SAYISAL ANALİZ. Matris ve Determinant
|
|
- Ömer Zeybek
- 6 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 SAYISAL ANALİZ Mtris ve Determinnt Syısl Anliz
2 MATLAB ile Temel Mtris İşlemleri Genel Mtris Oluşturm Özel Mtris Oluşturm zeros komutu ile sıfırlr mtrisi ones komutu ile birler mtrisi eye komutu ile birim mtris dig komutu ile köşegen mtris rnd komutu ile rsgele mtris Mtrisler Üzerinde Temel İsttiksel İşlemler sum komutu ile toplm prod komutu ile çrpm sort komutu ile küçükten büyüğe sırlm mx komutu ile en büyük değeri bulm min komutu ile en küçük değeri bulm men komutu ile ortlm değer bulm size komutu ile stır ve sütun syısını elde etme length komutu ile mtristeki elemn syısını bulm std komutu ile mtristeki değerlerin stndrt spmsını hesplm Mtris Özellikleri Mtris Çrpımı Çlışm Sorulrı Syısl Anliz
3 GENEL MATRİS İŞLEMLERİ mtris oluşturm ve mtris elemnlrın erişim 3 frklı şekilde mtris tnımlnbilir... >> A = [ ] A = >> A = [ 3 ; ; ] A = >> B(,)=, B(,)=, B(,)=3, B(,)=4 B = 3 4 Mtris İndeksleme ve Kolon (:) Notsyonu % A mtrisinin. Elemnını ver >> A ( ) 4 % A mtrisinin 4. Elemnını ver >> A ( 4 ) >> A ( :, ) 5 8 >> A (, : ) >> A ( :, [ 3 ] ) Syısl Anliz 3
4 ÖZEL MATRİSLER zeros komutu ile sıfırlr mtrisi oluşturm Tüm elemnlrı sıfır oln mtristir. Belirtilen boyutt sıfır mtris oluşturur. zeros (stır, sütun) oluşturulck mtrisin stır ve sütun syısı (boyutu) % Mtlbd 3x3 boyutun ship sıfırlr mtrisinin oluşturulmsı >> zeros(3) % Mtlbd x4 boyutun ship sıfırlr mtrisinin oluşturulmsı >> zeros(,4) Syısl Anliz 4
5 ÖZEL MATRİSLER ones komutu ile birler mtrisi oluşturm Tüm elemnlrı bir oln mtristir. Belirtilen boyutt birler mtrisi oluşturur. ones (stır, sütun) oluşturulck mtrisin stır ve sütun syısı (boyutu) % Mtlbd 4x4 boyutun ship birler mtrisinin oluşturulmsı >> ones(4) % Mtlbd x3 boyutun ship birler mtrisinin oluşturulmsı >> ones(,3) Syısl Anliz 5
6 ÖZEL MATRİSLER eye komutu ile birim mtris oluşturm Kre mtris içerisinde sol üst köşeden sğ lt köşeye doğru bir çizgi çizildiğinde, çizgi üzerindeki elemnlrı bir, diğer tüm elemnlrı sıfır oln mtris oluşturur. eye (boyut) oluşturulck kre mtrisin stır ve sütun syısı (boyutu) % Mtlbd 3x3 boyutun ship birim mtrisin oluşturulmsı >> eye(3) % Kre mtris dışınd 3x4 boyutun ship birim mtrisin oluşturulmsı >> eye(3,4) Syısl Anliz 6
7 ÖZEL MATRİSLER dig komutu ile köşegen mtris oluşturm dig (istenilen syılr, yerleştirilmeye bşlnılck sütun) Elemnlrı 0 vey birinci stırın istenilen sütunundn bşlmk kydı ile sğ lt köşeye doğru istenilen syı değerlerinden oluşn kre mtristir. dig komutunun birden fzl frklı kullnımı mevcuttur. % Mtlbd x boyutun ship köşegen mtrisin oluşturulmsı >> dig() % Mtlbd x boyutun ship elemn değerleri sıfır oln köşegen mtrisin oluşturulmsı >> dig(0,) % Mtlbd x boyutun ship elemn değerlerinden biri 3 oln köşegen mtrisin oluşturulmsı >> dig(3,) % Mtlbd 3x3 boyutun ship elemn değerlerinden biri 3 oln köşegen mtrisin oluşturulmsı >> dig(3,) Syısl Anliz 7
8 % Mtlbd 3x3 boyutun ship köşegen mtrisin oluşturulmsı >> dig([ 3]) % vey >> dig([ 3],0) % Mtlbd 4x4 boyutun ship köşegen mtrisin oluşturulmsı >> dig([ 3],) % Mtlbd 6x6 boyutun ship köşegen mtrisin oluşturulmsı >> dig([ 3],3) Syısl Anliz 8
9 ÖZEL MATRİSLER rnd komutu ile rsgele mtris oluşturm Elemnlrı rsgele syılrdn oluşn mtristir. Rnd komutu 0 ile rlığınd rsgele syı üretir. rnd (stır, sütun) oluşturulck mtrisin stır ve sütun syısı (boyutu) % Mtlbd 4x4 boyutun ship rsgele mtrisin oluşturulmsı >> rnd(4) % Mtlbd 3x boyutun ship rsgele syılrdn oluşn mtrisin tnımlnmsı >> rnd(3,) Syısl Anliz 9
10 ÖZEL MATRİSLER rnd komutu ile rsgele mtris oluşturm Eğer rsgele syının 0- rlığının dışınd olmsı istenirse üretilen rsgele syı sbit bir değer ile toplnmlı y d çrpılmlıdır. % Sbit 5 syısı ile Mtlbd üretilen x4 boyutun ship rstgele mtrisin toplnmsı >> 5 + rnd(,4) % Sbit 0 syısı ile Mtlbd üretilen x7 boyutun ship rstgele mtrisin çrpılmsı >> 0*rnd(,7) Syısl Anliz 0
11 MATRİSLER ÜZERİNDE TEMEL İSTATİKSEL İŞLEMLER sum komutu ile toplm Tnımlnn mtrisin ship olduğu sütunlrdki elemn değerlerini yrı yrı toplyrk stır vektörüne dönüştürür. sum (mtris) her bir sütunu yrı yrı toplnrk stır vektör oluşck mtris % Mtlbd P mtrisinin oluşturulmsı >> P = [ 4 3 5; ; ] P = % Mtlbd P mtrisinden stır vektörünün oluşturulmsı >> sum(p) Syısl Anliz
12 MATRİSLER ÜZERİNDE TEMEL İSTATİKSEL İŞLEMLER sum komutu ile toplm Eğer mtris tek bir sütun y d tek bir stırdn oluşuyors elemnlrın toplmını verir. % Mtlbd R stır mtrisinin oluşturulmsı >> R = [ ]; % R mtrisinin ship olduğu elemnlrının toplmı >> sum(r) 5 % Mtlbd S sütun mtrisinin oluşturulmsı >> S = [ ]'; % vey S = [ ; 4 ; 6 ; 8 ; 0 ; ] % S mtrisinin ship olduğu elemnlrının toplmı >> sum(s) 4 Syısl Anliz
13 MATRİSLER ÜZERİNDE TEMEL İSTATİKSEL İŞLEMLER prod komutu ile çrpm Sum komutu gibi bir mtrisin ship olduğu sütunlrdki elemn değerlerini yrı yrı çrprk stır vektörüne dönüştürür. prod (mtris) her bir sütunu yrı yrı çrpılck stır vektör oluşck mtris % Mtlbd p vektörünün tnımlnmsı ve sonucu >> p=[ 3 4 5] p = % prod komutu ile syı değerlerinin birbiriyle çrpım sonucunun bulunmsı >> prod(p) 0 % Mtlbd u mtrisinin tnımlnmsı ve sonucu >> u=[ 3 ; 3 4; 3 4 5] u = % prod komutunun kullnımı ile ilgili işlemin gerçekleştirilmesi >> prod(u) Syısl Anliz 3
14 MATRİSLER ÜZERİNDE TEMEL İSTATİKSEL İŞLEMLER sort komutu ile küçükten büyüğe sırlm Bir stır y d sütun vektörünün ship olduğu elemn değerlerinin en küçükten en büyüğüne doğru sırlr. Kısc - dn + doğru sırlr. sort (mtris) elemnlrı sırlnck mtris % Tnımlnn stır vektöründeki syılrın küçükten büyüğe doğru sırlnmsı >> sort([ ]) % B mtrisinin tnımlnmsı >> B=[ 4 9; ; ] B = % Tnımlnn sütun vektöründeki syılrın küçükten büyüğe doğru sırlnmsı >> sort([0; 5; -; 4; ]) % B mtrisin sütunlrının kendi içinde küçükten büyüğe doğru sırlnmsı >> sort([ 4 9; ; ]) Syısl Anliz 4
15 MATRİSLER ÜZERİNDE TEMEL İSTATİKSEL İŞLEMLER mx komutu ile en büyük değeri bulm Bir stır y d sütun vektörünün ship olduğu elemn değerlerinin rsınd en büyük syı değerini verir. mx (mtris) elemnlrı rsınd en büyük syı değeri bulunck mtris % Tnımlnn stır vektörü içinden en büyük syı değerinin seçimi >> mx([ ]) 7 % A mtrisinin tnımlnmsı >> A = [ 4 9; ; ] A = Bu komut ile bir elektrik devresinde elde edilen kım vey gerilim değişimlerine it sinyllerin mksimum değerleri bulunbilir. % Tnımlnn mtrise it en büyük syı değerinin seçimi >> mx(a) Syısl Anliz 5
16 MATRİSLER ÜZERİNDE TEMEL İSTATİKSEL İŞLEMLER min komutu ile en küçük değeri bulm Bir stır y d sütun vektörünün ship olduğu elemn değerlerinin rsınd en küçük syı değerini verir. min (mtris) elemnlrı rsınd en küçük syı değeri bulunck mtris % Tnımlnn stır vektörü içinden en küçük syı değerinin seçimi >> min([ ]) -3 % A mtrisinin tnımlnmsı >> A = [ 4 9; ; ] A = Bu komut ile bir elektrik devresinde elde edilen kım vey gerilim değişimlerine it sinyllerin minimum değerleri bulunbilir. % Tnımlnn mtrise it en küçük syı değerinin seçimi >> min(a) - 3 Syısl Anliz 6
17 MATRİSLER ÜZERİNDE TEMEL İSTATİKSEL İŞLEMLER men komutu ile ortlm değer bulm Bir mtrisin ritmetik ortlmsını verir. Bir stır y d sütun vektörünün ship olduğu elemn değerlerinin toplmını elemn syısın bölerek ortlm değerini verir. men (mtris) elemnlrının ortlm değeri bulunck mtris % Tnımlnn stır vektörünün ortlm değerinin men komutu ile hesbı >> men([ 3 4 6]) % Tnımlnn sütun vektörünün ortlm değerinin men komutu ile hesbı >> men([4; 6; ; 3; 9]) % A mtrisinin tnımlnmsı >> A = [ 4 9; ; ] A = % Tnımlnn mtrise it ortlm değerlerin men komutu ile hesbı >> men(a) Bu komut ile bir elektrik devresinde elde edilen kım vey gerilim değişimlerine it sinyllerin ortlm değeri bulunbilir. Syısl Anliz 7
18 MATRİS ÜZERİNDE TEMEL İSTATİKSEL İŞLEMLER std komutu ile bir mtrisin elemnlrının stndrt spmsı Bir mtrisin elemnlrının stndrt spmsını verir. std (mtris) stndrt spmsı elde edilecek mtris s n = n k = ( x k x) / % Mtlbd B mtrisinin tnımlnmsı >> B = [ 3 4; 4 6 8]; % Mtlbd stndrt spm işlemi >> std (B) Syısl Anliz 8
19 MATRİS ÜZERİNDE İŞLEMLER size komutu ile bir mtrisin stır ve sütun syısını elde etme Bir mtrisin kç stır ve kç sütundn oluştuğunu verir. Verdiği ilk değer stır, ikinci değer sütun syısını gösterir. size (mtris) stır ve sütun syısı elde edilecek mtris % Mtlbd H mtrisinin tnımlnmsı ve sonucu >> H = [:0.5:4 ; -:0.:0. ; 4:-0.:3.4] H = % H mtrisinin stır ve sütun syısı >> size(h) 3 7 % ilk değer stır (3) ikinci değer sütun (7), 3x7 boyutlu mtris Syısl Anliz 9
20 MATRİS ÜZERİNDE İŞLEMLER length komutu ile bir mtrisin elemn syısını elde etme Bir mtrisin stır ve sütun syısının büyük oln değerini verir. mx(size(mtris)) komutu d ynı işlevi yerine getirir. length (mtris) elemn syısı elde edilecek mtris % Mtlbd A mtrisinin tnımlnmsı ve sonucu >> A = [ 3; 4 5 6; 7 8 9] A = % x3 A mtrisinin sütun syısını verir >> length(a) 3 Syısl Anliz 0
21 Bir Mtrisin Trnspozesinin Alınmsı Trnspoze (devrik) bir mtrisin stırlrının sütun şeklinde yzılmsıdır. Mtris şeklinde lınır % C mtrisinin tnımlnmsı >> C=[- - 4;6-3 -;4 ] C = Örnek: C = >> C' % trnspoze işlemi Syısl Anliz
22 Mtris Özellikleri Trnspozesi kendine eşit oln kre mtrise simetrik mtris denir (A=A T ) Köşegen elemnlrındn bşk diğer elemnlrı sıfır oln kre mtrise köşegen mtris denir. Kre bir mtrisin köşegeninin üstündeki elemnlr sıfırs mtrise lt üçgensel mtris, köşegeninin ltındki elemnlr sıfırs mtrise üst üçgensel mtris denir. Determinntının değeri sıfır eşit oln mtrise Singüler Mtris denir. Köşegen vey köşegene göre simetrik olck şekilde belli sırlrı sıfırdn frklı oln mtrise Bnd Mtris denir. Trnspozesi tersine eşit oln mtrise Ortogonl Mtris denir. (A T = A - ) Syısl Anliz
23 Syısl Anliz 3 Mtris Çrpımı A*B mtris işlemi için A nın sütun syısı ile B nin stır syısı ynı olmlıdır. c ij = i b j + i b j ip b pj, i m ; j n işlemini ypmk yeterlidir. Mtris çrpımının birleşme özelliği vrdır: A, B ve C çrpımı gerçekleşecek büyüklükte mtrisler ise A (B C) = (A B) C dir. Mtris çrpımının değişme özelliği yoktur: AB BA oln mtrisler vrdır. Mtris çrpımının toplm işlemi üzerinde dğılm özelliği vrdır: A, B ve C mtrisleri için, A (B + C) = (A B) + (A C ), (A + B) C = (A C) + (B C) eşitlikleri geçerlidir. C= A*B = * = mn mj m in ij i n j c c c c c c c c c mp m m ip i i p pn pj p in ij i n j b b b b b b b b b
24 Mtris Çrpımı Akış Diygrmı Bşl N, M MATLAB t kodlyınız. T = 0 i=0, i < = N-, i++ j=0, j<= M-,ji++ A[i][j], B[j][i] i=0, i < = N-, i++ j=0, j <= M-, j++ C[i][j] = 0 k=0, k <= M-, k++ Dur C[i][j] C[i][j] = C[i][j] + A[i][k]*B[k][j] Syısl Anliz 4
25 Çlışm Sorulrı Klvyeden girilen mxn boyutlu bir mtrisin trnspozunu ekrn yzdırn progrmı MATLAB t yzınız. nxn boyutlu bir mtrisi lt üçgensel mtris, üstr üçgensel mtris vey köşegen mtris olrk ekrn yzdırn progrmın kış diygrmını çiziniz ve MATLAB t yzınız. 5 Syısl Anliz
26 Determinnt İşlemleri Determinnt ve det komutu ile mtrisin determinntı Determinnt Özellikleri Srrus Yöntemi ile Determinnt Alm Seçilen Bir Stır y d Sütun Göre Determinnt Alm Diğer Mtris İşlemleri inv komutu ile mtrisin tersi 6 Syısl Anliz
27 Determinnt ve det komutu ile bir mtrisin determinntını lm Elemnlrı reel syılr oln nxn tipindeki kre mtrislerin kümesinden, reel syılr kümesine tnımlnn fonksiyon, determinnt fonksiyonu denir. A kresel mtrisinin determinntı, det A vey A ile gösterilir. det (mtris) determinntı hesplnck mtris C Örnek: 4 = % C mtrisinin tnımlnmsı >> C=[- - 4;6-3 -;4 ] C = % det komutu ile C mtrisine it determinnt >> det(c) 00 Syısl Anliz 7
28 Determinnt Özellikleri Bir k reel syısı ile A mtrisinin bir stırının çrpılmsı, A mtrisinden elde edilen bir B mtrisi için det B = k. det A dır. Eğer B mtrisi, A mtrisinin stırlrının yer değiştirilmesi ile A dn elde edilen bir mtris ise, dır. det B = det A Birim mtrisin determinntı det I = dir. Bir köşegen mtrisin determinntı mtrisin köşegen elemnlrının çrpımın eşittir. Syısl Anliz 8
29 Determinnt ve Özellikleri Bir stır vey bir sütunun tüm elemnlrı sıfır oln mtrislerin determinntı sıfırdır. Herhngi iki stır vey iki sütunun elemnlrı eşit oln mtrisin determinntı sıfırdır. Herhngi iki stır vey iki sütunun elemnlrı orntılı oln mtrisin determinntı sıfırdır. Herhngi iki stır vey iki sütunun yerleri değişirse determinntının işreti değişir. Bir kre mtrisin determinntı ile trnspozunun determinntı eşittir. Kre mtrislerin çrpımlrının determinntı, bu mtrislerin determinntlrı çrpımın eşittir. Bir kre mtrisin kuvvetinin determinntı, determinntının kuvvetine eşittir. Bir kre mtrisin çrpmy göre tersinin determinntı, determinntının tersine eşittir. stırı ynı değerlere ship mtrisin determinntı 0 dır. Bir stırının tüm elemnlrı 0 oln mtrisin determinntı 0 dır. Syısl Anliz 9
30 Srrus Yöntemi ile Determinnt Alm Kre (stır ve sütün syısı eşit) mtrislerde kullnılır. (x vey 3x3) A = A = Örnek: x mtrisin determinntı, Sol üst köşedeki elemnın değeri ile sğ lt köşedeki elemnın değerinin çrpımındn, sol lt köşedeki elemnın değeri ile sğ üst köşedeki elemnın değerinin çrpımı çıkrılrk bulunur. = Syısl Örnek: 3 B = = 4 B 3 = 4 3 = 8 3 = 5 4 % B mtrisinin tnımlnmsı >> B=[ 3; 4] B = 3 4 % B mtrisine it determinnt hesbı >> determinnt=b(,)*b(,)-b(,)*b(,) determinnt = 5 Syısl Anliz 30
31 Srrus ile 3x3 lük Mtrisin Determinntı C = Stır ekleme y d sütun ekleme ypılrk determinnt bulunbilir. C = (-3) 4 =-48 (-) (-)=4 6 (-) =- - (-3) = 6 4 = = (-56) = =44 Stır ekleyerek; İlk stır, 4 ve 5. stır olrk eklenir Sol köşegen çrpımlrının toplmındn sğ köşegen çrpımlrının toplmı çıkrılrk determinnt bulunur 4 (-) (-) =8 Syısl Anliz 3
32 Syısl Anliz 3 Srrus ile 3x3 lük Mtrisin Determinntı = C Sütun eklemede ise, ilk sütun, 4 ve 5. sütun olrk eklenir Sol köşegen çrpımlrının toplmındn sğ köşegen çrpımlrının toplmı çıkrılrk determinnt bulunur (-48) (-) = = (-56) = = C
33 Seçilen Bir Stır y d Sütun Göre Determinnt Alm Minör ve Kofktör kullnılrk determinnt hesplnır. Bir kre mtrisin bulunduğu ij elemnının i nci stır ve j nci sütunu tıldığınd geriye kln M ij mtrisinin determinntın ij elemnının küçüğü (minörü) denir. A ij = (-) i+j M ij syısın ij elemnının eşçrpnı (kofktörü) denir. Örnek: 3x3 mtrisin determinntı, Bir stır yd sütun seçiniz Kofktörleri hespl A = A + = ( ) Determinnt ifdesini yz A + A 3 A3 A = + A + = ( ) A = ( ) 3 3 Syısl Anliz 33
34 Seçilen Bir Stır y d Sütun Göre Determinnt Alm - Örnek - Bir stır yd sütun seçiniz C = Determinnt ifdesini yz C = ( ) ( ) + ( ) ( ) + 4 ( ) C = ( ) ( ) = ( ) ( 6 + ) + ( + 8) + 4 (6 + ) = = 00 Syısl Anliz 34
35 Seçilen Bir Stır y d Sütun Göre Determinnt Alm - Örneğin MATLAB ile Çözümü - % C mtrisinin tnımlnmsı >> C=[- - 4;6-3 -;4 ] C = Soru: Aşğıdki mtrisin. sütunun göre determinntını bulunuz. % C mtrisine it determinnt hesbı >> determinnt=c(,)*(c(,)*c(3,3)-c(3,)*c(,3)) -C(,)*(C(,)*C(3,3)-C(3,)*C(,3)) +C(,3)*(C(,)*C(3,)-C(3,)*C(,)) determinnt = D = Syısl Anliz 35
36 DİĞER MATRİS İŞLEMLERİ inv komutu ile bir mtrisin determinntını lm Mtrisin tersini verir. inv (mtris) tersi hesplnck mtris Örnek: % R mtrisinin tnımlnmsı >> R=[3 -; - ; -3-4] R = R = >> inv(r) % mtrisin tersi Syısl Anliz 36
37 KAYNAKLAR İlys ÇANKAYA, Devrim AKGÜN, Sezgin KAÇAR Mühendislik Uygulmlrı İçin MATLAB, Seçkin Yyıncılık Yüksel YURTAY, Syısl Anliz Ders Notlrı, Skry Üniversitesi Fhri VATANSEVER, İleri Progrmlm Uygulmlrı,Seçkin Yyıncılık Syısl Anliz 37
LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır.
LİNEER CEBİR MTRİSLER: i,,,...,m ve j,,,..., n için ij sılrının. m m...... n n mn şeklindeki tblosun mn tipinde bir mtris denir. [ ij ] mn şeklinde gösterilir. m stır, n sütun sısıdır. 5 mtrisi için ;
DetaylıMATRİSLER. r r r A = v v v 3. BÖLÜM. a a L a. v r. a = M a. Matris L L L L. elemanları a ( i = 1,2,..., m ; j = 1,2,... n) cinsinden kısaca A = [ ]
3. BÖLÜM 2 v r = M m v r 2 2 = 22 M m2 v r n n 2n = M mn MTRİSLER gibi n tne vektörün oluşturduğu, r r r = v v v [ L ] 2 n şeklindeki sırlnışın mtris denir. 2 nlitik Geometriden Biliyoruz ki : Mtris 2
DetaylıİÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları...
İÇİNDEKİLER Ön Söz... Mtris Cebiri... Elementer İşlemler... Determinntlr...7 Lineer Denklem Sistemleri...8 Vektör Uzylrı...6 Lineer Dönüşümler...48 Özdeğerler - Özvektörler ve Köşegenleştirme...55 Genel
DetaylıMAK 1005 Bilgisayar Programlamaya Giriş. Diziler. Prof. Dr. Necmettin Kaya
MAK 1005 Bilgisyr Progrmlmy Giriş Diziler Prof. Dr. Necmettin Ky DİZİ: Bir değişken içinde birden fzl ynı tip veriyi sklmk için kullnıln veri tipidir. Dizi elemnlrı indis numrsı (sır no) ile çğrılıp işlenirler.
DetaylıİKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER TANIMLAR :, b, R ve 0 olmk üzere denklem denir. b = 0 denklemine, ikini dereeden bir bilinmeyenli Bu denklemde, b, gerçel syılrın
Detaylıb göz önünde tutularak, a,
3.ALT GRUPLAR Tnım 3.. bir grup ve G, nin boş olmyn bir lt kümesi olsun. Eğer ( ise ye G nin bir lt grubu denir ve G ile gösterilir. ) bir grup Not 3.. ) grubunun lt grubu olsun. nin birimi ve nin birimi
Detaylı2.I. MATRİSLER ve TEMEL İŞLEMLER
Nzım K. Ekinci Mtemtiksel İktist Notlrı.I. MTRİSLER ve TEMEL İŞLEMLER Tnım.. Mtris. şğıdki gibi stırlr ve sütunlr biçiminde sırlnmış reel syı tblolrın mtris denir............. n n n... mtrisinin n stırı
DetaylıRASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere
RASYONEL SAYILAR, tmsyı ve 0 olmk üzere, şeklindeki ifdelere kesir denir. y kesrin pyı, ye kesrin pydsı denir. Örneğin,,,, kesirdir. kesrinde, py kesir çizgisi pyd, 0, 0 ise 0 0 dır.,, 0, syılrı irer 0
DetaylıVEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT
VKTÖRLR ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT VKTÖRLR 1. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. VKTÖRLR 1.
DetaylıMUTLAK DEĞER. Sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve x ile. gösterilir. x x. = a olarak tanımlanır.
gösterilir. MUTLAK DEĞER Syı doğrusu üzerinde syısının sıfır oln uzklığın in mutlk değeri denir ve ile B O A 0 OA = OB =, 0 =, < 0 olrk tnımlnır. < 0 < y için y = y işleminin eşitini bulunuz. < 0 için
DetaylıÜNİTE - 7 POLİNOMLAR
ÜNİTE - 7 BÖLÜM Polinomlr (Temel Kvrmlr) -. p() = 3 + n 6 ifdesi bir polinom belirttiğine göre n en z 5. p( + ) = + 4 + Test - olduğun göre, p() polinomunun ktsyılr toplmı p() polinomund terimlerin kuvvetleri
DetaylıSAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI
YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - 1-1 1 SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI,b,c,d birer rkm olmk üzere ( 0) b = 10 + b bc = 100+10+b bc = 100+10b+c bcd =1000+100b+10c+d
DetaylıÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT
MAİ, DEEMİNAN ve DOUAL DENKLEM İEMLEİ ÜNİE. ÜNİE. ÜNİE. ÜNİE. ÜNİ Mtrisler. Kznım : Mtrisi örneklerle çıklr, verilen ir mtrisin türünü elirtir ve istenilen stırı, sütunu ve elemnı gösterir.. Kznım : Kre
DetaylıESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ
ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ Mühendislik Mimrlık Fkültesi İnşt Mühendisliği Bölümü E-Post: ogu.hmet.topcu@gmil.com Web: http://mmf2.ogu.edu.tr/topcu Bilgisyr Destekli Nümerik Anliz Ders notlrı 204
DetaylıBÖLÜM 5. MATRİS ve DETERMİNANTLAR 5.1. MATRİSLER. Taşkın, Çetin, Abdullayeva. reel sayılardan oluşan. olmak üzere tüm a.
MTEMTİK BÖLÜM 5 Tşkın, Çetin, bdullyev MTRİS ve DETERMİNNTLR 5 MTRİSLER Tnım : mni,,, j + olmk üzere tüm ij reel syılrdn oluşn m m n n mn tblosun m x n tipinde bir mtrisi denir ve kısc şeklinde gösterilir
DetaylıMAK1010 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI
MAK00 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI Dersin Adı: MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYG. Dersin Kodu: MAK00 Dersin Türü: Zorunlu Dersin Seviyesi: Lisns 5 Dersin Verildiği Yıl: 6 Dersin Verildiği
DetaylıYILLAR ÖSS-YGS /LYS /1 0/1 ÇÖZÜM: 1) xοy A ise ο işlemi A da kapalıdır.
YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS /LYS - - - 0/ 0/ ĐŞLEM ( ) ( ) (+ ) ( ) 7 6 76+ bulunur ve e bğlı bütün tnımlı fonksionlr bir işlem belirtir i göstermek için +,,*, gibi işretler kullnılır
DetaylıBÖLÜM DETERMINANTLAR SD 1
SD 1 2. BÖLÜM DETERMINANTLAR 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11 1. Permütsyo Tım: Bir tm syılr {1, 2,, } kümesideki elemlrı tekrr olmksızı frklı sırlmlrıı düzelemesie
DetaylıÖrnek...1 : a, b ve c birbirlerinden farklı birer rakamdır. a.b+9.b c en çok kaçtır?
RAKAM Syılrı ifde etmek için kullndığımız 0,,2,3,4,5,6,7,8,9 sembollerine rkm denir. Örnek... :, b ve c birbirlerinden frklı birer rkmdır..b+9.b c en çok kçtır? DOĞAL SAYILAR N={0,,2,3...,n,...} kümesine
Detaylı1) Lineer Algebra ; Schaum s Outline of Theory and Problems, Seymour Lipschutz, McGraw-Hill International Book Company, New York, 1974.
KYNKLR ) Lineer lger ; Schum s Outline of heory n Prolems, Seymour Lipschutz, McGrw-Hill Interntionl ook Compny, New York,. ) Mtrices ; Schum s Outline of heory n Prolems, Frnk yres, McGrw-Hill Interntionl
DetaylıTEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER
TEOG Tm Syılr ve Mutlk Değer TAMSAYILAR Eksi sonsuzdn gelip, rtı sonsuz giden syılr tm syılr denir ve tm syılr kümesi Z ile gösterilir. Z = {...,,, 1,0,1,,,... } Tmsyılr kümesi ikiye yrılır: ) Negtif Tmsyılr:
DetaylıDETERMINANTLAR. 1. Permütasyon. 1. Permütasyon ) permütasyonundaki ters dönüşüm. 1. Permütasyon 2. BÖLÜM ( )
. BÖÜM. Permütsyo Tım: Bir tm syılr {,,, } kümesideki elemlrı tekrr olmksızı frklı DETERMINNTR sırlmlrıı düzelemesie permütsyo deir. Örek: {,, 3} tm syılr kümesii ltı frklı permütsyou vrdır: (,, 3), (,,
DetaylıSAYI ÖRÜNTÜLERİ VE CEBİRSEL İFADELER
ÖRÜNTÜLER VE İLİŞKİLER Belirli bir kurl göre düzenli bir şekilde tekrr eden şekil vey syı dizisine örüntü denir. ÖRNEK: Aşğıdki syı dizilerinin kurlını bulunuz. 9, 16, 23, 30, 37 5, 10, 15, 20 bir syı
Detaylı1988 ÖYS. 1. Toplamları 242 olan gerçel iki sayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 4, kalan 22 dir. Küçük sayı kaçtır?
988 ÖYS. Toplmlrı 4 oln gerçel iki syıdn üyüğü küçüğüne ölündüğünde ölüm 4, kln dir. Küçük syı kçtır? A) 56 B) 5 C) 48 D) 44 E) 40. 0,5 6 devirli (peryodik) ondlık syısı şğıdkilerden hngisine eşittir?
DetaylıDENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT
DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER. Kznım : Gerçek syılr kümesinde birinci dereceden eşitsizliğin özelliklerini belirtir.. Kznım : Gerçek
Detaylıc
Mtemt ık Ol ımp ıytı Çlışm Sorulrı c www.sbelin.wordpress.com sbelinwordpress@gmil.com Bu çlışm kğıdınd mtemtik olimpiytlrı sınvlrın hzırlnn öğrenciler ve öğretmenler için hzırlnmış sorulr bulunmktdır.
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L
T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L Contents 0.1 Determinntlr.......................... 7 0.2 Determinnt Nedir?....................... 7 0.2.1 1 1 Mtrislerin
Detaylı1993 ÖYS. 1. Rakamları birbirinden farklı olan üç basamaklı en büyük tek sayı aşağıdakilerden hangisine kalansız bölünebilir?
ÖYS. Rkmlrı birbirinden frklı oln üç bsmklı en büyük tek syı şğıdkilerden hngisine klnsız bölünebilir? D) 8 E) 7. +b= b olduğun göre, b kçtır? D) 8 E). İki bsmklı, birbirinden frklı pozitif tmsyının toplmı
DetaylıCEBİR KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
ÖABT CEBİR KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Ysin ŞAHİN ÖABT CEBİR KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hkkı sklıdır. Bu kitbın tmmı y d bir kısmı, yzrın izni olmksızın, elektronik, meknik, fotokopi
DetaylıGEO182 Lineer Cebir. Matrisler. Matrisler. Dersi Veren: Dr. İlke Deniz Derse Devam: %70. Vize Sayısı: 1
GEO182 Lineer Cebir Dersi Veren: Dr. İlke Deniz 2018 GEO182 Lineer Cebir Derse Devam: %70 Vize Sayısı: 1 Başarı Notu: Yıl içi Başarı Notu %40 + Final Sınavı Notu %60 GEO182 Lineer Cebir GEO182 Lineer Cebir
DetaylıLisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 19 Haziran Matematik Soruları ve Çözümleri
Lisns Yerleştirme Sınvı (Lys ) / 9 Hzirn Mtemtik Sorulrı ve Çözümleri. (x )(x + ) + (x )(x ) eşitliğini sğlyn x gerçel syılrının toplmı kçtır? A) B) C) 5 D) 6 5 E) 6 7 Çözüm (x )(x + ) + (x )(x ) (x ).[(x
DetaylıSAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme
SYISL ÇÖZÜMLEME Syısl Çözümleme SYISL ÇÖZÜMLEME Hft SYISL ÇÖZÜMLEMEDE HT KVRMI Syısl Çözümleme GİRİŞ Syısl nliz, mtemtik problemlerinin bilgisyr yrdımı ile çözümlenme tekniğidir Genellikle nlitik olrk
Detaylı1. x 1 x. Çözüm : (x 1 x. (x 1 x )2 = 3 2 x 2 2x = 1 x + 1 x2 = 9. x x2 = 9 x2 + 1 x2. 2. x + 1 x = 8 ise x 1 x
MC www.mtemtikclub.com, 006 Cebir Notlrı Çrpnlr Ayırm Gökhn DEMĐR, gdemir3@yhoo.com.tr Đki ifdenin çrpımı ypılırken, sonuc çbuk ulşmk için, bzı özel çrpımlrın eşitini klımızd tutr ve bundn yrrlnırız. Bu
DetaylıII. DERECEDEN DENKLEMLER
ünite DEEEDE DEKEME Dereceden Denklemler TEST 0 x x + = 0 denkleminin kökleri x ve x dir 6 x + x + x işleminin sonucu kçtır? ) B) ) D) E) x + bx + = 0 x - denkleminin reel syılrdki çözüm kümesi bir elemnlı
DetaylıDevirli Ondalık Sayıyı Rasyonel Sayıya Çevirme:
Ardışık Syılr Toplm Formülleri Ardışık syılrın toplmı: 1 + 2 + 3 +...+ n =.(+) Ardışık çift syılrın toplmı : 2 + 4 + 6 +... + 2n = n.(n+1) Ardışık tek syılrın toplmı: 1 + 3 + 5 +... + (2n 1) = n.n=n 2
DetaylıTYT / MATEMATİK Deneme - 2
TYT / MTMTİK eneme -. 7 ^7h ^h $ bulunur. evp : 6. b b c 6 c 6, b ve c nin ritmetik ortlmsı O b c 6 bulunur.. y z y z ^ h $ bulunur. evp : 7. y çift ne olurs olsun çift syı olduğundn in yd çift olduğundn
Detaylıİstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden
İsttistik I Bzı Mtemtik Kvrmlrının Gözden Geçirilmesi Hüseyin Tştn Ağustos 13, 2006 İçindekiler 1 Toplm İşlemcisi 2 2 Çrpım İşlemcisi 6 3 Türev 7 3.1 Türev Kurllrı.......................... 8 3.1.1 Sbit
DetaylıKONU ANLATIM FÖYÜ MATEMATİĞİN ALTIN ORANI MATEMATİK
Elemn: Kümey oluşturn nesneler n her b r ne, oluşturduğu kümen n elemnı den r. KÜME Özell kler y tnımlnmış çeş tl nesneler n oluşturduğu topluluğ küme den r. B r topluluğun küme bel rtmes ç n nesneler
DetaylıÇevre ve Alan. İlköğretim 6. Sınıf
Çevre ve Aln İlköğretim 6. Sınıf Çevre Merhb,ilk olrk seninle birlikte evin çevresini bulmy çlışlım Kırmızı çizgiler evin çevre uzunluğunu verir. Çevre Şimdi sır futbol shsınd Çevre Şimdi,Keloğlnın Pmuk
Detaylı0;09 0;00018. 5 3 + 3 2 : 1 3 + 2 3 4 5 1 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 136 87 0;36 0;09. 10. a = 0,39 b = 9,9 c = 1,8 d = 3,7.
MC. + + +.. Rsyonel Syılr TEST I sonsuz kesrinin eşiti kçtır? A) B) C) D) E) 4 www.mtemtikclu.com, 006 Ceir Notlrı. 8. Gökhn DEMĐR, gdemir@yhoo.com.tr 0;0 0;0008 = 0; x ise x kçtır? A) 0,0 B) 0,000 C)
DetaylıPOLİNOMLAR. Örnek: 4, 2, 7 polinomun katsayılarıdırlar. 5x, derecesi en büyük olan terim olduğundan. ifadelerine polinomun. der tür.
OLİNOMLAR o,,,... n, n birer reel syı, n bir doğl syı ve belirsiz bir elemn olmk üzere, o.. n n... n. n. biçimindeki ifdelere e göre düzenlenmiş reel ktsyılı ve bir belirsizli polinom denir. in bir polinomu,,r,t,k
Detaylı2011 RASYONEL SAYILAR
011 RASYONEL SAYILAR AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ 06.01.011 A.Tnım 3 B.Kesir 3 C.Kesir çeşitleri 3 1.Bsit kesirler 3.Birleşik kesirler 3 3. Tm syılr 3 D.Rsyonel syılrı sırlm 4 E.Rsyonel syılrd işlemler 5 1.Rsyonel
DetaylıÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen
ÇONLR Çokgenler rdışık en z üç noktsı doğrusl olmyn, düzlemsel şekillere çokgen denir. Çokgenler kenr syılrın göre isimlendirilirler. Üçgen, dörtgen, beşgen gibi. ışbükey (onveks) ve İçbükey (onkv) Çokgenler
DetaylıÜslü İfadelerde İşlemler (Temel Kurallar) - Çalışma Kağıdı Ortaokul Matematik Kafası $ = k) 81 $ 243 = Kerim Hoca. p) 125 $ 625 = w) 3
.Sınıf Mtemtik ÜSLÜ İFADELER Yyın No : / Kznım :... + Üssün Üssü ve Sırlm Bir üslü ifdenin üssü lındığınd üsler çrpılır.. Alıştırmlr Aşğıdki işlemlerin sonuçlrını üslü biçimde yzınız. y ^ h y ) ^ h b)
DetaylıAnkara Üniversitesi Mühendislik Fakültesi, Fizik Mühendisliği Bölümü FZM207. Temel Elektronik-I. Doç. Dr. Hüseyin Sarı
Ankr Üniversitesi Mühendislik Fkültesi, Fizik Mühendisliği Bölümü FZM207 Temel ElektronikI Doç. Dr. Hüseyin Srı 2. Bölüm: Dirençli Devreler İçerik Temel Yslrın Doğrudn Uygulnışı Kynk Gösterimi ve Dönüşümü
Detaylım=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir.
Matrisler Satır ve sütunlar halinde düzenlenmiş tabloya matris denir. m satırı, n ise sütunu gösterir. a!! a!" a!! a!" a!! a!! a!! a!! a!" m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. [2 3 1] şeklinde,
DetaylıSAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme
SYISL ÇÖZÜMLEME SYISL ÇÖZÜMLEME 6. Hft LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ İÇİNDEKİLER Doğrusl Deklem Sistemlerii Çöümü Mtrisi Tersi ile Bilimeyeleri Bulm Örek uygulm MTLB t mtrisi tersii (iv komutu) lm Crmer Yötemi
DetaylıBİREYSEL YARIŞMA SORULARI. IV. BAHATTİN TATIŞ MATEMATİK YARIŞMASI Bu test 30 sorudan oluşmaktadır. 2 D) a = olduğuna göre, a 1 1. 4 2 3 + 1 4.
IV. HTTİN TTIŞ MTEMTİK YRIŞMSI u test 30 sorudn oluşmktdır. İREYSEL YRIŞM SORULRI 1. 4 3 + 1 4. 3 3 + = + 1 + 1 denkleminin çözüm kümesi şğıdkilerden hngisidir? ) 5 3 ) ) 3 D) 13 3 ) { 0 } ) { 1} ) { }
Detaylı9. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.
9. HAFTA SAYISAL ANALİZ Okt. Ysin ORTAKCI ysinortkci@krbuk.edu.tr Krbük Üniversitesi Uzktn Eğitim Uygulm ve Arştırm Merkezi LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ Birinci dereceden denklem sistemleri eleminsyon ve
DetaylıRASYONEL SAYILAR. ÖRNEK: a<0<b<c koşulunu sağlayan a, b, c reel sayıları. tan ımsız. belirsiz. basit kesir
RASYONEL SAYILAR 0 ve, Z olmk üzere şeklindeki syılr rsyonel syı denir. 0 0 tn ımsız 0 0 elirsiz 0 sit kesir ileşik kesir Genişletilerek vey sdeleştirilerek elde edilen kesirlere denk kesirler denir. Sıfır
Detaylıwww.ortokulmtemtik.org BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER İçerisinde en z bir bilinmeyen bulunn eşitliklere denklem denir. Denklemde semboller y d hrfler ile gösterilen değişkenlere bilinmeyen denir. Denklemde
DetaylıÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 7. MATEMATİK YARIŞMASI. SINIF TEST SORULARI. + işleminin sonucu kçtır? 5 5 A) 0 B) 0 C) 0 7 D) 0 9 E). y = x x + prbolünün y = x doğrusun en ykın noktsının koordintlrı toplmı
Detaylısayısından en az kaç çıkarmalıyız ki kalan sayı 6,9,12 ve 15 ile kalansız bölünebilsin? ()
1. x,y,z,t rdışık çift syılrdır. Bun göre (xy)-(zt)=. İki smklı () syısının değeri, rkmlrı toplmının 7 ktıdır. Üç smklı () syısının ile ölümünden elde edilen ölüm kçtır. En z dört smklı ir doğl syının
DetaylıSAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 2 / 3
Örnek : 4 10 tbnindki (3 + 3 + 3 + 3) syisinin üç tbnindki yzilisi sgidkilerden hngisidir? A)10110 B)10001 C)1001 D)100011 E) 1100 4 (3 + 3 + 3 4 + 3) = 1 3 + 3 3 1 0 + 0 3 + 1 3 + 1 3 + 0 3 Burdn ( 10110)
Detaylı7.SINIF: ÇOKGENLER ÇOKGENDE AÇILAR. Doğrusal olmayan üç veya daha fazla noktanın birleşmesiyle oluşan kapalı geometrik şekillere çokgen denir.
7.SINIF: ÇOKGNLR oğrusl olmyn üç vey dh fzl noktnın birleşmesiyle oluşn kplı geometrik şekillere çokgen denir. n kenrlı bir çokgenin bir dış çısının ölçüsü 360/n dir. n kenrlı bir çokgenin bir iç çısının
DetaylıSunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.
Sunum ve Sistemtik ÖLÜM: ÖRTNLR LIŞTIRMLR u bşlık ltınd her bölüm kznımlr yrılmış, kznımlr tek tek çözümlü temel lıştırmlr ve sorulr ile trnmıştır. Özellikle bu kısmın sınıf içinde öğrencilerle işlenmesi
DetaylıPOLİNOMLARIN ÇARPANLARA AYRILMASI
POLİNOMLARIN ÇARPANLARA AYRILMASI Tnım: P ( ) polinomu Q ( ) polinomun bölündüğünde bölüm B ( ), Kln ( ) 0 durumd, P ( ) = Q( ). B( ) yzılır. K = olsun. Bu Q ( ) ve B ( ) polinomlrın P ( ) polinomunun
DetaylıMinör nedir? Genel olarak, n. mertebeden bir kare matris olan A matrisinin, a ij öğesinin minörünü şöyle gösterebiliriz:
Minör nedir? A = (a ij ) nxn kare matrisinde, bir a ij (1 i, 1 j n) öğesinin bulunduğu i. Satır ile j. sütunun çıkarılmasıyla elde edilen (n-1). mertebeden alt kare matrisin determinantına, A matrisinin
Detaylı4- SAYISAL İNTEGRAL. c ϵ R olmak üzere F(x) fonksiyonunun türevi f(x) ise ( F (x) = f(x) ); denir. f(x) fonksiyonu [a,b] R için sürekli ise;
4- SAYISAL İNTEGRAL c ϵ R olmk üzere F() onksiyonunun türevi () ise ( F () = () ); Z ` A d F ` c eşitliğindeki F()+c idesine, () onksiyonunun elirsiz integrli denir. () onksiyonu [,] R için sürekli ise;
DetaylıTYT / MATEMATİK Deneme - 6
. Herbir hücrenin sol üst köşesinde kreler içine yzıln syılrın işlemin sonucunu verdiğine dikkt ederek syılrı yerleştirmeliyiz. 7 6 T N M 5 6 T X. ^ h ^ h bulur. M N. 0 6 6 6 0 5 5 5 6 6 5 5 ^5h ^5h ^h
DetaylıLYS 2016 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ
LYS 06 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ 6.. 5. 5. ( ) 8 6 65 buluruz. 5. 5 5 Doğru Cevp: C Şıkkı 8 7 ()... 9 buluruz. Doğru Cevp : D Şıkkı 9 8 8 9 8 9 8 9 9 9 9 9 8 buluruz. 8 8 8 8 8 Doğru Cevp : A Şıkkı (n )! (n
Detaylı( ) ( ) ( ) Üslü Sayılar (32) 2. ( ) ( 2 (2) 3. ( ) ( ) 3 4. ( 4 9 ) eşitliğini sağlayan a değeri kaçtır? (0) 0,6 0,4 : 4,9 =?
Üslü Sılr. +.4 8 (8) 4. ( ) (. ). ( ) 4 6 ( ) :( ) () + + 5..4. ( ) ( ) () 4. 5 5 ( 4 9 ) 5. 9 + + 9 = + eşitliğini sğln değeri kçtır (0) 6. ( ) ( ) ( ) 0,6 0,4 : 4,9 (-6) 4 8.. c 7. 4.. c ( c ) 8. 6 8
DetaylıİÇİNDEKİLER SAYISAL YETENEK SÖZEL YETENEK
İÇİNDEKİLER SAYISAL YETENEK Mtemtiğe Giriş... 1 Temel Kvrmlr... 9 Doğl Syılrd Bölme İşlemi... 65 EBOB - EKOK... 93 Rsyonel Syılr... 111 Bsit Eşitsizlikler... 131 Mutlk Değer... 151 Çrpnlr Ayırm... 169
DetaylıORAN ORANTI. Örnek...1 : Örnek...4 : Örnek...2 : Örnek...5 : a 1 2 =2b+1 3 =3c 4. Örnek...6 : Bir karışımda bulunan a, b ve c maddeleri arasında
ORAN ORANTI syısının 0 dn frklı oln b syısın ornı :b vey olrk gösterilir. b İki vey dh fzl ornın eşitlenmesiyle oluşn ifdeye orntı denir. b =c d ifdesine ikili orntı denir. Bir orntı orntı sbitine eşitlenerek
DetaylıCebirsel ifadeler ve Özdeslik Föyü
6 Ceirsel ifdeler ve Özdeslik Föyü KAZANIMLAR Bsit ceirsel ifdeleri nlr ve frklı içimlerde yzr. Ceirsel ifdelerin çrpımını ypr. Özdeslikleri modellerle çıklr. 06 8. SINIF CEBiRSEL ifadeler VE ÖZDESLiK
DetaylıLOGARİTMA. Örnek: çizelim. Çözüm: f (x) a biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel. aşağıda verilmiştir.
LOGARİTMA I. Üstl Fonksiyonlr v Logritmik Fonksiyonlr şitliğini sğlyn dğrini bulmk için ypıln işlm üs lm işlmi dnir. ( =... = 8) y şitliğini sğlyn y dğrini bulmk için ypıln işlm üslü dnklmi çözm dnir.
DetaylıLYS Matemat k Deneme Sınavı
LYS Mtemtk Deneme Sınvı 8. sısının pozitif tek tmsı bölenlerinin sısı kçtır? 8. olmk üzere; kesrinin değeri şğıdkilerden hngisi olmz?. (8!) sısının sondn kç bsmğı sıfırdır? 8. ifdesinin sonucu kçtır? (
DetaylıDRC. 4. Sekiz basamaklı herhangi bir özel sayı x = abcdefgh olsun. Deneme - 2 / Mat. c m. m m. y Cevap A. Cevap D 21, 25, = = =. 21.
Deneme - / Mt MATMATİK DNMSİ. - + -. 0,.., f -, 0, p. 0,. c- m.,,. ^- h.. 7. ^- h 7 - ulunur. +. c m olur.. + + ulunur. ( ) c m + c m. cc m m. c m.. ulunur. evp evp. Sekiz smklı herhngi ir özel syı cdefgh
DetaylıDRC üst taban, 6 alt taban olmak üzere 12 mavi kare vardır. 4. Sekiz basamaklı herhangi bir özel sayı x = abcdefgh olsun. Deneme - 2 / Mat.
Deneme - / Mt MATEMATİK DENEMESİ. 6 üst tn, 6 lt tn olmk üzere mvi kre vrdır. Ypının tüm yüzeyi kreden oluştuğun göre, 6 7. 0,.., f -, 0, p. 0,. c- m.,,. ^- h.. 7. ^- h 7 - ulunur. +. c m olur. ( ) 9 c
DetaylıAkademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal II / 27 Kasım Matematik Sorularının Çözümleri
Akdemik Personel ve Lisnsüstü Eğitimi Giriş Sınvı ALES / Sonbhr / Syısl II / 7 Ksım 0 Mtemtik Sorulrının Çözümleri. Bölüm şeklindeki kreköklü ifdenin pydsını krekökten kurtrmk için py ve pydyı, pydnın
DetaylıA, A, A ) vektör bileşenleri
Elektromnetik Teori hr 006-007 Dönemi VEKTÖR VE SKLER KVRMI Mühendislik, fiik ve geometri ugulmlrınd iki türlü büüklük kullnılır: skler ve vektör. Skler, sdece büüklüğü oln niceliklerdir. elli bir ölçeği
Detaylı1990 ÖYS 1. 7 A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 52 B) 54 C) 55 D) 56 E) 57
99 ÖYS. si oln si kçtır? A) 9 B) 8 C) D) 6 E) 5 6. Bir nın yşı, iki çocuğunun yşlrı toplmındn üyüktür. yıl sonr nın yşı, çocuklrının yşlrı toplmının ktı olcğın göre ugün kç yşınddır? A) 5 B) 5 C) 55 D)
Detaylı1 a) TEVENİN (THEVENIN) TEOREMİNİN DENEYSEL OLARAK DOĞRULANMASI. Amaç: Tevenin teoremini doğrulamak ve yük direnci üzerinden akan akımı bulmak.
1 ) TEVENİN (THEVENIN) TEOREMİNİN DENEYSEL OLARAK DOĞRULANMASI Amç: Tevenin teoremini doğrulmk ve yük direnci üzerinden kn kımı ulmk. Gerekli Ekipmnlr: DA Güç Kynğı, Ampermetre, Voltmetre, Dirençler, Dizilim
Detaylı2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü,
005 ÖSS SIN KPYSI SYISL ÖLÜM İKKT! U ÖLÜME EVPLYĞINIZ TPLM SRU SYISI 90 IR. İlk 45 Soru Son 45 Soru Mtemtiksel İlişkilerden Yrrlnm Gücü, Fen ilimlerindeki Temel Kvrm ve İlkelerle üşünme Gücü ile ilgilidir.
DetaylıİKİ DEĞİŞKENLİ ARİTMETİK FONKSİYONLAR. Funda ÇETİN YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HAZİRAN 2007 ANKARA
İKİ DEĞİŞKENLİ ARİTMETİK FONKSİYONLAR Fund ÇETİN YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HAZİRAN 2007 ANKARA iv İKİ DEĞİŞKENLİ ARİTMETİK FONKSİYONLAR (Yüksek Lisns Tezi)
DetaylıLYS Matemat k Deneme Sınavı
LYS Mtemtk Deneme Sınvı. İki bsmklı bir sının rkmlrı toplmı dir. Rkmlrı er değiştirdiğinde elde edilen sı, ilk sının sinden fzldır.. Birbirinden frklı tne pozitif tmsının OKEK i olduğun göre, en çok kçtır?
DetaylıORAN ORANTI. Örnek...1 : Örnek...4 : Örnek...2 : Örnek...5 : a 1 2 =2b+1 3 =3c 4. Örnek...6 : Bir karışımda bulunan a, b ve c maddeleri arasında
ORAN ORANTI syısının 0 dn frklı oln b syısın ornı :b vey olrk gösterilir. b İki vey dh fzl ornın eşitlenmesiyle oluşn ifdeye orntı denir. b =c d ifdesine ikili orntı denir. Bir orntı orntı sbitine eşitlenerek
DetaylıHİPERBOL. Merkezi O noktası olan hiperbole merkezil hiperbol denir. F ve F' noktalarına hiperbolün odakları denir.
Merkezi Hiperoll HİPERBL Merkezi noktsı oln hiperole merkezil hiperol denir. F ve F' noktlrın hiperolün odklrı denir. dklr rsı uzklık FF' dir. odklr rsı uzklık e sl eksen uzunluğu değerine hiperolün dış
DetaylıCebir Notları Mustafa YAĞCI, Eşitsizlikler
www.mustfygci.com.tr, 4 Cebir Notlrı Mustf YAĞCI, ygcimustf@yhoo.com Eşitsizlikler S yılr dersinin sonund bu dersin bşını görmüştük. O zmnlr dın sdece birinci dereceden denklemleri içeren mnsınd Bsit Eşitsizlikler
Detaylıa üstel fonksiyonunun temel özellikleri şunlardır:
1 Üstel Fonksiyon: >o, 1 ve herhngi bir reel syı olmk üzere f: fonksiyon denir. R fonksiyonun üstel R, f()= 1 2, f()= ve f()= f()= gibi tbnı sbit syı (pozitif ve 1 den frklı) ve üssü 4 değişken oln bu
DetaylıVektörler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Yrd.Doç.Dr.Nevin MAHİR
Vektörler zr rd.doç.dr.nevin MAHİR ÜNİTE 3 Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; Düzlemde vektör kvrmını öğrenecek, İki vektörün eşitliği, toplmı, doğrusl bğımlılığı ile bir vektörün bir gerçel syı ile çrpımı,
DetaylıKomisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME SINAVI ISBN 978-605-364-027-1. Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir.
Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 0 DENEME SINAVI ISBN 97-0--07- Kitpt yer ln ölümlerin tüm sorumluluğu yzrın ittir. Pegem Akdemi Bu kitın sım, yyın ve stış hklrı Pegem Akdemi Yy. Eğt. Dn. Hizm. Tic. Ltd. Şti
Detaylıİlişkisel Veri Modeli. İlişkisel Cebir İşlemleri
İlişkisel Veri Modeli İlişkisel Cebir İşlemleri Veri işleme (Mnipultion) işlemleri (İlişkisel Cebir İşlemleri) Seçme (select) işlemi Projeksiyon (project) işlemi Krtezyen çrpım (crtesin product) işlemi
DetaylıMAT 202 SAYISAL YÖNTEMLER. Bahar Hafta 1. Bu Hafta. Ders Hakkında Bilgiler. Özet. Ders Hakkında Genel Bilgiler. Matris işlemlerine giriş
MAT 202 SAYISAL YÖNTEMLER Bhr 2005-2006 Hft Bu Hft Özet Ders Hkkıd Geel Bilgiler Mtris işlemlerie giriş 2 Öğretim Üyesi: Öğr. Gör. Od No: 442, Tel: 293 3 00 / -- E-mil: ltuger@itu.edu.tr Ders Stleri: Slı
Detaylı3. BÖLÜM MATRİSLER 1
3. BÖLÜM MATRİSLER 1 2 11 21 1 m1 a a a v 12 22 2 m2 a a a v 1 2 n n n mn a a a v gibi n tane vektörün oluşturduğu, şeklindeki sıralanışına matris denir. 1 2 n A v v v Matris A a a a a a a a a a 11 12
DetaylıAlgoritma Geliştirme ve Veri Yapıları 4 Algoritma ve Yazılımın Şekilsel Gösterimi. Mustafa Kemal Üniversitesi
Algoritm Geliştirme ve Veri Ypılrı 4 Algoritm ve Yzılımın Şekilsel Gösterimi Mustf Keml Üniversitesi Algoritm ve Yzılımın Şekilsel Gösterimi Algoritmik progrm tsrımı, verilen ir prolemin ilgisyr ortmınd
DetaylıFONKSĐYONLAR MATEMATĐK ĐM. Fonksiyonlar YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011
YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - LYS - - - - - - - - FONKSĐYONLAR A ve B oşn frklı iki küme olsun A dn B ye tnımlı f fonksiyonu f : A B ile gösterilir A y tnım kümesi, B ye
DetaylıMustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası
Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr, 11 Ceir Notlrı Mustf YĞCI, gcimustf@hoo.com Prolün Tepe Noktsı Ö nce ir prolün tepe noktsı neresidir, onu htırltlım. Kc, prolün rtmktn zlm ve zlmktn rtm geçtiği nokt dieiliriz.
DetaylıLYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖETLİ ÇÖÜMLÜ SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Limit Kvrmı ve Grfik Sorulrı... Limitle İlgili Bzı Özellikler...7 Genişletilmiş Reel Sılrd Limit... Bileşke Fonksionun Limiti...
DetaylıTEST. Rasyonel Sayılar. 1. Aşağıdaki bilgilerden hangisi yanlıştır? 2. Aşağıda verilen, 3. Aşağıdaki sayılardan hangisi hem tam sayı,
Rsyonel Syılr. Sınıf Mtemtik Soru Bnksı TEST. Aşğıdki bilgilerden hngisi ynlıştır? A) Rsyonel syılr Q sembolü ile gösterilir. B) Her tm syı bir rsyonel syıdır. şeklinde yzıln bütün syılr rsyoneldir. b
Detaylı14) ( 2) 6 üslü sayısının kesir olarak yazılışı A) ) 2 3 sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 16) -6 2 üslü sayısının eşiti kaçtır?
ÜSLÜ SAYILAR KAZANIM PEKİŞTİRME SORULARI ) üslü syısı şğıdkilerden hngisine eşittir? 6 9 7 ) +++++++ işleminin sonucu şğıdkilerden hngisi ile ifde edilebilir?. + )... işleminin sonucu şğıdkilerden hngisi
DetaylıVEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT
VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VEKTÖRLER. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. YÖNLÜ
DetaylıDENEY 6 THEVENIN, NORTON, DOĞRUSALLIK VE TOPLAMSALLIK KURAMLARININ UYGULAMALARI
T.C. Mltepe Üniversitesi Mühendislik ve Doğ Bilimleri Fkültesi Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü ELK 201 DEVRE TEORİSİ DERSİ LABORATUVARI DENEY 6 THEVENIN, NORTON, DOĞRUSALLIK VE TOPLAMSALLIK KURAMLARININ
Detaylı2.3. MATRİSLER Matris Tanımlama
2.3. MATRİSLER 2.3.1. Matris Tanımlama Matrisler girilirken köşeli parantez kullanılarak ( [ ] ) ve aşağıdaki yollardan biri kullanılarak girilir: 1. Elemanları bir tam liste olarak girmek Buna göre matris
DetaylıLisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 16 Haziran Matematik Sorularının Çözümleri. sayısının 2 sayı tabanında yazılışı =?
Lisns Yerleştirme Sınvı (Ls ) 6 Hirn Mtemtik Sorulrının Çöümleri 8 sı tnınd verilen ( ) 8 sısının sı tnınd ılışı? Bu durumd ( ) 8 sısı önce tnın çevrilir Sonr tnınd ılır ( ) 8 8 8 8 Bun göre ( ) 8 ( )
DetaylıÜslü Sayılar MATEMATİK. 5.Hafta. Hedefler. Öğr.Gör. Esrin PALAS BOZKURT Öğr.Gör. Muhsin ÇELİK. Bu üniteyi çalıştıktan sonra;
MATEMATİK Üslü Syılr Öğr.Gör. Esrin PALAS BOZKURT Öğr.Gör. Muhsin ÇELİK 5.Hft Hedefler Bu üniteyi çlıştıktn sonr; Gerçel syılrd üslü işlemler ypbilecek, Üslü denklem ve üslü eşitsizlikleri çözebileceksiniz.
DetaylıKapalılık (closure) Birleşme özelliği (associative law) Yer değiştirme özelliği (commutative law) Ters (inverse) Dağılım özelliği (distributive law)
Temel Tnımlr BİL 201 Boole Ceiri ve Temel Geçitler (Boolen Alger & Logic Gtes) Bilgisyr Mühendisligi Bölümü Hcettepe Üniversitesi Kplılık (closure) Birleşme özelliği (ssocitive lw) Yer değiştirme özelliği
DetaylıBu ürünün bütün hakları. ÇÖZÜM DERGİSİ YAYINCILIK SAN. TİC. LTD. ŞTİ. ne aittir. Tamamının ya da bir kısmının ürünü yayımlayan şirketin
Bu ürünün ütün hklrı ÇÖZÜM DERGİSİ YAYINCILIK SAN. TİC. LTD. ŞTİ. ne ittir. Tmmının y d ir kısmının ürünü yyımlyn şirketin önceden izni olmksızın fotokopi y d elektronik, meknik herhngi ir kyıt sistemiyle
Detaylı3. BOOLE CEBRĐ A Z. Şekil 3-3 DEĞĐL işleminin anahtar devrelerindeki karşılığı
3. BOOLE CEBRĐ B Z 1854 yılınd mtemtikçi ve filozof George Boole, mntığın sistemtik olrk inelenmesi için şimdi Boole eri dediğimiz ir eir sistemi geliştirdi. Sonr 1938 yılınd C. E. Shnnon, nhtrlm eri denilen
DetaylıÖ.Y.S. 1998. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ
Ö.Y.S. 998 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Üç bsmklı bir doğl syısının ktı, iki bsmklı bir y doğl syısın eşittir. 7 Bun göre, y doğl syısı en z kç olbilir? A) B) C) 8 D) E) Çözüm y 7 7y (, en küçük bsmklı,
Detaylı