UYUŞUMSUZ ÖLÇÜ ANALİZİNDE ROBUST KESTİRİM VE L1 NORM YÖNTEMLERİ

Transkript

1 MMOB Hara ve Kadasro Mühedsler Odası. ürkye Hara Blmsel ve ekk Kurulayı 5 Mayıs 009, Akara UYUŞUMSUZ ÖLÇÜ ANALİZİNDE ROBUS KESİRİM VE L NORM YÖNEMLERİ Y. Şşma, S. Bekaş, Ö. Yıldırım Odokuz Mayıs Üverses Müh. Fak. Jeodez ve Foogramer Mühedslğ, Samsu. yssma@omu.edu.r, sbekas@omu.edu.r apu ve Kadasro Geel Müdürlüğü, Geodesy ve Foogramer Dares, Akara, omeryldrm00@mye.com ÖZE Uygulamalı blmlerde çözüm ç kullaıla ölçü grubuda uyuşumlu ve uyuşumsuz ölçüler br arada buluur. Gerçeğe e yakı çözümü bulmak ç yapıla degeleme hesabı le ayı zamada ölçüler de uyuşumlu ve uyuşumsuz olarak ayrılablmeldr. Ölçü grubudak uyuşumsuz ölçüler belrlemek ç çeşl yöemler kullaılmakadır. Geleeksel çözüm yöemler uyuşumsuz ölçüler belrlemeke bazı dezavaajları vardır. Bu dezavaajlar her adımda brde fazla uyuşumsuz ölçüyü belrleyememes, ölçü haalarıı dğer ölçüler düzelmelere yayması ve uyuşumsuz olarak belrlee ölçüyü ölçü grubuda çıkarmasıdır. Geleeksel çözüm yöem bu dezavaajları, uyuşumsuz ölçü gruplarıı belrlemes ç başka yöemler arayışıı oraya çıkarmışır. Robus kesrm yöem ölçü ağırlıklarıı değşrerek ölçü haalarıda daha az eklee br çözüm yöem sumakadır. Robus kesrm yöem de E Küçük Kareler yöeme göre eraf çözümde ölçü ağırlıklarıı yede belrler. Ölçü ağırlıklarıı yede belrlemesde brkaç farklı kesrm yöem kullaılmakadır. E Küçük Mulak oplam yöem (L orm) de ölçü ağırlıklarıı kesrmde kullaılablr. Bu çalışmada uyuşumsuz ölçüler aalzde robus kesrm yöemler kullaılması gerekçeler belrlerek L orm yöem le ölçüler ağırlılarıı yede belrlemes açıklamışır. 0 bazlı br GPS ağıı gerçek verler kullaılarak br uygulama yapılmış ve yöemler karşılaşırılmışır. Aahar Kelmeler :Jeodezk Ağlar, Haa Aalz, Robus Kesrm, L orm ABSRAC ROBUS ESIMAION AND L NORM MEHODS FOR OULIER DEECION here are boh cosse ad ouler measureme group used for soluo applcao sceces. he adjusme calculus, s made o obaed he eares soluo for real, s deached measuremes as cosula or ouler. Coveoal soluo mehods used deermg of ouler measureme groups have some egave characerscs, such as, hese mehods are faled deermg of more ha oe ouler measureme, dsrbue a measureme s error o he oher measuremes correcos ad elmae he measureme deermed as ouler from measureme group. herefore, dffere soluo ways for deermg ouler measureme groups have bee requred. Aoher mehod s he robus esmao mehod, whch s cosdered o be less suscepble o he measureme errors by chaged measuremes wegh. he wegh of measuremes deermed eravely as he soluo of Leas Mea Square mehods for robus esmao mehods. here are several esmao fucos for deermed measuremes wegh. a Leas Absolue Devaos (L orm) s used for re weghed measuremes. I hs sudy, afer he reasos, used robus esmao mehods for ouler deeco, have bee roduced, a explaao has bee made wh L Norm mehod for re weghed measureme. he, a applcao s made a real work case, a GPS ework wh 0 baseles ad o be compared of hese mehods has bee doe. Keywords: Geodec Neworks, Deeco of Error, Robus Esmao, L orm. GİRİŞ Mühedslk çalışmalarıda ölçüler ve ölçülerde elde edle souçları doğruluğuu arırmak ve güverlğ sağlamak ç gerekl ölçüde fazla sayıda ölçü yapmak emel lkedr. Gereğde fazla yapıla ölçülerde ek alamlı souç elde emek ç bu ölçüler br amaç foksyoua göre değerledrlerek degeleme hesabı yapılır. Seçle amaç foksyou geelde Gauss u E Küçük Kareler Yöem (EKKY) dr. EKKY dğer kesrm yöemlere göre daha bas, karmaşık saksel blg gerekrmeye br yöem ve sadece ölçüler oralaması le varyas kovaryasları gerekl olduğu ç uygulamalarda yaygı olarak kullaılma mkaı bulmuşur (Aya, 99; Dlaver, 996) Çeşl şekllerde elde edle jeodezk ölçüler; kaba, ssemak ve rasgele olarak sııfladırılable haalarla yüklüdürler. Kaba ve ssemak haalar ölçü grubuda çeşl şeklde kısme ya da amame arıdırılablrler faka ölçü grubudak rasgele haalarıa yakı büyüklükek kaba ve ssemak haaları belrlemes ve ölçü grubuda arıdırılması çok güçür. Faka bu haalar ç; ölçü sayısı sosuz oluca, pozf olalarıı sayısı egaf olalarıa eş olması, ormal dağılıma uymaları ve küçük değerl olaları sayıları büyük değerl olaları sayılarıda çok olduğu ç ölçüler dağılımıı büyük br orada eklemezler. Kaba ve ssemak haalarda rasgele haa büyüklüğüde ola haalar se ek yalı haalar oldukları ç bu haaları çere ölçüler ölçü grubudak büülüğü bozar ve

2 Uyuşumsuz Ölçü Aalzde Robus Kesrm ve L Norm Yöemler uyuşumsuzluklar oraya çıkmasıa ede olur. Ölçü kümes dağılımda farklı br dağılımda ola ölçüler uyuşumsuz ölçü olarak adladırılır (Hekmoğlu, 995). Degeleme maemak model ölçülerle blmeyeler arasıdak lşky yasıacak şeklde foksyoel ve sokask modelde oluşur. Doğrusallaşırıla foksyoel modelde gerekl düzelme deklemler yazılırsa, λλ λλ = A x λ ; x = ( A Q A ) A Q λ () eşlkler elde edlr. v düzelmeler ölçüü raslaı haaları yaıda foksyoel modele bağlı olarak dğer ölçüler haalarıyla oluşur ve gerçek le farkları göserr. Bu alamda v vekörüe ölçü düzelmeler yere degeleme arıkları (resdual) der. v vekörü özel es yöemleryle aalz edlerek ölçüler hakkıda blgler alıablr ve uyuşumsuz ölçüler belrleeblr.. MODEL HAALARI VE GLOBAL MODEL HİPOEZİNİN ESİ Yapıla degeleme hesabıı geçerllğ maemak model am ve doğru olarak gerçekleşmese bağlıdır. Foksyoel ve sokask model, ölçülerle blmeyeler arasıdak geomerk lşklere ve fzksel gerçeklere uygu olup olmadıkları, gözlemler arasıdak duyarlık lşkler am olarak yasııp yasımadıkları model hpoez es le deeler (Ereoğlu, 003). Bu edele her degeleme şlemde sora model hpoez es yapılır ve varsa model haaları gderlerek degeleme şlem yeler. Model hpoez es ç, ayı koşullarda yapıla bezer ürde ölçüler değerledrlmes soucuda degelemede öce elde edle ve gözlemler ağırlıklarıı belrlemesde kullaıla brm ölçüü karesel oralama haasıı öcül değer σ 0 ve degeleme hesabı soucuda hesaplaa brm ölçüü karesel oralama haası m 0 kullaılır. Bu k değer, kuramsal sadar sapma σ ı uygulamada elde edle değerlerdr. Uygulamada Global es olarak da adladırıla model hpoez es ç degeleme öces varyas m 0 le degeleme sorası bulua varyas karşılaşırılır. Model hpoez es ç hpoez olarak maemaksel model geomerk ve fzksel lşkler ve ölçüler sokask özellkler doğru ve oksasız br bçmde aımladığı ler sürülür ve { } Ε { m } = σ H :Ε{ σ } Ε { m } H = S () 0 :Ε σ 0 0 ; 0 0 σ şeklde sıfır ve seçeek hpoez kurulur. H 0 hpoez geçerllğ esp ç lgl dağılımda hesaplaa sıır değerlerle karşılaşırmak ç es büyüklüğü hesaplaır. m 0 = ; q = F (3) f, f, α σ 0 σ 0 es büyüklüğü, degeleme sorası ve öces serbeslk dereceler f, f le abloda alıa q değer le karşılaşırılarak, q durumuda degeleme ç kurula maemak model, ölçülerle blmeyeler arasıdak geomerk ve fzksel lşkler ve ölçüler duyarlıkları le aralarıdak korelasyou yeerce sağlamakadır. > q durumuda degeleme ç kurula maemak model geçerl değldr. Maemak model geçerszlğe, ölçülerde br veya brkaçıda kaba haa olması, ölçüler ağırlıklarıı y belrlememş (sokask model doğru kurulmamış) olması ya da ölçülerle blmeyeler arasıdak geomerk ve fzksel lşk y belrlememş (foksyoel model doğru kurulmamış) olması ede olur. (Koak, 994) Bu durumda öce ölçülerdek λ ssemak haasıı varlığı alayablmek ç foksyoel model es edlr. Foksyoel model esde geşlelmş model le doğrusal hpoez eslere göre çözüm yapılır. Foksyoel model geşlelmesyle düzelme değerler küçülür faka blmeyeler çoğalır. Bu durumda degeleme fazla ölçü sayısı ya serbeslk dereces ve sask güve azalır.bu edele ssemak haa olarak ahm edle blmeyeler öcede aı degelemeleryle belrlemeye çalışılır. Daha sora drgemş ölçülerle degeleme hesabı gerçekleşrlr (Özürk ve Şerbeç, 99). Foksyoel model esde sora sokask model es edlr. Bu şeklde degeleme hesabıda kullaıla ölçülerde kaba haa olup olmadığıı ya da ölçüler ağırlıklarıı y belrlep belrleemedğ uyuşumsuz ölçüler aalz le es edlr. Uyuşumsuz ölçüler aalzde k yaklaşım kullaılır. Buları lk ölçüler ağırlık değerler sab alıp degeleme şlemler soucuda e büyük düzelmeye sahp ölçüyü ölçü plaıda çıkarmak ve bu şleme uyuşumsuz ölçü kalmayıcaya kadar devam emekr. Bu yaklaşıma geleeksel çözüm der. Uyuşumsuz ölçüler esde kc yaklaşım ölçüler ve foksyoel model sab uularak ölçüler ağırlıklarıı değşrlmesdr. Bu çözümde, ağırlık mars yede hesaplaarak degeleme şlemler yeler. Bu çözüme yede ağırlıkladırmalı çözüm der (Yavuz, Coşku ve Baykal, 00)

3 Şşma ve dğerler 3. UYUŞUMSUZ ÖLÇÜLERİN BELİRLENMESİ Yapıla ölçülerde çeşl haalar soucuda kaba veya uyuşumsuz ölçüler oluşablr. Uyuşumsuz ölçüler, çeşl amaçlarla yapıla ölçüler arasıda ölçü kümes dağılımıa uymaya ölçüler olarak aımlayablrz. Uyuşumsuz ölçüler ümü kaba haalarda kayaklaa köü verler değldr, bazı durumlarda bu ölçüler ver grubu ç çok öeml olablr. Uyuşumsuz ölçüler güvelr ve hızlı br şeklde belrlemedek davraış şekl de br sorudur. Kaba haaları sadece sıklığı ve boyuları, verler güverlğ le lgl blglerde değerledrleblr. Model y kurulmuşsa ve verler çoğuluk eğlm le lglelyorsa ayrıca değerledrlme yapılmada uyuşumsuz ölçüler drek ver grubuda çıkarılablr faka bu durumda bu ölçüler çerdğ blglerde de vazgeçlr (Hampel,Roche,Rousseeuw ve Sahel, 986) Uyuşumsuz ölçüler belrlemes ç bugüe kadar brkaç yaklaşım kullaılmışır. Uzu yıllardır jeodezk çalışmalarda çok yaygı br şeklde kullaıla yöem EKKY e dayalı geleeksel uyuşumsuz ölçü es yöemdr. Bu yöem bazı dezavaajları edeyle so yıllarda robus kesrm yöem le uyuşumsuz ölçüler belrlemes çalışmaları başlamışır. EKKY yöem paramerk br yöemdr. EKKY le geleeksel çözüm yöemler kolay uygulaablrlğ ve maemak model çözüm soua kadar ayı kalması edeyle üm uygulamalı blmler gb jeodezde de yaygı olarak kullaılmakadır. EKKY kullaılırke sadece rasgele haaları çere ölçü grubuu ormal dağılıma uyduğu kabuller yapılmakadır. Gerçek ölçülerde bu kabuller sağlaya durumu elde emek çok zordur. EKKY le çözümde kurula maemak model gereğ; çözüm soucuda elde edle düzelmeler foksyoel modele bağlı olarak üm ölçüler haalarıda eklerler. Bu durumda ked ölçü haası le uyuşumsuz olmaya br ölçü dğer ölçüler haalarıda uyuşumsuz olarak görüebleceğ gb uyuşumsuz br ölçüde uyuşumlu olarak görüeblr, (Dlaver, Koak ve Çep, 998). Uyuşumsuz ölçüler belrlemes ve ayıklamasıda aleraf br yöem robus (sağlam) sask ve robus kesrm yöemdr. Robus kesrm, ölçüler dağılım foksyolarıdak küçük değşmlerde ve kaba haalarda eklemeye yaklaşık paramerk br yöemdr. Robus sask lk olarak Huber arafıda 964 de açıklamışır. Daha sora brçok araşırmacıı çalışmalarıyla çeşl yöem ve kesrcler gelşrlmşr. Bu sask yöem ölçülerdek kaba haaları varlığı ve bu kaba haaları belrlemes gerekllğ edeleryle gelşrlmş ve kullaılmakadır. 3.. Geleeksel Çözüm Yöemler İsaske paramerk modeller kullaımı oldukça basr. Buu ede elk blgler ve oldukça az sayıda gözlemle ver grubuu amamıı yaklaşık arf sağlaablmesdr. Ayrıca paramere değerler le brlke gözlee verler geelleşrlmes ve dğer gözlemler sokask model kolayca arf edeblmey ve amamlamayı sağlar. Ver yoğulaşırılması yada azalılması olarak adladırıla sasğ aa amaçlarıda br yere gerr ve üm ver grubuu amame arfde muhemel eor meolarıı uygulamasıa z verr (Akaş, 993) Yalızca gerçeğe br yaklaşım ola paramerk model, ormal dağılımdak verler aalz ç belrleecek sıırlar hakkıda blg verr faka verler bu sıırlara e kadar uzak oluduğu ya da ahmler başarısı kousuda blg vermez. Jeodezk çalışmalar ç yapıla ölçüler değerledrlmesde kaba haaları ve uyuşumsuz ölçüler esp güverlk ve kale açısıda öemldr. Ölçüler e kadar dkkal yapılırsa yapılsı uyuşumsuzluklar çermes kaçıılmazdır. Jeodezk çalışmalarda uzu yıllardır EKKY le çözüme dayalı Uyuşumsuz ölçüler es kullaılmakadır. Geleeksel çözüm yöemlerde uyuşumsuz ölçüler belrlemes şlemde her şlem adımıda sadece br uyuşumsuz (düzelmes e büyük) ölçü belrleeblr. Ölçü kümesde bu ölçü çıkarılır ve degeleme şlem ekrarlaır. Degeleme hesabı soucu ölçülerde kaba haa olup olmadığıı aalz ç, H { } = 0 ; H : Ε { λ } = λ 0 0 : Ε S λ (4) şeklde sıfır ve seçeek hpoez kurulur. Hpoez es aalz ç ölçüler düzelme değerler kullaılarak her ölçü ç es değer hesaplaır. Bu değer ölçüler dağılımıı uyduğu abloda serbeslk dereces f = u ya göre belrlee sıır değer le karşılaşırılır. Sıır değer üsüde es değerler varsa bu değerler e büyüğüe sahp ola ölçü uyuşumsuz olarak kabul edlr ve ölçü grubuda çıkarılır. Ye ölçü grubu le degeleme hesabı ve uyuşumsuz ölçü aalz şlemler ekrarlaır. Bu şleme es değerler ümü sıır değer alıda kalıcaya kadar devam edlr. ablo de; α 0 alamlılık, f serbeslk sevyes N, τ, se ormal, au ve sude dağılımlarıı gösermekedr. Geleeksel çözüm yöemlerde üç farklı yaklaşım kullaılmakadır. Bu yaklaşımlar Daa Soopg (Baarda), au ve (sude) esdr. Bu yöemler üçü de ayı lkelere göre çözüm yapmakadır, farklılıkları se çözümde kulladıkları varyas değerler ve bu değerlere bağlı olarak ölçüler dağılım ablolarıdır (Özürk ve Şerbeç, 99).

4 Uyuşumsuz Ölçü Aalzde Robus Kesrm ve L Norm Yöemler ablo. Geleeksel Uyuşumsuz Ölçüler Aalz Yöemler Yöem Daa Soopg au es es es Değer W = σ 0 v Q v v = es Dağılımı N( 0, ) τ f, ( α 0 / ) f (, α ) 0 / Sıır Değer N ( α 0 / ) τ f, ( α ) 0 / m 0 v Q v v = m 0 v f (, α 0 / ) Q v v 3.. Robus İsask ve Robus Kesrm Yöem Robus sask, sask blmde yaygı olarak kullaıla ormallk, doğrusallık gb varsayımları ahmleryle lglee br blm dalıdır. Ölçü grubuu ormal dağılımda olduğu ve kaba ve ssemak haalarda arıdırıldığı kabulleryle çözüm yapa EKKY e dayalı klask sask yöemler, yalızca bu yaklaşımı doğru olması durumuda alamlı souç verrler. Bu modeller özellkle ölçü grubu dağılımıı küçük sapmalarıa karşı oldukça zayıf kalırlar (Akaş, 993, Hampel, Roche, Rousseeuw, ad Sahel, 986). Robus sask yöem, deal durum varsayımlarda sapmaları ve lşkl modeller gösere paramerk model sasğe robusluk görüşüü ekleyerek paramerk modellerde daha geş şeklde komşuluk lşkler celeye yaklaşık paramerk yöemdr. Robus sask, saske yaygı olarak kullaıla brçok dağılım modele göre gerçeğe e yakı yaklaşım olması ve uyuşumsuz ölçüler aalz ç kullaıla dğer brçok yöem deeysel olması edeleryle, uyuşumsuz ölçüler belrlemesde ekl br şeklde kullaılable br yöemdr. Robus kesrm yöem le çözümde, ölçüler ked haalarıda ve dğer ölçüler haalarıda eklememeke, ölçü haalarıı souçlar üzerdek bozucu ekler azalılmaka, haa yok edlmekedr. Ölçü grubuda kaçıılmaz ola uyuşumsuz ölçüler yapıla degeleme hesabı souçlarıa göre yapıla sask esler dolaylı olarak bu haalarda eklerler. Robus sask lk olarak Huber arafıda 964 de açıklamışır. Huber e göre uyuşumsuz ölçüler, uyuşumlu ölçülerde ayrı dağılıma sahp ola br ölçü grubudur ve uyuşumlu ve uyuşumsuz ölçüler dağılım foksyoları, oralamaları ve öcül varyasları brbrde farklıdır (Huber, 964) Robus Kesrm Yöem İle Uyuşumsuz Ölçüler Belrlemes Robus kesrm, EKKY ağırlıklı eraf çözümüde kullaılarak ekl souçlar elde edleblr. Bu çözümde; ağırlıklı kareler oplamıı e küçük (mmum) ( P = m.) amaç foksyou yere, düzelmeler haalarda daha az eklee başka br foksyou amaç foksyou ρ ( ) çözüm araır. Amaç foksyou ρ ( ) P olarak seçlerek bu amaç foksyou e küçük yapıla = alıırsa EKKY çözümüü elde edlr. Robus kesrmdek amaç foksyouyla elde edle eşlk EKKY e göre çözülürse robus kesrm algorması EKKY algormasıa drgeerek çözüm yapılmış olur. ψ ek Robus kesrmde; ρ ( ) amaç foksyouu ye göre ürev le ψ ( ) ek (kesrm) foksyou; ( ) foksyouu ye göre ürev le W ( ) ağırlık foksyou elde edlr. Robus souç elde emek ç bu foksyoları ümüü sürekl ve sıırları belrl olmalıdır. Bu foksyolarda yalızca br belrlemes dğerler belrlemes ve çözüm ç yeerl olmakadır. (Plgrm, 996; Kara, 998; Yag, 999). Robus kesrm foksyoları ç sağlamlılık delce akla el sağlamlılık gelmeldr. Eğer br kesrc amaç foksyouu ρ ( ) değldr, çükü amaç foksyou kareseldr ve ürev doğrusal ve sıırsızdır. ürev ψ ( ) ürev sıırladırılmış se o kesrcye el sağlam kesrc der. Öreğ EKK yöem sağlam doğrusal olmaya sıırladırılmış br foksyo seçlerek el sağlam br kesrc oluşurulablr. Böylece gözlemlerdek uyuşumsuz ölçüler kesrle değerlere ola bozucu ekler azalılablr (Kara, 998). Robus kesrc foksyolarıda M kesrcler sasksel aalzlerde kullaılmakadır. Ölçüler ve blmeyeler arasıda doğrusal foksyoel br lşk ola ölçü grubuu olasılık foksyou ( x λ, ) olarak alıırsa M kesrm, çarpımları maksmum yapa X değerler olarak aımlaır ve ( x ) = ρ = = = L F ( x λ, ) ; LogL ( x ) = Log F ( x λ, ) = ( x λ, ) (5) eşlğyle verlr. Burada oplam olasılık foksyouu maksmum, amaç foksyouu mmum, yapa çözüm araır ( Aa,995; Kara, 998). Geelleşrlmş M kesrcs, EKKY le çözümde kurula foksyo dkkae alıarak (6) eşlğe göre, F

5 ( ) Şşma ve dğerler M = ρ ρ ( x, ) = = λ ψ ( ) a j = 0 (6) = = j = şeklde yazılablr. Bu eşlğ çözümüde, ( ) = A ψ ( A x λ ) = A W ( A x λ ) = 0 A ψ (7) eşlğ yazılablr (Yag, 999). (7) eşlğ çeşl şekllerde çözümü yapılablr. Uygulamada e çok kullaıla eraf çözüm ç (7) eşlğ düzelerse, EKKY ormal deklemler gb X blmeyeler ç, ( A W A ) A W λ x = (8) çözüm yapılablr. Bu şeklde EKKY le eraf ve yede ağırlıkladırılmalı çözüm, x = ( A W A ) A W λ ; = A ( A W A ) W = P W =,,... ; W ( ) = E ( ) 0 A W E λ (9) eşlkleryle yapılır. Burada erasyo sayısı, W seçle ağırlık foksyouu gösermekedr. Başlagıç ç W = E brm marsr ve çözüm; EKKY le yapıla çözümde sora düzelme vekörüde W ağırlık mars belrlep yede eraf olarak çözüm yapılması olarak özeleeblr. Burada EKKY le (6) eşlğde verle M kesrm koşulu sağlaarak çözüm yapılmışır. (9) eşlğde yede ağırlıkladırılmalı EKKY kesrm le çözümü bulua Robus M kesrmde her ölçü ç uygu ağırlıklar belrlemş ve robus br çözüm elde edlmşr. Bu şekldek EKKY algorması robus kesrm algormasıı oluşurmakadır. Bu şeklde yapıla br çözüm soucuda (9) da verle eşlklerde uyuşumlu ola ölçüler x blmeyeler ve W + ağırlıklarıı değşmedğ, uyuşumsuz sayıla ölçüler W + ağırlıklarıısa gderek küçüldüğü ve haa sıfıra yaklaşığı görülür. Bu durum uyuşumsuz ölçüler blmeyeler üzerdek bozucu ekler de gderek azalmakır. Bu robus kesrm e öeml özellklerde brsdr ve özellkle uyuşumsuz olup olmadığı kararı verlemeye ölçüler aalzde öemldr (Caspary ad Barua, 987; Hekmoğlu, Aya ve Akaş, 993) E Küçük Mulak oplam Yöem (L Norm) L orm yöem lk olarak asroomk koum belrleme amacıyla yapıla gözlemler değerledrlmesde Galle arafıda 63 yılıda kullaılmışır. EKKY de olduğu gb EKM yöemde amaç foksyou el sağlam değldr. Ya amaç foksyouu ürev ürev doğrusal ve sıırsızdır. L orm yöem, bazı hesaplama zorlukları ve sadece gerekl ölçüler ç haa araşırması yaparke, fazla ölçüler hmal emes gb edelerde dolayı EKKY kadar çok kullaılmamışır. Ayrıca L orm yöem degelemes souçlarıı sasksel aalzler de so yıllara kadar yapılamamışır. Bazı çalışmalarda, L orm yöem le EKKY brleşre br çözümler ürelmşr. Bularda br de robus kesrme göre yede ağırlık belrleerek yapıla eraf uyuşumsuz ölçüler aalzde yede ağırlık belrlerke L orm yöem kullamakır. üm bu çalışmalarda da alaşılableceğ gb L orm yöem, klask EKKY degelemes amamlayacak ek br yöem olarak verlmşr. Jeodezk ver gruplarıı aalzde L orm yöem, çözüm ç gerekl ola koordaları yaklaşık değerler belrlemek ç ve EKKY çözümler rak bozukluğuda dolayı karşılaşablecek zorlukları çözülmese ve açıklamasıa yardımcı olmak amacıyla kullaılablr. Aralarıda doğrusal foksyoel br lşk bulua ver grupları ç L orm yöem foksyoel model, = = m. (0) = şeklde verlr. Bugüe kadar mühedslk blmlerde ver gruplarıı aalzde bu yöem kullaılmamış olmasıı ede ek br algormasıı ve lgl sask kuramları gelşrlmemş olmasıdır. 950 lı yıllarda bu yöem çözümü ç smpleks yöem ve daha sora Barrodale Robers (973) de verle düzelemş yöem gelşrlmes le blgsayar çalışmasıa uygu br algorma bulumuşur. Maemaksel olarak L orm yöem = m. şeklde aımlaır ve = A x λ eşlğ le verle sadar doğrusal programlama probleme kolayca döüşürüleblr. Çözüm düzelemş smpleks yöem kullaılır. Blmeyeler ç e uygu çözüm, λ ; λ ölçü vekörüde seçlmş u ade ölçü ve A 'de bu ölçülere karşılık gele kasayılar mars olmak üzere, ( ) λ x = A ()

6 Uyuşumsuz Ölçü Aalzde Robus Kesrm ve L Norm Yöemler eşlğyle yapılır. Burada. Bu durumda blmeye olarak seçle ölçüler haa çermedğ ve düzelmeler sıfır olduğu varsayılır. Uyuşumsuz ölçüler gerye kala ( u) ade ölçüü çersde buluduğu varsayılır ve bu ölçüler düzelmeler, bu düzelmeler kovaryası hesaplaır. Bu çözümde sora uyuşumsuz ölçüler belrlemek ç sask esler yapılır (Bekaş,005; Kara,998). Sözü edle smpleks algorması çözüm ç EKKY çözümüde daha çok zama gerekrr. Oysa k, yede ağırlıkladırmalı EKKY kullaılarak çok daha kolay ve az zamada çözüm elde edleblmekedr Robus Kesrmde Kullaıla Kesrc Foksyolar Robus kesrmde kullaıla brçok yöem vardır. ablo de robus kesrmde kullaıla yöemler ağırlık foksyoları verlmşr (Hekmoğlu, 995; Kara, 998,,Aa, 995; Gökalp, Gügör, Boz, 008). ablo. Robus kesrm Yöemde Ağırlık Foksyoları Yöem Sıır Değer Ağırlık Foksyou Yöem Sıır Değer Ağırlık Foksyou Huber Adrews Beao ukey v c v > c c v v c ( v c ) s ( v c ) v > c 0 v c ( v c ) v > c 0 4. SAYISAL UYGULAMA ( ) Damarka Yag II V c V > c e c 0 c 0 < c c c 0 L orm Yok Yapıla eork açıklamaları ışığıda uyuşumsuz ölçüler belrlemesde yöemler avaaj ve dezavaajlarıı belrlemek ç 0 bazı ölçülmüş ola br GPS ağıı gerçek verler kullaılarak çözüm yapılmışır. İlk olarak geleeksel çözüm yöemler ç uyuşumsuz ölçüler aalz yapılmışır. Geleeksel çözüm yöemlerde es kullaılmışır. Yapıla çözümde uyuşumlu ölçü grubua 0. erasyo adımıda ulaşılmış ve 9 ae ölçü, ölçü grubuda çıkarılmışır. (ablo 3)

7 Şşma ve dğerler ablo 3. Geleeksel Çözüm Yöemler İle Uyuşumsuz Ölçüler Aalz İerasyo es Ölçü No Sıır Değer Karar ΔZ ΔZ ΔX ΔZ ΔY ΔY ΔX ΔX ΔY ΔX Robus kesrm yöemler ç uyuşumsuz ölçüler aalz yapılırke L orm yöem, Damarka yöem, Yag II yöem ağırlık foksyoları kullaılarak ölçülere yede ağırlık belrlemşr. Yapıla çözüme ölçü ağırlıklarıda alamlı br değşklk olmayıcaya kadar devam edlmşr. Bu çözüme 3. erasyoda ulaşılmışır. (ablo 4)

8 Uyuşumsuz Ölçü Aalzde Robus Kesrm ve L Norm Yöemler ablo 4. Robus Kesrm Yöemler İle Uyuşumsuz Ölçüler Aalz ÖLÇÜ NO L orm Yöem Damar ka Yöem Yag II ÖLÇÜ L orm Yöem Damar ka Yöem Yag II İerasyo I. II. III. Karar I. II. III. Karar I. II. III. Karar I. II. III. Karar I. II. III. Karar I. II. III. Karar ΔX ΔX ΔY ΔY ΔZ ΔZ ΔX ΔY ΔZ ΔX ΔX ΔY ΔY ΔZ ΔZ ΔX ΔX ΔY ΔY ΔZ ΔZ ΔX ΔX ΔY ΔY ΔZ ΔZ ΔX ΔX ΔY ΔY ΔZ ΔZ ΔX ΔX ΔY ΔY ΔZ ΔZ ΔX ΔX ΔY ΔY ΔZ ΔZ ΔX ΔX ΔY ΔY ΔZ ΔZ ΔX ΔX ΔY ΔY ΔZ ΔZ

9 Şşma ve dğerler 5. İRDELEME VE SONUÇ Yapıla uygulama le uyuşumsuz ölçü aalz ç seçle GPS ağıdak baz ölçüler kullaılarak degeleme hesabı yapılmışır. Elde edle düzelme değerler le geleeksel yöemlerde es kullaılarak uyuşumsuz ölçüler belrlemşr. Geleeksel çözüm yöemyle uyuşumlu ölçü grubua 0. erasyoda ulaşılmışır ve uyuşumsuz bulua 9 ölçü, ölçü grubuda çıkarılmışır. Ayı souçlar kullaılarak Robus kesrm yöemlerde L orm yöem, Damarka yöem ve Yag II kesrm foksyoları le uyuşumsuz ölçüler grubu belrlemşr. Robus kesrm yöemde ağırlıklar kesrm foksyou le yede belrleerek uyuşumsuz ölçüler ölçü grubuda çıkarılmamış, souçlara yapıkları ekler azalılmışır. Robus kesrm ç yapıla çözümde Damarka ve Yag II yöemlerde uyuşumsuz bulua ölçüler ağırlıkları azalarak sıfıra yaklaşmışır. L orm yöemde se uyuşumsuz ölçüler ağırlıkları değşmemş dğer ölçüler ağırlıkları se büyümüşür. Her 3 yöemde yaklaşık ayı souçları bulmuşur. Robus kesrm yöemler le uyuşumsuz bulua ölçüler, geleeksel çözüm yöemler le bulua ölçüler de çermekedr ve ayrıca başka ölçülerde uyuşumsuz ölçü olarak bulumuşur. Uyuşumsuz bulua bu ölçüler k kısımda ele alıablr. Br kısım ölçüler geleeksel çözüm yöemlerdek ölçülere ek olarak amame uyuşumsuz olarak belrledğ görülmüşür. Bu ölçüler ağırlığıı Damarka ve Yag II yöemde sıfır olduğu, L yöemde se az mkar değşğ belrlemşr. Uyuşumsuz olarak belrlee ölçüler bulua dğer kısmıda se ölçü ağırlıkları başlagıçakde farklı olduğu faka amame uyuşumsuz olarak belrleyemedğ, şüphel bırakığı görülmüşür. Bu ölçüler ağırlığı Damarka ve Yag II yöemde amame sıfır olmamış, L orm yöemde se dğer okalara orala daha az değşm gösermşr. Robus kesrm yöemlerde L orm yöem uyuşumsuz, 0 şüphel, 38 uyuşumlu ölçü; Damarka yöem 0 uyuşumsuz, 5 şüphel, 45 uyuşumlu ölçü; Yag II yöem 5 uyuşumsuz, 5 şüphel, 40 uyuşumlu ölçü bulmuşur. Yapıla bu çözüm soucuda robus kesrm yöemler uyuşumsuz ölçüler belrleme kousuda çok başarılı olduğu görülmüşür. Bu yöem ölçüler ölçü grubuda çıkarmadığı bazı ölçüler ağırlığıı sıfır yaparak çözümdek ekler yok ederke dğer ölçüler ağırlıklarıı ölçekledrdğ görülmüşür. Bu souçlara dayaarak uyuşumsuz ölçüler aalzde sadece geleeksel yöemler kullaılmasıı çok doğru br yaklaşım olmadığı, bu yöem yaıda desekleyc olarak robus kesrm yöem de kullaılması gerekğ görülmüşür. Robus kesrm yöemler arasıda yapıla rdelemede L orm yöem de uyuşumsuz ölçüler belrlemeke dğer yöemlerle yaklaşık ayı souçları verdğ ve başarılı olduğu soucua varılmışır. KAYNAKLAR Akaş, O. A., 993, Robus Kesrm ve Nreg Ağlarıa Uyarlaması, Yüksek Lsas ez, Yıldız ekk Üverses Fe Blmler Esüsü, İsabul,. Aa, M., 995, Uyuşumsuz Ölçüler Belrlemesde Klask E Küçük Kareler Yöem İle Değşk Robus Kesrm Yöemler Uygulaması ve Karşılaşırılması, Yüksek Lsas ez, Yıldız ekk Üverses Fe Blmler Esüsü, İsabul, Aya,., 99 Uyuşumsuz Ölçüler es, Hara ve Kadasro Mühedslğ Dergs, 7, Barrodale, I.. ad Robers, F.D.K., 973, A mproved algorhm for dscree l lear approxmao. SIAM J. Numer. Aal. 0, 5, Bekaş, S. 005, Degeleme Hesabı, Odokuz Mayıs Üverses Yayıları, Samsu. Caspary ad Barua, 987, Robus Esmao Deformao Models, Survey Revew, 9, 333, Dlaver, A., 996, Jeodezk Ağlarda Kaba Haalı Ölçüler Ayıklaması ve Güve Ölçüler, Karadez ekk Üverses Mühedslk Mmarlık Faküles Jeodez ve Foogramer Mühedslğ Bölümü Araşırma Raporları, 996/, rabzo,. Dlaver, A., Koak, H. ve Çep M. S., 998, Jeodezk Ağlarda Uyuşumsuz Ölçüler Yerelleşrlmesde Kullaıla Yöemler Davraışları, Hara ve Kadasro Mühedslğ Dergs, 84, 7 3. Ereoğlu, R. C., 003. Jeodezk Ağlarda Uyuşumsuz Ölçüler Robus Yöemlerle Belrlemes, Yüksek Lsas ez, Y..Ü., Fe Blmler Esüsü, İsabul. Gökalp, E., Gügör, O., Boz, Y., 008, Evaluao of Dffere Ouler Deeco Mehods for GPS Neworks, Sesors, 8(), Hampel, F., Roche, E. M., Rousseeuw, P. J. ad Sahel, W. A., 986, Robus Sascs he Approach Based o Ifluece Fucos, A Wley Ierscece Publcao Joh Wley & Sos, New York. Hekmoğlu, Ş., 995, Relably of he Coveoal Ierave Ouler Deeco es Procedures, Frs urksch Germa Jo Geodec Days, Hekmoğlu, Ş., Aya,. ve Akaş, O. A., 993, Brde Fazla Uyuşumsuz Ölçüü Robus Kesrm Yöemler İle aısı ve Uyuşumsuz Ölçü esler İle Belrlemes, Prof. Dr. H. Wolf Jeodez Sempozyumu, İsabul, Huber, P.J.; 964, Robus Esmao of a Locao Parameer, A. Mah. Sascs, 35():73 0. Kara, H. H., 998, Ölçüler İeraf Çözüm Yöemler İle Belrlemesde Geleeksel E Küçük Kareler Yöem İle Değşk Robus Kesrm Yöemler Uygulaması ve Karşılaşırılması, Yüksek Lsas ez, Karadez ekk Üverses Fe Blmler Esüsü, rabzo. Koak, H., 994. Yüzey Ağlarıı Opmzasyou, Dokora ez, K..Ü., Fe Blmler Esüsü, rabzo. Özürk, E. ve Şerbeç, M., 99, Degeleme Hesabı Cl III, Karadez ekk Üverses Basımev, rabzo. Plgrm, L., 996, Robus Esmao Appled o Surface Machg, ISPRS Joural of Phoogrammery Ad Remoe Sesg, 5, Yag, Y., 999, Robus Esmao of Geodec Daum rasformao, Joural of Geodesy, 73, Yavuz, E., Coşku, Z. ve Baykal, O., 00, Yaay Korol Ağlarıı Degelemesde Kullaıla Sokask Modeller Karşılaşırılmasıa İlşk Krerler, ürkye 8. Blmsel ve ekk Hara Kurulayı, Akara,