7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

Transkript

1 7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

2 DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER Bir V ektör uzayıı bir başka W ektör uzayıa döüştüre foksiyolar şu şekilde gösterilir: : V W Burada kullaıla termioloji foksiyolarla ayıdır. Öreği, V ektör uzayıa foksiyouu taım kümesi deir. Eğer ektörü, V ektör uzayıı elemaı e w ektörü de W ektör uzayıı elemaı ise w w ektörü, foksiyou içi ektörüü görütüsüdür. V uzayıda taımlı tüm ektörlerie foksiyouu taım kümesi, w şeklide taımlamış w ektörlerie de görütü kümesi deir.

3 DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

4 DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER Örek: taımlamıştır: de taımlı herhagi bir, a), b) w, ektörü içi : şu şekilde ektörüü görütü kümesii,, ektörüü taım kümesii buluuz.

5 DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER Çözüm: a), içi,,, 3,3 b) Eğer,,, olur. ise Bu deklem sistemii tek çözümü 3 e 4 taım kümesi 3,4 tür. tür. Bu durumda, i R deki

6 DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER aım: Doğrusal Döüşüm V e W birer ektör uzayı olmak üzere, : V W foksiyou aşağıdaki özellikleri her bir u e içi sağladığıda V ektör uzayıı W ektör uzayıa döüştüre bir doğrusal döüşümü taımlar: a. (u+)=(u)+() b. (cu)=c(u), tüm c içi.

7 DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER (cu)=c(u) (u+)= (u)+() (u) u+ c(u) () u (u) u cu Yukarıdaki iki koşul birleştirilerek, (cu+d)=c(u)+d() şeklide doğrusal olma koşulu olarak ifade edilebilir.

8 DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER Örek:, ektörlere u ekleye bir döüşüm olsu. Bu döüşüm doğrusal mıdır? Çözüm: (u)=u+ u ()=+ u olup, V uzayıda e W uzayıda (u+)= u++ u (u)+ ()= u+ u + + u olur e doğrusallık şartı sağlamaz.

9 Sıfır Döüşü-Biri Döüşü eorem: İki ektör uzayı V e W içi, : V W döüşümü aşağıdaki gibi taımlamıştır:, tüm V içi Bu durumda bir doğrusal döüşümdür e sıfır döüşümü olarak adladırılır. eorem: Bir ektör uzayı V içi : V V döüşümü aşağıdaki gibi taımlamıştır:, tüm V içi Bu durumda bir doğrusal döüşümdür e V uzayıı birim döüşümü olarak adladırılır

10 DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER Doğrusal Döüşümü Özellikleri: : V W e u ile, V de taımlı birer ektör olmak üzere, doğrusal döüşüm şu özellikleri sağlamaktadır:. İspat:. ( ) ( ) İspat: 3. u u İspat: u u u 4. Eğer c c c ise, c c c

11 Bir Matris ile aılaa Doğrusal Döüşü Bir A matrisi, bir x ektörüyle çarpıldığıda bu işlem x i bir başka ektör Ax e döüştürür. İşlemi girdisi x ektörü, çıktısı Ax ektörüdür. Bu döüşüm işlemii matığı foksiyolarla ayıdır. Fakat burada amaç tüm x ektörlerideki değişimi görmektir. Her bir x ektörü, A matrisi ile çarpılarak aslıda x ektörüü taımlı olduğu tüm uzay döüştürülmüş olur.

12 Bir Matris ile aılaa Doğrusal Döüşü Boyutlu m ola bir A matrisi ele alısı. Aşağıdaki gibi taımlaa bir foksiyou, de A m e bir doğrusal döüşümdür. Burada m boyutlu bir matrisle çarpım kuralı dikkate alıarak uzayıdaki ektörler boyutlu, m boyutlu ektörlerle temsil edilmektedir. m uzayıdaki ektörler de m boyutlu sıfır matrisi de m e sıfır döüşümüü, boyutlu birim matris de de e birim döüşümü taımlamaktadır.

13 Bir Matris ile aılaa Doğrusal Döüşü u a a a m a a a mm u a a a m a a am m u a a a a a a m m m m m R de bir ektör R de bir ektör

14 Bir Matris ile aılaa Doğrusal Döüşü ya da u a a a m u a a a m m m u a a a m m Burada u i ler j leri doğrusal birer foksiyolarıdır.

15 DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER eorem: Bir A matrisii boyutu m olmak üzere, erile bir ektörü içi, A A şeklide taımlaa bir döüşümü de m e taımlı bir doğrusal döüşümdür.

16 DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER İspat: u, e c bir skaler olmak üzere, matris çarpımları ile ilgili özellikler kullaılarak; e olur. u u u u A A A u A u A u c c c u c

17 DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER Örek: Bir doğrusal döüşüm m :, A şeklide taımlamıştır. Bua göre aşağıdaki matrisler içi doğrusal döüşümü boyutlarıı buluuz. a) A 3 b) 4 3 A 5 c) A 3

18 DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER Çözüm: a) Matrisi boyutu 3 3 olduğu içi bu döüşüm u A 3 u 4 3 u 3 3 te 3 e taımlıdır. 3 R te bir ektör 3 R te bir ektör b)matrisi boyutu 3 olduğu içi bu döüşüm c)matrisi boyutu 4 olduğu içi bu döüşüm de 4 de 3 e taımlıdır. e taımlıdır.

19 BAZ DEĞİŞİMİ Her bir çalışmada hagi bazı kullaılacağıa dair bir seçim işlemi uygulaır. Baz değişimi temel olarak ektör koordiatlarıı, başka bir koordiat sistemie döüştürülmesi işlemidir. S,,..., kümesi V uzayı içi bir baz taımlıyorsa, bu uzaydaki her bir Eğer V ektörü, baz ektörler,,..., i doğrusal kombiasyou olarak şu şekilde c c c... İfade edilebileceği daha öce açıklamıştı.

20 BAZ DEĞİŞİMİ Burada s c c c katsayıları S bazıa göre ektörüü koordiatlarıdır. Eğer V uzayı boyutluysa, bu uzaydaki her bir adet doğrusal bağımsız ektör V uzayı içi bir baz taımlar. Öreği, uzayıda stadart bazlar, dir. Diğer bazlar bu koordiat sistemi referas alıarak belirleir.

21 Eğer F f,f bir ektörü F. f matrisii sütuları BAZ DEĞİŞİMİ uzayı içi bir baz taımlıyorsa, bu uzaydaki şeklide taımlaabilir. uzayıdaki bir diğer baz g,g ise ayı ektörü, bu baz ektörleri bir doğrusal kombiasyou olarak yazılabilir. Baz değiştiği içi koordiarlar da değişecektir. Yei koordiat ektörü g ise, G. g şeklide yazılabilir. Souç olarak, F. f G. g eşitliğii geçerli olduğu görülebilir. uzayı içi taımlaa bu ifadeler, F f,..., f baz ektörleri içere boyutlu matris e f ise boyutlu koordiat ektörleri olmak üzere, uzayı içi geelleebilir.

22 BAZ DEĞİŞİMİ Herhagi bir baza ait ektörler, bir diğer baza ait baz ektörleri doğrusal kombiasyou olarak yazılabilir. Öreği, g,g bazıdaki ektörleri doğrusal kombiasyou olarak, g g af bf cf df yazılabilir. Bu deklem sistemi G F. P ile taımlaır e P matrisi P a b c d F bazıda G bazıa geçiş matrisidir e baz değişim matrisi olarak adladırılır.

23 BAZ DEĞİŞİMİ g g g g g g f f f f a b c d af af bf bf cf cf df df g g Burada P matrisi tersi alıabilir bir matris olduğuda, G bazıda F bazıa geçiş ise, F G. P eşitliği ile taımlaır. Burada P matrisi G bazıda F bazıa geçişte kullaıla baz değişim matrisidir. Bu matris içi P F. G eşitliği de geçerlidir.

24 BAZ DEĞİŞİMİ Eğer bazlar arasıdaki geçişi sağlaya baz değişim matrisi biliiyor ise, bu baz yapıları ile ilgili bilimek istee her şey elde edilebilir. Bir ektörüü F bazıdaki f koordiatlarıı bilidiği arsayılsı, F. f G.P. f G. g Koordiat ektörleri eşsiz olduğuda, g P. f eşitliği elde edilebilir. Eğer P matrisi F bazıda G bazıa geçişi sağlıyor ise P matrisi, koordiatları f de g ye değiştirir. ekil olmaya herhagi bir P matrisi içi aşağıdaki eşitlikler geçerlidir. F. f F.P.P. f G. g

25 BAZ DEĞİŞİMİ Elde edile souçlar stadart baz ile de uyumludur. Öreği stadart baz e,e ele alıdığıda, içi E e e, I e I. olduğu görülebilir. Diğer bir ifade ile stadart bazda bir geçiş yapıldığıda F I. P f,f bazıa yazılabilir. Diğer bir deyişle baz değişim matrisi, F matrisii kedisidir.

26 OROGONAL VE ORANORMAL Boyutu ola e MARİSLER uzayıda taımlı bir θ g... g matrisii sütuları bu uzay içi bir ortogoal baz g, g,..., g olsu. Bu durumda, θ g g θ g g... g D olur. Burada D köşege bir matristir. Çükü g i g j g.g i j d ij olup. Burada dij elemaları d ij di i j i j ile taımlamıştır.

27 OROGONAL VE ORANORMAL MARİSLER Eğer q, q,..., q kümesi ortaormal ektörlerde oluşmuş ise ortaormal ektörler daima bağımsız oldukları içi. ortaormal bir baz taımlar. Her hagi bir Q matrisii sütuları bu ortaormal baz ektörlerde, Q q... oluşmuş ise bu tür matrislere ortaormal matrisler deir. Sütuları ortaormal ola matrisler, üçgesel, köşege, simetrik, echelo e izdüşüm matrisleri gibi öemli bir matris sııfıdır. Bu sııfa gire matrisler, q Q Q I eşitliği geçerlidir. Kare ortaormal matrislere, ortogoal matris deir. Eğer Q matrisi kare matris ise, Q Q I eşitliği Q Q olduğu alamıa gelmektedir.

28 OROGONAL VE ORANORMAL MARİSLER aım: Bir kare matris Q içi Q Q eşitliği sağlaıyorsa, bu Q matrisie ortogoal matris deir.

29 Öreği, Q ise Q olur. Bu iki matris de ortogoal matrislerdir e iç çarpımları birim matrise eşittir. Ortogoal matrislere bir diğer örek cos si si cos Q matrisidir. OROGONAL VE ORANORMAL MARİSLER

30 OROGONAL VE ORANORMAL MARİSLER Eğer Q matrisi ortogoalse, bu Q matrisii sütuları uzayı içi bir ortaormal baz taımlar. Eğer Q matrisi ortogoalse (ki bu ayı zamada Q matrisie eşittir), Q matrisii satırları uzayı içi bir ortaormal baz taımlar. Eğer Q e F matrisleri ayı boyuta sahip e ortogoal matris ise, Q.F matrisi de ortogoaldir. det Q dir. Eğer Q matrisi ortogoalse, Eğer Q e F matrisleri iki ortaormal baza karşılık gele ortogoal matrisler iseler, F Q. P eşitliği geçerlidir. Burada P matrisi, Q matriside F matrisie baz değişimi matrisidir e ortogoaldir.

31 OROGONAL İZDÜŞÜM İki boyutlu uzayda w ektörü ile belirlee bir doğru e bir ektörü ele alısı. Eğer ektörü olmasaydı w ektörü bir boyutlu uzayda taımlı olacaktı ε w Problem w ektörü üzeride ektörüe e yakı oktaı(ektörü) belirlemesidir. Şekilde de görülebileceği üzere, bu okta i ile belirtilmiştir e bu okta ektörüde w ektörüe idirile dik doğruu kesişimide yer alır. İlgileile i ektörüü bulmak içi trigoometri ya da kalkülüs kullaılabilir. Fakat e kolayı doğrusal cebri kullamaktır. i i ektörü w ektörü üzeride yer aldığı içi c olmak üzere, i cw yazılabilir.

32 OROGONAL İZDÜŞÜM Ayrıca şekilde görülebileceği üzere w ektörüe dik olduğuda okta çarpımları, w ε i olup ε ektörü w i w cw cw w w c w w w c bir skaler olduğu içi, i wc w w w w izdüşüm ektörü elde edilir. Burada i u, bazı, u, bazı içi ortogoal bir bazdır.

33 OROGONAL İZDÜŞÜM Bu işlem ortogoal parçalama (ayrışım) olarak adladırılır. Burada u e i ortogoal ektörleri kullaılarak 3 ektör uzayı içi i i u,, u ile taımlaa bir ortogoal baz elde edilebilir. uzayıda taımlı izdüşümler ayı zamada bir doğrusal döüşümdür.

34 aım: olsu. a izd a OROGONAL İZDÜŞÜM de taımlı bir ektör olmak üzere, a. b b a a b içi. izd a : doğrusal bir döüşümdür. Çükü bir başka w ektörü e c skaleri içi, b w b w e izd cb c izd b izd izd izd a a a a a olur.. Her hagi bir b ektörü içi izdüşüm oktaları a ektörü e a ektörüe dik ola ektörleri toplamı olarak yazılabilir. b izda b b izda b Burada bizd b e a izd a b birbirie diktir.

35 eorem: OROGONAL İZDÜŞÜM uzayıı bir alt uzayı ola W içi bir baz baz ektörlerde oluşa k boyutlu bir A matrisi, A a a a k a,,a k olsu. Sütu ektörleri ise W alt uzayı üzerie izdüşüm matrisi A A A A şeklide taımlaır. Burada izdüşüm matrisi H ile taımlaırsa, H : k doğrusal döüşümü gerçekleşir.

36 İspat: OROGONAL İZDÜŞÜM Sütuları doğrusal bağımsız ola k bir boyutlu A matrisi ele alısı. Bu durumda boyutu kk ola A A matrisii tersi alıabilir. Bu ifadei doğruluğuu kaıtlaabilmesi içi A matrisi ile belirlee A : k döüşümü ele alısı. A matrisii sütuları doğrusal bağımsız oldukları içi bu döüşüm birebirdir. Ayrıca A matrisii boş uzayı A matrisii satır uzayıa dik olduğuda A matrisii sütu uzayıa diktir. Souç olarak alıabilir bir matristir. k k A A: birebirdir e A A tersi Şimdi A matrisii sütu uzayı içi izdüşüm matrisi hesaplaılabilir. W alt uzayıdaki herhagi bir ektör bu alt uzayı bazıı taımlaya A matrisii sütularıı doğrusal bir kombiasyoudur:

37 OROGONAL İZDÜŞÜM x a x a x a k k A matrisii sütularıı taımladığı baza göre koordiatlar dikkate alıarak bu ektör; x x x k şeklide taımlı olup x a x a x a Ax k k eşitliği yazılabilir. W alt uzayıda taımlı bu x ektörleri izdüşüm ektörleridir. uzayıda erile bir ektörü içi, x p ektörü W alt uzayıda ektörüü izdüşüm ektörü olsu.

38 OROGONAL İZDÜŞÜM Diğer bir ifadeyle, izd W Ax p olup, araştırıla izdüşüm matrisi x p ektörü hesaplaarak buluur. W uzayıda ektörüü izdüşümü, izd W ektörü yardımı ile belirleebilir.

39 OROGONAL İZDÜŞÜM Bu ektör W uzayıdaki her bir w ektörüe diktir. w izd W uzayıda taımlaa her hagi bir ektörü A matrisii sütu uzayı ile gerçekleştirile izdüşümü W alt uzayıdadır e w Ax olmak üzere, herhagi bir x izdüşüm ektörü içi, Ax Ax tüm p k x içi taımlaabilir. İç çarpımlar matris formuda yazılırsa, Ax Ax x A Ax p p

40 e tekrar iç çarpımlar ciside, OROGONAL İZDÜŞÜM x. A Ax p olur. Bir başka deyişle p A Ax ektörü k uzayıda tüm x ektörlerie diktir. k uzayıda bu özelliklere sahip tek ektör, sıfır ektörüdür. Burada hareketle, A Ax p A A Ax p A A matrisii tersi alıabilir bir matris olduğu biliiyor. Bu bilgide hareketle, A A A xp

41 OROGONAL İZDÜŞÜM Araştırıla izdüşüm ektörü içi, Ax p olduğu buluur. A A A A Ax izd p w

42 OROGONAL İZDÜŞÜM Böylece W alt uzayı içi izdüşüm matrisi, H A A A A olur. İzdüşüm matrisleri boyutludur, rakları ise W alt uzayıı boyutua (burada k ile belirtilmiştir) eşittir e daima simetriktir. Herhagi bir izdüşüm matrisi H, şu özellikleri sağlamaktadır: H matrisi idempotettir. H H H matrisi simetriktir. Ayı zamada uzayıı herhagi bir alt uzayıda bu özellikleri sağlaya herhagi bir matris, izdüşüm matrisidir.

43 OROGONAL İZDÜŞÜM Souç. Eğer H matrisi W üzerie izdüşüm matrisi ise, W sütuuzayı H Souç. Her hagi bir simetrik idempotet matris H içi olduğuda ortogoal izdüşüm matrisi olarak adladırılır. Hx x Hx x H x x H Hx Hx x Hx Souç 3. Eğer H simetrik bir izdüşüm matrisi ise I-H matrisi Null(H) alt uzayı üzerie izdüşüm gerçekleştire simetrik bir izdüşüm matrisidir. uzayıı herhagi bir alt uzayıda bu özellikleri sağlaya herhagi bir matris, izdüşüm matrisidir.

44 OROGONAL İZDÜŞÜM: EKK YÖNEMİ uzayıda taımlı doğrusal bağımsız x,...,xk ektörleri ele alısı e X x,..., x k olsu. Bir başka deyişle X te bir baz taımlar. x,...,xk ektörleri uzayıı k-boyutlu alt uzayı uzayıda bir başka y ektörü icelesi. Verile bu y ektörüü X uzayıda ortogoal izdüşümü asıl buluabilir? Ya da ŷ olmak üzere tüm X uzayıa dik bir y yˆ ektörü buluabilir mi?

45 OROGONAL İZDÜŞÜM: EKK YÖNEMİ

46 OROGONAL İZDÜŞÜM: EKK YÖNEMİ Yukarıda belirtile ifade doğrusal cebir dilide yazılırsa, y y z ˆ, tüm z X içi Aslıda y yˆ ektörüü x,...,xk ektörlerie dik olduğuu bilimesi yukarıdaki koşulu sağladığıı gösterir. Skaler çarpımlarla ifade edilirse, y yˆ x i, tüm i,,..., k içi () Bu koşulda her bir x i ektörü içi k adet skaler çarpım yapılmalıdır. Belirtile bu k adet işlemi tek tek yapmak yerie x i ektörlerii sütularıda barıdıra X ektörü yazılabilir.

47 OROGONAL İZDÜŞÜM: EKK YÖNEMİ X x x... x k Her bir x i ektörüü x i olmak üzere adet koordiatı ardır. Bu yüzde X matrisi k boyutludur. Bu bilgilere göre () koşulu düzeleirse, ya da X y yˆ X y X yˆ () yazılabilir.

48 OROGONAL İZDÜŞÜM: EKK YÖNEMİ Oluşturulmak istee izdüşüm ektörü ŷ i X uzayıda taımlı olması gerekmektedir. Buu alamı, ŷ ektörü x,...,xk ektörlerii kapsaya uzayda bulumaktadır. Bir başka deyişle, yˆ b x bx... b k x k b X b bk Xβ Burada β, k-boyutlu bir sütu ektörüdür. Verile bu eşitlik () olu deklemde yerie koulursa, X y X Xβ (3) Eğer β ektörü biliiyorsa, ŷ ektörü de buluabilir. (3) olu eşitlikte β ektörü içi çözüm buluabilmesi içi k k boyutlu X X matrisii tersii alıması gerekir.

49 OROGONAL İZDÜŞÜM: EKK YÖNEMİ X X X y β (4) Bu işlemlerde sora izdüşüm ektörü ŷ buluabilir. yˆ Xβ olmak üzere, (4) olu eşitliği her iki tarafı da X matrisi ile çarpılırsa, X olur. Burada X X X y Xβ yˆ H X X X X matrisie X alt uzayı içi izdüşüm matrisi deir. İzdüşüm matrisi H, alt uzay X te bir y ektörü içi Hy yˆ şeklide bir foksiyo taımlar. Yukarıda belirtile izdüşüm matrisii ar olabilmesi içi X X matrisii tersii alıabilir olması gerekir.

50 GRAM-SCHMİD YÖNEMİ Doğrusal cebir hesaplamalarıda ortaormal baz ya da ortaormal sütuları ola matrislerle çalışmak işlemleri oldukça kolaylaştırır. Gram-Schmidt yaklaşımıda, herhagi bir baz ortaormal bir baza döüştürülerek, orijial bazı türettiği uzay türetilir.

51 GRAM-SCHMİD YÖNEMİ Ortogoal bir baz ile çalışmak çoğu zama hesaplamaları oldukça kolaylaştırır. Boyutu ola bir ektör uzayı V içi erile bir baz,..., kümesi içi Gram-Schmidt yötemiyle oluşturula ortaormal baz q,...,q şu adımlarla elde edilir:

52 GRAM-SCHMİD YÖNEMİ.adım: g olsu.adım:, ) ( g g g g w izd dir. Burada g ektörü W uzayıı türetmekte e ) ( w izd de ektörüü W uzayıdaki dik izdüşümüdür. 3.adım: ,, ) ( g g g g g g g w izd dir. Burada g e g ektörü W uzayıı türetmektedir. 4.adım: ,,, ) ( 3 g g g g g g g g g g w izd dir. Burada g, g e 3 g ektörü W 3 uzayıı türetmektedir.

53 GRAM-SCHMİD YÖNEMİ Bu işlemler g ektörüe kadar deam ettirilir. Böylece V uzayıda adet doğrusal bağımsız ektörde oluşa g,...,g kümesi, bu V uzayı içi ortogoal bir baz taımlar. Bir ektör uzayı V içi ortaormal baz oluşturulmak isteirse, Gram-Schmidt yötemiyle ortogoal bir baz elde edilir. Daha sora elde edile bu bazdaki her bir ektör ormalize edilerek ortaormal baz oluşturulur. q i g g i i Bazı ektör uzaylarıda ortaormal bazları elde edilmesi oldukça zordur. Gram-Schmidt yötemi herhagi bir ektör uzayı içi ortaormal bir bazı asıl buluabileceğii gösterir.

54 GRAM-SCHMİD YÖNEMİ

55 QR AYRIŞIMI QR ayrışımı (ya da QR faktörizasyou), bir A matrisii, bir ortogoal matris ile bir üst üçge matrise ayrıştırmaktır. QR ayrışımı kare matrislere uygulaabildiği gibi dikdörtgematrislere de uygulaabilir. Bu yaklaşım boyutlu bir doğrusal deklem sistemii çözümüde kullaılabileceği gibi e küçük kareler yötemide olduğu gibi aşırı belirlemiş, m e m, sistemleri çözümüde de kullaılabilir. Bu çarpalara ayırma yötemi bir matrisi tüm özdeğer e özektörlerii bulumasıda da kullaılabilir.eğer A matrisi adet bağımsız sütu ektörüe sahip ise Q matrisii ilk sütuu A matrisii sütu uzayı içi ortaormal baz taımlaya ektörlerde oluşur.bir QR ayrışımıda boyutu ola bir A kare matrisi, A QR şeklide ayrıştırılır. Burada Q boyutu ola ortogoal bir matris e R ise boyutu, tersi alıabilir e köşege elemaları pozitif ola bir üst üçge matrisidir. Eğer A tekil olmaya bir matris ise, bu ayrışım eşsizdir.

56 QR AYRIŞIMI Eğer A matrisi, m olmak üzere, m boyutlu dikdörtge bir matris ise QR ayrışımıyla ilgili iki farklı yaklaşım şu şekildedir:. İdirgemiş ayrışım: A QR A matrisii boyutu m, Q matrisii boyutu m e R matrisii boyutu. am ayrışım: A Qˆ Rˆ R Q Q Q R A matrisii boyutu m. Qˆ matrisii boyutu m m olup alt matrislerii boyutu Q içi m e Q içi m (m-) olup Rˆ matrisii boyutu m ile taımlamıştır. Alt matrisleri ise R içi boyut olup üst üçge matristir. matrisi ise boyutu (m-) ola bir sıfır matrisidir.

57 QR AYRIŞIMI İdirgemiş QR Ayrışımı: Boyutu m ola bir A matrisi içi A QR m olmak üzere, A matrisii daraltılmış QR ayrışımı şeklidedir. Burada Q matrisi boyutu m e sütuları ortaormal ola bir matris, R boyutu ola, i=,, içi r koşuluu sağlaya bir üst üçge matristir. ii Q matrisi, A matrisii sütu uzayı, rage(a), içi ortaormal bir baz oluşturur diğer bir deyişle A matrisii sütuları Q matrisii sütularıı doğrusal kombiasyolarıdır. Aslıda A matrisii sütu uzayı ile Q matrisii sütu uzayı birbirie dektir. Her hagi bir matrisi sütu uzayı o matrisi görütü kümesii (rage) taımladığıda rage(a)= rage(q) yazılabilir. Bu eşitlik herhagi bir y ektörü içi Ax QRx Qyeşitliği sağladığıda geçerlidir. Böylece rage A rage Qolur. R bir rage ifadesi AR Q üst üçge matrisi e köşege elemaları pozitif olduğu içi Q rage A yazılabildiğide geçerlidir. Böylece herhagi bir y ektörü içi Qx AR x Ay eşitliği geçerlidir.

58 QR AYRIŞIMI eorem: Boyutu m ola bir A matrisi içi m olmak üzere, A matrisii bir QR ayrışımı ardır e eğer A matrisi tam raklıysa, rak(a)= ise, A QR idirgemiş ayrışımı r içi eşsizdir ii QR ayrışımıı hesaplayabilmek içi bir çok yötem ardır. Bu yötemlerde biri yukarıda açıklaa Gram-Schmidt metodudur. Bir QR ayrışımıı elde edilmeside kullaılabilecek yötemlerde biri Gram-Schmidt yötemidir. Aşağıda idirgemiş QR ayrışımıı Gram-Schmidt yötemi ile asıl elde edilebileceği açıklamıştır. Bir m boyutlu A matrisi, olsu A a, a,, a

59 Bu matrisi sütu ektörlerii taımladığı uzayı Gram-Schmidt yötemi ile elde edile ortaormal bazı q,...,q ise QR ayrışımı, QR.q a.q a.q a.q a.q a.q a q q a a a A,...,,,, şeklide taımlaır. QR AYRIŞIMI

60 QR AYRIŞIMI Gerçekte R matrisi 3 içi, a.q R a.q a.q 3 a a a.q.q.q 3 a a a q.q.q 3 şeklidedir. Fakat a e q, a e q 3, a e q 3 ektörleri Gram-Schmidt yötemide bir birie dik olarak seçildikleri içi iç çarpımları sıfır değerii alır. Bu işlem i j olmak üzere a i.q j soucuu erir. i,, e j,, içi a i.q j iç çarpımlarıda

61 ORANORMAL BAZ İÇİN İZDÜŞÜM uzayıı bir alt uzayı W olsu. Bu V uzayıda taımlı ortogoal izdüşüm matrisii bulabilmek içi şu adımlar izlemelidir:. V uzayı içi,,..., k gibi bir baz belirleir.. Belirlee i bazı, Gram-Schmidt metoduyla qi ortaormal bazıa döüştürülür. 3. Souçta elde edilecek ola izdüşüm matrisi Q q i q i şeklidedir. Burada bir sütu ektörü ile satır ektörü çarpılarak boyutlu bir matris elde edilir. Yukarıda belirtile. e 3. adımlar (bir baz belirledikte sora) birlikte değerledirilebilir.

62 ORANORMAL BAZ İÇİN İZDÜŞÜM W uzayı içi ortaormal olmaya bazlar w, w,..., w k olsu. Bu W uzayıı ayı zamada ortaormal bazları da mecuttur. Bu bazlar da u, u,..., u k olsu. Sütuları u i ektörleride oluşa Q matrisi ele alısı. Q u u u k u i ektörlerii ortaormal olabilmeleri içi Q Q Im koşulu sağlamalıdır. R u olmak üzere, A QRyazılabilir. Burada R matrisi tersi alıabilir m m j ij boyutlu bir matristir. i

63 ORANORMAL BAZ İÇİN İZDÜŞÜM Bu bilgiler birlikte değerledirildiğide, H A A A A QR QR QRQR Q QR R Q QR R ( Q Q I ) QR R QRR R R Q R R Q QQ

64 ORANORMAL BAZ İÇİN İZDÜŞÜM Souç olarak, Q matrisii sütuları W alt uzayıdaki ortaormal bazlarda oluşuyorsa, H QQ matrisi W uzayı içi ortogoal izdüşüm matrisidir. Not: R R R R formülü kullaılmada öce R e R matrislerii terslerii alıabilir olduğu belirlemelidir.

65 YANSIMALAR Bir yasıma işlemide uzuluk e açı ayı kalırke, yö değişmektedir. Bir matrisi izdüşümü biliiyorsa, yasımasıı bulmak oldukça kolaydır. Orijide geçe bir W düzlemi ele alısı e bu düzlemde geçe bir ektörüü yasıması bulumak istesi.

66 YANSIMALAR W düzlemie dik ola birim ektör u ile gösterilsi. Belirtile u e ektörleri birer sütu ektörüdür. ektörüü u ektörüe göre izdüşümü, ˆ izd u u u u u Eğer u ektörü birim ektör olarak seçilirse, u u u. u olur. Böylece, ˆ izd u uu olur.

67 YANSIMALAR ektörüü W düzlemideki yasıması edir? yas W ektörü, ektörüe göre W düzlemii diğer tarafıda, ektörüü W düzlemie ola uzaklığıyla ayı uzaklıkta mı yer almaktadır e ayı izdüşüme mi sahiptir? Bu soruları ceapları içi yukarıdaki şekle bakılmalıdır. ektörü ile yasıması arasıdaki mesafe, tam olarak ektörü ile W düzlemi arasıdaki mesafei iki katıdır e ektörü ile yasıması W düzlemie diktir. ektörü ile yasıması arasıdaki fark, ektörüü izdüşümü ile W düzlemie dik ola u birim ektörü arasıdaki farkı iki katıdır. Bu bilgilere göre, yas uu W yazılabilir. W uu I uu I uu yas

68 YANSIMALAR Burada H I uu W matrisie W düzlemie göre yasıma matrisi deir. W düzlemide ektörüü izdüşümü, ektörü ile yasıması arasıdaki mesafei orta oktasıdır. izd W yas W ya da yas izd W W

69 EKSENLERİN DÖNDÜRÜLMESİ Elemaları reel sayılar ola e R R eşitliğii (ya da bua eş olarak boyutuu ola I birim matrisi içi matrisi ele alısı. det RR I RR I ) sağlaya, reel ortogoal bir matris ola R eşitliğii determiatı içi det R detr R bilgiside yola çıkarak detr ya da detr e olur. Boyutu e determiatı ola reel ortogoal matrisler özel ortogoal matrislerdir e boyutlu dödürme işlemii matris otasyouda gösterilmesii sağlar. Geellikle 3 boyutlu dödürme matrisleri, e birim ektörüü yaıda yer ala sabit bir eksee göre θ açısıyla saat yöüü tersie dödürmeyi temsil eder. Dödürme matrsileri, koordiat ekseleri sabit tutularak ektörler üzeride dödürülmüş ektörler üretir. Bua aktif döüşüm deir.

70 EKSENLERİN DÖNDÜRÜLMESİ Boyutu 3 3 Ola Dödürme Matrisii Özellikleri: x-y düzlemide, pozitif x ekseide saat yöüü tersie göre θ açısı kadar dödürme, boyutu ola özel ortogoal matris cos si si cos ile gösterilebilir.

71 EKSENLERİN DÖNDÜRÜLMESİ Şekil: İki boyutlu dödürme

72 EKSENLERİN DÖNDÜRÜLMESİ Orijial ekseleri koordiatları x-ekseie göre (,) e y-ekseie göre (,) dir. Uzulukları dir. Bua göre trigoometri bilgisi kullaılarak yei ekseleri koordiatları, eski ekseler ciside elde edilebilir.

73 EKSENLERİN DÖNDÜRÜLMESİ Böylece yei koordiatlar; x-eksei içi (cosθ, siθ) e y-eksei içi (-siθ, cosθ) olur.

74 EKSENLERİN DÖNDÜRÜLMESİ

75 EKSENLERİN DÖNDÜRÜLMESİ Yukarıda belirtile işlemleri sadeleştirilmiş hali erilmiştir. Dödürmede öce koordiatlar; x, y x, y, Dödürmede sora koordiatlar; R x, y, xcos,si y si, cos xcos, xsi ysi, ycos xcos ysi, xsi ycos

76 EKSENLERİN DÖNDÜRÜLMESİ

77 EKSENLERİN DÖNDÜRÜLMESİ a ' si a y si ' y b ' cos b x cos ' x ' ' x b a x x cos y si si c cos ' ' x d y ' ' c x si d y cos ' ' y c d y x si y cos x y x ' ' cos y si ' ' x si y cos x y cos si si x cos y ' ' A matrisi ortogoal matris olduğuda, A A A cos si si cos x y ' ' A x y

78 EKSENLERİN DÖNDÜRÜLMESİ Eğer dödürme 3 boyutlu ise, z ekseide saat yöüü tersie göre θ açısı kadar dödürme olarak ifade edilebilir. 3 boyutlu dödürme boyutu 3 3 ola özel ortogoal matris ile R cos si z, si cos olur. Elde edile bilgilerle 3 boyutlu dödürmeler ele alısı. Elemater 3 boyutlu dödürme matrisleri, üç eksede her birie göre ayrı ayrı dödürme yapabilmek içi oluşturulur. Öcelikle z-ekseie göre dödürme ele alısı. İki boyutlu dödürmede x e y ekseleri içi yapıla döüşümlere ek olarak, z-eksei içi birim döüşüm uygulamalıdır.

79 EKSENLERİN DÖNDÜRÜLMESİ z y x z y x z y x M cos si si cos ' ' '

80 EKSENLERİN DÖNDÜRÜLMESİ Şimdi de x-ekseie göre dödürme ele alısı. Bir öceki dödürme işlemi dikkate alıırsa, bu defa x-eksei sabit tutularak bezer işlemler yapılabilir.

81 EKSENLERİN DÖNDÜRÜLMESİ x z y x z y cos si si cos ' ' ' Verile bu deklem sistemi düzeleerek, z y x z y x z y x M cos si si cos ' ' ' elde edilir.

82 EKSENLERİN DÖNDÜRÜLMESİ Ayı işlemler y-ekseie göre dödürme içi de geçerlidir.

83 EKSENLERİN DÖNDÜRÜLMESİ y x z y x z cos si si cos ' ' ' z y x z y x z y x M cos si si cos ' ' ' Elde edile bu elemater matrisler, herhagi bir 3 boyutlu dödürme içi kullaılabilir. Geellikle dödürmeleri sıralaması omega(x), phi(y) e so olarak kapa(z) şeklidedir. Matris otasyouda, M M M M

84 EKSENLERİN DÖNDÜRÜLMESİ cos cos cos si si si si cos cos si cos si si cos cos si cos cos si cos si si cos si si si cos cos cos M

85 ÖLÇEKLEME Ölçekleme işlemi, ektörleri bir ölçek çarpaıyla tüm yölerde ayı şekilde geişletme ya da daraltma işlemidir. Uiform (isotropic) ölçekleme işlemii soucu orijial ektörle ayıdır. Öreği bir fotoğrafı büyütülmesi ya da küçültülmesi, model araba ya da uçak oluşturulması işlemleri birer uiform ölçeklemedir. Ölçekleme işlemii daha geel yapısı da her bir ekse içi farklı ölçek çarpalarıı kullaıldığı durumdur. Bua uifrom olmaya (aisotropic) ölçekleme deir. E az bir ölçek çarpaı diğerleride farklıdır. Buu özel bir durumu (tek bir yö içi) gerdirme (stretchig) dir. Uiform olmaya ölçekleme, eseleri şekillerii değiştirmektedir. Öreği bir kareyi, dikdörtgee ya da karei kearlarıı ölçekleme ekselerie paralel olmadığı durumda bir paralel keara çeirmektedir.

86 ÖLÇEKLEME Ölçek çarpaı hem uiform hem de uiform olmaya ölçekleme içi de büyük olduğuda, ölçekleme işlemie geişletme, da büyük fakat de küçük olduğuda da daraltma deir. Geel olarak ölçekleme işlemide, ölçekleme yölerii birbirie dik olmadığı durumlar da söz kousudur. Ayı zamada ölçek çarpalarıı ya da daha fazlaı sıfır olması (yasıma) e bir ya da daha fazla ölçek çarpaıı egatif olması (gerdirme işlemide - e göre yapıla ölçekleme bir yasımadır) durumları da söz kousudur.

87 ÖLÇEKLEME Ölçekleme işlemi bir doğrusal döüşümdür e bir ölçekleme matrisi ile gösterilir. Herhagi bir,..., ektörlerii p p,..., p oktalarıa göre ölçeklemesi, p p p p p p S p. işlemiyle gerçekleştirilir. Ölçekleme işlemi sadece e sadece ölçekleme çarpaları birbirie eşit olduklarıda uiform ölçeklemedir. Eğer biri hariç, diğer tüm ölçekleme çarpaları e eşitse yapıla işlem gerdirmedir. Ölçekleme çarpalarıı k... olduğu durumda ölçekleme işlemi bir yüzeyi k kadar artırırke hacim söz kousu olduğuda k 3 kadar artırır.

88 ÖLÇEKLEME Boyutu ola uzayıda, faktörü kadar yapıla uiform ölçekleme işlemi, ile skaler çarpımı ifade etmektedir. Her bir koordiat, ektörüü ilgili elemaıyla çarpılır. Doğrusal döüşümleri özel bir durumu olarak bu işlem, köşege elemaları ye eşit ola bir köşege matrisle çarpım olarak düşüülebilir( I ). Uiform olmaya ölçekleme, simetrik bir matris ile çarpım şeklide ifade edilebilir. Matrisi özdeğerleri ölçekleme çarpaı, ilgili özektörleri ise her bir ölçek çarpaıı uyguladığı ekselerdir. Ölçekleme çarpalarıı sıfırda farklı olduğu uiform ölçeklemede, ölçekleme çarpaıı işaretie bağlı olarak sıfırda farklı tüm ektörler ya yölerii korurular ya da yö değiştirirler. Uiform olmaya ölçeklemede ise sadece öz uzayda yer ala ektörleri yöleri değişmez.

89 ÖLÇEKLEME Homoje koordiatlar ile ölçekleme yapılırke, bir k... ektörüe göre ölçeklemede homoje koordiat ektörü ile döüşüm matrisi çarpılır. p p p p Homoje koordiatları so elemaı, diğer tüm elemaları paydası olarak düşüülerek ortak s çarpaı içi uiform ölçekleme, s p p p p s olur.

90 GENEL YORUMLAR Ortogoal bir Q matrisi, geometrik olarak ya bir ekse dödürmesii ya da bir yasımayı taımlar. Hagi işlemi geçerli odluğu, det Q u işareti ile belirleir. Eğer det det Q ise yasımadır. Q ise bu işlem, bir ekse dödürmesi, Q matrisi ortogoal sütulara sahip kare olmaya bir matris olduğuda QQ I olur. Buula birlikte QQ matrisi ortogoal bir izdüşüm gerçekleştirir. Geometrik olarak bir simetrik matris, stadart ekseleri dödürülmesi ya da yasıtılması ile elde edile, farklı doğrultularda farklı miktarlardaki ölçeklemeyi taımlar.

91 GENEL YORUMLAR Aslıda kuadratik formlarla çalışıldığıda, stadart elipsler e hiperboller üzeride ölçekleme e dödürme/yasıma işlemleriyle farklı kuadratik formlarla elipsler e hiperboller elde edilir. Bu işlemler, simetrik matrisleri geometrik karakterizasyoları ile mümküdür. boyutlu qx x, formu, q pozitif taımlı olduğuda bir elips e q taımsız olduğuda da hiperbol taımlar. Bu eğrileri temel ekseleri, farklı özdeğerlere karşılık gele özektörlerle belirleir.