Dünyas ndan

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Dünyas ndan md@math.bilgi.edu.tr"

Transkript

1 Matematik Sevgili Matematikseverler, Dünyas ndan Kapak konumuz 2 2 = 4. Okudukça flafl racak, flafl rd kça okuyacaks n z. 2 2 = 4 deyip geçmeyin... Bu kadar yal n bir gerçe e ancak yüz y l önce filan ulaflabildi insano lu! Hepimizin bildi i bir sonucu iflleyerek matemati in temelinin ve matematik felsefesinin epey derinlerine dald k. Gerçek nedir? sorusunu defltik önce. Hatta nerdeyse Gerçek nedir? sorusu nedir? sorusuna dokunduk. Ama felsefede daha ileri gitmedik, gitmek isterdik ama gidemedik, bizden bu kadar! Bu ifli daha ehlilere b - rak p matemati e dald k. 2 yi, 4 ü ve çarpmay tan mlay p 2 2 = 4 eflitli ini kan tlad k. Daha do rusu, 2 yi, 4 ü ve çarpmay, 2 2 = 4 eflitli i do ru olacak biçimde tan mlad k! flte matematiksel tan m böyle yap l r: Kavramlar, hissedilen gerçe i kan tlamaya olanak verecek biçimde tan mlan rlar. Ard ndan, do al say lar, toplamay, çarpmay ve s ralamay tan mlad k. Bu kavramlar, ne idü ü belirsiz bizim d fl - m zdaki gerçe i alg lay p taklit etmeye çal flarak de il, istedi imiz özelliklerinin kan tlanmas na izin verecek biçimde sadece ve sadece zihinsel olarak tan mlad k. Matemati in, daha do rusu modern matemati in düflünme biçimini oldukça iyi ortaya koyduk umar m. *** Birkaç y l önce, dönemin sonlar na do ru bir derste tahtaya Teorem: 2 2 = 4 yaz p kan tlam flt m. Kan t bitti inde ders de bitmiflti. Ama biraz geç kalm flt m, sosyoloji bölümü ö rencileri bir sonraki ders için kap ya y lm fllard. S n ftan ç kmak için kap ya do ru ad m m atar atmaz ö rencilerim tahtaya hücum edip alel acele tahtay silmeye bafllam fllard. Buna bir anlam verememifltim, bugüne dek hiç böyle bir fley yapmam fllard. Hayrola? diye sordum. Hocam, dedi içlerinden biri, sosyoloji ö rencileri görmesinler, ay plarlar... Çok güldüm... Elbette, sosyoloji ö rencileri ne bilsinler 2 2 = 4 ün derinli ini ve zorlu unu... Oysa ö renseler, gerçek üzerine daha fazla düflünürler. Düflünecek baflka ne var ki? *** Bir y l m z doldurduk. Göz aç p kapay ncaya kadar geçti. Kolay olmad ama her an ndan büyük bir zevk ald m. Üç ayda bir binlerce gence seslenme olana n bulamaz herkes. Ne flansl y m! *** Ocak 2004 itibar yla abone say m z 4200 ü, sat fl m z 8000 i aflm flt r. Bu, dünya çap nda bir baflar d r. Ama bize yetmez! Bir milyon okur hedefimizden flaflmad k! O hedefe ulaflt m zda, biz AB ye de il, AB bize girmek için kap m z afl nd racakt r. Gelece e umutla bakmam z sa layan bu yo un ilgiden dolay Yay n Kurulu ve TMD ad na tüm okurlara teflekkür ederim. Ayr ca, dergiye eme i geçenlere de okurlar m z ad na teflekkür eder, verdikleri eme in kuflaktan kufla a ve her seferinde ikiye katlanarak aktar laca n bilmelerini isterim. Dergiye hiç de küçümsenmeyecek katk s olan stanbul Bilgi Üniversitesi ne ayr ca teflekkürler. 1

2 SAH B : Türk Matematik Derne i ad na Prof. Dr. Tosun Terzio lu SORUMLU YAZI filer MD.: Prof. Dr. Ali Nesin Matematik Dünyas, Türk Matematik Derne i taraf ndan, stanbul Bilgi Üniversitesi nin ve UNESCO nun deste iyle üç ayda bir yay mlanmaktad r. Milli E itim Bakanl Talim Terbiye Kurulu Baflkanl n n 20 Haziran 1991 gün ve 660 YKD. Bas. K.I.fib. Müd say l karar yla okullara tavsiye edilmifltir! YAYIN KURULU: Ali Nesin, Ahmet Do an, fiafak Alpay, Haluk Oral ABONEL K: Y ll k TL. En az 10 kiflilik (tek adresli) gruplar için abone bafl na y ll k TL. TMD üyelerine TL. Yurtd fl abonelik TL. Y ll k abone ücretinin Türk Matematik Derne i nin Matematik Dünyas Dergisi ad na açt rd no lu Posta Çeki hesab na ya da Türkiye fl Bankas Galata ( stanbul) fiubesi (fiube kodu 1021) no lu Matematik Dünyas Dergisi hesab na yat r larak, dekontunun bir örne inin yaz flma adresine gönderilmesi yeterlidir. ABD Dolar Hesab : Türkiye fl Bankas, Galata fiubesi, Euro Hesab : Türkiye fl Bankas, Galata fiubesi, Derginin eski say lar n elde etmek için: Prof. Dr. Hülya fienkon Sabanc Üniversitesi Karaköy letiflim Merkezi Bankalar Cad Karaköy stanbul tmd@sabanciuniv.edu.tr hsenkon@iku.edu.tr (0212) / 1506 (0212) / 2216 KAR KATÜRLER: Tayfun Akgül TASARIM: Kadir Abbas / Maraton Dizgievi BASKI: Kad köy Matbaa ISSN: X letiflim Adresimiz Matematik Dünyas stanbul Bilgi Üniversitesi Kurtulufl Deresi Cd Dolapdere / STANBUL Tel : (0212) Faks : (0212) E-Posta : md@math.bilgi.edu.tr Web : Kapak Resmi: Tayfun Akgül çindekiler 1 Matematik Dünyas ndan Ali Nesin 3 K sa K sa... fiafak Alpay 5 Okurlardan 7 Bas nda Matematik 8 Duyduk Duymad k Demeyin! 9 51 Kapak Konusu: 2 2 = 4 9 Gerçek Nedir Ne De ildir? 11 Do al Say lar Ne Kadar Do ald r? 14 Do al Say lardan Ne stiyoruz? 15 Peano Belitleri 17 Sezgisel Anlamda Küme 19 Boflküme, Altküme ve Altkümeler Kümesi 21 Tümevar mla Kan t 25 Bileflim, Kesiflim, Fark 27 Russell Paradoksu 33 Biraz Kümeler Kuram ve Birkaç Do al say 38 Temellendirme Beliti 41 Do al Say lar Kümesi, Nihayet! 45 Toplama, Çarpma ve S ralama 48 Tümevar mla Kan t ve yi S ralama 49 Kulland m z Belitler 50 Özellik Nedir? 51 Ernst Zermelo Matematik Tarihi 52 Matemati in K sa Bir Tarihi IV Ali Ülger 54 Girolamo Cardano - Adem Kardano lu 59 ϕ Tarihinden Günümüze: lk fiifreleme Kitaplar Haluk Oral 61 Benim Tan d m Cahit Arf Robert P. Langlands Geometri 64 Morley in Mucizesi, Conway in Lokumu Alpaslan Parlakç 66 Morley Teoremi nin Bir Baflka Kan t Mustafa Ya c 67 Sinüs ve Kosinüs Hakk nda Bilmeniz Gereken Her fiey Ali Mustafa 69 Morley Teoremi nin Trigonometrik Kan t Alpaslan Parlakç Genel Matematik 70 Topoloji Köflesi: Metrik Uzaylar Burak Özba c 73 Polinom Denklemleri Özer Çözer 83 Cauchy nin Bir Eflitsizli i Afkan Aslanov Problemler ve Yar flmalar 76 Problemler ve Çözümleri Refail Alizade 80 Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü MatematikYar flmas III 84 Antalya Matematik Olimpiyatlar lham Aliev ve Mutlu Gülo lu Çeflitli 88 Bilgisayar Bilimi: S ralama Chris Stephenson ve Ali Nesin 93 E itim: Kâ t Katlama Süheyla Elmas ve Seyfullah H zarc 95 Sanat: Bir Portrenin Matemati i Burhan Kum 97 Bilmece: Eureka! Murat Kipel 100 Sihirbazl k: Abrakadabra Murat Kipel 101 Yay n Dünyas lhan keda 103 Ökkefl in Tüm Eserleri Dalga K ran ve Semih Poroy 104 Satranç Köflesi Eflref Eflkinat 106 nternet Dünyas Vebi Derya 108 Marquis Pierre-Simon de Laplace Piref. H. Ökkefl Dizin

3 K sa K sa... fiafak Alpay* / safak@metu.edu.tr Matematik Dünyas, 2003 K fl Emel İkeda Gündüz keda n n efli Emel keda 19 Aral k 2003 akflam kalbine yenik düflerek bizleri terketti. Matematik Dünyas okurlar Emel keda y yak ndan tan rlar, geçen say m zda yay mlanan söyleflisiyle hepimizin gönlünü fethetmiflti. O ullar lhan la Sinan n yas n paylafl yoruz. Türk matematik dünyas n n bafl sa olsun. Lisans Matematik E itimi üzerine üçüncü uluslararas konferans 30 Haziran 5 Temmuz aras nda stanbul da yap lacakt r. Daha fazla bilgiyi TMD nin web sitesinde ( adresinde bulabilirsiniz. Ayn sitede matematik dünyas hakk nda güncel bilgiler de vard r. Matematikseverlere duyurulur. Bu y lki Ulusal Sempozyum Van da 100. Y l Üniversitesi nde gerçekleflti. Sempozyumun ça r l konuflmac lar ODTÜ den Zafer Ercan ve Turgay Kaptano lu yla Bo aziçi Üniversitesi nden Cem Yalç n Y ld r m oldular. Üniversite rektörü Prof. Dr. Yücel Yücel Aflk n n aç fl konuflmas n gelecek say m zda bulabilirsiniz. III. Arf Konferans 4 Ekim de ODTÜ Cahit Arf Amfisi nde, Brown Üniversitesi ö retim üyesi David Mumford taraf ndan verildi. Yapt ve anlatt - matematikle dinleyenlerini büyüleyen Mumford, alçakgönüllü üyle de örnek al nacak bir kiflilik. Mumford un konuflmalar n n uygulamal matemati in ne olmas gerekti i konusunda da bizlere fl k tuttu unu ümit etmek istiyorum y l nda Paris te yap lan konferansta yirminci yüzy l matematikçilerine 23 problem sunan ve böylece geçen yüzy l n matemati ini derinden etkileyen Hilbert in problemlerinden üçü d fl nda hepsi çözülmüfltür. Hilbert in ünlü konferans n n metnini adresinden okuyabilirsiniz. Diferansiyel denklemlerle ilgili Hilbert in 16 nc probleminin Stockholm Üniversitesi doktora ö rencisi 22 Elin Oxenheim * ODTÜ Matematik Bölümü ö retim üyesi. 3 yafl ndaki Elin Oxenhielm in k smen çözdü ü duyuruldu. Araflt rma Nonlinear Analysis dergisinin bir sonraki say s nda yay mlanacak. Öte yandan... fiikoga daki Illinois Üniversitesi nden (UIC) mant kç Matthias Aschenbrenner makaleyi okudu unu, makalenin bariz yanl fllar bar nd rd n ve yazar n bu yanl fllar konusunda uyard n, ancak bu uyar lar n n yazar taraf ndan dikkate al nmad n, makalenin hakemlere tak laca n umdu unu ama nas l olmuflsa kabul edildi ini bir e-postayla duyurdu. Fermat n n Son Teoremi nin kan t n Ann. Math. 141 (1995) sayfa ve yine Ann. Math. 141 (1995) sayfa kaynaklar nda bulabilirsiniz. Bu teoremin kan t s ras nda Wiles in geçirdi i kiflisel deneyimlerini ise sitesinde bulabilirsiniz. Amerikan Matematik Derne i nin (AMS) Notices dergisi özellikle lisansüstü ö rencisi okurlar na yeni bir hizmet sunuyor. Notices AMS dergisi ne-nedir köflesinde okurlar n merak ettikleri konulara bir-iki sayfa ayr l yor. Merak ettiklerinizi noticeswhat@ams.org adresine göndermeniz yeterli. Notices AMS dergisinin May s 2003 say s nda yer alan bir makalede bir bilgisayar profesörü ve iki lisans ö rencisinin yapt 13 sat rl k programla bir tamsay n n asal olup olmad na polimon zamanda karar verilebiliyor. Matematik Dünyas n n benzeri olan ve Romanya da ç kan Gazeta Mathematica dergisi yüz yafl n kutluyor. Matematik Dünyas n n bir kardefli de Macaristan da 1894 ten beri yay mlanan Kö- MaL dergisi. KöMal, y lda iki kez ç k yor ve her say s 5 bin adet bas l yor. Ocak 2004 ten itibaren ünlü Compositio Mathematica dergisi Londra Matematik Derne i taraf ndan ç kart lacak te David Hilbert in Brouwer Math. Annalen dergisinin yaz kurulundan kovmas n n ard ndan, Brouwer taraf ndan bafllat lan dergi Hollanda da bas l p bir vak f taraf ndan ç kar l yordu. De iflikli in dergi fiyat n yüzde 30 azaltaca umuluyor.

4 Mete H. Soner European Mathematical Journal dergisinin editörleri aras na girdi. Mete hocam z bir ilki gerçeklefltirdi i için kutluyoruz. ODTÜ ö rencilerimizden Semen Köksal n yazarlar aras nda oldu u Monotone Mete H. Soner Flows and Rapid Convergence for Nonlinear P.D.E adl kitab Taylor ve Francis Yay nevi taraf ndan Londra da bas ld. Matematik Dünyas olarak sevgili Semen i de kutluyoruz. Matematikçilerin zaman ya da yer kazanmak için sarfettikleri buras aç k/bariz/aflikâr sözlerini duymuflsunuzdur kuflkusuz. Kaç n lmaz olmakla beraber, özen gösterilmesi gerekir bu sözleri söylerken. Bununla ilgili bir öykü David Wells in Penguin kitaplar ndan ç kan Curious and interesting mathematics adl kitapta yer al yor. Ders anlat rken buras aflikâr diyen G.H. Hardy ( ) uzunca bir süre tahta bafl nda durduktan sonra s n f terk edip yar m saat sonra gelir ve flimdi buras aflikâr... deyip dersine devam eder... Yap lan bir araflt rmaya göre, ABD de bir üniversite ö rencisi ders y l nda ders kitaplar na ortalama 898 dolar harcam fl. Bu miktar ders y l nda 642 dolarm fl. Ders kitab fiyatlar n n yay nevleri taraf ndan özellikle fliflirildi ine dair flikâyetler mahkemelere yans d. Hocalar n z n hocalar n n hocalar n n hocalar n ö renmek istiyorsan z nodak.edu/index.html adresine girin. Matematikçilerin soya ac n bulacaks n z. Lisans Matematik E itimi üzerine üçüncü uluslararas konferans 30 Haziran 5 Temmuz aras nda stanbul da yap lacakt r. Daha fazla bilgiyi TMD nin web sitesinde ( adresinde bulabilirsiniz. Her ne kadar iki say y çarpmak kolaysa da, bir say y çarpanlar na ay rmak pek o kadar kolay de- ildir. Hatta, bir say y çarpanlar na ay rmak, bir say n n asal olup olmad n anlamaktan daha zora benzer. fiifrelemede de say lar çarpanlar na ay rman n zorlu u kullan l r. Bu yüzden, say lar çarpanlara ay rmay bilmek sa l a zararl olabilir! Bir Alman ekibi, RSA-576 ad verilen 174 rakaml bir say y çarpanlar na ay rd ve böylece 10 bin dolarl k ödülü almaya hak kazand lar. 617 rakaml RSA-2048 i çarpanlar na ay ran dolar kazanacak. Ekme inizi adresinden kazanabilirsiniz. Ödüller Dergide birçok soruyla karfl laflacaks n z. Bu sorular aç k aç k sorulmam fl ya da iyi ifade edilmemifl olabilirler. Yan tlar n z, bulduklar n z, yazar belliyse yazar n adresine, yoksa dergi adresine 15 Mart 2004 tarihine kadar yollay n. Sordu umuz sorular n yan tlar n biz de bilmeyebiliriz! Yan tlad n z yada yan tlayamad - n z akl n za gelen sorular n z da bize yollay n. En güzel yan tlara (sorulara da!) ödül olarak kitap verece iz. Ödüllerimizin Baz lar Bir Matematikçinin Savunmas, G.H. Hardy, Tübitak Dr. Ecco nun fiafl rt c Serüvenleri, Dennis Shasha, Tübitak Rakamlar n Evrensel Tarihi II, Çak l Tafllar ndan Babil Kulesine, Georges Ifrah, Tübitak Rakamlar n Evrensel Tarihi III, Akdeniz K y lar nda Hesap, Georges Ifrah, Tübitak Rakamlar n Evrensel Tarihi IV, Uzak Do- u dan Maya Ülkesine Bir, ki, Üç..., Georges Ifrah, Tübitak Matematik ve Korku, Ali Nesin, stanbul Bilgi Üniversitesi Yay nlar Matematik ve Oyun, Ali Nesin, stanbul Bilgi Üniversitesi Yay nlar Matematik ve Do a, Ali Nesin, stanbul Bilgi Üniversitesi Yay nlar Matematik ve Sonsuz, Ali Nesin, stanbul Bilgi Üniversitesi Yay nlar Develerle Eflekler, Ali Nesin, stanbul Bilgi Üniversitesi Yay nlar Ödül Kazananlar Alper Çay, Oktay Balk fl, Mustafa Dönmez, Yaflar Dönmez, Aras Erzurumluo lu, Enes Dinçer, Osman Arfl n, Ayfle Borat, Problemler ve Çözümleri ne yollad klar yan tlardan dolay ödül kazanm fllard r. Ödüller adreslerine postalanacakt r. Mustafa ve Yaflar Dönmez ayr ca elips sorusuna da do ru cevap vermifllerdir. 4

5 Okurlardan E. Mehmet K ral dan Ben dergiyi K fl say s ndan beri okuyorum ve çok be eniyorum. Bugün Güz say s da elime geçti ve çok mutlu oldum. Ancak Mustafa Saka n n yazm fl oldu u mektup/öneri beni dehflete düflürdü. Çok iyi niyetli önerilerde bulunmufl, ancak ben bunlardan hiç haz etmedim. Dergideki matemati- in soyut olmas ndan yak nm fl. Somut matemati i tam anlamasam da flu anda dergideki matematikten çok memnun oldu um için herhangi bir de iflikli e karfl y m. Ayr ca lütfen bizi üniversite girifl s navlar na için haz rlamay n. Ben bir lise 3 ö rencisi olarak bunu en çok isteyen kifli olmal y m. Yeterince ÖSS haz rl k dergisi var. Birine daha gerek yok. Ayr ca lütfen ekonomistlerin, mühendislerin, teknisyenlerin ifllemleri aras nda bo may n bizi. Ayr ca matematik üstüne yaz lm fl yaz lardan çok matematik yaz lar na a rl k vermenizi istiyorum. Asl nda istediklerimin hepsi flu andaki dergide de mevcut. Ben sadece bir de ifliklik yap lmas n ve bu okur mektubunu hoflnut edecek yönde bir de iflikli e gidilmesin diyorum. Berdar Vera dan Dergiyi daha s k ç karmak mümkün de il mi? Çok geç ç k yor, sab rs zlan yoruz. Ayl k ya da en az ndan 45 günlük yapamaz m s n z? Kolay gelsin. MD. Ne güzel övgü... Çok sa olun. Ama çok ac mas zs n z... Derginin bir say s o kadar zaman al yor ki... clal Arapo lu dan Bir devlet ilkö retim okulunda matematik ö retmenli i yap yorum. Ö rencilerime dersimi sevdirme konusunda sorular n zdan faydalan yorum. Derslerimizde kullanmak üzere fikir ve görüfllerinizle yard mc olursan z sevinirim. Asl nda bir hayalim var ama gerçekleflmesi çok zor: her okulda bir matematik oyun odas... Çocuklar m hayal kurmay bilmedikleri için soyut kavramlar kafalar nda çanland rmada zorluk çekiyorlar. Neyse... Derginizde bir sayfayla bize destek olusan z sevinirim. MD. Elimizden geleni yapaca z. Herkese seslenmek isterken kimseye seslenmemekten korkuyoruz biraz. Ama çok hakl s n z. Böyle bir eksiklik var ve giderilmesi gerekiyor, bak n z sayfa 93. Dinçer Kavral dan Dergi dört dörtlük, mükemmel olmufl. Ama belirtmek istedi im baflka bir nokta var. Son say n n okur mektuplar n incelerken fark ettim, sayfalar n kalitesinin art r lmas yönünde yo un bir istek oldu- u söylenmifl. Ben de kalitenin düflürülmesinden yanay m. San mca, bu sayede bask say s art r labilir ve bir dergi fiyat na belki iki dergi ç kar; biz de bu ikinci dergiyi okullara gönderebiliriz. Esengül Erdem den Hacettepe Üniversitesi nde matematik ö rencisiyim. Matematik Dünyas n n eski say lar elime geçti ( ) ve biraz inceleme f rsat buldum. Sonuçta, bugün yay mlanan say lardan daha dolu oldu u düflüncesi olufltu. Tabii bunca olanaks zl klar içindeyken ve ülkede matematik ad na çok az fley yap l rken bu giriflimi çok anlaml buluyorum ve ben de hem kendi geliflimim hem de sadece elefltiri yapmakla kalmam fl olmak için dergiye yaz göndermek istiyorum. MD. Katk lar n z bekliyoruz. Zamanla daha da zenginleflece iz. Ziver Malhaso lu ndan Keflke web sayfas n n ngilizcesi de olsayd da dünya Türkiye de matematik ad na neler yap l yor görebilseydi... MD. Teflekkürler... Boflverin ama öbürlerini, vars n azgeliflmifl kals nlar... Pelin Özel den Asl nda bir matematik dergisi tam olarak nas l olmal bilmiyorum, eminim siz benden daha iyi biliyorsunuzdur. Ama yine de görüfllerimi aç klamak istiyorum. lk olarak bence derginiz gerçekten güzel, ne yaz k ki ülkemizde bu tarz bilimsel dergilere pek fazla rastlanm yor. Konu seçimine, yaz lar na, içeri- ine ekleyebilece im bir fley yok. Ama bence biraz 5

6 daha siyasal olmal. Yani siyasal derken kastetti im siyasi mesajlar vermeli ya da propaganda yapmal de il. Ama e itim sorunlar ya da e itim sistemimizdeki hatalara de inilebilir belki. Asl nda bu say n zda Ahmet Do an n yaz s güzeldi ama bence bu tarz yaz lar biraz daha art r lmal. Siz de biliyorsunuz ülkemizdeki bu sorunlar n ne kadar ciddi boyutlarda oldu unu. Ayd n geçinen pek çok kifli iflin belki bilimsel yan yla ilgileniyor, ama ayd n sadece pek çok konuda bilgisi olan insan de il, bu bilgilerini di er insanlarla da paylaflmas n bilen kiflidir. Hatta ayd n kifli, bence insanlar n dikkatini sorunlar üzerine çeken, onlar n bu konudaki problemlerin d fl nda kalmamalar n hatta mümkünse bu problemleri düzeltmeleri için onlara yol gösteren olmal d r. Ne yaz k ki hiçbir fleyle ilgilenmeyen bir gençlik yetifliyor. Tek derdi giydi i k yafet, erkek arkadafl ya da kilolar olan bir gençlik. Bu gerçekten çok üzücü ve kimi zaman insan umutsuzlu a düflürüyor. Bu nedenle bana, benim gibi düflünenlere, sizin gibi ö retmenlere pek çok görev düfltü üne inan yorum. Bu yüzden de insanlar e itebilece imiz, kimbilir belki de dönüfltürebilece imiz her f rsat kullanmak gerekiyor. Bence bu dergi de bunun için kullan labilir. Matematik e itiminin asl nda nas l olmas gerekti i, ezberci e itim sisteminin yararl olmad, bilimsel e itimin gelifltirilmesi gerekti i her f rsatta dile getirilmeli. MD. Bir gün 24 saat, bir hafta 7 gün, bu dergi de 112 sayfa! Her fley s m yor. K s tl yerimizde e itimden sözetmek yerine e itimin kendisini yapmak daha iyi de il mi? Bir Okurdan Matematik Dünyas hakk nda hiçbir bilgim olmamakla birlikte bize okulda yap lan bask can m s k yor. MD. Do rusu bizim de çok can m z s k ld. Ama okulunuzun ad n yazmam fls n z. Siz böyle korktukça daha ne bask lar görürsünüz! Bir ö renciden. Ben Süleyman Demirel Üniversitesi Teknik E itim Fakultesi son s n f ö rencisiyim. Benim bitirme ödevim teknik e itim Ad n sakl tutan bir okurdan: Ben fakir ama kafas çal flan amatör bir matematikçiyim. Matemati imle para kazanmak isterim. Her ay zor bir ödüllü soru sorulsun. En iyi yan t veren yada yan t verenler aras ndan rastgele seçilen biri ödülü als n. MD. da para ödüllü sorular var. Ayr ca wolfram.com/topics/prizes.html adresinde dünyaca ünlü matematik ödüllerinin listesini bulacaks n z. Bir de bu say n n K sa K sa bölümünü okuyun. fakültelerinde matematik e itimi. Bu konuyla ilgili yard mc olursan z sevinirim. MD. Sevgili son s n f ö rencisi, bu konuda bizim senden ö reneceklerimiz varken, sen bize soruyorsun. N olur, flu konuyu bigüzel ö renip bizi de ayd nlat ver. Dört y l boflu bofluna okumad n ya! Murat Murathano lu ndan Derginizin sadece matematik alan nda yo unlaflt ndan emin misiniz? Merhabalar Türkiye nin idealist, entellektüel,... bilim insanlar. Derginiz maalesef o kadar iyi de- il. Avrupa-i bir tarzla yay n yapman z, sefiller rolüyle bilgelik taslaman z bu ülke insan n aldatma lüksünü sizlere vermeyecek. Anlamak güç, anlamamak kolay, kolay tercih edip zora selam verip geçmek sizlerin içinizde... Neyse yeteri kadar moralinizi bozduysam mutluyum. Haydi gülegüle. H. Akgün den Matematik Dünyas gibi bir dergi ç kard n z için size minnettar m. Bence büyük bir bofllu u dolduruyor. Fakat derginin içeri inde biraz daha asimetrik olsan z... Yani ç lg n matematikçilerin beyinleri buland ran s n rötesi düflüncelerini dergiye katsan z daha e lenceli olur diye düflünüyorum. Çünkü insan bunlarla ilgilendikçe en do al olarak kabul etti i, do rulu una kesin olarak inand ve hatta hayat boyunca acaba bu gerçekten do ru mu? diye sormaya tenezzül etmeyecek derecede inand fleylerin bile do ru olamayaca ihtimalini farketti inde daha sorgulay c, daha elefltirel, flartlanmalardan kurtulup kendi akl yla yaflamaya bafllayan biri olmaya bafll yor. Ç lg n matematikçiler, beyinleri buland ran s n rötesi düflünceler dememin sebebi de bu insanlar n flartlanmalar y kabilecek cesareti kendilerinde bulabilmeleridir. Yani sorgulama yetenekleri. Bu her ne kadar basitmifl gibi gözükse de o kadar basit de il diye düflünüyorum. Bir sonraki say y merakla bekliyorum. 6

7 En büyük asal say bulundu... (Milliyet, 4 Aral k 2003) 200 binden fazla bilgisayar n kullan ld 2 y ll k çal flma sonucunda, 6 milyon 320 bin 430 basamakl en büyük asal say tespit edildi. New Scientist dergisinde yay mlanan habere göre, bulunan asal say bir Mersenne asal say s. Mersenne asallar, 2 p 1 biçiminde yaz lan özel bir say s n f na ait. Burada p de bir asal say. Mersenne asallar 3, 7, 31, 127,... diye devam ediyor. Asal say lar, yaln zca 1 e ve kendilerine bölünebiliyor. 6 milyonun üzerinde basama olan en büyük Mersenne asal say s n n 17 Kas m 2003 tarihinde Michael Shafer isimli Amerikal bir üniversite ö rencisi taraf ndan bulundu u belirtilen haberde, say n n gerçekten bir Mersenne as l say s oldu unun yeni do ruland kaydedildi. Yeni bulunan asal say yla Mersenne asallar n n say s n n 40 a ç kt ifade edilen haberde, say n n, olarak ifade edildi i belirtildi. Belli bir p 2 do al say için, u p 1 biçiminde yaz lan bir say n n asal oldu unu varsayal m. u p 1 = (u 1)(u p 1 + u p u + 1) eflitli inden u = 2 ç kar. Ayr ca p nin de asal olmas gerekir, çünkü p = ab ise ve 2 a yerine v yazarsak, 2 p 1= 2 ab 1 = (2 a ) b 1 = v b 1 = (v 1)(v b 1 + v b v + 1) elde ederiz. Bundan da ya v = 2 (yani a = 1) ya da b = 1 ç kar. 2 p 1 biçiminde yaz lan asal say lara Mersenne asallar denir. Say n n Ç kt s n Almak çin 5 Top Kâ t Gerekiyor. Bilgisayar ekran na hiç boflluksuz 2700 kadar karakter s yor. Bu durumda bulunan say ancak 2390 ekran sayfas na s yor. Ç kt almak için yaklafl k 5 top ka t gerekiyor. Mersenne asal n n hane say s n flimdilik 6 milyona tafl yan Shafer, 200 binden fazla masa üstü bilgisayar n ba l oldu u ve k sa ad GIMPS olan Büyük nternet Mersenne Asal Say Araflt rmas projesinin 60 binden fazla gönüllü üyesinden biri. Binlerce bilgisayar n birleflmesiyle, bir bilgisayar n binlerce y lda yapaca hesaplar, çok daha k sa sürede yap labiliyor. Haberde, bundan önce George Cameron isimli 20 yafl nda Kanadal bir amatör matematikçi taraf ndan bulunan 39uncu Mersenne asal n n hane say s n n 4 milyon bin 946 oldu u ve olarak ifade edildi i kaydedildi. Electronic Frontier Foundation isimli bir vak f, 10 milyon haneli Mersenne asal say s n bulana 100 bin dolar ödül verecek. MD. En büyük asal olamaz elbet. Haberde, bugüne dek bulunan en büyük asal denmek isteniyor. Milli E itim, Ç ra an Ö rencisi Uslu yu ödüllendirdi. / ltifat Neciyev, Gebze (Zaman, 1 Kas m 2003) Gebze Özel Ç ra an lkö retim Okulu ö rencisi Aycan Uslu, 7. Ulusal Matematik Olimpiyat ve Balkan ülkeleri aras yap lan 6. Gençlik Matematik Olimpiyat nda gösterdi i baflar s ndan dolay Milli E itim Bakanl taraf ndan ödüllendirildi. 7. Ulusal Matematik Olimpiyat Türkiye birincisi olarak alt n madalya alan Özel Ç ra an lkö retim Okulu ö rencisi Uslu, Balkan ülkeleri aras yap lan 6. Gençlik Matematik Olimpiyat nda da ülkemizi temsil ederek üçüncü olmufl ve bronz madalya kazanm flt. Bakanl k taraf ndan takdir belgesi, iki cumhuriyet alt n ve Gebze Milli E itim Müdürlü ü nden de bir yar m cumhuriyet alt n yla ödülllendirilen Uslu ya, arma anlar Cumhuriyet Bayram nda takdim edildi. Takdir belgesinde Atatürk ün cumhuriyeti emanet etti i gençler olarak, uluslararas yar flmalarda elde etmifl oldu unuz baflar larla ülkemizin tan t lmas na yapt n z katk dan dolay teflekkür ederiz. Ülkemiz sizinle ve sizin gibi ö rencilerle gurur duyuyor ifadeleri yer al yor. Gebze de yap lan Cumhuriyet Bayram kutlamalar nda konuflan Gebze Kaymakam M. Emin Avc, ödülleri verirken, Siz Gebze nin ve Türkiye nin gururu oldunuz. flte böyle baflar l ö rencileri hep görmek istiyoruz dedi. Gebze Kaymakam Avc, Uslu yu yetifltiren Özel Ç ra an lkö retim Okulu nu bu muhteflem baflar s ndan dolay ayr ca tebrik etti. 7

8 TMD den mesaj var! Türk Matematik Derne i nin Say n Üyeleri, 1. Dernek aidat n z ödediyseniz teflekkürlerimizi sunar z. Henüz ödeyemediyseniz, h.senkon@iku.e-du.tr veya tmd@sabanciuniv.edu adreslerinden birine mesaj yollayarak borcunuzu ö renmenizi ve derne imizin numaral posta çeki hesab m za veya fl Bankas Galata flubesindeki numaral hesab m za yat rman z rica ederiz. 2. Posta adresiniz, elektronik posta adresiniz veya özlük bilgilerinizde de ifliklik oldu u takdirde yukar daki adreslerden birine baflvurarak, güncellemeyi sa laman z önemle rica ederiz. Sayg lar m zla, Hülya fienkon srail-bar Ilan Üniversitesi Türkiye den post-doktora ö rencisi ar yor. Ba lant için Boris Kunyavski, kunyav@macs.biu.ac.il. Alt nc Antalya Cebir Günleri May s 2004 tarihleri aras nda Antalya da yap lacak. Internet sitesi: Liselilerin yar flt Üçüncü Cahit Arf Matematik Günleri Mart ve Nisan ay nda stanbul Bilgi Üniversitesi nde gerçekleflecektir. Daha fazla bilgi için (0212) , Geçmifl y llar n yar flmalar için Duyduk Duymad k Demeyin! MD Kurum Aboneli i (Aral k 2003) Üniversiteler Lise ve Kolejler Dersaneler Atatürk Ü.,K.K.E.F. Matematik 145 Akdeniz K. 57 Mef Dershaneleri 51 Zonguldak Karaelmas Ü., Matematik 128 Ö. Çukurova Bilfen K. 43 U ur Dershaneleri 26 Ankara Ü., Matematik 128 Adem Tolunay Anadolu L. 30 Özyüksel Dershanesi-Tekirda 21 Anadolu Ü., Matematik 128 Tekirda Fen L. 24 Isparta Dershanesi 20 Uluda Ü., Matematik 115 Mef Okullar 21 Fen Bilimleri Merkezi 15 Dokuz Eylül Ü., Matematik 112 Mu la Anadolu Lisesi 21 Final Dergisi Dershaneleri 15 stanbul Bilgi Ü., Toplam98 Ö. Fatih Fen L. 20 Fen Bilimleri Dershanesi 14 Süleyman Demirel Ü., Matematik 76 Konak Anadolu L. 19 At l m Fen Dershanesi 10 Trakya Ü., Matematik 71 Kütahya Fen Lisesi 18 Bat Dershaneleri 5 Hacettepe Ü., E itim Fakültesi 67 Ö. Eyübo lu Fen L. 17 Büyük Kocaeli Dershanesi 5 nönü Ü., Matematik 61 Atatürk Fen L TMD den Matematik Bursu Dergimiz umulmad k bir sat fla ve abone say s na ulafl nca, kasas nda para görmeye pek al fl k olmayan ve kâr amac gütmeyen Türk Matematik Derne i, de erli hocalar m z Cahit Arf ve Gündüz keda ad na birer burs vermeye karar vermifltir. Burs, Türkiye de matematik bölümlerinde okuyan ya da o y l okuyacak ö rencilere, baflar l bulunduklar taktirde, ö renimleri boyunca verilecektir. Burs miktar önümüzdeki ö renim y l için ayda 250 milyon TL olarak belirlenmifltir. Bütçenin durumuna göre burs say s ya da miktar her y l art r labilir. Ayr ca, verilen burs say s n art rmak amac yla TMD özel bir havuz hesab açm flt r. Havuzda biriken ve MD nin her say - s nda yay mlanacak olan tutara göre yeni burslar verilecektir. 25 okurumuzun ayl k 10 milyonluk ba fl yla genç bir matematikçi desteklenebilir. Hesap numaram z: fl Bankas, Galata fiubesi, No Katk lar - n z bekliyoruz. Burs yönetmeli i flu s ralarda haz rlanmaktad r. Gelecek say m zda bu konuda daha ayr nt l bilgi verece iz. Birçok abonemizin aboneli i bu say yla sona eriyor te abone fiyatlar m z de iflmemifltir. Aboneli inizi yenilemeyi unutmay n. MD

9 Kapak Konusu: 2 2 = 4 Gerçek Nedir Ne De ildir? Befl ki kere iki dört eder Fakat ben beflim Kaf da ndan afl rd m beflimi Kaf da nda flenlik var Kaf da ndaki flenlikten kimin haberi var NAH D ULV / 1946 Gerçek nedir, var m d r, varsa benden ba ms z m d r ve ona nas l ulafl l r? Do ru nedir? Anlamak ne demektir? Bir fleyi nas l anlar z ve anlad m z nas l anlar z? Düflünmek ne demektir? Baz verilerden bir baflka sonuç nas l, hangi kurallara göre ç kar l r? Kan t nedir? Bu ve benzeri sorular sürekli sormadan, verilen yan tlar sürekli sorgulamadan tam anlam yla ayd n olunamaz. Her ayd n bu sorular n yan tlar n vermelidir demiyoruz, çünkü bunlar yan ts z sorular da olabilir, biz sadece ayd n n bu konularda sürekli düflünmesi ve kendi kendine tart flmas gerekti ini söylüyoruz. Ayd n, kendi ç karlar n gözard ederek ve toplumun ç karlar n düflünerek toplumu yönlendirmek ve de ifltirmek isteyen kiflidir. Bizce... Ayd n bu görevini yazarak, çizerek, çal p söyleyerek, konuflarak yerine getirir, dolay s yla ayd n topluma mesaj iletir. E er sorumluluk sahibiyse, ki öyle olmas gerekir, ayd n n topluma verdi i mesaj hakk nda düflünmesi gerekir. Bu da ister istemez yukardaki sorular sordurtur. Ahmet in ya da Ayfle nin gerçe i (ya da do rusu) de iflik olabilir, Ahmet ve Ayfle olaylar de iflik yaflayabilirler. Gerçek, kifliden kifliye de iflti i gibi co rafyadan co rafyaya da de iflir: Türkiye nin gerçe iyle ABD nin gerçe i bir olamaz. Gerçek, kifliye ve co rafyaya göre de iflti i gibi zamana göre de de iflir: Ortaça n gerçe iyle bugünün gerçe i bir de ildir. Bunlar herkesin bildi i ya da bildi ini sand, kahvede bile duyabilece imiz beylik sözler. Herhalde bunlardan söz edece imi sanm yorsunuz böyle seçkin bir dergide! 9 Gerçe in ve do runun kifliye, co rafyaya ve tarihe göre de iflece ini söylerken, sözünü etti imiz gerçe in ya da do runun ne oldu unu biliyor muyuz? Gerçek ya da do ru üzerine herhangi bir söz edebilmek için önce bu kavramlar n ne olduklar n bilmeliyiz. Tan m bilinmeyen bir kavram üzerine ne söyleyebiliriz ki? Demokrasi en iyi yönetim biçimidir tümcesini ele alal m. Bu tümce ne kadar do rudur? Böyle bir ifadenin do ru olmas için her fleyden önce demokrasi nin tan mlanmas gerekir. Demokrasi tan mland ktan sonra yönetim biçimi tan mlanmal. Arkas ndan en iyi tamlamas tan mlanmal. Ve tüm bu tan mlar yap ld ktan sonra demokrasi en iyi yönetim biçimidir tümcesi kan tlanmal. flte ancak o zaman demokrasi en iyi yönetim biçimidir tümcesi do ru olabilir. Yanl fl anlafl lmas n, tersini söylemiyoruz, hafla, biz sadece söyledi imizin ne kadar do ru oldu unu tart fl yoruz. Tabii, bir baflkas, benim demokrasi, yönetim biçimi ve en iyi tan mlar m de iflik deyip sizin gerçek diye sundu unuz önermeyi reddedebilir. Ama siz de buna karfl, Bu kavramlara benim verdi im tan mlarla önerme do rudur diyebilirsiniz. E er kan t n z do ruysa kimse buna karfl ç kamaz. Demokrasi nin tan m ne olmal d r tart flmas baflka bir tart flmad r, do ru/gerçek nedir? tart flmas na dahil de ildir, ya da çok ucundan, çok dolayl olarak dahildir. Yukarda tan mlardan ve kan ttan sözettik. Tan mlar verildikten sonra, yani tümcenin (ya da önermenin) anlam iyice anlafl ld ktan sonra, tümcenin kan tlanmas gerekti ini söyledik. Kan t üzerine daha çok yo unlaflmak için anlam bilinen bir tümceyi ele alal m: Ankara Türkiye nin baflkentidir. Bu tümcenin do ru oldu undan kuflkumuz yok herhalde. Ankara n n, Türkiye nin ve baflkent in tan mlar belli. Peki nas l kan tlars n z do ru oldu- unu bildi iniz bu tümceyi? Anayasa da öyle yaz - yor demeniz yeterli midir? E er baflkent in tan - m nda böyle yaz yorsa yeterlidir elbet. Ben de size

10 Gösterin Anayasa y derim. Diyelim Anayasa y buldunuz, do ru sayfay aç p önüme koydunuz. Nerden belli bunun gerçek Anayasa oldu u diye sorabilirim size. O zaman birlikte Ankara ya gideriz, TBMM tutanaklar na bakar z. Milletvekillerinin imzalar orada, hepsi Ankara y baflkent ilan etmifller. Bu kez Nerden belli bu imzalar n sahte olmad? diye sorar m size... Bana hiçbir biçimde Ankara n n Türkiye nin baflkenti oldu unu kan tlayamazs n z. Tüm Türkiye tek a zdan Ankara Türkiye nin baflkentidir diye ba rsa, gene de ikna olmayabilirim. Yani, büyük bir olas l kla öyledir, Ankara gerçekten Türkiye nin baflkentidir ama yüzde yüz ikna olmam. Belki benim tuhaf bir hastal m vard r, bu öyle bir hastal kt r ki, Türkiye nin baflkentinin Ankara olmad n ö rendi im anda ölece im... Siz hepiniz bunu biliyorsunuz ama ben bilmiyorum. sterseniz paranoya deyin, ama içime öyle bir kuflku düflüverdi birden. Ölece imi bildi inizden ve ölmemi istemedi inizden, bana numara yap yorsunuz, bana oyun oynuyorsunuz. Çocuklu umdan beri kand r lm - fl m... Benim için özel gazeteler bas lm fl, özel haritalar çizilmifl... Hâlâ daha kand r yorsunuz... Yutmam! Elinize bir elma al n. Bu elmay b rak rsan z ne olur? Elma düfler. Öyle mi? Nerden biliyorsunuz elman n düflece ini? B rak rs n z elmay, elma gerçekten düfler. flte, dersiniz bana, elma düfltü. Gerçekten de elma düfltü. Gözlerimle gördüm. Hakl ym fls n z. Peki... Bir daha b raksan z ne olur acaba? Gene düfler elbet! Nerden belli? Çünkü hep düfltü! Biliyorum hep düfltü ünü, ama bundan sonra ne olacak acaba? Gene düflecek... Nerden biliyorsunuz hep düflece ini? Bugüne kadar hep düfltü, bundan sonra da hep düflecek... Bugüne kadar elman n hep düflmesi bundan sonra da elman n hep düflece i anlam na gelmez ki! Gelir... Neden? Çünkü ayn koflullarda tekrarlanan deneyler ayn sonuçlar verir... Neden? Bu bir ilkedir, fizik ilkesi! Bunu da m bilmiyorsun! Biliyorum ya da bilmiyorum... Ama siz nerden biliyorsunuz bu ilkeyi? Bu ilkeye göre ben hiç ölmeyece im, çünkü bugüne dek hiç ölmedim! flte burada çuvallars n z. Ayn koflullarda tekrarlanan deneylerin ayn sonuçlar verdi ini kan tlayamazs n z. Dolay s yla elman n da hep yere düflece ini kan tlayamazs n z. Bir gün bir içki masas nda bu konulardan söz ederken, hatta önümüzdeki fliflenin var olup olmad ndan bile emin olamayaca m z söylerken, bir arkadafl m, fiimdi, dedi, kafana geçiririm bu flifleyi, anlars n fliflenin gerçek olup olmad n! Çok komik! Ben dahil hepimiz güldük. Konunun derinli ine yak flan ciddiyete geçti imizde flöyle yan tlad m arkadafl m : Kafama bir fley geçirmiflsindir ve ben sersemlemiflimdir. Bundan benim kuflkum olmayabilir. Ama, bir, kafama gerçekten flifle mi geçirdin? ki, kafama gerçekten bir flifle geçirmifl olsan bile, bunu baflkalar na kan tlayabilir miyiz? Senin bu eylemini filme al p cümle âleme göstersek bile, filmin sahte oldu unu öne sürüp inanmayanlar olabilir. Saddam n yakaland na bile inanmayanlar var, sahtesinin yakalanm fl olaca n öne sürüyorlar! Baflkas n ikna edemedi in bir önerme gerçek addedilebilir mi? Gerçek, baflkas n ikna edebildi in ölçüde gerçektir! Bu son söyledi im gerçe in bir tan m olabilir mi? Felsefi anlamda bilmiyorum ama matematiksel anlamda gerçek, istisnas z herkesi do rulu una yüzdeyüz ikna edebilece imiz önermedir. Bu anlamda tek bir gerçek vard r, o da matematiksel gerçektir. Bu anlamda baflka gerçek yoktur, olamaz. Matematiksel gerçe i de sadece zihnimizde alg lar z. flte bu say da = 4 gerçe i nin matematiksel anlamda nas l gerçek oldu unu görece iz, di- er tür gerçeklerle aras ndaki fark irdeleyece iz. Çok önemli yaz lar okuyacaks n z. Gerçekten! 10

11 Kapak Konusu: 2 2 = 4 Do al Say lar Ne Kadar Do ald r? Kapak konumuz say lar. Say lar anlayaca z. Say lar anlamak deyince, sanki bizim d fl - m zda bir yerde, çok belirgin ve fiziksel bir biçimde say lar var da biz onlar anlamak istiyoruz gibi bir anlam ç kabilir. Anlamak üzerine düflünelim biraz. Anlamak ne demektir? Neyi, nas l ve ne dereceye kadar anlayabiliriz? Anlama çeflitleri nelerdir? Bu tür sorularla ilgilenece iz bu yaz da. Derin felsefe... Daha derini yok! Ya da ben bilmiyorum. Say lar anlamak la zürafalar anlamak aras nda bir ayr m var m? Var gibi Zürafalar orada. Karfl mdalar. Otluyorlar, geziniyorlar, koflufluyorlar. Görüyorum onlar. Zürafalar n sindirim sistemini anlamaya çal flabilirim örne in. Çünkü o sindirim sistemi orada. Benden ba ms z bir biçimde var. Oysa say lar ortal kta görünmüyorlar. Ben hiç befl görmedim hayat mda, bundan sonra da görmeyece im. fiimdiye kadar kimse çok güzel bir befl geçti kap m n önünden dememifltir, çünkü befl geçmez, befl yürümez, befl k r lmaz, befl uçmaz, befl susamaz, ac kmaz, yafllanmaz, ölmez Befl hiçbir fley yapmaz! Oysa zürafa bir fleyler yapar Zürafa orada. Bu çok belli. Oysa befl in ne kadar orada oldu u pek belli de il. Zürafay al r karfl ma incelerim, ama ya befl i? Her ne kadar befl zürafa bir anlam ifade ediyorsa da, tek bafl na befl in ne anlama geldi i o kadar belli de il. Befl zürafa bir anlam ifade ediyor mu dedim? Yan ld m galiba... Bir zürafa n n anlam ve hatta fiziksel varl bile tart fl labilir, çünkü o bir zürafa durmadan de iflmektedir. O durmadan de iflen zürafaya sanki hiç de iflmezmifl, sanki sabit bir varl km fl gibi zürafa denmesi tam gerçe i yans tmaz. Her zürafa bir di erinden de ifliktir ve her zürafa her an de iflir. Bir zürafa de il, durmadan de iflen zürafalar vard r! Hatta daha do mam fl zürafalar bile vard r! Dolay s yla asl nda zürafa da bir kavramd r. zürafa, zürafa ad n verdi imiz durmadan de iflen varl klar n ortak ad - d r. Zürafa san ld ndan daha soyut bir fleydir. Peki zürafa bir kavramsa, befl zürafa ne demektir? Ayn kavramdan befl tane olur mu? Galiba befl zürafa, zürafa kavram n n kapsam na giren varl klar n befli anlam na geliyor O varl klar da durmadan de ifltiklerinden tümüyle kavrayamayaca m z, bütünüyle alg layamayaca m z fleyler. Birini bile kavrayamazken biz beflinden sözediyoruz Hayvan zürafa ölür, kavram zürafa ölmez. Hayvan zürafa durmadan de iflir, kavram zürafa hiç de iflmez. Hayvan zürafayla kavram zürafay birbirine kar flt rmamak laz m. Kavram zürafa befl e çok daha yak n. Konu gittikçe karmafl klafl yor ve içinden ç k lmaz bir hal al yor. Neyse ne!.. Sonuç olarak zürafa ne de olsa zürafad r. Oradad r. Yads namaz bir biçimde, ya da çok zor yads n r bir biçimde... Oysa say lar bir zürafa kadar orada de iller. Say lar göremiyoruz diye say lar yok diyebilir miyiz? Belli ki say lar var. Bak n, sözünü ediyorum flimdi ve anlafl yoruz. Say lar, hiçbir yerde olmasalar beynimizde varlar. Zihinsel bile olsalar varlar. Zürafalarla ayn düzlemde de il belki ama befl de var. Descartes yazsayd bu sat rlar, befl i düflünüyorum demek ki befl var derdi. Hakl olarak Ço u insan n bir elinde befl parmak vard r. Bunu herkes bilir. Demek ki hepimizin uzlaflt bir befl kavram var. çinde befl geçen bu önermeyi hepimiz anl yoruz ve do ru buluyoruz. Demek ki befl e ortak bir anlam verebiliyoruz. Tüm insanlar n befl e ortak bir anlam vermeleri, herhalde ancak befl in bizden ba ms z bir biçimde var olmas yla olabilir. 11

12 Kald ki, befl kavram birbiriyle hiç iliflkisi olmam fl uygarl klar taraf ndan birbirinden ba ms z olarak da bulunmufltur. Demek ki bizim d fl m zda bir yerde var bu befl Öyle olmal Var ki biraz düflünebilen her uygarl k belli bir seviyeye gelince befl i kavr yor ve kavram olarak benimsiyor. Ak ll uzayl lar varsa, onlar da befl kavram n bir süre sonra yarat rlar/bulurlar. Mutlaka Öyle san yorum. Befl kavram sadece dünyam za özgü de il. Tüm evrende, do ada, her yerde olan bir kavram. Galiba befl salt zihinsel de il... O da orada bir yerde. Tam nerede bilmiyorum ama oralarda bir yerlerde bir befl olmal. Görmesek de, dokunmasak da o befl bizim beflimizdir. Befl in kendisi olmasa ( befl in kendisi ne demekse!) bile befl kavram benim d fl mda bir yerde var. Sadece düflünce olarak var baflka türlü var olamaz ama var (Benden ba ms z düflünce olabilir mi do ada? Felsefi sorular n flah!) Var ki hepimiz anlafl - yoruz befl konusunda. Belki de do a bana befl befl befl diye f s ld - yor ve ben beynimi kullanarak o befl kavram n yarat yorum/buluyorum. Say lar anlamak gibi son derece masum bir u rafl bizi varl k ve yokluk gibi çok derin felsefi sorulara götürdü Sorular ma tam yan t veremedim. Birtak m ç - kar mlarda bulunup say lar n orada bir yerde olduklar sonucunu ç kard m ama bu ç kar mlar mdan bende pek emin de ilim, yüzde yüz ikna olmad m, ben ikna olsam da sizi ikna edemiyor olabilirim. Matematik dünyas ndan çok ç kt k Yan t n bulamad m z sorularla zaman harcamay p devam edelim Do ada var ya da yok, befl i anlamak istiyorum. Befl i anlamak için önce befl in ne oldu unu bilmeliyim. Yani befl i tan mlamal y m. Bir deneme yapal m: Befl i bir elin parmak say s olarak tan mlayal m. Biraz demagoji yap p bu tan ma karfl ç kabilirim ama ç kmayaca m. Bir an için bu tan m kabul edip befl i anlamaya çal flal m Befl i tan mlad ktan sonra befl i anlamak ne demektir sorusu geliyor akla. Befl in nesini anlayaca- m? Befl i tek bafl na de il, befl in öbür say larla olan iliflkisini anlamak istiyorum. Örne in ü bulmak istiyorum. Üç parmak da tan mlad - m z varsayarak, say s n befl parma n yan - na öbür elin üç parma daha geldi inde elde edilen parmak say s olarak tan mlayabiliriz. Nitekim befl parma n z n yan na öbür elinizin üç parma n getirseniz sekiz parmak elde edersiniz. Deneyin göreceksiniz. Tekrar tekrar deneyin, hep ayn sonucu, sekiz parmak sonucunu alacaks n z. Ancak bir sorun var burada. Deneyerek gördü ünüzü kan tlayamazs n z. Befl elmayla üç elmay yanyana koydu unuzda sekiz elma elde edece inizi hiçbir zaman kan tlayamazs n z. Çünkü önermeniz deneye ba l. O deneyin sonsuza kadar ayn sonucu verece ini kan tlayamazs n z. Dikkatinizi çekerim: Befl elmayla üç elmay yanyana koyarsan z sekiz elma elde etmezsiniz demiyorum, sadece bu önermenizi kan tlayamazs n z diyorum. Fiziksel deneyler matematiksel anlamda kan tlanamazlar. Befl elman n yan na üç elma daha koyarsam sekiz elma elde ederim önermesi olsa olsa (yap lm fl) her bir deney için kan tlan r, tüm genelli iyle, gelecekte yap lacak deneyler için kan tlanamaz. Böyle gelmifl böyle gider geçerli bir kan t yöntemi de ildir. En az ndan matematikte... Oysa matematik kan tlar = 8 eflitli ini kan tlamal y z Kan tlamadan olmaz. 12

13 Ayr ca befl i bir eldeki parmak say s olarak tan mlasam, çok çok büyük say lar nas l tan mlayaca m? Hatta genel olarak say kavram n n kendisini nas l tan mlayaca m? Bir, iki, üç, dört, befl tan mland. Alt y da tan mlad k, yediyi de... Günün birinde durmam gerekecek, sonsuza kadar say tan mlayacak de ilim ya... Say lar teker teker tan mlamakla say kavram n tan mlamak aras nda da bir ayr m vard r. Ne yapaca z? Önce flunu yapaca z: Günlük dilde kulland - m z ve asl nda ne demek oldu unu bilmedi imiz befl le daha sonraki yaz larda tan mlayaca m z befl i birbirinden ay raca z. kincisi matematiksel befl olacak. Matematiksel befl in sizin elinizin parmak say s yla hiçbir ilgisi olmayacak, ya da çok az ilgisi olacak. Yepyeni bir befl kavram tan mlayaca z. Matematiksel olarak Nas l yapaca z bunu? Nas l yapaca m z hiç önemli de il! Befl i nas l tan mlad m z n hiç mi hiç önemi olmayacak. Befl i, üç ü, sekiz i ve toplamay öyle tan mlayaca- Asl nda 2 + 2, hiç bir zaman 4 e eflit olamaz, çünkü sadece ve sadece dir, ve elbette 4 de ildir nin ancak de eri 4 e eflit olabilir. Matematik Dünyas, 2003 K fl z ki = 8 eflitli i do ru olacak. Önemli olan, say lar ve ifllemleri nas l tan mlad m z de il, tan mlad m z say ve ifllemlerin istedi imiz özellikleri sa lamalar flte bu, matemati i matematik yapan niteliklerin en önemlilerinden biridir. Daha do rusu modern matemati i modern matematik yapan budur. Matematikte kavramlar n nas l tan mland klar de il, kavramlar n hangi özellikleri sa lad klar önemlidir. Matemati in bu bak fl aç s sadece say lar için de il, her kavram için geçerlidir. Noktalar n, do rular n, düzlemlerin nas l tan mland klar önemli de ildir, nas l tan mlan rlarsa tan mlans nlar, önemli olan bu kavramlar n istedi imiz özellikleri sa lamas d r. S f r, bir, iki, üç gibi birkaç do al say y teker teker tan mlad ktan sonra genel olarak do al say kümesini tan mlayaca z. Bu daha zor olacak. flte böyle Do al say lar ve toplamay tan mlayaca z. Tan m m z bize = 4 eflitli ini verecek. Ayr ca x + y = y + x eflitli ini de verecek. Çarpmay da tan mlayaca z. Görece iz ki x (y + z) = x y + x z eflitli i geçerli. Ayr ca 2 2 = 4 eflitli- ini de kan tlayaca z. Ne mutlu bize! Dilbilimci Matematikçi: Giuseppe Peano ( ) Do al say lar n bugün bilinen (ve bu say da aç klayaca m z) matematiksel tan - m n ilk bulan Giuseppe Peano, dilbilime de merakl yd. Bilindi i gibi Esperanto tamam yla yapay, dilbilgisi oldukça kolay, daha çok Latince, yapay, yani insan buluflu bir dildir. Umut eden anlam na gelen Esperanto, Polonyal Zamenhof ( ) taraf ndan henüz bir lise ö rencisiyken 1878 de bulunmufl ve yeni bir dil olarak ilk kez 1887 de yay mlanm flt r. Zamenhof un amac insanlar n bu evrensel dilde konuflarak de il, yaz flarak anlaflmalar yd te Peano, Zamenhof gibi, Latinceyi sadelefltirerek bükünsüz Latince demek olan Latino sine flexione yapay dilini bulmufltur. Latine sine flexione, Latince Giuseppe Peano L.L. Zamenhof 13 sözcükleri korumufl, ancak ekleri ve çekimleri (yani flexione/büküm leri) tamam yla kald rm flt r, çünkü bükümler bir dili zorlaflt ran ö elerdir. Bir k z lderili dili olan Navajo dili o kadar zordur ki, ABD, kinci Dünya Savafl nda flifre olarak bu dili kullanm flt r. Navajo dilinde Waflakotyatawitflerahekvhtha se, ona bir kad n vücudunu çirkinlefltiren üstüne giyilen fleyler yapt anlam na gelir... Örne in ngilizce görece az bükümlü dil oldu undan ö renmesi oldukça kolayd r. Latine sine Flexione yi (flayet öbür dilleri biliyorsan z ve çok istiyorsan z) adresinden ö renebilirsiniz.

14 Kapak Konusu: 2 2 = 4 Do al Say lardan Ne stiyoruz? Do al say lar, yani 0, 1, 2, 3,... gibi say lar anlamak istiyoruz. Elbette do al say lar anlamak için önce do al say lar n matematiksel tan m n vermeliyiz. Ama matematiksel tan - m vermeden önce de do al say lar n nesini anlamak istedi imizi bilmeliyiz. Çünkü tan m ona göre yapaca z. Herhalde, en az ndan bir do al say dan sonra hangi do al say n n gelece ini (verilen do al say - n n ard l n ) bilmek istiyoruz, yani x verilmiflse x + 1 say s n bulabilmek ve x a x+1 fonksiyonunun özelliklerini bilmek istiyoruz. Sonra, san r m do al say lar toplamay ve çarpmay anlamak istiyoruz. Toplamay ve çarpmay anlamadan olmaz. Ta ilkokuldan beri bafl m z n eti yendi toplama ve çarpma için... Örne in x (y + z) = x y + x z eflitli ini kan tlayabilmek istiyoruz. Hatta belki 5 3 gibi bir say n n üssünü almay da becerebilmeliyiz. Ayr ca hangi say n n küçük, hangi say n n büyük oldu unu da anlamal y z, örne in x 2 x eflitsizli ini kan tlayabilmeliyiz. Anlamak istediklerimizi s ralayal m: x + 1 ifllemi, toplama, çarpma, üs alma ifllemleri ve eflitsizlik iliflkisi. Baflka varsa söyleyin. Eflitsizlikten bafllayal m. Do al say lardaki x y eflitsizli ini toplama cinsinden yazabiliriz: x y ancak ve ancak x + z = y eflitli ini sa layan bir z do al say s varsa. Görüldü ü gibi eflitsizli i toplamadan bedava elde ettik. Dolay s yla, e er toplamay anlarsak eflitsizli- i de anlar z. Böylece anlamak istediklerimizin listesinden eflitsizli i silebiliriz. Art k sadece x + 1 ifllemini, toplamay, çarpmay ve üs almay anlamak istiyoruz. fiimdi üs almaya bakal m. x 0 = 1 ve x y+1 = x y x eflitliklerinden, çarpmay ve x + 1 ifllemini biliyorsak güç almay da bildi imizi anlar z. Nitekim bu eflitliklerden örne in flu ç kar: 2 3 = = = = (2 1 2) 2 = ( ) 2 = ((2 0 2) 2) 2 = ((1 2) 2) 2. Çarpmay biliyorsak, sa taraftaki çarpmay hesaplayabiliriz ve 2 3 iflleminin sonucunu bulabiliriz. Demek ki anlamak istediklerimizin listesinden üs almay da silebiliriz. Art k sadece x + 1 ifllemini, toplamay ve çarpmay anlamak istiyoruz. S ra geldi çarpmaya... Çarpmay da toplama cinsinden yazabiliriz: x 0 = 0 ve x (y + 1) = x y + x Nitekim, yukardaki eflitlikleri kullanarak ve toplamay ve x + 1 ifllemini bildi imizi varsayarak, örne in 2 3 iflleminin sonucunu bulabiliriz: 2 3= 2 (2 + 1) = = 2 (1 + 1) + 2 = ( ) + 2 = (2 (0 + 1) + 2) + 2 = (( ) + 2) + 2 = ((0 + 2) + 2) + 2. Toplamay biliyorsak, en sa daki ifllemi hesaplay p 2 3 iflleminin sonucunu bulabiliriz. Demek ki çarpmay da bilmek istediklerimizin listesinden silebiliriz. Art k sadece x + 1 ifllemini ve toplamay anlamak istiyoruz. fiimdi de toplamaya bakal m. E er x + 1 ifllemini yapabiliyorsak, toplamay da yapabiliriz. Nitekim x + 0 = x ve x + (y + 1) = (x + y) + 1 eflitlikleri bize toplama yapmam z sa lar. Örne in, = 2 + (2 + 1) = (2 + 2) + 1 = (2 + (1 + 1)) + 1 = ((2 + 1) + 1) +1. E er x verildi inde x + 1 ifllemini yapabiliyorsak, o zaman sa daki ifllemi yap p iflleminin sonucunu bulabiliriz. Demek ki toplamay da bilmek istediklerim listesinden silebiliriz. Art k sadece x + 1 ifllemini anlamak istiyoruz. Geriye fazla bir fley kalmad. Toplamay, çarpmay, üs almay, eflitsizli i anlamak için x + 1 ifllemini anlamal y z. x + 1 iflleminin özellikleri bize toplaman n, çarpman n, üs alman n, eflitsizli in tüm özelliklerini verecek. Toplaman n, çarpman n, üs alman n ve eflitsizli in özelliklerini kan tlayabilmek için x + 1 iflleminin hangi özelliklerini bilmeliyim? flte önemli soru bu. Ancak bu soruyu yan tlad ktan sonra tan mlara geçebiliriz. x a x + 1 iflleminin hangi özelliklerine ihtiyac m z oldu unu bir sonraki yaz da söyleyece iz. Bir nokta okurun dikkatinden kaçm fl olabilir: x + 1 ifllemini anlamak için 1 diye bir say y anlamak gerekmiyor. Biz sadece art bir iflleminden sözediyoruz, 1 say s ndan sözetmiyoruz. Hatta art bir de il art bir iflleminden sözediyoruz. Bundan sonra x + 1 yerine S(x) yazal m ve art bir yerine bir say n n ard l terimini kullanal m. Böylece kafa kar flt ran 1 den kurtulmufl oluruz. 14

15 Kapak Konusu: 2 2 = 4 Peano Belitleri Bir önceki yaz da, do al say - larda toplamay, çarpmay, üs almay ve eflitsizli i anlayabilmek için x a x + 1 olarak tan mlanan art bir ya da ard l ifllemini anlamam z n yeterli oldu unu gördük. Burada, flu soruyu sorup yan tlayaca z: Ard l iflleminin nesini bilmeliyiz ki do al say - larla ilgili anlamak istedi imiz her fleyi anlayal m 1? Bu soruyu ilk Giuseppe Peano adl talyan matematikçi sormufl ve yan tlam flt r. Peano Belitleri (Aksiyomlar ) ad verilen bu özellikleri bu yaz - da iffla edece iz! Bundan böyle x + 1 yerine S(x) yazal m 2, ki x + 1 iflleminin 1 le ilgili bir ifllem oldu u gibi asl nda pek de yanl fl olmayan ama bizi yanl fl yönlendirebilecek bir fikre saplanmayal m. S(x) e x in ard - l ad n verece iz. Afla da do al say lar kümesi N nin ne oldu unu bildi imizi varsay p, S fonksiyonunun önemli özelliklerini bulaca z. N kümesinin tan m n yaz - n n en sonunda yapaca z. S S S S S S S S S Gödel her fleyi kan tlayamayaca m z 1931 de kan tlam flt r. Bunu bir baflka say m zda daha ayr nt l görülür. 2 Buradaki S, sonraki anlam na gelen ngilizce successor ve Frans zca successeur sözcüklerinin bafl harfidir, Türkçe sonraki sözcü ünün de il! 3 Daha do al say lar kümesi N yi tan mlamad k. Bunu daha sonraki yaz larda yapaca z. fiimdilik, N diye bir kümemiz oldu unu varsay p sezgisel tak l yoruz. Yani düflünüyoruz. Yaz n n sonunda N nin ne olmas gerekti ini görece iz. N nin ne olmas gerekti ini gördükten sonra N nin varl n kan tlamal y z. Bunu da bir sonraki yaz da yapaca z. 15 lk Özellikler. Her fleyden önce S, do al say lar kümesinden gene do al say lar kümesine giden bir fonksiyondur 3. Ayr ca, S birebir bir fonksiyondur, yani e er x ve y do al say lar için, S(x) = S(y) eflitli i geçerliyse x = y eflitli i de geçerlidir 4. Bir baflka deyiflle ard llar eflit olan say lar eflittir. Peki S, örten 5 midir, yani her do al say, bir do al say n n ard l m d r? Hay r de ildir. 0 say s hiçbir do al say n n ard l de ildir. Ama S fonksiyonu neredeyse örten... Örten olmas na ramak Peano kalm fl: 0 d fl nda her say n n bir öncesi vard r ve 0 d fl nda her say kendisinden hemen önce gelen say n n ard l d r... Yani S fonksiyonu N kümesinden N \ {0} kümesine giden birebir ve örten bir fonksiyondur. kinci Özellik. S fonksiyonunun bir baflka önemli özelli i daha var. O da flu: A, do al say - lar kümesi N nin bir altkümesi olsun. E er 0, A n n bir ö esiyse ve A daki her x say s için x in ard l olan S(x) say s da A daysa o zaman A = N dir. Bir baflka deyiflle, N nin, 0 içeren ve içerdi i her say n n ard l n da içeren her altkümesi N ye eflittir. Yani, (i) 0 A, ve (ii) her x A için, S(x) A ise o zaman A = N dir. Nitekim, bu iki koflulu sa layan bir A kümesi alal m. 0 n A da oldu unu (i) den dolay biliyoruz. (ii) de x yerine 0 al rsak, 0 A oldu undan,... 0 n ard l olan S(0) say s n n, yani 1 in de A da oldu unu anlar z. kinci önermede bu kez x yerine 1 alal m; demek ki 1 in ard l S(1), yani 2 de A da. fiimdi, ikinci önermede x yerine 2 alal m, böylece 3 ün de A da oldu unu görürüz. Bunu böyle sür- 4 E er x + 1 = y + 1 ise x = y eflitli i de do rudur, bunu herkes bilir! I de örten bir fonksiyonun tan m yap lm flt. An msatal m: ƒ : X Y bir fonksiyon olsun. E er her y Y için ƒ(x) = y eflitli ini sa layan bir x X varsa, ƒ fonksiyonuna örten denir.

16 dürürsek, 4, 5, 6,... her do al say n n N de oldu- unu anlar z. Yukarda verdi imiz bir kan t de ildir, sadece okuru ikna etmeye yarayan bir ak l yürütmedir. Çünkü do al say lar matematiksel olarak henüz tan mlamad k. Bu iki özelli in do al say lar, toplamay, çarpmay, üs almay, eflitsizli i anlamam z için yeterli oldu u varsay l r. fiimdi do al say lar kümesinin matematikçiler taraf ndan genel kabul gören tan m n verelim. Verelim ama do al say lar kümesi sadece bir küme de ildir ki... Tan mda N ad verilen bir küme vard r, ama ayr ca 0 ad verilen bir ö e ve S ad verilen bir fonksiyon da vard r. Yani asl nda do- al say lar kümesi N de il, do al say lar yap s (N, 0, S) tan mlan r. Do al say lar yap s, hemen afla da aç klayaca m z özellikleri sa layan bir (N, 0, S) üçlüsüdür. Buradaki N bir kümedir. 0, N nin bir ö esidir. S, N den N ye giden bir fonksiyondur. Bu küme-ö efonksiyon üçlüsü Peano belitleri ad verilen flu iki özelli i sa lamal d r: P1. S birebir bir fonksiyondur ve S(N) = N \ {0} eflitli i geçerlidir. P2. A, do al say lar kümesi N nin, (i) 0 A, ve (ii) x A ise S(x) A özelliklerini sa layan bir altkümesiyse o zaman A = N dir. Bu iki özellik do al say lar hakk nda merak etti imiz özelliklerin çok büyük bir ço unlu unu kan tlamaya yeterlidir. Nerden biliyoruz bunu? Deneyimle... Yukardaki özellikleri sa layan bir (N, 0, S) yap s nda toplama, çarpma ve üs alma gibi ifllemler tan mlanabilir ve bu ifllemler tahmin edilen özellikleri sa larlar. Ayr ca böyle bir yap da bir eflitsizlik de tan mlayabiliriz. Bütün bunlar daha sonra yapaca z. Ama önce çok önemli bir soru soral m: Yukardaki P1 ve P2 özelliklerini sa layan (N, 0, S) üçlüsü var m d r? Evet vard r! stenirse (ama ancak istenirse) bulunur. Vard r da nerdedir? Bundan sonraki yaz larda bunun öyküsünü okuyacaks n z. Do al say lar yap s n n var oldu- unu hep birlikte görece iz. Sab rla. Önce sezgisel kümeler kuram görece iz (sayfa 17-26). Daha sonra Russell paradoksunu aç klayarak sezgisel kümeler kuram ndaki eksikli i görece iz (sayfa 27-32). Bunun üzerine do al olarak belitsel kümeler kuram na yönelece iz (sayfa 33-40). Bütün bunlar sadece ve sadece P1 ve P2 özelliklerini sa layan bir (N, 0, S) üçlüsü bulmak için yapaca z. Üçlüyü sayfa te Do al Say lar Kümesi Nihayet! yaz s nda bulaca z. Ard ndan, toplamay, çarpmay, s ralamay tan mlay p bunlar n çok bilinen temel özellikleri sa lad n kan tlayaca z (sayfa 45-47). Çok önemli yaz lar okuyacaks n z. Kolay gele! Giuseppe Peano. Bugün ilkokulda bile ö retilen,,,, gibi simgeleri borçlu oldu- umuz Giuseppe Peano bir çiftçi ailesinin çocu- uydu. Giuseppe önce köy okuluna gitti. Sonra her gün = 10 km lik yolu göze alarak kasaba okuluna devam etti. Avukat ve papaz olan a abeyi (daha çok köylerde geçerli olan Katolik gelene ine göre en büyük kardefl papaz olmak zorundad r) kardeflinin yetene ini görünce onu lise s navlar na soktu. S nav kazan p liseden sonra Torino Üniversitesi nde (daha sonra mühendisli e geçmek üzere) matematik okuyan Peano, üçüncü y l nda s n f n n birincisiydi, çünkü s n fta baflka ö renci yoktu, di erleri matemati i b rak p mühendisli e geçmifllerdi! Ça- n n çok ilerisinde bir matematik anlay fl na sahipti Giuseppe Peano. Geliflmifl analitik yetene- iyle di erlerinin makalelerinde yanl fl bulmas yla ünlüydü. Analizden mant a birçok önemli bulufllar olmufltur. Birçok tarihçi taraf ndan matematiksel mant n kurucusu olarak kabul edilir. Peano nun okul arkadafllar n n adlar n bugün kimse bilmez! 16

17 Kapak Konusu: 2 2 = 4 Sezgisel Anlamda Küme Bu yaz da bir kümenin ne anlama geldi ini sezgisel olarak anlamaya çal flaca z. Do al say lar, hatta di er say lar da bildi imizi varsayaca z. Do al say lar ilerde, daha sonra infla edece iz. O zamana dek en az ndan tan mlad m z kavramlara örnek vermek için do al say lara ihtiyac m z olacak ve do al say lar hiç çekinmeden kullanaca z. Bir küme, ad na ö e dedi imiz baz nesneleri içeren bir topluluktur. Örne in, ülkeler bir küme olufltururlar, bir ülkenin flehirleri bir küme oluflturur, bir flehrin okullar bir küme oluflturur, bir okulun s n flar bir küme oluflturur, bir s n f n ö rencileri bir küme oluflturur. Al flverifl listesi de bir küme olarak görülebilir. Her ülke, ülkeler kümesinin bir ö esidir. Ülkeler kümesini Ü harfiyle, Türkiye yi de T harfiyle gösterirsek, T nin Ü kümesinin bir ö esi oldu unu, T Ü yaz l m yla gösteririz. E er Ankara y A ile gösterirsek, Ankara bir ülke olmad ndan, A, Ü nün bir ö esi de ildir. Bunu da, A Ü olarak gösteririz. Matematiksel bir kümenin ö eleri de matematiksel nesne olmal lar elbet. Dolay s yla, yukardaki örnekler matematiksel anlamda küme de ildirler. Ama do al say lar kümesi matematiksel anlamda bir kümedir. Bu kümenin ö eleri 0, 1, 2, 3 gibi say lard r. Do al say lar kümesi matematikte N simgesiyle gösterilir. Örne in 5 N, ama 5/2 N, 4 N. Ö e olarak sadece 2 yi, 3 ü, 5 i ve 7 yi içeren küme {2, 3, 5, 7} olarak yaz l r. {2, 3, 4} bir baflka kümedir; bu son kümenin üç ö esi vard r: 2, 3 ve 4. { ve } simgelerine açan ve kapatan küme parantezi ad verilir. Küme parantezleri aras na ayn ö eyi elli defa yazmak, o kümede o ö eden elli tane var anlam na gelmez! Ayn ö eden bir kümede ancak bir tane olabilir... Örne in, {a, a, a} kümesinin bir tek ö esi vard r, o da a d r. {a, b} kümesinin en az bir, fazla iki ö esi vard r. E er a = b ise bir, a b ise iki ö esi vard r. {a, b} ile {b, a} yaz l mlar aras nda matematiksel olarak bir fark yoktur, ikisi de ayn kümeyi simgeler, çünkü ayn ö eleri vard r. Genel olarak, ayn ö eleri olan iki küme birbirine eflittir. Sözgelimi, e er a, 8 den küçük asal say lar kümesi, b, x 4 17x x 2 247x = 0 denkleminin çözüm kümesi, c = {2, 3, 5, 7} ise, o zaman a = b = c eflitlikleri geçerlidir. Kümeleri fiekil 1 deki gibi yumurta ya da patates biçiminde bir flekille gösteririz. Kümenin x c ö elerini yumurtan n b içine yazar z. Örnekte üç ö eli x = {a, b, c} c kümesi çizilmifl. d x oldu undan, d, yumurtan n d fl na yaz lm fl. Şekil d 1. x = {a, b, c} kümesi Kimi zaman bir kümenin ö eleri küme olabilirler. Örne in {{0, 3, 5}, {0, 2}} kümesinin {0, 3, 5} ve {0, 2} kümeleri olmak üzere iki ö esi vard r. Küme olan bu ö elerin de ö eleri vard r. Bu durumu fiekil 2 deki gibi bir flekille gösterebiliriz. Görüldü ü gibi, ayn nesne hem küme hem de ö e olabiliyor. {0, 3, 5} bir kümedir, ama bu küme bu örnekte oldu u gibi bir baflka kümenin ö esi olabilir. Bu gibi durumlarda ayn nesneyi ayn flekil üzerinde iki de iflik biçimde resmetmekte yarar vard r: 1) Ö e olarak, yani nokta olarak, 2) Küme olarak, yani yumurta biçiminde bir flekille. fiekil 2 dekinden çok daha karmafl k durumlar olabilir. Sözgelimi {{{{0}}}} kümesinin bir ö esi vard r, o da {{{0}}} kümesidir. {{{0}}} kümesinin de bir tek ö esi vard r, o da {{0}} kümesidir. {{0}} kümesi- 17

18 3 {0, 3, 5} {0, 2} 5 Şekil 2. Tepede, öğeleri {0, 3, 5} ve {0, 2} kümeleri olan iki öğeli küme görünüyor. Bu kümede {0, 3, 5} ve {0, 2} kümeleri birer nokta olarak, yani birer öğe olarak gösterilmiş. Altta, {0, 3, 5} ve {0, 2} kümeleri küme olarak gösterilmiş. 0 2 nin de bir tek ö esi vard r, o da {0} kümesidir. {0} kümesinin de bir tek ö esi vard r, o da 0 d r. Bu örne imiz de fiekil 3 te. Daha daha tuhaf durumlar olabilir. Sözgelimi flu örne i ele alal m: x = {{0, 2}, {2, 3, 4}, 2, 3} Bu durumu fiekil 4 te çizdik. {{{{0}}}} Görüldü ü gibi her { küme hem bir nokta olarak hem de bir patates {{{0}}} olarak resmedilebilir. Daha daha daha tuhaf durumlar olabilir. Sözgelimi öyle bir x kümesi olabilir ki x in bir {{0}} tek ö esi vard r ve bu ö e gene x tir... Yani x = {x} olabilir. O zaman Şekil 3 x x x... olur. Ben 0 {0, 2} 2 Şekil 4 {2, 3, 4} 3 4 olabilir dedim diye olacak de il, ama böyle bir durum gene de olabilir, olmamas için görünürde bir neden yok, hayal etmesi zor bir durum bile olsa... Hatta flöyle bir durum olabilir: x = {y} ve y = {x}. O zaman x y x y... olur. Ya da flöyle bir durum olabilir: x = {y}, y = {z} ve z = {x}. fiekil 5 te görülen bu durumlar (bu sat rlar n yazar - n n bilmedi i bir nedenden) kümeler kuram nda yasaklan r. Bunu daha x sonra, sayfa da görece iz x Al flt rmalar. 1. E er {{x}, {x, y}} = {{z}, {z, t}} ise x x x = z ve y = t eflitliklerini kan tlay n. y 2. E er {x, {x, y}} = {z, {z, t}} ise, x = z ve y = t olmak x y zorunda m d r? 3. Ülkemizde bas lan bir ders kitab nda x y ve y x y s n f m z n güzel k zlar n ö e y olarak içeren bir kümeden sözediliyordu. Neden böyle bir küme (ne matematikte, Şekil 5 ne sosyolojide, ne de herhangi bir bilimsel dalda) olamaz? 4. x x iliflkisini sa layan bir x kümesinin varl n n kabul edilir olup olmad konusunda arkadafllar n zla felsefi bir tart flmaya girin. Matematiksel olarak kimsenin hakl ç kamayaca n bilerek nsano lunun 2005 y l na kadar hiç düflünmedi i ve düflünmeyece i, hiçbir biçimde tan mlamad ve tan mlamayaca, akl na hiç gelmeyen ve hiç gelmeyecek do al say lar vard r elbet. Bu do al say lardan oluflan kümenin en küçük ö esi (say s ) vard r. Bu say hakk nda ne düflünüyorsunuz? lkokul Kitaplar ndan Yayg n Bir Yanl fl Birçok ilkokul matematik kitab nda flu tip sorular görülür: Afla daki kümede kaç ö e vard r? Do ru yan t kitaba göre üçtür. Oysa üç elma da t pat p ayn oldu undan do ru yan t bir olmal d r. 18

19 Kapak Konusu: 2 2 = 4 Sezgisel Kümeler Kuram II Boflküme, Altküme ve Altkümeler Kümesi Boflküme. Hiç ö esi olmayan kümeye boflküme denir. Boflkümenin bitanecik bile ö esi yoktur ve bu küme simgesiyle gösterilir. Demek ki, x ne olursa olsun, x. Boflküme var m d r ya da olmal m d r? Elbette olmal d r. Örne in her fleyi bilen insanlar kümesi boflkümedir, 2003 y l na kadar Türkiye cumhurbaflkan olmufl kad nlar n kümesi boflkümedir. Boflkümeden bol ne var! Ancak bir tane boflküme vard r! Bunu hemen kan tlayabiliriz. Diyelim iki tane boflküme var, yani iki hiç ö esi olmayan küme var. Hiç ö esi olmayan bu iki kümeye x ve y diyelim. x = y eflitli- ini kan tlayaca z. Kan tlayal m. Diyelim, x ve y birbirine eflit de il. O zaman ikisinden birinde di erinde olmayan bir ö e olmal, çünkü her ikisinin de ayn ö eleri olsayd küme eflitli inin tan m ndan dolay (sayfa 17) x ve y birbirine eflit olurdu. Ama bu kümelerin hiç ö esi yok ki ikisinden birinde di erinde olmayan bir ö e olsun!.. Demek ki bu iki küme birbirine eflitmifl... Boflkümeden sadece bir tane oldu undan ona boflküme ad n verme ve onu simgesiyle gösterme hakk n kendimizde buluyoruz. ki tane olsayd örne in, birine 1, di erine 2 olarak göstermek zorunda kal rd k. Daha do mam fl eflekler kümesi nas l bir kümedir? Daha do mam fl eflekler oldu undan, daha do mam fl eflekler kümesi boflküme olamaz. Ama daha do mam fl eflekler kümesinin bir tek ö esini gösteremezsiniz. Bundan da flu anlafl l - yor: Bir kümenin var olmas için illa o kümenin bütün ö elerini bilmemiz gerekmiyor. Bu, fluna benzer: kinci Dünya Savafl nda ölen Frans zlar n say s belli bir do al say d r. Bu say y tam olarak bilmememiz böyle bir say n n olmad anlam na gelmez. 19 fiimdi birçok kifliye tuhaf gelebilecek bir teorem kan tlayal m: Boflkümenin her ö esi 1 e eflittir! Kan t n püf noktas boflkümenin hiç ö e içermemesidir. Tan m gere i hiç ö e içermeyen boflkümenin her ö esi 1 e eflittir! Bunu kan tlayal m. Diyelim ki sav m z yanl fl, yani boflkümenin her ö esi 1 e eflit de il... O zaman boflkümede 1 e eflit olmayan bir ö e vard r. Ama hani boflkümede hiç ö e yoktu? Hiç ö esi olmayan boflkümede 1 e eflit olmayan bir ö e olabilir mi? Elbette olamaz. Demek ki boflkümenin her ö esi 1 e eflit! Yukardaki kan t n bir benzeri, boflkümenin her ö esinin 2 ye eflit oldu unu da kan tlar. Yani boflkümenin her ö esi hem 1 e hem de 2 ye eflittir, hatta hatta π ye ve 2 ye de eflittir... Neyse ki boflkümenin hiç ö esi yok... Olsayd, 1 = 2 gibi saçmasapan bir eflitlik kan tlam fl olacakt k! Boflkümenin her ö esi istedi imiz tüm özellikleri sa lar. Boflkümenin her ö esi sar d r, yeflildir, uzundur, ayn zamanda k sad r da. Hiç ö esi olmayan boflkümenin tüm ö eleri tüm özellikleri ve eflitlikleri sa larlar. Bunu boflkümenin hiç ö esi olmamas na borçluyuz. Boflkümeyi bofllamayal m! En önemli bir iki kümeden biridir boflküme. Bir ö eli çok küme vard r, ama s f r ö eli tek bir küme vard r: boflküme. Sadece bu özellik boflkümeyi di er kümelerden ay - r r, onu ayr cal kl k lar. Altküme. E er x kümesinin tüm ö eleri ayn zamanda y kümesinin ö eleriyse, o zaman, tan m gere i, x kümesi y kümesinin bir altkümesidir. Bunu x y olarak gösteririz. Dilersek y ye x in üstkümesi ad n verebiliriz ama bu terim matematikte pek az kullan l r. Örne in, çift do al say lar kümesi {0, 2, 4, 6,...} do al say lar kümesinin bir altkümesidir. Bir baflka örnek: {0, 2} kümesi {0, 1, 2, 3} kümesinin bir altkü-

20 {0, 1} 0 1 {0, 1} kümesi, {0, 1, {0, 1}} kümesinin hem bir öğesi hem de bir altkümesidir. mesidir. {0, 2, 3} kümesi de {0, 1, 2, 3} kümesinin bir altkümesidir. x hangi küme olursa olsun, x, x in bir altkümesidir, yani x x iliflkisi her x kümesi için geçerlidir, çünkü x in her ö esi x in bir ö esidir, kuflku mu var?.. Bir kümenin altkümesiyle o kümenin ö elerini birbirine kar flt rmamak gerekir. Örne in, sesli harfle bafllayan flehirlerimizden oluflan küme, Türkiye nin flehirleri kümesinin bir altkümesidir ama bir ö esi de ildir, çünkü sesli harfle bafllayan flehirler kümesi bir flehir de ildir. Bir s n f n k z ö rencilerinden oluflan küme, bir s n - f n ö rencilerinden oluflan kümenin altkümesidir ama kesinlikle ö esi de ildir, s n fta bir tek k z olsa bile... Ancak kimileyin, bir küme, bir baflka kümenin hem ö esi hem de altkümesi olabilir. Örne in {0, 1} kümesi, {0, 1, {0, 1}} kümesinin hem ö esi hem de altkümesidir, yukardaki flekilde görüldü ü gibi. Boflküme her kümenin altkümesidir. Bunu da kan tlayabiliriz. x herhangi bir küme olsun. Boflkümenin x in bir altkümesi oldu- unu kan tlamak istiyoruz. Yani boflkümenin her ö esinin x in bir ö esi oldu unu kan tlamak istiyoruz. Diyelim ki bu do ru de il, yani diyelim ki boflkümede x te olmayan bir ö e var. Ama hani boflkümede hiç ö e yoktu! Hiç ö esi olmayan boflkümede x te olmayan bir ö e olabilir mi? Olamaz elbet. Demek ki boflkümenin her ö esi x in bir ö esiymifl, yani boflküme x in bir altkümesiymifl... Kan t m z bitmifltir! {0, 1, 2} kümesinin altkümelerini teker teker yazal m, tam sekiz tane var: 0 ö esi olanlar 1 tane: 1 ö esi olanlar 3 tane: {0}, {1}, {2} 2 ö esi olanlar 3 tane: {0, 1}, {0, 2}, {1, 2} 3 ö esi olanlar 1 tane: {0, 1, 2} Sadece {0, 1, 2} kümesinin de il, üç ö esi olan her kümenin sekiz tane altkümesi vard r. Genel olarak, n ö esi olan bir kümenin 2 n altkümesi vard r. Bunun kan t n okura b rak yoruz. Örne in 0 tane ö esi olan boflkümenin 2 0 tane, yani 1 tane altkümesi vard r, o altküme de boflkümedir. Tek ö eli { } kümesinin iki altkümesi vard r, ve { }. ki ö eli {, { }} kümesinin dört altkümesi vard r:, { }, {{ }} ve {, { }}. Altkümeler Kümesi. Bir kümenin tüm altkümelerini ö e olarak içeren ve bunlardan baflka hiçbir ö e içermeyen bir küme vard r. Örne in e er x = {0, 1} ise, x in altkümelerinden oluflan küme, {, {0}, {1}, {0, 1}} kümesidir. E er x = {0, 1, 2} ise, x in altkümelerinden oluflan küme, {, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}} kümesidir. E er x bir kümeyse, x in altkümelerinden oluflan küme (x) olarak yaz l r. Demek ki, Elbette, e er x bir kümeyse, (x) ve x (x). ({0, 1}) = {, {0}, {1}, {0, 1}} ({0, 1, 2}) = {, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}} ( ) = { } ( ( )) = ({ }) = {, { }} ( ( ( ))) = ({, { }}) = {, { }, {{ }}, {, { }}}. Ayr ca, e er a x, ise {a} (x) dir. Demek ki x in bir a ö esini (x) in {a} ö esine götüren fonksiyon x ten (x) e giden birebir bir fonksiyondur. Öte yandan x ten (x) e giden örten bir fonksiyon, sayfa MD-2003-I, sayfa 10 da görüldü- ü üzere, yoktur. Al flt rmalar. 1. x y (x) (y) iliflkisini kan tlay n. 2. Her x kümesi için, 0 (x) = x ve her n N için, n+1 (x) = ( n (x)) olsun. Her x için, {{ y {{x}} p n (x) iliflkisini sa layan en küçük n yi bulun. 20

Ard fl k Say lar n Toplam

Ard fl k Say lar n Toplam Ard fl k Say lar n Toplam B u yaz da say sözcü ünü, 1, 2, 3, 4, 5 gibi, pozitif tamsay lar için kullanaca z. Konumuz ard fl k say lar n toplam. 7 ve 8 gibi, ya da 7, 8 ve 9 gibi ardarda gelen say lara

Detaylı

1/3 Nerde ya da Kaos a Girifl

1/3 Nerde ya da Kaos a Girifl 1/3 Nerde ya da Kaos a Girifl K aos, matemati in oldukça yeni kuramlar ndan biridir. Kaos, kargafla anlam na gelen Yunanca kökenli bir sözcüktür. Kaos kuram n biraz aç klamaya çal flay m. fiöyle kuvvetlice

Detaylı

256 = 2 8 = = = 2. Bu kez de iflik bir yan t bulduk. Bir yerde bir yanl fl yapt k, ama nerde? kinci hesab m z yanl fl.

256 = 2 8 = = = 2. Bu kez de iflik bir yan t bulduk. Bir yerde bir yanl fl yapt k, ama nerde? kinci hesab m z yanl fl. Bölünebilme B ir tamsay n n üçe ya da dokuza tam olarak bölünüp bölünmedi ini anlamak için çok bilinen bir yöntem vard r: Say - y oluflturan rakamlar toplan r. E er bu toplam üçe (dokuza) bölünüyorsa,

Detaylı

Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir:

Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir: Yak nsamak B u yaz da, ilerde s k s k kullanaca m z bir olguyu tan mlayaca z ve matemati in en önemli kavramlar ndan birine (limit kavram na) de inece iz. Asl nda okur anlataca m kavram sezgisel olarak

Detaylı

Saymak San ld Kadar Kolay De ildir

Saymak San ld Kadar Kolay De ildir Saymak San ld Kadar Kolay De ildir B ir matematikçinin bir zamanlar dedi i gibi, saymas n bilenler ve bilmeyenler olmak üzere üç tür insan vard r Bakal m siz hangi türdensiniz? Örne in bir odada bulunan

Detaylı

Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi

Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi Ek 3. Sonsuz Küçük Eleman Bu bölümde, bugüne dek ancak rüyalar n zda görece inizi tahmin edece iniz bir numara gerçeklefltirece iz: 3/5, 7/9, 4/5 ve 3 gibi kesirli say lara bir eleman ekleyece iz. Miniminnac

Detaylı

Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z

Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z Yoksulun fians Bu yaz girifle gereksinmiyor. Do rudan, kan tlayaca m z sonuca geçelim: Teorem. Yoksulun zengine karfl flans yoktur. Bu çok bilinen teorem i kan tlayabilmek için her fleyden önce önermeyi

Detaylı

Bir yaz mda, kimbilir hangisinde,

Bir yaz mda, kimbilir hangisinde, Sonsuz Toplamlar Bir yaz mda, kimbilir hangisinde, 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 +... toplam n n sonsuz oldu unu, yani 1/1 1/1 + 1/2 1/1 + 1/2 + 1/3 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5

Detaylı

Biraz Kümeler Kuram ve Birkaç Do al Say

Biraz Kümeler Kuram ve Birkaç Do al Say Kapak Konusu: 2 2 = 4 Biraz Kümeler Kuram ve Birkaç Do al Say Geçen yaz da her toplulu u küme sanman n ne kadar kötü sonuçlar do urdu unu gördük. Demek ki daha dikkatli olmal y z, önümüze ç kan her toplulu

Detaylı

Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir

Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir Rastgele Bir Say Seçme ya da Olas l k Nedir B irçok yaz mda olas l k sorusu sordum. Bu yaz mda soru sormayaca m, sadece olas l n matematiksel tan m n verece im. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 say lar aras

Detaylı

Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s

Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s Dördüncü K s m: Gerçel Say lar Yap s 331 13. Gerçel Say lar Kümesi Nihayet gerçel say lar tan mlayaca z. Bir sonraki bölümde gerçel say lar üzerine dört ifllemi ve s ralamay tan mlay p bunlar n özelliklerini

Detaylı

Matematikte sonsuz bir s fatt r, bir ad de ildir. Nas l sonlu bir s fatsa, matematikte kullan lan sonsuz da bir s fatt r. Sonsuz, sonlunun karfl t d

Matematikte sonsuz bir s fatt r, bir ad de ildir. Nas l sonlu bir s fatsa, matematikte kullan lan sonsuz da bir s fatt r. Sonsuz, sonlunun karfl t d Matematik ve Sonsuz G erek konuflma vermeye gitti im okullarda, gerek bana gelen okur mektuplar nda, ö renci ve ö retmenlerin matematikteki sonsuzluk kavram n pek iyi bilmediklerini gözlemledim. Örne in,

Detaylı

3. SALON PARALEL OTURUM XII SORULAR VE CEVAPLAR

3. SALON PARALEL OTURUM XII SORULAR VE CEVAPLAR 3. SALON PARALEL OTURUM XII SORULAR VE CEVAPLAR 423 424 3. Salon Paralel Oturum XII - Sorular ve Cevaplar OTURUM BAfiKANI (Ali Metin POLAT) OTURUM BAfiKANI - Gördü ünüz gibi son derece demokratik bir yönetim

Detaylı

Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi

Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi 25. Hausdorff Zincir Teoremi ve Zorn Önsav n n Kan t Tolga Karayayla Geçen bölümde, Zorn Önsav varsay larak yis ralama Teoremi ve yis ralama Teoremi varsay larak Seçim Aksiyomu kan tland. Bu bölümde önce

Detaylı

Topolojik Uzay. Kapak Konusu: Topoloji

Topolojik Uzay. Kapak Konusu: Topoloji Kapak Konusu: Topoloji Topolojik Uzay Geçen yaz da nin, ad na aç k dedi imiz baz altkümelerini tan mlad k ve bir fonksiyonun süreklili ini tamamen aç k kümeler yard m yla (hiç ve kullanmadan) ifade ettik.

Detaylı

Bu yaz da 6 mant k sorusu sorup yan tlayaca z.

Bu yaz da 6 mant k sorusu sorup yan tlayaca z. Do ru Önermeler, Yanl fl Önermeler Bu yaz da 6 mant k sorusu sorup yan tlayaca z. Birinci Bilmece. Yarg ç karar verecek. Mahkeme tutanaklar ndan flu bilgiler ç k yor: E er A suçsuzsa, hem B hem C suçlu.

Detaylı

Sonlu bir kümenin eleman say s n n ne demek oldu unu

Sonlu bir kümenin eleman say s n n ne demek oldu unu 30. Cennete Hoflgeldiniz! Sonlu bir kümenin eleman say s n n ne demek oldu unu herkes bilir. Örne in, {0, 2, 6, 7, 13} kümesinin 5 eleman vard r. Bu say m z n kapak konusunda, sonsuz bir kümenin eleman

Detaylı

Yeniflemeyen Zarlar B:

Yeniflemeyen Zarlar B: Yeniflemeyen Zarlar Ahmet, Belgün den daha uzun boyluysa, Belgün de Cemal den daha uzun boyluysa, Ahmet, Cemal den daha uzun boyludur, önermesi hiç kuflkusuz do rudur. Çünkü A > B ve B > C eflitsizliklerinden,

Detaylı

Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz.

Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz. Olas l k Hesaplar (I) Olas l k hesaplar na günlük yaflam m zda s k s k gereksiniriz. Örne in tavla ya da kâ t oyunlar oynarken. ki kap ya üstüste birkaç kez gele atmayan tavlac görmedim hiç. fianss zl

Detaylı

Bu bölümde eski iyis ralamalardan yenilerini elde etmeyi ö renece iz.

Bu bölümde eski iyis ralamalardan yenilerini elde etmeyi ö renece iz. 5. Eski yis ralamalardan eni yis ralamalar Türetmek Bu bölümde eski iyis ralamalardan yenilerini elde etmeyi ö renece iz. Basitten zora do ru gidece iz. 5.1. yis ralaman n Sonuna Bir Eleman Eklemek. Bu

Detaylı

yaz -tura at yor. Yaz gelirse birinci oyuncu, tura gelirse ikinci oyuncu kazanacak. Birinci oyuncu oyunun bafl nda ortaya 1 lira koyuyor.

yaz -tura at yor. Yaz gelirse birinci oyuncu, tura gelirse ikinci oyuncu kazanacak. Birinci oyuncu oyunun bafl nda ortaya 1 lira koyuyor. Sonlu Oyunlar B u kitapta s k s k oyunlar konu edece iz. Oyunlar sonlu ve sonsuz oyunlar diye ikiye ay raca z. Sonsuz oyunlar da ilerde ikiye ay raca z: Uygulamada sonsuza dek sürebilen ve süremeyen oyunlar.

Detaylı

Fermat Ne Biliyordu? (I)

Fermat Ne Biliyordu? (I) Fermat Ne Biliyordu? (I) S on Teorem Teorem Oldu En Sonunda bafll kl yaz da, 350 y ll k bir aray fltan sonra ancak daha yeni kan tlanan Fermat n n Son Teoremi nden söz etmifltik. 350 y ll k bir aray fltan

Detaylı

Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz -

Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - Saymadan Saymak Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - lan say 1 2... n say s na eflittir. Yani, tan m gere i, n! = 1 2... (n-1) n dir. n!, n fortoriyel diye okunur. Örne in,

Detaylı

Bir odada sonsuz say da insan n bulundu unu varsayal m. Bu

Bir odada sonsuz say da insan n bulundu unu varsayal m. Bu Ramsey Teoremi Bir odada sonsuz say da insan n bulundu unu varsayal m. Bu odada bulunan herhangi iki kifli birbirlerini ya tan rlar ya da tan mazlar. Buras belli. Yan t belli olmayan soru flu: Bu odadan,

Detaylı

Olas l k Hesaplar (II)

Olas l k Hesaplar (II) Olas l k Hesaplar (II) B ir önceki yaz daki örneklerde olay say s sonluydu. Örne in, iki zarla 21 olay vard. fiimdi olay say m z sonsuz yapaca z. Kolay bir soruyla bafllayal m: [0, 1] aral nda rastgele

Detaylı

En az enerji harcama yasas do an n en bilinen yasalar ndan

En az enerji harcama yasas do an n en bilinen yasalar ndan Gizli Duvarlar En az enerji harcama yasas do an n en bilinen yasalar ndan biridir. Örne in, A noktas ndan yay lan fl k B noktas na gitmek için sonsuz tane yol aras ndan en az enerji harcayarak gidece i

Detaylı

Amerika Birleflik Devletleri nde dikkatimi ilk çeken her fleyin

Amerika Birleflik Devletleri nde dikkatimi ilk çeken her fleyin Dünyan n En Zeki nsan Matematikçilere Karfl Amerika Birleflik Devletleri nde dikkatimi ilk çeken her fleyin büyüklü ü oldu. Arabalar, binalar, Coca Cola lar, al flverifl merkezleri, insanlar... Her fley

Detaylı

Yoksulun Kazanabildi i Bir Oyun

Yoksulun Kazanabildi i Bir Oyun Yoksulun Kazanabildi i Bir Oyun B u yaz da yoksulu kazand raca z. Küçük bir olas l kla da olsa, yoksul kazanabilecek. Oyunu aç klamadan önce, Sonlu Oyunlar adl yaz m zdaki (sayfa 17) oyunu an msayal m:

Detaylı

Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama

Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama Ç karma ve Kare Alma Alt nda Kapal Kümeler Do al say lar kümesi, yani {0, 1, 2, 3, 4,... } kümesi, toplama ve çarpma ifllemleri alt nda kapal d r; bir baflka deyiflle, iki do al say y toplarsak ya da çarparsak

Detaylı

Yan t Bilinmeyen Bir Soru

Yan t Bilinmeyen Bir Soru Yan t Bilinmeyen Bir Soru Ö nce yan t n dünyada kimsenin bilmedi i bir soru soraca- m, sonra yan t n dünyada kimsenin bilmedi i bu soru üzerine birkaç kolay soru yan tlayaca m. Herhangi bir pozitif do

Detaylı

Çocuk dergilerinin flaflmaz sorusudur: Afla daki karenin

Çocuk dergilerinin flaflmaz sorusudur: Afla daki karenin Sihirli Kareler (I) Çocuk dergilerinin flaflmaz sorusudur: Afla daki karenin içine den 9 a kadar say lar öyle yerlefltirin ki, her s ran n, her kolonun ve her iki çapraz n say lar n n toplam 5 olsun. Bu

Detaylı

Oyunlar mdan s k lan okurlardan -e er varsa- özür dilerim.

Oyunlar mdan s k lan okurlardan -e er varsa- özür dilerim. Barbut Oyunlar mdan s k lan okurlardan -e er varsa- özür dilerim. Ne yapal m ki ben oyun oynamay çok severim. Birinci Oyun. ki oyuncu s rayla zar at yorlar. fiefl (6) atan ilk oyuncu oyunu kazan yor. Ve

Detaylı

Hiçbir zaman Ara s ra Her zaman

Hiçbir zaman Ara s ra Her zaman Ö RETMEN ÖZ DE ERLEND RME FORMU K fi L K ÖZELL KLER flimi seviyorum. Sab rl y m. Uyumluyum. fl birli ine aç m. Güler yüzlüyüm. yi bir gözlemciyim. yi bir planlamac y m. Çocuklara, ailelere, meslektafllar

Detaylı

Bir tavla maç 5 te biter. Yani 5 oyun kazanan ilk oyuncu

Bir tavla maç 5 te biter. Yani 5 oyun kazanan ilk oyuncu Bir Tavla Sorusu Bir tavla maç 5 te biter. Yani 5 oyun kazanan ilk oyuncu tavla maç n kazan r. Kimi tavlac lar maç n 5-4 bitmesine raz olmazlar, aradaki fark n en az 2 olmas n isterler, 6-4, 7-5, 8-6 gibi...

Detaylı

Asli 1. Birinci K s m: Biraz Kümeler Kuram ve Do al Say lar

Asli 1. Birinci K s m: Biraz Kümeler Kuram ve Do al Say lar Asli 1 Birinci K s m: Biraz Kümeler Kuram ve Do al Say lar 0A. Gerçek Nedir Ne De ildir? Gerçek nedir, var m d r, varsa benden ba ms z m d r ve ona nas l ulafl l r? Do ru nedir? Anlamak ne demektir? Bir

Detaylı

1.Temel Kavramlar 2. ÆÍlemler

1.Temel Kavramlar 2. ÆÍlemler 1.Temel Kavramlar Abaküs Nedir... 7 Abaküsün Tarihçesi... 9 Abaküsün Faydaları... 12 Abaküsü Tanıyalım... 13 Abaküste Rakamların Gösterili i... 18 Abaküste Parmak Hareketlerinin Gösterili i... 19 2. lemler

Detaylı

O + T + U + Z = 30 (30) 2K + I + R = 40 (40) E + 2L + = 50 (50) A + L + T + M + I + fi = 60 (60) Y + E + T + M + + fi = 70 (70) 2S + 2E + K + N = 80

O + T + U + Z = 30 (30) 2K + I + R = 40 (40) E + 2L + = 50 (50) A + L + T + M + I + fi = 60 (60) Y + E + T + M + + fi = 70 (70) 2S + 2E + K + N = 80 Yaz yla Saymak H er harfe öyle bir tamsay vermek istiyoruz ki, örne in, B R in harfleri olan B ye, ye ve R ye verdi imiz say lar n toplam 1 olsun. K için de, ÜÇ için de ayn fley do ru olsun... 199 a kadar

Detaylı

umhurbaflkan iken, Kendi ste iyle Kimya Ö rencisi Oldu

umhurbaflkan iken, Kendi ste iyle Kimya Ö rencisi Oldu C umhurbaflkan iken, Kendi ste iyle Kimya Ö rencisi Oldu Çankaya Köflkü nde Cumhurbaflkan smet nönü, 1942 y l nda hergün sabah akflam büyük bir dikkat ve merakla Hitler in Rusya topraklar ndaki ilerlemesini

Detaylı

Afla da yedi matematiksel olgu bulacaks n z. Bu olgular n

Afla da yedi matematiksel olgu bulacaks n z. Bu olgular n Seçim Beliti Afla da yedi matematiksel olgu bulacaks n z. Bu olgular n herbiri bir teoremdir, kan tlanm fllard r. Ancak bu olgular, matematikte çok özel bir yeri olan Seçme Beliti kullan larak kan tlanm

Detaylı

BYazan: SEMA ERDO AN. ABD ve Avrupa Standartlar nda Fact-Jacie Akreditasyon Belgesi. Baflkent Üniversitesi nden Bir lk Daha

BYazan: SEMA ERDO AN. ABD ve Avrupa Standartlar nda Fact-Jacie Akreditasyon Belgesi. Baflkent Üniversitesi nden Bir lk Daha Baflkent Üniversitesi nden Bir lk Daha ABD ve Avrupa Standartlar nda Fact-Jacie Akreditasyon Belgesi Baflkent Üniversitesi T p Fakültesi Adana Eriflkin Kemik li i Nakil ve Hücresel Tedavi Merkezi, Türkiye

Detaylı

Geçen bölümde, P1 ve P2 özelliklerini sa layan (, S, 0)

Geçen bölümde, P1 ve P2 özelliklerini sa layan (, S, 0) 3. Do al Say larda Toplama, Çarpma ve S ralama Geçen bölümde, P1 ve P2 özelliklerini sa layan (, S, 0) matematiksel yap s n n varl n kan tlam flt k. An msayal m: bir kümedir. 0, kümesinin bir eleman d

Detaylı

Sevdi im Birkaç Soru

Sevdi im Birkaç Soru Sevdi im Birkaç Soru M atematikte öyle sorular vard r ki, yan t bulmak önce çok zor gibi gelebilir, sonradan -saatler, günler, aylar, hatta kimi zaman y llar sonra- yan t n çok basit oldu u anlafl l r.

Detaylı

Tavla ve Bilimsel Düflünce

Tavla ve Bilimsel Düflünce Tavla ve Bilimsel Düflünce Y llar önce çok satan bir gazetemiz Türkiye Tavla fiampiyonas düzenlemiflti. Bizde tavlac çok. fl yerlerinde bile tavla oynan r ülkemizde. Bile ine güvenen kat ld flampiyonaya.

Detaylı

mayan, kimileyin aç klay c, kimileyin biraz daha ileri seviyede ve daha ilgili ve merakl ö renci için yaz lm fl olan di er bölümlerin bafl na 3A, 4C

mayan, kimileyin aç klay c, kimileyin biraz daha ileri seviyede ve daha ilgili ve merakl ö renci için yaz lm fl olan di er bölümlerin bafl na 3A, 4C Önsöz Bu ders notlar, 1995 ten beri stanbul Bilgi Üniversitesi nde birinci s n f matematik ö rencilerine verdi im derslerden ortaya ç kt ve matemati i derinli i ve felsefesiyle ö renmek isteyen, çal flmaktan

Detaylı

L K Ö R E T M. temel1 kaynak MUTLU. Matematik Türkçe Hayat Bilgisi

L K Ö R E T M. temel1 kaynak MUTLU. Matematik Türkçe Hayat Bilgisi temel1 kaynak MUTLU Matematik Türkçe Hayat Bilgisi L K Ö R E T M Muhsin ÇET N Ayfle ÇET N Kitab n Ad : Temel Kaynak Kitab 1 Yazar : Muhsin ÇET N - Ayfle ÇET N Her hakk sakl d r. Mutlu Yay nc l k a aittir.

Detaylı

Hilbert in Program ve Gödel in Teoremleri

Hilbert in Program ve Gödel in Teoremleri Hilbert in Program ve Gödel in Teoremleri M atematikçi bir arkadafl m n efli güle güle anlatt. Befl yafl ndaki o luna babas n n bahçede ne yapt n sormufl. Çocuk bahçeye ç k p bir de bakm fl ki, baba, bir

Detaylı

Bu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir

Bu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir 20. Seçim Aksiyomu Neden Do ald r? Bu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir aksiyom oldu una ikna etmeye çal flaca z. Bu bölüm de okuru ikna etmezse hiçbir fley etmez! Ç k fl noktam z Bertrand

Detaylı

Önsav 1. Her fley yukardaki gibi olsun. {ƒ 1 (V) g 1 (W) : V X, W Y, V ve W aç k}

Önsav 1. Her fley yukardaki gibi olsun. {ƒ 1 (V) g 1 (W) : V X, W Y, V ve W aç k} Kapak Konusu: Topoloji Çarp m Topolojisi Bu yaz da topolojik uzaylar n kartezyen çarp m n do al bir topolojik uzay yap s yla donataca z. E er ve topolojik uzaylarsa, üzerine en do al topolojik yap, herhalde,

Detaylı

Birkaç Oyun Daha Birinci Oyun.

Birkaç Oyun Daha Birinci Oyun. Birkaç Oyun Daha B irinci Oyun. ki oyuncu flu oyunu oynuyorlar: Her ikisi de, birbirinden habersiz, toplam 9 olan üç do al say seçiyor. En büyük say lar, ortanca say lar ve en küçük say lar karfl laflt

Detaylı

Yüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar

Yüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar Yüzde Yüz Sonlu Sonsuz Oyunlar T avla Üzerine Bir Soru adl yaz da kuramsal olarak sonsuz bir oyun olan tavlan n gerçekte, yani uygulamada, sonsuz olup olmad sorusunu sorduk. Bu yaz da kuramsal olarak sonsuz,

Detaylı

Fevzi Pafla Cad. Dr. Bar fl Ayd n. Virgül (,) 2. Baz k saltmalar n sonuna konur.

Fevzi Pafla Cad. Dr. Bar fl Ayd n. Virgül (,) 2. Baz k saltmalar n sonuna konur. 2. Baz k saltmalar n sonuna konur. Dr. Bar fl Ayd n Fevzi Pafla Cad. 3. Say lardan sonra s ra bildirmek için konur. Sonucu ilân ediyorum: 1. Ali, 2. Kemal, 3. Can oldu. Hepsini tebrik ederim. Virgül (,)

Detaylı

yis ralamalar Hissetmek

yis ralamalar Hissetmek Kapak Konusu: S ralamalar yis ralamalar Hissetmek yis ralamay koyun s ralamaya benzetmek pek yanl fl olmaz. Sonsuz say da koyun da olsa, iyis ralanm fl bir koyun sürüsünde mutlaka birinci koyun olmal.

Detaylı

Bu noktaya gelene kadar nin birçok özelli ini kan tlad k.

Bu noktaya gelene kadar nin birçok özelli ini kan tlad k. 21. nin Biricikli i Bu noktaya gelene kadar nin birçok özelli ini kan tlad k. Bu özelliklerin bir listesini ç karal m: 1), s ral bir cisimdir. 2) tamd r, yani nin her temel (ya da Cauchy) dizisi de yak

Detaylı

Bir Tekhücrelinin Soyunu Sonsuza Dek Sürdürme fians

Bir Tekhücrelinin Soyunu Sonsuza Dek Sürdürme fians Bir Tekhücrelinin Soyunu Sonsuza Dek Sürdürme fians kiye bölünerek üreyen tekhücreliler vard r. Tekhücreli ve tekcinsiyetlidirler galiba. Lisede ö renmifltim. Unutmuflum. Kimseye gereksinmeden ikiye bölünerek

Detaylı

Yalanc n n Hakk ndan Gelmek!

Yalanc n n Hakk ndan Gelmek! Yalanc n n Hakk ndan Gelmek! A c d r söylemesi, bunca ülke gördüm, bunca insan tan d m, ülkemde gördü üm kadar çok yalanc y hiçbir yerde görmedim. Do u ya az gittim, ama Bat da gitmedi im yer kalmad desem

Detaylı

ç kar lmas için çal flt klar n ifade eden Türk, Her geliflinizde Baflkent OSB nin sürekli de iflti ini göreceksiniz dedi.

ç kar lmas için çal flt klar n ifade eden Türk, Her geliflinizde Baflkent OSB nin sürekli de iflti ini göreceksiniz dedi. 4 Ankara- Baflkent OSB, bir ilk i daha gerçeklefltirdi. Kooperatif olarak örgütlenip, daha sonra organize sanayi bölgesine dönüflen OSB ler aras nda genel kurulunu yapan ilk kurulufl oldu. Sanayi ve Ticaret

Detaylı

K12NET Eğitim Yönetim Sistemi

K12NET Eğitim Yönetim Sistemi TEOG SINAVLARININ DEĞERLENDİRİLMESİ Yeni sınav sistemi TEOG, yani Temel Eğitimden Orta Öğretime Geçiş Sınavlarında öğrenciler, 6 dersten sınav olacaktır. Öğrencilere Türkçe, Matematik, T.C. İnkılap Tarihi

Detaylı

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir

Detaylı

Cemal Amca n n Zarlar

Cemal Amca n n Zarlar Cemal Amca n n Zarlar B aflkomiserlikten emekli alt kat komflumuz Cemal Amca tavlaya çok düflkündü. Emekli olmazdan önce haftasonlar n bahçede tavla oynayarak geçirirdi. Hafta içindeyse haftasonunu iple

Detaylı

Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla

Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla Cetvelsiz de Olur! Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla yap lan çizimler çok ilgilendirirdi. Çünkü Eflatun a göre, do ru ve daire, geometrik flekiller aras nda mükemmel olan tek flekillerdi.

Detaylı

Okurun bir önceki bölümü okudu unu ve orada ortaya

Okurun bir önceki bölümü okudu unu ve orada ortaya 23. Zorn Önsav ve Birkaç Sonucu Okurun bir önceki bölümü okudu unu ve orada ortaya konulan sorunu anlad n varsay yoruz. O bölümde ele ald m z ama pek baflar l olamad m z kan tlama yönteminden, yani bir

Detaylı

Bu ay n konusu olan problem Amerika da baya heyecan

Bu ay n konusu olan problem Amerika da baya heyecan fiapka Problemi Bu ay n konusu olan problem Amerika da baya heyecan yaratm fl. Hatta Amerika n n en sayg de er gazetelerinden biri olarak kabul edilen The New York Times ta uzun bir yaz ya konu olmufl.

Detaylı

Hiç K salmadan K salan Yol

Hiç K salmadan K salan Yol Hiç K salmadan K salan Yol ki metrelik bir yol, hiç uzay p k salmadan, bir metrelik bir yola dönüflebilir mi? u yaz da yan t n evet oldu unu görece- iz. ki metrelik bir yol, hepimizin gözleri önünde, bir

Detaylı

Karadeniz Teknik Üniversitesi Orman Fakültesi. Orman Endüstri Mühendisliği Bölümü PROJE HAZIRLAMA ESASLARI

Karadeniz Teknik Üniversitesi Orman Fakültesi. Orman Endüstri Mühendisliği Bölümü PROJE HAZIRLAMA ESASLARI Karadeniz Teknik Üniversitesi Orman Fakültesi Orman Endüstri Mühendisliği Bölümü PROJE HAZIRLAMA ESASLARI Yrd.Doç.Dr. Kemal ÜÇÜNCÜ Orman Endüstri Makinaları ve İşletme Anabilim Dalı 1. Proje Konusunun

Detaylı

Seks, yemek ve oyun do al zevklerdendir. Her memeli hayvan

Seks, yemek ve oyun do al zevklerdendir. Her memeli hayvan Beyin Cimnastikleri (I) Seks, yemek ve oyun do al zevklerdendir. Her memeli hayvan hofllan r bunlardan. lk ikisi konumuz d fl nda. Üçüncüsünü konu edece iz. 1. lk oyunumuz flöyle: Afla daki dört kibrit

Detaylı

Yaz ma Aziz Nesin in özyaflamöyküsü Böyle Gelmifl Böyle

Yaz ma Aziz Nesin in özyaflamöyküsü Böyle Gelmifl Böyle Aziz Nesin in Darüflflafaka ya Girifli Yaz ma Aziz Nesin in özyaflamöyküsü Böyle Gelmifl Böyle Gitmez den bir al nt yla bafllayaca m. Ailesi Heybeliada ya tafl nm flt r. Y l 1926. Babam n nerde oldu unu

Detaylı

Afin ve zdüflümsel Düzlemler

Afin ve zdüflümsel Düzlemler Kapak Konusu: Geometrik Kombinatorik Afin ve zdüflümsel Düzlemler Selda Küçükçifçi* / skucukcifci@ku.edu.tr Oluflum Geometrisi. Do ru dendi inde akl m za dümdüz ve dosdo ru do rular gelir. flte birkaç

Detaylı

içinde seçilen noktan n birinci koordinat birincinin geldi i saati, ikinci koordinat ysa

içinde seçilen noktan n birinci koordinat birincinin geldi i saati, ikinci koordinat ysa Tuhaf Bir Buluflma O las l k kuram ilkokullarda bile okutulabilecek kerte basit ve zevklidir. ABD de kimi okullarda 9 yafl ndaki çocuklara bile okutuluyor olas l k kuram. Basit olas l k kuram n anlamak

Detaylı

Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr

Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr apak onusu: oncelet Teoremleri oni. Uzayda birbirini 0 < < 90 derecede kesen iki de iflik a ve do rusu alal m. Do rulardan birini di erinin etraf nda, diyelim a y nin etraf nda oluflturduklar aç s n bozmadan

Detaylı

Ak ld fl AMA Öngörülebilir

Ak ld fl AMA Öngörülebilir Ak ld fl AMA Öngörülebilir Ak ld fl AMA Öngörülebilir Kararlar m z Biçimlendiren Gizli Kuvvetler Dan Ariely Çevirenler Asiye Hekimo lu Gül Filiz fiar ISBN 978-605-5655-39-6 2008, Dan Ariely Orijinal ad

Detaylı

4. yis ralamalar Hissetmek

4. yis ralamalar Hissetmek 4. yis ralamalar Hissetmek yis ralamay koyun s ralamaya benzetmek pek yanl fl olmaz. Sonsuz say da koyun da olsa, iyis ralanm fl bir koyun sürüsünde mutlaka birinci koyun olmal. kinci, üçüncü, dördüncü

Detaylı

Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir

Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir Çizgeler Kuram Hemen Hemen Her Sonlu Çizge Asimetriktir Kayhan Zemin E er bir çizgenin özdefllik, yani Id fonksiyonundan baflka otomorfizmas yoksa, bu çizgeye denir. flte en küçük asimetrik çizge: Asimetrik

Detaylı

Düello, herkesin bildi i üzere, iki kifli aras nda yap l r. Trielloyu

Düello, herkesin bildi i üzere, iki kifli aras nda yap l r. Trielloyu Triello Düello, herkesin bildi i üzere, iki kifli aras nda yap l r. Trielloyu 1 herkes bilmeyebilir... Triello üç kifli aras nda yap - l r, ya da oynan r..., B ve, triello yapacak üç kifli olsun. Önce,

Detaylı

MAKÜ YAZ OKULU YARDIM DOKÜMANI 1. Yaz Okulu Ön Hazırlık İşlemleri (Yaz Dönemi Oidb tarafından aktifleştirildikten sonra) Son aktif ders kodlarının

MAKÜ YAZ OKULU YARDIM DOKÜMANI 1. Yaz Okulu Ön Hazırlık İşlemleri (Yaz Dönemi Oidb tarafından aktifleştirildikten sonra) Son aktif ders kodlarının MAKÜ YAZ OKULU YARDIM DOKÜMANI 1. Yaz Okulu Ön Hazırlık İşlemleri (Yaz Dönemi Oidb tarafından aktifleştirildikten sonra) Son aktif ders kodlarının bağlantıları kontrol edilir. Güz ve Bahar dönemindeki

Detaylı

Geçmiflte (n/(n+1))n dizisinin 1 e yak nsad n f s ldad k

Geçmiflte (n/(n+1))n dizisinin 1 e yak nsad n f s ldad k 8. Yak nsak Diziler 8.1. Yak nsakl k Geçmiflte (n/(n+1))n dizisinin 1 e yak nsad n f s ldad k ama kan tlamad k. Kan tlayamazd k da, çünkü yak nsamak kavram n henüz tan mlamad k. Bu bölümde matematikte

Detaylı

Matemati i bir iki sayfa erteleyerek, gerçel say larda s -

Matemati i bir iki sayfa erteleyerek, gerçel say larda s - 15. Gerçel Say larda S ralama Matemati i bir iki sayfa erteleyerek, gerçel say larda s - ralamay nas l tan mlayabilece imizi tart flaca z önce. Do al ve basit gibi görünen tan m denemelerinin zorluklar

Detaylı

Beynimizi Nas l De ifltiriyor? Çeviri: DEN Z BENER

Beynimizi Nas l De ifltiriyor? Çeviri: DEN Z BENER Beynimizi Nas l De ifltiriyor? Çeviri: DEN Z BENER nternet, her fleyi de ifltirdi Hat rlamak ve zihnimizi kullanmak konusunda, geleneksel yöntemlerimizden h zla uzaklafl yoruz. Be endi imiz bir yeme in tarifini,

Detaylı

HACETTEPE ÜNİVERSİTESİ Önlisans ve Lisans Düzeyinde Yurtdışından Öğrenci Başvuru ve Kayıt Kabul Yönergesi

HACETTEPE ÜNİVERSİTESİ Önlisans ve Lisans Düzeyinde Yurtdışından Öğrenci Başvuru ve Kayıt Kabul Yönergesi HACETTEPE ÜNİVERSİTESİ Önlisans ve Lisans Düzeyinde Yurtdışından Öğrenci Başvuru ve Kayıt Kabul Yönergesi Dayanak Madde 1- Bu yönerge, Hacettepe Üniversitesi ne yurt dışından öğrenci kabulü kriterlerini

Detaylı

Kocaeli Üniversitesi ktisadi ve dari Bilimler Fakültesi Ö retim Üyesi. 4. Bas

Kocaeli Üniversitesi ktisadi ve dari Bilimler Fakültesi Ö retim Üyesi. 4. Bas 1 Prof. Dr. Yunus Kishal Kocaeli Üniversitesi ktisadi ve dari Bilimler Fakültesi Ö retim Üyesi Tekdüzen Hesap Sistemi ve Çözümlü Muhasebe Problemleri 4. Bas Tekdüzen Muhasebe Sistemi Uygulama Tebli leri

Detaylı

Zihinden fllem Yapal m, Yuvarlayal m, Tahmin Edelim

Zihinden fllem Yapal m, Yuvarlayal m, Tahmin Edelim 3.2 Zihinden fllem Yapal m, Yuvarlayal m, Tahmin Edelim Zihinden Toplayal m ve Ç karal m 1. Afla da verilen ifllemleri zihinden yaparak ifllem sonuçlar n yaz n z. 50 YKr + 900 YKr = 300 + 300 = 998 100

Detaylı

CO RAFYA GRAF KLER. Y llar Bu grafikteki bilgilere dayanarak afla daki sonuçlardan hangisine ulafl lamaz?

CO RAFYA GRAF KLER. Y llar Bu grafikteki bilgilere dayanarak afla daki sonuçlardan hangisine ulafl lamaz? CO RAFYA GRAF KLER ÖRNEK 1 : Afla daki grafikte, y llara göre, Türkiye'nin yafl üzerindeki toplam nufusu ile bu nüfus içindeki okuryazar kad n ve erkek say lar gösterilmifltir. Bin kifli 5. 5.. 35. 3.

Detaylı

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik ireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar Soru. S f rdan farkl bir a say s için sonsuz ondal klarla oluflan ifadesinin de eri nedir? ise, Soru 2. 0 < < 0 olmak

Detaylı

Cümlede Anlam İlişkileri

Cümlede Anlam İlişkileri Cümlede Anlam İlişkileri Cümlede anlam ilişkileri kpss Türkçe konuları arasında önemli bir yer kaplamaktadır. Cümlede anlam ilişkilerine geçmeden önce cümlenin tanımını yapalım. Cümle, yargı bildiren,

Detaylı

Üst Üçgensel Matrisler

Üst Üçgensel Matrisler Ders Notlar Üst Üçgensel Matrisler Ali Nesin / anesin@bilgi.edu.tr 1. Lineer Cebir Tekrar V, bir K cismi üzerine n > 0 boyutlu bir vektör uzay olsun. V nin K-vektör uzay olarak andomorfizmalar, V nin lineer

Detaylı

Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl

Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl Zü ürt Tesellisi Bir önceki yaz da, yaz -tura oyununda yoksulun zengine karfl flans n n çok az oldu unu kan tlam flt k. Öyle ki, zengin sonsuz zengin oldu unda oyunu 1 olas l kla (yani yüzde yüz) kazanacakt

Detaylı

C. MADDEN N ÖLÇÜLEB L R ÖZELL KLER

C. MADDEN N ÖLÇÜLEB L R ÖZELL KLER C. MADDEN N ÖLÇÜLEB L R ÖZELL KLER 1. Patates ve sütün miktar nas l ölçülür? 2. Pinpon topu ile golf topu hemen hemen ayn büyüklüktedir. Her iki topu tartt n zda bulaca n z sonucun ayn olmas n bekler misiniz?

Detaylı

Canpolat Pamay. Zonguldak n baflö retmeni

Canpolat Pamay. Zonguldak n baflö retmeni 24 Kas m Ö retmenler Günü tüm ö retmenlerimize kutlu olsun. Zonguldak n baflö retmeni Canpolat Pamay Zonguldak n simge isimlerinden birisidir Canpolat Pamay. Ömrünün, 40 y l n e itime-ö retime, spora ve

Detaylı

DEVLET KATKI SİSTEMİ Devlet katkısı nedir? Devlet katkısı başlangıç tarihi nedir? Devlet katkısından kimler faydalanabilir?

DEVLET KATKI SİSTEMİ Devlet katkısı nedir? Devlet katkısı başlangıç tarihi nedir? Devlet katkısından kimler faydalanabilir? DEVLET KATKI SİSTEMİ Devlet katkısı nedir? Katılımcı tarafından ödenen katkı paylarının %25 i oranında devlet tarafından katılımcının emeklilik hesabına ödenen tutardır. Devlet katkısı başlangıç tarihi

Detaylı

Gerçel Say larla p-sel Tamsay lar Aras ndaki Benzerlik

Gerçel Say larla p-sel Tamsay lar Aras ndaki Benzerlik Kapak Konusu: Modüler ve p-sel Say lar Gerçel Say larla p-sel Tamsay lar Aras ndaki Benzerlik I. A aç. Geçen yaz lar - m zda, say lardan yola ç karak bir a aç bulmufltuk. Bu kez tam tersini yapaca z, bir

Detaylı

Ünlü Alman matematikçisi Kari Friedrick Gauss 10 yafl ndayken,

Ünlü Alman matematikçisi Kari Friedrick Gauss 10 yafl ndayken, Aritmetik Diziler ve Ötesi Ünlü Alman matematikçisi Kari Friedrick Gauss 10 yafl ndayken, ö retmeni ö rencileri oyalamak için, 1 den 100 e kadar say lar yazarak toplay n der. Baflka bir deyiflle, 1 + 2

Detaylı

ÖNEMLİ NOT: 2016 BÜTÇESİ HAZIRLAMA ÇALIŞMASI. NYC Nilgün Yetiş Koçluk ve Danışmanlık. Gözden Geçirme Tarihi:

ÖNEMLİ NOT: 2016 BÜTÇESİ HAZIRLAMA ÇALIŞMASI. NYC Nilgün Yetiş Koçluk ve Danışmanlık. Gözden Geçirme Tarihi: ÖNEMLİ NOT: Bütçe kısıtlamalar için değil, sizi arzu ettiğiniz hayatı yaşamanız ve hedeflerinize ulaşmanız için yapıldığı zaman oldukça anlamlı ve faydalıdır. Bu çalışmayı yıl başında yapmanız ve 3 er

Detaylı

14. Ordinallerde Çarpma fllemi

14. Ordinallerde Çarpma fllemi 14. Ordinallerde Çarpma fllemi 14.1. Çarpman n Tan m Gene ilkokul y llar m zdan bafllayal m. lkokulda do al say lar n çarp m n nas l ö rendi inizi an msay n. 3 4 = 12 eflitli i için her biri içinde üç

Detaylı

TEMEL MATEMAT K TEST

TEMEL MATEMAT K TEST TML MTMT K TST KKT! + u bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + u bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TML MTMT K TST " bölümüne iflaretleyiniz.. + : flleminin sonucu kaçt r? 4. ört do al say afla

Detaylı

Kümeler toplulu unun bir küme olamayaca n Bertrand

Kümeler toplulu unun bir küme olamayaca n Bertrand 9. Ordinallerin fllevi Kümeler toplulu unun bir küme olamayaca n Bertrand Russell Paradoksu ndan biliyoruz [SKK]. Küme olmayan bir fleye küme diyemeyece imize göre, tüm kümeler toplulu una bir baflka ad

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ PSİKİYATRİK KRİZ UYGULAMA VE ARAŞTIRMA MERKEZİ

ANKARA ÜNİVERSİTESİ PSİKİYATRİK KRİZ UYGULAMA VE ARAŞTIRMA MERKEZİ ANKARA ÜNİVERSİTESİ PSİKİYATRİK KRİZ UYGULAMA VE ARAŞTIRMA MERKEZİ Kuruluş : 27 Ekim 1989 Adres : Ankara Üniversitesi Tıp Fakültesi Cebeci Kampüsü Dikimevi - Ankara Tel : 363 03 26-363 03 27 ANKARA ÜNİVERSİTESİ

Detaylı

Bir (xn)n dizisinin (n sonsuza giderken) limitini tan mlam fl

Bir (xn)n dizisinin (n sonsuza giderken) limitini tan mlam fl 48. Limit Bir (xn)n dizisinin (n sonsuza giderken) limitini tan mlam fl ve bu ders notlar n n oldukça uzun bir bölümünü bu kavrama ay rm flt k. Bu bölümde benzer bir limit kavram tan taca z. E er ƒ bir

Detaylı

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s - 18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte

Detaylı

Bahçe Sorusu 1. Girifl. Daire biçiminde bir bahçeye, merkezden bafllayarak, birer metre aral klarla yatay ve dikey s ralanm fl fi-

Bahçe Sorusu 1. Girifl. Daire biçiminde bir bahçeye, merkezden bafllayarak, birer metre aral klarla yatay ve dikey s ralanm fl fi- Bahçe Sorusu 1 Girifl. Daire biçiminde bir bahçeye, merkezden bafllayarak, birer metre aral klarla yatay ve dikey s ralanm fl fi- 1. dan dikmeyi düflünüyoruz. Bahçenin merkezine fidan dikmeyece- iz. Soru

Detaylı

KES RLER. Bunlar biliyor musunuz? Bütün bir fleyin bölündü ü iki eflit parçadan her biri. Tam, bölünmemifl fley. Bütün elma gibi.

KES RLER. Bunlar biliyor musunuz? Bütün bir fleyin bölündü ü iki eflit parçadan her biri. Tam, bölünmemifl fley. Bütün elma gibi. KES RLER Bunlar biliyor musunuz? Bütün: Tam, bölünmemifl fley. Bütün elma gibi. Yar m: Bütün bir fleyin bölündü ü iki eflit parçadan her biri. Kesir: Bir bütünün bölündü ü eflit parçalar n birini veya

Detaylı