Modüli Uzaylarının Bi-rasyonel Geometrisi

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Modüli Uzaylarının Bi-rasyonel Geometrisi"

Transkript

1 Modüli Uzaylarının Bi-rasyonel Geometrisi Modüli Uzaylarının Bi-rasyonel Geometrisi Modüli Uzaylarının Bi-rasyonel Geometrisi Modüli Uzaylarının Bi-rasyonel Geometrisi Modüli Uzaylarının Bi-rasyonel Geometrisi University of Illinois at Chicago University of Illinois at Chicago University University of of Illinois Illinois at at Chicago Chicago 6 Ağustos, Ağustos, Ağustos, Ağustos, 2010 Modüli Uzaylarının Bi-rasyonel Geometrisi Modüli Uzaylarının Bi-rasyonel Geometrisi

2 f : X Y eğer X in Zariski topolojisindeki açık bir kümede tanımlı bir fonksiyon ise f ye rasyonel fonksiyon denir. Eğer iki uzay X ve Y arasında tanımlanmış f : X Y, g : Y X iki rasyonel fonksiyon varsa ki tanımlı oldukları yerlerde f g = id Y ve g f = id X, X ve Y ye bi-rasyonel denir. Bi-rasyonel olmak bir denklik ilişkisidir. Cebirsel geometrinin en önemli problemlerinden biri varyetelerin bi-rasyonel sınıflandırılmasıdır.

3 f : X Y eğer X in Zariski topolojisindeki açık bir kümede tanımlı f : X biry fonksiyon eğer X in ise Zariski f yetopolojisindeki rasyonel fonksiyon açık birdenir. kümede Eğer tanımlı ikibir uzay fonksiyon X ve Yisearasında f ye rasyonel tanımlanmış fonksiyon denir. Eğer iki uzay X ve Y arasında, tanımlı oldukları yerlerde f : X Y, g : Y X f g = id Y ve g f = id X, iki rasyonel fonksiyon varsa ki tanımlı oldukları yerlerde koşullarını sağlayan iki rasyonel fonksiyon f g = id Y ve g f = id X, f : X Y, g : Y X Xvarsa ve Y X ye ve Y ye bi-rasyonel denir. denir. Bi-rasyonel olmak bir bir denklik ilişkisidir. Cebirsel geometrinin en enönemli önemli problemlerinden biri varyetelerin biri varyetelerin bi-rasyonel sınıflandırılmasıdır.

4 f : X Y eğer X in Zariski topolojisindeki açık bir kümede tanımlı f : X biry fonksiyon eğer X in ise Zariski f yetopolojisindeki rasyonel fonksiyon açık birdenir. kümede f Y eğer X in Zariski topolojisindeki açık bir kümesinde Eğer tanımlı ikibir uzay fonksiyon X ve Yisearasında f ye rasyonel tanımlanmış fonksiyon denir. tanımlı bir fonksiyon ise f ye rasyonel fonksiyon denir. Eğer iki uzay X ve Y arasında, tanımlı oldukları yerlerde Eğer iki uzay X ve Y arasında tanımlanmış f : X Y, g : Y X f g = id Y ve g f = id X, iki rasyonel fonksiyon f varsa : X ki tanımlı Y, g oldukları : Y X yerlerde koşullarını sağlayan iki rasyonel fonksiyon iki rasyonel fonksiyon f g varsa = id ki tanımlı oldukları yerlerde Y ve g f = id X, f : X Y, g : Y X Xvarsa ve Y X ye ve Y ye bi-rasyonel f g denir. = denir. id Y ve g f = id X, Bi-rasyonel olmak bir bir denklik ilişkisidir. X Cebirsel ve Y ye geometrinin bi-rasyonel en enönemli denir. önemli problemlerinden biri varyetelerin biri varyetelerin Bi-rasyonel bi-rasyonel sınıflandırılmasıdır. olmak bir denklik ilişkisidir. Cebirsel geometrinin en önemli problemlerinden biri varyetelerin bi-rasyonel sınıflandırılmasıdır.

5 f : X Y eğer X in Zariski topolojisindeki açık bir kümede tanımlı f : X biry fonksiyon eğer X in ise Zariski f yetopolojisindeki rasyonel fonksiyon açık birdenir. kümede Eğer tanımlı ikibir uzay fonksiyon X ve Yisearasında f ye rasyonel tanımlanmış fonksiyon denir. tanımlı Eğer iki bir uzay fonksiyon X ve Y arasında, ise f ye tanımlı rasyonel oldukları fonksiyon yerlerde denir. f Eğer : X iki uzay Y eğer X ve X in Y Zariski arasında topolojisindeki tanımlanmış açık bir kümesinde f : X Y, g : Y X tanımlı bir fonksiyon f g ise= f id ye Y rasyonel ve g fonksiyon f = id X, denir. Eğer iki rasyonel iki uzayfonksiyon X ve Yf arasında varsa : X kitanımlanmış tanımlı Y, g oldukları : Y X koşullarını sağlayan iki rasyonel fonksiyon yerlerde f : X Y eğer X in Zariski topolojisindeki açık bir kümesinde f : g X = id Y, g : Y X f : X Y, ve g : Yg f X= id X, iki rasyonel fonksiyon varsa ki tanımlı oldukları yerlerde iki rasyonel fonksiyon varsa ki tanımlı oldukları yerlerde Xvarsa ve Y X ye ve Y ye bi-rasyonel f g denir. = denir. id Y ve g f = id X, Bi-rasyonel olmak bir f bir denklik g ilişkisidir. = id Y ve g f = id X, X Cebirsel ve Y ye geometrinin bi-rasyonel en enönemli denir. önemli problemlerinden biri varyetelerin biri varyetelerin X Bi-rasyonel bi-rasyonel ve Y ye bi-rasyonel sınıflandırılmasıdır. olmak bir denir. denklik ilişkisidir. Cebirsel geometrinin en önemli problemlerinden biri varyetelerin bi-rasyonel sınıflandırılmasıdır. Cebirsel geometrinin en önemli problemlerinden biri varyetelerin

6 İki bi-rasyonel, izdüşümsel, pürüzsüz eğri izomorfturlar. Cinsi g = 1 olan eğrilerin izomorfizm sınıfları Riemann küresi tarafından parametre edilir. Cinsi g 2 olan eğrilerin izomorfizm sınıfları 3g 3 boyutlu Deligne-Mumford modüli uazyı tarafından parametre edilir.

7 İki bi-rasyonel, izdüşümsel, pürüzsüz eğri izomorfturlar. Cinsi g = 1 olan eğrilerin izomorfizm sınıfları Riemann küresi İki tarafından bi-rasyonel, parametre izdüşümsel, edilir. pürüzsüz eğri izomorfturlar. Cinsi g = 02 olan eğrilerin tek izomorfizm Riemann küresidir. sınıfları 3g 3 boyutlu Cinsi Deligne-Mumford g = 1 olan eğrilerin modüli uazyı izomorfizm tarafından sınıfları parametre Riemann edilir. küresi tarafından parametre edilir. Cinsi g 2 olan eğrilerin izomorfizm sınıfları 3g 3 boyutlu Deligne-Mumford modüli uazyı tarafından parametre edilir.

8 İki bi-rasyonel, izdüşümsel, pürüzsüz eğri izomorfturlar. Cinsi g = 1 olan eğrilerin izomorfizm sınıfları Riemann küresi İki tarafından bi-rasyonel, parametre izdüşümsel, edilir. pürüzsüz eğri izomorfturlar. Cinsi g = 02 olan eğrilerin tek izomorfizm Riemann küresidir. sınıfları 3g 3 boyutlu Cinsi Deligne-Mumford g = 1 olan eğrilerin modüli uazyı izomorfizm tarafından sınıfları parametre Riemann edilir. küresi İki bi-rasyonel, izdüşümsel, pürüzsüz eğri izomorfturlar. tarafından Cinsi g = 1 parametre olan eğrilerin edilir. izomorfizm sınıfları Riemann küresi tarafından parametre edilir. Cinsi g 2 olan eğrilerin izomorfizm sınıfları 3g 3 boyutlu Deligne-Mumford modüli uazyı tarafından parametre edilir. Cinsi g 2 olan eğrilerin izomorfizm sınıfları 3g 3 boyutlu Deligne-Mumford modüli uazyı tarafından parametre edilir.

9 İki bi-rasyonel, izdüşümsel, pürüzsüz eğri izomorfturlar. Cinsi g = 1 olan eğrilerin izomorfizm sınıfları Riemann küresi İki tarafından bi-rasyonel, parametre izdüşümsel, edilir. pürüzsüz eğri izomorfturlar. Cinsi g = 02 olan eğrilerin tek izomorfizm Riemann küresidir. sınıfları 3g 3 boyutlu Cinsi Deligne-Mumford g = 1 olan eğrilerin modüli uazyı izomorfizm tarafından sınıfları parametre Riemann edilir. küresi İki bi-rasyonel, izdüşümsel, pürüzsüz eğri izomorfturlar. tarafından İki bi-rasyonel, Cinsi 1 parametre izdüşümsel, olan eğrilerin edilir. pürüzsüz eğri izomorfturlar. izomorfizm sınıfları Riemann küresi Cinsi g = 0 olan tek eğri Riemann küresidir. tarafından parametre edilir. Cinsi g = 1 olan eğrilerin izomorfizm sınıfları Riemann küresi Cinsi 2 olan eğrilerin izomorfizm sınıfları 3g 3 boyutlu tarafından parametre edilir. Deligne-Mumford modüli uazyı tarafından parametre edilir. Cinsi g 2 olan eğrilerin izomorfizm sınıfları 3g 3 boyutlu Deligne-Mumford modüli uzayı tarafından parametre edilir. Cinsi g 2 olan eğrilerin izomorfizm sınıfları 3g 3 boyutlu Deligne-Mumford modüli uazyı tarafından parametre edilir.

10 P (0,0) C 2 := {((x, y), [u : v]) xv = yu} C 2 P 1 P (0,0) C 2 := {((x, y), [u : v]) xv = yu} C 2 P 1 n (0, 0)daki patlatımı olsun. C 2 in (0, 0)daki patlatımı olsun.

11 P (0,0) C 2 := {((x, y), [u : v]) xv = yu} C 2 P 1 P (0,0) C 2 := {((x, y), [u : v]) xv = yu} C 2 P 1 C 2 P in (0, 0)daki (0,0) C 2 := {((x, y), [u : v]) xv = yu} C patlatımı olsun. 2 P 1 C 2 in (0, 0)daki patlatımı olsun. C 2 ve P (0,0) C 2 bi-rasyoneldirler, fakat izomorf değillerdir. Bir pürüzsüz yüzeydeki öz-kesişimi 1 olan kürelere ayrıcalıklı küreler denir. Castelnuovo nun teoremi pürüzsüz yüzeydeki herhangi bir ayrıcalıklı kürenin büzülebileceğini ve elde edilen yüzeyin pürüzsüz olacağını garanti eder. Bu büzülme işlemi patlatmanın tersidir. n (0, 0)daki patlatımı olsun.

12 P (0,0) C 2 := {((x, y), [u : v]) xv = yu} C 2 P 1 P (0,0) C 2 := {((x, y), [u : v]) xv = yu} C 2 P 1 C 2 P in (0, 0)daki (0,0) C 2 := {((x, y), [u : v]) xv = yu} C patlatımı olsun. 2 P 1 C 2 in (0, P 0)daki (0,0) C 2 patlatımı := {((x, olsun. y), [u : v]) xv = yu} C 2 P 1 C 2 ve P (0,0) C 2 bi-rasyoneldirler, fakat izomorf değillerdir. Bir pürüzsüz yüzeydeki öz-kesişimi 1 olan kürelere ayrıcalıklı küreler denir. Castelnuovo nun teoremi pürüzsüz yüzeydeki herhangi bir ayrıcalıklı kürenin büzülebileceğini ve elde edilen yüzeyin pürüzsüz olacağını garanti eder. Bu büzülme işlemi patlatmanın tersidir. n (0, 0)daki patlatımı olsun. C 2 in (0, 0)daki patlatımı olsun. C 2 ve P (0,0) C 2 bi-rasyoneldir fakat izomorf değillerdir. Bir pürüzsüz yüzeydeki öz-kesişimi 1 olan kürelere ayrıcalıklı küreler denir. Castelnuovo nun teoremi pürüzsüz yüzeydeki herhangi bir ayrıcalıklı kürenin büzülebileceğini ve elde edilen yüzeyin pürüzsüz olacağını garanti eder. Bu büzülme işlemi patlatmanın tersidir.

13 P (0,0) C 2 := {((x, y), [u : v]) xv = yu} C 2 P 1 P (0,0) C 2 := {((x, y), [u : v]) xv = yu} C 2 P 1 C 2 P in (0, 0)daki (0,0) C 2 := {((x, y), [u : v]) xv = yu} C patlatımı olsun. 2 P 1 C 2 in (0, P 0)daki (0,0) C 2 patlatımı := {((x, olsun. y), [u : v]) xv = yu} C 2 P 1 C 2 2 ve P in (0, 0)daki (0,0) C 2 bi-rasyoneldirler, := {((x, y), [u : v]) fakat xv izomorf = yu} değillerdir. C patlatımı olsun. 2 P 1 Bir pürüzsüz yüzeydeki ve P (0,0) C 2 öz-kesişimi 1 olan kürelere ayrıcalıklı C bi-rasyoneldir fakat izomorf değillerdir. küreler 2 in (0, 0)daki patlatımı olsun. denir. CBir Castelnuovo nun 2 ve pürüzsüz P (0,0) C 2 yüzeydeki bi-rasyoneldirler, teoremi öz-kesişimi fakat pürüzsüz yüzeydeki 1 izomorf olandeğillerdir. herhangi kürelere ayrıcalıklı bir ayrıcalıklı Bir küreler pürüzsüz kürenindenir. yüzeydeki öz-kesişimi 1 olan kürelere ayrıcalıklı büzülebileceğini ve elde edilen yüzeyin pürüzsüz olacağını küreler denir. garanti eder. Bu büzülme işlemi patlatmanın tersidir. Castelnuovo nun teoremi pürüzsüz yüzeydeki herhangi bir ayrıcalıklı kürenin büzülebileceğini ve elde edilen yüzeyin pürüzsüz olacağını garanti eder. Bu büzülme işlemi patlatmanın tersidir. doğrular. Bu büzülme işlemi patlatmanın tersidir. n (0, 0)daki patlatımı olsun. Castelnuovo nun teoremi pürüzsüz yüzeydeki herhangi bir ayrıcalıklı kürenin büzülebileceğini ve elde edilen yüzeyin pürüzsüz olacağını

14 Castelnuovo nun teoremi, her yüzeyin bi-rasyonel denklik sınıfının en basit üyesini seçmemizi sağlar. Eğer yüzeyde ayrıcalıklı bir küre varsa, bu küreyi büzer ve daha basit bir yüzey elde ederiz. Bu işlem yüzeyin Picard sayısını azalttığı için, sonlu sayıda ayrıcalıklı küre büzüldükten sonra yüzeyde ayrıcalıklı küre kalmaz.

15 Castelnuovo nun teoremi, her yüzeyin bi-rasyonel denklik sınıfının en Castelnuovo nun basit üyesini teoremi, seçmemizi her yüzeyin sağlar. Eğer bi-rasyonel yüzeyde denklik ayrıcalıklı sınıfının bir küre en basit varsa, üyesini bu küreyi seçmemizi büzer ve sağlar. daha Eğer basit yüzeyde bir yüzey ayrıcalıklı elde ederiz. bir Bu işlem küre varsa, yüzeyin bu Picard küreyi sayısını büzer ve azalttığı daha basit için, bir sonlu yüzey sayıda elde ederiz. ayrıcalıklı Bu işlem yüzeyin Picard sayısını azalttığı için, sonlu sayıda ayrıcalıklı küre büzüldükten sonra yüzeyde ayrıcalıklı küre kalmaz. küre büzüldükten sonra yüzeyde ayrıcalıklı küre kalmaz. Üzerinde ayrıcalıklı küre olmayan yüzeylere minimal yüzeyler denir.

16 Castelnuovo nun teoremi, her yüzeyin bi-rasyonel denklik sınıfının en Castelnuovo nun basit üyesini teoremi, seçmemizi her yüzeyin sağlar. Eğer bi-rasyonel yüzeyde denklik ayrıcalıklı sınıfının bir küre en Castelnuovo nun basit varsa, üyesini teoremi, bu küreyi seçmemizi her büzer ve sağlar. yüzeyin daha Eğer bi-rasyonel basit yüzeyde denklik bir yüzey ayrıcalıklı sınıfının elde ederiz. bir Bu işlem küre en basit varsa, üyesini yüzeyin bu Picard küreyi seçmemizi sayısını büzer ve sağlar. azalttığı daha Eğer basityüzeyde için, bir sonlu yüzey ayrıcalıklı sayıda elde ederiz. bir ayrıcalıklı Bu işlem küre varsa, yüzeyin bupicard küreyi sayısını büzer veazalttığı daha basit için, bir sonlu yüzey sayıda elde ederiz. ayrıcalıklı Bu küre büzüldükten sonra yüzeyde ayrıcalıklı küre kalmaz. küre işlembüzüldükten yüzeyin Picard sonra sayısını yüzeyde azalttığı ayrıcalıklı için, sonlu küresayıda kalmaz. ayrıcalıklı küre büzüldükten sonra yüzeyde ayrıcalıklı küre kalmaz. Üzerinde ayrıcalıklı küre olmayan yüzeylere minimal yüzeyler denir. Üzerinde ayrıcalıklı küre olmayan yüzeylere minimal yüzeyler denir. Minimal Model veya Mori Programı yüzeyler için olan bu teoriyi çok boyutlu varyetelere genellemeyi amaçlar.

17 Castelnuovo nun teoremi, her yüzeyin bi-rasyonel denklik sınıfının en Castelnuovo nun basit üyesini teoremi, seçmemizi her yüzeyin sağlar. Eğer bi-rasyonel yüzeyde denklik ayrıcalıklı sınıfının bir küre en Castelnuovo nun basit varsa, üyesini teoremi, bu küreyi seçmemizi her büzer ve sağlar. yüzeyin daha Eğer bi-rasyonel basit yüzeyde denklik bir yüzey ayrıcalıklı sınıfının elde ederiz. bir Bu işlem küre en Castelnuovo nun basit varsa, üyesini yüzeyin bu Picard küreyi teoremi, seçmemizi sayısını büzerher ve sağlar. yüzeyin azalttığı daha Eğer basit bi-rasyonel yüzeyde için, bir sonlu yüzey ayrıcalıklı denklik sayıda elde ederiz. sınıfının bir ayrıcalıklı Bu işlem küre en basit varsa, yüzeyin üyesini bupicard küreyi seçmemizi sayısını büzer veazalttığı sağlar. daha basit Eğer için, bir yüzeyde sonlu sayıda elde ayrıcalıklı ederiz. ayrıcalıklı bir Bu küre büzüldükten sonra yüzeyde ayrıcalıklı küre kalmaz. işlem küre büzüldükten varsa, yüzeyinbupicard küreyi sonra sayısını büzer yüzeyde ve azalttığı daha ayrıcalıklı basit için, sonlu bir küre yüzey sayıda kalmaz. elde ayrıcalıklı ederiz. Bu küre işlembüzüldükten yüzeyin Picard sonra sayısını yüzeyde azalttığı ayrıcalıklı için, küre sonlukalmaz. sayıda ayrıcalıklı Üzerinde ayrıcalıklı küre olmayan yüzeylere minimal yüzeyler denir. Üzerinde küre büzüldükten ayrıcalıklı sonra küre olmayan yüzeyde yüzeylere ayrıcalıklı minimal küre kalmaz. yüzeyler denir. Minimal Üzerinde Model ayrıcalıklı veya küre Mori olmayan Programı yüzeylere yüzeyler minimal için olan yüzeyler bu teoriyi denir. çok Minimal boyutlu Model varyetelere veya Mori genellemeyi Programı amaçlar. yüzeyler için olan bu teoriyi çok boyutlu varyetelere genellemeyi amaçlar. Y n-boyutlu pürüzsüz (veya daha genel olarak normal ve Gorenstein) bir varyete olsun. Y nin kanonik doğru demeti K Y = n T Y olarak tanımlanır.

18 Kanonik halka R(Y )= m 0 H 0 (Y, mk Y ) şeklinde tanımlanır. Son yılların en önemli teoremlerinden biri bu halkanın sonlu üretildiğini söyler. Theorem (Brikar, Cascini, Hacon, McKernan) R(Y ) sonlu üretilmiş bir halkadır.

19 Kanonik halka Kanonik halka R(Y )= H 0 (Y, mk Y ) R(Y )= H 0 (Y, mk m 0 Y ) m 0 şeklinde tanımlanır. şeklinde tanımlanır. Son yılların en önemli teoremlerinden biri bu halkanın sonlu Son yılların en önemli teoremlerinden biri bu halkanın sonlu üretildiğini söyler. üretildiğini söyler. Theorem (Brikar, Cascini, Hacon, McKernan) Theorem (Brikar, Cascini, Hacon, McKernan) R(Y ) sonlu üretilmiş bir halkadır. R(Y ) sonlu üretilmiş bir halkadır.

20 Kanonik halka Kanonik halka Kanonik halka R(Y )= H 0 (Y, mk Y ) R(Y )= H 0 (Y, mk m 0 Y ) m 0 R(Y )= m 0 H 0 (Y, mk Y ) şeklinde tanımlanır. şeklinde tanımlanır. Son yılların en önemli teoremlerinden biri bu halkanın sonlu Son şeklinde yılların tanımlanır. en önemli teoremlerinden biri bu halkanın sonlu üretildiğini söyler. üretildiğini Son yılların en söyler. önemli teoremlerinden biri bu halkanın sonlu üretildiğini söyler. Theorem (Brikar, Cascini, Hacon, McKernan) Theorem (Brikar, Cascini, Hacon, McKernan) R(Y Theorem ) sonlu (Birkar, üretilmiş Cascini, bir Hacon, halkadır. McKernan) R(Y ) sonlu üretilmiş bir halkadır. R(Y ) sonlu üretilmiş bir halkadır.

21 Kanonik halka Kanonik halka Kanonik halka Kanonik halka R(Y )= H 0 (Y, mk Y ) R(Y )= H 0 (Y, mk m 0 Y ) m 0 R(Y )= 0 (Y, mk Y ) R(Y )= H 0 (Y, mk Y ) m 0 m 0 şeklinde tanımlanır. şeklinde tanımlanır. Son yılların en önemli teoremlerinden biri bu halkanın sonlu Son şeklinde yılların tanımlanır. en önemli teoremlerinden biri bu halkanın sonlu üretildiğini şeklinde tanımlanır. söyler. üretildiğini Son yılların en söyler. önemli teoremlerinden biri bu halkanın sonlu Son yılların en önemli teoremlerinden biri bu halkanın sonlu üretildiğini söyler. Theorem üretildiğini(brikar, söyler. Cascini, Hacon, McKernan) Theorem (Brikar, Cascini, Hacon, McKernan) R(Y Theorem ) sonlu (Birkar, üretilmiş Cascini, bir Hacon, halkadır. McKernan) Theorem (Birkar, Cascini, Hacon, McKernan) R(Y ) sonlu üretilmiş bir halkadır. R(Y sonlu üretilmiş bir halkadır. R(Y ) sonlu üretilmiş bir halkadır. Eğer Y nin Kodaira boyutu n ise, kanonik model Proj(R(Y )) Y nin bi-rasyonel denklik sınıfındaki kanonik bir temsilcisidir.

22 L doğru demetinin hiçbir eğri ile kesişimi negatif değilse, L ye NEF denir. Eğer Y nin kanonik doğru demeti NEF ise Y ye minimal model denir. Minimal Model Programının amacı herhangi bir varyetenin bir minimal modelini bulmaktır.

23 L doğru demetinin hiçbir eğri ile kesişimi negatif değilse, L ye NEF denir. Eğer Y bir nin doğrular kanonikdemeti doğru L nin demeti hiçbir NEFeğri ise Y ile yekesişimi minimal negatif model denir. değilse, L ye NEF denir. Minimal Eğer Y nin Model kanonik Programının doğru demeti amacı herhangi NEF ise bir Y ye varyetenin minimalbir model minimal denir. modelini bulmaktır. Minimal Model Programının amacı herhangi bir varyetenin bir minimal modelini bulmaktır.

24 L doğru demetinin hiçbir eğri ile kesişimi negatif değilse, L ye NEF denir. Eğer Y bir nin doğrular kanonikdemeti doğru L nin demeti hiçbir NEFeğri ise Y ile yekesişimi minimal negatif model denir. Eğer değilse, bir L ye doğrular NEF demeti denir. L nin hiçbir eğri ile kesişimi negatif Minimal değilse, Eğer Y nin L ye Model kanonik NEF Programının denir. doğru demeti amacı herhangi NEF ise bir Y ye varyetenin minimalbir model minimal denir. Eğer Y nin modelini kanonik bulmaktır. doğru demeti NEF ise Y ye minimal model Minimal Model Programının amacı herhangi bir varyetenin bir denir. minimal modelini bulmaktır. Minimal Model Programının amacı herhangi bir varyetenin bir minimal modelini bulmaktır.

25 L doğru demetinin hiçbir eğri ile kesişimi negatif değilse, L ye NEF denir. Eğer Y bir nin doğrular kanonikdemeti doğru L nin demeti hiçbir NEFeğri ise Y ile yekesişimi minimal negatif model denir. Eğer değilse, bir L ye doğrular NEF demeti denir. L nin hiçbir eğri ile kesişimi negatif Minimal değilse, Eğer Y nin L ye Model kanonik NEF Programının denir. doğru demeti amacı herhangi NEF ise bir Y ye varyetenin minimalbir model minimal denir. EğerY bir nin modelini doğrular kanonik bulmaktır. demeti doğrul nin demeti hiçbir NEFeğri iseile Y ye kesişimi minimal negatif model Minimal Model Programının amacı herhangi bir varyetenin bir denir. değilse, L ye NEF denir. minimal modelini bulmaktır. Minimal Eğer Y nin Model kanonik Programının doğru demeti amacınef herhangi ise Y bir ye varyetenin minimal model bir minimal denir. modelini bulmaktır. Minimal Model Programının amacı herhangi bir varyetenin bir minimal modelini bulmaktır. Kollár, Mori, Reid ve Shokourov un Koni teoremi, K Y ile kesişimi negatif olan aşıt rasyonel eğrilerin büzülebileceğini garanti eder.

26 Elde edilen morfizm f : X Y için üç ihtimal vardır. 1 dim(y ) < dim(x ). 2 dim(y ) = dim(x ) ve f bölensel bir büzülmedir. 3 dim(y ) = dim(x ) ve f küçük bir büzülmedir.

27 Elde edilen morfizm f : X Y için üç ihtimal vardır. 1 dim(y ) < dim(x ). Elde edilen morfizm f : Y X için üç olasılık vardır. 2 dim(y ) = dim(x ) ve f bölensel bir büzülmedir. 1 dim(x ) < dim(y ). 3 dim(y ) = dim(x ) ve f küçük bir büzülmedir. 2 dim(x ) = dim(y ) ve f bölensel bir büzülmedir. 3 dim(x ) = dim(y ) ve f küçük bir büzülmedir. 3. olasılıkta program X e uygulanamaz. Y flipi Y + ile değiştirilir ve program Y + ya uygulanır. Y Y + f f + X

28 Elde edilen morfizm f : X Y için üç ihtimal vardır. 1 dim(y ) < dim(x ). Elde edilen morfizm f : Y X için üç olasılık vardır. 2 dim(y ) = dim(x ) ve f bölensel bir büzülmedir. 1 dim(x ) < dim(y ). 3 dim(y ) = dim(x ) ve f küçük bir büzülmedir. 2 dim(x 1 dim(y ) = dim(y ) < ) dim(x ve f bölensel ). bir büzülmedir. Elde edilen morfizm f : X Y için üç ihtimal vardır. 3 dim(x ) = dim(y ) ve f küçük bir büzülmedir. 2 dim(y ) = dim(x ) ve f bölensel bir büzülmedir. 3. olasılıkta program X e uygulanamaz. Y flipi Y 3 dim(y ) = dim(x ) ve f küçük bir + ile değiştirilir büzülmedir. ve program Y + ya uygulanır. Y Y + f f + X X X + f f + Y

29 Minimal model programını moduli uzaylarına uygulamak önemli bir problemdir. Programın Kontsevich uzaylarına uygulamasını burada örnekleri ile görelim.

30 Minimal model programını moduli uzaylarına uygulamak önemli bir problemdir. Programın Kontsevich uzaylarına uygulamasını burada örnekleri ile görelim. Minimal model programını moduli uzaylarına uygulamak önemli bir problemdir. Programın Kontsevich uzaylarına uygulamasını burada örnekleri ile görelim.

31 M 0,0 (P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel eğrileri parametre eden Kontsevich uzayı olsun.

32 M 0,0 (P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel eğrileri parametre eden Kontsevich uzayı olsun. f

33 M 0,0 (P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel eğrileri parametre eden Kontsevich uzayı olsun. f M 0,0 (P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel eğrileri parametre eden Kontsevich uzayı olsun. Kontsevich uzayları, rasyonel eğrilerin geometrisinde ve kuantum kohomolojisi teorisinde çok önemli bir rol oynar. Kontsevich uzaylarında doğal olarak tanımlı bazı bölenler vardır. P r 1 i H T D deg NL

34

35 Kontsevich uzayları rasyonel eğrilerin geometrisini anlamada ve kuantum kohomolojisi teorisinde çok önemli bir rol oynar. M 0,0 (P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyon eğrileri parametre eden Kontsevich uzayı olsun. Kontsevich uzayları eğrileri rasyonel parametre eğrilerin geometrisini eden anlamada Ko kuantum kohomolojisi teorisinde çok önemli bir rol oynar. Kontsevich uzaylarında doğal olarak tanımlı bazı bölenler var Kontsevich uzaylarında doğal olarak tanımlı bazı bölenler vardır. P r 2 M 0,0 (P r, d) r-boyutlu izdu Kontsevich uzayları rasyon i kuantum kohomolojisi teor Kontsevich d-i uzaylarında do H P r 2 i

36 Kontsevich uzayları rasyonel eğrilerin geometrisini anlamada ve kuantum kohomolojisi teorisinde çok önemli bir rol oynar. M 0,0 (P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyon eğrileri parametre eden Kontsevich uzayı olsun. Kontsevich uzayları eğrileri rasyonel parametre eğrilerin geometrisini eden anlamada Ko kuantum kohomolojisi teorisinde çok önemli bir rol oynar. Kontsevich uzaylarında doğal olarak tanımlı bazı bölenler var Kontsevich uzaylarında doğal olarak tanımlı bazı bölenler vardır. P r 2 M 0,0 (P r, d) r-boyutlu izdu Kontsevich uzayları rasyon i kuantum kohomolojisi teor Kontsevich d-i uzaylarında do H P r 2 i Theorem (Pandharipande) İzzet H ve 1,..., d/2 bölenleri M 0,0 (P r Coşkun, d) nin Neron-Severi uzayının bir tabanını oluşturur.

37 Kontsevich eğrileriuzayları parametre rasyonel eden eğrilerin Kontsevich geometrisini uzaya kuantum kohomolojisi teorisinde çok önemli bir rol Kontsevich uzayları rasyonel eğrilerin ge Kontsevich uzaylarında doğal olarak tanımlı bazı bö P r 1 i H T D deg NL kuantum kohomolojisi teorisinde çok öne Kontsevich uzaylarında doğal olarak tan M T P r 2 0,0 (P r, d) r-boyutlu izdüşümsel i H uzaydaki T D deg d-dereceli NL rasyonel M eğrileri 0,0 (P parametre r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel eden Kontsevich uzayı olsun. eğrileri parametre eden Kontsevich uzayı olsun. Kontsevich uzayları rasyonel eğrilerin geometrisini anlamada ve Kontsevich uzayları rasyonel eğrilerin geometrisini anlamada ve kuantum kuantumkohomolojisi kohomolojisiteorisinde çok çokönemli bir bir rol rol oynar. oynar. Kontsevich Kontsevich uzaylarında doğal olarak tanımlı bazı bazı bölenler bölenler vardır. vardır. P r 1 i H T D deg NL P r 1 i H T D deg NL v : M 0,0 (P r, d) M 0,d /S d v : M 0,0 (P r, d) M 0,d /S d Grassmann Uzaylarının Geo v : Pic(M 0,d /S d ) Pic(M 0,0 (P r, d)) Grassma

38 H ve 1,..., d/2 bölenleri M 0,0 (P r, d) nin Neron-Severi uzayının bir tabanını oluşturur. Theorem (-, Harris, Starr) Eğer r d ise, M 0,0 (P r, d) nin efektif konisi D deg ve 1,..., d/2 bölenleri tarafından üretilir.

39 H ve 1,..., d/2 bölenleri M 0,0 (P r, d) nin Neron-Severi Theorem (Pandharipande) uzayının bir tabanını oluşturur. H ve 1,..., d/2 bölenleri M 0,0 (P r, d) nin Neron-Severi uzayının bir tabanını oluşturur. Theorem (-, Harris, Starr) Eğer Theorem r d(-, ise, Harris, M 0,0 Starr) (P r, d) nin efektif konisi D deg ve 1,..., d/2 bölenleri tarafından üretilir. Eğer r d ise, M 0,0 (P r, d) nin efektif konisi D deg ve 1,..., d/2 bölenleri tarafından üretilir. Theorem (-, Harris, Starr) D nin M 0,0 (P r, d) de D = at + bh + v(d 1 ) şeklinde yazılmış bir bölen olduğunu varsayalım. D yalnız ve yalnız a, b 0 ve D 1 NEF ise NEFtir.

40 -boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel etre eden Kontsevich uzayı olsun. M 0,0 (P 2, 2) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması 0,0(P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel M ğrileri parametre 0,0 (P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel eden Kontsevich uzayı olsun. ayları ontsevich eğrileri rasyonel uzayları parametre eğrilerin rasyonel eden geometrisini eğrilerin Kontsevich geometrisini anlamada uzayı olsun. anlamada ve ve uantum Kontsevich kohomolojisi uzayları teorisinde rasyonel çok eğrilerin önemli geometrisini bir rol oynar. anlamada ve aylarında ontsevich kuantum doğal uzaylarında kohomolojisi olarakdoğal tanımlı teorisinde olarak bazı tanımlı çok bölenler önemli bazıvardır. bölenler bir rol vardır. oynar. r 2 D Kontsevich i H T D uzaylarında deg NL doğal olarak tanımlı bazı bölenler vardır. m deg NL Pkohomolojisi r 2 teorisinde çok önemli bir rol oynar. i H T D deg NL P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel omolojisi i parametre teorisinde edençokkontsevich önemli bir rol uzayı oynar. olsun. M 0,0 (P 3, 3) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması evich uzayları rasyonel eğrilerin geometrisini anlamada ve evich uzaylarında doğal olarak tanımlı bazı bölenler vardır. i H T D deg NL İzzet

41 -boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel etre eden Kontsevich uzayı olsun. M 0,0 (P 2, 2) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması 0,0(P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel M ğrileri parametre 0,0 (P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel eden Kontsevich uzayı olsun. ayları ontsevich eğrileri rasyonel uzayları parametre eğrilerin rasyonel eden geometrisini eğrilerin Kontsevich geometrisini anlamada uzayı olsun. anlamada ve ve uantum Kontsevich kohomolojisi uzayları teorisinde rasyonel çok eğrilerin önemli geometrisini bir rol oynar. anlamada ve aylarında ontsevich kuantum doğal uzaylarında kohomolojisi olarakdoğal tanımlı teorisinde olarak bazı tanımlı çok bölenler önemli bazıvardır. bölenler bir rol vardır. oynar. r 2 D Kontsevich i H T D uzaylarında deg NL doğal olarak tanımlı bazı bölenler vardır. m deg NL Pkohomolojisi r 2 teorisinde çok önemli bir rol oynar. i H T D deg NL P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel omolojisi i parametre teorisinde edençokkontsevich önemli bir rol uzayı oynar. olsun. M 0,0 (P 3, 3) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması evich uzayları rasyonel eğrilerin geometrisini anlamada ve evich uzaylarında doğal olarak tanımlı bazı bölenler vardır. i H T D deg NL M 0,0 (P 2, 2) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması M 0,0 (P 3, 3) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması Eğer D (H, T ) ise, R(D) =Proj( m 0 H0 (md)) modeli Kontsevich uzayıdır. f H : M 0,0 (P 2, 2) P 5 bölensel bir büzülmedir. İzzet f T : M 0,0 (P 2, 2) (P 5 ) bölensel bir büzülmedir.

42 -boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel etre eden Kontsevich uzayı olsun. M 0,0 (P 2, 2) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması 0,0(P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel M ğrileri parametre 0,0 (P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel eden Kontsevich uzayı olsun. ayları ontsevich eğrileri rasyonel uzayları parametre eğrilerin rasyonel eden geometrisini eğrilerin Kontsevich geometrisini anlamada uzayı olsun. anlamada ve ve uantum Kontsevich kohomolojisi uzayları teorisinde rasyonel çok eğrilerin önemli geometrisini bir rol oynar. anlamada ve aylarında ontsevich kuantum doğal uzaylarında kohomolojisi olarakdoğal tanımlı teorisinde olarak bazı tanımlı çok bölenler önemli bazıvardır. bölenler bir rol vardır. oynar. r 2 D Kontsevich i H T D uzaylarında deg NL doğal olarak tanımlı bazı bölenler vardır. m deg NL Pkohomolojisi r 2 teorisinde çok önemli bir rol oynar. i H T D deg NL P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel omolojisi i parametre teorisinde edençokkontsevich önemli bir rol uzayı oynar. olsun. M 0,0 (P 3, 3) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması evich uzayları rasyonel eğrilerin geometrisini anlamada ve evich uzaylarında doğal olarak tanımlı bazı bölenler vardır. i H T D deg NL M 0,0 (P 2, 2) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması M 0,0 (P 2, 2) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması M 0,0 (P 3, 3) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması Eğer (H, T ) ise, R(D) =Proj( m 0 H0 (md)) modeli Eğer D (H, T ) ise, R(D) =Proj( Kontsevich uzayıdır. m 0 H0 (md)) modeli Kontsevich f H : 0,0 (P 2 uzayıdır., 2) P 5 bölensel bir büzülmedir. f H İzzet T : : M 0,0 0,0 (P (P 2, 2 2), 2) (P P 5 ) 5 bölensel bölensel bir bir büzülmedir. büzülmedir. M 0,0 (P 3, 3) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması f T : M 0,0 (P 2, 2) (P 5 ) bölensel bir büzülmedir.

43 -boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel etre eden Kontsevich uzayı olsun. M 0,0 (P 2, 2) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması 0,0(P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel M ğrileri parametre 0,0 (P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel eden Kontsevich uzayı olsun. ayları ontsevich eğrileri rasyonel uzayları parametre eğrilerin rasyonel eden geometrisini eğrilerin Kontsevich geometrisini anlamada uzayı olsun. anlamada ve ve uantum Kontsevich kohomolojisi uzayları teorisinde rasyonel çok eğrilerin önemli geometrisini bir rol oynar. anlamada ve aylarında ontsevich kuantum doğal uzaylarında kohomolojisi olarakdoğal tanımlı teorisinde olarak bazı tanımlı çok bölenler önemli bazıvardır. bölenler bir rol vardır. oynar. r 2 D Kontsevich i H T D uzaylarında deg NL doğal olarak tanımlı bazı bölenler vardır. m deg NL Pkohomolojisi r 2 teorisinde çok önemli bir rol oynar. i H T D deg NL P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel omolojisi i parametre teorisinde edençokkontsevich önemli bir rol uzayı oynar. olsun. M 0,0 (P 3, 3) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması evich uzayları rasyonel eğrilerin geometrisini anlamada ve evich uzaylarında doğal olarak tanımlı bazı bölenler vardır. i H T D deg NL M 0,0 (P 2, 2) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması M 0,0 (P 2, 2) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması M 0,0 (P 2, 2) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması M 0,0 (P 3, 3) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması Eğer (H, T ) ise, R(D) =Proj( m 0 H0 (md)) modeli Eğer M D (H, T ) ise, R(D) =Proj( 0,0 (P 3, 3) nin efektif konisinin taban yerine Kontsevich uzayıdır. m 0 H0 göre (md)) odalara modeli ayrılması Kontsevich Eğer D (H, f H : 0,0 (P 2 uzayıdır. T ) ise, R(D) =Proj(, 2) P 5 m 0 bölensel bir büzülmedir. H0 (md)) modeli fkontsevich H İzzet T : : M 0,0 0,0 (P (P 2 uzayıdır., 2 2), 2) (P P ) 5 bölensel bölensel bir bir büzülmedir. büzülmedir. f H : T M 0,0 (P 0,0 (P 2,, 2) 2) P(P 5 5 bölensel ) bölensel bir büzülmedir. bir büzülmedir. f T : M 0,0 (P 2, 2) (P 5 ) bölensel bir büzülmedir. M 0,0 (P 3, 3) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması

Grassmann Uzaylarının Geometrisi

Grassmann Uzaylarının Geometrisi Grassmann Uzaylarının Geometrisi İzzet Coşkun University of Illinois at Chicago 5 Ağustos, 2010 V nin n-boyutlu bir vektörler uzayı olduğunu varsayalım. V nin n-boyutlu bir vektörler uzayı olduğunu varsayalım.

Detaylı

12.Konu Rasyonel sayılar

12.Konu Rasyonel sayılar 12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

Ders 10: Düzlemde cebirsel eğriler

Ders 10: Düzlemde cebirsel eğriler Ders 10: Düzlemde cebirsel eğriler İzdüşümsel geometride bir doğruyu derecesi 1 olan homojen bir polinomun sıfırları kümesi olarak tarif ettik. Bir kuadrik, derecesi 2 olan homojen bir polinomla anlatılıyordu

Detaylı

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0

Detaylı

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Geçen ders RP 2 de tekil olmayan her koniğin bir dönüşümün ardından tek bir koniğe dönüştüğü sonucuna vardık; o da {[x : y : z x 2 + y 2 z 2 = 0]} idi. Bu derste bu

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir. SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan

Detaylı

x 2i + A)( 1 yj 2 + B) u (v + B), y 1

x 2i + A)( 1 yj 2 + B) u (v + B), y 1 Ders 11: Örnekler 11.1 Kulplarla inşalar Bu bölümde kulpları birbirine yapıştırıp tanıdık manifoldlar elde edeceğiz. Artık bu son ders. Özellikle dersin ikinci bölümünde son meyveleri toplamak adına koşarak

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

Salim. Yüce LİNEER CEBİR

Salim. Yüce LİNEER CEBİR Prof. Dr. Salim Yüce LİNEER CEBİR Prof. Dr. Salim Yüce LİNEER CEBİR ISBN 978-605-318-030-2 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. 2015, Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

Kafes Yapıları. Hatırlatma

Kafes Yapıları. Hatırlatma Kafes Yapıları Ders 7 8-1 Hatırlatma Daha önce anlatılan sıra bağıntısını hatırlayalım. A kümesinde bir R bağıntsı verilmiş olsun. R bağıntısı; a. Yansıma (Tüm a A için, sadece ve sadece ara ise yansıyandır(reflexive)).

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

DERS BİLGİ FORMU. Zorunlu Ders X. Haftalık Ders Saati Okul Eğitimi Süresi

DERS BİLGİ FORMU. Zorunlu Ders X. Haftalık Ders Saati Okul Eğitimi Süresi DERSİN ADI MATEMATİK 1 BÖLÜM PROGRAM DÖNEMİ DERSİN DİLİ DERS KATEGORİSİ ÖN ŞARTLAR SÜRE VE DAĞILIMI KREDİ DERSİN AMACI ÖĞRENME ÇIKTILARI VE YETERLİKLER DERSİN İÇERİĞİ VE DAĞILIMI (MODÜLLER VE HAFTALARA

Detaylı

E.Ö.Y TEKİRDAĞ S.B LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI Alt Öğrenme Alanı

E.Ö.Y TEKİRDAĞ S.B LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI Alt Öğrenme Alanı A ELÜL 9 Eylül Eylül Eylül 0 Eylül 0-07 E.Ö. TEKİRDAĞ S.B LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK İ ILLIK PLANI Temel Kavramlar Temel Kavramlar Temel Kavramlar Temel Kavramlar. Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri

Detaylı

DEVREK ANADOLU LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI Alt Öğrenme Alanı

DEVREK ANADOLU LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI Alt Öğrenme Alanı ELÜL TRİH/SÜRE HFT Eylül 0Eylül Eylül 7 Eylül STİ LNI 0-0 DEVREK NDOLU LİSESİ 9. SINIF MTEMTİK İ ILLIK PLNI lt de Temel Kavramlar de Temel Kavramlar de Temel Kavramlar de Temel Kavramlar de de de de. Küme

Detaylı

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept.

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. Dijital Devre Tasarımı EEE122 A Ref. Morris MANO & Michael D. CILETTI DIGITAL DESIGN 4 th edition Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. 2. BÖLÜM Boole Cebri ve Mantık

Detaylı

BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME TEZİ E 3-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HELİSLER VE UYGULAMALARI.

BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME TEZİ E 3-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HELİSLER VE UYGULAMALARI. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME TEZİ E -BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HELİSLER VE UYGULAMALARI Hasibe ŞENOL 16104210046 Danışman: Yrd. Doç. Dr. Murat BABAARSLAN YOZGAT 201 ÖZET

Detaylı

Darboux Ani Dönme Vektörleri ile. SPACELIKE ve TIMELIKE YÜZEYLER GEOMETRİSİ. Celal Bayar Üniversitesi Yayınları Yayın No: 0006

Darboux Ani Dönme Vektörleri ile. SPACELIKE ve TIMELIKE YÜZEYLER GEOMETRİSİ. Celal Bayar Üniversitesi Yayınları Yayın No: 0006 Darboux Ani Dönme Vektörleri ile SPACELIKE ve TIMELIKE YÜZEYLER GEOMETRİSİ Prof. Dr. H. Hüseyin UĞURLU Prof. Dr. Ali ÇALIŞKAN Celal Bayar Üniversitesi Yayınları Yayın No: 0006 0 Celal Bayar Üniversitesi

Detaylı

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Đşlem ĐŞLEM A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona ikili işlem denir. Örneğin toplama, çıkarma, çarpma birer işlemdir. Đşlemler

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 1.AŞAMA KONU KAPSAMI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 1.AŞAMA KONU KAPSAMI ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 1.AŞAMA KONU KAPSAMI 6. SINIF 5. SINIF TÜM KONULARI 1.ÜNİTE: Geometrik Şekiller 1) Verileri Düzenleme, Çokgenler ve Süsleme 2) Dörtgenler 3)

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ DERSLERİN KODU, ADI, TEORİK SAATİ, UYGULAMA SAATİ, KREDİSİ VE DERS İÇERİĞİ

İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ DERSLERİN KODU, ADI, TEORİK SAATİ, UYGULAMA SAATİ, KREDİSİ VE DERS İÇERİĞİ İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ DERSLERİN KODU, ADI, TEORİK SAATİ, UYGULAMA SAATİ, KREDİSİ VE DERS İÇERİĞİ DERSLER T P K DERSLER T P K 1.Sınıf Güz Dönemi 1.Sınıf Bahar Dönemi

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

HİTİT ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ DERS TANIMLARI

HİTİT ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ DERS TANIMLARI HİTİT ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ DERS TANIMLARI ZORUNLU DERSLER Matematiğin Temelleri (3-0) 3: Sembolik Mantık; Kümeler Kuramı; Kartezyen Çarpım; Bağıntılar; Fonksiyonlar; Birebir ve Örten Fonksiyonlar;

Detaylı

4. Çok büyük ve çok küçük pozitif sayıları bilimsel gösterimle ifade eder.

4. Çok büyük ve çok küçük pozitif sayıları bilimsel gösterimle ifade eder. LENDİRME ŞEMASI ÜNİTE Üslü 1. Bir tam sayının negatif kuvvetini belirler ve rasyonel sayı olarak ifade eder.. Ondalık kesirlerin veya rasyonel sayıların kendileriyle tekrarlı çarpımını üslü sayı olarak

Detaylı

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9 OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 015 01 1 Eylül 18 Eylül Kümelerde Temel Kavramlar 1. Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri ifade etmek için farklı gösterimler.

Detaylı

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ ALT ÖĞRENME. Örüntü ve Süslemeler

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ ALT ÖĞRENME. Örüntü ve Süslemeler 2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE ÖĞRENME Ay Hafta D.Saati ALANI EYLÜL 2 Geometri 2 3 Geometri 2 Geometri 2 Olasılıkve ALT

Detaylı

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR 9. SINIF Geometri Amaç-1: Nokta, Doğru, Düzlem, Işın ve Uzayı Kavrayabilme. 1. Nokta, doğru, düzlem ve uzay kavramlarım açıklama. 2. Farklı iki noktadan geçen doğru sayışım söyleme

Detaylı

Yüksek Lisans Cebir (in Turkish) Başlık: Grup Teorisi I Seviye: - İçerik: Gruplar, bölüm grupları, temel izomorfizma teoremleri, alterne, simetrik ve dihedral gruplar, direkt çarpımlar, otomorfizma grupları

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-II ÇERÇEVE PROGRAMI. :Kesikkapı Mah. Atatürk Cad. No 79 Fethiye /MUĞLA

ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-II ÇERÇEVE PROGRAMI. :Kesikkapı Mah. Atatürk Cad. No 79 Fethiye /MUĞLA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-II ÇERÇEVE PROGRAMI 1.KURUMUN ADI 2.KURUMUN ADRESİ 3.KURUCUNUN ADI :Tercih Özel Öğretim Kursu :Kesikkapı Mah. Atatürk Cad. No 79 Fethiye /MUĞLA : ARTI ÖZEL EĞİTİM ÖĞRETİM Danışmanlık

Detaylı

ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK PROGRAMI YETERLİLİKLERE DAYALI ÖĞRENİM ÇIKTILARI

ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK PROGRAMI YETERLİLİKLERE DAYALI ÖĞRENİM ÇIKTILARI ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK PROGRAMI YETERLİLİKLERE DAYALI ÖĞRENİM ÇIKTILARI PROGRAMIN GENEL TANIMI MATEMATİK TEMEL ALANI MATEMATİK ALANI GENEL TANIMI MİSYON VE VİZYON Matematik, bireyin

Detaylı

Diferansiyel Geometri (MATH 374) Ders Detayları

Diferansiyel Geometri (MATH 374) Ders Detayları Diferansiyel Geometri (MATH 374) Ders Detayları Ders Adı Diferansiyel Geometri Ders Kodu MATH 374 Dönemi Ders Uygulama Laboratuar Kredi AKTS Saati Saati Saati Güz 3 0 0 3 6 Ön Koşul Ders(ler)i MATH 251

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

Ali Sinan Sertöz. Tarih: 5 Şubat 1998, Antalya

Ali Sinan Sertöz. Tarih: 5 Şubat 1998, Antalya SEMİNER Ali Sinan Sertöz 1 KONİ KESİTLERİ Tarih: 5 Şubat 1998, Antalya 1.1 Başlangıç Koni kesitleri ilk kez eski Yunan da ortaya çıkmıştır. MÖ 350 yıllarında yaşamış olan Menaechmus un koni kesitlerini

Detaylı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı 9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut 9.1. Germe 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı vektörlerin lineer birleşimi olarak ifade ediliyorsa vektörleri V yi geriyor ya da V yi gerer denir. Üstelik,

Detaylı

Cebirsel Geometri Güz Çalıştayı 2009

Cebirsel Geometri Güz Çalıştayı 2009 Cebirsel Geometri Güz Çalıştayı 2009 Kürşat Aker Feza Gürsey Enstitüsü, İstanbul 18 Ekim 2009 Kursat Aker (FGE) CG-GUZ-09 18 Ekim 2009 1 / 9 Özet Başlamadan Önce... Kursat Aker (FGE) CG-GUZ-09 18 Ekim

Detaylı

14.12 Oyun Teorisi Ders Notları Seçim Teorisi

14.12 Oyun Teorisi Ders Notları Seçim Teorisi 14.12 Oyun Teorisi Ders Notları Seçim Teorisi Muhamet Yıldız (Ders 2) 1 Temel Seçim Teorisi X kümesi alternatifler kümesi olsun. Alternatifler birbirini dışlayan olsunlar, yani bir kişi aynı anda iki farklı

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ GÜZ DÖNEMİ DERSLERİ VE İÇERİKLERİ

İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ GÜZ DÖNEMİ DERSLERİ VE İÇERİKLERİ GÜZ DÖNEMİ DERSLERİ VE İÇERİKLERİ 1. SINIF GÜZ DÖNEMİ Dersin Kodu ve Adı: 00101 Fizik I Vektörler, tek boyutta hareket, iki boyutta hareket, hareket kanunları, dairesel hareket ve Newton kanunlarının uygulamaları,

Detaylı

TG 15 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK

TG 15 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK KMU PERSONEL SEÇME SINVI ÖĞRETMENLİK LN BİLGİSİ TESTİ İLKÖĞRETİM MTEMTİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖBT İLKÖĞRETİM MTEMTİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-V ÇERÇEVE PROGRAMI. 3. KURUCUNUN ADI :ARTI ÖZEL EĞİTİM ÖĞRETİM Danışmanlık Turizm Hizmetleri Ticaret İth. İhr. Ltd. Şti.

ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-V ÇERÇEVE PROGRAMI. 3. KURUCUNUN ADI :ARTI ÖZEL EĞİTİM ÖĞRETİM Danışmanlık Turizm Hizmetleri Ticaret İth. İhr. Ltd. Şti. ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-V ÇERÇEVE PROGRAMI 1. KURUMUN ADI : Tercih Özel Öğretim Kursu 2. KURUMUN ADRESİ : Kesikkapı Mah. Atatürk Cad. No 79 Fethiye /MUĞLA 3. KURUCUNUN ADI :ARTI ÖZEL EĞİTİM ÖĞRETİM

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır. MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı

Detaylı

Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr

Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr apak onusu: oncelet Teoremleri oni. Uzayda birbirini 0 < < 90 derecede kesen iki de iflik a ve do rusu alal m. Do rulardan birini di erinin etraf nda, diyelim a y nin etraf nda oluflturduklar aç s n bozmadan

Detaylı

8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği

8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği 2007 Güz Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için

Detaylı

Newton un F = ma eşitliğini SD den türete bilir miyiz?

Newton un F = ma eşitliğini SD den türete bilir miyiz? burada yine kısmi integrasyon kullanıldı ve ± da Ψ ın yok olduğu kabul edildi. Sonuç olarak, p = p, yani p ˆ nin tüm beklenti değerleri gerçeldir. Bir özdeğer kendisine karşı gelen kararlı durumun beklenti

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)

Detaylı

Ders 7: Konikler - Tanım

Ders 7: Konikler - Tanım Ders 7: Konikler - Tanım Şimdie kadar nokta ve doğrular ve bunların ilişkilerini konuştuk. Bu derste eni bir kümeden söz edeceğiz: kuadrikler ve düzlemdeki özel adı konikler. İzdüşümsel doğrular, doğrusal

Detaylı

ÖZEL EGE LĠSESĠ. ġeklġndekġ ĠFADELERĠN. SADELEġTĠRĠLEMEZ VEYA SADELEġTĠRĠLEBĠLĠR OLMASI ĠÇĠN GEREKEN KOġULLAR

ÖZEL EGE LĠSESĠ. ġeklġndekġ ĠFADELERĠN. SADELEġTĠRĠLEMEZ VEYA SADELEġTĠRĠLEBĠLĠR OLMASI ĠÇĠN GEREKEN KOġULLAR ÖZEL EGE LĠSESĠ ġeklġndekġ ĠFADELERĠN SADELEġTĠRĠLEMEZ VEYA SADELEġTĠRĠLEBĠLĠR OLMASI ĠÇĠN GEREKEN KOġULLAR HAZIRLAYAN ÖĞRENCĠ: Ersin ĠSTANBULLU DANIġMAN ÖĞRETMEN: Defne TABU ĠZMĠR 2013 ĠÇĠNDEKĠLER 1.

Detaylı

YGS MATEMATİK - CEBİR 01 TEMEL SAYI KAVRAMLARI VE UYGULAMALARI 02 TAMSAYILARDA BÖLME 03 BÖLÜNEBİLME KURALLARI 04 ASAL SAYILAR 05 OBEB VE OKEK 06

YGS MATEMATİK - CEBİR 01 TEMEL SAYI KAVRAMLARI VE UYGULAMALARI 02 TAMSAYILARDA BÖLME 03 BÖLÜNEBİLME KURALLARI 04 ASAL SAYILAR 05 OBEB VE OKEK 06 1 YGS MATEMATİK - CEBİR 01 TEMEL SAYI KAVRAMLARI VE UYGULAMALARI 02 TAMSAYILARDA BÖLME 03 BÖLÜNEBİLME KURALLARI 04 ASAL SAYILAR 05 OBEB VE OKEK 06 RASYONEL SAYILAR KÜMESİ VE ÖZELLİKLERİ 07 BASİT EŞİTSİZLİKLER

Detaylı

fonksiyonu aralığında sürekli bir fonksiyon ve için ise olur. Eğer bu aralıktaki bütün x ler için ise bu fonksiyonun noktasında bir minimumu vardır.

fonksiyonu aralığında sürekli bir fonksiyon ve için ise olur. Eğer bu aralıktaki bütün x ler için ise bu fonksiyonun noktasında bir minimumu vardır. TÜREV UYGULAMALARI Bölüm içinde maksimum, minimum, artan ve azalan fonksiyonlar, büküm noktası, teğet, normal ve belirsizliğin türev yardımıyla giderilmesi işlenmektedir. 11.1 Maksimum ve Minimum (Ekstremum)

Detaylı

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Gruplar...3 Alt Gruplar...9 Simetrik Gruplar...13 Devirli Alt Gruplar...23 Sol ve Sağ Yan Kümeler (Kosetler)...32 Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 Grup Homomorfizmaları...41

Detaylı

Prof. Dr. Mahmut Koçak.

Prof. Dr. Mahmut Koçak. i Prof. Dr. Mahmut Koçak http://fef.ogu.edu.tr/mkocak/ ii Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Kitabın yazarına aittir. Bütün hakları saklıdır. Kitabın tümü ya da bölümü/bölümleri yazarın yazılı izni

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-I ÇERÇEVE PROGRAMI. :Kesikkapı Mah. Atatürk Cad.No.79 Fethiye /MUĞLA

ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-I ÇERÇEVE PROGRAMI. :Kesikkapı Mah. Atatürk Cad.No.79 Fethiye /MUĞLA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-I ÇERÇEVE PROGRAMI 1.KURUMUN ADI 2.KURUMUN ADRESİ 3.KURUCUNUN ADI :Tercih Özel Öğretim Kursu :Kesikkapı Mah. Atatürk Cad.No.79 Fethiye /MUĞLA : ARTI ÖZEL EĞİTİM ÖĞRETİM Danışmanlık

Detaylı

yöneylem araştırması Nedensellik üzerine diyaloglar I

yöneylem araştırması Nedensellik üzerine diyaloglar I yöneylem araştırması Nedensellik üzerine diyaloglar I i Yayın No : 3197 Eğitim Dizisi : 149 1. Baskı Ocak 2015 İSTANBUL ISBN 978-605 - 333-225 1 Copyright Bu kitabın bu basısı için Türkiye deki yayın hakları

Detaylı

2013-2014 ATAKÖY CUMHURİYET ANADOLU LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI

2013-2014 ATAKÖY CUMHURİYET ANADOLU LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI 0-0 ATAKÖY CUMHURİYET ANADOLU LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK İ YILLIK PLANI Temel Kavramlar 9... Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri ifade etmek için farklı gösterimler. 6 EYLÜL 0 EYLÜL Temel Kavramlar

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ I Aras nav Sorular

FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ I Aras nav Sorular Ad ve Soyad : Numaras : FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ I Aras nav Sorular 30.11.2007 1. Aşa¼g daki ifadelerin do¼gru olup olmad klar n nedenlerini aç klayarak yaz n z. (a) (X; kk) bir normlu uzay ve M bunun

Detaylı

KABA KÜME TEORİSİ (Rough Set Theory) Dr. Sedat TELÇEKEN

KABA KÜME TEORİSİ (Rough Set Theory) Dr. Sedat TELÇEKEN KABA KÜME TEORİSİ (Rough Set Theory) Dr. Sedat TELÇEKEN Giriş Bilgi teknolojisindeki gelişmeler ve verilerin dijital ortamda saklanmaya başlanması ile yeryüzündeki bilgi miktarı her 20 ayda iki katına

Detaylı

Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri. Yrd. Doç. Dr. Erhan Pişkin

Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri. Yrd. Doç. Dr. Erhan Pişkin Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri Yrd. Doç. Dr. Erhan Pişkin 1 Yrd. Doç. Dr. Erhan PİŞKİN ÇÖZÜMLÜ YÜKSEK MATEMATİK PROBLEMLERİ 1 ISBN 978-605-318-249-8 Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarına aittir.

Detaylı

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini

Detaylı

DENEME SINAVLARI KONU DAĞILIMI MATEMATİK. TURAN GÜNEŞ BUL. NO: 23 ÇANKAYA - ANKARA

DENEME SINAVLARI KONU DAĞILIMI MATEMATİK. TURAN GÜNEŞ BUL. NO: 23 ÇANKAYA - ANKARA MATEMATİK DERSİN ADI : MATEMATİK--9.SINIF 1 Mantık 12 1 2 Kümelerde Temel Kavramlar 10 2 2 3 Kümelerde İşlemler 6 1 1 1 4 Kartezyen Çarpım 4 2 1 1 5 Bağıntı 3 1 6 Fonksiyonlar 6 2 1 1 7 İşlem 3 1 1 1 8

Detaylı

1. Bir noktadan bir noktaya bir doğru çizilebilir (ve bu doğru tektir). 2. Bir doğru içinde bir doğru parçası (tek bir biçimde) genişletilebilir.

1. Bir noktadan bir noktaya bir doğru çizilebilir (ve bu doğru tektir). 2. Bir doğru içinde bir doğru parçası (tek bir biçimde) genişletilebilir. Tarihte bilindiği kadarıyla düzlem geometrisinin ilk kez sistemli bir biçimde incelenişi, Öklid in Elementler kitabının (M.Ö. 300) birinci cildinde yapıldı. Öklid bu kitapta düzlem geometrisini beş belit

Detaylı

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I-

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- Dışbükeylik / İçbükeylik Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST38 Yöneylem Araştırması Dersi 0-0 Öğretim Yılı Doğrusal olmayan

Detaylı

1. KURUMUN ADI : Özel Osmaniye Artı Bilim Temel Lisesi. 3. KURUCUNUN ADI : Sinerji Eğitimcilik San. Tic. Ltd. Şti./Celal DEMİR

1. KURUMUN ADI : Özel Osmaniye Artı Bilim Temel Lisesi. 3. KURUCUNUN ADI : Sinerji Eğitimcilik San. Tic. Ltd. Şti./Celal DEMİR 1. KURUMUN ADI : Özel Osmaniye Artı Bilim Temel Lisesi 2. KURUMUN ADRESİ : Cumhuriyet Mah. Akyar Cad. No:87/B 3. KURUCUNUN ADI : Sinerji Eğitimcilik San. Tic. Ltd. Şti./Celal DEMİR 4. PROGRAMIN ADI : MATEMATİK

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

ÖABT Sayılar Teorisi KONU TESTİ Tam Sayılarda Bölünebilme

ÖABT Sayılar Teorisi KONU TESTİ Tam Sayılarda Bölünebilme ÖABT Sayılar Teorisi KONU TESTİ Tam Sayılarda Bölünebilme ÇÖZÜMLER. a b ve b a a b, a, b a b a b ve b c a c olduğundan a b ve c d ise a c b d olmayabilir. ve 5., ve olduğundan sonsuz çözüm vardır...9.9

Detaylı

T.C. MİLLİ EĞİTİM BAKANLIĞI. ÖZEL ÇORUM ADA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK l BİLİM GRUBU ÇERÇEVE PROGRAMI

T.C. MİLLİ EĞİTİM BAKANLIĞI. ÖZEL ÇORUM ADA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK l BİLİM GRUBU ÇERÇEVE PROGRAMI T.C. MİLLİ EĞİTİM BAKANLIĞI ÖZEL ÇORUM ADA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK l BİLİM GRUBU ÇERÇEVE PROGRAMI 1 1. KURUMUN ADI : Özel Çorum Ada Özel Öğretim Kursu 2. KURUMUN ADRESİ : Yavruturna mah. Kavukçu sok.

Detaylı

Temel Mantık ve Cebir (MATH 111) Ders Detayları

Temel Mantık ve Cebir (MATH 111) Ders Detayları Temel Mantık ve Cebir (MATH 111) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Temel Mantık ve Cebir MATH 111 Güz 3 0 0 3 6.5 Ön Koşul Ders(ler)i Yok Dersin

Detaylı

ANALİZ IV. Mert Çağlar

ANALİZ IV. Mert Çağlar ANALİ IV Mert Çağlar Bu notlar Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim Desteği (UDS) lisansı altındadır. Ders notlarına erişim için: http://udes.iku.edu.tr CC $\ BY: Mert Çağlar C Matematik-Bilgisayar Bölümü İstanbul

Detaylı

METALURJİ VE MALZEME MÜH. LAB VE UYG. DERSİ FÖYÜ

METALURJİ VE MALZEME MÜH. LAB VE UYG. DERSİ FÖYÜ METALURJİ VE MALZEME MÜH. LAB VE UYG. DERSİ FÖYÜ ALIN KAYNAKLI LEVHASAL BAĞLANTILARIN ÇEKME TESTLERİ A- DENEYİN ÖNEMİ ve AMACI Malzemelerin mekanik davranışlarını incelemek ve yapılarıyla özellikleri arasındaki

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

Yıldız Teknik Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü KARAR TEORİSİ MARKOV SÜREÇLERİ. Markov Analizi

Yıldız Teknik Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü KARAR TEORİSİ MARKOV SÜREÇLERİ. Markov Analizi Yıldız Teknik Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü KARAR TEORİSİ MARKOV SÜREÇLERİ Doç. Dr. İhsan KAYA Markov Analizi Markov analizi, bugün çalışan bir makinenin ertesi gün arızalanma olasılığının

Detaylı

CBS. Projeksiyon. CBS Projeksiyon. Prof.Dr. Emin Zeki BAŞKENT. Karadeniz Teknik Üniversitesi Orman Fakültesi 2010, EZB

CBS. Projeksiyon. CBS Projeksiyon. Prof.Dr. Emin Zeki BAŞKENT. Karadeniz Teknik Üniversitesi Orman Fakültesi 2010, EZB Prof.Dr. Emin Zeki BAŞKENT Karadeniz Teknik Üniversitesi Orman Fakültesi Elipsoid şeklindeki dünyanın bir düzlem üzerine indirilmesi ve koordinatlarının matematiksel dönüşümleridir. Harita üç şekilde projeksiyonu

Detaylı

KediCAD DE FEA UYGULAMASI

KediCAD DE FEA UYGULAMASI KediCAD DE FEA UYGULAMASI FEA (SONLU ELMAN ANALİZİ) ÖZET KediCAD 2 boyutlu sonlu eleman analizi yapmaktadır. Çizim alanına çizilen kapalı bir çizim için gereken kalınlık, malzeme, analiz yöntemi vb. Bilgileri

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu

Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu FOTOGRAMETRİ I Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ JDF329 Fotogrametri I Ders Notu 2015-2016 Öğretim Yılı Güz Dönemi İçerik Tanımlar

Detaylı

Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi

Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi Ders Notları Dr. Serkan Aksoy 2016 http://www.gyte.edu.tr/dosya/102/~saksoy/ana.html 1 Gelecek önerileri için, lütfen Dr. Serkan Aksoy (saksoy@gyte.edu.tr) ile

Detaylı

Bu durumu, konum bazında bileşenlerini, yani dalga fonksiyonunu, vererek tanımlıyoruz : ) 1. (ikx x2. (d)

Bu durumu, konum bazında bileşenlerini, yani dalga fonksiyonunu, vererek tanımlıyoruz : ) 1. (ikx x2. (d) Ders 10 Metindeki ilgili bölümler 1.7 Gaussiyen durum Burada, 1-d de hareket eden bir parçacığın önemli Gaussiyen durumu örneğini düşünüyoruz. Ele alış biçimimiz kitaptaki ile neredeyse aynı ama bu örnek

Detaylı

DERS: MATEMATİK I MAT101(04)

DERS: MATEMATİK I MAT101(04) DERS: MATEMATİK I MAT0(0) ÜNİTE: FONKSİYONLAR KONU:. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR Öncelikle açı ölçü birimlerine göz atalım: Bilindiği gibi bir tam açının ölçüsü 0 derecedir. Diğer bir açı ölçü birimi de

Detaylı

KÜMELER VE MANTIK KESİLİ MATEMATİKSEL YAPILAR

KÜMELER VE MANTIK KESİLİ MATEMATİKSEL YAPILAR KÜMELER VE MANTIK KESİLİ MATEMATİKSEL YAPILAR Kümeler Koşullu ve Mantıksal Denklik Kümeler Kümeler Ayrık Kümeler De-Morgan Kuralı Z (Zahlen; alm.) tamsayılar kümesi Z negatif tamsayılar kümesi, Z nonneg

Detaylı

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız Bölüm 4 Türev Uygulamaları 4.1 Bağımlı Hız Eğer bir balonun içine hava pompalarsak, balonun hem yarıçapı hem de hacmi artar ve artış hızları birbirine bağımlıdır. Fakat, hacmin artış hızını doğrudan ölçmek

Detaylı

Çözüm: Z 3 = 27 = 27CiS( +2k ) Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = 2 k=1 için z 1 = 3

Çözüm: Z 3 = 27 = 27CiS( +2k ) Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = 2 k=1 için z 1 = 3 p ve q iki önerme olsun p q q p dir. p: = 3 ve q: y< 8 alınırsa I ve III ün denk olduğu görülür. Yanıt B Z 3 = 7 = 7CiS( +k ) k Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = k=1 için z 1 = 3 k = için z = Yanıt A

Detaylı

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 1. Eşit güçlü kümeler 2. Sonlu ve sonsuz kümeler 3. Doğal sayılar kümesi 4. Sayılabilir kümeler 5. Doğal sayılar kümesinde toplama 6. Doğal sayılar kümesinde

Detaylı

Çözüm: Siyah top çekilme olasılığı B olsun. Topların sayısı 12 olduğuna göre P(B)=8/12=2/3 tür.

Çözüm: Siyah top çekilme olasılığı B olsun. Topların sayısı 12 olduğuna göre P(B)=8/12=2/3 tür. 1 Olasılık Örnekler 1. Bir çantada 4 beyaz 8 siyah top vardır. Bir siyah top çekilmesi olasılığı nedir? Çözüm: Siyah top çekilme olasılığı B olsun. Topların sayısı 12 olduğuna göre P(B)=8/12=2/3 tür. 2.

Detaylı