FEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR 10. KİTAP DİFERANSİYEL DENKLEMLER III DD III

Transkript

1 FEN VE MÜHENDİSİKTE MATEMATİK METOTAR 0. KİTAP DİFERANSİYE DENKEMER III DD III

2 8 İÇİNDEKİER I. SO() ve KÜRESE HARMONİKER A) SO Spektruu B) Diferansiyel Operatör Tesilleri C) Uzay Tersinesi D) Küresel Haronikler II. SO(,) ve SPEKTRUM OUŞTURAN CEBİRER A) SO, Spektruu B) Örnek I : Haronik Osilatör C) Örnek II : Hidrojen Atou D) KHGDD ile ilişki EKER VE NOTAR

3 84 I. SO() ve KÜRESE HARMONİKER A) SO() Spektruu Bu noktaya kadar DD 'ler ve çözüleri, iki ayrı yaklaşıla, reel eksen ve kopleks düzlede incelendi. Üçüncü ve son bir yaklaşı olarak DD 'lerin çözüleri ie grup yapısı içinde aranacaktır. HGDD 'in özel bir hali olan egendre DD 'inin SO grubu ile ve KHGDD 'in SO, grubu ile ilişkileri saptanacak ve bu grupların jeneratörlerinin 'Spektru Oluşturan Cebir 'leri çözülerin ana yapısını oluşturacaktır. Döne jeneratörleri, i,, i,, i koütasyon bağıntıları ile kapalı bir ie cebri oluşturur. Sadece koütatörü sıfır olan operatör çiftlerinin beraberce diyagonal biçie getirilebildikleri ve ortak özketlere sahip oldukları görülüştü. Buna göre 'nin sadece bir bileşeninin spektruu elde edilebilir. Küresel koordinatlarda en basit biçide ifade edilen koordinat z olduğu için bu bileşen olarak seçilir. Skalar olduğu için tü operatörleri ile koütatörü sıfır olan SO grubunun Casiir operatörüdür. i, 0 olduğu için bu iki heritsel operatörün ortak özketli özdeğer problei ; biçiinde ifade edilir. exp exp i i şartından özdeğerlerinin tasayı oldukları sonucu çıkar. Şidiye kadar kullanı dışı kalan ve operatörlerinin de heritsel olayan aa birbirlerinin heritsel bileşileri eşleniği olan i ; i, i ;, i denklelerini sağlarlar. denkleinin, i ketine etki etesi sonucu

4 85 i, ve aynı yaklaşı denklei için tekrar edilince, i dolayısıyla c, c ifadelerine ulaşılır. Bu da ve operatörlerinin, 'ün spektru erdiveninde, biri yükselte ve alçalta işleleri yaptıklarını gösterektedir. c ve c katsayılarının belirlenesinde ; + özdeşliklerinden elde edilen denklelerinden yararlanılarak + ; c + c sonucuna erişilir. Benzer biçide c bulunur ve ; ara sonuçlarına erişilir. Üç heritsel operatörün karelerinin toplaı olan + + için Spektru Spektru veya olduğu açıktır. Bu da özdeğerinin alttan ve üstten sınırlı, tek parçalı bir spektrua sahip olduğunun kanıtıdır. T : Üst, : Alt olak üzere B T ; B sağlayan iki uç ket inin varlığını öngörerek 0 T T T 4 ve

5 86 0 B B B bulunur, ancak 4 T B olası gereğinden T 4, B 4 seçilir ve tanııyla da T elde edilir. T Elde edilen tü sonuçlar yeni bir yazılıla :, Spektru ; 0,..., olarak ifade edilir. ve operatörleri kullanılarak herhangi bir özketinden, başka herhangi bir özketine geçiş ükündür. Ancak değişik değerleri arasındaki geçişler için ileride değişik bir yola başvurulacaktır. Genel spektru yapısı aşağıdaki figürle özetlenektedir :

6 87 B) Diferansiyel Operatör Tesilleri Döne jeneratörlerinin tesillerini önce kartezyen koordinatlarda yazıp, sonra da kısi türev zincir kuralı uygulayarak küresel koordinat tesiline geçilebilir. Ancak aşağıda sunulan etod daha kısa ve pratiktir. vektörünün bileşenlerinin küresel koordinat tesillerini i Fi, Gi, olarak yazıp, sonra esela x 0,, i y z denklelerini, F G, sin cos 0 F G, sin sin i cos, şeklinde ifade ederek elde edilen F cos cos G sin sin 0, F cos sin G sin cos i cos denkleleri F ve G için çözülüp F i sin, G i ctn cos bulunur. Benzer biçide F i cos, G i ctn sin ; F 0, G dolayısıyla i ve i sin ctn cos, i cos ctn sin, i, exp i i ctn, i sonuçlarına erişilir. Bu operatörler kullanılarak da exp i ctn sin diferansiyel operatörü bulunur. sin sin ise Özdeğer denklei

7 88 ˆ rˆ Y r tanıları ile, sin Y, 0 sin sin haline gelir. Y, fonksiyonları 'Küresel Haronik' olarak adlandırılır ve çok geniş uygulaa alanları vardır. 0 0, 0 0 sonuçları rˆ 00 rˆ, Y Sabit olduğuna işaret etektedir. () C) Küresel Haronikler Herhangi bir V vektörü için dışında i, V 0 olakla beraber, çok özel durular V i, sıfır değildir. = i V V V, V = V i V tanıları yapılarak V V ve, V V V V, olduğu gösterilir. Bu koütatörlerin + ve denklelerine etki etesi sonucunda ise V elde edilir. V Böylece V 0 0 dolayısıyla 0 0 olaktadır. Küresel haronik fonksiyonları konu uzayında belirlerken, boyut problei oluşturaası açısından V r ˆ seçii uygun olacaktır. Bu seçi sonucu r sin cos i r sin sin olduğu için r rˆ sin exp i ˆ ˆ ˆ r ˆ ˆ Y r r r 0 0 r sin exp i 0 0 sin exp i bulunur. Zahetli bir noralizasyon işlei sonucu ˆ, cos,, Y r Y Y Y w küresel haronik fonksiyonları, 0 için, = cos w ve w sin olak üzere

8 89 d Y w, N w dw w expi olarak tanılanır. Noralizasyon katsayısı ise N!! 4! * 0 için ise tanı Y w, Y w, ile verilir. olaktadır. Arfken, Jackson gibi yazarlarca kullanılan bu ifade Condon-Shortley konvansiyonu olarak adlandırılır. Tü bu yaklaşıı öğrenip, benisedikten sonra bile küresel haronik fonksiyonları ateatik tablolardan bakarak kullanak en eniyetli ve kolay yoldur. D) Uzay Tersinesi denkleinin sol yanı iki operatörünün çarpıını içerdiği için, i tersine dönüşüleri altında aynı kalacaktır. Sağ yanın da aynı kala gereği elde edilir. Öte yandan rˆ 0 0 Sabit olduğu için, doğal olarak uzay tersinesi işleinden etkilenez ve olur. için ise r ˆ 0 0 denklei ˆ 0 0 = bulunur. özketleri verildiği için r olarak dönüştürülüp ile sağlanır.

9 90 PROBEMER exp? P.A. ) i), ii) exp? P.A. ) z -ekseni etrafında açısıyla döneyi tesil eden cos sin 0 sin cos atrisini exp i olarak ifade edip, i 0 işlei ile 0 i 0 i tesilini elde edin. x y z x koordinat çevri sietrisi kullanarak diğer bileşenleri bulun ve, i denkleini doğrulayın. P w a a w a w a w gibi bir. derece polino, 4-Boyutlu bir P.A.) o a o sütun vektör olarak a a a ile gösterildiğinde : i) P w Pw tesilini oluşturun, ii) P w P w dönüşüünden tesilini oluşturun, dönüşüünden d dw d dw diferansiyel operatörünün 4 4 atris diferansiyel operatörünün 4 4 atris iii) iv) (ii) sonucunun (i) sonucunun karesi olduğunu gösterin, d w diferansiyel operatörünün 4 4 atris tesilini oluşturun, dw v) d w dw diferansiyel operatörünün 4 4 atris tesilini oluşturun,

10 9 d d w dw dw egendre diferansiyel operatörünün 4 4 atris tesilini vi) w oluşturun, vii) egendre diferansiyel operatörünün atris tesilinin özdeğerlerini bulun; genel boyutlu P w için özdeğer forülünü tahin edin, viii) egendre diferansiyel operatörünün atris tesilinin özvektörlerini bulun. P w ; 0 egendre polinolarınıı elde etek için şekilde "noralize" edin. P olacak P.B. ), sin i cos sin,, sin 0 olduğunu gösterin., sin i cos cos, P.B. ), cos i sin sin,, cos i sin cos,, cos 0 olduğunu gösterin. P.B. ), sin i ctn cos,, sin i ctn sin cos,, sin i cos olduğunu gösterin. P.B.4 ), cos i ctn sin cos,, cos i ctn sin, cos i sin olduğunu gösterin.,

11 P.B.5 ) Silindir koordinatlar cinsinden cos, cos, z z 9 olarak ifade edilen silindir parabolik koordinatlarda ve tesillerini oluşturun. P.B.6 ) i) i y z z y denkleinden yola çıkarak y z yz y z tesilini doğrulayın, z y z y y z ii) x y z x koordinat çevri sietrisi kullanarak r r r olduğunu gösterin. iii) r r r eşitliğini kullanarak sin sin sin olduğunu gösterin. P.C. ) sin?, cos?, sin?, cos? P.D. ) i) Y i Y exp i olduğunu, Y oluşundan ii) Y exp i i ctn Y 0 oluşundan Y sin olduğunu, iii) Y N sin exp i N ifadesinde noralizasyon katsayısının!! 4 olduğunu gösterin. [ : konvansiyon! ]

12 9 II. SO(,) ve SPEKTRUM OUŞTURAN CEBİRER A) SO(,) Spektruu SO, cebri, gösteren bir ie grubudur. SO cebrine benzeekle beraber sonuç aşaasında büyük farklılıklar 0 0 B 0 ch sh exp i, 0 sh ch ch 0 sh B 0 0 exp i, sh 0 ch B cos sin sin cos 0 exp i denklelerinden elde edilen,, jeneratörleri i 0 i i i 0 0,, 0 i 0 i ile verilir ve, i,, i,, i koütasyon bağıntılarını sağlarlar. Öte yandan bir etrik yardıı ile 'üniter' olan atrisler için geçerli U G U G denkleinde 0 0 U G alınır ve Det şartı koşulursa u u U için u u u u, u u olası gerektiği * * görülür. R i I R i I U R i I R i paraetrizasyonu sonucu, izi sıfır olan üç I 0 i jeneratör i 0 0 0, 0 0, olarak

13 bulunur ve gene aynı, i,, i, koütasyon bağıntıları elde edilir. Görülektedir ki SO ve, i SU çiftinde olduğu gibi SO, ve SU, de benzer cebirsel yapılara sahiptir. Öte yandan SO, arasındaki ilişki i, i, özetlenebilir; dolayısıyla Casiir operatörü de 94 SO ve olarak olacaktır. Grup eleanları gerçek anlada üniter oladıkları halde jeneratörlerin heritsel olarak, veya en azından bir benzerlik dönüşüü ile heritsel olacak biçide inşa edileleri ükündür. Koütasyon bağıntılarının ve spektruların benzerlik dönüşülerinden etkilenedikleri bilinektedir. Buna dayanılarak ilerideki tü çıkartı ve ispatlarda,, operatörlerinin heritsel olduğu varsayılacaktır. Yukarıda elde edilen forüllere alternatif olan ve ileride hesap kolaylığı sağlayacak olan bazı forüller ise, i,, i, i i i olarak verilir. özdeğer problei, = 0 olduğu için bu iki heritsel operatörün ortak özketli ; biçiinde ifade edilir. Şidiye kadar kullanı dışı kalan ve = i ; = i bileşileri ;, operatörlerinin de, denklelerini sağlarlar. Bu denklelerin ketlerine etki etesi sonucu ; ifadelerine ulaşılır. Bu da ve operatörlerinin, 'ün spektru erdiveninde biri yükselte ve alçalta işleleri yaptıklarını gösterektedir. ve katsayılarının belirlenesinde belirlenesinde Λ Λ ΛΛ ; Λ Λ Λ Λ özdeşliklerinden elde edilen Λ+ Λ Λ Λ ;

14 95 denklelerinden yararlanılarak sonucuna erişilir. Benzer biçide bulunur ve ; ara sonuçlarına erişilir. Casiir operatörü için Spektru Spektru veya olduğu açıktır. Bu da özdeğerinin iki parçalı bir spektrua sahip olduğu ve üst parçanın alttan, alt parçanın da üstten sınırlı olduğunun kanıtıdır. Alttan sınırlı üst parçaya odaklanıp, B sağlayan bir taban ket inin varlığını öngörerek 0 B B B 4 bulunur, ancak B 0 olası gereğinden 0 için + B 4, < 0 duruunda 4 ise 0 B B B 4 kullanılır. Böylece Spektru 0,,,... olaktadır. (), 0 4 4, 0 4 ;

15 96 B) Örnek I : Haronik Osilatör Yukarıda geliştirilen ateatik yapının hayata geçirilesi için gerekli adılar : i) SO(,) jeneratörlerinin sout bir tesilini inşa etek, ii) Casiir operatörünü hesaplaak, iii) Spektru 'ü bulak, iv) Bu spektrua uyacak fiziksel probleleri araştırak olarak özetlenebilir. İlk örnek olarak d d, 4 d 4 d tesillerinden yola çıkıp d d d, F F,, F F F d d d özdeşliklerini kullanarak, i, denkleinden i d d elde edilir. Bu noktada daha kullanışlı i forülünden Casiir operatörü olarak bulunur. < < 0 olduğu için de 6 4 Spektru veya Spektru * 4 TekTasayı sonucuna ulaşılır. Bu noktada bilinen probleler karşılaştırılınca akla F, F, F y 0 DD 'inin, gelir. o operatörü ile,, 0 H n H Herite DD i n n F F F I F o, y exp dx

16 kullanılıp, 0, I 0 invaryant biçie getirilesi hatırlanarak Herite DD 'inin invaryant hali, Stur-iouville foratında 97, 0, exp n exp H n H n olarak yazılır., 0, 4 oluşundan, 0, exp n exp H n H n ara sonucuna ulaşılır. Bunu sout bir fizik probleine uygulaak için -Boyutta Haronik Osilatör için yazılan Schrödinger DD 'i dx d x n E n n, x tanııyla d d E n n n E n n veya E n n elde edilir. biçiine getirilir ve U r r potansiyel fonksiyonu ile belirlenen -Boyutlu haronik osilatör problei için ise başlangıç noktası ise d d, 4 d 4 d i d tesilleridir. Bunlardan d, ve 4 6 Spektru elde edilir. -Boyutlu probleinkine benzer yollardan 4 bulunan, E ifadesi enerji düzeylerini ve bu düzeylerin çokkatlılık yapısını doğru olarak verektedir.

17 98 C) Örnek II : Hidrojen Atou Şidiye kadar hep heritsel tesiller kullanılıştı; bu bölüün jeneratörleri heritsel olaakla beraber bir benzerlik dönüşüü ile kolayca heritsel yapılabilecek ifadeler olacaktır. U r için ise başlangıç noktası c potansiyel fonksiyonu ile belirlenen hidrojen atou problei r d d, d d Bunlardan d i d, ve Spektru bulunur. Sonuçta elde edilen E, c tesilleridir. ifadesi enerji düzeylerini ve bu düzeylerin çokkatlılık yapısını doğru olarak verektedir. İncelenen -Boyutlu problelerde,, 'ün üç tane skalardan oluşan bir küe olduğu ve üç skaların bir vektör etediği unutulaalıdır. D) KHGDD ile ilişki Uygulaalı ateatikte karşııza çıkan bir çok DD 'in alt yapısını oluşturan KHGDD F,, 0 denkleinin invaryant biçii e F, 0, 0 4 ile verilir. Bu DD, ile çarpılıp Stur-iouville foratında yazılınca da e F,, d d 4 e F,, 0 elde edilir.

18 d d d seçilerinden d d i, d ve Spektru sonuçlarına ulaşılır. Spektru eşitliklerinden de şartı elde edilir ki bu da e F,, özfonksiyonlarının 0, aralığında ' karesi integre edilebilen fonksiyon ' lar olasını sağlar. PROBEMER P.. ) -Boyutlu haronik osilatör çözüünde kullanılan jeneratörleri a d d, a d d operatörleri cinsinden ifade edin.

19 00 P.. ) d d + +, + d d tesillerinden yola çıkarak i) tesilini bulun, ii) SO, koütasyon bağıntılarının sağlandığını gösterin, iii) Casiir operatörü v) Hidrojen atou için Spektru 'ü belirleyin, yi hesaplayın, iv) d + c E c r dr r Klein-Gordon denkleini akılcı bir biçide boyutsuz hale getirerek SO, spektru oluşturan cebri kullanarak çözün. İpucu : E, c Dirac denklei sonucu ise E, j c j olur ve açılıı 4 ertebesine kadar E n n j 4n 4, j c ile verilir.

20 0 EKER VE NOTAR () Bu düzeyde bir kitabın okuyucusunun, toplada etkisiz ketini etiketleyen sebolü ile açısını karıştıraası beklenir. () İleride ele alınacak tü örneklerde pozitif bir operatör olacağı için Spektru 0 veren bu yaklaşı doğaldır.