( X, Y = g R( E, X Y, E ve r = S( E, E = = şeklde taılı 0, tesör alaıa Rcc tesör alaı ve r skaler foksyoua S ( da M skaler eğrlğ adı verlr ve bleşeler csde, sırasıyla R h h = R ve r = g R şeklde yazılır. (.. de açıktır k S Rcc tesörü setrk br tesördür, ya R = R dr. Br M afoldu üzerde br a sabt ç S Rcc tesörü S = ag veya R = ag (.. şeklde se Teore...[9] Br M afoldua br Este afoldu adı verlr. M afoldu üzerde r = R (..3 eştlğ geçerldr, burada = g k k dır. Kaıtlaa: R + R + R = 0 şekldek. Bach özdeşlğ g le klh k lh klh çarpar ve ardıda t le dslere büzüle uygularsak ht kl k l kl R + R + R = 0 elde ederz k (.. de Rkl Rkl k Rl Rkl k Rl Rkl k l = = = R buluur. So bulua eştlğ kl k k k k g le çarparsak R = r R r = R buluur k so olarak R k k = Rg eştlğde r = R r = R elde edlr.
23 4..4. Rea Mafoldları Altafoldları M ve her ( U, ϕ ve her (, Taı... I M k afold olsu. I M ve V ψ koordat ssteler ç ( U M afoldlarıı sırasıyla, φ V φ : M M döüşüü taılayalı. Eğer ψ φ ϕ : ϕ( U ψ ( V olacak şeklde br döüşüü dferasyelleeblr se φ döüşüüe br dferasyelleeblr döüşü adı verlr. φ M dferasyelleeblr döüşüü ç φ : Tp ( M Tφ ( p( M Br : M şeklde taılı, ya M afolduu her p oktasıdak br taat vektörüe afolduu φ ( p oktasıda br taat vektörüü karşılık getre, φ döüşüüe φ döüşüüü dferasyel adı verlr. M Taı..3. Br φ : M M döüşüüe eğer p M ç ( φ p bre-br se br dahl ete (erso adı verlr ve M afoldua da M afolduu br dahl edlş altafoldu (ersed subafold veya sadece br altafoldu der. Şd g, M afoldu üzerde taılı br Rea etrk olsu. üzerde g ( X Y g( X Y sayesde = XY, ( M,, ( M altafoldu X şeklde taılı Rea etrğ M altafoldu da br Rea afoldtur. Bu çalışada altafoldu üzerde taılı g Rea etrğ g Rea etrğe eşt kabul edeceğz. Örek..4. tü g M + + R afoldu üzerde φ ( x = ( x = 0 eştlğ sağlaya = ( + + x= x,..., x R oktalarıda oluşa S ( küres R afolduu br + altafoldudur. Gerçekte döüşüü bre-brdr. Taı..5. oktasıda ( M, M br ( ( φ x φ x = x olduğuda x S oktası ç M afolduu br altafoldu olsu. Eğer br N p vektörü, her X p Tp( M g X p, N p = 0 eştlğ sağlıyorsa N p vektörüe p M taat vektörü ç M altafolduu br oral
24 5 vektörü adı verlr. Br karşılık getre br N : p Np döüşüüe der ve M afolduu her p oktasıa br N p oral vektörüü M üzerde br oral vektör alaı M üzerde taılı tü oral vektör alalarıı kües ( M gösterlr. Şu halde afoldua kısıtlaışıı ( M ( = ( ( X M X M X M dr. X le M afoldu üzerdek taat vektör alalarıı M X le gösterrsek açıktır k Teore..6 da br afold üzerde br ve acak br Rea koeksyouu varlığıı fade etştk. Br afoldu altafoldları söz kousu olduğuda ye Teore..6 da bu altafoldlar üzerde taılı br başka Rea koeksyo buluableceğde, afoldlar üzerde bu koeksyolar sayesde kovaryat türev hesaplaırke koeksyolar arasıdak lşky fade ede bazı forüller ele alalı. Şd M, M afolduu br altafoldu olsu. ve sırasıyla afoldları üzerde taılı koeksyolar olak üzere ( N X M ç M ve XY, X ( M M ve XY = Y + h( X, Y X (..4 X N = ANX + DXN (..5 eştlklere sırasıyla Gauss forülü ve Wegarte forülü adı verlr. Burada h ya M afolduu kc teel foru, A ya adı verlr ve D se ve h( X, Y, sırasıyla, X Y AN X ve DX N, sırasıyla, teel foru setrktr, ya M afolduu kc teel tesörü M afolduu oral koeksyoudur. (..4 eştlğde XY taat ve oral bleşeler; (..5 eştlğde X N taat ve oral bleşelerdr. Ayrıca h kc h( X, Y = h( Y, X (..6
25 6 ve h kc teel foru le A kc teel tesörü arasıda N ( h X, Y, N = A X, Y N (..7 eştlğ geçerldr. h kc teel foruu h kovaryat türev, h( X, Y X ( M olduğu dkkate alıırsa, ( h( X, Y, Z D h( Y, Z h( Y, Z h( Y, Z = X (..8 X X buluur ve ( h( X, Y, Z ( h( Y, X, Z = (..9 eştlğ geçerldr. (..9 eştlğe Codazz dekle adı verlr. Şu halde (..6 da ( h( X, Y, Z = DXh( Y, Z h( XY, Z h( Y, XZ = DXh( Z, Y h( XZ, Y h( Z, X Y = ( h( X, Z, Y elde ederz k bu dekle le (..9 dekle brlkte düşüülürse değşkelere göre setrk br tesördür. h tesörü bütü Taı..6. M, M afolduu br altafoldu ve h se M afolduu kc teel foru olsu. Eğer h kc teel foru özdeş olarak sıfır se M afoldua br tüel geodezk (totally geodesc afold adı verlr. Br p M p ( T M { } oktasıı taat uzayıı br bazı e olak üzere µ = h( e, e şeklde taılı vektöre = M afolduu ortalaa eğrlk vektörü adı verlr. Eğer her p M oktasıda µ ortalaa eğrlk vektörü sıfır se M afoldua br al afold adı verlr. Şd R ve R, sırasıyla M ve M afoldlarıı eğrlk tesör alaları olsu. M afolduu R eğrlk tesör alaı le arasıda M altafolduu R eğrlk tesör alaı
26 7 ( ( ( ( ( ( ( ( R X, Y, Z, W = R X, Y, Z, W + g h X, W, h Y, Z g h Y, W, h X, Z (..0 eştlğ geçerldr k (..0 eştlğe Gauss dekle adı verlr... HEMEN HEMEN KOMPLEKS MANİFOLDLAR... Hee Hee Kopleks Yapılar M, -sııfıda dferasyelleeblr C boyutlu ( her p oktasıdak T p ( M taat uzayı üzerde br afold olsu. M ( p( J : T M T M p şeklde taılı br J (, tesörü, I özdeşlk tesörüü gösterek üzere J = I (.. dekle sağlıyorsa, J ye M üzerde br hee hee (alost kopleks yapı der ve M afoldu se br hee hee kopleks afold adıı alır. Şu halde k k k k br u = u ek Tp( M taat vektörü ç J( u = J( u ek = u J( ek = u Jk e buluur k burada ( = J e k J e k (.. elde edlr. (.. dekle (.. deklede yazılırsa ( ( ( ( k k k k k k u = I u = J u = J u J e = u J J e = u J J e k eştlğde, δ Kroecker tesörüü gösterek üzere k δk J J = (..3
27 8 dekle elde edlr. (..3 dekle (.. dekle bleşeler csde fades olduğuda, br hee hee kopleks yapı (veya afold deldğde (..3 dekle geçerl olduğuu alayacağız. Şd J hee hee kopleks yapısıı tpdek atrs ( J le gösterrsek, burada J eleaı. satır ve. sütu eleaıı fade etektedr, br M afoldu üzerde br hee hee kopleks yapıı taılaables ç aşağıdak gerek koşulu vereblrz. Öere...[9] Br M afoldu üzerde br hee hee kopleks yapıı taılaables ç gerek koşul Kaıtlaa: ( J atrs deteratıı M afolduu boyutuu br çft sayı olasıdır. atrsler çarpııı deteratı alıırsa ( ( ( J le gösterrsek, (..3 dekledek Jk J Jk J = = elde edlr k, sağ ya J deteratıı kares olduğuda, br çft sayı olalıdır. Bu çalışada tü boyutlu br çft sayı kabul edeceğz. M hee hee kopleks afoldları ç sayısıı... Hee Hee Hertye Yapılar M (, üzerde br g Rea etrk ve br J hee hee kopleks yapı taılı olak üzere, C -sııfıda dferasyelleeblr br afold olsu. uv, Tp ( M olak üzere (, = ( (, ( (..4 g u v g J u J v dekle sağlaya J hee hee kopleks yapısıa, g etrğ sayesde M üzerde br hee hee Hertye yapı der ve M afoldu se br hee hee Hertye afold adıı alır. Ayrıca (..4 dekle sağlaya g Rea
28 9 etrğe de br Hertye etrk adı verlr. (..4 dekle bleşeler csde yazarsak, (, (, (, g uv = g ue ve = uv g e e = uv g ( ( ( ( ( ( ( ( ( g J u, J v = g J u e, J v e = g u J e, v J e (, (, h k h k h k h k h k hk = g u J e v J e = u v J J g e e = u v J J g dekleler eştlğde h k = hk g J J g (..5 dekle elde ederz. Uyarı: Bu çalışaızda, tesörler yere sıklıkla oları bleşeler kullaacağız. Bu yüzde g Rea etrk, J hee hee kopleks yapı ve J hee hee Hertye yapı fadeler, sırasıyla, g Rea etrk, J hee hee kopleks yapı ve (..4 dekle sağlaya br g Rea etrk ve J hee hee kopleks yapı şeklde alaşılalıdır. Öere...[9] Her hee hee kopleks afold üzerde br Hertye etrk taılıdır. Kaıtlaa: Üzerde çalıştığıız dferasyelleeblr afoldları parakopakt olduğuu varsaydığıızda, br hee hee kopleks a Rea etrğ taılıdır. Şd k h taılası. (..3 deklede ( M afoldu üzerde br k h b = J J akh ve g = ( a + b şeklde b = J J a = a buluur k bu kh kh b br Rea etrk olası deektr. Şu halde g de br Rea etrktr ve k h k h g = J J gkh dekle sağlar. Gerçekte gkh = ( akh + bkh eştlğ J J le çarpılırsa, ( ( k h k h k h J J gkh = J J akh + J J bkh = b + a = g buluur k bu se etrğ br Hertye etrk olası deektr. g
29 0 Şd ( uv, T M olak üzere br ω dferasyel foruu p ω ( uv, = g( J( u, v (..6 şeklde taılayalı. (..6 dekle le taılı ω -forua br Kaehler for veya br teel -for (fudaetal -for adı verlr. (..4 dekle kullaılarak (, ( (, ( (, ( (, ( ω( ω u v = g J u v = g JJ u J v = g u J v = v, u (..7 elde edlr k bu ω Kaehler foruu ters-setrk olası deektr. ω Kaehler foru (0, -tpde br tesör olduğuda bleşe J le gösterrsek, (..6 deklede ( uv, = ( ue, ve = uv ( e, e ω ω ω ( ( ( ( ( ( k k k g J u, v = g J u e, v e = g u J ek, v e = u v J g ek, e = u v J gk buluur k bu dekleler eştlğde ( e, e k J gk ω = ya J k = J gk (..8 elde edlr. Şu halde ω Kaehler foru geel olarak ω = Jdx dx (..9 şeklde fade edleblr k burada koordatlarıı ve x, x,..., x ler se dış çarpıı gösterektedr. M afolduu yerel Böylece hee hee Hertye afoldları öel br özellğ fade ede aşağıdak öerey vereblrz. Öere..3.[9] Br hee hee Hertye afold yöledrleblrdr. Kaıtlaa: M, br hee hee kopleks g J yapısı ve br Hertye etrğ sayesde br hee hee Hertye afold olsu. ω = Jdx olak üzere M üzerde br
30 ... Ω= ω ω ω = Vdx dx... dx -foru taılıdır. (..6 dekle ve deteratları çarpııda, k k V = J = J g buluur k g k > 0 ve afoldu yöledrleblr olası deektr. J = J 0 olduğuda V 0 elde edlr. Bu se Dğer yada (..4 ve (..7 dekleler sayesde Hertye yapılara at aşağıdak öel souçları elde ederz. Souç..4. Br J hee hee Hertye yapısıı taılaya J tesörü altıda br taat vektörü boyu ve taat vektörler arasıdak açı değşezdr. ( Kaıtlaa: İlk olarak (..4 deklede v= u yazılırsa g( u, u = g J( u, J( u buluur k bu J altıda br taat vektörü boyuu değşez olduğuu gösterr. Dğer yada (, ( (, ( ( uv, T M taat vektörler arasıdak açı θ olak üzere (..5 ve p g u u = g J u J u deklelerde, g( u, v ( ( g( J( u, J( v ( ( cosθ = = g u, u g v, v g J u, J u g J v, J v ( ( ( ( elde edlr k bu se J altıda taat vektörler arasıdak açıı değşez oluşu deektr. Souç..5. Br u taat vektörü le ou J tesörü altıdak görütüsü ortogoaldr. Kaıtlaa: uj, ( u Tp ( M deklelerde taat vektörler ç (..6 ve (..7 (, ( ( (, (, ( g u J u = g J u u g u J u =0 elde edlr k böylece u ve J( u taat vektörler ortogoaldr.
31 Hee hee Hertye afoldlar şüphesz hee hee kopleks afoldları, üzerde e çok çalışıla ve e kapsalı alaıdır. Hee hee Hertye afoldları lgç kıla, J hee hee Hertye yapısıı J kovaryat türev belrl koşulları sağlaası duruuda söz kousu afoldu kazadığı ye ve lgç özellklerdr. Bu özellkler e başıda se afoldu eğrlğ le lgl özellkler gelektedr. Bu yüzde kovaryat türev belrl koşulları sağlaası halde hee hee Hertye yapısı ve dolayısıyla söz kousu afold ye sler alır. Bu ye afoldları ve aralarıdak lşkler ele alada öce bazı yararlı kavraları taıyalı. J J Şd, J tesörüü br M hee hee Hertye afoldu üzerdek tü vektör alalarıı küese, ya X ( M e geşletel. XY, ( M X olak üzere (, [, ] [, ] [, ] [, ] N X Y = X Y + J JX Y + J X JY JX JY (..0 şeklde taılı (, -tpdek N tesörüe Nehus tesörü adı verlr. Bazı kayaklarda N Nehus tesörü burula tesörü (torso tesor olarak da adladırılaktadır. N Nehus tesörüü özdeş olarak sıfır olası halde br hee hee kopleks afold, kopleks afold adıı alır. N Nehus tesörü ç (, ( N X Y = N Y, X (, (, ( (.. N JX Y = N X JY = JN X, Y (.. dekleler geçerldr. Gerçekte (..0 da [ X, Y] [ Y, X] kolayca (.. dekle elde edlr. Dğer yada (..0 da = eştlğ kullaılırsa (, = [, ] [, ] + [, ] + [, ] = [, ] + [, ] + [, ] [, = N( X, JY N JXY JXY J XY J JXJY XJY X JY J JX JY J X JJY JX JJY ] ve
32 3 (, = [, ] + [, ] + [, ] [, ] = J [ X, Y ] + [ JX, Y ] + [ X, JY ] + J [ JX, JY ] = JN ( X, Y N X JY X JY J JX JY J X JJY JX JJY buluur k bu dekleler eştlğde (.. elde edlr. Ayrıca, kovaryat türev operatörüü de M üzerdek tesör alalarıa geşletel. Böylece X, Y, Z X ( M olak üzere tesör alalarıı kovaryat türev taııda ( J Y JY J Y X = X X (..3 elde edlr. (..3 ve g = 0 deklelerde, sıklıkla kullaacağıız ( XJ JY = XY J( XJY = JJ( XY J( XJY = J( J( XY ( XJY = J ( J Y ( X (( X, = ( X, ( X, = g( XJY, Z + g( XY, JZ = Xg( JY, Z g( JY, XZ + Xg( Y, JZ g( Y, XJZ = g( Y, J XZ g( Y, XJZ = g( ( X J Z, Y g J Y Z g JY Z g J Y Z (..4 (..5 dekleler elde ederz. Dğer yada ( X, Y g( JX, Y ω = Kaehler foruu kovaryat türev ç de g = 0 dekle dkkate alıırsa ω ( XYZ,, = ( Xω( YZ, = Xω( Y, Z ω( XY, Z ω( Y, XZ = X (, ( X, (, = g( XJY, Z g( J XY, Z = g ( J Y, Z g JY Z g J Y Z g JY X Z (..6 ( X dekle elde edlr. Üstelk, ω ı kovaryat türev
33 4 ( ω( JY, Z ( ω( Y JZ =, (..7 X X eştlğ sağlar. Gerçekte (..6 ve g ( X, Y g ( JX JY =, deklelerde ( ( (, g J Y, JZ g JY, JZ g ( J Y, JZ ( Xω(, = ( X, = X, X = ( X + ( X = ( X = ( ω( Y, JZ JY Z g J JY Z g Y Z g J JY Z X (..7 eştlğ elde edlr. (..3 ve (..6 dekleler yardııyla ω Kaehler foruu dış dferasyel hesaplayablrz. Şöyle k, ω Kaehler foru ters-setrk olduğuda Taı..3 ü kullaarak (,, = X (, Y (, + Z (, ω( [ ] + ω [ ] ω( = ( ω( ( ω( + ( ω( dω X Y Z ω Y Z ω X Z ω X Y ( [ ] X, Y, Z X, Z, Y Y, Z, X Y, Z X, Z X, Y X Y Z (..8 elde ederz k (..6 da bu dekle (,, (( X, (( Y, (( Z, dω X Y Z = g J Y Z g J X Z + g J X Y (..9 şeklde yazılablr. Teore..6.[6] X, Y, Z ( M X olak üzere ( ( ( ( ( N X Y = J JY + J X J Y + J JX (..0, X JY JX Y ( Xω( Y Z dω( X Y Z dω( X JY JZ g ( X N ( Y JZ, =,,,,,, (.. ( Xω( Y Z + ( JXω( JY Z ω( ω( ω( ω(,, = d X, Y, Z d X, JY, JZ + d Z, JX, JY + d Y, JZ, JX ( Xω( Y Z ( JXω( JY Z (,, (,, ( (,, ( (,, = g N X JY Z g N X Z JY g N JY Z X (.. (..3 dekleler geçerldr.
34 5 Kaıtlaa: (..0 ç; [ X Y] kullaırsak,, XY Y = X eştlğ (..0 deklede (, = [, ] + [, ] + [, ] [, ] ( ( ( N X Y X Y J JX Y J X JY JX JY = Y X + J Y JX + J JY X JY JX X Y JX Y X JY JX JY = JJY + J JY + JX J X JY + J Y X J JX X X JY JY JX JX Y Y ( ( ( ( = J JY + J X J Y + J JX X JY JX Y buluur k (..0 gösterlş olur. (.. ç; (..8, (..0, (..6 dekleler ve ( ω( YZ, = ( ω( ZY, eştlğ kullaırsak, (,, (,, = ( X (, ( Y (, + ( Zω( X, Y ( Xω( JY, JZ + ( ω( X, JZ ( ω( X, JY dω X Y Z dω X JY JZ ω Y Z ω X Z (, (, = (,( Y (,( Z (,( JY +,( JZ = ( Yω( Z, X ( Zω( Y, X ( ω( JZ, X + ( ω( JY, X g X N Y JZ g X J Z g X J Y JY JY JZ ( g X J JZ g X J JY JZ X X buluur k (..7 dkkate alıarak bu dekleler farkı alıırsa ( ( ( ( ( X ( dω X, Y, Z dω X, JY, JZ g X, N Y, JZ = ω Y, Z elde ederz. (.. ç; (.., (.. deklelerde ve dω ters-setrk olduğuda ( Xω( Y Z + ( JXω( JY Z = dω( X, Y, Z dω( X, JY, JZ + dω( JX, JY, Z + dω ( JX, Y, JZ g ( X, N ( Y, JZ g ( JX, N ( JY, JZ = dω( X, Y, Z dω( X, JY, JZ + dω( JX, JY, Z + dω( JX, Y, JZ = dω( X, Y, Z dω( X, JY, JZ + dω( Z, JX, JY + dω ( Y, JZ, JX,,
35 6 elde edlr k böylece (.. gösterlş olur. (..3 ç; sırasıyla (.., (..9, (..0 (.. (..5 ve (..4 deklelerde ( Xω( Y Z ( JXω( JY Z = dω( X, Y, Z dω( X, JY, JZ dω( JX, JY, Z ω ( ( + = (( X ( X JX (( JX + ( JY + Y (( Z ( JZ = (,, d JX, Y, JZ g ( X, N Y, JZ g ( JX, N ( JY, JZ, (, ((, g J Y, JZ g ( J JX, Z g (( J JX, JZ g J JX, JY g ( J JX, Y g ( X, N ( Y, JZ (,, ( (,, ( (,, g J Y Z g J JY JZ g J JY Z g N X JY Z g N X Z JY g N JY Z XZ elde edlr k böylece (..3 gösterlş olur. Dğer yada Souç..4 ve Souç..5 de, çatı alaı { E,, E, JE,, JE } ( kodferasyel M afoldu üzerde br ortooral = olak üzere, br ω Kaehler foruu ( X = ( ( E, X + ( ( JE, X δω ω ω = E JE şeklde taılaır. Şd hee hee Hertye afoldlar üzerde taılaa bazı afold sııflarıı ve bu afoldlar arasıdak lşky celeyeblrz...3 Hee Hee Hertye Mafold Sııfları Taı..7. { E,, E, JE,, JE } yapısı, sırasıyla, M br hee hee Hertye afold ve XY, X ( M olsu., M üzerde br ortooral çatı alaı olak üzere eğer J ( X J Y = 0 (..4 dω = 0 (..5
36 7 ( J Y + ( J X = 0 X Y (..6 ( J Y + ( J( JY = 0 X JX (..7 δω = 0 (..8 N = 0 (..9 koşullarıı sağlarsa, M afoldua, sırasıyla, Kaehler afold, hee hee Kaehler afold (veya H-uzayı, yaklaşık Kaehler afold (veya K-uzayı veya Tachbaa-uzayı, quas-kaehler afold (veya O-uzayı, hee hee yarı- Kaehler afold ve Hertye afold der ve bu afold sııfları sırasıyla, K, AK, NK, QK, ASK, H le gösterlr. Teore..8.[6] K, AK, NK, QK, ASK, H afold sııfları arasıda K AK NK QK ASK ve K H kapsaa bağıtıları geçerldr. Üstelk, K= H QK = AK NK dır. Kaıtlaa: K AK : Br M K afoldu ç,, ( X Y Z X M olak üzere ( 0 X J Y = dekle (..9 da yazılırsa dω( X, Y, Z = 0 dω = 0 buluur k şu halde M AK dır. M K XY, ( M K NK : Br afoldu ç X olak üzere ( X J Y = 0 eştlğde ( J Y ( J X 0 + = elde edlr k böylece X AK QK : Br afoldu ç dekle (.. de yazılırsa, Y M AK X, Y, Z ( M ( ω( ( ω( (( g ( J Y ( J JY Z ( X JX M NK buluur. X olak üzere dω = 0 ( (( 0= Y, Z + JY, Z = g J Y, Z + g J JY, Z X JX X JX = +,
37 8 elde edlr k burada ( J Y ( J JY 0 NK QK : Br ( J Y ( X Y + = buluur ya M QK dır. X JX M NK afoldu ç XY, X ( M olak üzere = J X geçerl olduğuda (..4 deklede ( ( ( ( J JY = J J Y = J J JX = J X elde edlr k souçta JX JX Y Y ( J Y ( J JY ( J Y ( J X 0 + = + = buluur. Bu se M QK deektr. X JX X Y M QK XY, ( M QK ASK : Br afoldu ç (..7 deklelerde X olak üzere (..6 ve ( X = ( ( E, X + ( ( JE, X δω ω ω = = = E JE (( ( ( = g E J E, X + g JE J JE, X (( E ( JE = g J E + J JE, X = 0 buluur k şu halde M ASK dır. M K XY, ( M K H : Br afoldu ç X olak üzere ( X J Y = 0 dekle (..0 de yazılırsa deektr. N = 0 olduğu kolayca görülür. Bu se M H K= H QK : K H QK kapsaasıı gösterdk. Şu halde H QK K kapsaasıı gösterek yeterldr. Br M H QK afoldu ç X, Y, Z X ( M olak üzere M H olduğuda dolayı (..3 deklede ( ω( Y Z ( ω( JY Z,, = 0 X JX deklede (..9 dekle kullaılarak ve M QK olduğuda dolayı se, (.. ( Xω( Y Z + ( JXω( JY Z = dω( X Y Z dω( X JY JZ + ω(,, + ω(,,,,,,,, = 0 d Z JX JY d Y JZ JX
38 9 buluur k so k dekle toplaırsa 0= 4 ( Xω( Y, Z = 4 g( ( XJ Y, Z eştlğde ( 0 X J Y = elde edlr. Şu halde M K dır. K= AK NK : K AK NK kapsaasıı gösterdk. Şu halde AK NK K kapsaasıı gösterek yeterldr. Br M AK NK afoldu ç X, Y, Z X ( M olak üzere M NK olduğuda (..9 deklede (..5 kullaılırsa ( ( ( = g ( ( X (( Y (( Z ( X, (( X, (( X, ( X J Y Z dω X, Y, Z = g J Y, Z g J X, Z + g J X, Y = g J Y Z + g J Y Z g J Z Y 3, buluur k ayı zaada ( M AK olduğuda 0 = dω ( X, Y, Z = 3g ( X J Y, Z ( 0 elde edlr k burada X J Y = buluur. Ya M K dır..3. YAKLAŞIK KAEHLER MANİFOLDLAR Bu bölüde yaklaşık Kaehler afoldları özellkler celeyeceğz. Öere.3.. Br üzere aşağıdakler geçerldr. M yaklaşık Kaehler afoldu üzerde XY, X ( M olak ( ( 0 ( J Y + J X = J X =0 (.3. X Y X ( ( ( N X, Y = 4J X J Y (.3. Kaıtlaa: (.3. dekle ç, ( J Y ( J X 0 ( X J X = 0 elde edlr. Terse ( X J X 0 + = eştlğde Y = X alıırsa X Y = eştlğde X yere X + Y alıırsa ( J( X Y ( J X ( J Y ( J X ( J Y ( J Y ( J 0 X+ Y X X Y Y X Y = + = = + X buluur. (.3. dekle ç, (..0 deklede (..6 ve (..4 dekleler kullaılırsa
39 30 (, = ( X + ( JY ( JX + ( Y = ( X ( X + ( Y + ( Y = ( ( XJ JY + ( YJ JX = J( ( XJ Y ( YJ X = 4J( ( X J Y N X Y J JY J X J Y J JX J JY J JY J JX J JX elde edlr. Şu halde yaklaşık Kaehler afoldlar ç aşağıdak öel soucu elde ederz. Souç.3.. Br br Kaehler afoldtur. M yaklaşık Kaehler afolduu N Nehus tesörü sıfır se Kaıtlaa: (.3. deklede 0 (, 4 (( X ( X buluur k bu se M br Kaehler afold olası deektr. M = N X Y = J J Y J Y = 0 Şd yaklaşık Kaehler afold üzerdek R Rea eğrlk tesörüü öel özellkler celeyel. Teore.3.3.[8] M br yaklaşık Kaehler afold ve R se tesörü olak üzere, W, X, Y, Z ( M X ç (,,, (,,, (( X,( X M Rea eğrlk R X Y Y X R X Y JY JX = g J Y J Y (.3.3 R ( W, X, Y, Z = R( JW, JX, JY, JZ (.3.4 dekleler geçerldr. Kaıtlaa: (.3.3 ç: ω tesörüü (..6 dak ω kovaryat türev ç g = 0 dekle dkkate alıırsa ω kovaryat türev yardııyla ω ( XWYZ,,, ( ( ( Wω, ( (, ( (, ( (, XWω Wω X Wω X ( W, W, ( W X, (( W, XZ = X Y Z Y Z Y Z Y Z ( ( X ( (( ( ( ( ( ( X = Xg J Y Z g J Y Z g J Y Z g J Y ( = g J Y, Z g J Y, Z g J Y, Z X W W W X
40 3 ve bezer şeklde ( (( ( ( ( ( W ( ω W, X, Y, Z = g J Y, Z g J Y, Z g J Y, Z W X X X W buluur k so dekle lk deklede çıkarılırsa ( X, W, Y, Z ω( W, X, Y, Z ( ω ( X ( W ( X W, ( W (( X ( W X, = g J Y + J Y Z g J Y + J Y Z g( ( (, XWJ Y WXJ Y Z ( X W W X XW WX, g( J X WY J W XY J WY J XY, Z = g JY JY JY + JY Z + ( ( ( (,,, R( X, W, Y, JZ ( = g R X, W JY, Z g JR X, W Y, Z = R X W JY Z + X W elde edlr. Ayrıca (..6 da ( ( ( ( ( X ( (( ( ( XYWZ,,, ( (( ( (( X ω X, W, Y, Z = g J Y, Z g J Y, Z g J Y, Z X W W W X = g J W, Z + g J W, Z + g J W, Z = ω X Y Y X Y le (.3., (..4 ve (..5 dekleler sayesde ω ( X, X, Y, JY (( X, ((, ((, ((, X X X X X X (( Y, (( Y, X (( X, X (( X, X X (( Y, ( X, X (( X,( X = Xg J Y JY g J Y JY g J Y JY g J Y JY = Xg J JY X g J JY X + g J Y J Y g J Y JY ( ( ( = g J JY X g J Y J Y = g J Y J Y dekle ve so olarak (.3. de ω ( Y, X, X, JY (( ( ( ( ( Y ( = g J X, JY g J X, JY g J X, JY = 0 Y X X X Y
41 3 buluur. Souçta, (( X,( X = ω(,,, = ω(,,, = ω( XYXJY,,, ω( YX,, XJY, = R( X, Y, JX, JY R( X, Y, X, Y = R( X, Y, Y, X R( X, Y, JY, JX g J Y J Y X X Y JY X Y X JY elde edlr. (.3.4 ç: (.3.3 deklede X = W + Y ve Y = X + Z yazılırsa ( ( +, +, +, + +, +, ( +, ( + = g ( ( W+ Y J( X + Z,( ( W+ Y J( X +Z R W Y X Z X Z W Y R W Y X Z J X Z J W Y ( ve ye (.3.3 deklede X = J( W + Y ve Y J( X Z = + yazılırsa ( ( ( ( ( ( ( ( + R J W+ Y, J X+ Z, J X+ Z, J W+ Y R J W+ Y, J X+ Z, X+ Z, W Y = g( ( JW ( + Y J J( X+ Z,( JW ( + Y J J( X+ Z dekleler elde edlr k (.. özellkler kullaılarak so dekle lk deklede çıkarılırsa ( +, +, +, + ( ( +, ( +, ( +, ( + ( ( W+ Y (,( ( W+ Y ( ( J W+ Y (, J( W+ Y RW YX ZX ZW Y R JW Y J X Z J X Z JW Y ( ( ( ( ( = g J X+ Z J X+ Z g J J X+ Z J J X+ Z elde ederz. M br yaklaşık Kaehler afold olduğuda Teore..8 de ( JW ( + Y J J( X + Z = ( ( W+ Y J( X + Z eştlğ geçerldr k böylece so dekle sağ yaı sıfıra eşttr. Şu halde elde edlr. Bu eştlk kullaılarak (,,, R( JW, JX, JX, JW R W X X W = eştlğ
42 33 ( ( ( ( ( ( (,,, (, (, (, ( R( W, X Z, X Z, Y R( JW, J( X Z, J( X Z, JY ( R( Y, X Z, X Z, Y R( JY, J( X Z, J( X Z, JY R( W X Z X Z Y R( JW J( X Z J( X Z JY 0 = R W + Y, X + Z, X + Z, W + Y R J W + Y, J X + Z, J X + Z, J W + Y ( R W X Z X Z W R JW J X Z J X Z JW = ( =, +, +,, +, +, buluur k böylece R ( W, X, X, Z R( JW, JX, JX, JZ kullaılarak = eştlğ elde edlr. Bu eştlk ( R( W X Y X Y Z R( JW J( X Y J( X Y JZ ( ( ( ( ( ( 0=, +, +,, +, +, ( R WXXZ RJWJXJXJZ ( RWXYZ ( RJWJXJYJZ ( ( R WYXZ,,, RJWJYJXJZ,,, ( RWYYZ (,,, RJWJYJYJZ (,,, ( R WXYZ RJWJXJYJZ ( RWYXZ ( RJWJYJXJZ ( =,,,,,, +,,,,,, + + =,,,,,, +,,,,,, (.3.5 elde edlr k burada RWYXZ (,,, ç. Bach özdeşlğ uygulaır ve RJWJZJYJX (,,, ekler ve çıkarılırsa ( ( ( ( (,,, (,,, (,,, (,,, 0= 3 R W, X, Y, Z R JW, JX, JY, JZ + R JW, JY, JZ, JX R JW, JZ, JY, JX ( R JW JY JZ JX R W Y Z X R JW JZ JY JX R W Z Y X + + buluur k sağ yadak paratez (.3.5 eştlğde dolayı sıfırdır. So olarak bu deklede R ( JW, JY, JZ, JX ç. Bach özdeşlğ uygulaırsa 0= 3 R ( W, X, Y, Z 3 R( JW, JX, JY, JZ R( W, X, Y, Z = R( JW, JX, JY, JZ elde ederz. Teore.3.4.[9] M br yaklaşık Kaehler afold ve R se tesörü olak üzere, W, X, Y, Z ( M X ç M Rea eğrlk ( W Z (,,, (,,, (,( R W X Y Z R W X JY JZ = g J X J Y (.3.6
43 34 eştlğ geçerldr. Kaıtlaa: (.3.6 dekle ç (.. özellkler kullaılarak ( +, +, +, + = ( + ( + ( + ( + ( + ( + ( + ( + RYXZY (,,, + RYZZY (,,, RW YX ZX ZW Y R W, X, X, W R W, X, X, Y R W, X, Z, W R W, X, Z, Y RWZXY,,, RWZZW,,, RWZZY,,, RYX,, XY, elde edlr k (.3.4 eştlğde bezer şeklde ( +, +, ( +, ( + = ( + ( + ( + ( + ( + ( + ( + ( + R ( Y, X, JZ, JY + R ( Y, Z, JZ, JY RW YX ZJ X Z JW Y R W, X, JX, JW R W, X, JX, JY R W, X, JZ, JW R W, X, JZ, JY R W, Z, JX, JY R W, Z, JZ, JW R W, Z, JZ, JY R Y, X, JX, JY buluur. So dekle lk deklede çıkarılırsa ( +, +, +, + ( +, +, ( +, ( + = ( R( W, X, X, W R( W, X, JX, JW + ( R( W, Z, Z, W R( W, Z, JZ, JW ( R( Y, X, X, Y R( Y, X, JX, JY + ( R( Y, Z, Z, Y R( Y, Z, JZ, JY + ( R( W, X, X, Y R( W, X, JX, JY + ( R( W, X, Z, W R( W, X, JZ, JW + ( RW (, XZY,, RW (, X, JZJY, + ( RWZXY (,,, RWZJX (,,, JY + ( R( W, Z, Z, Y R( W, Z, JZ, JY + ( R( Y, X, Z, Y R ( Y, X, JZ, JY RW Y X ZX ZW Y RW Y X ZJ X Z JW Y elde edlr. So bulua dekle sağ yaıa ( R( W, X, X, W R( W, X, JX, JW + ( R( W, Z, Z, W R( W, Z, JZ, JW ( R( Y, X, X, Y R ( Y, X, JX, JY + ( R( Y, Z, Z, Y R( Y, Z, JZ, JY fades ekler ve çıkarılırsa
44 35 ( (,,, (,, (, (, +, +, (, +, ( +, ( R( W Y, X, X, W Y R( W Y, X, JX, J( W Y ( R( W Y, Z, Z, W Y R( W Y, Z, JZ, J( W Y ( R ( W, X, X, W R ( W, X, JX, JW ( R ( W, Z, Z, W R ( W, Z, JZ, JW ( RY, X, X, Y R Y, X, JX, JY ( R ( Y, Z, Z, Y R ( Y, Z, JZ, JY ( R ( W, XZY,, RW (, X, JZJY, ( RWZXY (,,, RWZJX (,,, JY ( +, +, +, + +, +, ( +, ( + RW YX ZX ZW Y RW YX ZJ X Z JW Y ( R W X Z X Z W R W X Z J X Z JW ( R Y X Z X Z Y R Y X Z J X Z JY = ( ( + + buluur k (.3.3 de g( ( ( W+ Y J( X + Z,( ( W+ Y J( X + Z (( ( ( ( ( (( + ( ( + = g WJ X + Z, WJ X + Z + g W YJ X, W YJ X + g( ( ( W+ Y J Z, ( ( W+ Y J Z + g ( YJ( X + Z,( YJ( X + Z ( (( W,( W (( W,( W (( Y,( Y (( Y,( Y ( R ( W XZY RW ( X JZJY ( RWZXY ( RWZJX ( JY g J X J X g J Z J Z g J X J X g J Z J Z +,,,,,, +,,,,,, elde edlr. J tesörü bleer olduğuda souçta (( W ( Y + ( W ( Y = ( R ( W, X, Z, Y R ( W, X, JZ, JY + ( R ( W, Z, X, Y R ( W, Z, JX, JY ( g J X, J Z g J Z, J X (.3.7 dekle elde edlr. Bu deklede sağ yaa. Bach özdeşlğ uygulaır ve R ( W, Y, JZ, JX ekler ve çıkarılırsa (( W ( Y + (( W ( Y ( ( ( ( ( ( ( ( g J X, J Z g J Z, J X = 3 R W, X, Z, Y R W, X, JZ, JY + R W, Z, JY, JX R W, Y, JZ, JX ( R W, Z, Y, X R W, Z, JY, JX R W, Y, Z, X R W, Y, JZ, JX +
45 36 elde edlr k sağ yadak paratez (.3.7 dekle X yere Y ve Y yere X yazılası le elde edleceğde (..6 da so dekle ( ( + ( ( g ( J X ( J Z g J Z J Y g J Y J 3 R W, XZY,, RW, X, JZJY, RWZJYJX,,, RWYJZJX,,, ( W Y (( W ( X (( W ( X =,, +, Z şeklde buluur. Bu deklede Y ve Z yere sırasıyla JY ve JZ yazar ve elde edle dekle bu deklede çıkarırsak, Teore..8 de olduğuda (..7, (..4 ve. Bach özdeşlğde M NK QK (( W ( Y g( R( W X Z Y g( R( W X JZ JY g( R( W JX Z JY g( R( W JX JZ Y 4 g J X, J Z = 5,, 5,,,,,, elde edlr. So olarak bu deklede X ve Y yere sırasıyla JX ve JY yazıp 5 katıı alır ve elde edle dekle so deklele toplarsak, (..4 ve (..6 da g( R( W, X Z, Y g R( W, X JZ, JY = g J X, J Z ( (( W ( Y buluur k souçta (.3.6 elde edlr. Şd yukarıda çalıştığıız bazı tesörler bleşeler csde fade edel. ω Kaehler foruu, bleşeler csde (..8 deklede J k = J gk şeklde fade etştk. J J tesörü (..7 dekle sayesde br ters-setrk tesördü, ya = J d. Dğer yada (,0 -tpde J tesörüü k = k J J g (.3.8 şeklde taılayalı. Şu halde (..8 ve (.3.8 deklelerde J J k k = δ (.3.9 dekle elde edlr k (..8 ve (.3.8 deklelerde sıklıkla kullaacağıız
46 37 k k k k h h h h J J = g, J J = g, J g = J, J g = J (.3.0 h h h h J J = g, J J = g, J g = J, J g = J k k k k eştlkler elde ederz. Ayrıca J tesörü de ters-setrk tesördür. Gerçekte (.3.0 h h h h h h da J J = g ve J J = g deklelerde J J = J J elde edlr k bu dekle k J h le çarpılırsa J k k = J buluur. Dğer yada sırasıyla (..4, (..6, (..7 ve (..8 dekleler bleşeler csde k J = 0 (.3. k k J + J = 0 (.3. k h l k h l J + J J J = 0 (.3.3 J = 0 (.3.4 şeklde fade edlr. Yaklaşık Kaehler afoldları teel dekle dyebleceğz (.3. dekle a bk b ak J + J = 0 veya J + J = 0 h h (.3.5 şeklde de yazılablr. Gerçekte (.3.0 sayesde, (.3. dekle g kh le çarpılırsa lk eştlk ve a g g b le çarpılırsa kc eştlk elde edlr. Şd tesör bleşeler le çalışırke htyaç duyacağıız bazı kavraları taıyalı. Taı.3.5. Br hee hee Hertye afold üzerde, ( δ δ, ( δ δ J J O = J J O = + ab a b a b ab a b a b şeklde k leer operatör taılayalı. Br T (sırasıyla T tesörü
47 38 ab ab a b b a O T = 0 (sırasıyla O T = 0 (.3.6 eştlğ sağlarsa bu tesöre, dslere göre hbrd tesör adı verlr.br T (sırasıyla T tesörü ab ab a b b a O T = 0 (sırasıyla O T = 0 (.3.7 eştlğ sağlarsa bu tesöre, dslere göre pür tesör adı verlr. Şu halde, tesörü, dslere göre pür (sırasıyla hbrd se T t t t J Tt J T = (sırasıyla t t t J Tt J T = (.3.8 elde edlr. Gerçekte T pür se (.3.7 de, T + J J Tab = 0 dekle a b J s le çarpılırsa b s sb J T J T = 0 elde edlr k bu se (.3.8 dekledr (hbrd olası duruu da bezer şeklde gösterlr. Ayrıca eğer T tesörü, dslere göre pür (sırasıyla hbrd se t t t = J Tt JT t t t t (sırasıyla JT = J T (.3.9 elde edlr. Gerçekte a b b a T pür se (.3.7 de, T + J J T = 0 dekle J s le çarpılırsa b b s = Js T J T elde edlr k bu (.3.8 dekledr (hbrd olası duruu da bezer şeklde gösterlr. Öere.3.6. Br hee hee Hertye afold üzerde T ve, dslere göre sırasıyla pür ve hbrd se S tesörler T S = 0 (.3.0 eştlğ geçerldr. Kaıtlaa : (.3.6 ve (.3.7 deklelerde ( ( 0 0 a b kl ab ab ab k l ab ab T S = J J T J J S = T S T S + T S = T S =
48 39 elde edlr. Yaklaşık Kaehler afoldlar üzerde bazı öel pür ve hbrd tesörlere geçede öce J ve J tesörler, dslere göre hbrd tesörler olduğuu gösterel. Gerçekte, (.3.0 deklede ( ( ( ab a b a O Jab = J J J Jab = J J ga = J J = 0 ( ( ( ab ab a OabJ = J Ja Jb J = J + Ja g = J + J = 0 (.3. elde edlr k bu se J ve olası deektr. Şu halde aşağıdak öerey vereblrz. Öere.3.7. Br J tesörler, dslere göre hbrd tesörler M yaklaşık Kaehler afoldu üzerde aşağıdakler geçerldr. ab k ab O J = 0 (.3. ab k ab ab k ab O J = 0 ve O J = 0 (.3.3 ab k ab a b a bk O J = 0 ve O J = 0 (.3.4 a bk ab v O J = 0 (.3.5 a b b k a v O J = 0 (.3.6 Kaıtlaa : J tesörü, dslere göre hbrd olduğuda a b = ab J J J J deklee kovaryat türev uygulaırsa (.3.0 ve g = 0 deklelerde k k a b a b a b a b ( ( ( ( a b a b ( kj ga ( kj gb J J ( kjab J = J J J = J J J + J J J + J J J k k ab k ab k ab k ab = + ( ( a b a b kj kj J J kjab kj J J kjab = + = + buluur k ( 0 a b kj J J kjab + = ya O ab k ab J = 0 elde edlr.
49 40 J tesörü, dslere göre hbrd olduğuda J J J J ab deklee = a b kovaryat türev uygulaırsa (.3.0 ve g = 0 deklelerde ( ( ( ( a b ab ( kja g ( kjb g Ja Jb ( kj ab ab kj kj Ja Jb ( kj kj Ja Jb ( kj ab ab ab ab kj k Ja Jb J kja Jb J Ja kjb J Ja Jb kj = = + + = + + = + + = + k k buluur k ( 0 ab kj Ja Jb kj + = ya O ab ab J = 0 elde edlr. İkc dekle k ( 0 ab k a b k se J + J J J = dekle g le çarpılası soucu elde edlr. lk M NK QK olduğuda M üzerde (.3.3 dekle geçerldr k bu se O ab k a b h a b h a b J = 0 dekledr. İkc dekle se J + J J J = 0 (.3.3 dekle g hk le çarpılası soucu elde edlr. v (.3.5, (.3.0 ve J tesörü, dslere göre hbrd olduğuda ( a b ( a b a ( b a b ( k a k b k ab k k k ab ( Ja g ( Jb g Ja Jb ( J J J Ja Jb ( J k k ab k a bk J Ja Jb ( J J Ja Jb ( J k k k ab k ab k ab k ab J = J = J J J = J J J + J J J + J J J = + + = + + = + = + k a bk J Ja Jb J + = elde edlr. Bu se O J = 0 olası buluur k souçta ( 0 deektr. a bk ab v (.3.0 da a b b a J = J J J eştlğe k uygulaırsa b ( ( ( J a b kj kj J Jb ( kja a b a b a kj kj Jb Ja J kjb Ja J Jb k a = = + a b buluur k böylece O J = 0 eştlğ elde edlr. b k a
50 4 Şd br M yaklaşık Kaehler afolduu eğrlk dekleler celeyeblrz. Eğer M afoldu br yaklaşık Kaehler afold se (.3.6 ve (.3.4 dekleler geçerl olacağıda bu dekleler bleşeler csde a b h kl ab k l. l kh R R J J = J J (.3.7 a b c d kl abcd k l R = R J J J J (.3.8 şeklde fade edlr. Dğer yada br eğrlğ, { E E },, M afolduu Rcc tesörüü ve skaler M afoldu üzerde br ortooral çatı olak üzere, sırasıyla S( X, Y = g( R( E, X Y, E ve r = S( E, E şeklde taılaış ve = = bleşeler csde sırasıyla R h h = R ve r = g R şeklde fade etştk. Bezer şeklde, Souç..4 ve Souç..5 de, ortooral çatı { E,, E, JE,, JE } ( M yaklaşık Kaehler afoldu üzerde br = olak üzere S ( X, Y = g( R( X, JY E JE, şeklde taılaa S tesörüe Rcc = tesörü adı verlr ve bleşeler csde c ab ab k abc ab k R = R J J veya R J = R J (.3.9 şeklde fade edlr. S tesörü br setrk tesördür. Gerçekte, (.3.8 ve (.3. deklelerde c ab p q r t c ab p q t ab t pq R = Rabc J J = Rpqrt Ja Jb Jc J J J = Rpqt Ja Jb J J = Rpqt J J elde edlr k bu R = R (.3.30
BAZI YARIGRUP AİLELERİ ve YAPILARI İÇİN SONLULUK KOŞULLARI ve ETKİNLİK *
BAZI YARIGRUP AİLELERİ ve YAPILARI İÇİN SONLULUK KOŞULLARI ve ETKİNLİK * Fteess Codtos For Soe Segroup Fales ad Costructos ad Effcecy Basr ÇALIŞKAN Mateatk Aabl Dalı Hayrullah AYIK Mateatk Aabl Dalı ÖZET
Detaylıdenklemini sağlayan tüm x kompleks sayılarını bulunuz. denklemini x = 64 = 2 i şeklinde yazabiliriz. Bu son kompleks sayıları için x = 2iy
Ders Sorumlusu: Doç. Dr. Necp ŞİMŞEK Problem. deklem sağlaya tüm kompleks sayılarıı buluu. Çöüm deklem şeklde yaablr. Bu so y kompleks sayıları ç y yaalım. Bu taktrde deklemde, baı y ( ) y elde edlr. Burada
DetaylıSayısal Türev Sayısal İntegrasyon İnterpolasyon Ekstrapolasyon. Bölüm Üç
Sayısal Türev Sayısal İtegrasyo İterpolasyo Ekstrapolasyo Bölüm Üç Bölüm III 8 III-. Pvot Noktaları Br ( ) oksyouu değer, geellkle ekse üzerdek ayrık oktalarda belrler. Bu oktalara pvot oktaları der. Bu
DetaylıKUVVET SİSTEMLERİ KUVVET. Vektörel büyüklük. - Kuvvetin büyüklüğü - Kuvvetin doğrultusu - Kuvvetin uygulama noktası - Kuvvetin yönü. Serbest vektör.
İ.T.Ü. aka akültes ekak Aa Blm Dalı STATİK - Bölüm KUVVET SİSTELEİ KUVVET Vektörel büyüklük - Kuvvet büyüklüğü - Kuvvet doğrultusu - Kuvvet uygulama oktası - Kuvvet yöü S = (,,..., ) = + +... + = Serbest
DetaylıRegresyon ve Korelasyon Analizi. Regresyon Analizi
Regresyo ve Korelasyo Aalz Regresyo Aalz Regresyo Aalz Regresyo aalz, aralarıda sebep-souç lşks bulua k veya daha fazla değşke arasıdak lşky belrlemek ve bu lşky kullaarak o kou le lgl tahmler (estmato)
DetaylıV vektörleri V nin bir bazı ise : { P 0, P 1,..,P n } nokta (n+1)-lisine A afin uzayının bir afin çatısı denir. Λ xyz açısının ölçüsü
DİFRANSİYL GOMTRİ Taım (Af Uzay): A Φ V de K csm üzerde br vektör uzayı olsu. Aşağıdak öermeler doğrulaya f:axav foksyou varsa A ya V le brleştrlmş af uzay der..,q,r A ç f(,q)+f(q,r)=f(,r). A ve V ç f(,q)
DetaylıBÖLÜM 4 KLASİK OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ (KISITLI OPTİMİZASYON)
BÖÜM 4 KASİK OPTİMİZASYON TEKNİKERİ KISITI OPTİMİZASYON 4. GİRİŞ Öcek bölülerde de belrtldğ b optzaso probleler çoğuluğu kısıtlaıcı oksolar çerektedr. Kısıtlaasız optzaso problelerde optu değer ede oksou
DetaylıPolinom İnterpolasyonu
Polom İterpolasyou (Ara Değer Bulma Br foksyou solu sayıdak, K, R oktalarıda aldığı f (, f (,, f ( değerler bls (foksyou keds blmyor. Bu oktalarda geçe. derecede br tek, P a + a + a + + a (... polumu vardır
Detaylıdeğerine bu matrisin bir girdisi(elemanı,bileşeni) denir. Bir sütundan (satırdan) oluşan bir matrise bir sütun (satır) matrisi denir.
Bölüm 2 Matrsler aım 2.1 F br csm, m, brer doğal sayı olsu. a F ( 1,.., m; j 1,..., ) olmak üzere, a11... a1 fadese m satır sütuda oluşa (veya m tpde) br F matrs der. am 1... a m Böyle br matrs daha sade
DetaylıKONİK METRİK UZAYLARDA BÜZÜLME DÖNÜŞÜMÜ PRENSİBİ VE SABİT NOKTA TEOREMLERİ. Nurcan BİLGİLİ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK
KONİK METRİK UZAYLARDA BÜZÜLME DÖNÜŞÜMÜ PRENSİBİ VE SABİT NOKTA TEOREMLERİ Nurca BİLGİLİ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ARALIK 9 ANKARA Nurca BİLGİLİ tarafıda hazırlaa
DetaylıBEKLENEN DEĞER VE VARYANS
BEKLEE DEĞER VE VARYAS.1. İadel ve adesz öreklemede tüm mümkü örekler.. Beklee değer.3. Varyas.4. İk değşke ortak dağılımı.5. İstatstksel bağımsızlık.6. Tesadüf değşkeler doğrusal kombasyolarıı beklee
DetaylıGenelleştirilmiş Ortalama Fonksiyonu ve Bazı Önemli Eşitsizliklerin Öğretimi Üzerine
Geelleşrlmş Oralama Foksyou ve Bazı Öeml Eşszlkler Öğrem Üzere Gabl ADİLOV, Gülek TINAZTEPE & Serap KEALİ * Öze Armek oralama, Geomerk oralama, Harmok oralama, Kuvadrak oralama ve bular arasıdak lşk vere
DetaylıYER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir.
YER ÖLÇÜLERİ Yer ölçüler, verler merkez veya yığılma oktasıı belrleye statstklerdr. Grafkler bze verler yığılma oktaları hakkıda ö blg vermede yardımcı olurlar. Acak bu değerler gerçek değerler değldr,
DetaylıKONTROL KARTLARI 1)DEĞİŞKENLER İÇİN KONTROL KARTLARI
1 KONTOL KATLAI 1)DEĞİŞKENLE İÇİN KONTOL KATLAI Ölçe,gözle veya deey yolu le elde edle verler değşke(ölçüleblr-sürekl) ve özellk (sayılablr-keskl) olak üzere başlıca k gruba ayrılır. Değşke verler belrl
DetaylıHĐPERSTATĐK SĐSTEMLER
HĐPERSTATĐK SĐSTELER Taım: Bütü kest zorları, şekldeğştrmeler ve yerdeğştrmeler belrlemes ç dege deklemler yeterl olmadığı sstemlere hperstatk sstemler der. Hperstatk sstemler hesabı ç, a) Dege deklemlere,
DetaylıÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR
ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR Ölçme, her deeysel blm temel oluşturur. Fzk blmde de teorler sıaması ç çeştl deeyler tasarlaır ve bu deeyler sırasıda çok çeştl ölçümler yapılır. Br fzksel celğ
Detaylı1. GAZLARIN DAVRANI I
. GZLRIN DRNI I İdeal Gazlar ç: lm 0 RT İdeal gazlar ç: RT Hacm() basıçla() değşk sıcaklıklarda değşm ekl.. de gösterlmştr. T >T 8 T T T 3 asıç T 4 T T 5 T 7 T 8 Molar Hacm ekl.. Gerçek br gazı değşk sıcaklıklardak
DetaylıGaunt Katsayılarının Binom Katsayıları Kullanılarak Hesaplanması
EN AKÜLTESİ EN DERGİSİ E06 4 9-5 Araştıra Maales Gelş Receved :6/0/06 Kabul Accepted :/0/06 Erha AKIN Selçu Üverstes e aültes z Bölüü Kapüs 450 Koya Türye e-al: ea@selcu.edu.tr Öz: Bu çalışada Gaut atsayıları
Detaylı6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI
6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay
DetaylıSERBEST LİE CEBİRLERİNDE HESAPLAMALAR * Computation In Free Lie Algebras*
Ç.Ü Fe Bilileri Estitüsü Yıl:2008 ilt:18-3 SERBEST LİE EBİRLERİNDE ESAPLAMALAR * oputatio I Free Lie Algebras* Ebubekir TOPAK Mateatik Aabili Dalı Ahet TEMİZYÜREK Mateatik Aabili Dalı ÖZET Bu çalışada
Detaylı6. Uygulama. dx < olduğunda ( )
. Uygulama Hatırlatma: Rasgele Değşelerde Belee Değer Kavramı br rasgele değşe ve g : R R br osyo olma üzere, ) esl ve g ) ) < olduğuda D ) sürel ve g ) ) d < olduğuda g belee değer der. c R ve br doğal
Detaylıİki veri setinin yapısının karşılaştırılması
İk ver set yapısıı karşılaştırılması Dağılım: 6,6,6 Ortalama: 6 Medya: 6 Mod: 6 td. apma: 0 Dağılım: 0,6,1 Ortalama: 6 Medya: 6 Mod: çoklu mod td: apma: 6 Amaç: Görüe Ötese Bakablmek Verler değşkelk durumuu
DetaylıDİŞLİ ÇARKLAR PLANET SİSTEMLERİ 12-02. 2013 Nisan. www.guven-kutay.ch. M. Güven KUTAY / 2013-Nisan-14 Yeniden elden geçirilmiş çıktı.
3 Nsa www.guve-kutay.ch DİŞLİ ÇARLAR LANET SİSTELERİ -. üve UTAY / 3-Nsa-4 Yede elde geçrlş çıktı. 3-Nsa4 www.guve-kutay.ch Sevgl eş FİSUN ' a ÖNSÖZ Br kouyu blek deek, ou eldek kalara göre kullaablek
DetaylıGENELLEŞTİRİLMİŞ BULANIK KÜMELER. Mehmet Şahin Gaziantep Üniversitesi, Matematik Bölümü, 27310, Gaziantep
GENEEŞTİRİMİŞ UANIK KÜMEER Mehme Şah Gazaep Üverses, Maemak ölümü, 27310, Gazaep ÖZET: u çalışmada öcelkle P ( br al ale olarak buludura bulaık kümeler GF ales br halka olarak yapıladırılmaka ve bu yapıı
DetaylıRANKI 2 OLAN SERBEST LIE CEBİRLERİNİN OTOMORFİZM GRUPLARININ SUNUMLARI 1 Reports Of Free Groups Otomorfizm Rank 2 Lie Algebras
RANKI OLAN SERBEST LIE CEBİRLERİNİN OTOMORFİZM GRUPLARININ SUNUMLARI Reports Of Free Groups Otomorfzm Rak Le Algebras Özge ÖZTEKİN Matematk Aa Blm Dalı Name EKİCİ Matematk Aa Blm Dalı ÖZET Bu çalışmada,
DetaylıTanımlayıcı İstatistikler
Taımlayıcı İstatstkler Taımlayıcı İstatstkler br değerler dzs statstksel olarak geel özellkler taımlaya ölçülerdr Taımlayıcı İstatstkler Yer Göstere Ölçüler Yaygılık Ölçüler Yer Göstere Ölçüler Br dağılımı
DetaylıDeğişkenler Arasındaki İlişkiler Regresyon ve Korelasyon. Dr. Musa KILIÇ
Değşkeler Arasıdak İlşkler Regresyo ve Korelasyo Dr. Musa KILIÇ http://ks.deu.edu.tr/musa.klc 1. Grş Buda öcek bölümlerde celedğmz koular, br tek değşke ç yorumlamalar yapmaya yöelk statstk yötemler üzerde
DetaylıBir KANUN ve Bir TEOREM. Büyük Sayılar Kanunu
Br KANUN ve Br TEOREM Büyük Türkçe Sözlük kau Đg. law Doğa olaylarıı oluş edeler ortaya koya ve gelecektek olayları öcede kestrme olaağı vere bağıtı; Newto kauu, Kepler kauları. (BSTS / Gökblm Termler
DetaylıĐst201 Đstatistik Teorisi I
Đst20 Đstatstk Teors I DERSĐN TÜRÜ Zorulu DERSĐN DÖNEMĐ Yaz DERSĐN KREDĐSĐ Ulusal Kred: (4, 0, 0 ) 4 KTS: 7 DERSĐN VERĐLDĐĞĐ Bölüm: Đstatstk 200/20 Öğretm Yılı DERSĐN MCI Đstatstğ matematksel temeller
DetaylıMERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ
MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Gözlee ver düzeleerek çzelgelerle, graklerle suulması çoğu kez yeterl olmaz. Geel durumu yasıtacak br takım ölçülere gereksm vardır. Bu ölçüler verler yalızca özlü br bçmde belrtmekle
Detaylı(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.
Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit
DetaylıBÖLÜM 5 İKİ VEYA DAHA YÜKSEK BOYUTLU RASGELE DEĞİŞKENLER İki Boyutlu Rasgele Değişkenler
BÖLÜM 5 İKİ VEYA DAHA YÜKSEK BOYUTLU RASGELE DEĞİŞKENLER 5.. İk Boyutlu Rasgele Değşkenler Br deney yapıldığında, aynı deneyle lgl brçok rasgele değşkenn aynı andak durumunu düşünmek gerekeblr. Böyle durumlarda
DetaylıÖnceki bölümde özetlenen Taylor metodlarında yerel kesme hata mertebesinin yüksek oluşu istenilen bir özelliktir. Diğer taraftan
III.5.RUNGE-KUTTA METODLARI Öcek bölümde özelee Talor meodlarıda erel kesme aa merebes üksek oluşu sele br özellkr. Dğer araa ürevler buluma ve esaplaması pek çok problem ç karmaşık ve zama alıcı olduğuda
DetaylıBÖLÜM 6 6. REGRESYON MODELİNİN TEMEL KONTROLÜ
BÖLÜM 6 6. REGRESYON MODELİNİN TEMEL KONTROLÜ Bu bölüde regresyo odel üzerde gerçekleştrlecek teel kotrol yöteler celeecektr. Bu kısıda açıklaacak ola tekkler sadece doğrusal regresyo ç değl doğrusal olaya
DetaylıTOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR
TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.
DetaylıSOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ
ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLERLE SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ PROF. DR. MEHMET ERDOĞAN Beyket Üverstes Fe-Edebyat Fakültes Matematk-Blgsayar Bölümü YRD. DOÇ. DR. GÜLŞEN YILMAZ Beyket Üverstes Fe-Edebyat Fakültes
Detaylı= k. Aritmetik Ortalama. Tanımlayıcı İstatistikler TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER. Sınıflanmış Seriler İçin Aritmetik Ortalama
TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER Taımlayıcı İstatstkler MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Dr. Mehmet AKSARAYLI D.E.Ü. İ.İ.B.F..B.F. EKONOMETRİ BÖLÜMÜ mehmet.aksarayl aksarayl@deu.edu.tr Yer Ölçüler (Merkez Eğlm Ölçüler)
DetaylıLİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2
LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ SABİT NOKTA İTERASYONU YÖNTEMİ Bu yötemde çözüme gitmek içi f( olarak verile deklem =g( şeklie getirilir. Bir başlagıç değeri seçilir ve g ( ardışık
DetaylıİSTANBUL KÜLTÜR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CİSİM GENİŞLEMELERİ HAKKINDA. YÜKSEK LİSANS TEZİ Mehmet Fatih UÇAR
İSTANBUL ÜLTÜR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CİSİM GENİŞLEMELERİ HAINDA YÜSE LİSANS TEZİ Mehet Fath UÇAR Aabl Dalı : Mateatk-Blgsayar Prograı : Mateatk-Blgsayar HAZİRAN 007 İSTANBUL ÜLTÜR ÜNİVERSİTESİ
DetaylıYILLIK ÜCRETLİ İZİN YÖNETMELİĞİ (03.03.2004 tarihli ve 25391 sayılı Resmi Gazete'de yayımlanmıştır.) BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam ve Dayanak
YILLIK ÜCRETLİ İZİN YÖNETMELİĞİ (03.03.2004 tarhl ve 25391 sayılı Resm Gazete'de yayımlamıştır.) Amaç BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam ve Dayaak Madde 1 Bu Yöetmelğ amacı, 4857 sayılı İş Kauuu 53 ücü maddes
DetaylıDoç. Dr. Mehmet AKSARAYLI
Doç. Dr. Mehmet AKSARALI www.mehmetaksarayl İstatstksel araştırmalarda k yada daha çok değşke arasıdak lşk celemes ç e çok kullaıla yötemlerde brs regresyo aalzdr. Değşkeler arasıdak lşk matematksel br
DetaylıSürekli Olasılık Dağılım (Birikimli- Kümülatif)Fonksiyonu. Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK
Sürekl Olasılık Dağılım Brkml- KümülatFonksyonu Yrd. Doç. Dr. Tjen ÖVER ÖZÇELİK tover@sakarya.edu.tr Sürekl olasılık onksyonları X değşken - ;+ aralığında tanımlanmış br sürekl rassal değşken olsun. Aşağıdak
Detaylı1.BÖLÜM LİTERATÜR ÖZETİ
.BÖÜM İTERATÜR ÖZETİ Bu bölüde boacc ucas -boacc dzler le lgl lteratürde yer alış ola bazı çalışalar ve boacc dzler bölüeble özeller odülüe göre -boacc dzler peryodu peryod uzuluğu le lgl yapıla çalışalar
DetaylıBÖLÜM 2 OLASILIK TEORİSİ
BÖLÜM OLSILIK TEORİSİ İstatstksel araştırmaları temel koularıda br souu öede kes olarak blmeye bazı şasa bağlı olayları (deemeler) olası tüm mümkü souçlarıı hag sıklıkla ortaya çıktığıı belrleyeblmektr.
Detaylı53.1 ve = Güncelleme:03/11/2018 YÜK VE GERİLME ANALİZİ ÖRNEK: 1
Gücellee:3/11/18 YÜK VE GERİLME ANALİZİ ÖRNEK: 1 Şeklde verle yüzey gerles duruu ç; (a) Asal düzle açılarıı (b) Asal gerleler (c) Maksu kaya gerles ve bu gerleye karşılık ral gerley buluuz. 5MPa 1MPa y
DetaylıBASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI
Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.
DetaylıDUAL KUATERNİYONLAR ÜZERİNDE SİMPLEKTİK GEOMETRİ E. ATA
DÜ Fe Blmle Esttüsü Degs Dual Kuateyola 6. Sayı (Em l004) Üzede Smlet Geomet DUAL KUATERNİYONLAR ÜZERİNDE SİMLEKTİK GEOMETRİ E. ATA Özet Bu maalede dual uateyola üzede smlet gu, smlet etö uzayı e smlet
DetaylıIII.4. YÜKSEK MERTEBE TAYLOR METODLARI. ( t)
III.4. YÜKSEK MEREBE AYLOR MEODLARI Saısal tekkler amacı mmum çaba le olablğce uarlı aklaşımlar ele etmektr. Bu eele çeştl aklaşım ötemler vermllğ karşılaştıracak br krtere gereksm varır. İlk ele alıacak
DetaylıÇUKUROVA ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ
ÇUKUROVA ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ YÜKSEK LĐSANS TEZĐ Dyae YAŞAR SONLU DÖNÜŞÜMLER YARIGRUBUNDA ÇARPANLARA AYIRMA MATEMATĐK ANABĐLĐM DALI ADANA, 2009 ÖZ YÜKSEK LĐSANS TEZĐ SONLU DÖNÜŞÜMLER YARIGRUBUNDA
Detaylı) ( k = 0,1,2,... ) iterasyon formülü kullanılarak sabit
Karadez Te Üverstes Blgsayar Mühedslğ Bölümü 5-6 Güz Yarıyılı Sayısal Çözümleme Ara Sıav Soruları Tarh: Kasım 5 Perşembe Süre: daa. f ( ( + a e fosyouu sabt otası olmadığı bldğe göre, a 'ı alableceğ e
Detaylı18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005
8.6 Professor Strag FİNAL 6 Mayıs 25 ( Pua) P,..., P R deki oktalar olsu. ( ai, ai2,..., a i) P i i koordiatlarıdır. Bütü P i oktasıı içere bir cx +... + cx = hiperdüzlemi bulmak istiyoruz. a) Bu hiperdüzlemi
DetaylıVEKTÖRLER VE VEKTÖREL IŞLEMLER
VEKTÖRLER VE VEKTÖREL IŞLEMLER 1 2.1 Tanımlar Skaler büyüklük: Sadece şddet bulunan büyüklükler (örn: uzunluk, zaman, kütle, hacm, enerj, yoğunluk) Br harf le sembolze edleblr. (örn: kütle: m) Şddet :
Detaylıf n dµ = lim gerçeklenir. Gösteriniz (Bu teorem Monoton yakınsaklık teoreminde yakınsaklık f n = f ve (f n ) monoton artan dizi
4.2. Pozitif Foksiyoları İtegrali SOU : f ), M +, A) kümeside bulua foksiyoları mooto arta dizisi ve h.h.h. f = f ise f dµ = f dµ gerçekleir. Gösteriiz Bu teorem Mooto yakısaklık teoremide yakısaklık yerie
DetaylıTahmin Edicilerin ve Test Đstatistiklerinin Simülasyon ile Karşılaştırılması
. Ders ĐSTATĐSTĐKTE SĐMÜLASYON Tahm Edcler ve Test Đstatstkler Smülasyo le Karşılaştırılması Đstatstk rasgelelk olgusu çere olay süreç ve sstemler modellemesde özellkle bu modellerde souç çıkarmada ve
DetaylıORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ
ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze
DetaylıZaman Skalasında Box-Cox Regresyon Yöntemi
Dokuz Eylül Üverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes Dergs, Clt:7, Sayı:, Yıl:0, ss.57-70. Zama Skalasıda Bo-Co Regresyo Yötem Atlla Özur İŞÇİ Sbel PAŞALI GÖKTAŞ ATMACA 3 M. Nyaz ÇANKAYA 4 Özet Hata term
DetaylıBULANIK ÇOK AMAÇLI LİNEER KESİRLİ TAŞIMA PROBLEMİNE ÇÖZÜM ÖNERİSİ
YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BULANIK ÇOK AMAÇLI LİNEER KESİRLİ TAŞIMA PROBLEMİNE ÇÖZÜM ÖNERİSİ Mateatkç Nurda ÇETİN F.B.E.Mateatk Aabl Dalıda Mateatk Prograıda Hazırlaa DOKTORA TEZİ
DetaylıÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ
03.05.013 ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ 1 Nede Örekleme? Öreklemde çalışmak ktlede çalışmakta daha kolaydır. Ktle üzerde çalışmak çok daha masraflı olablr. Çoğu durumda tüm ktleye ulaşmak
Detaylıuzayında vektörler olarak iç çarpımlarına eşittir. Bu iç çarpım simetrik ve hem w I T s formuna karşılık gelir. Buna p u v u v v v
1. Temel Form: Brnc temel form geometrk olarak yüzeyn çnde blndğ zayına gtmeden yüzey üzernde ölçme yamamızı sağlar. (Eğrlern znlğ, teğet ektörlern açıları, bölgelern alanları gb) S üzerndek ç çarım, br
DetaylıALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI
ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları Alteratif üretim
DetaylıĐÇI DEKILER 1. TEMEL ĐSTATĐSTĐK KAVRAMLAR VE OTASYO LAR 1
ĐÇI DEKILER Sayfa. TEMEL ĐSTATĐSTĐK KAVRAMLAR VE OTASYO LAR.. Grş.. Đstatstk.3. Populasyo.4. Örek.5. Brm.6. Parametre.7. Değşke 3.8. Ver ve Ver Tpler 3.9. Toplama Sembolü 4 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ 6. VERĐLERĐ
Detaylı(DERS NOTLARI) Hazırlayan: Prof.Dr. Orhan ÇAKIR. Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi, Fizik Bölümü
FİZ433 FİZİKTE BİLGİSAYAR UYGULAMALARI DERS NOTLARI Hazırlaya: Pro.Dr. Orha ÇAKIR Akara Üverstes, Fe Fakültes, Fzk Bölümü Akara, 7! İÇİNDEKİLER. LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN BULUNMASI I/II. LİNEER
DetaylıIŞIĞIN KIRILMASI. 1. Ortamların kırılma indisleri n K. , n M. , n L. arasındaki ilişki aşağıdaki gibidir. > n L. > n K. n M. > n M. n L. n K.
BÖÜ ŞĞ RAS AŞTRAAR ÇÖZÜER ŞĞ RAS Ortamları kırılma dsler,, arasıdak lşk aşağıdak gbdr 9 > > > > > > 6 0 > > > > > > 7 > > > > > > 0 7 0 0 > > > > > 76 OPTİ 7 0 0 > > > > > > 0 θ θ > > > > > > 9 0 O > >
Detaylıdir. Bir başka deyişle bir olayın olasılığı, uygun sonuçların sayısının örnek uzaydaki tüm sonuçların sayısına oranıdır.
BÖLÜM 3 OLASILIK HESABI 3.. Br Olayın Olasılığı Tanım 3... Br olayın brbrnden ayrık ve ortaya çıkma şansı eşt n mümkün sonucundan m tanes br A olayına uygun se, A olayının P(A) le gösterlen olasılığı P(A)
Detaylı2.2. Fonksiyon Serileri
2.2. Foksiyo Serileri Taım.. Herhagi bir ( u (x reel (gerçel değerli foksiyo dizisi verilsi. Bu m foksiyo dizisii tüm terimlerii toplamıa, yai u m (x + u m+ (x + u m+2 (x + u m+3 (x + + u m+ (x + = k=m
DetaylıBR GRAPHIN KOMULUK MATRS LE DERECE MATRSNN ÇARPIMININ EN BÜYÜK ÖZDEER ÇN SINIRLAR
BR GRAPHIN KOMULUK MATRS LE DERECE MATRSNN ÇARPIMININ EN BÜYÜK ÖZDEER ÇN SINIRLAR Sezer SORGUN ve erfe BÜYÜKKÖSE Ercyes Üverstes, Fe Bller Esttüsü, Mateat Bölüü, KAYSER srgrzs@gal.co Ah Evra Üverstes,
DetaylıİÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...
İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı
DetaylıTanımlayıcı İstatistikler
Taımlayıcı İstatstkler Br veya brde fazla dağılışı karşılaştırmak ç kullaıla veya ayrıca örek verlerde hareketle frekas dağılışlarıı sayısal olarak düzeleye değerlere taımlayıcı statstkler der. Aalzlede
DetaylıDEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 2 Sayı: 1 sh Ocak 2000
ÖZE / ABSRAC DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: Sayı: sh. 4-45 Ocak 000 İKİ İNDİSLİ DÜZLEMSEL DAĞIIM PROBLEMİNİN MARİS DENKLEMLERİ İLE İNCELENMESİ (INVESIGAION OF WO-INDEX PLANAR
DetaylıBAĞINTI VE FONKSİYON
BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı
DetaylıÖZET Yüksek Lsas Tez NORMAL DAĞILIM VE NORMAL DAĞILIMLA İLGİLİ ÇIKARIMLAR Şeol ÇELİK Akara Üverstes Fe Blmler Esttüsü İstatstk Aablm Dalı Daışma : Doç
ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ NORMAL DAĞILIM VE NORMAL DAĞILIMLA İLGİLİ ÇIKARIMLAR Şeol ÇELİK İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 006 Her hakkı saklıdır ÖZET Yüksek Lsas Tez
Detaylı1. GRUPLAR. 2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz.
Sorular ve Çözümleri 1. GRUPLAR 1) G bir grup olmak üzere aşağıdaki eşitlikleri gösteriiz. i) e G birim elema olmak üzere e 1 = e. ii) a G olmak üzere (a 1 ) 1 = a. iii) a 1, a 2,, a G içi (a 1 a 2 a )
DetaylıParametrik Olmayan İstatistik Çözümlü Sorular - 2
Parametrk Olmaya İstatstk Çözümlü Sorular - Soru Böbrek hastalarıa at Kreat (KRT) değerlere lşk br araştırma yapılmak stemektedr. Buu ç rasgele seçle hastaya at Kreat değerler aşağıdak gb elde edlmştr
DetaylıCebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi
3 Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteı Yötemi Bu yötem bir izdüşüm tekiğie dayaır ve yalış pozisyo olarak isimledirile matematiksel tekiğe yakıdır. Buradaki düşüce f() çizgisi üzerideki bilie iki oktada
DetaylıSAÜ. Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER Dönemi Karma Eğitim Ders Notları. Doç. Dr.
SAÜ. Mühedislik Fakültesi Edüstri Mühedisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER 9- Döemi Karma Eğitim Ders Notları Doç. Dr. Cemaletti KUBAT .Çok Değişkeli Foksiolarda Talor-McLauri Açılımları, Ekstremum Noktalar..Talor-McLauri
DetaylıDENGELEME PROBLEMİNE HEDEF PROGRAMLAMA YAKLAŞIMI
ÖE MMOB arta ve Kaastro Müesler Oası ürkye arta Blsel ve ekk Krltayı Mayıs Akara DENGELEME PROBLEMİNE EDEF PROGRAMLAMA AKLAŞIMI Mstaa ŞİMŞEK arta Geel Kotalığı Akara staassek@gkltr B çalışaa; e küçük karelerle
DetaylıTanımlayıcı İstatistikler (Descriptive Statistics) Dr. Musa KILIÇ
Taımlayıcı İstatstkler (Descrptve Statstcs) Dr. Musa KILIÇ TANIMLAYICI ÖRNEK İSTATİSTİKLERİ YER ÖLÇÜLERİ (Frekas dağılışıı abss eksedek durumuu belrtr.) DEĞİŞİM ÖLÇÜLERİ ( Frekas dağılışıı şekl belrtr.).
DetaylıAnaliz II Çalışma Soruları-2
Aaliz II Çalışma Soruları- So gücelleme: 04040 (I Aşağıdaki foksiyoları (ilgili değişkelere göre türevlerii buluuz 7 cos π 8 log (si π ( si ta e 9 4 5 6 + cot 0 sec sit t si( e + e arccos ( e cos(ta (II
DetaylıMatematik olarak normal dağılım fonksiyonu. 1 exp X 2
Matematk olarak ormal dağılım foksyou f ( ) ep ( ) Şeklde fade edlr. Burada μ artmetk ortalama, σ se stadart sapma değer gösterr ve dağılım foksyou N(μ, σ) otasyou le gösterlr. Bu deklem geometrk görütüsü
Detaylı( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri
V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı
DetaylıGRAPHIN SPEKTRAL YARIÇAPI İÇİN SINIRLAR
T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ GRAPHIN SPEKTRAL YARIÇAPI İÇİN SINIRLAR Koray BOZDAYI YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI KIRŞEHİR 0 T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ
DetaylıSAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme
SAYISAL ÇÖZÜMLEME Saısal Çözümleme SAYISAL ÇÖZÜMLEME 8. Hafta İNTERPOLASYON Saısal Çözümleme 2 İÇİNDEKİLER Ara Değer Hesabı İterpolaso Doğrusal Ara Değer Hesabı MATLAB ta İterpolaso Komutuu Kullaımı Lagrace
DetaylıVEKTÖRLER Koordinat Sistemleri. KONULAR: Koordinat sistemleri Vektör ve skaler nicelikler Bir vektörün bileşenleri Birim vektörler
11.10.011 VEKTÖRLER KONULR: Koordnat ssteler Vektör ve skaler ncelkler r vektörün bleşenler r vektörler Koordnat Ssteler Karteen (dk koordnatlar: r noktaı tesl etenn en ugun olduğu koordnat ssten kullanırı.
DetaylıEMEKLİLİK YATIRIM FONLARI DEĞERLENDİRMESİ AÇIKLAMA NOTLARI VE VARSAYIMLAR
EMEKLİLİK YATIRIM FONLARI DEĞERLENDİRMESİ AÇIKLAMA NOTLARI VE VARSAYIMLAR 2013 yılı fo getrs 02/01/2013-02/01/2014 tarhl brm pay değerler kullaılması le hesaplamıştır. 2013 yılı karşılaştırma ölçütü getrs
Detaylıİleri Teknoloji Bilimleri Dergisi Journal of Advanced Technology Sciences ISSN:2147-3455
İler Tekoloj Blmler Dergs Joural of Advaced Techology Sceces ISSN:47-3455 GÜÇ SİSTEMLERİNDE HARMONİKLERİN KRİTİK DEĞERLERE ETKİSİ Yusuf ALAŞAHAN İsmal ERCAN Al ÖZTÜRK 3 Salh TOSUN 4,4 Düzce Üv, Tekoloj
DetaylıGiriş. Değişkenlik Ölçüleri İSTATİSTİK I. Ders 5 Değişkenlik ve Asimetri Ölçüleri. Değişkenlik. X i ve Y i aşağıdaki gibi iki seri verilmiş olsun:
Grş İSTATİSTİK I Ders Değşkelk ve Asmetr Ölçüler Ortalamalar, serler karşılaştırılmasıda her zama yeterl ölçüler değldr. Ayı ortalamayı sahp serler arklı dağılım göstereblrler. Bu edele serler karşılaştırılmasıda,
DetaylıBir Rasgele Değişkenin Fonksiyonunun Olasılık Dağılımı
5.Ders Döüşümler Bir Rasgele Değişkei Foksiyouu Olasılık Dağılımı Bu kısımda olasılık dağılımı bilie bir rasgele değişkei foksiyoları ola rasgele değişkeleri olasılık dağılımlarıı buluması ile ilgileeceğiz.
Detaylı5.1 Olasılık Tarihi. 5.2. Temel Olasılık Kavramları
5 OLSILIK 5.. Olasılık Tarh 5.. Temel Olasılık Kavramları 5.3. Deeysel Olasılık 5.4. Temel olasılık Teoremler 5.5. Olasılığı Tolaablrlk Kuralı: 5.6. Olasılığı çarım kuralı: 5.7. Değl ağıtısı: 5.8. Koşullu
Detaylı8. Niteliksel ( Ölçülemeyen Özellikler İçin) Kontrol Diyagramları
1 8. Ntelksel ( Ölçüleeye Özellkler İç) Kotrol Dyagraları Ürüler taşıası gereke kalte karakterstkler br ya da br kaçı belrlee sesfkasyolara uyayablr. Ntelk olarak adladırıla bu özellk edeyle ürü belrl
DetaylıTEZ ONAYI Eda YAZAR tarafıda hazırlaa Fuzzy Topolojk Gruplar adlı tez çalışması 22/07/2008 tarhde jür tarafıda oy brlğ le Akara Üverstes Fe Blmler Est
ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ FUZZY TOPOLOJİK GRUPLAR Eda YAZAR MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2008 Her hakkı saklıdır TEZ ONAYI Eda YAZAR tarafıda hazırlaa Fuzzy Topolojk
DetaylıRasgele Değişken Üretme Teknikleri
Rasgele Değşken Üretme Teknkler Amaç Smülasyon modelnn grdlern oluşturacak örneklern üretlmes Yaygın olarak kullanılan ayrık veya sürekl dağılımların örneklenmes sürecn anlamak Yaygın olarak kullanılan
DetaylıTOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi İKT351 Ekonometri I, Ara Sınavı
TOBB Ekoom ve Tekoloj Üverstes İKT351 Ekoometr I, Ara Sıavı Öğr.Gör.: Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA Ad, Soyad: Açıklamalar: Bu sıav toplam 100 pua değerde 4 soruda oluşmaktadır. Sıav süres 90 dakkadır ve
DetaylıMATEMATİK ANABİLİM DALI
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Serka ÖKTEN -NORMLU UZAYLAR MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 00 ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ -NORMLU UZAYLAR Serka ÖKTEN ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN
DetaylıKISMİ DEVAMLI FONKSİYONLAR KULLANARAK SOĞUTUCU AKIŞKANLARIN DOYMA BASINÇ EĞRİLERİNİN HASSAS OLARAK OLUŞTURULMASI
KISMİ DEVAMLI FONKSİYONLAR KULLANARAK SOĞUTUCU AKIŞKANLARIN DOYMA BASINÇ EĞRİLERİNİN HASSAS OLARAK OLUŞTURULMASI M. Turh ÇOBAN Ege Üverstes, Mühedslk Fkultes, Mke Mühedslğ Bölüü, Borov, İZMİR Turh.cob@ege.edu.tr
DetaylıPAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ. Mühendislik Fakültesi, Makine Mühendisliği Bölümü. Zekeriya Girgin DENİZLİ, 2015 OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI
PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ Mühedlk Fakülte, Make Mühedlğ Bölümü Zekerya Grg DENİZLİ, 05 OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI Ööz Mühedlkte vermeye başladığım Otomatk Kotrol der daha y alaşılablme ç bu otlar hazırlamaya
DetaylıS4 u(x, y) = ln ( sin y. S5 u(x, y) = 2α 2 sec(α(x 4α 2 t)) fonksiyonunun
Kısmi Türevli Denklemler Problem Seti-I S1 u = u(x, y ve a, b, c R olmak uzere, ξ = ax + by ve η = bx ay degisken degistirmesi yaparak n cozunuz. au x + bu y + cy = 0 S2 Aşa gidaki denklemleri Adi Diferensiyel
DetaylıFEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR
FE VE MÜHEDİSLİKTE MTEMTİK METOTLR 3. KİTP MTRİS CEBİRİ f 70 İÇİDEKİLER I. MTRİS CEBİRİ ) Matrsler ve Elemaları B) İşlemler C) İk Özel Matrs D) Dyagoal Matrsler E) İz ve Determat F) Bazı Matrs İşlemler
DetaylıT.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI CHAKI PSEUDO SİMETRİK MANİFOLDLAR YÜKSEK LİSANS TEZİ.
T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI CHAKI PSEUDO SİMETRİK MANİFOLDLAR YÜKSEK LİSANS TEZİ İsmail AYDOĞDU Balıkesir, Hazira-009 ÖZET CHAKI PSEUDO SİMETRİK MANİFOLDLAR
DetaylıIV. DERS D FERENS YELLENEB L R MAN FOLDLAR
Bölüm 1 IV. DERS D FERENS YELLENEB L R MAN FOLDLAR Bir öceki bölümde bir yüzeyi oktalar yeterice küçük kom³uluklaryla ilgileebildik. Bu prosesi soyut realizasyou içi, souçta bizi diferesiyelleebilir maifold
Detaylı