Modüli Uzaylarının Bi-rasyonel Geometrisi

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Modüli Uzaylarının Bi-rasyonel Geometrisi"

Transkript

1 Modüli Uzaylarının Bi-rasyonel Geometrisi Modüli Uzaylarının Bi-rasyonel Geometrisi Modüli Uzaylarının Bi-rasyonel Geometrisi Modüli Uzaylarının Bi-rasyonel Geometrisi Modüli Uzaylarının Bi-rasyonel Geometrisi University of Illinois at Chicago University of Illinois at Chicago University University of of Illinois Illinois at at Chicago Chicago 6 Ağustos, Ağustos, Ağustos, Ağustos, 2010 Modüli Uzaylarının Bi-rasyonel Geometrisi Modüli Uzaylarının Bi-rasyonel Geometrisi

2 f : X Y eğer X in Zariski topolojisindeki açık bir kümede tanımlı bir fonksiyon ise f ye rasyonel fonksiyon denir. Eğer iki uzay X ve Y arasında tanımlanmış f : X Y, g : Y X iki rasyonel fonksiyon varsa ki tanımlı oldukları yerlerde f g = id Y ve g f = id X, X ve Y ye bi-rasyonel denir. Bi-rasyonel olmak bir denklik ilişkisidir. Cebirsel geometrinin en önemli problemlerinden biri varyetelerin bi-rasyonel sınıflandırılmasıdır.

3 f : X Y eğer X in Zariski topolojisindeki açık bir kümede tanımlı f : X biry fonksiyon eğer X in ise Zariski f yetopolojisindeki rasyonel fonksiyon açık birdenir. kümede Eğer tanımlı ikibir uzay fonksiyon X ve Yisearasında f ye rasyonel tanımlanmış fonksiyon denir. Eğer iki uzay X ve Y arasında, tanımlı oldukları yerlerde f : X Y, g : Y X f g = id Y ve g f = id X, iki rasyonel fonksiyon varsa ki tanımlı oldukları yerlerde koşullarını sağlayan iki rasyonel fonksiyon f g = id Y ve g f = id X, f : X Y, g : Y X Xvarsa ve Y X ye ve Y ye bi-rasyonel denir. denir. Bi-rasyonel olmak bir bir denklik ilişkisidir. Cebirsel geometrinin en enönemli önemli problemlerinden biri varyetelerin biri varyetelerin bi-rasyonel sınıflandırılmasıdır.

4 f : X Y eğer X in Zariski topolojisindeki açık bir kümede tanımlı f : X biry fonksiyon eğer X in ise Zariski f yetopolojisindeki rasyonel fonksiyon açık birdenir. kümede f Y eğer X in Zariski topolojisindeki açık bir kümesinde Eğer tanımlı ikibir uzay fonksiyon X ve Yisearasında f ye rasyonel tanımlanmış fonksiyon denir. tanımlı bir fonksiyon ise f ye rasyonel fonksiyon denir. Eğer iki uzay X ve Y arasında, tanımlı oldukları yerlerde Eğer iki uzay X ve Y arasında tanımlanmış f : X Y, g : Y X f g = id Y ve g f = id X, iki rasyonel fonksiyon f varsa : X ki tanımlı Y, g oldukları : Y X yerlerde koşullarını sağlayan iki rasyonel fonksiyon iki rasyonel fonksiyon f g varsa = id ki tanımlı oldukları yerlerde Y ve g f = id X, f : X Y, g : Y X Xvarsa ve Y X ye ve Y ye bi-rasyonel f g denir. = denir. id Y ve g f = id X, Bi-rasyonel olmak bir bir denklik ilişkisidir. X Cebirsel ve Y ye geometrinin bi-rasyonel en enönemli denir. önemli problemlerinden biri varyetelerin biri varyetelerin Bi-rasyonel bi-rasyonel sınıflandırılmasıdır. olmak bir denklik ilişkisidir. Cebirsel geometrinin en önemli problemlerinden biri varyetelerin bi-rasyonel sınıflandırılmasıdır.

5 f : X Y eğer X in Zariski topolojisindeki açık bir kümede tanımlı f : X biry fonksiyon eğer X in ise Zariski f yetopolojisindeki rasyonel fonksiyon açık birdenir. kümede Eğer tanımlı ikibir uzay fonksiyon X ve Yisearasında f ye rasyonel tanımlanmış fonksiyon denir. tanımlı Eğer iki bir uzay fonksiyon X ve Y arasında, ise f ye tanımlı rasyonel oldukları fonksiyon yerlerde denir. f Eğer : X iki uzay Y eğer X ve X in Y Zariski arasında topolojisindeki tanımlanmış açık bir kümesinde f : X Y, g : Y X tanımlı bir fonksiyon f g ise= f id ye Y rasyonel ve g fonksiyon f = id X, denir. Eğer iki rasyonel iki uzayfonksiyon X ve Yf arasında varsa : X kitanımlanmış tanımlı Y, g oldukları : Y X koşullarını sağlayan iki rasyonel fonksiyon yerlerde f : X Y eğer X in Zariski topolojisindeki açık bir kümesinde f : g X = id Y, g : Y X f : X Y, ve g : Yg f X= id X, iki rasyonel fonksiyon varsa ki tanımlı oldukları yerlerde iki rasyonel fonksiyon varsa ki tanımlı oldukları yerlerde Xvarsa ve Y X ye ve Y ye bi-rasyonel f g denir. = denir. id Y ve g f = id X, Bi-rasyonel olmak bir f bir denklik g ilişkisidir. = id Y ve g f = id X, X Cebirsel ve Y ye geometrinin bi-rasyonel en enönemli denir. önemli problemlerinden biri varyetelerin biri varyetelerin X Bi-rasyonel bi-rasyonel ve Y ye bi-rasyonel sınıflandırılmasıdır. olmak bir denir. denklik ilişkisidir. Cebirsel geometrinin en önemli problemlerinden biri varyetelerin bi-rasyonel sınıflandırılmasıdır. Cebirsel geometrinin en önemli problemlerinden biri varyetelerin

6 İki bi-rasyonel, izdüşümsel, pürüzsüz eğri izomorfturlar. Cinsi g = 1 olan eğrilerin izomorfizm sınıfları Riemann küresi tarafından parametre edilir. Cinsi g 2 olan eğrilerin izomorfizm sınıfları 3g 3 boyutlu Deligne-Mumford modüli uazyı tarafından parametre edilir.

7 İki bi-rasyonel, izdüşümsel, pürüzsüz eğri izomorfturlar. Cinsi g = 1 olan eğrilerin izomorfizm sınıfları Riemann küresi İki tarafından bi-rasyonel, parametre izdüşümsel, edilir. pürüzsüz eğri izomorfturlar. Cinsi g = 02 olan eğrilerin tek izomorfizm Riemann küresidir. sınıfları 3g 3 boyutlu Cinsi Deligne-Mumford g = 1 olan eğrilerin modüli uazyı izomorfizm tarafından sınıfları parametre Riemann edilir. küresi tarafından parametre edilir. Cinsi g 2 olan eğrilerin izomorfizm sınıfları 3g 3 boyutlu Deligne-Mumford modüli uazyı tarafından parametre edilir.

8 İki bi-rasyonel, izdüşümsel, pürüzsüz eğri izomorfturlar. Cinsi g = 1 olan eğrilerin izomorfizm sınıfları Riemann küresi İki tarafından bi-rasyonel, parametre izdüşümsel, edilir. pürüzsüz eğri izomorfturlar. Cinsi g = 02 olan eğrilerin tek izomorfizm Riemann küresidir. sınıfları 3g 3 boyutlu Cinsi Deligne-Mumford g = 1 olan eğrilerin modüli uazyı izomorfizm tarafından sınıfları parametre Riemann edilir. küresi İki bi-rasyonel, izdüşümsel, pürüzsüz eğri izomorfturlar. tarafından Cinsi g = 1 parametre olan eğrilerin edilir. izomorfizm sınıfları Riemann küresi tarafından parametre edilir. Cinsi g 2 olan eğrilerin izomorfizm sınıfları 3g 3 boyutlu Deligne-Mumford modüli uazyı tarafından parametre edilir. Cinsi g 2 olan eğrilerin izomorfizm sınıfları 3g 3 boyutlu Deligne-Mumford modüli uazyı tarafından parametre edilir.

9 İki bi-rasyonel, izdüşümsel, pürüzsüz eğri izomorfturlar. Cinsi g = 1 olan eğrilerin izomorfizm sınıfları Riemann küresi İki tarafından bi-rasyonel, parametre izdüşümsel, edilir. pürüzsüz eğri izomorfturlar. Cinsi g = 02 olan eğrilerin tek izomorfizm Riemann küresidir. sınıfları 3g 3 boyutlu Cinsi Deligne-Mumford g = 1 olan eğrilerin modüli uazyı izomorfizm tarafından sınıfları parametre Riemann edilir. küresi İki bi-rasyonel, izdüşümsel, pürüzsüz eğri izomorfturlar. tarafından İki bi-rasyonel, Cinsi 1 parametre izdüşümsel, olan eğrilerin edilir. pürüzsüz eğri izomorfturlar. izomorfizm sınıfları Riemann küresi Cinsi g = 0 olan tek eğri Riemann küresidir. tarafından parametre edilir. Cinsi g = 1 olan eğrilerin izomorfizm sınıfları Riemann küresi Cinsi 2 olan eğrilerin izomorfizm sınıfları 3g 3 boyutlu tarafından parametre edilir. Deligne-Mumford modüli uazyı tarafından parametre edilir. Cinsi g 2 olan eğrilerin izomorfizm sınıfları 3g 3 boyutlu Deligne-Mumford modüli uzayı tarafından parametre edilir. Cinsi g 2 olan eğrilerin izomorfizm sınıfları 3g 3 boyutlu Deligne-Mumford modüli uazyı tarafından parametre edilir.

10 P (0,0) C 2 := {((x, y), [u : v]) xv = yu} C 2 P 1 P (0,0) C 2 := {((x, y), [u : v]) xv = yu} C 2 P 1 n (0, 0)daki patlatımı olsun. C 2 in (0, 0)daki patlatımı olsun.

11 P (0,0) C 2 := {((x, y), [u : v]) xv = yu} C 2 P 1 P (0,0) C 2 := {((x, y), [u : v]) xv = yu} C 2 P 1 C 2 P in (0, 0)daki (0,0) C 2 := {((x, y), [u : v]) xv = yu} C patlatımı olsun. 2 P 1 C 2 in (0, 0)daki patlatımı olsun. C 2 ve P (0,0) C 2 bi-rasyoneldirler, fakat izomorf değillerdir. Bir pürüzsüz yüzeydeki öz-kesişimi 1 olan kürelere ayrıcalıklı küreler denir. Castelnuovo nun teoremi pürüzsüz yüzeydeki herhangi bir ayrıcalıklı kürenin büzülebileceğini ve elde edilen yüzeyin pürüzsüz olacağını garanti eder. Bu büzülme işlemi patlatmanın tersidir. n (0, 0)daki patlatımı olsun.

12 P (0,0) C 2 := {((x, y), [u : v]) xv = yu} C 2 P 1 P (0,0) C 2 := {((x, y), [u : v]) xv = yu} C 2 P 1 C 2 P in (0, 0)daki (0,0) C 2 := {((x, y), [u : v]) xv = yu} C patlatımı olsun. 2 P 1 C 2 in (0, P 0)daki (0,0) C 2 patlatımı := {((x, olsun. y), [u : v]) xv = yu} C 2 P 1 C 2 ve P (0,0) C 2 bi-rasyoneldirler, fakat izomorf değillerdir. Bir pürüzsüz yüzeydeki öz-kesişimi 1 olan kürelere ayrıcalıklı küreler denir. Castelnuovo nun teoremi pürüzsüz yüzeydeki herhangi bir ayrıcalıklı kürenin büzülebileceğini ve elde edilen yüzeyin pürüzsüz olacağını garanti eder. Bu büzülme işlemi patlatmanın tersidir. n (0, 0)daki patlatımı olsun. C 2 in (0, 0)daki patlatımı olsun. C 2 ve P (0,0) C 2 bi-rasyoneldir fakat izomorf değillerdir. Bir pürüzsüz yüzeydeki öz-kesişimi 1 olan kürelere ayrıcalıklı küreler denir. Castelnuovo nun teoremi pürüzsüz yüzeydeki herhangi bir ayrıcalıklı kürenin büzülebileceğini ve elde edilen yüzeyin pürüzsüz olacağını garanti eder. Bu büzülme işlemi patlatmanın tersidir.

13 P (0,0) C 2 := {((x, y), [u : v]) xv = yu} C 2 P 1 P (0,0) C 2 := {((x, y), [u : v]) xv = yu} C 2 P 1 C 2 P in (0, 0)daki (0,0) C 2 := {((x, y), [u : v]) xv = yu} C patlatımı olsun. 2 P 1 C 2 in (0, P 0)daki (0,0) C 2 patlatımı := {((x, olsun. y), [u : v]) xv = yu} C 2 P 1 C 2 2 ve P in (0, 0)daki (0,0) C 2 bi-rasyoneldirler, := {((x, y), [u : v]) fakat xv izomorf = yu} değillerdir. C patlatımı olsun. 2 P 1 Bir pürüzsüz yüzeydeki ve P (0,0) C 2 öz-kesişimi 1 olan kürelere ayrıcalıklı C bi-rasyoneldir fakat izomorf değillerdir. küreler 2 in (0, 0)daki patlatımı olsun. denir. CBir Castelnuovo nun 2 ve pürüzsüz P (0,0) C 2 yüzeydeki bi-rasyoneldirler, teoremi öz-kesişimi fakat pürüzsüz yüzeydeki 1 izomorf olandeğillerdir. herhangi kürelere ayrıcalıklı bir ayrıcalıklı Bir küreler pürüzsüz kürenindenir. yüzeydeki öz-kesişimi 1 olan kürelere ayrıcalıklı büzülebileceğini ve elde edilen yüzeyin pürüzsüz olacağını küreler denir. garanti eder. Bu büzülme işlemi patlatmanın tersidir. Castelnuovo nun teoremi pürüzsüz yüzeydeki herhangi bir ayrıcalıklı kürenin büzülebileceğini ve elde edilen yüzeyin pürüzsüz olacağını garanti eder. Bu büzülme işlemi patlatmanın tersidir. doğrular. Bu büzülme işlemi patlatmanın tersidir. n (0, 0)daki patlatımı olsun. Castelnuovo nun teoremi pürüzsüz yüzeydeki herhangi bir ayrıcalıklı kürenin büzülebileceğini ve elde edilen yüzeyin pürüzsüz olacağını

14 Castelnuovo nun teoremi, her yüzeyin bi-rasyonel denklik sınıfının en basit üyesini seçmemizi sağlar. Eğer yüzeyde ayrıcalıklı bir küre varsa, bu küreyi büzer ve daha basit bir yüzey elde ederiz. Bu işlem yüzeyin Picard sayısını azalttığı için, sonlu sayıda ayrıcalıklı küre büzüldükten sonra yüzeyde ayrıcalıklı küre kalmaz.

15 Castelnuovo nun teoremi, her yüzeyin bi-rasyonel denklik sınıfının en Castelnuovo nun basit üyesini teoremi, seçmemizi her yüzeyin sağlar. Eğer bi-rasyonel yüzeyde denklik ayrıcalıklı sınıfının bir küre en basit varsa, üyesini bu küreyi seçmemizi büzer ve sağlar. daha Eğer basit yüzeyde bir yüzey ayrıcalıklı elde ederiz. bir Bu işlem küre varsa, yüzeyin bu Picard küreyi sayısını büzer ve azalttığı daha basit için, bir sonlu yüzey sayıda elde ederiz. ayrıcalıklı Bu işlem yüzeyin Picard sayısını azalttığı için, sonlu sayıda ayrıcalıklı küre büzüldükten sonra yüzeyde ayrıcalıklı küre kalmaz. küre büzüldükten sonra yüzeyde ayrıcalıklı küre kalmaz. Üzerinde ayrıcalıklı küre olmayan yüzeylere minimal yüzeyler denir.

16 Castelnuovo nun teoremi, her yüzeyin bi-rasyonel denklik sınıfının en Castelnuovo nun basit üyesini teoremi, seçmemizi her yüzeyin sağlar. Eğer bi-rasyonel yüzeyde denklik ayrıcalıklı sınıfının bir küre en Castelnuovo nun basit varsa, üyesini teoremi, bu küreyi seçmemizi her büzer ve sağlar. yüzeyin daha Eğer bi-rasyonel basit yüzeyde denklik bir yüzey ayrıcalıklı sınıfının elde ederiz. bir Bu işlem küre en basit varsa, üyesini yüzeyin bu Picard küreyi seçmemizi sayısını büzer ve sağlar. azalttığı daha Eğer basityüzeyde için, bir sonlu yüzey ayrıcalıklı sayıda elde ederiz. bir ayrıcalıklı Bu işlem küre varsa, yüzeyin bupicard küreyi sayısını büzer veazalttığı daha basit için, bir sonlu yüzey sayıda elde ederiz. ayrıcalıklı Bu küre büzüldükten sonra yüzeyde ayrıcalıklı küre kalmaz. küre işlembüzüldükten yüzeyin Picard sonra sayısını yüzeyde azalttığı ayrıcalıklı için, sonlu küresayıda kalmaz. ayrıcalıklı küre büzüldükten sonra yüzeyde ayrıcalıklı küre kalmaz. Üzerinde ayrıcalıklı küre olmayan yüzeylere minimal yüzeyler denir. Üzerinde ayrıcalıklı küre olmayan yüzeylere minimal yüzeyler denir. Minimal Model veya Mori Programı yüzeyler için olan bu teoriyi çok boyutlu varyetelere genellemeyi amaçlar.

17 Castelnuovo nun teoremi, her yüzeyin bi-rasyonel denklik sınıfının en Castelnuovo nun basit üyesini teoremi, seçmemizi her yüzeyin sağlar. Eğer bi-rasyonel yüzeyde denklik ayrıcalıklı sınıfının bir küre en Castelnuovo nun basit varsa, üyesini teoremi, bu küreyi seçmemizi her büzer ve sağlar. yüzeyin daha Eğer bi-rasyonel basit yüzeyde denklik bir yüzey ayrıcalıklı sınıfının elde ederiz. bir Bu işlem küre en Castelnuovo nun basit varsa, üyesini yüzeyin bu Picard küreyi teoremi, seçmemizi sayısını büzerher ve sağlar. yüzeyin azalttığı daha Eğer basit bi-rasyonel yüzeyde için, bir sonlu yüzey ayrıcalıklı denklik sayıda elde ederiz. sınıfının bir ayrıcalıklı Bu işlem küre en basit varsa, yüzeyin üyesini bupicard küreyi seçmemizi sayısını büzer veazalttığı sağlar. daha basit Eğer için, bir yüzeyde sonlu sayıda elde ayrıcalıklı ederiz. ayrıcalıklı bir Bu küre büzüldükten sonra yüzeyde ayrıcalıklı küre kalmaz. işlem küre büzüldükten varsa, yüzeyinbupicard küreyi sonra sayısını büzer yüzeyde ve azalttığı daha ayrıcalıklı basit için, sonlu bir küre yüzey sayıda kalmaz. elde ayrıcalıklı ederiz. Bu küre işlembüzüldükten yüzeyin Picard sonra sayısını yüzeyde azalttığı ayrıcalıklı için, küre sonlukalmaz. sayıda ayrıcalıklı Üzerinde ayrıcalıklı küre olmayan yüzeylere minimal yüzeyler denir. Üzerinde küre büzüldükten ayrıcalıklı sonra küre olmayan yüzeyde yüzeylere ayrıcalıklı minimal küre kalmaz. yüzeyler denir. Minimal Üzerinde Model ayrıcalıklı veya küre Mori olmayan Programı yüzeylere yüzeyler minimal için olan yüzeyler bu teoriyi denir. çok Minimal boyutlu Model varyetelere veya Mori genellemeyi Programı amaçlar. yüzeyler için olan bu teoriyi çok boyutlu varyetelere genellemeyi amaçlar. Y n-boyutlu pürüzsüz (veya daha genel olarak normal ve Gorenstein) bir varyete olsun. Y nin kanonik doğru demeti K Y = n T Y olarak tanımlanır.

18 Kanonik halka R(Y )= m 0 H 0 (Y, mk Y ) şeklinde tanımlanır. Son yılların en önemli teoremlerinden biri bu halkanın sonlu üretildiğini söyler. Theorem (Brikar, Cascini, Hacon, McKernan) R(Y ) sonlu üretilmiş bir halkadır.

19 Kanonik halka Kanonik halka R(Y )= H 0 (Y, mk Y ) R(Y )= H 0 (Y, mk m 0 Y ) m 0 şeklinde tanımlanır. şeklinde tanımlanır. Son yılların en önemli teoremlerinden biri bu halkanın sonlu Son yılların en önemli teoremlerinden biri bu halkanın sonlu üretildiğini söyler. üretildiğini söyler. Theorem (Brikar, Cascini, Hacon, McKernan) Theorem (Brikar, Cascini, Hacon, McKernan) R(Y ) sonlu üretilmiş bir halkadır. R(Y ) sonlu üretilmiş bir halkadır.

20 Kanonik halka Kanonik halka Kanonik halka R(Y )= H 0 (Y, mk Y ) R(Y )= H 0 (Y, mk m 0 Y ) m 0 R(Y )= m 0 H 0 (Y, mk Y ) şeklinde tanımlanır. şeklinde tanımlanır. Son yılların en önemli teoremlerinden biri bu halkanın sonlu Son şeklinde yılların tanımlanır. en önemli teoremlerinden biri bu halkanın sonlu üretildiğini söyler. üretildiğini Son yılların en söyler. önemli teoremlerinden biri bu halkanın sonlu üretildiğini söyler. Theorem (Brikar, Cascini, Hacon, McKernan) Theorem (Brikar, Cascini, Hacon, McKernan) R(Y Theorem ) sonlu (Birkar, üretilmiş Cascini, bir Hacon, halkadır. McKernan) R(Y ) sonlu üretilmiş bir halkadır. R(Y ) sonlu üretilmiş bir halkadır.

21 Kanonik halka Kanonik halka Kanonik halka Kanonik halka R(Y )= H 0 (Y, mk Y ) R(Y )= H 0 (Y, mk m 0 Y ) m 0 R(Y )= 0 (Y, mk Y ) R(Y )= H 0 (Y, mk Y ) m 0 m 0 şeklinde tanımlanır. şeklinde tanımlanır. Son yılların en önemli teoremlerinden biri bu halkanın sonlu Son şeklinde yılların tanımlanır. en önemli teoremlerinden biri bu halkanın sonlu üretildiğini şeklinde tanımlanır. söyler. üretildiğini Son yılların en söyler. önemli teoremlerinden biri bu halkanın sonlu Son yılların en önemli teoremlerinden biri bu halkanın sonlu üretildiğini söyler. Theorem üretildiğini(brikar, söyler. Cascini, Hacon, McKernan) Theorem (Brikar, Cascini, Hacon, McKernan) R(Y Theorem ) sonlu (Birkar, üretilmiş Cascini, bir Hacon, halkadır. McKernan) Theorem (Birkar, Cascini, Hacon, McKernan) R(Y ) sonlu üretilmiş bir halkadır. R(Y sonlu üretilmiş bir halkadır. R(Y ) sonlu üretilmiş bir halkadır. Eğer Y nin Kodaira boyutu n ise, kanonik model Proj(R(Y )) Y nin bi-rasyonel denklik sınıfındaki kanonik bir temsilcisidir.

22 L doğru demetinin hiçbir eğri ile kesişimi negatif değilse, L ye NEF denir. Eğer Y nin kanonik doğru demeti NEF ise Y ye minimal model denir. Minimal Model Programının amacı herhangi bir varyetenin bir minimal modelini bulmaktır.

23 L doğru demetinin hiçbir eğri ile kesişimi negatif değilse, L ye NEF denir. Eğer Y bir nin doğrular kanonikdemeti doğru L nin demeti hiçbir NEFeğri ise Y ile yekesişimi minimal negatif model denir. değilse, L ye NEF denir. Minimal Eğer Y nin Model kanonik Programının doğru demeti amacı herhangi NEF ise bir Y ye varyetenin minimalbir model minimal denir. modelini bulmaktır. Minimal Model Programının amacı herhangi bir varyetenin bir minimal modelini bulmaktır.

24 L doğru demetinin hiçbir eğri ile kesişimi negatif değilse, L ye NEF denir. Eğer Y bir nin doğrular kanonikdemeti doğru L nin demeti hiçbir NEFeğri ise Y ile yekesişimi minimal negatif model denir. Eğer değilse, bir L ye doğrular NEF demeti denir. L nin hiçbir eğri ile kesişimi negatif Minimal değilse, Eğer Y nin L ye Model kanonik NEF Programının denir. doğru demeti amacı herhangi NEF ise bir Y ye varyetenin minimalbir model minimal denir. Eğer Y nin modelini kanonik bulmaktır. doğru demeti NEF ise Y ye minimal model Minimal Model Programının amacı herhangi bir varyetenin bir denir. minimal modelini bulmaktır. Minimal Model Programının amacı herhangi bir varyetenin bir minimal modelini bulmaktır.

25 L doğru demetinin hiçbir eğri ile kesişimi negatif değilse, L ye NEF denir. Eğer Y bir nin doğrular kanonikdemeti doğru L nin demeti hiçbir NEFeğri ise Y ile yekesişimi minimal negatif model denir. Eğer değilse, bir L ye doğrular NEF demeti denir. L nin hiçbir eğri ile kesişimi negatif Minimal değilse, Eğer Y nin L ye Model kanonik NEF Programının denir. doğru demeti amacı herhangi NEF ise bir Y ye varyetenin minimalbir model minimal denir. EğerY bir nin modelini doğrular kanonik bulmaktır. demeti doğrul nin demeti hiçbir NEFeğri iseile Y ye kesişimi minimal negatif model Minimal Model Programının amacı herhangi bir varyetenin bir denir. değilse, L ye NEF denir. minimal modelini bulmaktır. Minimal Eğer Y nin Model kanonik Programının doğru demeti amacınef herhangi ise Y bir ye varyetenin minimal model bir minimal denir. modelini bulmaktır. Minimal Model Programının amacı herhangi bir varyetenin bir minimal modelini bulmaktır. Kollár, Mori, Reid ve Shokourov un Koni teoremi, K Y ile kesişimi negatif olan aşıt rasyonel eğrilerin büzülebileceğini garanti eder.

26 Elde edilen morfizm f : X Y için üç ihtimal vardır. 1 dim(y ) < dim(x ). 2 dim(y ) = dim(x ) ve f bölensel bir büzülmedir. 3 dim(y ) = dim(x ) ve f küçük bir büzülmedir.

27 Elde edilen morfizm f : X Y için üç ihtimal vardır. 1 dim(y ) < dim(x ). Elde edilen morfizm f : Y X için üç olasılık vardır. 2 dim(y ) = dim(x ) ve f bölensel bir büzülmedir. 1 dim(x ) < dim(y ). 3 dim(y ) = dim(x ) ve f küçük bir büzülmedir. 2 dim(x ) = dim(y ) ve f bölensel bir büzülmedir. 3 dim(x ) = dim(y ) ve f küçük bir büzülmedir. 3. olasılıkta program X e uygulanamaz. Y flipi Y + ile değiştirilir ve program Y + ya uygulanır. Y Y + f f + X

28 Elde edilen morfizm f : X Y için üç ihtimal vardır. 1 dim(y ) < dim(x ). Elde edilen morfizm f : Y X için üç olasılık vardır. 2 dim(y ) = dim(x ) ve f bölensel bir büzülmedir. 1 dim(x ) < dim(y ). 3 dim(y ) = dim(x ) ve f küçük bir büzülmedir. 2 dim(x 1 dim(y ) = dim(y ) < ) dim(x ve f bölensel ). bir büzülmedir. Elde edilen morfizm f : X Y için üç ihtimal vardır. 3 dim(x ) = dim(y ) ve f küçük bir büzülmedir. 2 dim(y ) = dim(x ) ve f bölensel bir büzülmedir. 3. olasılıkta program X e uygulanamaz. Y flipi Y 3 dim(y ) = dim(x ) ve f küçük bir + ile değiştirilir büzülmedir. ve program Y + ya uygulanır. Y Y + f f + X X X + f f + Y

29 Minimal model programını moduli uzaylarına uygulamak önemli bir problemdir. Programın Kontsevich uzaylarına uygulamasını burada örnekleri ile görelim.

30 Minimal model programını moduli uzaylarına uygulamak önemli bir problemdir. Programın Kontsevich uzaylarına uygulamasını burada örnekleri ile görelim. Minimal model programını moduli uzaylarına uygulamak önemli bir problemdir. Programın Kontsevich uzaylarına uygulamasını burada örnekleri ile görelim.

31 M 0,0 (P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel eğrileri parametre eden Kontsevich uzayı olsun.

32 M 0,0 (P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel eğrileri parametre eden Kontsevich uzayı olsun. f

33 M 0,0 (P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel eğrileri parametre eden Kontsevich uzayı olsun. f M 0,0 (P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel eğrileri parametre eden Kontsevich uzayı olsun. Kontsevich uzayları, rasyonel eğrilerin geometrisinde ve kuantum kohomolojisi teorisinde çok önemli bir rol oynar. Kontsevich uzaylarında doğal olarak tanımlı bazı bölenler vardır. P r 1 i H T D deg NL

34

35 Kontsevich uzayları rasyonel eğrilerin geometrisini anlamada ve kuantum kohomolojisi teorisinde çok önemli bir rol oynar. M 0,0 (P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyon eğrileri parametre eden Kontsevich uzayı olsun. Kontsevich uzayları eğrileri rasyonel parametre eğrilerin geometrisini eden anlamada Ko kuantum kohomolojisi teorisinde çok önemli bir rol oynar. Kontsevich uzaylarında doğal olarak tanımlı bazı bölenler var Kontsevich uzaylarında doğal olarak tanımlı bazı bölenler vardır. P r 2 M 0,0 (P r, d) r-boyutlu izdu Kontsevich uzayları rasyon i kuantum kohomolojisi teor Kontsevich d-i uzaylarında do H P r 2 i

36 Kontsevich uzayları rasyonel eğrilerin geometrisini anlamada ve kuantum kohomolojisi teorisinde çok önemli bir rol oynar. M 0,0 (P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyon eğrileri parametre eden Kontsevich uzayı olsun. Kontsevich uzayları eğrileri rasyonel parametre eğrilerin geometrisini eden anlamada Ko kuantum kohomolojisi teorisinde çok önemli bir rol oynar. Kontsevich uzaylarında doğal olarak tanımlı bazı bölenler var Kontsevich uzaylarında doğal olarak tanımlı bazı bölenler vardır. P r 2 M 0,0 (P r, d) r-boyutlu izdu Kontsevich uzayları rasyon i kuantum kohomolojisi teor Kontsevich d-i uzaylarında do H P r 2 i Theorem (Pandharipande) İzzet H ve 1,..., d/2 bölenleri M 0,0 (P r Coşkun, d) nin Neron-Severi uzayının bir tabanını oluşturur.

37 Kontsevich eğrileriuzayları parametre rasyonel eden eğrilerin Kontsevich geometrisini uzaya kuantum kohomolojisi teorisinde çok önemli bir rol Kontsevich uzayları rasyonel eğrilerin ge Kontsevich uzaylarında doğal olarak tanımlı bazı bö P r 1 i H T D deg NL kuantum kohomolojisi teorisinde çok öne Kontsevich uzaylarında doğal olarak tan M T P r 2 0,0 (P r, d) r-boyutlu izdüşümsel i H uzaydaki T D deg d-dereceli NL rasyonel M eğrileri 0,0 (P parametre r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel eden Kontsevich uzayı olsun. eğrileri parametre eden Kontsevich uzayı olsun. Kontsevich uzayları rasyonel eğrilerin geometrisini anlamada ve Kontsevich uzayları rasyonel eğrilerin geometrisini anlamada ve kuantum kuantumkohomolojisi kohomolojisiteorisinde çok çokönemli bir bir rol rol oynar. oynar. Kontsevich Kontsevich uzaylarında doğal olarak tanımlı bazı bazı bölenler bölenler vardır. vardır. P r 1 i H T D deg NL P r 1 i H T D deg NL v : M 0,0 (P r, d) M 0,d /S d v : M 0,0 (P r, d) M 0,d /S d Grassmann Uzaylarının Geo v : Pic(M 0,d /S d ) Pic(M 0,0 (P r, d)) Grassma

38 H ve 1,..., d/2 bölenleri M 0,0 (P r, d) nin Neron-Severi uzayının bir tabanını oluşturur. Theorem (-, Harris, Starr) Eğer r d ise, M 0,0 (P r, d) nin efektif konisi D deg ve 1,..., d/2 bölenleri tarafından üretilir.

39 H ve 1,..., d/2 bölenleri M 0,0 (P r, d) nin Neron-Severi Theorem (Pandharipande) uzayının bir tabanını oluşturur. H ve 1,..., d/2 bölenleri M 0,0 (P r, d) nin Neron-Severi uzayının bir tabanını oluşturur. Theorem (-, Harris, Starr) Eğer Theorem r d(-, ise, Harris, M 0,0 Starr) (P r, d) nin efektif konisi D deg ve 1,..., d/2 bölenleri tarafından üretilir. Eğer r d ise, M 0,0 (P r, d) nin efektif konisi D deg ve 1,..., d/2 bölenleri tarafından üretilir. Theorem (-, Harris, Starr) D nin M 0,0 (P r, d) de D = at + bh + v(d 1 ) şeklinde yazılmış bir bölen olduğunu varsayalım. D yalnız ve yalnız a, b 0 ve D 1 NEF ise NEFtir.

40 -boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel etre eden Kontsevich uzayı olsun. M 0,0 (P 2, 2) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması 0,0(P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel M ğrileri parametre 0,0 (P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel eden Kontsevich uzayı olsun. ayları ontsevich eğrileri rasyonel uzayları parametre eğrilerin rasyonel eden geometrisini eğrilerin Kontsevich geometrisini anlamada uzayı olsun. anlamada ve ve uantum Kontsevich kohomolojisi uzayları teorisinde rasyonel çok eğrilerin önemli geometrisini bir rol oynar. anlamada ve aylarında ontsevich kuantum doğal uzaylarında kohomolojisi olarakdoğal tanımlı teorisinde olarak bazı tanımlı çok bölenler önemli bazıvardır. bölenler bir rol vardır. oynar. r 2 D Kontsevich i H T D uzaylarında deg NL doğal olarak tanımlı bazı bölenler vardır. m deg NL Pkohomolojisi r 2 teorisinde çok önemli bir rol oynar. i H T D deg NL P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel omolojisi i parametre teorisinde edençokkontsevich önemli bir rol uzayı oynar. olsun. M 0,0 (P 3, 3) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması evich uzayları rasyonel eğrilerin geometrisini anlamada ve evich uzaylarında doğal olarak tanımlı bazı bölenler vardır. i H T D deg NL İzzet

41 -boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel etre eden Kontsevich uzayı olsun. M 0,0 (P 2, 2) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması 0,0(P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel M ğrileri parametre 0,0 (P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel eden Kontsevich uzayı olsun. ayları ontsevich eğrileri rasyonel uzayları parametre eğrilerin rasyonel eden geometrisini eğrilerin Kontsevich geometrisini anlamada uzayı olsun. anlamada ve ve uantum Kontsevich kohomolojisi uzayları teorisinde rasyonel çok eğrilerin önemli geometrisini bir rol oynar. anlamada ve aylarında ontsevich kuantum doğal uzaylarında kohomolojisi olarakdoğal tanımlı teorisinde olarak bazı tanımlı çok bölenler önemli bazıvardır. bölenler bir rol vardır. oynar. r 2 D Kontsevich i H T D uzaylarında deg NL doğal olarak tanımlı bazı bölenler vardır. m deg NL Pkohomolojisi r 2 teorisinde çok önemli bir rol oynar. i H T D deg NL P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel omolojisi i parametre teorisinde edençokkontsevich önemli bir rol uzayı oynar. olsun. M 0,0 (P 3, 3) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması evich uzayları rasyonel eğrilerin geometrisini anlamada ve evich uzaylarında doğal olarak tanımlı bazı bölenler vardır. i H T D deg NL M 0,0 (P 2, 2) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması M 0,0 (P 3, 3) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması Eğer D (H, T ) ise, R(D) =Proj( m 0 H0 (md)) modeli Kontsevich uzayıdır. f H : M 0,0 (P 2, 2) P 5 bölensel bir büzülmedir. İzzet f T : M 0,0 (P 2, 2) (P 5 ) bölensel bir büzülmedir.

42 -boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel etre eden Kontsevich uzayı olsun. M 0,0 (P 2, 2) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması 0,0(P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel M ğrileri parametre 0,0 (P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel eden Kontsevich uzayı olsun. ayları ontsevich eğrileri rasyonel uzayları parametre eğrilerin rasyonel eden geometrisini eğrilerin Kontsevich geometrisini anlamada uzayı olsun. anlamada ve ve uantum Kontsevich kohomolojisi uzayları teorisinde rasyonel çok eğrilerin önemli geometrisini bir rol oynar. anlamada ve aylarında ontsevich kuantum doğal uzaylarında kohomolojisi olarakdoğal tanımlı teorisinde olarak bazı tanımlı çok bölenler önemli bazıvardır. bölenler bir rol vardır. oynar. r 2 D Kontsevich i H T D uzaylarında deg NL doğal olarak tanımlı bazı bölenler vardır. m deg NL Pkohomolojisi r 2 teorisinde çok önemli bir rol oynar. i H T D deg NL P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel omolojisi i parametre teorisinde edençokkontsevich önemli bir rol uzayı oynar. olsun. M 0,0 (P 3, 3) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması evich uzayları rasyonel eğrilerin geometrisini anlamada ve evich uzaylarında doğal olarak tanımlı bazı bölenler vardır. i H T D deg NL M 0,0 (P 2, 2) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması M 0,0 (P 2, 2) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması M 0,0 (P 3, 3) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması Eğer (H, T ) ise, R(D) =Proj( m 0 H0 (md)) modeli Eğer D (H, T ) ise, R(D) =Proj( Kontsevich uzayıdır. m 0 H0 (md)) modeli Kontsevich f H : 0,0 (P 2 uzayıdır., 2) P 5 bölensel bir büzülmedir. f H İzzet T : : M 0,0 0,0 (P (P 2, 2 2), 2) (P P 5 ) 5 bölensel bölensel bir bir büzülmedir. büzülmedir. M 0,0 (P 3, 3) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması f T : M 0,0 (P 2, 2) (P 5 ) bölensel bir büzülmedir.

43 -boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel etre eden Kontsevich uzayı olsun. M 0,0 (P 2, 2) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması 0,0(P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel M ğrileri parametre 0,0 (P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel eden Kontsevich uzayı olsun. ayları ontsevich eğrileri rasyonel uzayları parametre eğrilerin rasyonel eden geometrisini eğrilerin Kontsevich geometrisini anlamada uzayı olsun. anlamada ve ve uantum Kontsevich kohomolojisi uzayları teorisinde rasyonel çok eğrilerin önemli geometrisini bir rol oynar. anlamada ve aylarında ontsevich kuantum doğal uzaylarında kohomolojisi olarakdoğal tanımlı teorisinde olarak bazı tanımlı çok bölenler önemli bazıvardır. bölenler bir rol vardır. oynar. r 2 D Kontsevich i H T D uzaylarında deg NL doğal olarak tanımlı bazı bölenler vardır. m deg NL Pkohomolojisi r 2 teorisinde çok önemli bir rol oynar. i H T D deg NL P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel omolojisi i parametre teorisinde edençokkontsevich önemli bir rol uzayı oynar. olsun. M 0,0 (P 3, 3) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması evich uzayları rasyonel eğrilerin geometrisini anlamada ve evich uzaylarında doğal olarak tanımlı bazı bölenler vardır. i H T D deg NL M 0,0 (P 2, 2) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması M 0,0 (P 2, 2) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması M 0,0 (P 2, 2) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması M 0,0 (P 3, 3) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması Eğer (H, T ) ise, R(D) =Proj( m 0 H0 (md)) modeli Eğer M D (H, T ) ise, R(D) =Proj( 0,0 (P 3, 3) nin efektif konisinin taban yerine Kontsevich uzayıdır. m 0 H0 göre (md)) odalara modeli ayrılması Kontsevich Eğer D (H, f H : 0,0 (P 2 uzayıdır. T ) ise, R(D) =Proj(, 2) P 5 m 0 bölensel bir büzülmedir. H0 (md)) modeli fkontsevich H İzzet T : : M 0,0 0,0 (P (P 2 uzayıdır., 2 2), 2) (P P ) 5 bölensel bölensel bir bir büzülmedir. büzülmedir. f H : T M 0,0 (P 0,0 (P 2,, 2) 2) P(P 5 5 bölensel ) bölensel bir büzülmedir. bir büzülmedir. f T : M 0,0 (P 2, 2) (P 5 ) bölensel bir büzülmedir. M 0,0 (P 3, 3) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması

12.Konu Rasyonel sayılar

12.Konu Rasyonel sayılar 12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Geçen ders RP 2 de tekil olmayan her koniğin bir dönüşümün ardından tek bir koniğe dönüştüğü sonucuna vardık; o da {[x : y : z x 2 + y 2 z 2 = 0]} idi. Bu derste bu

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir. SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan

Detaylı

x 2i + A)( 1 yj 2 + B) u (v + B), y 1

x 2i + A)( 1 yj 2 + B) u (v + B), y 1 Ders 11: Örnekler 11.1 Kulplarla inşalar Bu bölümde kulpları birbirine yapıştırıp tanıdık manifoldlar elde edeceğiz. Artık bu son ders. Özellikle dersin ikinci bölümünde son meyveleri toplamak adına koşarak

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

Salim. Yüce LİNEER CEBİR

Salim. Yüce LİNEER CEBİR Prof. Dr. Salim Yüce LİNEER CEBİR Prof. Dr. Salim Yüce LİNEER CEBİR ISBN 978-605-318-030-2 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. 2015, Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

Kafes Yapıları. Hatırlatma

Kafes Yapıları. Hatırlatma Kafes Yapıları Ders 7 8-1 Hatırlatma Daha önce anlatılan sıra bağıntısını hatırlayalım. A kümesinde bir R bağıntsı verilmiş olsun. R bağıntısı; a. Yansıma (Tüm a A için, sadece ve sadece ara ise yansıyandır(reflexive)).

Detaylı

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept.

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. Dijital Devre Tasarımı EEE122 A Ref. Morris MANO & Michael D. CILETTI DIGITAL DESIGN 4 th edition Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. 2. BÖLÜM Boole Cebri ve Mantık

Detaylı

BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME TEZİ E 3-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HELİSLER VE UYGULAMALARI.

BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME TEZİ E 3-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HELİSLER VE UYGULAMALARI. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME TEZİ E -BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HELİSLER VE UYGULAMALARI Hasibe ŞENOL 16104210046 Danışman: Yrd. Doç. Dr. Murat BABAARSLAN YOZGAT 201 ÖZET

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 1.AŞAMA KONU KAPSAMI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 1.AŞAMA KONU KAPSAMI ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 1.AŞAMA KONU KAPSAMI 6. SINIF 5. SINIF TÜM KONULARI 1.ÜNİTE: Geometrik Şekiller 1) Verileri Düzenleme, Çokgenler ve Süsleme 2) Dörtgenler 3)

Detaylı

HİTİT ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ DERS TANIMLARI

HİTİT ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ DERS TANIMLARI HİTİT ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ DERS TANIMLARI ZORUNLU DERSLER Matematiğin Temelleri (3-0) 3: Sembolik Mantık; Kümeler Kuramı; Kartezyen Çarpım; Bağıntılar; Fonksiyonlar; Birebir ve Örten Fonksiyonlar;

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9 OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 015 01 1 Eylül 18 Eylül Kümelerde Temel Kavramlar 1. Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri ifade etmek için farklı gösterimler.

Detaylı

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ ALT ÖĞRENME. Örüntü ve Süslemeler

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ ALT ÖĞRENME. Örüntü ve Süslemeler 2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE ÖĞRENME Ay Hafta D.Saati ALANI EYLÜL 2 Geometri 2 3 Geometri 2 Geometri 2 Olasılıkve ALT

Detaylı

14.12 Oyun Teorisi Ders Notları Seçim Teorisi

14.12 Oyun Teorisi Ders Notları Seçim Teorisi 14.12 Oyun Teorisi Ders Notları Seçim Teorisi Muhamet Yıldız (Ders 2) 1 Temel Seçim Teorisi X kümesi alternatifler kümesi olsun. Alternatifler birbirini dışlayan olsunlar, yani bir kişi aynı anda iki farklı

Detaylı

Yüksek Lisans Cebir (in Turkish) Başlık: Grup Teorisi I Seviye: - İçerik: Gruplar, bölüm grupları, temel izomorfizma teoremleri, alterne, simetrik ve dihedral gruplar, direkt çarpımlar, otomorfizma grupları

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK PROGRAMI YETERLİLİKLERE DAYALI ÖĞRENİM ÇIKTILARI

ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK PROGRAMI YETERLİLİKLERE DAYALI ÖĞRENİM ÇIKTILARI ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK PROGRAMI YETERLİLİKLERE DAYALI ÖĞRENİM ÇIKTILARI PROGRAMIN GENEL TANIMI MATEMATİK TEMEL ALANI MATEMATİK ALANI GENEL TANIMI MİSYON VE VİZYON Matematik, bireyin

Detaylı

Ali Sinan Sertöz. Tarih: 5 Şubat 1998, Antalya

Ali Sinan Sertöz. Tarih: 5 Şubat 1998, Antalya SEMİNER Ali Sinan Sertöz 1 KONİ KESİTLERİ Tarih: 5 Şubat 1998, Antalya 1.1 Başlangıç Koni kesitleri ilk kez eski Yunan da ortaya çıkmıştır. MÖ 350 yıllarında yaşamış olan Menaechmus un koni kesitlerini

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr

Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr apak onusu: oncelet Teoremleri oni. Uzayda birbirini 0 < < 90 derecede kesen iki de iflik a ve do rusu alal m. Do rulardan birini di erinin etraf nda, diyelim a y nin etraf nda oluflturduklar aç s n bozmadan

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği

8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği 2007 Güz Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için

Detaylı

Newton un F = ma eşitliğini SD den türete bilir miyiz?

Newton un F = ma eşitliğini SD den türete bilir miyiz? burada yine kısmi integrasyon kullanıldı ve ± da Ψ ın yok olduğu kabul edildi. Sonuç olarak, p = p, yani p ˆ nin tüm beklenti değerleri gerçeldir. Bir özdeğer kendisine karşı gelen kararlı durumun beklenti

Detaylı

Ders 7: Konikler - Tanım

Ders 7: Konikler - Tanım Ders 7: Konikler - Tanım Şimdie kadar nokta ve doğrular ve bunların ilişkilerini konuştuk. Bu derste eni bir kümeden söz edeceğiz: kuadrikler ve düzlemdeki özel adı konikler. İzdüşümsel doğrular, doğrusal

Detaylı

YGS MATEMATİK - CEBİR 01 TEMEL SAYI KAVRAMLARI VE UYGULAMALARI 02 TAMSAYILARDA BÖLME 03 BÖLÜNEBİLME KURALLARI 04 ASAL SAYILAR 05 OBEB VE OKEK 06

YGS MATEMATİK - CEBİR 01 TEMEL SAYI KAVRAMLARI VE UYGULAMALARI 02 TAMSAYILARDA BÖLME 03 BÖLÜNEBİLME KURALLARI 04 ASAL SAYILAR 05 OBEB VE OKEK 06 1 YGS MATEMATİK - CEBİR 01 TEMEL SAYI KAVRAMLARI VE UYGULAMALARI 02 TAMSAYILARDA BÖLME 03 BÖLÜNEBİLME KURALLARI 04 ASAL SAYILAR 05 OBEB VE OKEK 06 RASYONEL SAYILAR KÜMESİ VE ÖZELLİKLERİ 07 BASİT EŞİTSİZLİKLER

Detaylı

İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ GÜZ DÖNEMİ DERSLERİ VE İÇERİKLERİ

İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ GÜZ DÖNEMİ DERSLERİ VE İÇERİKLERİ GÜZ DÖNEMİ DERSLERİ VE İÇERİKLERİ 1. SINIF GÜZ DÖNEMİ Dersin Kodu ve Adı: 00101 Fizik I Vektörler, tek boyutta hareket, iki boyutta hareket, hareket kanunları, dairesel hareket ve Newton kanunlarının uygulamaları,

Detaylı

2013-2014 ATAKÖY CUMHURİYET ANADOLU LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI

2013-2014 ATAKÖY CUMHURİYET ANADOLU LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI 0-0 ATAKÖY CUMHURİYET ANADOLU LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK İ YILLIK PLANI Temel Kavramlar 9... Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri ifade etmek için farklı gösterimler. 6 EYLÜL 0 EYLÜL Temel Kavramlar

Detaylı

yöneylem araştırması Nedensellik üzerine diyaloglar I

yöneylem araştırması Nedensellik üzerine diyaloglar I yöneylem araştırması Nedensellik üzerine diyaloglar I i Yayın No : 3197 Eğitim Dizisi : 149 1. Baskı Ocak 2015 İSTANBUL ISBN 978-605 - 333-225 1 Copyright Bu kitabın bu basısı için Türkiye deki yayın hakları

Detaylı

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini

Detaylı

KABA KÜME TEORİSİ (Rough Set Theory) Dr. Sedat TELÇEKEN

KABA KÜME TEORİSİ (Rough Set Theory) Dr. Sedat TELÇEKEN KABA KÜME TEORİSİ (Rough Set Theory) Dr. Sedat TELÇEKEN Giriş Bilgi teknolojisindeki gelişmeler ve verilerin dijital ortamda saklanmaya başlanması ile yeryüzündeki bilgi miktarı her 20 ayda iki katına

Detaylı

1. Bir noktadan bir noktaya bir doğru çizilebilir (ve bu doğru tektir). 2. Bir doğru içinde bir doğru parçası (tek bir biçimde) genişletilebilir.

1. Bir noktadan bir noktaya bir doğru çizilebilir (ve bu doğru tektir). 2. Bir doğru içinde bir doğru parçası (tek bir biçimde) genişletilebilir. Tarihte bilindiği kadarıyla düzlem geometrisinin ilk kez sistemli bir biçimde incelenişi, Öklid in Elementler kitabının (M.Ö. 300) birinci cildinde yapıldı. Öklid bu kitapta düzlem geometrisini beş belit

Detaylı

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I-

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- Dışbükeylik / İçbükeylik Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST38 Yöneylem Araştırması Dersi 0-0 Öğretim Yılı Doğrusal olmayan

Detaylı

ANALİZ IV. Mert Çağlar

ANALİZ IV. Mert Çağlar ANALİ IV Mert Çağlar Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim Desteği (UDS) lisansı altındadır. Ders notlarına erişim için: http://udes.iku.edu.tr CC $\ BY: Mert Çağlar C Matematik-Bilgisayar Bölümü İstanbul

Detaylı

METALURJİ VE MALZEME MÜH. LAB VE UYG. DERSİ FÖYÜ

METALURJİ VE MALZEME MÜH. LAB VE UYG. DERSİ FÖYÜ METALURJİ VE MALZEME MÜH. LAB VE UYG. DERSİ FÖYÜ ALIN KAYNAKLI LEVHASAL BAĞLANTILARIN ÇEKME TESTLERİ A- DENEYİN ÖNEMİ ve AMACI Malzemelerin mekanik davranışlarını incelemek ve yapılarıyla özellikleri arasındaki

Detaylı

CBS. Projeksiyon. CBS Projeksiyon. Prof.Dr. Emin Zeki BAŞKENT. Karadeniz Teknik Üniversitesi Orman Fakültesi 2010, EZB

CBS. Projeksiyon. CBS Projeksiyon. Prof.Dr. Emin Zeki BAŞKENT. Karadeniz Teknik Üniversitesi Orman Fakültesi 2010, EZB Prof.Dr. Emin Zeki BAŞKENT Karadeniz Teknik Üniversitesi Orman Fakültesi Elipsoid şeklindeki dünyanın bir düzlem üzerine indirilmesi ve koordinatlarının matematiksel dönüşümleridir. Harita üç şekilde projeksiyonu

Detaylı

KediCAD DE FEA UYGULAMASI

KediCAD DE FEA UYGULAMASI KediCAD DE FEA UYGULAMASI FEA (SONLU ELMAN ANALİZİ) ÖZET KediCAD 2 boyutlu sonlu eleman analizi yapmaktadır. Çizim alanına çizilen kapalı bir çizim için gereken kalınlık, malzeme, analiz yöntemi vb. Bilgileri

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu

Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu FOTOGRAMETRİ I Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ JDF329 Fotogrametri I Ders Notu 2015-2016 Öğretim Yılı Güz Dönemi İçerik Tanımlar

Detaylı

Bu durumu, konum bazında bileşenlerini, yani dalga fonksiyonunu, vererek tanımlıyoruz : ) 1. (ikx x2. (d)

Bu durumu, konum bazında bileşenlerini, yani dalga fonksiyonunu, vererek tanımlıyoruz : ) 1. (ikx x2. (d) Ders 10 Metindeki ilgili bölümler 1.7 Gaussiyen durum Burada, 1-d de hareket eden bir parçacığın önemli Gaussiyen durumu örneğini düşünüyoruz. Ele alış biçimimiz kitaptaki ile neredeyse aynı ama bu örnek

Detaylı

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız Bölüm 4 Türev Uygulamaları 4.1 Bağımlı Hız Eğer bir balonun içine hava pompalarsak, balonun hem yarıçapı hem de hacmi artar ve artış hızları birbirine bağımlıdır. Fakat, hacmin artış hızını doğrudan ölçmek

Detaylı

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 1. Eşit güçlü kümeler 2. Sonlu ve sonsuz kümeler 3. Doğal sayılar kümesi 4. Sayılabilir kümeler 5. Doğal sayılar kümesinde toplama 6. Doğal sayılar kümesinde

Detaylı

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ROUGH KÜME TEORİSİNDE TOPOLOJİK YAPILAR Naime TOZLU YÜKSEK LİSANS TEZİ Matematik Anabilim Dalı Haziran-2013 KONYA Her Hakkı Saklıdır ÖZET YÜKSEK LİSANS

Detaylı

Çözüm: Siyah top çekilme olasılığı B olsun. Topların sayısı 12 olduğuna göre P(B)=8/12=2/3 tür.

Çözüm: Siyah top çekilme olasılığı B olsun. Topların sayısı 12 olduğuna göre P(B)=8/12=2/3 tür. 1 Olasılık Örnekler 1. Bir çantada 4 beyaz 8 siyah top vardır. Bir siyah top çekilmesi olasılığı nedir? Çözüm: Siyah top çekilme olasılığı B olsun. Topların sayısı 12 olduğuna göre P(B)=8/12=2/3 tür. 2.

Detaylı

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ SERBEST İDEAL HALKALARI ÜZERİNDEKİ MODÜLLER MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 2013 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ SERBEST İDEAL

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI-2 -Markov Zincirleri-

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI-2 -Markov Zincirleri- YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI-2 -Markov Zincirleri- Hazırlayan Yrd. Doç. Selçuk Üniversitesi Mühendislik Fakültesi - Endüstri Mühendisliği Bölümü Giriş Zaman içerisinde tamamen önceden kestirilemeyecek şekilde

Detaylı

Elipsoid Üçgenlerinin Hesaplanması Yedek Hesap Yüzeyi olarak Küre

Elipsoid Üçgenlerinin Hesaplanması Yedek Hesap Yüzeyi olarak Küre Jeodezi 7 1 Elipsoid Üçgenlerinin Hesaplanması Yedek Hesap Yüzeyi olarak Küre Elipsoid yüzeyinin küçük parçalarında oluşan küçük üçgenlerin (kenarları 50-60 km den küçük) hesaplanmasında klasik jeodezide

Detaylı

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ KAZANIMLAR

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ KAZANIMLAR KASIM EKİM EYLÜL Ay Hafta D.Saat i 0 04 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KAZANIMLARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE SÜRE ÖĞRENME ALANI ALT ÖĞRENME ALANI Örüntü Süslemeler si KAZANIMLAR.Doğru, çokgen

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

ANALİZ III. Mert Çağlar

ANALİZ III. Mert Çağlar ANALİZ III Mert Çağlar Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim Desteği (UDES) lisansı altındadır. Ders notlarına erişim için: http://udes.iku.edu.tr CC $\ BY: Mert Çağlar C Matematik-Bilgisayar Bölümü

Detaylı

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun.

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun. 11. Cauchy Teoremi ve p-gruplar Bu bölümde Lagrange teoreminin tersinin doğru olduğu bir özel durumu inceleyeceğiz. Bu teorem Cauchy tarafından ispatlanmıştır. İlk olarak bu teoremi sonlu değişmeli gruplar

Detaylı

Olasılık teorisi, matematiğin belirsizlik taşıyan olaylarla ilgilenen bir dalıdır. Bu bilim dalı rasgele değişkenleri inceler.

Olasılık teorisi, matematiğin belirsizlik taşıyan olaylarla ilgilenen bir dalıdır. Bu bilim dalı rasgele değişkenleri inceler. Bölüm 2 OLASILIK TEORİSİ Olasılık teorisi, matematiğin belirsizlik taşıyan olaylarla ilgilenen bir dalıdır. Bu bilim dalı rasgele değişkenleri inceler. Rasgele değişken, gelecekteki bir gözlemde alacağı

Detaylı

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu;

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; 4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x,x,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x + a x + L + a x = b n n a x + a x + L + a x = b n n a x + a

Detaylı

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 )

30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 ) 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYAR MATEMATİK BÖLÜMÜ LİNEER CEBİR-II DERSİ ÖDEV 4 Soru I: Aşağıda verilen dönüşümlerin lineer olup olmadığını gösteriniz. ) L : R 3 R, L(x, x, x 3 ) = ( 3x + x 3 4x 4, x + x 3x

Detaylı

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept.

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. Dijital Devre Tasarımı EEE122 A Ref. Morris MANO & Michael D. CILETTI DIGITAL DESIGN 4 th edition Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. Chapter 3 Boole Fonksiyon Sadeleştirmesi

Detaylı

18.702 Cebir II 2008 Bahar

18.702 Cebir II 2008 Bahar MIT Açk Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.702 Cebir II 2008 Bahar Bu materyallerden alnt yapmak veya Kullanm artlar hakknda bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

TÜRKİYE CUMHURİYETİ DEVLETİNİN temellerinin atıldığı Çanakkale zaferinin 100. yılı kutlu olsun.

TÜRKİYE CUMHURİYETİ DEVLETİNİN temellerinin atıldığı Çanakkale zaferinin 100. yılı kutlu olsun. Doç.Dr.Mehmet MISIR-2013 TÜRKİYE CUMHURİYETİ DEVLETİNİN temellerinin atıldığı Çanakkale zaferinin 100. yılı kutlu olsun. Son yıllarda teknolojinin gelişmesi ile birlikte; geniş alanlarda, kısa zaman aralıklarında

Detaylı

I 5. SINIF ÖĞRENME ALANI ALT ÖĞRENME ALANI KAZANIM I- 01 I- 02 II- 01 II- 02 II- 03

I 5. SINIF ÖĞRENME ALANI ALT ÖĞRENME ALANI KAZANIM I- 01 I- 02 II- 01 II- 02 II- 03 I 5. SINIF MATEMATİK VE İŞLEMLER 1.1. En çok dokuz basamaklı doğal sayıları okur ve yazar. 1.2. En çok dokuz basamaklı doğal sayıların bölüklerini, basamaklarını ve rakamların basamak değerlerini belirtir.

Detaylı

T.C. SİNOP ÜNİVERSİTESİ FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ LİSANS PROGRAMI

T.C. SİNOP ÜNİVERSİTESİ FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ LİSANS PROGRAMI T.C. SİNOP ÜNİVERSİTESİ FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ LİSANS PROGRAMI I.YARIYIL ( Güz) II.YARIYIL (Bahar) DERSİN DERSİN ADI T P K AKTS DERSİN DERSİN ADI T P K AKTS MAT101 ANALİZ I 4 2 5 7 MAT102

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri

Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri Yazar Doç.Dr. Hüseyin AZCAN ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Küresel Koordinatlar Silindirik Koordinatları Dönel Yüzeylerin Elde Edilmesi

Detaylı

IARS Kuantum Bilgi Kuramının Temel. Ders Notları 22 Haziran - 4 Temmuz 2009

IARS Kuantum Bilgi Kuramının Temel. Ders Notları 22 Haziran - 4 Temmuz 2009 IARS Kuantum Bilgi Kuramının Temel Kavramları Bölüm 1 Ders Notları Haziran - 4 Temmuz 009 Yusuf İpekoğlu ODTÜ Fizik Bölümü Ders Asistanı: Enderalp Yakaboylu ODTÜ Fizik Bölümü Ders Notu Asistanı: Enderalp

Detaylı

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve

Detaylı

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (2. Hafta)

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (2. Hafta) AĞIRLIK MERKEZİ STATİK (2. Hafta) Ağırlık merkezi: Bir cismi oluşturan herbir parçaya etki eden yerçeki kuvvetlerinin bileşkesinin cismin üzerinden geçtiği noktaya Ağırlık Merkezi denir. Şekil. Ağırlık

Detaylı

ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ. YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ. Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ

ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ. YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ. Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ MATEMATİK ANABİLİM DALI Haziran, 2014 AFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ

Detaylı

ÜNİTE - 4 İŞLETMELERİN TEŞKİLAT YAPISI

ÜNİTE - 4 İŞLETMELERİN TEŞKİLAT YAPISI 1-İşletmenin teşkilat yapısı ÜNİTE - 4 İŞLETMELERİN TEŞKİLAT YAPISI 2-Yetki, yetki devri ve sorumluluk 3-Aşırı ve eksik örgütlenme 4-Teşkilat şemaları Bu üniteye neden çalışmalıyız.! Bir işletmede teşkilatlanmanın

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

Ceyhun Atuf Kansu Caddesi No:86/1 Çankaya / Ankara KURUCUNUN ADI: : RAMAZAN ACAR

Ceyhun Atuf Kansu Caddesi No:86/1 Çankaya / Ankara KURUCUNUN ADI: : RAMAZAN ACAR M KURUMUN ADI : Ceyhun Atuf Kansu Caddesi No:86/1 Çankaya / Ankara KURUCUNUN ADI: : RAMAZAN ACAR PROGRAMIN ADI : -V 1. 2. 3. 4. PROGRAMIN AMAÇLARI: Bu program ile kursiyerlerin, 1. 2. 3. 4. 5. k, 6. Merak,

Detaylı

www.usmatik.com MATEMATİK PROGRAMI YGS-LYS Matematik Çalışma Programı

www.usmatik.com MATEMATİK PROGRAMI YGS-LYS Matematik Çalışma Programı www.usmatik.com MATEMATİK PROGRAMI YGS-LYS Matematik Çalışma Programı Ertuğrul US 01.09.2014 MATEMATİK PROGRAMIM Program 6 aylık (24 haftalık) bir programdır. Konuların veriliş sırasına uyularak çalışılması

Detaylı

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları 4.Ders Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X, X,,X n : R n X, X,,X n X, X,,X n olmak üzere, her a, a,,a n R n için : X i a i, i,, 3,,n U özelliği sağlanıyor

Detaylı

ýçindekiler Ön Söz xiii Antenler 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 Temel Anten Parametreleri 27 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.

ýçindekiler Ön Söz xiii Antenler 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 Temel Anten Parametreleri 27 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2. çindekiler Ön Söz xiii 1 Antenler 1 1.1 Giri 1 1.2 Anten Tipleri 4 1.3 I ma Mekanizmas 7 1.4 nce Tel Antende Ak m Da l m 17 1.5 Tarihsel Geli meler 20 1.6 Multimedya 24 Kaynakça 24 2 Temel Anten Parametreleri

Detaylı

Veri Tabanı-I 4.Hafta

Veri Tabanı-I 4.Hafta Veri Tabanı-I 4.Hafta Normalizasyon(Normalleştirme) 1 Normalleştirme Normalleştirme, bir veritabanındaki verileri düzene koyma işlemidir. Tablolar oluşturmak ve bu tablolar arasında hem verileri koruyacak

Detaylı

TEKNE FORMUNUN BELİRLENMESİ

TEKNE FORMUNUN BELİRLENMESİ TEKNE FORMUNUN ELİRLENMESİ Ön dizaynda gemi büyüklüğünün ve ana boyutların belirlenmesinden sonraki aşamada tekne formunun belirlenmesi gelir. Tekne formu geminin, deplasmanını, kapasitesini, trimini,

Detaylı

8.04 Kuantum Fiziği Ders IV. Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi. ise, parçacığın dalga fonksiyonu,

8.04 Kuantum Fiziği Ders IV. Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi. ise, parçacığın dalga fonksiyonu, Geçen Derste Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi ΔxΔp x 2 Fourier ayrışımı Bugün φ(k) yı nasıl hesaplarız ψ(x) ve φ(k) ın yorumu: olasılık genliği ve olasılık yoğunluğu ölçüm φ ( k)veyahut

Detaylı

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri ölüm 3: Vektörler Kavrama Soruları 1- Neden vektörlere ihtiyaç duyarız? - Vektör ve skaler arasındaki fark nedir? 3- Neden vektörel bölme işlemi yapılamaz? 4- π sayısı vektörel mi yoksa skaler bir nicelik

Detaylı

BĐL378 - VERĐTABANI YÖNETĐM SĐSTEMLERĐ

BĐL378 - VERĐTABANI YÖNETĐM SĐSTEMLERĐ BĐL378 VERĐTABANI YÖNETĐM SĐSTEMLERĐ Öğr.Gör. Sedat TELÇEKEN VTYS, bütünlük kısıtlamalarını uygulayarak yalnız geçerli verilerin depolanmasını sağlar. ANADOLU ÜNĐVERSĐTESĐ FEN FAKÜLTESĐ MATEMATĐK BÖLÜMÜ

Detaylı

3 VEKTÖRLER. Pilot uçağın kokpit inden havaalanını nasıl bulur?

3 VEKTÖRLER. Pilot uçağın kokpit inden havaalanını nasıl bulur? 3.1 Koordinat sistemleri 3.2 Kartezyen koordinatlar 3.3 Vektörler 3.4 Vektörlerin bileşenleri 3.5 Vektörlerin toplanması 3.6 Vektörlerin çıkarılması 37Bii 3.7 Birim vektör 3 VEKTÖRLER Pilot uçağın kokpit

Detaylı

S5EC ve KD45-O MODAL MANTIKLARININ MODELLERİ

S5EC ve KD45-O MODAL MANTIKLARININ MODELLERİ T.C. İSTANBUL KÜLTÜR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ S5EC ve KD45-O MODAL MANTIKLARININ MODELLERİ ÜZERİNE YÜKSEK LİSANS TEZİ Ayşe BÖLÜK 1009041002 Anabilim Dalı : Matematik - Bilgisayar Programı :

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

0.04.03 Standart Hata İstatistikte hesaplanan her istatistik değerin mutlaka hatası da hesaplanmalıdır. Çünkü hesaplanan istatistikler, tahmini bir değer olduğu için mutlaka hataları da vardır. Standart

Detaylı

ÜNİTELENDİRME ŞEMASI

ÜNİTELENDİRME ŞEMASI LENDİRME ŞEMASI ÜNİTE DOĞRULAR VE AÇILAR. Aynı düzlemde olan üç doğrunun birbirine göre durumlarını belirler ve inşa eder.. Paralel iki doğrunun bir kesenle yaptığı açıların eş olanlarını ve bütünler olanlarını

Detaylı

2013 KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖABT MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ (İLKÖĞRETİM) TESTİ DEĞERLENDİRME RAPORU, SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ

2013 KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖABT MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ (İLKÖĞRETİM) TESTİ DEĞERLENDİRME RAPORU, SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ 0 KAMU PERSONEL SEÇME SINAI ÖABT MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ (İLKÖĞRETİM) TESTİ DEĞERLENDİRME RAPORU, SORULARI E ÇÖZÜMLERİ Temmuz, 0 MATEMATİK (İLKÖĞRETİM) ÖĞRETMENLİĞİ Analizden soru sorulmuştur. İlk 8 soru

Detaylı

Parametrik Yer Eğrileri

Parametrik Yer Eğrileri Parametrik Yer Eğrileri Haldun Gürmen Özgür Cemal Özerdem Yakın Doğu Üniversitesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü Alernatif akım devrelerinde parametrik empedans veya admitanslara sık rastlanır.

Detaylı

Bazı Sonlu Klingenberg Düzlemleri İçin Üzerinde Olma Matrisleri

Bazı Sonlu Klingenberg Düzlemleri İçin Üzerinde Olma Matrisleri BAÜ FBE Dergisi Cilt:12, Sayı:1, 91-99 Temmuz 2010 Bazı Sonlu Klingenberg Düzlemleri İçin Üzerinde Olma Matrisleri Atilla AKPINAR * Uludağ Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü, Görükle,

Detaylı

Yığma yapı elemanları ve bu elemanlardan temel taşıyıcı olan yığma duvarlar ve malzeme karakteristiklerinin araştırılması

Yığma yapı elemanları ve bu elemanlardan temel taşıyıcı olan yığma duvarlar ve malzeme karakteristiklerinin araştırılması Yığma yapı elemanları ve bu elemanlardan temel taşıyıcı olan yığma duvarlar ve malzeme karakteristiklerinin araştırılması Farklı sonlu eleman tipleri ve farklı modelleme teknikleri kullanılarak yığma duvarların

Detaylı

1. KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ

1. KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ DERS NOTU 06 IS/LM EĞRİLERİ VE BAZI ESNEKLİKLER PARA VE MALİYE POLİTİKALARININ ETKİNLİKLERİ TOPLAM TALEP (AD) Bugünki dersin içeriği: 1. KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ... 1 2. LM EĞRİSİ VE PARA TALEBİNİN

Detaylı