14.12 Oyun Teorisi. Ders 16: Eksik Bilgi Statik Durum. Yol haritası. 1. Bayesyen nash Dengesi. 2. Örnekler. 3. Cournot Duopolü. 4.

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "14.12 Oyun Teorisi. Ders 16: Eksik Bilgi Statik Durum. Yol haritası. 1. Bayesyen nash Dengesi. 2. Örnekler. 3. Cournot Duopolü. 4."

Alp Abacı
6 yıl önce
İzleme sayısı:

1 14.1 Oyun Teorisi Muhamet Yıldız Güz 005 Ders 16: Eksik Bilgi Statik Durum Yol haritası 1. Bayesyen nash Dengesi. Örnekler 3. Cournot Duopolü 4. Ufak sınav 5. Karma stratejiler 1

2 Bayesyen Oyun (Normal Biçim) Bayesian Game (Normal Form) Bir Bayesyen oyun, A Bayesian game is a list G = {A 1,,A n ;T 1,,T n ;p 1,,p n ;u 1,,u n } where şeklinde bir Alistedir, i the öyle action ki, space of i (a i in A i ) T i is the type space of i (t i ) A i, i için p i (teylem -i t i ) is i s kümesi belief a i about A i the other players u i (a 1,,a n ;t 1,,t n ) is i s payoff. T i, i için tip kümesi t i p i (t i t i ), i nin diğer oyuncular hakkındaki inanışları u i (a 1,.., a n ; t 1,..t n ), i nin kazancı Nature High p Low 1-p Firm An Example ork ork (1, ) T Firm ={t f }; T = {High,Low} AFirm = {, Don t} (0, 1) A = {ork,} p F (High) = p p F (Low) = 1-p (1, 1) (-1, )

3 Bir Örnek I calis 1, Firma Ise al calisma yuksek p Ise alma 0,1 Doga 0,0 dusuk 1-p Ise al I calis 1,1 calisma -1, Ise alma 0,0 Bir oyuncunun özel bilgisine, o oyuncunun tip i deniyor. Mesela, yukarıdaki örnekte, işçinin iki tipi T var: Yüksek ve Düşük. Firmanın özel bilgisi olmadığından, firmanın tek firma = {t f } bir tipi vardır. Yukarıdaki örnekte olduğu gibi, eksik bilgli oyunlar, Doğa nın her bir oyuncunun tipini T isci = seçtiği {Y uksek, ve oyuncuları Dusuk} özel olarak bilgilendirdiği kusurlu bilgili oyunlarla modellenmiştir. A firma Bu= tip {Iseal, oyunlar Isealma} eksik bilgili oyunlar ya da Bayezyen oyunlar olarak adlandırılırlar. Formel olarak, A i = {Calis, eksik bilgili Calisma} statik bir oyun şöyledir. Ilk olarak, Doğa bir t =(t 1,t,...,t n ) T seçer, öyle p F ki, (yuksek) her t Tp(t) = p olasıliğıyla seçilir. Burada, t i T i oyuncu i nin, i N = 1,,...,n, tipidir. Sonra, her oyuncu kendi tipini öğrenir, ama diğer oyuncuların tiplerini p öğrenmez. Son F (dusuk) = 1 p olarak, oyuncular, sadece kendi tiplerini bilerek, eylemlerini eşzamanlı olarak seçerler. Tüm oyuncuların eylemlerinin herhangi bir listesini a =(a 1,a,...,a ) A ile ifade ediyoruz, öyle ki, a i A i oyuncu i nin eylemidir. Oyun (N, T, A, p) ile gösterilir. Her zamanki gibi, bir oyuncunun stratejisi her bilgi kümesinde hangi eylemi seçeceğini belirler. Burada, bilgi kümeleri tiplere, t i T i, denk gelir. Dolayısıyla, oyuncu i nin bir stratejisi s i : T i A i şeklinde, oyuncunun tiplerini eylemlerine atayan bir fonksiyondur. Mesela, yukarıdaki örnekte, işçinin dört stratejisi vardır: (Çalış,Çalış) - yüksek veya düşük kabiliyetli olmasından bağımsız olarak çalışacağı anlamına gelir, (Çalış, Kaytar) - yüksek kabiliyetli ise çalışacağıve düßük kabiliyetli ise kaytaracağı anlamına gelir, (Kaytar, Çalış) 3 ve(kaytar, Kaytar).

4 Bayesyen Nash Dengesi Bir Bayesyen Nash Dengesi Bayesyen bir oyunun Nash dengesidir. Bayesian Nash equilibrium Bayesian Game (Normal Form) Verili bir Bayesyen oyun için A Bayesian Nash equilibrium is a Nash equilibrium of a Bayesian game. A Bayesian game is a list G = {A 1,,A n ;T 1,,T n ;p 1,,p n ;u 1,,u n } Given any Bayesian game G = {A 1,,A n ;T 1,,T n ;p 1,,p n ;u 1,,u n } where A i is the action space of i (a i in A i ) T i is the type space of i (t i ) i oyuncusu için bir strateji herhangi bir s i : T i A i fonksiy- p i (t -i t i ) is i s belief * about the other players u i (a 1,,a n ;t 1,,t n ) is i s payoff. equilibrium iff s i* (t i ) is a best response to s * -i for each t i, i.e., s i (t i ) solves * * * u s * t 1,..., s t, a i, s t,..., s t ; t p i t t a strategy onudur; of a player i in a is any function s i :T i A i ; A strategy Bir strateji profile vektörü s* s= = (s (s 1,..., s n) bir Bayesyen Nash den- 1,, s 1* ) is a Bayesian Nash gesidir ancak ve ancak s i (t i ) alttaki problemi çözer * max a i A i t i T i i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 n n i i Nature Nature High p Low 1-p High p Low 1-p Firm Firm An Example ork An Example ork ork ork 4 (1, ) T Firm ={t f }; T = {High,Low} AFirm = {, Don t} (0, 1) A = {ork,} p F (High) = p p F (Low) = 1-p (1, 1) ) (-1, ) (0, 1) (1, 1) (-1, ) T Firm ={t f }; T = {High,Low} AFirm = {, Don t} A = {ork,} p F (High) = p >1/ p F (Low) = 1-p s F * = s * (High) = ork s * (Low) = Another equilibrium?

5 Bir Örnek I calis 1, Firma Ise al calisma yuksek p Ise alma 0,1 Doga 0,0 dusuk 1-p Ise al I calis 1,1 calisma -1, Ise alma 0,0 Bir oyuncunun özel bilgisine, o oyuncunun tip i deniyor. Mesela, yukarıdaki örnekte, işçinin iki tipi T var: Yüksek ve Düşük. Firmanın özel bilgisi olmadığından, firmanın tek firma = {t f } bir tipi vardır. Yukarıdaki örnekte olduğu gibi, eksik bilgli oyunlar, Doğa nın her bir oyuncunun tipini T isci = seçtiği {Y uksek, ve oyuncuları Dusuk} özel olarak bilgilendirdiği kusurlu bilgili oyunlarla modellenmiştir. A firma Bu= tip {Iseal, oyunlar Isealma} eksik bilgili oyunlar ya da Bayezyen oyunlar olarak adlandırılırlar. Formel olarak, A i = {Calis, eksik bilgili Calisma} statik bir oyun şöyledir. Ilk olarak, Doğa bir t =(t 1,t,...,t n ) T seçer, öyle p F ki, (yuksek) her t Tp(t) = p > olasıliğıyla 1/ seçilir. Burada, t i T i oyuncu i nin, i N = 1,,...,n, tipidir. Sonra, her oyuncu kendi tipini öğrenir, ama diğer oyuncuların tiplerini p öğrenmez. Son F (dusuk) = 1 p olarak, oyuncular, sadece kendi tiplerini bilerek, eylemlerini eşzamanlı olarak seçerler. s Tüm oyuncuların eylemlerinin herhangi bir listesini a =(a 1,a,...,a ) F =Işe al A ile ifade ediyoruz, öyle ki, a i A i oyuncu i nin eylemidir. Oyun (N, T, A, p) ile gösterilir. s I (yuksek) =Çalış Her zamanki gibi, bir oyuncunun stratejisi her bilgi kümesinde hangi eylemi seçeceğini belirler. Burada, s I (dusuk) bilgi kümeleri =Çalışma tiplere, t i T i, denk gelir. Dolayısıyla, oyuncu i nin bir stratejisi s i : T i A i şeklinde, oyuncunun tiplerini eylemlerine atayan bir fonksiyondur. Başka denge var mı? Mesela, yukarıdaki örnekte, işçinin dört stratejisi vardır: (Çalış,Çalış) - yüksek veya düşük kabiliyetli olmasından bağımsız olarak çalışacağı anlamına gelir, (Çalış, Kaytar) - yüksek kabiliyetli ise çalışacağıve düßük kabiliyetli ise kaytaracağı anlamına gelir, (Kaytar, Çalış) 5 ve(kaytar, Kaytar).

6 Başka bir Another Örnek example L R known by Player 1 X known by Player 1 All values are equally likely Y T 1 = {0,}; T = {1,3} Bayesian Nash Equilibrium: s 1 (0) = s 1 () = X θ {0, }, 1. oyuncu tarafından bilinmektedir s (1) = R; s (3) = L γ {1, 3},. oyuncu tarafından bilinmektedir Her değer eşit olasılığa sahip T 1 = {0, }, T = {1, 3} Bayesyen Nash dengesi: Cournot Duopoly with Incomplete Info N = {1,} firms; s 1 (0) = s 1 () = X Price: P = 1- (q 1 +q ) s (1) = R; s (3) = L Marginal cost of Firm 1 is c=0. Marginal cost of Firm is c H with probability, c L with probability 1-. Firm knows its own marginal cost. Strategies: q 1 ; (q (c H ),q (c L )) 4 6

7 Eksik bilgili Cournot Duopolü N = {1, } firma; Fiyat: P = 1 (q 1 + q ) Firma 1 için marjinal maliyet c=0, Firma için marjinal maliyet c H, θ olasılıkla c L, 1 θ olasılıkla. Firma kendi marjinal maliyetini bilmektedir. Strategies: q 1 ; (q (c H ), q (c L )) 7

8 Cournot Duopolü - BND Cournot Duopoly - BNE Cournot Duopoly - BNE q 1 = [ (1-q (c H )) + (1- )(1-q (c L ))]/; q 1 = q [ (1-q (c H ) = (c (1-q H )) 1 -c + H (1- )(1-q )/ (c L ))]/; q (cq H )(c= L )(1-q = (1-q 1 -c H 1 )/ -c L )/ q (cq L 1 )* = (1-q + 1 -c c L )/ H + (1- )c L )/3 q 1 * q= *(c (1 H + ) c = H (1-c + (1- )c H )/3 L + )/3 (1- )(c H -c L )/6 q *(c q H *(c ) = L )(1-c = (1-c H )/3 L )/3 + (1- )(c - (c H -c H -c L )/6 L )/6 q *(c L ) = (1-c L )/3 - (c H -c L )/6 AvStag oyunu, Hunt, Karma Mixed Strateji Strategy Stag Hunt, Mixed Strategy (,) (,0) (,) (,0) (0,) (4,4) (0,) (4,4) Figures by MIT OC. Figures by MIT OC

9 Karma Stratejiler Mixed Strategies +t,+v +t,0 t and v are iid with uniform on t and v are privately known by 1 and, respectively. Pure strategy: 0,+v 4,4 s 1 (t) = Rabbit iff t > 0; s (v) = Rabbit iff t>0. p = Prob(s 1 (t)=rabbit v) U 1 (R t) = +t = Prob(t > 0) = 1/. U 1 (S t) = 4(1-q); q = Prob(s (v)=rabbit t) U 1 (R t) > U 1 (S t) t >0 = 1/ Figures by MIT OC. t ve v [ ɛ, ɛ] üzerine tekdüze dağılıma tabi bağımsız ve aynı dağılımlıdırlar. t ve v, sırasıyla, 1. ve. oyuncu tarafından özel olarak bilinmektedirler. Saf strateji: s 1 (t) = Tavşan acak ve ancak t > 0; s (v) = Tavşan acak ve ancak t > 0; p = P rob(s 1 (t) = T avsan v) = P rob(t > 0) = 1/. q = P rob(s (v) = T avsan v) = 1/. 9 6

Benzer belgeler

14.12 Oyun Teorisi. Ders 18-20: Eksik Bilgi Dinamik Oyunlar. Yol haritası. 2. Ardaşık Rasyonelite. 3. Mükemmel Bayesyen Nash Dengesi

14.12 Oyun Teorisi. Ders 18-20: Eksik Bilgi Dinamik Oyunlar. Yol haritası. 2. Ardaşık Rasyonelite. 3. Mükemmel Bayesyen Nash Dengesi 4. Oyun eorisi Muhamet Yıldız Güz 5 Ders 8-: Eksik Bilgi Dinamik Oyunlar Yol haritası. Çifte İhale. Ardaşık asyonelite 3. Mükemmel Bayesyen Nash Dengesi 4. Ekonomik Uygulamalar (a) Eksik bilgili ardaşık