AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ"

Transkript

1 AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a m a l a r ı» i s i m l i k i t a p t a n h a z ı r l a n m ı ş t ı r.

2 1.4 Yüklemler ve Niceleyiciler Yüklemler «x>3», «x=y+3», «x+y=z» ve «Bilgisayar x, bir saldırgan tarafından saldırı altında» ve «Bilgisayar x, düzgün çalışıyor» gibi değişkenleri kapsayan bildirimler, matematiksel iddialarda, bilgisayar programlarında ve sistem özelliklerinde sıkça bulunur. Değişkenlerin değerleri belirtilmediği zaman bu ifadeler ne doğru ne de yanlıştır. «x büyüktür 3» ifadesi, iki bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde, x değişkeni bildirimin konusudur. İkinci bölüm- yüklem, «3 ten büyüktür» açıklamasına konu olabilecek bir özellik anlamına gelir. «x büyüktür 3» ifadesini P(x) ile belirtebiliriz. Burada P, «3 ten büyüktür» yüklemini belirtir ve x bir değişkendir. P(x) ifadesi aynı zamanda önerme x noktasında P önerme fonksiyonunun değeri olarak da söylenebilir. Bir kere x değişkenine değer atandığında P(x) ifadesi bir önerme olur ve doğruluk değeri vardır.

3 1.4 Yüklemler ve Niceleyiciler Yüklemler ÖRNEK: P(x), «x>3» ifadesini belirtsin. P(4) ve P(2) nin doğruluk değerleri ne olur? ÇÖZÜM: P(4) ifadesini «x>3» ifadesinde x yerine 4 yazarak elde ederiz. Böylece P(4), ifadesi 4>3, doğrudur. Bununla birlikte P(2) ifadesi, 2>3, yanlıştır.

4 1.4 Yüklemler ve Niceleyiciler Yüklemler ÖRNEK: A(x) «Bilgisayar x bir saldırgan tarafından saldırı altında.» ifadesini belirtsin. Kampüsteki bilgisayarlardan halen sadece CS2 ve MATH1 in saldırganlar tarafından saldırı altında olduğunu varsayalım. A(CS1), A(CS2) ve A(MATH1) in doğruluk değerleri nelerdir? ÇÖZÜM: A(CS1) ifadesini «Bilgisayar x bir saldırgan tarafından saldırı altında.» ifadesinde x=cs1 yazarak elde ederiz. CS1 saldırı altnda olan bilgisayarların listesinde olmadığından A(CS1) yanlış sonucuna varırız. Benzer olarak CS2 ve MATH1 saldırganlar tarafından saldırı altnda olan bilgisayarların listesinde olduğundan A(CS2) ve A(MATH1) doğrudur.

5 1.4 Yüklemler ve Niceleyiciler Yüklemler Ayrıca, birden fazla değişken içeren ifadeler olabilir. Örneğin, «x=y+3» ifadesini ele alalım. Bu ifadeyi Q(x,y) ile belirtebiliriz. Burada x ve y değişkenler ve Q yüklemdir. x ve y değişkenlerine değerler atandığında Q(x,y) ifadesinin bir doğruluk değeri olur. ÖRNEK: «x=y+3» ifadesini Q(x,y) ile belirtelim. Q(1,2) ve Q(3,0) önermelerinin doğruluk değerleri nedir? ÇÖZÜM: Q(1,2) yi elde etmek için Q(x,y) ifadesinde x=1, y=2 koyalım. Böylece Q(1,2) ifadesi «1=2+3» olur ki bu da yanlıştır. Q(3,0) ifadesi «3=0+3» olur ki bu da doğrudur.

6 1.4 Yüklemler ve Niceleyiciler Yüklemler ÖRNEK: A(c n), «c bilgisayarı, n ağına bağlıdır.» ifadesini göstersin. Burada c bir bilgisayarı temsil eden bir değişken ve n bir ağı temsil eden bir değişkendir. MATH1 bilgisayarının CAMPUS2 ağına bağlı fakat CAMPUS1 ağına bağlı olmadığını kabul edelim. A(MATH1, CAMPUS1) ve A(MATH1, CAMPUS2) nin değerleri nelerdir? ÇÖZÜM: MATH1, CAMPUS1 ağına bağlı olmadığından, A(MATH1, CAMPUS1) in yanlış olduğunu görüyoruz. MATH1, CAMPUS2 ağına bağlı olduğundan A(MATH1, CAMPUS2) nin doğru olduğunu görüyoruz.

7 1.4 Yüklemler ve Niceleyiciler Yüklemler Benzer şekilde, «x+y=z» ifadesini R(x, y, z) ile gösterebiliriz. x, y ve z değişkenlerine değerler atandığı zaman bir doğruluk değeri olur. ÖRNEK: R(1, 2, 3) ve R(0, 0, 1) önermelerinin doğruluk değerleri nedir? ÇÖZÜM: R(1, 2, 3) önermesi R(x, y, z) ifadesinde x=1, y=2 ve z=3 yerlerine yazılarak elde edilir. R(1, 2, 3) önermesinin «1+2=3» ifadesine eşit olduğunu görürüz ve bu da doğrudur. Aynı zamanda R(0, 0, 1) önermesi «0+0=1» ifadesine eşittir ve yanlıştır.

8 1.4 Yüklemler ve Niceleyiciler Yüklemler Genel olarak n tane x 1, x 2... x n değişkenlerini içeren bir ifade P(x 1, x 2... x n ) n-değişkenler grubunda P önermeli fonksiyonun değeridir ve p aynı zamanda n- yerli yüklem veya n-li yüklem olarak adlandırılır. Önermeli (önermesel) fonksiyonlar aşağıdaki örnekte gösterildiği gibi, bilgisayar programlarında görülür. ÖRNEK: İf x>0 then x:= x+1 ifadesini ele alalım. Bu deyimle, bir programda karşılaşıldığı zaman, programın icrasında x noktasındaki değeri P(x) de koyularak elde edilir. Burada «x>0» dır. Eğer x in bu değeri için P(x) doğruysa x:=x+1 çalıştırılır, böylece x in değeri 1 artar. Eğer x in bu değeri için P(x) yanlışsa atama ifadesi çalıştırılmaz, böylece x in değeri değişmez.

9 ÖN KOŞULLAR VE SON KOŞULLAR Yüklemler aynı zamanda bilgisayar programlarının doğruluğunun gösterilmesinde kullanılır, geçerli girdi verildiğinde bilgisayar programlarının her zaman istenilen çıktıyı ürettiğini göstermek için kullanılır. Eğer program doğruluğu gerçekleştirilmediyse, tüm girdi değerleri test edilmeden, bir bilgisayar programının her girdi için istenilen çıktıyı ürettiğini, ne kadar çok test yaparsak yapalım bilemeyiz. Geçerli giriş tanımlayan ifadeler önşartlar olarak bilinir, program çalıştığında çıkışın sağladığı şartlar son şartlar olarak bilinir.

10 1.4 Yüklemler ve Niceleyiciler Niceleyiciler Bir önermesel fonksiyonda değişkenlerin değerleri atandığı zaman, çıkan ifade belli bir doğruluk değeri olan bir önerme olur. Ancak, bir önermesel fonksiyondan bir önerme oluşturmak için niceleme olarak adlandırılan başka önemli bir yol vardır. Niceleme bir yüklemin bir aralıktaki öğeler üzerinde gerçek olduğu dereceyi ifade eder. Hep, bazı, birçok, hiçbiri ve birkaç kelimeleri niceleyiciler olarak kullanılmaktadır. Evrensel niceleme, inceleme altındaki her eleman için doğru olduğunu söyleyen bir yüklemdir ve varoluşsal niceleme, doğru olan yüklem için inceleme altında bir ya da daha fazla öğe olduğunu söyler. Yüklemler ve niceleyiciler ile ilgilenen bu mantık alanı yüklemli temel matematik olarak adlandırılır.

11 EVRENSEL NİCELEME Matematiksel ifadelerin, birçoğu bir özelliğin belirli bir tanım bölgesindeki bir değişkenin tüm değerler için geçerli olduğunu iddia eder. Bu tanım bölgesi söylem alanı (veya söylem evreni) olarak adlandırılır, genellikle sadece etki alanı olarak adlandırılır. Böyle bir ifade evrensel niceleme kullanılarak ifade edilir. Belirli bir tanım bölgesi için P(x) in evrensel nicelemesi, bu tanım bölgesindeki bütün x değerleri için P(x) in doğru olduğunu ileri süren önermedir. Tanım bölgesini değiştirdiğimizde P(x) evrensel nicelemesinin anlamı değişir. Evrensel bir nicelik kullanıldığında tanım bölgesi her zaman belirtilmelidir. Bu yapılmazsa, bir ifadenin evrensel nicelemesi tanımlı değildir.

12 EVRENSEL NİCELEME TANIM 1: P(x) evrensel nicelemesi «Tanım bölgesindeki tüm x değerleri için P(x)» ifadesidir. x P(x) gösterimi p(x) için evrensel bir niceleme gösterir. Burada evrensel niceleyici olarak adlandırılır. x P(x) i «Tüm x P(x) için» veya «Her x P(x) için» şeklinde okuruz. Yanlış olan bir P(x) elemanı x P(x) in bir karşı örneği olarak adlandırılır. Tablo 1. Niceleyiciler İfade Doğru olduğunda Yanlış olduğunda x P(x) P(x) her bir x için geçerli P(x) in yanlış olduğu bir x değeri vardır. x P(x) P(x) in doğru olduğu bir x sayısı vardır. P(x) her x için yanlıştır.

13 EVRENSEL NİCELEME ÖRNEK: P(x), «x+1>x» ifadesi olsun. x P(x) nicellemesinin doğruluk değeri nedir? Burada tanım bölgesi tüm gerçek sayılardan oluşur. ÇÖZÜM: P(x) tüm x gerçek sayıları için geçerli olduğundan x P(x) nicellemesi doğrudur. NOT: Genellikle üstü kapalı bir varsayım, boş olmayan niceleyiciler için söylemin bütün tanım bölgelerinde yapılır. P(x) in yanlış olduğu tanım bölgesinde herhangi bir x elemanı olmadığından, herhangi bir önermesel P(x) fonksiyonu için tanım bölgesi boş ise o zaman x P(x) in doğru olduğuna dikkat ediniz.

14 EVRENSEL NİCELEME Bunun yanı sıra «tümü için» ve «her için» evrensel niceleyicileri, «hepsi», «herhangi bir», «keyfi için», «her biri için» ve «herhangi biri için» ifadelerini de içeren pek çok başka şekillerde de ifade edilebilir. NOT: «herhangi bir» ifadesini «her» veya «bazı» anlamında kullanmak genellikle belirsiz olduğundan «herhangi bir x için» ifadesini kullanmak kaçınmaktan en iyisidir. Bazı durumlarda, mesela negatif olarak kullanıldığında «herhangi bir» ifadesi belirsiz değildir. Örneğin, «incelemekten kaçınmak için herhangi bir neden yoktur.»

15 EVRENSEL NİCELEME ÖRNEK: Q(x), «x<2» ifadesi olsun. Tanım bölgesi bütün gerçek sayılar içeriyorsa x Q(x) niceleyicisinin doğruluk değeri nedir? ÇÖZÜM: Örneğin, Q(3) yanlış olduğundan Q(x) her x reel sayısı için geçerli değildir. Yani x=3, x Q(x) ifadesi için bir ters örnektir. Böylece x Q(x) yanlıştır.

16 EVRENSEL NİCELEME Tanım bölgesindeki tüm elemanlar x 1, x 2,..., x n şeklinde listelenerek söylendiğinde, x P(x) evrensel niceleyicisi, P(x 1 ), P(x 2 ),..., P(x n ) niceleyicilerinin hepsi doğru olduğunda doğru olduğundan P(x 1 ) ^ P(x 2 ) ^... ^P(x n ) ile aynıdır. ÖRNEK: P(x) ifadesi «x 2 <10» olduğunda ve tanım bölgesi 4 ü geçmeyen pozitif tamsayılar olduğunda x P(x) in doğruluk değeri nedir? ÇÖZÜM: Tanım bölgesi 1, 2, 3 ve 4 tam sayılarından oluştuğundan x P(x) ifadesi P(1) ^ P(2) ^ P(3) ^ P(4) birleşimi ile aynıdır. P(4) yani «4 2 <10» yanlış olduğundan x P(x) yanlıştır.

17 VAROLUŞSAL NİCELEYİCİ Matematiksel ifadelerin birçoğunun belli bir özelliği olan bir eleman olduğu iddia edilir. Bu tür ifadeler varoluşsal niceleme kullanılarak ifade edilir. Varoluşsal niceleme ile doğru bir önerme oluşturulması için gerek ve yeter şart tanım bölgesindeki en az bir x elemanı için P(x) in doğru olmasıdır. TANIM 2: P(x) in varoluşsal nicelemesi «Tanım bölgesinde P(x) olacak şekilde bir x elemanı olmalıdır.» önermesidir. x P(x) gösterimini P(x) in varoluşsal nicelemesi için kullanırız. Burada varoluşsal niceleyici olarak adlandırılır. x P(x) ifadesi kullanıldığında her zaman bir tanım bölgesi belirtilmelidir. Ayrıca, tanım bölgesi değiştiğinde x P(x) ifadesinin anlamı da değişir. Tanım kümesi belirtilmediği sürece x P(x) in anlamı yoktur. Bunun yanı sıra, «mevcuttur» ifadesini, «bazıları için», «en az biri için» veya «vardır» gibi diğer bir çok yollarda varoluşsal niceleme olarak ifade edebiliriz. x P(x) varoluşsal nicelemesi «P(x) olacak şekilde bir x vardır.», «P(x) olacak şekilde en az bir tane x vardır.» veya «Bazı xp(x) ler için» şeklinde okunur.

18 VAROLUŞSAL NİCELEYİCİ ÖRNEK: P(x) «x>3» ifadesini göstersin. Tanım bölgesi bütün reel sayılardan oluştuğunda x P(x) niceleyicisinin doğruluk değeri nedir? ÇÖZÜM: x>3 bazen doğru olduğundan, mesela x=4 için doğrudur, P(x) in varoluşsal niceleyicisi x P(x) doğrudur. x P(x) in yanlış olması için gerek ve yeter şartın P(x) in doğru olduğu tanım bölgesinde hiç x elemanı olmadığını gözlemleyiniz. Yani, x P(x) in yanlış olması için gerek ve yeter şart tanım bölgesindeki her x elemanı için P(x) in yanlış olmasıdır.

19 Niceleyicilerin Önceliği ve niceleyicileri önermesel analizde bütün diğer mantıksal operatörlerden daha yüksek önceliğe sahiptir. Örneğin, x P(x) Q(x) ifadesi x P(x) ve Q(x) in ayrılmasıdır. Başka bir ifade ile x P(x) Q(x) demektense ( x P(x)) Q(x) demek daha iyidir. Değişkenleri Bağlama x değişkeni üzerinde bir niceleyici kullanıldığında değişkenin bu oluşumu bağımlıdır deriz. Bir niceleyici tarafından bağımlı olmayan veya belirli bir değerin bir cümlesine eşit bir değişkenin oluşumu bağımsızdır denir.

20 Niceleyicileri İçeren Mantıksal Denklikler TANIM 3: Yüklemler ve niceleyicileri içeren ifadeler mantıksal olarak denktir ancak ve ancak hangi yüklemler olursa olsun bu ifadeler yerine konursa aynı doğruluk değerine sahip olması ve bu önermesel fonksiyonlarda değişkenler için söylemin tanım kümesinin kullanılması gerekmektedir. S T notasyonunu mantıksal olarak yüklemler ve niceleyicileri içeren S ve T ifadelerini belirtmek için kullanırız. Nicelendirilmiş İfadeleri Olumsuzlama (Değillerini alma) Tablo 2. Niceleyiciler İçin De Morgan Kuralları Değil Eşdeğer ifade Değili ne zaman doğru? Ne zaman yanlış? x P(x) x P(x) Her x için P(x) yanlış P(x) doğru olacak şekilde bir x vardır. x P(x) x P(x) P(x) yanlış olacak şekilde bir x vardır. Her x için P(x) doğrudur.

21 Niceleyicileri İçeren Mantıksal Denklikler UYARI: n sayısı 1 den büyük bir tamsayı olmak üzere bir P(x) yükleminin tanım kümesi n tane elemandan oluştuğunda ifadelerin miktarları için değilleme kuralları De Morgan kuralları ile tam olarak aynıdır. Tanım kümesi n tane x 1, x 2,..., x n elemanlarından oluştuğunda De Morgan kuralları ile (P(x 1 )^P(x 2 )... ^ P(x n )) ile aynıdır ve bu x P(x n ) ile denk olan (P(x 1 ) P(x 2 )... P(x n )) in aynısıdır ve bu x P(x) e denktir.

22 ALIŞTIRMALAR 1. «x 4» ifadesini P(x) ile gösterelim. Aşağıdakilerin doğruluk değeri nedir? A)P(0) B)P(4) C) P(6)

23 ALIŞTIRMALAR 1. «x 4» ifadesini P(x) ile gösterelim. Aşağıdakilerin doğruluk değeri nedir? A)P(0) Doğru B)P(4) Doğru C) P(6) Yanlış

24 ALIŞTIRMALAR 2. «y nin başkenti x tir.» ifadesini Q(x,y) ile gösterelim. Aşağıdakilerin doğruluk değeri nedir? A) Q(Atina, Yunanistan) B) Q(Tahran, İran) C. Q(Rusya, Moskova) D. Q(Barcelona, İspanya)

25 ALIŞTIRMALAR 2. «y nin başkenti x tir.» ifadesini Q(x,y) ile gösterelim. Aşağıdakilerin doğruluk değeri nedir? A) Q(Atina, Yunanistan) Doğru B) Q(Tahran, İran) Doğru C. Q(Rusya, Moskova) Yanlış D. Q(Barcelona, İspanya) Yanlış

26 ALIŞTIRMALAR 3. x in tanım kümesi bütün öğrencilerden oluşmak üzere P(x), «x derste her hafta sonu beş saatten fazla zaman geçirir.» ifadesini göstersin. Aşağıdaki niceleyicilerin her birini Türkçe olarak açıklayınız. A) x P(x) B) x P(x) C. x P(x) D. x P(x)

27 ALIŞTIRMALAR 3. x in tanım kümesi bütün öğrencilerden oluşmak üzere P(x), «x derste her hafta sonu beş saatten fazla zaman geçirir.» ifadesini göstersin. Aşağıdaki niceleyicilerin her birini Türkçe olarak açıklayınız. A) x P(x) Sınıfta hafta içi her gün 5 saatten fazla vakit harcayan bir öğrenci vardır. B) x P(x) Her öğrenci sınıfta hafta içi her gün 5 saatten fazla vakit harcar. C. x P(x) Sınıfta hafta içi her gün 5 saatten fazla vakit harcamayan bir öğrenci vardır. D. x P(x) Hiçbir öğrenci sınıfta hafta içi her gün 5 saatten fazla vakit harcamaz.

28 ALIŞTIRMALAR 4. Tanım kümesi bütün insanlar, C(x), «x bir komedyendir.» ve F(x), «x eğlencelidir.» olmak üzere aşağıdaki ifadeleri Türkçe ye çeviriniz. A) x (C(x) F(x)) B) x (C(x)^F(x)) C) x (C(x) F(x)) D) x (C(x)^F(x))

29 ALIŞTIRMALAR 4. Tanım kümesi bütün insanlar, C(x), «x bir komedyendir.» ve F(x), «x eğlencelidir.» olmak üzere aşağıdaki ifadeleri Türkçe ye çeviriniz. A) x (C(x) F(x)) Her komedyen komiktir. B) x (C(x)^F(x)) Her kişi bir komedyendir. C) x (C(x) F(x)) Bir kişi vardır ki, eğer o bir komedyen ise o zaman o komiktir. D) x C(x)^F(x)) Bazı komedyenler komiktir.

30 ALIŞTIRMALAR 5. P(x), «x Rusça konuşabilir.» ifadesi olsun ve Q(x), «x C++ Bilgisayar dilini bilir.» ifadesi olsun. Aşağıdaki cümlelerin her birini P(x), Q(x), niceleyiciler ve mantıksal bağlaçlar cinsinden ifade ediniz. A) Okulunuzda Rusça konuşabilen ve C++ bilen bir öğrenci vardır. B) Okulunuzda Rusça konuşabilen fakat C++ bilmeyen bir öğrenci vardır. C) Okulunuzda her öğrenci ya Rusça konuşabilmekte ya da C++ bilmektedir. D) Okulunuzda Rusça konuşabilen ya da C++ bilen hiç bir öğrenci yoktur.

31 ALIŞTIRMALAR 5. P(x), «x Rusça konuşabilir.» ifadesi olsun ve Q(x), «x C++ Bilgisayar dilini bilir.» ifadesi olsun. Aşağıdaki cümlelerin her birini P(x), Q(x), niceleyiciler ve mantıksal bağlaçlar cinsinden ifade ediniz. A) Okulunuzda Rusça konuşabilen ve C++ bilen bir öğrenci vardır. x (P(x) ^ Q(x)) B) Okulunuzda Rusça konuşabilen fakat C++ bilmeyen bir öğrenci vardır. x (P(x) ^ Q(x)) C) Okulunuzda her öğrenci ya Rusça konuşabilmekte ya da C++ bilmektedir. x (P(x) Q(x)) D) Okulunuzda Rusça konuşabilen ya da C++ bilen hiç bir öğrenci yoktur. x (P(x) Q(x))

32 ALIŞTIRMALAR 6. P(x), «x=x 2» ifadesi olsun. Eğer tanım kümesi tam sayılardan oluşuyorsa aşağıdaki ifadelerin doğruluk değeri nedir? A) P(0) B. P(1) C. P(2) D. P(-1) E. x P(x) F. x P(x)

33 ALIŞTIRMALAR 6. P(x), «x=x 2» ifadesi olsun. Eğer tanım kümesi tam sayılardan oluşuyorsa aşağıdaki ifadelerin doğruluk değeri nedir? A) P(0) T B. P(1) T C. P(2) F D. P(-1) F E. x P(x) T F. x P(x) F

34 ALIŞTIRMALAR 7. Eğer tanım kümesi bütün tam sayılardan oluşuyorsa aşağıdaki ifadelerin her birinin doğruluk değerlerini belirleyiniz. A) n (n+1>n) B) n (2n=3n) C. n (n=-n) D) n (3n 4n)

35 ALIŞTIRMALAR 7. Eğer tanım kümesi bütün tam sayılardan oluşuyorsa aşağıdaki ifadelerin her birinin doğruluk değerlerini belirleyiniz. A) n (n+1>n) T B) n (2n=3n) T C. n (n=-n) T D) n (3n 4n) T

36 ALIŞTIRMALAR 8. Eğer değişkenlerin tanım kümeleri bütün tam sayılardan oluşuyorsa aşağıdaki ifadelerin her birinin doğruluk değerlerini belirleyiniz. A) n (n 2 0) B) n (n 2 =2) C. n (n 2 n) D) n (n 2 <0)

37 ALIŞTIRMALAR 8. Eğer değişkenlerin tanım kümeleri bütün tam sayılardan oluşuyorsa aşağıdaki ifadelerin her birinin doğruluk değerlerini belirleyiniz. A) n (n 2 0) T B) n (n 2 =2) F C. n (n 2 n) T D) n (n 2 <0) F

38 ALIŞTIRMALAR 9. Aşağıdaki ifadelerin her birini yüklemler ve niceleyiciler kullanarak ifade ediniz. A. Bir hava yolu üzerinde bir yolcu eğer yolcu 1 yılda milden daha fazla uçmuşsa veya bu yıl boyunca 25 uçuş satın almışsa elit yolcu olarak sınıflandırılmaktadır. B. Eğer bir erkeğin önceki derecelerinin en iyisi 3 saatin altında ve bir kadının önceki derecelerinin en iyisi 3,5 saatin altında ise maraton için uygundur. C. Bir öğrenci yüksek lisans derecesi alması için en az 60 saatlik ders almalıdır veya 45 saat ders almalı ve bir yüksek lisans tezi yazmalıdır ve bütün gerekli derslerden B seviyesinden daha aşağı bir not almamalıdır. D. Bir dönemde 21 saat krediden daha fazla ders alan ve hepsinden A alan bir öğrenci vardır.

39 ALIŞTIRMALAR 9. Aşağıdaki ifadelerin her birini yüklemler ve niceleyiciler kullanarak ifade ediniz. A. Bir hava yolu üzerinde bir yolcu eğer yolcu 1 yılda milden daha fazla uçmuşsa veya bu yıl boyunca 25 uçuş satın almışsa elit yolcu olarak sınıflandırılmaktadır. x ((F(x,25000) S(x,25)) E(x), burada E(x) «Verilen yılda elit yolcu olarak seçilen x kişisi», F(x,y) «Verilen yılda y milden fazla uçan x kişisi.» ve S(x,y) «Verilen yılda y uçuştan daha fazla uçuş yapan x kişisi»dir. B. Eğer bir erkeğin önceki derecelerinin en iyisi 3 saatin altında ve bir kadının önceki derecelerinin en iyisi 3,5 saatin altında ise maraton için uygundur. x ((M(x) ^ T(x,3)) ( M(x) ^ T(x,3,5))) Q(x)), burada Q(x) «Maraton için seçilen x kişisi», M(x) «x kişisi erkektir.» ve T(x,y) «Maratonu y saatten daha az bir sürede tamamlayan x kişisi» dir.

40 ALIŞTIRMALAR 9. Aşağıdaki ifadelerin her birini yüklemler ve niceleyiciler kullanarak ifade ediniz. C. Bir öğrenci yüksek lisans derecesi alması için en az 60 saatlik ders almalıdır veya 45 saat ders almalı ve bir yüksek lisans tezi yazmalıdır ve bütün gerekli derslerden B seviyesinden daha aşağı bir not almamalıdır. M ((H(60) (H(45) ^ T) ^ y G(B,y), burada M»Öğrenci yüksek lisans yaptı.» önermesi, H(x) «Öğrenci en az x saat ders aldı.», T «Öğrenci tez yazdı.» önermesi ve G(x,y) «Kişi y dersinden x veya daha yüksek not aldı.» dır. D. Bir dönemde 21 saat krediden daha fazla ders alan ve hepsinden A alan bir öğrenci vardır. x ((T (x, 21) ^ G(x,4.0)), burada T(x,y) «y kredi saatinden fazla alan x kişisi.» ve G(x,p) «ortalama p düzeyi notu kazanan x kişisi» dir (Verilen bir sömestirdan bahsedildiğini kabul ediyoruz. Tüm derslerde A alan bir öğrencinin dönem matematik ortalaması 4 olur.)

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

BM202 AYRIK İŞLEMSEL YAPILAR. Yrd. Doç. Dr. Mehmet ŞİMŞEK

BM202 AYRIK İŞLEMSEL YAPILAR. Yrd. Doç. Dr. Mehmet ŞİMŞEK BM202 AYRIK İŞLEMSEL YAPILAR Yrd. Doç. Dr. Mehmet ŞİMŞEK Önermelerin Eşdeğerlikleri Section 1.3 Totoloji, Çelişkiler, ve Tesadüf Bir totoloji her zaman doğru olan bir önermedir. Örnek: p p Bir çelişki

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48 İÇİNDEKİLER Önsöz...2 Önermeler ve İspat Yöntemleri...3 Küme Teorisi...16 Bağıntı...26 Fonksiyon...38 İşlem...48 Sayılabilir - Sonlu ve Sonsuz Kümeler...56 Genel Tarama Sınavı...58 Önermeler ve İspat Yöntemleri

Detaylı

KÜMELER VE MANTIK KESİLİ MATEMATİKSEL YAPILAR

KÜMELER VE MANTIK KESİLİ MATEMATİKSEL YAPILAR KÜMELER VE MANTIK KESİLİ MATEMATİKSEL YAPILAR Kümeler Koşullu ve Mantıksal Denklik Kümeler Kümeler Ayrık Kümeler De-Morgan Kuralı Z (Zahlen; alm.) tamsayılar kümesi Z negatif tamsayılar kümesi, Z nonneg

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

YZM 3217 YAPAY ZEKA DERS#6: MANTIK

YZM 3217 YAPAY ZEKA DERS#6: MANTIK YZM 3217 YAPAY ZEKA DERS#6: MANTIK Önermeler Doğru veya yanlış değer alabilen ifadelerdir Bir önerme hem doğru hem de yanlış olamaz Bir önerme kısmen doğru yada kısmen yanlış olamaz Örnekler: Dünya yuvarlaktır.

Detaylı

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 BMT 206 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 Kümeler Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 2 Kümeler Kümeler Ayrık Matematiğin en temel konularından biridir Sayma problemleri için önemli Programlama dillerinin

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

Örnek...6 : Örnek...1 : Örnek...7 : Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...8 : Örnek...5 : MANTIK 2 MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER

Örnek...6 : Örnek...1 : Örnek...7 : Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...8 : Örnek...5 : MANTIK 2 MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER MANTIK MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER İçerisinde değişken olan ve değişkenin değerlerine göre doğru ya da yanlış olabilen önermelere açık önerme denir. Açık önermeler değişkenine göre P( x), Q( a)

Detaylı

AYRIK YAPILAR. ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FıRAT ÜNIVERSITESI TEKNOLOJI FAKÜLTESI YAZıLıM MÜHENDISLIĞI BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR. ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FıRAT ÜNIVERSITESI TEKNOLOJI FAKÜLTESI YAZıLıM MÜHENDISLIĞI BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

Lisans. Ayrık Matematik Yüklemler ve Kümeler. Konular. Tanım. Tanım çalışma evreni: U izin verilen seçenekler kümesi örnekler:

Lisans. Ayrık Matematik Yüklemler ve Kümeler. Konular. Tanım. Tanım çalışma evreni: U izin verilen seçenekler kümesi örnekler: Lisans Ayrık Matematik Yüklemler ve Kümeler H. Turgut Uyar Ayşegül Gençata Yayımlı Emre Harmancı 2001-2013 You are free: to Share to copy, distribute and transmit the work to Remix to adapt the work c

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 1.KONU Sembolik Mantık; Önermeler, Niceyiciler, Olumsuzluk, İspat yöntemleri KAYNAKLAR 1. Akkaş, S., Hacısalihoğlu, H.H., Özel, Z., Sabuncuoğlu, A.,

Detaylı

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir. Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: POLİNOMLAR ALIŞTIRMALAR Bu başlık altında her bölüm kazanımlara ayrılmış, kazanımlar tek tek çözümlü temel alıştırmalar ve sorular ile taranmıştır. Özellikle bu kısmın sınıf

Detaylı

6.8 Aşağıdaki biçimlerin neden birer ikb olmadıklarını açıklayınız.

6.8 Aşağıdaki biçimlerin neden birer ikb olmadıklarını açıklayınız. 6.7 x ( Fx zgzx) biçiminin bir ikb olduğunu gösteriniz. Kural 1 gereği Fa ve Gba birer ikb dir. Bu durumda, kural 2 ve 4 gereği, sırasıyla Fa ve zgza birer ikb dir. Bu iki biçime kural 3 ün uygulanması

Detaylı

YZM 3217 YAPAY ZEKA DERS#6: MANTIK

YZM 3217 YAPAY ZEKA DERS#6: MANTIK YZM 3217 YAPAY ZEKA DERS#6: MANTIK Önermeler Doğru veya yanlış değer alabilen ifadelerdir Bir önerme hem doğru hem de yanlış olamaz Bir önerme kısmen doğru yada kısmen yanlış olamaz Örnekler: Dünya yuvarlaktır.

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

EŞİTSİZLİKLER. 5. x 2 + 4x + 4 > x 2 0. eşitsizliğinin çözüm kümesi. eşitsizliğinin çözüm kümesi. aşağıdakilerden hangisidir?

EŞİTSİZLİKLER. 5. x 2 + 4x + 4 > x 2 0. eşitsizliğinin çözüm kümesi. eşitsizliğinin çözüm kümesi. aşağıdakilerden hangisidir? 1. 36 x A) [- 6, ] B) [- 6, 6 ] C) [, 36] D) [, 36 ] E) [- 36, ] 5. x + 4x + 4 > A) (, ) B) - } C) D) R E) R - {- } 6. x + 8x + 16. x x 8 < aşağıdalerden hangisidir? A) (- 4, ) B) (-, ) C) (- 4, ) A) {

Detaylı

POLİNOMLAR Test I m P x 3 2x x 4x. P x x 5 II. III. A) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E) 9

POLİNOMLAR Test I m P x 3 2x x 4x. P x x 5 II. III. A) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E) 9 POLİNOMLAR Test -. I. P x x 5 II. III. P x x P x ifadelerinden hangileri polinom belirtir? 6. P x x x x 7 polinomunun katsayılar toplamı A) B) C) D) 0 E) 9 A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III

Detaylı

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

7. BAZI MATEMATİKSEL TEMELLER:

7. BAZI MATEMATİKSEL TEMELLER: 7. BAZI MATEMATİKSEL TEMELLER: Bilindiği üzere, matematikte ortaya konan her yeni kavram, kendinden önceki tanımlanmış kavramlar cinsinden, herhangi bir tereddüt veya muğlâklığa mahal bırakmayacak resmî

Detaylı

B. ÇOK DEĞERLİ MANTIK

B. ÇOK DEĞERLİ MANTIK B. ÇOK DEĞERLİ MANTIK İki değerli mantıkta önermeler, doğru ve yanlış olmak üzere iki değer alabilir. Çünkü özdeşlik, çelişmezlik ve üçüncü hâlin olanaksızlığı ilkelerine göre, önermeler başka bir değer

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

1.DERECEDEN DENKLEMLER. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)

1.DERECEDEN DENKLEMLER.  (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) .DERECEDEN DENKLEMLER Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları 8 Ağustos 07 0. Bir Bilinmeyenli

Detaylı

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1 SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) 1. A = { k k Z, < k 4 } 4. N tam sayılar kümesinde i N için, k 1 B = { k Z, 1 k < 1 } k 1 A = 1 i,i 1 i ( ] kümeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Detaylı

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: 4x > 9 b) x 4 < - c)

Detaylı

1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler

1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler . ÜNİTE: MANTIK . ÜNİTE: MANTIK... Önerme Tanım (Önerme) BÖLÜM.. - Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme adı veriler. Örneğin Bir hafta 7 gündür. (Doğru) Eskişehir Türkiye'nin başkentidir.

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: a) 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: a) 4x > 9 b) x 4

Detaylı

MODERN (SEMBOLİK) MANTIK

MODERN (SEMBOLİK) MANTIK MODERN (SEMBOLİK) MANTIK A. ÖNERMELER MANTIĞI 1. Önermelerin Sembolleştirilmesi Önermeler mantığında her bir yargı, q, r... gibi sembollerle ifade edilir. Örnek: Dünya gezegendir. Dünya nın şekli elistir.

Detaylı

{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde

{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde 1. Aşağıdaki kümelerden hangisi sonsuz küme belirtir? A) A = { x 4 < x < 36,x N} B) B = { x 19 < x,x asal sayı} C) C = { x x = 5k,0 < x < 100,k Z} D) D = { x x = 5, x Z} E) E = { x x < 19,x N}. A, B ve

Detaylı

Önermeler mantığındaki biçimsel kanıtlar

Önermeler mantığındaki biçimsel kanıtlar Önermeler mantığındaki biçimsel kanıtlar David Pierce 26 Aralık 2011, saat 11:48 Bu yazının ana kaynakları, Burris in [1] ve Nesin in [4] kitapları ve Foundations of Mathematical Practice (Eylül 2010)

Detaylı

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin

Detaylı

KÜMELER. Kümeler YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 MATEMATĐK ĐM /LYS. UYARI: {φ} ifadesi boş kümeyi göstermez.

KÜMELER. Kümeler YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 MATEMATĐK ĐM /LYS. UYARI: {φ} ifadesi boş kümeyi göstermez. MTEMTĐK ĐM YILLR 00 00 004 005 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - - - - 1 1 1/1 /LYS KÜMELER TNIM: in tam bir tanımı yoksa da matematikçiler kümeyi; iyi tanımlanmış nesneler topluluğu olarak kabul

Detaylı

11. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

11. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 11. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 İNTERPOLASYON Deney sonuçları veya benzer çalışmalar için

Detaylı

Ders 05. Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler. 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay

Ders 05. Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler. 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 48 Bölüm 5 Ders 05 Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 1. Soru 1 Aşağıda verilen soru işaretlerinin yerine gelmesi gereken değerleri

Detaylı

Küme Temel Kavramları

Küme Temel Kavramları Kümeler Kümeler Küme, matematiksel anlamda tanımsız bir kavramdır. Bu kavram "nesneler topluluğu veya yığını" olarak yorumlanabilir. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir; fakat her ne olursa

Detaylı

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI Reel sayılar kümesinin "küçük ya da eşit", bağıntısı ile sıralanmış olduğunu biliyoruz. Bu bağıntı herhangi bir X kümesine aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. Bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma,

Detaylı

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır. Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS sınavlarında matematik

Detaylı

12.Konu Rasyonel sayılar

12.Konu Rasyonel sayılar 12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ekrem KADIOĞLU İÇİNDEKİLER HEDEFLER SAYI KÜMELERİ. Sayılar Üslü Sayılar Köklü Sayılar Aralıklar Mutlak Değer

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ekrem KADIOĞLU İÇİNDEKİLER HEDEFLER SAYI KÜMELERİ. Sayılar Üslü Sayılar Köklü Sayılar Aralıklar Mutlak Değer HEDEFLER İÇİNDEKİLER SAYI KÜMELERİ Sayılar Üslü Sayılar Köklü Sayılar Aralıklar Mutlak Değer MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ekrem KADIOĞLU Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Üslü ve köklü ifadenin, mutlak değerin ne olduğunu

Detaylı

POL NOMLAR. Polinomlar

POL NOMLAR. Polinomlar POL NOMLAR ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN T POL NOMLAR Polinomlar 1. Kazan m: Gerçek kat say l ve tek de i kenli polinom kavram n örneklerle aç klar, polinomun derecesini, ba kat say s n, sabit

Detaylı

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi

1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi 1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi Euclidean R uzayının tabanının B = {(a, b) : a, b R} olduğunu biliyoruz. Demek ki bu uzayda belirleyiçi unsur açık aralıklar. Her açık aralık (a, b) için, olmak üzere, d

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir. SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 1

LYS MATEMATİK DENEME - 1 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

GENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUK SİSTEMİ ÜZERİNE

GENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUK SİSTEMİ ÜZERİNE ÖZEL EGE LİSESİ GENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUK SİSTEMİ ÜZERİNE HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Berk KORKUT DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem GÜNEL İZMİR 2013 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI 3.33 2. GİRİŞ... 3 3. YÖNTEM 3 4.

Detaylı

1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR

1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR 1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR Bu bölümde ilk olarak Matematikte çok önemli bir yere sahip olan Bağıntı kavramnı verip daha sonra ise Fonksiyon tanımı verip genel özelliklerini inceleyeceğiz. Tanım 1 A B

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler

Detaylı

KARAKTER DİZGİLERİ, BAĞINTILAR, FONKSİYONLAR KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR

KARAKTER DİZGİLERİ, BAĞINTILAR, FONKSİYONLAR KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR KARAKTER DİZGİLERİ, BAĞINTILAR, FONKSİYONLAR KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR 2012-2013 Karakter Dizgisi Karakter Dizgisi Üzerine İşlemler Altdizgi Tanım 3.1.1: Bir X kümesi üzerinde bir karakter dizgisi (string)

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13 TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y): x ile y nin farkı n ile tam bölünür} = {(x,y): n x-y, n N + } bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. (x,y) ise x y (mod

Detaylı

Örnek...3 : P(x+4)=x 7 +6.x 6 +2x 3 polinomu için P(2) kaçtır? Örnek...4 : P(2x 1) = x 2 olduğuna göre, P(3)+P(5) kaçtır? Örnek...

Örnek...3 : P(x+4)=x 7 +6.x 6 +2x 3 polinomu için P(2) kaçtır? Örnek...4 : P(2x 1) = x 2 olduğuna göre, P(3)+P(5) kaçtır? Örnek... POLİNOMLAR n N, a n, a n 1, a n 2,a 1,a 0 R ve a n 0 olmak üzere, a n x n +a n 1 x n 1 +a n 2 x n 2 +...+a 1 x+a 0 ifadesine x in bir polinomu denir ve genellikle bu ifade P(x),Q(x) gibi bir ifadeye eşitlenerek

Detaylı

Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: ÖNERMELER

Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: ÖNERMELER Sunum ve Sistematik. ÜNİTE: MANTIK KONU ÖZETİ Bu başlık altında, ünitenin en can alıcı bilgileri, kazanım sırasına göre en alt başlıklara ayrılarak hap bilgi niteliğinde konu özeti olarak sunulmuştur..

Detaylı

2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır?

2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır? MATE 106 SOSYAL BİLİMLER İÇİN TEMEL ANALİZ Ad-Soyad No Uygun cevabı bulunuz. 1)A = πr2 formülü r yarıçaplı çemberin A alanını vermektedir. Bir masa örtüsü A alanına sahipse, yarıçapını A'nın bir fonksiyonu

Detaylı

Mehmet ŞAHİN. www.mehmetsahinkitaplari.org

Mehmet ŞAHİN. www.mehmetsahinkitaplari.org 0. Sınıf M AT E M AT İ K Mehmet ŞAHİN www.mehmetsahinkitaplari.org M.E.B Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı nın 0..009 tarih ve 4 sayılı kararı ve 00-0 öğretim yılından itibaren uygulanacak programa göre

Detaylı

SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X) kuvvet. kümesi veriliyor. P (X) üzerinde 0 ; A = 1 ; A

SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X) kuvvet. kümesi veriliyor. P (X) üzerinde 0 ; A = 1 ; A 2.2 Ölçüler SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X kuvvet kümesi veriliyor. P (X üzerinde 0 ; A (A : 1 ; A şeklinde tanımlanan dönüşümü ölçü müdür? ÇÖZÜM 1: (i Tanımdan ( 0. (ii A

Detaylı

Leyla Bugay Doktora Nisan, 2011

Leyla Bugay Doktora Nisan, 2011 ltanguler@cu.edu.tr Çukurova Üniversitesi, Matematik Bölümü Doktora 2010913070 Nisan, 2011 Yarıgrup Teorisi Nedir? Yarıgrup teorisi cebirin en temel dallarından biridir. Yarıgrup terimi ilk olarak 1904

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

POLİNOMLARIN TANIMI. ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: KONU: POLİNOMLAR NUMARASI: SINIFI:

POLİNOMLARIN TANIMI.  ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: KONU: POLİNOMLAR NUMARASI: SINIFI: ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: Dersin Adı POLİNOMLARIN TANIMI 1. Aşağıdaki fonksiyonlardan polinom belirtir? I. Dersin Konusu 1 5. P x x n 1 7 x 4 n 5 ifadesi bir polinom belirttiğine göre, bu polinomun derecesi

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84 N 0,1,,... Sayı kümesine doğal sayı kümesi denir...., 3,, 1,0,1,,3,... sayı kümesine tamsayılar kümesi denir. 1,,3,... saı kümesine sayma sayıları denir.pozitif tamsayılar kümesidir. 15 y z x 3 5 Eşitliğinde

Detaylı

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir.

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. 1 DENKLEMLER: Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. Bir denklemde eşitliği sağlayan(doğrulayan) değerlere; verilen denklemin kökleri veya

Detaylı

MAT 302 SOYUT CEBİR II SORULAR. (b) = ise =

MAT 302 SOYUT CEBİR II SORULAR. (b) = ise = MAT 302 SOYUT CEBİR II SORULAR 1. : bir dönüşüm, olsunlar. a) ( ) = ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) olduğunu c) ( ) nin eşitliğinin sağlanması için gerekli ve yeterli bir koşulun nin 1 1 olması ile mümkün olduğunu

Detaylı

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c 0. Küme Cebri Bu bölümde verilen keyfikümeler üzerinde birleşim, kesişim, fark, tümleyen,...gibi özellikleri sağlayan eşitliklerle ilgilenceğiz. İlk olarak De Morgan kurallarıdiye bilinen bir Teoremi ifade

Detaylı

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016 6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği

Detaylı

Temel Matematik Testi - 3

Temel Matematik Testi - 3 Test kodunu sitemizde kullanarak sonucunuzu öğrenebilir, soruların video çözümlerini izleyebilirsiniz. Test Kodu: 003. u testte 0 soru vardır. 2. Tavsiye edilen süre 0 dakikadır. Temel Matematik Testi

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Rastgele Değişkenlerin Dağılımları I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Ders konusu Bu derste; Rastgele değişkenlerin tanımı ve sınıflandırılması Olasılık kütle fonksiyonu Olasılık yoğunluk

Detaylı

MUTLAK DEĞER. Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z. Örnek...7 : x=1 5, y= 5 2, ise x+y y x x =? Örnek...1 : =? Örnek...8 : Örnek...2 : =?

MUTLAK DEĞER. Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z. Örnek...7 : x=1 5, y= 5 2, ise x+y y x x =? Örnek...1 : =? Örnek...8 : Örnek...2 : =? TANIM MUTLAK DEĞER Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z ise x y x z z y =? Bir x reel sayısına karşılık gelen noktanın sayı doğrusunda 0 (sıf ır) a olan uzaklığına x sayısının mutlak değeri denir ve x şeklinde

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 1. Eşit güçlü kümeler 2. Sonlu ve sonsuz kümeler 3. Doğal sayılar kümesi 4. Sayılabilir kümeler 5. Doğal sayılar kümesinde toplama 6. Doğal sayılar kümesinde

Detaylı

Polinomlar. Rüstem YILMAZ

Polinomlar. Rüstem YILMAZ Polinomlar Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 matematikklinigi@gmail.com 26 Aralık 2016 0.1 Tanımı a, b, c, d reel sayılar ve n N olmak üzere, P (x) = ax n + bx n 1 + + cx + d ifadesine reel katsayılı ve bir

Detaylı

Örnek...4 : A = { a, b, c, d, {a}, {b,c}} kümesi veriliyor. Aşağıdakilerin doğru mu yanlış mı olduğunu yazınız.

Örnek...4 : A = { a, b, c, d, {a}, {b,c}} kümesi veriliyor. Aşağıdakilerin doğru mu yanlış mı olduğunu yazınız. KÜME KAVRAMI Küme matematiğin tanımsız bir kavramıdır. Ancak kümeyi, iyi tanımlanmış kavram veya nesneler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi

Detaylı

A Tüm S ler P dir. Tümel olumlu. E Hiçbir S, P değildir. Tümel olumsuz. I Bazı S ler P dir. Tikel olumlu. O Bazı S ler P değildir.

A Tüm S ler P dir. Tümel olumlu. E Hiçbir S, P değildir. Tümel olumsuz. I Bazı S ler P dir. Tikel olumlu. O Bazı S ler P değildir. Yargı cümlelerinde sınıf terimler birbirlerine tüm ve bazı gibi deyimlerle bağlanırlar. Bunlara niceleyiciler denir. Niceleyiciler de aynen doğruluk fonksiyonu operatörleri (önerme eklemleri) gibi mantıksal

Detaylı

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır. Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS'de matematik testinde

Detaylı

Cahit Arf Liseler Arası Matematik Yarışması 2008

Cahit Arf Liseler Arası Matematik Yarışması 2008 Cahit Arf Liseler Arası Matemati Yarışması 2008 İinci Aşama 11 Mayıs 2008 Notlar: Birnci tasla. 1. Tamsayılardan gerçel sayılara tanımlı fonsiyonlar ümesi üzerinde şöyle bir operatörü tanımlayalım: f(x)

Detaylı

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR 1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği

Detaylı

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept.

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. Dijital Devre Tasarımı EEE122 A Ref. Morris MANO & Michael D. CILETTI DIGITAL DESIGN 4 th edition Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. 2. BÖLÜM Boole Cebri ve Mantık

Detaylı

İçindekiler. 3. Sonlu ve Sonsuz Kümeler Denk ve Eşit Kümeler Kümelerde Birleşim ve Kesişim

İçindekiler. 3. Sonlu ve Sonsuz Kümeler Denk ve Eşit Kümeler Kümelerde Birleşim ve Kesişim İçindekiler 1. Küme Kavramı...6-7 2. Kümelerin Gösterimi...8-15 3. Sonlu ve Sonsuz Kümeler... 16-17 4. lt Küme Kavramı... 18-27 5. Denk ve şit Kümeler... 28-29 6. Kümelerde irleşim ve Kesişim... 31-41

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

Yeşilköy Anadolu Lisesi

Yeşilköy Anadolu Lisesi Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi

Detaylı

Değişken Katsayılı Adi Diferensiyel Denklemler Katsayıları bağımsız(x) değişkene bağlı diferensiyel denklemlerdir. Genel ifadesi şöyledir.

Değişken Katsayılı Adi Diferensiyel Denklemler Katsayıları bağımsız(x) değişkene bağlı diferensiyel denklemlerdir. Genel ifadesi şöyledir. 3. Yüksek Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Geçmiş konularda şu ana kadar ele alınan 1.mertebe-1.dereceden adi diferensiyel denklemler ancak 1.mertebe seviyesindeki belirli problemleri ifade edebilmektedir.

Detaylı

Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz.

Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz. 1 BİR İŞLEMLİ SİSTEMLER Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz. 1.1 İŞLEMLER Bir kümeden kendisine tanımlı olan her fonksiyona birli işlem denir. Örneğin Z

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

ECEM ERDURU GAMZE SERİN ZEHRA SABUR EMİNE ÖLMEZ. o TAMSAYILAR KONUSU ANLATILMAKTADIR

ECEM ERDURU GAMZE SERİN ZEHRA SABUR EMİNE ÖLMEZ. o TAMSAYILAR KONUSU ANLATILMAKTADIR ECEM ERDURU GAMZE SERİN ZEHRA SABUR EMİNE ÖLMEZ o TAMSAYILAR KONUSU ANLATILMAKTADIR Sıfırın sağındaki sayılar pozitif tam sayılar, sıfırın solundaki sayılar negatif tam sayılardır. Pozitif tam sayılar,

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI 0 KULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 0 SINIFLAR SRULARI (5xy) dört basamaklı sayıdır 5 x y 6 - a 3 Yukarıdaki bölme işlemine göre y nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? 4 m pozitif bir tamsayı olmak üzere;

Detaylı

Temel Matematik Testi - 9

Temel Matematik Testi - 9 Test kodunu sitemizde kullanarak sonucunuzu öğrenebilir, soruların video çözümlerini izleyebilirsiniz. Test Kodu: 0109 1. u testte 40 soru vardır.. Tavsiye edilen süre 40 dakikadır. Temel Matematik Testi

Detaylı