DUAL KUATERNİYONLAR ÜZERİNDE SİMPLEKTİK GEOMETRİ E. ATA

Transkript

1 DÜ Fe Blmle Esttüsü Degs Dual Kuateyola 6. Sayı (Em l004) Üzede Smlet Geomet DUAL KUATERNİYONLAR ÜZERİNDE SİMLEKTİK GEOMETRİ E. ATA Özet Bu maalede dual uateyola üzede smlet gu, smlet etö uzayı e smlet çama elee dual smlet matsle celemşt. Ayıca bm dual üe üzede smlet yaı elee bu üe b heme heme Hemtye mafold olduğu gösteld. Aaa Üestes, Fe Faültes, Matemat Bölümü, 0600 Tadoğa /ANKARA.Gş. Smlet Mafold Taım... M dfeesyelleebl -boyutlu eel b mafold olsu. B Ω Ω ( M ) ç aşağıda özellle sağlaıyosa Ω ya M üzede b smlet fom, ( M, Ω) lse de b smlet mafold de. ) d Ω 0 ( Ω fomu aalıdı ) ) He m M otasıda T M (m) tajat uzayı üzede x TM (m) olma üzee he y T (m) ç Ω ( x, y) 0 x 0 özellğ) M m dı. (o-degeeate Bu duumda he m M otasıda T M (m) b smlet uzay olu. Böylece boy M ç ya çft olma zoudadı. Taım... ( M, Ω) e ( M, Ω ) smlet mafold olsu. F : M M dfeesyelleebl döüşümü ç F Ω Ω se F ye b smlet döüşüm de. Buada F, F e döüşümüdü. Aahta Kelmele: Dual smlet döüşüm, Dual smlet gu, Dual smlet mats, Dual uateyola, Hemtye mafold, Komles yaı, Reel uateyola, Smlet döüşüm, Smlet gu, Smlet mats.

2 DÜ Fe Blmle Esttüsü Degs Dual Kuateyola 6. Sayı (Em l004) Üzede Smlet Geomet Eğe F smlet döüşümü beb e öte se F ye b smletomofzm de. M üzede tüm smletomofzmle cümles S (M ) le göstel. Taım..3. M dfeesyelleebl eel b mafold olsu. x M otasıda tajat uzay T M (x) olma üzee J : TM ( x) TM ( x) lee edomofzm ç j I se j ye M üzede b heme heme omles yaı de. Buada I, özdeşl döüşümüdü. Üzede böyle b omles yaı buludua M mafoldua se heme heme omles mafold de. Taım..4. Heme heme j omles yaısıa sah b heme heme omles mafold M olsu. M üzede b g Rema metğ ç ( j( x), j( y) ) g( x, y) g, x, y χ( M ) se g ye M üzede b Hemtye met de. Üzede b Hemtye met buludua heme heme M omles mafoldua b heme heme Hemtye mafold de... Reel Kuateyola Taım... B eel uateyo q d + ae + be + ce3, a, b, c, d IR bçmde fade edl. Buada ) e e e3 ) e e e e e3, e e3 e3 e e, e3 e e e3 e d. B eel uateyou, sala ısmı s q d e etöel ısmı q ae + be + ce3 olma üzee ısma ayıablz. Böylece q eel q s q + şelde yazılabl. uateyou q Tüm eel uateyolaı cümles IR le gösteelm. Bu cümle tolama e salala çama şlemyle blte eel sayıla csm üzede b etö uzayı, uateyo çaımı le de bml e bleşml b hala yaısıa saht. [].3. Dual Kuateyola Taım.3.. q d + ae + be + ce3 e q d + a e + b e + c e3 eel uateyo olma üzee b dual uateyo

3 DÜ Fe Blmle Esttüsü Degs Dual Kuateyola 6. Sayı (Em l004) Üzede Smlet Geomet ε 0, q + ε q, ε IR şelde taımlaı. Ayıca dual uateyou, D d + ε d, A a + ε a, B b + ε b, C c + ε c olma üzee D + Ae + Be + Ce3 şelde de yazablz. Buada D, A, B, C dual sayılaı u dual bleşeled. B dual uateyou, sala ısmı S D e etöel ısmı V Ae + Be + Ce3 olma üzee ısma ayıablz. Böylece dual uateyou S + V bçmde de yazılabl. B dual uateyou sala ısmı b dual sayı, etöel ısmı b dual etödü. Tüm dual uateyolaı cümles le gösteeceğz. Bu cümle tolama e salala çama şlemyle blte eel sayıla csm üzede b etö uzayı, uateyo çaımı le de bml e bleşml b hala yaısıa saht.[] Şmd dual uateyola halası üzede temel bazı şlemle eelm. S + V, S + V ç Eştl; S S e V V se dı. Çama; olu. Hehag K es S S V, V + S D + Ae + Be + Ce3 D + Be K ( Ae + Ce) N, omu şelde taımlaı. V + S V + V V ç u eşleğ D + A + B C e N +. Dual Smlet Gu... ç dual uateyola halası olma üzee { ( q, q,..., q ): q, } cümles taımlayalım. Bu cümle, üzede tolama 3

4 DÜ Fe Blmle Esttüsü Degs Dual Kuateyola 6. Sayı (Em l004) Üzede Smlet Geomet : (, ) + ( q, q,..., q ); q, K e sala çama, : (, ) ( q +, q +,..., q ) ( q, q,..., q ) şlemleyle blte dual uateyola halası üzede b modül yaısıa saht. Bu yaı le blte elemalaıa be dual etö dyeceğz.. Dual Smlet Vetö Uzayı Taım..., : (, ), ( q, q,..., q ); q, (,,..., );, K( q ) şelde taımlı döüşüme üzede b dual smlet çama de. Buada K ( q ), q dual uateyou eşleğd. Dual smlet çama aşağıda özelle sağla. ) +,,,,,, + ), +, +, ) ),. q, q, q. q, K( q), Taım... Üzede dual smlet çama taımlı ola etö uzayıa dual smlet etö uzayı de. 4

5 DÜ Fe Blmle Esttüsü Degs Dual Kuateyola 6. Sayı (Em l004) Üzede Smlet Geomet Taım..3. b smlet etö uzayı olsu. lee döüşümü eştlğ sağlaıyosa σ ya σ σ :, ç σ ( ), σ ( ), üzede b dual smlet döüşüm de. Öeme... : b dual smlet döüşüm olsu. Bu duumda σ, beb e öted. İsat. σ lee b döüşüm olduğuda he olduğuu göstemelyz. olduğuda yazablz. Özel olaa olu. ( ) 0 ç σ ( ) 0 0, ç σ b dual smlet döüşüm σ ( ), σ ( ), alısa σ ( ), σ ( ), σ olsu. Bu duumda 0, 0 elde edl. O halde σ bebd. σ ı taım e değe uzaylaı ayı olduğuda ötelğ açıtı. Buada σ dual smlet döüşümü b lee edomofzm olu. üzede b dual smlet döüşüm se σ ı tes Öeme... σ, ola σ döüşümü de üzede b dual smlet döüşümdü. İsat. σ leelğ açıtı. Bz buada ç çaımı ouduğuu gösteelm., ç σ ( ), σ ( ) σ σ ( ), σ d. Buada ( ) ( σ ( ) ), olu. Ayıca σ b smlet döüşüm olduğuda σ ( ), σ ( ), 5

6 DÜ Fe Blmle Esttüsü Degs Dual Kuateyola 6. Sayı (Em l004) Üzede Smlet Geomet dı. O halde elde edl bu bze göste. ( σ ( ) ), σ ( σ ( ) ) σ ( ), σ ( ) σ σ üzede b dual smlet döüşüm olduğuu Souç olaa dual smlet döüşümle cümles bleşe şleme göe b gu oluştuu. Bu guba dual smlet gu de e S (, ) le göstel. Buada S, σ σ :,, ç σ ( ), σ ( ), olu. ( ) { } Teoem... σ üzede stadat baz { e, e,..., } e olma üzee bm dual etö se σ ( e ) olaca şelde b : dual smlet döüşümü adı. İsat. {,,..., } cümles hehag b otoomal bazı olma üzee σ yı σ ( e ), olaca şelde taımlasa b lee edomofzm olu. Buada σ ( e ), σ ( e ), δ e, e elde edl bu bze σ ı b dual smlet döüşüm olduğuu göste. Teoem... σ, üzede b dual smlet döüşüm olsu. Eğe σ ya aşılı gele mats [ ] q e se [ K ) ] T [ δ ] ( dı. İsat. etö uzayıı stadat bazı e ( δ, δ,..., δ ) { e, e,..., } olsu. Bu duumda σ ( e ) e jq e σ ( e ) j yazablz. σ b dual smlet döüşüm olduğuda j e q j j olma üzee 6

7 DÜ Fe Blmle Esttüsü Degs Dual Kuateyola 6. Sayı (Em l004) Üzede Smlet Geomet j j, s e q j j, s K( q σ ( e ), σ ( e ), j j, s s e q T [ K( q )] [ q ] [ δ ] e q j s K( q s s ) e, e s, e q, q s ) q j s j δ e, e e, e e, e e, e elde edl. Ayıca [ ] T [ K( ) ] [ δ ] olma üzee D + Ae + Be + Ce3, j olsu. S D e V Ae + Be + Ce3 S + V şelde yazablz. T K( ) S V K( ) S V olu. Buada K( e, j buluu., ç [ ] [ ] T [ )] [ δ ] [ S V ] [ S + V ] [ δ ] D + A + B + C [ S S + V, V S V + S V V V ] 0 ( j) Taım..4. Dual smlet döüşümle gubuu zomof ola matsle gubua dual smlet matsle gubu de. Matsle bu gubuu da ye S () le gösteeceğz. O halde T { [ K( ) ] I } S ( ). 7

8 DÜ Fe Blmle Esttüsü Degs Dual Kuateyola 6. Sayı (Em l004) Üzede Smlet Geomet olu. Özel olaa ç S ( ) N bm dual uateyolaı cümles elde edez. { } 3. Bm Dual Küe Üzede Smlet Yaı 3 M mafoldu olaa S { x x (,0) } cümles, ya - modül de bm dual üey alalım. Bm dual üeye üzede b otasıda teğet ola etöle, üe bu otasıda tajat uzayıı oluştuula. S üzede stadat smlet fom ç e dış çaımla yadımıyla taımlaı. Ya Ω: χ ( M ) χ( M ) C ( M, ) olma üzee he M ç Ω : TM ( ) TM ( ) ( A, B ) Ω ( A, B ), A B det(, A, B) döüşümüü bleee e altee olduğu açıtı. No-dejeee özellğe sah olduğuu gösteelm. A TM ( ) ç B TM ( ) olma üzee Ω ( A, B) 0 olsu. Ω ( A, B) 0, A B A B 0, A 0 0 B T M ( ) olu. O halde Ω o-dejeee özellğe saht. Ayıca Ω fomu dual üe üzede c deecede b fom olduğuda aalıdı. Ya d Ω 0 dı. Souç olaa Ω b smlet fom e ( M,Ω) ls b smlet mafold olu. 3 Eğe dual bm olaa ε 0 alıısa IR de S ües üzede smlet fom elde edl. Şmd se bm dual üe heme heme omles yaıya e buada da b j, g heme heme Hemtye yaıya sah olduğuu gösteelm. ( ) 3 üzede ç çaım bm dual üe üzede doğal b g met tesö alaı e. 8

9 DÜ Fe Blmle Esttüsü Degs Dual Kuateyola 6. Sayı (Em l004) Üzede Smlet Geomet S ç T ( ) tajat uzayı, doğal olaa e otogoal ola S ü alt uzayı le zomof yaılabl. j T ( ) T : SK S K ( ) Y j ( Y ) Y döüşümü taımlayalım. Bu b lee edomofzmd. Ayıca j ( Y ) j j ( Y ) j ( ) ( Y ) ( Y ), Y, Y Y, se j I olu. O halde j eşlemes j I olaca şelde b j tesö alaı taımlaı. Bu se j S üzede b omles yaı olduğuu göste. Dğe taafta g j Y, j Z g Y, Z ; Y, Z T ( ( ) ( ) ) olduğuda bm dual üe b ( g) Y 3 j, heme heme Hemtye yaısıa saht. Buada bm dual üe b heme heme Hemtye mafold olu. 9

10 DÜ Fe Blmle Esttüsü Degs Dual Kuateyola 6. Sayı (Em l004) Üzede Smlet Geomet KAYNAKÇA [] Hacısalhoğlu, H.H., Haeet Geomets e Kuateyola Teos, Gaz Üestes, Bası Yayı Y.O. Basıme, 983 [] Claude,C., Theoy of Le Gous, ceto Uesty ess, 946 [3] Yao, Ketao ad Ko, Masaho ; Stuctues o Mafolds, Wold Scetfc ublshg, 984 [4] Wad, J.., uateos ad Cayley Numbes, Kluwe Academc ublshes,