Eğitim Öğretim Yılı Güz Dönemi Diferansiyel Denklemler Çalışma Soruları

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Eğitim Öğretim Yılı Güz Dönemi Diferansiyel Denklemler Çalışma Soruları"

Chagatai Aydin Paşa
6 yıl önce
İzleme sayısı:

1 0 0 Eğiim Öğreim Yılı Güz Dönemi Diferansiel Denklemler Çalışma Soruları 0/0/0 ) 3 8 diferansiel denklemini çözünüz. ) a) d d ( ) diferansiel denklemini çözünüz. b) 3 5 diferansiel denklemini çözünüz. 3) 6 0 diferansiel denkleminin genel çözümünü bulunuz ve diferansiel denklemin çözümlerinin emel cümlesi olup olmadığını araşırınız. 4) ' e 0 diferansiel denkleminin Wronskian deerminanını bulunuz. W(, )()3 ise, W(, )(4) değerini bulunuz. 5) ' e diferansiel denkleminin genel çözümünü bulunuz. ' 6) 7 sin e 4 diferansiel denklemini çözünüz. 7) ' ( ) e verilen diferansiel denklemin özel çözümünü bulunuz. 8) 40 denkleminin özel bir çözümü () olduğuna göre, merebe düşürme önemi ile lineer bağımsız ikinci çözümünü bulunuz. UFUK ÖZERMAN DİFERANSİYEL DENKLEMLER Page

2 ) 3 8 denkleminin genel çözümünü bulunuz f() ipi p, konularak 8 pdp 3 8 d inegra alınırsa P 4 8 c bulunur buradan da 8. d/ p idi. c genel çözüm bulunur. ) a) d d ( ) diferansiel denklemini çözünüz. Çözüm: d ( ) d ' f (, ) ipi d dp ' p ifadeleri dif. denklemde erlerine konulursa dp p dp p Haırlama: ln[ ( a )] a Lnlncln(p alınırsa p ) c p p c-p p arafın karesi c cp p p c cp c c p c c d d p idi. c c d c c c 4 ln c c UFUK ÖZERMAN DİFERANSİYEL DENKLEMLER Page

3 b) 3 5 diferansiel denklemini çözünüz. f(, ) ipi p, 5 3 azılarak lnlncln(c)3/5 lnplnp 3/5 p 3/5 c pc 5/3 p idi c 5/3 / / 3) 6 0 diferansiel denkleminin genel çözümünü bulunuz ve diferansiel denklemin çözümlerinin emel cümlesi olup olmadığını araşırınız. r r ' azılarak r 6 0 karakerisik denklemden kompleks kök b α 0 a 4ac b β 6 a r 0 6 r 0 6 i i h e α (c Cosβc 3 Sinβ) h (c Cos 6 c Sin 6 ) cos 6 sin 6 6 sin 6 6 cos 6 W çözümlerin emel cümlesidir ) ' e 0 diferansiel denkleminin Wronskian deerminanını bulunuz. W(, )()3 ise, W(, )(4) değerini bulunuz. ' e 0 e ' 0 azılarak Abel Teoreminden WC e -p()d WC e -p()d Ce -/d ce -ln c - c/ W(, )()3 den 3c/4 c bulunur. UFUK ÖZERMAN DİFERANSİYEL DENKLEMLER Page 3

4 W(, )(4)/4 3/4 5) " 7'068e diferansiel denkleminin genel çözümünü bulunuz. Çözüm: önce denklem 0 a eşilenerek homojen kısmın çözümü bulunur. r 7r00 (r )(r 5)0 karakerisik denklem r, r 5 iki farklı reel kök homogen c e c e 5 Eşiliğin sağ arafı doğru denklemi ve üsel fonksionun oplamı olduğundan özel çözüm olarak doğru denklemi ve üsel fonksion için arı arı özel çözümler seçilir. " 7'06 için; 0 karakerisik denklemin kökü olmadığından özel AB seçilerek ürevler( ve ) alınır, verilen denklemde erlerine konularak kasaılar hesaplanır. A 0 7 A0(AB)6 0A0 B 7 A6 0A6 A 6/03/5 0 B 7 A0 B/50 özel 3/5/50 Verilen Üsel fonksionda (8e ) nin kasaısı karakerisik denklemin basi bir kökü olduğundan özel De De De De 4De De De 4De De -7(De De )0De 8 e 4De 8 e D özel De e UFUK ÖZERMAN DİFERANSİYEL DENKLEMLER Page 4

5 genel çözüm; genel homogen özel genel c e c e 5 e 3/5/50 ' 6) 7 sin e 4 diferansiel denklemini çözünüz. Çözüm: 7 ' 0 ile homojen çözüm apılarak r r azılarak r 7r 0 karakerisik denklemden r 7r 0 r 3 r 4 farklı reel kök hom ojen c e c e 4 bulunur. Özel çözümler Sin için (i karakerisik denklemin kökü değil) özel Acos Bsin seçilerek özel Acos Bsin ' özel Asin Bcos özel 4Acos 4Bsin ile sin ( 4A 8B) cos(8a 4B) sin 4 A 8B A-7/30, B4/30 8 A 4B özel cos sin UFUK ÖZERMAN DİFERANSİYEL DENKLEMLER Page 5

6 e -3 için özel çözüm e -3 üsel fonksionda in kasaısı (-3), karakerisik denklemin kökü olduğundan özel Ae seçilerek özel Ae ' özel Ae 3Ae özel 6Ae 9Ae diferansiel denklemde erlerine konularak Ae -3 e -3 bulunur. den A ve özel e Sabi saı (4) için, 0 değeri karakerisik denklemin kökü değil. özel D 3 seçilirse D/3 bulunur özel 3 4/ /3 genel h özel özel özel3 genel c e 7 4 e 3 / ce cos sin elde edilir. 7) ' ( ) e diferansiel denklemini çözünüz. r r ' azılarak r 5r 4 0 karakerisik denklemden r 5r 4 0 r r 4 farklı reel kök hom ojen ce üsel fonksionnda in kasaısı olan 3 değeri karakerisik denklemin kökü olmadığından denklemde erlerine konarak A,B ve C kasaıları belirlenir. 3 özel ( A B C) e seçilerek ürevler alınır ve verilen diferansiel c e 4 UFUK ÖZERMAN DİFERANSİYEL DENKLEMLER Page 6

7 -( B C) A B A 4( ) A den 3 A, B ve C5 elde edilir. ( 5) e özel genel h özel 4 3 c e ce ( 5) e 8) ) 4 0 ö çö ü ü olduğuna göre genel çözümü bulunuz. Merebe İndirgeme önemi ; v v ile ürevler alınıp verilen denklemde erlerine azılırsa ani, v, v v, v 4v v (v 4v v) (v v)-4 v 0 v v vv 3 v -4v 0 v 4 5v 3 0 v /v -5/ inegar alınırsa; lnv -5lnlnc lnv -lncln -5 v c -5 dv/ c -5 v-cv -4 /4c v (-cv -4 /4c ) çö ü 4 UFUK ÖZERMAN DİFERANSİYEL DENKLEMLER Page 7

Benzer belgeler

Iki Boyutlu Sabit Katsay l Lineer Homogen Diferensiyel Denklem Sistemleri (Euler Metodu)

Iki Boyutlu Sabit Katsay l Lineer Homogen Diferensiyel Denklem Sistemleri (Euler Metodu) Iki Boyulu Sabi Kasay l Lineer Homogen Diferensiyel Denklem Sisemleri (Euler Meodu) Bu bölümde sabi kasay l, lineer, homogen 8 >< d = a 1x + b 1 y >: dy d = a 2x + b 2 y sisemi ele al nmakad r. Burada