Geometri Notları. Dik ve Özel Üçgenler Mustafa YAĞCI,

Transkript

1 005 Geometri Notlrı Mustf YĞI, ik ve Özel Üçgenler ik üçgen. Herngi iki kenrı dik kesişen d şk ir ifdele (iç ve dış) ir çısı dik çı oln üçgenlere dik üçgen denir. ik çının () krşısındki kenr () ipotenüs, diğer iki kenr ( ve c) ise dik kenrlr dı verilir. ir dik üçgende en uzun kenr ipotenüstür. iklik merkezi de dik oln köşedir. ununl irlikte ipotenüs dik üçgenin çevrel çemer çpıdır. Pisgor Teoremi. ir dik üçgen isse dik kenr uzunluklrının kreleri toplmı ipotenüsün kresine eşittir. Yni ndki şekle göre; + c =. Knıt 1: Kenr uzunluklrı,, c ve çısı dik oln ir üçgeninin üç kenrı üzerine üçgenin dışın doğru irer kre erleştirilsin. ğer iki küçük krenin (K ve ML) lnlrı toplmının ( + c ), üük krenin () lnın ( ) eşit olduğu gösterilirse knıt itmiş demektir. M ile i ve ile i irleştirelim. M ile üçgenlerinin eş olduğu şikr. ln(m) = c c olduğundn ln() = olmlıdır. köşesinden e inen dikme ğı H olsun. H // olduğundn ln() = ln(h) = c dir. u lnlr d HT dikdörtgeninin lnının rısıdır. O lde HT dikdörtgeninin l- nı c imiş. Simetrik işlemler ve doğrulrı için pılırs TH dikdörtgeninin de lnı ulunur. olısıl = + c. uclid in ptığı u knıtın zrifliğini slınd zılrdn değil, ukrıdki şekle krk nlilirsiniz. Snırım söze gerek klmdı şimdi. Knıt-: ik kenrlrı ve, ipotenüsü c oln dört eş dik üçgen şekildeki gii erleştirilirse ortd küçük ir kre oluşur (Neden?). ört eş dik üçgen ile küçük krenin lnlrı toplmı üük krenin lnın eşit olmlıdır. O lde (/) + ( ) = c + + = c + = c. Knıt-: Pisgor Teoremi nin en zrif knıtlrındn iri de Hintli mtemtikçi skr (M.S. 1 inci..) izfe edilen ve genel olrk mutı sdece şekle km dvet eden knıttır. iz de okuucuu skr nın mnevi uzurun dvet edioruz. (M cilt:1, sı:, sf:7) Knıt-: u knıt d Hüsein emir e it. Üstd unu 191 de rüşşfk d ortokul öğrencisi iken pmış. Sdece kırık çizgisinin PQRS dikdörtgenini lnc eşit iki ölgee ırdığın konsntre olun. skr lık ir rkip değil mi? Ne dersiniz?

2 Mustf YĞI Knıt-5: Snırım und d orum pmk oş. u knıttn sonr ln konusunu nltm d gerek ok snırım u rd iz oun knıt verioruz m ne kdr versek de etmeeceği ortd. Merklı ir vtndş pılmış tüm Pisgor knıtlrını toplm krr vermiş, en son duduğumd 70 de idi. Krşıt teorem (Pisgor). Kenr uzunluklrı,, c oln ir üçgende + = c eşitliği sğlnıors üçgeni çısı dik oln ir üçgendir. Knıt: üçgeni =, = ve = c oln + = c eşitliğine sip ir üçgen olsun. Şimdi şk ir XYZ üçgeni düşünelim. YZ =, XZ = ve m(xzy) = 90 o olsun. Pisgor Teoremi nden XY = + = c olur, dolısıl XY = c dir. u üzden XYZ dir (K-K-K eşliği). O lde çısı dik çıdır. Pisgor Üçlüsü. Pisgor Teoremini ( + = c ) sğln (,, c) sırlı üçlüsüne Pisgor Üçlüsü denir. enzer şekilde + + c = d eşitliğini sğln (,, c, d) sırlı dörtlüsüne de Pisgor dörtlüsü denir ve enzer şekilde devm eder (unlr irer örnek ulm çlışınız). n küçük Pisgor üçlüsü en meşur oln (,, 5) üçlüsüdür. (,, 5) nı zmnd ileşenleri rdışık oln tek üçlüdür. ğer,, c değerleri rlrınd sl ise (,, c) sırlı üçlüsüne İlkel Pisgor Üçlüsü denir. Örneğin (,, 5) ilkel Pisgor üçlüsüdür, fkt (6, 8, 10) değildir. Çok eskiden eri insnoğlu eni Pisgor üçlüleri ulm gretindedir. kt u çlr içir zmn son ulmcktır. Çünkü üçlüler sonsuz kdr uzmkt. Yine de şrılı teknikler geliştirilmiştir. İnsnın klın emen, Pisgor un kendisi unu ulmmış mı? diesi gelior. ulmz mı? m > 1 ve m ir tmsı olmk üzere; (m, m 1, m + 1) üçlüsünü ulmuş. kt tüm Pisgor üçlülerini vermediği de ortd. Örneğin (5, 1, 1) üçlüsünü urdn ulmıoruz. sonr Plto (m, (m 1), (m + 1) ) üçlüsünü, eski Yunnlılr d rlrınd sl v ve u tmsılrı için (v u, uv, v + u ) üçlüsünü ulmuş. urdn d çıkç görüleilmektedir ki, ilkel Pisgor üçlüleri de sonsuz çoğunluktdır. rıc Pisgor üçlülerinin ir özeliğinden d sedelim. Tüm (,, c) Pisgor üçlüleri için. çrpımı dim 1 ile..c çrpımı d dim 60 ile ölüneilmektedir. İll en de u konu üzerinde çlışmk istiorum dienler ileşenlerinin çrpımı eşit oln frklı iki Pisgor üçlüsü ulm çlışilirler. Zir l ulunilmiş değil. ununl irlikte ermt undn klşık 5 sır önce ir Pisgor üçlüsünde dik kenrlrın çrpımının içir zmn ir tmkree eşit olmcğını knıtlmış. İsterseniz unu d knıtlm çlışilirsiniz Hipotenüsü 100 den küçük 50 tne Pisgor üçlüsü vrdır: (,, 5), (6, 8, 10), (5, 1, 1), (9, 1, 15), (8, 15, 17), (1, 16, 0), (15, 0, 5), (7,, 5), (10,, 6), (0, 1, 9), (18,, 0), (16, 0, ), (1, 8, 5), unlrın sdece 16 tnesi ilkeldir: (,, 5), (5, 1, 1), (8, 15, 17), (7,, 5), (0, 1, 9), (1, 5, 7), (9, 0, 1), (8, 5, 5), (11, 60, 61), (, 56, 65), (16, 6, 65), (8, 55, 7), (6, 77, 85), (1, 8, 85), (9, 80, 89), (65, 7, 97). unlrdn d sdece 7 tnesi rdışık iki kenr siptir: (,, 5), (5, 1, 1), (7,, 5), (0, 1, 9), (9, 0, 1), (11, 60, 61), (1, 8, 85). ununl irlikte tüm kenrlrı tmsı oln dik üçgenlerin iç çemer rıçplrı d tmsıdır. unu, ukrıdki gii eski Yunnlılrın ulmuş olduğu Pisgor üçlüsü genellemesinden göreiliriz. n ve m tmsı olduğundn n(m n) değeri de er zmn tmsıdır. Prtik olrk Pisgor üçlüsü ulmk. ir dik üçgenin ir dik kenrı sl sıs, diğer dik kenr ile ipotenüs rdışık olup, toplmlrı d o sl sının kresidir. Örneğin, (,, 5), (5, 1, 1), (7,,5), (11, 60, 61),

3 Mustf YĞI (1, 8, 85), (17, 1, 15), u kurl sdece sl sılrd değil, tüm tek sılrd geçerlidir. m ir kenr sl olmn tek sı olduğu zmn, üçgen tek değildir, şk üçgenler de vrdır. Örneğin, (9, 0, 1) ve (9, 1, 15), (15, 11, 11), (15, 0, 5) ve (15, 6, 9), (1, 0, 1), (1, 8, 5) ve (1, 7, 75). Teorem [Muteşem üçlü]. ir diküçgende ipotenüse indirilen kenrortın ou, ipotenüsün rısıdır. Knıt: noktsındn prlel olrk çizilen doğru i K d kessin. üçgeninde [K] ort tn olduğu için K ort noktdır. üçgeninde [K] em ükseklik em kenrort olduğundn ikizkenr üçgendir. = = olduğundn knıt iter. u kurl Muteşem Üçlü die ilinir. Teoremin tersi de geçerlidir. Yni = = ise üçgeni çısı dik oln ir üçgendir. Örnek. ir dik üçgen olup, = 1, = ve = 5 ise kçtır? 1 5 Çözüm: den e kenrort indirirsek, muteşem üçlü gereği V = V = ve V = 1 V olur. V üçgeninde Stewrt teoreminden = = ulunur. V ikizkenr üçgen olduğundn tn dik indirerek de ulilirdik. 1 1 α α 60 K α α α 0 60 K Örnek. dik üçgen olup, // verilior. = 1, = ve m(k) = 60 o ise m() kçtır? Çözüm: dik üçgeninde kenrortı çizilirse, mu teşem üçlü gereğince = olur. iğer ndn 0 o -60 o -90 o üçgeni olduğundn = dir. ikizkenr üçgen olduğundn m() = α ise m() = m() = α olur. ış çı teoreminden α + α = 60 ulunur ki α = 0 o dir. p H Öklit Teoremi. ir dik üçgende ipotenüse indirilen dikme- c k nin kresi, ipotenüsü ırdığı prçlrın çrpımın eşittir. Yni ndki şekle göre; = p k. slınd u şekil formül kımındn ğı zengin: = k (p + k), c = p (p + k), c = (p + k), c = p k, = +, c k =, c p Knıt: H üçgeninde Pisgor Teoremi nden + p = c ve H üçgeninde Pisgor Teoremi nden + k = olduğundn u iki eşitlik toplnırs + p + k = c + = = (p + k) = p + k + pk Sdeleşirse = pk ni = p k klır. + p = c ve + k = eşitliklerinde = p k eşitliği erlerine zılırs = k (p + k) ve c = p (p + k) eşitliklerine ulşırız. ir sonrki eşitlik zten ln formülünden gelir. iğer eşitliklerin knıtlrını ve u eşitliğin diğer knıtlrını enzerlik ve ln konulrınd göreilirsiniz. Teorem. Yndki şekilde ve irer dik üçgen, = ise = dir. Yni şekle göre = dir. Knıt: = = ve = olduğundn = olur ki istenen knıtlnmış olur.

4 Mustf YĞI Teorem. dik üçgen, K kre ve K dikdörtgendir. = ise ln() = dir. Knıt: Çocuk ouncğı! ln() = = = =. K Çözüm: den e indirilen dikme ğı H olsun. ikizkenr üçgen olduğundn H = H olur. rnot Teoremi gereği = olur. O lde = 5. H Teorem. Yndki şekil için + = c +. Knıt: Pisgor Teoreminden H = c H = H c, H = H = H. Trf trf çıkrtılırs istenen H + = c + eşitliği ulunur. örtgen konusund şık ir knıtını d göreceksiniz. Teorem. dik üçgeninde ve dik kenrlr üzerinde erngi iki nokt ise + = +. Knıt:,,, üçgenlerinde Pisgor Teoremi ugulnıp sonuçlr ortk çözülürse + = + ulunur. Knıtı üstünkörü zıorum, zir u teoremin çok şık frklı ir knıtını dörtgen konusund ulilirsiniz. O zmn un dönüp kmcğınız eminim. rnot Teoremi. ir üçgenin iç ölgesinde lınn is- f teksel ir noktdn üçgenin P e kenrlrın indirilen dikmelerin üçgenin kenrlrını c d ırdığı prçlrın irer tlrk kreleri toplmı eşittir. Yni şekle göre; + c + e = + d + f. Knıt: lınn nokt P olsun. P noktsını üçgenin köşelerine irleştirelim. + P = f + P c + P = + P e + P = d + P Trf trf toplm ve sonrsınd sdeleştirmeler pılırs; + c + e = + d + f. Örnek. konkv dörtgeninin köşesinden ve kenrlrın inilen dikme klrı sırsıl ve olsun. =, = 10, = 11 ise = kçtır? (0 o -60 o -90 o ) üçgeni. İç çı ölçülerinden iri 0 o oln ir dik üçgende, ortnc kenr kıs kenrın ktı, ipotenüs ise ktıdır. Yni, 0 o nin krşısındki kenrın uzunluğu ise 60 o nin krşısındki kenr uzunluğu ve 90 o nin krşısındki kenr uzunluğu dır. rıc 1 iç çemer rıçpı r = ve çevrel çemer rıçpı R =. (0 o -0 o -10 o ) üçgeni. Tn çılrı 0 r derece oln ir ikizkenr üçgenin uzun kenr uzunluğunun kıs kenr uzunluğunun ktı olduğunu söleeiliriz. (,, ) kenrlrın sip u üçgenin iç çemer rıçpı ise r = rıçpı R = dır. ve çevrel çemer sin0 o = cos60 o = cos10 o = sin10 o = 1, sin60 o = cos0 o = cos150 o = sin10 o =, tn0 o = cot60 o = tn150 o = cot10 o =, tn60 o = cot0 o = tn10 o = cot150 o =. İkizkenr dik üçgen (5 o -5 o - 90 o ). ik kenrlrı eşit uzunlukt oln dik üçgenlere ikizkenr dik üçgen denir. İç çı ölçüleri (5 o, 5 o, 90 o ) dir. Krenin rısı gii düşüneilirsiniz. İkizkenr dik üçgende ipotenüs, dik kenrlrın ktıdır. Pisgor Teoremi nden knıtını kollıkl pilirsiniz.

5 Mustf YĞI Yni; 5 o nin krşısındki kenr ise 90 o nin krşısı dir. ik kenrlrı oln ir ikizkenr dik üçgenin iç çemer rıçpı r = ve çevrel çemer - rıçpı R = dir. sin5 o = cos5 o = cos15 o = sin15 o = tn5 o = cot5 o = tn15 o = cot15 o = 1 c zrsk;. = eşitliğinden c = () u- lunur. sin15 o =cos75 o = cos105 o = sin165 o 6 =, sin75 o =cos15 o = cos165 o = sin105 o 6+ =, tn15 o = cot75 o = tn165 o = cot105 o =, tn75 o = cot15 o = tn105 o = cot165 o = +. (,5-67,5-90) üçgeni. ir iç çı ölçüsü,5 o oln dik üçgene denir. (15 o -75 o -90 o ) üçgeni. ir iç çı ölçüsü 15 o oln dik üçgene denir. Teorem. ir 15 o - 75 o -90 o üçgeninde / ipotenüse inen dikme, ipotenüsün 1 üdür. / / 15 0 Knıt: [] kenrortı çizilirse; / / muteşem üçlü gereği üçgeni ikizkenr ve 0 o -60 o -90 o 15 üçgeni olur. = ise = dir. O lde = =. Teorem. ir 15 o -75 o -90 o üçgeninde uzun dik kenr, kıs dik kenrın + ktıdır. Knıt: çısını 15 o ve 60 o P olrk ölecek şekilde ir P 15 doğrusu çizilirse P ikizkenr olup, P üçgeni de 0 o -60 o -90 o üçgeni olur. ölelikle uzun dik kenrın, kıs dik kenrın + ktı olduğu knıtlnmış olur. Teorem. ir 15 o -75 o -90 o üçgeninde iki dik kenrın çrpımı ipotenüse inilen dikmenin iki ktının kresidir. Knıt: ik kenrlr ve c, ipotenüse indirilen dikme olsun. İki frklı şekilde ln Teorem. ir iç çısı,5 o oln ir dik üçgende ipotenüse inen,5 dikme, ipotenüsün de iridir. Knıt: [] kenrortı çizilirse; muteşem üçlü gereği,5 5 ikizkenr olduğundn ikizkenr dik üçgen olur. = ise = dir. O lde =. = dir. Teorem. ir iç çısının ölçüsü,5 o oln ir dik üçgende uzun dik kenr, kıs dik kenrın 1+ ktıdır. Knıt: çısını Q,5 o ve 5 o olck 5 şekilde ölen Q,5,5 5 doğrusu çizilirse; Q ikizkenr, Q üçgeni de ikizkenr dik üçgen olur. Gerekli uzunluklr n şekildeki gii zılırs uzun dik kenrın kıs dik kenrın 1+ ktı olduğu knıtlnmış olur. İkizkenr üçgen. İki kenrı iririne θ eşit (dolısıl iki iç ve dış çısı eşit) üçgenlere ikizkenr üçgen denir. α α İkizkenr üçgenlerde frklı uzunlukt oln kenr () tn, eşit kenrlr () ikiz kenrlr, eşit çılr (α) tn çılrı, frklı çı (θ) tepe çısı denir. 5

6 Mustf YĞI Teorem. İkizkenr ir üçgende tn it ükseklik nı zmnd em çıort em de kenrortdır. Yni tepee it rdımcı elemnlr çkışıktır. Knıt: üçgeninde [] üksekliğini çizelim. ile üçgenlerinin üçer çısı eşit rıc ipotenüsleri de eşit olduğundn eş üçgendirler. = olmsı ize [] nin nı zmnd kenrort olduğunu, m() = m() olmsı d ize [] nin nı zmnd çıort olduğunu söler. Teorem. İkizkenr ir üçgende ikiz kenrlrdn irine it rdımcı elemnlrın olrı, diğerine it rdımcı elemnlrın olrın eşittir. ' ' c Knıt: Kol nlşılmsı çısındn nı üçgenden iki tne çizdim. ikizkenr üçgen olsun. den çıkn üksekliğe, den çıkn üksekliğe c dielim. ve üçgenlerinin em üç iççısı eşit em de ipotenüsleri eşit olduğundn u üçgenler eştir. olısıl nı çının krşısındki kenrlr eşit olmlı. = c. çıort olduğund d nı çözüm pılck fkt kenrort olduğund eşliği üçer çı ve ir kenr eşitliğinden değil, iki kenr ve rsındki çının eşitliğinden ulcğız. Teorem. İkizkenr ir θ üçgende tepee it dış α α θ çıort tn prleldir. θ θ Knıt: ikizkenr üçgeninin tepe çısı α tn çılrı θ olsun. O lde dış çıort d dış çıı tn çısın eşit olck şekilde öler. Yöndeş çılrdn prlel olduklrını nlrız. Örnek. üçgeninin çısın it dış çıortı kenrın 8 prleldir. = 8, = 10 ve = ise = kçtır? 10 Çözüm: ışçıortın ir kenr prlel olduğu üçgenler ikizkenr olur, seei o kdr sit ki: m() = m() = m() olduğundn. Klnını Stewrt teoreminden ve dn e dik indirerek pilirsiniz, = 6. Teorem. İkizkenr ir üçgende tn üzerindeki ir P noktsındn ikiz kenrlr çizilen prlel doğru prçlrının toplmı, ikiz kenrlrdn irine eşittir. Knıt: P noktsındn kenrlr çizilen prlelle- rin P i prlelkenr ptığını ve öndeş çılrdn P ile P üç- P genlerinin de ikizkenr olduğunu görürsek knıt iter. Teorem. İkizkenr ir üçgende tn üzerinde lınn ir P noktsındn ikiz kenrlr irer dikme indirilirse, u dikmelerin toplmı ikiz kenrlrdn irine inen dikmenin uzunluğun eşittir. Knıt: [P] çizilsin. P ile P üçgenlerinin lnlrının m m m toplmı P üçgeninin verir. m m m + = olduğundn + =. lnını Teorem. İkizkenr ir üçgende tn üzerinde değil de uzntısınd lınn ir P noktsındn ikiz kenrlr indirilen dikmelerin pozitif frkı, ikiz kenrlr inen dikmelerin irine eşittir. Knıt: P üçgeninin lnındn P üçgeninin lnı çıkrtılırs üçgeninin lnı ulunur. Y üçgeninin ikiz kenrlrı m P olsun. X ln(p) = m ln(p) = m ve olduğundn ln() = 6

7 Mustf YĞI m( ) dir. nı zmnd üçgeninin lnı, ikiz ir kenr inen üksekliği denirse, m olduğundn =. H H / K / Teorem. ikizkenr üçgeninin kenrının uzntısınd lınn ir noktsındn tnın inen dikme ğı olsun. doğrusu i de, köşesine it ükseklik de i H de kessin. ikizkenr üçgen olup H =, = ve = ise = +. Knıt: H // olduğundn m() = m(h) = m(h) = m() = m() dir. olısıl ikizkenr üçgendir. K kenrortı HK dikdörtgenini oluşturcğındn = + olur. urdn = +. Steiner-Lemus Teoremi. ir üçgenin iki iççıortının uzunluğu eşit isse u üçgen ikizkenr üçgendir. Knıt: m() > m() olduğunu frzedelim. = verildiğinden ile üçgenlerinin ikişer kenrlrı eştir. m() > m() olduğundn > dir. prlelkenrı oluşturulurs = = olduğundn ikizkenrdır. m() = m() olduğundn m() > m() dir. u d > = olmsını gerektirir ki u d d önce ulduğumuz sonuc göre çelişkidir. m() < m() lınsdı d nı çelişki şncktı. emek ki m() = m() olmlı. Teoremin krşıtı zten knıtlnmıştı. Teorem. Herngi ir üçgeni ve u üçgenin köşesinden geçen ir doğru çizilsin. ve köşelerinden u doğru indirilen dikme klrı ve, [] kenrının ort noktsı d olsun. üçgeni ikizkenrdır. Knıt: noktsındn e indirilen dikme ğı K olsun. [K], muğund ort tn olur. K dikmesi nı zmnd kenrort olduğundn = ni üçgeni ikizkenrdır. (rıc doğru üçgeni kesse de kurl geçerli) şkenr üçgen. ütün kenr 60 uzunluklrı, dolısıl ütün iççılrının ölçüleri eşit ve 60 r derece oln üçgenlere eşkenr üçgen denir. z kullnılmkl irlikte eşçı üçgen de denir. ir eşkenr üçgende tüm kenrlrdn inen tüm rdımcı elemnlr eşit uzunluktdır. Yni; = = c = n = n = n = v = v = v c. unlrın er iri de = uzunluğunddır. Yüksekliklerden iri çizilip; 0 o -60 o -90 o üçgeninden fdlnılrk rtlıkl görüleilir. rıc ir eşkenr üçgende ğırlık merkezi (G), iç teğet çemer merkezi (I), çevrel çemer merkezi (O), diklik merkezi (H) çkışıktır. unun nınd eşkenr üçgen tüm kenr uzunluklrı rsonel sı iken tüm iç çılrı d derece cinsinden rsonel oln tek üçgendir. Jon onw ve Ricrd Gu 1996 d unu knıtlmışlr fkt knıt urd veremeeceğimiz kdr uzun ve krmşık görünüor. Şimdi de ir eşkenr üçgenin cetvel ve pergel ile nsıl çizileileceğine ir klım: 1. Önce O merkezli OP o rıçplı ir çemer çizelim.. Sonr çemer üzerinde m(p o O) = 90 o olck şekilde ir noktsı işretleelim.. [O] doğru prçsının ort noktsı ve çemeri kestiği diğer nokt P olsun.. den geçen O e dik doğrunun çemeri kestiği noktlr P 1 ve P olsun. 5. O lde P 1 P P ir eşkenr üçgendir. r r r 7

8 Mustf YĞI Teorem. ir kenr uzunluğu oln ir eşkenr üçgenin lnı tür. Knıt: Yüksekliği = =.( ) olduğundn, = olur. ve lnı = Teorem. ir kenr uzunluğu r oln ir eşkenr üçgenin iç r çemer rıçpı /6 dır. r Knıt: şkenr üçgende ğırlık merkezi ile iç çemer merkezi çkışık olduğundn iç çemer rıçpı ir üksekliğin 1/ üdür. olısıl r = =. 6 Teorem. ir kenr uzunluğu oln ir eşkenr üçgenin çevrel çemer rıçpı R = tür. Knıt: şkenr üçgende çevrel çemer merkezi ile ğırlık merkezi çkıştığındn, çevrel çemer rıçpı ir üksekliğin / üdür. O lde iççemer rıçpının ktıdır. R = r =. Teorem. ir eşkenr üçgen içinde lınn isteksel ir noktdn kenrlr çizilen prlel z doğru prçlrının uzunluklrının toplmı, eşkenr üçgenin z ir kenrın eşittir. z Knıt: Çizilen prlel doğrulr uztılırs (şekildeki kırık çizgiler) öndeş çılrdn dolı şekilde trnmış oln küçük üçgenlerin irer eşkenr üçgen, trnmmış dörtgenlerin de prlelkenr olduklrı görülür. olısıl + + z =. Vivini Teoremi. ir eşkenr üçgenin içinde lınn isteksel ir noktdn kenrlr inen dikmelerin toplmı, eşkenr üçgenin ir üksekliğine eşittir. Knıt: lınn nokt P olsun. P noktsı köşelere irleştirilirse oluşn P, P ve P üçgenlerinin lnlrının toplmı eşkenr üçgenin lnını verir. ln(p) =, ln(p) =, z ln(p) = değerleri toplnır ve ulunur. e eşitlenirse + + z = Teorem. ir eşkenr üçgenin dışınd lınn isteksel ir noktdn üçgenin kenrlrın d u kenrlrın uzntılrın inen dikmelerin toplmı, (noktnın içeride lınmsı durumund ön değiştirecek oln dikmenin ou negtif lınck) eşkenr üçgenin ir üksekliğine eşittir. Knıt: lınn nokt P olsun. P i eşkenr üçgenin köşelerine irleştirince oluşn P ve P üçgenlerinin lnlrı toplmındn P üçgeninin lnı çıkrtılırs, u ln eşkenr üçgenin lnın eşit olur. ln(p) =, ln(p) = z, z P T ln(p) =, z ln() = P z olduğundn + = eşitliğinden + z = ulunur. Çeşitkenr üçgen. Üç kenr uzunluğu d iririnden frklı (dolısıl üç iç ve dış çısı d frklı) oln üçgenlere çeşitkenr üçgen denir. Çeşitkenr üçgenlerin erngi ir köşesine it rdımcı elemnlrı d frklı uzunluktdır. Yni; n v, n v, c n v c. unun dışınd üç rı köşee it nı cins rdımcı elemnlr d frklı uzunluktdır. Yni; c, n n n, v v v c. 8