Tek yönlü VA için seçenek bir test yöntemi ve geliştirilen bilgisayar yazılımı

Transkript

1 İstatstçler Dergs (008) 75-8 İstatstçler Dergs Te yönlü VA çn seçene br test yöntem ve gelştrlen blgsayar yazılımı Engn Yıldıztepe Douz Eylül Ünverstes Fen-Edebyat Faültes İstatst Bölümü Kaynalar Yerleşes 3560, Buca, İzmr,Türye A. Fırat Özdemr Douz Eylül Ünverstes Fen-Edebyat Faültes İstatst Bölümü Kaynalar Yerleşes 3560, Buca, İzmr, Türye Özet Olduça genş uygulama alanlarına sahp olan te yönlü varyans çözümlemes yöntem, özellle dengesz deney düzenlernde sabt varyanslılı varsayımının sağlanmamasından ço etlenr. Bu etlenme, deneyde terar sayısı ve tle varyansı eşleşmesne göre farlı yönlerde olma üzere, araştırmacı tarafından belrlenen nomnal anlam düzeynden sapma bçmnde gerçeleşr (Harwell, M.R. ve dğerler, 99; Lx, L.M. ve dğerler, 996). Bu çalışmada Özdemr ve Kurt (006) tarafından eten düzeyler özel seçlmş te yönlü varyans çözümlemesnde değşen varyanslılı durumunda ullanılma üzere önerlen B test yöntemne ullanım olaylığı sağlama amacıyla gelştrlen br özel yazılım tanıtılacatır. Bu yazılım adresnden temn edleblr. Anahtar sözcüler: ANOVA; Değşen varyanslılı; B test, İstatst yazılımı. Abstract An Alternatve Test for One Way ANOVA and Specal Software One way analyss of varance whch has a wde applcaton area s very senstve to nequalty of varance problem especally when the desgn s unbalanced. The mpact of ths assumpton volaton gve rse to an ncrease or decrease n nomnal sgnfcance level whch s determned by the researcher dependng on the parng of number of replcaton and populaton varances (Harwell, M.R. et al., 99; Lx, L.M. et al., 996). In ths study, a specal software has been presented whch was developed n order to ease the applcaton of B test whch was proposed by Özdemr and Kurt (006) to create an alternatve when there s a nequalty of varance problem n one way ANOVA. Ths software s avalable at Keywords: ANOVA; Heteroscedastcty; B test; Statstcal software.. Grş Varyans çözümlemes genellle den fazla tle ortalamasının eştlğ test edlren yararlanılan br yöntemdr. Burada test edlen hpotez, H H : μ μ... μ 0 : μ μ * en az br,* çft çn

2 E. Yıldıztepe, A. F. Özdemr / İstatstçler Dergs (008) bçmnde urulur. Bu hpotez, cevap değşennde (Y) gözlenen toplam değşm varyans çözümlemes yardımıyla, GKT HKT DKT n n ( Y ) ( ) ( ) j Y.. Yj Y. n Y. Y.. j j () olara ısma ayrıldıtan sonra tüm,,..., üzere n ( Y Y ) n ( Yj Y. ) j... ( ) ( N ) Y ~ NID μ, j,,..., n olma düzeyler çn j ( ) DKO ~ F (), N bçmnde tanımlanan test statstğne sahp F test le test edlr. F test nn uygulanablmes çn Gözlemlern brbrnden bağımsız elde edlmes Gözlemlern elde edldğ tle dağılımlarının normal dağılıma uyması Gözlemlern elde edldğ tle dağılımlarına at varyansların homojen olması varsayımlarının sağlanması gerer. Her br deneme le elde edlen gözlemlern çeldğ tle varyanslarının homojen olmaması durumu farlı varyanslılı ( heteroscedastcty ) olara adlandırılır. Farlı varyanslılı durumunda, dğer varsayım sağlanıyorsa deneyde cevap değşennn dağılımı tüm,,..., Y ~ NID μ, j,,..., n bçmnde olur. Farlı varyanslılı düzeyler çn j ( ) durumunda arşılaşılan temel sorundan l F testne at test statstğnn dağılımının F, N dağılımına uymaması, ncs se araştırmacı tarafından belrlenen anlam düzeynn test sonunda orunamamasıdır.. Farlı varyanslılı durumunda F oranının dağılımında gözlenen değşm DKO Farlı varyanslılı durumunda oranının dağılımı onusunda yapılan en yetn çalışma (Box, 954) dr [9]. Box, farlı varyanslılı durumunda, deneme ve hata arelerne at aresel bçmlern dağılımında gözlenen değşm te yönlü varyans çözümlemesne uyarlamış ve b N N ( ) ( n ) DKO oranının ( N n ) ( N n ) ( n ) ' h n N ( N n ) 4 h ( n ) 4 (3) değerler le bf, h ' h dağılımına yalaştığını belrtmştr.

3 E. Yıldıztepe, A. F. Özdemr / İstatstçler Dergs (008) Araştırmacı tarafından belrlenen anlam düzey (nomnal) le gerçeleşen anlam düzey (actual) arasında far Düzenlenen deney sonunda elde edlen gözlem değerler, varyans çözümlemes ve F test le çözümlendğnde farlı varyanslılı durumu le arşılaşılırsa, gerçeleşen anlam düzey bazı durumlarda belrlenen anlam düzeynn 3 ya da 4 atına adar yüseleblren bazı durumlarda se bu düzeyn ço altında alablr []. İl durumda araştırmacı, göze aldığı I.Tp hata yapma rsnn 3 4 atı daha fazla br rs le arşı arşıya oluren gerçete doğru olan ve reddedlmemes gereen H 0 : μ μ... μ hpotez, farlı varyanslılı problem nedenyle reddedleblr. İnc durumda se II. Tp hata yapma olasılığı artacağından gerçete denemeler arasında var olan farlar yaalanamayablr. Belrlenen anlam düzey le gerçeleşen anlam düzey arasında far tle varyansları ve her deneme le yapılan terar sayılarına bağlıdır. Farlı varyanslılığın, F test sonuçları üzernde etlern görme çn büyü örnelem genşlğ durumuna yan F oranını oluşturan DKO ve değerlernn belenen değerlerne bama gerer [9].,,..., tle varyansları olma üzere hata areler ortalamasının belenen değer E N n ( ) E ( Y.) ( ) j Y n j N (4) bçmndedr. N ( n ) olduğu çn bu değer ( ) n ağırlıları le değerlernn br ağırlılı ortalamasıdır. H 0 ın doğruluğu altında deneme areler ortalamasının belenen değer se E ( DKO) E n ( Y. Y.. ) N ( ) n E Y ( μ) NE( Y μ) n N n. ( N n ) bçmndedr. Bu değer de ( ) n n N.. N ağırlıları le değerlernn ağırlılı ortalamasıdır. (5) Her deneme le eşt sayıda terarın yapıldığı dengel deney düzenlernde H 0 hpotez doğru se E ( ) E( DKO) olacağı çn farlı varyanslılığın ets Var(DKO) değernn ncelenmes le gözleneblr. Bu değer

4 E. Yıldıztepe, A. F. Özdemr / İstatstçler Dergs (008) ( ) ( ) ( ) Var DKO 4 (6) ( ) bçmndedr. Ktle varyanslarının homojen olması durumunda parantez çnde değer e eşt oluren farlı varyanslılı durumunda den büyü çıar. Farlı varyanslılı, Var(DKO) nun alacağı değern, homojen varyanslılı durumuna göre daha büyü olmasına neden olur. F dağılımı te uyrulu br dağılım olduğu çn Var(DKO) nun büyümes E(DKO) nun büyümesne bu da F oranının büyümesne neden olacatır [9]. Dengel deney düzenler çn farlı varyanslılı durumunda F oranının payı paydasından daha büyü değer alma eğlm gösterr. Bunun sonucu olara da gerçeleşen anlam düzey, belrlenen anlam düzeynden daha büyü çıar ve test, lberal br eğlm gösterr. Anca farlı varyanslılı nedenyle belrlenen anlam düzeynn orunamaması sorunu, dengesz deney düzenlernde olduğu adar cdd boyutta değldr [, 0]. Dengesz deney düzenlernde farlı varyanslılığın etsn nceleme çn uç durum ele alınmalıdır. Bunlardan brncs lteratürde aynı yönde eşleşme (AYE) olara adlandırılan varyansı büyü olan tleye at deneme le yapılan terar sayısının büyü, varyansı üçü olan tleye at deneme le yapılan terar sayısının üçü olması durumudur. Bu durumda Eştl (4) te verlen E() da büyü varyansın ağırlığı büyü oluren Eştl (5) te verlen E(DKO) da üçü varyansın ağırlığı büyü olmatadır. Bunun DKO sonucunda olara tanımlanan F oranının payı, paydasından daha üçü değerler alma eğlm gösterece ve gerçeleşen anlam düzey, belrlenen anlam düzeynden daha üçü çıacatır. F test, farlı varyanslılığın gözlendğ ve aynı yönde eşleşmenn olduğu dengesz deney düzenlernde tutucu eğlm gösterr ve bunun sonucu olara gerçete denemeler arasında olan anlamlı farlar bulunamayablr [3, 5]. Dengesz deney düzenlernde ncelenmes gereen nc uç durum se lteratürde ters yönde eşleşme (TYE) olara adlandırılan, varyansı büyü olan tleye at deneme le yapılan terar sayısının üçü, varyansı üçü olan tleye at deneme le yapılan terar sayısının büyü olması durumudur. Bu durumda Eştl (4) te verlen E() da büyü varyansın ağırlığı üçü oluren Eştl (5) te verlen DKO E(DKO) da büyü varyansın ağırlığı büyü olmatadır. Bunun sonucunda olara tanımlanan F oranının payı, paydasından daha büyü değerler alma eğlm gösterece ve gerçeleşen anlam düzey, belrlenen anlam düzeynden daha büyü çıacatır. F test, farlı varyanslılığın gözlendğ ve ters yönde eşleşmenn olduğu dengesz deney düzenlernde lberal eğlm gösterr ve bunun sonucu olara denemeler arasında gerçete anlamlı olmayan farlar bulunablr [3, 5]. Uygulamada, hang denemeye at tle varyansının büyü, hang denemeye at tle varyansının üçü olduğunun blnmes elbette mümün değldr. Burada, F testnn farlı varyanslılıtan en ço etlendğ uç durum üzernde durulmuştur. Lteratürde, farlı varyanslılı sorununa çözüm olara önerlen yalaşımlar değerlendrlren, özellle bu uç durumda performanslar göz önüne alınmatadır.. Yen ve bast br çözüm öners Özel seçml deneyler çn, te yönlü varyans çözümlemesnde farlı varyanslılı sorununa çözüm olara gelştrlen yalaşımları, Ver dönüşümler Yalaşı (approxmate) testler Tam (exact) testler Parametr olmayan testler Ağırlılı en üçü areler tahmn yöntem

5 E. Yıldıztepe, A. F. Özdemr / İstatstçler Dergs (008) Güçlü (robust) statstsel yöntemler bçmnde 6 ana başlıta gruplandırma mümündür. Bu bölümde anlatılaca yalaşım yalaşı testler grubuna dâhldr. düzeynn özel olara seçldğ ve bu düzeylere (denemelere) at tle dağılımlarının normal olduğu te etenl br deneyden elde edlen Y j (,,..., ; j,,..., n ) gözlemler le hesaplanan deneme ortalamaları Y. ve bu ortalamalara at standart hatalar da n ( Y. ) j Y j SY. n ( n ),,..., (7) olsun. Her,,..., denemes çn ω olaca şelde, ω S Y. S Y. (8) ağırlıları hesaplansın. Hesaplanan ω ağırlıları ve Y. deneme ortalamaları ullanılara Y ω Y. (9) bçmnde tanımlanan br ağırlılı ortalama hesaplansın. Y ağırlılı ortalama değer, μ genel ortalamanın varyans ağırlılı br tahmndr. Bu değerler ullanılara hesaplanan t Y. Y S Y. (0) statstğnn dağılımı ν n serbestl derecel Student t dağılımına uyar. Bu aşamada, hesaplanan her br t değerne, Baley tarafından Student t dağılan rassal değşenler üzernde ullanılma üzere önerlen

6 E. Yıldıztepe, A. F. Özdemr / İstatstçler Dergs (008) z ( z 3) 5 c 4ν ± 4 c 4ν ν ( 4z 9) ν t ln ν ~ N ( 0,) () bçmnde loal tam normall dönüşümü uygulanır []. Burada z c değer, standart normal dağılımda araştırmacının belrledğ anlam düzeynn yarısına (α / ) arşılı gelen rt değere eşttr ( α se z c.96 ). Dönüşümden sonra elde edlen z değerlernn areler alınara B ( z 3) Y. 5 Y c 4 ν 4. ln SY z ν ( 4 9) zc 4 ν ν ν () bçmnde tanımlanan, dağılımı - serbestl derecel χ dağılımına yalaşan ve tarafımızdan B olara smlendrlen statst hesaplanır. Hesaplanan bu değer, H 0 : μ μ... μ hpotez reddedlr. χ, α tablo değern geçerse 3. B test yazılımı Te yönlü sabt etl deney düzenlernden elde edlen sonuçların çözümlenmesnde farlı varyanslılı sorununun gderlmes amacıyla gelştrlmş B Test ne [8] at test statstğ hesaplanıren Baley tarafından 980 yılında önerlen loal tam normall dönüşümünden yararlanılır. İşlem yüünün haffletlmes çn bazı tablolar üretlmşse de hesaplamaların br blgsayar yazılımı le yapılmasının uygulamacılar açısından olaylı sağlayacağı düşünülmüştür ve bu amaçla B Test yazılımı gelştrlmştr. B Test yazılımı Delph 7.0 uygulama gelştrme aracı le gelştrlmştr. 3.. B test yazılımı ver grş Kullanıcılar grup ve terar sayılarını belrtere ver grş yapableceler gb metn dosyalarında bulunan verler de ullanablrler. Yazılım çalıştırıldığında l olara ullanıcıdan ver aynağının seçlmesn ster. Eğer verler br dosyada ayıtlı se Dosyadan seçeneğ seçlere Tamam butonuna basılır, böylece ullanıcılar verler çeren csv uzantılı (verler vrgülle ayrılmış) dosyalarını, açılan form le seçeblrler. Grup ve terar sayılarını belrtere ver grş çn Ver Grş seçeneğ şaretlenmeldr. Daha sonra atf hale gelen Grup Sayısı ve Terar Sayısı alanlarına deneyde grup sayısı ve terar sayısı yazılablr. Ver Grş seçeneğn şaretleyen ullanıcı Grup Sayısı ve Terar Sayısı alanlarını boş geçemez ve bu alanlara den üçü br sayı gremez. Bu alanlarda belrttğ grup ve terar sayılarına göre, verler açılan ana form üzernde tabloya greblr. Yazılımdan, dengesz deneylerden elde edlen verlern çözümlenmesnde de yararlanılablr. Bunun çn ver grşnde terar sayısı olara masmum terar sayısı belrtlmel ve terar sayısı es olan hücreler boş bıraılmalıdır.

7 E. Yıldıztepe, A. F. Özdemr / İstatstçler Dergs (008) Şel. Ver aynağı seçm 3.. B test yazılımı ullanım Ver grş tamamlandıtan sonra ullanıcı test statstğn hesaplattırablr. Testn anlam düzey formun üst ısmında lste utusundan seçleblr. Varsayılan değer 0,05 dr. Test sonuçlarını elde etme çn formun üst ısmında B Test butonu veya menüden İşlem Test değern hesapla seçeneğ ullanılablr. Şel. B test ana form χ Formun sağ tarafında test statstğ ve, α değerne göre arşılaştırılara verlen arar gösterlr. Testn sonuçları formun sağ tarafında edtörden opyalanablr, metn dosyası olara aydedleblr. Kullanıcı sadece sonuçları değl tabloya grdğ verler de csv uzantılı dosya olara aydedeblr. B Test yazılımı adresnden temn edleblr.

8 E. Yıldıztepe, A. F. Özdemr / İstatstçler Dergs (008) Şel 3. Kaydetme seçeneler 4. Sonuç B Test, tle dağılımı normal olduğunda te yönlü sabt etl deney düzenlernde, değşen varyanslılı nedenyle gerçeleşen anlam düzeynn nomnal anlam düzeynden sapmasını ontrol edeblen br testtr. Değşen varyanslılı problem olmadığı durumlarda se verdğ sonuçlar, F Test sonuçları le uyum göstermetedr. Burada hazırlanan yazılım, eşt ya da farlı deneme ve terar sayıları le B Test n değşen varyanslılı durumunda seçene br test olara ullanma steyen uygulamacılar çn büyü ullanım olaylığı sağlamıştır. Kaynalar [] Baley, B.J.R. (980), Accurate normalzng transformatons of Student s t Varate, Appled Statstcs, 9, [] Box, G.E.P. (954). Some theorems on quadratc forms appled n the study of analyss of varance problems, Annals of Mathematcal Statstcs, 5, [3] Brown, M.B., & Forsythe, A.B. (974). The small sample behavor of some statstcs whch test equalty of several means, Technometrcs, 6, 9 3. [4] Cantu, M. (003). Masterng Delph 7. CA:Sybex. [5] Clnch, J. J., & Keselman, H. J. (98). Parametrc alternatves to the analyss of varance, Journal of Educatonal Statstcs, 7, [6] Harwell, M.R., Rubnsten, E.N., Hayes, W.S., Olds, C.C. (99). Summarzng Monte Carlo results n methodologcal research: The one and two factor fxed effects ANOVA cases, Journal of Educatonal Statstcs, 7, [7] Lx, L.M., Keselman, J.C., Keselman, H.J. (996). Consequances of Assumpton Volatons Revsted: A Quanttatve Revew of Alternatves to the One-Way Analyss of Varance F Test, Revew of Educatonal Research, 4, [8] Özdemr, A.F. & Kurt, S. (006). One Way Fxed Effect Analyss of Varance Under Varance Heterogenety And A Soluton Proposal, Selçu Journal Of Appled Mathematcs, 7, 8 9. [9] Rupert, G., & Mller, J.R.(986). Beyond ANOVA, bascs of appled statstcs. Newyor: John Wley & Sons. Inc. [0] Scheffe, H. (959). The Analyss of Varance. Newyor: John Wley & Sons.Inc. [] Wlcox, R.R., Charln, V.L., & Thompson, K.L. (986). New Monte Carlo results on the robutness of the ANOVA F, W and F* statstcs, Communcatons n Statstcs: Smulaton and Computaton, 5,