Genelleştirilmiş sınırlı kararlılık bölgesi ile PI ve PID denetleyici tasarımı

Transkript

1 Dle Ünverstes Mühenslk Fakültes mühenslk Clt: 8, ergs, Mart 7 Genelleştrlmş sınırlı kararlılık bölges le PI ve PID enetley tasarımı Seral AİÇ *,, İbrahm KAYA Batman Ünverstes, Meslek Yüksekokulu, Elektrk ve Enerj Bölümü, Batman Dle Ünverstes, Elektrk ve Elektronk Mühenslğ Bölümü, Dyarbakır Makale Gönerme arh: Makale Kabul arh:.6.6 Öz Bu çalışma, zaman gekmel kontrol sstemlernn kararlılığı çn tüm PI ve PID enetley parametre eğerlernn hesaplanmasına genelleştrlmş br yaklaşım önermekter. Bu yaklaşıma yüksek mertebeen transfer fonksyonlarının, brn eree artı zaman gekmel transfer fonksyonları le moellenmes gerekr. Ele elen moel ve enetley transfer fonksyonları normalze elerek PI enetley tasarımı çn, KK üzlemne sınırlı kararlılık bölges oluşturulur. Benzer şekle PID enetley tasarımı çn, KK ( / ),, KK ve ( / ), KK üzlemlerne sınırlı kararlılık bölgeler oluşturulur. PI ve PID enetley parametre eğerler, ele elen sınırlı kararlılık bölgeler le belrlenr. Bu yaklaşım sayesne transfer fonksyonunun her eğşmes le sınırlı kararlılık bölgelernn yenen oluşturulmasına htyaç uyulmaz. Ele elen genelleştrlmş sınırlı kararlılık bölgeler le tüm PI ve PID enetley parametre eğerler hesaplanablr. Böylelkle bu yaklaşım şmye kaar lteratüre blrlmş çalışmalara göre avantaj sağlar. Önerlen yaklaşımın kullanışlılığını açıklamak çn örnek benzetmler verlmştr. Anahtar Kelmeler: Kararlılık; PI enetley; PID enetley; ransfer fonksyonu; Zaman gekmes; Moelleme; * Yazışmaların yapılaağı yazar: Seral AİÇ. seral.at@batman.eu.tr; el: (488)

2 S. Atç, İ. Kaya Grş Enüstryel kontrol sstemlerne genellkle kullanılan PID (Oransal-İntegral-ürevsel) enetleylern parametrelernn belrlenmes, hala araştırmaıların lg uyuğu konular arasınaır. PID enetleyler güçlü yapısı ve bastlğ le kontrol sstemlern %9 ınan fazlasına kullanılmaktaır. PI enetleyler e yaygın olarak kullanılmasına karşın, türevsel enetleylern kullanım alanları aha azır. Bu sebeple kontrol sstemlernn kararlılığı çn PI ve PID enetley tasarımı büyük önem taşımaktaır (Aström ve Hagglun, ). Kontrol sstemlernn kararlılığı çn PID enetley parametrelernn belrlenmes le lgl en yaygın kullanılan metotlar; Zegler ve Nhols (94), Cohen ve Coon (953) ve Aström ve Hagglun (984) metotları sayılablr. Ayrıa İntegral performans krterne ayalı tasarım metotları (Zhuang an Atherton, 993) a yaygın kullanılan yaklaşımlarır. IMC (Internal Moel Control) (Morar an Zafrou, 989) ve enetley sentez (Smth an Corrpo, 997) metotları a PID enetley parametrelernn belrlenmesne kullanılan ğer tasarım metotlarıır. Son yıllara Ho ve arkaaşlarının (996, 997a, 997b, 997) çalışmaları le kontrol sstemlern kararlılığı çn tüm PI ve PID enetley parametrelernn belrlenmes konusuna büyük br lg oluşmuştur. Bu çalışmalar sonuuna sabt br oransal kazanç eğer çn tüm ntegral ve türev kazanç eğerlernn br üzleme gösterlmes sağlanmıştır. Bu yöntemle, enetley kazanının genş kapsamlı taranması gerektğnen, br kontrol sstemn kararlı yapan tüm PI ve PID enetley parametre eğerlernn belrlenmes zaman almaktaır. Munro ve Söylemez () ve Söylemez ve ark. (3) gelştrkler alternatf br metot le kontrol sstemlern kararlılığı çn tüm PID enetley parametre eğerlernn hızlı br şekle hesaplanmasını sağlamışlarır. Shafe ve Shenton (997) ve Huang ve Wang () tarafınan yapılan çalışmalar le kontrol sstemlern kararlılığı çn tüm enetley parametre eğerlernn belrlenmesne grafksel çözümler ortaya konulmuştur. an ve ark. (3) ve an (5) kontrol sstemlernn kararlılığı çn tüm PI veya PID enetley parametre eğerlernn hesaplanmasına sınırlı kararlılık bölges çzlmesne ayalı yen ve hızlı br yaklaşım önermşlerr. Kontrol sstemlernn kararlılığı çn PI ve PID enetley parametrelernn belrlenmes le lgl tüm bu çalışmalarak ezavantaj sstem transfer fonksyonunun her eğşmesyle sınırlı kararlılık bölgesnn yenen çzlmesne htyaç uyulmasıır. Bu çalışmaa kontrol sstemlernn kararlılığı çn tüm PI ve PID enetley parametre eğerlernn ele elmesne yen br yaklaşım önerlmekter. Bu yaklaşıma, yüksek mertebeen sstem transfer fonksyonlarının moellenmes le ele eleek brn eree artı zaman gekmel (FOPD) sstem transfer fonksyon moelnn kullanılması gerekmekter. Bu amaçla, FOPD sstem transfer fonksyon parametrelernn belrlenmes çn Kaya ve Atherton () tarafınan önerlen röle ger beslemel moelleme metou kullanılmıştır. Bu moelleme metou, ölçüm hatasının ve bozuuların olmaığı kabul elrse, kesn kestrm sonuçları vermekter. Denetleynn ve sstem transfer fonksyon moelnn normalze elmş formu PI enetley çn, KK üzlemne sınırlı kararlılık bölgesnn oluşturulmasına, PID enetley çn e ( / ), KK üzlemne sınırlı kararlılık bölgesnn ele elmesne kullanılmıştır. Bu şlem, belrlenen normalze elmş zaman gekmes eğer, /, çn yapılmaktaır. Buraa ve, sırasıyla, FOPD moeln zaman gekmesn ve zaman sabtn fae etmekter. Bu sayee, sstem transfer fonksyonunun her eğşmesne sınırlı kararlılık bölgesnn yenen oluşturulmasına gerek kalmamaktaır. Dolayısıyla, kontrol sstemlernn kararlılığı çn tüm PI ve PID enetley parametre eğerlernn hesaplanması kolaylaşmaktaır. 66

3 Genelleştrlmş sınırlı kararlılık bölges le PI ve PID enetley tasarımı PI Denetley asarımı Bu bölüme, an ve ark. (3) ve an (5) tarafınan kullanılan metot aapte elerek br sstemn kararlılığı çn tüm PI enetley parametre eğerlernn ele elmes açıklanmıştır. Şekl e SGSÇ (sınırlı-grş sınırlı-çıkış) br kontrol sstem gösterlmştr. kapalı çevrm karakterstk enklem C(s) G(s) le verlr. Denklem (3) ve enklem (4) e normalze elmş enetley ve FOPD moel transfer fonksyonları, sırasıyla C(s) ve G (s), karakterstk enkleme yerne yazılarak aşağıak enklem ele elr: (5) s s ( s) KKse KKe s s. Denklem () e verlen FOPD moel transfer fonksyonu çn pay ve paya polnomlarının tek ve çft kısımları ayrıştırılıp s j önüşümü uygulanırsa aşağıak enklem ele elr: Şekl. SGSÇ kontrol sstem Şekl e C (s) ve G (s), sırasıyla, enetley ve sstem transfer fonksyonlarını fae etmekter. İeal PI enetley çn transfer fonksyonu Cs () K s () ve sstem transfer fonksyonunun FOPD moel s Ke Gs () s () le verlmekter. Denklem () ve enklem () çn s s önüşümü kullanılarak aşağıak normalze elmş enetley ve sstem transfer fonksyonları ele eleblr: Cs ( ) K s s s Ke Ke G(s). s s (3) (4) Buraa amaç Şekl ek kontrol sstemnn kararlılığı çn enklem () ek enetley parametre eğerlern hesaplamaktır. Sstemn N G( j). D e( ) jno( ) e( ) jdo( ) (6) Bunan böyle, üzernek çzg karmaşaya yol açmamak çn yazılmayaaktır. Böylee karakterstk enklem aşağıak şekle yazılablr: j jos sn os jkk sn j R ji. (7) Karakterstk enklemn reel ve sanal kısımları sıfıra eştlenerek aşağıak enklemler ele eleblr: sn os (8) os sn. (9) Aşağıak enklemlere verlen eştlkler tanımlayalım: os, Q( ) sn, R X () 67

4 S. Atç, İ. Kaya ve sn,. S os, U Y () Buna göre, enklem (8) ve enklem (9) aşağıak gb yenen yazılablr: Q( ) R( ) X ( ), S( ) U( ) Y( ). () Denklem () çözülerek, X( ) U( ) Y( ) R( ) Q( ) U( ) R( ) S( ) ve Y( ) Q( ) X( ) S( ) Q ( ) U ( ) R ( ) S ( ) (3) (4) enklemler ele elr. Denklem () ve enklem (), enklem (3) ve enklem (4) te yerne yazılarak aşağıak eştlklere ulaşılablr: KK sn os( ), (5) sn os( ). (6) Denklem (5) ve enklem (6) kullanılarak belrlenen stanartlaştırılmış zaman gekmes eğer çn, KK üzlemne sınırlı kararlılık bölges çzleblr. Bu k enklemn sağlaığı avantaj sstem transfer fonksyonunun her eğşmes le sınırlı kararlılık bölgesnn yenen çzlmes gerekllğn ortaan kalırmasıır. Eğer gerçek sstem transfer fonksyonu, FOPD moel transfer fonksyonu le tam olarak eşleşrse Kaya ve Atherton () tarafınan önerlen moelleme metou le kesn parametre eğerler ele eleektr. Dolayısıyla, ele elen moele ayalı olarak çzlen sınırlı kararlılık bölges e hata çermeyeektr. Anak, gerçek sstem transfer fonksyonu yüksek mertebeen br transfer fonksyonu se ele elen FOPD moel le oluşturulan sınırlı kararlılık bölges krtk frekans eğer varına hmal eleblr hatalar çereblr. Fakat sonrak örneklere e gösterleeğ gb bu urum kontrol sstemlernn kararlılığı çn tüm PI ve PID enetley parametre eğerlernn belrlenmes çn öneml br probleme sebep olmamaktaır. Denetley [, ] frekans eğerler aralığına çalıştığı çn sınırlı kararlılık bölgesnn bu aralıklara çzlmes yeterl olaaktır (an, 5). Buraa, sstem transfer fonksyonunun Nyqust yagramının negatf reel eksenle kesştğ frekans eğerr ve açık çevrm transfer fonksyonun fazının 8 ye eştlenmesyle hesaplanablr: tan N D o tan Ne De o (7) Denklem (5) ve (6) eştlkler FOPD moel le moelleneblen herhang br sstem çn genelleştrlmş eştlklerr ve, KK üzlemne sınırlı kararlılık bölgesnn ele elmesne kullanılablr. Şekl, Şekl 3 ve Şekl 4 normalze elmş zaman gekmesnn.5,.5 ve.5 4 aralıkları çn sınırlı kararlılık bölgelern göstermekter. Bu şekller, olukça genş normalze elmş zaman gekmes aralıkları çn, tüm PI enetley parametre eğerlernn belrlenmes çn çözümler sunmaktaır. Sonrak örnekler metoun kullanılışını göstermekter. 68

5 Genelleştrlmş sınırlı kararlılık bölges le PI ve PID enetley tasarımı ()(/ ()(/ =.75 =.5 = = Şekl. Stanartlaştırılmış zaman gekmes aralığının.5 oluğu eğerler çn kararlılık bölgeler ()(/ =.75 = =.5 =.5 Şekl 3. Stanartlaştırılmış zaman gekmes aralığının.5 oluğu eğerler çn kararlılık bölgeler =3.5 =3.5 =3.75 =4 =.5 =.5 = Şekl 4. Stanartlaştırılmış zaman gekmes aralığının.5 4 oluğu eğerler çn kararlılık bölgeler Örnek s ransfer fonksyonu Gs ( ) e / ( s ) olan br sstem göz önüne bulunuralım. Bu sstem çn normalze elmş zaman gekmes eğer =3 r. Gerçek sstem transfer fonksyonu tam olarak FOPD moel transfer fonksyonu le eşleştğ çn, röle ger beslemel moelleme metou (Kaya ve Atherton, ) parametre eğerlern tam olarak vermekter. Şekl ek sınırlı kararlılık bölges grafğne le verlen bölge söz konusu sstemn kararlılığı çn tüm PI enetley parametre eğerlernn belrlenmesne kullanılablr. ablo, kararlılık bölges çersne seçlen bazı noktalaran alınan eğerler çn PI enetley parametre eğerlern göstermekter. Şekl 5 se belrlenmş PI enetley parametreler çn sstemn brm basamak evaplarını vermekter. Şeklen, negatf enetley kazanının sstemn ters evap vermesne yol açtığı görülmekter. ablo. Örnek çn alınan bazı noktalara hesaplanan enetley parametre eğerler Output Durum.5.5 Seçlen noktalar KK KK / Hesaplanan enetley parametreler K a b e f f urumu urumu e urumu urumu b urumu a urumu me(se) Şekl 5. Örnek e belrlenen PI enetley parametreler çn brm basamak evapları Örnek Bu örnekte yüksek mertebeen br sstem transfer fonksyonu olan Gs () / (5s)(4s)(3s)( s )( s) ele 69

6 S. Atç, İ. Kaya alınmaktaır. Kaya ve Atherton () tarafınan önerlen röle ger beslemel moelleme metou kullanılarak, bu transfer fonksyonunun FOPD moel 6.87s Gm (s) e / (5.97s ) olarak ele eleblr. Moel sstem transfer fonksyonu çn normalze elmş zaman gekmes.453 le verlmekter. Sstemn kararlılığı çn tüm PI enetley parametrelernn belrlenmesnen öne, gerçek sstem transfer fonksyonunun sınırlı kararlılık bölges le hesaplanan moel transfer fonksyonun sınırlı kararlılık bölgesnn benzerlğn göstermek uygun olaaktır. Şekl 6 a bu benzerlk gösterlmekter. Görülüğü üzere üşük frekans eğerler çn olukça yeterl br eşleşme varır. Krtk frekans eğer varına se eşleşme yetersz gözükmekter. Dolayısıyla, gerçek sstem transfer fonksyonu yüksek mertebeen br transfer fonksyonu se kararlılık bölgesne seçlen noktalara kkat etmek gerekmekter. Bu urum çn PI enetley parametre eğerlernn belrlenmes çn k öner verleektr: ()(/ Şekl 6. Örnek ek gerçek sstem ve moel transfer fonksyonları çn kararlılık bölgeler ablo. Örnek çn alınan bazı noktalara hesaplanan enetley parametre eğerler Durum Seçlen noktalar KK KK / FOPD moel gerçek sstem Hesaplanan enetley parametreler K a b e f ) Bu noktalar kararlılık bölgesnn merkezne yakın seçlmelr..5 urum e ) Geçerl normalze elmş zaman gekmes eğer yerne, normalze elmş zaman gekmesnn br önek aha genş eğer çn oluşturulmuş bölge kullanılmalıır. Örneğn, geçerl urum çn normalze elmş zaman gekmes.453le verlmekter. Bu uruma, kapalı çevrm kontrol sstemnn kararsızlığına sebep olmamak çn, Şekl e normalze elmş zaman gekmes.75 e at olan sınırlı kararlılık bölges kullanılmalıır..75 çn oluşturulan sınırlı kararlılık bölges kullanılarak ele elen PI enetley parametre eğerler ablo e verlmştr. Şekl 7 e se belrlen PI enetley parametreler çn brm basamak evapları verlmştr. Output.5 urum b urum a urum f urum urum me(se) Şekl 7. Örnek e belrlenen PI enetley parametreler çn brm basamak evapları Örnek 3 Bu örnekte yne yüksek mertebeen br transfer fonksyonu Gs ( ) /( s) ele alınmıştır. Röle ger beslemel moelleme metou kullanılarak (Kaya ve Atherton, ) s Gm (s) e / (4.564s ) FOPD moel ele eleblr. Sstemn normalze elmş zaman gekmes.596 le verlmekter. 7

7 Genelleştrlmş sınırlı kararlılık bölges le PI ve PID enetley tasarımı. örnekte önerlen lkeler oğrultusuna normalze elmş zaman gekmes, geçerl normalze elmş zaman gekmesnn br önek aha genş eğer olan.75 çn oluşturulmuş sınırlı kararlılık bölges kullanılarak PI enetley parametre eğerler hesaplanablr. Bu bölge Şekl 3 te gösterlmştr..75 çn oluşturulan sınırlı kararlılık bölges kullanılarak ele elen PI enetley parametre eğerler ablo 3 te verlmekter. Şekl 8 se belrlenen PI enetley parametreler çn brm basamak evaplarını göstermekter. ablo 3. Örnek 3 çn alınan bazı noktalara hesaplanan enetley parametre eğerler Output Durum Seçlen noktalar KK KK / Hesaplanan enetley parametreler K A B C D E f urum e urum f urum urum urum b urum a me(se) Şekl 8. Örnek 3 e belrlenen PI enetley parametreler çn brm basamak evapları PID Denetley asarımı İeal PID enetley formu aşağıa verlmştr: Cs ( ) K( s) s (8) PI enetley tasarımı bölümüne kullanılan proseürler takp elerek, PID enetleyler çn aşağıak eştlkler ele eleblr: KK sn os( ) (9) KK sn os( ) KK () sn os( ) () Şekl 9 a (, KK ( / )) üzlemne enklem (9) ve enklem () kullanılarak sabt KK eğerler çn stanartlaştırılmış zaman gekmesnn oluğu sınırlı kararlılık bölgeler çzlmştr. Şekl a (, KK ) üzlemne enklem (9) ve enklem () kullanılarak sabt KK ( / ) eğerler çn normalze elmş zaman gekmesnn oluğu sınırlı kararlılık bölgeler çzlmştr. Şekl e, an (5) veya an ve arkaaşları (6) tarafınan etayları verlen yöntem takp elerek, (, KK ( / )) ve (, KK ) üzlemlerne oluşturulan sınırlı kararlılık bölgeler kullanılarak sabt br KK eğer çn ( KK, KK ( / )) üzlemne sınırlı kararlılık bölges çzlmştr. Kontrol sstemlernn kararlılığı çn tüm PID enetley parametre eğerler hesaplanırken lk olarak br enetley kazanı belrlenr. Daha sonra PID enetleylern ğer k parametres ve hesaplanır. Genelleştrlmş PID enetley tasarımı çn ( KK, KK ( / )) üzlemne farklı normalze elmş zaman gekmes eğerler çn sınırlı kararlılık bölgelernn çzlmes gereklr. Bu sebeple Şekl e stanartlaştırılmış zaman gekmesnn.5,,.5 ve eğerler çn sınırlı kararlılık bölgeler verlmştr. Gerekrse farklı stanartlaştırılmış zaman gekmes eğerler çn e sınırlı kararlılık bölgeler çzleblr. Böylee yaklaşım aha a fazla genelleştrleblr. 7

8 S. Atç, İ. Kaya (KKC)(/) ()(/.5 =.5 Şekl 9. Sabt br KK (/ ) eğer çn (, KK ( / )) üzlemne kararlılık bölges Şekl. Sabt br KK ( / ) eğer çn (, KK ) üzlemne kararlılık bölges ()(/) =.5 Şekl. ve KK.5 çn ( KK, KK ( / )) üzlemne kararlılık bölges ()(/= ()(/)= ()(/)=.5 ()(/= l l3 l l ()(/ ()(/) = =.5 = ()(/ Şekl. Farklı stanartlaştırılmış zaman gekmes eğerler ve.5 çn ( KK, KK ( / )) üzlemne kararlılık bölgeler Örnek 4 ransfer fonksyonu s Gs () e / ( s ) 5 olan sstem göz önüne bulunuralım. Bu sstem transfer fonksyonunun FOPD moel 7.4s Gm (s) e / (7.7s ) olarak ele eleblr (Kaya ve Atherton, ). Moel sstem transfer fonksyonu çn stanartlaştırılmış zaman gekmes.5 tr. Gerçek sstemn kararlılık bölges FOPD moeln kararlılık bölgesnen aha genş olaaktır. Örnek e önerlen lkeler oğrultusuna sstemn kararlılığı çn tüm PID enetley parametre eğerlern ele etmek çn normalze elmş zaman gekmesnn.5 oluğu Şekl ek sınırlı kararlılık bölges kullanılablr. Ele elen sınırlı kararlılık bölgeler KK nn.5 oluğu eğer çnr. Gerekrse farklı KK eğerler çn benzer şekle sınırlı kararlılık bölgeler çzleblr. ablo 4 te şekl ek normalze elmş zaman gekmes.5 olan sınırlı kararlılık bölges kullanılarak belrlenen PID enetleynn ğer k parametre eğerler verlmştr. Şekl 3 belrlenen PID enetley parametreler çn brm basamak evaplarını göstermekter. =.5 7

9 Genelleştrlmş sınırlı kararlılık bölges le PI ve PID enetley tasarımı ablo 4. Örnek 4 çn alınan bazı noktalara hesaplanan enetley parametre eğerler Dur um Output Seçlen noktalar / / Hesaplanan enetley parametreler a b e f ase a me(se) Şekl 3. Örnek 4 e belrlenen PID enetley parametreler çn brm basamak evapları Sonuç ase ase b ase ase e ase f Bu çalışmaa kontrol sstemlernn kararlılığı çn tüm PI ve PID enetley parametrelernn belrlenmes çn genelleştrlmş br yaklaşım önerlmekter. Eğer gerçek ve moel sstem transfer fonksyonları tam olarak eşleşrse oluşturulmuş sınırlı kararlılık bölgeler e tam sonuç verr. Gerçek sstem transfer fonksyonu yüksek mertebeen br transfer fonksyonu se kararlılık bölgesne seçlen noktalara kkat etmek gerekr. Bu sebeple ele elen moeln normalze elmş zaman gekmes eğer yerne normalze elmş zaman gekmesnn br önek aha genş eğer çn oluşturulmuş bölge kullanılarak enetley parametre eğerlernn belrlenmesne oluşableek hataların önüne geçleblr. Sunulan yaklaşım sstem transfer fonksyonunun her eğşmesne sınırlı kararlılık bölgesnn yenen çzlme gerekllğn ortaan kalırmaktaır. Kaynaklar Aström, K.J. ve Hagglun,., (). he future of PID ontrol, Control Engneerng Prate, 9, Åström, K.J. ve Hägglun,., (984). Automat tunng of smple regulators wth spefatons on phase an ampltue margns, Automata,, Cohen, G.H. ve Coon, G.A., (953). heoretal onseratons of retare ontrol, ransatons of ASME, 75, Huang. Y.J. ve Wang, Y.J., (). Robust PID tunng strategy for unertan plants base on the Khartonov theorem, ISA ransatons, 39, Ho M.., Datta A., ve Bhattaharyya S.P., (996). A new approah to feebak stablzaton, Proeengs of the 35th CDC, 4, Ho M.., Datta A., ve Bhattaharyya S.P., (997a). A lnear programmng haraterzaton of all stablzng PID ontrollers, Proeengs of Ameran Control Conferene, 6, Ho M.., Datta A., ve Bhattaharyya S.P., (997b). A new approah to feebak esgn Part I: Generalze nterlang an proportonal ontrol, Department of Eletral Engneerng, exas A&M Unversty, College Staton, X, eh. Report AMU-ECE97--A. Ho M.., Datta A., ve Bhattaharyya S.P., (997). A new approah to feebak esgn Part II: PI an PID ontrollers, Dept. of Eletral Eng., exas A& M Unv., College Staton, X, eh. Report AMU-ECE97--B. Kaya, I. ve Atherton, D.P., (). Parameter estmaton from relay autotunng wth asymmetr lmt yle ata, Journal of Proess Control,, Morar, M. ve Zafrou, E., (989). Robust proess ontrol, Englewoo Clffs: Prente-Hall, 989. Munro, N. ve Söylemez, M.., (). Fast alulaton of stablzng PID ontrollers for unertan parameter systems, Proeengs of Symposum on Robust Control, Prague. Shafe, Z. ve Shenton, A.., (997). Frequeny oman esgn of PID ontrollers for stable an unstable systems wth tme elay, Automata, 33,

10 S. Atç, İ. Kaya Smth, C.A. ve Corrpo, A.B., (997). Prnples an Prate of Automat Proess Control, John Wley & Sons, New York, 997. Söylemez, M.., Munro, N., ve Bak, H., (3). Fast alulaton of stablzng PID ontrollers, Automata, 39, -6. an, N., Kaya, I., ve Atherton, D.P., (3). Computaton of stablzng Pl an PID ontrollers, Proeengs of the IEEE Internatonal Conferene on the Control Applatons (CCA3), Istanbul, urkey, 3. an, N., (5). Computaton of stablzng PI an PID ontrollers for proesses wth tme elay, ISA ransatons, 44, 3-3. Zhuang, M. ve Atherton, D.P., (993). Automat tunng of optmum PID ontrollers, IEE Proeengs-D: Control heory Applatons, 4, 6-4. Zegler, J.G. ve Nhols, N.B., (94). Optmum settngs for automat ontrollers, ransatons of the ASME, 64,

11 Genelleştrlmş sınırlı kararlılık bölges le PI ve PID enetley tasarımı PI an PID ontroller esgn base on generalze stablty bounary lous Extene abstrat he paper ntroues a generalze approah to entfy all stablzng PI an PID ontrollers. For ths purpose, a stable frst orer plus ea tme (FOPD) moel s use to moel hgher orer plant transfer funtons. In orer to estmate the proess transfer funton parameters, relay feebak entfaton metho gven by Kaya an Atherton () s use. he entfaton metho, assumng no measurement errors an sturbanes, results n exat estmatons. After obtanng the plant transfer funton moel, normalze form of the proess transfer funton moel an ontroller s use to plot stablty bounary lous n, KK plane for the PI ontroller an ( / ), KK plane for the PID ontroller for a ertan value of normalze ea tme, /, where an are, respetvely, the tme elay an tme onstant of the FOPD moel. By ong so, the nee to ompute the stablty bounary lous for fferent plant transfer funtons has been remove. an. Stablty regon n the ( KK, KK ( / )) plane for a fxe value of KK an be obtane by usng the stablty regons obtane n (, KK ( / )) an (, KK ) planes. One the above te stablty bounary lous are obtane, plottng stablty bounary lous n the ( KK, KK ( / )) plane for fferent values of normalze ea tme ratos an be arre out. he propose approah brngs the avantage of not requrng to plot the stablty bounary lous eah tme as the proess transfer funton hanges, whh s the ase for the so far reporte stues n the lterature. Smulaton examples are prove to llustrate the usefulness of the propose approah. Keywors: Stablzaton, PI ontrol, PID ontrol, transfer funton, tme elay, moelng If the atual an the moel transfer funtons math exatly, then the propose approah wll gve exat solutons. However, n the ase of a msmath between the atual an the moel transfer funtons, the approah wll result n approxmate solutons, espeally for the frequenes near the rtal frequeny. herefore, f the atual plant transfer funton s a hgher orer one, then, one must pay attenton wth the ponts selete n the stablty regon. Here two suggestons are prove n orer to ensure a stable lose loop response whle seletng the ponts to be use n etermnng PI an PID ontroller parameters: ) he ponts towars the entre of the stablty regon must be selete. ) he stablty regon that orrespons to a prevous larger normalze ea tme than the urrent normalze ea tme shoul be use. he propose approah an be extene to PID ontrollers as well. For the all stablzng PID ontroller esgn the followng proeure an be use. In the ontroller esgn, t s more usual to assume a ontroller gan an then to alulate the remanng other two tunng parameters, namely, 75